Algebra Liniara

35
1 Preliminarii Fie M,A mult ¸imi nevide ¸ si n N. Se mune¸ ste operat ¸ie n-ar˘ a (sau lege de compozit ¸ie n-ar˘ a) definit˘a pe M orice aplicat ¸ie τ : M n M (M n = M × ... × M | {z } n ori ). In cazul n = 2, obt ¸inem operat ¸iile binare ¸ si vom nota, pentru τ : M 2 M ın loc de τ (a, b), aτb. Mai mult, vom nota ·, +, *, : M 2 M , respectiv a · b, a + b, a * b, a b etc. 1 . In cazul n = 0 se obt ¸in operat ¸iile 0-are (M 0 = {*}-mult ¸imea cu un singur element, τ : M 0 M ˆ ınsemnˆand precizarea unui element din M ), iar pentru n = 1 se obt ¸in operat ¸iile unare. Aplicat ¸iile A × M M (M × A M ) mai sunt numite operat ¸ii externe la stˆanga (dreapta) pe M peste A. O mult ¸ime nevid˘aˆ ınzestrat˘a cu un num˘ ar de operat ¸iisatisf˘acˆandeventual anumitepropriet˘at ¸i este numit˘a structur˘ a algebric˘ a. Num˘arul, tipul ¸ si propriet˘at ¸ile operat ¸iilor determin˘a tipul de structur˘a algebric˘a, iar mult ¸imea dat˘a este numit˘ a mult ¸imea subiacent˘ a structurii algebrice obt ¸inute. Dintre problemele care apar ˆ ın contextul structurilor algebrice amintim: studiul leg˘aturilor dintre structurile algebrice de acela¸ si tip, anume al apli- cat ¸iilor ce “transport˘a” operat ¸iile (morfisme); studiul unor submult ¸imi ale mult ¸imilor subiacente; studiul unor elemente remarcabile; studiul aspectelor specifice ce apar ˆ ınleg˘atur˘ a cu not ¸iuni ¸ si construct ¸ii matematice, precum relat ¸iile de ordine sau de echivalent ¸˘ a etc. Dintrepropriet˘at ¸ile care se impun operat ¸iilor se disting: asociativitatea, comutativitatea, existent ¸a elementului neutru, inversabilitatea elementelor, distributivitatea (ˆ ın cazul a 2 operat ¸ii) etc.. Concret (ˆ ın general va fi utilizat˘a, pentru simplitate, notat ¸ia multipliva- tiv˘a): - operat ¸ia ·: M 2 M este numit˘ a operat ¸ie asociativ˘ a dac˘a: (a, b, c) M 3 ,(a · b) · c = a · (b · c)(not˘am a · b · c, obt ¸inˆ and astfel ¸ si x 1 · x 2 · ... · x n pentru x 1 , ..., x n M ); -spunemc˘a e M este element neutru pentru operat ¸ia · : M 2 M dac˘a: a M , a · e = e · a = a (din e 1 = e 1 · e 2 = e 2 rezult˘ac˘a,dac˘a“·admite element neutru, atunci acesta este unic); - operat ¸ia · : M 2 M este numit˘ a operat ¸ie comutativ˘ a dac˘a: (a, b) M 2 , a · b = b · a; -dac˘a · : M 2 M admite elementrul neutru e, atunci spunem c˘a x M 1 Notat ¸ia “·”, (“+”) este numit˘ a notat ¸ie multiplicativ˘ a (aditiv˘a) a operat ¸iei. 1

Transcript of Algebra Liniara

  • 1 Preliminarii

    Fie M,A multimi nevide si n N. Se muneste operatie nara (sau legede compozitie n-ara) definita pe M orice aplicatie : Mn M (Mn =M ...M

    n ori

    ). In cazul n = 2, obtinem operatiile binare si vom nota,

    pentru : M2 M , n loc de (a, b), ab. Mai mult, vom nota ,+, , :M2 M , respectiv a b, a + b, a b, a b etc.1. In cazul n = 0 se obtinoperatiile 0-are (M0 = {}multimea cu un singur element, : M0 M nsemnand precizarea unui element din M), iar pentru n = 1 se obtinoperatiile unare. Aplicatiile AM M(M AM) mai sunt numiteoperatii externe la stanga (dreapta) pe M peste A.

    O multime nevida nzestrata cu un numar de operatii satisfacand eventualanumite proprietati este numita structura algebrica. Numarul, tipul siproprietatile operatiilor determina tipul de structura algebrica, iar multimeadata este numita multimea subiacenta structurii algebrice obtinute.

    Dintre problemele care apar n contextul structurilor algebrice amintim:studiul legaturilor dintre structurile algebrice de acelasi tip, anume al apli-catiilor ce transporta operatiile (morfisme); studiul unor submultimi alemultimilor subiacente; studiul unor elemente remarcabile; studiul aspectelorspecifice ce apar n legatura cu notiuni si constructii matematice, precumrelatiile de ordine sau de echivalenta etc.

    Dintre proprietatile care se impun operatiilor se disting: asociativitatea,comutativitatea, existenta elementului neutru, inversabilitatea elementelor,distributivitatea (n cazul a 2 operatii) etc..

    Concret (n general va fi utilizata, pentru simplitate, notatia multipliva-tiva):

    - operatia : M2 M este numita operatie asociativa daca: (a, b, c) M3, (a b) c = a (b c) (notam a b c, obtinand astfel si x1 x2 ... xnpentru x1, ..., xn M);

    - spunem ca e M este element neutru pentru operatia : M2 Mdaca: a M , a e = e a = a (din e1 = e1 e2 = e2 rezulta ca, daca admite element neutru, atunci acesta este unic);

    - operatia :M2 M este numita operatie comutativa daca: (a, b) M2, a b = b a;

    - daca :M2 M admite elementrul neutru e, atunci spunem ca x M1Notatia , (+) este numita notatie multiplicativa (aditiva) a operatiei.

    1

  • este inversabil daca exista x M astfel ncatx x = e = x x (x estenumit inversul lui x);2

    - daca +, :M2 M satisfac conditia (a, b, c) M3, a(b+c) = ab+ac,(b+ c) a = b a+ c a, atunci spunem ca este distributiva fata de +.

    S-a remarcat anterior unicitatea elementului neutru (daca exista).In urma unui rationament inductiv, rezulta ca au loc urmatoarele:1. Daca operatia : M2 M este asociativa, atunci x1, ..., xn M ,

    n N avem ca (x1 ... xk) (xk+1 ... xn) = (x1 ... xl) (xl+1 ... xn),pentru orice k, l ncat a k, l n 1 (proprietatea de asociativitategeneralizata).

    2. Daca operatia : M2 M este comutativa, atunci: x1, ..., xn M1n N, pentru orice aplicatie bijectiva : {1, 2, ..., n} {1, 2, ..., n}, avemca x1 x2 ... xn = x(1) ... x(n) (propreitatea de comutativitategeneralizata).

    Precizam ca n cazul unei operatii :M2 M asociative, pentru x Msi n N, se defineste xn prin xn = x1 x2 ...xn, unde x1 = x2 = ... = xn = x.Obtinem:

    i) xm xn = xm+n;ii) (xm)n = xmn;iii) daca x y = y x atunci (x y)n = xn yn.In notatie aditiva, nx = x+ ...+ x, sii) mx+ nx = (m+ n)x;ii) m(nx) = (mn)x;iii) daca x+ y = y + x, atunci n(x+ y) = nx+ ny.Definitia 1.1. O multime nevida S nzestrata cu o operatie binara aso-

    ciativa : S2 S este numita semigrup.Notam (S, ).Exemple:i) Multimea functiilor {f : M M}, M 6= , mpreuna cu operatia

    de compunere constituie un semigrup (numit semigrupul transformarilormultimii M);

    ii) Multimea numerelor naturale N mpreuna cu operatia uzuala de adunare(sau de nmultire) constituie un semigrup.

    Definitia 1.2. Un semigrup ce admite elemente unitate mai este numitmonoid. Este evident ca elementul unitate este unic n cadrul unui monoid

    2In cazul notarii operatiei prin , x va mai fi notat x1, iar e va mai fi notat 1. Incazul notatiei + x va mai fi notat x, iar e va mai fi notat 0.

