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Elementos finitos en la industria Sesión III

Sesión III

III.1 SÓLIDOS 3D

III.1.1 EJEMPLOS III.1.2 TEORÍA BÁSICA III.1.3 FORMA DE LA INTERPOLACIÓN Y SU SUBSTITUCIÓN III.1.4 INTERPOLACIÓN Y DISEÑO DEL ELEMENTO III.1.5 MATRICES DEL ELEMENTO III.1.6 EXPRESIONES DERIVADAS III.1.7 VALIDACIÓN

III.2 SÓLIDOS 2D

III.2.1 EJEMPLOS III.2.2 TEORÍA BÁSICA III.2.3 FORMA DE LA INTERPOLACIÓN Y SU SUBSTITUCIÓN III.2.4 INTERPOLACIÓN Y DISEÑO DEL ELEMENTO III.2.5 MATRICES DEL ELEMENTO III.2.6 EXPRESIONES DERIVADAS III.2.7 VALIDACIÓN

-1-Dr. Sergio Gallegos Cázares


III.1 SÓLIDOS 3D

III.1.1 EJEMPLOS

• Los problemas que analizaremos en esta sección tienen las siguientes características.

♦ Un volumen de material con geometría complicada

♦ Cargas:

◊ Fuerzas de cuerpo en el volumen

◊ Tracciones sobre la superficie

♦ Apoyos:

◊ Sujeción sobre la superficie del cuerpo que controla los desplazamientos

• Ejemplos de estructuras sólidas se muestran a continuación:



Conectores

Engranes



Motores

Piezas mecánicas:



Presas:



III.1.2 TEORÍA BÁSICA

• Modelo básico

{ }uS2

S1

{ }t

{ }bV

• Esfuerzo en un punto

-6-

• Deformación

τ 11τ 12

τ 13

τ 23

τ 21

τ 33

τ 22

τ 31

τ 32

x2

x3

x1

x3

x2

R*

P*

Q*

P

Configuración inicial

Configuración final

QR

{ }u

x1

Dr. Sergio Gallegos Cázares


♦ Deformación normal

ε∂∂

ε∂∂

ε∂∂11

1

122

2

233

3

3

= =ux

ux

ux

=

♦ Distorsión

2

3

3

223

2

1

1

212

1

3

3

113 x

uxu

xu

xu

xu

xu

∂∂

∂∂

γ∂∂

∂∂

γ∂∂

∂∂

γ +=+=+=

• Relación constitutiva elástica lineal

{ } [ ]{ }τ ε= D

♦ En términos del módulo de Young E y el coeficiente de Poisson ν

( )( )

ττττττ

ν ν

ν ν νν ν

ν

ν

ν

ν

εεεγγγ

11

22

33

12

23

13

11

22

33

12

23

13

1 1 2

1 0 01 0 0 0

1 0 0 012

0 012

012

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

=+ −

−−

−

−

−

−

0⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

E

Sim

• Equilibrio por trabajo virtual 0=Wδ

{ } { } { } { } { } { }δε τ δ δT T

VV

T

S

dV u b dV u t dS= +∫∫∫∫∫∫ ∫∫



III.1.3 FORMA DE LA INTERPOLACIÓN Y SU SUBSTITUCIÓN

• La forma estándar de la interpolación es

{ } [ ]{ }uNu =ˆ

• Desplazamiento virtual { } [ ]{ }uNu δδ =ˆ

• Se define la deformación real y virtual { } [ ]{ }

[ ][ ]{ }[ ]{ }uB

uNu

===∂∂ε ˆˆ

{ } [ ]{ }uB δεδ =ˆ

• Substituyendo en el trabajo virtual

{ } { } { } { } { } { }δε τ δ δT T

VV

T

S

dV u b dV u t dS= +∫∫∫∫∫∫ ∫∫

{ } [ ] [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ] { }T TT T T

V V

u B D dV u N b dV u N tδ ε δ δ= +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫T

