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TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ALEJANDRO TERÁN C.

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TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS

ALEJANDRO TERÁN C.

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MODELO M/G/1

APLICABLE A SISTEMAS CON:

• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).

• TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/).

• UN SERVIDOR (/1).

• DISCIPLINA FIFO.

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MODELO M/G/1: MEDIDAS DE DESEMPEÑO

ρ =

P0 = 1 - = 1 - ρ

Lq = =

L = Lq + = Lq + ρ

Wq =

W = Wq +

PW = = ρ

µλ

µλ

)/1(2)/( + 222

µλ−µλσλ

)1(2

222

ρ−ρ+σλ

µλ

λqL

µ1

µλ

ρ < 1

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4

EJEMPLO

UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL,

RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO

EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA.

LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA).

LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓNNORMAL (SERVICIO PROMEDIO: 60 CLIENTES/HORA), CON DESVIACIÓN

ESTÁNDAR DE 2 MINUTOS.

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)

ρ = =µλ

0.75/1 = 0.75ρ < 1

µλP0 = 1 - = 1 - ρ = 1 - 0.75 = 0.25

µλL = Lq + = Lq + ρ = 5.625 + 0.75 = 6.375

)/1(2)/( + 222

µλ−µλσλ

)1(2

222

ρ−ρ+σλLq = = = [(0.75)2(2)2 + (0.75/1)2]/[2(0.25)]

= 5.625

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)

Wq = =λqL 5.625/0.75 = 7.5 MINUTOS

µ1W = Wq + = 7.5 + 1 = 8.5 MINUTOS

µλPW = = ρ = 0.75

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMG1Cl.xls

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMG1Cl.xls

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MODELO M/D/1

APLICABLE A SISTEMAS CON:

• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).

• TIEMPO DE SERVICIO DETERMINISTA (/D/).

• UN SERVIDOR (/1).

• DISCIPLINA FIFO.

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MODELO M/D/1: MEDIDAS DE DESEMPEÑO

ρ =

P0 = 1 - = 1 - ρ

Lq = =

L = Lq + = Lq + ρ

Wq =

W = Wq +

PW = = ρ

µλ

µλ

)/1(2)/( 2

µλ−µλ

)1(2

2

ρ−ρ

µλ

λqL

µ1

µλ

ρ < 1

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EJEMPLO

UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL,

RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO

EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA.

LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA).

LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO ES DETERMINISTA(CAPACIDAD DEL SERVICIO: 60 CLIENTES/HORA).

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)

ρ = =µλ

0.75/1 = 0.75ρ < 1

µλP0 = 1 - = 1 - ρ = 0.75/1 = 0.75

µλL = Lq + = Lq + ρ = 1.125 + 0.75

= 1.875

)/1(2)/( 2

µλ−µλ

)1(2

2

ρ−ρLq = = = (0.75)2/[2(0.25)]

= 1.125

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)

Wq = =λqL

= 1.125/0.75

= 1.5 MINUTOS

µ1W = Wq + = 1.5 + 1

= 2.5 MINUTOS

µλPW = = ρ = 0.75

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMD1Cl.xls

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMD1Cl.xls

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MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN EL SISTEMA POR BLOQUEO

APLICABLE A SISTEMAS CON:

• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).

• TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/).

• K SERVIDORES (/k).

• DISCIPLINA FIFO.

SI AL LLEGAR UN CLIENTE ENCUENTRA TODOS LOS SERVIDORES OCUPADOS, ABANDONA EL SISTEMA.

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MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN EL SISTEMA: MEDIDAS DE DESEMPEÑO

Pj = ( )

( )∑=

µλ

µλk

0i

i

j

!i/

!j//

PK = ( )

( )∑=

µλ

µλk

0i

i

k

!i/

!k//

PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS

PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN OCUPADOS

NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA

L = (1 - PK)µλ

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EJEMPLO

EL SERVICIO TELEFÓNICO DE ATENCIÓN A CLIENTES DE UNA EMPRESA CUENTA CON TRES LÍNEAS.

LAS LLAMADAS LLEGAN DE MANERA POISSONIANA, CON UNA TASA DE 12 LLAMADAS/HORA.

EN PROMEDIO, CADA UNO DE LOS ASESORES PUEDE ATENDER 6 CLIENTES/HORA.

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)

λ = 12 LLAMADAS/HORA.

