LAMBERTI - Precorso Di Matematica (2013)

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2013-2

014

Dispensa a cura di :Dino Boccaletti

Lamberto LambertiLuigi Stazi

con la collaborazionedi

Enrico Casadio Tarabusi

Ultima revisione: 22 maggio 2013.

Dipartimento di MatematicaGuido Castelnuovo

http://www.mat.uniroma1.it

Il testo di questa dispensa e stato scritto in LATEX 2.

I grafici sono stati realizzati con GeoGebra.

Indice

Capitolo 1. Elementi di teoria degli insiemi 11. Introduzione 12. Operazioni tra insiemi 23. Prodotto cartesiano 54. Il complementare e le Regole di De Morgan 65. I numeri naturali 76. La cardinalita` 77. Linsieme delle parti 8

Capitolo 2. Le espressioni letterali 111. Le formule 112. Monomi 113. I polinomi 124. Alcuni prodotti notevoli 135. Divisione tra polinomi 136. Il procedimento elementare 14

Capitolo 3. Successioni finite 151. Successioni aritmetiche 152. Somma delle potenze di numeri naturali 173. Somma delle potenze di successioni aritmetiche 194. Successioni geometriche 205. La curva di Koch o il fiocco di neve 23

Capitolo 4. Equazioni di primo o secondo grado 271. Equazioni di primo grado 272. Equazioni di secondo grado 273. Equazioni con parametri 294. Fattorizzazione di un polinomio 30

Capitolo 5. Esponenziale e logaritmi 331. Potenze di 10 332. Logaritmi in basi diverse 36

Capitolo 6. Funzioni 391. Prime definizioni 392. Grafico di una funzione 403. Funzioni monotone 464. Massimo e minimo 46

iii

iv

5. Funzioni pari, dispari, modulo 486. Qualche equazione con il modulo 507. Parte positiva, negativa 548. Funzione composta 569. Funzione inversa 5810. Funzioni periodiche 59

Capitolo 7. Richiami sulle funzioni trigonometriche 631. Seno e coseno 632. Angoli e triangoli 643. Formule goniometriche 654. Grafici trigonometrici 665. Trigonometria 666. I numeri complessi 677. Formule di prostaferesi 68

Capitolo 8. Disequazioni 691. Regole generali 692. Soluzioni di disequazioni 693. Disequazioni irrazionali 704. Equazioni e disequazioni goniometriche 705. La verifica 716. Esercizi proposti 72

Capitolo 9. Strumenti utili 731. Software matematico 732. Alfabeto greco 73

CAPITOLO 1

Elementi di teoria degli insiemi

1. Introduzione

La Matematica moderna si differenzia da quella classica per un piu` ele-vato grado di astrazione: il suo principale interesse e` rivolto non tanto acio` che i singoli oggetti sono: numeri, equazioni, vettori, operazioni, ...,quanto piuttosto alle regole che essi soddisfano; si produce cos`, da unlato, una notevole economia di pensiero, che consente di applicare unateoria, gia` stabilita per degli oggetti singoli, ad altri apparentementemolto lontani, e, dallaltro, consente di stabilire analogie insospettatenei vari campi.Riportiamo, a tal proposito, un passo tratto dal volume di Courant -Robbins: Che cose` la Matematica, Ed. Boringhieri:

Attraverso i secoli, i matematici hanno considerato gli oggetti del lorostudio, quali ad esempio numeri, punti, ecc., come cose esistenti di perse. Poiche questi enti hanno sempre sfidato ogni tentativo di unadegua-ta descrizione, lentamente sorse nei matematici del XIX secolo lideache la questione del significato di questi oggetti come cose sostanziali,se pure ha un senso, non lo avesse nel campo della matematica. Leuniche affermazioni rilevanti che li riguardano non si riferiscono allarealta` sostanziale, e stabiliscono soltanto delle relazioni tra gli oggettimatematicamente non definiti e le regole che governano le operazionicon essi. Nel campo della scienza matematica, non si puo`, e non si devediscutere cio` che i punti, le rette, i numeri sono effettivamente: cio` cheimporta e cio` che corrisponde a fatti verificabili sono la struttura e lerelazioni, che due punti determinano una retta, che i numeri si com-binano secondo certe regole per formare altri numeri, ecc. Uno dei piu`importanti e fruttuosi risultati dello sviluppo postulazionale moderno e`stata una chiara indagine della necessita` di rendere astratti i concettidella matematica elementare.

Dopo tali premesse, visto che gli oggetti matematici sono stati svuo-tati di un preciso significato concreto, e` naturale fissare lattenzione suinsiemi astratti, cioe` costituiti di elementi la cui natura non interessa.Un insieme astratto e` da intendersi come un concetto primitivo, cioe`non descrivibile mediante altri piu` elementari. Sono sinonimi di in-sieme le parole famiglia, classe, totalita`, ecc.; ogni insieme verra` gene-ralmente indicato con lettere maiuscole: A,B, . . . ; inoltre ognuno di

1

2. OPERAZIONI TRA INSIEMI 2

essi si pensera` formato da elementi di un insieme universale o insiemeambiente S nel quale tutti sono immersi.

2. Operazioni tra insiemi

Come la nozione di insieme, e` da intendersi come primitiva la nozionedi appartenenza ad un insieme; lappartenenza di un elemento x ad uninsieme A si indica con x A o anche A 3 x che si legge :

A contiene x

Se x non appartiene ad A, si scrive x 6 A, o anche A 63 x.Un insieme A puo` essere individuato in duplice modo: o mediante leproprieta` che caratterizzano i suoi elementi, o elencando, ove possibile,gli elementi che lo compongono, senza tener conto dellordine.

Ad esempio linsieme dei numeri primi compresi tra 10 e 20 puo` esseredescritto come linsieme costituito dai numeri 11, 13, 17, 19.

Figura 1. Unione e intersezione di due insiemi.

Se A e B sono insiemi, si dice che A e` un sottoinsieme di B, e si scriveA B, o anche B A, se ogni elemento di A e` anche elemento di B:

A B (x A x B);

3 Elementi di teoria degli insiemi

Figura 2. Differenza e differenza simmetrica di due insiemi.

la formula precedente va letta nel seguente modo: Linsieme A e` unsottoinsieme di B, (o e` contenuto in B), se e solo se, per ogni x ap-partenente ad A, (il simbolo si legge per ogni o qualsiasi), nesegue che () x appartiene a B.I due insiemi si dicono coincidenti se

A B e B A;in tal caso si scrive A = B. Se A B, senza che sia B A, si dice cheA e` un sottoinsieme proprio di B.Un comodo modo di raffigurare gli insiemi e` attraverso i diagrammidi Eulero-Venn: si traccia in un piano una linea chiusa, e si immaginalinsieme in questione come costituito dai punti indicati allinterno dellaregione cos` individuata.

Dati due o piu` insiemi, se ne possono costruire altri. Precisamente,dati A e B, si chiama unione di A e B l insieme A B, costituito datutti gli elementi che verificano una almeno delle due condizioni

1: x A2: x B;

cioe`, vedi Figura 1 in alto,

A B = {x : x A e/o x B}.

2. OPERAZIONI TRA INSIEMI 4

La nozione si generalizza a piu` insiemi in modo ovvio. Valgono leseguenti proprieta`, di verifica immediata

1: A B = B A2: A (B C) = (A B) C = A B C3: A A = A4: A B B5: A B = B B A.

Si chiama intersezione di A e B linsieme AB costituito dagli elementiche appartengono sia ad A, sia a B:

A B = {x : x A e x B},nozione questa che, come la precedente, si generalizza a piu` insiemi.Risulta

6: A B = B A7: A (B C) = (A B) C = A B C8: A A = A9: A B A10: A B = A A B.

Teorema 2.1. Unione e intersezione verificano le seguenti proprieta`distributive:

A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C)da cui, per B = A,

A (A C) = A, A (A C) = A.Dimostrazione. Occupiamoci della prima relazione

A (B C) = (A B) (A C)Se x appartiene allinsieme a primo membro allora o x A, oppurex appartiene contemporaneamente a B e C; in entrambi i casi x ap-partiene al secondo membro, sicche il primo insieme e` contenuto nelsecondo.Facciamo ora vedere che anche il secondo e` contenuto nel primo. Siadunque x appartenente al secondo insieme; allora esso appartiene con-temporaneamente ad AB e ad AC; se appartiene ad A, allora ap-partiene anche allinsieme a primo membro; se invece x non appartienead A, deve appartenere contemporaneamente a B e C, e dunque allaloro intersezione; ne viene che deve appartenere anche ad A (B C).La seconda relazione si dimostra in modo analogo, verificando cioe` ledue inclusioni:

A (B C) (AB) (AC), A (B C) (AB) (AC)


In queste Dispense il simbolo indica la fine della Dimostrazione:in altri testi si puo` trovare, con lo stesso significato lacronimo CDD,Come Dovevasi Dimostrare, oQED, Quod Erat Demonstrandum, usatospecialmente nei testi di lingua inglese.

3. Prodotto cartesiano

Dati due insiemi A e B, si chiama prodotto cartesiano di A per B,nellordine, linsieme A B costituito dalle coppie ordinate (a, b) cona A e b B. Sottolineiamo che le coppie sono ordinate, nel sensoche, ad es., si deve intendere (a, b) 6= (b, a) per a 6= b.

Figura 3. I due prodotti cartesiani AB, B A.

Ad esempio, se A = {1, 2} e B = {3, 4, 5} e`, vedi Figura 3,AB = {(1, 3)(1, 4)(1, 5)(2, 3)(2, 4)(2, 5)},

mentreB A = {(3, 1)(3, 2)(4, 1)(4, 2)(5, 1)(5, 2)}.

Linsieme delle coppie ordinate di numeri reali si indica con R R; sepoi si introduce su un piano un sistema di coordinate cartesiane orto-gonali, si puo` rappresentare la coppia (a, b) come il punto di coordinate(a, b).Per generalizzazione, linsieme

Rn n volte

R R R,prodotto cartesiano dellinsieme dei numeri reali per se stesso, n volte,e` linsieme delle n-ple ordinate di numeri reali.

Esercizio 3.1. Dimostrare che

(AB)C = (AC)(BC), (AB)(CD) = (AC)(BD).

4. IL COMPLEMENTARE E LE REGOLE DI DE MORGAN 6

4. Il complementare e le Regole di De Morgan

Si chiama insieme vuoto, e si indica con , linsieme che non contienealcun elemento. Ad es. tale e` linsieme delle soluzioni reali delle-quazione x2 = 4, oppure linsieme dei numeri primi compresi tra 32e 36. Si ha

A = A, A = , A.Linsieme differenza tra A eB e` linsieme AB costituito dagli elementidi A che non appartengono a B:

AB = {x : x A e x 6 B};esso e` detto anche il complemento di B in A; valgono le ovvie proprieta`

AB = A (A B), A B AB = ,A = (AB) (A B), A A = .

La differenza simmetrica AB, vedi Figura 2, e` linsieme costituitodagli elementi di A o B privato degli elementi comuni:

AB = (AB)(AB) = (AB)(BA) quindi AB = BA.Inoltre

AB = A = B.Se S e` linsieme universale, ed A un insieme, linsieme complementare,A, di A, e` definito come

A = S A.Esempio

S = R, A = {x : 0 < x < 1} A = {x R : x 0 o x 1}.Valgono le proprieta`

A = A, S = , = S

Teorema 4.1 (Regole di De Morgan). Unione, intersezione e passag-gio al complementare verificano le relazioni

A B = A B, A B = A B,che si generalizzano a piu` insiemi:

A B C . . . = A B C . . .A B C . . . = A B C . . .

