Problemas Propuestos de Vectores

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PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE VECTORES 1. Qué condiciones deben cumplir A, B para que se cumpla cada una de las siguientes proposiciones en forma independiente? a) μ A + μ B =0 b) μ A μ B =−2 μ B c) μ A μ A =0 SOLUCIÓN: 2. El producto escalar de A y B toma los siguientes valores. a) A B= AB b) A B=−1/ 2 ( AB ) En cada caso indique las características del vector proyección de A sobre B . SOLUCIÓN: 3. En el paralelepípedo ABCDEFG indicado en la figura determinar: a) PQ Y ST en función de sus componentes.

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PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE VECTORES 1. Qu condiciones deben cumplir B , A para que se cumpla cada una de las siguientes proposiciones en forma independiente? a) 0 B A = + b) B B A 2 = c) 0 A A = - SOLUCIN: 2. El producto escalar de A y B toma los siguientes valores. a) AB B A = - b) ( ) AB 2 1 B A = - En cada caso indique las caractersticas del vector proyeccin de A sobre . B SOLUCIN: 3. En el paraleleppedo ABCDEFG indicado en la figura determinar: a) PQ Y ST en funcin de sus componentes. b) El ngulo formado por PQ y . SE SOLUCIN: a) ( ) ( )( ) k 4 j 4 i 0 PQk 4 j 4 i 3 k 0 j 0 i 3 PQOP OQ PQ = + + + + = = ( ) ( )( ) k 0 j 0 i 6 STk 2 j 4 i 6 k 2 j 4 i 0 STOP OQ ST + + = + + + + = = b) ( ) ( )( ) k 2 j 4 i 6 SEk 2 j 4 i 6 k 4 j 0 i 0 SEOP OE SE + = + + + + = = ( ) ( )( )( )( )( ) = ||.|

\|=||.|

\|+ + + + - =|||.|

\|-=79,11 7,48 5,668cos 2 4 6 4 4k 2 j 4 i 6 k 4 j 4 i 0cos SE PQSE PQcos 12 2 2 2 211 4. Determinar la suma de B , A y C en donde ; k 7 j 10 i 5 A + = k 2 j 4 i 9 B + + = y C es un vector en el plano XY que forma un ngulo de 45 con la direccin positiva del eje de las X y se aleja del origen, su magnitud es 12. SOLUCIN: ( ) k 0 j 8,5 i 8,5 C8,5 45 cos 12 C8,5 45 cos 12 CYX + + = = = = = ( ) ( ) ( )( ) k 9 j 2,5 i 22,5 Rk 0 j 8,5 i 8,5 k 2 j 4 i 9 k 7 j 10 i 5 RC B A R + + = + + + + + + + = + + = 5. Encontrar el valor de ( ) ( ), B 4 A B 3 A 2 + - conociendo que u 3 B u, 4 A = = y que el vector A es perpendicular al vector . B SUGERENCIA: Escoger un sistema de referencia adecuado. SOLUCIN: ( )( ) k 0 j 0 i 3 Bk 0 j 4 i 0 A + + = + + = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )76 Rk 0 j 4 i 12 k 0 j 8 i 9 Rk 0 j 0 i 12 k 0 j 4 i 0 k 0 j 0 i 9 k 0 j 8 i 0 Rk 0 j 0 i 3 4 k 0 j 4 i 0 k 0 j 0 i 3 3 k 0 j 4 i 0 2 RB 4 A B 3 A 2 R = + + - + + = + + + + + - + + + + = + + + + + - + + + + = + - = 6. Sabiendo que A es k 3 j 5 i 10 + y B tiene una longitud de 10m, la proyeccin m 5 BY = el ngulo director . 60 = Y que el vector C se inicia en el punto ( ) 5 , 4 , 0 y finaliza en el punto ( ). 1 , 2 , 2 Encontrar un vector D que satisfaga a: 0 D C 2 1 B A = + + SOLUCIN: ( ) k 3 j 5 i 10 A + = ( ) k 7,07 j 5 i 5 B + = ( ) k 4 j 2 i 2 C = ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) k 6,07 j i 14 D0 D k 6,07 j i 140 D k 2 j i k 4,07 j 0 i 150 D k 4 j 2 i 221k 7,07 j 5 i 5 k 3 j 5 i 100 D C 2 1 B A = = + + + = + + += + + + += + + 8. A partir de la figura determinar: a) El vector CF 4 IB 3 NP 2 R + = b) El vector proyeccin de MI sobre AD c) El ngulo entre NJ y GA d) Un vector perpendicular a GC y GP P: Punto medio de AD SOLUCIN: a) ( ) ( )( ) k 4 j 6 i 5 NPk 0 j 9 i 0 k 4 j 3 i 5 NPON OP NP + = + + + + = = ( ) ( )( ) k 4 j 6 i 5 IBk 4 j 6 i 5 k 8 j 0 i 10 IBOI OB IB + = + + + + = = ( ) ( )( ) k 8 j 6 i 10 CFk 0 j 0 i 10 k 8 j 6 i 0 CFOC OF CF + + = + + + + = = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) k 12 j 54 i 65 Rk 32 j 24 i 40 k 12 j 18 i 15 k 8 j 12 i 10 Rk 8 j 6 i 10 4 k 4 j 6 i 5 3 k 4 j 6 i 5 2 RCF 4 IB 3 NP 2 R = + + + + + = + + + + + = + = b) ( ) ( )( ) k 0 j 3 i 5 MIk 4 j 9 i 0 k 4 j 6 i 5 MIOM OI MI + = + + + + = = ( ) ( )( ) k 8 j 6 i 10 ADk 8 j 0 i 0 k 0 j 6 i 10 ADOA OD AD + = + + + + = = ( ) ( ) ( )( )( )( ) k 1,28 j 0,95 i 1,6 MIk 0,57 j 0,42 i 0,70 2,26 MIk 0,56 j 0,42 i 0,7014,1418 50MI8 6 10k 8 j 6 i 108 6 10k 8 j 6 i 10 k 0 j 3 i 5MIADAD MIMIADADAD2 2 2 2 2 2ADADAD + = + = + = + + ++ + + - + =-= c) ( ) ( )( ) k 0 j 3 i 5 NJk 0 j 9 i 0 k 0 j 6 i 5 NJON OJ NJ + = + + + + = = ( ) ( )( ) k 8 j 6 i 0 GAk 0 j 6 i 0 k 8 j 0 i 0 GAOG OA GA + = + + + + = = ( ) ( )( ) ( )( )( ) = ||.|

\|=||.|

\|+ + + - + =|||.|

\|-=72,02 10 5,8318cos 8 6 3 5k 8 j 6 i 0 k 0 j 3 i 5cos GA NJGA NJcos 12 2 2 211 d) ( ) ( )( ) k 0 j 6 i 10 GCk 0 j 6 i 0 k 0 j 0 i 10 GCOG OC GC + = + + + + = = ( ) ( )( ) k 4 j 3 i 5 GPk 0 j 6 i 0 k 4 j 3 i 5 GPOG OP GP + = + + + + = = ( ) ( ) ( )( ) k 0 j 40 i 24 GP GCk 30 30 j 40 i 24 GP GC4 3 50 6 10k j iGP GC + = + + = = 9. Dados j 7 i 3 A = y k 3 j 2 B = Encuentre: a) El vector B A R = b) El vector perpendicular a A y B c) El ngulo entre A y R SOLUCIN: a) ( ) ( )( ) k 3 j 9 i 3 Rk 3 j 2 j 7 i 3 RB A R + + = = = b) ( ) k 6 j 9 i 21 B A3 2 00 7 3k j iB A + = = c) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) = ||.|

\| =||.|

\|+ + + + + - =|||.|

\|-=161,96 9,95 7,6163 9cos 3 9 3 7 3k 3 j 9 i 3 j 7 i 3cos R AR Acos 12 2 2 2 211 10. Determine la suma de , C , B , A donde B ; j i 3 A + = contenido en el plano XZ, en la direccin O 20 N se aleja del origen su longitud es 3m. Los ngulos directores de C son =15 y , 105 = su mdulo es 10m. SOLUCIN: 11. Una pelota es lanzada en lnea recta desde el origen 0 a un punto ( ) . m 0 15, 10, P Hallar: a) Los cosenos directores. b) Un vector en la direccin de OP cuya longitud sea 3m. c) Las proyecciones XZ YZ, XY, de OP SOLUCIN: 12. Un carro parte de ( )km 60 50, 0, P con respecto a la pista, en direccin E 60 S y llega a una distancia de 75km, luego cambia de rumbo y corre 100km siguiendo una direccin y sentido que coincide con el unitario de: k 12 i 5 R + = a) Encuentre la posicin final del carro con respecto a la pista. b) El vector unitario de la posicin final SOLUCIN: 13. En la figura determinar: u 80 OA DE CBu 100 BE OD OC CD AE AB= = = = = = = = = a) El ngulo formado por AC y EC b) El vector proyeccin de OC sobre CD SOLUCIN: 14. Encontrar el ngulo formado por la velocidad y la aceleracin en el instante en que la rapidez es 30m/s en la direccin O N 30 y un ngulo de elevacin de 45, la aceleracin es de 2s m 5 en direccin ( ) k 0,4 j c i 0,6 SOLUCIN: 15. En la figura determinar: a) La posicin geogrfica de L con respecto a Q b) La proyeccin de OQ sobre QL c) El unitario de PQ 2 LN V = SOLUCIN: 16. Dos cubos de 12 y 20 cm de lado, estn colocados como indica la figura. Encontrar: a) NB AJ + b) El ngulo formado por JM y GF c) La proyeccin de HK sobre GF SOLUCIN: a) ( ) ( )( ) k 20 j 20 i 12 AJk 20 j 0 i 0 k 0 j 20 i 12 AJOA OJ AJ + = + + + + = = ( ) ( )( ) k 20 j 32 i 20 NBk 0 j 32 i 0 k 20 j 0 i 20 NBON OB NB + = + + + + = = ( ) ( )( ) k 0 j 12 i 32 Rk 20 j 32 i 20 k 20 j 20 i 12 RNB AJ R + = + + + = + = b) ( ) ( )( ) k 12 j 12 i 12 JMk 0 j 20 i 12 k 12 j 32 i 0 JMOJ OM JM + + = + + + + = = ( ) ( )( ) k 0 j 20 i 20 GFk 0 j 20 i 0 k 0 j 0 i 20 GFOG OF GF + = + + + + = = ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) = ||.|

\| =||.|

\|+ + + + - + + =|||.|

\|-=144,76 28,28 20,78240 240cos 20 20 12 12 12k 0 j 20 i 20 k 12 j 12 i 12cos GF JMGF JMcos 12 2 2 2 211 c) ( ) ( )( ) k 12 j 12 i 12 HKk 12 j 20 i 0 k 0 j 32 i 12 HKOH OK HK + = + + + + = = ( ) ( )( ) k 0 j 20 i 20 GFk 0 j 20 i 0 k 0 j 0 i 20 GFOG OF GF + = + + + + = = ( ) ( ) ( )= + + + + - +=-=GF2 2 2 2GFGFGFHK20 20k 0 j 20 i 2020 20k 0 j 20 i 20 k 12 j 12 i 12HKGFGF HKHK 17. Conociendo los vectores: k 6 j 3 i 2 A + + = y . k 4 j 4 i 2 B + + = Determinar el vector proyeccin del vector A sobre la recta de accin del vector . B SOLUCIN: ( ) ( ) ( )( )( ) k 3,52 j 3,52 i 1,76 Ak 0,66 j 0,66 i 0,33624 12 4A4 4 2k 4 j 4 i 24 4 2k 4 j 4 i 2 k 6 j 3 i 2ABB AABB2 2 2 2 2 2BB B + + =+ + + + = + + + + + + + + - + +=-= 18. Se tiene una cuerda fija en el punto A y se hala con una fuerza de 50N de modo que el otro extremo est en el punto . B Determinar: a) El vector fuerza ( ) F en trminos de . k , j , i b) La proyeccin del vector Fsobre DG SOLUCIN: a) ( ) k 3 j 10 i 4 r + = ( )( ) k 0,27 j 0,89 i 0,36 3 10 4k 3 j 10 i 4r2 2 2r + = + + += ( )( ) k 13,5 j 44,5 i 18 Fk 0,268 j 0,89 i 0,36 N 50 F + = + + = b) ( ) ( )( ) k 0 j 0 i 8 DGk 0 j 0 i 4 k 0 j 0 i 4 DGD G DG + + = + + + + = = ( ) ( ) ( )( )( ) k 0 j 0 i 18 F Fk 0 j 0 i8144Fk 0 j 0 i8k 0 j 0 i 8 k 13,5 j 44,5 i 18FDGDG FFDG DGDGDGDG DG + + = =+ + =+ + + + - +=-= 19. Dados los puntos ( ) ( ) 4 1, 5, B ; 2 1, 2, A y ( ). 1 2, 7, C Determinar los siguientes vectores: a) D paralelo a AB y de mdulo 15N. b) E perpendicular al triangulo ABC y mdulo 20. c) F de mdulo 10u y paralelo a la bisectriz del ngulo . ABC d) G en la direccin de AC y con mdulo igual al mdulo de la proyeccin de ABsobre BC e) Determinar m" " para que k j m i 5 Q + = sea perpendicular al vector . AB f) El vector k 5 j b i a H + + = que sea paralelo a . BC SOLUCIN: a) ( ) ( )( ) k 2 j 2 i 3 ABk 2 j i 2 k 4 j i 5 ABA B AB + = + + + = = ( )( ) k 0,485 j 0,485 i 0,727 2 2 3k 2 j 2 i 3AB2 2 2AB + = + + + = ( )( )D =15N 0, 73 i- 0, 49 j+0, 49kD = 10, 90 i- 7, 28 j+7, 28k b) ( ) ( )( )BC = C- BBC = 7 i+2 j+1k - 5 i- j+4kBC = 2 i+3 j- 3k ( ) ( ) ( )( ) k 13 j 13 i 0 BC ABk 4 9 j 4 9 i 6 6 BC AB3 3 22 2 3k j iBC AB + + = + + = = ( )( ) k 0,707 j 0,707 i 0 13 13k 13 j 13 i 0BC AB2 2BC AB + + = ++ += ( )( ) k 14,14 j 14,14 i 0 Ek 0,707 j 0,707 i 0 20 E + + = + + = c) d) ( ) ( ) ( )( )( )BCBCBC2 2 2 2 2 2BCBCAB BCAB = mBC3 i- 2 j+2k 2 i+3 j- 3k 2 i+3 j- 3kAB = 2 +3 +3 2 +3 +3-6AB = 0, 426 i+0, 639 j- 0, 639k4, 69AB = 0, 54 i+0, 82 j- 0, 82k 1,28 AB0,82 0,82 0,54 ABBC2 2 2BC=+ + = ( ) ( )( ) k j i 5 ACk 2 j i 2 k 1 j 2 i 7 ACA C AC + = + + + + = = ( )( ) k 0,192 j 0,192 i 0,962 1 1 5k j i 5AC2AC + = + + += ( )( ) k 0,25 j 0,25 i 1,23 Gk 0,192 j 0,192 i 0,962 1,28 G + = + = e) ( ) ( )6,5 m213m0 2 m 2 150 k j m i 5 k 2 j 2 i 30 Q AB= == = + - + = - k j 6,5 i 5 Q + = f) ( ) k 3 j 3 i 2 BC + = ( )( ) k 0,639 j 0,639 i 0,426 3 3 2k 3 j 3 i 2BC2 2 2BC + = + + += ( )( )7,82 H0,6395H0,639 H 5 H kBCz== = = ( )( ) k 5 j 5 i 3,33 Hk 0,639 j 0,639 i 0,426 7,82 H + = + =