    2

  • dat.Definitia 1.3. Un monoid (G, , e) n care toate elementele sunt in-

    versabile este numit grup.Explicitand obtinem axiomele grupului: o multime G 6= este numita

    grup daca:i) G este nzestrata cu o operatie binara : GG G;ii) operatia este asociativa: x (y z) = (x y) z, (x, y, z) G3;iii) (G, ) admite element neutru: e G : x e = x = e x, x G;iv) elementele lui G sunt inversabile (relativ la ): x G, x1 G :

    x x1 = e = x1 x.Desi axiomele pot fi nca simplificate (de exemplu este suficient sa avem

    x e = x sau x x1 = e), va fi pastrata aceasta varianta (clasica).Daca, n plus:v) x y = y x, (x y) G2, spunem ca G3 este grup comutativ (sau

    grup abelian).Exemple:i) Pe o multime cu un singur element, {a}, se poate introduce o unica

    structura de grup, prin a a = a = a1 = e. Este numit grupul nul.ii) (Z,+, 0); (Q,+, 0); (Q, , 1); (R,+, 0); (R, , 1);iii) Pentru o multime oarecare M , multimea S(M) a bijectiilor M M ,

    mpreuna cu operatia uzuala de compunere constituie un grup (este numitgrupul permutarilor multimii M).

    Daca M este o multime finita avand n elemente (n 2) (vom alege M ={1, 2, ..., n}), atunci S(M) va fi notat Sn si va fi numit grupul permutarilorde grad n.

    Observatia 1.1. Sn are n! = 1 2 ... n elemente.Un element din Sn va fi notat prin

    =

    (1 2 ... n

    (1) (2) ... (n)

    ), iar

    (1 2 ... n1 2 ... n

    )= .

    In cazul unei permutari , daca(j) (i)

    j i < 0, spunem ca avem oinversiune n .

    3Notam, adeseori, G n loc de (G, , e). In general, va fi folosita notatia multiplicativa,cea aditiva va apare n unele cazuri concrete.

    3

  • Notam =

    1i

  • i) a 0 = 0 a = 0;ii) a (b) = (a) b = (a b); (a) (b) = a b;iii) a

    ni=1

    bi =ni=1

    a bi,(

    ni=1

    ai

    ) b =

    ni=1

    ai b.Intr-adevar, a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0, deci a 0 = 0. Avem si

    0 = 0 b = (a + (a)) b = a b + (a) b deci (a) b = (a b). Analog,rezulta a (b) = (a b). (a) (b) = (a (b)) = ((a b)) = a b.Relatia iii) se demonstreaza prin inductie matematica.

    Observatia 1.3. In cazul unui corp (K,+, ) vom avea: (K,+) este grupabelian, iar (K, ) este grup (K = K \ {0}). Precizam ca operatiile vor finotate (pentru orice structura considerata) prin + si/sau (ntelegandu-se din context multimile pe care sunt definite, iar elementele neutre, dacaexista, vor fi notate 0, respectiv 1).

    Exemple:i) inelul numerelor ntregi (Z,+, ); corpul numerelor rationale (Q,+, );

    corpul numerelor reale (R,+, ); corpul numerelor complexe (C,+, );ii) inelul ntregilor lui Gauss Z[i] = {m + ni, m, n Z}, i = 1,

    operatiile fiind aceleasi ca si n C;iii) Q(

    2) = {a+ b2 | a, b Q} are structura de corp fata de operatiile

    induse de operatiile din (R,+, );Pe o multime cu un singur element se poate defini o structura de inel

    (unitar) impunand a+ a = a = a a = 0 = 1. Este numit inel nul. O astfelde constructie nu este posibila n cazul corpurilor.

    Fie R si R doua inele. Se numeste morfism de inele de la R la R oricefunctie f : R R ce satisface conditiile:

    f(a+ b) = f(a) + f(b);f(a b) = f(a) f(b), oricare ar fi a, b R.Un morfism f : R R, unde R si R sunt inele unitare, care satisface n

    plus conditia f(1) = 1 este numit morfism unitar de inele unitare.Prima conditie din definitia notiunii de morfism conduce la faptul ca f

    este morfism ntre grupurile (R,+) si (R,+), deci vom avea f(0) = 0 sif(a) = f(a).

    In ipoteza ca f este n plus bijectiva, obtinem notiunea de izomorfismde inele. Rezulta si ca f1 este izomorfism de inele. Pentru un morfism deinele f : R R notam ker f = {x | x R, f(x) = 0 R}, Imf = f(R).

    Fie K,K doua corpuri. Se numeste morfism de corpuri de la K la K

    orice functie f : K K ce satisface conditiile:

    5

  • f(a+ b) = f(a) + f(b);f(a b) = f(a) f(b).Altfel spus, f este un morfism de grupuri ntre (K,+) si (K ,+) si morfism

    de grupuri ntre (K, ) si (K , ). Rezulta de aici ca f(1) = 1; f(a1) =(f(a))1. Ca si n cazul inelelor, un morfism bijectiv de corpuri va fi numitizomorfism de corpuri.

    Fie R un inel comutativ si unitar. Consideram multimea sirurilor de ele-mente din R, (a0, a1, ..., an, ...) cu proprietatea ca numarul componentelordiferite de 0 R este finit. Pe aceasta multime se introduc operatiile:(a0, a1, ..., an, ...)+(b0, b1, ..., bn, ...) = (a0+b0, a1+b1, ..., an+bn, ...) si (a0, a1, ...,

    an, ...) (b0, b1, ..., bn, ...) = (c0, c1, ..., cn, ...) unde ck =i+j=k

    ai bj, k N.

    Aceste operatii confera multimii considerate structura de inel comutativsi unitar, dupa cum se poate verifica usor.

    Pentru R, definind (a0, a1, ...) = ( a0, a1, ...) si notand X =(0, 1, 0, 0...) se obtine ca (a0, a1, ..., an, ...) poate fi scris sub forma

    k

    akXk,

    unde Xk = X X ... X k ori

    (suma fiind finita).

    Inelul construit anterior este numit inelul polinoamelor de o nedetermi-nata peste R si este notat R[X]. Numarul n = max{i | ai 6= 0} este numitgradul polinomului (a0, a1, ...), iar an (n acest caz) este numit coeficien-tul dominant al polinomului. Pentru polinomul nul (0, 0, ...) se convine sase considere gradul sau ca fiind .

    Polinoamele (0, a, 0, ...) a R se identifica cu a R, sunt numite poli-noame constante, iar gradul lor este egal cu 0.

    2 Algebra liniara

    Matrice. Determinanti

    Fie (K,+, ) un corp comutativ siM = {1, 2, ...,m}, N = {1, 2, ..., n}, m,n IN. Reamintim ca se numeste matrice de tip (m,n) peste K orice functie A :MN K. Precizam ca, exceptand unele rezultate privind inversabilitateamatricelor si sistemele liniare, notiunile si celelalte rezultate ce vor fi date ncontinuare si pastreaza valabilitatea si n cazul n careK este inel (comutativsi unitar).

    6

  • Notand A(i, j) = aij, i M, j N , matricea A poate fi reprezentata subforma unui tablou

    A =

    a11 a12 ... a1n

    a21 a22 ... a2n

    ... ... ... ...

    am1 am2 ... amn

    avand m linii si n coloane (condensat A = (aij)mn).

    Pe multimea matricelor de tip (m,n) peste K, notata M(m,n,K), sedefineste operatia de adunare a matricelor prin: daca A,B M(m,n,K),atunci (A+B)(i, j) = A(i, j) +B(i, j), (i, j) M N , obtinandu-se:

    (M(m,n,K),+) are structura de grup abelian.Pentru matricile A M(m,n,K), A = (aij)mn, B M(n, p,K),B = (bij)np se defineste o matrice C M(m, p,K) prin C = (cij)mpunde cij =

    nk=1

    aikbkj, 1 i m, 1 j p, numita produsulmatricelor A si B (notam C = A B).In cazul m = n, multimeaM(m,n,K) se noteaza prinM(n,K). Pro-dusul definit anterior conduce la o operatie peM(n,K), obtinandu-se:

    (M(n,K),+, ) are structura de inel4 unitar. Rolul de matrice uni-

    tate este jucat de In =

    1 0 ... 00 1 ... 0... ... ... ...0 0 ... 1

    , 0, 1 K.Pentru A M(m,n,K), A = (aij)mn si K, se defineste A

    M(m,n,K), A = ( aij)mn, obtinandu-se o operatie externa numitaprodusul matricelor (din M(m,n,K)) cu scalari (din K).

    Pentru A M(m,n,K), A = (aij)mn, matricea tA M(n,m,K) tA =(take)nm, unde take = aek, este numita transpusa matricei A.

    4inel necomutativ

    7

  • Fie A M(n,K). Elementul din K notat detA si dat de detA =Sn

    a1(1)... an(n) unde Sn noteaza multimea permutarilor de grad n si

    =

    {1 daca este permutare para,1 daca este permutare impara,

    se numeste determinantul matricei A5 (se mai noteaza prin

    detA =

    a11 a12 ... a1n... ... ... ...an1 an2 ... ann

    sau |aij|nn).In vederea indicarii ulterioare a unui procedeu de calcul se definesc (pen-

    tru A M(n,K)) notiunile de minor si complement algebric ale unui ele-ment.

