RESTRIÇÕES DE MODELOS INFLACIONÁRIOS EXPONENCIAL ... · Restrições de modelos inflacionários:...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

RESTRIÇÕES DE MODELOS INFLACIONÁRIOS β-EXPONENCIALUTILIZANDO DADOS DA RADIAÇÃO CÓSMICA DE FUNDO

MARIA APARECIDA DOS SANTOS

NATAL-RN

JULHO-2018

MARIA APARECIDA DOS SANTOS

RESTRIÇÕES DE MODELOS INFLACIONÁRIOS β-EXPONENCIALUTILIZANDO DADOS DA RADIAÇÃO CÓSMICA DE FUNDO

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação

em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito

parcial para a obtenção do grau de Doutor em Física.

Orientador: Dr. Raimundo Silva Júnior

NATAL-RN

JULHO-2018

Santos, Maria Aparecida Dos. Restrições de modelos inflacionários: exponencial utilizandodados da radiação cósmica de fundo / Maria Aparecida Dos Santos.- 2018. 93f.: il.

Tese (Doutorado)-Universidade Federal do Rio Grande do Norte,Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduaçãoem Física, Natal, 2018. Orientador: Dr. Raimundo Silva Júnior.

1. Campos Escalares - Tese. 2. Cosmologia Inflacionária -Tese. 3. Radiação Cósmica de Fundo - Tese. I. Silva Júnior,Raimundo. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 524.8

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Elaborado por Raimundo Muniz de Oliveira - CRB-15/429

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, por está sempre presente em minha vida.

Agradeço à minha família.

Ao Prof. Raimundo Silva Júnior, meu orientador, pela paciência, dedicação e competência

me ajudando a traçar rumos para este estudo.

Ao Professores Jailson Alcaniz e Claúdio Bastos pelo acolhimento e colaboração junto ao

grupo de pesquisa do Observatório Nacional.

A Profa. Micol Benetti pela grande contribuição no processo de realização deste trabalho

e, principalmente no incentivo e apoio pessoal a mim prestados.

Ao Prof. Francisco de Assis de Brito pela colaboração e incentivo em minha jornada aca-

dêmica.

Aos Professores do PPGF-UFRN, por terem me transmitido os conhecimentos necessários

que resultaram na minha formação pessoal e principalmente profissional.

Aos funcionários e amigos da PPGF-UFRN, em especial: Adriano, Analine, Claudivan,

Priscila, Sergio, Suzana, Veruska, William e dentre outros, dos quais compartilhei mo-

mentos de descontração e companheirismo.

i

A CNPQ e a CAPES/UFCG, pelo apoio financeiro.

Aos professores da banca examinadora pelo apoio e prontidão.

À mãe biológica, pelo o amor e pela a compreensão a mim dedicados.

À minha outra mãe, Edna Serafim, pelo o seu entusiasmo e apoio que me deu em todos

os momentos de minha carreira pessoal e profissional.

Aos meus amados filhos Diogo e Maria Rayane aos quais tanto quero bem.

Às minhas amigas e irmãs Rosângela, Lívia, Lorenna, e meu irmão Davi pelo apoio e

colaboração nos momentos necessários.

A Serafina e a Lulu, por me ajudarem nos momentos de elevação espiritual.

E finalmente a todos aqueles que, direta ou indiretamente, colaboraram para a concretiza-

ção deste trabalho.

ii

“ O que sabemos é uma gota; o que ignoramos é um oceano. Mas o que seria o oceano se

não infinitas gotas? ”

(Isaac Newton)

RESUMO

Nos últimos anos, o cenário inflacionário tornou-se um dos modelos mais im-

portante na descrição do Universo em seus instantes iniciais. Ele surge inicialmente como

solução aos problemas da cosmologia padrão, mas tem se destacado principalmente como

o mecanismo capaz de gerar as perturbações iniciais que deram origem às estruturas em

grande escala do Universo. Suas previsões teóricas podem ser testadas com os dados

observacionais atuais, que permitem restringir várias classes de modelos inflacionários

presentes na literatura. Sendo assim, neste trabalho analisamos uma classe de mode-

los inflacionários generalizados propostos por Alcaniz e Carvalho [1], conhecida como

inflação β-exponencial e mostramos que esse tipo de potencial pode surgir no contexto

da cosmologia de branas, em que o campo que descreve o tamanho da dimensão-extra

é interpretado como o inflaton. Discutimos a viabilidade observacional desta classe de

modelos à luz dos últimos dados da Radiação Cósmica de Fundo (RCF), obtidos pelo o

satélite Planck, através de uma análise Bayesiana e impomos restrições aos parâmetros do

modelo. Verificamos que os dados da RCF preferem fracamente o modelo padrão ΛCDM

em relação à inflação β-exponencial. No entanto, quando as medidas locais atuais do pa-

râmetro Hubble, H0, são consideradas, o modelo β-exponencial é moderadamente preferido

em relação à cosmologia ΛCDM, tornando o estudo desta classe de modelos inflacionários

interessante no contexto atual da tensão de H0.

Palavras-chave: Campos Escalares, Cosmologia Inflacionária, Radiação Cósmica de

Fundo.

ABSTRACT

In recent years the inflationary scenario has become one of the most impor-

tant models in the description of the early Universe. It initially emerges as a solution to

problems of the standard cosmology, but has come to stand out mainly as the mechanism

capable of generating the initial perturbations that gave rise to the large-scale structures of

the Universe. Its theoretical predictions can be tested with the current observational data,

which allows to constrain several classes of inflationary models from the literature. Thus

in this work we analyze a class of generalized inflationary models proposed by Alcaniz

and Carvalho [1], known as β-exponential inflation, and we show that this type of poten-

tial can arise in the context of the brane cosmology, in which the field describing the size

of the extra dimension is interpreted as the inflaton. We discuss the observational viabi-

lity of this class of models in the light of the latest Cosmic Microwave Background (CMB)

data, obtained by the Planck satellite, through a Bayesian analysis and impose constraints

on the model parameters. We verified that the CMB data alone weakly prefer the minimal

standard ΛCDM model over the β-exponential inflation. However, when current local

measurements of the Hubble parameter, H0, are considered, the β-exponencial model is

moderately preferred over the ΛCDM cosmology, making the study of this class of inflatio-

nary models interesting in the context of the current H0 tension.

Keywords: Scalar Fields, Inflationary Cosmology, Cosmic Microwave Background.

LISTA DE FIGURAS

2.1 Evolução do raio de Hubble em um universo inflacionário. A linha ver-

melha representa a variação do raio comóvel de Hubble, (aH)−1, em que

pode-se perceber que as escalas relevantes para as observações cosmológi-

cas eram menores que este raio no universo jovem (sub-horizonte), antes

da inflação. Estas escalas saem deste raio durante o período inflacionário

(super-horizonte) e retornam posteriormente. Crédito: Baumann [23]. . . . 14

2.2 Potencial do campo inflaton e a condição de slow-roll. A aceleração ocorre

quando a energia potencial do campo escalar domina em relação a sua ener-

gia cinética, quando esta passa a aumentar, a fase inflacionária termina em

φend. Crédito: Baumann [23]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Exemplo de inflação de campo grande em que, esta fase, é dirigida pelo

inflaton cuja função potencial é do tipo monomial,V (φ) ∝ φp. Neste caso,

a dinâmica do campo evolui de uma região super-planckiana durante a

inflação, ∆φ > MPl, e uma grande amplitude de ondas gravitacionais é

produzida por flutuações quânticas. Crédito: Baumann [23]. . . . . . . . . . 28

2.4 Potencial de inflação híbrida envolvendo dois campos escalares (2.93). Cré-

dito: Fig. adaptada de [42]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Espectro térmico da RCF como observado pelo instrumento FIRAS a bordo

do satélite COBE [54]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

vi

2.6 Mapa das Flutuações de temperatura na Radiação Cósmica de Fundo, ob-

servado pelo satélite Planck. Crédito: Planck Collaboration [56]. . . . . . . . 31

2.7 Comparação entre o espectro de potência angular observado e medido a

partir do satélite Planck e o best fit do modelo ΛCDM. Os pontos azuis com

suas respectivas barras de erro representam os dados observacionais e a

curva vermelha, o best fit do modelo ΛCDM. Em que D` ≡ `(` + 1)C`/2π.

Crédito: Planck Collaboration [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.8 Plano Ωm − ΩΛ dos dados do Planck TT + lowP (amostras; codificados por

cores pelo valor de H0) e Planck TT, TE, EE + lowP (contornos sólidos).

A degenerescência geométrica entre Ωm − ΩΛ é parcialmente amenizada

incluindo os dados de lentes (contornos azuis) e BAO (contornos sólidos

vermelhos). Crédito: Planck Collaboration [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.9 Regiões conjuntas marginalizadas em 68% e 95% CL para ns e r0.002 do

Planck e em combinação com os dados do BICEP2 / Keck Array e do BAO

comparando com as previsões teóricas dos modelos inflacionários selecio-

nados. Crédito: Planck Collaboration [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 O Potencial V (φ) em função do campo φ conforme a Eq. (3.14). O valor do

parâmetro λ foi fixado em 0.1 (painel à esquerda) e 0.05 (painel à direita). . . 43

3.2 Espectro de potência primordial PR para alguns valores selecionados do

parâmetro β, com N = 55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Espectro de potência angular para diferentes valores do parâmetro β, em

comparação com o best fit do modelo ΛCDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 Plano ns − r para o intervalo de valores do parâmetro β que satisfaz

a Eq. (3.19), considerando dois valores do número de e-folds, N =

50 e N = 60. As regiões de contorno correspondem aos dados do

Planck(2015)+BICEP2/Keck (68% e 95% C.L.). No Painel a esquerda as-

sumimos λ = 0.1 e no painel a direita o valor de λ é fixado em 0.01. . . . . . 47

vii

3.5 Regiões de confiança para análise β-exponencial ’modelo-2’ (contornos ver-

melhos) e o modelo de referência ΛCDM (contornos azuis), ambos usando

os dados TT+lowP Planck (2015). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6 O espectro de potência da temperatura para o valores do best fit β-

exponencial modelo-2 (curva vermelha) e β-exponencial modelo-1 (curva

verde) em comparação com o best fit do modelo ΛCDM (curva azul) e os

dados do Planck (2015). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1 Comportamento do índice espectral, ns, para diferentes valores do parâme-

tro de acoplamento não mínimo ξ, considerando o número de e-folds N = 55. 62

4.2 Comportamento da razão tensor-escalar, r, para diferentes valores de ξ,

considerando o número de e-folds N = 55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Plano ns − r para o intervalo de valores do parâmetro de acoplamento não

mínimo ξ, considerando N = 55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4 Espectro de potência primordial PR para alguns valores selecionados do

parâmetro ξ, com N = 55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5 Espectro de potência angular para diferentes valores do parâmetro ξ, em

comparação com o best-fit do modelo ΛCDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.1 Potencial V (φ) em função do campo φ para os valores selecionados do parâ-

metro β = 0.0, 0.25, 0.5. Conforme a Eq. (3.14), para esses valores, obtemos

a classe de potenciais do tipo exponencial, quadrático e quártico, respecti-

vamente. O valor do parâmetro λ foi fixado em 1.0. . . . . . . . . . . . . . . 78

viii

LISTA DE TABELAS

3.1 Priors dos parâmetros cosmológicos considerados na análise. . . . . . . . . . 52

3.2 68% Limite de confiança para os parâmetros cosmológicos usando os dados

TT+lowP do Planck (2015). A primeira coluna mostra as restrições no mo-

delo de referência ΛCDM enquanto a segunda e a terceira colunas mostram,

respectivamente, os resultados da análise para o modelo β-exponencial va-

riando ambos os parâmetros β e λ e para o modelo β-exponencial com λ

fixado ao valor arbitrário de 0.07. O ∆χ2best e o lnBij referem-se a diferença

das análises entre β-exponencial (modelo-1), (modelo-2) e o de referência

ΛCDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 68% Limite de confiança para os parâmetros cosmológicos usando os da-

dos TT+lowP+HST. A primeira coluna mostra as restrições no modelo de

referência ΛCDM enquanto que a segunda mostra os resultados da análise

do modelo β-exponencial com λ fixado ao valor de 0.07. Como na Tab.

II, o ∆χ2best e o lnBij referem-se a diferença das análises entre o modelo β-

exponencial (modelo-2) e o de referência ΛCDM. . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ix

NOTAÇÕES, CONVENÇÕES E SÍMBOLOS

• Assinatura da métrica: (−,+,+,+).

• Índices gregos variam de 0 a 3 e os latinos variam de 1 a 3. Índices repetidos repre-

sentam soma (convenção de Einstein).

• Palavras em outro idioma são escritas em itálico.

• Adotamos o sistema de unidades em que c = ~ = 1.

• Derivada temporal: f ≡ dfdt

• Derivada covariante (citada várias vezes como divergência): Fα;β = ∂Fα

∂xβ+ ΓαγβF

γ .

• O subscrito “0” indica que grandeza é medida no tempo presente.

• Para medir distâncias astronômicas, usamos a unidade de medida megaparsec

(Mpc): 1Mpc = 3, 26 x 106 anos-luz = 3, 08 x 1022m.

x

CONTEÚDO

Agradecimentos i

Epígrafe iii

Resumo iv

Abstract v

Lista de Figuras vi

Lista de Tabelas ix

Notações, Convenções e Símbolos x

1 Introdução 1

2 Cosmologia Inflacionária 4

2.1 Aspectos da Cosmologia Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Equações de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Parâmetro de desaceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

xi

2.2 Os problemas da Cosmologia Padrão e solução inflacionária . . . . . . . . . 10

2.2.1 A solução dada pela inflação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 A física da inflação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Inflação slow-roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Inflação e as perturbações cosmológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Modelos de campos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.1 Modelos large-field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.2 Modelos small-field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 A Radiação Cósmica de Fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.1 O espectro de potência angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7 Inflação e observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Modelo β-exponencial 39

3.1 Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Potencial inflacionário β-exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1.1 Inferência bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Acoplamento não mínimo e vínculos com a RCF 56

4.1 Acoplamento não mínimo e inflação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Potencial β-exponencial e acoplamento não mínimo . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Conclusões e perspectivas 66

xii

APÊNDICES 75

A β-exponencial da cosmologia de branas 75

xiii

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

O início do século XX foi marcado por grandes avanços no nosso entendimento

sobre o Universo, colaborando com o surgimento da Cosmologia como um ramo da Fí-

sica. Por volta de 1917 foram realizadas pela primeira vez medidas de velocidade e dis-

tância das galáxias mais próximas [2]. Em 1929, Edwin Hubble através das observações,

constatou que a velocidade com que as galáxias se afastavam de nós era proporcional

às distâncias que nos separavam delas [3]. Portanto, concluiu que o Universo estava em

expansão progressiva, introduzindo assim um novo conceito de Universo, que até então

era considerado estático. Consequentemente, com essas descobertas desencadeou-se uma

série de estudos buscando analisar tal expansão. Em 1947, George Gamow propôs o mo-

delo do Big Bang (Lemaître já havia apresentado, em 1931, parte dessa ideia chamada de

"hipótese do átomo primordial"ou "ovo cósmico"), que prevê que o Universo originou-se

de um estado muito quente e denso, cuja expansão inicial afetou não só a matéria, mas a

própria estrutura do espaco-tempo. Tal modelo recebeu uma extraordinária confirmação

experimental em 1964 com a descoberta da Radiação Cósmica de Fundo (RCF) na faixa

de microondas [4]. Todavia, apesar do sucesso deste modelo no estudo da nucleossíntese

primordial, em medidas de distância de galáxias e, principalmente, na presença da RCF,

alguns problemas foram encontrados, dentre os quais podemos citar os problemas do ho-

1

Capítulo 1. Introdução 2

rizonte, da planura e da abundância dos monopolos magnéticos. Então, em 1981, Alan

Guth ∗ propôs o modelo inflacionário para tentar solucionar esses problemas [3, 7].

O cenário inflacionário oferece um quadro teórico elegante que é capaz de expli-

car o grande tamanho e a entropia do Universo atual, sua planicidade espacial e, o mais

importante, a origem causal das perturbações cosmológicas primordiais . Nos modelos

mais simples, a inflação é conduzida por um único campo escalar φ minimamente aco-

plado à gravidade rolando lentamente para o mínimo do seu potencial V (φ), que gera

uma perturbação escalar primordial com um espectro de potência quase invariante com

a escala. Este quadro parece concordar com as mais recentes observações da RCF [8, 9],

e graças à precisão desses dados, torna-se possível testar a viabilidade observacional de

uma ampla gama de modelos inflacionários [10]. No entanto, nenhuma evidência estatís-

tica em favor de um modelo específico foi encontrada e, portanto, uma tarefa importante

recentemente é investigar as previsões teóricas de diferentes classes no contexto dos dados

observacionais atuais [11–14].