Dimostrazione. Se x appartiene al primo insieme, allora e` unelemento di S che non appartiene ad A e B contemporaneamente, epertanto verifica una delle seguenti condizioni: a) non appartiene nead A ne a B; b) appartiene ad A ma non a B; c) appartiene a B manon ad A; in ognuno di questi casi appartiene allinsieme a secondomembro e dunque il primo insieme e` contenuto nel secondo.Viceversa, se x appartiene al secondo insieme, o sta nel complementaredi A, (e dunque non appartiene ad A, e quindi nemmeno allintersezione


di A con B), o sta nel complementare di B, o nel complementare dientrambi; in ogni caso appartiene al primo insieme, sicche il secondo e`contenuto nel primo. Pertanto i due insiemi coincidono.

Esercizio 4.2.

(1) Dimostrare che A B = A = e B = .(2) Dimostrare che se AB = AC, non necessariamente B = C

(non vale la legge di cancellazione)(3) (A B) C = A (B C)?(4) Si considerino linsieme A dei numeri interi divisibili per 3,

linsieme B dei numeri interi divisibili per 5, l insieme C deinumeri interi divisibili per 20. Determinare AB,AB,AB C,A B C, (A B) C, (A B) C.

(5) Dimostrare che (A B) B = A A B =

5. I numeri naturali

E consuetudine indicare con N linsieme dei numeri naturali :

N = {1, 2, 3, . . . }In esso sono definite le ordinarie operazioni di somma e di prodotto,le quali, ad ogni coppia di numeri naturali, associano ancora un nu-mero naturale: si dice che linsieme N e` chiuso rispetto alle operazionianzidette.

Per poter definire anche la sottrazione, bisogna introdurre linsieme Zdegli interi relativi :

Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . . }ed infine, per dar senso alloperazione di divisione, linsieme Q deinumeri razionali, cioe` linsieme delle frazioni, intese come rapporto dinumeri interi, con lavvertenza che il denominatore sia diverso da zero:

Q = {a/b : a Z, b Z, b 6= 0}Unitamente ai numeri irrazionali, gli insiemi precedenti costituisconolinsieme R dei numeri reali.

6. La cardinalita`

I numeri naturali rappresentano loperazione del contare: quanti ele-menti ha il tale insieme ? Un elemento, due, tre, 1000, ecc.Dopo aver contato gli elementi di due insiemi si riconosce, a volte,che....

...hanno lo stesso numero di elementi,

7. LINSIEME DELLE PARTI 8

e si riconosce anche che tra i due insiemi si puo` stabilire una corrispon-denza biunivoca.Una volta incontrati insiemi non finiti la domanda quanti elementi ha ?diviene imbarazzante, mentre il valutare se due insiemi (anche non fini-ti) abbiano lo stesso numero di elementi appare ragionevole e conducea scoperte sorprendenti.Linsieme N dei naturali e quello P dei soli numeri pari possono esseremessi in corrispondenza biunivoca fra loro:

ad ogni n N facciamo corrispondere il numero pari 2n P , ad ogni p P facciamo corrispondere la sua meta` p/2 N.

Lesistenza di corrispondenze biunivoche tra due insiemi A e B vienesintetizzata nella frase

A e B hanno la stessa cardinalita`.

Quindi, ad esempio N e P hanno la stessa cardinalita`: la sorpresaconsiste nel fatto che

P N, P 6= NCioe per gli insiemi infiniti, quali P ed N si puo` avere la stessa cardi-nalita` pur essendo uno sottinsieme proprio dellaltro, circostanza cheinvece e impossibile nel caso finito.

7. Linsieme delle parti

Assegnato un insieme A indichiamo con P(A) linsieme dei sottoinsiemidi A.Cos`, ad esempio, se A = {1, 2, 3} riesce

P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}Il calcolo combinatorio insegna che in ogni insieme di n elementi sitrovano

(nk

)sottoinsiemi di k elementi e, quindi, tenuto conto che

nk=0

(n

k

)= 2n

se A ha n elementi P (A) ne ha 2n, quindi un numero maggiore di nEsiste un teorema che afferma che P(A) ha cardinalita` maggiore diquella di A, ovvero che non esiste corrispondenza biunivoca tra A eP(A) .Tra le conseguenze di tale teorema ce il risultato di Cantor relativoallesistenza di insiemi di cardinalita` comunque grandi.

linsieme A = P(N) delle parti di N ha cardinalita` maggiore diquella di N, linsieme B = P(A) delle parti di A ha cardinalita` maggiore di

quella di A, ecc. ecc.


Un paradosso. La teoria degli insiemi finora ricordata, quella esposta in tuttii programmi scolastici, prende il nome anche di teoria naif, teoria ingenua, e si prestaad alcuni paradossi, cioe esempi sorprendenti e in qualche senso contradditori.Lingenuita` consiste nellaccettare, implicitamente, che qualsiasi proprieta` si enunciesista linsieme, eventualmente vuoto, degli elementi che soddisfano tale proprieta`.Ad esempio la proprieta`

di essere un intero con il quadrato minore di 10 definisce linsieme A ={3,2,1, 0, 1, 2, 3},

di essere un numero dispari divisibile per 2 definisce linsieme vuoto B =.

Lesempio - il paradosso - presentato da Bertrand Russell nel 1902 si basa sullaproprieta` di un insieme di essere elemento di se stesso:

linsieme T dei triangoli non e un triangolo e quindi non e elemento di sestesso,

linsieme A dei concetti astratti e a sua volta un concetto astratto e quindie elemento di se stesso,

linsieme V degli insiemi non vuoti e un insieme non vuoto e quindi eelemento di se stesso.

Sia ora E linsieme costituito da tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi,con le notazioni precedenti si ha:

T E, A / E, V / ENon e tuttavia possibile alcuna delle seguenti possibilita`

E E, E / ESono infatti entrambe contradditorie.Non resta che concludere che E non e un insieme e, quindi, che e illusoria lideache qualsiasi proprieta` determini un insieme quello, eventualmente vuoto, formatodegli elementi che soddisfano tale proprieta`.

CAPITOLO 2

Le espressioni letterali

1. Le formule

In geometria, in trigonometria, in fisica, ecc. si incontrano frequente-mente formule che coinvolgono lettere: cos` larea del quadrato di lato` si rappresenta con

Area = `2,

lo spazio percorso in un tempo t da un punto che si muove con velocita`v si rappresenta con s = v t, ecc.Il significato di tali formule e duplice: uno numerico e un secondoformale.Conosciuta la formula Area = `2, larea di un quadrato di lato 5 e, nat-uralmente, Area = 52 = 25, il valore della sua area si ottiene sostituen-do nella formula alla lettera ` il corrispondente valore 5 ed eseguendolelevazione al quadrato indicata dallesponente 2.Il significato formale e quello delle proprieta` che prescindono dal valorenumerico dei parametri: ad esempio dalla formula dellarea del quadra-to di lato ` Area = `2 si ricava, direttamente che un quadrato di lato,L = 2`, doppio, ha unarea

L2 = (2`)2 = 4`2

quadrupla di quella del quadrato di lato `.Allo stesso modo la nota formula del volume del cubo di lato `, V = `3

permette di riconoscere che un cubo di lato L = 2` ha volume L3 =(2`)3 = 8`3 otto volte piu` grande.

2. Monomi

I monomi sono i mattoni base del calcolo letterale:

Definizione 2.1. Un monomio e` unespressione formata dal prodottodi un coefficiente numerico e un certo numero di variabili letterali anchenon tutte diverse.

Sono monomi3x, xy, 5a2bc, 17ax2, ....

non sono monomix+ 1, x2 y2, xy

Definizione 2.2. Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parteletterale.

11

3. I POLINOMI 12

2.1. Operazioni.

Due monomi simili si possono sommare e sottrarre:13x2y, e

3

5yx2 13x2y + 3

5yx2 =

68

5x2 y

Due qualunque monomi si possono moltiplicarea3b2x2, e cby3 (a3b2x2) (cby3) = a3b3cx2y3

Un primo monomio si puo` dividere per un secondo se il pri-mo contiene tutte le lettere che figurano nel secondo, ad unesponente maggiore o uguale.

Esercizio 2.3. Assegnato il monomio

m =3

4a3 b5

scrivere m2 ed m3 calcolarne il valore in corrispondenza ad a = 2 e b = 1

2 esprimere m come somma di due altri monomi simili, esprimere m come prodotto di due altri monomi, esprimere m come quoziente di due altri monomi, calcolare m nel caso

a =1

2r2, b =

2

3s3.

3. I polinomi

Definizione 3.1. Un polinomio nellindeterminata x e` una somma dimonomi contenenti la sola x ad esponenti naturali: lesponente piu` altopresente si dice grado del polinomio.

I polinomi di cui ci si occupa (piu` spesso) sono di primo o di secondogradoI coefficienti numerici che compaiono in un polinomio sono spesso in-dicati a loro volta con lettere: cos` il polinomio di secondo gradoP (x) = x2 + 7x + 5 puo` essere indicato con P (x) = a x2 + b x + cpensando che a = 1, b = 7, c = 5

I polinomi si sommano, sottraggono e si moltiplicano: tutto con leusuali regole di addizione e moltiplicazione tra monomi.

Esercizio 3.2.

Determinare tutti i polinomi di primo grado in x che si annul-lano per x = 1, determinare tutti i polinomi di secondo grado in x che si an-

nullano per x = 1,

13 Le espressioni letterali

determinare tutti i polinomi di terzo grado in x che si annul-lano per x = 1, 2, 3 detto x2 +ax+b il polinomio che si annulla per x = e x =

determinare che relazioni passano tra i due coefficienti a, b ele due radici ,

4. Alcuni prodotti notevoli

Il prodotto, o lelevamento al quadrato, al cubo, ecc. di un polinomio e`in genere una operazione complicata perche si generano molti addendied e` quindi facile commettere errori.Si dicono prodotti notevoli alcuni casi, molto semplici ma frequenti,di prodotto o di elevamento a potenza: la familiarita` con i prodottinotevoli agevola alcuni calcoli.

Esercizio 4.1.

calcolare il prodotto (a+ b) (b+ c) calcolare le potenze (a+ b)2, (a+ b)3 calcolare il cubo (a+ b+ c)3 semplificare le espressioni dei numeri

x = (1 +

2)2, y =1

(1 +

2)2

determinare la forma dei numeri ottenuti addizionando, molti-plicando o dividendo fra loro numeri della forma

m+ n

5, m, n N La differenza di due quadrati, tipo 21353 = 1472 162 puo`

essere un numero primo ?

5. Divisione tra polinomi

Dati due polinomi p(x) e g(x) in una variabile esiste una e una solacoppia di polinomi q(x) ed r(x) con r(x) di grado piu` basso di quellodi g(x) tale che

p(x) = g(x)q(x) + r(x)

Naturalmente q(x) prende il nome di quoziente della divisione di p(x)per g(x) e r(x) quello di resto.

Definizione 5.1. Se r(x) e` nullo si dice che p(x) e` divisibile per g(x).

Se f(x) = f1(x) + f2(x) allora la divisione di f(x) per g(x) corrispondealla divisione dei due addendi f1(x) e f2(x) per g(x){

f1(x) = q1(x)g(x) + r1(x) gr(r1) < gr(g)f2(x) = q2(x)g(x) + r2(x) gr(r2) < gr(g)

f(x) = (q1(x) + q2(x)) g(x) + (r1(x) + r2(x))

6. IL PROCEDIMENTO ELEMENTARE 14

Osservazione 5.2. La divisione fra polinomi, che produce un quozientee un resto, e` analoga a quella ben nota tra numeri naturali: cos`, adesempio riferendosi a 13 e 5 si ha

13 = 5 2 + 3con q = 2 ed r = 3 < 5.

