Transferencia de Calor 2

Transferência de

Calor CONDUÇÃO

Introdução

Equação da taxa de condução

Introdução

Quando Δx 0, obtemos a taxa de transferência de calor:

Ou para o fluxo térmico:

O sinal de menos é necessário porque o calor é sempre

transferido no sentido da diminuição da temperaturas.

A lei de Fourier, como escrita na equação 2.2, implica que o

fluxo térmico é uma grandeza direcional.

Reconhecendo que o fluxo térmico é uma grandeza vetorial,

podemos escrever o enunciado mais geral da equação da taxa

de condução da seguinte maneira:

O fluxo térmico pode ser decomposto em componentes, de

modo que, em coordenadas cartesianas, a expressão geral para q” é

em que, a partir da equação 2.3, tem-se que

Introdução

Reconhecendo que o fluxo térmico é uma grandeza vetorial,

podemos escrever o enunciado mais geral da equação da taxa

de condução da seguinte maneira:

De acordo com a equação 2.3 o fluxo térmico encontra-se em

uma direção perpendicular as superfícies isotérmicas. Com isso, uma forma alternativa da lei de Fourier é:

Introdução

Condutividade térmica (k)

Essa propriedade, que é classificada como uma propriedade de

transporte, fornece uma indicação da taxa na qual a energia é

transferida pelo processo de difusão.

Depende da estrutura física da matéria, atômica e molecular, que

está relacionada ao estado da matéria.

Para uma material isotrópico a condutividade térmica é

independente da direção de transferência.

ksólido > klíquido > kgás

Propriedades Térmicas da

Matéria


Matéria

Faixas de condutividades térmicas de vários estados da matéria a temperatura e pressões normais


Em sólidos o transporte de energia térmica pode ser devido a dois efeitos:

1. Migração de elétrons livres e

2. Ondas vibracionais no reticulo cristalino (fônons).

A teoria cinética fornece a expressão a seguir para condutividade térmica:

Quando elétrons e fônons transportam a energia térmica levando à

transferência de calor por condução em um sólido, a condutividade térmica

pode ser representada por:


Matéria



Matéria

Dependência com a temperatura da condutividade térmica para alguns sólidos

Difusividade térmica (α)

Onde:

K= cond. térmica

ρ= massa específica

Cp= calor específico

Mede a capacidade de uma material de conduzir energia térmica em

relação a sua capacidade de armazená-la.

Condição de equilíbrio térmico.

Materiais com elevados valores de α responderão rapidamente a mudanças

nas condições térmica a eles impostas.


Matéria

pρ.c

kα

A difusividade térmica (α) é a propriedade de transporte que controla os

processos de transferência de calor por condução em regime transiente. Usando

valores apropriados de k, ρ e cp, calcule α para os seguintes materiais nas

temperaturas indicadas; alumínio puro, 300 K e 700 K; carbeto de silício, 1000 K.

Exercício proposto

Um dos objetivos principais em uma análise da condução é determinar o campo

de temperaturas em um meio resultante das condições impostas nas fronteiras.

Deseja-se conhecer a distribuição de temperaturas, que representa como a

temperatura varia com a posição no meio.

Equação da difusão

térmica

No interior do meio pode haver geração de energia térmica dada por:

Neste caso q é a taxa na qual a energia é gerada por unidade de volume

(W/m3).

Variações na quantidade de energia (térmica) interna armazenada na matéria

contida no volume de controle. Na ausência de mudança de fase, os efeitos de

energia latente não são pertinentes e o termo referente ao acúmulo de energia

poder ser escrito na forma:


térmica

.

A conservação de energia do volume de controle pode ser escrita em termos de

taxa, conforme:

Reconhecendo que as taxas de condução de calor constituem a entrada de

energia (Ein), e a saída de energia (Eout), e substituindo as equações (2.12) e

(2.13), obtemos:


térmica

A equação geral da difusão térmica ou equação do calor pode ser escrita de

forma geral, em coordenadas cartesianas.