Neste trabalho, pretendemos investigar, tanto do ponto de vista teórico quanto

observacional, as principais previsões de uma classe de modelos, cujo potencial, nomeado

β-exponencial, foi introduzido na Ref. [1] como uma generalização do potencial exponen-

cial inflacionário V ∝ exp (−λΦ) [15–17]. Esse modelo apresenta uma série de soluções

cosmológicas para um grande intervalo de valores do parâmetro β. Sendo assim, iremos

adotar a análise estatística Bayesiana de comparação de modelos e, através dos dados

da anisotropia da RCF, fazer as principais previsões do modelo em relação aos parâme-

tros cosmológicos. Na primeira abordagem, consideramos o campo escalar minimamente

acoplado à gravidade mas, posteriormente, analisamos as previsões teóricas do modelo

envolvendo o acoplamento não mínimo do campo escalar à gravidade. Tal abordagem é

interessante porque geralmente o acoplamento não mínimo do campo à gravidade leva

modelos desfavorecidos a se tornarem compatíveis com os dados observacionais [18, 19].

Do ponto de vista teórico, o potencial β-exponencial pode ser naturalmente motivado no

contexto da cosmologia de branas, onde o campo escalar descrevendo o tamanho da di-

mensão extra tem o papel do inflaton [20]. Portanto, esse trabalho está organizado da∗Embora algumas das ideias-chave tivessem sido desenvolvidas anteriormente e de forma independente por Staro-

binsky e outros [5, 6].

Capítulo 1. Introdução 3

seguinte forma: no capítulo 2 apresenta-se alguns aspectos da cosmologia inflacionária,

dentre os quais podemos citar: solução inflacionária aos problemas da cosmologia padrão;

o mecanismo para a produção de inflação; os principais modelos de campos escalares; as

perturbações geradas durante a inflação e as principais evidências observacionais da infla-

ção impressas na RCF. No capítulo 3, derivamos as quantidades observáveis do potencial

β-exponencial e discutimos algumas restrições sobre os parâmetros β e λ. Também reali-

zamos uma análise detalhada à luz dos últimos dados da RCF fornecidos pela colaboração

Planck [8, 9], juntamente com a análise Bayesiana de comparação do modelo em relação

ao de referência, Λ Cold Dark Matter (ΛCDM). Discutimos, no capítulo 4, o potencial β-

exponencial no contexto de um campo escalar acoplado não minimamente à gravidade,

e analisamos as previsões teóricas com os dados da RCF. Nossas considerações finais são

apresentadas no capítulo 5.

CAPÍTULO 2

COSMOLOGIA INFLACIONÁRIA

Neste capítulo, vamos apresentar como a Cosmologia Inflacionária pode expli-

car os problemas do modelo Padrão, assim como a origem da formação de estruturas

em grande escala (estruturas de galáxias), que ocorreu devido a inomogeneidade do Uni-

verso provocada por flutuações quânticas de um campo escalar sob seu estado de vácuo.

Inicialmente, apresentamos alguns aspectos da cosmologia padrão, destacando os proble-

mas do modelo do Big Bang que motivaram o surgimento da cosmologia inflacionária.

Em seguida apresentamos o mecanismo para produção da inflação, destacamos os prin-

cipais modelos inflacionários; discutimos brevemente sobre as perturbações de curvatura

e tensorial; ainda apresentamos algumas propriedades da RCF, sua importância para res-

tringir modelos cosmológicos, e por fim, destacamos algumas previsões da inflação e suas

evidências frente os dados da RCF.

2.1 Aspectos da Cosmologia Padrão

A Cosmologia é o estudo da estrutura dinâmica do Universo em grande escala e

parte do princípio de que as leis da física são as mesmas em qualquer ponto [21, 22]. Assim

sendo, existem na natureza quatro forças fundamentais: as forças nucleares fraca e forte,

4

Capítulo 2. Cosmologia Inflacionária 5

que são forças de curto alcance, portanto, não se aplicam a esse estudo, e as forças ele-

tromagnética e gravitacional, que são de longo alcance. No entanto, macroscopicamente

a matéria no seu estado natural se apresenta eletricamente neutra, então a força eletro-

magnética não colabora para esta descrição. Diante disto, a força gravitacional torna-se a

interação predominante para descrever a dinâmica em grande escala do Universo.

Os dados observacionais apontam que em larga escala, considerando uma ordem

maior que 100Mpc,∗ a matéria se encontra distribuída de forma homogênia e isotrópica

[7]. Nesse sentido, o modelo que descreve o Universo com essas características é o Big

Bang, cuja métrica é descrita por [21, 22]:

ds2 = −dt2 + a2(t)

[dr2

1− kr2+ r2(dθ2 + sen2θdφ2)

]. (2.1)

De fato, esta métrica é denominada como a métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-

Walker (FLRW) e satisfaz a condição de homogeneidade e isotropia para a geometria do

espaço-tempo. O fator a(t) corresponde a um fator de escala que é utilizado para descre-

ver a evolução de distâncias em um Universo em expansão e k é a constante de curvatura

do espaço que pode assumir os valores k = −1, k = 1 e k = 0 que representa, respecti-

vamente, o espaço com curvatura hiperbólica, o espaço com curvatura esférica e o espaço

sem curvatura, ou seja, plano. As coordenadas r, θ e φ são denominadas coordenadas

comóveis e t é o tempo cósmico (chamado também de tempo físico ou próprio).

Uma outra grandeza importante é o tempo conforme, τ , que é definido como:

dτ =dt

a, (2.2)

que pode ser interpretado como um "relógio"que diminui a medida que o Universo se

expande. As trajetórias dos fótons são melhor estudadas através da definição dessa quan-

tidade. Assim, a distância máxima que a luz pode propagar entre um tempo inicial ti e

um tempo t qualquer é dada por [23]:

χp(τ) = τ − τi =

∫ t

ti

dt′

a(t′). (2.3)

∗Um parsec (1pc) corresponde a distância em que a distância média entre a Terra e o sol é de 1 arco de segundo(1arcseg) [7], equivale a 3.26 anos-luz (distância que a luz viaja em um ano), ou ainda 30.9 trilhões de quilômetros.


Naturalmente, esta expressão define o horizonte comóvel das partículas. O instante inicial

ti é considerado como sendo a "origem do Universo", ti ≡ 0, definido pela singularidade

inicial, a(ti ≡ 0) ≡ 0. Em relação ao parâmetro de escala, a sua evolução é governada

através das equações de Friedmann, que serão apresentadas na próxima seção.

2.1.1 Equações de Friedmann

As equações que descrevem a dinâmica do Universo são as equações de Fri-

edmann, que podem ser obtidas a partir da combinação da métrica de FLRW e o ten-

sor energia-momento de um fluido perfeito, nas equações de Einstein representadas por

[22, 24, 25]:

Gµν = 8πGTµν , (2.4)

em que Gµν é o tensor de Einstein descrito por:

Gµν = Rµν −1

2Rgµν , (2.5)

Tµν é o tensor energia-momento, Rµν o tensor de Ricci, R o escalar de Ricci e gµν o tensor

métrico de FLRW.

Então, calculando as componentes do tensor de Einstein, encontramos:

H2 =

(a

a

)2

=8πG

3

∑i

ρi −k

a2, (2.6)

que é a primeira equação de Friedmann e representa a taxa de variação de expansão do

fator de escala a(t). Sendo H ≡ aa

o parâmetro de Hubble e ρi a densidade de energia

de cada componente que compõe o Universo (matéria, radiação, energia de vácuo). A

segunda equação de Friedmann é dada por:

a

a=−4πG

3

∑i

(3pi + ρi). (2.7)

Esta equação, descreve a taxa de aceleração do Universo em expansão em função da den-


sidade de matéria e da pressão do fluido [3, 21, 22]. A definição de aceleração (desacele-

ração) é dada por a > 0 (a < 0). Portanto, para o Universo acelerado, precisamos que a

pressão seja negativa (p < −ρ3).

Da Eq. (2.6), considerando o espaço sem curvatura (k = 0), podemos concluir que

para um determinado valor deH , existe uma densidade denominada de densidade crítica

definida por:

ρc =3H2

8πG. (2.8)

Dessa forma, podemos reescrever a Eq. (2.6) relacionando a curvatura do Universo à

densidade de energia e taxa de expansão da seguinte forma[7, 23]:

1− Ωtot(t) = − k

a(t)2H(t)2, (2.9)

onde o parâmetro de densidade de energia é definido como Ωtot(t) =

∑iρi

ρc(permite medir

a densidade de energia). A relação entre o parâmetro de densidade e a curvatura é dada

por:

Ωtot > 1→ k = 1,

Ωtot = 1→ k = 0,

Ωtot < 1→ k = −1.

A componente de curvatura é definida como:

Ωk(t) = 1− Ωtot(t) = − k

a(t)2H(t)2, (2.10)

sendo possível concluir que a curvatura do Universo depende da densidade de energia

total em algum tempo t, conhecendo Ωtot|hoje o sinal da curvatura k pode ser encontrado.

Através das equações de Einstein, podemos encontrar a relação entre a densidade

de energia com o fator de escala, para descrevermos a energia dinâmica do Universo [21,

26, 27]. Considerando o tensor energia-momento de um fluido perfeito descrito por:

Tµν = (ρ+ p)UµUν + pgµν , (2.11)


onde Uµ = (−1, 0, 0, 0) é a quadri-velocidade do fluido, ρ e p são a densidade de energia

e pressão respectivamente. Aplicando a condição da conservação de energia ∇µTµ

0 = 0,

obtemos:

ρ = −3a

a(ρ+ p), (2.12)

ou seja, a equação da conservação da energia para a métrica de FLRW para um fluido

perfeito. Para resolvermos a equação (2.12), deve-se utilizar uma equação de estado que

relacione a densidade de energia (ρ) com a pressão (p). Esta relação pode ser descrita por:

p = ωρ, (2.13)

em que ω representa uma constante independente do tempo especificando a natureza do

fluido cósmico [21, 22]. Então, substituindo a equação (2.13) em (2.12) obtemos :

ρ(t) ∼[a(t)

]−3(1+ω)

. (2.14)

Esta última, representa a densidade de energia, ρ(t), em função do fator de escala, a(t),

para um fluido perfeito.

Para cada tipo de fluido ω pode assumir os seguintes valores: ω = 0, ω = 13

e

ω = −1, que correspondem a matéria, radiação e energia de vácuo, respectivamente [28].

Para ω = 0 teremos um período dominado pela matéria diluída (poeira), em que a matéria

não-relativística possui pressão zero [21, 29]. Assim, a densidade de energia da matéria é

dada por:

ρM(t) ∼ a−3. (2.15)

Para ω = 13, temos o período dominado pela radiação, cuja expressão será:

ρR(t) ∼ a−4. (2.16)

Para energia de vácuo, temos ω = −1. Nesse caso, a equação de estado torna-se pνac =

−ρνac, sendo ρνac = cte que pode ser relacionada a constante cosmológica (Λ) da seguinte


forma:

ρvac =Λ

8πG. (2.17)

Assim, temos três períodos para a evolução do Universo, sendo o primeiro dominado pela

radiação, o segundo dominado pela matéria e por fim, o período dominado pela constante

cosmológica Λ [22]. Nesse caso, a equação de Friedmann 2.6, torna-se:

(a

a

)2

=Λ

3+

8πG

3

(ρ0R

a4+ρ0M

a3

)− k

a2. (2.18)

Portanto, as Eqs. (2.6), (2.7) e (2.12), são essenciais para a compreensão da dinâmica do

Universo.

2.1.2 Parâmetro de desaceleração

Um outro parâmetro que descreve o processo de expansão do Universo, é o parâ-

metro de desaceleração definido por [26, 30]:

q =d

dt

(1

H

)−1 = − aa

a2. (2.19)

Essa expressão nos informa o quanto a taxa de aceleração H do Universo está variando

[7]. Sendo assim, podemos determinar a evolução temporal do fator de escala a(t) e obter

o comportamento do parâmetro de desaceleração q(t) para alguns modelos cosmológi-

cos. Note que, esse parâmetro é proporcional a a implicando que para a > 0 (expansão

acelerada), teremos q < 0, no caso contrário, teremos q > 0, que indica uma fase de de-

saceleração. Podemos ainda escrever o parâmetro desaceração em termos da equação de

estado da seguinte forma [31]:

q =3

2

(1

3+ w

). (2.20)

Observe que, tanto para o Universo dominado por radiação quanto por matéria, temos

um período de expansão desacelerada. Esta fase desacelerada do Universo não oferece

mecanismo capaz de explicar os problemas cosmológicos inerentes da cosmologia do Big

Bang, tais como o problema do horizonte, planura e a abundância dos monopolos mag-

néticos. Na próxima seção, esses problemas, serão discutidos com mais detalhes.


2.2 Os problemas da Cosmologia Padrão e solução inflacionária

A cosmologia do Big Bang representa a concepção atual de que o Universo se

originou de uma grande expansão inicial do espaço-tempo a cerca de 14 bilhões de anos

atrás. É bem sucedida, mas não consegue explicar algumas questões sobre o Universo,

em particular, como explicar as anisotropias presentes na RCF, as estruturas em grande

escala e como o Universo tornou-se tão grande, tão plano e uniforme. Portanto, estes

aspectos observados do Universo não são bem explicados pelo cenário padrão, enquanto

que, considerando a fase inflacionária, é possível explicar tais questões [7].

Problema da Planura

Consiste em explicar por que atualmente a densidade de energia total ρ é extrema-

mente próxima a densidade crítica ρc. De acordo com as observações atuais, o parâmetro

de densidade tem um valor muito próximo a 1, ou seja, (Ω0 ≈ 1), o que significa que a ge-

ometria do Universo é praticamente plana. Para compreender melhor o problema vamos

considerar a equação de Friedmann (2.9) na forma:

Ωtot − 1 =k

(aH)2, (2.21)

que indica uma dependência do parâmetro de densidade com o tempo Ω(a(t)). Na cos-

mologia padrão a função dH ≡ (aH)−1 (conhecida como raio comóvel de Hubble) cresce

com o tempo, e portanto, o termo |Ωtot − 1| aumenta com a evolução do Universo. Nesse

sentido, para obter um Universo como é observado hoje, seria necessário um ajuste fino

no valor de Ω no início do Universo. Mais especificamente, durante a Nucleossíntese Pri-

mordial (NP), a era GUT ( Grand Unified Theory) e na escala de Planck (escala de energia

de ≈ 1019GeV ), respectivamente. Particularmente, as seguintes condições nos valores de

Ω seguem [23, 32]:


|Ω(aNP)− 1| ≤ O(10−16) , (2.22)

|Ω(aGUT)− 1| ≤ O(10−55) , (2.23)

|Ω(apl)− 1| ≤ O(10−61) , (2.24)

indicando que no Universo primordial o valor de Ω deveria ser ainda mais próximo de

1, o que é algo bastante artificial em virtude de sua característica instável. Então, este

problema de ajuste fino é denominado de problema da planura.

Problema do Horizonte

A distribuição observada do fundo de microondas revela uma grande isotropia.

O problema, no entanto, é que estas regiões distantes não teriam condições de ter tido con-

tato causal antes da época em que a radiação se desacoplou da matéria (última superfície

de espalhamento)†. Para entender o problema do horizonte, iremos utilizar a Eq. (2.3)

e reescrevê-la em termos do raio comóvel de Hubble, dH ≡ (aH)−1, [23]. Desta forma,

temos que

τ ≡∫ t

0

dt′

a(t′)=

∫ a

0

da

Ha2=

∫ a

0

d ln a

(1

aH

). (2.25)

De fato, esta expressão descreve a distância máxima que um fóton pode viajar, desde um

tempo inicial ti = 0 (singularidade inicial) até um instante t qualquer, definindo assim o

horizonte comóvel.

Considerando o Universo dominado por um fluido cuja equação de estado é w =

p/ρ teremos [23]:

(aH)−1 = H−10 a

12

(1+3w) , (2.26)

e†Corresponde a região onde ocorreu o último espalhamento dos fótons, ou seja, quando os fótons se desacoplaram

da matéria e passaram a viajar livremente [3].


τ ∝ a12

(1+3w) . (2.27)

Pode-se perceber que o termo (1 + 3w) determina o comportamento dessa quanti-

dade. Assim, no cenário padrão em que a expansão do Universo é dirigida pela matéria ou

radiação, ou seja, (w & 0), o raio de Hubble (aH)−1 e o horizonte comóvel das partículas,τ ,

correspondente a fração do Universo em contato causal‡, aumentam com o decorrer do

tempo. Portanto, o aumento do horizonte comóvel com o tempo, implica que as escalas

comóveis que entram no horizonte hoje estavam fora da região onde poderiam ocorrer

interações causais antes da superfície de último espalhamento. No entanto, a isotropia

observada na RCF indica que o Universo era extremamente homogêneo no momento do

desacoplamento, abrangendo várias regiões que, a priori, não estavam causalmente co-

nectadas. Assim, a grande questão é saber como o Universo conseguiu atingir tal grau

de homogeneidade se não houve tempo para termalizar. Este fato é conhecido como o

problema do horizonte [23, 32].

Problema da abundância dos monopolos magnéticos

A teoria da física de partículas prevê a existência de uma quantidade abundante

de monopolos magnéticos, que seriam partículas supermassivas que teriam sido produ-

zidas no Universo primordial. Essas partículas são uma consequência inévitável de mo-

delos de grande unificação das forças fundamentais. De acordo com esses modelos, a

existência de tais partículas deve-se ao fato de que o Universo, em seus primeiros está-

gios, encontrava-se em uma escala de alta energia (cerca de 1016 GeV) e a medida que

foi se expandindo, a temperatura diminuiu, passando assim para uma escala menor de

energia. Essa variação de temperatura levou a uma transição de fase que está associada a

quebra espontânea de simetria do sistema, do qual poderia ter originado, os defeitos to-

pológicos. Nesse sentido, os monopolos magnéticos seriam um dos defeitos topológicos

de origem primordial. Apesar de serem previstas, essas partículas não são observadas e

necessita-se de um mecanismo que justifique a ausência dessas partículas no Universo,

uma vez que sua existência não foi comprovada [7].‡Os objetos estão em contato causal quando se encontram dentro do mesmo horizonte de partículas.


2.2.1 A solução dada pela inflação

Os problemas citados anteriormente podem ser explicados considerando que o

Universo primordial passou por uma fase de expansão acelerada, denominada de infla-

ção. Os modelos mais simples de inflação consideram apenas um campo escalar, geral-

mente chamado inflaton que, submetido a um determinado potencial V (φ), provoca essa

expansão acelerada. Esta fase é descrita no cenário em que o período de evolução do

campo φ é caracterizado pelo regime slow-roll (rolamento lento). Nesse momento, a ener-

gia cinética do inflaton torna-se pequena e grande parte da energia fica contida em seu

potencial V (φ), esta energia possui pressão negativa provocando, dessa forma, uma ex-

pansão exponencial do Universo [5, 7, 21, 22, 24].

Assumindo que a componente do tensor energia-momento da inflação é caracte-

rizado por uma densidade de energia constante, ρφ, e incluindo na equação de Friedmann

Eq. (2.6), teremos:

H2 =

(a

a

)2

=8πG

3ρφ −

k

a2. (2.28)

Ao contrário das fases dominadas por matéria ou radiação, o termo gravitacional predo-

mina em relação ao de curvatura. Assim, a solução para a equação de Friedmann é uma

expansão exponencial da forma:

a = a0et/tH , (2.29)

tal que tH = H−1, corresponde ao tempo de Hubble. Da segunda equação de Friedmann

(2.7), observa-se que a condição para a aceleração a > 0 é assegurada se a equação de

estado for caracterizada por uma pressão negativa, ou seja, (1 + 3ω) menor que zero. De

fato, podemos expressar a condição de inflação da seguinte forma [7, 23, 32]:

d

dt(Ha)−1 < 0. (2.30)

A expressão indica que, se o parâmetro de Hubble H permanecer aproximada-

mente constante durante a inflação, o horizonte comóvel de Hubble dH = (Ha)−1 diminui

com a expansão. Veremos agora como esse breve período de expansão acelerada resolve

os problemas da cosmologia padrão do Big-Bang.


Comoving Horizon

Time [log(a)]

Inflation Hot Big Bang

Comoving Scales

horizon exit horizon re-entry

density fluctuation

Figura 2.1: Evolução do raio de Hubble em um universo inflacionário. A linha vermelha representaa variação do raio comóvel de Hubble, (aH)−1, em que pode-se perceber que as escalas relevantespara as observações cosmológicas eram menores que este raio no universo jovem (sub-horizonte),antes da inflação. Estas escalas saem deste raio durante o período inflacionário (super-horizonte)e retornam posteriormente. Crédito: Baumann [23].

Analisando a Eq. (2.21), percebemos que se o horizonte comóvel de Hubble de-

cresce com o tempo Eq.(2.30), o parâmetro de densidade Ωtot → 1, levando a interpretação

de que a fase inflacionária torna a curvatura espacial do Universo praticamente plana,

mesmo que sua curvatura tenha sido elevada antes da inflação, com a expansão acelerada

é possível que tenha sido diluída.

Ainda da condição dada pela Eq. (2.30), o fato de dH = (Ha)−1 diminuir com

a expansão acelerada implica que as regiões que estavam conectadas causalmente foram

esticadas para fora do horizonte durante a inflação, voltando a entrar no horizonte em

um período após a era dominada pela radiação ou matéria. Portanto, a região do espaço

correspondente ao Universo observável estava em equilíbrio térmico antes da inflação.

Nesse contexto, a fase inflacionária pode explicar o mecanismo causal para a uniformi-

dade da RCF, como ilustrado na Fig. 2.1. No entanto, vale ressaltar que essa abordagem

já parte das condições iniciais em que o Universo é homogêneo e isotrópico (métrica de

FRWL), o que leva alguns autores a terem opiniões divergentes a respeito da solução desse

problema, como discutido em [33].


A solução no contexto da inflação para justificar a abundância dos monopolos

magnéticos e a pouca evidência de serem identificados, está no fato da expansão expo-

nencial diluir rapidamente a densidade primordial dessas partículas relíquias durante

essa fase. No entanto, para assegurar que essas partículas não sejam recriadas após a

inflação, é necessário que a temperatura de reaquecimento seja mais baixa do que a tem-

peratura crítica de transição de fase, justificando, assim, a pouca possibilidade de serem

detectadas [7, 13].

2.3 A física da inflação

O campo escalar φ responde pela pressão negativa que acelera a expansão do

Universo primordial. Portanto, introduzindo a teoria de campo escalar em cosmologia,

pode-se obter a densidade de energia e a pressão e, assim, relacionar o inflaton com as

equações de Friedmann. Dessa forma, iremos utilizar o tensor energia-momento definido

por [34]:

Tµν = ∂µφ∂νφ− gµνL, (2.31)

em que L é a lagrangeana, definida por [34–36]:

L = −1

2∂µφ∂

µφ− V (φ). (2.32)

Substituindo a Eq. (2.32) em (2.31) teremos:

Tµν = ∂µφ∂νφ− gµν1

2∂µφ∂

µφ− gµνV (φ). (2.33)

Fazendo µ = 0, ν = 0 e considerando φ = φ(t) temos:

T00 =1

2φ2 + V (φ). (2.34)

Como o tensor energia-momento possui componente T00 = ρ, logo, comparando com a

Eq. (2.34), iremos obter a densidade de energia que é dada por:

ρφ =1

2φ2 + V (φ). (2.35)


A Pressão é obtida através da componente T11 = p, logo:

pφ =1

2φ2 − V (φ). (2.36)

Utilizando as expressões (2.35) e (2.36), podemos reescrever as equações de Friedmann e

encontrar a equação de movimento da partícula. Portanto, a primeira equação de Fried-

mann (2.6), considerando o Universo plano (k = 0), pode ser expressa como:

H2 =8πG

3

[1

2φ2 + V (φ)

]. (2.37)

Para a segunda equação de Friedmann (2.7), teremos:

a

a=−8πG

3

[φ2 − V (φ)

]. (2.38)

Da equação da conservação de energia para a métrica de FLRW de um fluído perfeito

Eq. (2.12), podemos obter:

φ+ 3Hφ+ V ′(φ) = 0. (2.39)

Esta é a equação de Klein-Gordon que governa a evolução do inflaton. O segundo termo

3Hφ atua como um termo de atrito [37] e a linha refere-se a derivada com respeito ao

campo φ.

2.3.1 Inflação slow-roll

Das Eqs. de densidade de energia (2.35) e pressão (2.36) a condição p = −ρ é sa-

tisfeita desde que o campo escalar φ varie lentamente, de tal forma que o termo cinético

permaneça subdominante, sendo desprezível com relação ao termo potencial. Com esta

condição, o potencial escalar torna-se máximo, e como a expansão é acelerada, o poten-

cial deve variar lentamente nesse período, como ilustrado na Fig. 2.2. Logo, teremos que

V ≈ constante, ou ∂V∂φ

= ξ, onde ξ é um valor muito pequeno. Essa aproximação é conhe-

cida como aproximação de slow-roll (rolamento lento) e caracteriza uma fase de expansão

acelerada do Universo, conforme veremos a seguir.

Diferenciando a equação de Friedmann (2.37) com respeito a t e utilizando (2.39),


podemos obter [23, 38]:

H = − φ2

2m2Pl

. (2.40)

A fase inflacionária (expansão quase exponencial) ocorre seH for aproximadamente cons-

tante, ou seja,|H|H2 1. (2.41)

Esta condição implica em φ2 V (φ), de tal forma que a Eq. (2.37) pode ser reescrita como:

H2 =8πG

3V (φ) ≈ const. (2.42)

Nesse caso, o fator de escala evolui como a(t) ∝ exp∫H(t′)dt′ ≡ e−N(t), onde N =

−∫H(t′)dt′ é o número de e-folds (quantidade de inflação que ocorre em determinado

período), do qual é maior no passado e decresce na medida que o fator de escala a(t)

aumenta [39].

Em termos do número de e-folds, a condição (2.41), pode ser expressa da seguinte

forma [23]:

ε = − H

H2=

H

H2

dH

dN=d lnH

dN, (2.43)

onde dN = −Hdt e ε é o parâmetro slow-roll, cuja condição para a expansão acelerada

a > 0 é ε < 1 §. Além disso, para que a expansão ocorra por um tempo suficiente em

que o Universo cresça o bastante de forma a tornar-se espacialmente plano e casualmente

conectado, é necessário que a segunda derivada do campo φ seja muito pequena, ou seja,

|φ| |3Hφ| , |V ′(φ)| . (2.44)

Nesse caso, a Eq. (2.39) torna-se:

3Hφ+ V ′(φ) ∼ 0, (2.45)

que corresponde fisicamente a evolução do campo, sendo dominado pelo termo de atrito

3Hφ na equação de movimento. Assim sendo, essa segunda condição leva a introdução§Esta parametrização significa que a variação do parâmetro de Hubble em relação ao número de e-folds é muito

pequena.


de um novo parâmetro slow-roll definido por:

η = − φ

Hφ= ε− 1

2ε

dε

dN, (2.46)

onde |η| < 1 garante que a variação de ε em relação ao número de e-folds seja pequena. Em

termos do potencial inflacionário e suas derivadas, as Eqs. (2.43) e (2.46) são dadas por

[23, 38]:

ε ≡ m2Pl

2

[V ′(φ)

V (φ)

]2

, (2.47)

e

η ≡ m2Pl

[V ′′(φ)

V (φ)− 1

2

(V ′(φ)

V (φ)

)]. (2.48)

Estes parâmetros, durante a inflação, devem ser muito menores que a unidade, ou seja,

ε 1, que leva a uma expansão (quase) exponencial e |η| 1, assegura que a expansão

dure o tempo necessário para resolver os problemas cosmológicos. Estas condições são

violadas, ε ≡ 1, nesse caso, o potencial se aproxima do seu mínimo e a inflação termina

com φ = φend.

Através das Eqs. (2.42) e (2.45), o número de e-folds pode ser expresso da seguinte

forma:

N ≡ lna(tend)

a(tinit)= −

∫Hdt = −

∫H

φdφ =

1

mPl

∫dφ√2ε≈ 1

m2Pl

∫ φ

φend

V (φ)

V ′(φ)dφ, (2.49)

que nos permite relacionar os campos φ e φend com o número de e-folds e os parâmetros do

potencial. Para resolver os problemas do horizonte e planura é necessário que seu valor

seja em torno deNtot & 60¶. As flutuações de temperatura presentes na RCF foram criadas

para o valor de Ncmb ≈ 40 − 60 e-folds, que possibilita obter o valor do campo observável

φcmb a partir da seguinte expressão [23]:¶O valor de N depende da escala de energia da inflação e dos detalhes do reaquecimento após a inflação [23].


Figura 2.2: Potencial do campo inflaton e a condição de slow-roll. A aceleração ocorre quando aenergia potencial do campo escalar domina em relação a sua energia cinética, quando esta passa aaumentar, a fase inflacionária termina em φend. Crédito: Baumann [23].

∫ φcmb

φend

dφ√2εv

= Ncmb ≈ 40− 60 . (2.50)

2.4 Inflação e as perturbações cosmológicas

A fase inflacionária não apenas explica a homogeneidade em larga escala do Uni-

verso, mas também fornece um mecanismo para explicar as anisotropias observadas na

RCF. Durante a inflação, as flutuações quânticas em pequenas escalas (flutuações quânti-

cas do campo inflaton) são rapidamente deslocadas para uma escala muito maior do que

o tamanho do horizonte (super-horizonte). Estas são perturbações na métrica de fundo e

podem ser de dois tipos: perturbações escalares (ou de curvatura), que formam as semen-

tes para a formação de estruturas e tensoriais (ou perturbações de ondas gravitacionais),

que não interagem com a matéria [23, 24]. Portanto, qualquer perturbação no campo in-

flaton implica em flutuações na métrica do espaço-tempo [32], ou seja,


δφ ⇒ δTµν ⇒[δRµν −

1

2δ(gµν)R)

]= δGµν = 8πGδTµν . (2.51)

Assim, a descrição das perturbações na inflação no regime linear, é caracterizada pela

expansão do tensor métrico, gµν , em uma base, g(0)µν , e na perturbação, δgµν , logo,

gµν = g(0)µν (t) + δgµν(x, t) ; δgµν g(0)

µν . (2.52)

De maneira geral as perturbações na métrica podem ser decompostas em pertur-

bações escalares, vetoriais e tensoriais [23, 24, 27, 32]. No regime linear estas perturbações

evoluem de forma independente, e consequentemente, podem ser estudadas separada-

mente. As perturbações vetoriais decaem com a expansão do Universo, e portanto, não

apresentam traços observacionais relevantes [24]. Já as perturbações tensoriais não influ-

enciam nas perturbações de densidade porém, possuem papel relevante para testar mo-

delos inflacionários, conforme veremos a seguir. Assim, as perturbações que vão gerar a

não-homogeneidade na densidade de energia (responsável pela formação das estruturas

observadas em grandes escalas) são as perturbações escalares.

A forma mais geral da métrica que descreve as perturbações escalares é dada por

[32]:

ds2 = a2(τ)−(1 + 2A)dτ 2 + 2∂iBdτdxi + [(1− 2Ψ)δij +DijE]dxidxj, (2.53)

com Dij = (∂i∂j − 13δij∇2) e A, Ψ, B e E são funções de coordenadas na métrica que

descrevem as perturbações escalares. Duas dessas quatro funções podem ser eliminadas

fixando o sistema de coordenadas através da escolha de calibre (a escolha de calibre con-

siste em escolher um sistema de coordenadas específico) apropriado que permita uma

análise matemática simplificada com uma interpretação física mais simples. No entanto,

é necessario que com a mudança de coordenadas, os termos físicos sejam preservados,

ou seja, as combinações das funções devem ser invariantes por transformações de calibre

[24, 32, 40].


Para as perturbações escalares, as combinações mais simples invariantes de cali-

bre, denominadas de potenciais de Bardeen, são expressas da seguinte forma [41]:

ΦIC = A − 1

a

[(−B +

E ′

2

)a

]′, (2.54)

ΨIC = Ψ +1

6∇2E − a′

a

(B − E ′

2

), (2.55)

onde IC significa invariante de calibre e a linha é a derivada em relação ao tempo conforme

τ .

A condição de calibre mais usada é o calibre longitudinal (considerado como um

dos mais importante para o cálculo das perturbações), em que assume B = E = 0. Então,

utilizando esse calibre na Eq. (2.53), obtemos:

ds2 = a2(τ)[−(1 + 2Φ)dτ 2 + (1− 2Ψ)δijdxidxj]. (2.56)

As equações de Einstein linearizadas assumindo pequenas perturbações na mé-

trica de fundo, são dadas por:

δGµν = 8πGδT µν . (2.57)

Nesse caso, as componentes perturbadas do tensor de Einstein, δGµν , são:

δG00 =

2

a2[−3H(HΦ + Ψ′) +∇2Ψ]

δG0i =

2

a2∂i(HΦ + Ψ′) (2.58)

δGij = − 2

a2[(2H′ +H2)Φ +HΦ′ + Ψ′′ + 2HΨ′ +

1

2∇2D]δij −

1

2∂i∂jD,

onde D = Φ−Ψ eH ≡ a′

a.

As flutuações quânticas em torno do campo clássico são dadas por:


φ = φ0(t) + δφ(~x, t); δφ φ0, (2.59)

em que φ0(t) representa a parte homogênea e δφ, a parte perturbada. Assim sendo, as

perturbações da métrica são induzidas pelas perturbações do tensor energia-momento,

δT µν , do campo inflaton, tal que

T µν = T (0)µν + δT µν , (2.60)

onde

T(0)00 =

1

2a2φ′20 + V (φ0) T

(0)0i = 0 T

(0)ij =

(1

2a2φ′20 − V (φ0)

)δij , (2.61)

correspondem as componentes não perturbadas do tensor energia-momento e, através

das Eqs. (2.56) e (2.59), obtemos as componentes perturbadas descritas por:

δT 00 =

1

a2(−Φ φ′20 + δφ′φ′0 − δφ V ′a2)

δT 0i =

1

a2∂iδφ φ

′0 (2.62)

δT ij =1

a2(Φ φ′20 − δφ φ′0 + δφ V ′a2)δij.

