Matemtica Bsica

1

n

x

+

%

a b

3

Sumrio

Nmeros Inteiros.................................................................... 03 Nmeros Naturais.............................................................. 03 Operaes Fundamentais com Nmeros Naturais .................................................................. 03 Exerccios .......................................................................... 05 Mnimo Mltiplo Comum......................................................... 09 Mltiplos e Divisores .......................................................... 09 Exerccios .......................................................................... 14 Fraes .................................................................................. 17 Nmeros Racionais ........................................................... 17 Nmeros Mistos................................................................. 21 Extrao de Inteiros........................................................... 21 Transformao de Nmeros Mistos em Fraes Imprprias .......................................................... 22 Simplificao de Fraes................................................... 23 Comparao de Fraes ................................................... 25 Exerccios .......................................................................... 29 Nmeros Decimais ................................................................. 41 Conceito e Leitura.............................................................. 41 Operaes com Nmeros Decimais .................................. 43 Exerccios .......................................................................... 46 Medidas de Comprimento ...................................................... 51 Conceito de Medida........................................................... 51 Exerccios .......................................................................... 53 Proporcionalidade .................................................................. 57 Razo ................................................................................ 57 Proporo .......................................................................... 59 Grandezas proporcionais................................................... 61 Exerccios .......................................................................... 62 Regra de Trs ........................................................................ 65 Regra de Trs Simples ...................................................... 65__________________________________________________________________________________________________

5

__________________________________________________________________________________________________

Regra de Trs Composta ...................................................67 Exerccios ...........................................................................70 Porcentagem...........................................................................73 Exerccios ...........................................................................74 Nmeros Inteiros Relativos .....................................................77 Nmeros Opostos ou Simtricos ........................................77 Valor Absoluto ....................................................................78 Operaes com nmeros Inteiros Relativos.....................................................................78 Expresses com nmeros Inteiros Relativos.....................................................................79 Multiplicao com mais de dois nmeros Relativos..............................................................81 Exerccios ...........................................................................82 Potenciao e Radiao .........................................................83 Radiao ............................................................................85 Raiz Quadrada de Nmeros Racionais...............................86 Exerccios ...............................................................................86 Figuras Espaciais, Volume......................................................91 Introduo ..........................................................................91 Exerccios ...........................................................................93 Exerccios ...........................................................................101 Tpicos Especiais ...................................................................105 Teorema de Pitgoras ........................................................105 Exerccios ...........................................................................106 Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo ............107 Exerccios ...........................................................................114

___________________________________________________________________________________________________ _

6

Nmeros Inteiros

Nmeros Naturais Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto. Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na bolsa. Na volta do rebanho, a ltima ovelha devia corresponder ltima pedrinha. Tinham assim, a noo dos nmeros naturais, embora no lhes dessem nomes nem os representassem por smbolos. Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o mundo, os smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O conjunto dos nmeros naturais representado pela letra IN e escreve-se:

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}Operaes Fundamentais Com Nmeros Naturais Adio a operao que permite determinar o nmero de elementos da unio de dois ou mais conjuntos: 1.004 577 12 + 4 1.597 Subtrao a operao que permite determinar a diferena entre dois nmeros naturais: 837 Minuendo parcelas

total ou soma

__________________________________________________________________________________________________ __

7

__________________________________________________________________________________________________

- 158 679 Multiplicao

Subtraendo Resto ou diferena

A multiplicao muitas vezes definida como uma adio de parcelas iguais: Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 2 (trs parcelas iguais a 2) 381 x 23 1143 + 762_ 8763 Ateno: Qualquer nmero natural multiplicado por zero zero. Exemplo: Diviso a operao que permite determinar o quociente entre dois nmeros. A diviso a operao inversa da multiplicao. Exemplo: 18 4 = 72 72 4 = 18 4 0=0 Multiplicando Fatores Multiplicando

Produto

Termos Da Diviso: Dividendo 4051 - 40__ 051 - 48 03 8 506 Divisor Quociente

Resto

Ateno: Quando o dividendo mltiplo do divisor, dizemos que a diviso exata. Exemplo: 16 8 = 2 Quando o dividendo no mltiplo do divisor, dizemos que a diviso aproximada ou inexata. Exemplo: 16 5 = 3 (resto = 1)

___________________________________________________________________________________________________ _

8

Numa diviso, em nmeros naturais, o divisor tem de ser sempre diferente de zero, isto , no existe diviso por zero no conjunto de nmeros naturais (IN).

__________________________________________________________________________________________________

9

__________________________________________________________________________________________________

Nmeros Naturais - Exerccios 1) Complete as sucesses numricas seguintes: Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 a) b) 7, 14, 21, ......, ......, ......, ...... 9, 18, 27, ......, ......, ......, ......

c) 11, 22, 33, ......, ......, ......, ...... d) 12, 24, 36, ......, ......, ......, ...... e) 15, 30, 45, ......, ......, ......, ...... 2) Resolva: a) 4 + 577 + 12 + 1.004 = b) 285 + 122 + 43 + 8 + 7.305 = c) 7.815 + 427 + 2.368 + 864 = 3) Escreva as denominaes dos termos e do resultado da adio: 623 + 321 944 ................................... ................................... ...................................

4) Complete as sucesses numricas seguintes: Exemplo: 50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22... a) b) c) 50, 45, ......, ......, ......, ......, ...... 50, 44, ......, ......, ......, ......, ...... 80, 72, ......, ......, ......, ......, ......

d) 108, 96, ......, ......, ......, ......, ...... 5) Efetue as subtraes: a) 196 - 74 = b) 937 - 89 = c) 4.800 - 2.934 = d) 100.302 - 97.574 = e) 1.301.002 - 875.037 =___________________________________________________________________________________________________ _

10

6) Em uma subtrao, o subtraendo 165 e o resto 428. Qual o minuendo?

7) Qual o nmero que somado a 647 igual a 1.206?

8) De 94.278 subtraia 62.574. Tire a prova.

9) Efetue mentalmente: a) b) c) d) f) g) h) i) j) k) l) 7 810 8 72 1= 1= 10 = 10 = 10 =

e) 1.705

9 100 = 81 100 = 365 100 = 5 1000 = 12 1000 = 170 100 = 3.800 1000 =

10) Complete: a) Um produto sempre uma adio de ........................... iguais.__________________________________________________________________________________________________

11

__________________________________________________________________________________________________

b) O produto de vrios fatores zero, quando pelo menos um de seus fatores for ............................... 11) Complete: a) b) c) d) e) f) 4 5 0 = 6 0 9 = 0 5 8 = 1 ...... 8 = 0 7 9 ...... = 0 ...... 4 8 = 0

12) Escreva os termos da diviso: ............................... 107 07 ...................... 2 13) Efetue: a) b) c) 810 4 = 408 4 = 560 8 = 5 21 ............................ ............................

d) 12.018 6 = 14) O nmero 9 est contido em 3.663 ............................ vezes.

15) Arme, efetue e verifique a exatido das operaes atravs de uma prova. a) c) d) e) f) 8.750 + 3 + 1.046 = 2.091 45 = 9.327 814 = 3.852 208 = 68.704 74 =

b) 37.600 - 28.935 =

___________________________________________________________________________________________________ _

12

g) h)

1.419 87 = 4.056 68 =

16) Resolva os problemas: a) Um reservatrio contm 400 litros de gua e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operaes: retiramos 70 litros colocamos 38 litros retiramos 193 litros colocamos 101 litros colocamos 18 litros Qual a quantidade de gua que ficou no reservatrio?

b) Em uma escola estudam 1.920 alunos distribudos igualmente em 3 perodos: manh, tarde e noite. Pergunta-se: Quantos alunos estudam em cada perodo? Quantos alunos estudam em cada sala, por perodo, se h 16 salas de aula?

__________________________________________________________________________________________________

13

__________________________________________________________________________________________________

Mnimo Mltiplo Comum

Mltiplos e Divisores Mltiplos de um Nmero Mltiplo de um nmero natural o produto desse nmero por um outro nmero natural qualquer. Exemplo: M (2) M (5) Ateno: Zero mltiplo de todos os nmeros. Qualquer nmero natural mltiplo de si mesmo. O conjunto de mltiplos de um nmero infinito. Divisores de um Nmero Um nmero divisor de outro quando est contido neste outro certo nmero de vezes. Um nmero pode ter mais de um divisor. divisores do nmero 12 so: 1, 2, 3, 4, 6, e 12. O conjunto dos divisores de 12 representamos assim: D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Por Exemplo, os { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}

Se um nmero mltiplo de outro, ele "divisvel" por este outro. Ateno: Zero no divisor de nenhum nmero. Um divisor de todos os nmeros.___________________________________________________________________________________________________ _

14

__________________________________________________________________________________________________

Critrios de Divisibilidade Sem efetuarmos a diviso podemos verificar se um nmero divisvel por outro. Basta saber alguns critrios de divisibilidade: a) Por 2: Um nmero divisvel por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6, ou 8. Ou seja, quando ele par. Exemplo: b) Por 3: Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 3. Exemplo: 252 divisvel por 3 porque 2 + 5 + 2 = 9 e 9 mltiplo de 3. c) Por 4: Um nmero divisvel por 4 quando os dois ltimos algarismos forem 0 ou formarem um nmero divisvel por 4. Exemplo: d) Por 5: Um nmero divisvel por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplo: e) Por 6: Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e por 3. Exemplo: f) Por 9: Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 9. Exemplo: g) Por 10: Um nmero divisvel por 10 quando termina em zero. Exemplo: 1.870, 540, 6.000 2.538, 7.560 312, 732 780, 935 500, 732, 812 14, 356, ...

