Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo...

25
GUIA DIDACTICA Geometría Básica

Transcript of Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo...

Page 1: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

GUIA DIDACTICA

Geometriacutea Baacutesica

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 2

GUIA DIDACTICA

Geometriacutea Baacutesica

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 3

Tabla de Contenidos

Introduccioacuten 3

Contenidoshelliphelliphelliphellip 4

Desarrollo del Aprendizaje 4

1 La Geometriacutea 4

2 Sistema de Medidas 5

3 Elementos baacutesicos 8

4 Las Figuras Planas 11

41 Poliacutegonos 11

El Triaacutengulo 12

Los Cuadrilaacuteteros 14

42 Ciacuterculo y Circunferencia 17

El Ciacuterculo la circunferencia 17

5 Los cuerpos geomeacutetricos 19

51 Prismas 19

52 Cilindros 20

53 Piraacutemides 21

54 Conos 22

55 Esferas 23

Referencias Bibliograacuteficas 25

Introduccioacuten

En esta parte del curso te invitamos a repasar acerca de las figuras geomeacutetricas y la

determinacioacuten de aacutereas y voluacutemenes Soacutelo espero tu emocioacuten por aprender y sea tuacute

quien lo propicie En ti estaacute el lograr el aprendizaje si con entusiasmo estudias esta

guiacutea Cualquier duda o intereacutes en particular puedes escribir un correo electroacutenico a

tu facilitador Entonces a ESTUDIAR

Objetivos Especiacuteficos

Luego de culminar esta unidad de estudio amigo estudiante seraacutes capaz de

Identificar las principales figuras geomeacutetricas en el plano y en el espacio

Determinar periacutemetros aacutereas y voluacutemenes de las figuras estudiadas

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 4

Contenidos

1 La Geometriacutea

2 Sistema de Medidas

3 Elementos baacutesicos

4 Las Figuras Planas

41 Poliacutegonos

El Triaacutengulo Tipos Periacutemetro y Aacuterea

Los Cuadrilaacuteteros Tipos Periacutemetro y Aacuterea

42 Ciacuterculo y Circunferencia Elementos Periacutemetro y Aacuterea

5 Los cuerpos geomeacutetricos

51 Prismas Aacuterea y Volumen

52 Cilindros Aacuterea y Volumen

53 Piraacutemides Aacuterea y Volumen

54 Conos Aacuterea y Volumen

55 Esfera Aacuterea y Volumen

Desarrollo del Aprendizaje

1 La Geometriacutea

Histoacutericamente la Geometriacutea es una de las maacutes antiguas

ciencias Originariamente formaba un conjunto de

conocimientos praacutecticos relacionados longitudes aacutereas y

voluacutemenes En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada

seguacuten los textos de Heroacutedoto Estraboacuten y Diodoro Siacuteculo

Euclides en el siglo III a C configuroacute la geometriacutea en forma

axiomaacutetica tratamiento que establecioacute una norma a seguir

durante muchos siglos la geometriacutea euclidiana descrita en

ldquoLos Elementos El estudio de la astronomiacutea y la

cartografiacuteardquo tratando de determinar las posiciones de

estrellas y planetas en la esfera celeste sirvioacute como

importante fuente de resolucioacuten de problemas geomeacutetricos

durante maacutes de un milenio Mientras que Reneacute Descartes

desarrolloacute simultaacuteneamente el aacutelgebra y la geometriacutea

donde curvas planas podriacutean ser representadas

analiacuteticamente mediante funciones y ecuaciones La

geometriacutea fue enriquecida con la estructura intriacutenseca de

los entes geomeacutetricos que analizan Euler y Gauss dando origen a la topologiacutea y la

geometriacutea diferencial Para indagar maacutes revisa

httpeswikipediaorgwikiLos_Elementos

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 5

La geometriacutea es la parte de las matemaacuteticas que estudia las propiedades y las

medidas de las figuras en el plano o en el espacio En esta guiacutea estudiaremos

algunas formas geomeacutetricas Las formas geomeacutetricas planas Recta y Poliacutegonos

Triaacutengulo Cuadrilaacutetero y algunas formas geomeacutetricas espaciales como Superficies

de revolucioacuten Paralelepiacutepedo Cilindro Cono y Esfera

1 Sistema de Medidas

Para hablar de medidas definamos Medir Desde el punto de vista fiacutesico medir una

magnitud fiacutesica es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en

funcioacuten de la unidad patroacuten En este caso se haraacuten medidas y determinaciones de

longitud superficie y volumen y el sistema a emplearse es el Sistema Meacutetrico

Decimal donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de

10 respectivo seguacuten sean los muacuteltiplos o submuacuteltiplos No obstante existen otros

sistemas de medicioacuten como el ingleacutes y por supuesto las unidades de conversioacuten que

permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro

En cuanto a medidas de longitud el Sistema Meacutetrico Decimal es

Submuacuteltiplos Muacuteltiplos

Ejemplo

Una longitud de 3 m para convertirlo en cm

Solucioacuten

Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km

Solucioacuten

Al determinara aacutereas de superficies la unidad principal es el metro

cuadrado (m2) en el sistema meacutetrico decimal y para calcular superficies

3 m 100 cm 300 cm

1 m

=

Es maacutes faacutecil emplear factores de

conversioacuten que colaboran con la

visualizacioacuten de las unidades

246 hm 1 Km 246 Km

10 hm

=

En este caso la conversioacuten es una

divisioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6

mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o

disminuyen de 100 en 100 respectivamente

Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado

En cuanto a las medidas agrarias las superficies

de campo tienen como referencia un cuadrado

de 100 m de lado asiacute

Ejemplo

Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten

Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y

las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal

variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso

Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico

Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua

como referencia

1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1

dm3

o que es equivalente o lo que es equivalente

1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3

24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2

1 dam2 1 m2

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7

Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3

Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3

Solucioacuten

En otros sistemas de unidades

Longitud

Superficie

Volumen

230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3

1 cm3 1 dm3

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8

Actividad de Control

Convierte estos valores en las unidades indicadas

100 m a cm 776009 pies a m

356782 mm a km 12690 cm a pulg

1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2

000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2

0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3

0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3

3 Elementos baacutesicos

Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos

aspectos

El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el

espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)

La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en

movimiento

Liacutenea recta L

Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea

recta Notacioacuten

Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de

direccioacuten Notacioacuten

Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma

ilimitada

Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten

Notacioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9

Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos

terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)

Notacioacuten

El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y

anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos

dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que

nos rodean que estaacuten en tres dimensiones

De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar

triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo

El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten

de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice

Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma

Una letra mayuacutescula en el

veacutertice

Una letra griega o un siacutembolo en

la abertura

Tres letras mayuacutesculas

Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal

que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes

constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60

partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el

minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una

de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los

aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en

radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen

a 180deg

Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las

manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10

positivo

En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos

Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg

Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg

Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg

Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja

Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un

lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma

recta

Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y

el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC

Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan

generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no

adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1

= lt2 y lt3 = lt4

Aacutengulo obtuso estaacute

comprendido entre 90deg y

180deg no incluyendo estos

valores

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11

Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 90deg

Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa

Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 180deg

De esta forma ltBAC es adyacente

al ltDAC y viceversa

4 Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un

plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes

complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas

definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras

planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada

circunferencia

En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la

longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados

y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura

41 Poliacutegonos

Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus

elementos son

Lado (cada segmento que forma

la liacutenea poligonal)

Veacutertice (cada extremo de los lados

del poliacutegono)

Aacutengulo (es el formado por dos

lados consecutivos en el interior del

poliacutegono

Diagonal (es el segmento que une

dos veacutertices no consecutivos)

Periacutemetro

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 2: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 2

GUIA DIDACTICA

Geometriacutea Baacutesica

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 3

Tabla de Contenidos

Introduccioacuten 3

Contenidoshelliphelliphelliphellip 4

Desarrollo del Aprendizaje 4

1 La Geometriacutea 4

2 Sistema de Medidas 5

3 Elementos baacutesicos 8

4 Las Figuras Planas 11

41 Poliacutegonos 11

El Triaacutengulo 12

Los Cuadrilaacuteteros 14

42 Ciacuterculo y Circunferencia 17

El Ciacuterculo la circunferencia 17

5 Los cuerpos geomeacutetricos 19

51 Prismas 19

52 Cilindros 20

53 Piraacutemides 21

54 Conos 22

55 Esferas 23

Referencias Bibliograacuteficas 25

Introduccioacuten

En esta parte del curso te invitamos a repasar acerca de las figuras geomeacutetricas y la

determinacioacuten de aacutereas y voluacutemenes Soacutelo espero tu emocioacuten por aprender y sea tuacute

quien lo propicie En ti estaacute el lograr el aprendizaje si con entusiasmo estudias esta

guiacutea Cualquier duda o intereacutes en particular puedes escribir un correo electroacutenico a

tu facilitador Entonces a ESTUDIAR

Objetivos Especiacuteficos

Luego de culminar esta unidad de estudio amigo estudiante seraacutes capaz de

Identificar las principales figuras geomeacutetricas en el plano y en el espacio

Determinar periacutemetros aacutereas y voluacutemenes de las figuras estudiadas

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 4

Contenidos

1 La Geometriacutea

2 Sistema de Medidas

3 Elementos baacutesicos

4 Las Figuras Planas

41 Poliacutegonos

El Triaacutengulo Tipos Periacutemetro y Aacuterea

Los Cuadrilaacuteteros Tipos Periacutemetro y Aacuterea

42 Ciacuterculo y Circunferencia Elementos Periacutemetro y Aacuterea

5 Los cuerpos geomeacutetricos

51 Prismas Aacuterea y Volumen

52 Cilindros Aacuterea y Volumen

53 Piraacutemides Aacuterea y Volumen

54 Conos Aacuterea y Volumen

55 Esfera Aacuterea y Volumen

Desarrollo del Aprendizaje

1 La Geometriacutea

Histoacutericamente la Geometriacutea es una de las maacutes antiguas

ciencias Originariamente formaba un conjunto de

conocimientos praacutecticos relacionados longitudes aacutereas y

voluacutemenes En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada

seguacuten los textos de Heroacutedoto Estraboacuten y Diodoro Siacuteculo

Euclides en el siglo III a C configuroacute la geometriacutea en forma

axiomaacutetica tratamiento que establecioacute una norma a seguir

durante muchos siglos la geometriacutea euclidiana descrita en

ldquoLos Elementos El estudio de la astronomiacutea y la

cartografiacuteardquo tratando de determinar las posiciones de

estrellas y planetas en la esfera celeste sirvioacute como

importante fuente de resolucioacuten de problemas geomeacutetricos

durante maacutes de un milenio Mientras que Reneacute Descartes

desarrolloacute simultaacuteneamente el aacutelgebra y la geometriacutea

donde curvas planas podriacutean ser representadas

analiacuteticamente mediante funciones y ecuaciones La

geometriacutea fue enriquecida con la estructura intriacutenseca de

los entes geomeacutetricos que analizan Euler y Gauss dando origen a la topologiacutea y la

geometriacutea diferencial Para indagar maacutes revisa

httpeswikipediaorgwikiLos_Elementos

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 5

La geometriacutea es la parte de las matemaacuteticas que estudia las propiedades y las

medidas de las figuras en el plano o en el espacio En esta guiacutea estudiaremos

algunas formas geomeacutetricas Las formas geomeacutetricas planas Recta y Poliacutegonos

Triaacutengulo Cuadrilaacutetero y algunas formas geomeacutetricas espaciales como Superficies

de revolucioacuten Paralelepiacutepedo Cilindro Cono y Esfera

1 Sistema de Medidas

Para hablar de medidas definamos Medir Desde el punto de vista fiacutesico medir una

magnitud fiacutesica es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en

funcioacuten de la unidad patroacuten En este caso se haraacuten medidas y determinaciones de

longitud superficie y volumen y el sistema a emplearse es el Sistema Meacutetrico

Decimal donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de

10 respectivo seguacuten sean los muacuteltiplos o submuacuteltiplos No obstante existen otros

sistemas de medicioacuten como el ingleacutes y por supuesto las unidades de conversioacuten que

permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro

En cuanto a medidas de longitud el Sistema Meacutetrico Decimal es

Submuacuteltiplos Muacuteltiplos

Ejemplo

Una longitud de 3 m para convertirlo en cm

Solucioacuten

Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km

Solucioacuten

Al determinara aacutereas de superficies la unidad principal es el metro

cuadrado (m2) en el sistema meacutetrico decimal y para calcular superficies

3 m 100 cm 300 cm

1 m

=

Es maacutes faacutecil emplear factores de

conversioacuten que colaboran con la

visualizacioacuten de las unidades

246 hm 1 Km 246 Km

10 hm

=

En este caso la conversioacuten es una

divisioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6

mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o

disminuyen de 100 en 100 respectivamente

Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado

En cuanto a las medidas agrarias las superficies

de campo tienen como referencia un cuadrado

de 100 m de lado asiacute

Ejemplo

Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten

Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y

las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal

variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso

Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico

Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua

como referencia

1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1

dm3

o que es equivalente o lo que es equivalente

1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3

24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2

1 dam2 1 m2

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7

Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3

Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3

Solucioacuten

En otros sistemas de unidades

Longitud

Superficie

Volumen

230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3

1 cm3 1 dm3

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8

Actividad de Control

Convierte estos valores en las unidades indicadas

100 m a cm 776009 pies a m

356782 mm a km 12690 cm a pulg

1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2

000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2

0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3

0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3

3 Elementos baacutesicos

Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos

aspectos

El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el

espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)

La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en

movimiento

Liacutenea recta L

Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea

recta Notacioacuten

Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de

direccioacuten Notacioacuten

Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma

ilimitada

Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten

Notacioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9

Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos

terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)

Notacioacuten

El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y

anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos

dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que

nos rodean que estaacuten en tres dimensiones

De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar

triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo

El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten

de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice

Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma

Una letra mayuacutescula en el

veacutertice

Una letra griega o un siacutembolo en

la abertura

Tres letras mayuacutesculas

Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal

que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes

constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60

partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el

minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una

de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los

aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en

radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen

a 180deg

Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las

manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10

positivo

En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos

Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg

Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg

Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg

Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja

Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un

lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma

recta

Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y

el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC

Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan

generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no

adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1

= lt2 y lt3 = lt4

Aacutengulo obtuso estaacute

comprendido entre 90deg y

180deg no incluyendo estos

valores

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11

Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 90deg

Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa

Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 180deg

De esta forma ltBAC es adyacente

al ltDAC y viceversa

4 Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un

plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes

complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas

definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras

planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada

circunferencia

En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la

longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados

y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura

41 Poliacutegonos

Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus

elementos son

Lado (cada segmento que forma

la liacutenea poligonal)

Veacutertice (cada extremo de los lados

del poliacutegono)

Aacutengulo (es el formado por dos

lados consecutivos en el interior del

poliacutegono

Diagonal (es el segmento que une

dos veacutertices no consecutivos)

Periacutemetro

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 3: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 3

Tabla de Contenidos

Introduccioacuten 3

Contenidoshelliphelliphelliphellip 4

Desarrollo del Aprendizaje 4

1 La Geometriacutea 4

2 Sistema de Medidas 5

3 Elementos baacutesicos 8

4 Las Figuras Planas 11

41 Poliacutegonos 11

El Triaacutengulo 12

Los Cuadrilaacuteteros 14

42 Ciacuterculo y Circunferencia 17

El Ciacuterculo la circunferencia 17

5 Los cuerpos geomeacutetricos 19

51 Prismas 19

52 Cilindros 20

53 Piraacutemides 21

54 Conos 22

55 Esferas 23

Referencias Bibliograacuteficas 25

Introduccioacuten

En esta parte del curso te invitamos a repasar acerca de las figuras geomeacutetricas y la

determinacioacuten de aacutereas y voluacutemenes Soacutelo espero tu emocioacuten por aprender y sea tuacute

quien lo propicie En ti estaacute el lograr el aprendizaje si con entusiasmo estudias esta

guiacutea Cualquier duda o intereacutes en particular puedes escribir un correo electroacutenico a

