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• Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 1

CEFET-MG

Srie Trigonomtrica de Fourier

Uma funo peridica f(t) pode ser decomposta em um somatrio de

senos e cossenos eqivalentes funo dada.

( ) ( )( )

=

++=1

sencos2

)(n

nno tnBtnA

Atf

onde:

2oA valor mdio da funo f(t)

An e Bn Coeficientes a determinar da srie de Fourier

Clculo dos Coeficientes da Srie Trigonomtrica de Fourier

=T

o

o dttfT

A)(1

2 =

peridoumdevalor

perodoumemtfderea )(

( )=T

on dttntf

TA cos)(2

( )=T

on dttntf

TB sen)(2

• Wander Rodrigues 2

CEFET-MG

Simplificaes Possveis

Funo Par

f(t) = f(-t) Bn = 0

A decomposio ser um somatrio de funes cossenoidais

Funo mpar

f(t) = -f(-t) An = 0

A decomposio ser um somatrio de funes senoidais

Exerccios de Aplicao

Questo 03 pgina 68

Faa a decomposio do sinal pulso - representado na figura abaixo:

Perodo: T = 0,2 s

f 2= T

2= 2,0

• Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 3

CEFET-MG

Definio da funo:

5 para 0 t 0,1

f(t) = 0 para 0,1 t 0,2

Clculo de Ao/2

=T

o

o dttfT

A)(1

2

=

+=

1,0

0

2,0

1,0

1,0

05

2,0105

2,01

2dtdtdt

Ao

===1,0

0

1,0

0

1,0

0255555

2dtdtxdt

Ao

( )01,025252

1,00 == t

Ao

VAo 5,22

=

Clculo de An

( ) dttntfT

AT

on = cos)(

2

( ) ( )

+=

1,0

0

2,0

1,0cos0cos52 dttndttn

TAn

( ) ( ) ==1,0

0

1,0cos

2,052cos52 dttnxdttn

TA

on

( )=1,0

0cos50 dttnAn

( ) ( )1,0

0

1,0

0

sen50sen50 tnnn

tnAn

==

• Wander Rodrigues 4

CEFET-MG

( ) ( )[ ]0.10.sen1,0.10.sen50

nnn

An =

( )0sensen50 =

nn

An

( )

n

nAn

sen50=

Clculo de Bb

( )=T

n dttntfT

B0

sen)(2

( ) ( )

+=

1,0

0

2,0

1,0sen0sen5

2,02

dttndttnBn

( ) ( ) ==1,0

0

1,0

0sen

2,052sen5

2,02

dttnx

dttwnBn

( )=1,0

0sen50 dttnBn

( ) ( )( ) 1,00

1,0

0

cos50cos50 tnnn

tnBn

==

( ) ( )( )[ ]0.10.cos1,0.10.cos50

nnn

Bn =

( )0coscos50 +=

nn

Bn

( )

nn

Bn cos150 =

Tabelando os calores de An e Bn

Considerando apenas os valores de An e Bn maiores que 10% do valor

mximo da funo, teremos

• Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 5

CEFET-MG

Valores de n An Bn

1 ( ) 0.1sen.15 =

( )[ ]

10.1cos1.15 =

2 ( ) 0.2sen.25 =

( )[ ] 0.2cos1.25 =

3 ( ) 0.3sen.35 =

( )[ ]

.3

10.3cos1.35 =

4 ( ) 0.4sen.45 =

( )[ ] 0.4cos1.45 =

5 ( ) 0.5sen.55 =

( )[ ]

.5

10.5cos1.55 =

Escrevendo a equao de f(t)

( ) ( ) ( ) L++++= ttttf ..50sen.5

10..30sen.3

10..10sen105,2)(

Concluso

Verificamos que o sinal apresentado decomposto em um valor contnuo

e uma soma de senoides de freqncias harmnicas mpares da freqncia

fundamental.

As amplitudes decrescem quando aumentamos a ordem da harmnica,

isto , quando o valor de n aumenta, representando que essas componentes

colaboram pouco na reconstituio da forma de onda do sinal original.

Espectro de Amplitude

O espectro de amplitude apresenta o valor mdio e as amplitudes

mximas das componentes harmnicas do sinal representado.

• Wander Rodrigues 6

CEFET-MG

Espectro de fase

O espectro de fase apresenta o ngulo de fase das componentes

harmnicas, sempre tomando o sinal como uma funo cossenoidal como

Lembrete: ( )

=

2cossen twAtA

Espectro de Potncia

A potncia mdia de uma funo peridica dada por

( )=T

odttf

TP 2

1

Lembrando que R

EP

.2

2max=

, R

EP DC

2

= e considerando um R unitrio,

podemos escrever:

=

+=1

22

2nn

o

EEP

• Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 7

CEFET-MG

Questo 08 pgina 68

Represente a funo decomposta por meio de seus espectros de amplitude, fase e

de potncia.