S

dS

{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] { } [ ] { } 0T T TT

V V S

u B D B u dV N b dV N t dSδ δ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪− + =⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

Fuerza interna Fuerza

• Por tanto, la ecuación de equilibrio es

{ } { }int extF F=



[ ] [ ]{ } { }

[ ] { } [ ] { } [ ] [ ]{ } [ ] { }0 0

T

V

T T T T

V S V V

B D B dV u

N b dV N t dS B D dV B dVε τ

=

+ + −

∫∫∫

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

♦ En formato matricial [ ]{ } { }K u f=

♦ Con [ ] [ ] [ ][ ]K B D BT

V

= ∫∫∫ dV

{ } [ ] { } [ ] { }T T

V S

f N b dV N t d= +∫∫∫ ∫∫ S

III.1.4 INTERPOLACIÓN Y DISEÑO DEL ELEMENTO

• Se define el tipo de elemento

3

2

1

4z

x

y

• Se define la interpolación de elementos finitos correspondiente



♦ Forma nodal para el componente u1:

[ ]{ } [ ]

( )

( )

( )

( )

11

21

1 1 2 3 4 31

41

uuu N u N N N Nuu

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Vzyx

NV

zyxN

Vzyx

NV

zyxN

66

664444

43333

3

22222

11111

δγβαδγβα

δγβαδγβα

+++=

+++=

+++=

+++=

444

333

222

111

1111

det6

zyxzyxzyxzyx

V =

44

33

22

1

44

33

22

1

44

33

22

1

444

333

222

1

111

det111

det

111

detdet

yxyxyx

zxzxzx

zyzyzy

zyxzyxzyx

−==

−==

δγ

βα

44

33

11

2

44

33

11

2

44

33

11

2

444

333

111

2

111

det111

det

111

detdet

yxyxyx

zxzxzx

zyzyzy

zyxzyxzyx

=−=

=−=

δγ

βα



44

22

11

3

44

22

11

3

44

22

11

3

444

222

111

3

111

det111

det

111

detdet

yxyxyx

zxzxzx

zyzyzy

zyxzyxzyx

−==

−==

δγ

βα

33

22

11

4

33

22

11

4

33

22

11

4

333

222

111

4

111

det111

det

111

detdet

yxyxyx

zxzxzx

zyzyzy

zyxzyxzyx

=−=

=−=

δγ

βα

♦ u2 y u3 se interpolan en forma análoga

III.1.5 MATRICES DEL ELEMENTO

• Arreglo de componentes de desplazamiento

{ } [ ]{ }uNu =ˆ { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

3

2

1

ˆuuu

u { }{ }

{ } ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

4

1

u

uu { }u

uuu

a

a

a

a

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1

2

3

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

41

41

41

000000000000

NNNN

NNN

• Deformaciones



{ } [ ]{ }uuuu

yz

xz

xy

z

y

x

ˆˆˆˆ

0

0

0

00

00

00

ˆ

3

2

1

23

13

12

33

22

11

∂=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

γγγεεε

ε

• Matriz de rigidez [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]4321 BBBBNB == ∂

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

yN

zN

xN

zN

xN

yN

zN

yN

xN

B

aa

aa

aa

a

a

a

a

0

0

0

00

00

00

⇒ [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

aa

aa

aa

a

a

a

a VB

γδβδ

βγδ

γβ

00

000

0000

61

Por tanto

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]VBDBdVBDBK T

V

T == ∫∫∫



[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKKKKKKKKKKKKKK

K

[ ] [ ] [ ][ ]VBDBK bT

aab =

• Vector de fuerzas nodales equivalentes

{ } [ ] { } [ ] { }T T

V S

f N b dV N t d= +∫∫∫ ∫∫ S

◊ Ejemplo con fuerza de cuerpo constante:

{ } [ ]Tzyxzyxzyxzyx bbbbbbbbbbbbf41

=

◊ Tracción constante sobre la cara 123 (En forma análoga para las otras caras)

