Mecânica dos Fluidos I Semana 14

(14 a 18 de Dezembro de 2009)

Problema 10 – Um reservatório alimenta, através de uma conduta convergente, um tubo de secção constante (d = 0,1 m) que transporta azoto até um ponto de consumo numa fábrica. A pressão exterior é atmosférica e igual a 100 kPa.

Características do azoto: gás diatómico com razão de calor específicos γ = 1,4, calor específico a pressão constante Cp = 1039 J/(kg K) e constante de gás perfeito R = 297 J/(kg K).

A temperatura e a pressão do fluido no depósito são T = 300 K e p = 318 kPa, uniformes em todo o espaço do reservatório. a) Numa secção 100 m a montante da saída do tubo de secção constante, a pressão medida na parede do tubo é de 161 kPa e a pressão medida por um tubo de Pitot é de 178 kPa. Determine o número de Mach do escoamento na secção em questão. Se não resolveu esta alínea e precisar do valor do número de Mach nesta secção para resolver alguma das alíneas seguintes tome o valor de 0,38. b) A temperatura do azoto medida nessa secção é de 291,6 K. Verifique se o escoamento é adiabático entre o reservatório e a secção em causa. Justifique. Nas alíneas seguintes, admita que a troca de calor entre o fluido e o exterior é desprezável em toda a instalação. c) Mostre que a saída deste escoamento é subsónica. (Sugestão: considere o escoamento entre a secção da alínea a) e a saída do tubo). Qual a pressão na secção de saída? (1,0 val.) d) Qual o factor de atrito do tubo (Sugestão: considere o escoamento entre a secção da alínea a) e a saída do tubo)? Qual o comprimento total do tubo?

Problema 11 – À entrada de uma conduta adiabática de ar comprimido de secção constante, verificam-se as seguintes condições de temperatura e pressão:

K8001 =T ; Pa100,4 61 ×=p . A velocidade do ar nessa secção de entrada é

1 850 m sV = . A viscosidade cinemática do ar àquela temperatura é aproximadamente sm102,8 25−×=ν . O diâmetro da conduta é 0,1 mD = ; a rugosidade relativa é 4/ 5 10Dε −= × . A variação do número de Reynolds é pouco relevante para efeitos de cálculo do factor de atrito e por isso calcule este factor admitindo que o número de Reynolds é uniforme, igual ao da secção de entrada. Nota: A K800 , os coeficientes de calor específico a pressão constante e a volume constante são ( )kgKJ7,1098=pC e ( )kgKJ6,811=vC ; portanto a constante de gás perfeito do ar é ( )kgKJ1,287=R e a razão de calores específicos é 354,1=γ ; contudo, como primeiro exercício, pode assumir 4,1=γ , se achar que isso facilita o cálculo.

a) Qual o comprimento máximo da conduta, compatível com as condições referidas, sem haver onda de choque?

b) Calcule a pressão que se atinge na secção de saída da conduta se o comprimento for máximo. Quais os valores da pressão exterior compatíveis com esse comprimento?

c) Determine as condições de pressão e temperatura do escoamento m2,0 à frente da secção inicial referida neste problema.

d) Alguma coisa se alterava no escoamento se a tubagem fosse cortada nessa secção, m2,0 à frente da secção inicial, e a pressão exterior fosse idêntica à calculada na alínea anterior? E se a pressão exterior fosse idêntica à calculada na alínea b)?

e) Na hipótese da alínea anterior, de a tubagem ser cortada na secção m2,0 adiante da secção inicial, qual é a gama de pressões exteriores compatíveis com a pressão e temperatura referidas no cabeçalho deste problema?

Resposta: O número de Reynolds à entrada é 610037,1Re ×= , o factor de atrito é 01719,0=f , o número de Mach na secção inicial é 524,11 =M (ou 499,11 =M ,

usando 4,1=γ ); o comprimento máximo é aquele para o qual se atingem condições sónicas à saída: m8980,0=L (ou 0,80 mL = , usando γ e 1M aproximados). Com esse comprimento máximo, atinge-se à saída escoamento sónico com temperatura e pressão: K2,959* =T ; Pa10676,6 6* ×=p (ou K3,966* =T ;

Pa10590,6 6* ×=p , usando 1M e γ aproximados). Na secção m2,0 à frente da secção inicial a distância à secção crítica é m2,0 menor. O número de Mach é 436,12 =M (ou 411,12 =M , usando valores aproximados); a pressão e temperatura são Pa10316,4 6

2 ×=p ; K0,8272 =T (ou Pa10382,4 6

2 ×=p ; K2,8232 =T , usando 2M e γ aproximados). Se a conduta fosse cortada nessa secção e a pressão exterior fosse igual a 2p acabada de calcular ( Pa10316,4 6

2 ×=p ), nada se alterava e o escoamento saía em jacto supersónico nas mesmas condições da secção b). Se a conduta fosse cortada e a pressão exterior fosse maior (concretamente a da alínea b), nada se alterava até imediatamente antes da secção de saída, mas haveria uma onda de choque fraca já no exterior. Para a pressão exterior da alínea b),

Pa10676,6 6×=extp , a onda de choque seria fraca, como se verá mais claramente ao resolver a alínea seguinte. As condições do enunciado para a secção a) só são possíveis para pressões exteriores inferiores à de uma onda de choque normal à entrada da conduta, isto é, para pressões 69,533 10 Paextp < ×

Problema 12 – Considere um escoamento de vapor de água alimentado, através de uma tubeira convergente, a partir de uma caldeira com temperatura K8000 =T e pressão Pa100,4 6

0 ×=p . A viscosidade cinemática do vapor é sm102,1 26−×=ν . O escoamento ocorre numa conduta de diâmetro constante, 0,10 mD = (com este diâmetro a área é 23 m108540,7 −×=A ). A extremidade da conduta oposta à caldeira descarrega directamente para a atmosfera, a qual tem condições de pressão e temperatura normais ( Pa10013,1 5×=extp , K2,288=extT ). Admita que a conduta está isolada termicamente e a rugosidade da parede interna do tubo é m101 5−×=ε .

a) Utilize as seguintes propriedades do vapor de água para estimar a respectiva constante de gás perfeito, R , e a razão de calores específicos, γ .

Entalpia específica, h , e energia interna específica, u , do vapor:

Pa100,4 6× e C°400 : kgkJ3214=h , kgkJ2921=u Pa100,4 6× e C°500 : kgkJ3445=h , kgkJ3099=u Pa100,4 6× e C°600 : kgkJ3674=h , kgkJ3279=u

Atenção: valores em kJ/kg.

b) É possível que haja uma onda de choque dentro da conduta? São possíveis ondas de expansão à saída? A temperatura do vapor pode diminuir ao longo da conduta? A velocidade do vapor vai aumentando desde a caldeira até à saída? A pressão na conduta pode aumentar?

c) Represente num gráfico as possíveis evoluções de pressão estática ao longo da conduta, supondo que a pressão na caldeira se mantém e a pressão de saída é variada, desde o vácuo até uma pressão igual à da própria caldeira.

d) Determine o caudal de ar e o comprimento da conduta para ter escoamento sónico à saída da conduta sem haver onda de expansão no exterior. Para efeitos de estimativa do número de Reynolds, pode considerar que a velocidade média ao longo da conduta é sm400 .

e) Determine o comprimento máximo da conduta compatível com metade do caudal estimado na alínea anterior, e com a pressão exterior indicada. Para efeitos de estimativa do número de Reynolds, pode considerar que a velocidade média ao longo da conduta é sm400 .

f) Determine a temperatura e a pressão do vapor para esse comprimento, na secção de saída.

