Tema 8: Intersección de Superfices. Aplicaciones al ... · PDF fileTema 8:...

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  • Tema 8: Interseccin de superficies. Aplicaciones al dibujo tcnico. Consideraciones generales. El proceso para obtener la interseccin de dos superficies S1 y S2, se desarrolla como sigue (figura 1): 1. Por medio de una superficie auxiliar (que generalmente es un plano) se obtiene la interseccin con cada una de las superficies: S1 = i S1 ; S2 = i S2 2. Los puntos comunes a ambas intersecciones, son puntos de la interseccin de ambas superficies: i S1 i S2 = I1, I2, son puntos de la interseccin solucin. 3. Repitiendo la construccin con otras superficies auxiliares, cada una de ellas determina nuevos puntos, que unidos ordenadamente, dan la interseccin i buscada. La condicin que han de cumplir las superficies auxiliares es que corten a las dadas segn lneas sencillas y fciles de determinar. En el caso del ejemplo que se muestra en la figura 1, las superficies auxiliares son planos como el , siendo las intersecciones con el cono y esfera i S1, i S2 , crculos, que se cortan en los puntos I1 e I2 de la interseccin solucin.

    Figura 1. Interseccin entre cono y esfera.

    Interseccin de superficies regladas desarrollables.

    La interseccin entre superficies regladas se obtiene empleando planos auxiliares que pasen por sus vrtices. As:

  • - si son dos figuras de vrtice propio (conos, pirmides o cono-pirmide), por la lnea que une sus vrtices V1-V2-T (figuras 2, 6), - si es una figura de vrtice propio y otra impropio (cono-cilindro, prisma-pirmide, cono-prisma, pirmide-cilindro) por la lnea r(V, T) que pase por el vrtice del cono y sea paralela a las generatrices del cilindro (figuras 3, 7,8). - si son dos figuras de vrtice impropio (cilindros, prismas o prisma-cilindro) por un punto se hacen pasar dos rectas paralelas s, t, a las generatrices de los cilindros g1 y g2, las cuales definen un plano, cuya traza con el horizontal es 1. Los planos auxiliares son paralelos al plano (s, t) obtenido (figuras 4, 5).

    De este modo las intersecciones i S1, i S2 , de los planos auxiliares con las superficies son rectas, que se cortan respectivamente en puntos I1, I2, de la interseccin solucin.

    Figura 2. Interseccin cono-cono. Planos lmite: RL-V1-V2. Mordedura.

    Figura 3. Interseccin Cono-cilindro. RL-V. Penetracin.

  • Figura 4. Interseccin Cilindro-cilindro. (t,s). Lmite sencillo. La interseccin se encuentra entre dos planos lmite, definidos por las rectas RL y la lnea antes indicada, V1-V2-T, segn el caso. El procedimiento para realizar grficamente la interseccin (figura 4) consiste en:

    - trazar algunos planos auxiliares que estn entre las rectas lmite, - obtener las generatrices interseccin respectivas, - obtener los puntos interseccin de las generatrices correspondientes, - finalmente, unir ordenadamente los puntos de la interseccin solucin.

    En el caso de la figura 4, para unir ordenadamente los puntos de la interseccin, se sigue el orden que se muestra al analizar las bases de los cilindros, de las que salen las generatrices que dan lugar a los puntos de la interseccin.

    A a = 1 A e = 5 A a = 1 Cierre B b = 2 B d = 6 C c = 3 C c = 7 3-7 Punto doble. D d = 4 D b = 8

    Figura 5. Interseccin Prisma-prisma. Lmite doble.

  • Figura 6. Interseccin Pirmide-Pirmide (Lmite doble), Pirmide-Prisma

    (Penetracin). Los tipos de interseccin de superficies que pueden darse son, figura 6: a) penetracin (figura 3,6,7); que da lugar a una curva alabeada con dos ramas independientes (sin puntos comunes), una de entrada y otra de salida. b) mordedura (figura 2,7); que da lugar a una curva alabeada. c) lmite sencillo (figura 4); que da lugar a una curva alabeada, con dos ramas, una de entrada y otra de salida, pero que tienen un punto comn. d) lmite doble (figura 5,6,8); que da lugar a una curva, con dos ramas, una de entrada y otra de salida, pero con dos puntos comunes. Este caso ser objeto de estudio ms detallado, por sus interesantes aplicaciones al dibujo tcnico.

    Figura 6. Anlisis del tipo de interseccin a partir de las bases y de las

    rectas lmite.

    Si las figuras estn apoyadas en planos diferentes, la obtencin de los planos lmite se realiza de forma similar, segn se muestra en las figuras 7 y 8.

    "Mordedura"

    "Lmite doble"

    RL RL

    RL

    RL

    RL

    RL

    RL RL

    "Lmite sencillo"

    "Penetracin"

    RL

    RL

    RL

    RL

    RL

    RL

    RL

    RL

  • Figura 7. Interseccin de figuras apoyadas en planos diferentes.

    Figura 8. Interseccin cilindro-cono, lmite doble. Formacin de un codo.

    Estas operaciones son de ejecucin inmediata en los programas CAD usualmente empleados.

    Aplicaciones al dibujo tcnico. Las aplicaciones al dibujo tcnico de las intersecciones que se han visto, estn relacionadas con la ingeniera, por ejemplo, con temas de calderera o conducciones de fluidos, as como con la arquitectura. Vista la obtencin grfica de la curva interseccin de dos superficies radiadas, que es una curva alabeada, se van a pasar a analizar ciertos casos particulares que son de gran aplicacin y cuya obtencin es ms sencilla. En las cudricas (superficies de 2 orden), la interseccin resultante es una curva de 4 grado y puede ser continua o discontinua, es decir, que est constituida por una o dos lneas alabeadas (segn los casos: penetracin, mordedura, lmite sencillo o lmite doble).

  • Sin embargo, hay ciertas intersecciones (figura 9), que dan lugar a curvas planas, como las que cumplen el Teorema de Monge:

    Dos superficies de 2 orden (cudricas) circunscritas alrededor de una tercera superficie de 2 orden (la ms sencilla, la esfera) o inscritas a la misma, se intersecan por dos curvas de 2 orden (cnicas).

    Si adems cumplen la siguiente propiedad geomtrica, se simplifica notablemente su representacin (figura 9):

    Si dos cudricas tienen un plano principal comn y su interseccin se compone de dos curvas planas, estas se proyectan ortogonalmente sobre dicho plano segn dos segmentos de recta.

    Los casos que se van a ver a continuacin, cumplen estos requisitos y son superficies radiadas que se circunscriben a una esfera, los cuales son de aplicacin en codos, injertos o bifurcaciones de superficies.

    Figura 9. Intersecciones planas de cudricas. Codos e injertos. En el caso que se muestra en la figura 9, en la interseccin del cono con el cilindro, se aprecia que si se toman dos de los tramos en que divide la interseccin, se forma un codo cuya unin es una curva plana, de la que se puede obtener, con sencillez, el desarrollo de cada una de las partes del mismo. Anlogamente, si se toman tres de los tramos, se forma un injerto. En la figura 10, se muestran bifurcaciones, en las que la interseccin se realiza con tres superficies.

  • Figura 10. Bifurcaciones. Superficies que intervienen y resolucin.

    Resolucin de codos de dos o ms virolas (cnicos, cilndricos y mixtos).

    Un codo es la unin de los extremos de dos tuberas, cuyos ejes se cortan o son paralelos, es decir, pueden estar las bocas formando un ngulo cualquiera o ser paralelas. Se van a resolver diversos casos, en los que se va a obtener la interseccin y el desarrollo correspondiente sobre una superficie plana, de modo que a partir de ste, se pueda construir dicho codo.

    Figura 11. Resolucin de un codo con dos virolas. Desarrollo.

    A B

    DC

    Virola 1

    Virola 2

    V 1 V 2 girada

    Lnea de apertura 1

    2-8

    3-74-6 5

    12

    34

    567

    81

    Se muestra en cada figura el problema de partida, es decir, las tuberas que se desean resolver, a continuacin los codos solucin y su desarrollo.

  • Con el objeto de suavizar la curvatura del codo, se suelen realizar ms de dos virolas (figura 12). Definido el nmero de virolas, se obtiene el ngulo que abarcan, sabiendo que el enlace con la boca de la tubera se realiza con media virola, ya que enlazan la seccin elptica de una virola con la circular de la boca. De este modo el ngulo de la virola es:

    1...... = virolasn

    bocasngvirolang

    El desarrollo de los codos (figuras 11 y 12) se realiza girando 180 alternativamente las virolas, de este modo el codo se transforma en un cilindro recto y se puede obtener a partir de una plancha rectangular.

    Figura 12. Resolucin de un codo mediante cuatro virolas. Desarrollo. En el caso de que se hayan de unir dos tubos con diferente dimetro, una de las soluciones ms interesantes es realizar un codo con troncos de cono de modo que la reduccin sea la misma en todo l. Los pasos a seguir son (figura 13): 1. Con centro en la interseccin de los ejes, se gira uno de ellos hasta alinearlos, y se traza el cono correspondiente. 2. Se traza la esfera inscrita, con centro en el punto de giro anterior y se traza el cono deshaciendo el giro, obtenindose el cuadriltero ABCD, que sirve para resolver el codo. 3. El desarrollo se realiza desarrollando el tronco de cono obtenido inicialmente, del cual salen ambas virolas. La lnea de apertura de una virola se halla girada 180 respecto a la otra. En la figura 14 se muestran otras formas de resolucin, combinando virola cilndrica con cnica o dos cnicas de diferente conicidad.

    18 7 6 5 43215

    4-63-7

    2-81

    V 1

    V 2 girada

    V 4 girada

    V 3

    Lnea de apertura

    301490... ==virolang

  • Figura 13. Resolucin de un codo con dos virolas cnicas. Desarrollo.

    Figura 14. Otras formas de resolucin del codo anterior. Las figuras 15 y 16 muestran la resolucin de codos con tres virolas de una misma superficie cnica, lo que facilita su construccin, teniendo las virolas el mismo ngulo de reduccin. En