5.1. Una divisione semplicissima. Se il grado del divisore g(x)e maggiore di quello del dividendo f(x) allora riesce, ovviamente,

q(x) 0, r(x) = f(x) f(x) = 0.g(x) + f(x)

5.2. Una divisione semplice. Se il divisore g(x) e` il polinomiodi primo grado g(x) = x allora riesce

p(x) = (x )q(x) + p()

5.3. Osservazioni utili. La divisione di f(x) per g(x) = xm

espresso da un solo monomio si ottiene facilmente:

q(x) e il polinomio somma dei quozienti dei monomi di f(x)di grado maggiore o uguale al grado m dellunico monomio dig(x), r(x) e la somma dei monomi di f(x) di grado minore di m.

6. Il procedimento elementare

La divisione di f(x) = fmxm + fm1xm1 + + f0 per

g(x) = gnxn + gn1xn1 + + g0 con m n si esegue con il seguente

algoritmo:

si divide il monomio di grado maggiore del dividendo fmxmper il monomio di grado maggiore del divisore gnx

n ottenendoil monomio qmnxmn, si valuta il resto r0(x) = f(x) qmnxmn g(x), polinomio di

grado minore del grado di f(x), se il grado di r0(x) e minore di quello di g(x) la divisione e

completata f(x) = qmnxmn g(x) + r0(x), se il grado di r0(x) e ancora maggiore o uguale di quello dig(x) si itera il procedimento prendendo r0(x) come dividendoe ancora g(x) come divisore.

6.1. Qualche domanda.

Cosa vuol dire dividere un polinomio per un altro ? Si puo` dividere P (x) = x2 + 1 per Q(x) = x+ 1 ? Quanto fa P (x) = x2 1 diviso Q(x) = x+ 1 ? Come si riconosce se un polinomio P (x) e` divisibile per x ?

CAPITOLO 3

Successioni finite

1. Successioni aritmetiche

Una successione aritmetica (finita) e` una fila, una successione, dinumeri reali

{a1, a2, . . . , an}tali che la differenza tra un qualunque elemento e quello che lo pre-cede sia sempre la stessa: tale differenza d viene detta ragione dellasuccessione.In ogni successione aritmetica riesce quindi

a2 a1 = d a2 = a1 + da3 a2 = d a3 = a2 + d = a1 + 2da4 a3 = d a4 = a3 + d = a1 + 3d.....an an1 = d an = an1 + d = a1 + (n 1)d

Sono esempi di successioni aritmetiche la successione dei numeri natu-rali, la successione dei dispari, quella dei multipli di 3, ecc.

Esempio 1.1.

{2, 13, 4

3, 3, . . . , 33}, d = 5

3

e una successione aritmetica con d = 53

.

Esercizio 1.2. Nella successione aritmetica {12,

3

10,

1

10, . . . }, quale e`

il termine che occupa il 76 posto ?

Risposta: (-29

2)

1.1. Le somme di successioni aritmetiche.

La somma

(1) Sn = a1 + a2 + + an1 + andei primi n termini di una successione aritmetica dipende, natural-mente,

dal primo termine a1 dalla ragione d della successione,

15

1. SUCCESSIONI ARITMETICHE 16

dal numero n di termini che si vogliono sommare.La somma (1) si indica spesso anche con la notazione equivalente

Sn =nj=1

aj

Lespressione di Sn puo` essere dedotta esplicitamente da a1, d, n: ba-sta scrivere la somma nelle due forme equivalenti

Sn = a1 + a2 + + an1 + an,Sn = an + an1 + + a2 + a1

e sommare membro a membro.

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an1) + . . . + (an + a1)

Tenuto conto che gli n addendi (a1 +an), (a2 +an1), . . . , (an+a1)hanno tutti il medesimo valore si ottiene

(2) Sn =1

2(a1 + an)n

Tenuto conto che

an = a1 + (n 1)dsi ottiene la formula esplicita:

Sn =1

2[2a1 + (n 1)d]n

Esempio 1.3. La somma dei primi 100 numeri naturali

S100 = 1 + 2 + 3 + ....+ 100

si calcola con la formula (2)

S100 =101 100

2= 5050

In generale riesce per la successione aritmetica dei numeri naturali

Sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n =(n+ 1)n

2ovvero

nj=1

j =(n+ 1)n

2

Esercizio 1.4. Se d =3

7, a1 = 2, Sn = 75, quanti sono i termini?

Quale e` l ultimo?

Risposta: (n=15; an = 8)

17 Successioni finite

2. Somma delle potenze di numeri naturali

A fianco della successione aritmetica dei numeri naturali si possonoconsiderare le successioni dei loro quadrati, dei loro cubi, ecc.

1, 4, 9, 16, 25, . . . n2, . . .1, 8, 27, 64, 125, . . . n3, . . .. . .

Esse non sono piu` successioni aritmetiche: infatti le differenze tratermini successivi, sia dei quadrati, come dei cubi non e piu` costante

4 1 = 3, 9 4 = 5, 16 9 = 7, . . .8 1 = 7, 27 8 = 19, 64 27 = 37, . . .

2. SOMMA DELLE POTENZE DI NUMERI NATURALI 18

2.1. La somma dei quadrati. E interessante cercare lespres-sione dipendente da n per la somma

S(2)n = 12 + 22 + 32 + + (n 1)2 + n2.

dei primi n quadrati.

Dalla nota formula del cubo di un binomio (x+1)3 = x3 +3x2 +3x+1,si ottiene

(x+ 1)3 x3 = 3x2 + 3x+ 1Riscriviamo i due membri di questa espressione, dando successivamentead x i valori x = 0, 1, 2, . . . , n,

x : (x+ 1)3 x3 = 3 x2 + 3 x+ 1

0 : 13 03 = 3 02 + 3 0 + 11 : 23 13 = 3 12 + 3 1 + 12 : 33 23 = 3 22 + 3 2 + 13 : 43 33 = 3 32 + 3 3 + 14 : 53 43 = 3 42 + 3 4 + 15 : 63 53 = 3 52 + 3 5 + 1...n : (n+ 1)3 n3 = 3 n2 + 3 n+ 1

Sommiamo membro a membro i risultati cos` ottenuti in corrispondenzaalle n+ 1 scelte di x : 0, 1, . . . , n.A primo membro si ottiene

(13 03) + (23 13) + ...+ [63 53] + ...+ [(n+ 1)3 n3] = (n+ 1)3,avendo effettuato le dovute semplificazioni.La somma dei termini a secondo membro nella tabella vale

3(02 + 12 + 22 + + n2) + 3(0 + 1 + 2 + + n) + (1 + 1 + + 1)ovvero

3S(2)n + 3S(1)n + (n+ 1),

Si ha quindi la relazione

(n+ 1)3 = 3S(2)n + 3S(1)n + (n+ 1)

ovvero

(n+ 1)3 3S(1)n (n+ 1) = 3S(2)ndi qui, tenendo conto della espressione nota

(3) S(1)n = 1 + 2 + + n =[n(n+ 1)]

2;

si trae

3S(2)n =n(n+ 1)(2n+ 1)

2


da cui la formula esplicita della somma dei quadrati dei naturali da 1ad n

(4) S(2)n =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

Esempio 2.1. La somma dei quadrati

1 + 22 + 32 + ...+ 1002

vale pertanto

S(2)100 =

100(101)(201)

6= 338350

mentre quella dei primi 200 vale

1 + 22 + 32 + ...+ 2002 =200(201)(401)

6= 2686700

.... assai piu` del doppio !

3. Somma delle potenze di successioni aritmetiche

Consideriamo la somma dei quadrati

S(2)n(d) = a

21 + a

22 + + a2n =

nj=1

a2j

dei termini a1, a2, . . . , an di una qualsiasi successione aritmetica.Tenuto presente che aj = a1 + (j 1) d si ha

a2j = a21 + 2a1d(j 1) + d2(j 1)2

e quindi, sommando su j

nj=1

a2j = na21 + 2a1d

nj=1

(j 1) + d2nj=1

(j 1)2

cioe`

(5) S(2)n(d) = na

21 + 2a1dS

(1)n1 + d

2S(2)n1

dove valgono per S(1)n1 e S

(2)n1 le espressioni (3 ) e (4).

Esempio 3.1. Consideriamo la successione aritmetica dei primi 10numeri dispari (a1 = 1, d = 2 )

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

la somma dei loro quadrati

12, 32, 52, 72, 92, 112, 132, 152, 172, 192

vale pertanto10 + 4 45 + 4 285 = 1330

valore che puo` essere facilmente verificato anche a mano.

4. SUCCESSIONI GEOMETRICHE 20

Naturalmente linteresse della formula stabilita diviene evidente quandofosse richiesta la somma non dei primi 10 quadrati dei dispari ma deiprimi 100 o dei primi 1000, ecc.

Esercizio 3.2. Calcolare la somma

S = 102 + 142 + 182 + + 1262.I termini 10,14,18,. . . ,126, formano una successione aritmetica di n =30 termini, di ragione d = 4. Applicando la formula stabilita sopra siha

S = 30102 +80S(1)29 +16S(2)29 = 30100+80435+168555 = 174680Esercizio 3.3. Le palle di un cannone siano disposte a piramide dibase quadrata; se il lato di base ha n palle, quante sono le palle intutto?

Risposta:

S = n2 + (n 1)2 + + 32 + 22 + 12 = n(n+ 1)(2n+ 1)6

Se la piramide e` tronca e termina superiormente con un quadrato dilato p 1, quante palle ci sono in tutto?

Risposta:

S = n2 + (n 1)2 + + p2 = n(n+ 1)(2n+ 1)6

(p 1).p(2p 1)6

4. Successioni geometriche

Una successione geometrica e` una successione di numeri

{a1, a2, . . . , an, . . . }per i quali e` costante il rapporto q tra ogni termine e quello che loprecede,

akak1

= q ak = ak1 qIl numero reale q prende ancora il nome di ragione della successionegeometrica.

Sono successioni geometriche

{3, 6, 12, 24, . . . , 1536} q = 2

{5, 103,20

9, . . . ,

1280

6561} q = 2

3

{12,

2

2, 1, . . . , 16} q = 2

E evidente che

k 1 : ak = a1 qk1


Se i termini della successione geometrica

{a1, a2, . . . , an, . . . }sono tutti positivi, i loro logaritmi, in una base qualunque b,

logb(a1), logb(a2), . . . , logb(an), . . .

formano una successione aritmetica di ragione d = logb q, infatti

logb ak = logb ak1 + logb q,

ovvero

logb ak = logb a1 + (k 1) logb q.

4.1. Somme.

Calcoliamo la somma S dei primi n termini di una successione geome-trica di ragione q:

S = a1 + a1q + a1q2 + + a1qn1

Se q = 1 allora gli n termini sono tutti uguali e la somma vale,ovviamente na1.Nel caso q 6= 1 il calcolo della somma non e ovvio: moltiplicandomembro a membro per q si ha

S = a1 + a1q + a1q2 + + a1qn1

Sq = a1q + a1q2 + a1q

3 + + a1qnda cui, sottraendo membro a membro, e semplificando

(1 q)S = a1(1 qn) S = a1 1 qn

1 qformula che calcola la somma conoscendo il primo termine a1, la ragioneq, e il numero n degli addendi.