Da Eq. (2.42) e da condição de rolamento lento V ′ = −3Hφ, (2.45), podemos obter

a seguinte relação:

H =4πG

3HV ′ φ0 = −4πG

a2φ′20 =

1

a2(−H2 +H′). (2.63)

Considerando que a componente δT ij do tensor energia-momento obedece a relação δT ij ∼

δij e tomando as componentes que envolvem i 6= j, na Eq. (2.57), obtemos ∂i∂j(Ψ−Φ) = 0

que implica em Ψ = Φ. Portanto, substitutindo as equações (2.58) e (2.62) na equação

(2.57), teremos [32]:


−∇2Ψ + 3H(Ψ′ +HΨ) = −4πG(δφ′φ′0 − φ′02Ψ + δφ V ′a2) (2.64)

Ψ′ +HΨ = 4πG δφ φ′0 = εH2 δφ

φ′0(2.65)

Ψ′′ + 3HΨ′ + (2H′ +H2)Ψ = 4πG(δφ′φ′0 − φ′02Ψ− δφ V ′a2). (2.66)

Somando as Eqs. (2.64) e (2.66) e utilizando a equação de Klein-Gordon da parte não

perturbada do campo, φ0, para eliminar V ′, encontramos a equação para o potencial gra-

vitacional expressa por:

Ψ′′k + 2

(H− φ′′0

φ′0

)Ψ′k +

[k2 + 2

(H′ −Hφ

′′0

φ′0

)]Ψk = 0, (2.67)

que em termos dos parâmetros slow-roll η e ε, são escritas da seguinte forma:

Ψ′′k + 2H (η − ε) Ψ′k +[k2 + 2H2 (η − 2ε)

]Ψk = 0. (2.68)

O valor de Ψ′k é aproximadamente constante na escala super-Hubble (k aH) desde que

Ψ′k ∼ (parâmetros η e ε) ×Ψk. Portanto, utilizando a Eq. (2.65), podemos relacionar a

flutuação do potencial gravitacional com a flutuação do campo inflaton da seguinte forma:

Ψk ' εHδφk

φ0

, (2.69)

o que nos permite introduzir uma nova quantidade invariante de calibre denominada de

perturbação de curvatura comóvel,Rk, expressa por [32, 41]:

Rk = Ψk +Hδφk

φ0

= (1 + ε)Hδφk

φ0

' Hδφk

φ0

, (2.70)

em que φ0 e δφk são, respectivamente, o campo escalar inflaton e sua perturbação. Em

hipersuperfícies comóvel onde δφ = 0, a perturbação de curvatura R é representada pelo

potencial gravitacional Ψ.

A função de correlação entre dois pontos da perturbação de curvatura, R, é des-

crita por:


〈RkRk′〉 = (2π)3δ(k + k′)PR(k), (2.71)

no qual PR(k) é o espectro de potência e pode ser escrito como [32, 42]:

PR =k3

2π2〈|R|2〉 =

k3

2π2

H2

φ02 |δφk|2 . (2.72)

O valor de δφk pode ser obtido a partir da seguinte equação [32]:

δφk + 3Hδφk +k2

a2δφk + V ′′δφk = −2ΨkV

′ + 4Ψkφ0. (2.73)

Considerando que na escala super-Hubble∣∣∣4Ψkφ0

∣∣∣ |ΨkV′|, usando a Eq. (2.69) e a

relação V ′ ' −3Hφ, podemos reescrever a equação de Klein-Gordon perturbada em escala

super-Hubble da seguinte forma:

δφk + 3Hδφk +(V ′′ − 6εH2

)δφk = 0. (2.74)

Durante a inflação a taxa de Hubble não é exatamente constante, varia de acordo

com H = −εH2 (expansão quase de Sitter). Usando a definição de tempo conforme

a(τ) = − 1

Hτ(1− ε), (2.75)

podemos reescrever a equação (2.74) para δχk = δφk/a na forma

δχ′′k +

[k2 − 1

τ

(ν2χ −

1

4

)]δχk = 0, (2.76)

que tem como solução genérica

δχk =√−τ [c1(k)Hνχ(x) + c2(k)H(2)

νχ (x)], (2.77)

em que Hνχ(x) e H(2)νχ (x) são as funções de Hankel de primeira e segunda espécie e x ≡

−kτ . Temos novamente dois limites:


• Quando k aH (−kτ 1) a solução toma a forma de ondas planas e−ikτ/√

2k

Hνχ(x 1) = H(2)νχ (x 1) ∼

√2

πxei(x−

πaνχ−π4 ). (2.78)

Fazendo c2(k) = 0 e c1(k) =√π

2ei(νχ+ 1

2), a solução torna-se

δχk =

√π

2ei(νχ+ 1

2)√−τHνχ(−kτ). (2.79)

• Quando k aH (−kτ 1) a função de Hankel assume a forma

Hνχ(x 1) ∼√

2

πe−i

π2 2νχ−

32

Γ(νχ)

Γ(3/2)x−νχ (2.80)

e a solução

δχk = e−i(νχ−32

) π2 2(νχ− 3

2) Γ(νχ)

Γ(3/2)

1√2k

(−kτ)12−νχ . (2.81)

Retornando a perturbação δφk na escala super-Hubble, pode-se ver que o termo

de massa a2V ′′ + 6εH2, incluído num período quase de Sitter, produz uma nova depen-

dência temporal na flutuação

|δφk| 'H√2k3

(k

aH

) 32−νχ

. (2.82)

Podemos então calcular o espectro de potência da perturbação na curvatura co-

móvel

PR =4πG

ε

(H

2π

)2(k

aH

)ns−1

. (2.83)

O espectro de potência é, em geral, uma função que depende exclusivamente do

modo k, e é calculado em k = aH , ou seja, quando um determinado modo cruza a saída do

horizonte durante a inflação. Fora do horizonte, os modos não evoluem, de tal forma que

a amplitude quando retorna ao horizonte, durante um período posterior a era dominada

pela radiação ou matéria, é a mesma de quando deixou o horizonte durante a inflação. Em


vez de especificar o espectro de potência diretamente como uma função k, é conveniente

especificá-lo em função de uma quantidade denominada de índice espectral ns ‖. Assim,

a variação de PR em termos de ns é dada por:

ns − 1 ≡ d lnPRd ln k

, (2.84)

de modo que um espectro invariante em escala, em que os modos têm amplitude cons-

tante na saída do horizonte, é caracterizado por ns ≈ 1.

O espectro de potência das flutuações tensoriais PT e o correspondente índice

espectral nT são respectivamente dados por [23, 43]:

P1/2T (kN) =

[4H

mPl

√π

]N

, (2.85a)

nT ≡d lnPTd ln k

. (2.85b)

A razão tensor-escalar, geralmente representado por uma quantidade r, é definida como:

r =PTPR

= 16ε, (2.86)

onde percebe-se que os modos tensoriais não são tão relevantes para ε 1. No limite do

regime slow-roll, os índices espectrais ns e nT variam lentamente com a escala. Portanto,

em termos dos parâmetros ε e η podem ser expressos da seguinte forma:

ns ∼ 1− 4ε+ 2η, (2.87a)

nT ∼ −2ε = −r8. (2.87b)

Como ε e η são parâmetros cujos valores são muito menor que a unidade (condição slow-

roll), aqui fica claro uma das previsões da inflação, ou seja, um ns muito próximo de 1.

Este é um aspecto importante porque é exatamente aquele que está sendo medido pelos

dados da RCF.‖O espectro de potência torna-se independente de escala, e consequentemente as flutuações terão a mesma amplitude

em qualquer escala.


2.5 Modelos de campos simples

Tendo em vista que a descrição de cenários inflacionários necessita de um campo

escalar φ, cuja dinâmica depende da forma específica do seu potencial V (φ), muitos mo-

delos têm surgido na literatura nas mais diferentes formas [44–47]. Dentre eles, podemos

destacar os modelos inflacionários de um único campo, que podem ser classificados como

[48]:

• Modelos do tipo I - modelos de large-field (modelos de campos grandes), possuem

um valor inicial para o inflaton maior que a massa de Planck mpl;

• Modelos do tipo II - modelos de small-field (modelos de campos pequenos), possuem

um valor inicial para o inflaton menor que a massa de Planck mpl.

E os modelos do tipo III, que correspondem aos modelos híbridos, que em sua

versão mais simples, envolve dois campos escalares durante a fase inflacionária.

2.5.1 Modelos large-field

Os modelos de campos grandes são caracterizados por potenciais que tenham

uma região suficientemente plana, que permitem a existência do regime slow-roll [49].

Nesse caso, o campo de inflação inicia maior que mpl e é deslocado para valores em que

φ ∼ mPl, e vai rolando lentamente em direção a um mínimo na origem. Conforme mostra

a Fig. (2.3).

Os potenciais genéricos de campos grandes que consideramos são os potenciais

polinomiais, V (φ) = Λ4(φ/µ)p, e potenciais exponenciais, V (φ) = Λ4 exp(φ/µ), em que os

parâmetros Λ e µ caracterizam a altura e largura dos potenciais, respectivamente [32, 48].

No caso do potencial exponencial, os parâmetros slow roll são constantes, ou seja,

não dependem do número de e-folds. A relação entre a razão tensor-escalar, r, e o índice

espectral, ns, é expressa por:

r = 8(1− ns). (2.88)


Figura 2.3: Exemplo de inflação de campo grande em que, esta fase, é dirigida pelo inflaton cujafunção potencial é do tipo monomial,V (φ) ∝ φp. Neste caso, a dinâmica do campo evolui deuma região super-planckiana durante a inflação, ∆φ > MPl, e uma grande amplitude de ondasgravitacionais é produzida por flutuações quânticas. Crédito: Baumann [23].

Para o potencial polinomial, V (φ) ∝ φp, temos [24, 42, 50]:

ns − 1 = −2 + p

2N, (2.89a)

r =8p

2N= 8

(p

p+ 2

)(1− ns). (2.89b)

Nessa classe de modelos temos os modelos de inflação caótica, bastante explorados na

literatura.

2.5.2 Modelos small-field

Os modelos de potenciais do tipo small-field podem aparecer em vários contextos

diferentes, como por exemplo no contexto da quebra espontânea de simetria, cuja função

generalizada é expressa pelo modelo de potencial V (φ) = Λ4[1 − (φ/µ)p], que pode ser

considerado como uma expansão de Taylor em menor ordem de um potencial arbitrário


em torno da origem. Os casos p = 2 e p > 2 têm comportamentos distintos [42, 50]:

p = 2,ns − 1 ∼ −(1/2π)(mPl/µ)2, (2.90a)

p > 2,ns ∼ 1− 2

N

(p− 1

p− 2

). (2.90b)

Para p = 2, observa - se que o índice espectral não depende do número de e-folds. Já a

razão tensor-escalar é dada por:

r = 8(1− n) exp [−1−N(1− ns)] . (2.91)

No caso de p > 2 a independência do índice espectral está relacionado a mPl/µ. Conside-

rando µ < mPl, teremos um limite superior em r dado por:

r < 8p

N(p− 2)

(8π

Np(p− 2)

)p/(p−2)

. (2.92)

Inflação híbrida

No cenário da inflação híbrida envolvendo dois campos escalares φ e σ, o poten-

cial efetivo pode ser expresso como [51]:

V (Ψ, φ) =1

4λ(M2 − λΨ2)2 +

m2

2φ2 +

g2

2φ2Ψ2 . (2.93)

Em que λ é a constante de acoplamento,M o termo de massa de Ψ e g é a constante

de acoplamento que parametriza a força de interação entre φ e Ψ. Durante a inflação,

quando φ > φc = M/g, o mínimo do potencial efetivo, V (Ψ, φ), está apenas em Ψ = 0, ou

seja, o campo Ψ está estabilizado.

No momento em que o campo inflaton, φ, se torna menor que φc, a transição de

fase e a quebra de simetria ocorrem. Nesse caso, os campos rolam para o mínimo do

potencial em φ = 0 e Ψ2 = M2/λ. O fim da inflação surge como resultado da instabilidade

do segundo campo, Ψ, conforme mostra a Fig. (2.4).


Figura 2.4: Potencial de inflação híbrida envolvendo dois campos escalares (2.93). Crédito: Fig.adaptada de [42].

Modelos de inflação híbrida tornam-se interessantes porque em teorias de super-

gravidade e cordas, envolvem muitos campos escalares diferentes, o que justifica a neces-

sidade de estudar modelos que envolvam vários campos.

2.6 A Radiação Cósmica de Fundo

A Radiação Cósmica de Fundo consiste em um sinal na faixa de microondas que

permeia o Universo apresentando um alto grau de isotropia [52]. Foi detectada no ano

de 1965, pelos engenheiros de telecomunicações Arno Allan Penzias e Robert Woodrow

Wilson [4], que captaram acidentalmente essa radiação em ondas de rádio de 7, 35 cm.

Posteriormente, através de dados obtidos pelo satélite COBE∗∗, foi confirmado que essa

radiação corresponde a radiação de um corpo negro (como ilustrada na Fig. 2.5), cuja

recentes medições, indicam que a sua temperatura média é 2.728± 0.004 K [48, 53, 54].

Em meio a esse fundo homogêneo e isotrópico existem flutuações de temperatura

da ordem de 10−5 K que foram medidas pelo COBE [55]. Estas anisotropias se apresentam

como variações na temperatura para as diferentes regiões do céu, conforme mostra a Fig.∗∗Satélite norte-americano que foi lançado em (1989) e operou até (1994), conduzindo três experimentos científicos

destinados a estudar a radiação cósmica primordial. Seu nome refere-se a expressão Cosmic Background Explorer.


Figura 2.5: Espectro térmico da RCF como observado pelo instrumento FIRAS a bordo do satéliteCOBE [54].

(2.6). O seu estudo é de suma importância sob o ponto de vista teórico, pois pode fornecer

várias informações no que se refere aos primeiros instantes do Universo, bem como, re-

velar detalhes importantes sobre a física de altas energias, em escalas de energia que não

estão acessíveis a experimentos terrestres.

Figura 2.6: Mapa das Flutuações de temperatura na Radiação Cósmica de Fundo, observado pelosatélite Planck. Crédito: Planck Collaboration [56].

As funções que permitem estudar qualitativamente essas anisotropias de tempe-


ratura da RCF serão apresentadas a seguir.

2.6.1 O espectro de potência angular

A função de correlação de temperatura entre dois pontos é definida da seguinte

forma [32, 39]:

C(~n1, ~n2) ≡ 〈∆T (~n1)∆T (~n2)〉 , (2.94)

em que ~n1, ~n2 indicam as direções de duas antenas que medem a diferença de temperatura

da RCF e os brackets 〈 · 〉 representam a média estatística das flutuações da temperatura

em certo volume. Como o Universo é isotrópico em larga escala, esta quantidade pode ser

representada por uma série de harmônicos esféricos Y ml (~n), cujo coeficientes de expansão

são dados por:

aTlm ≡∫

∆T (~n)Y ml (~n)d~n , (2.95)

∆T (~n) é o campo de temperatura sendo representado por:

∆T (~n) =∞∑l=1

l∑m=−l

aTlmYml (~n) . (2.96)

Substituindo a Eq. (2.96) em (2.94), obtemos:

C(~n1, ~n2) =

⟨ ∞∑l1=1

l1∑m1=−l1

aTl1m1Y m1l1

(~n1)∞∑l2=1

l2∑m2=−l2

aT∗l2m2Y m2∗l2

(~n2)

⟩. (2.97)

Os harmônicos esféricos formam um conjunto ortogonal e normalizado, ou seja,∫Y m′

l′ (~n)Y m∗l (~n) d~n = δll′δmm′ , então podemos multiplicar os dois lados da equação por

Y m∗l (~n1), Y m′

l′ (~n2) e integrar entre ~n1 e ~n2.

⟨aTlma

∗Tl′m′

⟩=

∫ ∫C(~n1, ~n2)Y m′

l′ (~n1)Y m∗l (~n2)d~n1d~n2 . (2.98)


Como C(~n1, ~n2) depende só de θ, podemos fazer a decomposição em termos dos polinô-

mios de Legendre Pl(cos(θ)), logo,

C(~n1, ~n2) = C(θ) =∞∑l=0

(2l + 1)

4πClPl(cos(θ)) , (2.99)

onde (2l + 1)Cl/(4π) são os coeficientes da decomposição, assim os polinômios de Legen-

dre Pl(cos(θ)) podem ser escritos em termos dos harmônicos esféricos da seguinte forma:

Pl(cos(θ)) =4π

2l + 1

l∑m=−l

Y m∗l (~n1)Y m

l (~n2) . (2.100)

Substituindo a Eq. (2.100) na Eq. (2.99), teremos:

C(~n1, ~n2) =∞∑l=0

Cl

l∑m=−l

Y m∗l (~n1)Y m

l (~n2) . (2.101)

Assim, substituindo esta última na Eq. (2.98), teremos:

⟨aTlma

∗Tl′m′

⟩= Clδll′δmm′ . (2.102)

Onde os coeficientes Cl são associados ao espectro de potência angular e l refere-se aos

multipolos. Sendo o Universo um observável, podemos definir um estimador para Cl,

que é dado por:

Cl =1

2l + 1

l∑m=−l

∣∣aTlm∣∣2 , (2.103)

em que Cl indica o estimador para Cl.

