G3 – FIS1026 – 17/06/2013

MECÂNICA NEWTONIANA B

NOME:___________________________________________________

Matrícula: ___________________ TURMA:_______

QUESTÃO VALOR GRAU REVISÃO

1 3,0

2 3,5

3 3,5

Total 10,0

Dados:

g = 10 m/s2;

α constante: Δω = αt; Δθ = ω0 t + ½ αt2; ω2= ω02 + 2αΔθ;

at = αr; vt = ωr; ac = v2/r; τ = r × F; Στ = Iα;

I = Σ miri2 (partículas pontuais); Ip = Icm + Md2;

Icm = β MR2 sendo: βaro = 1; βcilindro/disco = 1/2; βesfera sólida = 2/5; βesfera oca = 2/3; Icm haste = (1/12) ML2;

L = r × p; L = I ω ; Στext = dL/dt ; sen 30o = 0,50 ; cos 30o = 0,86

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS E CÁLCULOS

EXPLÍCITOS

Não é permitido destacar folhas deste caderno de respostas.

A prova só poderá ser feita a lápis, caneta azul ou preta

É permitido o uso de calculadoras científicas simples.

Não é permitido o uso de aparelhos celulares.

x

y

z

Sistema de coordenadas

G3 – FIS1026 – 17/06/2013

Nome: ____________________________________ Matrícula: __________

1ª QUESTÃO (3,0 pontos) Um mastro de uma bandeira pode ser modelado por uma haste homogênea de massa M e comprimento l que tem presa em sua extremidade uma esfera sólida homogênea de massa m e raio R. O mastro está preso em sua outra extremidade a uma parede no ponto P, fazendo um ângulo θ com a horizontal, como ilustra a figura. Utilize g para a aceleração da gravidade.

a) [1,0] Calcule o momento de inércia rotacional do mastro em torno a um eixo perpendicular ao plano do papel (eixo z) que passe pelo ponto P. b) [1,0] Calcule o vetor torque que a força da gravidade faz no mastro em relação ao ponto P. c) [1,0] Suponha que, devido a algum defeito na fixação da esfera, a mesma se solte da extremidade e caia verticalmente. Calcule o vetor momento angular da esfera em relação ao ponto P após ela ter caído durante um intervalo de tempo t. 2ª QUESTÃO (3,5 pontos) Um corpo rola sem delizar ao longo de um plano inclinado de 30º em relação à horizontal. (Itens (a) (b) e (c) são independentes). a) [1,0] Suponha que o corpo é uma esfera sólida. Para qualquer instante de tempo durante o rolamento no plano, calcule a razão entre a energia cinética de translação e a energia cinética total (KTrans / KTotal). b) [1,5] Suponha agora desconhecida a geometria do corpo. Mede-se que a aceleração do centro de massa durante a descida é aCM = 0,3⋅g. Supondo que o momento de inercia tem a forma Icm = βMR2, calcule o valor de β. c) [1,0] Sendo o corpo um cilindro e havendo este partido do repouso a partir de uma certa altura, observa-se que adquire uma velocidade angular de 5,0 rad/s ao chegar à base do plano inclinado. Se o raio do cilindro é 0,4 m e a massa é 2,0 kg, calcule a altura a partir da qual ele começou a rolar.

m, R

P

!

M, l

x

y

z

3ª QUESTÃO (3,5 pontos) Um carrossel em forma de disco sólido homogêneo, com massa M = 200 kg e raio R = 1,5 m, está fixo em seu centro de massa por um eixo vertical e pode girar sem atrito no plano horizontal. Partindo do repouso, o carrossel é submetido a uma aceleração angular constante de 0,50 rad/s2 no sentido anti-horário, até atingir uma velocidade angular 3,0 rad/s. a) [1,0] Determine o deslocamento angular realizado pelo carrossel durante seu processo de aceleração e o tempo necessário até atingir sua velocidade angular final. Cessada a aceleração, o carrossel se mantém com velocidade angular de 3,0 rad/s. Um menino de massa m = 40 kg, correndo com uma velocidade V0 = 5 m/s na direção mostrada na figura, tal que ϕ = 30o, salta sobre a borda do carrorrel e se agarra a ele. Modele o menino como uma partícula. b) [1,5] Determine os vetores momento angular do menino e do carrossel, respectivamente !! e !!, imediatamente antes do salto do menino sobre o carrossel (use o sistema de coordenadas mostrado na figura). c) [1,0] Determine a velocidade angular final do conjunto carrossel+menino e o sentido da rotação (horário ou anti-horário) após o menino saltar no carrossel.