Esempio 4.1. Calcoliamo la somma dei primi 10 termini della succes-sione geometrica

1, 2, 22, 23, 24, . . . , 29

Tenuto presente che a1 = 1, q = 2, n = 9 si ha

S =210 12 1 = 2

10 1 = 1023

4. SUCCESSIONI GEOMETRICHE 22

4.2. Prodotti.

Per quanto riguarda il prodotto

P = a1 a2 a3 . . . an = a1 a1q a1 q2 . . . a1 qn1 = an1 q1+2+3+...(n1)Tenuto conto che

1 + 2 + 3 + + (n 1) = 12

(n 1)nsi ottiene

P = an1 q(n1)n/2

Esempio 4.2. La scacchiera Si narra che un sultano, entusiasmato dalgioco degli scacchi, abbia voluto ricompensare il suo inventore promet-tendogli di esaudire qualunque suo desiderio, e che questi abbia chiestoun chicco di grano per la prima casella, due per la seconda, il doppio(4) per la terza, ancora il doppio (8) per la quarta, e cos` via, per tuttele 64 caselle della scacchiera.All iniziale sollievo del sultano, che penso` di essersela cavata conpoco, subentro` lo sgomento quando ci si rese conto delleffettivo valorenumerico della richiesta.

In effetti

il numero dei chicchi di grano richiesti e` 264 1, e 264 ' 1019; supponendo

che ogni spiga di grano produca 30 chicchi, che ogni metro quadrato di terreno produca 100 spighe, che il raggio terrestre sia 6 106m, e quindi la superficie

sia circa 450 1012m2Lintera superficie terrestre, inclusi (per assurdo) anche glioceani, produce non piu` di

450 1012 3 103 = 1350 1015 Per produrre 1019 chicchi di grano occorrerebbe coltivare una

superficie pari a quasi 10 volte quella della intera Terra !

Esercizio 4.3. Il foglio piegato. Si abbia inizialmente un foglio di spes-sore l0; piegandolo una prima volta lo spessore raddoppia; poi raddoppiadi nuovo se ulteriormente lo si piega, e cos` via.

Dopo n piegature quale e` lo spessore l?Risposta: l = 2n l0

Se l0=1 mm., e la distanza Terra-Luna e` 370000 Km., dopoquante piegature lo spessore oltrepassa la luna?

Risposta: n 39


Esercizio 4.4. Un ricamo consiste di un quadrato di lato l, entro ilquale e` costruito un altro quadrato i cui vertici sono i punti medi deilati del precedente; dentro questultimo ne viene costruito un altro, conle medesime modalita`, e cos` via.Se i quadrati sono in tutto n, quanto filo occorre per il ricamo?

Risposta: L= lunghezza del filo =4 l1 (1/2)n

1 1/2 .

Figura 1. Successione di quadrati.

Esercizio 4.5. Un grave cade da unaltezza h0, urta il suolo, e risalefino ad un altezza h1 = E h0, con 0 < E < 1; il fenomeno si ripete conle medesime modalita`, con l intervento del medesimo fattore E.Dopo n urti al suolo,

a che altezza si arresta?Risposta: hn = E

n h0 Quanto spazio ha percorso?

Risposta: 2h01 En1 E h0

Se sperimentalmente si verifica che hn > h0/2, a quale limi-tazione soddisfa E?

Risposta: E > 1/ n

2

Fissato un numero , con la limitazione 0 < < 1, dopo quantiurti e` hn < h0?

Risposta: n > log / logE

5. La curva di Koch o il fiocco di neve

Partiamo da un triangolo equilatero, i cui lati abbiano lunghezza l0.Eliminiamo in ognuno dei tre lati, la terza parte centrale, e sostituiamola con duesegmenti uguali disposti in modo tale da formare, con la parte eliminata, un nuovotriangolo equilatero, esterno a quello originario.Il poligono che cos` si ottiene ha 12 lati ognuno di lunghezza l1 = l0/3.Su ognuno di tali lati, ripetiamo la costruzione suddetta, pervenendo cos` a unnuovo poligono di 48 lati ognuno di lunghezza l1 = l0/9.

5. LA CURVA DI KOCH O IL FIOCCO DI NEVE 24

Immaginiamo di ripetere la costruzione una terza, una quarta, una nesima volta.La curva di Koch, detta anche il fiocco di neve e la curva limite cui si avvicinano alcrescere di n i poligoni costruiti uno dallaltro con il procedimento descritto sopra.Cominciamo con losservare che, se indichiamo conNk il numero dei lati del poligonoche si ottiene al k-simo passo, e con lk la lunghezza di ogni lato, risulta Nk+1 = 4Nke lk+1 = lk/3 (si intende che N0 = 3). Pertanto, se Pk denota il perimetro delpoligono ottenuto al kesimo intervento si ha

Pk = Nk lk, Pk+1 = Nk+1 lk+1 = 4Nk 13lk,

cioe

Pk+1 = 43Pk.

Dunque, linsieme dei perimetri forma una successione geometrica di ragione q =4/3; ne viene

P1 = 43P0, P2 = 4

3P1 =

(43

)2P0, P3 = 4

3P2 =

(43

)3P0, . . . ,

cioe

(6) Pk =(4

3

)kP0, k = 1, 2, . . . , n.

E chiaro che, al crescere indefinito di n, il perimetro cresce esso stesso indefinita-mente.Procediamo ora al calcolo dellarea racchiusa, osservando preliminarmente che, sek denota l area del triangolo di lato lk, si ha

(7) k =

3

4l2k,

nonche

(8) k+1 =1

9k,

dato che lk+1 = lk/3. Cio` posto, indichiamo con Ak larea racchiusa dal poligonocostruito al k-simo passo, ed osserviamo che si ha

(9) Ak+1 = Ak +Nk k+1 = Ak + 19Nk k,

dato che, nel passaggio dal k-simo poligono al successivo, si sono aggiunti Nktriangoli di lato lk+1. Scriviamo per esteso le relazioni (9):

A1 = A0 + 19N0 0

A2 = A1 + 19N1 1

A3 = A2 + 19N2 2

. . .

An1 = An2 + 19Nn2 n2

An = An1 + 19Nn1 n1,


e sommiamo m.a m.; fatte le dovute semplificazioni, si ottiene

(10) An = A0 + 19

(N0 0 +N1 1 +N2 2 + +Nn1 n1).Nella parentesi si riconosce una successione geometrica di ragione q = 4/9, dato chesi ha, per la (8),

Nk+1 k+1 = 4Nk1

9k =

4

9Nk k,

e quindi

(11) Nk k =(4

9

)kN0 0, k = 1, 2, . . . , n 1;

dunque la (10) diviene

An = A0 + 19

[1 +

4

9+(4

9

)2+ +

(49

)n1]N0 0

cioe

An = A0 + 19

1 (4/9)n1 4/9 N0 0 = A0 +

1

5

[1 (4/9)n

]N0 0.

Ma 0 A0, ed N0 = 3, sicche la precedente diviene(12) An = 1

5

[8 3

(49

)n]A0

essa esprime l area delimitata dallnesimo poligono che approssima la curva diKoch.Si noti come, contrariamente ai perimetri che crescono illimitatamente, le aree si

mantengono limitate al crescere del numero n, tendendo al valore limite A = 85A0

per n.La curva di Koch quindi ha lunghezza infinita ma racchiude una regione limitatadel piano: essa costituisce anche un notevole esempio di curva priva di tangente inogni suo punto.La curva di Koch un frattale, un tipo di insieme del piano di cui la Matematica sioccupa solo da pochi decenni, e che trova applicazioni in molti campi della scienza:fisica, biologia, botanica,. . . .

Figura 2. La curva di Koch, al terzo passo.

CAPITOLO 4

Equazioni di primo o secondo grado

Le espressioni che consideriamo nel seguito sono

equazioni nellincognita x

Il problema che le equazioni presentano e` la ricerca del valore, o deivalori numerici, detti radici, da assegnare alla x affinche` lequazione siasoddisfatta.

1. Equazioni di primo grado

Supponiamo di lavorare nellambito (almeno) dei numeri razionali:

qualunque siano a e b, purche sia a 6= 0 riesce

ax+ b = 0 x = ba

Osservazione 1.1. Se si lavora nellambito dei soli numeri interi ilproblema e` piu` difficile: che significato dare infatti, avendo a dispo-sizione solo gli interi, alla frazione b

a?

2. Equazioni di secondo grado

Esercizio 2.1.

Determinare per quali k R lequazione x2 = k ha due radicireali e distinte e indicarle, e per quali non ha alcuna radicereale. Determinare per quali k R lequazione x2 = k ha una sola

radice reale e indicarla. Tracciato il grafico della parabola y = x2 impostare grafica-

mente la ricerca delle radici dellequazione x2 = k. Trasformare lequazione a x2 = h, a 6= 0, nella forma prece-

dente x2 = k. Determinare per quali a, k R lequazione a x2 = h non ha

radici, ne ha una, ne ha due distinte.

Teorema 2.2. Lequazione a x2 + b x+ c = 0, a 6= 0, equivale a(x+

b

2 a

)2=b2 4 a c

4 a2

27

2. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO 28

Dimostrazione.

a x2 + b x+ c = 0, a 6= 0 x2 + 2 b2 a

x+c

a= 0

da cui, aggiungendo e sottraendo lo stesso termine si ha

x2 + 2b

2 ax+

(b

2 a

)2(b

2 a

)2+c

a= 0;

riconoscendo nei primi addendi il prodotto notevole

x2 + 2b

2 ax+

(b

2 a

)2=

(x+

b

2 a

)2si ottiene, di conseguenza,(

x+b

2 a

)2=

(b

2 a

)2 ca

=b2 4 a c

4 a2

cioe` la tesi.

Il termine

4 = b2 4 a csi chiama discriminante dellequazione a x2 + b x + c = 0: e` evidenteche lequazione ammette radici se e solo se riesce

4 0In tal caso le radici sono

x1 =b+4

2a, x2 =

b42a

che coincidono se 4 = 0.Il grafico di y = a x2 + b x+ c, a 6= 0 corrisponde al grafico di

y =

(x+

b

2 a

)2( 4

4 a2

)Esercizio 2.3.

Riconoscere che lequazione x2 + 10 x = k equivale, cioe` ha lestesse soluzioni, della (x+ 5)2 = k + 25. Riconoscere che lequazione x2 + b x = k equivale alla

(x+ b/2)2 =b2 + 4k

4

Determinare per quali b, k R lequazione x2 + b x = k nonha radici, ne ha una sola, ne ha due distinte.

29 Equazioni di primo o secondo grado

Esercizio 2.4.Lequazione x2 5x+ 6 = 0 equivale a

x2 2 52x+

(5

2

)2=

(5

2

)2 6

ovvero (x 5

2

)2=

52 4 622

da cui segue

x 52

=

52 4 62

x1 =

5 +

52 4 62

= 3

x2 =552 4 6

2= 2

Esercizio 2.5. Tracciato il grafico della parabola y = x2 + b x + cimpostare graficamente la ricerca delle radici dellequazione

x2 + b x+ c = 0.

3. Equazioni con parametri

Si incontrano frequentemente equazioni di secondo grado a coefficientidipendenti da un parametro

a(k)x2 + b(k)x+ c(k) = 0

Problemi connessi sono, ad esempio:

determinare per quali valori del parametro k lequazione hadue, una o nessuna soluzione, determinare per quali valori del parametro k le radici delle-

quazione appartengono ad unintervallo assegnato.

