ECUACION DE BORN-LANDE

MAX BORN

1882-1970 Alemania

ALFRED LANDE

1888-1976 Alemania

Ecuación de Born-Lande

Ecoul= (Z+Z-/4πε0r)

Y DADO QUE LA CARGA ES LA DEL ELECTRON

Ecoul = (Z+Z-e2/4πε0r)

r H2O 820

CH3CN 330

NH3 250

0 = 8.85 x 10-12 C2m-1 J-1

e = 1.6x10-19 COULOMBS

ESTA ENERGIA

Ecoul = (Z+Z-e2/4πε0r)

ES PARA UN PAR DE

CARGAS INDEPENDIENTES.

PERO EN UN CRISTAL…

CLORURO DE SODIO

CONSTANTE DE MADELUNG A

=

EL RESULTADO SE CONOCE COMO CONSTANTE DE MADELUNG A

Y ES DIFERENTE PARA CADA ARREGLO DE IONES.

D C B A B C D PARA EL CASO HIPOTETICO MOSTRADO PARA

ESTA CADENA LINEAL DE IONES, LA ENERGIA DE

ATRACCION ENTRE A Y SUS VECINOS B SERA

Ecoul AB = 2(Z+Z-e2/4πε0d)

LA ENERGIA DE REPULSION DE A Y SUS VECINOS C SERA

Ecoul AC = -2(Z+Z-e2/4πε02d)

LA ENERGIA DE ATRACCION DE A Y SUS VECINOS D SERA

Ecoul AD = 2(Z+Z-e2/4πε03d)

SUMANDO ESTAS CONTRIBUCIONES PARA TODA LA CADENA DE INFINITOS IONES TENDRIAMOS

Ecoul = 2(Z+Z-e2/4πε0d) - 2(Z+Z+e2/4πε02d) + 2(Z+Z-e2/4πε03d) - 2(Z+Z+e2/4πε04d) + .... 2(Z+Z+e2/4πε0nd)

O SEA Ecoul = (Z+Z-e2/4πε0d)2(1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...+1/n)

EN ESTE CASO, LA SERIE MATEMATICA 2(1-1/2+1/3-1/4+…+1/n) = 2ln2

Ecoul = (Z+Z-e2/4πε0d) 2ln2

4407

5

4 2

3 1

DISTANCIAS EN DOS DIMENSIONES

HUGO TORRENS

0-1 = d 4 AZULES

0-2 = √2d 4 VERDES

0-3 = 2d 4 ROJOS

0-4 = √5d 8 AMARILLOS

0-5 = √8d 4 MORADOS

CTE DE MADELUNG A = 4/d - 4/√2d + 4/2d - 8/√5d + 4/√8d -…

4405

EN UN ARREGLO CRISTALINO.

EN UN CRISTAL DE CLORURO DE SODIO, POR EJEMPLO,

CADA ION ESTA RODEADO POR SEIS CONTRAIONES.

Na+

Cl-

EL SODIO CENTRAL TIENE SEIS VECINOS CLORURO

A LA MISMA DISTANCIA

HUGO TORRENS

4405A

SI CADA CLORURO TIENE, A SU VEZ,

SEIS IONES SODIO A SU ALREDEDOR,

SE FORMARIA LA SIGUIENTE RED:

LOS VERTICES DE CADA UNO DE LOS TRES CUADRADOS

FORMADOS EN LOS EJES XY, XZ, YZ, ESTAN EQUIDISTANTES

DEL SODIO CENTRAL

HUGO TORRENS

4405B

COLOCANDO IONES SODIO (ESFERAS ROJAS)

SUCESIVAMENTE EN CADA PLANO TENDRIAMOS

4 EN EL PLANO XZ

HUGO TORRENS

4405C

COLOCANDO IONES SODIO (ESFERAS ROJAS)

SUCESIVAMENTE EN CADA PLANO TENDRIAMOS

4 EN EL PLANO XZ

4 EN EL PLANO YZ

HUGO TORRENS

4405D

COLOCANDO IONES SODIO (ESFERAS ROJAS)

SUCESIVAMENTE EN CADA PLANO TENDRIAMOS

4 EN EL PLANO XZ

4 EN EL PLANO YZ

4 EN EL PLANO XY HUGO TORRENS

4405E

DOCE IONES SODIO (ESFERAS ROJAS) AL

EQUIDISTANTES DEL SODIO CENTRAL.

12 VECINOS 6 VECINOS

HUGO TORRENS

4406

ARREGLO CRISTALINO.

NOTE LOS ANIONES MORADOS.

HUGO TORRENS

4410

EN UN CRISTAL DE CLORURO DE SODIO, HABRA 6

ENERGIA DE ATRACCION IGUALES PARA CADA PAR Na-Cl:

Ea = 6(C+C-)e2/40d

Y HABRA TAMBIEN 12 ENERGIAS DE REPULSION

IGUALES PARA LOS FRAGMENTOS Na-Na, A UNA

DISTANCIA 2 d:

Ea = -12(C+C-)e2/402 d

SI CONSIDERARAMOS TODAS LAS INTERACCIONES CON TODOS

LOS VECINOS DE UN ION DETERMINADO TENDRIAMOS:

HUGO TORRENS

Ea = 6(C+C-)e2/40d -12(C+C-)e2/402 d + 8(C+C-)e2/403 d -...

SI E = (C+C-)e2/40d:

Ea = 6E -12E/2 + 8E/3 - ... + EKn

Ea = E(6 -12/2 + 8/3 - ... + Kn)

LA EXPRESION ENTRE PARENTESIS ES UNA SERIE

MATEMATICA QUE TIENE UN VALOR DETERMINADO, EN

ESTE CASO 1.47456.

A = (6 -12/2 + 8/3 - ... + Kn) = 1.47456

ESTE VALOR SE CONOCE COMO LA CONSTANTE DE

MADELUNG Y ES ESPECIFICA PARA CADA TIPO DE

CRISTAL:

4411

HUGO TORRENS

ESTRUCTURA NUMERO DE COORDINACION

CONSTANTE DE MADELUNG

A

CLORURO DE SODIO 6:6 1.74756

CLORURO DE CESIO 8:8 1.76267

BLENDA DE ZINC 4:4 1.63806

WURZITA 4:4 1.64132

FLUORITA 8:4 2.51939

RUTILO 6:3 2.408

CRISTOBALITA 4:2 2.298

CORUNDO 6:4 4.1719

4411A

HUGO TORRENS

LA CONSTANTE DE MADELUNG A

A LA ENERGIA DEL CRISTAL

LA ECUACION ORIGINAL:

Ecoul = Z+Z-e2/4πe0r VALIDA PARA UN PAR

LA PODEMOS EXTENDER A TODO

EL CRISTAL MULTIPLICANDO POR

LA CTE. DE MADELUNG A

DE Ecoul = AZ+Z-e2/4πe0r

CONSIDERANDO QUE SE TRATA DE CANTIDADES

MOLARES, MULTIPLICAMOS POR EL NUMERO DE

AVOGADRO

Ecoul = NAZ+Z-e2/4πe0r

GRAFICANDO Ecoul = NAZ+Z-e2/4πe0r

PARA SABER COMO VAMOS…

Ecoul

BIEN ¡

MAL ¡

r

4413

BORN ASUMIO LA EXISTENCIA DE UNA ENERGIA

DE REPULSION INVERSAMENTE PROPORCIONAL

A LA DISTANCIA:

Er 1/dc

PARA RESOLVER ESTA PROPORCIONALIDAD BORN

INTRODUJO UNA CONSTANTE -B- PARA OBTENER:

Er = B/dc

EL EXPONENTE c DE LA DISTANCIA REFLEJA LA

COMPRESIBILIDAD DEL CRISTAL.

HUGO TORRENS

BORN PROPUSO QUE LAS REPULSIONES ENTRE LOS

IONES DEBERIAN SER PROPORCIONALES A LA

DISTANCIA Y SUGIRIO…

Ecoul

ER = (B/dC)

r

BIEN ¡

LA CONSTANTE DE COMPRESIBILIDAD -c- PUEDE

ESTIMARSE A PARTIR DE LA CONFIGURACION

ELECTRONICA DE LOS ELEMENTOS INVOLUCRADOS

UTILIZANDO LA SIGUIENTE TABLA:

CONFIGURACION COMPRESIBILIDAD c

He 5

Ne 7

Ar 9

Kr 10

Xe 12

POR EJEMPLO:

O2-, F-, Na+ y Mg2+ TIENEN LA MISMA CONFIGURACION

ELECTRONICA QUE EL NEON Y SU CONSTANTE c = 7

S2-, Cl-, K+ y Ca2+ TIENEN LA MISMA CONFIGURACION QUE

EL ARGON Y SU CONSTANTE c = 9

4416B

PARA LAS SALES FORMADAS POR ESTOS IONES TENEMOS:

NaF c = (7+7)/2 = 7 Na2O c = (7+7+7)/3 = 7

NaCl c = (7+9)/2 = 8 Na2S c = (7+7+9)/3 = 7.6

KF c = (9+7)/2 = 8 K2O c = (9+9+7)/3 = 8.3

KCl c = (9+9)/2 = 9 K2S c = (9+9+9)/3 = 9

MgO c = (7+7)/2 = 7 MgF2 c = (7+7+7)/3 = 7

MgS c = (7+9)/2 = 8 MgCl2 c = (7+9+9)/3 = 8.3

CaO c = (9+7)/2 = 9 CaF2 c = (9+7+7)/3 = 7.6

CaS c = (9+9)/2 = 7 CaCl2 c = (9+9+9)/3 = 9

4416C

HUGO TORRENS

4413A

HUGO TORRENS

E

d

Er

Ea

ESTA GRAFICA REPRESENTA A AMBAS

INTERACCIONES, REPULSION Y ATRACCION,

ACTUANDO SIMULTANEAMENTE:

4414

HUGO TORRENS

E

d

Er

ETOTAL

Ea

EN REALIDAD, LO QUE NOS INTERESA ES:

ETOTAL = Ea + Er

ES DECIR:

ETOTAL = NA(C+C-)e2/40d + NB/dc

COMO SE

MUESTRA EN ESTA

GRAFICA, ETOTAL

TIENE UNA

ENERGIA MINIMA

PARA UN RADIO

FINITO.

ESA ENERGIA

MINIMA ES LA QUE

NOS INTERESA

POR SER LA

ENERGIA DEL

CRISTAL EC

EC

PARA DETERMINAR LAS CARACTERISTICAS DE ESE

MINIMO DE ENERGIA, HACEMOS...

dEt/dd = -(NA(C+C-)e2/40d2) -(cNB/dc+1)

PARA QUE dEt/dd = 0:

-(NA(C+C-)e2/40d2) = (cNB/dc+1)

Y POR LO TANTO,

B = A(C+C-)e2(dc+1)/40c

LA ENERGIA DE LA RED CRISTALINA Ec SERA ENTONCES:

EC = NA(C+C-)e2/40d0 + N(A(C+C-)e2(dc+1)/40c)/dc

O BIEN, SIMPLIFICANDO:

EC = (NA(C+C-)e2/40d0)(1-1/c)

4415

HUGO TORRENS

4416

HUGO TORRENS

ESTA EXPRESION

SE CONOCE COMO

LA ECUACION DE

BORN-LANDE

PARA LA ENERGIA

DE LA RED

CRISTALINA EC DE

UN COMPUESTO

IONICO.

E d

Er

ETOTAL

Ea

dE/dr = 0

EC = (NA(C+C-)e2/40d0)(1-1/c)

d0

EC

EC = (NA(C+C-)e2/40d0)(1-1/c)

ET = (NAZ+Z-e2/4πε0r0)(1-1/n)

r

ET = (NAZ+Z-e2/4πε0r0)(1-1/n)

La ecuación de Born-Lande predice la energía

reticular de un compuesto iónico de forma

bastante precisa.

EJEMPLO: NaCl

N = 6.02205X1023 mol-1

C+ = 1

C- = -1

e2 = CARGA DEL ELECTRON AL CUADRADO= 2.56x10-38 C2

40 = 1.112124x10-10 C2m-1J-1

A = LA CONSTANTE DE MADELUNG PARA LA ESTRUCTURA

CRISTALINA DEL CLORURO DE SODIO: A = 1.74756

d0 = LA DISTANCIA ENTRE LOS NUCLEOS.

RADIO IONICO DEL SODIO (+1) CON NUMERO DE

COORDINACION 6, rNa = 95 pm Y DEL CLORO (-1) CON

NUMERO DE COORDINACION 6, rCl= 181 pm.

d0NaCl = (95 + 181) = 276 pm = 276 x 10-12 m.

c = CONSTANTE DE COMPRESIBILIDAD. DE LA TABLA

ANTERIOR, c = 8

4419

HUGO TORRENS

EC NaCl = -768.1 KJmol-1

(6.02205X1023 Mol-1)(1.74756)(1)(-1)(2.56x10-38 C2)

4(3.1416)(8.85x10-12 C2m-1J-1)(276 x 10-12 m)

(1-1/8) E C NaCl =

4419A

HUGO TORRENS

LA SIGUIENTE TABLA MUESTRA LOS VALORES DE LA ENERGIA DE LA RED CRISTALINA

CALCULADOS Y EXPERIMENTALES PARA ALGUNAS SALES COMUNES.

