CAPÍTULO 4 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA E

PROBABILIDADES

1. INTRODUÇÃO

- Conceito de população desconhecida π e proporção da amostra

observada P.

π = P + pequeno erro

Perguntas: - Qual é o pequeno erro?

- Até que ponto estamos certos?

(com 95% de confiança)

onde: n ... tamanho da amostra

P... proporção da amostra

Exemplo: Em 1972, pouco antes das eleições presidenciais nos

Estados Unidos, uma pesquisa Gallup, feita junto a 2000 eleitores,

acusou 760 favoráveis a McGovern e 1240 favoráveis a Nixon.

Calcular o intervalo π de confiança de 95% em relação a proporção P,

da população que votou em McGovern.

n

PPP

)1(96,1

−±=Π

- Aumentando n, aumenta-se a confiança. Para 99% de confiança, tem-se:

2. VARIABILIDADE

Duas peças nunca serão exatamente iguais: variações podem ser

mínimas.

3. TIPOS DE VARIAÇÃO

A Dentro da própria peça

B. Entre peças produzidas no mesmo período

C. Entre peças produzidas em períodos diferentes

n

PPP

)1(58,2

−±=Π

4. TIPOS DE CARACTERÍSTICAS DA QUALIDADE

o Variável: quando se faz um registro de uma característica

medida, através de uma dimensão. Uma variável pode ter

todos os valores possíveis entre dois valores limite.

o Atributo: quando se faz registros de um número de ítens

que atendam ou não a qualquer requisito específico,

dizemos que esses registros são feitos com base em

atributos.

o Variáveis tratadas como atributos: a qualidade medida de

ítens é chamada de variável, e o grupamento de itens em

função de suas dimensões é chamado de atributo.

5. CLASSIFICAÇÃO DOS DADOS

- Discretos: assumem determinados valores sem valores

intermediários.

- Contínuos: assumem qualquer valor dentro dos limites

especificados.

6. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

Nenhum processo pode fornecer ítens exatamente iguais, sempre

existirá variação.

Distribuição de freqüências é útil para entender e interpretar a natureza dos dados

6.1. Diagrama de Freqüências

Exemplo de distribuição de freqüências para dados contínuos.

Peso de eixo de transmissão de aço (em Kg) 2,559

2,570

2,560

2,546

2,568

2,561

2,551

2,556

2,559

2,550

2,534

2,544

2,564

2,552

2,539

2,532

2,547

2,571

2,551

2,567

2,570

2,546

2,556

2,546

2,560

2,555

2,572

2,560

2,562

2,550

2,557

2,559

2,547

2,550

2,553

2,543

2,569

2,552

2,537

2,545

2,569

2,572

2,542

2,531

2,566

2,565

2,545

2,551

2,550

2,564

2,542

2,561

2,532

2,565

2,569

2,552

2,558

2,562

2,552

2,575

2,547

2,545

2,559

2,558

2,552

2,563

2,546

2,543

2,551

2,554

2,556

2,567

2,559

2,559

2,575

2,552

2,559

2,536

2,538

2,571

2,536

2,545

2,533

2,556

2,534

2,542

2,551

2,554

2,561

2,538

2,568

2,574

2,551

2,560

2,556

2,561

2,551

2,560

2,549

2,570

2,564

2,553

2,537

2,551

2,538

2,543

2,561

2,574

2,553

2,554

6.2. Cálculos para Distribuição de Freqüência

A. Montar a folha de contagem

Folha de contagem de valores para pesos de eixos de ação ( com

origem em valores de 2,500 Kg).

PESO TABULAÇÃO PESO TABULAÇÃO PESO TABULAÇÃO

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

1

11

1

11

11

11

111

1

111

111

1

1111

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

1111

111

1

1111

1111 111

1111 1

111

111

1

1111

1

11

1111 11

1111

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

1111

11

1

111

11

1

11

11

111

111

11

11

11

11

Números de células de 5 a 20.

B. Determinar a amplitude

R = H – L

= 2,575 – 2,531 = 0,044 (Kg)

C. Determinar o intervalo de células

C = R/ i

onde: C = número de células

R = amplitude

i = intervalo de célula

D. Determinar os limites das células

Valores extremos, conhecidos como limite

superior e inferior.

E. Determinar os pontos médios das células

Ponto central entre os limites superior e inferior.

F. Mostrar a freqüência após a célula

Quantidades de valores correspondentes a cada célula.

G. Freqüência acumulada Maior ( ou Menor)

Quantidades de valores iguais ou maiores (ou menores) que a

célula indicada.

Exemplo: Distribuição de freqüências de pesos de eixos de aço.

