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  • CAPITULO 6

    Modelos ARMA para la Componente Aleatoria

    6.1. Introduccion

    En los modelos de descomposicion Yt = Tt + St + t, t = 1, 2, . . . se estima t y se

    determina si es o no ruido blanco mediante las pruebas Ljung-Box y Durbin-Watson. En

    caso de encontrar que t no es ruido blanco, el siguiente paso es modelar esta componente

    mediante tres posibles modelos

    1. Medias Moviles de orden q, MA(q).

    2. Autoregresivos de orden q, AR(p).

    3. Medias Moviles Autoregresivos,ARMA(p, q).

    Los tres modelos varan en su capacidad de capturar distintos tipos de

    comportamiento de autoregresion. Comenzaremos dando las caractersticas

    de las funciones de autocorrelacion y cantidadades relacionadads con cada

    modelos, estas no tiene nada que ver con datos ni estimacion pero son fun-

    damentales para desarrollar una comprension basica de las propiedades de

    los modelos necesarios para llevar a cabo pronosticos inteligentes. Diebold

    [1999, pag. 129]

    89

  • 90

    6.2. Procesos de Medias Moviles de orden q

    Definicion 6.2.1 (El Operador de Rezago). Se denota por L (lag, en ingles) y es tal que

    L(Yt) = Yt1. Es decir, L opera sobre una serie rezagandola un perodo hacia atras. De

    igual manera L(Yt1) = Yt2, luego L(L(Yt)) = L2(Yt) = Yt2 y en general L

    p(Yt) =

    Ytp. Se define tambien L0 = I , el operador identidad.

    Un polinomio de grado p en el operador L se define como el operador formado por una

    combinacion lineal de potencias de L

    BP (L) = 0 + 1L+ 2L2 + + pLp, (6.1)

    tal que

    BP (L)(Yt) = (0 + 1L+ 2L2 + + pLp)Yt,

    =

    p

    j=0

    jLjYt,

    =

    p

    j=0

    jYtj ,

    = 0Yt + 1Yt1 + 2Yt2 + + pYtp.

    Definicion 6.2.2 (Proceso MA(q)). Se dice que una serie Yt sigue un procesoMA(q), q =

    1, 2, . . . de media movil de orden q, si se cumple que

    Yt = t + 1t1 + + qtq , t Z, (6.2)

    donde t RB(0, 2). La expresion con el operador L es, si se define el polinomio

    q(L) = 1 + 1L+ + qLq, (6.3)

    entonces la ecuacion (6.2) se expresa

    Yt = q(L)(t). (6.4)

    6.2.1. Propiedades

    1. E(Yt) = 0

    2. V ar(Yt) = (1 + 21 + + 2q)2

  • 91

    luego V ar(Yt) > V ar(t), en general.

    3. Cov(Yt, Yt+k) = R(k), donde

    R(K) =

    2qk

    j=0

    jj+k , k < q + 1

    0, k q + 1(6.5)

    con 0 = 1.

    4. Un MA(q) siempre es un proceso estacionario con fac, (k) = R(k)R(0)

    .

    Interpretacion de 3. Un MA(q) es un proceso debilmente correlacionado. Se puede ver

    como una alternativa a un Ruido Blanco completamente incorrelacionado.

    Ejemplo 6.2.1. Sea Yt MA(2) dado por

    yt = t 1t1 + 2t2, t i.i.d. N (0, 9), t Z,

    con

    1 = 0.4, 2 = 0.4, 2 = 9,

    entonces

    R(0) =(1 + 0.42 + 0.42

    )9 = 11.88

    R(1) = 9

    21

    j=0

    jj+1 = 9(01 + 12)

    = 9( 0.4 + (0.4)(0.4)

    )= 5.04

    R(2) = 9

    22

    j=0

    jj+2 = 9(02) = 9(0.4) = 3.6.

    Entonces la FAC es

    (0) = 1, (1) = 5.0411.88

    = 0.42, (2) = 3.611.88

    (3) = (4) = = 0

  • 92

    0 1 2 3 4

    0.4

    0.2

    0.00.2

    0.40.6

    0.81.0

    True ACF

    Lag

    True A

    CF

    Figura 6.1: Funcion de Autocorrelacion.

