valores y vectores propios polinomio característico

Valores y vectores propiosPolinomio característico

Jana Rodriguez Hertz

IMERL

10/08/2010

valores y vectores propios polinomio característico

definición

valor propio asociado a T

definición (valor propio / vector propio)

T : V → V operador linealλ ∈ K tal queT (v) = λv

con v 6= 0

λ valor propio asociado a Tv vector propio asociado a λ

valores y vectores propios polinomio característico

definición

valor propio asociado a T

definición (valor propio / vector propio)T : V → V operador lineal

λ ∈ K tal queT (v) = λv

con v 6= 0

λ valor propio asociado a Tv vector propio asociado a λ

valores y vectores propios polinomio característico

definición

valor propio asociado a T

definición (valor propio / vector propio)T : V → V operador linealλ ∈ K tal que

T (v) = λv

con v 6= 0

λ valor propio asociado a Tv vector propio asociado a λ

valores y vectores propios polinomio característico

definición

valor propio asociado a T

definición (valor propio / vector propio)T : V → V operador linealλ ∈ K tal queT (v) = λv con v 6= 0

λ valor propio asociado a Tv vector propio asociado a λ

valores y vectores propios polinomio característico

definición

valor propio asociado a T

definición (valor propio / vector propio)T : V → V operador linealλ ∈ K tal queT (v) = λv con v 6= 0λ valor propio asociado a T

v vector propio asociado a λ

valores y vectores propios polinomio característico

definición

valor propio asociado a T

definición (valor propio / vector propio)T : V → V operador linealλ ∈ K tal queT (v) = λv con v 6= 0

λ valor propio asociado a T

v vector propio asociado a λ

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo (derivada)

D : C∞(R)→ C∞(R) tal queDf = f ′

f (x) = ceαx vector propio asociado al valor propio α ∈ R

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo (derivada)D : C∞(R)→ C∞(R) tal que

Df = f ′

f (x) = ceαx vector propio asociado al valor propio α ∈ R

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo (derivada)D : C∞(R)→ C∞(R) tal queDf = f ′

f (x) = ceαx vector propio asociado al valor propio α ∈ R

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo (derivada)D : C∞(R)→ C∞(R) tal queDf = f ′

f (x) = ceαx vector propio asociado al valor propio α ∈ R

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo (rotación en el plano)

Rθ

(xy

)=

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)(xy

)con θ 6= kπ

no tiene valores propios en R

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo (rotación en el plano)

Rθ

(xy

)=

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)(xy

)con θ 6= kπ

no tiene valores propios en R

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo (rotación en el plano)

Rθ

(xy

)=

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)(xy

)con θ 6= kπ

no tiene valores propios en R

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 4

ejemplo (proyección sobre un plano)

P : R3 → R3 tal queP proyección sobre el plano xyvalores propios: {0,1}S0 = {eje z}S1 = {plano xy}

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 4

ejemplo (proyección sobre un plano)

P : R3 → R3 tal que

P proyección sobre el plano xyvalores propios: {0,1}S0 = {eje z}S1 = {plano xy}

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 4

ejemplo (proyección sobre un plano)

P : R3 → R3 tal queP proyección sobre el plano xy

valores propios: {0,1}S0 = {eje z}S1 = {plano xy}

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 4

ejemplo (proyección sobre un plano)

P : R3 → R3 tal queP proyección sobre el plano xyvalores propios: {0,1}

S0 = {eje z}S1 = {plano xy}

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 4

ejemplo (proyección sobre un plano)

P : R3 → R3 tal queP proyección sobre el plano xyvalores propios: {0,1}S0 = {eje z}

S1 = {plano xy}

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplos

ejemplo 4

ejemplo (proyección sobre un plano)

P : R3 → R3 tal queP proyección sobre el plano xyvalores propios: {0,1}S0 = {eje z}S1 = {plano xy}

valores y vectores propios polinomio característico

subespacio propio

definición (subespacio propio)

T : V → V operador linealλ ∈ K valor propio asociado a T

Sλ = {v ∈ V : T (v) = λv}

subespacio propio asociado a λ

valores y vectores propios polinomio característico

subespacio propio

definición (subespacio propio)T : V → V operador lineal

λ ∈ K valor propio asociado a T

Sλ = {v ∈ V : T (v) = λv}

subespacio propio asociado a λ

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subespacio propio

definición (subespacio propio)T : V → V operador linealλ ∈ K valor propio asociado a T

Sλ = {v ∈ V : T (v) = λv}

subespacio propio asociado a λ

valores y vectores propios polinomio característico

subespacio propio

definición (subespacio propio)T : V → V operador linealλ ∈ K valor propio asociado a T

Sλ = {v ∈ V : T (v) = λv}

subespacio propio asociado a λ

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subespacio propio

propiedad

proposición

Sλ s.e.v. de V

Sλ = ker(T − λI)

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subespacio propio

propiedad

proposiciónSλ s.e.v. de V

Sλ = ker(T − λI)

valores y vectores propios polinomio característico

subespacio propio

propiedad

proposiciónSλ s.e.v. de V

Sλ = ker(T − λI)

valores y vectores propios polinomio característico

subespacio propio

observación

suponemos de ahora en más dim V = n

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

proposición

proposición (cálculo de vep)

T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔

coordB(v) solución no trivial de

(A− λI)x = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

proposición

proposición (cálculo de vep)T : V → V operador lineal

B baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔

coordB(v) solución no trivial de

(A− λI)x = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

proposición

proposición (cálculo de vep)T : V → V operador linealB base

A =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔

coordB(v) solución no trivial de

(A− λI)x = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

proposición

proposición (cálculo de vep)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociada

λ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔

coordB(v) solución no trivial de

(A− λI)x = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

proposición

proposición (cálculo de vep)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio

v vep asociado a λ⇔

coordB(v) solución no trivial de

(A− λI)x = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

proposición

proposición (cálculo de vep)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔

coordB(v) solución no trivial de

(A− λI)x = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

proposición

proposición (cálculo de vep)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔ coordB(v) solución no trivial de

(A− λI)x = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

cálculo de vap y vep

corolario (cálculo de vap)

T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio asociado a T ⇔

det(A− λI) = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

cálculo de vap y vep

corolario (cálculo de vap)T : V → V operador lineal

B baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio asociado a T ⇔

det(A− λI) = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

cálculo de vap y vep

corolario (cálculo de vap)T : V → V operador linealB base

A =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio asociado a T ⇔

det(A− λI) = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

cálculo de vap y vep

corolario (cálculo de vap)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociada

λ ∈ K valor propio asociado a T ⇔

det(A− λI) = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

cálculo de vap y vep

corolario (cálculo de vap)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio asociado a T ⇔

det(A− λI) = 0

valores y vectores propios polinomio característico

cálculo de vap y vep

cálculo de vap y vep

corolario (cálculo de vap)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio asociado a T ⇔

det(A− λI) = 0

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplo

ejemplo

ejemplo

? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:

A =B (T )B =

2 −1 03 2 00 0 1

det(A− λI) = 0⇒ λ = 1(A− I)x = 0⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplo

ejemplo

ejemplo

? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:

A =B (T )B =

2 −1 03 2 00 0 1

det(A− λI) = 0⇒ λ = 1(A− I)x = 0⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplo

ejemplo

ejemplo

? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:

A =B (T )B =

2 −1 03 2 00 0 1

det(A− λI) = 0

⇒ λ = 1(A− I)x = 0⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplo

ejemplo

ejemplo

? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:

A =B (T )B =

2 −1 03 2 00 0 1

det(A− λI) = 0⇒ λ = 1

(A− I)x = 0⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplo

ejemplo

ejemplo

? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:

A =B (T )B =

2 −1 03 2 00 0 1

det(A− λI) = 0⇒ λ = 1(A− I)x = 0

⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}

valores y vectores propios polinomio característico

ejemplo

ejemplo

ejemplo

? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:

A =B (T )B =

2 −1 03 2 00 0 1

det(A− λI) = 0⇒ λ = 1(A− I)x = 0⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}

valores y vectores propios polinomio característico

vap y vep de una matriz

vap y vep de una matriz

definición (valor y vector propio de una matriz)

A ∈Mn(K)

λ ∈ K valor propio de A si det(A− λI) = 0v 6= 0 vector propio de A asociado a λ si

Av = λv

valores y vectores propios polinomio característico

vap y vep de una matriz

vap y vep de una matriz

definición (valor y vector propio de una matriz)A ∈Mn(K)

λ ∈ K valor propio de A si det(A− λI) = 0v 6= 0 vector propio de A asociado a λ si

Av = λv

valores y vectores propios polinomio característico

vap y vep de una matriz

vap y vep de una matriz

definición (valor y vector propio de una matriz)A ∈Mn(K)

λ ∈ K valor propio de A si det(A− λI) = 0

v 6= 0 vector propio de A asociado a λ si

Av = λv

valores y vectores propios polinomio característico

vap y vep de una matriz

vap y vep de una matriz

definición (valor y vector propio de una matriz)A ∈Mn(K)

λ ∈ K valor propio de A si det(A− λI) = 0v 6= 0 vector propio de A asociado a λ si

Av = λv

valores y vectores propios polinomio característico

vap y vep de una matriz

observación

λ ∈ K valor propio de A⇔

λ ∈ K valor propio de TA : Kn → Kn dondeTAx = Ax

valores y vectores propios polinomio característico

vap y vep de una matriz

observación

λ ∈ K valor propio de A⇔λ ∈ K valor propio de TA : Kn → Kn donde

TAx = Ax

valores y vectores propios polinomio característico

vap y vep de una matriz

observación

λ ∈ K valor propio de A⇔λ ∈ K valor propio de TA : Kn → Kn dondeTAx = Ax

valores y vectores propios polinomio característico

previa

propiedad

proposición

A ∈Mn(K)

χA(λ) = det(A− λI)

polinomio en λ de grado n

término independiente de χA(λ)

→ det A

valores y vectores propios polinomio característico

previa

propiedad

proposiciónA ∈Mn(K)

χA(λ) = det(A− λI)

polinomio en λ de grado n

término independiente de χA(λ)

→ det A

valores y vectores propios polinomio característico

previa

propiedad

proposiciónA ∈Mn(K)

χA(λ) = det(A− λI)

polinomio en λ de grado ntérmino independiente de χA(λ)

→ det A

valores y vectores propios polinomio característico

previa

propiedad

proposiciónA ∈Mn(K)

χA(λ) = det(A− λI)

polinomio en λ de grado n

término independiente de χA(λ)

→ det A

valores y vectores propios polinomio característico

previa

propiedad

proposiciónA ∈Mn(K)

χA(λ) = det(A− λI)

polinomio en λ de grado ntérmino independiente de χA(λ)

→ det A

valores y vectores propios polinomio característico

previa

propiedad

proposiciónA ∈Mn(K)

χA(λ) = det(A− λI)

polinomio en λ de grado ntérmino independiente de χA(λ)→ det A

valores y vectores propios polinomio característico

previa

observación

coeficiente de λn → (−1)n

coeficiente de λn−1 → (−1)n−1tr(A)

En particular, si A ∈M2(K)

χA(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A)

valores y vectores propios polinomio característico

previa

observación

coeficiente de λn → (−1)n

coeficiente de λn−1 → (−1)n−1tr(A)

En particular, si A ∈M2(K)

χA(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A)

valores y vectores propios polinomio característico

previa

observación

coeficiente de λn → (−1)n

coeficiente de λn−1 → (−1)n−1tr(A)

En particular, si A ∈M2(K)

χA(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A)

valores y vectores propios polinomio característico

previa

observación

coeficiente de λn → (−1)n

coeficiente de λn−1 → (−1)n−1tr(A)

En particular, si A ∈M2(K)

χA(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A)

valores y vectores propios polinomio característico

previa

observación

coeficiente de λn → (−1)n

coeficiente de λn−1 → (−1)n−1tr(A)

En particular, si A ∈M2(K)

χA(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A)

valores y vectores propios polinomio característico

polinomio característico

polinomio característico

definición (polinomio característico)

polinomio característico de A ∈Mn(K):

χA(λ) = det(A− λI)

ecuación característica de A:

χA(λ) = det(A− λI) = 0

raíces características de A:

soluciones de la ecuación característica de A

valores y vectores propios polinomio característico

polinomio característico

polinomio característico

definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):

χA(λ) = det(A− λI)

ecuación característica de A:

χA(λ) = det(A− λI) = 0

raíces características de A:

soluciones de la ecuación característica de A

valores y vectores propios polinomio característico

polinomio característico

polinomio característico

definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):

χA(λ) = det(A− λI)

ecuación característica de A:

χA(λ) = det(A− λI) = 0

raíces características de A:

soluciones de la ecuación característica de A

valores y vectores propios polinomio característico

polinomio característico

polinomio característico

definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):

χA(λ) = det(A− λI)

ecuación característica de A:

χA(λ) = det(A− λI) = 0

raíces características de A:

soluciones de la ecuación característica de A

valores y vectores propios polinomio característico

polinomio característico

polinomio característico

definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):

χA(λ) = det(A− λI)

ecuación característica de A:

χA(λ) = det(A− λI) = 0

raíces características de A:

soluciones de la ecuación característica de A

valores y vectores propios polinomio característico

polinomio característico

polinomio característico

definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):

χA(λ) = det(A− λI)

ecuación característica de A:

χA(λ) = det(A− λI) = 0

raíces características de A:

soluciones de la ecuación característica de A

valores y vectores propios polinomio característico

polinomio característico

polinomio característico

definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):

χA(λ) = det(A− λI)

ecuación característica de A:

χA(λ) = det(A− λI) = 0

raíces características de A:soluciones de la ecuación característica de A

valores y vectores propios polinomio característico

propiedades

matrices semejantes

proposición (matrices semejantes)

A,B ∈Mn(K) matrices semejantesentonces

χA(λ) = χB(λ)

en particular, tienen los mismos valores propios, con =multiplicidad

valores y vectores propios polinomio característico

propiedades

matrices semejantes

proposición (matrices semejantes)A,B ∈Mn(K) matrices semejantes

entoncesχA(λ) = χB(λ)

en particular, tienen los mismos valores propios, con =multiplicidad

valores y vectores propios polinomio característico

propiedades

matrices semejantes

proposición (matrices semejantes)A,B ∈Mn(K) matrices semejantesentonces

χA(λ) = χB(λ)

en particular, tienen los mismos valores propios, con =multiplicidad

valores y vectores propios polinomio característico

propiedades

matrices semejantes

proposición (matrices semejantes)A,B ∈Mn(K) matrices semejantesentonces

χA(λ) = χB(λ)

en particular, tienen los mismos valores propios, con =multiplicidad

valores y vectores propios polinomio característico

polinomio característico de una transformación lineal

polinomio característico de una transformación lineal

definición (polinomio característico de T )

T : V → V operador linealpolinomio característico de T , χT (λ)

es el polinomio de cualquier matriz asociada a T

valores y vectores propios polinomio característico

polinomio característico de una transformación lineal

polinomio característico de una transformación lineal

definición (polinomio característico de T )T : V → V operador lineal

polinomio característico de T , χT (λ)

es el polinomio de cualquier matriz asociada a T

valores y vectores propios polinomio característico

polinomio característico de una transformación lineal

polinomio característico de una transformación lineal

definición (polinomio característico de T )T : V → V operador linealpolinomio característico de T , χT (λ)

es el polinomio de cualquier matriz asociada a T

valores y vectores propios polinomio característico

polinomio característico de una transformación lineal

polinomio característico de una transformación lineal

definición (polinomio característico de T )T : V → V operador linealpolinomio característico de T , χT (λ)

es el polinomio de cualquier matriz asociada a T