Figura 1. Equazioni di secondo grado e grafici dellefunzioni y = a x2 + b x+ c

4. FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO 30

Esercizio 3.1. Lequazione x2 + 4x+ k = 0 ha soluzioni

x =442 4 k

2da cui si riconosce che

se 42 4 k > 0 ovvero k < 4 si hanno due soluzioni, se 42 4 k = 0 ovvero k = 4 si ha una sola soluzione, se 42 4 k < 0 ovvero k > 4 non si hanno soluzioni.

Osservazione 3.2. La classificazione delle equazioni di secondo grado(due radici distinte, una sola, nessuna) si capisce molto bene se si hafamiliarita` con il grafico delle funzioni y = a x2 + b x + c: il fatto chei grafici, vedi Figura 1, taglino o meno lasse delle ascisse corrispondeesattamente allavere lequazione a x2 + b x+ c = 0 due radici distinte,una sola, nessuna.

4. Fattorizzazione di un polinomio

La parola fattorizzare vuol dire esprimere il polinomio assegnato sottoforma di prodotto di altri polinomi :

La conoscenza di una radice dellequazione f(x) = 0 con-sente la fattorizzazione

f(x) = (x ) q(x) Tutti i polinomi di grado maggiore di 2 ammettono fattoriz-

zazioni, ma non ci sono in genere algoritmi efficaci per deter-minarle. Fattorizzare un polinomio di grado maggiore di 2 e`, quasi

sempre, operazione molto difficile.

Esempio 4.1. Il polinomio x4 + 1 non ha radici, ma tenuto conto dellaformula del quadrato di un binomio e del prodotto notevole

(a+ b)(a b) = a2 b2si riconosce che

x4 + 1 = (x2 + 1)2 2x2 = (x2 + 1 +

2x)(x2 + 1

2x)

e quindi la fattorizzazione

x4 + 1 =(x2

2x+ 1

)(x2 +

2x+ 1

)in due fattori di secondo grado che, ovviamente, non hanno radici reali.

Osservazione 4.2. La fattorizzabilita`, o meno, di un polinomio dipendenaturalmente anche dallambiente numerico in cui si lavora:

se si lavora nei razionali il polinomio p(x) = x2 2 non e`fattorizzabile... se si lavora nei reali lo e`

x2 2 = (x

2)(x+

2)

31 Equazioni di primo o secondo grado

Esercizio 4.3.

Decomporre in fattori il polinomio x2 5x+ 6, decomporre in fattori il polinomio x5 5x4 + 6x3 decomporre in fattori il polinomio x4 16

Esercizio 4.4. Riconoscere che

x4 + x2 + 1 = (x2 + 1 x)(x2 + 1 + x)Esercizio 4.5. Riconoscere che

x8 + 2x4 + 4 =

(x2 +

2

3

2x

)(x2 +

2 +

3

2x

)(x2 +

2 4

2x)(

x2 +

2 4

2x)

CAPITOLO 5

Esponenziale e logaritmi

1. Potenze di 10

Molti numeri si scrivono come potenze di 10:

0.1 =1

10= 101, 1 = 100, 10 = 101, 100 = 102, 1000 = 103, . . .

Il numero

3, 162 '

10

ha, per definizione di radice quadrata la proprieta`

3, 162 3, 162 ' 101Quindi e ragionevole leggere 3, 162 allincirca come 101/2 che1, infattiha la stessa proprieta`

101/2 101/2 = 101come pure

0.3162 =1

10 3.162 ' 101+1/2 = 101/2

Con questa chiave di lettura e altrettanto ragionevole leggere

31, 62 ' 101 101/2 = 103/2come pure

3162 ' 103,5Pensando a qualche altra radice, per esempio alla radice cubica

2, 154 ' 3

10

sara` altrettanto ragionevole leggere

2, 154 ' 101/3come pure

21, 54 ' 101+1/3, 2154 ' 103+1/3, 4, 642 ' 2, 1542 ' 102/3Come si vede si amplia la famiglia dei numeri che si possono leggerecome potenze di 10:

1 10 100 1000 3, 162 0.3162 31, 62 2, 154 21, 54 4, 642 . . .

1I due numeri sono ovviamente diversi, uno razionale e laltro irrazionale.

33

1. POTENZE DI 10 34

Osservazioni matematiche abbastanza fini conducono a riconoscere cheaddirittura tutti i numeri positivi si possono esprimere esattamentecome opportune potenze di 10:

i numeri 0 < x < 1 potenze di 10 con esponente negativo, il numero x = 1 potenza di 10 con esponente zero, i numeri 1 < x potenze di 10 con esponente positivo.

Lesponente da utilizzare per ciascun numero positivo x ha il nome di

logaritmo in base 10 di quel numero x

e si indica con log10(x) o, piu` brevemente con log(x), in altri termini

a = log10(x) x = 10a

Gli esempi precedenti corrispondono pertanto a

log10(1) = 0, log10(10) = 1, log10(100) = 2, . . . log10(4, 642) ' 2/3, . . .Il calcolo del logaritmo di un numero non e un calcolo affidato adoperazioni aritmetiche: per molti anni esso e stato eseguito con lausiliodi tavole numeriche preparate con grande cura da matematici celebri,attualmente il calcolo e affidato alle calcolatrici elettroniche di cui tuttidispongono.

E ragionevole attendersi che se

a x b log10(a) log10(x) log10(b)Cos`, ad esempio

10 x 100 log10(10) log10(x) log10(100) 1 log10(x) 2ovvero

10 x < 100 log10(x) [1, 2] log10(x) = 1, ....Analogamente

100 x < 1000 log10(x) = 2, ....ecc.

E quindi molto facile determinare la parte intera di log10(x), bastariconoscere a quale intervallo [1, 10[, [10, 100[, [100, 1000[, . . . il numerox appartenga.Molto meno facile e invece riconoscere la parte decimale, detta mantis-sa.

35 Esponenziale e logaritmi

1.1. A cosa servono (servivano) i logaritmi ?Il legame

numeri logaritmie servito (prima che le attuali macchine calcolatrici risolvessero i pro-blemi per altra via) a calcolare

prodotti, quozienti, radici,

almeno nel caso di numeri grandi tanto da scoraggiare lesecuzionearitmetica tradizionale.

Moltiplicazioni:

Assegnati due numeri positivi a e b si debba calcolare il prodottop = a b:

a = 10log(a), b = 10log(b) p = 10log(a)+log(b)Il logaritmo di p e pertanto log(a) + log(b): considerata facile la som-ma, log(p) = log(a) + log(b) la determinazione di p corrisponde allalettura delle tavole in senso inverso, dato log(p) trovare il numero p cuicorrisponde !

Divisione:

q =a

b log(q) = log(a) log(b)

Radici:

Sia c = 3a allora

log(c) =1

3log(a)

Dalla conoscenza di log(c) si ricava c !

Esempio 1.1. Supponiamo di voler calcolare a = 264:

log(a) = 64 log(2) ' 64 0, 301 = 19, 266Un logaritmo cos` alto fa riconoscere che

a [1019, 1020]informazione non banale sulleffettiva grandezza di 264.

Esempio 1.2. Il simbolo n! rappresenta il prodotto degli n numeri na-turali da 1 a n: cos` 4! = 4 3 2 1. La proprieta` del logaritmorispetto alla moltiplicazione permette di riconoscere che

log(n!) = log(n) + log(n 1) + + log(2) + log(1)

2. LOGARITMI IN BASI DIVERSE 36

Esempio 1.3. Consideriamo il polinomio x2 5x + 6: cosa puo` dirsidellespressione log(x2 5x+ 6) ?Il logaritmo e definito solo per i numeri positivi: occorre quindi, primadi tutto, esaminare per quali valori di x lespressione x25x+6 producaun numero positivo.Supponiamo di sapere che

x2 5x+ 6 = (x 3)(x 2) = (3 x)(2 x)allora ha senso parlare di log(x2 5x + 6) se e solo se x < 2 oppurex > 3.La proprieta` del logaritmo rispetto alla moltiplicazione permette di ri-conoscere che{

x > 3 log(x2 5x+ 6) = log(x 3) + log(x 2)x < 2 log(x2 5x+ 6) = log(3 x) + log(2 x)

Le due formule si riassumono nei due casi x < 2 oppure x > 3nellunica espressione

log(x2 5x+ 6) = log(|x 3|) + log(|x 2|)

2. Logaritmi in basi diverse

Lidea di rappresentare un numero positivo come opportuna potenzadi base 10 puo` essere generalizzata nellanaloga idea di rappresentarlocome unaltra opportuna potenza di unaltra base.Pensando, ad esempio, alla base 100 i conti sono quasi immediati:considerato che

10 = 1001/2

ne segue che

x = 10 x = 1002 log100(x) =1

2log10(x)

ovvero

log10(x) = log10(100) log100(x)

La relazione osservata per la base 100 si conserva, analoga, per ognialtra scelta di base b > 0 e naturalmente b 6= 1:

log10(x) = log10(b) logb(x) logb(x) =1

log10(b)log10(x)

La precedente formula del cambiamento di base si mantiene, in formaanaloga, tra i logaritmi in due basi a e b positive e diverse da 1 qualsiasi

(13) loga(x) = loga(b) logb(x)

da cui in particolare, scelto x = a si ricava la relazione

(14) 1 = loga(b) logb(a) loga(b) =1

logb(a)

37 Esponenziale e logaritmi

2.1. Esercizi.

Esempio 2.1. Risolvere lequazione

1

2log1/5

3x 2 = log1/5(3x 2) +

3

2;

E chiaro anzitutto che leventuale soluzione va cercata per x > 2/3;lequazione data equivale a

1

4log1/5(3x 2) = log1/5(3x 2) +

3

2,

da cui

log1/5(3x 2) = 2 3x 2 = (1

5)2 e quindi 7 x = 9 .


2 log2(3x 7) = 3 log(3x7) 64. (3x 7 6= 0)Deve essere x 6= 8/3, x > 7/3: osservato che 64 = 26 lequazione sipuo` scrivere anche

2 log2(3x 7) = 18 log(3x7) 2e di qui, tenuto conto della (14)

2 log2(3x7) =18

log2(3x 7)7 [log2(3x7)]2 = 9 7 log2(3x7) = 3,

da cui

3x 7 = 2

3 = 8

23 = 1/8 x =

519/8.Esempio 2.3. Risolvere lequazione

log3(x 2) + log9 x2 = 1.Anzitutto deve essere x > 2. Lequazione equivale a

log3(x 2) + 2 log9 x = 1 7 log3(x 2) + 2 log9 3 log3 x = 1,ovvero

log3(x 2) + log3 x = 1 log3(x 2)x = 1 (x 2)x = 3,che ammette le soluzioni x = 1 e x = 3; la prima non puo` essereaccettata, e quindi rimane solo x = 3.

CAPITOLO 6

Funzioni

1. Prime definizioni

Tra i sottoinsiemi di R hanno particolare importanza gli intervalli: perogni coppia di numeri reali a e b con a b si definiscono

lintervallo chiuso [a, b] : a x b, lintervallo aperto (a, b) : a < x < b, i due intervalli semiaperti o semichiusi

[a, b) : a x < b, (a, b] : a < x bSe a = b lintervallo chiuso [a, a] si riduce al solo punto a, mentre glialtri intervalli aperti o semiaperti coincidono tutti con linsieme vuoto.

Si includono nella famiglia degli intervalli anche

gli insiemi costituiti da semirette contenute in R, illimitatepositivamente o negativamente,

x k, x < k, x k, x > k, k R lintero asse reale R.