O estudo da RCF fornece uma medição bastante precisa do espectro de potência

angular. A Fig.2.7 mostra o espectro de potência angular das flutuações de temperatura

da RCF medidas pelo Planck, assim como também o best fit do modelo ΛCDM.


30 500 1000 1500 2000 2500

`

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

DTT

`[µ

K2]

Figura 2.7: Comparação entre o espectro de potência angular observado e medido a partir dosatélite Planck e o best fit do modelo ΛCDM. Os pontos azuis com suas respectivas barras de errorepresentam os dados observacionais e a curva vermelha, o best fit do modelo ΛCDM. Em queD` ≡ `(`+ 1)C`/2π. Crédito: Planck Collaboration [9].

2.7 Inflação e observações

A inflação resolve de forma bastante natural os problemas da cosmologia padrão

do Big Bang mas, o mais importante, é que suas previsões podem ser testadas pelas obser-

vações cosmológicas. As anisotropias de temperatura presentes na RCF representam as

flutuações de densidade originadas pelas perturbações de curvatura R que, por sua vez,

são bem explicadas pelo modelo inflacionário [51, 57].

Iremos apresentar nesta seção algumas das principais previsões da inflação, bem

como as mais recentes restrições sobre as principais previsões do modelo.

• A inflação prevê um Universo observável praticamente plano: devido a expansão

exponencial do fator de escala, durante a inflação, o termo de curvatura na Eq. (2.28)

torna-se muito pequeno, levando a um cenário de Universo aproximadamente plano.

Análises realizadas pela colaboração Planck mostram que o Universo observável

possue uma geometria espacial aproximadamente plana sendo a restrição sobre o

parâmetro de densidade de curvatura dada por ΩK = −0.052+0.049−0.055, envolvendo os


0.30 0.45 0.60 0.75

Ωm

0.30

0.45

0.60

0.75

ΩΛ

+TE+EE

+lensing

+lensing+BAO

40

44

48

52

56

60

64

68H

0

Figura 2.8: Plano Ωm − ΩΛ dos dados do Planck TT + lowP (amostras; codificados por cores pelovalor de H0) e Planck TT, TE, EE + lowP (contornos sólidos). A degenerescência geométrica entreΩm−ΩΛ é parcialmente amenizada incluindo os dados de lentes (contornos azuis) e BAO (contor-nos sólidos vermelhos). Crédito: Planck Collaboration [8].

dados (Planck TT+lowP, 95% C.L)††. Essa restrição pode ser aprimorada ainda mais

combinando os dados do Planck com o BAO, em que ΩK = 0.000+−0.005 (Planck

TT+lowP+lensing+BAO, 95% C.L), além disso, os resultados do Planck indicam que,

estatísticamente, o Universo apresenta um comportamento isotrópico em larga es-

cala [8, 58].

Da Eq. (2.10), temos que ΩK ≡ 1− Ωm − ΩΛ. Sendo assim, a Fig. 2.8 mostra o plano

Ωm − ΩΛ em que evidencia um Universo aproximadamente plano.

• Flutuações escalares primordiais são aproximadamente:

- Invariantes em escala: durante a inflação, o raio de Hubble, em que a amplitude

das flutuações primordiais está relacionada, é aproximadamente constante, o que††Na Fig. 2.8 as siglas TT e EE referem-se ao espectro de autocorrelação de temperatura e do modo E de polarização,

e TE à correlação cruzada entre eles. A combinação dos dados de polarização (espectros TE, EE e da autocorrelação domodo B, BB) em baixos multipolos (` < 29) é denotada por lowP.


leva a um espectro de potência primordial quase invariante em escala. Assim, PR(k)

pode ser aproximado a uma lei de potência descrita pela seguinte expressão [57]:

∆2s(k) ≡ k3

2π2PR(k) = As(k?)

(k

k?

)ns−1

(2.104)

dos quais ns é dado pela Eq.(2.87a) e a normalização As (amplitude escalar) é dada

por:

As ∼1

24π2

V

ε

∣∣∣∣k?=aH

. (2.105)

Dos últimos resultados do Planck, o valor do índice espectral é ns = 0.9655± 0.0062

(68% CL, Planck TT+lowP), indicando que as flutuações escalares primordiais são

quase invariantes em escala. Quanto as perturbações tensoriais ainda não foram

medidas em virtude da dificuldade de serem detectadas por possuirem um sinal

extremamente fraco. No entanto, foi estabelecido um limite superior para a razão

tensorial escalar, r < 0.12 (95% C.L) ‡‡ [9]. Estes resultados são suficientemente fortes

para favorecer ou não vários modelos inflacionários propostos, conforme podemos

observar na Fig. 2.9. Note que os modelos de potenciais que representam as ver-

sões mais simples da inflação caótica, em particular os monomiais com n > 2, são

desfavorecidos pelos dados, assim como também os modelos com potencial expo-

nencial e os modelos híbridos que envolvem termos quadráticos. O modelo quadrá-

tico, encontra-se no limite do contorno da região (95% C.L) permitido pelos dados,

enquanto que o modelo de Starobinsky se apresenta no plano ns − r fortemente fa-

vorecido, ocupando a região (68% C.L.).

- Adiabáticas ou de curvatura: na inflação de campo único, as perturbações na

densidade de energia total do Universo (energia e radiação) são puramente adia-

báticas. Isso significa que o estado local da matéria (representada pela densidade

de energia ρ), em algum ponto do espaço-tempo (t, x) do Universo perturbado é o

mesmo que o Universo de fundo em tempos ligeiramente diferentes. Nesse caso, as

flutuações do campo de inflação em grandes escalas são caracterizadas por um shift

local ao longo da trajetória do campo canônico. Essas mudanças, ao longo da traje-

tória do inflaton, afetam a densidade total em diferentes partes do Universo, após a‡‡Este limite superior para r foi obtido a partir de uma análise conjunta dos dados do BICEP2 / Keck Array e Planck.


Figura 2.9: Regiões conjuntas marginalizadas em 68% e 95% CL para ns e r0.002 do Planck e emcombinação com os dados do BICEP2 / Keck Array e do BAO comparando com as previsõesteóricas dos modelos inflacionários selecionados. Crédito: Planck Collaboration [9].

inflação, mas não podem gerar variações na densidade relativa entre diferentes com-

ponentes. Sendo assim, as perturbações de densidade produzidas durante a infla-

ção de campo único são caracterizadas por uma perturbação geral da curvatura Eq.

(2.70). Isso significa que todas as perturbações das espécies constituintes do fluido

cosmológico (fótons, neutrinos, bárions e partículas de matéria escura fria (CDM))

são originárias da mesma quantidadeR e satisfazem a seguinte condição adiabática:

δ(nm/nr) = 0 , ou ainda,

δρmρm

=3

4

δρrρr, (2.106)

em que os índices m e r correspondem a espécies não relativísticas (bárions e CDM)

e relativísticas (fótons e neutrinos), respectivamente.

Os últimos resultados do Planck mostram um comportamento oscilatório no espec-

tro de temperatura, que é compatível com perturbações puramente adiabáticas e,

portanto, restringindo qualquer contribuição de isocurvatura como muito pequena.

- Gaussianas: a inflação prevê que as perturbações primordiais possuem, estatís-

ticamemte, distribuição quase gaussiana, ou seja, as funções de correlação entre dois

pontos (como o espectro de potência) são suficientes para descrever todas as corre-


lações uniformes das funções de ordem superior. A não gaussianidade é suprimida

na inflação slow-roll, juntamente com às não linearidades do potencial do inflaton.

Desta forma, mesmo presentes, as características não gaussianas serão pequenas, já

que aparecem apenas em desvios de segunda ordem da solução do fundo homogê-

neo. Essas correlações de ordem superior necessitam de uma estatística mais robusta

e, portanto, são mais difíceis de medir, especialmente em grande escala angular em

que os erros de variância cósmica são significativos. Para a não gaussianidade, as

flutuações têm um biespectro BR(k1; k2; k3) não nulo (função de correlação entre três

pontos no espaço real). No caso de não gaussianidade local, o biespectro pode ser

definido da seguinte forma [23]:

BR(k1, k2, k3) =6

5fRNL × [PR(k1)PR(k2) + PR(k2)PR(k3) + PR(k3)PR(k1)] . (2.107)

em que fRNL é o parâmetro de não-linearidade, que caracteriza o nível de não-

Gaussianidade gerada durante a inflação. De acordo com os resultados mais recentes

do Planck, o valor desse parâmetro é estimado em f localNL = 0.8 ± 5.0, com 68% limite

de confiança (combinados dados de temperatura e polarização) [59]. Este valor da

amplitude é bem próximo de zero, estando de acordo com o que é previsto pelos

modelos inflacionários de campo simples, caracterizados pelo regime slow-roll.

CAPÍTULO 3

MODELO β-EXPONENCIAL

Neste capítulo, iremos apresentar o formalismo que possibilita analisar as previ-

sões teóricas e observacionais de uma classe de modelos inflacionários caracterizados por

potenciais generalizados do campo inflaton. Este método permite derivar restrições nos

parâmetros, de um determinado modelo de potencial característico. Sendo assim, anali-

samos os espectros observáveis e as restrições sobre uma determinada classe de modelos,

representada por um potencial específico do inflaton [1], utilizando os últimos dados do

Planck.

3.1 Formalismo

Nesta seção, iremos introduzir brevemente o formalismo utilizado para soluções

numéricas das equações, de modo que possibilita calcular o espectro de potência primor-

dial de um potencial inflacionário V (φ). Nesse sentido, as perturbações escalares podem

ser descritas pela quantidade u = aδφ, que está relacionada com a perturbação de curva-

turaR da seguinte forma [24, 42, 60]:

u ≡ −zR (3.1)

39

Capítulo 3. Modelo β-exponencial 40

em que z ≡ aφ/H , a o fator de escala e o ponto denota a derivada com respeito ao tempo

conforme τ =∫

dta

. Na teoria de perturbação linear as componentes de Fourier uk satisfa-

zem a equação [24, 42]

uk +

(k2 − z

z

)uk = 0, (3.2)

no qual k é o módulo do vetor de onda k. Esta equação representa infinitos osciladores

harmônicos de frequência dependente do tempo ω2k(τ) =

(k2 − z

z

).

A solução da Eq. (3.2) depende da dinâmica do background atráves de z e suas

derivadas, isto é, precisamos conhecer o comportamento do termo zz. As equações do

background podem ser expressas em termos do ln(a) e sabendo que H = d ln(a)dt

, podemos

escrever H ′ e a equação de movimento para o campo φ, como segue [60, 61]:

H ′ =− 1

2Hφ′2,

φ′′+

(H ′

H+ 3

)φ′ +

1

H2

dV

dφ= 0,

(3.3)

em que a linha (′), denota a derivada com respeito a N = ln(a). Sendo assim, a equação

de modo (3.2), pode ser escrita como [60, 61]:

u′′k +

(H ′

H+ 1

)u′k +

k2

a2H2−[2− 4

H ′

H

φ′′

φ′

−2

(H ′

H

)2

− 5H ′

H− 1

H2

d2V

dφ2

]uk = 0 . (3.4)

O termo entre colchetes corresponde a z/(za2H2). As equações (3.3) e (3.4) podem

ser resolvidas numericamente assumindo algumas condições iniciais.

Supondo que em Nsr o sistema apresente a solução inflacionária atratatora, φ


3Hφ e φ2 V (φ), as condições iniciais para φ e H serão:

φ(Nsr) = φsr,

φ,N(Nsr) = − 1

V (φsr)

dV

dφ

∣∣∣∣φsr

,

H(φsr) =

√V (φsr)

3.

(3.5)

Já para uk, as condições iniciais podem ser obtidas através da solução da Eq. (3.2), em que

pode ser analisada em dois regimes:

• No limite slow-roll em que k2 z′′/z, os comprimentos de ondas são bem menores

que o horizonte de Hubble, o que conduz a:

u′′k + k2uk = 0, (3.6)

cuja solução é do tipo ondas planas, da forma:

uk →1√2ke−ikτ . (3.7)

A normalização é determinada pela origem quântica das perturbações. Portanto,

fixando a fase irrelevante, obtemos as condições iniciais para o modo k em que

uk(τ0) = 1√2k

e u′k(τ0) = −i√

k2.

• No caso em que k2 z′′/z a Eq. (3.2) torna-se:

u′′k −z′′

zuk = 0, (3.8)

com solução, uk ∝ z, o que significa que a perturbação de curvatura, |R| = |uk/z| ,

permanece constante na escala fora do horizonte, ou seja, as perturbações “congelam

” [62].

O espectro de potência das perturbações de curvatura PR(k) está relacionado com uk e z

da seguinte forma [39, 61]:

PR(k) =k3

2π2

∣∣∣ukz

∣∣∣2 . (3.9)


Neste contexto, sendo calculado quando o modo cruza o horizonte. A equação de modo

para as perturbações tensoriais é dada por:

vk +

(k2 − a

a

)vk = 0 , (3.10)

ou ainda,

v′′k +

(H ′

H+ 1

)v′k +

[k2

a2H2−(

2 +H ′

H

)]vk = 0 . (3.11)

Nesse caso, o espectro de potência primordial das perturbações tensoriais será [61]:

Pt(k) =4k3

π2

∣∣∣vka

∣∣∣2 , (3.12)

similarmente ao caso anterior, o valor |vk/a| é obtido pelas soluções numéricas.

Em termos dos parâmetros AT (fator de normalização), nT (índice espectral), o

espectro de potência é expresso por:

Pg(k) ∼ AT (k?)

(k

k?

)nT, (3.13)

com AT ∼ 23π2V

∣∣k?=aH

.

3.2 Potencial inflacionário β-exponencial

Nesta seção, discutimos algumas das previsões teóricas do modelo potencial β-

exponencial, que foi introduzido e estudado inicialmente na ref. [1] como uma genera-

lização fenomenológica do potencial inflacionário exponencial representado pela função

V ∝ exp (−λΦ) (ver [15–17]). Tal modelo apresenta uma série de soluções cosmológicas

para um grande intervalo de valores do parâmetro β e, conforme mostramos no Apêndice

(A), pode ser derivado do contexto da cosmologia de branas, em que o radion (um campo

que descreve o tamanho da dimensão-extra) é interpretado como o inflaton [63–66].


0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0V(

)

= 0.0= 0.7= 1.5= 1.9

0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

V()

= 0.0= 0.7= 1.5= 1.9

Figura 3.1: O Potencial V (φ) em função do campo φ conforme a Eq. (3.14). O valor do parâmetroλ foi fixado em 0.1 (painel à esquerda) e 0.05 (painel à direita).

Na inflação β-exponencial, o potencial do inflaton é dado por [1]:

V (φ) = V0 exp1−β

(−λ φ

MPl

)= V0

[1 + β

(−λ φ

MPl

)]1/β

, (3.14)

em que a função exponencial generalizada exp1−β é definida como [67]:

exp1−β(f) =

[1 + βf ]1/β ⇒ [1 + βf ] > 0

0, caso contrário.

Conforme discutido na ref. [1], esta função também satisfaz a identidade inversa

exp1−β [ln1−β(f)] = f , em que ln1−β(f) = (fβ − 1)/β é a função β - logarítmica. No limite

β → 0, todas essas expressões reproduzem as propriedades exponenciais e logarítmicas

usuais. Portanto, β → 0 obtêm-se o potencial exponencial usual[16], no entanto, como

discutido na ref. [68], as previsões observacionais do potencial (3.14) são diferentes do

potencial exponencial usual.

O comportamento do potencial V (φ) como função do campo φ, é mostrado na

Fig. 3.1 . Observe que, para ∀ β 6= 0 as curvas apresentam um comportamento quase-

exponencial (lei-potência), para β = 0 o potencial exponencial usual é recuperado.

Como bem conhecido, o regime inflacionário slow-roll é caracterizado por parâ-


metros que dependem da forma do potencial e suas derivadas com respeito ao campo φ

[42]. Para o potencial β-exponencial, os parâmetros slow-roll, (2.47) e (2.48), são escritos

como:

ε(φ) =λ2

2

1

[1− βλφ]2e η(φ) =

λ2

2

1− 2β

[1− βλφ]2. (3.15)

No limite de β → 0 , a Eq. (3.15) reduz ao resultado do exponencial usual, ou seja,

ε ≡ η ≡ λ2

2≡ constante. Observa-se que, diferentemente do caso exponencial conven-

cional, é possível encontrar, a partir de (3.15), o valor do campo no fim da inflação (φe).

