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Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 1 CEFET-MG Série Trigonométrica de Fourier Uma função periódica f(t) pode ser decomposta em um somatório de senos e cossenos eqüivalentes à função dada. ( ( ( ∑ ∞ = = 1 sen cos 2 ) ( n n n o t n B t n A A t f w w onde: 2 o A → valor médio da função f(t) A n e B n → Coeficientes a determinar da série de Fourier ϖ → velocidade angular da função f(t) Cálculo dos Coeficientes da Série Trigonométrica de Fourier ∫ = T o o dt t f T A ) ( 1 2 = periódo um de valor período um em t f de área ) ( ( ∫ = T o n dt t n t f T A w cos ) ( 2 ( ∫ = T o n dt t n t f T B w sen ) ( 2
Transcript of · As amplitudes decrescem quando aumentamos a ordem da harmônica, isto é, quando o valor de n...
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 1
CEFET-MG
Série Trigonométrica de Fourier
Uma função periódica f(t) pode ser decomposta em um somatório de
senos e cossenos eqüivalentes à função dada.
( ) ( )( )∑∞
=
++=1
sencos2
)(n
nno tnBtnA
Atf ωω
onde:
2oA → valor médio da função f(t)
An e Bn → Coeficientes a determinar da série de Fourier
ω → velocidade angular da função f(t)
Cálculo dos Coeficientes da Série Trigonométrica de Fourier
∫=T
o
o dttfT
A)(1
2 =
periódoumdevalor
períodoumemtfdeárea )(
( )∫=T
on dttntf
TA ωcos)(2
( )∫=T
on dttntf
TB ωsen)(2
Wander Rodrigues 2
CEFET-MG
Simplificações Possíveis
Função Par
f(t) = f(-t) Bn = 0
A decomposição será um somatório de funções cossenoidais
Função Ímpar
f(t) = -f(-t) An = 0
A decomposição será um somatório de funções senoidais
Exercícios de Aplicação
Questão 03 página 68
Faça a decomposição do sinal – pulso - representado na figura abaixo:
Período: T = 0,2 s
fπω 2= T
πω 2= 2,0
2 πω = srad /10πω =
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 3
CEFET-MG
Definição da função:
5 para 0 ≤ t ≤ 0,1
f(t) = 0 para 0,1 ≤ t ≤ 0,2
Cálculo de Ao/2
∫=T
o
o dttfT
A)(1
2
∫∫∫ =
+=
1,0
0
2,0
1,0
1,0
05
2,0105
2,01
2dtdtdt
Ao
∫∫∫ ===1,0
0
1,0
0
1,0
0255555
2dtdtxdt
Ao
( )01,025252
1,00 −== t
Ao
VAo 5,22
=
Cálculo de An
( ) dttntfT
AT
on ∫= ωcos)(2
( ) ( )
+= ∫ ∫
1,0
0
2,0
1,0cos0cos52
dttndttnT
An ωω
( ) ( )∫∫ ==1,0
0
1,0cos
2,052cos52
dttnx
dttnT
Ao
n ωω
( )∫=1,0
0cos50 dttnAn ω
( ) ( )1,0
0
1,0
0
sen50sen50 tnnn
tnAn ω
ωωω ==
Wander Rodrigues 4
CEFET-MG
( ) ( )[ ]0.10.sen1,0.10.sen50 ππω
nnn
An −=
( )0sensen50 −= πω
nn
An
( )ω
πn
nAn
sen50=
Cálculo de Bb
( )∫=T
n dttntfT
B0
sen)(2 ω
( ) ( )
+= ∫ ∫
1,0
0
2,0
1,0sen0sen5
2,02
dttndttnBn ωω
( ) ( )∫∫ ==1,0
0
1,0
0sen
2,052sen5
2,02
dttnx
dttwnBn ωω
( )∫=1,0
0sen50 dttnBn ω
( ) ( )( ) 1,0
0
1,0
0
cos50cos50 tnnn
tnBn ω
ωωω −=−=
( ) ( )( )[ ]0.10.cos1,0.10.cos50 ππω
nnn
Bn −−−=
( )0coscos50 +−= πω
nn
Bn
( )πω
nn
Bn cos150 −=
Tabelando os calores de An e Bn
Considerando apenas os valores de An e Bn maiores que 10% do valor
máximo da função, teremos
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 5
CEFET-MG
Valores de n An Bn
1 ( ) 0.1sen.15 =ππ
( )[ ]π
ππ
10.1cos1.15 =−
2 ( ) 0.2sen.25 =ππ
( )[ ] 0.2cos1.25 =− ππ
3 ( ) 0.3sen.35 =ππ
( )[ ]π
ππ .3
10.3cos1.35 =−
4 ( ) 0.4sen.45 =ππ
( )[ ] 0.4cos1.45 =− ππ
5 ( ) 0.5sen.55 =ππ
( )[ ]π
ππ .5
10.5cos1.55 =−
Escrevendo a equação de f(t)
( ) ( ) ( ) L++++= ttttf ..50sen.5
10..30sen.3
10..10sen105,2)( ππ
ππ
ππ
Conclusão
Verificamos que o sinal apresentado é decomposto em um valor contínuo
e uma soma de senoides de freqüências harmônicas ímpares da freqüência
fundamental.
