22 CAPITULO 3. GRAVITACAO

3.1 Potencial gravitacional na superfıcie da Terra

Derive a expressao U(h) = mgh para o potencial gravitacional na superfıcie da Terra.

Solucao: A partir da lei de Newton

U(~r) = −GMm

r,

usando a expansao de Taylor:

U(~r + ~h) = e~h·∇~rU(~r) =

∞∑ν=0

(~h · ∇~r)ν

ν!U(~r) = U(~r) + (~h · ∇~r)U(~r) +

1

2(~h · ∇~r)(~h · ∇~r)U(~r) ,

temos

U(~r + ~h) ' U(~r) + hGMm

r2= U(~r) + hgm .

3.2. FORCA GRAVITACIONAL DE UM ANEL 23

3.2 Forca gravitacional de um anel

Calcule a forca gravitacional de um anel de densidade linear de massa λ = M/2πR no eixo desimetria.

Solucao: O potencial gravitacional de um anel em torno do eixo de simetria ez e

V (~r) =

∫anel

Gm

|~r − ~r′|ρ(~r′)dV ′ = GmR

∫anel

λ∣∣∣∣∣∣xyz

−R cosφ′

R sinφ′

0

∣∣∣∣∣∣dφ′ .

Para uma massa de prova m localizada sobre o eixo de simetria, ~r = zez,

V (~r) = GmR

∫anel

λ∣∣∣∣∣∣0

0z

−R cosφ′

R sinφ′

0

∣∣∣∣∣∣dφ′ = GmR

∫anel

λ√R2 cos2 φ′ +R2 sin2 φ′ + z2

dφ′

= GmR

∫anel

λ√R2 + z2

dφ′ = 2πGmRλ√

R2 + z2=

GMm√R2 + z2

.

O gradient da a forca,

~F (~r) = −∇V (~r)

Fz = −∂V∂z

= − d

dz

GMm√R2 + z2

= −GMm

s3z = −GMm

s2cosα .

24 CAPITULO 3. GRAVITACAO

3.3 Potencial gravitacional de um disco

Calcule o potencial de um disco fino homogeneo ao longo do eixo de simetria e a forca gravita-cional que ele exerce sobre um massa m.Ajuda: Na integracao sobre a espessura a do disco utilize a relacao:

∫ a0 f(z′)dz′ ' af(0).

Solucao: O potencial de uma distribuicao de massa ρ(~r′) agindo sobre uma massa de prova mlocalizada na posicao ~r e

V (~r) = −∫disco

ρ(~r′)Gm

|~r − ~r′|d3~r′

= −Gm∫ a

0

∫ R

0

∫ 2π

0ρ0

1√(r − r′)2 + (z − z′)2

r′dr′dz′dφ′ .

Agora seja ~r = zez.

V (z) = −2πGmρ0

∫ a

0

∫ R

0

1√r′′ + (z − z′)2

r′dr′dz′

= −2πGmρ0

∫ a

0

(√R2 + (z − z′)2 − (z − z′)

)dz′ .

Para um disco fino ρ(z) ' ρ0aδ(z)

V (z) = −2πGmρ0a(√R2 + z2 − z) .

A forca e

F = − d

dzV (z) = 2πGmρ0a

(z√

R2 + z2− 1

).

3.4. POTENCIAL GRAVITACIONAL DE UMA CASCA ESFERICA 25

3.4 Potencial gravitacional de uma casca esferica

Considere uma casca esferica com raio interno a e raio externo b.a. Calcule o potencial gravitacional no interior da esfera, dentro do material da casca e fora daesfera. (Ajuda: Substituir a distancia entre a partıcula de prova m e um ponto da distribuicaode massa e fazer uma distincao de casos para as limites de integracao para essa variavel dedistancia.)b. Calcule a forca sobre uma partıcula de prova.c. Especifica agora para uma esfera macica.d. Especifica para uma casca esferica muito fina.

Solucao: a. O potencial exercido por uma distribuicao de massa com a densidade ρ(~r′) sobreuma partıcula de massas m localizada n aposicao ~r e,

V (~r) = −∫ρ(~r′)

Gm

|~r − ~r′|d3~r′ = −

∫casca

ρ0Gm

|~r − ~r′|r′2 sin θ′dr′dθ′dφ′ .

Substituindo

R ≡ |~r − ~r′| =√r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′

dR

dθ′=rr′ sin θ′

R,

obtemos

V (~r) = −∫casca

ρ0Gmr′

rdRdr′dφ′ =

2πρ0Gm

r

∫ b

a

∫ Rmax

Rmin

r′dRdr′ .

As limites de integracao seguem dos valores adotadas por R para θ = 0 resp. θ = π. Para r ≤ atemos que r′ sempre e maior do que r. Portanto, R = r′ − r, .., r′ + r. Para b ≤ r temos que r′

sempre e menor do que r. Portanto, R = r − r′, .., r′ + r.

