Processos ARMA Exemplos - Departamento de Economia

Processos ARMAExemplos

Series Temporais e Modelos Dinamicos em

Econometria

Marcelo C. Medeiros

Departamento de EconomiaPontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro

Aula 4

Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos


MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade

O Processo Media-Movel

Muitas vezes, a estrutura auto-regressiva nao e suficiente paradescrever totalmente a dinamica induzida por modeloseconomicos.

Por exemplo, vamos considerar o seguinte modelo:

yt = β0 + β1xet+1 + ut ,

onde xet+1 e a previsao (subjetiva) para xt+1 feita pelosagentes no instante t e ut e o erro do modelo eut ∼ IID(0, σ2).

Vamos supor que as expectativas sejam definidas por meio daseguinte regra (expectativas adaptativas):

xet+1 = λxet + (1− λ)xt , 0 ≤ λ ≤ 1.




O Processo Media-Movel

Portanto,

(1− λL)xet+1 = (1− λ)xt

xet+1 =(1− λ)

(1− λL)xt .

e

yt = β0 + β1(1− λ)

(1− λL)xt + ut

(1− λL)yt︸︷︷︸

Componente Auto-regressivo

= β0(1−λ)+β1(1−λ)xt+ ut − λut−1︸︷︷︸

Processo Media Movel

.

O modelo acima e uma caso particular de um modelo ARMAcom defasagens distribuıdas.




Processos ARMA com Defasagens Distribuıdas

O Processo ARMA(p,q)

Um processo yt e chamado de processo auto-regressivo mediamovel de ordem (p, q), ARMA(p,q), se:

yt = α0 + α1yt−1 + · · ·+ αpyt−p + θ1ut−1 + · · · + θqut−q

+ ut ,

αp(L)yt = α0 + θq(L)ut ,

onde α0, α1, . . . , αp, θ1, . . . , θq sao parametros e ut e tal que

E(ut |Ft−1) = 0

E(u2t |Ft−1) = σ2





O Processo MA(q)

Um processo yt e chamado de processo media movel de ordemq, MA(q), se:

yt = µ+ θ1ut−1 + · · ·+ θqut−q + ut ,

yt = µ+ θq(L)ut ,

onde θ1, . . . , θq sao parametros e ut e tal que

E(ut |Ft−1) = 0

E(u2t |Ft−1) = σ2





O Processo MA(∞)

Um processo yt e chamado de processo MA(∞), se:

yt = µ+

∞∑

j=0

ψjut−j

yt = µ+ ψ∞(L)ut ,

onde ψ0 = 1, ψ1, . . . sao parametros e ut e tal que

E(ut |Ft−1) = 0

E(u2t |Ft−1) = σ2





Sera utilizada a letra grega ψ ao inves de θ para representaros parametros do processo MA(∞).

Teorema: Se∑

∞

j=0 ψ2j <∞, entao o processo MA(∞) e

estacionario de segunda ordem.

Teorema: Se∑

∞

j=0 |ψj | <∞, entao o processo MA(∞) eergodico para media.





O Processo AR(p)

Um processo yt e chamado de processo auto-regressivo deordem p, AR(p), se:

yt = α0 + α1yt−1 + · · ·+ αpyt−p + ut ,

αp(L)yt = α0 + ut ,

onde α0, α1, . . . , αp sao parametros e

E(ut |Ft−1) = 0

E(u2t |Ft−1) = σ2





O Processo ARMA com Defasagens Distribuıdas

Um processo yt e chamado de processo ARMA com defasagensdistribuıdas, ARMADL, se:

yt = α0 + α1yt−1 + · · ·+ αpyt−p + β′

0xt + · · ·+ β′

pxt−p

+ θ1ut−1 + · · ·+ θqut−q + ut ,

αp(L)yt = α0 + βp(L)′xt + θq(L)ut ,

onde α0, α1, . . . , αp, θ1, . . . , θq, β0, . . . ,βp, sao parametros e

E(ut |Ft−1) = 0

E(u2t |Ft−1) = σ2




Processos MA – Momentos

Media

E[yt ] = E[µ] +

q∑

j=1

θjE[ut−j ] + E[ut ] = µ

Variancia

V[yt ] = E[(yt − µ)2

]

