2 2014 Curso Transferencia de Calor Ecuacion de Conduccion de Calor

Click here to load reader

  • date post

    06-Feb-2016
  • Category

    Documents

  • view

    222
  • download

    0

Embed Size (px)

description

xd

Transcript of 2 2014 Curso Transferencia de Calor Ecuacion de Conduccion de Calor

ECUACION DE LA CONDUCCION DE CALORQ = Calor Conduccin de calos en coordenadas cartesianas es tridimensional y depende del tiempo La transferencia de calor tiene direccin y magnitud, es cantidad vectorial.Coordenadas cartesianas (x, y, z)Coordenadas cilndricas (r, , z)Coordenadas esfricas (r, , )Conduccin de calor en estado estable: no hay cambio con el tiempo en cualquier punto dentro del medio.Conduccin de calor en estado transitorio: variacin con el tiempo.

CONDUCCION DE CALOR MULTIDIMENSIONALLey de Fourier en la conduccin de calor unidimensional. El signo negativo garantiza que la transferencia de calor en la direccin positiva de x sea una cantidad positiva.Distribucin de temperaturas es tridimensional el vector de flujo de calor en un punto P sobre la superficie debe ser perpendicular a ella y debe apuntar en la direccin de la temperatura decreciente.n es la normal a la superficie isotrmica.

Ax, Ay, Az reas normales a las direccionesSe considera materiales de naturaleza isotrpica

GENERACION DE CALORTemperatura de una resistencia de alambre se eleva cuando pasa una corriente elctrica.Los circuitos electrnicos eliminan calor.Plantas nucleares de generacin elctrica.Reacciones qumicas exotrmicas, fuentes de calor.Reacciones qumicas endotrmicas, sumidero de calor.Absorcin de la energa solar.Rayos gamma penetra en el cuerpo.Generacin de calor es un fenmeno volumtrico es decir ocurre en el medio, Velocidad de generacin de calor Si es uniforme la generacin, ECUACION UNIDIMENSIONAL DE LA CONDUCCION DE CALOREjemplos pared plana grande, vidrio de una ventana de una sola hoja, la placa metlica de la base de una plancha, un tubo para vapor de agua de fierro fundido, un elemento cilndrico de combustible nuclear, una resistencia elctrica de alambre, la pared de un recipiente esfrico, una bola metlica que est siendo templada, en todos ellos la conduccin de calor es dominante en una direccin y despreciable en las dems.ECUACION DE LA CONDUCCION DE CALOR EN UNA PARED PLANA GRANDEPara un elemento delgado de espesor x, = densidadC = calor especificoA = rea de la pared perpendicular a la direccion de transferencia de calort = pequeo intervalo de tiempo

Dividiendo entre Ax

Para xt0 por definicin de derivada y ley de Fourier

Como A es constante

La conductividad trmica del material es variable K(T), depende de la temperatura pero se puede suponer que puede permanecer constante en algn valor promedio.Para conductividad trmica constante = Difusividad trmica del material representa la velocidad con la que se propaga el calor a travs del mismo.Sin generacin, Estado estable, 1.- ESTADO ESTABLE,

2.- REGIMEN TRANSITORIO SIN GENERACION DE CALOR,

3.- ESTADO ESTABLE, SIN GENERACION DE CALOR, y

ECUACION DE LA CONDUCCION DE CALOR EN UN CILINDRO LARGO Para un espesor r, = densidadC = calor especificoA = rea del cilindro normal a la direccion de transferencia de calor, A = 2rLt = pequeo intervalo de tiempo

Para rt0 por definicin de derivada y ley de Fourier

A = 2rLPara conductividad trmica variable

Para conductividad trmica constante

1.- ESTADO ESTABLE,

2.- ESTADO TRANSITORIO SIN GENERACION DE CALOR,

3.- ESTADO ESTABLE, SIN GENERACION DE CALOR, y

ECUACION DE LA CONDUCCION DE CALOR EN UNA ESFERAPara un casquete esfrico de espesor r, = densidadC = calor especificoA = rea del casquete normal a la direccin de transferencia de calor, A = 4r2t = pequeo intervalo de tiempo

Para conductividad trmica variable

Para conductividad trmica constante

1.- ESTADO ESTABLE,

2.- REGIMEN TRANSITORIO SIN GENERACION,

3.- ESTADO ESTABLE, SIN GENERACION DE CALOR, y

ECUACION UNIDIMENSIONAL COMBINADA DE LA CONDUCCION DE CALOR

Pared plana n=0

Para cilindro n=1

Para esfera n=2

ECUACION GENERAL DE CONDUCCION DE CALOR EN COORDENADAS RECTANGULARES

V = xyz

Dividir entre xyz

Ax= y*z, Ay= x*z, Az= x*yt, x, y, z 0

Para K constante:ECUACION DE FOURIER-BIOT

ECUACION DE POISSON (ESTADO ESTABLE)

ECUACION DE DIFUSION (REGIMEN TRANSITORIO, SIN GENERACION DE CALOR)

ECUACION DE LAPLACE (ESTADO ESTABLE Y SIN GENERACION DE CALOR)