    Suprimand linia i (anume ai1...ain) si coloana j (anume

    aj1...ajn

    ) din A, se

    obtine o matrice iAj M(n 1, K) al carei determinant poarta numele deminorul elementului aij (va fi notat dij). Elementul ij = (1)i+jdij va finumit complementul algebric al elementului aij.

    Au loc urmatoarele proprietati:

    detA = det tA; daca ntr-o matrice A M(n,K), n N se schimba doua linii(coloane) ntre ele atunci se obtine o matrice al carei determinant esteegal cu detA;

    a11 a12 ... a1n... ... ... ...

    ai1 ai2 ... ain... ... ... ...an1 an2 ... anm

    =

    a11 a12 ... a1n... ... ... ...ai1 ai2 ... ain... ... ... ...an1 an2 ... anm

    , 1 i n

    (analog pentru coloane);

    5pentru A M(n,K) spunem si ca detA este determinant de ordin n.

    8

  • a11 a12 ... a1n... ... ... ...ai1 ai2 ... ain... ... ... ...aj1 aj2 ... ajn... ... ... ...an1 an2 ... ann

    =

    a11 ... a1n... ... ...

    ai1 + aj1 ... ain + ajn... ... ...aj1 ... ajn... ... ...an1 ... ann

    pentru orice

    1 i, j n, K (analog pentru coloane); Pentru A M(n,K), au loc6:detA = ai1i1 + ...+ ainin, pentru orice 1 i n;detA = a1j1j + ...+ anjnj, pentru orice 1 j n;

    Pentru A,B M(n,K), n N, detA B = detA detB.Fie A Mn,K. Se spune ca A este matrice inversabila daca exista o

    matrice B M(n,K) astfel ncatA B = B A = In (B este numita inversalui A). Inversa unei matrice, daca exista, este unica si va fi notata A1. Secunoaste ca A M(n,K) este inversabila daca si numai daca detA 6= 0, iar(n cazul n care exista)

    A1 =1

    detA

    11 21 ... n112 22 ... n2... ... ... ...1n 2n ... nn

    (se remarca faptul ca nlocuirea elementelor cu complementi algebrici se facen tA).

    ConsideramA M(m,n,K) si fie k un numar natural 1 k min(m,n).Alegand, n A, k linii si k coloane, elementele care se regasesc la intersectia

    acestor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k (submatrice amatricei A) al carei determinant se numeste minor de ordin k al matriceiA.

    Daca A M(m,n,K) are si elemente diferite de 0 K, spunem ca Aare rangul r (rangA = r) daca A admite un minor de ordin r nenul, iar totiminorii lui A de ordin mai mare decat r (daca exista) sunt nuli7 Evident,

    6formulele de dezvoltare dupa o linie, respectiv dezvoltare dupa o coloana.7Daca A este matricea nula (aij = 0 K, pentru orice 1 i m, 1 j n),

    convenim sa spunem ca rangA = 0.

    9

  • este suficient (si necesar) ca toti minorii de ordin r + 1 (daca exista) sa fienuli.

    Sisteme de ecuatii liniare

    Fie sistemul

    (*)

    a11x1 + ...+ a1nxn = b1...am1x1 + ...+ amnxn = bm, bi, aij K, 1 i m, 1 j n.

    Prin solutie a sistemului se ntelege o n-upla de elemente dinK, (1, ..., n),care verifica ecuatiile sistemului. Distingem: sistem incompatibil (nu ad-mite nici o solutie), sistem compatibil determinat (solutie unica), sistemcompatibil nedeterminat (o infinitate de solutii).

    Notam A =

    a11 ... a1n... ... ...am1 ... amn

    si A = a11 ... a1n b1... ... ... ...

    am1 ... amn bm

    (ultimacoloana este numita coloana termenilor liberi)8 si se obtine:

    Sistemul de ecuatii liniare (*) este compatibil daca si numai daca rangA =rangA(teorema Kronecker - Capelli).

    Daca rangA = r, alegand un minor de ordin r nenul (corespunzator uneisubmatrice a matricei A), vom numi determinant caracteristic (alsistemului dat) determinantul matricei obtinute prin bordarea subma-tricei alese (numita submatrice principala) cu o coloana alcatuita dinelementele corespunzatoare liniilor submatricei respective din coloanatermenilor liberi precum si cu cele corespunzatoare ale uneia dintreliniile ramase (daca exista o astfel de linie). Se obtine:

    In ipoteza rangA < m, sistemul de ecuatii () este compatibil dacasi numai daca toti determinantii caracteristici sunt nuli (teoremaRouche).

    Daca rangA = m (avem si m n), sistemul (*) este, evident, compa-tibil.

    In cazul m = n si detA 6= 0, pentru rezolvare se poate aplica regulaCramer:

    8Liniile matricei A corespund ecuatiilor sistemului, iar coloanele corespund necunos-cutelor acestuia.

    10

  • Daca m = n si detA 6= 0, atunci () admite solutie unica data dex1 =

    d1d, ..., xn =

    dnd

    unde d = detA, iar di este determinantul matricei

    obtinute din matricea sistemului prin nlocuirea coloanei i cu coloanatermenilor liberi.

    In celelalte cazuri (m 6= n sau m = n si detA = 0), daca sistemul estecompatibil, se aleg ecuatiile ce corespund liniilor submatricei principale si sepastreaza n membrul ntai necunoscutele ce corespund coloanelor submatri-cei principale (celelalte fiind trecute n membrul doi), obtinandu-se un sistemce poate fi rezolvat cu ajutorul regulii lui Cramer. Precizam ca acest sistemare exact aceleasi solutii cu sistemul initial9.

    Spatii liniare

    Fie (K,+, ) un corp comutativ.Definitia 2.1. Un grup comutativ (V,+)10 nzestrat cu o operatie externa

    : K V V , (, x) = x, astfel ncat:i) (x+ y) = x+ y;ii) ( + )x = x+ x;iii) ( )x = (x);iv) 1x = x

    pentru orice , K(1 K) si orice x, y V , este numit spatiu liniarpeste K (sau Kspatiu liniar). In cele ce urmeaza va fi considerat doarcazul netrivial V 6= {0}.

    Exemple:i) Considerand, pentru cazul (K,+, ), grupul abelian (K,+) si operatia

    externa data de , se obtine: K este spatiu liniar peste K;ii) Definind pe Kn = KK ...K operatiile (1, ..., n)+(1, ..., n) =

    (1 + 1, ..., n + n) si (1, ..., n) = ( 1, ..., n), K, se obtine:Kn este spatiu liniar peste K;

    iii)M(m,n,K) este spatiu liniar pesteK (operatiile fiind + si produsulmatricelor cu scalari);

    9Daca doua sisteme de ecuatii au exact aceleasi solutii se mai spune ca sunt sistemeechivalente (se admite ca toate sistemele incompatibile sunt echivalente ntre ele).

    10Utilizarea notatiei aditive nu poate produce confuzii (de exemplu, n ii), este evidentca simbolul + din paranteza reprezinta operatia din K, iar n membrul al doilea apareoperatia din V .

    11

  • iv) Multimea polinoamelor de o nedeterminanta K[X] are structura despatiu liniar peste K (+ reprezinta suma uzuala de polinoame, iar, pentru

    K si f =ni=0

    aiXi, f =

    ni=0

    ( ai)X i).v) Multimea polinoamelor de grad cel mult n, Kn[X], n N este spatiu

    liniar peste K (operatiile sunt precizate n exemplul iv)).Observatia 2.1. Pentru un spatiu liniar, V , peste corpul K, avem:i) x = 0 = 0 sau x = 0;ii) ()x = x = (x); ()(x) = x;iii) x = x, x 6= 0 = ;iv) x = y, 6= 0 x = y.Fie V un spatiu liniar peste corpul K si S V . Daca S = {x1, ..., xn},

    n N, si din orice egalitateni=1

    ixi = 0, i K, i = 1, n, rezulta i = 0,

    i = 1, n, atunci spunem ca elementele x1, ..., xn sunt liniar independente(sau ca S este (submultime) liniar independenta). Daca S este in-finita, atunci S va fi numita submultime liniar independenta daca oricesubmultime finita a sa este liniar independenta. In caz contrar11, spunem caS este liniar dependenta.

    Precizam si ca expresiile de formani=1

    ixi mai sunt numite combinatii

    liniare de x1, ..., xn V .Observatia 2.2. i) Daca x V, x 6= 0, atunci S = {x} este liniar

    independenta;ii) Daca 0 S, atunci S este liniar dependenta;iii) Daca S este liniar independenta, iar S S, atunci S este liniar

    independenta;iv) Daca S S, iar S este liniar dependenta, atunci S este liniar depen-

    denta.Daca 6= M V , M = {x1, ..., xn}, n N, spunem ca M constituie un

    sistem de generatori pentru V daca orice element x V se poate exprima11Daca S = {x1, ..., xn} atunci exista i K, i = 1, n si exista cel putin un indice i,

    1 i n, asa ncat i 6= 0 sini=1

    ixi = 0 (n cazul infinit, exista cel putin o submultime

    finita liniar dependenta).

    12

  • ca o combinatie liniara de x1, ..., xn, x =ni=1

    ixi. In cazul n care M este

    infinita se impune ca, pentru orice x V , sa existe n N si x1, ..., xn Mastfel ncatx =

    ni=1

    ixi, i K, i = 1, n.Observatia 2.3. Pentru orice spatiu liniar V , multimea V constituie un

    sistem de generatori pentru V .Definitia 2.2. O submultime B a spatiului liniar V peste K este numita

    baza a spatiului V daca:i) B este liniar independenta;ii) B constituie un sistem de generatori.Distingem cazurile cand B este finita, respectiv infinita.Teorema 2.1. Orice spatiu liniar admite o baza.

    Demonstratie. Pentru exemplificare, vom demonstra teorema n cazul ncare spatiul liniar considerat admite un sistem finit de generatori. Fie, atunci,spatiul liniar V si {x1, ..., xn}12 un sistem de generatori pentru V . Evident caexista xi 6= 0 si, n consecinta, {xi} constituie o submultime liniar indepen-denta. Fie B13 o submultime liniar independenta ncat B {x1, ..., xn} si Beste maximala (relativ la incluziune) cu aceasta proprietate. Prin eventualarenumerotare, obtinem B = {x1, ..., xm},m n. Este suficient sa aratam caB consituie un sistem de generatori. Intrucat B este maximala rezulta ca,pentru orice j,m < j n, sistemul {x1, ..., xm, xj} este liniar dependent, deciexista ai K, i = 1,m+ 1 ncat a1x1 + ...+ amxm + am+1xj = 0 si am+1 6= 0(altfel, se contrazice faptul ca B este liniar independenta). Altfel spus, xjpoate fi reprezentat ca o combinatie liniara de elementele din B. Intrucat{x1, ..., xn} este sistem de generatori pentru V , rezulta ca B satisface aceeasiconditie (n reprezentarea oricarui element x V se nlocuiesc xj,m < j nprin combinatiile liniare de x1, ..., xm).

    Daca spatiul vectorial V peste K admite o baza finita spunem ca V esteK-spatiu liniar finit generat.

    Demonstratia teoremei anterioare conduce imediat la:Observatia 2.4. Intr-un K-spatiu liniar finit generat, din orice sistem

    de generatori se poate extrage o baza.

    12Avem si xi 6= xj pentru i 6= j, 1 i, j n.13Existenta lui B pentru cazul considerat este evidenta.

    13

  • Observatia 2.5. Daca B = {e1, ..., en} este o baza n V atunci oricex V se exprima n mod unic ca o combinatie liniara de elementele e1, ..., en.

    Intr-adevar, daca x =ni=1

    iei =ni=1

    iei, i, bi K, i = 1, n, atuncini=1

    (i i)ei = 0 si deci i = i, i = 1, n. In acest context, daca

    x =ni=1

    iei, i K, i = 1, n, atunci elementele 1, ..., n se numesc co-ordonatele lui x n raport cu baza e1, ..., en.

    Remarcam si faptul ca n ipoteza B sistem finit de generatori pentruV , conditia de unicitate a coordonatelor este echivalenta cu conditia ca Bsa fie baza.

    Exemple:i) (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) constituie o baza n spatiul liniar

    Kn;ii) Polinoamele 1, X,X2, ... constituie o baza n spatiul liniar K[X];iii) Polinoamele 1, X,X2, ..., Xn consituie o baza n spatiul liniar Kn[X];

    iv) Matricele Ek` = (eij)mn, eij ={

    1; i = k, j = `0 n rest,

    1 k m, 1 ` n constituie o baza n spatiul liniar M(m,m,K).

    Bazele date n exemplele anterioare sun numite baze canonice (alespatiilor liniare considerate).

    Teorema 2.2. Intr-un K-spatiu liniar finit generat orice doua baze auacelasi numar de elemente.

    Demonstratie. Vom arata ca, daca fiecare element al sistemului liniar in-dependent {e1, ..., em} este combinatie liniara de elementele f1, ..., fn, atuncim n. Demonstratia se face prin inductie matematica dupa numarul m.

    Pentru m = 1, afirmatia este evident adevarata.Presupunem afirmatia adevarata pentru orice sitem liniar independen-

    tavand r < m elemente. Fie sistemul {e1, ..., em}. Avem ca ei =nj=1

    aijfj, i =

    1,m, unde aij K, 1 i m, 1 j n si cel putin un element aij 6= 0.Presupunem (eventual renumerotand) ca a11 6= 0. Notam atunci ei = ei (ai1 a111 )ei, i = 2,m, si obtinem sistemul {e2, ..., em}, fiecare element al saufiind exprimat ca o combinatie liniara de f2, ..., fn.

    14

  • Daca 2, ..., m K si 2e2 + ... + mem = 0 atunci, nlocuind ei =ei (ai1 a111 )e1, i = 2,m, se obtine din liniara independenta a sistemului{e1, ..., em}, 2 = ... = m = 0, deci {e2, ..., em} constituie un sistem liniarindependent.

    Conform ipotezei inductive, rezulta m 1 n 1 deci m n.Daca {e1, ..., em} si {f1, ..., fn} constituie baze, atunci m n si n m,

    deci m = n.

    Reformuland, putem spune ca, daca spatiul liniar V peste K admiteo baza avand n elemente, atunci orice alta baza va avea, de asemenea, nelemente. Teorema anterioara conduce la urmatoarea definitie:

    Definitia 2.3. Daca V este un K-sistem liniar finit generat, numimdimensiune a spatiului V (si notam dimV ) numarul elementelor uneibaze a lui V .

    Daca spatiul liniar V peste K nu este finit generat vom scrie dimV =.Convenim si ca, pentru cazul V = {0}, dimV = 0.

    Exemple:i) dimKn = n;ii) dimK[X] =;iii) dimKn[X] = n+ 1;iv) dimM(m,n,K) = m n.Demonstratia teoremei 2.2 conduce la urmatoarea observatie:Observatia 2.6. Intr-un K-spatiu liniar finit generat orice submultime

    liniar independenta se poate completa pana la o baza.

    Demonstratie. Remarcam mai ntai (conform demonstratiei teoremei 2.2)ca n spatiul liniar (V ) dat (avand dimensiunea n), submultimile liniar inde-pendente pot avea cel mult n elemente. Fie {x1, ..., xr}, r n, o submultimeliniar independenta si e1, ..., en o baza. Daca r = 1, x1 = 1e1 + ...+ nen sii, 1 i n ncat i 6= 0. Presupunem (eventual renumerotand) ca 1 6= 0.Se verifica atunci faptul ca {x1, e2, ..., en} constituie o baza n V : e1 se ex-prima ca o combinatie liniara de x1, e2, ..., en, deci {x1, e2, ..., en} constituieun sistem de generatori iar, daca presupunem ca {x1, e2, ..., en} sunt liniardependenti, rezulta ca {e1, e2, ..., en} sunt liniar dependenti, ceea ce este fals.

    Procedand inductiv, avand {x1, ..., xr} liniar independenti, folosind fap-tul ca {x1, ..., xr1} sunt, de asemenea, liniar independenti se obtine ca{x1, ..., xr1, er, ..., en} constituie o baza si apoi repetand cazul r = 1 seobtine ceea ce trebuia demonstrat.

    15

  • Reformuland, putem spune ca: ntr-un K-spatiu liniar finit generat, daca{x1, ..., xr} este submultime liniar independenta, iar {y1, ..., yn} constituieun sistem de generatori, atunci r n si, dupa o eventuala renumerotare,{x1, ..., xr, yr+1, ..., yn} constituie un sistem de generatori. Acest enunt estecunoscut sub numele de teorema schimbului (sau teorema Steinitz).