Limites das

Células

Ponto

médio das

células

Freqüência Freqüência

menor que

Acumulada

maior que

2,531 – 2,535

2,535 – 2,539

2,539 – 2,543

2,543 – 2,547

2,547 – 2,551

2,551 – 2,555

2,555 – 2,559

2,559 – 2,563

2,563 – 2,567

2,567 - 2,571

2,571 – 2,575

2,575 – 2,579

2,533

2,537

2,541

2,545

2,549

2,553

2,557

2,561

2,565

2,569

2,573

2,577

6

7

4

12

8

20

9

19

7

10

6

2

6

13

17

29

37

57

66

85

92

102

108

110

110

104

97

85

77

57

48

29

22

12

6

4

6.3. Apresentação Gráfica de Distribuições de freqüências

A. Histograma

B. Polígono de Freqüências

C. Gráfico de Freqüências Acumuladas ou Ogivas

• Freqüência Acumulada Maior Que

� Freqüência Acumulada Menor Que

8. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

8.1. Moda

É o valor ou classe de maior frequência.

Ex: 2 5 5 7 9 9 12 11 5

8.2. Mediana

É o valor do centro da distribuição, após a mesma ter sido

ordenada.

Ex: 2 5 5 5 7 9 9 11 12

E se o número de observações for par?

Ex: 1 3 5 7 8 9 11 12

Mediana: (7 + 8) / 2 = 7,5

8.3. Média X

Média aritmética das observações

1

...21

==+++=∑

i

x

n

xxxx

n

i

2sS =1

)( 2

1

−

−=∑

=

n

xxS

i

n

i

9. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE

9.1. Variância (S2)

9.2. Desvio Padrão (S):

9.3. Amplitude (R):

R = Xmax-Xmin

1

)( 2

12

−

−=∑

=

n

xxS

i

n

i

10. Distribuição de Probabilidades

Forma de associar os eventos possíveis com suas

probabilidades.

• Distribuições Discretas

Variável discreta.

• Distribuições Contínuas

Variáveis contínuas.

todos

possíveis

n

nePr == 1

1 lim)(

Conceitos Matemáticos de Apoio:

1) Arranjo: nº de grupos de K elementos que se pode ordenar de

n elementos.

Exemplo: Quantas maneiras pode-se arranjar as letras A, B, C e

D, duas a duas?

2) Permutação: caso particular de arranjo de n elementos

agrupados em formas diferentes.

Pn=n!

Exemplo: Quantas maneiram se permutam as letras A, B e C?

P3 = 3! = 3 . 2. 1 = 6

)!(

!, Kn

nA Kn −

=

121.2

1.2.3.4

)!24(

!42,4 ==

−=A

3) Combinação: nº de grupos K elementos que pode obter de n

elementos.

Exemplo: Quantos resultados são possíveis ao se retirar 2 bolas,

com reposição de uma urna contendo uma bola vermelha, uma azul,

uma amarela e uma preta?

A) Distribuições Contínuas

A.1) Distribuição Normal

Uma das mais utilizadas:

µ

σ2

)!(!

!, KnK

nC Kn −

=

61.2.1.2

1.2.3.4

)!24(!2

!42,4 ==

−=C

22 2/)(

2

1)( σµ

πσ−−= XeXf

Padronização: distribuição padrão normal N (µ, σ2) N (0,1)

onde: x ... amostra

µ ... média populacional (- ∞ < µ < ∞)

σ2 ... variância da população (σ2 > 0)

A padronização transforma uma variável aleatória com

distribuição N (µ,σ2) em uma distribuição padrão N (0,1).

Exemplo: A distribuição dos diâmetros de uma peça segue uma

distribuição normal com µ = 100 mm e desvio padrão de 0,3 mm.

Qual a porcentagem de peças que se encontra fora da especificação

100,1 ± 0,7?

Solução: Xmin = 100,1 – 0,7 = 99,4

Xmax = 100,1 + 0,7 = 100,8

σµ−= x

z

99,4 100 100,8

P (fora da especificação) = (1 – 0,9962) + 0,0228

P (fora da especificação) = 2,66%

A.2) Distribuição Exponencial

f (x) = λ e-λx para x ≥ 0

67,23,0

1008,100 =−=z tabela 0,9962

f (x)

x

00,23,0

1004,99 −=−=ztabela 0,0228

onde: λ ... taxa de acontecimentos de sucesso

A média e a variância da distribuição exponencial são:

Exemplo: Uma fábrica produz lâmpadas com uma duração de

vida que pode ser considerada com uma distribuição exponencial com

média 200 horas.

a) Qual a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 20

horas de uso?

