El problema de Dirichlet y otros problemas de peso · Ecuacion del calor:´ ... * Propagacion de...

El problema de Dirichlet y otros problemas depeso

Marıa J. Carro

Universidad de Barcelona

Universidad Carlos III, enero 2015

Marıa J. Carro El problema de Dirichlet y otros problemas de peso.

El problema de Dirichlet

Peter Gustav LejeuneDirichlet (1805-1859)

Enunciado general

Dado un dominio Ω ⊂ Rn y una funcion f :δΩ→ R, el problema de Dirichlet consiste enencontrar una funcion u : Ω→ R tal que

∆u = 0, u|δΩ = f ,

donde ∆ es el Laplaciano:

∆u =∂2u∂x2

1+ · · ·+ ∂2u

∂x2n


Interpretacion fısica

Este problema modeliza fenomenos fısicos estacionarios, es de-cir, independientes del tiempo, y es el ejemplo tıpico de lo queen EDPs se llama una ecuacion elıptica.Ecuacion del calor:

∆u(x , t) = a2∂u(x , t)∂t

=⇒ ∆u(x) = 0

* Fijar la temperatura sobre el contorno de un dominio de acuerdo, la tem-peratura fluye hasta que alcanza un estado estacionario en el dominio. Ladistribucion de la temperatura en el interior sera entonces la solucion corres-pondiente al problema de Dirichlet.Ecuacion de ondas:

∆u(x , t) = a2∂2u(x , t)∂t2 =⇒ ∆u(x) = 0

* Propagacion de ondas en regimen estacionario.


El problema de Dirichlet. Historia

History

* George Green (1828): Redujo el problema a la construccionde funciones de Green.

* Karl Friedrich Gauss (1840): Teorıa del potencial.

* Lord Kelvin and P.G. Dirichlet (1847): sugirieron minizar laenergıa

E(u) =

∫Ω|∇u(x)|2dx

sujeta a la condicion inicial. Calculo de variaciones.



Historia

* Weierstrass, Riemann, ...

* Stanislaw Zaremba (1911): Fue el primero que observo quehabıa regiones en los que el problema de Dirichlet no tenıasolucion: Ω = D \ 0.

* Henri Lebesgue (1913) dio un ejemplo en el que el problemade Dirichlet no tenıa solucion y el dominio tenıa fronteraconexa.



From 1920 ...

Los siguientes tres metodos fueron los mas populares:

El metodo de Poincare en el que se usaban funcionessubharmonica: Metodo de Perron.

Metodo de ecuaciones integrales basadas en teorıa delpotencial.

Metodos variacionales relativos al problema de minizar laEnergıa de Dirichlet.


El problema de Dirichlet en dominios simplementeconexos

Dominios acotados: Disco unidadDada D el disco unidad y dada una funcion f ∈ Lp(T), existeu ∈ h(D) tal que u = f en T.

0u

fD

∆u = 0u|∂D = f



Disco unidad: Solucion

u(r , θ) =1

4π

∫ 2π

0f (s)

1− r2

1− 2r cos(θ − s) + r2 ds = (Pr ∗ f )(θ),

with Pr the Poisson kernel

Pr (θ) =1− r2

1− 2r cos θ + r2 .

Pregunta:

lımr→1

(Pr ∗ f )(θ) = f (θ), a.e. θ, ∀f ∈ Lp(T)?


El problema de Dirichlet en el disco unidad

Filosofıa del Operador Maximal

Sisupr>0|Pr ∗ f | : Lp(T)→ Lp(T)

es acotado, entonces

lımr→1

(Pr ∗ f )(θ) = f (θ), a.e. θ, ∀f ∈ Lp(T).


El problema de Dirichlet en el semiespacio superior

f

FΩ = Rn+1+



Rn+1+ : Solucion

u(x , t) =

∫Rn

K (x − y , t)f (y)dy = (Kt ∗ f )(x)

with K (y , t) = Kt (y) the Poisson kernel

K (y , t) =cnt

(|y |2 + t2)n+1

2

, y ∈ Rn, t > 0.

Pregunta:

lımt→0

(Kt ∗ f )(x) = f (x), a.e. x ∈ Rn, ∀f ∈ Lp(Rn)?



Filosofıa Operador maximal

Sisupt>0|Kt ∗ f | : Lp(Rn)→ Lp(Rn)


lımt→0

(Kt ∗ f )(x) = f (x), a.e. x ∈ Rn, ∀f ∈ Lp(Rn).


El problema de Dirichlet en dominios no acotados

Dominios Regular

Tiene el problema de Dirichlet solucion en un dominio Ω confrontera de clase C1?

f

FΩ


El problema de Dirichlet en dominios regulares

Dominios de clase C1 (Dahlberg, Fabes-Jodeit-Riviere, Kenig1979-1980)

Dado un dominio simplemente conexo U con frontera ∂U declase C1 y dada f ∈ Lp(∂U,ds) y 1 < p < ∞, existe F ∈ h(U)tal que F = f en ∂U.



Dominios Lipstchitz

Tiene el problema de Dirichlet solucion en un dominio LipschitzΩ?

f

FΩ

Lipschitz: |f (x)− f (y)| ≤ C|x − y |



Dominios no acotados Lipschitz (C. Kenig, 1980)

Dado

Ω = z = x + iy ∈ C : y > ν(t).

ν una funcion Lipschitziana, y dada f ∈ Lp(∂Ω) y 2 ≤ p < ∞,existe F ∈ h(Ω) tal que F = f en ∂Ω.



f

φR2+

O

Observacion: cambio de variable

Si f ∈ Lp(∂Ω), entonces f φ ∈ Lp(|φ′|).



f

φR2+

O

(C. Kenig, 1980)

Si φ : R2+ → O es una aplicacion conforme exhaustiva tal que

φ(∞) =∞, entonces |φ′| ∈ A2.


Clase A2

Definicion

w ∈ A2 si

supQ

(1|Q|

∫Q

w)1/2( 1

|Q|

∫Q

w−1)1/2

<∞,

donde Q es un cubo en Rn.


Pesos de Muckenhoupt

BenjaminMuckenhoupt.

PesoUn peso w es una funcion positiva definidasobre un espacio de medida que es local-mente integrable.


Pesos

Pesos de Muckenhoupt Ap

Un peso w ∈ Ap (p > 1) si

‖w‖1/pAp

= supQ

(1|Q|

∫Q

w)1/p( 1

|Q|

∫Q

w1−p′)1/p′

<∞,

con 1p + 1

p′ = 1,

‖w‖A1 = ınf

C > 0 : Mw(x) ≤ Cw(x), a.e. x.



Una definicion facil de recordar

1 =1|Q|

∫Q

1dx =1|Q|

∫Q

w(x)−1w(x)dx

≤(

1|Q|

∫Q

w)1/p( 1

|Q|

∫Q

w1−p′)1/p′

≤ ‖w‖1/pAp.

Satisface una desigualdad de Holder inversa

∫f (x)g(x)dµ(x) ≤

(∫f (x)pdµ(x)

)1/p(∫g(x)p′dµ(x)

)1/p′

.



Consecuencia:

Si w ∈ A∞ := ∪pAp, entonces existe δ > 0 tal que(1|Q|

∫Q

w1+δ(x)dx) 1

1+δ

≤ Cw

|Q|

∫Q

w(x)dx .

Mejoran la integrabilidad

Propiedad de los pesos Ap

Si 1 ≤ p ≤ q,A1 ⊂ Ap ⊂ Aq ⊂ A∞



Teorema (C. Kenig, 1980)

Seap0 = ınfq > 1 : |φ′| ∈ Aq.

Dada f ∈ Lp(∂Ω,ds) y p0 < p < ∞, existe F ∈ h(Ω) tal queF = f en ∂Ω.



Propiedad de automejora de los pesos Ap

Si 1 ≤ p ≤ q,A1 ⊂ Ap ⊂ Aq ⊂ A∞

perow ∈ Ap =⇒ ∃ε > 0; w ∈ Ap−ε.

Consecuencia:

p0 = ınfq > 1 : |φ′| ∈ Aq 6= mınq > 1 : |φ′| ∈ Aq

Kenig, C., Weighted Lp-spaces in Lipschitz domains, Amer. J. Math. 102 (1980),129–163.



Dominios acotados Lipschitz (Dahlberg, 1979)

Dado un dominio acotado U con frontera ∂U Lipschitz y dadaf ∈ Lp(∂U,ds), 2 ≤ p < ∞, existe F ∈ h(U) tal que F = f en∂U.

Dahlberg, B., On the Poisson integral for Lipschitz and C1-domain, StudiaMath. 66 (1979).


Un problema clasico en variable compleja

Conjuntos frontera de interpolacion

Sea D = |z| < 1 y sea T = ∂D. Dado un conjunto E ⊂ T ydada una funcion ϕ definida en E , cuando es cierto que existeuna funcion f ∈ H(D) tal que f = ϕ en E?

ϕ

Ef ∈ H(D)



Teorema Rudin-Carleson (1956/57)

Sea E ⊂ T un subconjunto cerrado tal que |E | = 0 y sea ϕ unafuncion continua en E . Entonces existe una funcion

f ∈ A(D) = H(D) ∩ C(T)

tal que f = ϕ en E .

Mas aun, si para toda ϕ ∈ C(E), existe f ∈ A(D) tal que f = ϕen E , entonces |E | = 0.



Conjuntos frontera de interpolacion

Consideremos el espacio

A1(D) = f ∈ A(D) : f ′ ∈ A(D)

y supongamos que ϕ ∈ C1(E). ¿Cuando es cierto que existeuna funcion f ∈ A1(D) tal que f = ϕ y f ′ = ϕ′ en E?

Teorema (J. Bruna, 1981)

Sea E ⊂ T un subconjunto cerrado y sea ϕ ∈ C1(E). Entoncesexiste una funcion f ∈ A1(D) tal que f = ϕ, f ′ = ϕ′ en E si y solosi existe 0 < α < 1 tal que:

Si ρ(x) = d(x ,E), ρ : T→ R =⇒ ρ−α ∈ A2.


El espacio BMO

Se define el espacio BMO como el conjunto de las funcionesf ∈ L1

loc tal que

supQ

1|Q|

∫Q|f − fQ| <∞, fQ =

1|Q|

∫Q

f .

Desigualdad de John-Nirenberg (1961)

Si f ∈ BMO, existe α > 0 tal que

1|Q|

∫Q

eα|f (x)−fQ |dx <∞.

Relacion con los pesos de Muckenhoupt

f ∈ BMO =⇒ ∀p > 1, ∃αp > 0 : eαp f ∈ Ap

yw ∈ Ap =⇒ log w ∈ BMO.


El espacio BMO

Se define el espacio BMO como el conjunto de las funcionesf ∈ L1

loc tal que

supQ

1|Q|

∫Q|f − fQ| <∞, fQ =

1|Q|

∫Q

f .

Relacion con los pesos de Muckenhoupt

f ∈ BMO =⇒ ∀p > 1, ∃αp > 0 : eαp f ∈ Ap

yw ∈ Ap =⇒ log w ∈ BMO.


Interpretacion Geometrica

Conjuntos bien distribuidos

Los puntos del conjunto E han de estar bien distribuidos:

(i) El conjunto perfecto de Cantor es bueno.

(ii) Para conjuntos formados por una sucesion de puntos conun lımite, la condicion esta relacionada con la velocidad deconvergencia.

E = ein ,n ∈ N ∪ 1, No

E = ei

2n ,n ∈ N ∪ 1, Si


Referencias y mas resultados

Extensiones

(i) Extensiones a los espacios Cp y al correspondiente espa-cio de funciones analıticas Ap, p ∈ N.

(ii) Extensiones a espacios de funciones Lipschitzianas cuan-do p no es un natural.

Alexander, H.; Taylor, B. A.; Williams, D. L., The interpolating sets for A∞. J.Math. Anal. Appl. 36 (1971), 556–566.

Dynkin-Hruscev, Interpolation by boundary values of smooth analytic functions.Soviet Nath. Dokl 15 (1974), 1083–1086.

Bruna, J. Boundary interpolation sets for holomorphic functions smooth to theboundary and BMO. Trans. Amer. Math. Soc. 264 (1981), no. 2, 393–409.


EDP elıpticas en forma de divergencia

Teorema (Garofalo-Lin, 1986)

Sea Ω ⊂ B(0,2) un conjunto conexo de Rn y sea A(x) una ma-triz simetrica n×n cuyas entradas son funciones Lipschitzianasy tal que

λ|ξ|2 ≤ 〈A(x)ξ, ξ〉 ≤ 1λ|ξ|2.

Si u ∈ H1,2loc(Ω) es una solucion debil del problema

Lu = div(A(x)∇u(x)) = 0, x ∈ Ω

entonces u, |∇u| ∈ A∞ = ∪pAp.


u(x0) = 0 =⇒ u ≡ 0.

Consecuencia:En particular, si u tiene un cero de orden infinito en un x0 ∈ Ω,entonces u ≡ 0∫

B(x0,R)u2(x)dx = O(RN), ∀N ∈ N.

Operador maximal de Hardy-Littlewood

Mf (x) = supr>0

1|B(x , r)|

∫B(x ,r)

|f (y)|dy

Observacion:

Mf (x0) = 0 =⇒ f ≡ 0.


u(x0) = 0 =⇒ u ≡ 0.

Caracterizaciones de A1 (R. Coifman y R. Rochberg, 1980)

Se cumple que

A1 ≈ (Mh)α : h ∈ L1loc,0 ≤ α < 1

Caracterizaciones de Ap (P. Jones, 1980)

Se cumple que

Ap ≈ (Mh1)α1(Mh2)α2(1−p) : hj ∈ L1loc,0 ≤ αj < 1


Convergencia de la Serie de Fourier

Dada f ∈ L1(T),

Sf (θ) =∞∑

n=−∞f (n)einθ, f (n) =

12π

∫ 2π

0f (x)e−inxdx .

Pregunta

Dada f ∈ L1(T), ¿Cuando es cierto que

SN f (θ) =N∑

n=−N

f (n)einθ −→ f ?


Relacion con el problema de Dirichlet en el discounidad

Pregunta

Dada f ∈ L1(T), ¿cuando es cierto que

∞∑n=−∞

f (n)einθ = f (θ)?

Pregunta mas facil

Dada f ∈ L1(T), ¿cuando es cierto que

Sf (θ, r) =∞∑

n=−∞f (n)einθrn −→ f (θ)?


Relacion con el problema de Dirichlet en el discounidad

Conexion∞∑

n=−∞f (n)einθrn = (Pr ∗ f )(θ) = u(reiθ).

∆u = 0, uT = f .


Convergencia de la Serie de Fourier: ResultadosClasicos

Resultado negativo: Dubois Reymond (1873)

Existe una funcion continua tal que la serie de Fourier divergeen un punto. Es mas, diverge en un conjunto denso.

Resultado negativo: Kolmogorov (1923)

Existe f ∈ L1(T) tal que

SN f (θ) 9 f (θ), a.e. θ


Convergencia de la Serie de Fourier: ResultadosClasicos

Lennart Carleson.Premio Abel 2006.

TheoremSi p > 1,

SN f (θ) −→ f (θ), a.e. θ,∀f ∈ Lp.


Convergencia de la Serie de Fourier

Dada f ∈ L1(Tn), n > 1, ¿cuando es cierto que

SN f −→ f ?

Resultados conocidos

(1) Para todo f ∈ L2(Tn),

SN f −→ f , (L2)

(2) Si p 6= 2, existe f ∈ Lp(Tn) tal que

SN f 9 f , (Lp), C. Fefferman (1971)

(3) Pregunta abierta: si f ∈ L2(Tn),

¿SN f (θ) −→ f (θ), a.e. θ?


Convergencia de la Serie de Fourier: Funcionesradiales

Problema mas sencilloDada f ∈ Lp, f radial, ¿es cierto que

SN f (θ) −→ f (θ)?

ObservacionSea f (x) = f0(|x |) una funcion radial

f ∈ Lp(Rn) ⇐⇒ f0 ∈ Lp(rn−1)

y existe una relacion entre

SN f (x) ≈ SN(g0)(r), g0(s) = f0(s)sn−1

2 .


Convergencia de la Serie de Fourier: Funcionesradiales

Hunt-Muckenhoupt-Wheeden, 1973

Lp(w)− lımN

SN f = f , ∀f ∈ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap

CorolarioSi f es radial,

Lp − lımN

SN f = f ⇐⇒ 2nn + 1

< p <2n

n − 1.

Creditos:Prestini, Herz, Kenig-Tomas, ...


Teorıa de Wavelets


Teorıa de Wavelets

Definicion rapida

La teorıa de las wavelets es una alternativa al analisis de Fourierque tiene la ventaja de que permite analizar mejor las senalesen tiempo y en frecuencia simultaneamente.

Definicion rigurosa

Una funcion φ ∈ L2(R) es una ondıcula (wavelet) si el conjunto

A = φj,k (x) = 2j/2φ(2jx − k) : j , k ∈ Z

es una base ortonormal de L2(R).


Teorıa de Wavelets

Definicion

Dada una wavelet φ ∈ L2(R), la serie de Fourier asociada

Sφ(f ) =∑j,k

〈f , φj,k 〉φj,k

DefinicionDado un espacio X , diremos que A es una base incondicionalde X si, para todo f ∈ X ,

f =∑j,k

〈f , φj,k 〉φj,k

converge incondicionalmente.


(VI) Wavelets

Teorema (I. Daubechies, 1992)

Sea φ ∈ C1(R) una ondıcula tal que, para un ε > 0 y j = 0,1,

|φj)(x)| ≤ (1 + |x |)−1−ε, ∀x .

Entonces, para todo 1 < p < ∞, A es una base incondicionalde Lp(R).

Teorema (P. Lemarie, 1994)

Si φ tiene soporte compacto y satisface una condicion tipo Lips-chitz, entonces A es una base incondicional de Lp(w) si y solosi w ∈ Ap (p > 1).


¿Que tienen en comun todos estos problemas?

La solucion pasa por demostrar que un determinado operadores acotado en un espacio Lp(w):

T : Lp(w) −→ Lp(w).

*Operador maximal de Poisson* Operador integral de Cauchy* Operador maximal de Hardy-Littlewood* Operador de las sumas parciales de la serie de Fourier* Operador transformada de Hilbert* · · ·


Operadores importantes

*Operador maximal de Poisson

P∗f (θ) = sup0<r<1

|(Pr ∗ f )(θ)|, P∗f (x) = supt>0|Kt ∗ f )(θ)|

* Operador integral de Cauchy y transformada de Hilbert

Cf (z) =1

2πi

∫T

f (s)

z − sdσ(s), Hf (x) =

∫R

f (y)

x − ydy .

* Operador de las sumas parciales de la serie de Fourier

S∗f (θ) = supN|SN f (θ)|

* Operador maximal de Hardy-Littlewood* · · ·


Muckenhoupt

Teorema (Muckenhoupt, 1972)

El operador maximal de Hardy-Littlewood

Mf (x) = supr

1|B(x , r)|

∫B(x ,r)

|f (y)|dy

satisface en el caso p > 1,

M : Lp(w) −→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap.


Muckenhoupt

Resolucion del Problema de Dirichlet

El operador maximal de Hardy-Littlewood mayora al operadormaximal de Poisson

P∗f (x) ≤ CMf (x)

y, por tanto, si p > 1,

P∗ : Lp(w) −→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap.


Muckenhoupt

Teorema (Muckenhoupt, 1972)

La transformada de Hilbert

Hf (x) = v.p.∫R

f (y)

x − ydy

satisface si p > 1,

H : Lp(w) −→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap.


Muckenhoupt

Teorema (Muckenhoupt, 1972)El operador conjugado

Cf (θ) =

∫T

f (y) cot(θ − y)dy

satisface si p > 1,

C : Lp(w) −→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap.

CorolarioEl operador de Carleson S∗, asociado a las sumas parciales dela serie de Fourier, satisface

w ∈ Ap, p > 1 =⇒ S∗ : Lp(w) −→ Lp(w).


Y si p = 1?

Espacio de tipo debil

L1,∞(w) = f : ‖f‖L1,∞(w) = supy>0

yw(|f | > y) <∞

Entonces:

Acotacion positiva

w ∈ A1 =⇒ M,P∗,H,C : L1(w) −→ L1,∞(w).

Acotacion negativa

S∗ : L1(w) 9 L1,∞(w).


Filosofıa

Acotacion operador maximal =⇒ Convergencia a.e.

SiT ∗f (x) = sup

r>0|Tr f (x)| : L1(w)→ L1,∞(w)


lımr→1

(Tr f )(θ) = f (θ), a.e. θ, ∀f ∈ L1(w).


Resumen

Nuestro objetivo:

Estudiar acotacion de operadores (maximales o no) en espaciosde Lebesgue con pesos.


Teorıa de extrapolacion de Rubio de Francia

Jose Luis Rubio deFrancia.

Teorema (Rubio de Francia, 1984)Si T es un operador sublineal y

T : Lp0(w) −→ Lp0(w),

para todo w ∈ Ap0 , p0 ≥ 1, entonces, paratodo p > 1,

T : Lp(w) −→ Lp(w), ∀w ∈ Ap.



Una observacion importanteSi

‖g‖Lp0 (w) ≤ N(‖w‖Ap0)‖f‖Lp0 (w), ∀w ∈ Ap0 , p0 ≥ 1,

entonces, para todo p > 1,

‖g‖Lp(w) ≤ N(‖w‖Ap )‖f‖Lp(w), ∀w ∈ Ap.