__________________________________________________________________________________________________

15

Mnimo Mltiplo Comum Chama-se Mnimo Mltiplo Comum de dois ou mais nmeros ao menor dos mltiplos comuns a esses nmeros e que seja diferente de zero. Exemplo: Consideremos os nmeros 3 e 4 e escrevamos alguns dos seus mltiplos. Teremos: M (3) = M (4) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...} {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...}

Observamos que h elementos comuns entre esses dois conjuntos. Portanto a interseo entre eles ser: M(3)

M(4) =

{0, 12, 24, 36, ...}

m.m.c. (3, 4) = 12 12 o menor mltiplo comum de 3 e 4. So processos prticos para o clculo do m.m.c. de dois ou mais nmeros: Decomposio em Fatores Primos e Decomposio Simultnea. Antes, porm, de calcular o m.m.c. de algum nmero, vamos ver o que NMERO PRIMO. Nmero Primo todo nmero que possui somente dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo. Exemplo:1 1 1

55

1313

9

3

9

O nmero 5 primo, porque tem apenas dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo (5) O nmero 13 primo, porque tem apenas dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo (13). O nmero 9 no primo, porque tem mais de 2 divisores: 1, 3 e 9.___________________________________________________________________________________________________ _

16

Observe agora, os Exemplos:1 2 1 3

8

4 8

15

5 15

1 o nico divisor comum a 8 e 15, por isso dizemos que 8 e 15 so primos entre si. Dois ou mais nmeros so primos entre si, quando s admitem como divisor comum a unidade. Agora, vamos recordar o que decompor um nmero em fatores primos. A decomposio em fatores primos feita atravs de divises sucessivas por divisores primos. Exemplo: 30 2 15 3 5 5 1 o menor divisor primo de 30 2: 15 o menor divisor primo de 15 3: 5 o menor divisor primo de 5 5: 1 30 : 2 = 15 : 3 = 5 : 5 =

Para decompor um nmero em seus fatores primos: 1) Dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo; 2) Dividimos o quociente pelo seu menor divisor primo; 3) E assim sucessivamente, at encontrarmos o quociente 1. 1 Processo: Para determinar o m.m.c. atravs da decomposio em fatores primos ou fatorao, procedemos da seguinte forma: 1. Decompomos em fatores primos os nmeros apresentados. Exemplo: 15 e 20 15 3 5 5 1 20 2 10 2 5 5

__________________________________________________________________________________________________

17

1 2. Multiplicamos os fatores primos comuns e no comuns com seus maiores expoentes. 15 = 3 x 5 20 = 2 x 52

3. O produto ser o m.m.c. procurado: m.m.c. = (15, 20) = 2 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60 2 Processo: Podemos tambm determinar o m.m.c. atravs da decomposio simultnea (fatorao dos nmeros ao mesmo tempo). Exemplo: a) Calcular o m.m.c. (12, 18). Soluo: decompondo os nmeros em fatores primos, teremos: 12 - 18 2 6 9 2 3 - 9 3 1 - 3 3 1 - 1 Portanto: m.m.c. = 2 x 3 ou 2 x 2 x 3 x 3 = 362 2 2

b) Determinar o m.m.c. (14, 45, 6) 14 - 45 - 6 2 7 - 45 - 3 3 7 - 15 - 1 3 7 - 5 - 1 5 7 - 1 - 1 7 1 - 1 - 1 Portanto: m.m.c. = 2 3 5 7 ou2

2 3 3 5 7 = 630 Ateno:___________________________________________________________________________________________________ _

18

O m.m.c. de nmeros primos entre si igual ao produto desses nmeros. Mnimo Mltiplo Comum - Exerccio 1) Escreva at 6 mltiplos dos nmeros: a) M (3) = .............................................................. b) M (4) = .............................................................. c) M (5) = .............................................................. d) M (10) = .............................................................. e) M (12) = .............................................................. 2) Escreva os divisores dos nmeros dados: a) D (8) = ............................................................... b) D (12) = ............................................................... c) D (36) = ............................................................... d) D (15) = ............................................................... e) D (24) = ............................................................... 3) Escreva um algarismo para que o nmero fique divisvel por 3: a) 134 b) 73 .............. .............

4) Risque os nmeros divisveis: a) por dois: 7120 - 621 - 162 - 615 - 398 - 197 - 1009 - 74 b) por trs: 4414 - 173 - 315 - 222 - 302 - 706 - 207 c) por cinco: 217 - 345 - 1642 - 700 - 325 - 801 - 12434 - 97 d) por dez: 153 - 140 - 1000 - 315 - 304 - 12360 - 712

__________________________________________________________________________________________________

19

5) Escreva, no quadrado, um algarismo conveniente para que o nmero formado seja divisvel por: a) dois e trs: 4 0 b) cinco: 5 7 c) cinco e dez: 8 4 d) dois e cinco: 1 5 6) Determine usando a fatorao: a) m.m.c. (12, 15) = b) m.m.c. (6, 12, 15) = c) m.m.c. (36, 48, 60) = 7) Calcule: a) m.m.c. (5, 15, 35) = b) m.m.c. (54, 72) = c) m.m.c. (8, 28, 36, 42) = d) m.m.c. (4, 32, 64) =

___________________________________________________________________________________________________ _

20

__________________________________________________________________________________________________

21

Fraes

Nmeros Racionais Consideremos a operao 4 : 5 = ? onde o dividendo no mltiplo do divisor. Vemos que no possvel determinar o quociente dessa diviso no conjunto dos nmeros porque no h nenhum nmero que multiplicando por 5 seja igual a 4. A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar um outro conjunto que permite efetuar a operao de diviso, quando o dividendo no fosse mltiplo do divisor. Criouse, ento, o conjunto dos Nmeros Racionais. Nmero racional todo aquele que escrito na forma e b so nmeros inteiros e b diferente de zero. So exemplos de nmeros racionais: 3 , 5 1 , 2 4 , 3 10 , 5 12 , 24 36 18 a onde a b

A seguir, estudaremos o conjunto dos nmeros racionais fracionrios, tambm chamados de fraes. Conceito de Frao: Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas dessas partes, poderemos representar essa operao por uma frao. Veja:

A figura foi dividida em trs partes iguais. partes. Representamos, ento, assim: E lemos: dois teros. 2 3

Tomamos duas

___________________________________________________________________________________________________ _

22

O nmero que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro foi dividido, chama-se DENOMINADOR. O nmero que fica sobre o trao e indica quantas partes iguais foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR. Leitura e Classificaes das Fraes Numa frao, l-se, em primeiro lugar, o numerador e, em seguida, o denominador. a) Quando o denominador um nmero natural entre 2 e 9, a sua leitura feita do seguinte modo:

1 2 1 5 1 8

- um meio

1 3 1 6 1 9

- um tero

1 4 1 7

- um quarto

- um quinto

- um sexto

- um stimo

- um oitavo

- um nono

b) Quando o denominador 10, 100 ou 1000, a sua leitura feita usando-se as palavras dcimo(s), centsimo(s) ou milsimo(s).

1 - um dcimo 10 20 - vinte milsimos 1000

7 - sete centsimos 100

c) Quando o denominador maior que 10 (e no potncia de 10), l-se o nmero acompanhado da palavra "avos".

1 - um quinze avos 15 13 85

3 29

- trs vinte e nove avos

- treze oitenta e cinco avos

__________________________________________________________________________________________________

23

Fraes Ordinrias e Fraes Decimais As fraes cujos denominadores so os nmeros 10, 100, 1000 (potncias de 10) so chamadas Fraes Decimais. As outras so chamadas Fraes Ordinrias. Exemplos: 3 , 10 1 , 5 5 , 100 8 , 17 23 1000 10 41 so fraes decimais so fraes ordinrias

Fraes Prprias Observe as fraes abaixo:

1 2

2 3

Essas fraes so menores do que a unidade. So chamadas Fraes Prprias. Nas fraes prprias, o numerador menor do que o denominador. Fraes Imprprias Observe as fraes abaixo:

7 4

4 3

Essas fraes so maiores que o inteiro, portanto so Fraes Imprprias. Nas fraes denominador. imprprias, o numerador maior que o

___________________________________________________________________________________________________ _

24

Fraes Aparentes Observe:

12/6 ou 2 inteiros

3/3 ou 1 inteiro As fraes acima representam inteiros. Fraes Aparentes. Elas so chamadas

Nas fraes aparentes, o numerador sempre mltiplo do denominador, isto , o numerador divisvel pelo denominador. Uma frao aparente tambm imprpria, mas nem toda frao imprpria aparente.

Fraes Equivalentes/Classe de Equivalncia. Observe as figuras: 2 3 4 6 6 9

As fraes

2 4 6 , e 3 6 9

representam o mesmo valor, porm

seus termos so nmeros diferentes. Estas fraes so denominadas Fraes Equivalentes. Para obtermos uma frao equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo nmero (diferente de zero).__________________________________________________________________________________________________

25

Exemplo: 2 5 igual a

2 x 5 10 10 , pois = 5 x 5 25 25 18 3 6 6 , pois = 21 3 7 7

18 igual a 21

O conjunto de fraes equivalentes a uma certa frao chamase CLASSE DE EQUIVALNCIA. Exemplo: Classe de equivalncia de1 = 2 2 3 4 5 6 1 , , , , , 4 6 8 10 12 2

Nmeros Mistos Os nmeros mistos so formados por uma parte inteira e uma frao prpria. 1 inteiro 1 2 Representamos assim: meio 1 1 2 E lemos: um inteiro e um

Extrao de Inteiros o processo de transformao de frao imprpria em nmero misto. Observe a figura:

Podemos representar essa frao de duas maneiras:___________________________________________________________________________________________________ _

26

1 Para transformar

1 4

ou

5 4

5 em nmero misto, ou seja, para verificar 4 4 5 quantas vezes cabe em , procede-se assim: 4 4

5 1

4 1

1 1 4

s dividir o numerador pelo denominador. O quociente ser a parte inteira. O resto ser o numerador e conserva-se o mesmo denominador.

Transformao Imprprias.

de

Nmeros

Mistos

em

Fraes

Observe o exemplo e a ilustrao: Transformar 1

1 em frao imprpria. 4

Soluo: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o outro quarto.

1 1 4 4 + 1 = 5 4 4 4 1 4 1 1 4 Resumidamente, procede-se assim: Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador.__________________________________________________________________________________________________

1

+ ou 5 4

27

1

1 4

=

(1 4 + 1) 4

=

5 4

Simplificao de Fraes Simplificar uma frao significa transforma-la numa frao equivalente com os termos respectivamente menores. Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo nmero natural (diferente de 0 e de 1). Exemplo: Simplificar 8 16 82 42 22 = = = 16 2 8 2 4 2 1 2

Quando uma frao no pode mais ser simplificada, diz-se que ela IRREDUTVEL ou que est na sua forma mais simples. Nesse caso, o numerador e o denominador so primos entre si. Reduo de Fraes ao mesmo Denominador Reduzir duas ou mais fraes ao mesmo denominador significa obter fraes equivalentes s apresentadas e que tenham todas o mesmo nmero para denominador. Exemplo: 1 2 3 6 8 9 , e so equivalentes a , e 2 3 4 12 12 12 respectivamente. As fraes Para reduzirmos duas ou mais fraes ao mesmo denominador, seguimos os seguintes passos: 1 - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das fraes que ser o menor denominador comum. 2 - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das fraes dadas.

___________________________________________________________________________________________________ _

28

3 - Multiplica-se o quociente encontrado em cada diviso pelo numerador da respectiva frao. O produto encontrado o novo numerador.

__________________________________________________________________________________________________

29

Exemplo: Reduzir ao menor denominador comum as fraes: 1 , 2 Soluo: 1 - m.m.c. (2, 4, 6) = 12 o denominador. 2, 4, 6 2 1, 2, 3 2 1, 1, 3 3 1, 1, 1 12 2 12 2 = 6 12 4 = 3 12 6 = 2 1 6 12 6 12 33 12 9 12 72 12 14 12 3 , 4 7 6

3 -

=

=

=

Portanto:

6 , 12

9 , 12

14 a resposta. 12

___________________________________________________________________________________________________ _

30

Comparao de Fraes Comparar duas fraes significa estabelecer uma relao de igualdade ou desigualdade entre elas. Fraes com o mesmo Denominador Observe: 5 8 3 8 1 8 5 8 3 8 1 8

Percebe-se que :

>

>

Ento:

Se duas ou mais fraes tem o mesmo denominador, a maior a que tem maior numerador. Fraes com o Mesmo Numerador Observe: 3 16 3 8 3 4 3 16 3 8 3 4

Percebemos que: Ento:

1 2

___________________________________________________________________________________________________ _

32

Adio e Subtrao de Fraes A soma ou diferena de duas fraes uma outra frao, obtida a partir do estudo dos seguintes "casos": 1 As Fraes tem o mesmo Denominador. Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador. Exemplo: 2 5 6 7 + 1 = 5 4 7 = 2+1 = 5 64 7 = 3 5 2 7

2 As Fraes tem Denominadores diferentes. Reduzem-se as fraes ao mesmo denominador e procedese como no 1 caso. Exemplo: 2 + 3 = 8 + 9 = 17 3 4 12 12 12 3, 4 3, 2 3, 1 1, 1 2 2 3 12

3 Nmeros Mistos. Transformam-se os nmeros mistos em fraes imprprias e procede-se como nos 1 e 2 casos. Exemplo: + 2 1 3 x 7 3 Ateno:__________________________________________________________________________________________________

+ + 1 1 4 x + 5 4 = 28 + 15 = 43 = 12 12 12 3 7 12

33

Nas operaes com fraes, conveniente simplificar e extrair os inteiros do resultado sempre que possvel. Multiplicao de Fraes A multiplicao de duas ou mais fraes igual a uma outra frao, obtida da seguinte forma: O numerador o produto dos numeradores e o denominador o produto dos denominadores. Numa multiplicao de fraes, costuma-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetua-la. Exemplo:

2 / 31 / 62 / 51

/ 315

=

2 1

1 = 5

2 5

// 10 2 / 31

/ 62 3 / 9

=

2 1

2 1

2 3

=

8 3

= 2

2 3

Diviso de Fraes Ordinrias O quociente da diviso de duas fraes uma outra frao obtida da seguinte forma: Multiplica-se a primeira pela frao inversa da segunda. Para isso, exige-se: 3 - Transformar os nmeros mistos em fraes imprprias. 4 - Transformar os nmeros inteiros em fraes aparentes. 5 - Simplificar. 6 - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. 7 - Extrair os inteiros. Exemplo: 3 4 5 7 = 3 4 7 5 = 21 1 = 1 20 20

___________________________________________________________________________________________________ _

34

8

1 3 = 4

33 4

3 = 1

// 3311 4

1 / 31

=

3 11 = 2 4 4

Ateno: Quando houver smbolo de polegada ou de outra unidade em ambos os termos da frao, esse smbolo deve ser cancelado. Exemplo:

3" 4

4" = 3

3" 4

3 9 = 4" 16

Partes Fracionrias de um Nmero Observe: 2 3 de 15 = 2 / 31 // 15 5 1 = 10

Para determinar partes fracionrias de um nmero, devemos multiplicar a parte fracionria pelo nmero dado.

Fraes - Exerccios 1) Observando o desenho, escreva o que se pede:

a) O inteiro foi dividido em ................. partes iguais. b) As partes sombreadas representam ................... partes desse inteiro. c) A frao representada : ......................... d) O termo da frao que indica em quantas partes o inteiro foi dividido o .................. e) O termo da frao que indica quantas dessas partes foram tomadas o .................. 2) Escreva as fraes representadas pelos desenhos: a) c)

__________________________________________________________________________________________________

35

b)

d)

3) Represente com desenho as seguintes fraes: 7 8 2 3 1 9

5 4

1 2

4) Complete com a palavra correta: a) Fraes prprias so fraes cujo numerador ....................... que o denominador. b) Fraes prprias representam ...................... que a unidade.

quantidades

c) Fraes imprprias so fraes cujo numerador ........................ que o denominador. d) Fraes imprprias representam ......................... que a unidade. quantidades

5) Numa pizzaria, Lus comeu 2 da mesma pizza. 4

1 de uma pizza e Camila comeu 2

a) Quem comeu mais?......................................................... b) Quanto sobrou da pizza? ................................................ 6) Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO): a) ( ) Toda frao imprpria maior do que 1. b) ( ) Toda frao imprpria pode ser representada por um nmero misto. c) ( ) 1 uma frao. 3

___________________________________________________________________________________________________ _

36

d) ( )

3 uma frao. 1

__________________________________________________________________________________________________

37

7) Faa a leitura de cada uma das fraes seguintes: a) b) c) d) 3 .................................................................................... 4 5 .................................................................................... 8 1 .................................................................................... 2 5 ................................................................................ 100

8) Classificar as fraes seguintes em prpria, imprpria ou aparente: a) b) c) d) e) 2 ..................................................................... 3 5 ..................................................................... 2 8 ..................................................................... 4 12 .................................................................... 15 24 .................................................................... 6

9) Circule as fraes equivalentes a: a) 2 5 6 7 = 10 25 = 2 5 3 4 18 21 5 20 7 9 8 20 30 35 6 15 1 7

b)

___________________________________________________________________________________________________ _

38

10) Numere a 2 coluna de acordo com a 1 : 1. frao ordinria 2. frao decimal ( ) 1 2 ( ) 7 10 ( ) 359 1000 ( ) 6 35

a

a

11) Transforme os nmeros mistos em fraes imprprias: a) d) 2 7 = 9 b) e) 3 1 = 2 3 = 4 c) 5 7 = 13

1 1 = 8

12

12) Extraia os inteiros das fraes: a) b) c) d) e) 17 = 5 38 = 7 87 = 4 25 = 13 42 = 19

13) Simplifique as fraes, tornando-as irredutveis: a) b) c) d) 4 = 6 6 = 15 8 = 14 14 = 28

__________________________________________________________________________________________________

39

e)

9 = 36

14) Reduza as fraes ao mesmo denominador: a) b) c) d) e) 1 5 , = 4 6 1 3 , = 8 16 3 6 , = 5 8 1 5 3 , , = 2 16 12 3 6 3 , , = 4 16 5

15) Compare as fraes, escrevendo-as em ordem crescente: a) b) c) 2 3 1 10 , , , ; 4 4 4 4 3 3 3 3 3 , , , , ; 6 10 2 1 12 1 3 2 1 3 , , , , ; 10 8 5 8 15

1 5 1 5 d) 1 , 1 , , 1 ; 16 8 6 5 Compare as fraes apresentadas em cada ou > ou escrevendo, entre elas, os sinais < a) d) g) j) 1 5 6 4 3 4 2 7 4 5 7 5 5 4 3 35 b) e) h) 3 2 3 9 2 7 7 3 1 9 2 15 c) f) i) 5 2 1 5 7 11 item, = : 4 3 1 6 3 5

___________________________________________________________________________________________________ _

40

17) Circule a maior frao: a) c) 3 2 ou 5 3 3 5 ou 4 6 b) d) 1 2 ou 2 9 6 3 ou 10 6

18) Circule as fraes menores do que um inteiro: 1 3 9 8 2 12 8 12 7 4 9 5

19) Observe as figuras e escreva as fraes representadas:

Complete: Essas fraes representam o mesmo valor, porm seus termos so nmeros diferentes. Essas fraes so denominadas ................................................. 20) Numere a 2 coluna de acordo com a frao equivalente na a 1: (a) (b) (c) (d) 6 9 1 2 7 8 1 4 ( ( ( ( ) ) ) ) 28 32 25 40 16 64 2 3a

__________________________________________________________________________________________________

41

(e)

5 8

(

)

8 16

21) Torne as fraes irredutveis: a) b) c) d) e) f) 24 = 32 100 = 128 12 = 15 4 = 32 48 = 64 25 = 100

22) Circule as fraes irredutveis: 1 , 3 4 , 6 12 , 15 12 , 13 7 , 8 18 , 24 1 8

23) Determine a soma: a) 5 3 7 + + 16 16 16 b) 2 4 1 + + 3 5 2 c) 3 7 15 + + 8 16 32

24) Efetue as adies e simplifique o resultado quando possvel: a) b) c) d) 2 + d 1 3 + 1 = 4 2

13 1 + 1+ 5 = 16 8

25 1 + 1 + 1= 3 4 2 1 2 1 + + = 2 3 4

___________________________________________________________________________________________________ _

42

25) Quanto falta a cada frao para completar a unidade? Exemplo: 5 8 5 3 = 8 8 8 8 a) c) 1 4 5 32 b) d) 13 16 17 64

26) Efetue as subtraes indicadas: a) b) c) d) e) 15 3 = 10 10 7 5 = 9 9 8 2 = 5 7 3 5 1 4 1 = 2 13 2 1 = 3 8

27) Resolva: a) b) c) d) e) 1 3 1 x x = 2 5 4 2 9 14 x x = 5 7 27 5 3 7 x x = 21 10 15 3 2 x 2 x = 4 5 3 1 5 3 x x = 2 16 5

__________________________________________________________________________________________________

43

28) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em 3 ? sentido longitudinal medindo cada uma 5 4

29) Calcule: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2 3 4 6 1 2 1 = 2 3 1 3 2 = 2 5 2 1 5 = 3 2 1 1 5 = 2 3

15 5= 16 2 1 7= 3

3 1 = 10 5 2 de 32 = 4 5 de 350 = 7 1 de 930 = 3

___________________________________________________________________________________________________ _

44

30) Leia com ateno os problemas e resolva: a) Um carro percorre 8 Km com 1 litro de gasolina. 1 litros? Quantos quilmetros percorrer com 10 2

b) Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu

3 deles. 5 Ele quer colocar o restante, igualmente em 10 caixas. Quanto deve colocar em cada caixa?

c) Coloquei

6 2 de minhas ferramentas em uma caixa, 12 4 em outra caixa e o restante deixei fora das caixas. Pergunta-se: Que parte de ferramentas ficou fora das caixas?

__________________________________________________________________________________________________

45

d) Joo encheu o tanque do seu carro. gasolina para trabalhar e

Gastou

2 da 5

1 para passear no final de 5 semana. Quanto sobrou de gasolina no tanque?

e) Numa oficina havia 420 veculos,

1 eram caminhes. 4 Quantos caminhes havia na oficina?

f)

Em uma caixa, os lpis esto assim distribudos: correspondem aos lpis vermelhos,

1 2

1 so lpis azuis e 5

1 so pretos. Que frao corresponde ao total de lpis 4 na caixa?

___________________________________________________________________________________________________ _

46

__________________________________________________________________________________________________

47

Nmeros Decimais

Conceito e Leitura J estudamos que uma frao decimal, quando o seu denominador o nmero 10 ou potncia de 10. Exemplos: 5 10 L-se cinco dcimos

45 L-se quarenta e cinco milsimos 1000 As fraes decimais podem ser representadas atravs de uma notao decimal que mais conhecida por "nmero decimal". Exemplos: 1 = 0,1 10 1 = 0,01 100 L-se um dcimo L-se um centsimo

1 = 0,001 L-se um milsimo 1000 Essa representao decimal de um nmero fracionrio obedece ao princpio da numerao decimal que diz: "Um algarismo escrito direita de outro representa unidades dez vezes menores que as desse outro....Milhar Centena Dezena Unidade Simples Dcimo Centsimo Milsimo...

... 1000

100

10

1

0,1

0,01

0,001...

Em um nmero decimal: Os algarismos escritos esquerda da vrgula constituem a parte inteira. Os algarismos que ficam direita da vrgula constituem a parte decimal.___________________________________________________________________________________________________ _

48

Exemplo: Parte inteira

12,63

Parte decimal

L-se doze inteiros e sessenta e trs centsimos. Para fazer a leitura de um nmero decimal, procede-se da seguinte maneira: 1- Enuncia-se a parte inteira, quando existe. 2- Enuncia-se o nmero formado pelos algarismos da parte decimal, acrescentando o nome da ordem do ltimo algarismo. Exemplos: a) 0,438 - L-se: quatrocentos e trinta e oito milsimos. b) 3,25 - L-se: trs inteiros e vinte cinco centsimos. c) 47,3 - L-se: quarenta e sete inteiros e trs dcimos. Observaes: 1- O nmero decimal no muda de valor se acrescentarmos ou suprimirmos zeros direita do ltimo algarismo. Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 2- Todo nmero natural pode ser escrito na forma de nmero decimal, colocando-se a vrgula aps o ltimo algarismo e zero (s) a sua direita. Exemplo: 34 = 34,000 1512 = 1512,00

Transformao de Frao Decimal em Nmero Decimal Para escrever qualquer nmero fracionrio decimal, na forma de "Nmero Decimal", escreve-se o numerador da frao com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Exemplos: a) 25 = 2,5 10 135 = 0,135 1000 b) 43 = 0,043 1000 2343 = 23,43 100

c)

e)

__________________________________________________________________________________________________

49

Transformao de Nmero Decimal em Frao Decimal Para se transformar um nmero decimal numa frao decimal, escrevem-se no numerador os algarismos desse nmero e no denominador a potncia de 10 correspondente quantidade de ordens (casas) decimais. Exemplos: a) 0,34 = 34 100 b) 5,01 = 501 100

c) 0,01 =

1 100

d) 21057 = ,

21057 1000

Operaes com Nmeros Decimais Adio e Subtrao Para adicionar ou subtrair dois nmeros decimais, escreve-se um abaixo do outro, de tal modo que as vrgulas se correspondam (numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como se fossem nmeros naturais. Observaes: Costuma-se completar as ordens decimais com zeros direita do ltimo algarismo. Exemplos: a) 3,97 + 47,502 = 51,472 3,970 + 47,502 51,472

b) 4,51 - 1,732 = 2,778

4,510 - 1,732 2,778

___________________________________________________________________________________________________ _

50

No caso de adio de trs ou mais parcelas, procede-se da mesma forma que na de duas parcelas. Exemplos: 4,310 5,200 + 17,138 26,648 Multiplicao Para multiplicar nmeros decimais, procede-se da seguinte forma: 1 Multiplicam-se os nmeros decimais, como se fossem naturais; 2 No produto, coloca-se a vrgula contando-se da direita para a esquerda, um nmero de ordens decimais igual soma das ordens decimais dos fatores. Exemplo: 0,012 x 1,2 = 0,012 x 1,2 0024 + 0012 0,0144 4 ordens decimais 3 ordens decimais + 1 ordem decimal

Para multiplicar um nmero decimal por 10, 100, 1000 ..., desloca-se a vrgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros do multiplicador. Exemplos: a) c) 2,35

10 =

23,5 314,5

b) 43,1

100 = 4310

0,3145 1000 =

Para multiplicar trs ou mais fatores, multiplicam-se os dois primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim por diante at o ltimo fator. Exemplo: 0,2 0,51 0,12 = 0,01224__________________________________________________________________________________________________

51

Diviso Para efetuarmos a diviso entre nmeros decimais procedemos do seguinte modo: 1) igualamos o nmero de casas decimais do dividendo e do divisor acrescentando zeros; 2) eliminamos as vrgulas; 3) efetuamos a diviso entre os nmeros naturais obtidos. Ateno: Se a diviso no for exata, para continua-la colocamos um zero direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vrgula no quociente. 1 Exemplo: 3,927 2,31 = 1,7 3,927 2,310 16170 1,7 0000 47,76 24,00 23 7 1,99 2 16 00

2 Exemplo: 47,76 24 = 1,99

Para dividir um nmero decimal por 10, 100 ou 1000 ..., deslocase a vrgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos forem os zeros do divisor. Exemplos: a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vrgula uma ordem para esquerda. 47,235 10 = 4,7235 b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vrgula duas ordens para a esquerda. 58,4 100 = 0,584 Quando a diviso de dois nmeros decimais no exata, o resto da mesma ordem decimal do dividendo original. Exemplo: 39,276 0,7 = 56,108 39,276 0,700 42 56,108 07___________________________________________________________________________________________________ _

resto 0,004

52

060 0,004 Nmeros Decimais - Exerccios 1) Escreva com algarismos, os seguintes nmeros decimais: a) Um inteiro e trs dcimos .............................................. b) Oito milsimos............................................................... c) Quatrocentos e cinqenta e nove milsimos ................. d) Dezoito inteiros e cinco milsimos................................. e) Vinte cinco inteiros e trinta e sete milsimos ................. 2) Represente em forma de nmeros decimais: a) 97 centsimos = b) 8 inteiros e 5 milsimos = c) 2 inteiros e 31 centsimos = d) 475 milsimos = 3) Observe os nmeros decimais e complete com os sinais:

>a) b) c) e) 3,78