tu facilitador Entonces a ESTUDIAR

Objetivos Especiacuteficos

Luego de culminar esta unidad de estudio amigo estudiante seraacutes capaz de

Identificar las principales figuras geomeacutetricas en el plano y en el espacio

Determinar periacutemetros aacutereas y voluacutemenes de las figuras estudiadas

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 4

Contenidos

1 La Geometriacutea

2 Sistema de Medidas

3 Elementos baacutesicos

4 Las Figuras Planas

41 Poliacutegonos

El Triaacutengulo Tipos Periacutemetro y Aacuterea

Los Cuadrilaacuteteros Tipos Periacutemetro y Aacuterea

42 Ciacuterculo y Circunferencia Elementos Periacutemetro y Aacuterea

5 Los cuerpos geomeacutetricos

51 Prismas Aacuterea y Volumen

52 Cilindros Aacuterea y Volumen

53 Piraacutemides Aacuterea y Volumen

54 Conos Aacuterea y Volumen

55 Esfera Aacuterea y Volumen

Desarrollo del Aprendizaje

1 La Geometriacutea

Histoacutericamente la Geometriacutea es una de las maacutes antiguas

ciencias Originariamente formaba un conjunto de

conocimientos praacutecticos relacionados longitudes aacutereas y

voluacutemenes En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada

seguacuten los textos de Heroacutedoto Estraboacuten y Diodoro Siacuteculo

Euclides en el siglo III a C configuroacute la geometriacutea en forma

axiomaacutetica tratamiento que establecioacute una norma a seguir

durante muchos siglos la geometriacutea euclidiana descrita en

ldquoLos Elementos El estudio de la astronomiacutea y la

cartografiacuteardquo tratando de determinar las posiciones de

estrellas y planetas en la esfera celeste sirvioacute como

importante fuente de resolucioacuten de problemas geomeacutetricos

durante maacutes de un milenio Mientras que Reneacute Descartes

desarrolloacute simultaacuteneamente el aacutelgebra y la geometriacutea

donde curvas planas podriacutean ser representadas

analiacuteticamente mediante funciones y ecuaciones La

geometriacutea fue enriquecida con la estructura intriacutenseca de

los entes geomeacutetricos que analizan Euler y Gauss dando origen a la topologiacutea y la

geometriacutea diferencial Para indagar maacutes revisa

httpeswikipediaorgwikiLos_Elementos

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 5

La geometriacutea es la parte de las matemaacuteticas que estudia las propiedades y las

medidas de las figuras en el plano o en el espacio En esta guiacutea estudiaremos

algunas formas geomeacutetricas Las formas geomeacutetricas planas Recta y Poliacutegonos

Triaacutengulo Cuadrilaacutetero y algunas formas geomeacutetricas espaciales como Superficies

de revolucioacuten Paralelepiacutepedo Cilindro Cono y Esfera

1 Sistema de Medidas

Para hablar de medidas definamos Medir Desde el punto de vista fiacutesico medir una

magnitud fiacutesica es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en

funcioacuten de la unidad patroacuten En este caso se haraacuten medidas y determinaciones de

longitud superficie y volumen y el sistema a emplearse es el Sistema Meacutetrico

Decimal donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de

10 respectivo seguacuten sean los muacuteltiplos o submuacuteltiplos No obstante existen otros

sistemas de medicioacuten como el ingleacutes y por supuesto las unidades de conversioacuten que

permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro

En cuanto a medidas de longitud el Sistema Meacutetrico Decimal es

Submuacuteltiplos Muacuteltiplos

Ejemplo

Una longitud de 3 m para convertirlo en cm

Solucioacuten

Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km

Solucioacuten

Al determinara aacutereas de superficies la unidad principal es el metro

cuadrado (m2) en el sistema meacutetrico decimal y para calcular superficies

3 m 100 cm 300 cm

1 m

=

Es maacutes faacutecil emplear factores de

conversioacuten que colaboran con la

visualizacioacuten de las unidades

246 hm 1 Km 246 Km

10 hm

=

En este caso la conversioacuten es una

divisioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6

mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o

disminuyen de 100 en 100 respectivamente

Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado

En cuanto a las medidas agrarias las superficies

de campo tienen como referencia un cuadrado

de 100 m de lado asiacute

Ejemplo

Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten

Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y

las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal

variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso

Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico

Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua

como referencia

1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1

dm3

o que es equivalente o lo que es equivalente

1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3

24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2

1 dam2 1 m2

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7

Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3

Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3

Solucioacuten

En otros sistemas de unidades

Longitud

Superficie

Volumen

230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3

1 cm3 1 dm3

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8

Actividad de Control

Convierte estos valores en las unidades indicadas

100 m a cm 776009 pies a m

356782 mm a km 12690 cm a pulg

1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2

000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2

0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3

0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3

3 Elementos baacutesicos

Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos

aspectos

El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el

espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)

La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en

movimiento

Liacutenea recta L

Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea

recta Notacioacuten

Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de

direccioacuten Notacioacuten

Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma

ilimitada

Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten

Notacioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9

Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos

terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)

Notacioacuten

El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y

anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos

dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que

nos rodean que estaacuten en tres dimensiones

De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar

triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo

El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten

de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice

Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma

Una letra mayuacutescula en el

veacutertice

Una letra griega o un siacutembolo en

la abertura

Tres letras mayuacutesculas

Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal

que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes

constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60

partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el

minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una

de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los

aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en

radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen

a 180deg

Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las

manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10

positivo

En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos

Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg

Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg

Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg

Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja

Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un

lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma

recta

Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y

el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC

Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan

generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no

adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1

= lt2 y lt3 = lt4

Aacutengulo obtuso estaacute

comprendido entre 90deg y

180deg no incluyendo estos

valores

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11

Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 90deg

Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa

Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 180deg

De esta forma ltBAC es adyacente

al ltDAC y viceversa

4 Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un

plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes

complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas

definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras

planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada

circunferencia

En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la

longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados

y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura

41 Poliacutegonos

Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus

elementos son

Lado (cada segmento que forma

la liacutenea poligonal)

Veacutertice (cada extremo de los lados

del poliacutegono)

Aacutengulo (es el formado por dos

lados consecutivos en el interior del

poliacutegono

Diagonal (es el segmento que une

dos veacutertices no consecutivos)

Periacutemetro

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 4: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 4

