Unidad II

Mecánica de Fluidos

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II. ESTATICA DE LOS FLUIDOS ó

HIDROSTATICA

2.1 Hidrostática

Estudia los fluidos en reposo es decir en las que no existe el movimiento ó desplazamiento

de una masa líquida ó capa de fluido con relación a la adyacente, por lo tanto no existen

esfuerzos cortantes en el fluido (τ), sino solamente tensiones ó esfuerzos normales a las

superficies (n). Ej: Presión. La única fuerza interna es debida a la fuerza de gravedad.

2.2 Gradiente de Presión

El gradiente de presión P en un punto es la derivada direccional, tomada en la dirección

en que P varía más rápidamente. Matemáticamente es la relación que nos indica la

variación de la presión con respecto a las coordenadas de un determinado sistema:

2.3 Ecuación Básica de la Hidrostática

Fuerzas que actúan sobre las Partículas de un Fluido:

Se dividen en:

Fuerzas Superficiales : Fuerzas de presión debido al contacto directo con otras

partículas fluidas o paredes sólidas, dirigidas normalmente

hacia el área sobre la cual actúan (n), así como las fuerzas de

rozamiento interno que son tangenciales ().

Fuerzas de Masa ó Actúan sobre las partículas de fluido a distancia, son las

fuerzas internas : fuerzas de gravedad y las de inercia. Las fuerzas de masa se

caracterizan por las aceleraciones que ellas comunican a la

unidad de masa. ga , .

Considerando un elemento de fluido con aristas dx,dy,dz, en reposo con respecto a un

sistema coordenado rectangular :

)1.2(ˆˆˆ kdz

Pj

dy

Pi

x

PP

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a) Fuerzas Másicas : FM

a : aceleración del sistema coordenado

g : aceleración gravitacional

ge: aceleración efectiva, ge = (g -a)

dm: diferencial de masa

gdm = fuerza del campo gravitacional

adm = fuerza del cuerpo

(g -a) dm = fuerza neta que actúa sobre el elemento

Si el sistema no tiene aceleración a = o ge = g

b) Fuerzas Superficiales (FS)

Sea P la presión ejercida sobre el centro de gravedad del volumen V, suponiendo que la

presión varía en función de X, Y y Z , entonces:

yxz

z

PP

2

zxy

y

PP

2 zx

y

y

PP

2

xyz

z

PP

2

Fig 2.2 Fuerzas de Presión sobre un elemento de fluido V

Entonces las Fuerzas de Superficie que actúan sobre el cubo V, son:

dmadmgFM

dmagF m )2.2( dgdmgF eem

Fig 2.1

dz

dx

dy

Y

X

Z

Y

X

Z

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Cara Fuerzas Superficiales

Por estar en equilibrio oFFF SM

De (2.2) y (2.3):

Ecuación Básica de la Hidrostática

Fluidos de densidad constante en un campo gravitacional

Supongamos un fluido con = cte. (flujo incompresible) en reposo respecto a un sistema

coordenado rectangular de referencia )0( a .

De la Ecuación Básica de la Hidrostática: kggkdZ

Pj

dy

Pi

x

Pe

ˆˆˆˆ

P no varía en las direcciones X, Y sólo en Z: gdZ

dp

(2.4.1)

Integrando y haciendo P = Po para Z = Zo : zozgPoP (2.5)

kgg eˆ

egP 0 dPdgF e

jdxdzdy

y

PPDerecha ˆ

2

jdxdzdy

y

PPIzquierda ˆ

2

idydzdx

x

PPAnterior ˆ

2

idydzdx

x

PPPosterior ˆ

2

kdxdydz

z

PPSuperior ˆ

2

zyxkdz

Pj

y

Pi

x

PFSuperficie

ˆˆˆ

)3.2()( VPzyxPFSuperficie

kdxdydz

z

PPInferior ˆ

2

(2.4)

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2.4 Manometría

Es la técnica de medición de presiones, usando el principio de igual nivel igual presión,

por medio de un manómetro ó un barómetro.

De la ec.(2.5) se puede concluir que: para una presión de referencia fija Po y un valor

dado Zo, tanto la presión como la carga piezométrica son constantes en todo el fluido. La

Presión depende únicamente de Z, para Z = cte. hay líneas de presión constantes.

Si h = - (Z - Zo) profundidad del fluido por debajo del nivel de referencia Zo

(Ej : Superficie de laguna o tanque)

hghPoP , Pman = h (2.6) oman PPP

Pabs = Pman + Patm ... (2.7)

Unidades: N/m2, Pa, lbf/pulg

2

PRESION ABSOLUTA O PRESION TOTAL (Pabs): Presión que se mide en relación con el

vacío perfecto. Es la suma de la presión relativa y la presión atmosférica.

PRESION MANOMETRICA ó RELATIVA (Pman): Presión que se mide teniendo como

presión de referencia a la presión atmosférica.

PRESION ATMOSFERICA ó BAROMETRICA (Patm): Es la presión que ejerce el aire

atmosférico y es igual al peso del aire entre el área sobre el cual actúa.

MANÓMETROS

Miden presiones relativas con respecto a un origen arbitrio que generalmente es la

relación atmosférica (Pman).

Utilizan la relación que existe entre un cambio de presión y un cambio de elevación en un

fluido estático.

De la ec. (2.6): Pman = h

El tipo elemental de estos aparatos es el denominado tubo piezométrico, que consta de un

simple tubo abierto, el cual se conecta por el extremo inferior del recipiente que contiene el

líquido cuya presión se desea conocer.

A B C

Fig 2.3

Línea de Presión

constante

PA = PB = PC

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El líquido llena parcialmente el tubo hasta alcanzar cierto nivel (1-1). La presión absoluta

en A se deduce aplicando la ecuación:

La altura h se denomina ALTURA PIEZOMETRICA. Los piezómetros sirven para medir

presiones en tuberías con líquido en movimiento.

Para medir presiones comparativamente altas se emplean manómetros con líquido de peso

específico elevado a fin de evitar que la columna manométrica alcance una altura

exagerada.

MANOMETROS ABIERTOS: Se utilizan para medir presiones mayores y menores que la

atmosférica. Deben ser de rama invertida.

Sea el recipiente mostrado en el gráfico, lleno con un líquido sometido a presión, al que se

le ha conectado un manómetro de mercurio. Podemos aplicar:

nivelmismoeltenerPorPP CB

Por tanto:

hPPc matm

1hPP AB

hhPP matmA 1

absolutaesiónhPatmPA Pr

Fig 2.4

Manómetro Abierto

Fig 2.5

Manómetro Abierto

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MANOMETROS DIFERENCIALES: Son manómetros cuya finalidad es determinar la

diferencia de presiones entre dos fluidos.

Para establecer la diferencia de presión que existe entre A y E se aplica el criterio general:

DC PP

Así: 211 hhPP mAC

32hPP ED

Por lo tanto: 32211 hPhhP EmA

32211 hhhPP mAE

En la que 1 y 2 son los pesos específicos de los líquidos contenidos en los recipientes I y II

y m del líquido manométrico.

Distribución de presión en líquidos homogéneos

Distribución de presión en líquidos no homogéneos

Fig 2.6

Manómetro Diferencial

h P= γh

P= 0

P1= γh1

h1

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2.5 Fuerzas Sobre Superficies Planas

Fig 2.7 Fuerzas sobre superficies planas

Presión: acción de fuerzas distribuidas sobre una superficie finita en contacto con el

fluido.

Fig 2.8 Distribución de Presiones en una compuerta vertical abierta y cerrada

SUPERFICIES HORIZONTALES: Caso (a)

PdAFdAPdF Presión es constante APF

Fuerza es perpendicular a la superficie

Línea de acción de la fuerza resultante es el centro de gravedad (C.G)

Centro de Gravedad del Area ó Centroide: (C.G.)

Punto de equilibrio del área

Momento del área respecto al eje y: xAMy MyA

x1

AxdA

Ax

1 (2.8)

Momento del área respecto al eje y: yAMx MxA

y1

A

ydAA

y1

(2.9)

X y

A

Y Fig 2.9 Centro de Gravedad

x

Fr

Fr

Fr

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SUPERFICIES INCLINADAS: Casos (b y c)

Z

1dAhPdAdF

O

2Senyh

h h y

O de (2) en (1):

A’ yp dASenydF

y 3ydASenF

B’ dA

dy Pero:

A

ydAA

y1

4AyydA

5Senyh

Fig 2.10 Fuerzas sobre superficies inclinadas

de (4) y (5) en (3) :

10.2AySenF AhF 11.2. APF CG

La ecuación (2.11) indica que el módulo de la fuerza ejercida sobre una superficie plana

sumergida en un líquido es el producto del área por la presión en el centro de gravedad del

área (PCG).

La línea de acción de la fuerza resultante, pasa sobre el centro de presión del área CP:

(XP,YP).

Centro de Presión (XP,YP)

Momento de la Fuerza respecto al eje x: FYpM F .

A

dAPYFYp ..

dF

ydFYpódAPy

FYp .

1 (6)

xIsendAysendAysenyhdAyydF 2

(7)

xx IAyI 2 (8)

Y

Y

θ X

xp

Cp CG

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De (7) y (8) en (6):

F

Isen

Aseny

Aysen

F

Isen

F

AysenYp xx

22

F

IsenyYp x (2.12)

Momento de la Fuerza respecto al eje y: FXM pF

Ap dAxPFX ..

A pp

dF

xdFXdAxP

FX .

1 F

IsenxXp

xy (2.13)

Ix: Momento de inercia del área respecto a x

xI : Momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide del área

xyI : producto de inercia respecto al eje que pasa por el centroide del área

2.6 Fuerzas Sobre Superficies Curvas

dAhdF

hCG HV FFF

FV 22

HV FFF (2.14)

F FH cg Fig 2.11 Fuerzas sobre superficies curvas

Fuerza resultante de la presión, se calcula descomponiendo sus componentes horizontal y vertical.

COMPONENTE HORIZONTAL

Equivale al área de proyección de la superficie en el plano vertical normal a la dirección

horizontal, multiplicado por la presión hidrostática a la profundidad del centroide de área

de dicha proyección.

AVH PcAvF * AproyhF CGH (2.15)

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COMPONENTE VERTICAL

Es igual al peso de la columna líquida real o imaginaria que gravita sobre la superficie

que se considera, extendiéndose hasta la superficie libre.

gFv ó vF (2.16)

: Volumen real o imaginario

Fv : actúa a través del C.G. del líquido del imaginario

Fig.2.15 Compuerta Radial

¿Cómo sería el volumen y el sentido de la fuerza vertical a considerar en los

siguientes casos?

Fv

.CG

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2.7 Empuje y Flotación

Principio de Arquímedes: “Un cuerpo sumergido está sujeto a una fuerza hacia arriba

igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo y pasa por el centroide del volumen

desplazado”.

EN UN CUERPO SUMERGIDO

Analizamos las fuerzas sobre un cuerpo sumergido, siendo

γf: peso específico del fluido

FB: Fuerza de flotación = Empuje

A: Sección transversal del cuerpo

Fuerza sobre superficie superior de cuerpo: γf hA

Fuerza sobre superficie inferior de cuerpo: γf (h+e)A

E=FB= γf (h+e)A- γf hA= γf eA = γf

FB = Peso del fluido desplazado = f Por lo tanto: fE ...(2.17)

E: es independiente de la distancia del cuerpo a la superficie

Punto donde actúa el empuje es el centro de empuje: x

Por Teorema de Varignon:

dxxxE

xdx1

...(2.18)

Un cuerpo sólido cuando está dentro

de un fluido puede flotar, quedar en

reposo o hundirse dependiendo de la

densidad relativa del fluido.

Aplicaciones del Principio de Arquímedes

o ¿Fuerza de flotación de aire sobre personas? (ρaire= 1.2 kg/m3)

o Ascenso del aire cálido en un ambiente más frío (fenómeno de convección natural)

o Ascensión de globo con aire caliente, globos con helio.

o Diques reparadores de barcos

E

h

e

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2.7.1 Estabilidad de Flotación

Existen dos clases de estabilidad: Lineal y Rotacional

ESTABILIDAD LINEAL

Se produce cuando un pequeño desplazamiento lineal en cualquier sentido, origina fuerzas

restauradoras (E) que tienden a volver el cuerpo a su posición original

F. aplicada

E. aparece

ESTABILIDAD ROTACIONAL

Se produce cuando un pequeño desplazamiento angular origina un par restaurador.

T aplicado

aparece T restaurador

M: metacentro

GM : altura

Metacéntrica

a) Cuerpo flotante en equilibrio

b) Estabilidad Rotacional de objetos flotantes Centroide de volumen desplazado se mueve hacia la derecha (B’), (G) permanece

inalterable, se crea momento de restitución y regresa cuerpo a posición original. Cuerpo

flotante está en equilibrio si M está sobre G. En barcos balanceo de hasta ± 20°.

c) Cuando G está sobre M se crea un momento de volcadura en lugar de uno de restitución

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2.7.2 Equilibrio Relativo- Fluidos en Movimiento como un

sólido

Se le denomina equilibrio relativo de un líquido porque a pesar de estar en movimiento

debido a una aceleración diferente a la gravedad (ge) se comportan con las mismas

características de un fluido en reposo.

LIQUIDOS CON ACELERACIÓN LINEAL CONSTANTE

z

x y a a

g ge g

sin movimiento sometido a una aceleración a

ge : gravedad efectiva

ge = g + a 22// agg

Los líquidos obtienen inclinación de la superficie libre en una dirección contraria a la a

del recipiente.

* Presión dentro del recipiente:

A A A

t a t h ge g

ge h B

B B

).......(agh

tg

h

t

g

ge

e

Por hidrostática: ).....(bghPP AB

De (a) en (b):

).....(ctgPP

hgh

tPP

eAB

eAB

De la Ecuación (c) se deduce que la presión varia en la dirección de ge, y los planos

paralelos a la superficie son planos de presión constante.

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Decir cuál sería el valor de la presión en B cuando:

* Recipiente asciende verticalmente Recipiente desciende verticalmente

a a

CUERPOS CON ACELERACIÓN VERTICAL Y HORIZONTAL

de la ec. Básica de la Hidrostática: egk

dZ

Pj

dy

Pi

x

P

ˆˆˆ

kagjiag zxeˆ)(ˆ)0(ˆ

La derivada total de la presión es:

dzdz

Pdy

dy

Pdx

x

PdP

tgag

a

dx

dz

isobáricadP

dzagdxadP

z

x

zx

).(sup0

Superficie isobárica: superficie de presión

constante

ϕ: ángulo de inclinación de superficie

isobárica

a a

az

g

ax

a

g- az

ax

ϕ

z

ϕ

B

t

B

t