Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.1 6 Va lor e s e Ve c t or e sPr pr i os Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.2 6.1 Polinmio Caracterstico Amatriz quadrada de ordem n ai j IR ou C escalar ( IR ou C). Def i n i o|A-I|designa-se porpolinmiocaractersticodamatrizA e representa-se por p() Ex em p l o: A

1]1112 3 70 5 80 2 5 p() = |A-I| = 2 3 70 5 80 2 5 = 18 - 29 + 12 2 - 3 Not aO grau do polinmio caracterstico depende da ordem da matriz A: w A de ordem 2polinmio caracterstico de grau 2 w A de ordem 3polinmio caracterstico de grau 3 e assim sucessivamente !! Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.3 6.2 Valores PrpriosDef i n i oDesignam-seporvaloresprpriosdamatrizA,asrazesdopolinmio caractersticodeA,ouseja,asrazesdaequaop()=0,ouainda,| A-I| =0. 6 . 2 . 1 Ma t r i z e sd eOr d e m2 Ex em p l o: A

1]10 11 0 p()=0 |A-I|=0 110 2 -1 = 0 = 1V = -1 (dois valores prprios reais e distintos) Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.4 Ex em p l o: B

1]10 11 0 p()=0 |A-I|=0 110 2 +1 = 0 =1 = t i(dois valores prprios complexos e distintos) Ex em p l o: C

1]11 00 1 p()=0 |A-I|=0 1 00 10 (1-)2= 0 = 1 (dois valores prprios reais e iguais) Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.5 Con c l u s o Matriz A; Matriz C: 1 valor prprio com multiplicidade algbrica 2. Matriz B:2 valores prprios(com multiplicidade algbrica 1) Re s u m o: Se A (2x2), os valores prprios sero: 1. 1, 2 reais onde 1 diferente de 2 2. 1, 2 complexos onde 2 conjugado de 1 3. 1, 2 reais onde 1=21, (raiz mltipla) 6 . 2 . 2 Ma t r i ze sd eOr d e mSu p e r i ora2Ex em p l o: A=5 0 81 2 42 0 5

1]111 p()=|A-I|=5 - 0 81 2- 42 0 5- =(2-) ((5-)2-16) p()=(2-) ((5-)-4) ((5-)+4)=0 p()=(2-) (1-) (9-)=0 donde 1=2, 2=1 e 3=9 Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.6 Ex em p l o: Calcule os valores prprios de A=2 0 00 3 00 0 4

1]111 Resultado: 2, 3, 4 Ex em p l o: Calcule os valores prprios de A=1 0 00 0 10 1 0

1]111 Resultado: 1 com multiplicidade 2 e -1 Con c l u s o Dado p() = |A-I| = a0 + a1 (-) + ... + an-1 (-)n-1 + (-)n duma matriz nxn 1.Existemnrazesnonecessariamentedistintas(valoresprprios) reais ou complexos 2. p()=(1-)(2-)...(n-) 3.Quandoa0,a1,...,an-1soreaiscadaraizcomplexadep()existe com um par (conjugado) Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.7 6.3 Vectores Prprios valor prprio de A |A-I|=0 A-I singular (A-I) X=0 AX=IX AX=X Def i n i o Designa-se porvectorprprio um vector no nulox tal que, dado um valor prprio de A, x satisfaz a equao A x =x . 6 . 3 . 1 Ca lc u lo d eVe c t or e sPr p r i osEx em p l o: A=5 0 81 2 42 0 5

1]111 Valores Prprios: 1=2, 2=9 e 3=1 Calcule os vectores prprios de A Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.8 Re s ol u o (A-I)X=0111]1

111]1

111]1

000xxx- 5 0 24 - 2 18 0 - 5321 1 = 2 111]1

111]1

111]1

000xxx3 0 24 0 18 0 3321' + + +0 3x 2x0 4x x0 8x 3x3 13 13 1'0 x4x x0 x33 11 Logo x1=x3=0ex2 IR Pelo que, X1=111]1

111]1

010a0a0, onde a IR \ {0} 2 =9 X2=111]1

111]1

12aaa2a7272, onde a IR \ {0} 3 = 1 X3=111]1

111]1

16 -2 -aa6a -2a -, onde a IR \ {0} Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.9 6 . 3 . 2 M t odo Alt e r n a t i vo pa r aC lc u lo d eVe c t or e sPr p r i osRe s e r va:S pode ser aplicado se a adjunta da matriz for no nula. Al gor i t m o: 1.Calcular a matriz Adj (A-I) 2.Considerar cada uma das colunas da matriz Adj (A-I) e substituir nessa coluna cada um dos valores prprios Ex em p l o: A=111]1

5 0 24 2 18 0 5 Valores Prprios de A:1=2, 2=9 e 3=1 Calcule os vectores prprios de A Re s ol u o 111]1

- 5 0 24 - 2 18 0 - 5) ( I AAnlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.10 111]1

- 5 4 80 - 22 1 - - 50 ) (TI AAdj(A-I)=1111111]1

+++++ 21 - 50 02 50 22 14 81 - 55 82 55 42 14 82 05 80 05 40 20 Es col h en d o C1=111]1

+ 2 413) )(5 (2 1=2X1=011011010

1]111

1]111 2=9 X2=2841421427

1]111

1]111 3=1 X3=111]1

111]1

16 -2 --21 -124 Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.11 Es ees col h es s em os C2? 1 = 2X1=0- 70

1]111mltipla de 010

1]111 2= 9 X2=000

1]111 no vector prprio 3= 1 X3=000

1]111no vector prprio Not a No necessrio pesquisar todas as colunas. Quando forem encontrados tantos vectores prprios quantos os valores prprios distintos, pode-se terminar a procura. Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.12 Def i n i o Seja valor prprio de uma matriz A e x o vector prprio correspondente. O par (,x) designa-se por par prprio de A. Def i n i o O conjunto dos valores prprios de A, designa-se por espectro de A e representa-se por{ } x um a para x Ax Alg , : ) ( Def i n i o O conjunto dos vectores prprios de A, designa-se por raio espectral de A e representa-se por{ } A) ( : | | ) ( A Def i n i o Os vectores prprios unitrios designam-se por direces prprias de A. Def i n i o Seja A nxn e (A). Designa-se por subespao prprio ou subespao invariante associado ao valor prprio , o conjunto { } x Ax x S : ) ( Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.13 Def i n i o A dimenso do subespao prprio S(), designa-se por multiplicidadegeomtrica do valor prprio . Mult iplicidade Geomt rica Mult iplicidade Algbrica Def i n i o Diz-se que um valor prprio defeituoso sseMultiplicidade geomtrica < multiplicidade algbrica. Def i n i o Uma matriz que possui um valor prprio defeituoso diz-se que uma matriz defeituosa. Sensibilidade de uma matrizAnalisa-seatravsdacomparaoentreaperturbaesassociadasaos valores prprios e aos vectores prprios da matriz. Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.14 Ex em p l o Mostrar a sensibilidade dos pares prprios de matrizes a pequenas perturbaes nos coeficientes 1]1

1 00 1A matriz dada 1]1

0 0 E matriz das perturbaes Matriz A w Valores prprios:1 (multiplicidade 2) w Vectores prprios: Matriz A+E w Valores prprios:1e1+ w Vectores prprios: 1]1

+ 2 21e1]1

01 Concluso Enquantoosvaloresprpriosvariampouco,aprimeirovectorpode assumirqualquerdireco(desdequeseescolhamvalores adequados parae . Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.15 6.4Revises: S e ja mZ =x + yi nmero complexo A matriz __Z =x - yi Conjugado de de Z __A Matriz conjugada de A; Os seus elementos so os conjugados dos elementos de A A* =(__A )T= ) (TA Matriztransconjugada ou associada de A a transposta da conjugada de A X* =(__X )T= ) (TX o transposto do conjugado de X Pr op r i e d a d e s(A*)* = A (AB)* = B*A* Def i n i o Sejam x e y dois vectores de n. O produto interno de x e y dado por:x y = y* x A norma de x dada por:(x* x)1/2 Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.16 Pr op r i e d a d e sDois vectores dizem-se ortogonaisssex y =0 Def i n i o Seja A IRnxn. A diz-se simtrica se AT = A. A diz-se anti-simtrica se -AT = A. Def i n i o Seja A nxn. A diz-se hermitiana se A* = A. A diz-se anti-hermitiana se -A* = A. Not a: hermitiana hermt ica; anti hemi. Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.17 6.5 Normas Def i n i o Seja A IRmxn . Ento:

,_

m1 iijn j 11a max A

,_

n1 jijm i 1a max A Res u m i n d o1A mximo de entre os somatrios dos valores absolutos das colunas A mximo de entre os somatrios dos valores absolutos das linhas Def i n i o Seja X IRn . Ento: niix11Xxi m i 1max X niix122XAnlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.18 6.6Conceitos GeraisDef i n i o Uma matriz A nxn hermitiana diz-se: w Definida positiva se x*A x > 0 w Definida semipositiva se x*A x 0 w Definida negativa se x*A x < 0 w Definida seminegativa se x*A x 0 Def i n i oUma matriz A nxn diz-se unitria se A*A = I Def i n i oUma matriz A IRnxn diz-se ortogonal se ATA = I Te or e m aSeja A nxn uma matriz hermitiana. Ento os seus valores prprios so reais.Se alm disso, w A for definida semipositiva os seus valores prprios so no-negativos; w A for definida positiva os seus valores prprios so positivos.Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.19 Te or e m aSeja A nxn uma matriz invertvel e (, x) um seu par prprio.Ento, 0e (-1, x) um par prprio de A-1. Te or e m aSeja A nxn e (, x) um seu par prprio. Ento ;) ), ( () , () , (x pxxm um par prprio de' p polinmiop(A)IN m A

m A Def i n i oUma matriz A nxn diz-se triangular superior por blocos se puder ser particionada na forma 1111]1

mmnnAA AA A AA... 0 0... ... ... ...... 0...2 221 12 11 em que os blocos diagonais so matrizes quadradas. Se os blocos forem de ordem no superior a 2, diz-se que A uma matriz quase triangular. Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.20 Te or e m aO espectro de uma matriz triangular por blocos a unio dos espectros dos seus blocos diagonais, i.e.,UmiiiA A1) ( ) ( Te or e m aSejamx1,x2,.,xkvectoresprpriosdamatrizA nxnassociados a valoresdistintos1,2,.,k.Entoestesvaloressolinearmente independentes. Decorre deste teorema que, se uma matriz A nxn possuir n valores prprios distintos,entopossvelextrairdoconjuntodosseusvectoresprpriosum subconjunto que forme uma base de n. Def i n i oNo caso dos vectores prprios se encontrarem nas condies supra-citadas, diz -se que formam um sistema completo . Def i n i oUma matriz A nxn diz-se diagonalizvel se existir uma matriz X nxn, invertvel tal queX-1AXseja diagonal. Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.21 Te or e m aUma matriz A nxn no defeituosa sse for diagonalizvel. Te or e m a Seja A nxn uma matriz hermitiana. Ento, os respectivos vectores prprios associados a valores prprios distintos so ortogonais. 6 . 6 . 1 De c ompos i o Es pe c t r a l deu mama t r i zSe A for no-defeituosa, tem-se: A = X-1AX Ou seja: [ ] [ ]nnn n nnnnnx x xa a aa a aa a ax x x ......... ... ... ............... 0 0... ... ... ...0 ... 00 ... 02 12 12 22 211 12 111 -2 1211111]1

1111]1

em que : ivalores prprios de A Xivectores prprios de A, correspondentes aos valores prprios i, respectivamente Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.22 6.7Matrizes Semelhantes Def i n i oUma matriz A nxn diz-se semelhante ou similar a uma matri z B nxn se existir uma matriz P nxn, invertvel tal que B= P-1AP. matriz P d-se o nome de transformao de semelhana ou similaridade. Te or e m a Sejam A e B nxn matrizes semelhantes. Ento, (, x) um par prprio de A sse (, P-1x) for um par prprio de B. Te or e m a As matrizes semelhantes possuem o mesmo polinmio caracterstico. Te or e m a Seja A nxn e hermitiana. Ento: w A definida semipositiva sse os seus valores prprios forem no-negativos; w A definida positiva sse os seus valores prprios forem positivos; Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.23 Te or e m a Uma matriz A nxn diz-se normal se AAH=AHA. Teor em a d eCa y l ey -Ha m i l t onSeja A nxn e pA = |A-I|=a0+a1 (-)+...+an-1 (-)n-1+(-)n o seu polinmio caracterstico. Ento pA(A)=0, ou seja,p(A) = a0I+a1 (-A)+...+an-1 (-A)n-1+(-A)n=0 6.8 Localizao dos valores prprios Te or e m a (Ge r s h gor i n ) Sejam A nxn , Gi o crculo (no plano complexo) centrado em aii e de raio ni jjij ia r1,por vezes designado por crculo de Gershgorin , eUniiA1) ( G G, a regio de Gershgorin. Ento, todos os valores prprios de A esto contidos no domnio G(A), ou seja, ) ( ) ( A A G . Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.24 6.9Mtodo das Potncias Suponhamos que os valores prprios de A nxn, esto ordenados da forma n .....2 1 6 . 9 . 1 M t od o d a sPot n c i a sDi r e c t a sEste mtodo permite gerar uma sucesso de pares prprios ((m), X(m)), que converge para o par prprio (1, X1). Seja A com n direces prprias linearmente independentes X1, X2, , Xn.Escolhendo iniiX a X1) 0 (, onde ai so escalares arbitrrios, tem-se Not aa) Este algoritmo pressupe que: w 1 dominante, i. e., 2 1 w a10 b) O mtodo converge mais rapidamente, quanto mais dominante for 1 Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.25 Al gor i t m o Escolher x (0) tal que ||x (0)||=1, e a10 Estipular uma tolerncia ) 0 ( ) 1 (Ax y Para m = 1, 2, .faz 2) ( ) ( ) ( m m my y x ) ( ) 1 ( m mAx y + ) 1 ( ) 1 ( ) () (+ +m H m my x Terminar quando ) ( ) 1 ( ) ( m m m < 6 . 9 . 1 . 1 Con ve r g n c i ad o M t od o m12 Anlise NumricaValores e Vectores Prprios Madalena Ribeiro6.26 6 . 9 . 2 Tr a n s la e sEs p e c t r a i sDef i n i oDesigna-seport r a n s l a oes p ect r a l oum u d a n a d eor i gem operao que consiste em calcular os valores prprios deA-p I, em vez dos valores prprios de A. Obje c t i voAcelerao do mtodo das potncias directas por translaes espectrais Ex em p l o Seja A IR4x4 { } 11 , 12 , 13 , 14 ) ( A A taxa de convergncia 93 . 0141312 Muito prximo de 1; convergncia muito lenta Efectuando a translao espectral (p=12) { } 0 1, - , 1 , 2 ) ( pI A A taxa de convergncia 5 . 02112 Valor bem mais favorvel !!!