Assumindo que a condutividade térmica seja constante, condições de regime

estacionário, e que alem disso, a transferência de calor seja unidimensional e

também não haja geração de energia a equação (2.17) se reduz a:


térmica

A solução da difusão térmica depende das condições físicas existentes nas

fronteiras do meio, e se a situação variar com o tempo, a solução dependerá

também das condições em algum instante inicial.

Os três tipos de condições de contorno usualmente encontrados na transferência

de calor são apresentadas na tabela a seguir.

Condições de contorno e

Iniciais

Condições de contorno e

Iniciais

Exercício proposto

Considere condições de regime estacionário na condução

unidimensional em uma parede plana com uma condutividade

térmica k= 50 W/(m.K) e espessura L= 0,25 m, sem geração

interna de calor.

Determine o fluxo térmico e a grandeza desconhecida,

indicando o sentido do fluxo térmico.

Exercício proposto

Situação T1 (ºC) T2 (ºC) dT/dx (K/m)

1 50 -20

2 -30 -10

3 70 160

4 40 -80

5 30 200

Condução de Calor

Unidimensional REGIME ESTACIONÁRIO

Na condução de calor unidimensional em uma parede plana, a

temperatura é uma função apenas da coordenada x e o calor é

transferido exclusivamente em nessa direção.

Para condições de regime estacionário, sem a presença de fontes ou

de sumidouros de energia distribuídos no interior da parede, a forma

apropriada da equação do calor é:

Parede Plana

Distribuição de temperaturas

Parede Plana


Se a condutividade térmica é considerada constante a equação (3.1)

pode ser integrada duas vezes, obtendo-se a solução geral:

Para obter as constantes de integração, C1 e C2 aplicamos as

condições de contorno x= 0 e x= L, assim:

Parede Plana

e


Substituindo a condição x= 0 na solução geral, tem-se que:

Analogamente, em x= L,

Assim:

Parede Plana


Substituindo na solução geral, a distribuição de temperaturas é então:

Agora que temos a distribuição de temperaturas, podemos usar a lei de

Fourier, para determinar a taxa de transferência de calor por

condução:

Parede Plana

Resistência térmica

Com base na equação (3.4) podemos fazer uma analogia entre difusão

de calor e carga elétrica.

Da mesma maneira que uma resistência elétrica está associada à

condução de eletricidade, uma resistência térmica esta associada a

uma condução de calor.

Parede Plana


Definindo a resistência como a razão entre um potencial motriz e a

correspondente taxa de transferência, vem da equação (3.4) que a

resistência térmica na condução em uma parede plana é:

Parede Plana


A partir da lei de resfriamento de Newton,

A resistência térmica para a convecção é, então,

Parede Plana


A troca radiante entre uma superfície e sua vizinhança pode, também

ser importante, se o coeficiente de transferência de calor por

convecção for pequeno.

Uma resistência térmica para a radiação pode ser definida tendo-se

como referência,

Assim, uma resistência térmica para a radiação pode ser definida

como:

Parede Plana

Paredes compostas

Em série

Parede Plana

Paredes compostas

Em paralelo

Parede Plana

Resistência de contato

Parede Plana


Tipicamente pode ser reduzida por meio:

Redução da rugosidade

Aumento da pressão de contato

Utilização de um fluido interfacial com elevada condutividade

térmica.

Parede Plana


Parede Plana

Com frequência, em sistemas cilíndricos e esféricos há gradientes

de temperatura somente na direção radial, o que possibilita

analisá-los como sistemas unidimensionais.

Sistemas Radiais

Cilindros

Exemplo: um tubo cujas superfícies interna e externa estão expostas a

fluidos com diferentes temperaturas.

Para condições de regime estacionário sem geração de calor, a

equação do calor é:

Sistemas Radiais

Cilindros

A taxa na qual a energia é conduzida através de qualquer superfície

cilíndrica no sólido pode ser representada por:

A distribuição de temperaturas no cilindro resolvendo a equação 3.28 e

utilizando condições de contorno apropriadas resulta em:

Sistemas Radiais

Cilindros

A distribuição de temperaturas associada à condução radial através de

uma parede cilíndrica é logarítmica, não sendo linear como na parede

plana submetida as mesmas condições.