Contenidos

1 La Geometriacutea

2 Sistema de Medidas

3 Elementos baacutesicos

4 Las Figuras Planas

41 Poliacutegonos

El Triaacutengulo Tipos Periacutemetro y Aacuterea

Los Cuadrilaacuteteros Tipos Periacutemetro y Aacuterea

42 Ciacuterculo y Circunferencia Elementos Periacutemetro y Aacuterea

5 Los cuerpos geomeacutetricos

51 Prismas Aacuterea y Volumen

52 Cilindros Aacuterea y Volumen

53 Piraacutemides Aacuterea y Volumen

54 Conos Aacuterea y Volumen

55 Esfera Aacuterea y Volumen

Desarrollo del Aprendizaje

1 La Geometriacutea

Histoacutericamente la Geometriacutea es una de las maacutes antiguas

ciencias Originariamente formaba un conjunto de

conocimientos praacutecticos relacionados longitudes aacutereas y

voluacutemenes En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada

seguacuten los textos de Heroacutedoto Estraboacuten y Diodoro Siacuteculo

Euclides en el siglo III a C configuroacute la geometriacutea en forma

axiomaacutetica tratamiento que establecioacute una norma a seguir

durante muchos siglos la geometriacutea euclidiana descrita en

ldquoLos Elementos El estudio de la astronomiacutea y la

cartografiacuteardquo tratando de determinar las posiciones de

estrellas y planetas en la esfera celeste sirvioacute como

importante fuente de resolucioacuten de problemas geomeacutetricos

durante maacutes de un milenio Mientras que Reneacute Descartes

desarrolloacute simultaacuteneamente el aacutelgebra y la geometriacutea

donde curvas planas podriacutean ser representadas

analiacuteticamente mediante funciones y ecuaciones La

geometriacutea fue enriquecida con la estructura intriacutenseca de

los entes geomeacutetricos que analizan Euler y Gauss dando origen a la topologiacutea y la

geometriacutea diferencial Para indagar maacutes revisa

httpeswikipediaorgwikiLos_Elementos

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 5

La geometriacutea es la parte de las matemaacuteticas que estudia las propiedades y las

medidas de las figuras en el plano o en el espacio En esta guiacutea estudiaremos

algunas formas geomeacutetricas Las formas geomeacutetricas planas Recta y Poliacutegonos

Triaacutengulo Cuadrilaacutetero y algunas formas geomeacutetricas espaciales como Superficies

de revolucioacuten Paralelepiacutepedo Cilindro Cono y Esfera

1 Sistema de Medidas

Para hablar de medidas definamos Medir Desde el punto de vista fiacutesico medir una

magnitud fiacutesica es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en

funcioacuten de la unidad patroacuten En este caso se haraacuten medidas y determinaciones de

longitud superficie y volumen y el sistema a emplearse es el Sistema Meacutetrico

Decimal donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de

10 respectivo seguacuten sean los muacuteltiplos o submuacuteltiplos No obstante existen otros

sistemas de medicioacuten como el ingleacutes y por supuesto las unidades de conversioacuten que

permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro

En cuanto a medidas de longitud el Sistema Meacutetrico Decimal es

Submuacuteltiplos Muacuteltiplos

Ejemplo

Una longitud de 3 m para convertirlo en cm

Solucioacuten

Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km

Solucioacuten

Al determinara aacutereas de superficies la unidad principal es el metro

cuadrado (m2) en el sistema meacutetrico decimal y para calcular superficies

3 m 100 cm 300 cm

1 m

=

Es maacutes faacutecil emplear factores de

conversioacuten que colaboran con la

visualizacioacuten de las unidades

246 hm 1 Km 246 Km

10 hm

=

En este caso la conversioacuten es una

divisioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6

mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o

disminuyen de 100 en 100 respectivamente

Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado

En cuanto a las medidas agrarias las superficies

de campo tienen como referencia un cuadrado

de 100 m de lado asiacute

Ejemplo

Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten

Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y

las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal

variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso

Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico

Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua

como referencia

1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1

dm3

o que es equivalente o lo que es equivalente

1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3

24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2

1 dam2 1 m2

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7

Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3

Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3

Solucioacuten

En otros sistemas de unidades

Longitud

Superficie

Volumen

230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3

1 cm3 1 dm3

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8

Actividad de Control

Convierte estos valores en las unidades indicadas

100 m a cm 776009 pies a m

356782 mm a km 12690 cm a pulg

1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2

000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2

0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3

0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3

3 Elementos baacutesicos

Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos

aspectos

El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el

espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)

La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en

movimiento

Liacutenea recta L

Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea

recta Notacioacuten

Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de

direccioacuten Notacioacuten

Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma

ilimitada

Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten

Notacioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9

Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos

terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)

Notacioacuten

El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y

anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos

dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que

nos rodean que estaacuten en tres dimensiones

De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar

triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo

El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten

de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice

Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma

Una letra mayuacutescula en el

veacutertice

Una letra griega o un siacutembolo en

la abertura

Tres letras mayuacutesculas

Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal

que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes

constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60

partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el

minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una

de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los

aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en

radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen

a 180deg

Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las

manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10

positivo

En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos

Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg

Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg

Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg

Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja

Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un

lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma

recta

Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y

el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC

Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan

generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no

adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1

= lt2 y lt3 = lt4

Aacutengulo obtuso estaacute

comprendido entre 90deg y

180deg no incluyendo estos

valores

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11

Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 90deg

Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa

Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 180deg

De esta forma ltBAC es adyacente

al ltDAC y viceversa

4 Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un

plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes

complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas

definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras

planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada

circunferencia

En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la

longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados

y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura

41 Poliacutegonos

Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus

elementos son

Lado (cada segmento que forma

la liacutenea poligonal)

Veacutertice (cada extremo de los lados

del poliacutegono)

Aacutengulo (es el formado por dos

lados consecutivos en el interior del

poliacutegono

Diagonal (es el segmento que une

dos veacutertices no consecutivos)

Periacutemetro

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 5: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 5

La geometriacutea es la parte de las matemaacuteticas que estudia las propiedades y las

medidas de las figuras en el plano o en el espacio En esta guiacutea estudiaremos

algunas formas geomeacutetricas Las formas geomeacutetricas planas Recta y Poliacutegonos

Triaacutengulo Cuadrilaacutetero y algunas formas geomeacutetricas espaciales como Superficies

de revolucioacuten Paralelepiacutepedo Cilindro Cono y Esfera

1 Sistema de Medidas

Para hablar de medidas definamos Medir Desde el punto de vista fiacutesico medir una

magnitud fiacutesica es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en

funcioacuten de la unidad patroacuten En este caso se haraacuten medidas y determinaciones de

longitud superficie y volumen y el sistema a emplearse es el Sistema Meacutetrico

