Algebra - Cap 07

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1. EQUAO GERAL DO PLANOa) oplanodeterminadopor um pontoepor doisvetores.O plano contm o pontoP e paralelo aos vetoresv e v (v no paralelo a v ). Oponto P= (x, y, z) pertencer aoplano se, e somente se, osvetores (P - P ), v e v foremcoplanares:O1 2 1 2O 1 2xyozPPOv1v2LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA Jacir. J. VenturiC A P T U L OO Plano no E3Oplano determinado pelospontos Um ponto ge-nrico P = (x, y, z) pertence ao pla-no se, e somente se, os vetores(P - P ), (P - P ) e (P - P ) foremcoplanares:b) Oplanoindividualizadopor doispontosepor umvetor.c) Oplano definidopor trspontosnocolineares.1 2 1 3 1O plano passante por P eP e paralelo ao vetor v. Umpontogenrico P = (x, y, z) pertence aoplano se, e somente se, os veto-res (P- P ), (P - P ) e v foremcopla-nares:P , Pe P .121 2 31 2 121Ox xll21Ommy y 21Onn z z (I) 0 O yxzP1P2PvP1P2P3Pxy OzDadosP = (x , y , z )v = i + m j + n kv = i + m j + n kO O O O12ll1 1 12 2 2DadosP = (x , y , z )P = (x , y , z )v = i + mj + nk121 1 12 2 2lDadosP = (x , y , z )P = (x , y , z )P = (x , y , z )1231 1 12 2 23 3 3x xx x12 1ly yy ym12 1z zz zn12 1= 0 (II) 1. EQUAOGERALDOPLANOa) oplanodeterminadopor umpontoepor doisvetores.O plano contm o pontoP e paralelo aos vetoresv e v (v no paralelo a v ). Oponto P= (x, y, z) pertencer aoplano se, e somente se, osvetores (P - P ), v e v foremcoplanares:O1 2 1 2O 1 2xyozPPOv1v2LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA Jacir. J. VenturiC A P T U L OO Plano no E3Oplano determinado pelospontos Um ponto ge-nrico P = (x, y, z) pertence ao pla-no se, e somente se, os vetores(P - P ), (P - P ) e (P - P ) foremcoplanares:b) Oplanoindividualizadopor doispontosepor um vetor.c) Oplano definidopor trspontosnocolineares.1 2 1 3 1O plano passante por P eP e paralelo ao vetor v. Umpontogenrico P = (x, y, z) pertence aoplano se, e somente se, os veto-res (P- P ), (P - P ) e v foremcopla-nares:P , Pe P .121 2 31 2 121Ox xll21Ommy y 21Onn z z (I) 0 O yxzP1P2PvP1P2P3Pxy OzDadosP = (x , y , z )v = i + m j + n kv = i + m j + n kO O O O12ll1 1 12 2 2DadosP = (x , y , z )P = (x , y , z )v = i + mj + nk121 1 12 2 2lDadosP = (x , y , z )P = (x , y , z )P = (x , y , z )1231 1 12 2 23 3 3x xx x12 1ly yy ym12 1z zz zn12 1= 0 (II) "No basta destruir o que sobra; necessrio construir o que falta."Annimo.Equaogeral do plano que contmo ponto A=(3, 0, 1) e pa-raleloaos vetores u=(1, 2, 0) e v =(0, 3, 1).Resp.: 2x - y +3z - 9=0Achar a equao do plano que passa pelos pontos P = (1, 2, 3)eQ=(1, 2, 0) etemadireodovetor v =2i +3k.Resp.: y - 2 =0Obter a equao do plano que contmos pontos A = (3, 0, 1),B=(2, 1, 1) eC=(3, 2, 2).Resp.: x +y - 2z - 1=001.02.03.LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA Jacir. J. VenturiA resoluo de cada determinante representado por (I), (II) ou (III)conduz aumaequaolinear atrs variveis:ax + by + cz + d = 0cognominadaequaogeral doplano.Exerccios2. PERTINNCIADEPONTOAPLANO3. INTERSEODEUMPLANOCOMOSEIXOSCOORDENADOSDado um plano de equaoax + by + cz + d = 0 e um pontoP = (x , y , z ), a condio para Ppertencer a :(x , y , z )O O O OO O OOouseja, atripla devesatisfazer equaode .Exemplo:OpontoA=(3, 1, 2) pertenceaoplano : 2x +y - 3z - 1=0.Seja : ax +by +cz +d =0O plano intercepta o eixo dasabscissas no ponto A = (x, 0, 0). Pa-ra se determinar o ponto A bastafazer y =z =0naequaodoplano.O plano intercepta o eixo dasordenadas no ponto B = (0, y, 0). Naequaodoplanofazemos x =z =0.O plano intercepta o eixo das cotas no ponto C = (0, 0, z); paraobtermos suas coordenadas bastafazer x =y =0naequaodoplano.a) Interseocomoeixox.b) Interseocomoeixoy.c) Interseocomoeixoz.POxAByCzx xx xx x12 13 1y yy y12 1y y3 1z zz z12 1z z3 1= 0 (III)a(x ) + b(y ) + c(z ) + d = 0O O O"No basta destruir o que sobra; necessrio construir o que falta."Annimo.Equaogeral do plano que contmo ponto A=(3, 0, 1) e pa-raleloaos vetores u=(1, 2, 0) e v =(0, 3, 1).Resp.: 2x - y +3z - 9=0Achar a equao do plano que passa pelos pontos P = (1, 2, 3)eQ=(1, 2, 0) etemadireodovetor v =2i +3k.Resp.: y - 2 =0Obter a equao do plano que contmos pontos A = (3, 0, 1),B=(2, 1, 1) eC=(3, 2, 2).Resp.: x +y - 2z - 1=001.02.03.LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA Jacir. J. VenturiA resoluo de cada determinante representado por (I), (II) ou (III)conduz aumaequaolinear atrs variveis:ax + by + cz + d = 0cognominadaequaogeral doplano.Exerccios2. PERTINNCIADEPONTOAPLANO3. INTERSEODEUMPLANOCOMOSEIXOSCOORDENADOSDado um plano de equaoax + by + cz + d = 0 e um pontoP = (x , y , z ), a condio para Ppertencer a :(x , y , z )O O O OO O OOouseja, atripla devesatisfazer equaode .Exemplo:OpontoA=(3, 1, 2) pertenceaoplano : 2x +y - 3z - 1=0.Seja : ax +by +cz +d =0O plano intercepta o eixo dasabscissas no ponto A = (x, 0, 0). Pa-ra se determinar o ponto A bastafazer y =z =0naequaodoplano.O plano intercepta o eixo dasordenadas no ponto B = (0, y, 0). Naequaodoplanofazemos x =z =0.O plano intercepta o eixo das cotas no ponto C = (0, 0, z); paraobtermos suas coordenadas bastafazer x =y =0naequaodoplano.a) Interseocomoeixox.b) Interseocomoeixoy.c) Interseocomoeixoz.POxAByCzx xx xx x12 13 1y yy y12 1y y3 1z zz z12 1z z3 1= 0 (III)a(x ) + b(y ) + c(z ) + d = 0O O OLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA Jacir. J. VenturiExemplo:Determinar os pontos de interseo do plano : 4x + 3y - z - 12 = 0comos eixos coordenados.a) Interseocomoeixox.Fazendonulos y ez naequaode :4x - 12=0 x =3 A=(3, 0, 0)b) Interseocomoeixoy.Fazendox =z =0:3y - 12=0 y =4 B=(0, 4, 0)c) Interseocomoeixoz.Fazendox =y =0:- z - 12=0 z =- 12 C=(0, 0, -12)d) Plotagemdoplanonosistemacartesiano: 4. EQUAOSEGMENTRIADOPLANOOplano: ax + by + cz + d = 0 coma . b . c . d 0 corta os eixos car-tesianos em trs pontos distintosP, Q e R, que determinam os trssegmentos OP, OQ e OR. lndi-caremos por p, q e r, respectiva-mente, as medidas desses seg-mentos.Voltemos equaode :Substituindo 1em2:xABC3124 y4x + 3y z 12 = 0zxPQyRzrqpO1c / d - zb / d - ya / d - xou1d -czd -byd -ax) d (- por dividindod - cz by ax + + + + + +1rzqypx + +cdr 0 d cr ) r , 0 , 0 ( Rbdq 0 d bq ) 0 , q , 0 ( Qadp 0 d ap ) 0 , 0 , p ( P + + + 12LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA Jacir. J. VenturiExemplo:Determinar os pontos de interseo do plano : 4x + 3y - z - 12 = 0comos eixos coordenados.a) Interseocomoeixox.Fazendonulos y ez naequaode :4x - 12=0 x =3 A=(3, 0, 0)b) Interseocomoeixoy.Fazendox =z =0:3y - 12=0 y =4 B=(0, 4, 0)c) Interseocomoeixoz.Fazendox =y =0:- z - 12=0 z =- 12 C=(0, 0, -12)d) Plotagemdoplanonosistemacartesiano: 4. EQUAOSEGMENTRIADOPLANOOplano: ax + by + cz + d = 0 coma . b . c . d 0 corta os eixos car-tesianos em trs pontos distintosP, Q e R, que determinam os trssegmentos OP, OQ e OR. lndi-caremos por p, q e r, respectiva-mente, as medidas desses seg-mentos.Voltemos equaode :Substituindo 1em2:xABC3124 y4x + 3y z 12 = 0zxPQyRzrqpO1c / d - zb / d - ya / d - xou1d -czd -byd -ax) d (- por dividindod - cz by ax + + + + + +1rzqypx + +cdr 0 d cr ) r , 0 , 0 ( Rbdq 0 d bq ) 0 , q , 0 ( Qadp 0 d ap ) 0 , 0 , p ( P + + + 12"Quem aos 20 anos no de esquerda, no tem corao;quem continua sendo aos 40, no tem cabea."Autoria incerta.Obter a equaosegmentriadoplano : 2x +3y - 4z - 24=0.Resp.:Obter os pontos de interseo do plano x + 2y - 4z + 5 = 0 comos eixos coordenados.Resp.: 01.02.denominada do plano, por interceptar os eixos x, yez em segmentos p, qer.Exemplo:Obter aequaosegmentriadoplano4x - 3y +2z - 12=0.Soluo:a) planodado4x - 3y +2z =12equao segmentria16z4 -y3x + +LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA Jacir. J. Venturiz6yO3x4ou 112z 212y 312x 4 + Exerccios03.04.05.Determinar a equao do plano que passa pelo pontoA=(1, 2, -1) equecortaos eixos coordenados emsegmentos iguais.Resp.: x +y +z - 2=0Equao geral do plano que intercepta os eixos y e z emsegmentos decomprimento2e2epassapelopontoA=(1, 3, - 3).Resp. : 2x +y +z - 2=0Determinaro volume do tetraedro limitado pelo plano3x +2y +2z - 6=0epelos planos coordenados.Resp.: 3u.v.5. EQUAODOPLANOQUEPASSAPORUMPONTOEORTOGONALAUMVETORQueremos a equao doplano que passa pelo pontoP = (x , y , z ) e seja ortogonalaovetor n =ai +bj +ck.Observe que, aqui, n(P - P ) e nO O O OOO O O oa um plano e nonecessariamenteunitrio.DEDUO:SejaP=(x, y, z) umpontogenricode . Ento:(P- P ) =( x - x ) i +(y - y ) j +(z - z ) k en=ai +bj +ckOs vetores so ortogonais; logo, seu produto internodeveser nulo:vetor normalOnP PO16 -z8y12x + +

,`

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.| 450, 0, C; 0 ,250,- B 0); 0, 5, - ( AJacir. J. Venturi03.04.05.Determinar aequaodoplanoquepassapeloponto A= (1, 2, -1) e que corta os eixos coordenados em segmentos iguais.Resp.: x + y + z - 2 = 0 Equao geral do plano que intercepta os eixos y e z emsegmentos de comprimento 2 e 2 e passa pelo ponto A = (1, 3, - 3).Resp. : 2x + y + z - 2 = 0Determinarovolumedotetraedrolimitadopeloplano3x + 2y + 2z - 6 = 0 e pelos planos coordenados.Resp.: 3u.v.5. EQUAO DO PLANO QUE PASSA POR UM PONTOE ORTOGONAL A UM VETORQueremos a equao doplano a que passa pelo ponto P= (x , y , z ) e seja ortogonalO O O Oao vetor n = ai + bj + ck.Observe que, aqui, nO O O (P - P ) e nO ovetor normal a um plano e nonecessariamente unitrio.DEDUO:Seja P = (x, y, z) um ponto genrico de a. Ento:(P - P ) = ( x - x ) i + (y - y ) j + (z - z ) keOn = ai + bj + ckOs vetores so ortogonais; logo, seu produto internodeve ser nulo:nP POa 164ouainda: ax +by +cz +d=0Comparando com n, verificamos que os coeficientes a, b e c daequao geral de umplano so, nesta ordem, as coordenadas de umaesseplano.Exemplo:Equao do plano que passa pelo ponto A = (1, 3, 5) e seja orto-gonal aovetor n =(2, 4, 6).Soluo:Equaodoplano: 2x +4y +6z +d=0A=(1, 3, 5)2(1) +4(3) +6(5) +d=0 d =- 44Resposta: : 2x +4y +6z - 44=0Resp.: 3x +2y +5z - 17=0vetornormala)b)c)"O poder como violino:pega-se com a esquerda mas toca-se com a direita."Annimo.01. Equao geral do planoque contmo ponto P =(0, 1, 3) e sejaortogonal aovetor n=(3, 2, 5).O6. CASOSPARTICULARESDAEQUAOGERALDOPLANOAnulidade de umou mais coeficientes na equao geral do plano,far com que este ocupe um posicioname