Problemas Cap 3 Todos

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Exercícios resolvidos do cap. 3 Sakurai -Mec. Quantica

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Problema 3.1 Encontre os autovalores e os autovetores de y = i 0 i . Suponha que o 0

eltron est no estado de spin . Se S y medido, qual a probabilidade do resultado2

?

Soluo: O vetor de estado pode ser escrito como: = a + b =

........................................................................................................................... Lembre-se: = a' a' = a a + b b a'

...........................................................................................................................

........................................................................................................................... Lembre-se: + = .

(3.2.27a)

+ =

(3.2.28)

...........................................................................................................................

Para os autovalores temos:det ( y I ) = 0

1

........................................................................................................................... Lembre-se:Sy = 0 i . 2i 0

(1.4.18b)

Portanto:Sy = y. 2

...........................................................................................................................

Temos ainda que:y = i 0 i o

0 I = 0

Substituindo, temos: 0 i 0 det = 0 i 0 0 det i i = 0

2 + i2 = 0

Os autovalores so:1 = 1

e

2 = 1

2

Para os autovetores, temos:y =

(

y

) = 0

Substituindo, temos: i i = 0

i = 0 i = 0 i = 0

=

i

De acordo com a condio de normalizao, temos: + =1.2 2

3

Substituindo, temos: i2

+ =12

2 + 2 =1 2 2 + 2 2 = 2 2 (1 + 2 ) = 2 2 = (1 + 2 )2

2 =

2 (1 + 2 )

Para , temos:2 = (1 + 2 )i

Substituindo = 1 , temos:=i 2 1 2

=

4

Substituindo = 1 , temos: =i 2

=

1 2

Portanto,+ =1 i 21

=1

+ = = +1

e =1 i 2 1

= 1

= = 1

........................................................................................................................... Lembre-se: y + = ( = +1) + y = ( = 1)

........................................................................................................................... Imagine que o sistema esta em um estado . Qual a probabilidade ou amplitude de transio para o sistema ser achado em + quando S y medido? A probabilidade de que o eltron esteja no estado de spin = , se S y medido, pode ser escrita como:P = + Sy 2

.

5

Temos ainda que:S y=0 i 2i 0

Substituindo, 0 i 1 P= ( i 1) 2 i 0 2 P= ( i 1) 2 2 2 2

temos a probabilidade de que o eltron seja achado em + com autovalor + / 2 quando S y medido:P=

2 22

( i + )2

2

.P=8

i +

6

Problema 3.10 a. Prove que a evoluo temporal do operador densidade (no quadro de Schrdinger) dado por (t ) = U (t , t0 ) (t0 )U (t , t0 ) .

b. Suponha que ns temos um conjunto puro em t = 0 . Prove que ele no pode evoluir em um conjunto misto quando a evoluo temporal governada pela equao de Schrdinger.

Soluo: a. O operador densidade definido por: = wi (i ) (i ) .i

Para acharmos a evoluo temporal de devemos evoluir os kets e os brs destes estados: (i ) , t0 ; t = U (t , t0 ) (i ).

(i ) , t0 ; t = (i ) U (t , t0 )

Substituindo, temos: (t ) = wi (i ) , t0 ; t (i ) , t0 ; ti

(t ) = wU (t , t0 ) (i ) (i ) U (t , t0 ) ii

(t ) = U (t , t0 ) wi (i ) (i ) U (t , t0 ) (t ) = U (t , t0 ) ( t0 ) U (t , t0 )

i

1

b. A funo densidade para o estado puro pode ser escrito como:= .

Do item (a), temos que: (t ) = U (t , t0 ) ( t0 )U (t , t0 ) (t ) = U (t , t0 ) U (t , t0 ) (t ) = , t0 ; t , t0 ; t

A expresso acima ainda est mostrando que este um estado puro. Podemos checar esta afirmao. 2 (t ) = , t0 ; t , t0 ; t , t0 ; t , t0 ; t 2 (t ) = , t0 ; t , t0 ; t 2 (t ) = (t )

eTr (t ) = 1

2

Problema 3.11 Considere um conjunto de sistemas de spin 1 . A matriz densidade agora uma matriz 3 3 . Quantos parmetros reais independentes so necessrios para caracterizar a matriz densidade? O que ns devemos conhecer em adio a [ S x ] , S y e [ S z ] para caracterizar o conjunto completamente?

Soluo : Da equao (3.4.9),b' ' b' = wi b' ' (i ) ( i ) b' ,i

(1)

podemos escrever a matriz densidade comoa b = b * d c* e* c e. f

(2)

Como a matriz densidade Hermitiana, = + ,

(3)

temos que a , d e f so reais, enquanto b , c e e devem ser complexos. Portanto, devemos ter uma matriz da forma:a = b* = b1 ib2 c* = c ic 1 2 b = b1 + ib2 d e* = e1 ie2 c = c1 + ic 2 e = e1 + ie2 . f

(4)

Logo, temos 9 variveis independentes: a , d , f , b1 , b2 , c1 , c 2 , e1 e e2 . No entanto, temos ainda da equao (3.4.11),Tr = 1 ,

(5)

1

ou seja,a + d + f = 1.

(6)

Portanto, 8 parmetros independentes so necessrios para caracterizar a matriz densidade. Se conhecermos [S x ] , [S y ] e [S z ] , ento necessitaremos de apenas 5 quantidade independentes. ........................................................................................................................... Problema 3.9: = c d . a b

A mdia de um conjunto de um operador A

[A] = Tr [A] .Calculando os valores mdios:

[S x ] =

a b 0 1 b = Tr Tr 2 c d 1 0 2 d

a = (b + c ) c 2

[S ] = 2 Tr a cy

b 0 i ib i 0 = 2 Tr id d

ia i = (b c ) ic 2

[S z ] =

a b 1 0 a b = (a d ) = Tr Tr 2 c d 0 1 2 c d 2

...........................................................................................................................

2

Para [S x ] , [S y ] e [S z ] , temos:a b [S x ] = tr b * d c * e *

[S x ] = [S x ] = [S x ] = [S x ] =

c 0 1 0 1 0 1 e 2 0 1 0 f a+c b b d b * +e d tr 2 e * c * + f e * 2 2 (b + b * + e + e*) (2b1 + 2e1 )

(7)

2 (b1 + e1 )

........................................................................................................................... Lembre-se: Para sistemas de spin 1 as matrizes S x , S y e S z so: 0 1 0 1 0 1 2 0 1 0 0 i 0 i 0 i 2 0 0 i

Sx =

Sy =

1 0 0 Sz = 0 0 0 0 0 1

...........................................................................................................................

3

[S ]y

a b = tr b * d c * e *

[S ] =y

c 0 i 0 i 0 i e 2 0 i f 0 ib ia + ic ib tr id ib * +ie id 2 ie * ic * +if ie * (ib ib * +ie ie*) (b1 + e1 ) 2 (b1 + e1 )

[S ] =y

[S ] =y y

2 i 2 2

(8)

[S ] = i

a b [S z ] = tr b * d c * e *

c 1 0 0 e 0 0 0 f 0 0 1 a 0 c [S z ] = tr b * 0 e c * 0 f [S z ] = (a f )

(9)

[S z ] = [(a1 f1 ) + i(a 2 f 2 )]

As outras quantidades necessrias so:

[S S ], [S S ], [S , S ], [S ] e [S ].x y y zz x

2 x

2 y

(10)

Podemos calcular estas quantidades utilizando a equao (3.4.10):

[A] = trA .

(11)

4

Para o caso de [S x S y ], temos:

[S S ]x y

a b = tr b * d c * e * a tr b * 2 c * ia + ic 2 ib * +ie 2 ic * +if2 2

c e f b d

0 1 0 0 i 0 1 0 1 i 0 i 0 1 0 2 0 i 0

[S S ] =x y

[S S ] =x y

c i 0 i e 0 0 0 e * f i 0 i 0 ia ic 0 ib * ie 0 ic * if

.

(12)

[S S ] =x y

22

(ia + ic + 0 ic * if ) (ia1 a 2 + ic1 c 2 ic1 c 2 if 1 + f 2 )

[S S ] =x y

2

Para o caso de [S y S z ], temos:

[

a b S y S z = tr b * d c * e *

]

c 0 i 0 1 0 0 e i 0 i 0 0 0 2 0 0 0 1 f 0 i

[S S ] =y z

a b c 0 0 0 tr b * d e i 0 i 2 c * e * f 0 0 0 2

[S S ] =y z

ib 0 ib id 0 id 2 ie * 0 ie * 2 2

(13)

[S S ] =y z

22

(ib + ie*) (ib1 b2 + ie1 + e2 )

[S S ] =y z

2

5

Para o caso de [S z S x ], temos: a b [S z S x ] = tr b * d c * e * c e f 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 1 0

[S z S x ] = [S z S x ] = [S z S x ] = [S z S x ] =

a b c 0 1 0 tr b * d e 0 0 0 2 c * e * f 0 1 0 0 a c 0 2 0 b * e 0 2 0 c * f 02 2

(14)

22

(b * e) (b1 ib2 e1 ie2 )

2

Para o caso de [S x2 ], temos:

[S ]2 x

[S ]2 x

[S ]2 x 2 x

a b c 0 1 0 0 1 0 = tr b * d e 1 0 1 1 0 1 c * e * f 2 0 1 0 2 0 1 0 a b c 1 0 1 2 = tr b * d e 0 2 0 2 c * e * f 1 0 1 2b a+c a+c 2 = b * + e 2d b * + e 2 c * + f 2e * c * + f 2

[S ] = [S ] =2 x 2 x

22

( a + c + 2d + c * + f ) (a1 + ia 2 + c1 + ic 2 + 2d1 + i 2d 2 + c1 ic 2 + f1 if 2 )1

22

[S ] = 2 [(a

+ 2c1 + 2d 1 + f1 ) + i (a 2 + 2d 2 f 2 )]

.

(15)

6

Para o caso de [S y2 ], temos:

[S ]2 y

a b c 0 i 0 0 i 0 = tr b * d e i 0 i i 0 i 2 c * e * f 2 0 i 0 0 0 i 2

[S ]2 y

[S ]2 y 2 y

a b c 1 0 1 = tr b * d e 0 2 0 2 c * e * f 1 0 1 a+c 2b ac