V (~r) = −2πρ0Gm

r

∫ ba 2rr′dr′∫ b

r 2rr′dr′ +∫ ra 2r′2dr′∫ b

a 2r′2dr′para

r ≤ a

a ≤ r ≤ bb ≤ r

.

O resultado e

V (~r) = −2πρ0Gm

b2 − a2

b2 − 13r

2 − 23a3

r23b3−a3

r

para

r ≤ a

a ≤ r ≤ bb ≤ r

.

b. A forca segue de

~F = −~∇V (~r) = er∂

∂rV (~r) = er2πρ0Gm

0

23a3

r2 − 23r

−23b3−a3

r2

para

r ≤ a

a ≤ r ≤ bb ≤ r

.

c. Aplicando o resultado do potencial para numa esfera macica (a = 0 e M = ρ0V = ρ04πb3

3 )temos,

V (~r) = −GMm

r

{3r2b −

r3

2b3

1para

{r ≤ bb ≤ r .

26 CAPITULO 3. GRAVITACAO

Aplicando o resultado da forca para numa esfera macica,

~F = −erGMm

r2

{MrM1

para

{r ≤ bb ≤ r ,

onde Mr ≡ 4πρ0r3/3. d. Calculamos agora o potencial para numa casca fina, ρ(~r′) = ρ0 =

σ0δ(r′ − b) e M = σ04πb2. Temos,

V (~r) = −2πρ0Gm

r

{∫ b0 2rr′dr′∫ b0 2r′2dr′

para

{r ≤ bb ≤ r

= −2πσ0b2Gm

r

{2br2b2

para

{r ≤ bb ≤ r

= −GMm

r

{rb1

para

{r ≤ bb ≤ r .

Aplicando o resultado da forca para numa casca fina,

~F = −erGMm

r2

{01

para

{r ≤ bb ≤ r .

42 CAPITULO 3. GRAVITACAO

3.17 (F2.11.1) Potencial gravitacional dentro da Terra

Calcule a forca gravitacional que uma partıcula de massa m fica sujeita quando colocada nointerior da Terra, a uma distancia r de seu centro.

Solucao: a. O potencial exercido por uma distribuicao de massa com a densidade ρ(~r′) sobreuma partıcula de massas m localizada n aposicao ~r e,

V (~r) = −∫ρ(~r′)

Gm

|~r − ~r′|d3~r′ = −

∫esfera

ρ0Gm

|~r − ~r′|r′2 sin θ′dr′dθ′dφ′ .

Substituindo

R ≡ |~r − ~r′| =√r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′

dR

dθ′=rr′ sin θ′

R,

obtemos

V (~r) = −∫esfera

ρ0Gmr′

rdRdr′dφ′ =

2πρ0Gm

r

∫ b

0

∫ Rmax

Rmin

r′dRdr′ .

As limites de integracao seguem dos valores adotadas por R para θ = 0 resp. θ = π. Para r ≤ atemos que r′ sempre e maior do que r. Portanto, R = r′ − r, .., r′ + r. Para b ≤ r temos que r′

sempre e menor do que r. Portanto, R = r − r′, .., r′ + r.

V (~r) = −2πρ0Gm

r

{∫ br 2rr′dr′ +

∫ r0 2r′2dr′∫ b

0 2r′2dr′para

{r ≤ bb ≤ r .

O resultado e usando as relacoes M ≡ 4πρ0b3/3 e g ≡ GM/b2

V (~r) = −2πρ0Gm

{b2 − 1

3r2

2b3

3r

para

{r ≤ bb ≤ r

= −GMm

b

{32 −

r2

2b2br

para

{r ≤ bb ≤ r

= −mg

{3b2 −

r2

2bb2

r

para

{r ≤ bb ≤ r .

b. A forca segue de

~F = −~∇V (~r) = er∂

∂rV (~r) = −er

{GMmrb3

GMmr2

para

{r ≤ bb ≤ r

= −er

{gmrb

gmrb2

r2

para

{r ≤ bb ≤ r .

44 CAPITULO 3. GRAVITACAO

3.19 (F2.11.3) Esfera macica com cavidade esferica

Faz-se uma cavidade esferica numa esfera de chumbo de raio R tal que sua superfıcie toquea superfıcie externa da esfera macica e passe pelo centro dessa. A massa primitiva da esferade chumbo e M . Qual sera a forca que a esfera com a cavidade atraira uma massa m a umadistancia d do centro da esfera externa, de modo que a massa e o centro da esfera e da cavidadeestejam alinhados? (Questao retirada do exame olımpico da Universidade Estatal de Moscow(1946)).