Siano X ed Y due insiemi: si dice che f e` una funzione, o applicazionedi X in Y

f : X Yse essa costituisce un procedimento, una legge, che ad ogni elementox X associa uno ed un solo elemento y di Y .Lelemento che corrisponde ad x viene indicato con f(x), ed e` dettoimmagine di x tramite f .Il fatto che ad ogni x corrisponda un solo y si esprime dicendo che lacorrispondenza definita da f e` univoca.Linsieme X si chiama dominio della funzione f , linsieme Y dove lafunzione assume i valori si chiama codominio .

Esempio 1.1.

(1) Sia X = R {0}, Y = R; la corrispondenza f : X Ydefinita da f(x) = 1/x e` una funzione;

(2) Sia X = [1, 1], Y = [0, 1]; la f : X Y definita daf(x) = x2 e` una funzione;

39

2. GRAFICO DI UNA FUNZIONE 40

(3) Sia X = [0, 1], Y = [1, 1] ed f : X Y la legge che associaad ogni x la y tale che y2 = x; la f non e` una funzione, datoche, al medesimo x 6= 0 vengono associati due valori di y.

La funzione f : X Y e` detta:suriettiva se ogni y Y e` immagine di almeno un x X

f : X Y suriettiva se y Y, esiste x X : f(x) = yiniettiva se elementi distinti di X hanno immagini distinte in Y

f : X Y iniettiva se x1, x2 X, x1 6= x2 f(x1) 6= f(x2).Laffermazione esiste x X si indica anche con la grafia x X.Il simbolo si legge esiste , il simbolo analogo 6 si legge non esiste.Se f e` contemporaneamente suriettiva ed iniettiva, e` detta biiettiva oanche corrispondenza biunivoca:

elementi distinti di X hanno per immagine punti distinti di Y , ogni elemento di y Y e immagine di uno e un solo elementox X.

Esempio 1.2.

(1) La funzione f : x 7 sin(x), nel dominio X = [0, 2pi] e` su-riettiva nel codominio Y = [1, 1], ma non iniettiva; e` inveceiniettiva se X = [pi/2, pi/2];

(2) La funzione f : X Y , ove X = Y = N, che associa ad ogninumero naturale il suo quadrato non e` suriettiva: esistono inY numeri che non sono quadrati di numeri naturali;

(3) La corrispondenza tra i punti di un segmento verticale illumi-nato da una lampada, posta sufficientemente in alto, e la suaombra e` biunivoca (se la lampada non e` sul prolungamento delsegmento).

Osservazione 1.3. Limmagine dei punti x al variare di x in X e` dettaimmagine di X tramite f , e si indica con f(X); esso e` un sottoinsiemedi Y , sottoinsieme proprio se f non e` suriettiva.A volte si indica come codominio di f linsieme f(X) stesso: e` chiaroche, con questa definizione, f e` suriettiva.

2. Grafico di una funzione

Se X ed Y sono sottoinsiemi dellasse reale, la funzione f si dicefunzione reale di una variabile reale.Si chiama grafico della funzione il sottoinsieme G del prodotto carte-siano R R:

G = {(x, y) : x X, y = f(x)}.

41 Funzioni

Figura 1. Parabola

In linea di massima, il grafico puo` essere tracciato, disegnando in unpiano una coppia di assi ortogonali con origine in un punto O, edindividuando in tale piano i punti di coordinate (x, f(x)).

A volte un opportuno cambiamento di riferimento consente di rappre-sentare il grafico di una funzione con una espressione piu` semplice.

Una traslazione di assi e` un cambiamento di riferimento che sostituiscegli assi x, y con altri due, , , paralleli e concordi ai precedenti, conorigine in un punto di coordinate x, y.Un punto P , che nel precedente sistema aveva coordinate x, y, ha nelnuovo sistema coordinate , , e i legami sono espressi da

(15)

x = x + y = y + , cioe = x x = y y.

1. Parabola. La funzione f : R 7 R, che associa ad ogni x reale unvalore reale y :

y = f(x) = ax2

ha come grafico, vedi Figura 1, una parabola passante per lorigine econ la concavita` rivolta

verso lalto, cioe` la parte positiva dellasse y, se a > 0, verso il basso , se a < 0.

Variando il valore della costante a, si ha una famiglia di parabole, tantopiu` strette attorno allasse y, quanto piu` e` grande a in valore assoluto.

Consideriamo ora la funzione

: R R, x 7 y = (x) = ax2 + bx+ c


il suo grafico e` ancora una parabola la cui equazione puo` essere ricon-dotta al tipo precedente con unopportuna traslazione.Basta osservare che

ax2+bx+c = a[(x+b

2a)2+

c

a b

2

4a2] = a(x+

b

2a)2

4a, = b24ac;

ovvero

y = ax2 + bx+ c y + 4a

= a

(x+

b

2a

)2Se allora si pone

(16)

= x+ b/(2a) = y + /(4a),lequazione del grafico: y = ax2 + bx+ c si muta in

= a2

Il confronto con la (15) mostra che lorigine dei nuovi assi , ha,nel vecchio riferimento, coordinate (x, y) = (b/2a,/4a).

2. Iperbole. La funzione f : R {0} R tale che(17) y = a/x

ha per grafico, vedi figura 2, uniperbole, avente per asintoti gli assidel riferimento, e contenuta nel primo e terzo quadrante se a > 0, nelsecondo e quarto se a < 0.

Figura 2. Iperbole y = 1/x

Anche lequazione

(18) y =ax+ b

cx+ d,

43 Funzioni

Figura 3. Iperbole traslata

con ad bc 6= 0, a 6= 0, c 6= 0, rappresenta, vedi figura 3, uniperboledi equazione riconducibile al tipo precedente. Basta tenere conto che

ax+ b

cx+ d=a

c

x+ b/a

x+ d/c=a

c

x+ d/c+ b/a d/cx+ d/c

=a

c D/c

2

x+ d/c

con

D = a d b c.

y =ax+ b

cx+ dy a

c= D/c

2

x+ d/c

Ponendo

(19)

= x+ d/c = y a/c,la (18) si trasforma in

(20) = A/, A = D/c2;pertanto, nel riferimento , , con origine nel punto = (d/c, a/c),lequazione e` del tipo (17): gli asintoti sono i nuovi assi del riferimento: = 0 e = 0, cioe` le rette

y = a/c, x = d/cIn altri termini,

annullando il denominatore della (18) si trova lasintoto verti-cale, mentre il rapporto a/c tra i coefficienti della x fornisce lasin-

toto orizzontale, il segno di A e` opposto a quello di D, e cos` si puo` stabilire in

quali quadranti il grafico si trova, vedi Figura 3.


3. Una particolare traslazione

Conoscendo il grafico della funzione f(x), come si ottiene il grafico dellafunzione y = g(x) = f(x+ )?Basta eseguire il cambiamento di variabili

(21) = x+ , = y

per trasformare la funzione y = g(x) in = f().Dunque, il grafico della funzione g(x) e` il medesimo della funzione f(x),con riferimento ai nuovi assi , , aventi origine nel punto = (, 0).In altri termini, per avere il grafico di y = f(x + ), basta traslarerigidamente il grafico di y = f(x) di un segmento ||, nel verso positivodelle x se < 0, negativo se > 0, vedi figura 4 riferita 1 alla f(x) =x e, figura 5, riferita alla f(x) = sin(x).

Figura 4. I grafici delle funzionix+ 2,

x,x 2,

tutti dedotti dal grafico della parabola x = y2

1I tre archi presenti in figura 4 non sembrano, ad occhio, uno il traslato dellal-tro: il motivo e semplicemente che si tratta di porzioni diverse di un unico grandearco. Osservando le tre porzioni relative rispettivamente a [2, 2], [0, 4], [2, 6] lasovrapponibilita` risulta evidente.

45 Funzioni

Figura 5. Sinusoidi traslate

4. Cambiamento di scalaConoscendo il grafico della funzione y = f(x), come si ottiene il graficodella funzione y = g(x) = f(mx) con m R+?Osserviamo che, se in un punto x0 la funzione f(x) assume il valoref(x0), la g(x) assume il medesimo valore nel punto x : mx = x0, cioe` inx = x0/m; se m > 1 allora |x| < |x0| e viceversa, |x| > |x0| se m < 1.Pertanto, i valori che f(x) assume in un intervallo [a, b] sono tuttiassunti da g(x) nellintervallo [a/m, b/m], avente ampiezza minore omaggiore del precedente a seconda che sia m > 1 o m < 1.

Nel primo caso si ha una contrazione della curva grafico, nel secondouna dilatazione.

Il passaggio dalla funzione f(x) alla f(mx) e` detto cambiamento discala, vedi Figure 6 e 7, riferite a sin(x) e cos(x) .

Figura 6. Cambiamento di scala per sin(x)

4. MASSIMO E MINIMO 46

Figura 7. Cambiamento di scala per cos(x)

3. Funzioni monotone

Definizione 3.1. Una funzione f(x) si dice crescente in un interval-lo [a, b] se comunque si prendano x, y [a, b] con x < y riesce, diconseguenza, f(x) < f(y).

Viceversa

Definizione 3.2. Una funzione f(x) si dice decrescente in un inter-vallo [a, b] se comunque si prendano x, y [a, b] con x < y riesce, diconseguenza, f(x) > f(y).

Definizione 3.3. Le funzioni crescenti e le funzioni decrescenti sidicono, entrambe, funzioni monotone2.

In Figura 8 il grafico della funzione decrescente f(x) = 1x, x > 0.

4. Massimo e minimo

Definizione 4.1. Il numero reale M si dice massimo della funzionef : A R se

per ogni x A riesce f(x) M ed esiste almeno un punto x0 A nel quale riesce f(x0) = M.

Analogamente il numero reale m si dice minimo se

per ogni x A riesce f(x) m ed esiste almeno un punto x1 A nel quale riesce f(x1) = m.

Esempio 4.2.

La funzione f(x) = x2, x R ha massimo M = 0 e non haminimo,

2Laccento della parola monoto`ne e` posto sullultima vocale o, diver-samente dalla parola mono`tone del linguaggio comune che significa ripetitive,noiose,...

47 Funzioni

Figura 8. f(x) = 1x, x > 0

Figura 9. f(x) = x(1 x), 0 x 1

la funzione f(x) = x2+1, x R non ha massimo e ha minimom = 1, la funzione f(x) = x3, x R non ha ne` massimo ne` minimo.

I punti x0 A in cui f prende il valore massimo M si diconopunti di massimo.

Analogamente i punti x1 A in cui f prende il valore minimo m sidicono

punti di minimo.

Mentre il massimo M e il minimo m sono due valori unici, possonoesistere piu` punti di massimo e/o piu` punti di minimo. Nellesempio inFigura 9 si considera la funzione

f : [0, 1] R f(x) = x(1 x)che ha

M =1

4, m = 0

5. FUNZIONI PARI, DISPARI, MODULO 48

Figura 10. Funzioni pari 1/x2 e dispari 1/x.

Il punto x0 =12

e` punto di massimo, i punti 0 e 1 sono entrambi puntidi minimo.

5. Funzioni pari, dispari, modulo

Una funzione f : X R si dice pari se

x X { x Xf(x) = f(x);

dispari se la seconda condizione e` sostituita da f(x) = f(x).Pertanto, se la funzione e` pari, il suo grafico e` simmetrico rispettoallasse delle ordinate; se dispari, e` simmetrico rispetto allorigine: vedifigura 10

Il modulo di una funzione f(x) e` definito da

(22) |f(x)| = f(x) se f(x) 0f(x) se f(x) 0.