{ } [ ]Tzyxzyxzyx tttttttttS

f 0003123=

III.1.6 EXPRESIONES DERIVADAS

• Este es el postprocesamiento de la información

• Deformación:

{ } [ ]{ }uB=ε̂

• Esfuerzo:

{ } [ ] { } { }( ) { }00ˆˆ τεετ +−= D



• Esfuerzo de Von Mises: (Calibrado con prueba de tensión)

( ) ( ) ( ) ( )122 2 2 2 2 21 3

2VM x y y z z x xy yz xzσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ⎧ ⎫⎡ ⎤= − + − + − + + +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

• Esfuerzos principales:

1

2

3

000

x xy xz

xy y yz

xz yz z

σ σ σ σ νσ σ σ σ ν

νσ σ σ σ

⎡ ⎤− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

τ

σn

σ3 σ2 σ1

• Esfuerzo Cortante Máximo (Tresca): (Calibrado con prueba de tensión)

1 3

2Tσ σσ −

=

III.1.7 VALIDACIÓN

• Ejercicio 4: Probeta en tensión

• Ejemplo 3: Soporte



III.2 TEORÍA DE ELASTICIDAD EN 2D

III.2.1 CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS

• Los problemas que analizaremos son casos especiales de la teoría de elasticidad en 3D. Tenemos tres casos diferentes:

♦ Deformación plana

♦ Esfuerzo plano

♦ Axisimetría

• Ejemplos de problemas de deformación plana son: Túneles



Presas:



• Ejemplos de problemas de esfuerzo plano son: Vigas y ganchos



Muros de corte

Vigas cortas:



Conexiones

• Ejemplos de problemas de axisimetría son: Tanques:



Domos



III.2.2 TEORÍA BÁSICA

• Deformación plana

♦ Restricciones a la teoría en 3D: ε γ γ33 13 230 0= = =

♦ Relaciones esfuerzo-deformación

( )( )

τττ

ν ν

ν νν ν

ν

εεγ

11

22

12

11

22

12

1 1 2

1 01 0

0 0 1 22

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪=

+ −

−−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

E

El esfuerzo normal en z queda fijo por



( )( ) ( )τ νν ν

ε ε33 11 221 1 2=

+ −+

E

♦ Relaciones de compatibilidad sobrantes

ε∂∂

ε∂∂

γ∂∂

∂∂11

1

122

2

212

2

1

1

2

= = = +ux

ux

ux

ux

• Esfuerzo plano

♦ Restricciones a la teoría en 3D: τ τ τ33 13 230 0= =, =


( )11 11

22 222

12 12

1 01 0

1 10 02

Eτ εντ ν ε

ν ντ γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎩⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎫⎪⎬⎪⎭

La deformación normal en z queda fija por

( )γ γ

ενν

ε ε

13 23

33 11 22

0

1

= =

= −−

+


ε∂∂

ε∂∂

γ∂∂

∂∂11

1

122

2

212

2

1

1

2

= = = +ux

ux

ux

ux

• Axisimetría

z

r

Eje de revolución



♦ Restricciones a la teoría en 3D: x rxx z

1

2

3

→→→

θ ∂∂θ

= 0


( )( )

ττττ

ν ν

ν ν νν ν νν ν ν

ν

εεεγ

θ θ

r

z

rz

r

z

rz

E⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=+ −

−−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

1 1 2

1 01 0

1 00 0 0 1 2

2


ε∂∂

ε∂∂

γ∂∂

∂∂r z rz

ur

uz

ur

uz

= = = +1 3 3 1

( )

εθ θθθ =

+ −=

r u d rdrd

ur

1 1

III.2.3 FORMA DE LA INTERPOLACIÓN Y SU SUBSTITUCIÓN

• Es idéntica a la de teoría en 3D



III.2.4 INTERPOLACIÓN Y DISEÑO DEL ELEMENTO

• Se define el tipo de elemento

32

-24-

• Se define la interpolación de elementos finitos correspondiente

♦ Forma nodal

[ ]{ } [ ]( )

