MODELAGEM MATEMTICA DO ESCOAMENTO DE

FLUIDOS EM TUBOS HELICOIDAIS

A. G. B. FREITAS1, I. M. OLIVEIRA

2, Y. M. OLIVEIRA

2, G. F. SILVA

2, R. A. MEDRONHO

3.

1 Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola de Qumica, Programa de Ps-Graduao em

Tecnologia de Processos Qumicos e Bioqumicos. 2 Universidade Federal de Sergipe, Ncleo de Engenharia de Petrleo.

3 Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola de Qumica, Dept. de Engenharia Qumica.

E-mail para contato: andreafreitas@eq.ufrj.br.

RESUMO O tubo helicoidal , h muito tempo, empregado em trocas trmicas e ,

atualmente, objeto de pesquisa na rea de separao de fluidos e particulados. Neste

estudo, o objetivo modelar e caracterizar de forma preliminar como se desenvolve o

escoamento monofsico de fluidos em tubos helicoidais. Este um estudo precursor na

descrio do escoamento secundrio, o qual o processo responsvel pela separao

de dois fluidos imiscveis com densidades diferentes. Uma dessas aplicaes o

tratamento de gua produzida, visando separao das gotas de leo da gua. Assim,

foram empregadas as equaes de Navier-Stokes e equaes bsicas referentes s

caractersticas de um tubo helicoidal, baseadas nos estudos de Dean (1927) e Germano

(1989) e sem transferncia de calor no processo. Com isso, podem ser esclarecidos

quais os melhores parmetros, por exemplo, a curvatura e a toro, que melhor se

aplicam separao leo-gua.

1. INTRODUO

A anlise de escoamento em tubos helicoidais teve incio com Eustice (1911) e continuou

com os estudos realizados por Dean (1927) em tubos toroidais, o qual incluiu os conceitos de

curvatura e de escoamento secundrio. Posteriormente, Germano (1982, 1989) aperfeioou os

conceitos anteriores acrescentando o conceito de toro e a coordenada ortogonal.

A modelagem parte do princpio que a natureza dos fenmenos fsicos de um determinado

processo deve ser entendida, determinando quais grandezas fsicas atuam no sistema e como elas o

afetam. Isso pode ser realizado atravs de ensaios experimentais em laboratrio ou por modelos

matemticos (Coelho, 2011).

Para se descrever um fluido escoando em um tubo helicoidal, deve-se considerar, dentre

outros, a influncia do campo centrfugo e as equaes de Navier-Stokes. A complexidade do

escoamento em tubos helicoidais grande, principalmente para elevados nmeros de Reynolds,

pelo surgimento de um escoamento secundrio (Huttl, 1999). Com isso, simulaes utilizando

fluidodinmica computacional tm sido largamente empregadas para resolver as equaes de

conservao visando melhor observar melhor o fenmeno.

Segundo Yu et al. (2003), a razo de curvatura e o passo so parmetros chaves que afetam

o campo centrfugo atuando no fluido em um tubo helicoidal. Quanto maior o raio de curvatura,

rea temtica: Fenmenos de Transporte e Sistemas Particulados 1

maior a fora inercial centrfuga ou, por simplicidade, fora centrfuga; e quanto maior o passo,

maior o efeito de toro que causa uma reduo na fora centrfuga. Eles obtiveram boa

concordncia entre os dados experimentais (Laser Doppler Anemometry - LDA) e os resultados

numricos (Computational Fluid Dynamics - CFD).

O objetivo do presente trabalho modelar e caracterizar de forma preliminar como se

desenvolve o escoamento monofsico em tubos helicoidais, alm de analisar a influncia da toro

e curvatura; sendo assim, um estudo preliminar na descrio do escoamento secundrio, que o

processo fundamental para a separao de dois fluidos de densidades aparentes diferentes. Uma

possvel aplicao o tratamento de gua produzida em um tubo helicoidal, onde se pretende que

ocorra a separao do leo da gua.

2. METODOLOGIA

Inicialmente foram definidas quais as condies a serem trabalhadas, sendo adotadas as de

fluido newtoniano e incompressvel, regime permanente, processo adiabtico, fluxo tridimensional

e desprezo da influncia do campo gravitacional. Houve tambm preferncia pelos baixos

nmeros de Reynolds, alm da considerao de que o fluido um meio contnuo.

Por existirem diversos estudos j publicados referentes ao escoamento em tubos helicoidais

baseados nos estudos de Dean e Germano, foi realizada uma reviso dos trabalhos que se

encaixam nas condies escolhidas. Como estes trabalhos abordam a modelagem matemtica de

um tubo helicoidal, pde-se comparar os melhores resultados de coordenadas aplicadas s

equaes de Navier-Stokes, alm da definio de parmetros bsicos que definem um tubo

helicoidal.

3. RESULTADOS E DISCUSSO

3.1 Equaes Bsicas

Alguns autores, como Austin (1973) e Elmaleh e Jabbouri (1991), ambos apud Pelissari

(2006), mostram que nos escoamentos em tubos helicoidais, o nmero de Reynolds crtico (Rec)

pode ser at quatro vezes maior que em tubos retos, onde Rec o limite do regime de escoamento

laminar. De acordo com Ito (1959) apud Pelissari (2006), o valor de Rec, para escoamentos em

tubos helicoidais pode ser dado pela relao apresentada na Equao 1.

(

)

(

) (1)

Onde o nmero de Reynolds crtico, d o dimetro do tubo (m) e D o dimetro da hlice (m).

Algumas faixas de valores de

so estudadas em outros trabalhos citados por Pelissari

(2006).

Mishra e Gupta (1979) utilizaram a Equao 1 mas com um limite diferente, na razo dos

dimetros. Eles estabeleceram uma restrio ao espao entre voltas, (

), como pode ser visto na

rea temtica: Fenmenos de Transporte e Sistemas Particulados 2

Equao 2 fornecida por Srinivasan et al. (1968). Nesta equao, H a distncia entre as voltas e

D o dimetro da hlice.

[ (

) ] (

) (

) (2)

Ko e Ting (2004), empregando uma faixa mais ampla de

(

) obtiveram a

Equao 3.

[ (

) ] (3)

O Reynolds crtico citado acima foi definido como Reynolds helicoidal (ReH) no presente

estudo.

Para dar continuidade caracterizao do escoamento secundrio e a dimenso de um tubo

helicoidal necessrio definir mais alguns parmetros, que so mostrados nas Equaes de 4 a 10.

Primeiramente definida a distncia entre as voltas da hlice, que fornecido por:

(4)

Onde H a distncia entre as voltas da hlice (m) e P o passo da hlice (m).

Para definir o nmero de Dean, primeiro devem-se conhecer os parmetros curvatura (k) e

curvatura adimensional (), fornecidos como:

(5)

Onde k a curvatura (m-1

), R o raio da hlice (m) e P o passo da hlice (m).

(6)

Onde a curvatura adimensional, k a curvatura (m-1

) e r o raio do tubo (m). O nmero

de Dean , ento:

( ) (7)

Onde De nmero de Dean e e o nmero de Reynolds convencional.

Berger et al. (1983) mostraram que o limite superior do nmero de Dean para o regime de

escoamento laminar em tubos helicoidais aproximadamente 5.000.

Para a definio do nmero de Germano necessrio conhecer a toro, fornecida como:

(8)

rea temtica: Fenmenos de Transporte e Sistemas Particulados 3

Onde a toro (m-1

), P o passo da hlice (m) e R o raio da hlice (m).

Germano (1982,1989) aplicou as equaes de Dean (1928) no escoamento num tubo

helicoidal, e demonstrou que estas dependem no somente do nmero de Dean, mas tambm de

um novo parmetro, a toro adimensional (), fornecido por:

(9)

Onde a toro adimensional, a toro (m-1

) e k a curvatura (m-1

).

(10)

Onde Gn o nmero de Germano, a toro (m-1

), r o raio do tubo (m) e ReH o nmero

de Reynolds Helicoidal, j definido na Equao 3.

As comparaes entre as equaes e os resultados apresentados em diferentes trabalhos so

em alguns casos difceis e complexos. H sistemas de coordenadas e aproximaes de ordens

diferentes que tm sido recentemente adotadas nos diversos estudos de escoamentos em tubos

helicoidais.

3.2 Equaes de Navier-Stokes

As equaes de Navier-Stokes em coordenadas ortogonais foram utilizadas em diversos

trabalhos, como Tutlle (1990) e Kao (1987) apud Germano (1989). No entanto, dependendo do

autor, a simbologia para cada termo das equaes diferenciado. Com isso, a interpretao

utilizada neste trabalho foi feita a partir da publicao de Huttl (1999), por este apresentar fcil

entendimento dos termos, alm de representaes mais atuais dos mesmos.

Germano (1989) realizou uma extenso das equaes de Dean com o objetivo de introduzir a

toro como parmetro do escoamento de um tubo helicoidal. Para isso ele utilizou coordenadas

ortogonais, de modo que se (toro) for zero seu sistema de coordenadas volta a ser o no-

ortogonal utilizado por Dean (1927).

Uma das desvantagens dada por Gammack e Hydon (2001) a respeito desta coordenada de

que ela se refere ao centro do tubo. Ento, ela no contm o campo vetorial tangente s linhas de

congruncia da hlice para um passo fixo. Isto inibe o fornecimento de um meio natural para

distinguir entre os componentes axiais e secundrios de um escoamento. Entretanto, segundo

Tuttle (1990) esta coordenada evita o problema de falsas interpretaes dos vetores de velocidade

covariantes e contravariantes, que so obtidos nas solues da coordenada no-ortogonal.

Problema este enfrentado por Wang (1981) apud Tuttle (1990) e Murata et al. (1981) apud Tuttle

(1990), que obtiveram diferentes resultados por interpretarem de forma diferente estes vetores.

Germano (1982, 1989) introduziu o fato de que um sistema de coordenadas helicoidal pode

ter como referncia o sistema de coordenadas cartesianas. Aplicando as coordenadas helicoidais

para a direo axial, r para a direo radial e para a direo angular, a posio para qualquer

ponto X, interno ao tubo helicoidal pode ser descrito pelo vetor (Huttl, 1999), fornecido pela Equao 11.

rea temtica: Fenmenos de Transporte e Sistemas Particulados 4

( )- ( - ) ( ) ( ) (11)

Onde , e so as direes tangencial, normal e binormal de uma curva genrica no eixo do tubo no ponto considerado. A coordenada utilizada est ilustrada na Figura 1.

Figura 1 Esquema do sistema de coordenadas helicoidal ortogonal

(s, r, ), conforme Germano (1982,1989). Fonte: Huttl (1999).

O sistema de coordenadas helicoidal ortogonal apresentada na Equao 12.

( ( - )) (12)

Onde ds, dr e d so incrementos infinitesimais nas direes axial, radial e angular.

Desta forma so obtidos os fatores escalares hs, hr e h, que so utilizados para expressar as

equaes de Navier-Stokes em coordenadas helicoidais. Estes fatores so apresentados nas

Equaes 13 a 15.

( - ) (13)

(14)

(15)

As Equaes de Navier-Stokes escritas de acordo com o sistema de coordenadas

helicoidal ortogonal so demostradas nas Equaes 16 a 19.

Equao da Conservao da Massa

( )

( )

( ) (16)

Momento s

( )

( )

( )

( )

rea temtica: Fenmenos de Transporte e Sistemas Particulados 5

( )

[

(

(

( ) (

) ))

(

(

)

)

(

(

)

)

( ) (

(

)

) ( ) (

(

)

)] (17)

Momento r

( )

( )

( )

( )

[

(

(

)

)

(

)

( (

(

)))

( )

(

( ) ( ) )

(

)] (18)

Momento

( )

( )

( )

( )

[

(

(

)

)

( (

(

)))

( (

))

( )

(

( ) ( ) )

(

(

))] (19)

Estas equaes so escritas na forma adimensional e a densidade de massa adimensional

definida como 1. Onde e so as componentes da velocidade nas direes r, e s, respectivamente, a toro, R o raio do tubo e o nota-se na Equao 20.

(20)

Onde a velocidade de cisalhamento mdia definida na Equao 21.

(21)

Onde a massa especfica e apresentada na Equao 22.

( )

(22)

O R, a e o so usados como variveis de escala.

rea temtica: Fenmenos de Transporte e Sistemas Particulados 6

Os nmeros de Dean e Germano baseados nesta escala so dadas pelas Equaes 23 e

24.

(23)

(24)

3.3. Discusso

Como o objetivo deste trabalho foi descrever as equaes do comportamento de um fluido

dentro de um tubo helicoidal, o balano coerente com este objetivo so os balanos diferencias, os

quais foram expressos no tpico das equaes de Navier-Stokes. Por isso, optou-se por no

realizar os balanos globais de massa e de quantidade de movimento.

Atravs da resoluo das equaes de Navier-Stokes possvel obter valores de tores e

curvaturas eficazes no surgimento de um escoamento secundrio. Como sugesto estas resolues

podem ser feitas aplicadas em programas de fluidodinmica computacional ou de solues

numricas como o DNS ou LED.

Com respeito toro, Sartori (2006) mostrou que seu efeito fsico no padro de escoamento

menos pronunciado do que o efeito da curvatura. Porm, devido a sua influncia no escoamento

secundrio, que conduz a um aumento nas flutuaes de energia cintica e da taxa de dissipao,

este parmetro no pode ser negligenciado. Seu principal efeito aumentar a amplitude das

componentes radiais e circunferenciais da velocidade e, consequentemente, seus gradientes

espaciais, ajudando assim a entender porque a energia cintica turbulenta aumentada quando a

toro aplicada. Outro efeito da toro observado a introduo de foras de inrcia adicionais.

Germano (1987) concluiu que o efeito da toro tende a aumentar medida que nmero de

Reynolds diminui e confirmou o fato de que para um tubo helicoidal, a toro no tem um efeito

primrio no escoamento secundrio. Isto foi comprovado quando a equao do escoamento

secundrio no mostrava dependncia de primeira ordem com a toro.

Uma boa fonte de vrias pesquisas desenvolvidas nessa rea podem ser encontradas nos

trabalho de Alam et al. (2007), Gammack e Hydon (2001) e Berger et al. (1983).

4. CONCLUSO

Um estudo preliminar do escoamento monofsico em um tubo helicoidal foi realizado com

xito, assim como uma breve descrio da importncia da toro e curvatura no estabelecimento

de um escoamento secundrio. Este trabalho ser aplicado em estudos futuros acerca do

escoamento bifsico para o tratamento de gua produzida, aproveitando-se do escoamento

secundrio que separar as fases presentes, gua e leo.

rea temtica: Fenmenos de Transporte e Sistemas Particulados 7

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