MATEMATICA . TEORIAS

Elteorema de Pitgorases uno de los resultados ms conocidos de las matemticas.Lasmatemticaso lamatemtica1(dellatnmathematca, y este delgriego, derivado de , conocimiento) es unaciencia formalque, partiendo deaxiomasy siguiendo el razonamiento lgico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas comonmeros,figuras geomtricasosmbolos.Para explicar el mundo natural se usan las matemticas, tal como lo expresEugene Paul Wigner(Premio Nobel de fsicaen 1963):2La enorme utilidad de las matemticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso, y no hay explicacin para ello. No es en absoluto natural que existan leyes de la naturaleza, y mucho menos que el hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de lo apropiado que resulta el lenguaje de las matemticas para la formulacin de las leyes de la fsica es un regalo maravilloso que no comprendemos ni nos merecemos.Mediante la abstraccin y el uso de lalgicaen elrazonamiento, las matemticas han evolucionado basndose en lascuentas, elclculoy lasmediciones, junto con el estudio sistemtico de laformay elmovimientode los objetos fsicos. Las matemticas, desde sus comienzos, han tenido un fin prctico.Las explicaciones que se apoyaban en la lgica aparecieron por primera vez con lamatemtica helnica, especialmente con losElementosdeEuclides. Las matemticas siguieron desarrollndose, con continuas interrupciones, hasta que en elRenacimientolas innovaciones matemticas interactuaron con los nuevos descubrimientos cientficos. Como consecuencia, hubo una aceleracin en la investigacin que contina hasta la actualidad.Hoy en da, las matemticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran lasciencias naturales, laingeniera, lamedicinay lasciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no estn vinculadas con ella, como lamsica(por ejemplo, en cuestiones de resonancia armnica). Lasmatemticas aplicadas, rama de las matemticas destinada a la aplicacin del conocimiento matemtico a otros mbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemticos tambin participan en lasmatemticas puras, sin tener en cuenta la aplicacin de esta ciencia, aunque las aplicaciones prcticas de las matemticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.ndice[ocultar] 1Etimologa 2Algunas definiciones de matemtica 3Epistemologa y controversia sobre la matemtica como ciencia 4La inspiracin, las matemticas puras, aplicadas y la esttica 5Notacin, lenguaje y rigor 6La matemtica como ciencia 7Ramas de estudio de las matemticas 7.1Matemticas puras 7.1.1Cantidad 7.1.2Estructura 7.1.3Espacio 7.1.4Cambio 7.2Matemticas aplicadas 7.2.1Estadstica y ciencias de la decisin 7.2.2Matemtica computacional 8Vase tambin 9Referencias 9.1Bibliografa 10Enlaces externosEtimologa[editar]La palabra matemtica (del griego mathmatik, cosas que se aprenden) viene del griego antiguo (mthma), que quiere decir campo de estudio o instruccin. El significado se contrapone a (musik) lo que se puede entender sin haber sido instruido, que refiere a poesa, retrica y campos similares, mientras que se refiere a las reas del conocimiento que slo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronoma,aritmtica).3Aunque el trmino ya era usado por lospitagricos(matematikoi) en el siglo VIa.C., alcanz su significado ms tcnico y reducido de estudio matemtico en los tiempos deAristteles(siglo IVa.C.). Su adjetivo es (mathmatiks), relacionado con el aprendizaje, lo cual, de manera similar, vino a significar matemtico. En particular, (mathmatik tkhn; en latnars mathematica), significa el arte matemtica.La forma ms usada es el pluralmatemticas, que tiene el mismo significado que el singular1y viene de la forma latinamathematica(Cicern), basada en el plural en griego (ta mathmatik), usada porAristtelesy que significa, a grandes rasgos, todas las cosas matemticas. Algunos autores, sin embargo, hacen uso de la forma singular del trmino; tal es el caso deBourbaki, en el tratadoElementos de matemtica(lements de mathmatique), (1940), destaca la uniformidad de este campo aportada por la visin axiomtica moderna, aunque tambin hace uso de la forma plural como enlments d'histoire des mathmatiques(Elementos de historia de las matemticas) (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificacin de las matemticas.4As mismo, en el escritoL'Architecture des mathmatiques(1948) plantea el tema en la seccin Matemticas, singular o plural donde defiende la unicidad conceptual de las matemticas aunque hace uso de la forma plural en dicho escrito.5Algunas definiciones de matemtica[editar]Establecer definiciones claras y precisas es el fundamento de la matemtica, pero definirla ha sido difcil, se muestran algunas definiciones de pensadores famosos: Ren Descartes: (Cirilo Flrez Miguel, ed. Obra completa. Biblioteca de Grandes Pensadores 2004) "La matemtica es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fciles." David Hilbert: (Putnam, Hilary: On the infinite. Philosophy of Mathematics, p.187, 1998). En un cierto sentido, el anlisis matemtico es una sinfona del infinito. La matemtica es el sistema de las frmulas demostrables. Benjamin Peirce: (Nahin, Paul , The Story of i , p.68, 1998). La matemtica es la ciencia que extrae conclusiones necesarias. Bertrand Russell: (Principia mathematica, 1913). Las matemticas poseen no slo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fra y austera, como la de una escultura. Ibo Bonilla: (Qu es matemtica?, Academia.edu, 2014). "Hacer matemtica es desentraar los ritmos del Universo". "La matemtica es la ciencia de estructurar una realidad estudiada, es el conjunto de sus elementos, proporciones, relaciones y patrones de evolucin en condiciones ideales para un mbito delimitado". John David Barrow: (Imposibilidad. P 96. Gedisa, 1999). En el fondo, matemtica es el nombre que le damos a la coleccin de todas las pautas e interrelaciones posibles. Algunas de estas pautas son entre formas, otras en secuencias de nmeros, en tanto que otras son relaciones ms abstractas entre estructuras. La esencia de la matemtica est en la relacin entre cantidades y cualidades.Epistemologa y controversia sobre la matemtica como ciencia[editar]El carcterepistemolgicoy cientfico de las matemticas ha sido ampliamente discutido. En la prctica, las matemticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras,relaciones geomtricasy lasmagnitudes variables. Losmatemticosbuscan patrones,67formulan nuevasconjeturase intentan alcanzar laverdadmatemtica mediantededuccionesrigurosas. stas les permiten establecer losaxiomasy lasdefinicionesapropiados para dicho fin.8Algunasdefinicionesclsicas restringen las matemticas al razonamiento sobre cantidades,1aunque solo una parte de las matemticas actuales usan nmeros, predominando el anlisis lgico de construcciones abstractas no cuantitativas.Existe cierta discusin acerca de si los objetos matemticos, como los nmeros ypuntos, realmente existen o simplemente provienen de la imaginacin humana. El matemticoBenjamin Peircedefini las matemticas como "la ciencia que seala las conclusiones necesarias".9Por otro lado,Albert Einsteindeclar que: "cuando las leyes de la matemtica se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad".10Se ha discutido el carcter cientfico de las matemticas debido a que sus procedimientos y resultados poseen una firmeza e inevitabilidad inexistentes en otras disciplinas como pueden ser lafsica, laqumicao labiologa. As, la matemtica seratautolgica, infalible ya priori, mientras que otras, como lageologao lafisiologa, seran falibles ya posteriori. Son estas caractersticas lo que hace dudar de colocarse en el mismo rango que las disciplinas antes citadas.John Stuart Millafirmaba:La lgica no observa ni inventa ni descubre, pero juzga.As, los matemticos pueden descubrir nuevos procedimientos para resolverintegralesoteoremas, pero se muestran incapaces de descubrir un suceso que ponga en duda elTeorema de Pitgoraso cualquier otro, como s sucede constantemente con lascienciasde lanaturaleza.11La matemtica fue ser entendida como ciencia; si es as debiera sealarse su objeto y su mtodo. Sin embargo, algunos plantean que la matemtica es un lenguaje formal, seguro, eficiente, aplicable al entendimiento de la naturaleza, tal como indic Galileo; adems muchos fenmenos de carcter social, otros de carcter biolgico o geolgico, pueden ser estudiados mediante la aplicacin de ecuaciones diferenciales, clculo de probabilidades o teora de conjunto.12. Precisamente, el avance de la fsica, de la qumica ha exigido la invencin de nuevos conceptos, instrumentos y mtodos en la matemtica, sobre todo en el anlisis real, anlisis complejo y el anlisis matricial.13La inspiracin, las matemticas puras, aplicadas y la esttica[editar]