Decimal donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de

10 respectivo seguacuten sean los muacuteltiplos o submuacuteltiplos No obstante existen otros

sistemas de medicioacuten como el ingleacutes y por supuesto las unidades de conversioacuten que

permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro

En cuanto a medidas de longitud el Sistema Meacutetrico Decimal es

Submuacuteltiplos Muacuteltiplos

Ejemplo

Una longitud de 3 m para convertirlo en cm

Solucioacuten

Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km

Solucioacuten

Al determinara aacutereas de superficies la unidad principal es el metro

cuadrado (m2) en el sistema meacutetrico decimal y para calcular superficies

3 m 100 cm 300 cm

1 m

=

Es maacutes faacutecil emplear factores de

conversioacuten que colaboran con la

visualizacioacuten de las unidades

246 hm 1 Km 246 Km

10 hm

=

En este caso la conversioacuten es una

divisioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6

mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o

disminuyen de 100 en 100 respectivamente

Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado

En cuanto a las medidas agrarias las superficies

de campo tienen como referencia un cuadrado

de 100 m de lado asiacute

Ejemplo

Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten

Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y

las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal

variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso

Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico

Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua

como referencia

1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1

dm3

o que es equivalente o lo que es equivalente

1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3

24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2

1 dam2 1 m2

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7

Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3

Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3

Solucioacuten

En otros sistemas de unidades

Longitud

Superficie

Volumen

230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3

1 cm3 1 dm3

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8

Actividad de Control

Convierte estos valores en las unidades indicadas

100 m a cm 776009 pies a m

356782 mm a km 12690 cm a pulg

1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2

000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2

0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3

0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3

3 Elementos baacutesicos

Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos

aspectos

El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el

espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)

La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en

movimiento

Liacutenea recta L

Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea

recta Notacioacuten

Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de

direccioacuten Notacioacuten

Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma

ilimitada

Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten

Notacioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9

Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos

terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)

Notacioacuten

El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y

anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos

dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que

nos rodean que estaacuten en tres dimensiones

De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar

triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo

El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten

de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice

Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma

Una letra mayuacutescula en el

veacutertice

Una letra griega o un siacutembolo en

la abertura

Tres letras mayuacutesculas

Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal

que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes

constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60

partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el

minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una

de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los

aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en

radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen

a 180deg

Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las

manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10

positivo

En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos

Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg

Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg

Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg

Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja

Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un

lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma

recta

Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y

el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC

Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan

generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no

adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1

= lt2 y lt3 = lt4

Aacutengulo obtuso estaacute

comprendido entre 90deg y

180deg no incluyendo estos

valores

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11

Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 90deg

Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa

Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 180deg

De esta forma ltBAC es adyacente

al ltDAC y viceversa

4 Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un

plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes

complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas

definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras

planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada

circunferencia

En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la

longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados

y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura

41 Poliacutegonos

Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus

elementos son

Lado (cada segmento que forma

la liacutenea poligonal)

Veacutertice (cada extremo de los lados

del poliacutegono)

Aacutengulo (es el formado por dos

lados consecutivos en el interior del

poliacutegono

Diagonal (es el segmento que une

dos veacutertices no consecutivos)

Periacutemetro

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 6: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6

mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o

disminuyen de 100 en 100 respectivamente

Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado

En cuanto a las medidas agrarias las superficies

de campo tienen como referencia un cuadrado

de 100 m de lado asiacute

Ejemplo

Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten

Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y

las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal

variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso

Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico

Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua

como referencia

1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1

dm3

o que es equivalente o lo que es equivalente

1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3

24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2

1 dam2 1 m2

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7

Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3

Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3

Solucioacuten

En otros sistemas de unidades

Longitud

Superficie

Volumen

230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3

1 cm3 1 dm3

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8

Actividad de Control

Convierte estos valores en las unidades indicadas

100 m a cm 776009 pies a m

356782 mm a km 12690 cm a pulg

1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2

000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2

0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3

0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3

3 Elementos baacutesicos

Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos

aspectos

El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el

espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)

La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en

movimiento

Liacutenea recta L

Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea

recta Notacioacuten

Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de

direccioacuten Notacioacuten

Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma

ilimitada

Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten

Notacioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9

Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos

terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)

Notacioacuten

El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y

anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos

dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que

nos rodean que estaacuten en tres dimensiones

De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar

triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo

El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten

de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice

Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma

Una letra mayuacutescula en el

veacutertice

Una letra griega o un siacutembolo en

la abertura

Tres letras mayuacutesculas

Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal

que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes

constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60

partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el

minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una

de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los

aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en

radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen

a 180deg

Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las

manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10

positivo

En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos

Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg

Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg

Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg

Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja

Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un

lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma

recta

Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y

el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC

Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan

generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no

adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1

= lt2 y lt3 = lt4

Aacutengulo obtuso estaacute

comprendido entre 90deg y

180deg no incluyendo estos

valores

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11

Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 90deg

Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa

Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 180deg

De esta forma ltBAC es adyacente

al ltDAC y viceversa

4 Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un

plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes

complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas

definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras

planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada

circunferencia

En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la

longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados

y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura

41 Poliacutegonos

Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus

elementos son

Lado (cada segmento que forma

la liacutenea poligonal)

Veacutertice (cada extremo de los lados

del poliacutegono)

Aacutengulo (es el formado por dos

lados consecutivos en el interior del

poliacutegono

Diagonal (es el segmento que une

dos veacutertices no consecutivos)

Periacutemetro

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 7: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7

Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3

Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3

Solucioacuten

En otros sistemas de unidades

Longitud

Superficie

Volumen

230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3

1 cm3 1 dm3

= = =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8

Actividad de Control

Convierte estos valores en las unidades indicadas

100 m a cm 776009 pies a m

356782 mm a km 12690 cm a pulg

1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2

000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2

0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3

0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3

3 Elementos baacutesicos

Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos

aspectos

El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el

espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)