Portanto, assumindo ε(φe) = 1, obtemos:

φe =1

β

[1

λ− 1√

2

]∀ β 6= 0. (3.16)

O espectro primordial da perturbação de curvatura PR (2.71) pode ser descrito

por [42]:

PR =V (φ)

24π2ε|k=k∗ , (3.17)

em que (∗) refere-se a escala pivot, isto é, quando o modo k sai do horizonte na escala

em φ = φ∗. O valor de PR(k∗) é definido pela normalização COBE em 2.2 × 10−9 para a

escolha da escala pivot k∗ = 0.05 Mpc−1 [8]. Sendo assim, invertendo a Eq. (3.17), podemos

escrever o valor da amplitude V0 como

V0 =12π2λ2PR(k∗)

(1− βλφ∗)1+2ββ

. (3.18)

Da Eq. (3.18), observa-se a dependência estrita de V0 com os parâmetros λ e β,

ou melhor, a degenerescência de tais parâmetros no valor da amplitude do potencial. Isto

será de importância crucial para a análise na próxima seção. O valor do campo observável

φ∗ pode ser obtido utilizando a Eq. (2.49). Sendo assim, obtemos:

N∗ =β

2φ2∗ −

φ∗λ

+1

2λ2β− 1

4β, (3.19)

ou ainda,

φ∗ =1

βλ− 1

β

√0.5 + 2βN∗ . (3.20)


1.0e-14

1.0e-13

1.0e-12

1.0e-11

1.0e-10

1.0e-09

1.0e-08

0.0001 0.001 0.01 0.1 1

P(k

)

k

β = 1.0, λ = 0.11β = 0.8, λ = 0.11β = 0.5, λ = 0.11β = 0.8, λ = 0.01β = 0.8, λ = 0.50β = 1.3, λ = 0.09

power-law ΛCDM

Figura 3.2: Espectro de potência primordial PR para alguns valores selecionados do parâmetro β,com N = 55.

Note que, assumindo um campo inflacionário positivo, as condições slow-roll são

obedecidas pelo potencial β-exponencial para valores de β > 0 e 0 < λ <√

2. Finalmente,

o índice espectral primordial ns (2.87a), e a razão tensor-escalar r (2.86), podem ser escritos

respectivamente como

ns = 1− λ2 (1 + 2β)

[1− βλφ∗]2e r =

8λ2

[1− βλφ∗]2, (3.21)

e a relação entre ns e r é dada por

r =8(1− ns)(1 + 2β)

. (3.22)

Portanto, assumindo N = 55, podemos obter a dependência do espectro de potência pri-

mordial com os parâmetros β e λ, conforme apresentada na Fig. (3.2). Observa-se que

existe uma dependência considerável da amplitude com o conjunto (βλ). A Fig. (3.3) evi-

dencia melhor esse comportamento, em que se pode perceber que, dependendo da escolha

dos valores dos parâmetros, as previsões do modelo em relação ao espectro de potência

da anisotropia da temperatura alteram bastante sua amplitude. Nesse sentido, a escolha

dos parâmetros deve ser muito precisa, sendo necessário vinculá-los com os dados para

que possamos fazer uma boa análise em relação as previsões dos modelo.

Podemos ainda, através das Eqs. (3.21) e (3.22), analisar as previsões do modelo


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10 100 1000

l(l+

1)C

l/2π [

µK

2]

l

ΛCDM modelβ = 1.0, λ=0.11β = 0.8, λ=0.11β = 0.5, λ=0.11

PlanckPlanck

Figura 3.3: Espectro de potência angular para diferentes valores do parâmetro β, em comparaçãocom o best fit do modelo ΛCDM.

em relação ao índice espectral ns e a razão tensor-escalar r, construindo o gráfico ns−r com

as respectivas regiões de confiança. Sendo assim, a Fig. 3.4 mostra o plano ns − r para va-

lores de β satisfazendo a Eq. (3.19) e alguns valores selecionados de λ, considerando dois

diferentes números de e-folds, isto é, N = 50 e N = 60. Os contornos correspondem a 68%

e 95% C.L. (Confidence Level) obtidos a partir dos dados do Planck(2015)+BICEP2/Keck

Array [9]. Observa-se que, para os valores maiores do parâmetro β, o índice espectral

ns aumenta e de maneira oposta, a razão tensor-escalar r diminui, o que está de acordo

com as observações. Ao mesmo tempo, os valores do parâmetro β devem obedecer a

restrição φ∗ ≥ φini para o valor fixado de N∗, implicando em um intervalo mais restrito

de β (a escala inicial da inflação slow roll é convencionalmente assumida para ocorrer em

N∗ = 70, usando esse valor na Eq. (3.20) é possível calcular φini). Esta conclusão muda se

assumir menores valores para o parâmetro λ, como pode ser visto a partir de uma com-

paração direta dos painéis esquerdo e direito da Fig. (3.4). Note que as previsões do mo-

delo β-exponencial oferecem resultados para a razão tensor-escalar consistentes com os

do Planck, concordando em 1-σ C.L. β ' 1.2, enquanto o índice espectral nunca é compa-

tível com 1-σ C.L. para esses valores do parâmetro β. Essas previsões são muito próximas

de outras já estudadas na literatura, como por exemplo, as dos potenciais monomiais de

campo simples [9].


0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

ns

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

r 0.0

02 N=

50

N=

60

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Planck TT+lowP+BKP

0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

ns

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

r 0.0

02 N=

50

N=

60

0.6

0.7

0.8

1.2

1.4

1.6

3.0

4.0

Planck TT+lowP+BKP

Figura 3.4: Plano ns − r para o intervalo de valores do parâmetro β que satisfaz a Eq. (3.19),considerando dois valores do número de e-folds, N = 50 e N = 60. As regiões de contornocorrespondem aos dados do Planck(2015)+BICEP2/Keck (68% e 95% C.L.). No Painel a esquerdaassumimos λ = 0.1 e no painel a direita o valor de λ é fixado em 0.01.

3.2.1 Códigos

Para analisar o modelo dado pela Eq. (3.14), utilizamos três códigos: O CAMB,

COSMOMC e o MULTINEST, necessários para gerar o espectro de potência, estimar pa-

râmetros cosmológicos e fazer comparação entre diferentes modelos, respectivamente. O

código COSMOMC é o mais utilizado para resolver as equações de Boltzmann ∗ e explorar

o espaço dos parâmetros cosmológicos [69], nesse caso, as previsões teóricas são gera-

das pelo código CAMB [70] e as análises são obtidas através do método Markov-Chain

Monte-Carlo. Foram realizadas duas modificações principais para a versão mais recente

do código COSMOMC. A primeira no código CAMB, que em sua formulação básica as-

sume uma parametrização power-law para o espectro primordial de perturbações dada

por PR = As(k/k∗)ns−1. No nosso caso, estamos trabalhando com o potencial do campo

escalar e é necessário calcular a dinâmica e as perturbações do modelo para gerar o es-

pectro de potência primordial. Sendo assim, modificamos o código CAMB seguindo as

linhas do MODECODE [61, 71], adaptado para o modelo de potencial a ser analisado. O

MODECODE consiste numa ferramenta numérica bastante precisa que permite calcular a∗As equações de Boltzmann, no contexto cosmológico, são aplicadas para descrever os fluidos de bárions e fótons

no Universo primordial. Tais equações são resolvidas utilizando softwares numéricos que possibilitam calcular suasintegrais.


anisotropia da CMB, resolvendo numericamente as equações do modo inflacionário que

envolve uma forma exata do potencial do inflaton V (φ) de um modelo inflacionário de

único campo. Portanto, o código resolve as equações de Friedmann e Klein-Gordon, bem

como as componentes de Fourier da quantidade invariante de Gauge u. Integrando este

sistema de equações Eqs. (3.3) e (3.4), é possível obter o parâmetro de Hubble H , o campo

φ como função do tempo e a solução uk para o modo k. Assim, seguindo estas etapas,

o código pode calcular o espectro de potência da perturbação de curvatura PR Eq. (3.9),

avaliado quando o modo cruza o horizonte.

A segunda modificação principal foi feita no código COSMOMC, ou seja, imple-

mentando o algoritmo MULTINEST [72–74] para fazer a análise Bayesiana do modelo.

Este último, permite analisar com precisão modelos que envolvem um número conside-

rável de parâmetros e que apresentem distribuições de densidade não gaussianas e/ou

degenerescência. Além disso, possibilita calcular a evidência bayesiana com uma estima-

tiva de erro, permitindo fazer comparação entre vários modelos.

3.2.1.1 Inferência bayesiana

Na cosmologia, um dos métodos mais utilizado para análise estatística dos dados

é a inferência bayesiana que tem como principal característica atribuir probabilidade a

todas as quantidades envolvidas e tratá-las de acordo com uma série de regras, entre as

quais o teorema de Bayes é o mais importante. [75, 76]. O objetivo é atualizar nosso co-

nhecimento sobre a distribuição de uma variável aleatória com novos dados emergentes.

Uma implicação importante é que temos que quantificar o que acreditamos que sabíamos

antes de colecionar os dados: O que é conhecido como probabilidade à priori. Todas as

etapas subsequentes são algorítmicas, mas a definição do prior é subjetiva, pois se pode

utilizar diferentes métodos para obter o conhecimento prévio a respeito dos parâmetros.

Já a probabilidade posterior é a probabilidade do parâmetro do modelo obter cer-

tos valores, após a realização da experiência. Assim, pode ser definida como:

p(θ|x), (3.23)


onde θ é o parâmetro desconhecido do modelo e x corresponde aos dados observados.

Assim, pode-se obter os valores esperados e seus respectivos erros. A maioria das vezes,

podemos calcular o contrário, ou seja, p(x|θ). Sendo assim, considerando por exemplo, um

modelo gaussiano com média µ e variância σ2 e seja, θ = (µ, σ), parâmetros do modelo,

logo a probabilidade da variável x dados os parâmetros é:

p(x|θ) =1√2πσ

exp

[−(x− µ)2

2σ2

]. (3.24)

Nesse caso, podemos relacionar esta última expressão com p(θ|x) através do teorema de

Bayes da seguinte forma:

p(θ|x) =p(θ, x)

p(x)=p(x|θ)p(θ)p(x)

, (3.25)

onde p(θ|x) corresponde a probabilidade posterior para os parâmetros; p(x|θ) é conhecida

como a likelihood (também pode ser representada por L(x; θ)); p(θ) é denominada de prior

(refere-se ao resultado de experimentos anteriores, ou teoria a respeito dos parâmetros)†

e p(x) é a evidência que é dada por:

p(x) =

∫dθp(x|θ)p(θ). (3.26)

Esta última, representa a normalização das probabilidades para estimação dos parâme-

tros.

As evidências desempenham um papel importante na seleção do modelo, quando

se considera mais de um modelo teórico e se quer discriminar entre os modelos, indepen-

dentemente dos parâmetros.

A análise bayesiana é uma ferramenta muito importante para identificar o mo-

delo que se ajusta bem aos dados cosmológicos. Nesse contexto, é considerado o melhor

modelo aquele que consegue o melhor compromisso entre qualidade de ajuste aos da-

dos e preditividade. Realmente, um modelo com mais parâmetros livres sempre ajustará

melhor os dados quando comparado com o modelo com menos parâmetros, no entanto,

tal complexidade adicional deve ser evitada sempre que um modelo mais simples forne-†Vale mencionar que, na ausência de qualquer informação anterior, o prior é geralmente assumido como uma cons-

tante ou "prior plano".


cer uma descrição adequada das observações. O que a comparação bayesiana de mode-

los faz é avaliar o quanto a complexidade extra de um modelo é requerida pelos dados,

tendo preferência modelos que descrevam bem os dados sobre uma grande fração de seu

volume do espaço de parâmetros‡. Portanto, vamos assumir dois modelos concorrentes

denotados por M e M ′ (este último, tem menos parâmetros em relação ao outro) respec-

tivamente, cujo x corresponde aos dados e θ, θ′ os parâmetros de cada modelo. Assim, a

probabilidade posterior do modelo M será dada pelo teorema de Bayes:

p(θ|x,M) =p(x|θ,M)p(θ|M)

p(x|M), (3.27)

que relaciona a probabilidade posterior p(θ|x,M) com a likelihood (p(x|θ,M)) e a função de

distribuição de probabilidade á priori (p(θ,M)). A evidência é caracterizada pelo denomi-

nador do teorema de Bayes e é dada por:

p(x|M) =

∫dθp(x|θ,M)p(θ|M). (3.28)

Similarmente, obtemos essa relação para o modelo M ′. Portanto, a discriminação entre os

dois modelos concorrentes pode ser obtida ao se tomar a razão entre suas evidências:

BM ′M =

∫dθ′p(x|θ′,M ′)p(θ′|M ′)∫dθp(x|θ,M)p(θ|M)

(3.29)

A Eq. (3.29), é conhecida como fator de Bayes do modelo M ′ relativo ao modelo M .

A forma mais usual de classificar os modelos de interesse é adotar a escala de

Jeffrey para avaliar as diferenças de evidência, ou seja, interpretar os valores de lnBij em

termos da força da evidência de um modelo de referência escolhido. Portanto, conside-

rando dois modelos, teremos [78]: lnBij = 0−1 , lnBij = 1−2.5, lnBij = 2.5−5, e lnBij > 5

que indicam, respectivamente, inconclusivo, fracamente favorecido, moderadamente fa-

vorecido e fortemente favorecido em relação ao modelo de referência j. Observe que os

valores negativos de lnBij favorecem fortemente o modelo de referência.

Vale ressaltar que, para nossos resultados, usamos o algoritmo Bayesiano mais‡Para um estudo mais aprofundado sobre a abordagem Bayesiana de seleção de modelos sugerimos ao leitor ver

[77, 78].


preciso Importance Nested Sampling (INS) [74, 79] ao invéns do (NS), alcançando um erro

global < 0.1 do Log-Evidência do INS.

3.3 Análise

Em nossa análise, variamos os parâmetros cosmológicos usuais, ou seja, a den-

sidade bariônica, Ωbh2, densidade de matéria escura, Ωch

2, a razão entre o horizonte do

som e a distância do diâmetro angular no desacoplamento, θ, a profundidade ótica, τ e

os parâmetros β e λ. Também variamos os parâmetros nuisance foreground (parâmetros li-

gados a likelihood dos dados do Planck) [80] e consideramos condições iniciais puramente

adiabáticas. A soma das massas de neutrinos é fixada em 0, 06 eV e limitamos a análise as

perturbações escalares com k∗ = 0.05 Mpc−1. Realizamos nossa análise assumindo os pri-

ors dos parâmetros cosmológicos mostrados na Tab. 3.1. Os valores dos parâmetros β e λ

são escolhidos a partir das considerações feitas na seção 3.2 – em particular, nos referimos

às previsões observacionais da Fig. 3.4 e também baseado na correlação entre os parâme-

tros λ e β, como mostrado na Eq. (3.18). Principalmente por esta razão, realizamos dois

tipos de análises, deixando ambos os parâmetros livres para variar (modelo-1) e fixando o

valor de λ apropriadamente (modelo-2). Em particular, o valor λ que consideramos para o

(modelo-2) é o best fit obtido da análise do (modelo-1). Para ambas as análises, assume-se

o valor arbitrário do número de e-folds, isto é, N∗ = 55.

3.4 Dados

A likelihood do Planck refere-se aos dados completos da missão que correspondem

aos dados das anisotropias de temperatura e polarização da RCF.O satélite Planck opera

com instrumentos de baixa frequência (LFI) e alta frequência (HFI) necessários para ma-

pear o céu em diferentes frequências, com a finalidade de determinar os espectros de tem-

peratura e polarização em diferentes escalas angulares [9]. Portanto, utilizamos a segunda

release dos dados do Planck [80] nomeado (TT+lowP), que envolve os dados de tempera-

tura em altos multipolos na faixa 30 < ` < 2508 de 100-,143-, e 217-GHz da metade da


Tabela 3.1: Priors dos parâmetros cosmológicos considerados na análise.

Parâmetro Prior100 Ωbh

2 (0.005, 0.1)Ωch

2 (0.001, 0.99)100 θ (0.5, 10)τ (0.01, 0.8)β (0.3, 5)λ¶ (0.01, 0.17)

missão TT e dados de polarização em baixos multipolos (low-P) da likelihood conjunta dos

espectros TT, EE, BB e TE no intervalo de 2 < ` < 29, dos quais TE, EE e BB são os modos E

e B do espectro de potência da polarização da RCF e TE é a correlação cruzada da tempera-

tura e polarização. Para a segunda análise, também consideramos os resultados do Riess

et al. que avalia o valor local da constante de Hubble em H0 = 73.24± 1.74 km.s−1.Mpc−1

(68% C.L.), com base em medições diretas realizadas pelo telescópio espacial Hubble§ [81].

Esta medida é usada como um prior gaussiano externo e nos referimos a este conjunto de

dados como TT+lowP+HST.

3.5 Resultados

Os principais resultados quantitativos da nossa análise, usando os dados

TT+lowP, são mostrados na Tab. 3.2, em que relatamos as restrições nos parâmetros cos-

mológicos e primordiais para os três cenários analisados. Observe que os resultados do

modelo β-exponencial concordam com o modelo ΛCDM em 1σ, como também mostrado

na Fig. 3.5.