SirIsaac Newton(1643-1727), comparte conLeibnizla autora del desarrollo delclculointegral y diferencial.Es muy posible que el arte del clculo haya sido desarrollado antes incluso que la escritura,14relacionado fundamentalmente con lacontabilidady la administracin de bienes, elcomercio, en laagrimensuray, posteriormente, en laastronoma.Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemticas. Por ejemplo, elfsicoRichard Feynmanpropuso laintegral de caminoscomo fundamento de lamecnica cuntica, combinando el razonamiento matemtico y el enfoque de la fsica, pero todava no se ha logrado una definicin plenamente satisfactoria en trminos matemticos. Similarmente, lateora de cuerdas, una teora cientfica en desarrollo que trata de unificar las cuatrofuerzas fundamentales de la fsica, sigue inspirando a las ms modernas matemticas.15Algunas matemticas solo son relevantes en el rea en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemticas inspiradas en un rea concreta resultan tiles en muchos mbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemticams purahabitualmente tiene aplicaciones prcticas es lo queEugene Wignerha definido como la irrazonable eficacia de las matemticas en las Ciencias Naturales.16Como en la mayora de las reas de estudio, la explosin de los conocimientos en la era cientfica ha llevado a la especializacin de las matemticas. Hay una importante distincin entre lasmatemticas purasy lasmatemticas aplicadas. La mayora de los matemticos que se dedican a la investigacin se centran nicamente en una de estas reas y, a veces, la eleccin se realiza cuando comienzan sulicenciatura. Varias reas de las matemticas aplicadas se han fusionado con otras reas tradicionalmente fuera de las matemticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser laestadstica, lainvestigacin de operacioneso lainformtica.Aquellos que sienten predileccin por las matemticas, consideran que prevalece un aspecto esttico que define a la mayora de las matemticas. Muchos matemticos hablan de laeleganciade la matemtica, su intrnsecaestticay subellezainterna. En general, uno de sus aspectos ms valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundentedemostracin, como la demostracin de Euclides de la existencia de infinitosnmeros primos, y en un eleganteanlisis numricoque acelera el clculo, as como en latransformada rpida de Fourier.G. H. HardyenA Mathematician's Apology(Apologa de un matemtico) expres la conviccin de que estas consideraciones estticas son, en s mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemticas puras.17Los matemticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excntrico matemticoPaul Erdsse refiere a este hecho como la bsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.1819La popularidad de lamatemtica recreativaes otra seal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemticas.Vase tambin:Belleza matemticaNotacin, lenguaje y rigor[editar]Artculo principal:Notacin matemtica

Leonhard Euler. Probablemente el ms prolfico matemtico de todos los tiempos.La mayor parte de la notacin matemtica que se utiliza hoy en da no se invent hasta el siglo XVIII.20Antes de eso, las matemticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limitaba el avance matemtico. En el siglo XVIII,Euler, fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notacin moderna hace que las matemticas sean mucho ms fcil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La notacin reduce las matemticas al mximo, hace que algunos smbolos contengan una gran cantidad de informacin. Al igual que lanotacin musical, la notacin matemtica moderna tiene una sintaxis estricta y codifica la informacin que sera difcil de escribir de otra manera.

El smbolo deinfinitoen diferentes tipografas.Ellenguajematemtico tambin puede ser difcil para los principiantes. Palabras tales comooyslotiene significados ms precisos que en lenguaje cotidiano. Adems, palabras comoabiertoycuerpotienen significados matemticos muy concretos. Lajergamatemtica, o lenguaje matemtico, incluye trminos tcnicos comohomeomorfismoointegrabilidad. La razn que explica la necesidad de utilizar la notacin y la jerga es que el lenguaje matemtico requiere ms precisin que el lenguaje cotidiano. Los matemticos se refieren a esta precisin en el lenguaje y en la lgica como el rigor.Elrigores una condicin indispensable que debe tener unademostracin matemtica. Los matemticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemtico. Esto sirve para evitarteoremaserrneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.21El nivel de rigor previsto en las matemticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos deIsaac Newtonlos mtodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un anlisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemticos continan apoyndose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador.22Unaxiomase interpreta tradicionalmente como una verdad evidente, pero esta concepcin es problemtica. En el mbito formal, un axioma no es ms que una cadena de smbolos, que tiene un significado intrnseco slo en el contexto de todas las frmulas derivadas de unsistema axiomtico.La matemtica como ciencia[editar]

Carl Friedrich Gauss, apodado el "prncipe de los matemticos", se refera a la matemtica como "la reina de las ciencias".Carl Friedrich Gaussse refera a la matemtica como la reina de las ciencias.23Tanto en el latn originalScientirum Regna, as como enalemnKnigin der Wissenschaften, la palabracienciadebe ser interpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que lacienciaes el estudio del mundofsico, entonces las matemticas, o por lo menos lasmatemticas puras, no son una ciencia.Muchos filsofos creen que las matemticas no son experimentalmentefalseables, y, por tanto, no es una ciencia segn la definicin deKarl Popper.24No obstante, en ladcada de 1930una importante labor en la lgica matemtica demuestra que las matemticas no puede reducirse a la lgica, y Karl Popper lleg a la conclusin de que la mayora de las teoras matemticas son, como las defsicaybiologa,hipottico-deductivas. Por lo tanto, las matemticas puras se han vuelto ms cercanas a las ciencias naturales cuyas hiptesis son conjeturas, as ha sido hasta ahora.25Otros pensadores, en particularImre Lakatos, han solicitado una versin deFalsacionismopara las propias matemticas.Una visin alternativa es que determinados campos cientficos (como lafsica terica) son matemticas conaxiomasque pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el fsico terico,J. M. Ziman, propone que la ciencia es conocimiento pblico y, por tanto, incluye a las matemticas.26En cualquier caso, las matemticas tienen mucho en comn con muchos campos de lasciencias fsicas, especialmente la exploracin de las consecuencias lgicas de lashiptesis. Laintuiciny laexperimentacintambin desempean un papel importante en la formulacin deconjeturasen las matemticas y las otras ciencias. Lasmatemticas experimentalessiguen ganando representacin dentro de las matemticas. Elclculoy simulacin estn jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemticas, atenuando la objecin de que las matemticas no se sirven delmtodo cientfico. En 2002Stephen Wolframsostiene, en su libroUn nuevo tipo de ciencia, que lamatemtica computacionalmerece ser explorada empricamente como un campo cientfico.Las opiniones de los matemticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemticos consideran que llamar a su campocienciaes minimizar la importancia de su perfilesttico, adems supone negar su historia dentro de las sieteartes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexin con las ciencias supone ignorar la evidente conexin entre las matemticas y sus aplicaciones en la ciencia y laingeniera, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemticas. Otro asunto de debate, que guarda cierta relacin con el anterior, es si la matemtica fuecreada(como el arte) odescubierta(como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de lafilosofa de las matemticas.Los premios matemticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia. El ms prestigioso premio dentro de las matemticas es laMedalla Fields,2728fue instaurado en 1936 y se concede cada cuatro aos. A menudo se le considera el equivalente delPremio Nobelpara la ciencia. Otros premios son elPremio Wolf en matemtica, creado en 1978, que reconoce los logros en vida de los matemticos, y elPremio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos ltimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigacin innovadora o la solucin de un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada losProblemas de Hilbert, fue recopilada en 1900 por el matemtico alemnDavid Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, tituladaProblemas del milenio, se public en 2000. La solucin de cada uno de los problemas ser recompensada con 1 milln de dlares. Curiosamente, tan solo uno (lahiptesis de Riemann) aparece en ambas listas.Ramas de estudio de las matemticas[editar]Artculo principal:reas de las matemticasLaSociedad Estadounidense de Matemticadistingue unas 5000 ramas distintas de matemticas.29En una subdivisin amplia de las matemticas se distinguen cuatro objetos de estudio bsicos: la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio[citarequerida]que se corresponden a laaritmtica,lgebra,geometrayclculo.[citarequerida]Adems, hay ramas de las matemticas conectadas a otros campos como lalgicayteora de conjuntos, y lasmatemticas aplicadas[citarequerida].Vase tambin:Categora:reas de las matemticasMatemticas puras[editar]Cantidad[editar]1, 2, 3, ......, 2, 1, 0, 1, 2, ...2,2/3, 1,21e, 2, 3, 2,i, 2 + 3i,2ei4/3

Nmeros naturalesEnterosNmeros racionalesNmeros realesNmeros complejos

Estructura[editar]

CombinatoraTeora de nmerosTeora de gruposTeora de grafosTeora del ordenlgebra

Espacio[editar]

GeometraTrigonometraGeometra diferencialTopologaGeometra fractalTeora de la medida

Cambio[editar]

ClculoClculo vectorialEcuaciones diferencialesSistemas dinmicosTeora del caosAnlisis complejo

Matemticas aplicadas[editar]El trmino matemticas aplicadas se refiere a aquellos mtodos y herramientas matemticas que pueden ser utilizados en el anlisis o resolucin de problemas pertenecientes al rea de las ciencias bsicas o aplicadas.Muchos mtodos matemticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en fsica, qumica, biologa, medicina, ciencias sociales, ingeniera, economa, finanzas, ecologa entre otras.Sin embargo, una posible diferencia es que en matemticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemticas "hacia afuera", es decir su aplicacin o transferencia hacia el resto de las reas. Y en menor grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las matemticas mismas. Este ltimo sera el caso de las matemticas puras o matemticas elementales.Las matemticas aplicadas se usan con frecuencia en distintas reas tecnolgicas para modelado, simulacin y optimizacin de procesos o fenmenos, como el tnel de viento o el diseo de experimentos.Estadstica y ciencias de la decisin[editar]La estadstica trata de las tcnicas para recolectar, organizar, presentar, analizar un conjunto de datos numricos y a partir de ellos y de un marco terico, hacer las inferencias de lugar. Es una herramienta fundamental para la investigacin cientfica y emprica en los campos de la economa, gentica, informtica, ingeniera, sociologa, psicologa, medicina, contabilidad, etc.Se consagra en forma directa al gran problema universal de como tomar las decisiones inteligentes y acertadas en condiciones de incertidumbre. Sirve como fuente de instruccin para los niveles introductorios de estadstica descriptiva y, por tanto, los conceptos manejados y las tcnicas empleadas han sido presentadas de la forma ms simple, claramente posibles.