1ª QUESTÃO (3,0 pontos) a) [1,0]

Utilizando o teorema dos eixos paralelos para os dois corpos, temos: Ip = M ℓ 2/12 + M(ℓ /2)2 + 2mR2/5 + m(ℓ +R)2

= M ℓ 2/3 + 7mR2/5 + m ℓ 2 + 2mℓR

b) [1,0]

τp = (r × F)haste + (r × F)esfera

τp = [ℓ/2 cosθ (i) + ℓ/2 senθ (j)] × Mg (-j) + [(ℓ+R) cosθ (i) + (ℓ+R) senθ (j)] × mg (-j)

τp = [ℓ/2 cosθ Mg + (ℓ+R) cosθ mg] (-k) = [Mℓ/2 + m(ℓ+R)] g cosθ (-k)

c) [1,0]

L = r × mv

r = x (i) + y (j) => x = (ℓ+R) cosθ e y = (ℓ+R) senθ – ½ gt2

v = gt (-j)

L = (ℓ+R) cosθ mgt (-k)

2ª QUESTÃO (3,5 pontos) a) [1,0]

Para um corpo rolando suavemente: KTotal = KRotação + KTrans KTrans = (1/2)Mvcm

2 KRotação = (1/2)ICM ·ω2 e vcm = ω·R Neste caso : KRotação = (1/2)(2/5 MR2)(vcm

2/R2) = (1/5)Mvcm2

Então KTrans/KTotal = (1/2 Mvcm2) / (1/2 Mvcm

2 + 1/5 Mvcm2) = (1/2) / (7/10)

KTrans / KTotal = 5/7 Veja que o resultado é valido para qualquer instante de tempo. b) [1,5] A segunda Lei de Newton para translação e rotação fica: Mgsen30º - Fat = Macm FatR = lcmα E para o corpo rolando suavemente: acm = αR Então: Mgsen30º - Fat = Macm e FatR = lcmα = βMR2*acm/R Fat = βMacm. Substituindo a expressão para Fat na primeira equação teremos: Mgsen30º - Fat = Macm = Mgsen30º - βMacm Mgsen30º = (1+ β)Macm acm = gsen30º / (1+ β). Se acm = 0,3*g 0,3 = sen30º / (1+ β) β = (sen30º/0,3) – 1 β = (0,5/0,3) – 1 = 5/3 – 1 = 2/3 = 0,66

c) O teorema trabalho energia estabelece que WTotal = ΔK = KF – KI = KF, pois ele começou a cair do repouso. Durante o rolamento suave no plano inclinado, a única força que faz trabalho é a gravidade. Então: WTotal = MgH Para o rolamento: KF = (1/2)Mvcm

2 + (1/2)Icmω2 = (1/2)[MR2 + (1/2)MR2]ω2 =

(1/2)[(3/2)MR2]ω2 KF = (3/4)MR2ω2 MgH = (3/4)MR2ω2 H = (3R2ω2)/(4g) = (3*0,42*52)/(4*10) = 0,3m = 30cm

2ª QUESTÃO (3,5 pontos)

a) [1,0] Sendo a aceleração angular constante, tem-se: ! = !! + !. ! → 3 = 0+ (0,5). ! → ! = 6  ! ; substituindo em !(!):

∆! = !!. ! + !. !!2 → ∆! = 0.6+ (0,5). 6

!

2 → ∆! = 9  !"# OU:  !! = !!! + 2.!.∆! → 3! = 0! + 2. (0,5).∆! → ∆! = 9  !"# b) [1,5] !! = !×!   = !.!.!!. !"# 180°− ∅ (−!) !! = −[ 1,5 . 40.5. !"# 150° ]! !! = −(150  !. !)! (direção e sentido de !! determinados pela regra da mão direita!) !! = !.!! = !.!!

2 .!! (+!) →

!! = +[200. (1,5)!

2).3]! → !! = +(675  !. !)! (obs: J.s = kg m2/s) c) [1,0] As forças entre o menino e o carrossel são produzidas em pares ação e reação, gerando torques opostos que se anulam (torque interno resultante nulo) e o sistema (carrossel + menino) está livre de torques externos. Desta forma, o momento angular total do sistema é conservado, com ambos os componentes do sistema passando a girar com mesma velocidade angular no final: → !!"#$% = !!"ó! → (!! + !!)!"#$% = (!! + !!)!"ó! → −150+ 675 ! =   !.!

!2 .!! + (!.!!).!! → !!"!

[!"". !,!!

!  !    !".(!,!)!]! =  !!

→ !! = +(1,67  !"#/!)!   (carrossel permanece girando no sentido anti-horário)