    Enuntam fara demonstratie (rezulta usor din cele precedente) o propozitieutila n exercitii:

    Propozitia 2.1. Fie V un K-spatiu liniar de dimensiune n si B ={e1, ..., en} V (submultime avand n elemente). Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

    i) B este baza;ii) B este liniar independenta;iii) B constituie sistem de generatori.Fie V un spatiu liniar de dimensiune n peste un corpK si B = {e1, ..., en},

    B = {e1, ..., en} doua baze ale sale.Folosind faptul ca B este baza, putem scrie

    ei =nj=1

    ajiej, i = 1, n

    punand astfel n evidenta o matrice14 (unica)

    A =

    a11 a12 ... a1n... ... ... ...an1 an2 ... ann

    M(n,K)numita matricea de trecere de la baza B la baza B.

    Notand e =

    e1...en

    , e = e

    1...en

    , putem scrie (formal) e =t A e(aceasta relatie este numita formula de trecere de la baza B la baza B).

    Fie x V ncat x = 1e1 + ... + nen si x = 1e1 + ... + nen. Avemx =

    ni=1

    iei =

    ni=1

    i

    (nj=1

    ajiej

    )=

    nj=1

    (ni=1

    iaji

    )ej =

    nj=1

    jej = x. Co-

    ordonatele oricarui element ntr-o baza data fiind unic determinate, rezulta

    14A fost folosit primul indice (pentru aji) ca indice de sumare, iar coloanele din A contincoordonatele elementelor ei, i = 1, n. Rezultatele similare se obtin folosind cel de-al doileaindice ca indice de sumare.

    16

  • j =ni=1

    jaji, i = 1, n adica (sub forma matriciala) = A , unde

    =

    1...n

    , =

    1...n

    .Aceasta ultima relatie este numita formula de transformare a coor-

    donatelor.Propozitia 2.2. fie V un K-sistem liniar de dimensiune n. Pentru

    orice baze B si B ale lui V , matricea de trecere de la baza B la baza B estematrice inversabila.

    Demonstratie. Remarcam ntai (dupa calcule simple) ca, n general, fiinddate bazele B,B, B n V , avand A matricea de trecere de la B la B, A

    matricea de trecere de la B la B si A matricea de trecere de la B la B,obtinem A A = A.

    Pentru B = B, obtinem evident A = In, deci matricea A este in-versabila.

    Avand n vedere rezultatul anterior, putem scrie

    = A1 si e =t A1 e.

    Subspatii liniare

    Fie V unK-spatiu liniar. O submultime nevida U V se numeste subspatiuliniar al lui V daca

    i) pentru orice x, y U, x+ y U ;ii) pentru orice x U si orice K, x U .Observatia 2.7. Conditiile definitiei asigura faptul ca restrictiile ope-

    ratiilor K-spatiului liniar V determina pe U o structura de K-spatiu liniar(U este subgrup al grupului V , iar operatia externa este data de asociereacorespunzatoare pentru V ).

    Exemple:i) {0} V constituie subspatiu liniar (numit subspatiul nul) al spatiului

    liniar V ;ii) Submultimile K 0 = {(x, 0) | x K} si 0 K = ((0, y) | y K)

    sunt subspatii liniare ale K-spatiului liniar K2;iii) Daca {x1, ..., xn} V , atunci {a1x1 + ... + anxn | ai K, i = 1, n}

    constituie subspatiu liniar (va fi notat L(x1, ..., xn)) al lui V .

    17

  • Daca e1, ..., en este o baza a K-spatiului liniar V , atunci L(e1, ..., en) = V .Folosind teorema schimbului, deducem:

    Propozitia 2.3. Daca U 6= {0} este subspatiu liniar al unui K-spatiuliniar V de dimensiune n, atunci U este finit generat si dimU n.Demonstratie. Intr-adevar, n V , deci si n U , orice n+ 1 elemente consti-tuie o submultime liniar dependenta, iar o submultime liniar independentamaximala din U este si baza n U .

    Mai mult, avem dimU = n daca si numai daca U = V . Rafinand acestrezultat obtinem:

    Propozitia 2.4. Daca U1 si U2 sunt subspatii ale K-spatiului liniar finitgenerat V , U1 U2 si dimU1 = dimU2 atunci U1 = U2.Demonstratie. Din U1 U2 si dimU1 = dimU2 rezulta ca orice baza dinU1 este si baza n U2, deci U1 = U2.

    Fie V un K-spatiu liniar si U1, U2 subspatii ale lui V . Cu subspatiileliniare ale unui K-spatiu liniar se pot efectua operatii printre care se distingintersectia si suma de subspatii:

    Intersectia U1 U2 este subspatiu liniar n V ; U1 +U2 = {x+ y | x U1, y U2} constituie un subspatiu liniar n V .Se remarca usor ca au loc:

    i) U1 U2 = U2 U1;ii) U1 + U2 = U2 + U1;

    iii) (U1 U2) U3 = U1 (U2 U3);iv) (U1 + U2) + U3 = U1 + (U2 + U3).

    Propozitia 2.5. Daca U1 si U2 sunt subspatii liniare ale unui K-spatiuliniar V , finit generat, atunci

    dim(U1 + U2) + dim(U1 U2) = dimU1 + dimU2.

    Demonstratie. In cazul U1 U2 = {0}, fie b1, ..., bm; c1, ..., cr baze n U1,respectiv U2. Prin calcule simple se deduce ca b1, ..., bm, c

    1, ..., c

    r constituie o

    baza n V .

    18

  • In cazul U1 U2 6= {0}, fie a1, ..., as o baza n U1 U2.Intrucat U1 U2 U1, U1 U2 U2, {a1, ..., as} poate fi completata,

    obtinandu-se a1, ..., as, bs+1, ..., bm baza n U , si a1, ..., as, cs+1, ..., cr baza nU2 (conform propozitiei 2.3, m s, r s).

    Prin calcule simple se deduce ca a1, ..., as, bs+1, ..., bm, cs+1, ..., cr constituieo baza n V .

    In cazul n care U1 U2 = {0}, suma U1 + U2 mai este numita sumadirecta a subspatiilor liniare U1 si U2 si este notata U1 U2.

    Observatia 2.8. i) In cazul U1 U2 6= {0}, daca x U1 U2 \ {0},atunci orice element z U1+U2, z = z1+ z2, z U1, z2 U2 poate fi scris sisub forma z = (z1 x) + (x+ z2), altfel spus, reprezentarea elementelor dinU1 + U2 ca suma, z = z1 + z2, z1 U1, z2 U2, nu este unica;

    ii) orice element z U1 U2 poate fi scris n mod unic sub forma z =z1 + z2, z1 U1, z2 U2.

    In adevar, din z1 + z2 = z1 + z

    2, z1, z

    1 U, z2, z2 U2 rezulta z1 z1 =

    z2 z2 = 0 deoarece U1 U2 = {0}, adica z1 = z1, z2 = z2.Observatia 2.9. Daca U1, U2 sunt subspatii liniare ale unui K-spatiu

    liniar finit generat, atunci dimU1U2 = dimU1+dimU2. Mai mult, U1+U2 =U1 U2 daca si numai daca dim(U1 + U2) = dimU1 + dimU2. In ceea cepriveste reuniunea de subspatii, se arata usor ca U1U2 este subspatiu liniardaca si numai daca U1 U2 sau U2 U1.

    Operatiile intersectie si suma se pot extinde, n general, pentru familiide subspatii liniare ale unui aceluiasi K-spatiu liniar.

    Fie {Ui}iI o familie de subspatii liniare ale K-spatiului liniar V .

    iIUi este subspatiu liniar n V ;

    iI

    Ui =

    {nj=1

    xj | j I, xj Uj , j = 1, n, n N}15 este subspa-

    tiu liniar n V .

    Verificarea conditiilor de subspatiu liniar este propusa ca un simplu exer-citiu.

    15Orice x iI

    Ui se reprezinta ca suma finita de elemente din subspatiile liniare Ui, i I.

    19

  • Prima asertiune conduce la notiunea de subspatiu liniar generat de osubmultime a spatiului liniar considerat: pentru un K-spatiu liniarV si X V , intersectia familiei subspatiilor liniare ale lui V ce includ X poarta numelede subspatiu liniar generat de X (notam < X >).

    Observatia 2.10. i) L(a1, ..., an) =< {a1, ..., an} >;ii) U1 + U2 =< U1 U2 >.In ceea ce priveste

    iI

    Ui, limitandu-ne, pentru simplitate, la cazul I =

    {1, 2, ..., n}, vom spune ca, n cazul n care pentru orice i, 1 i n, Ui nj=1j 6=i

    Uj

    = {0}, subspatiul liniar ni=1

    Ui este suma directa a familiei

    subspatiilor Ui, i = 1, n (notamni=1

    Ui).

    Pentru n = 2 se obtine suma directa a subspatiilor U1, U2. Mai multni=1

    U1

    se obtine inductiv, remarcand ntai ca U1U2 = U2U1 si (U1U2)U3 =U1 (U2 U3).