La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en

movimiento

Liacutenea recta L

Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea

recta Notacioacuten

Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de

direccioacuten Notacioacuten

Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma

ilimitada

Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten

Notacioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9

Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos

terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)

Notacioacuten

El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y

anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos

dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que

nos rodean que estaacuten en tres dimensiones

De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar

triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo

El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten

de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice

Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma

Una letra mayuacutescula en el

veacutertice

Una letra griega o un siacutembolo en

la abertura

Tres letras mayuacutesculas

Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal

que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes

constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60

partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el

minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una

de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los

aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en

radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen

a 180deg

Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las

manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10

positivo

En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos

Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg

Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg

Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg

Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja

Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un

lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma

recta

Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y

el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC

Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan

generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no

adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1

= lt2 y lt3 = lt4

Aacutengulo obtuso estaacute

comprendido entre 90deg y

180deg no incluyendo estos

valores

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11

Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 90deg

Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa

Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 180deg

De esta forma ltBAC es adyacente

al ltDAC y viceversa

4 Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un

plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes

complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas

definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras

planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada

circunferencia

En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la

longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados

y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura

41 Poliacutegonos

Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus

elementos son

Lado (cada segmento que forma

la liacutenea poligonal)

Veacutertice (cada extremo de los lados

del poliacutegono)

Aacutengulo (es el formado por dos

lados consecutivos en el interior del

poliacutegono

Diagonal (es el segmento que une

dos veacutertices no consecutivos)

Periacutemetro

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 8: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8

Actividad de Control

Convierte estos valores en las unidades indicadas

100 m a cm 776009 pies a m

356782 mm a km 12690 cm a pulg

1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2

000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2

0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3

0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3

3 Elementos baacutesicos

Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos

aspectos

El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el

espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)

La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en

movimiento

Liacutenea recta L

Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea

recta Notacioacuten

Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de

direccioacuten Notacioacuten

Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma

ilimitada

Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten

Notacioacuten

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9

Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos

terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)

Notacioacuten

El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y

anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos

dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que

nos rodean que estaacuten en tres dimensiones

De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar

triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo

El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten

de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice

Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma

Una letra mayuacutescula en el

veacutertice

Una letra griega o un siacutembolo en

la abertura

Tres letras mayuacutesculas

Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal

que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes

constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60

partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el

minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una

de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los

aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en

radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen

a 180deg

Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las

manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10

positivo

En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos

Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg

Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg

Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg

Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja

Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un

lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma

recta

Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y

el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC

Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan

generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no

adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1

= lt2 y lt3 = lt4

Aacutengulo obtuso estaacute

comprendido entre 90deg y

180deg no incluyendo estos

valores

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11

Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 90deg

Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa

Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 180deg

De esta forma ltBAC es adyacente

al ltDAC y viceversa

4 Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un

plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes

complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas

definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras

planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada

circunferencia

En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la

longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados

y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura

41 Poliacutegonos

Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus

elementos son

Lado (cada segmento que forma

la liacutenea poligonal)

Veacutertice (cada extremo de los lados

del poliacutegono)

Aacutengulo (es el formado por dos

lados consecutivos en el interior del

poliacutegono

Diagonal (es el segmento que une

dos veacutertices no consecutivos)

Periacutemetro

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 9: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9

Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos

terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)

Notacioacuten

El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y

anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos

dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que

nos rodean que estaacuten en tres dimensiones

De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar

triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo

El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten

de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice

Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma

Una letra mayuacutescula en el

veacutertice

Una letra griega o un siacutembolo en

la abertura

Tres letras mayuacutesculas

Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal

que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes

constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60

partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el

minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una

de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los

aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en

radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen

a 180deg

Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las

manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10

positivo

En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos

Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg

Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg

Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg

Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja

Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un

lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma

recta

Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y

el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC

Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan

generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no

adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1

= lt2 y lt3 = lt4

Aacutengulo obtuso estaacute

comprendido entre 90deg y

180deg no incluyendo estos

valores

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11

Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 90deg

Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa

Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 180deg

De esta forma ltBAC es adyacente

al ltDAC y viceversa

4 Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un

plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes

complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas

definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras

planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada

circunferencia

En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la

longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados

y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura

41 Poliacutegonos

Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus

elementos son

Lado (cada segmento que forma

la liacutenea poligonal)

Veacutertice (cada extremo de los lados

del poliacutegono)

Aacutengulo (es el formado por dos

lados consecutivos en el interior del

poliacutegono

Diagonal (es el segmento que une

dos veacutertices no consecutivos)

Periacutemetro

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 10: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10

positivo

En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos

Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg

Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg

Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg

Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja

Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un

lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma

recta

Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y

el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC

Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan

generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no

adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1

= lt2 y lt3 = lt4

Aacutengulo obtuso estaacute

comprendido entre 90deg y

180deg no incluyendo estos

valores

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11

Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 90deg

Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa

Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 180deg

De esta forma ltBAC es adyacente

al ltDAC y viceversa

4 Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un

plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes

complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas

definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras

planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada

circunferencia

En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la

longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados

y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura

41 Poliacutegonos

Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus

elementos son

Lado (cada segmento que forma

la liacutenea poligonal)

Veacutertice (cada extremo de los lados

del poliacutegono)

Aacutengulo (es el formado por dos

lados consecutivos en el interior del

poliacutegono

Diagonal (es el segmento que une

dos veacutertices no consecutivos)

Periacutemetro

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 11: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11

Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 90deg

Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa

Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo

adyacente cuya particularidad es que suman 180deg

De esta forma ltBAC es adyacente

al ltDAC y viceversa

4 Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un

plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes

complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas

definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras

planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada

circunferencia

En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la

longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados

y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura

41 Poliacutegonos

Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus

elementos son

Lado (cada segmento que forma

la liacutenea poligonal)

Veacutertice (cada extremo de los lados

del poliacutegono)

Aacutengulo (es el formado por dos

lados consecutivos en el interior del

poliacutegono

Diagonal (es el segmento que une

dos veacutertices no consecutivos)

Periacutemetro

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 12: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12

El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)

de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C

Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos

internos suman 180deg es decir

Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y

seguacuten sus aacutengulos

Clasificacioacuten de los Triaacutengulos

Seguacuten sus

Lados

(a b c)

Equilaacutetero

Todos los lados iguales

a = b = c

Isoacutesceles

Un lado distinto

a = b c

y

Escaleno

Todos los lados desiguales

a b c

y

Seguacuten sus

aacutengulos

interiores

( )

Acutaacutengulo

Tres aacutengulos agudos

lt 90deg

Rectaacutengulo

Un aacutengulo recto

= 90deg entre a y b

Teorema de Pitaacutegoras

Relaciona todos los lados

de un triaacutengulo

rectaacutengulo

a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b

Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg

a b

c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 13: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13

La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar

una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado

opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es

considerado la base (b) del triaacutengulo

En base a lo anterior

El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y

Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c

Ejemplo

Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a

3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el

periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m

Solucioacuten

El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m

y la base es b = 5 m entonces reemplazando

El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que

15 m2 3 m 5 m

2

A = =

P = CA + AB + BC

P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 14: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14

Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)

de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D

Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos

donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican

de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y

Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus

aacutereas y periacutemetros

Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea

Cuadrado

Pcuadrado = 4 middot a

A cuadrado= a2

Rectaacutengulo

Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b

Rombo

P = 4 middot a

e f diagonales

Romboide o

Paralelogramo

Promboide = 2 middot (a + b)

A romboide= a middot h

Trapecio

P = a + b + c + d

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 15: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15

Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el

periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro

cuadrado cuesta 150 BsF

Solucioacuten

Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2

El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h

evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m

P rectaacutengulo = 396 m

El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado

asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces

Finalmente el precio del campo es

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar

Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado

que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de

base y 9 m de al tura

Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden

10 cm cada uno

El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide

2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo

A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea

10000 m2

= =

170 m

28 m

(Recuerda que el periacutemetro es

una longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF

m2

= =

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 16: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16

Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta

para desarrol larse 4 msup2

El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide

10 m iquestCuaacutento mide la otra base

Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base

mide 3 veces maacutes que su al tura

Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor

En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina

tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten

Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de

los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm

Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del

hexaacutegono es de 96 cmsup2

Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y

92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m

de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona

arbolada que queda

Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz

Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la

fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de

pintura por m2

Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 17: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17

42 Ciacuterculo y Circunferencia

La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que

conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado

centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia

comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la

circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del

valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente

El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada

por el contorno curvo denominada circunferencia Los

elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el

aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y

una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y

un arco de la circunferencia Es de

hacer notar que el arco es un segmento de la

circunferencia

En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras

circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El

nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la

circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en

httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada

yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 18: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18

De esta forma en

Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) NO TIENE

________________________

Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r

Aacuterea (Ao) Ao = r2

Ejemplo

Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro

Pcircunferencia = 2 r

entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm

Pcircunferencia = 9425 cm

El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que

A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2

A ciacuterculo = 70686cm2

La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2

Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 19: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19

5 Los cuerpos geomeacutetricos

Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que

tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y

profundidad) o lo que es lo mismo volumen o

capacidad ocupando un lugar en el espacio

Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases

caras laterales y altura

Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma

piraacutemide cilindro cono y esfera

51 Prismas

Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales

llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los

prismas se denominan seguacuten sean sus bases

Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)

Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)

Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)

El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras

A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)

El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten

V prisma = A de la base x altura

Cubo

Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paralelepiacutepedo

A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)

V paralelepiacutepedo = a middot b middot c

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 20: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20

Prisma recto

A prisma recto = P middot (h + a)

V prisma recto = AB middot h (3)

52 Cilindros

Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo

alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica

resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el

desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula

es

Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)

A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)

A total cilindro = 2 π R (h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten

V cilindro = A base x altura

Es decir V = π R2 middot h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en

el siguiente esquema

Obteniendo factor comuacuten 2 π R

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 21: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21

53 Piraacutemides

Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras

laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten

El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus

caras foacutermula es

A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)

Ahora el volumen de una piraacutemide es

V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3

V piraacutemide = (13)b h

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 22: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22

54 Conos

Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo

rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos

El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea

lateral que es un sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base

Como la circunferencia completa tiene una longitud

2 r entonces el sector circular tiene una esa

longitud 2 r Entonces podemos establecer la

siguiente relacioacuten entre ambos

torsecdelerficiesup

arcodellongitud

circulodelerficiesup

nciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula a

partir de la expresioacuten

V cono = A de la base x altura 3

V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h

Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente

esquema

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 23: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23

55 Esfera

La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un

semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro

El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

A esfera =4 r2

Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten

Ejemplo

Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de

diaacutemetro

Solucioacuten

Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm

El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene

que

V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3

V esfera = 1413717cm3

Actividad de Control

Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten

que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to

Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina

a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de

agua seraacuten necesar ios para l lenar la

En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de

ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar

Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y

48 l de capacidad

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 24: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24

Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes

de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura

mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen

La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i

restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el

presupuesto de la restauracioacuten

iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r

las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad

Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de

agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del

recip iente vaciacuteo

Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten

iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de

radio y 25 cm de generatr i z

Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en

una esfera de 20 cm de radio

Actividad de Control

En la figura encuentra diez (10) cuadrados

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom

Page 25: Geometría Básica · 2018. 4. 1. · En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de

loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25

Actividad de Control

Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos

httpwwwthatquizorges-4

Actividad de Control

Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliograacuteficas

Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos

de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones

electroacutenicas

Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA

Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA

Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores

httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm

httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf

httpwwwsectormatematicacldeporteshtm

httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf

httpfoks-foksblogspotcom