COMPUESTO EC EXPERIMENTALKJmol-1 EC CALCULADA KJmol-1

LiF 1034.0 1008.0

LiCl 840.1 811.3

LiBr 781.2 766.1

LiI 718.4 708.4

NaF 914.2 902.0

NaCl 770.3 768.1

NaBr 728.4 718.8

NaI 680.7 663.2

KF 812.1 797.5

KCl 701.2 687.4

KBr 671.1 659.8

KI 632.2 623.0

RbF 780.3 761.1

RbCl 682.4 661.5

RbBr 654.0 636.4

RbI 616.7 602.5

CsF 743.9 723.0

CsCl 629.7 622.6

CsBr 612.5 599.6

CsI 584.5 568.2

4419B

EXISTE UNA CLARA CORRELACION, AUNQUE NO SIEMPRE SIMPLE, ENTRE LA ENERGIA DE LA RED CRISTALINA Y CONDUCTIVIDAD ELECTRICA

ET = (NAZ+Z-e2/4πε0r0)(1-1/n)

SEPARACION DE

UNIDADES DEL SOLIDO

∆H = + ENDOTERMICO

SEPARACION DE

UNIDADES DEL DISOLVENTE

∆H = + ENDOTERMICO

FORMACION DE

AGREGADOS

DISOLVENTE-

SOLUTO

∆H = - EXOTERMICO

EXISTE UNA CLARA CORRELACION, AUNQUE NO SIEMPRE SIMPLE, ENTRE LA ENERGIA DE LA RED CRISTALINA Y LA SOLUBILIDAD

EXISTE UNA CLARA CORRELACION, AUNQUE NO SIEMPRE SIMPLE, ENTRE LA ENERGIA DE LA RED CRISTALINA Y LA DUREZA Y FRAGILIDAD

ET = (NAZ+Z-e2/4πε0r0)(1-1/n)

Ec = N A Z+Z- e2

4πe0d0

(1-1/n)

ECUACION DE BORN-LANDE PARA LA

ENERGIA DE LA RED CRISTALINA

Ec = N A Z+Z- e2

4πe0d0

(1-1/n) Energía de la red

cristalina

Ec = N A Z+Z- e2

4πe0d0

(1-1/n)

Numero de Avogadro

Energía de la red

cristalina

Una mol

6.0221367 x 1023 mol-1

Ec = N A Z+Z- e2

4πe0d0

(1-1/n)

Numero de Avogadro

Energía de la red

cristalina

Constante de

Madelung Depende del cristal y este de la relación de radios

Valor en tablas

Ec = N A Z+Z- e2

4πe0d0

(1-1/n)

Numero de Avogadro

Energía de la red

cristalina

Constante de

Madelung

Cargas + y - Na+ Z+ =+1

Cl- Z-=-1

Ec = N A Z+Z- e2

4πe0d0

(1-1/n)

Numero de Avogadro

Energía de la red

cristalina

Constante de

Madelung

Cargas + y -

Carga del electrón

1.60217733x10-19C

Ec = N A Z+Z- e2

4πe0d0

(1-1/n)

Numero de Avogadro

Energía de la red

cristalina

Constante de

Madelung

Cargas + y -

Carga del electrón

Factor de compresibilidad

Valores en tablas o

Estimación por configuración

Ec = N A Z+Z- e2

4πe0d0

(1-1/n)

Numero de Avogadro

Energía de la red

cristalina

Constante de

Madelung

Cargas + y -

Carga del electrón

Distancia interionica

Suma de los radios iónicos

de tablas (m)

Factor de compresibilidad

Ec = N A Z+Z- e2

4πe0d0

(1-1/n)

Numero de avogadro

Energía de la red

cristalina

Constante de

Madelung

Cargas + y -

Carga del electron

Inductancia en el

vacio

8.854187817x10-12C2m-1J-1

Distancia interionica

Factor de compresibilidad

Ec = N A Z+Z- e2

4πe0d0

(1-1/n)

Numero de avogadro

Energía de la red

cristalina

Constante de

Madelung

Cargas + y -

Carga del electron

Permisividad

eléctrica Distancia interionica

Factor de compresibilidad

Ec = N A Z+Z- e2

4πe0d0

(1-1/n)

Numero de avogadro

Energía de la red

cristalina

Constante de

Madelung

Cargas + y -

Carga del electron

Permisividad

eléctrica Distancia interionica

Factor de compresibilidad