Solucao: O potencial dessa construcao e

V (~r) = −Gρ0m

∫constr

1

|~r − ~r′|dV ′ = −Gρ0m

∫esfera

1

|~r − ~r′|dV ′ +

Gρ0m∫cavidade

1

|~r − ~r′|dV ′

= Vesfera(~r)− Vcavidade(~r −~R2 )

= −GMm

R

(3

2− r2

2R2

)+GMm

R/2

(3

2−

(~r − ~R2 )2

2(R/2)2

)

=GMm

2R

(3 +

r2

R2− 2(2~r − ~R)2

).

3.20. (F2.11.4) ATALHO EVITANDO A TERRA 45

3.20 (F2.11.4) Atalho evitando a Terra

Mostrar que num tunel cavado atraves da Terra, ao longo de uma corda e nao ao longo de umdiametro, o movimento de um objeto sera harmonico simples.

Solucao: Dentro de uma esfera macica a forca de gravitacao e

~F =GMmr

b3er .

Seguinte a lei de Hooke a propocionalidade F ∝ r produz um movimento harmonico.

46 CAPITULO 3. GRAVITACAO

3.21 (F2.11.5) Forca gravitacional dentro de uma casca

Mostrar atraves de argumentos geometricos que uma partıcula de massa m colocada no interiorde uma casca esferica de densidade uniforme de massa fica sujeira a uma forca nula, qualquerque seja a posicao da partıcula. O que aconteceria se a densidade superficial de massa nao fosseconstante?

Solucao: Usando coordenadas esfericas, podemos dividir a casca esferica em elementos de massadm = σR2 sin θdθdφ, tal que∫

dm =

∫ 2π

0

∫ π

0σR2 sin θ′dθ′dφ′ = 4πR2σ = M .

Cada elemento de massa gera um campo gravitacional no lugar ~r dentro da casca de

~g(~r) = −GMr2

er .

Portanto, para cada elemento de massa centrado na posicao θ′, φ′ existe um elemento centradona posicao oposta π−θ′, π+φ′ tendo o mesmo angulo solido e exercindo uma forca de intensidadeigual mas direcao oposta.

3.22. (F2.11.6) MOVIMENTO BALISTICO 47

3.22 (F2.11.6) Movimento balıstico

Considere o movimento de um mıssel intercontinental, lancado segundo inclinacao θ0 comomostrado na figura, com velocidade v0, na posicao indicada. Calcule a trajetoria do corpo.

Gravitação

S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas

222

6- Considere o movimento de um míssel intercontinental, lançado segundo

inclinação θ0 como mostrado na Fig. 11.4, com velocidade v0, na posição

indicada. Calcule a trajetória do corpo.

Fig. 11.4

7- Três corpos idênticos de massa M estão localizados nos vértices de um

triângulo eqüilátero de lado L. A que velocidade eles devem mover-se se

todos giram sob a influência da gravidade mútua, em uma órbita circular

que circunscreve o triângulo, mantido sempre eqüilátero?

8- Considere um anel maciço de raio R e massa M. Colocamos uma partícula

de massa m a uma distância d do plano do anel de modo que quando solto

o corpo tem trajetória sobre a reta perpendicular ao plano do anel

passando pelo centro do mesmo. Calcule o movimento do corpo de massa

m (<<M).

9- Um corpo de massa m é colocado a uma distância r0 do centro de um

planeta de massa M e raio R. Calcule a velocidade como função de r.

10- Considere duas massas m e 2m com atração gravitacional. Com que

velocidade angular elas devem rodar tal que a distância d entre elas fique

constante?

11- Um corpo de massa m é colocado a uma distância r0 do centro de um

planeta de massa M e raio R. Calcule a energia potencial para 0 ≤ r ≤ ∞.

Suponha que a densidade de massa do planeta seja uniforme e que a massa

R α0

x

θ0 y v0

Figura 3.2:

Solucao:

48 CAPITULO 3. GRAVITACAO

3.23 (F2.11.7) Rotacao de tres corpos

Tres corpos identicos de massa M estao localizados nos vertices de um triangulo equilatero delado L. A que velocidade eles devem mover-se se todos giram sob a influencia da gravidademutua, em uma orbita circular que circunscreve o triangulo, mantido sempre equilatero?

Solucao: Com a distancia r de cada corpo do ponte de origem, a distancia entre os corpos eL = 2r cos 60◦

2 = r√

3. A forca centripeta que deve agir sobra uma das tres massa e

~F1 = −Mv2

rer .

A forca de gravitacao entre os corpos e

~F12 = −GMM

L2e12 .

O equilıbrio demanda ~F1 = ~F12 + ~F13. Portanto,

−Mv2

r= −2

GMM

L2cos 60◦

2 ,

o que da

v =

√GM

L.