As amplitudes decrescem quando aumentamos a ordem da harmônica,
isto é, quando o valor de n aumenta, representando que essas componentes
colaboram pouco na reconstituição da forma de onda do sinal original.
Espectro de Amplitude
O espectro de amplitude apresenta o valor médio e as amplitudes
máximas das componentes harmônicas do sinal representado.
Wander Rodrigues 6
CEFET-MG
Espectro de fase
O espectro de fase apresenta o ângulo de fase das componentes
harmônicas, sempre tomando o sinal como uma função cossenoidal como
referência. (padronização)
Lembrete: ( )
±=
2cossen π
ω twAtA
Espectro de Potência
A potência média de uma função periódica é dada por
( )∫=T
odttf
TP 21
Lembrando que R
EP
.2
2max=
, R
EP DC
2
= e considerando um R unitário,
podemos escrever:
∑∞
=
+=1
22
2n
no
EEP
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 7
CEFET-MG
Questão 08 página 68
Represente a função decomposta por meio de seus espectros de amplitude, fase e
de potência.
Espectro de amplitude
Espectro de fase
Espectro de potência
Wander Rodrigues 8
CEFET-MG
5,2=oE ( )25,2=oP WPo 25,6=
183,31 =B
2
1 2183,3
=P
WP 066,51 =
061,13 =B
2
3 2061,1
=P
WP 563,03 =
637,05 =B
2
5 2637,0
=P
WP 203,05 =
455,07 =B
2
7 2455,0
=P
WP 103,07 =
Simulando a função do Exemplo
Utilizando para simulação o aplicativo Electronic WorkBench podemos
trabalhar com o seguinte circuito para verificarmos se a decomposição realizada,
retoma a forma de onda do sinal, com um mínimo de distorção.
Para tal usaremos o seguinte circuito:
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 9
CEFET-MG
Nesse circuito de simulação utilizamos a função three-way voltage
summer – somador de tensão de tensão de três entrada para fazer a adição de cada
uma das parcelas que compõem o sinal.
Assim, aos fecharmos cada uma das chaves, de 1 a 5, estaremos
adicionando a componente contínua, chave 1, as demais componentes harmônicas
do sinal, chaves 2 a 5.
Fechando, sucessivamente, cada uma das chaves encontraremos a
seguintes formas de ondas:
Wander Rodrigues 10
CEFET-MG
Fechando a chave 1, aparece a tensão contínua na saída.
Fechando a chave 2, a freqüência fundamental será sobreposta ao valor
contínuo.
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 11
CEFET-MG
Fechando a chave 3, o terceiro harmônico é adicionado ao valor anterior.
Observe que nesse ponto a forma de onda resultante começa a tomar uma forma
próxima ao valor do pulso.
Wander Rodrigues 12
CEFET-MG
Fechando a chave 4, o quinto harmônico é adicionado ao valor anterior.
Nesse caso torna-se mais caracterizado a forma do pulso, tendo apenas algumas
ondulações na parte reta do mesmo.
Finalmente, fechando a chave 5, temos uma forma de onda semelhante
ao pulso decomposto, porém apresentando alguma ondulação nas partes retas do
pulso. Esses ondulações, certamente serão reduzidas se um número maior de
harmônicas forem consideradas na reconstituição do mesmo. É importante relembrar
que a decomposição utilizando a série trigonométrica de Fourier é uma função com
infinitas componentes. A determinação do número máximo de componentes
resultará numa maior ou menor aproximação da forma de onda recomposta. Em
outras palavras, o número de componentes vai determinar a distorção máxima
aceitável na forma de onda reconstituída.
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 13
CEFET-MG
Utilizando o mesmo aplicativo é possível obter cada um dos espectros de
amplitude à medida que as chaves forem fechadas ou novas componentes forem
adicionadas.
Assim, para a chave 1 fechada, teremos:
Fechando as chaves 1 e 2:
Wander Rodrigues 14
CEFET-MG
Fechando as chaves 1, 2 e 3:
Fechando as chaves 1, 2, 3 e 4:
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 15
CEFET-MG
Fechando as chaves 1, 2, 3, 4 e 5:
Nesse caso temos o espectro de amplitude completo, sendo que a
componente fundamental representa a maior contribuição na reconstituição do pulso
original.
Wander Rodrigues 16
CEFET-MG
Questão 09
Faça a decomposição do sinal retificado de meia onda representado na
figura abaixo:
Definição da função f(t):
0 para -T/2 < t < 0 ou -π < t < 0
f(t) = Emax sen (ωt) para 0 < t < T/2 ou 0 < t < π
Simplificação
Verificando se a função é par ou ímpar chegamos a conclusão que ela
não se encaixa em nenhuma das duas condições. Assim sendo, teremos a
decomposição da mesma apresentando parcelas senoidais e cossenoidais.
Período da função
T = 2.π rad
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 17
CEFET-MG
Cálculo de Ao/2
( )∫=2/
0 max sen12
To dttE
T
Aω para –T/2 < t < 0 f(t) = 0
( )∫=2/
0
max sen2
To dtt
T
EAω
( ) 2/
0
max cos2
T
o tT
EA
−=
ωω
( )( ) 2/
0max cos
2To t
T
EAω
ω−
=
−
−
= 0.2cos2
.2cos.22
max xT
Tx
TxTT
EAo πππ
( ) ( )11.2
0coscos.22
maxmax −−−
=−−
=π
ππ
EEAo
πmax
2EAo =
Cálculo de A1
( )∫−=
2/
2/1 cos)(2 T
Tdtttf
TA ω
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ==2/
0
max2/
0 max1 cossen.2
cossen2 TTdttt
T
EdtttE
TA ωωωω
( ) ( )∫∫ ==2/
0
2/
0
maxmax1 2sen
21.2
2sen21.2 TT
dttxT
Edtt
T
EA ωω
( )∫=2/
0
max1 2sen
Tdtt
T
EA ω
( ) ( )[ ] 2/
0max
2/
0
max1 2cos
..2.22cos T
T
tT
EtT
EA ω
ωωω −
=
−
=
−
−
= 0.22cos2
.22cos.22
max1 x
Tx
Tx
Tx
TxT
x
EA
πππ
Wander Rodrigues 18
CEFET-MG
( )0cos.2cos.4max
1 −−
= ππ
EA
0.4
max1 x
EA
π−
=
01 =A
Cálculo de An para n ≠≠ 1
( ) ( )∫=2/
0 max .cossen2 T
n dttntET
A ωω
( ) ( )∫=2/
0
max .cossen.2 T
n dttntT
EA ωω
( )( )
2/
max
.2...cos.2
T
o
nn
tnt
T
EA
+
−−=ωω
ωω
( )( )
( )( )
2/
0
max
.2...cos
.2...cos.2
T
nn
tnt
n
tnt
T
EA
−−−
++−=
ωωωω
ωωωω
( ) ( ) ( ) ( )
−
−
++
+
+−
−
−+
+−
=ωω
ππ
ωω
ππ
ωω
ππ
ωω
ππ
.2
0.2.0.2cos
.2
0.2.0.2cos
.22
.2.2
.2cos
.22
.2.2
.2cos.2 max
n
xT
nxT
n
xT
nxT
n
Tx
Tn
Tx
Tn
Tx
Tn
Tx
TT
EAn
( )( )
( )( ) ( ) ( )
−
++
+−−
−+
+−=
ωωωωωωππ
ωωππ
.21
.21
.2.cos
.2.cos.2 max
nnn
n
n
n
T
EAn
Para n =2
( )( )
( )( ) ( ) ( )
−
++
+−−
−+
+−=
ωωωωωωππ
ωωππ
.221
.221
.22.2cos
.22.2cos.2 max
2 T
EA
( ) ( )
−
++−
−−
−=
ωωωπ
ωπ
.21
61
.2cos
63cos.2 max
2 T
EA
−+−=
ωωωω .21
.61
.21
.61.2 max
2T
EA
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 19
CEFET-MG
ωωω .32.21
.31.2 maxmax
2−=
−= x
T
E
T
EA
ππ 6.2.2
.23
2.2 maxmax2
Tx
T
E
Tx
xT
EA
−=−=
π.3.2 max
2
EA
−=
Para n = 3
( )( )
( )( ) ( ) ( )
−
++
+−−
−+
+−=
ωωωωωωππ
ωωππ
.321
.321
.32.3cos
.32.3cos.2 max
3 T
EA
( ) ( )
−
++−
−−
−=
ωωωπ
ωπ
.41
81
.4.2cos
84cos.2 max
3 T
EA
−++−=
ωωωω .41
.81
.41
.81.2 max
3T
EA
03 =A
Para n = 4
( )( )
( )( ) ( ) ( )
−
++
+−−
−+
+−=
ωωωωωωππ
ωωππ
.221
.221
.22.2cos
.22.2cos.2 max
4 T
EA
( ) ( )
−
++−
−−
−=
ωωωπ
ωπ
.21
61
.2cos
63cos.2 max
4 T
EA
−+−=
ωωωω .21
.61
.21
.61.2 max
4T
EA
ωωω .32.21
.31.2 maxmax
4−=
−= x
T
E
T
EA
Wander Rodrigues 20
CEFET-MG
ππ 6.2.2
.23
2.2 maxmax4
Tx
T
E
Tx
xT
EA
−=−=
π.3.2 max
4
EA
−=
Para n = 5
( )( )
( )( ) ( ) ( )
−
++
+−−
−+
+−=
ωωωωωωππ
ωωππ
.521
.521
.52.5cos
.52.5cos.2 max
5 T
EA
( ) ( )
−
++−
−−
−=
ωωωπ
ωπ
.81
.121
.8.4cos
.126cos.2 max
5 T
EA
−++−=
ωωωω .81
.121
.81
.121.2 max
5T
EA
05 =A
Observando os valores calculados de An, verificamos que An = 0 para
todo n ímpar.
Cálculo de Bn
( )∫−=
2/
2/..sen)(2 T
Tn dttntf
TB ω
( ) ( )∫=2/
0 max ..sen.sen2 T
n dttntET
B ωω para –T/2 < t < 0 ou -π/2 < t < 0 f(t) = 0
( ) ( )∫=2/
0
max ..sen.sen.2 T
n dttntT
EB ωω
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 21
CEFET-MG
Para n = 1
( ) ( )∫=2/
0
max1 .sen.sen
.2 Tdttt
T
EB ωω
( )∫=2/
0
2max1 .sen
.2 Tdtt
T
EB ω
( )∫
−=
2/
0
max1 ..2cos
21
21.2 T
dttT
EB ω
( )
−= ∫ ∫
2/
0
2/
0
max1 ..2cos
21
21.2 T T
dttdtT
EB ω
( )
−= ∫ ∫
2/
0
2/
0
max1 ..2cos
T Tdttdt
T
EB ω
( )
−=
2/
0
2/
0max
1 .sen.21 T
Ttt
T
EB ω
ω
+−
−= 0.2sen
.210
2.2sen
.21
2max
1 xT
Tx
T
T
T
EB
πω
πω
+−= 0sen
.21sen
.21
2max
1 ωπ
ωT
T
EB
2max
1T
xT
EB =
2max
1
EB =
Para n ≠≠ 1
( ) ( )∫=2/
0
max ..sen.sen.2 T
n dttntT
EB ωω
( )( )
( )( )
2/
0
max
..2...sen
..2...sen.2
T
nn
tnt
n
tnt
T
EB
−−+
++−=
ωωωω
ωωωω
Wander Rodrigues 22
CEFET-MG
( ) ( )( )( )
( )( )
−−
−+−
+−
−
++
+−
=ωωωω
ωωωω
ωω
ππ
ωω
ππ
..20..0.sen
..20..0.sen
..22
.2.2
.2sen
..22
.2.2
.2sen.2 max
n
n
n
n
n
Tx
Tn
Tx
Tn
Tx
Tn
Tx
TT
EBn
( )( )
( )( )
−−+
++−=
ωωππ
ωωππ
..2.sen
..2.sen.2 max
n
n
n
n
T
EBn
Para n = 2
( )( )
( )( )
−−+
++−=
ωωππ
ωωππ
.2.2.2sen
.2.2.2sen.2 max
2T
EB
( ) ( )
−−+−=ωπ
ωπ
.2sen
.6.3sen.2 max
2T
EB
02 =B
Para n = 3
( )( )
( )( )
−−+
++−=
ωωππ
ωωππ
.3.2.3sen
.3.2.3sen.2 max
3T
EB
( ) ( )
−−+−=ω
πω
π.4
.2sen.8
.4sen.2 max3
T
EB
03 =B
Assim, Bn para todo n ≠ 1 será igual a zero.
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 23
CEFET-MG
Equação do sinal
( ) ( ) ( ) L+−−+= tE
tE
tEE
tf ..4cos.15
.2..2cos
.3.2
.sen2
)( maxmaxmaxmax ωπ
ωπ
ωπ
Para um valor máximo de 12 volts, temos:
Emax = 12 V
( ) ( ) ( ) ( ) L+−−−+= tttttf ..6cos218,0..4cos509,0..2cos548,2.sen6822,3)( ωωωω
Simulando a função do Exemplo
Utilizando para simulação o aplicativo Electronic WorkBench podemos
trabalhar com o seguinte circuito para verificarmos se a decomposição realizada,
retoma a forma de onda do sinal, com um mínimo de distorção.
Para tal usaremos o seguinte circuito:
Wander Rodrigues 24
CEFET-MG
Nessa simulação estaremos utilizando um ângulo de defasagem de 90o
nas fontes de sinais senoidais para representar um sinal cossenoidal, como
solicitado na decomposição.
Alem disso, também empregamos o bloco Voltage Gain Block com o
propósito de termos um ganho unitário, porém fazendo a inversão de fase de 180o
caracterizado pelo sinal negativo à frente das parcelas cossenoidais do sinal
decomposto.
Assim, aos fecharmos cada uma das chaves, de 1 a 5, estaremos
adicionando as componentes harmônicas do sinal.
Fechando, sucessivamente, cada uma das chaves encontraremos a
seguintes formas de ondas:
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 25
CEFET-MG
Fechando a chave 1, aparece a tensão contínua na saída.
Fechando a chave 2, a freqüência fundamental será sobreposta ao valor
contínuo.
Wander Rodrigues 26
CEFET-MG
Fechando a chave 3, o segundo harmônico é adicionado ao valor anterior.
Observe que nesse ponto a forma de onda resultante começa a tomar uma forma
próxima ao valor do sinal retificado.
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 27
CEFET-MG
Fechando a chave 4, o quarto harmônico é adicionado ao valor anterior.
Nesse caso torna-se mais caracterizado a forma do sinal retificado, tendo apenas
algumas ondulações na parte reta do mesmo.
Finalmente, fechando a chave 5, temos uma forma de onda semelhante
ao sinal decomposto, porém apresentando alguma ondulação nas partes retas do
sinal. Esses ondulações, certamente serão reduzidas se um número maior de
harmônicas forem consideradas na reconstituição do mesmo. É importante relembrar
que a decomposição utilizando a série trigonométrica de Fourier é uma função com
infinitas componentes. A determinação do número máximo de componentes
resultará numa maior ou menor aproximação da forma de onda recomposta. Em
outras palavras, o número de componentes vai determinar a distorção máxima
aceitável na forma de onda reconstituída.
Wander Rodrigues 28
CEFET-MG
Utilizando o mesmo aplicativo é possível obter cada um dos espectros de
amplitude à medida que as chaves forem fechadas ou novas componentes forem
adicionadas.
Assim, para a chave 1 fechada, teremos:
Fechando as chaves 1 e 2:
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 29
CEFET-MG
Fechando as chaves 1, 2 e 3:
Fechando as chaves 1, 2, 3 e 4:
Wander Rodrigues 30
CEFET-MG
Fechando as chaves 1, 2, 3, 4 e 5:
Nesse caso temos o espectro de amplitude completo, sendo que a
componente fundamental representa a maior contribuição na reconstituição do pulso
original.