Sistemas Radiais

Cilindros

Para condução radial em parede cilíndrica a resistência térmica tem a

forma:

Sistemas Radiais

Cilindros

Sistemas Radiais

Cilindros

Para situação apresentada anteriormente temos que a taxa de

transferência de calor pode ser representada por:

Sistemas Radiais

Esferas

Para o volume de controle diferencial da figura, a conservação de

energia exige que qr= qr+qx em condições de regime estacionário, sem

geração de calor. A forma apropriada da lei de Fourier é:

Sistemas Radiais

Esferas

Supondo que k constante, obtemos então:

Lembrando que a resistência térmica é definida como a razão entre a

diferença de temperaturas e a taxa de transferência de calor, temos:

Sistemas Radiais

Soluções unidimensionais, em regime estacionário, da equação do

calor sem geração de energia.

Principais Equações

Consideramos o efeito adicional na distribuição de temperatura de

processos que possam ocorrer no interior do corpo.

Um processo comum de geração de energia térmica envolve a

conversão de energia elétrica em térmica em um meio que conduz

corrente elétrica (aquecimento ôhmico).

A taxa na qual a energia é gerada em função da passagem da

corrente I através de um meio com resistência elétrica Re é

Condução com geração

de calor

Parede plana

Seja uma parede plana na qual há geração uniforme de energia por unidade

de volume (q é constante) e as superfícies são mantidas a Ts,1 e Ts,2


de calor

.

Parede plana

A solução geral para a equação do calor é

Aplicando as condições de contorno adequadas pode chegar a

equação que descreve a distribuição de temperaturas:


de calor

Parede plana

Quando Ts,1 = Ts,2 a distribuição de temperatura é então simétrica em

relação a um plano central.


de calor

Parede plana

O uso das equações de distribuição de calor só é possível quando as

temperaturas da superfícies são conhecidas.

Nos casos onde conhecemos a temperatura de um gás adjacente (T∞)

podemos relacioná-la com a temperatura da superfície com T∞.


de calor

Sistemas Radiais

A equação do calor adequada (assumindo a condutividade térmica k,

constate) ficaria:


de calor

Sistemas Radiais

A equação do calor adequada (assumindo a condutividade térmica k,

constate) ficaria:

A solução geral para distribuição de temperaturas se torna:


de calor

Sistemas Radiais

Para relacionar a temperatura na superfície, Ts, coma a temperatura do

fluido frio, T∞, uma balanço de energia global pode ser usado.


de calor

O termo superfície estendida é comumente usado para descrever um

caso importante envolvendo a transferência de calor por condução no

interior de um sólido e a transferência de calor por convecção e/

radiação nas fronteiras de um sólido.

Embora a combinação de condução/convecção exista em muitas

situações , esse efeito é frequentemente aplicado em situações o

utilizamos uma superfície estendida para aumentar a taxa de

transferência de calor entre um sólido e um fluido adjacente.

Tal superfície é denominada aleta.

Transferência de calor em

superfícies estendidas

O aumento da taxa de transferência de calor poderia ser feito por meio:

Aumento do coeficiente de transferência de calor por convecção

(hc).

Redução da temperatura do fluido (T∞).

Após uma rápida análise da equação da taxa de transferência

podemos afirmar que isso também poderia ser feito aumentando-se a

área da superfície através da qual a convecção ocorre.



Como exemplo podemos citar:



Considere também os tubos aletados usados para promover a troca de

calor entre o ar e um fluido de trabalho, por exemplo, como ocorre em

um aparelho de ar condicionado..



Configurações adotadas na construção de sistemas aletados.

Aleta plana




Aleta anular




Aleta piniforme



Em qualquer aplicação, a seleção de uma determinada configuração

de aletas dependerá de considerações sobre:

Espaço disponível

Peso

Processo de fabricação

Custo



Considerações a cerca do processo de transferência de calo em

sistemas aletados.

CASO A: Consideramos que ocorre transferência de calor por

convecção na extremidade da aleta.

CASO B: Consideramos que a perda de calor por convecção na

extremidade da aleta é desprezível.

CASO C: Quando a temperatura na ponta da aleta é especificada

CASO D: Aleta muito longa, (comprimento >> seção transversal).



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