Espectro de amplitude

Espectro de fase

Espectro de potncia

• Wander Rodrigues 8

CEFET-MG

5,2=oE ( )25,2=oP WPo 25,6=

183,31 =B

2

1 2183,3

=P

WP 066,51 =

061,13 =B

2

3 2061,1

=P

WP 563,03 =

637,05 =B

2

5 2637,0

=P

WP 203,05 =

455,07 =B

2

7 2455,0

=P

WP 103,07 =

Simulando a funo do Exemplo

Utilizando para simulao o aplicativo Electronic WorkBench podemos

trabalhar com o seguinte circuito para verificarmos se a decomposio realizada,

retoma a forma de onda do sinal, com um mnimo de distoro.

Para tal usaremos o seguinte circuito:

• Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 9

CEFET-MG

Nesse circuito de simulao utilizamos a funo three-way voltage

uma das parcelas que compem o sinal.

Assim, aos fecharmos cada uma das chaves, de 1 a 5, estaremos

adicionando a componente contnua, chave 1, as demais componentes harmnicas

do sinal, chaves 2 a 5.

Fechando, sucessivamente, cada uma das chaves encontraremos a

seguintes formas de ondas:

• Wander Rodrigues 10

CEFET-MG

Fechando a chave 1, aparece a tenso contnua na sada.

Fechando a chave 2, a freqncia fundamental ser sobreposta ao valor

contnuo.

• Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 11

CEFET-MG

Observe que nesse ponto a forma de onda resultante comea a tomar uma forma

prxima ao valor do pulso.

• Wander Rodrigues 12

CEFET-MG

Nesse caso torna-se mais caracterizado a forma do pulso, tendo apenas algumas

ondulaes na parte reta do mesmo.

Finalmente, fechando a chave 5, temos uma forma de onda semelhante

ao pulso decomposto, porm apresentando alguma ondulao nas partes retas do

pulso. Esses ondulaes, certamente sero reduzidas se um nmero maior de

harmnicas forem consideradas na reconstituio do mesmo. importante relembrar

que a decomposio utilizando a srie trigonomtrica de Fourier uma funo com

infinitas componentes. A determinao do nmero mximo de componentes

resultar numa maior ou menor aproximao da forma de onda recomposta. Em

outras palavras, o nmero de componentes vai determinar a distoro mxima

aceitvel na forma de onda reconstituda.

• Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 13

CEFET-MG

Utilizando o mesmo aplicativo possvel obter cada um dos espectros de

amplitude medida que as chaves forem fechadas ou novas componentes forem

Assim, para a chave 1 fechada, teremos:

Fechando as chaves 1 e 2:

• Wander Rodrigues 14

CEFET-MG

Fechando as chaves 1, 2 e 3:

Fechando as chaves 1, 2, 3 e 4:

• Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 15

CEFET-MG

Fechando as chaves 1, 2, 3, 4 e 5:

Nesse caso temos o espectro de amplitude completo, sendo que a

componente fundamental representa a maior contribuio na reconstituio do pulso

original.

• Wander Rodrigues 16

CEFET-MG

Questo 09

figura abaixo:

Definio da funo f(t):

0 para -T/2 < t < 0 ou - < t < 0

f(t) = Emax sen (t) para 0 < t < T/2 ou 0 < t <

Simplificao

Verificando se a funo par ou mpar chegamos a concluso que ela

no se encaixa em nenhuma das duas condies. Assim sendo, teremos a

decomposio da mesma apresentando parcelas senoidais e cossenoidais.

Perodo da funo

• Estudo sobre a Srie Trigonomtrica de Fourier 17

CEFET-MG

Clculo de Ao/2

( )=2/

0 maxsen1

2T

o dttET

A para T/2 < t < 0 f(t) = 0

( )=2/

0

max sen2

To dtt

T

EA

( ) 2/

0

max cos2

T

o tT

EA

=

( )( ) 2/0

max cos2

To tT

EA

=

= 0.2cos

2.2cos

.22max x

T

Tx

TxTT

EAo

( ) ( )11.2

0coscos.22

maxmax

=

=

EEAo

max

2EAo =

Clculo de A1

( )=2/

2/1cos)(2

T

Tdtttf

TA

( ) ( ) ( ) ( ) ==2/

0

max2/

0 max1cossen

.2cossen2

TTdttt

T

EdtttE

TA

( ) ( ) ==2/

0

2/

0

maxmax1 2sen2

1.22sen21.2 TT

dttxT

Edtt

T

EA

( )=2/

0

max1 2sen

Tdtt

T

EA

( ) ( )[ ] 2/0

max2/

0

max1 2cos..2.2

2cos TT

tT

EtT

EA

=

=

= 0.22cos

2.22cos

.22

max1 x

Tx

Tx

Tx

TxT

x

EA

• Wande