= E[(θ1ut−1 + · · ·+ θqut−q + ut)

2]

= E[u2t]+

q∑

j=1

θ2j E[u2t−j

]

= σ2

1 +

q∑

j=1

θ2j




Processos MA – Momentos

Autocovariancia – COV(yt , yt−k)

γk = E[(yt − µ)(yt−k − µ)]

= E

ut +

q∑

j=1

θjut−j

×

ut−k +

q∑

j=1

θjut−k−j

=

σ2(θk + θk+1θ1 + · · ·+ θqθq−k) se 0 < k ≤ q

0 k > q.

Autocorrelacao

ρk =

(θk+θk+1θ1+···+θqθq−k )

1+θ21+θ22+···+θ2qse 0 < k ≤ q

0 k > q.




Processos MA(∞) – Momentos

Media:E[yt ] = µ.

Variancia:

V(yt) = σ2 limT→∞

T∑

j=0

ψ2j

.

Autocovariancia:

γk = σ2

∞∑

j=0

ψk+jψj

.




Processos AR(p) – Momentos

Processo AR(1):

yt = φ0 + φ1yt−1 + ut

Por substituicao recursiva

y1 = φ0 + φ1y0 + u1

y2 = φ0 + φ1y1 + u2 = φ0(1 + φ1) + φ21y0 + φ1u1 + u2

y3 = φ0(1 + φ1 + φ21) + φ31y0 + φ21u1 + φ1u2 + u3

...

yt = φ0

t−1∑

i=0

φi1 + φt1y0 +

t−1∑

i=0

φi1ut−i




Processos AR(1) – Momentos

Media

E[yt ] = φ0

t−1∑

i=0

φi1 + φt1E[y0]

Variancia

V[yt ] = φ2t1 V[y0] + σ2t−1∑

i=0

φ2i1

=

φ2t1 V[y0] + σ21−φ2t

1

1−φ21

se |φ1| 6= 1

V[y0] + σ2t se |φ1| = 1.





Autocovariancia – COV(yt , yt−k)

γk =

φ2t−k1 V(y0) + σ2φk1

∑t−1−k

i=0 φ2i1 se k ≥ 0

φ2t−k1 V(y0) + σ2φ

|k|1

∑t−1i=0 φ

2i1 se k < 0

Se |φ1| 6= 1

γk =

φ2t−k1 V[y0] + σ2φk1

1−φ2(t−k)1

1−φ21

se k ≥ 0

φ2t−k1 V[y0] + σ2φ

|k|1

1−φ2t1

1−φ21

se k < 0





Teorema

O processo yt sera estacionario de segunda ordem se, e somentese, |φ0| = 0, |φ1| < 1 e Y0 for uma variavel aleatoria com media 0

e variancia σ2

(1−φ21).

Prova:1 E[yt ] = 0 ⇒ Independente de t!2 V[yt ] =

σ2

1−φ21⇒ Independente de t!

3 γk = σ2 φ|k|1

1−φ21⇒ Independente de t!





Caso |φ1| < 1 o processo sera assintoticamente estacionario sey0 tiver media e variancia finitas. Neste caso,

1 E[yt ] →φ0

1−φ1

2 V[yt ] →σ2

1−φ21

3 γk → σ2 φ|k|1

1−φ21





Considere o processo AR(p)

yt = φ0 + φ1yt−1 + · · ·+ φpyt−p + ut

Quais sao as condicoes de estacionariedade (assintotica) parao processo AR(p)?

