La ecuación de balance de masa total para un estanque con un Volumen VR de fluido, que descarga un fluido de densidad ρ a un flujo FS mientras entra un flujo FE, corresponde a la ecuación particular:

Habitualmente se mide la altura (h) de aguas en lugar de medir el volumen de líquido o la presión si se trata de un gas. Suponiendo que el estanque contiene líquido de densidad constante (i.e. ρ es constante) y que el área de sección (A) del estanque es constante, es posible reescribir la ecuación anterior, utilizando la relación del volumen con el área (volumen = área por altura) de manera simplificada:

Esta ecuación modelo podría corresponder a un estanque en que el flujo de descarga FS depende de la altura mediante una ecuación de Bernoulli (flujo turbulento), de modo que el flujo de descarga no es un grado de libertad sino que depende de la altura de aguas y de un “coeficiente de pérdida de carga” B :

Así, la incorporación de esta ecuación obliga a reescribir la ecuación modelo como:

Al escribir (despejar) el modelo como “modelo Entrada/Salida” queda una expresión:

La transformación de Laplace es más útil si no se acarrean los valores iniciales y, además, se usan modelos lineales. El modelo aquí descrito, no es lineal debido al término raíz. Se puede, sin embrago, linealizar por desarrollo de aproximación por series a la función raíz, la aproximación la raíz de h en torno de una altura de aguas cualquiera hT, la aproximación será:

Si se reescribe esta ecuación para dejar explícita la variable h se puede obtener algo como:

que si se utiliza en la ecuación modelo arroja:

Las condiciones de borde son molestas al operar con expresiones transformadas mediante la Transformada de Laplace. Para dejar todas las condiciones de borde como valores iniciales a tiempo seran nulas, se recurre a un estado estacionario, antes de aplicar una entrada al sistema (la entrada, en este caso, es FE). En el estado estacionario se DEBE cumplir:

y esta ecuación puede ser restada de la anterior para obtener:

Es útil ahora plantear un cambio de variables. Particularmente, se suele definir como “variable desviación” aquella variable dinámica (del tiempo) cuyos valores se cuantifican a partir de un estado estacionario. Usando un símbolo de “prima”, se escribirán las dos variables desviación (porque hay 2 variables dinámicas):

h'(t) = h(t) - he.e. y

F'E(t) = FE(t) - FEe.e.

Donde he tratado de destacar con (t) las variables dinámicas. La EDO resultante será:

que será la ecuación modelo de entrada/salida del sistema considerado (descarga de un líquido incompresible, en un estanque de área A, descarga que se produce debido a la gravitación, donde la variable de salida es la altura h, y la entrada es un flujo volumétrico FE; pero, tanto la variable de entrada como la de salida están expresadas como valores desviación, es decir, su cuantificación se realiza según cuanto se han “desviado” de un estado estacionario definido).

Esta ecuación, escrita en forma “canónica” arroja un tiempo de respuesta del proceso dado por el término constante que acompaña al término derivada y una ganancia de proceso dada por el término que acompaña a la variable de entrada:

Usando la forma general de una respuesta de primer orden, es sabido que la función de transferencia de un primer orden es:

y que frente a una entrada escalón de magnitud “E”, la respuesta en el tiempo será: