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Series de tiempoESTATICA(relacin lineal)

Relacin linealDINAMICA(proceso generador de datos-PGD): procesos estocsticos(sucesin de variables aleatoria

Con Ruido Blanco Gaussiano: N(0, 2) para cada t:

Ecuacin en diferencias estocstica lineal con coeficientes constantes: ARMA(P,Q)

Esttica vs dinmica

2ECUACIONES EN DIFERENCIA NO ESTOCASTICASTeorema: si las races de la ecuacin caracterstica son en norma menor a la unidad, toda solucin converge a

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Estacionarias vs no estacionarias

Una serie de tiempo es la sucesin de observaciones generadas por un proceso estocstico (una realizacin del proceso estocstico), cuyo conjunto ndice se toma en relacin con el tiempo. Para poder estimar caractersticas transversales de un proceso (medias, varianzas, etc.) a partir de su evolucin longitudinal, es necesario suponer que las propiedades transversales son estables en el tiempo. Esto origina el concepto de estacionariedad.

Serie de tiempoEl proceso estocstico subyacente en una serie de tiempo, queda caracterizado por medio de la distribucin de probabilidad conjunta de las variables aleatorias (Z1,,Zt,, ZT) para cualquier valor de T.

Los anlisis estadsticos suponen en general que las observaciones provienen de variables aleatorias independientes. De este modo, al conocer las funciones de densidad individuales es posible obtener la funcin conjunta.

Por el contrario en series de tiempo se supone que existe toda una estructura de correlacin entre las observaciones.Un proceso estocstico es estacionario en sentido estricto si las distribuciones marginales de todas las variables son iguales y las distribuciones conjuntas de variables slo dependen de los retrasos entre ellas.

La primera condicin establece que la media, varianza, mediana, sesgo de todas las variables son iguales. La segunda condicin establece que la distribucin conjunta de cualquier conjunto de variables no se modifica si se trasladan las variables en el tiempo es decir:

Estacionariedad estricta

La estacionariedad estricta es una condicin muy fuerte. Una propiedad ms dbil y fcil de contrastar en la prctica es la estacionariedad en sentido dbil que implica la estabilidad de la media, la varianza y la estructura de covarianzas a lo largo del tiempo.

Un proceso es estacionario en sentido dbil, si para todo t:

Estacionariedad dbil

La estacionariedad fuerte implica la estacionariedad dbil.

Por el contrario, la estacionariedad dbil no garantiza la estacionariedad fuerte.

Si las variables tienen conjuntamente una distribucin normal multivariada, como sta queda determinada por las medias, varianzas y covarianzas todas las distribuciones marginales sern idnticas, por lo tanto en este caso la estacionariedad dbil es igual a la estricta.

Procesos estacionarios

Un proceso estacionario muy importante es el ruido blanco, para el cual:

En estos procesos conocer los valores pasados no proporciona ninguna informacin sobre el futuro, pues el proceso no tiene memoria.

Proceso de ruido blanco

Identificacin modelos ARMA

ModeloFuncin de autocorrelacin (FAC)Funcin de autocorrelacin parcial (FACP)AR(p)Decaimiento exponencialPrimeros p no nulos, despus de p igual a 0MA(q)Primeros q no nulos, despus de q igual a 0Decaimiento exponencialARMA(p,q)Como un AR(p) para k>qComo un MA(q) para k>pMetodologa B-J para estimar un ARIMA1. Escoger las diferencias necesarias para transformar en estacionaria a la serieII. Estimar p y q: realizar las FAC - FACP y escoger p con las FACP y la q con las FAC estadsticamente distintas de cero.III. Estimar los coeficientes y eliminar los estadsticamente cero.IV. Verificar los supuestos: media cero(stat), ruido blanco(L-B) y normalidad(J-B).Si media no es cero, incorporar constante.Si no es ruido blanco, realizar paso II con los residuales y aadir los nuevos p y q(aadir a los anteriores y no volver a comenzar).Si no es normal agregar dummys a partir de los datos atpicos observados en la grafica de los residuales

Prueba de Ljung-BoxEl error de pronstico se define como la diferencia entre el valor real tomado por la serie y el valor pronosticado por el modelo ajustado

En este caso es el pronstico para t pasos delante de la i-sima observacin

La suma de los errores de pronstico para t pasos adelante est dada por

Medidas de pronstico

Error medio

Error absoluto medio

Raz del error cuadrtico medio

RMS de los pronsticos sin cambio

U-Theil

Donde yi0 es el valor de la variable y en el perodo 0.

Medidas de pronstico

Ejemplo

Medidas de pronstico del modelo ARMA(1,(1,4)) ajustado al logaritmo de la serie, para distintos pasos adelante. Step Mean Error Mean Abs Err RMS Error Theil U N Obs 1 -0.0040073 0.0100283 0.0135501 0.8828 16 2 -0.0077065 0.0192821 0.0260630 0.9672 16 3 -0.0112653 0.0286282 0.0396495 1.0795 15 4 -0.0122071 0.0369478 0.0506908 1.1547 14 5 -0.0082906 0.0463176 0.0567176 1.1517 13 6 -0.0030555 0.0538911 0.0637518 1.1700 12 7 0.0025136 0.0620816 0.0706068 1.1762 11 8 0.0100450 0.0673015 0.0740315 1.1310 10ALGO DE TEORIAEl operador de retraso, B, es un operador lineal que aplicado a una funcin temporal proporciona la misma funcin retrasada un periodo.

En particular al aplicarlo a una serie temporal:

Puede aplicarse sucesivamente

Operador de retraso

El operador diferencia se define como, , de modo que:

El operador puede aplicarse ms de una vez:

Tambin existe el operador diferencia de orden s:

Operador diferencia

El operador de retraso es lineal de modo que:

En particular se puede aplicar un polinomio de retraso de orden ka una serie de tiempo:

Los coeficientes g1, g2,, gk ponderan la importancia de los retrasos de la variable aleatoria Zt. Polinomios de retraso

Modelos ARIMA(p,d,q)

Modelos ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)

El proceso estocstico {Zt} es lineal si puede ser expresado en funcin del proceso de ruido blanco {at} mediante la relacin:

Procesos estocsticos lineales:Coeficientes impulso respuesta

Funcin de autocorrelacin parcial

El coeficiente de autocorrelacin parcial de orden k, kk, es el coeficiente de correlacin entre observaciones separadas k periodos, cuando eliminamos la dependencia lineal debida a los periodos intermedios.

Este coeficiente se puede obtener ajustando la regresin mltiple:

Donde

Funcin de autocorrelacin parcial

Otro modo de calcular este coeficiente es:

Se elimina de el efecto de

Se elimina de el efecto de

Se calcula el coeficiente de correlacin simple entre ut y vt, que por definicin, es el coeficiente de autocorrelacin parcial de orden k.

Los modelos autorregresivos generalizan la idea de regresin para representar la dependencia lineal entre dos variables aleatorias, aplicando esta estructura de dependencia a las observaciones contiguas de una serie temporal.

De este modo en un proceso autoregresivo de orden p el valor actual de la serie depende de los p retrasos anteriores mediante:

Procesos autoregresivos (AR)

Una serie Zt sigue un proceso AR(1) si ha sido generada por:

Donde c y ||