Resposta: Num gás perfeito, as diferenças de entalpia específica e de energia interna específica são proporcionais às diferenças de temperatura: TCh p∆=∆ e

TCh v∆=∆ . Assim, derivando numericamente, as propriedades do vapor de água àquela pressão e temperatura são:

( )kgKJ23102290 << pC ; valor médio no intervalo: ( )kgKJ2300=pC ; ( )kgKJ18001780 << vC ; valor médio no intervalo: ( )kgKJ1790=pCv ;

( )kgKJ530490 << R ; valor médio no intervalo: ( )kgKJ510=R ; 297753,1272222,1 << γ ; valor médio no intervalo: 2849,1=γ .

Uma vez que o escoamento acelera numa conduta só convergente, o número de Mach será sempre inferior a um. Portanto, não pode haver onda de choque, mas são possíveis ondas de expansão à saída. Como o escoamento é subsónico, a temperatura e a pressão estática do vapor diminuem ao longo da conduta, e a velocidade aumenta até à saída. Obtém-se o caudal máximo no limite de um comprimento da conduta nulo. Nessa altura, o escoamento acelera isentropicamente desde as condições de estagnação do reservatório até à saída. Se a pressão exterior for maior que a pressão crítica,

Pa10194,2 6* ×=p , o escoamento sai em regime subsónico à pressão exterior; se a pressão exterior for menor ou igual à pressão crítica, o escoamento à saída é crítico, com ondas de expansão depois da saída. Neste caso, a pressão crítica é maior que a pressão exterior, pelo que o escoamento é sónico e o caudal mássico é

skg68,32=m& . Para os cálculos com atrito é necessário determinar o coeficiente de atrito. O número de Reynolds é 7103,3Re ×= e a rugosidade relativa é 410−=Dε , pelo que o coeficiente de atrito é 01204,0=f . O caudal é máximo sem haver onda de expansão se o escoamento for sónico à saída e a pressão igual à pressão exterior:

Pa10013,1 52 ×== extpp . Como o escoamento é sónico, a partir de 2p pode

calcular-se a pressão de estagnação isentrópica à saída: Pa10847,1 5*002 ×== pp .

Na entrada da conduta, a pressão de estagnação isentrópica é a do reservatório: Pa100,4 6

01 ×=p . Da relação *001 pp retira-se o número de Mach na secção de

entrada: 02708,01 =M . A distância da secção 1 até à saída, crítica, é m66170=L . O caudal da alínea anterior pode calcular-se facilmente a partir das condições na secção de entrada: 02708,01 =M ; Pa109981,3 5

1 ×=p ; K9,7991 =T ; 3

1 mkg800,9=ρ ; 1 724,0 m sa = ; 1 19,61 m sV = . O caudal mássico vem: skg509,1=m& .

Metade desse caudal é skg7546,0=m& . Com as mesmas condições de estagnação à entrada e este novo caudal, o número de Mach à entrada passa a ser 01354,01 =M . Confirmemos o resultado: Pa109995,3 5

1 ×=p ; K98,7991 =T ; 31 mkg803,9=ρ ;

1 724,0 m sa = ; 1 9,800 m sV = : efectivamente, o caudal vem, como esperado, skg7546,0=m& . Com este número de Mach ( 01354,01 =M )

à entrada, a distância dessa secção 1 até à secção crítica (virtual), é m663.24*1 =L e

a pressão crítica (virtual) é Pa10065,5 4* ×=p . A pressão à saída é Pa10013,1 5

2 ×== extpp e portanto a relação entre esta pressão e a pressão crítica (virtual) é 000,2*

2 =pp , donde o número de Mach à saída é 5243,02 =M e a distância da secção 2 à secção crítica (virtual), é m755,5*

2 =L . Por diferença, obtém-se o comprimento da conduta: m657.24*

2*1 =−= LLL .

À saída, como se disse, é extpp =2 . Como o escoamento é adiabático, a temperatura de estagnação mantém-se ao longo da conduta e, dado o número de Mach 2M , a temperatura à saída vem K9,7691 =T .