Na Fig. 3.6 plotamos o best fit das curvas para os modelos analisados em com-

paração com a cosmologia ΛCDM. Na última linha da Tab. 3.2, podemos ver que o β-

exponencial (modelo-1) é fortemente desfavorecido em relação ao modelo de referência. Ao

mesmo tempo, na Tab. 3.3, apresentamos os resultados usando os dados TT+lowP+HST.

Podemos ver que a escolha de fixar o valor de λ (modelo-2) permite restringir melhor

o valor de β e, quando comparado com o modelo de referência, apresenta-se fracamente§Os dados do HST (Hubble Space Telescope) reduziu a incerteza no valor local da constante de Hubble de 3,3% para

2,4% usando quatro calibrações de distância geométrica de Cepheids [81].


Tabela 3.2: 68% Limite de confiança para os parâmetros cosmológicos usando os dados TT+lowPdo Planck (2015). A primeira coluna mostra as restrições no modelo de referência ΛCDM enquantoa segunda e a terceira colunas mostram, respectivamente, os resultados da análise para o modeloβ-exponencial variando ambos os parâmetros β e λ e para o modelo β-exponencial com λ fixado aovalor arbitrário de 0.07. O ∆χ2

best e o lnBij referem-se a diferença das análises entre β-exponencial(modelo-1), (modelo-2) e o de referência ΛCDM.

Parâmetro ΛCDM β-exp. (modelo-1) β-exp. (modelo-2)100 Ωbh

2 2.222± 0.022 2.245± 0.019 2.247± 0.019Ωch

2 0.1197± 0.0021 0.1167± 0.0012 0.1163± 0.0012100 θ 1.04085± 0.00045 1.04120± 0.00041 1.04130± 0.00041τ 0.077± 0.018 0.094± 0.016 0.097± 0.017ns 0.9655± 0.0062 − −

ln(1010As) 3.088± 0.034 − −β − 1.63± 0.57 1.92± 0.05λ − 0.079± 0.013 fixed to 0.07

H0 [km s−1 Mpc−1] 67.31± 0.95 68.68± 0.54 68.86± 0.52Ωm 0.315± 0.013 0.296± 0.007 0.294± 0.007ΩΛ 0.685± 0.013 0.703± 0.007 0.706± 0.007

∆χ2best − −3.9 −3.2

lnBij − −8.3 −2.4

Tabela 3.3: 68% Limite de confiança para os parâmetros cosmológicos usando os dadosTT+lowP+HST. A primeira coluna mostra as restrições no modelo de referência ΛCDM enquantoque a segunda mostra os resultados da análise do modelo β-exponencial com λ fixado ao valorde 0.07. Como na Tab. II, o ∆χ2

best e o lnBij referem-se a diferença das análises entre o modeloβ-exponencial (modelo-2) e o de referência ΛCDM.

Parâmetro ΛCDM (TT+lowP+HST) β-exp. modelo-2 (TT+lowP+HST)100 Ωbh

2 2.245± 0.022 2.253± 0.019Ωch

2 0.1167± 0.0019 0.1157± 0.0011100 θ 1.04130± 0.00044 1.04141± 0.00040τ 0.091± 0.019 0.098± 0.016ns 0.9730± 0.0057 −

ln(1010As) 3.109± 0.036 −β − 1.92± 0.05λ − fixed to 0.07

H0 [km s−1 Mpc−1] 68.74± 0.87 69.19± 0.49Ωm 0.296± 0.011 0.290± 0.006ΩΛ 0.704± 0.011 0.710± 0.006

∆χ2best − 1.9

lnBij − 2.6

desfavorecido. Isto é basicamente devido a degenerescência entre os parâmetros β e λ,

discutido nas seções anteriores.


64 66 68 70

H0

0.116

0.120

0.124

0.128

Ωch

2

0.04

0.08

0.12

0.16

τ

1.8

1.9

2.0

2.1

β

0.0216 0.0222 0.0228

Ωbh2

64

66

68

70

H0

0.116 0.120 0.124 0.128

Ωch2

0.04 0.08 0.12 0.16

τ

1.8 1.9 2.0 2.1

β

Figura 3.5: Regiões de confiança para análise β-exponencial ’modelo-2’ (contornos vermelhos) e omodelo de referência ΛCDM (contornos azuis), ambos usando os dados TT+lowP Planck (2015).

Um aspecto importante que vale a pena mencionar diz respeito às previsões do

modelo β- exponencial em relação ao índice espectral ns (veja Fig. 3.4). Esta classe de

modelos prevê um valor maior de ns com respeito ao modelo ΛCDM para os valores de β

restringidos pelos dados. Em particular, o valor derivado do índice espectral é ns ∼ 0.976

para o (modelo-1) e ns ∼ 0.977 para o (modelo-2) (veja Eq. 3.21). Como é bem conhecido

(para mais detalhes, veja Ref. [82]), quanto maior o valor de ns, maiores valores de Ωbh2

e τ e, consequentemente, o valor mais alto de H0. Portanto, esse modelo inflacionário

leva naturalmente a valores mais altos de H0, que está em melhor acordo com a taxa de

expansão local com base em medições diretas feitas com o Telescópio espacial de Hubble

[81].

Como mencionado anteriormente, também realizamos uma análise do modelo β-

exponencial à luz do conjunto de dados TT+lowP+HST. Os resultados são mostrados na

Tab. 3.3. Notamos que, nesse caso, o prior gaussiano em H0 modifica os resultados an-


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

l(l+

1)C

l/2π [

µK

2]

l

ΛCDM modelβ-inflation model-1β-inflation model-2

Planck 2015

Figura 3.6: O espectro de potência da temperatura para o valores do best fit β-exponencial modelo-2(curva vermelha) e β-exponencial modelo-1 (curva verde) em comparação com o best fit do modeloΛCDM (curva azul) e os dados do Planck (2015).

teriores para a evidência do modelo padrão e faz com que o modelo β- exponencial seja

moderadamente preferido (lnBij = 2.6) sobre a cosmologia de referência ΛCDM. É impor-

tante enfatizar que esses resultados dependem da escolha do número de e-folds usado para

a análise, ou seja, N∗ = 55. Para um valor menor de N∗, pode-se obter um valor de acordo

com o modelo ΛCDM, o que estaria de acordo com os resultados mostrados na Fig. (3.4).

Observa-se, a partir da comparação dos resultados das análises usando os dados da CMB,

Tab. 3.2, e os dados CMB+HST, Tab. 3.3, que ao adicionar o prior H0 torna a evidência

Bayesiana e o log absoluto das likelihoods pior. Nesse contexto, o modelo β- exponencial

compensa parcialmente isso, descrevendo os dados melhor do que o modelo ΛCDM.

CAPÍTULO 4

ACOPLAMENTO NÃO MÍNIMO E VÍNCULOS COM A RCF

Neste capítulo, iremos discutir a possibilidade de considerar modelos em que o

campo escalar inflaton é acoplado não minimamente à gravidade. Geralmente, os acopla-

mentos não mínimos podem surgir de forma natural em correções radiativas no contexto

da teoria quântica de campos (QFT) no espaço-tempo curvo [83], assim como também, no

contexto da supergravidade e teoria de cordas. Dentro desse contexto, foi proposto uma

classe de modelos de inflação caótica não minimamente acoplado à gravidade [18] e foi

discutido a possibilidade de implementar a inflação caótica com o campo de Higgs não mi-

nimamente acoplado à gravidade desempenhando o papel do campo inflaton [19, 84–86].

Sendo assim, tal abordagem pode ser interessante porque, dentre outras possibilidades,

pode oferecer um mecanismo natural para a planura do potencial [19, 87], tornando-se

possível obter previsões de quantidades observáveis que estejam em melhor acordo com

as observações da RCF.

4.1 Acoplamento não mínimo e inflação

O acoplamento não mínimo, no contexto inflacionário, consiste em termos um

campo escalar homogêneo φ(t) que está não minimamente acoplado à gravidade através

56

Capítulo 4. Acoplamento não mínimo e vínculos com a RCF 57

da seguinte ação:

S =

∫d4x√−g(

Ω2

2κ2R− gµν∂µφ∂νφ/2− V (φ)

), (4.1)

em que κ = 8πG = 1, V (φ) é o potencial inflacionário e Ω2 é uma função que pode ser

definida como :

Ω2 = 1 + ξφ2 . (4.2)

ξ é a constante de acoplamento adimensional responsável pelo grau de interação entre

o campo escalar φ(t) com a curvatura do espaço-tempo. O valor de ξ, algumas vezes,

é fixado de acordo com a teoria de campo escalar considerada [88], no nosso caso, es-

tamos assumindo como um parâmetro livre em que seu valor é restringido pelos dados

observacionais. Sendo assim, pode ser considerado como um parâmetro extra da inflação

que pode melhorar o cenário inflacionário. Vale salientar que, o caso em que o parâme-

tro ξ = 0, recai no cenário padrão em que o campo escalar é minimamente acoplado à

gravidade.

Existem duas formulações possíveis de teorias escalar-tensorial [89]: A versão

denominada de quadro de Jordan (Jordan Frame), em que o campo escalar φ está não mi-

nimamente acoplado à gravidade, e a versão baseada no quadro de Einstein, em que o

campo φ está minimamente acoplado. Devido ao acoplamento não mínimo presente na

Eq. (4.1), as equações de campo tornam-se bastante difíceis e uma técnica geralmente uti-

lizada para se tornar mais viável, é a chamada transformação conforme, que consiste em

redefinir a métrica a partir da seguinte relação

gµν → gµν = Ω2gµν . (4.3)

Sendo assim, a ação descrita pela Eq. (4.1) pode ser expressa em termos da nova métrica

gµν , em que se define um novo quadro (quadro de Einstein), tornando as equações mais

simples. Aqui estamos identificando este novo quadro com o til (∼).

Assim, temos as seguintes relações: g é o det(gµν), gµν = Ω−2gµν e g ≡ det (gµν) =

Ω2ng. Sendo n a dimensão do espaço-tempo.


Logo, da Eq. (4.3), teremos

g = Ω8g → e√−g = Ω4

√−g. (4.4)

Então, as conexões e o escalar de Ricci transformam-se da seguinte forma [90]:

Γαβγ = Γαβγ + Ω−1(δαβ∇γΩ + δαγ∇βΩ− gβγ∇αΩ

), (4.5)

Rαβγδ = Rαβγ

δ + 2δδ[α∇β]∇γ(ln Ω)− 2gδσgγ[α∇β]∇σ(ln Ω) + 2∇[α(ln Ω)δδβ]∇γ(ln Ω)

−2∇[α(ln Ω)gβ]γgδσ∇σ(ln Ω)− 2gγ[αδ

δβ]g

σρ∇σ(ln Ω)∇ρ(ln Ω) , (4.6)

Rαβ = Rαβ − (n− 2)∇α∇β(ln Ω)− gαβgρσ∇ρ∇σ(ln Ω) + (n− 2)∇α(ln Ω)∇β(ln Ω)

−(n− 2)gαβ gρσ∇ρ(ln Ω)∇σ(ln Ω) , (4.7)

R ≡ gαβRαβ = Ω−2

[R− 2 (n− 1) (ln Ω)− (n− 1) (n− 2)

gαβ∇αΩ∇βΩ

Ω2

], (4.8)

onde = gµν∇µ∇ν e n corresponde a dimensão do espaço-tempo. No caso n = 4, o

escalar de curvatura tem a seguinte expressão:

R = Ω−2

[R− 12(

√Ω)√

Ω− 3gαβ∇αΩ∇βΩ

Ω2

]. (4.9)

Vale ressaltar que esta transformação afeta os intervalos do espaço-tempo e a

norma do vetor, mas preserva ângulos entre os vetores, ou seja, o espaço-tempo perma-

nece com a mesma estrutura causal.

Então, invertendo a Eq. (4.9) e combinando com (4.4) e comparando com (4.1)

teremos:

S =

∫d4x√−g(

1

2R− F (φ)gµν∂µφ∂νφ/2−

V (φ)

Ω4

), (4.10)


O termo F (φ) que aparece na Eq. (4.10) é definido como:

F (φ) ≡ Ω−2 +3

2

(d ln Ω2

dφ

)2

. (4.11)

Note que no quadro de Einstein o acoplamento não mínimo desaparece no setor gravita-

cional, mas, inversamente, temos um termo cinético não padrão para o inflaton. Então, via

uma redefinição do campo, é possível descrever a teoria em termos de um novo campo σ,

que está relacionado com o original por:

dσ ≡√F (φ) dφ, (4.12)

ou ainda,

dσ =

√1 + ξφ2(1 + 6ξ)

(1 + ξφ2)2dφ. (4.13)

Que por definição tem um termo cinético padrão.

Portanto, com a definição do novo campo, a ação no quadro de Einstein torna-se:

S =

∫d4x√−g(

1

2R− gµν∂µσ∂νσ/2− V (σ)

), (4.14)

onde V (σ) ≡ V (φ)Ω4 .

A dinâmica inflacionária em ambos os quadros é descrita pelo regime slow-roll.

No entanto, com o acoplamento não mínimo, ao passar do quadro de Jordan para o de

Einstein, o potencial é modificado e os parâmetros slow-roll ε e η [23, 38, 42], em termos do

campo escalar φ = φ(σ) (obtido integrando e invertendo a Eq. (4.13)), são redefinidos da

seguinte forma:

ε(φ) =1

2

(V ′

V σ′

)2

, e η(φ) =V ′′

V (σ′)2− V ′σ′′

V (σ′)3. (4.15)

Em que a linha (’) denota a derivada com respeito a φ. A expressão para o número


de e-folds, nesse caso, é representada por:

N∗ =

∫ φ∗

φend

dφ√2ε

(dσ

dφ

)2

. (4.16)

4.2 Potencial β-exponencial e acoplamento não mínimo

No Cap. 3, analisamos as previsões teóricas e observacionais do modelo inflaci-

onário β-exponencial para o caso do campo escalar minimamente acoplado à gravidade.

Nesta seção, iremos abordar o modelo, descrito na Eq. (3.14), no contexto do acoplamento

não mínimo.

Considerando o acoplamento não mínimo, o modelo β-exponencial, torna-se:

V =V0

[1 + β (−λ φ

MPl)]1/β

(1 + ξ φ2)2 . (4.17)

Logo, utilizando a Eq. (4.15), obtemos:

ε =(4 β λφ2ξ − λφ2ξ − 4φ ξ − λ)

2

2 (β λφ− 1)2 (6 ξ2φ2 + ξ φ2 + 1)(4.18)

e

η =(β λφ− 1)−2

(6 ξ2φ2 + ξ φ2 + 1)2

[96 β2λ2φ6ξ4 + 16 β2λ2φ6ξ3 − 48 β λ2φ6ξ4 − 8λ2φ6ξ3β

+6λ2φ6ξ4 − 192 β λφ5ξ4 + λ2φ6ξ3 + 12 β2λ2φ4ξ2 − 60 β λ2φ4ξ3 − 32 β λφ5ξ3

+42φ5ξ4λ− 17λ2φ4ξ2β + 12λ2φ4ξ3 + 7φ5ξ3λ+ 3λ2φ4ξ2 + 96φ4ξ4 − 4 β2λ2φ2ξ

−12 β λ2φ2ξ2 − 24 β λφ3ξ2 + 48λφ3ξ3 + 16 ξ3φ4 − 10λ2φ2ξ β + 6λ2φ2ξ2

+14φ3ξ2λ+ 3λ2φ2ξ + 8 β λφ ξ + 6φ ξ2λ+ 12 ξ2φ2 − λ2β + 7λφ ξ + λ2 − 4 ξ

]. (4.19)

Utilizando a Eq. (4.18), podemos obter o campo no fim da inflação considerando


ε = 1. Sendo assim, teremos:

1 =

(4 β λφe

2ξ − λφe2ξ − 4φe ξ − λ)2

2 (β λφe − 1)2 (6 ξ2φe2 + ξ φe

2 + 1) (4.20)

A relação da amplitude V0, Eq. (3.18), com os parâmetros λ, β e ξ na saída do horizonte é

descrita por:

V0 =12π2 PR(k∗)

(ξ φ∗

2 + 1)2 (

4 β λφ∗2ξ − λφ∗2ξ − 4φ∗ ξ − λ

)2

(−β λφ∗ + 1)β−1

(β λφ∗ − 1)2 (6 ξ2φ∗2 + ξ φ∗

2 + 1) . (4.21)

O número de e-folds (4.16) é dado por:

N =

∫ φ∗

φe

− (β λφ− 1) (6φ2ξ2 + φ2ξ + 1)

(φ2ξ + 1) (4 β λφ2ξ − λφ2ξ − 4φ ξ − λ)dφ. (4.22)