ECUACION GENERAL DE CONDUCCION DE CALOR EN COORDENADAS CILINDRICASX = zY = rsenX = r cos

X = zY = rsenX = r cos

ECUACION GENERAL DE CONDUCCION DE CALOR EN COORDENADAS ESFERICAS

CONDICIONES DE FRONTERA E INICIALES1.- Condicin de frontera de temperatura especificaT(0,t) = T1 en x = 0T(L,t) = T2 en x = L

2.- Condicin de frontera de flujo especifico de calorCuando se puede determinar la velocidad de transferencia de calor , el flujo de calor sobre la superficie. Flujo de calor en la direccin positiva de x (W/m2)

2a.- Caso especial: Frontera aisladaEl aislamiento reduce la transferencia de calor pero no lo elimina en su totalidad, la transferencia de calor se puede tomar como cero La funcin de la temperatura debe ser perpendicular a la superficie aislada.

2b.- Caso especial: Simetra trmicaPendiente cero

3.- Condiciones de conveccin de fronteraBalance de energa superficial

4.- Condicin de radiacin de fronteraEn el vaco no hay conveccin, radiacin sera el nico mecanismo

= 5.67*10-8 W/m2-K4T alred,1, Talred,2, K, R

5.- Condiciones de frontera en la interfaseCuerpos formados por capas de materiales diferentesa)Los dos cuerpos en contacto tienen la misma temperatura en el rea de contactob)Una interfase no puede almacenar energa, flujo de calor sobre ambos lados de la interfase debe ser el mismo.

6.- Condiciones de frontera generalizadasUna superficie puede comprender conveccin, radiacin y flujo superficial de calor simultneamente

GENERACION DE CALOR EN UN SOLIDOLa temperatura de un medio se eleva durante la generacin de calor esto hasta que alcanzan las condiciones de operacin estables y la velocidad de generacin de calor es igual a la velocidad de la transferencia de calor a los alrededores.La temperatura mxima ocurre en el plano medio de una pared plana, en la lnea central de un cilindro hueco y en el punto medio en una esfera.

Para las diversas geometras:Pared plana 2L, As = Apared, V =2L AparedCilindroro, Esferar0,

Temperaturas de superficie para las geometras: Calor generado a travs de un casco cilndrico es igual al calor generado dentro de el

Para cilindro

T0 = Tcentro

Para placa plana

Para esfera solida

CONDUCTIVIDAD TERMICA VARIABLE K(T)Cuando se conoce la variacin de la conductividad trmica con la temperatura K(T), se puede determinar el valor promedio de la conductividad trmica en el rango de temperaturas entre T1 y T2 a partir de: Si K(T) = K Kprom = KSi K(T) = Ko*( 1+T)

PROBLEMALa distribucin de temperaturas a travs de una pared de 1m de espesor en cierto instante est dada como donde T est dada en grados Celsius y x en metros, mientras a=900C, b= -300C/m y c = -50C/m2Una generacin de calor uniforme g = 1000W/m3, est presente en la pared de rea 10m2 que tiene las propiedades = 1600 Kg/m3, K = 40 W/m-K, Cp = 4 Kj/Kg-K a)Determine la rapidez de transferencia de calor que entra a la pared x = 0 y sale de la pared.b)Determine la rapidez de cambio de almacenamiento de energa en la pared.c)Determine la rapidez con respecto al tiempo del cambio de temperatura en x = 0, x=0.25 y x=0.50m. a)

b) Balance de energa E genera = g*A*L = 1000*10*1 = 10000W = 10 KWE almacenamiento = 120+10-160 = -30 KWc)De ecuacin general de conduccin

Hallar la ecuacin de Transferencia de calor por conduccin entre dos caras paralelas, sin generacin de calor y estado estacionario.Para la direccin x Como hay una sola variable, integrando: Volviendo a integrar: Hallar C1 y C2 con las condiciones de contorno X = 0 T = T1 y X = L T = T2 Por lo tanto:

Hallar la ecuacin de Transferencia de calor por conduccin en una pared cilndrica, sin generacin de calor y estado estacionario.Para la direccin radial

Integrando Integrando nuevamente Para r = r1 T = T1 y adems r = r2 T = T2 , ahora restamos Despejando C2 Por lo tanto la ecuacin de distribucin de temperaturas en un cilindro es: Calculo de la transferencia de calor:

Hallar la ecuacin de Transferencia de calor por conduccin en una pared esfrica, sin generacin de calor y estado estacionario. Integrando Integrando nuevamente Para r = r1 T = T1 y adems r = r2 T = T2

y restando ambas

Calculo de la transferencia de calor: Integrando:

PROBLEMAUna pared homognea de rea A y espesor L tiene temperaturas en la superficie izquierda y derecha de 0C y 40C, respectivamente. Determinar las temperaturas en el centro de la pared. Cunto material debe agregarse y en cul de los lados de la pared para que la temperatura en el centro de esta ascienda 4C? Cunto material debe quitarse y en cul de los lados para para que la temperatura en el centro de la pared baje 4C? Exprese sus respuestas en trminos de A y L