    Propozitia 2.6. Fie U1, ..., Un subspatii liniare ale K-spatiului liniar V .Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

    i)ni=1

    Ui =ni=1

    Ui;

    ii) dacani=1

    xi =ni=1

    yi, unde xi, yi Ui, i = 1, n, atunci xi = yi pentru

    orice i = 1, n.

    Demonstratie. i) ii) Dinni=1

    xi =ni=1

    yi rezulta xi yi =nj=1j 6=i

    (yj xj),

    iar xi yi Ui,nj=1j 6=i

    (yj xj) nj=1j 6=i

    Uj deci xi = yi, i, 1 i n.

    ii) i) Presupunand ca i, 1 i n, astfel ncatx Ui

    nj=1j 6=i

    Uj

    si

    20

  • x 6= 0, atunci, din x nj=1j 6=i

    Ui, rezulta x = y1 + ... + yi1 + yi+1 + ... + yn si

    deci y1 + ...+ yi1 + (x) + yi+1 + ...+ yn = 0 + ...+ 0 fara ca x = 0, ceeace este fals.

    Observatia 2.11. {a1, ..., an} constituie o submultime liniar indepen-denta a unui K-spatiu liniarV daca si numai daca L(a1, ..., an) =

    ni=1

    L(ai).

    Propozitia 2.7. Daca U1, ..., Un sunt subspatii liniare ale K-spatiului

    liniar finit generat V , atuncini=1

    Ui =ni=1

    Ui daca si numai daca dimni=1

    Ui =

    ni=1

    dimUi.

    Demonstratie. Daca m = 2, obtinem n mod evident ca U1 + U2 = U1 U2 dim(U1 + U2) = dimU1 + dimU2.

    Daca Ui nj=1j 6=i

    Uj = {0} atunci dim

    Ui nj=1j 6=i

    Uj

    = 0, deci dim ni=1

    Ui =

    dimUi + dim

    nj=1j 6=i

    Uj

    16. Aratand ca nj=1j 6=i

    Uj =nj=1a 6=i

    Uj va rezulta, aplicand

    metoda inductiei matematice, ceea ce trebuia demonstrat.

    Darnj=1j 6=i

    xj =nj=1j 6=i

    yj x1+...+xi1+0+xi+1+...+xn = y1+...+yi1+0+

    yi+1 + ...+ yn deci xj = yj pentru orice j = 1, n, j 6= i, adicanj=1j 6=i

    Uj =nj=1j 6=i

    Uj.

    Reciproc dim

    Ui nj=1j 6=i

    Uj

    = 0 Ui nj=1j 6=i

    Uj = {0}, pentru orice i = 1, n.

    16S-a tinut cont ca Ui +nj=1j 6=i

    Uj =nj=1

    Uj .

    21

  • Conchidem cani=1

    Ui =ni=1

    Ui.

    Operatori liniari

    Fie V si W spatii liniare peste acelasi corp comutativ K.Definitia 2.4. O aplicatie : V W se numeste operator liniar (de

    la V la W ) daca satisface conditiile:i) (x+ y) = (x) + (y), oricare ar fi x, y V ;ii) (xy) = (x), oricare ar fi K si x V .Observatia 2.12. Conditiile din definitie sunt, n mod clar, echivalente

    cu conditia: (x+ y) = (x) + (y) oricare ar fi , K si x, y V .Exemple:i) Aplicatia identitate 1V : V V este operator liniar (operatorul

    liniar identitate);ii) Aplicatia 0 : V W 0(x) = 0,x V , este operator liniar (opera-

    torul liniar nul);iii) Aplicatia : K[X] K[X], (f) = f , unde, pentru f(X) =

    nk=0

    akXk, f (X) =

    nk=1

    (kak)Xk1, iar kak = ak + ...+ ak

    k ori

    , este operator liniar

    (operatorul liniar de derivare).Observatia 2.13. i) Notand L(V,W ) = {f : V W | f operator liniar}

    si definind f+g, f, ( K) prin (f+g)(x) = f(x)+g(x), (f)(x) = f(x),obtinem ca L(V,W ) este K-spatiu liniar;

    ii) remarcand ntai ca, prin compunerea a doi operatori liniari (f : V W,h : W Y , se obtine un operator liniar (h f : V Y )) si notandL(V ) = {f : V V | f operator liniar}, obtinem ca L(V ) mpreuna cuoperatia + definita anterior si cu operatia de compunere are structura deinel unitar.

    Daca : V W este, n plus, injectiva (surjectiva) atunci spunem caavem un operator liniar injectiv (surjectiv).

    Observatia 2.14. i) Daca : V W este operator liniar, atuncisubmultimea ker = {x V | (x) = 0} este subspatiu liniar n V . esteoperator liniar injectiv daca si numai daca ker = {0};

    ii) daca : V W este operator liniar, atunci submultimea Im ={(x) | x V } este subspatiu liniar n W . este operator liniar surjectivdaca si numai daca Im = W .

    22

  • Propozitia 2.8. Daca V,W sunt K-spatii liniare finit generate, iar :V W este operator liniar atunci:

    dimV = dim(ker) + dim(Im).

    Demonstratie. Propozitia 2.3 asigura faptul ca subspatiile ker si Imsunt finit generate.

    Fie e1, ..., er o baza n ker. Observatia 2.6 asigura faptul ca existaer+1, ..., en astfel ncate1, ..., er, er+1, ..., en sa constituie o baza n V . Se aratausor ca {(er+1), ..., (en)} este liniar independenta si constituie un sistemde generatori pentru Im. Avem atunci n = r + (n r) adica dimV =dim(ker) + dim(Im). In cazul ker = {0}, daca e1, ..., en este baza n V ,atunci (e1), ..., (en) este baza n Im. In cazul n care Im() = {0} adica este operatorul liniar nul, este evident ca V = ker.

    Definitia 2.5. Un operator liniar : V W este numit izomorfismde spatii liniare daca exista un operator liniar : W V astfel n-cat = 1W , = 1V (n acest caz spunem ca V si W sunt izomorfesi notam V ' W ).

    Propozitia 2.9. Un operator liniar : V W este izomorfism daca sinumai daca aplicatia este bijectiva.

    Demonstratie. Este clar ca n ipoteza izomorfism rezulta bijectiva.Reciproc, fie inversa aplicatiei . Este suficient sa aratam ca este

    operator liniar. Daca y1, y2 W , atunci y1+y2 = 1W (y1+y2) = ((y1+y2))si y1 + y2 = 1W (y1) + 1W (y2) = ((y1)) + ((y2)). Rezulta (y1 + y2) =(y1) + (y2). In mod analog, se arata ca (y) = (y).

    Teorema 2.3. Fie V,W doua spatii liniare finit generate. Atunci V 'W dimV = dimW .Demonstratie. Daca : V W este izomorfism atunci ker = {0}si Im = W . Conform propozitiei 2.8, rezulta dimV = dimW .

    Fie e1, ..., en baza n V si f1, ..., fn baza n W . Definim : V Wn modul urmator: daca x V, x = 1e1 + ... + nen atunci (x) = 1f1 +... + nfn. Se dovedeste (prin verificare directa) ca este operator liniarinjectiv si surjectiv deci izomorfism.

    Consecinta 2.1. Orice K-spatiu liniarde dimensiune n este izomorf cuspatiul liniar Kn.

    23

  • O caracterizare a izomorfismelor de spatii liniare de aceeasi dimensiunefinita este data n propozitia urmatoare.

    Propozitia 2.10. Fie V,W doua K-spatii liniare avand dimV = dimW =n si : V W un operator liniar. Urmatoarele conditii sunt echivalente:

    i) f este injectiv;ii) f este surjectiv;iii) f este izomorfism.

    Demonstratie. Conform propozitiei 2.8, dim ker f + dimImf = dimV .Daca f este injectiv, atunci ker f = {0} si deci Imf = dimV = dimW .Folosind propozitia 2.5 se deduce Imf = W , adica f este surjectiv. In acelasimod se arata ca, daca f este surjectiv atunci f este injectiv.

    Fie V,W K-spatii liniare finit generate, dimV = m, dimW = n, f :V W un operator liniar si B = {e1, ..., em}, B = {f1, ..., fn} baze n V ,respectiv W . Avem:

    f(e1) = 11f1 + 21f2 + ...+ n1fn;

    ...............

    f(em) = 1mf1 + 2mf2 + ...+ nmfn,

    iar matricea

    MBB(f) =

    1112 ... 1m... ... ...n1n2 ... nm

    este numita matricea operatorului f n perechea de baze (B,B).