( )

( )

11

21 1 2 3

31

uu N u N N N u

u1

⎧ ⎫⎪ ⎪

= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Ayx

NA

yxN

Ayx

N222

3333

2222

1111

γβαγβαγβα ++=

++=

++=

( ) ( ) ( 213132321

33

22

11

111

2 yyxyyxyyxyxyxyx

A −+−+−== )

y 1

( )x y3 3,

( )x y2 2,

( )x y1 1,

x



12321321213

31213231312

23132132321

xxyyxyyxxxyyyxxyxxyyxyyx

−=−=−=−=−=−=−=−=−=

γβαγβαγβα

♦ u2 se interpolan en forma análoga

III.2.5 MATRICES DEL ELEMENTO

• Arreglo de componentes de desplazamiento

{ } [ ]{ }uNu =ˆ { } 1

2

ˆˆ ˆuu u⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

{ }{ }{ }{ }

1

2

3

uu u

u

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

{ }uuua

a

a=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1

2

[ ] 1 3

1 3

0 00 0N NN N N⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

• Deformaciones

{ } [ ]{ }uB=ε̂

{ }ε

εεγε θ

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

11

22

12

• Matriz de rigidez [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]321 BBBNB == ∂



[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

01

0

0

x

xy

y

x

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂ ⇒

[ ] [ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

02

00

21

02

00

21

02

00

21

3

33

3

3

3

2

22

2

2

2

1

11

1

1

1

xAN

AB

xAN

AB

xAN

AB βγ

γβ

βγγ

β

βγγ

β

• Matriz de constitutiva

[ ] [ ] [ ][ ]DD DD DT=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

33 31

31 44

[ ]D33

2 02 0

0 0=

++

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

λ µ λλ λ µ

µ [ ]D31

0=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

λλ D44 2= +λ µ

Para deformación plana y esfuerzo plano

[ ] [ ]D D= 33

y además para esfuerzo plano

λλµ

λ µ←

+2

2

El volumen se calcula mediante

dydxtdV =



con →= xt π2 Caso axisimétrico →=1t Caso de deformación plana →= tt Caso de esfuerzo plano

• Matriz de rigidez

De esta forma, para esfuerzo y deformación planos se tiene

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=== ∫∫

333231

232221

131211

3333

KKKKKKKKK

AtBDBdxdytBDBK T

A

T

[ ] ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

+++=

babababa

babababaab A

tKβµβγγµλγµββλγ

βµγγλβγµγββµλ2

24

Mientras que para el caso axisimétrico, se evalúan las integrales al centro del elemento

33321321 yyy

yxxx

x cc++

=++

=

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=== ∫∫

333231

232221

131211

KKKKKKKKK

AtBDBdxdytBDBK ccTc

A

T

[ ] [ ] [ ][ ]cbTcacab BDBAxK π2=

• Vector de fuerzas nodales equivalentes

{ } [ ] { } [ ] { } [ ] [ ]{ } [ ] { }f N b dV N t dS B D dV BT

V

T

S

T

V

T

V

= + + −∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ε τ0 0 dV

-27-



◊ Para esfuerzo y deformación planos, bajo fuerza de cuerpo constante

{ }3

T

x y x y x yAf b b b b b b⎡ ⎤= ⎣ ⎦

bajo tracción constante sobre el lado 12

{ } 12 0 02

T

x y x yLf t t t t t⎡ ⎤= ⎣ ⎦

◊ Para el caso axisimétrico, bajo fuerza de cuerpo constante

{ } 23

T cx y x y x y

x Af b b b b b b π⎡ ⎤= ⎣ ⎦

bajo tracción constante sobre el lado 12

{ } 122 02

T

Lc x y x yLf x t t t tπ 0⎡ ⎤= ⎣ ⎦

III.2.6 EXPRESIONES DERIVADAS

• Igual a la teoría en 3D

III.2.7 VALIDACIÓN

• Ejercicio 5: Placa perforada


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