Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 11 - Ângulos

Amintas Paiva Afonso

O

A

B

ÂNGULO – é a abertura formada por dois raios divergentes que têm um extremo comum que se denomina vértice.

ELEMENTOS DE UM ÂNGULO:

0º < < 180º 0º < < 180º

0º < < 90º0º < < 90º

CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA MEDIDA

a) ÂNGULO CONVEXO

a.1) ÂNGULO AGUDO

= 90º = 90º

90º < < 180º 90º < < 180º

a.2) ÂNGULO RETO

a.3) ÂNGULO OBTUSO

= 90º = 90º

+ = 180º + = 180º

CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SOMA

a) ÂNGULOS COMPLEMENTARES

b) ÂNGULOS SUPLEMENTARES

CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA POSIÇÃO

a) ÂNGULOS ADJACENTES b) ÂNGULOS CONSECUTIVOS

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

são congruentes

Pode formar mais ângulosUn lado comum

01. Ângulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6

02. Ângulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8

03. Ângulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180°

04. Ângulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180°

05. Ângulos correspondentes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7

ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS E UMA RETA SECANTE

1 2

34

5 6

78

+ + = x + y + + = x + y

x

y

01- Ângulos que se formam por uma linha poligonal entre duas retas paralelas.

PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS

+ + + + = 180° + + + + = 180°

02- ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS

+ = 180° + = 180°

03- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

O complemento da diferença entre o suplemento e o complemento de um ângulo “X” é igual ao dobro do complemento do ângulo “X”. Calcule a medida do ângulo “X”.

90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2

90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X

90° - 90° = 180° - 2X

2X = 180° X = 90°X = 90°

RESOLUÇÃO

Problema Nº 01

A estrutura segundo o enunciado:

Desenvolvendo se obtem:

Logo se reduz a:

A soma das medidas dos ângulos é 80° e o complemento do primeiro ângulo é o dobro da medida do segundo ângulo. Calcule a diferença das medidas desses ângulos.

Sejam os ângulos: e

+ = 80° Dado: = 80° - ( 1 )

( 90° - ) = 2 ( 2 )

Substituindo (1) em (2):

( 90° - ) = 2 ( 80° - )

90° - = 160° -2

= 10°

= 70°

- = 70°-10°

= 60°

Problema Nº 02

RESOLUÇÃO

Dado:

Diferença das medidas

Resolvendo

A soma de seus complementos dos ângulos é 130° e a diferença de seus suplementos dos mesmos ângulos é 10°. Calcule a medida destes ângulos.

Sejam os ângulos: e

( 90° - ) ( 90° - ) = 130°+ + = 50° ( 1 )

( 180° - ) ( 180° - ) = 10°- - = 10° ( 2 )

Resolvendo: (1) e (2)

+ = 50° - = 10°

(+)

2 = 60°

= 30°

= 20°

Problema Nº 03

RESOLUÇÃO

Do enunciado:

Do enunciado:

Se têm ângulos adjacentes AOB e BOC (AOB<BOC), se traça a bissetriz OM dol ângulo AOC; se os ângulos BOC e BOM medem 60° e 20° respectivamente. Calcule a medida do ângulo AOB.

A B

O C

M

60°

20°X

Da figura:

= 60° - 20°

Logo:

X = 40° - 20°

= 40°

X = 20°X = 20°

Problema Nº 04

RESOLUÇÃO

A diferença das medidas dos ângulos adjacentes AOB e BOC é 30°. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo AOC com o lado OB.

A

O

B

C

X

(- X)

( + X) ( - X) = 30º

2X=30º

X = 15°X = 15°

Problema Nº 05

RESOLUÇÃO

M

Construção do gráfico segundo o enunciado

Do enunciado:

AOB - OBC = 30°

-

Logo se substitui pelo quese observa no gráfico

Se têm os ângulos consecutivos AOB, BOC e COD tal que a mAOC = mBOD = 90°. Calcule a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos AOB e COD.

A

C

B

D

M

N

X

Da figura:

2 + = 90° + 2 = 90°

( + )

2 + 2 + 2 = 180° + + = 90°

X = + + X = + +

X = 90°X = 90°

Problema Nº 06

RESOLUÇÃOConstrução do gráfico segundo o enunciado

Se m // n . Calcule a medida do ângulo “X”

80°

30°

X

m

n

Problema Nº 07

2 + 2 = 80° + 30°

Pela propriedade

Propriedade do quadrilátero côncavo

+ = 55° (1)

80° = + + X (2)

Substituindo (1) em (2)

80° = 55° + X

X = 25°X = 25°

80°

30°

X

m

n

RESOLUÇÃO

Se m // n . Calcular a medida do ângulo “X”

5

4 65°

X

m

n

Problema Nº 08

5

4 65°

X

m

n

Pela propiedad:

4 + 5 = 90°

= 10° = 10°

Ângulo exterior do triângulo

40° 65°

X = 40° + 65°

X = 105°X = 105°

RESOLUÇÃO

Se m // n . Calcule a medida do ângulo ”X”

2

x

m

n

2

Problema Nº 09

3 + 3 = 180°

+ = 60° + = 60°

Ângulos entre línhas poligonais

X = + X = 60° X = 60°

RESOLUÇÃO

2

x

m

n

2

x

Ângulos conjugados internos

PROBLEMA 01- Se L1 // L2 . Calcule a m x

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

x

4x

3x L1

L2

m

n

30°

X

PROBLEMA 02- Se m // n. Calcule a m x

A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

PROBLEMA 03- Se m // n. Calcule a m

A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°

3

33

m

n

PROBLEMA 04- Se m // n. Calcule o valor de “x”

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

40°

95°

2x

m

n

PROBLEMA 05- Calcule m x

A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°

3

6

x

4

4

Xm

n

PROBLEMA 06- Se m // n. Calcule m x

A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°

PROBLEMA 07- Se. Calcule m x

88°

24°

x

m

n

PROBLEMA 08- Se m // n. Calcule m x

20°

30°

X

m

n

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

PROBLEMA 09- Se m//n e - = 80°. Calcule mx

A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

x

m

n

PROBLEMA 10- Se m // n. Calcule m x

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

x

x

x

m

n

PROBLEMA 11- Se m // n. Calcule m

A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°

180°-2

2m

n

PROBLEMA 12- Se m // n. Calcule m x

A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°

x

80°

m

n

PROBLEMA 13- Se m // n. Calcule m x

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

80°

m

n

x

REPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS

1. 20º 8. 50º

2. 30º 9. 80º

3. 45º 10. 30º

4. 10º 11. 60º

5. 120º 12. 40º

6. 36º 13. 50º

7. 32º