Para x = 0 T = 0Cen (1) Para X = L T = 40Cen (1) en (1) Para x = L/2 en la mitad a) Que material debe agregarse para que el centro ascienda 4C? (24C)

Se toma el (a)

b) Que material debe quitarse para que el centro descienda 4C? (16C)

Se toma el caso (a)

CONDUCCION DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO

PAREDES PLANAS DE CAPAS MULTIPLESPared que consta de dos capas

T1, T2 y T3 temperaturas de las superficiesSi queremos calcular la temperatura de la interfase 2, conociendo Q

RESISTENCIA TERMICA POR CONTACTOLas superficies vistas al microscopio muestran picos y valles, al juntarse dos superficies hay espacios con aire el cual acta como aislamiento por tener el aire conductividad baja. Por lo tanto la interfase ofrece resistencia a la transferencia de calor y esta resistencia por unidad de rea se denomina resistencia trmica por contacto Rc.De la ley de newton de enfriamiento: Conductancia trmica por contacto directo La resistencia trmica por contacto es la inversa de la conductancia

Esta resistencia trmica depende de la aspereza de la superficie, propiedades de los materiales y de la presin en la interfase y del tipo de fluido atrapado en esta.Se puede minimizar esta resistencia aplicando grasa trmica o tambin insertando hojas metlicas suaves.

REDES GENERALIZADAS DE RESISTENCIAS TERMICASPara paredes en paralelo o combinadas serie paralelo se puede obtener soluciones aproximadas suponiendo conduccin unidimensional de calorDos placas paralelas aisladas exteriormente.

Dos placas paralelas seguida de una pared (paralelas serie)

CILINDROS CON CAPAS MULTIPLESFlujo radial de calor a travs de cilindros de diferentes conductividades trmicas. Para condiciones de estado estable, el flujo de calor a travs de cada seccin ser la misma.Un cilindro compuesto de dos capas de longitud L, con conveccin en ambos lados.

Donde A1 = 2r1L y A3 = 2r3LU = Coeficiente total de transferencia de calor para este sistema puede basarse sobre cualquier rea, su valor numrico depender del rea seleccionadaComo el dimetro mayor es el ms fcil de medir, se escoge A3= 2r3L, como el rea base y la rapidez de transferencia de calor:

A0 = A3

RADIO CRITICO DE AISLAMIENTO

Para valor fijo de r1 y r2, la rapidez de flujo es una funcin de r y ser un mximo para un valor de r

CALCULO DEL ESPESOR ECONOMICO DEL AISLANTE

= Calor perdido con aislante por unidad de rea= Calor perdido sin aislante por unidad de rea = Tiempo (hr/ao)C2 = Costo de combustible ($/W-hr)L2 = Espesor econmico del aislanteC = costo de instalacin ($/m3)C1 = Depreciacin anualAn = Ahorro neto anual por unidad de rea ($/m2-ao)An = Cantidad de calor ahorrado al poner aislante por unidad de rea menos depreciacin

(2) y (3) en (1)

Derivando con respecto al aislante L2

EjercicioUn cable elctrico de 1.27cm de dimetro, va ser aislado con hule (K=0.1557 W/m-K); el cable estar instalado en el aire (h=8.5 W/m-K) a 21.1C. Investigar el efecto que el espesor del aislamiento produce sobre la disipacin de calor. Suponiendo una temperatura de 65C en la superficie del cable.

r1=0.00635mRadio critico

Calor disipado sin aislante

Calor disipado con aislante

Calor cedido con radio critico

r (m)q/L (W/m)

0.0063514.88

0.00817.037

0.01018.787

0.018320.85

0.0220.81

0.0418.68

0.0616.83

0.0815.54

0.09518.81

0.093514.88

0.1014.608

0.2012.12

0.509.70

1.008.47

EjercicioUn horno de fierro con paredes blancas tiene un espesor de 0.025m y opera a tiempo completo = 8760hr/ao a una temperatura interna T = 300C, la temperatura ambiente es 26C, el coeficiente combinado interior es hp-gas = 284 W/m2-K y la conductividad del fierro 62 W/m-K.El horno ser aislado externamente con un aislante de conductividad 0.087W/m-K, cuyo costo de instalacin es de 1100$/m3, la depreciacin anual (mantenimiento, impuestos) es estimado en 15%. el costo de combustible para la operacin del horno es 0.8*10-5 $/W-hr, si el coeficiente pelicular externo es 9W/m2-K. Calculara) El espesor econmico del aislanteb) El ahorro neto anual por unidad de rea.

Ahorro neto

CONDUCCION DE CALOR A TRAVES DE TRAYECTORIAS CURVASPara ciertas condiciones el flujo de calor no es lineal, pero si unidimensional, por lo que se puede adaptar Fourier.

gradiente de temperaturas en la trayectoria curvilnea

(3) en (2)

(4) en (1)

calculo dT/d usando coordenadas cilndricas

volviendo a integrar

condiciones de contorno = 0 T = T1 T1 = C1*0 + C2 T1 = C2 (8) = 2 T = T2 T2 = C1 2 + T1 ( 8 ) y ( 9 ) en ( 7 )

( 9 ) en ( 6 )

( 11 ) en ( 5 )