Percio`, conoscendo il grafico della funzione f(x), si ottiene quello di|f(x)| conservando il grafico precedente nelle regioni in cui f(x) 0, eribaltando mediante una simmetria rispetto allasse delle ascisse quelloin cui f(x) < 0.Si osservino a tal proposito gli esempi riportati nelle figure di pagine49, 50.

5.1. Funzioni pari.

Osserviamo che se una funzione f(x) e` definita in R+, e se ne conosceil grafico, si puo` costruire il grafico della funzione pari f(|x|), definitain R, rispecchiando il grafico di f(x) rispetto allasse y, vedi Figura 13riferita al caso f(x) = x

x24 , pagina 51.

49 Funzioni

Figura 11. La f(x) = x2 7x+ 10 e il suo modulo.

5.2. Funzioni dispari.Analogamente:la funzione y = f1(x) = x

x2 1 e` dispari ed ha il grafico di figura 14;

la funzione y = f2(x) = x

1 x2 e` dispari, grafico in figura 15;se allora consideriamo la funzione y = f(x) = x

|x2 1| essa e`dispari e

f(x) =

f1(x) se |x| 1f2(x) se |x| 1,

pertanto il suo grafico e` quello di figura 16.La funzione g(x) = x2 + |3 4x| non e` ne pari ne dispari e vale

g(x) =

x2 + 3 4x = g1(x) se x 3/4

x2 3 + 4x = g2(x) se x 3/4,e pertanto ha il grafico indicato in figura 17.

6. QUALCHE EQUAZIONE CON IL MODULO 50

Figura 12. La f(x) = 3x+ 6 e il suo modulo.

Esercizio 5.1.

Verificare che f(x) = x2 3x4 e` una funzione pari, mentrex3 sinx e` dispari. La funzione f(x) = sinx

xe` pari o dispari ?

E le funzioni cosxx sinx,

tanx

x3, x+

1

x?

6. Qualche equazione con il modulo

Esempio 6.1. . Risolvere lequazione

|x 1| = |3x 2|.Prepariamo i grafici delle due funzioni

y = x 1, y = 3x 2e tramite essi quelli dei loro moduli |x 1|, |3x 2|, vedi Figura (18).Le soluzioni delle equazioni sono le ascisse dei punti in cui i due graficisi intersecano. E evidente che

51 Funzioni

Figura 13. la f(x) = xx24 e la f(|x|) = |x|x24 .

Figura 14. y = f1(x) = xx2 1

non si hanno intersezioni a destra di x = 1, se ne hanno due a sinistra di x = 1: una tra 2/3 e 1 e unaltra

a sinistra di x = 2/3.

6. QUALCHE EQUAZIONE CON IL MODULO 52

Figura 15. y = f2(x) = x

1 x2

Figura 16. y = f(x) = x|x2 1|

Figura 17. g(x) = x2 + |3 4x|.

53 Funzioni

Figura 18. f(x) = |x 1|, g(x) = |3x 2|.

Le due soluzioni corrispondono alle soluzioni delle due equazioni

3x 2 = 1 x, 2 3x = 1 xLe soluzioni dellequazione sono pertanto:

x1 =3

4, x2 =

1

2


|x+ 1|+ |2x 3| = |x 5|Diviso lasse reale negli intervalli

(,1], (1, 3/2], (3/2, 5], (5,+)si avra`:a) x 5(x+ 1) + (2x 3) = x 5 6 sol.b)

3

2 x 5

(x+ 1) + (2x 3) = 5 x x = 7/4

c) 1 x 3

2

(x+ 1) (2x 3) = 5 x6 sol.

d)

7. PARTE POSITIVA, NEGATIVA 54

Figura 19. y = |x+ 1|+ |2x 3|, y = |x 5|.

x 1(x+ 1) (2x 3) = 5 x x = 3/2Si conclude che le uniche soluzioni sono x = 3/2, x = 7/4.Anche qui si puo` procedere per via grafica, vedi figura 19, disegnandoi vari tratti di retta che rappresentano il primo membro dellequazionenei vari intervalli, ed intersecando con il grafico del secondo membro.

Esercizio 6.3. Mostrare che lequazione

|x 1|+ |2x 5| = |3 x|non ha soluzioni.

Esercizio 6.4. Quante soluzioni ha lequazione

3|x2 + 2x 3| = |x+ 4| ?

Esercizio 6.5. Al variare del parametro a, quante soluzioni ha le-quazione

|x2 4x+ 3| = a ?

7. Parte positiva, negativa

Dati due numeri, e , il minimo e il massimo tra essi sono datirispettivamente da

(23)

min {, } = = +

2 | |

2

max {, } = = + 2

+| |

2

55 Funzioni

Figura 20. Minimo e massimo tra due funzioni.

Infatti, (+ )/2 e` il valore medio di e , e | |/2 la distanza delvalore medio dagli estremi: sommando si ottiene il massimo, sottraendosi ottiene il minimo, tanto se < , quanto se .Date ora due funzioni, f e g : X R, poniamo

(24)

f(x) g(x) = f(x) + g(x)

2 |f(x) g(x)|

2

f(x) g(x) = f(x) + g(x)2

+|f(x) g(x)|

2;

per ogni x X, f(x) g(x) sceglie il valore minimo, e f(x) g(x) ilvalore massimo tra f(x) e g(x).Le figure di pagina 55 si riferiscono al caso di f(x) = x + 2 e g(x) =x2 2x 8Assumendo g(x) = 0, si hanno le funzioni

(25)

f(x) = (f(x) 0) = (f(x)) 0 = |f(x)|

2 f(x)

2

f+(x) = f(x) 0 = |f(x)|2

+f(x)

2,

dette rispettivamente la parte negativa e la parte positiva di f(x); laf(x) e` nulla nei punti in cui f(x) 0, e coincide con f(x) dove

8. FUNZIONE COMPOSTA 56

Figura 21. Parte positiva e negativa di una funzione.

f(x) 0; viceversa la f+(x), cioe`(26)

f(x) =

0 se f(x) 0f(x) se f(x) 0, f+(x) = f(x) se f(x) 00 se f(x) 0,

Le figure di pagina 56 e 57 si riferiscono a f(x) = log10(x) ef(x) = (x+ 1)(x 1)(x 2).E chiaro che

f(x) = f+(x) f(x), |f(x)| = f+(x) + f(x) x X

8. Funzione composta

Siano f : X Y, g : Y Z due applicazioni: la prima associa adogni elemento x X un elemento y Y ; la seconda associa ad ogniy Y un elemento z Z.Restringendo il dominio di g allimmagine f(X) si puo` allora inter-pretare z come risultato dellapplicazione successiva di f e g ad x;

57 Funzioni

Figura 22. f(x) = (x+1)(x1)(x2), la parte positivae quella negativa.

viene cos` a definirsi una nuova funzione:

= g fcomposta di f e g, e si scrive z = gf(x) o, piu` spesso, g(f(x)), dato che,per avere z, si applica dapprima la funzione f ad x e successivamenteg ad f(x).

Se f e g sono entrambe iniettive altrettanto e` la funzionecomposta; se monotone nello stesso verso g f e` crescente; se monotone in verso contrario la funzione composta e` decre-

scente.

E da osservare inoltre che, se hanno senso entrambe le funzioni: g f efg, esse generalmente non coincidono, cioe` la composizione di funzioninon e` commutativa.Ad esempio, se

f(x) = 2x+ 3 sinx, g(x) = (x 1)2 f(g(x)) = 2(x 1)2 + 3 sin(x 1)2

g(f(x)) = (2x+ 3 sinx 1)2..

9. FUNZIONE INVERSA 58

Figura 23. f(x) = x2, f1(x) =x.

9. Funzione inversa

Se f : X Y e` biiettiva, ogni y Y e` immagine di uno e un solox X; ha senso allora considerare la funzione inversa

f1 : Y Xla quale associa ad ogni y Y il punto x X tale che f(x) = y; siscrive

x = f1(y).

Pertanto, nella corrispondenza inversa, e` la y che fa da variabile in-dipendente, mentre la x funge da variabile dipendente.Consideriamo ora il grafico di f(x): e` chiaro che se ad esso appartieneil punto di coordinate (a, b), nel senso che, al valore a dellascissa, la ffa corrispondere il valore b dellordinata, il punto di coordinate (b, a)appartiene al grafico dellinversa f1(x).Nel caso che il sistema di riferimento cartesiano utilizzato sia mono-metrico (stessa unita` di lunghezza sui due assi)

il grafico di f1(x) si ottiene da quello di f(x) operan-do una simmetria rispetto alla bisettrice suddetta.

A titolo di esempio, riportiamo i grafici di

f(x) = x2 e di f1(x) = x, per x 0 ove la f(x) e` invertibile,vedi figura 23 di pagina 58. di f(x) = loga x, a > 1 e di f1(x) = ax, vedi figura 24 di

pagina 59.

La funzione f(x) = sin x e` invertibile in ogni intervallo di ampiezza piove e` crescente, o decrescente; si conviene di assumere come intervallodi invertibilita` lintervallo [pi/2, pi/2]; la funzione inversa e` detta ar-coseno: f1(x) = arcsin x ed ha il grafico rappresentato in figura 25 dipagina 59.

59 Funzioni

Figura 24. f(x) = loga x, a > 1, f1(x) = ax.

Figura 25. f(x) = sinx, f1(x) = arcsin x.

Analogamente, la funzione arcocoseno: arccos x si ottiene invertendo lafunzione cosx nellintervallo [0, pi]: il grafico e` rappresentato in figura26 di pagina 60.Infine, la funzione arcotangente : arctanx inverte la funzione tanxnellintervallo (pi/2, pi/2): il grafico e` rappresentato in figura 27 dipagina 60.

10. Funzioni periodiche

Una funzione f(x) da X in Y e` detta periodica se esiste un numeropositivo T tale che

x X {x+ T Xf(x+ T ) = f(x)

Ne viene che anche x + nT X, n Z, con la conseguenza che Xdeve essere illimitato.

10. FUNZIONI PERIODICHE 60

Figura 26. f(x) = cos x, f1(x) = arccos x.

Figura 27. f(x) = tan x, f1(x) = arctan x.

Si chiama periodo il piu` piccolo numero positivo T che realizza laproprieta` di cui sopra, nellipotesi che un minimo effettivamente esista.Sono periodiche le comuni funzioni trigonometriche, ma non e` sempliceverificare il periodo (se ce`) delle loro combinazioni.

Considerata la funzione [x] detta parte intera di x che associa ad ognix reale il piu` grande numero intero che non supera x, e` periodica, conperiodo T = 1, la funzione mantissa: R R che associa ad ogninumero x la differenza x [x].Rappresentiamo in figura 28 di pagina 61 e figura 29 di pagina 61 igrafici rispettivamente di [x] e della mantissa: x [x].Esempio 10.1. Sia x = 7.35 riesce

parte intera : [x] = 7, mantissa : x [x] = 0.35

61 Funzioni

Figura 28. La parte intera: [x].

Figura 29. La mantissa: x [x].

CAPITOLO 7

Richiami sulle funzioni trigonometriche

1. Seno e coseno

Si tratta di due funzioni definite in modo geometrico tramite, vediFigura 1, le coordinate dei punti della circonferenza di centro loriginee raggio r = 1

Figura 1. Seno, coseno, circonferenza di raggio r = 1

Le principali questioni collegate a tali funzioni sono

il riferimento allangolo e alla sua misura x in radianti, i valori di sin(x) e cos(x) inevitabilmente appartenenti allin-

tervallo [1, 1], il legame tra cateti ed ipotenusa nei triangoli rettangoli.

Esercizio 1.1.