Aplicacion a operadores con valores vectorialesSi w ∈ Ap, entonces∥∥∥∥(∑

j

M(fj)2)1/2∥∥∥∥

Lp(w)

≤ Cw

∥∥∥∥(∑j

|fj |2)1/2∥∥∥∥

Lp(w)

.



Version moderna (2011)Si

‖g‖Lp0 (w) ≤ N(‖w‖Ap0)‖f‖Lp0 (w), ∀w ∈ Ap0 , p0 ≥ 1,

entonces, para todo p > 1,

‖g‖Lp(w) ≤ N(‖w‖Ap )‖f‖Lp(w), ∀w ∈ Ap,

donde

N(‖w‖Ap ) ≤ N(

C‖w‖max(

1, p0−1p−1

)Ap

).

O. Dragicevic, L. Grafakos, M. C. Pereyra y S. Petermichl, Publ. Mat. 49 (2005),73–91.Duoandikoetxea, J. Funct. Anal. 260 (2011), no. 6, 1886–1901.



Teorema

Sea T un operador tal que, para algun p0 ≥ 1 y todo w ∈ Ap0 ,

T : Lp0(w) −→ Lp0(w)

es acotado. Entonces, para todo p > 1 y todo w ∈ Ap,

T : Lp(w) −→ Lp(w)

es acotado.



Teorema

Sea T un operador tal que, para todo w ∈ A1,

T : L1(w) −→ L1,∞(w)

es acotado. Entonces, para todo p > 1 y todo w ∈ Ap,

T : Lp(w) −→ Lp(w)

es acotado.



Sin embargo:

T : Lp0(w) −→ Lp0(w), ∀w ∈ Ap0 .

6=⇒

T : L1(w) −→ L1,∞(w), ∀w ∈ A1.



Corolario

Si T es un operador tal que, para todo p > 1 y todo w ∈ Ap,

T : Lp(w) −→ Lp,∞(w)

es acotado, con constante Cp‖w‖αAp, entonces, para todo ε > 0,

T : L(log L)ε(u) −→ L1loc(u), ∀u ∈ A1.

Definicion

L(log L)α =

f :

∫|f (x)|

(1 + log+ |f (x)|

)αdx <∞

.


Extension del Teorema de extrapolacion de Rubio deFrancia

Espacios de Lorentz (1951)

Lp,1 =

f : ‖f‖Lp,1 =

∫ ∞0

f ∗(t)t1/p dtt<∞

Lp,∞ =

f : ‖f‖Lp,∞ = supt>0

t1/pf ∗(t) <∞.

Se cumple:

Lp,1 ⊂ Lp ⊂ Lp,∞,

y, por tanto,

T : Lp → Lp =⇒ T : Lp,1 → Lp,∞.



Ya sabemos que

T : Lp0(w) −→ Lp0(w), ∀w ∈ Ap0 .

6=⇒T : L1(w) −→ L1,∞(w), ∀w ∈ A1.



Por tanto,

T : Lp0,1(w) −→ Lp0,∞(w), ∀w ∈ Ap0 .

6=⇒T : L1(w) −→ L1,∞(w), ∀w ∈ A1.



Sin embargo:

T : Lp0,1(w) −→ Lp0,∞(w), ∀w ∈ Ap0 .

=⇒

T : L1(w) −→ L1,∞(w), ∀w ∈ A1.


Teorema de extrapolacion de Rubio de Francia

Candidato: Kerman-Torchinsky

M : Lp0,1(w) −→ Lp0,∞(w),

⇐⇒

‖w‖ARp = supE⊂Q

(w(Q)

w(E)

)1/p |E ||Q|

<∞.

R. Kerman y A. Torchinsky, Studia Math. 71 (1982), no. 2, 277–284.



Caracterizacion de Ap

Ap =

u = (Mh1)θ1(Mh2)(1−p)θ2 : 0 ≤ θj < 1, hj ∈ L1loc

Caracterizacion de Ap

Ap =

u = (Mh1)θ1(Mh2)(1−p) : 0 ≤ θ1 < 1, hj ∈ L1loc



Teorema

Si T es un operador tal que, para todo w ∈ Ap0 ,

T : Lp0,1(w) −→ Lp0,∞(w)

es acotado, entonces (esencialmente) para todo u ∈ A1,

T : L1(u) −→ L1,∞(u).


!FIN!

MUCHAS GRACIAS POR VUESTRA ATENCION


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