    Avand n vedere faptul ca pentru x V, x =ni=1

    ie1, iar f(x) =ni=1

    if(ei),

    se deduce f este unic determinat de MBB(f). In acest context se obtine:Propozitia 2.11. Fie V siW K-spatii liniare avand dimV = m, dimW =

    n, m,n N. Atunci spatiile liniare L(V,W ) si M(n,m,K) sunt izomorfe.Demonstratie. Consideram baza B = {e1, ..., em} n V si baza B ={f1, ..., fn} n W .

    Definim : L(V,W )M(n,m,K) prin (f) =MBB(f). Prin calcul sededuce ca MBB(f + g) = MBB(f) +MBB(g), MBB(f) = MBB(f) deci este operator liniar. Daca (f) = (g), atunci, presupunand MBB(f) =

    24

  • (ij)nm, MBB(g) = (ij)nm, rezulta

    f(ej) =mi=1

    ijfi =ni=1

    ijfi = g(ej), j = 1,m

    si n consecinta f(x) = g(x), x V , adica este injectiva.Daca M = (aij)nm M(n,m,K), se considera f : V W dat prin

    f(ej) =ni=1

    aijfi, j = 1,m, iar pentru x V, x =mj=1

    jej, f(x) =nj=1

    jf(ej).

    Este clar ca f este operator liniar si MBB(f) =M , deci este surjectiva.

    Pe parcursul demonstratiei anterioare a fost evidentiat faptul ca, pentruo pereche de baze precizate, matricea sumei a doi operatori f, g L(V,W )este egala cu suma matricelor corespunzatoare operatorilor f si respectiv g.In cazul operatorilor liniari f : V W,h : W Y unde V,W, Y sunt K-spatii liniare, dimV = m, B este o baza n V , dimW = n, B este o baza nW , dimY = p, B este o baza n Y , are loc17:

    Observatia 2.15. MBB(h f) =MBB(h) MBB(f).Aceasta observatie conduce imediat la:Propozitia 2.12. Daca V este K-spatiu liniarde dimensiune m, atunci

    exista un izomorfism de inele ntre L(V ) si M(m,K).Drept consecinta se obtine:Consecinta 2.2. Daca V este K-spatiu liniar finit generat, iar B este o

    baza n V atunci operatorul liniar f L(V ) este izomorfism daca si numaidaca MBB(f) este inversabila.

    In consideratiile anterioare, spatiile liniare finit generate au fost presupuseca fiind nzestrate cu o (anumita) baza fixata. Aceasta, nefiind supusa unorrestrictii, se deduce ca enunturile date au loc pentru orice baze s-ar alegen spatiile considerate. Pe de alta parte, apare n acest context problemaschimbarii matricei unui operator liniar n cazul schimbarii bazelor n spatiileconsiderate.

    Fie V si W K-spatii liniare avand dimV = m, dimW = n, B1 ={e1, ..., em}, B2 = {e1, ..., em}, baze n V , B1 = {f1, ..., fn}, B2 = {f 1, ..., f n},baze n W . Notam A = (aij)mn matricea de trecere de la baza B1 la bazaB2 si A

    = (aij)nn matricea de trecere de la baza B1 la baza B

    2.

    17verificarea este propusa ca exercitiu

    25

  • Fie f : V W un operator liniar. Prin calcul se deduce formulade schimbare a matricei unui operator la schimbarea bazelor: MB2B2(f) =(A)1 MB1B1(f) A.

    Intr-adevar, daca MB1B1(f) = (ij)nm, MB2B2(f) = (ij)nm,

    f(ej) = f

    (mk=1

    akjek

    )=

    mk=1

    akjf(ek) =mk=1

    akj (

    nl=1

    lkfl

    )=

    nl=1

    (mk=1

    lkakj

    )fl, j = 1,m

    si

    f(ej) =n

    k=1

    kjfj =

    nk=1

    kj

    (nl=1

    alkfl

    )=

    nl=1

    (n

    k=1

    alkkj

    )fl, j = 1,m.

    Rezulta:mk=1

    lkakj =n

    k=1

    alkkj, l = 1, n, j = 1,m,

    deci A MB2B2(f) =MB1B1(f) A, unde A (si A) este inversabila.Conexiunile dintre proprietatile operatorilor liniari si cele ale matricelor

    asociate sunt evidentiate si de urmatorul rezultat (ce se va dovedi util nparagraful urmator).

    Propozitia 2.13. Fie V un K-spatiu liniar, dimV = n, g : V Voperator liniar astfel ncat m N ncat (g g ... g)

    m

    (x) = 0, (gm(x) = 0)

    x V . Atunci exista o baza B n V asa ncat

    MBB(g) =

    0 1 0 ... 00 0 2 ... 0

    ... ......

    0 0 0 ... n10 0 0 ... 0

    , k {0, 1}, k = 0, n 1.

    Demonstratie. Din implicatia gk(x) = 0 gk+1(x) = g(gk(x)) = 0 rezultaincluziunile (*) {0} ker g ker g2 ... ker gp1 ker gp = V undep = min{m | gm(x) = 0, x V }.

    26

  • Din minimalitatea lui p rezulta ca incluziune ker gp1 ker gp este stricta.Daca avem o baza Bp1 n ker gp1, atunci aceasta poate fi completata panala o baza Bp n ker g

    p, anume Bp = {x1, ..., xk} Bp1. Notam S1 ={x1, ..., xk}. Se verifica usor ca g(S1) = {g(x1), ..., g(xk)}, ..., gp1(S1) ={gp1(x1), ..., gp1(xk)} sunt liniar independente si

    g(S1) ker gp1 \ ker gp2...gp1 ker g \ {0}

    Se deduce astfel ca toate incluziunile (*) sunt stricte. In continuare, dacaavem o baza Bp2 n ker gp2, aceasta se va completa pana la o baza Bp1n ker gp1 luand mai ntai g(S1), adica Bp1 = g(S1) Bp2 S2, undeS2 = {y1, ..., ye} sau S2 = .

    Procedeul se continua din aproape n aproape pana se ajunge la ker g undeeste necesar sa construim o baza B1 = g

    p1(S1) gp2(S2) ... g(Sp1)Spunde Si, i = 2, p 1, sunt obtinute prin procedeul anterior (putem avea siSi = ), iar Sp = {v1, ..., vi} sau Sp = .

    Se verifica faptul caB = {gp1(x1), gp2(x1), .., g(x1), x1, gp2(x2), ..., g(x2),x2, ..., g

    p1(xk), ..., g(xk), xk, gp2(y1), ..., g(y1), y1, .., gp2(ye), ..., ye, ..., v1, v2,..., vt} constituie o baza18 n V .

    Matricea lui g va avea forma din enunt.

    2.1 Subspatii invariante

    Fie V un K-spatiu liniarsi f : V V un operator liniar.Un subspatiu liniar U al K-spatiului liniar V este numit subspatiu in-

    variant relativ la operatorul liniar f daca x U , f(x) U (astfel spus,f(U) U).

    Exemple:i) ker f si Imf sunt subspatii invariante relativ la f ;ii) V si {0} sunt subspatii invariante fata de orice operator liniar f : V

    V ;

    18In ipoteza ca Si = , secventa corespunzatoare nu apare n multimea considerata.

    Mai putem scrie B =

    p1j=0

    gj(S1)

    (p2k=0

    gk(S2)

    ) ... (g(Sp1) Sp1) Sp unde

    g0(Si) = Si, i = 1, 2, ....

    27

  • iii) Orice subspatiu este invariant fata de operatorul nul si fata de opera-torul identitate.

    De interes deosebit se bucura subspatiile invariante de dimensiune 1. Seajunge astfel la:

    Definitia 2.6. i) Un element x V \ {0} se numeste vector propriual operatorului liniar f : V V daca exista K astfel ncatf(x) = x.

    ii) Un element K se numeste valoare proprie a operatorului liniarf : V V daca x V \ {0} astfel ncatf(x) = x.

    Observatia 2.16. i) Unui vector propriu i corespunde o singura valoareproprie;

    ii) Unei valori proprii i corespunde o infinitate de vectori proprii, iarU = {x V | f(x) = x}19 constituie un subspatiu liniar invariant20;

    iii) Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte (ale unuiacelasi operator liniar f : V V ) constituie o submultime liniar indepen-denta.

    Demonstratie. i) Daca f(x) = (x) si f(x) = x, atunci ( )x = 0 si,cum x 6= 0, rezulta = .

    ii) Daca x este vector propriu corespunzator valorii proprii , atunci x, K, satisface, de asemenea, f(x) = (x) = ()x = ()x = (x).Avem si f(x) = x, f(y) = y f(x+ y) = (x+ y).

    iii) Fie x1, ..., xp asociati valorilor proprii 1, ..., p. Daca presupunem ca1x1 + ... + pxp = 0 si, de exemplu, 1 6= 0, atunci 2(1 2)x2 + ... +p(p 1)xp = 0 (prima egalitate se nmulteste membru cu membru cu 1si se scade din 11x1 + ...+ ppxp = 0).