µ = 6 LLAMADAS/HORA.

K = 3 SERVIDORES.

λ/µ = 12/6 = 2

( )∑=

µλK

0i

i

!i/

= 20/0! + 21/1! + 22/2! + 23/3!

= 19/3 = 6.3333

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)

PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS

λ = 12

µ = 6

λ/µ =2

K = 3

Pj = ( )

( )∑=

µλ

µλk

0i

i

j

!i/

!j//

P0 =

P1 =

P2 =

P3 =

(20/0!)/(19/3) = 3/19 = 0.15785

(21/1!)/(19/3) = 6/19 = 0.315789

(22/2!)/(19/3) = 6/19 = 0.315789

(23/3!)/(19/3) = 4/19 = 0.210526

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)

P3 = = 4/19 = 0.210526( )

( )∑=

µλ

µλk

0i

i

3

!i/

!3//

PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN OCUPADOS λ = 12

µ = 6

λ/µ =2

K = 3

NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA

L = (1 - PK)µλ = (2)(1 - 4/19) = 30/19 = 1.578947

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMGKBloqCl.xls

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMGKBloqCl.xls

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMGKBloqCl.xls

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MODELO M/M/1 CON POBLACIÓN FINITA DE CLIENTES

(MACHINE REPAIR PROBLEM)

SISTEMA M/M/1 CON UNA POBLACIÓN DE N CLIENTES ATENDIDOS.

• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).

• TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL (/M/).

• UN SERVIDOR (/1).

• DISCIPLINA FIFO.

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MODELO M/M/1/N: MEDIDAS DE DESEMPEÑOP0 =

Lq =

L = Lq + (1 - P0)

Wq =

W = Wq +

Pn =

( )λ−LNLq

µ1

( )∑=

µλ

N

0n

n

!nN!N

1

( )0P1N −λµ+λ

( ) 0

nP

!nN!N

µλ

ρ < 1

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EJEMPLO

UNA EMPRESA TIENE SEIS EQUIPOS IDÉNTICOS DE MANUFACTURA. EL TIEMPO ENTRE FALLAS DE CADA UNO DE LOS

EQUIPOS DE PRODUCCIÓN SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, CON UN TIEMPO PROMEDIO ENTRE FALLAS DE 20

HORAS.

PARA LA ATENCIÓN DE LAS FALLAS EN EL EQUIPO DE MANUFACTURA SE CUENTA CON UNA ÚNICA CUADRILLA DE

MANTENIMIENTO. EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL SERVICIO DE REPARACIÓN DE EQUIPO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, CON UNA MEDIA DE 2 HORAS/FALLA.

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)

P0 = =

( )∑=

µλ

N

0n

n

!nN!N

1(1/2.06392) = 0.4845

( )∑=

µλ

N

0n

n

!nN!N

= (6!/6!)(0.1)0 + (6!/5!)(0.1)1 + (6!/4!)(0.1)2 + (6!/3!)(0.1)3

+ (6!/2!)(0.1)4 + (6!/1!)(0.1)5 + (6!/0!)(0.1)6

= 2.06392

λ = 0.05

µ = 0.50

λ/µ = 0.1

N = 6

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)

λ = 0.05

µ = 0.50

λ/µ = 0.1

N = 6

P0 = 0.484515

Lq = =

L = Lq + (1 - P0) =

( )0P1N −λµ+λ

− = 6 - [(0.05+0.5)/0.05](1 - 0.0484515)

= 0.329664 MÁQUINAS

= 0.329664 + (1 - 0.0484515)

= 0.844159 MÁQUINAS

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)

λ = 0.05

µ = 0.50

λ/µ = 0.1

N = 6

P0 = 0.484515

Wq = =

W = Wq + =

( )λ−LNLq

µ1

(0.329664)/[(6-0.844159)(0.05)]

= 1.279044 HORAS

1.279044 + 1/0.5

= 3.279044 HORAS

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN)

λ = 0.05

µ = 0.50

λ/µ = 0.1

N = 6

P0 = 0.484515

Pn = = ( ) 0

nP

!nN!N

µλ

− [6!/(6-n)!](0.1)n(0.484515)

N Pn0 0.4845149041 0.2907089422 0.1453544713 0.0581417884 0.0174425375 0.0034885076 0.000348851

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls

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EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls