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Page 1: Problemas Propuestos de Vectores

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE VECTORES

1. Qué condiciones deben cumplir A⃗ , B⃗ para que se cumpla cada una de las siguientes proposiciones en forma independiente?

a) μ⃗ A+ μ⃗B=0

b) μ⃗ A− μ⃗B=−2 μ⃗B

c) μ⃗ A⋅⃗μA=0

SOLUCIÓN:

2. El producto escalar de A⃗ y B⃗ toma los siguientes valores.

a) A⃗⋅B⃗=AB

b) A⃗⋅B⃗=−1/2 (AB)

En cada caso indique las características del vector proyección de A⃗ sobre B⃗ .

SOLUCIÓN:

3. En el paralelepípedo ABCDEFG indicado en la figura determinar:

a) P⃗Q Y S⃗T en función de sus componentes.

b) El ángulo formado por P⃗Q y S⃗E.

SOLUCIÓN:

a)

Page 2: Problemas Propuestos de Vectores

P⃗Q=O⃗Q−O⃗PP⃗Q=(3 i⃗ +0 j⃗+0 k⃗ )−(3 i⃗ +4 j⃗+4 k⃗ )P⃗Q=(0 i⃗−4 j⃗−4 k⃗ )

S⃗T=O⃗Q−O⃗PS⃗T=(0 i⃗ +4 j⃗+2 k⃗ )−( 6 i⃗+4 j⃗+2 k⃗ )S⃗T=(−6 i⃗ +0 j⃗+0 k⃗ )

b)

S⃗E=O⃗E−O⃗PS⃗E=( 0 i⃗ +0 j⃗+4 k⃗ )−(6 i⃗ +4 j⃗+2 k⃗ )S⃗E=(−6 i⃗−4 j⃗+2 k⃗ )

θ=cos−1(P⃗Q⋅⃗SE

|⃗PQ|⋅|⃗SE| )θ=cos−1((0 i⃗−4 j⃗−4 k⃗ )⋅(−6 i⃗−4 j⃗+2 k⃗ )

(√42+42) (√62+42+22) )θ=cos−1(8(5,66 ) (7,48 ) )θ=79,11°

4. Determinar la suma de A⃗ , B⃗ y C⃗ en donde A⃗=5 i⃗−10 { j⃗+7 k⃗ ;¿ B⃗=9 i⃗ +4 j⃗+2 k⃗

y C⃗ es un vector en el plano XY que forma un ángulo de 45° con la dirección positiva del eje de las X y se aleja del origen, su magnitud es 12.

SOLUCIÓN:

C X=12cos45=8,5CY=12cos45=8,5

C⃗=(8,5 { i⃗ ¿+8,5 { j⃗ ¿+0 k⃗ )

R⃗=A⃗+B⃗+C⃗R⃗=(5 i⃗−10 { j⃗ ¿+7 k⃗ )+(9 i⃗ +4 j⃗+2 k⃗ )+( 8,5 { i⃗ ¿+8,5 { j⃗ ¿+0 k⃗ )R⃗=(22,5 { i⃗ ¿+2,5 { j⃗¿+9 k⃗ )

5. Encontrar el valor de (2 A⃗−3 B⃗ )⋅( A⃗+4 B⃗ ), conociendo que |A⃗|=4u, |B⃗|=3u y

que el vector A⃗ es perpendicular al vector B⃗ .SUGERENCIA: Escoger un sistema de referencia adecuado.

SOLUCIÓN:

Page 3: Problemas Propuestos de Vectores

A⃗=(0 i⃗ +4 j+0 k⃗ )B⃗=(3 i⃗ +0 j+0 k⃗ )

R⃗=(2 A⃗−3 B⃗ )⋅( A⃗+4 B⃗ )R⃗=(2 (0 i⃗+4 j+0 k⃗ )−3 (3 i⃗ +0 j+0 k⃗ ))⋅((0 i⃗ +4 j+0 k⃗ )+4 (3 i⃗+0 j+0 k⃗ ))R⃗=((0 i⃗ +8 j+0 k⃗ )−(9 i⃗ +0 j+0 k⃗ ))⋅((0 i⃗ +4 j+0 k⃗ )+(12 { i⃗ ¿+0 j+0 k⃗ ))R⃗=(−9 i⃗ +8 j+0 k⃗ )⋅(12 { i⃗ ¿+4 j+0 k⃗ )R⃗=−76

6. Sabiendo que A⃗ es 10 { i⃗ +5 j⃗−3 k⃗ ¿ y B⃗ tiene una longitud de 10m, la proyección BY=−5m el ángulo director α=60 ° . Y que el vector C⃗ se inicia en el punto (0 , 4 , 5 ) y finaliza en el punto (2 , 2 , 1 ) . Encontrar un vector D⃗ que satisfaga a:

A⃗+ B⃗−1/2C⃗+D⃗=0

SOLUCIÓN:

A⃗=(10 { i⃗ ¿+5 j⃗−3 k⃗ )B⃗=(5 i⃗−5 j⃗+7,07 { k⃗¿)C⃗=(2 i⃗−2 j⃗−4 k⃗ )

A⃗+ B⃗−1/2C⃗+D⃗=0

(10 { i⃗ ¿+5 j⃗−3 k⃗ )+(5 i⃗−5 j⃗+7,07 { k⃗¿ )−12

(2 i⃗−2 j⃗−4 k⃗ )+D⃗=0

(15 { i⃗ ¿+0 j⃗+4,07 { k⃗ ¿)− ( i⃗− j⃗−2 k⃗ )+D⃗=0(14 { i⃗ ¿+ j⃗+6,07 { k⃗¿ )+ D⃗=0

D⃗=(−14 { i⃗ ¿− j⃗−6,07 { k⃗¿ )

8.

A partir de la figura determinar:

Page 4: Problemas Propuestos de Vectores

a) El vector R⃗=2 N⃗P+3 I⃗B−4C⃗F

b) El vector proyección de M⃗I sobre A⃗D

c) El ángulo entre N⃗J y G⃗A

d) Un vector perpendicular a G⃗C y G⃗P

P: Punto medio de A⃗D

SOLUCIÓN:

a)

N⃗P=O⃗P−O⃗NN⃗P=(5 i⃗+3 j⃗+4 k⃗ )−( 0 i⃗ +9 j⃗+0 k⃗ )N⃗P=(5 i⃗−6 j⃗+4 k⃗ )

I⃗B=O⃗B−O⃗II⃗B=(10 { i⃗ ¿+0 j⃗+8 k⃗ )−(5 i⃗ +6 j⃗+4 k⃗ )I⃗B=(5 i⃗−6 j⃗+4 k⃗ )

C⃗F=O⃗F−O⃗CC⃗F=(0 i⃗+6 j⃗+8 k⃗ )−(10 { i⃗ ¿+0 j⃗+0 k⃗ )C⃗F=(−10 { i⃗ ¿+6 j⃗+8 k⃗ )

R⃗=2N⃗P+3 I⃗B−4C⃗FR⃗=2 (5 i⃗−6 j⃗+4 k⃗ )+3 (5 i⃗−6 j⃗+4 k⃗ )−4 (−10 { i⃗ ¿+6 j⃗+8 k⃗ )R⃗=(10 { i⃗ ¿−12 { j⃗ ¿+8 k⃗ )+(15 { i⃗ ¿−18 { j⃗ ¿+12 { k⃗ ¿)− (−40 { i⃗ ¿+24 { j⃗ ¿+32 { k⃗ ¿)R⃗=(65 { i⃗ ¿−54 { j⃗¿−12 { k⃗¿ )

b)

M⃗I=O⃗I−O⃗MM⃗I=(5 i⃗+6 j⃗+4 k⃗ )−(0 i⃗+9 j⃗+4 k⃗ )M⃗I=(5 i⃗−3 j⃗+0 k⃗ )

Page 5: Problemas Propuestos de Vectores

c)

N⃗J=O⃗J−O⃗NN⃗J=(5 i⃗ +6 j⃗+0 k⃗ )−( 0 i⃗ +9 j⃗+0 k⃗ )N⃗J=(5 i⃗−3 j⃗+0 k⃗ )

G⃗A=O⃗A−O⃗GG⃗A=(0 i⃗ +0 j⃗+8 k⃗ )−( 0 i⃗ +6 j⃗+0 k⃗ )G⃗A=(0 i⃗−6 j⃗+8 k⃗ )

θ=cos−1(N⃗J⋅⃗GA

|⃗NJ|⋅|⃗GA| )θ=cos−1((5 i⃗−3 j⃗+0 k⃗ )⋅( 0 i⃗−6 j⃗+8 k⃗ )

(√52+32)⋅(√62+82 ) )θ=cos−1(18

(5,83 ) (10 ) )θ=72,02°

d)

G⃗C=O⃗C−O⃗GG⃗C=(10 { i⃗ ¿+0 j⃗+0 k⃗ )−(0 i⃗ +6 j⃗+0 k⃗ )G⃗C=(10 { i⃗ ¿−6 j⃗+0 k⃗ )

G⃗P=O⃗P−O⃗GG⃗P= (5 i⃗ +3 j⃗+4 k⃗ )−(0 i⃗ +6 j⃗+0 k⃗ )G⃗P= (5 i⃗−3 j⃗+4 k⃗ )

M⃗IAD=M⃗I⋅⃗AD|⃗AD|

⋅⃗μAD

M⃗IAD=(5 i⃗−3 j⃗+0 k⃗ )⋅( 10 { i⃗ ¿+6 j⃗−8 k⃗ )√102+62+82

⋅( 10 { i⃗ ¿+6 j⃗−8 k⃗ )√102+62+82

M⃗IAD=50−1814,14

⋅( 0,70 { i⃗ ¿+0,42 { j⃗¿−0,56 { k⃗ ¿ )

M⃗IAD=2,26 ( 0,70 { i⃗ ¿+0,42 { j⃗¿−0,57 { k⃗¿ )M⃗IAD=(1,6 { i⃗ ¿+0,95 { j⃗ ¿−1,28 { k⃗¿)

Page 6: Problemas Propuestos de Vectores

G⃗C×G⃗P=|i⃗ j⃗ k⃗10 −6 05 −3 4

|

G⃗C×G⃗P= (−24 ) i⃗−(40 ) j⃗+(−30+30 ) k⃗G⃗C×G⃗P=(−24 { i⃗ ¿−40 { j⃗¿+0 k⃗ )

9. Dados A⃗=3 i⃗−7 j⃗ y B⃗=−2 j⃗−3 k⃗Encuentre:

a) El vector R⃗=−A⃗−B⃗

b) El vector perpendicular a A⃗ y B⃗

c) El ángulo entre A⃗ y R⃗

SOLUCIÓN:

a)

R⃗=−A⃗−B⃗R⃗=−(3 i⃗−7 j⃗ )−(−2 j⃗−3 k⃗ )R⃗=(−3 i⃗+9 j⃗+3 k⃗ )

b)

A⃗×B⃗=|i⃗ j⃗ k⃗3 −7 00 −2 −3

|

A⃗×B⃗=(21 { i⃗ ¿+9 j⃗−6 k⃗ )

c)

θ=cos−1( A⃗⋅R⃗|A⃗|⋅|R⃗| )θ=cos−1((3 i⃗−7 j⃗ )⋅(−3 i⃗+9 j⃗+3 k⃗ )

(√32+72 )⋅(√32+92+32) )θ=cos−1(−9−63

(7,61 )⋅(9,95 ) )θ=161,96 °

Page 7: Problemas Propuestos de Vectores

10. Determine la suma de A⃗ , B⃗ , C⃗ , donde A⃗=3 i⃗+ j⃗ ; B⃗ contenido en el plano XZ,

en la dirección N 20 ° O se aleja del origen su longitud es 3m. Los ángulos

directores de C⃗ son β=15 ° y γ=105 ° , su módulo es 10m.

SOLUCIÓN:

11. Una pelota es lanzada en línea recta desde el origen 0 a un punto P (10, 15, 0 )m . Hallar:a) Los cosenos directores.

b) Un vector en la dirección de O⃗P cuya longitud sea 3m.

c) Las proyecciones XY, YZ, XZ de O⃗PSOLUCIÓN:

12. Un carro parte de P (0, 50, 60 ) km con respecto a la pista, en dirección S 60 ° E y llega a una distancia de 75km, luego cambia de rumbo y corre 100km siguiendo

una dirección y sentido que coincide con el unitario de: R⃗=−5 i⃗ +12 { k⃗ ¿

a) Encuentre la posición final del carro con respecto a la pista.b) El vector unitario de la posición final

SOLUCIÓN:

13. En la figura determinar:

AB=AE=CD=OC=OD=BE=100uCB=DE=OA=80u

a) El ángulo formado por A⃗C y E⃗C

b) El vector proyección de O⃗C sobre C⃗D

Page 8: Problemas Propuestos de Vectores

SOLUCIÓN:

14. Encontrar el ángulo formado por la velocidad y la aceleración en el instante en

que la rapidez es 30m/s en la dirección N 30 ° O y un ángulo de elevación de

45°, la aceleración es de 5m /s2 en dirección (0,6 { i⃗ ¿−c j⃗−0,4 { k⃗ ¿)

SOLUCIÓN:

15.

En la figura determinar:

a) La posición geográfica de L con respecto a Q

b) La proyección deO⃗Q sobre Q⃗L

c) El unitario de V⃗=L⃗N−2 P⃗Q

SOLUCIÓN:

16. Dos cubos de 12 y 20 cm de lado, están colocados como indica la figura. Encontrar:

Page 9: Problemas Propuestos de Vectores

a) A⃗J+N⃗B

b) El ángulo formado por J⃗M y G⃗F

c) La proyección de H⃗K sobre G⃗F

SOLUCIÓN:

a)

A⃗J=O⃗J−O⃗AA⃗J=( 12 { i⃗ ¿+20 { j⃗ ¿+0 k⃗ )−( 0 i⃗+0 j⃗+20 { k⃗¿ )A⃗J=( 12 { i⃗ ¿+20 { j⃗ ¿−20 { k⃗¿ )

N⃗B=O⃗B−O⃗NN⃗B= (20 { i⃗ ¿+0 j⃗+20 { k⃗¿)−(0 i⃗+32 { j⃗ ¿+0 k⃗ )N⃗B= (20 { i⃗ ¿−32 { j⃗ ¿+20 { k⃗¿ )

R⃗=A⃗J+N⃗BR⃗=(12 { i⃗ ¿+20 { j⃗ ¿−20 { k⃗¿ )+(20 { i⃗ ¿−32 { j⃗¿+20 { k⃗¿ )R⃗=(32 { i⃗ ¿−12 { j⃗ ¿+0 k⃗ )

b)

J⃗M=O⃗M−O⃗JJ⃗M=(0 i⃗ +32 { j⃗¿+12 { k⃗¿ )−(12 { i⃗ ¿+20 { j⃗ ¿+0 k⃗ )J⃗M=(−12 { i⃗ ¿+12 { j⃗ ¿+12 { k⃗ ¿ )

G⃗F=O⃗F−O⃗GG⃗F=(20 { i⃗ ¿+0 j⃗+0 k⃗ )−( 0 i⃗ +20 { j⃗¿+0 k⃗ )G⃗F=(20 { i⃗ ¿−20 { j⃗¿+0 k⃗ )

Page 10: Problemas Propuestos de Vectores

θ=cos−1( J⃗M⋅⃗GF

|⃗JM|⋅|⃗GF| )θ=cos−1((−12 { i⃗ ¿+12 { j⃗ ¿+12 { k⃗ ¿ )⋅( 20 { i⃗ ¿−20 { j⃗ ¿+0 k⃗ )

(√122+122+122)⋅(√202+202) )θ=cos−1(−240−240

(20,78 )⋅(28,28 ) )θ=144,76 °

c)

H⃗K=O⃗K−O⃗HH⃗K=(12 { i⃗ ¿+32 { j⃗ ¿+0 k⃗ )−(0 i⃗ +20 { j⃗¿+12 { k⃗¿ )H⃗K=(12 { i⃗ ¿+12 { j⃗¿−12 { k⃗ ¿)

G⃗F=O⃗F−O⃗GG⃗F=(20 { i⃗ ¿+0 j⃗+0 k⃗ )−( 0 i⃗ +20 { j⃗¿+0 k⃗ )G⃗F=(20 { i⃗ ¿−20 { j⃗¿+0 k⃗ )

H⃗KGF=H⃗K⋅⃗GF|⃗GF|

⋅⃗μGF

H⃗KGF=( 12 { i⃗ ¿+12 { j⃗ ¿−12 { k⃗¿)⋅(20 { i⃗ ¿−20 { j⃗¿+0 k⃗ )√202+202

⋅(20 { i⃗ ¿−20 { j⃗¿+0 k⃗ )√202+202

H⃗KGF=

17. Conociendo los vectores: A⃗=2 i⃗ +3 j⃗+6 k⃗ y B⃗=−2 i⃗ +4 j⃗+4 k⃗ . Determinar el

vector proyección del vector A⃗ sobre la recta de acción del vector B⃗ .

SOLUCIÓN:

Page 11: Problemas Propuestos de Vectores

A⃗B=A⃗⋅B⃗|B⃗|

⋅⃗μB

A⃗B=(2 i⃗ +3 j⃗+6 k⃗ )⋅(−2 i⃗+4 j⃗+4 k⃗ )√22+42+42

⋅(−2 i⃗ +4 j⃗+4 k⃗ )√22+42+42

A⃗B=−4+12+246

⋅(−0,33 { i⃗ ¿+0,66 { j⃗ ¿+0,66 { k⃗¿ )

A⃗B=(−1,76 { i⃗ ¿+3,52 { j⃗ ¿+3,52 { k⃗ ¿)

18. Se tiene una cuerda fija en el punto A y se hala con una fuerza de 50N de modo

que el otro extremo está en el punto B .

Determinar:

a) El vector fuerza ( F⃗ ) en términos de i⃗ , j⃗ , k⃗ .

b) La proyección del vector F⃗ sobre D⃗G

SOLUCIÓN:

a)

r⃗=( 4 i⃗ +10 { j⃗ ¿−3 k⃗ )

μ⃗r=( 4 i⃗ +10 { j⃗¿−3 k⃗ )√42+102+32

μ⃗r=( 0,36 { i⃗ ¿+0,89 { j⃗¿−0,27 { k⃗ ¿)

F⃗=50N (0,36 { i⃗ ¿+0,89 { j⃗¿+0,268 { k⃗ ¿)F⃗=(18 { i⃗ ¿+44,5 { j⃗ ¿−13,5 { k⃗¿)

b)

D⃗G=G⃗−D⃗D⃗G=(4 i⃗+0 j⃗+0 k⃗ )−(−4 i⃗+0 j⃗+0 k⃗ )D⃗G=(8 i⃗ +0 j⃗+0 k⃗ )

Page 12: Problemas Propuestos de Vectores

F⃗DG=F⃗⋅⃗DG|⃗DG|

⋅⃗μDG

F⃗DG=(18 { i⃗ ¿+44,5 { j⃗ ¿−13,5 { k⃗¿ )⋅(8 i⃗+0 j⃗+0 k⃗ )8

⋅( i⃗ +0 j⃗+0 k⃗ )

F⃗DG=1448

⋅( i⃗ +0 j⃗+0 k⃗ )

F⃗DG=F⃗DG=(18 { i⃗ ¿+0 j⃗+0 k⃗ )

19. Dados los puntos A (2, 1, 2 ); B (5, −1, 4 ) y C (7, 2, 1 ) . Determinar los siguientes vectores:

a) D⃗ paralelo a A⃗B y de módulo 15N.

b) E⃗ perpendicular al triangulo ABC y módulo 20.

c) F⃗ de módulo 10u y paralelo a la bisectriz del ángulo ABC.

d) G⃗ en la dirección de A⃗C y con módulo igual al módulo de la proyección de

A⃗B sobre B⃗C

e) Determinar m para que Q⃗=5 i⃗ +m j⃗−k⃗ sea perpendicular al vector A⃗B.

f) El vector H⃗=a i⃗+b j⃗+5 k⃗ que sea paralelo a B⃗C.

SOLUCIÓN:

a)

A⃗B=B⃗− A⃗A⃗B=(5 i⃗− j⃗+4 k⃗ )−(2 i⃗+ j⃗+2 k⃗ )A⃗B=(3 i⃗−2 j⃗+2 k⃗ )

μ⃗AB=(3 i⃗−2 j⃗+2 k⃗ )√32+22+22

μ⃗AB=(0,727 { i⃗ ¿−0,485 { j⃗ ¿+0,485 { k⃗¿)

b)

Page 13: Problemas Propuestos de Vectores

A⃗B×B⃗C=|i j⃗ k⃗3 −2 22 3 −3

|

A⃗B×B⃗C=(6−6 ) i⃗−(−9−4 ) j⃗+( 9+4 ) k⃗A⃗B×B⃗C=(0 i⃗ +13 { j⃗ ¿+13 { k⃗¿)μ⃗AB×BC=

(0 i⃗ +13 { j⃗¿+13 { k⃗¿ )√132+132

μ⃗AB×BC=(0 i⃗ +0,707 { j⃗¿+0,707 { k⃗ ¿ )

E⃗=20 (0 i⃗+0,707 { j⃗ ¿+0,707 { k⃗¿)E⃗=(0 i⃗ +14,14 { j⃗ ¿+14,14 { k⃗¿)

c)

d)

|⃗ABBC|=√0,542+0,822+0,822

|⃗ABBC|=1,28

A⃗C=C⃗−A⃗A⃗C=(7 i⃗ +2 j⃗+1 k⃗ )−( 2 i⃗ + j⃗+2 k⃗ )A⃗C=(5 i⃗+ j⃗−k⃗ )μ⃗AC=

(5 i⃗+ j⃗−k⃗ )√52+1+1

μ⃗AC=(0,962 { i⃗ ¿+0,192 { j⃗¿−0,192 { k⃗¿)

Page 14: Problemas Propuestos de Vectores

G⃗=1,28 ( 0,962 { i⃗ ¿+0,192 { j⃗ ¿−0,192 { k⃗¿ )G⃗=( 1,23 { i⃗ ¿+0,25 { j⃗ ¿−0,25 { k⃗¿ )

e)

A⃗B⋅Q⃗=0(3 i⃗−2 j⃗+2 k⃗ )⋅(5 i⃗ +m j⃗−k⃗ )=015−2m−2=0

m=−13−2

m=6,5⇒Q⃗=5 i⃗+6,5 { j⃗− k⃗ ¿

f)

B⃗C=( 2 i⃗ +3 j⃗−3 k⃗ )

μ⃗BC=(2 i⃗+3 j⃗−3 k⃗ )√22+32+32

μ⃗BC=(0,426 { i⃗ ¿+0,639 { j⃗ ¿−0,639 { k⃗¿)

− k⃗=|H⃗|( μ⃗BCz )−5=|H⃗|(−0,639 )

|H⃗|=50,639

|H⃗|=7,82H⃗=7,82 (0,426 { i⃗ ¿+0,639 { j⃗ ¿−0,639 { k⃗¿ )H⃗=( 3,33 { i⃗ ¿+5 j⃗−5 k⃗ )