Uma vez que não é possível encontrar uma solução analítica para a equação (4.20)

e consequentemente para as equações (4.21) e (4.22), resolvemos numericamente e obte-

mos duas soluções para (4.20), assumindo N∗ = 55. Portanto, podemos expressar o índice

espectral nS (2.87a) e a razão tensor-escalar r (2.86), da seguinte forma:

ns − 1 = − (β λφ∗ − 1)−2(6 ξ2φ∗

2 + ξ φ∗2 + 1

)2

[96 β2λ2φ∗

6ξ4 + 16 β2λ2φ∗6ξ3 − 48 β λ2φ∗

6ξ4 − 8λ2φ∗6ξ3β

8 ξ + 6λ2φ∗6ξ4 − 192 β λφ∗

5ξ4 + λ2φ∗6ξ3 + 24 β2λ2φ∗

4ξ2 − 24 β λ2φ∗4ξ3 − 32 β λφ∗

5ξ3

+60φ∗5ξ4λ− 14λ2φ∗

4ξ2β + 12λ2φ∗4ξ3 + 10φ∗

5ξ3λ+ 3λ2φ∗4ξ2 + 96φ∗

4ξ4 + 8 β2λ2φ∗2ξ

+24 β λ2φ∗2ξ2 − 48 β λφ∗

3ξ2 + 48λφ∗3ξ3 + 16 ξ3φ∗

4 − 4λ2φ∗2ξ β + 6λ2φ∗

2ξ2

+20φ∗3ξ2λ+ 3λ2φ∗

2ξ − 16 β λφ∗ ξ − 12φ∗ ξ2λ+ 24 ξ2φ∗

2 + 2λ2β + 10λφ∗ ξ + λ2

]

e


0.001 0.002 0.003 0.004 0.0050.940

0.945

0.950

0.955

0.960

0.965

0.970

0.975

0.980

n sSolução 1Solução 2

Figura 4.1: Comportamento do índice espectral, ns, para diferentes valores do parâmetro de aco-plamento não mínimo ξ, considerando o número de e-folds N = 55.

r =8(4 β λφ∗

2ξ − λφ∗2ξ − 4φ∗ ξ − λ)2

(β λφ∗ − 1)2 (6 ξ2φ∗2 + ξ φ∗

2 + 1) . (4.23)

Sendo assim, podemos analisar os comportamentos de ns e r em relação ao parâ-

metro de acoplamento não mínimo ξ para as soluções 1 (curva vermelha) e 2 (curva verde)

através de (4.23), conforme apresentados nas Figs. 4.1 e 4.2, respectivamente. Nesse caso,

fixamos os valores dos parâmetros β = 1.9 e λ = 0.07, que são valores correspondentes

ao best fit obtido no caso do acoplamento mínimo. Note que, na Fig. 4.1, para os valo-

res de ξ no intervalo [0,0.004], as previsões do modelo em relação ao índice espectral, ns,

concordam com os dados mais recentes do Planck. Já na Fig. 4.2, para valores maiores de

ξ, a razão tensor-escalar, r, decresce rapidamente com valores que estão dentro do limite

superior previsto pelos dados (Planck TT+lowP, 95% C.L) r < 10 [9].

A partir de (4.23), é possível obter o plano ns − r, correspondente a Fig. 4.3, para

diferentes valores de ξ e N = 55. A curva verde corresponde a solução 1 e a magenta

a solução 2, referentes a Eq. (4.20). Observa-se que, para alguns valores selecionados

do parâmetro de acoplamento não mínimo ξ, as previsões do modelo (4.17) apresentam


0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

rSolução 1Solução 2

Figura 4.2: Comportamento da razão tensor-escalar, r, para diferentes valores de ξ, considerandoo número de e-folds N = 55.

resultados tanto para o índice espectral, ns, quanto para a razão tensor escalar, r, que

concordam em 1-σ C.L. com os dados do Planck(2015)+BICEP2/Keck Array [9].

Nas Figs. 4.4 e 4.5 comparamos as previsões teóricas do modelo para a solução 1,

em relação ao espectro de potência primordial e o espectro de temperatura com o modelo

ΛCDM. Da Fig. 4.4, vemos que para os valores menores do parâmetro ξ, as previsões do

modelo se aproximam um pouco do ΛCDM, enquanto que na Fig. 4.5, para os valores

selecionados dos parâmetros β, λ e ξ, as previsões do modelo em relação ao espectro

de potência da anisotropia de temperatura da RCF apresentam uma amplitude menor

quando comparada com o ΛCDM. Portanto, para a escolha que fizemos, o modelo não

se ajusta tão bem aos dados, isso porque ξ não altera apenas o ns e r, mas também a

amplitude primordial. Destacamos que pela solução 2 temos previsões parecidas.

Neste capítulo, fizemos as previsões preliminares do modelo envolvendo o aco-

plamento não mínimo do campo escalar à gravidade. No entanto, a análise do modelo

envolvendo os dados da RCF encontra-se em fase de desenvolvimento, cujos resultados,

serão obtidos posteriormente.


0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

ns

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

r

0.0001

0.00050.002

0.005sol1

sol2

Planck TT+lowP+BKP

β=1.9, λ=0.07, N=55

Figura 4.3: Plano ns − r para o intervalo de valores do parâmetro de acoplamento não mínimo ξ,considerando N = 55.

10 4 10 3 10 2 10 1 100

k

10 14

10 13

10 12

10 11

10 10

10 9

10 8

P(k)

CDM= 1.9, = 0.07, = 0.0001= 1.9, = 0.07, = 0.0005= 1.9, = 0.07, = 0.002= 1.9, = 0.07, = 0.005

Figura 4.4: Espectro de potência primordial PR para alguns valores selecionados do parâmetro ξ,com N = 55.


101 102 103

l

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

l(l+

1)/2

C l[(

K)2 ]

LCDM= 1.9, = 0.07, = 0.0001=1.9, =0.07, = 0.0005=1.9, =0.07, = 0.002=1.9, =0.07, = 0.005

Figura 4.5: Espectro de potência angular para diferentes valores do parâmetro ξ, em comparaçãocom o best-fit do modelo ΛCDM.

CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

Os dados da RCF são uma das ferramentas mais poderosas para estudar a física

do Universo primordial. Em particular, as duas últimas décadas têm testemunhado um

grande avanço na precisão das medições das flutuações da RCF, que agora são capazes

de testar a viabilidade observacional, ou mesmo excluir diferentes classes de modelos

inflacionários, bem como algumas de suas alternativas.

Neste trabalho nosso interesse foi analisar os aspectos teóricos e observacionais

de uma classe particular de modelos inflacionários propostos na Ref. [1], cujo potencial

do campo escalar é dado pela Eq. (3.14). Esse tipo de potencial pode surgir no contexto da

cosmologia de branas, conforme apresentamos no Apêndice (A), em que o radion é inter-

pretado como o campo inflaton. A viabilidade observacional desta classe de modelos foi

estudada através de uma análise Bayesiana, utilizando os dados mais recentes do satélite

Planck.

Nos capítulos iniciais foram apresentados alguns aspectos da Cosmologia Padrão

e Inflacionária que fornecem o alicerce teórico para nossa pesquisa. Inicialmente aponta-

mos os problemas inerentes do Big Bang que motivaram o surgimento do modelo Infla-

cionário. Em seguida, apresentamos o mecanismo para produção da inflação e os prin-

cipais modelos de campos escalares explorados na literatura. Posteriormente discutimos

as perturbações cosmológicas primordiais, algumas propriedades da RCF e as principais

previsões da inflação frente os dados observacionais.

No capítulo 3 foi tratado o formalismo que permite analisar as previsões teóri-

66

Capítulo 5. Conclusões e perspectivas 67

cas e observacionais de uma classe de modelos inflacionários caracterizados por potenci-

ais generalizados do campo inflaton e os aspectos mais relevantes para a nossa pesquisa.

Sendo assim, analisamos as quantidades observáveis do potencial β-exponencial e foram

obtidas restrições sobre os parâmetros β e λ, bem como os parâmetros cosmológicos e

primordiais, conforme nas Tabelas II e III. Nossa análise mostra que as previsões do mo-

delo β-exponencial são muito similares às do modelo ΛCDM (concordando em 68,3%

C.L.). Considerando apenas os dados de temperatura e polarização (Planck TT+ lowP)

da RCF, e fixando o parâmetro λ, mostramos que o modelo de referência ΛCDM é fraca-

mente preferido em relação ao modelo β-exponencial. No entanto, esse resultado muda

quando consideramos também as medições mais recentes do parâmetro de Hubble H0

obtidas a partir dos dados do HST, conforme relatado na Ref. [81]. Neste caso, o modelo

β-exponencial torna-se moderadamente preferido em relação à cosmologia do modelo

ΛCDM, com lnBij = 2.6. Nessa análise, consideramos o campo escalar inflaton minima-

mente acoplado à gravidade.

Por outro lado, no Cap. 4 discutimos as previsões teóricas do modelo conside-

rando um acoplamento do campo escalar não minimamente acoplado à gravidade. Nesse

caso, para alguns valores selecionados do parâmetro de acoplamento não mínimo ξ, e dos

parâmetros β e λ , as previsões do modelo (4.17), tanto para o índice espectral ns quanto

para a razão tensor escalar r, concordam em 1-σ C.L. com os dados do Planck (2015)+BI-

CEP2/Keck Array [9], apresentando melhores resultados para esses observáveis, em com-

paração com o acoplamento mínimo. No entanto, as previsões do modelo em relação ao

espectro de potência primordial e o espectro de temperatura da RCF, para os valores se-

lecionados dos parâmetros β, λ e ξ, apresentaram uma amplitude menor quando compa-

rada com o modelo ΛCDM. Portanto, para a escolha que fizemos, o modelo não se ajusta

tão bem aos dados. Essa foi uma abordagem preliminar e a análise do modelo envolvendo

os dados da RCF será concluída posteriormente.

Ainda como perspectivas de trabalhos futuros, analisaremos as previsões do mo-

delo considerando β e ξ como parâmetros livres. Esperamos que, com essa escolha, as

previsões do modelo descrevam melhor os dados observacionais em relação à anterior.

Finalmente, é importante mencionar que os potenciais inspirados em cordas e bra-

Capítulo 5. Conclusões e perspectivas 68

nas têm sido considerados como potenciais para obter modelos de único campo a partir

de teorias fundamentais. No entanto, geralmente enfrentamos problemas de compatibili-

dade com a comparação de suas previsões teóricas e os dados observacionais. No presente

estudo, mostramos que o potencial β-exponencial apresenta previsões que estão de acordo

com os dados observacionais atuais, ao mesmo tempo que pode ser obtido a partir de uma

teoria fundamental como supergravidade com soluções dilatônicas de brana [20]. Outro

aspecto importante que vale a pena ressaltar nesse cenário é o fato de que grandes valo-

res de β estão de acordo tanto com os dados observacionais quanto com a estabilização

do radion em tamanho finito no cenário de inflação brana. Isto parece um pouco com a

conclusão de outros cenários recentes de potenciais fundamentais discutidos em [91].

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APÊNDICE A

β-EXPONENCIAL DA COSMOLOGIA DE BRANAS

O modelo de potencial β-exponencial (3.14) pode aparecer no contexto da cosmo-

logia de branas, conforme apresentado na referência [20], onde o radion (um campo que

descreve o tamanho da dimensão-extra) é interpretado como o inflaton. Um mecanismo

de estabilização do radion é necessário para ter uma dimensão extra estática consistente

com as equações de movimento. Isto é alcançado quando o radion atinge o valor esperado

do potencial no vácuo [63–66].

A ação da versão thik-branes de tal cenário pode ser escrita como

S =

∫dDx√−g(−1

4R +

1

2∂Mφi∂

Mφi − V (φi)

), (A.1)

que em geral é uma teoria gravitacional D-dimensional acoplada a i = 1, 2, ..., N campos

escalares, na qual M = 0, 1, ..., D − 1. Aqui, vamos nos concentrar em D = 5 dimensões

e N = 2 escalares. Assume-se que a geometria de cinco dimensões tem a forma geral

com a invariância de Poincaré ao longo do volume-mundo (espaço descrito pela evolu-

ção temporal da brana) de quatro dimensões da 3-brana imersa em um volume de cinco

dimensões cuja quinta coordenada é r, ou seja,

ds25 = e2A(r)dxµdx

µ − dr2, µ = 0, 1, 2, 3. (A.2)

75

Apêndice A. β-exponencial da cosmologia de branas 76

Em uma ação inspirada em supergravidade, as equações de movimento podem ser resol-

vidas pelo seguinte conjunto de equações diferenciais de primeira ordem para os campos

escalares φi(r) e fator deformação exp (2A(r))

A′(r) = −1

3W (φ1, φ2), φ′i(r) =

1

2

∂W

∂φi, i = 1, 2 (A.3)

para o potencial escalar dado em termos do superpotencial W na forma [92, 93]

V (φ1, φ2) =1

8

(∂W

∂φi

)2

− 1

3W 2, i = 1, 2 . (A.4)

Mais especificamente em [94] foi abordado o cenário com potencial escalar dilatônico em

termos do superpotencial

W (φ1, φ2) = W exp(b1φ1 + b2φ2) . (A.5)

As soluções Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield (BPS) das equações diferenciais de pri-

meira ordem (A.3) são

φi(r) = − bib2

1 + b22

A(r) (A.6)

comA(r) = ln(1+c1r), para r > 0 eA(r) = ln(1−c1r) para r < 0. Estas são soluções dilatô-

nicas [95] que também são conhecidas como scaling solutions (soluções tipo escala)[96, 97].

Agora, combinando adequadamente as soluções BPS do background sob a transformação

φ1(r) → φ1(r − L), que significa A(r) → A(|r − L|) para as soluções r < L e r > L, que

descrevem uma brana espessa no limite ’thin brane (brana fina)’ localizada em r = L, e

φ2(r)→ −φ2(r) na Lagrangiana

L5 =1

2φ2

1 +1

2φ2

2 −1

2(∂rφ1)2 (A.7)

−1

2(∂rφ2)2 − V exp (2b1φ1 + 2b2φ2) ,

e considerando que os campos têm dependência de tempo apenas implícita através do

Apêndice A. β-exponencial da cosmologia de branas 77

campo radion L ≡ L(t) encontramos

L5 =b2

1

2(b21 + b2

2)2

(L2 − 1)|r − L|′2c21

(1 + c1|r − L|)2

− b22

2(b21 + b2

2)2

c21

(1 + c1r)2

−V (1 + c1|r − L|)− 2b21b21+b

22 (1 + c1r)

2b22b21+b

22 . (A.8)

No limite de parede fina, este regime pode ser satisfeito para c1 = 1λ

b21+b222b22

suficientemente

grande, onde 1/λ tem dimensão de energia. Por uma questão de simplicidade, assumimos

b1 = `b2, tal que b21b21+b22

= `2

`2+1e b22b21+b22

= 1`2+1

= 12λc1

. No limite ` 1 a lagrangeana (A.8)

torna-se

L5 =1

2(L2 − 1)σδ(r − L)− V0δ(r − L)(1 + c1r)

1λc1 (A.9)

onde σ = 2c1b21+b22

é a tensão brana.

A ação quadridimensional é então dada por

S4 =

∫d4x

∫ rc

−rcdr√−gL5

=

∫d4x√−g4

(1

2σL2 − Veff(L)

), (A.10)

onde Veff(L) = V0(1 + c1L)1λc1 + 1

2σ. A métrica quadridimensional induzida g4µν é obtida

da métrica de cinco dimensões gMN da seguinte forma: g4µν(xµ)=gµν(xµ, r = L), onde L

é a posição da brana em relação a r = 0. Particularmente no modelo apresentado acima,

para garantir a localização da gravidade quadridimensional, L rc, em que rc é a escala

de cruzamento [94] — para mais detalhes ver [98, 99]. O potencial escalar da inflação

brana pode ser facilmente encontrado a partir do potencial efetivo em (A.10) e pode ser

escrito como o potencial β-exponencial da Eq. (3.14), com c1L = −βL/λ, L = λ2φ e

φ = M2PlL sendo o campo inflaton. É interessante notar que β ∈ [1/2,∞) — lembre-se

de que anteriormente identificamos β ≡ λc1 = (`2 + 1)/2, em que b1 = `b2 e ` ∈ [0,∞).

Isso concorda com os valores fenomenologicamente favorecidos do parâmetro β e com o

fato de que nosso cenário de brana admite gravidade quadridimensional em uma escala

0 2 4 6 8 10φ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

V(φ

)

β=0.0

β=0.25

β=0.5

Figura A.1: Potencial V (φ) em função do campo φ para os valores selecionados do parâmetroβ = 0.0, 0.25, 0.5. Conforme a Eq. (3.14), para esses valores, obtemos a classe de potenciais do tipoexponencial, quadrático e quártico, respectivamente. O valor do parâmetro λ foi fixado em 1.0.

limitada L rc que é uma consequência da geometria ter volume infinito para grandes

valores arbitrários da quinta coordenada r. Então, o radion (inflaton) não pode estabilizar

no infinito, como o potencial exponencial no limite β → 0 exigiria. Os valores esperados

finitos do vácuo onde o radion se estabiliza são dados pelos zeros de (3.14), ou seja, em

φ0 = 1/βλ. Para λ = 1 e β = 1/2, 1/4 encontramos os conhecidos potenciais quadrático e

quártico, que são geralmente empregados na inflação caótica, conforme mostra a Fig. A.1.

78

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