    Daca presupunem ca {x2, ..., xp} constituie o submultime liniar indepen-denta atunci rezulta 2 = ... = p = 0 (deoarece i 6= j, i 6= j, 1 i, j p).Se obtine 1x1 = 0 - fals (1 6= 0, x1 6= 0).

    Rezulta ca are loc: {x1, ..., xp} liniar dependenta {x2, ..., xp} liniardependenta ... {xp} liniar dependent(absurd deoarece xp 6= 0).

    In cele ce urmeaza se va indica o metoda de determinare a valorilor proprii(si vectorilor proprii) 4n cazul unui K-spatiu liniarde dimensiune finita.

    Fie un K-spatiu liniarV , dimV = n, B o baza n V si f : V V un19Este numit subspatiul propriu asociat valorii proprii si este format din 0 si din

    vectorii proprii corespunzatori valorii proprii . Daca nu este valoare proprie, vom aveaU = {0}.

    20Se va vedea ulterior ca dimU nu este n mod obligatoriu egala cu 1.

    28

  • operator liniar. Explicitand pe coordonate egalitatea f(x) = x, se obtine:(11 ) + 122 + ...+ 1nn = 0..................................n11 + n22 + ...+ (nn )n = 0

    unde 1, ..., n reprezinta coordonatele lui x n baza data, iar A = (ij)nn =MBB(f) (matricea lui f n baza B).

    Pentru ca sistemul astfel obtinut (n necunoscutele 1, ..., n) sa admitasolutii diferite de solutia banala 1 = ... = n = 0, este necesar si suficientca determinantul matricei sistemului sa fie nul. Deducem de aici ca valo-rile proprii ale operatorului liniar f sunt radacinile (din K) ale polinomuluiP () = det(A In), numit polinomul caracteristic al operatorului f .In locuind valorile gasite pentru n sistemul anterior, se deduc sistemele ceau ca solutii, respectiv, vectorii proprii corespunzatori valorii proprii consid-erate.

    Apare ca necesar urmatorul rezultat (prefigurat si de faptul ca n denu-mirea de polinom caracteristic nu se face referire la matricea operatoruluiA):

    Propozitia 2.14. Polinomul caracteristic al unui operator f : V V(V este K-spatiu liniarfinit generat) este invariant21 fata de schimbarea bazei.

    Demonstratie. Fie B si B baze n V si A =MBB(f), A =MBB(f). DacaM este matricea de trecere de la baza B la baza B atunci A = M1AM ,iar det(A In) = det(M1AM M M1) = detM1(A In)M =detM1 det(A In) detM = det(A In) (n = dimV ).

    Fie V un K-spatiu liniar, dimV = n, B o baza n V , f : V V unoperator liniar avand polinomul caracteristic P () = n

    n+n1n1+ ...+

    0 (evident n = (1)n) si MBB(f) = A. Notam si fk = f f ... f k ori

    .

    Propozitia 2.15. [Teorema Hamilton-Cayley] Au loc:nA

    n+n1An1+ ...+0In = O M(n,K) (putem scrie P (A) = O M(n,K))

    si nfn + n1fn1 + ... + 0 1V = O L(V, V ) (putem scrie P (f) =

    O L(V, V ), unde O : V V , O(x) = 0, x V ).21(cu sensul ca) polinoamele obtinute pentru acelasi operator f , folosind baze diferite,

    au exact aceleasi radacini, de aceleasi ordine de multiplicitate

    29

  • Demonstratie. Pentru diferit de valorile proprii ale operatorului f , AIn este inversabila si putem scrie A In = 1

    P () B (*), unde elementele

    lui B sunt polinoame de grad cel mult n 1 (sunt complementi algebrici aielementelor din A In), si putem scrie B = B0 + B1 + ...+ n1 Bn1cu Bi M(n,K), i = 0, n 1.

    Explicitand egalitatea (*), putem scrie

    0 In = A B01 In = A B1 B0

    .............

    n1 In = A Bn1 Bn2n In = Bn1.

    Inmultim, la stanga, a doua egalitate cu A, a treia cu A2 etc., si nsumam.Obtinem P (A) = O. Dar P (A) este matricea operatorului P (f), deci P (f) =O L(V, V ).

    Propozitia 2.16. Fie V un K-spatiu liniar, dimV = n, f : V V unoperator liniar. Presupunem ca f admite valorile proprii distincte 1, ..., p.Daca p < n, atunci exista o baza B n V astfel ncat

    MBB(f) =

    1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... p ... ... ... ... ...0 0 ... 0 ... ... ... ... ...

    0 0 ... 0

    unde M(p, n p,K), M(n p, n p,K).

    Daca n = p, atunci exista o baza B n V astfel ncat

    MBB(f) =

    1 0 ... 00 2 ... 0... ... ... ...0 0 ... n

    .

    30

  • Demonstratie. Conform rezultatelor anterioare, vectorii proprii x1, ..., xpcorespunzatori respectiv valorilor proprii 1, ..., p sunt liniar independenti.Completand (eventual) pana la o baza, se obtine pentru matricea lui f formaprecizata n enunt.

    Problema gasirii unei baze (problema, putem spune, sugerata de propozitiaanterioara) n care matricea unui operator sa aiba forma diagonala22 (ma-trice ((ij))mn n care ij = 0, pentru i 6= j, 1 i, j n) nu este nntregime rezolvata de aceasta propozitie. Prezenta a n valori proprii dis-tincte (n = dimV ) este conditie suficienta dar nu si necesara de exsitenta aunei astfel de baze.

    Remarcam si faptul ca baza B n care MBB(f) are forma diagonala estealcatuita de vectori proprii ai operatorului liniar f si reciproc, matricea ope-ratorului liniar f ntr-o baza alcatuita din vectori proprii (ai lui f) are formadiagonala.

    Aceasta rezulta din aceea ca pentru B = {e1, ..., en} f(ei) = iei, i =

    1, nMBB(f) =

    1 0 ... 00 2 ... 0... ... ... ...0 0 ... n

    . Deducem si ca, n ipoteza existenteiformei diagonale pentru matricea unui operator, aceasta forma va avea pediagonala valori proprii operatorului. Analiza situatiei descrise conduce la:

    Propozitia 2.17. Fie V un K-spatiu liniar, dimV = n si f : V Vun operator liniar. Presupunem ca f admite valorile proprii 1, ..., p avandordinele de multiplicitate m1, ...,mp, iar m1 + ... +mp = n

    23. Atunci exista

    22Calculele efectuate cu matrice de forma diagonala sunt foarte simple. De exem-

    plu, daca A =

    1 0 ... 00 2 ... 0... ... ... ...0 0 ... n

    , B =

    1 0 ... 00 2 ... 0... ... ... ...0 0 ... n

    atunci A B =

    1 1 0 ... 00 2 2 ... 0... ... ... ...0 0 ... n n

    , Am =

    m1 0 ... 00 m2 ... 0... ... ... ...0 0 ... mn

    ,m N.23Altfel spus, daca, de exemplu, K = R, atunci polinomul caracteristic are toate

    radacinile reale (anume n K = R). Conditia este automat ndeplinita pentru K corpalgebric nchis.

    31

  • o baza B n V astfel ncat

    MBB(f) =

    1 ... 0 0 ... 0... ... ... ... ... ...0 ... 1 0 ... 00 ... 0 2 ... 0... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ...0 ... 0 0 ... p

    (i apare de mi ori, i = 1, p) daca si numai daca dimUi = mi, i = 1, p(Ui = {x | f(x) = ix}, i = 1, p reprezinta subspatiile liniare invariantedate n observatia 2..)24.

    Demonstratie. Daca {e11, ..., em11 , e12, ..., em22 , ..., empp } reprezinta baza n carematricea operatorului liniar f are forma din enunt25, atunci se verifica faptulca {e1j , ..., emjj } reprezinta o baza n Uj , j = 1, p.

    Reciproc: Reunind bazele tuturor subspatiilor Uj , j = 1, p, se obtine obaza n V .

    2.2 Forma canonica Jordan

    Rezultatele prezentate anterior nu fac referiri la urmatoarele cazuri: m1 +... + mp < n (aceasta nseamna ca nu toate (posibil nici una

    26) radacinilepolinomului caracteristic se gasesc n K, altfel spus, polinomul caracteristicnu se poate scrie ca un produs de polinoame de gradul 1 n K[X]) - sim1+ ...+mp = n dar j, 1 j p, ncat dimUj 6= mj (vom avea dimUj