Considere φ0 = 0. Logo,

Yt = FtY0 +

t−1∑

i=0

Fiut−i ,

onde:

Yt =

ytyt−1

...yt−p+1

, F =

φ1 φ2 φ3 · · · φp

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 0...

.... . . · · ·

...0 0 · · · 1 0

, ut =

ut0...0





Se os autovalores λ1, . . . , λp da matriz F forem menores que 1em modulo entao o processo AR(p) sera assintoticamenteestacionario de segunda ordem.

De forma equivalente se as raızes do polinomio

1− φ1z − φ2z2 − · · · − φpz

p = 0

forem maiores que 1 em modulo, entao o processo AR(p) seraassintoticamente estacionario de segunda ordem.





Caso particular: AR(2)As condicoes de estacionariedade para o processo AR(2) sao:

1 φ1 + φ2 < 1

2 φ2 − φ1 < 1

3 |φ2| < 1





Media

E[yt ] = φ0 +

p∑

i=1

φiE[yt−i ]

Se o processo for estacionario de segunda ordem

E[yt ] = E[yt−1] = E[yt−2] = · · · = E[yt−p] = µ

Logo,

µ = φ0 +

p∑

i=1

φiµ =φ0

1−∑p

i=1 φi





Autocovariancias (k 6= 0)

γk =

p∑

i=1

φiγk−i

Variancia

γ0 =

p∑

i=1

φiγi + σ2




Representacao MA(∞) de processos AR

Considere um processo AR(1)

yt = φ0 + φ1yt−1 + ut ,

onde |φ1| < 1.Considerando que o processo teve inıcio infinitamente nopassado, o processo AR(1) pode ser escrito como

yt =φ0

1− φ1+ ut + φ1ut−1 + φ21ut−3 + · · ·

=φ0

1− φ1+

∞∑

i=0

φi1ut−i

︸︷︷︸

Representacao MA(∞)⇓

ψi = φi1 ⇒∑∞

i=0 |ψi | <∞





De forma equivalente o processo AR(1) pode ser escrito como

(1− φ1L)yt = φ0 + ut ,

onde |φ1| < 1.

O operador defasagem L possui uma propriedade muitoimportante:

Se |φ1| < 1 entao

(1− φ1L)−1 = (1 + φ1L+ φ21L

2 + φ31L3 + · · · )

Se |φ1| > 1 entao

(1− φ1L)−1 =− φ−1

1 L−1

× (1 + φ−11 L−1 + φ−2

1 L−2 + · · · )





Resultado Importante

Um processo AR(p) estacionario de segunda ordem pode serrepresentado por um processo MA de ordem infinita.

Importante para estimacao.




Representacao AR(∞) de processos MA

Considere o processo MA(1): yt = µ+ θ1ut−1 + ut .

Por substituicao recursiva

(yt − µ) =ut + θ1(yt−1 − µ)− θ21(yt−2 − µ)− · · ·

− (−1)t−1θt−11 (y1 − µ) + (−1)tθt1u0.

Se |θ1| < 1 e se o processo teve inıcio infinitamente nopassado, entao

yt = µ

[

1−

∞∑

i=1

(−1)iθi1

]

︸︷︷︸

φ0

−

∞∑

i=1

(−1)iθi1yt−i + ut

O que acontece quando |θ1| > 1? E quando |θ1| = 1?




Representacao AR(∞) de processos MA

Considere o processo MA(q)

yt = µ+ θ1ut−1 + · · ·+ θqut−q + ut .

Se as raızes do polinomio

1 + θ1z + θ2z2 + · · ·+ θqz

q = 0

estiverem todas fora do cırculo unitario, o processo MA(q)possui uma representacao AR(∞).



Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011

Um Modelo Simples de Transmissao Monetaria

Considere o modelo de transmissao monetaria visto na Aula 1:

πt = λyt + πet + u1t , 0 < λ < 1

yt = γ (it−1 − πet ) + u2t , −1 < γ < 0

πet = πt−1

it = i∗ + ρ (πt − π∗) , ρ ≥ 0,

onde ut = (u1t , u2t)′ ∼ NID(0,Ω), πt e a inflacao, yt e o

hiato do produto, πet e a expectativa de inflacao para oinstante t feita em t − 1, it e a taxa de juros nominal, i∗ e ataxa de juros de equilıbrio e π∗ e a meta de inflacao.

As equacoes acima definem um modelo estrutural parazt = (πt , yt , it , π

et )

′.





Pelo modelo anterior a inflacao e “gerada” a partir doseguinte processo AR(1):

πt = λγ (i∗ − ρπ∗) + [γλ(ρ− 1) + 1]πt−1 + λu2,t + u1t

πt = φ0 + φ1πt−1 + v1t ,

onde v1t ∼ NID(0, λ2ω22 + ω11) (supondo que ω12 = 0!).

Ja vimos que para a inflacao ser estacionaria precisamos que|φ1| = |γλ(ρ− 1) + 1| < 1.





Alguns casos importantes (lembre-se que −1 < γλ < 0 peladefinicao do modelo):

1 ρ = 0 ⇒ φ1 = −γλ+ 1 > 1 ⇒ Inflacao explosiva!2 0 ≤ ρ < 1 ⇒ φ1 > 1 ⇒ Inflacao explosiva!3 ρ = 1 ⇒ πt = φ0 + πt−1 + v1t ⇒ Inflacao segue um passeio

aleatorio!4 1 < ρ ≤ γλ−1

γλ> 0 ⇒ 0 ≤ φ1 < 1 ⇒ Inflacao e estacionaria e

persistente.5

γλ−1γλ

< ρ < γλ−2γλ

⇒ −1 < φ1 < 0 ⇒ Inflacao estacionaria eanti-persistente.

6 ρ ≥ γλ−2γλ

⇒ φ1 ≤ −1 ⇒ Inflacao nao e estacionaria.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5γ=−0.5 e λ=0.5

ρ

φ 1





0 5 10 15 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Defasagem

FAC

FAC

ρ=2ρ=3ρ=4





0 5 10 15 20

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Defasagem

FAC

FAC

ρ=8ρ=7ρ=6





Considere o modelo estrutural[1 −λ0 1

] [πtyt

]

=

[0

γ (i∗ − ρπ∗)

]

+

[1 0

γ(ρ− 1) 0

] [πt−1

yt−1

]

+

[u1tu2t

]

.

O modelo sera estacionario se os autovalores da matriz

C1 =

[1 −λ0 1

]−1 [1 0

γ(ρ− 1) 0

]

=

[1 + λγ(ρ− 1) 0γ(ρ− 1) 0

]

forem menores do que 1 em modulo.

A condicao acima sera atendida se |1 + λγ(ρ− 1)| < 1.





Vamos calcular a resposta da inflacao em t + h (e do hiato)ao choque estrutural no hiato (na inflacao).

Para tal precisamos encontrar os elementos (1, 2) e (2, 1) damatriz

[1 −λ0 1

]−1 [1 + λγ(ρ− 1) 0γ(ρ− 1) 0

]h

.





0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

h

FRI

FRI − ρ=2, γ=−0.5 e λ=0.5

Choque em u

2t, reposta em π

t+h

Choque em u1t

, reposta em yt+h




IPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011




IPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011

0 5 10 15 20

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

defasagem

fac

FAC − IPCA

Autocorrelações estimadas fora do intervalo determinado pelas linhasazuis são estatísticamente significantes ao nível de 95%




IPCA e Hiato - janeiro de 1999 ate abril de 2011

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

HIATO -> HIATO

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

IPCA -> HIATO

-.1

.0

.1

.2

.3

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

HIATO -> IPCA

-.1

.0

.1

.2

.3

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

IPCA -> IPCA

Função de Resposta ao Impulso


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