.As amplitudes decrescem quando aumentamos a ordem da harmônica, isto é, quando o valor de n...

download .As amplitudes decrescem quando aumentamos a ordem da harmônica, isto é, quando o valor de n aumenta,

If you can't read please download the document

  • date post

    09-Nov-2018
  • Category

    Documents

  • view

    214
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of .As amplitudes decrescem quando aumentamos a ordem da harmônica, isto é, quando o valor de n...

  • Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 1

    CEFET-MG

    Srie Trigonomtrica de Fourier

    Uma funo peridica f(t) pode ser decomposta em um somatrio de

    senos e cossenos eqivalentes funo dada.

    ( ) ( )( )

    =

    ++=1

    sencos2

    )(n

    nno tnBtnA

    Atf

    onde:

    2oA valor mdio da funo f(t)

    An e Bn Coeficientes a determinar da srie de Fourier

    velocidade angular da funo f(t)

    Clculo dos Coeficientes da Srie Trigonomtrica de Fourier

    =T

    o

    o dttfT

    A)(1

    2 =

    peridoumdevalor

    perodoumemtfderea )(

    ( )=T

    on dttntf

    TA cos)(2

    ( )=T

    on dttntf

    TB sen)(2

  • Wander Rodrigues 2

    CEFET-MG

    Simplificaes Possveis

    Funo Par

    f(t) = f(-t) Bn = 0

    A decomposio ser um somatrio de funes cossenoidais

    Funo mpar

    f(t) = -f(-t) An = 0

    A decomposio ser um somatrio de funes senoidais

    Exerccios de Aplicao

    Questo 03 pgina 68

    Faa a decomposio do sinal pulso - representado na figura abaixo:

    Perodo: T = 0,2 s

    f 2= T

    2= 2,0

    2 = srad /10 =

  • Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 3

    CEFET-MG

    Definio da funo:

    5 para 0 t 0,1

    f(t) = 0 para 0,1 t 0,2

    Clculo de Ao/2

    =T

    o

    o dttfT

    A)(1

    2

    =

    +=

    1,0

    0

    2,0

    1,0

    1,0

    05

    2,0105

    2,01

    2dtdtdt

    Ao

    ===1,0

    0

    1,0

    0

    1,0

    0255555

    2dtdtxdt

    Ao

    ( )01,025252

    1,00 == t

    Ao

    VAo 5,22

    =

    Clculo de An

    ( ) dttntfT

    AT

    on = cos)(

    2

    ( ) ( )

    +=

    1,0

    0

    2,0

    1,0cos0cos52 dttndttn

    TAn

    ( ) ( ) ==1,0

    0

    1,0cos

    2,052cos52 dttnxdttn

    TA

    on

    ( )=1,0

    0cos50 dttnAn

    ( ) ( )1,0

    0

    1,0

    0

    sen50sen50 tnnn

    tnAn

    ==

  • Wander Rodrigues 4

    CEFET-MG

    ( ) ( )[ ]0.10.sen1,0.10.sen50

    nnn

    An =

    ( )0sensen50 =

    nn

    An

    ( )

    n

    nAn

    sen50=

    Clculo de Bb

    ( )=T

    n dttntfT

    B0

    sen)(2

    ( ) ( )

    +=

    1,0

    0

    2,0

    1,0sen0sen5

    2,02

    dttndttnBn

    ( ) ( ) ==1,0

    0

    1,0

    0sen

    2,052sen5

    2,02

    dttnx

    dttwnBn

    ( )=1,0

    0sen50 dttnBn

    ( ) ( )( ) 1,00

    1,0

    0

    cos50cos50 tnnn

    tnBn

    ==

    ( ) ( )( )[ ]0.10.cos1,0.10.cos50

    nnn

    Bn =

    ( )0coscos50 +=

    nn

    Bn

    ( )

    nn

    Bn cos150 =

    Tabelando os calores de An e Bn

    Considerando apenas os valores de An e Bn maiores que 10% do valor

    mximo da funo, teremos

  • Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 5

    CEFET-MG

    Valores de n An Bn

    1 ( ) 0.1sen.15 =

    ( )[ ]

    10.1cos1.15 =

    2 ( ) 0.2sen.25 =

    ( )[ ] 0.2cos1.25 =

    3 ( ) 0.3sen.35 =

    ( )[ ]

    .3

    10.3cos1.35 =

    4 ( ) 0.4sen.45 =

    ( )[ ] 0.4cos1.45 =

    5 ( ) 0.5sen.55 =

    ( )[ ]

    .5

    10.5cos1.55 =

    Escrevendo a equao de f(t)

    ( ) ( ) ( ) L++++= ttttf ..50sen.5

    10..30sen.3

    10..10sen105,2)(

    Concluso

    Verificamos que o sinal apresentado decomposto em um valor contnuo

    e uma soma de senoides de freqncias harmnicas mpares da freqncia

    fundamental.

    As amplitudes decrescem quando aumentamos a ordem da harmnica,

    isto , quando o valor de n aumenta, representando que essas componentes

    colaboram pouco na reconstituio da forma de onda do sinal original.

    Espectro de Amplitude

    O espectro de amplitude apresenta o valor mdio e as amplitudes

    mximas das componentes harmnicas do sinal representado.

  • Wander Rodrigues 6

    CEFET-MG

    Espectro de fase

    O espectro de fase apresenta o ngulo de fase das componentes

    harmnicas, sempre tomando o sinal como uma funo cossenoidal como

    referncia. (padronizao)

    Lembrete: ( )

    =

    2cossen twAtA

    Espectro de Potncia

    A potncia mdia de uma funo peridica dada por

    ( )=T

    odttf

    TP 2

    1

    Lembrando que R

    EP

    .2

    2max=

    , R

    EP DC

    2

    = e considerando um R unitrio,

    podemos escrever:

    =

    +=1

    22

    2nn

    o

    EEP

  • Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 7

    CEFET-MG

    Questo 08 pgina 68

    Represente a funo decomposta por meio de seus espectros de amplitude, fase e

    de potncia.

    Espectro de amplitude

    Espectro de fase

    Espectro de potncia

  • Wander Rodrigues 8

    CEFET-MG

    5,2=oE ( )25,2=oP WPo 25,6=

    183,31 =B

    2

    1 2183,3

    =P

    WP 066,51 =

    061,13 =B

    2

    3 2061,1

    =P

    WP 563,03 =

    637,05 =B

    2

    5 2637,0

    =P

    WP 203,05 =

    455,07 =B

    2

    7 2455,0

    =P

    WP 103,07 =

    Simulando a funo do Exemplo

    Utilizando para simulao o aplicativo Electronic WorkBench podemos

    trabalhar com o seguinte circuito para verificarmos se a decomposio realizada,

    retoma a forma de onda do sinal, com um mnimo de distoro.

    Para tal usaremos o seguinte circuito:

  • Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 9

    CEFET-MG

    Nesse circuito de simulao utilizamos a funo three-way voltage

    summer somador de tenso de tenso de trs entrada para fazer a adio de cada

    uma das parcelas que compem o sinal.

    Assim, aos fecharmos cada uma das chaves, de 1 a 5, estaremos

    adicionando a componente contnua, chave 1, as demais componentes harmnicas

    do sinal, chaves 2 a 5.

    Fechando, sucessivamente, cada uma das chaves encontraremos a

    seguintes formas de ondas:

  • Wander Rodrigues 10

    CEFET-MG

    Fechando a chave 1, aparece a tenso contnua na sada.

    Fechando a chave 2, a freqncia fundamental ser sobreposta ao valor

    contnuo.

  • Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 11

    CEFET-MG

    Fechando a chave 3, o terceiro harmnico adicionado ao valor anterior.

