Ecuacion y Funcion de Bessel

TOPICOS MATEMATICOS PEDRO HUERTA MARIN 1

ECUACION DE BESSEL Y ECUACION DE BESSEL Y ECUACION DE BESSEL Y ECUACION DE BESSEL Y

FUNCIONES DE BESSELFUNCIONES DE BESSELFUNCIONES DE BESSELFUNCIONES DE BESSEL


FUNCION GAMMA

1

0

Definición : Se llama FUNCION GAMMA,

( )

a la

, 0

expresión

t xx e t dt x∞ − −Γ = >∫


PROPIEDADES

2) ( 1) ! ; 0n n nΓ + = ≥

( ) ( )1) 1 =x x xΓ + Γ

13 )

2π Γ =

( ) ( )( ) ( ) ( )4) 1 1 2 ........ 1p m p p p m pΓ + + = + + ⋅ ⋅ + Γ +

0 0Además lim ( ) , lim ( ) y lim ( ) ,

x x x kx x x k

+ − ±

−

→ → →Γ = +∞ Γ = −∞ Γ = +∞ ∈Z


EcuaciEcuaciEcuaciEcuacióóóón de n de n de n de BesselBesselBesselBessel de orden de orden de orden de orden νννν

DEFINICIÓN:

( )2 2 2 0 ; 0x y xy x yν ν′′ ′+ + − = ≥( )2 2 2 0 ; 0x y xy x yν ν′′ ′+ + − = ≥

( )0

2 21

2 1

Como 0 es punto singular regular, la solución

conduce a la ecuación indicial 0, de modo que

y . Para se obtiene :

n rn

n

x y x c x

r r

r r

ν νν ν

∞+

=

= =

− = == − =

∑( )0

2 21

2 1

Como 0 es punto singular regular, la solución

conduce a la ecuación indicial 0, de modo que

y . Para se obtiene :

n rn

n

x y x c x

r r

r r

ν νν ν

∞+

=

= =

− = == − =

∑

( ) 11 2 0cν+ =( ) 11 2 0cν+ =

( )( ) ( )( )2 22 2 2 ; 0,1,2 2 2

kk k k

ck k c c c k

k kν

ν+ ++ + + + ⇒ = − =+ + +

…( )( ) ( )( )2 22 2 2 ; 0,1,2 2 2

kk k k

ck k c c c k

k kν

ν+ ++ + + + ⇒ = − =+ + +

…

OBSERVACION



En general: ( )( )( ) ( )

02 2

1; 1,2,3,

2 · ! 1 2

n

n n

cc n

n nν ν ν−

= =+ + +

…

…

( )( )( ) ( )

02 2

1; 1,2,3,

2 · ! 1 2

n

n n

cc n

n nν ν ν−

= =+ + +

…

…

( )1

Haciendo , se obtiene :2 1oc ν ν

=Γ +( )

1Haciendo , se obtiene :

2 1oc ν ν=

Γ +

( ) ( )( )

22

20 0

1

! 1 2

n nn

nn n

xy x c x

n n

νν

ν

+∞ ∞+

= =

− = = Γ + + ∑ ∑( ) ( )

( )2

22

0 0

1

! 1 2

n nn

nn n

xy x c x

n n

νν

ν

+∞ ∞+

= =

− = = Γ + + ∑ ∑



DEFINICIÓN: Las funciones

( ) ( )( )

2

0

1

! 1 2

n n

n

xJ x

n n

ν

ν ν

+∞

=

− = Γ + + ∑( ) ( )

( )2

0

1

! 1 2

n n

n

xJ x

n n

ν

ν ν

+∞

=

− = Γ + + ∑

( ) ( )( )

2

0

1

! 1 2

n n

n

xJ x

n n

ν

ν ν

−∞

−=

− = Γ − + ∑( ) ( )

( )2

0

1

! 1 2

n n

n

xJ x

n n

ν

ν ν

−∞

−=

− = Γ − + ∑

ase llaman FUNCIONES DE BESSEL de 1 CLASE de orden

y , respectivamente.

νν−


EcuaciEcuaciEcuaciEcuacióóóón de n de n de n de BesselBesselBesselBessel de orden de orden de orden de orden ννννGRÁFICAMENTE:

( )0J x

( )1J x



TEOREMA: La solución general de

( )2 2 2 0 ; 0 ,x y xy x y xν′′ ′+ + − = < < ∞( )2 2 2 0 ; 0 ,x y xy x y xν′′ ′+ + − = < < ∞

es: ( ) ( ) ( )1 2 ,y x C J x C J xν ν−= +( ) ( ) ( )1 2 ,y x C J x C J xν ν−= +

siempre que ν no sea entero.


PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSELPROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSELPROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSELPROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL

1

1

1) ( ) ( )

2) ( ) ( )

p pp p

p pp p

dx J x x J x

dxd

x J x x J xdx

−

− −+

=

= −

USAR LA DEFINICION

DE ( )pJ x

'1

'1

'1 1

'1 1

3) ( ) ( ) ( )

4) ( ) ( ) ( )

15) ( ) ( ) ( )

2

6) ( ) ( ) ( )2

p p p

p p p

p p p

p p p

pJ x J x J x

xp

J x J x J xx

J x J x J x

xJ x J x J x

p

−

+

− +

− +

+ =

− = −

= −

= +

USAR LAS PROPIEDADES

1) Y 2)


Funciones de Funciones de Funciones de Funciones de BesselBesselBesselBessel de 2de 2de 2de 2aaaa ClaseClaseClaseClase

Si mentero. Consideremos:

( ) ( ) ( )cos

sin

J x J xY x ν ν

ννπ

νπ−−

=( ) ( ) ( )cos

sin

J x J xY x ν ν

ννπ

νπ−−

=

Entonces y son soluciones linealmente independientes, de modo que otra forma de la solución general es:

( )Y xν ( )Y xν ( )J xν ( )J xν

( ) ( ) ( )1 2 ,y x C J x C Y xν ν ν= + ∉Z( ) ( ) ( )1 2 ,y x C J x C Y xν ν ν= + ∉Z

( ) ( )Cuando ,siendo entero, se define limm vm

m m Y x Y xν

ν→

→ =( ) ( )Cuando ,siendo entero, se define limm vm

m m Y x Y xν

ν→

→ =

Además y son soluciones linealmente independientes de:

( )mY x( )mY x ( )mJ x( )mJ x

( )2 2 2 0x y xy x m y′′ ′+ + − =( )2 2 2 0x y xy x m y′′ ′+ + − =



DEFINICIÓN: La función Yν(x) se conoce como FUNCIÓN

DE BESSEL DE 2a CLASE DE ORDEN ν (También se

llaman funciones de Neumann).



GRÁFICAMENTE:

( )0Y x

( )1Y x



TEOREMA: La solución general de

( )2 2 2 0 ; 0 ,x y xy x y xν′′ ′+ + − = < < ∞

( ) ( ) ( )1 2y x C J x C Y xν ν= +

para cualquier valor de ν , está dada por:


EcuaciEcuaciEcuaciEcuacióóóón n n n ParamParamParamParaméééétricatricatricatrica de de de de BesselBesselBesselBessel

DEFINICIÓN:

( )2 2 2 2 0x y xy x yλ ν′′ ′+ + − =

( ) ( ) ( )1 2y x C J x C Y xν νλ λ= +

SOLUCISOLUCI ÓÓNN::


RAICES DE LAS FUNCIONES DE BESSELRAICES DE LAS FUNCIONES DE BESSELRAICES DE LAS FUNCIONES DE BESSELRAICES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL

( ) ( )0 0 ; , 1n nJ x J z z x nα α= ⇔ = = >Considerando:


Para el problema de Valores Propios

( )2 2 2" ' 0,0

( ) 0

x y xy x n y x c

y c

λ+ + − = < <

=

{ }nk 1Sea la sucesión infinita de las raíces positivas de ( )nk

J xγ ∞

=

2Si 0 ( ) ( ) ( )n ny x AJ x BY xλ α α α= > ⇒ = +

0Como lim ( ) ( ) ( )n n

xY x y x AJ xα α

+→= −∞⇒ =

Como ( ) 0 ( ) 0

, 1,2...

n

nknk k

y c AJ c

c kc

αγα γ α

= ⇒ =

⇒ = = ⇒ =


22Autovalores: ( ) nk

k k c

γλ α = =

Autofunciones : ( ) , 1, 2, ...nkk n

xy x J k

c

γ = =


ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES DE BESSEL

[ ]

0

1

Para cada valor fijo 0,1,2,... las funciones

forman un conjunto ortogonal en 0, , respecto de la función

de peso ( ) , es decir :

0 , si c nk n

n

j

k

n n

n

k

x xx J J dx

xn

k

Jc

c

r

c

x

c

x

jγ

γ

γ

∞

=

= ≠

=

=

∫

22 2

10Si ( )

2

c nkn n nk

x ck j x J dx J

c

γγ+

= ⇒ =

∫


SERIE DE FOURIER-BESSEL

[ ]

( )2 2 01 1

Sea ( ) una función seccionalme

2Si

nte

( ) ( )

suave en 0,

cnk nk

k n k nk n nk

x xf x C J C xf

f x c

x J dxc c J c

γ γγ

∞

= +

= ⇒ =

∑ ∫

( )

En este caso, la serie ( de Fourier-Bessel ) converge a ,

para cada 0, y por lo tanto conver

( ) ( )

2(ge al valor de cada

punto interior de continui .

)

dad

x

f x f x

f xc

− +

∈

+


{ } 1raíces positivas

de la ecuación

k kγ ∞

=2

0Valor de

ck

n

xx J dx

c

γ

∫

CASO 1 : ( ) 0nJ x =

'CASO 2 : ( ) ( ) 0

( ni ni son cero )n nhJ x xJ x

n h

+ =

'0CASO 3 : ( ) 0J x =

[ ]2

2

1( )2 n k

cJ γ+

[ ]2

2

0( )2 k

cJ γ

( ) ( )2 2 2 2

2

22k

n kk

c n hJ

γγ

γ− +

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