∫−− ==>

x

X

xxo

o

oedxexxP λλλ)(

λµ 1=

22 1

λσ =

f (x)

x 20

Solução: µ = 200 h

x = 20 h

b) Qual a probabilidade de uma lâmpada queimar entre 100 e

120 h

Solução:

c) Das lâmpadas que duram mais de 100 horas, qual a

porcentagem que queimam entre 100 e 120 horas?

Solução:

hqueimas/200

11 ==µ

λ

0952,01)20(20.

200

1

=−=<−

exP

f (x)

x 100 120

0577,0054886065,0)20100(120.

200

1100.

200

1

=−=−=<<−

−eexP

B) Distribuições Discretas

B.1) Distribuição Hipergeométrica

A variável aleatória da distribuição hipergeométrica é:

X= nº de peças defeituosas numa amostra, retirada sem

reposição de uma população finita.

N = nº de peças de um lote

D = nº de peças defeituosas deste

lote

n = tamanho da amostra

A probabilidade de saírem K peças defeituosas na amostra

é:

0952,06065,0

0577,0)

100

20100( ==

><<

x

xP

−−

==

n

N

Kn

DN

k

D

KXP

.

)(

onde:

... nº de amostras distintas de tamanho n,

que podem ser retiradas de uma população

de tamanho N

... nº de amostras com exatamente

K peças defeituosas.

Exemplo: Um lote de 50 peças contém exatamente 20% de

peças defeituosas. Retirada uma amostra de 5 peças, qual a

probabilidade de mais de 20% das peças da amostra serem

defeituosas?

Solução:

N = 50

D = 0,2 x 50 = 10

n = 5

x = ?

P (X > 0,2 x 5) = (X > 1) = 1- P (X = 0) – P (X =1)

n

N

−−

Kn

DN

K

D.

3106,0

5

50

5

40

0

10.

)0( =

=

−−

==

n

N

Kn

DN

k

D

XP

B.2) Distribuição Binomial

Condições:

a) n provas independentes

b) cada prova admite sucesso ou fracasso

c) a probabilidade de sucesso é p

d) X = nº de sucessos nas n provas

Função probabilidade:

4313,0

5

50

4

40.

1

10

)1( =

==XP

2581,04313,03106,01)1( =−−=>XP

KnK ppk

nKXP −−

== )1()(

onde: K ... nº de ordens que pode-se ter

... probabilidade de nas n provas

acontecer K sucessos e n-K

fracassos numa particular ordem

... combinação, n, K

Exemplo: Da produção mensal de uma máquina foi retirada

uma amostra de 5 peças. Sabe-se que esta máquina apresenta uma

porcentagem de peças defeituosas constante ao longo do tempo e

igual a 15%.

a) Qual a probabilidade de dentre as 5 peças exatamente 2

serem defeituosas?

b) Qual a probabilidade de mais de 2 serem defeituosas?

Solução:

a)

Knk pp −− )1(

K

n

1382,0)85,0(15,0.10

)15,01(15,02

5)1()2(

32

252

==

=−

=−

== −−KnK pp

k

nXP

b) P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) + (X = 5)

= 1 – P (X = 0) – P (X = 1) – P (X = 2)

B.3) Distribuição Poisson

Condições:

a) sucessos acontecem independentemente

b) taxa de acontecimento de sucesso (λ) é constante em

todo o intervalo t

c) X = nº de sucessos no intervalo t

d) t = intervalo contínuo de tempo, área, volume, etc.

Função probabilidade é:

onde: µ ... média (µ = λ.t)

0266,01382,03915,04437,01)2(

3915,0)85.0.(15,0.1

5)1(

4437,0)85,0(15,0.0

5)0(

41

50

=−−−=>

=

==

=

==

XP

XP

XP

!!

)()(

K

e

K

teKXP

KKt µλ µλ −−

===

Exemplo: Na inspeção de chapas de aço são retiradas

amostras de 2m2 e examinadas quanto ao número de imperfeições

encontradas.

As chapas com duas ou mais imperfeições na amostra são

rejeitadas. Se a média do processo de fabricação for de 0,75

imperfeições por metro quadrado, qual a probabilidade de uma

chapa ser rejeitada?

Solução: λ = 0,75 imperfeições/m2

t = 2 m2

µ = 2 x 0,75 = 1,5 imperfeições por amostra

X = nº de imperfeições (sucessos) numa amostra

de 2 m2

rejeição = 2 ou mais imperfeições

P (rejeitar) = P (X ≥ 2) = 1- P (X = 0) – P (X = 1)

4422,03347,02231,01)2(

3347,0!1

5,1)1(

2231,0!0

5,1)0(

15,1

05,1

=−−=≥

===

===

−

−

XP

eXP

eXP