    Observe que nesse ponto a forma de onda resultante comea a tomar uma forma

    prxima ao valor do pulso.

  • Wander Rodrigues 12

    CEFET-MG

    Fechando a chave 4, o quinto harmnico adicionado ao valor anterior.

    Nesse caso torna-se mais caracterizado a forma do pulso, tendo apenas algumas

    ondulaes na parte reta do mesmo.

    Finalmente, fechando a chave 5, temos uma forma de onda semelhante

    ao pulso decomposto, porm apresentando alguma ondulao nas partes retas do

    pulso. Esses ondulaes, certamente sero reduzidas se um nmero maior de

    harmnicas forem consideradas na reconstituio do mesmo. importante relembrar

    que a decomposio utilizando a srie trigonomtrica de Fourier uma funo com

    infinitas componentes. A determinao do nmero mximo de componentes

    resultar numa maior ou menor aproximao da forma de onda recomposta. Em

    outras palavras, o nmero de componentes vai determinar a distoro mxima

    aceitvel na forma de onda reconstituda.

  • Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 13

    CEFET-MG

    Utilizando o mesmo aplicativo possvel obter cada um dos espectros de

    amplitude medida que as chaves forem fechadas ou novas componentes forem

    adicionadas.

    Assim, para a chave 1 fechada, teremos:

    Fechando as chaves 1 e 2:

  • Wander Rodrigues 14

    CEFET-MG

    Fechando as chaves 1, 2 e 3:

    Fechando as chaves 1, 2, 3 e 4:

  • Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 15

    CEFET-MG

    Fechando as chaves 1, 2, 3, 4 e 5:

    Nesse caso temos o espectro de amplitude completo, sendo que a

    componente fundamental representa a maior contribuio na reconstituio do pulso

    original.

  • Wander Rodrigues 16

    CEFET-MG

    Questo 09

    Faa a decomposio do sinal retificado de meia onda representado na

    figura abaixo:

    Definio da funo f(t):

    0 para -T/2 < t < 0 ou - < t < 0

    f(t) = Emax sen (t) para 0 < t < T/2 ou 0 < t <

    Simplificao

    Verificando se a funo par ou mpar chegamos a concluso que ela

    no se encaixa em nenhuma das duas condies. Assim sendo, teremos a

    decomposio da mesma apresentando parcelas senoidais e cossenoidais.

    Perodo da funo

    T = 2. rad

  • Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 17

    CEFET-MG

    Clculo de Ao/2

    ( )=2/

    0 maxsen1

    2T

    o dttET

    A para T/2 < t < 0 f(t) = 0

    ( )=2/

    0

    max sen2

    To dtt

    T

    EA

    ( ) 2/

    0

    max cos2

    T

    o tT

    EA

    =

    ( )( ) 2/0

    max cos2

    To tT

    EA

    =

    = 0.2cos

    2.2cos

    .22max x

    T

    Tx

    TxTT

    EAo

    ( ) ( )11.2

    0coscos.22

    maxmax

    =

    =

    EEAo

    max

    2EAo =

    Clculo de A1

    ( )=2/

    2/1cos)(2

    T

    Tdtttf

    TA

    ( ) ( ) ( ) ( ) ==2/

    0

    max2/

    0 max1cossen

    .2cossen2

    TTdttt

    T

    EdtttE

    TA

    ( ) ( ) ==2/

    0

    2/

    0

    maxmax1 2sen2

    1.22sen21.2 TT

    dttxT

    Edtt

    T

    EA

    ( )=2/

    0

    max1 2sen

    Tdtt

    T

    EA

    ( ) ( )[ ] 2/0

    max2/

    0

    max1 2cos..2.2

    2cos TT

    tT

    EtT

    EA

    =

    =

    = 0.22cos

    2.22cos

    .22

    max1 x

    Tx

    Tx

    Tx

    TxT

    x

    EA

  • Wande