    Ejercicio 6.2.1. Encuentre la FAC de

    1. Yt = t 0.5t1 0.5t2.

    2. Yt = t + 0.6t1 0.3t2 0.1t3.

    Conclusion De acuerdo con (6.5), si la fac muestral de una serie Yt termina abruptamente

    puede tratarse de unMA(q). Por ejemplo, en la siguiente grafica 6.2 sera factible un modelo

    MA(3).

    0 5 10 15

    0.0

    0.4

    0.8

    Lag

    ACF

    Series MA.3

    Figura 6.2: FAC muestral de un MA(3).

    Definicion 6.2.3 (Funcion de Autocorrelacion Parcial (facp)). Suponga que (Yt, t Z)es estacionaria. La facp es una funcion de k, (k), k = 1, 2, . . . definida por

    1. (1) = (1)

    2. (k) = Corr(1, k) donde

    1 = Y1 E(Y1|Y2, . . . , Yk1)k = Yk E(Yk|Y2, . . . , Yk1), k = 2, . . .

  • 93

    Y la facp muestral se define por (k)

    1. (1) = (1)

    2. (2) : se regresa Yt sobre Yt1 y Yt2 tal que Yt = 21Yt1 + 22Yt2 + t entonces

    (2) = 22

    3. (k) : se regresa Yt sobre Yt1, . . . , Ytk tal que Yt = k1Yt1 + +kkYtk + tentonces (k) = kk

    La facp de un proceso Yt MA(q) se puede encontrar si se asume la condicion deinvertibilidad para un MA(q)

    6.2.2. Condicion de Invertibilidad del Proceso MA(q)

    Definicion 6.2.4. Dado un proceso MA(q), Yt = q(L)(t) donde q(L) = 1+1L+2L2+

    + qLq, entonces considerando el polinomio en z C, q(z) = 1 + 1z + + qzq ysus q races (z1, z2, . . . , zq) C, es decir, valores z C tales que q(z) = 0, se dice que elproceso Yt es invertible si se cumple

    |zj| > 1, j = 1, . . . , q, (6.6)

    o tambien, si q(z) 6= 0, z, |z| 1. Note que (6.6) es equivalente a

    1

    |zj|< 1, j = 1, . . . , q

    es decir, los inversos de las races deben caer dentro del crculo unitario complejo.

    Ejemplo 6.2.2. Sea Yt MA(a) tal que

    Yt = t 0.4t1 + 0.4t2, (6.7)

    veamos si Yt es invertible. Hallamos las races del polinomio q(z)

    2(z) = 1 0.4z + 0.4z2 = 0,

    z =0.4

    0.42 4(0.4)(1)2(0.4)

    =1

    2 1

    2

    10

    4

    4

    10

    4

    10 4 = 1

    2 1

    2

    10

    2

    36

    10

    =1

    2 1

    2

    10

    2

    36

    10i =

    1

    2 3

    2i

  • 94

    por tanto

    |z| =

    (1

    2

    )2+

    (3

    2

    )2=

    1

    4+ 9 > 1,

    luego Yt es invertible.

    6.2.3. Funcion facp de un Proceso MA(q) invertible

    Suponga un proceso Yt MA(q) invertible,

    Yt = q(L)(t). (6.8)

    Considere q(z) = 1+ 1z+ + qzq entonces q(z) 6= 0, |z| 1, luego la funcion 1q(z)tiene desarrollo es serie de Taylor alrededor de z = 0, dado por

    1

    q(z)= 1 + 1z + 2z

    2 + . . . =

    j=0

    jzj, 0 = 1, (6.9)

    con

    j=0 2

  • 95

    0 5 10 15 20

    0.0

    0.4

    0.8

    True ACF

    Lag

    True

    AC

    F

    (a) FAC

    5 10 15 20

    0.

    20.

    20.

    61.

    0

    True PACF

    Lag

    True

    PA

    CF

    (b) FACP

    Figura 6.3: FAC y FACP de un MA(3).

    6.2.4. Implementacion en R

    En R para identificar se usan las funciones acf y pacf y para estimar una de las funciones

    usadas es arma de la librera tseries.

    Ejemplo 6.2.3. library(forecast,tseries)

    n = 300

    theta = c(-1,-0.4,-0.4)

    (Mod(polyroot(theta)))

    y = arima.sim(list(order=c(0,0,2), ma=theta[2:3]), n=n, sd=sqrt(2.3))

    layout(1:3)

    ts.plot(y)

    acf(y,30)

    pacf(y,30)

    # Estimacion: Funcion arma librera tseries

    modelo.y = arma(x=y, order=c(0,2))

    summary(modelo.y)

  • 96

    0 5 10 15 20 25 30

    0.0

    0.6

    Lag

    AC

    F

    Series y

    (a) FAC

    5 10 15 20

    0.1

    0.2

    0.4

    Lag

    Pa

    rtia

    l A

    CF

    Series y

    (b) FACP

    Figura 6.4: FAC y FACP del Ejemplo.

    pred.y = predict(modelo.y, n.ahead=2)

    plot(seq(1,9,1), c(tail(y), pred.y$pred), type=b)

    points(seq(7,9,1), pred.y$pred, type=b, col=red)

    6.3. Procesos Autoregresivos de Orden p, AR(p)

    Definicion 6.3.1 (Proceso AR(p)). Se dice que Yn, n Z sigue un proceso AR(p) si

    Yn = 1Yn1 + 2Yn2 + + pYnp + n, (6.12)

    donde n RB(0, 2). Usando el operador de rezago L se puede escribir (6.12) como

    p(L)(Yn) = n, (6.13)

    con p(z) = 1 1z + 2z2 + + pzp, z C, el polinomio autorregresivo.

    Condicion Suficiente para que un AR(p) sea Estacionario

    La condicion suficiente para que Yt AR(p) sea estacionario en covarianza es que las praces del la ecuacion p(z) = 0, z1, z2, . . . , zp cumplan

    |zi| > 1 (6.14)

    donde p(z) es el polinomio caracterstico del AR(p) definido por

  • 97

    p(z) = 1 1z 2z2 pzp, z C, (6.15)

    Notese que si zj = aj ibj entonces |zj| =a2j + b

    2j . La condicion (6.14) no es, sin

    embargo, necesaria. En palabras, la condicion (6.14) se describe como para que un proceso

    autoregresivo de orden p sea estacionario en covarianza, es suficiente que las races del

    polinomio autorregresivo esten por fuera del crculo unitario. El crculo unitario aparece en

    la Figura 6.5. En esta figura se observa la posicion de la raz zj y su conjugado zj .

    Figura 6.5: Crculo Unitario

    6.3.1. Algunas Propiedades de los Procesos AR(p) Estacionarios

    Proposicion 6.3.1. Para un proceso Yt AR(p), definido en (6.12), se tieneE(Yt) = 0.

    Demostracion. Si Yt es estacionario en covarianza entonces E(Yt) = . Ademas,

    E(Yt) = 1E(Yt1) + 2E(Yt2) + + pE(Ytp) + 0,

    pero todas las esperanzas son luego

    = 1+ 2+ + p.

    Si 6= 0 entonces

    1 = 1 + + p

    por tanto

    p(1) = 0

  • 98

    lo cual es una contradiccion (), ya que z C, |z| 1 entonces

    p(z) 6= 0.

    luego debe tenerse que = 0, es decir, el proceso definido en (6.12) es de media cero.

    Un proceso Yt AR(p) con E(Yt) = 6= 0 se define como

    p(L)(Yt) = 0 + t, (6.16)

    donde

    0 = p(L)()

    = (1 1 2 p).

    Notese que tambien se puede escribirYt = (11 p)+1Yt1+ +pYtp+t,de donde Yt = 1(Yt1 ) + + p(Ytp ) + t. Es decir, el proceso (Yt )es AR(p) de media cero.

    La Funcion de Autocovarianza de los Procesos AR(p)

    La funcion de autocovarianza de un proceso Yt AR(p) estacionario en covarianza, R(k)se puede calcular resolviendo una ecuacion recursiva lineal denominada, en plural, las

    ecuaciones de YuleWalker.

    Proposicion 6.3.2. Suponga un proceso AR(p), Yn =p

    j=1 jYnj + t, que