(1) Determinare le misure in radianti di angoli che misurino ingradi rispettivamente 900, 2700, 300

(2) Calcolare i valori delle seguenti espressioni trigonometriche

sin(pi), cos(pi/3), sin2(pi) + cos2(pi/2), sin(5pi/3)

(3) Tabulare i valori numerici di sin(x), cos(x), tan(x) in cor-rispondenza a x = 00, 900, 1800, 2700, nei quali tali funzionisiano definite.

(4) Determinare i cateti di un triangolo rettangolo che abbia lipotenusalunga 10 e uno dei due angoli acuti di 300 gradi.

63

2. ANGOLI E TRIANGOLI 64

(5) Determinare laltezza di un triangolo isoscele che abbia unodei due lati uguali lungo 16 e gli angoli alla base di 600 gradi.

2. Angoli e triangoli

Sia 4ABC un triangolo rettangolo, di lati 3, 4, 5: quanto vale il seno dellangolo tra i lati di lunghezza 3 e 4 ? quanto vale il coseno dellangolo tra i lati di lunghezza 4 e 5 ? quanto vale la tangente dellangolo tra i lati di lunghezza 3 e

5 ?

Le misure degli angoli tra i lati di lunghezza 4 e 5 e tra quelli dilunghezza 3 e 5 possono essere dedotte ricorrendo a

goniometro, calcolatrice tascabile, teoremi sui triangoli.

Se tutte le domande precedenti fossero rivolte analogamente al caso diun triangolo di lati 15, 20, 25 le risposte sarebbero cambiate ?In un triangolo si hanno 3 lati e 3 angoli: quali delle due terne determinalaltra ?Come puo` essere fatto un triangolo che abbia i lati 1, 2, 3 ?E come puo` essere fatto un triangolo che abbia gli angoli , 2, 3 ?

2.1. Gradi e radianti.Disegnata una circonferenza ogni angolo al centro individua un arco dicirconferenza:

che legame passa tra la misura in gradi dellangolo al centro ela lunghezza dellarco di circonferenza corrispondente ? qual e` il ruolo del raggio della circonferenza ? si puo` stabilire un algoritmo che consenta di trasformare i due

valori uno nellaltro ?

La definizione geometrica di seno, coseno, tangente puo` essere dataattraverso la circonferenza goniometrica: lopzione e` per le misure inradianti.

La relazione sin2(t) + cos2(t) = 1 e` il teorema di Pitagora: costruire, apartire da essa altre tre, almeno, relazioni altrettanto valide, quale, adesempio elevando al quadrato

sin4(x) + 2 sin2(x) cos2(x) + cos4(x) = 1

Seno, coseno sono funzioni periodiche di periodo 2pi: si possono costru-ire funzioni periodiche di altri periodi ?Oggetto di riflessione possono essere le seguenti questioni:

Come si potrebbe approssimare il valore di sin(12345), suppo-nendo che 12345 sia la misura di un angolo in gradi ? E piu` grande cos(523) o cos2(523) o cos(5232) ?

65 Richiami sulle funzioni trigonometriche

Cosa pensare di tan(90) se 90 fosse la misura di un angolo inradianti ?

3. Formule goniometriche

E sempre vero che

f(2x) = 2 f(x) ?

Esplorare come, su esempi particolari possano riuscire vere ciascunadelle seguenti relazioni: sin(2x) = 2 sin(x)sin(2x) > 2 sin(x)sin(2x) < 2 sin(x)Servendosi delle formule di addizione

sin( + ) = sin() cos() + sin() cos()cos( + ) = cos() cos() sin() sin()

ricavare le formule per

sin(2x), cos(2x), sin(3x), cos(3x), ....

Tenuto presente che

sin(pi/3) =1

2, cos(pi/3) =

3

2

esaminare che forma di numeri reali producano espressioni del tipo

sin(mpi

3), cos(n

pi

3), sinr(m

pi

3) + coss(n

pi

3)

relative a m, n, r, s numeri naturali.

Per le applicazioni e opportuno osservare che, data lespressione

f(x) = a cos(x) + b sin(x)

sono determinati univocamente un numero A e un [0, 2pi) tali chex R : f(x) = A cos(x+ )

In effetti sviluppando il secondo membro e confrontando con lespres-sione di f(x) si ricava

a = A cos(), b = A sin(),a2 + b2 = A

Il valore e determinato dallequazione

tan() = ba

5. TRIGONOMETRIA 66

4. Grafici trigonometrici

Ricavare dai grafici di sin(x) e di cos(x) quelli di

sin(x), cos(2x), sin(3x 3), sin(x) + cos(x)Ricavare dal grafico di sin(x) + cos(x) le soluzioni dellequazione

sin(x) + cos(x) =1

2

Ricavare dai grafici di sin(x) e di cos(x) quello di tan(x) e quello di

tan(x+ 1)

Esaminare le differenze che si incontrano tra i grafici di sin(x) e sin(|x|)e tra quelli di cos(x) e cos(|x|)I grafici di

sin(1

x), x sin(

1

x), x2 sin(

1

x)

Problemi:Risolvere le seguenti equazioni

sin(x) =1

2, sin(x) + cos(x) =

2

2, sin(

1

x) =

1

2

5. Trigonometria

Teorema della corda: un segmento assegnato puo` essere vi-sto, da punti diversi, sotto angolazioni diverse, tutte uguali seci si muove su uno dei due archi di una circonferenza passanteper gli estremi del segmento. Che legame intercorre tra

lunghezza del segmento, raggio della circonferenza, funzioni goniometriche dellangolo di vista ?

Teorema dei seni: in un triangolo a lato maggiore si opponeangolo maggiore. Che legame intercorre tra la lunghezza dellato e le funzioni goniometriche dellangolo opposto ?

Teorema di Carnot: in un triangolo di lati a, b, c non sem-pre accade che a2 + b2 = c2, dipende dallangolo tra a e b !Come si modifica, in generale tale formula ?

Come si possono ricavare dai lati di un triangolo misure deisuoi angoli ?

67 Richiami sulle funzioni trigonometriche

6. I numeri complessi

Quali radici ha lequazione

x2 + 1 = 0 ?

e quali, in generale, le equazioni di secondo grado

x2 + p x + q = 0, p, q R ?I numeri reali si disegnano come punti di una retta:

... e i numeri complessi ?

Laritmetica dei numeri complessi:

somme, prodotti, quozienti.

confronti con

regola del parallelogramma per sommare vettori, rotazione e/o dilatazioni del piano.

Lesponenziale Indicato con

ei = cos() + i sin()

riesce, provare per credere,

ei ei = ei (+)

Dalla definizione di ei si possono dedurre tutte le formule trigonometriche:

dal sistema {ei = cos() + i sin()

ei = cos() i sin()si ricavano le espressioni di cos() e sin()

cos() =1

2

(ei + ei

), sin() =

1

2i

(ei ei

) dalla relazione (

ei )2

= e2i

si ricava

cos2() + 2i sin() cos() sin2() = cos(2) + i sin(2)da cui {

cos(2) = cos2() sin2()sin(2) = 2 sin() cos()

ecc. ecc.Esempio 6.1. Si voglia ricavare lespressione di

cos(3 + )

in termini di seni e coseni di e di .Ricordando che

cos(3 + ) =1

2

{ei(3+) + ei(3+)

}=

=1

2

{(cos() + i sin())3 (cos() + i sin()) + (cos() i sin())3 (cos() i sin())}

...poi si tratta di eseguire i prodotti...!

7. FORMULE DI PROSTAFERESI 68

7. Formule di prostaferesi

Dalle formule di addizione del seno e del coseno si ricavano, sommandoe sottraendo, le seguenti

sin( + ) + sin( ) = 2 sin() cos()sin( + ) sin( ) = 2 cos() sin()cos( + ) + cos( ) = 2 cos() cos()cos( + ) cos( ) = 2 sin() sin()

Indicati con

p = + , q = ovvero =

p+q2

= pq2

esse sono trascritte nella forma seguente, detta formule di prostaferesi :

sin(p) + sin(q) = 2 sin(p+q2

) cos(pq2

)

sin(p) sin(q) = 2 cos(p+q2

) sin(pq2

)

cos(p) + cos(q) = 2 cos(p+q2

) cos(pq2

)

cos(p) cos(q) = 2 sin(p+q2

) sin(pq2

)

In esse si nota la trasformazione del prodotto di due fattori

2 sin(p+ q

2) cos(p q

2)

in sommesin(p) + sin(q)

di due addendi ad essi collegati.Qualcosa di analogo a quanto si incontra servendosi dei logaritmi:

log(a b) = log(a) + log(b).

CAPITOLO 8

Disequazioni

1. Regole generali

E opportuno avere presenti le seguenti regole:

(1) a b a+ c b+ c c R; ne segue che si puo` portareun termine da un membro allaltro, cambiando segno.

(2) a b ac bc se c > 0

ac bc se c < 0In particolare a b se e solo se a b.

(3) a > 0 1a> 0, a < 0 1

a< 0.

(4) (a 6= 0, b 6= 0, a < b)

1

a>

1

bse a ed b sono concordi

1

a |a| b2 > a2 (b a)(b+ a) > 0.2. Soluzioni di disequazioni

Le soluzioni di una disequazione in una variabile o di un sistema didisequazioni in una variabile costituiscono un sottoinsieme di R gene-ralmente formato da un numero finito di intervalli e/o un numero finitodi punti di R.

Esempio 2.1. Consideriamo la disuguaglianza x2(x2 1) 0: e` facilericonoscere che lespressione assegnata si annulla in tre punti

x1 = 1, x0 = 0, x1 = 1Quindi almeno tali tre punti sono soluzioni della disuguaglianza. Deitre intervalli da essi determinati

(,1), (1, 1), (1,+)soddisfano la disuguaglianza il primo e il terzo.Pertanto linsieme delle soluzioni di x2(x2 1) 0 e`

(,1] {0} [1,+)unione di due intervalli e un punto isolato.

69

4. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE 70

3. Disequazioni irrazionali

Si dicono irrazionali le disequazioni che coinvolgono espressioni sottoradice. Consideriamo

A(x) < B(x).

Anzitutto, deve essere A(x) 0; inoltre, nelle regioni in cui B(x) 0,la disequazione non puo` essere soddisfatta; nelle regioni in cuiB(x) > 0,essendo entrambi i membri positivi, equivale a cio` che si ottiene ele-vando al quadrato.Pertanto

A(x) < B(x)

A(x) 0

B(x) > 0

A(x) < B2(x).

Analogamente si ha

A(x) B(x)

A(x) 0

B(x) 0

A(x) B2(x).Per quanto riguarda la disequazione opposta:

A(x) > B(x),

premesso che deve essere A(x) 0, essa e` vera nelle regioni in cuiB(x) < 0; nelle regioni in cui B(x) 0, equivale a cio` che si ottieneelevando al quadrato; in tal caso la disuguaglianza A(x) 0 e` implicitain A(x) > B2(x), e puo` essere omessa.Pertanto

A(x) > B(x) A(x) 0B(x) < 0 oppure

B(x) 0A(x) > B2(x).

Analogamente

A(x) B(x)

A(x) 0B(x) < 0 oppure B(x) 0A(x) B2(x).

4. Equazioni e disequazioni goniometriche

Risolvere lequazione tan(x) = 1: in quali triangoli si trovano angoli che soddisfino tale

equazione ? quanti numeri reali x [0, 1] soddisfano lequazione ?

71 Disequazioni

quanti numeri reali x [0, 2pi] soddisfano lequazione ? quanti numeri reali x R soddisfano lequazione ?

Risolvere lequazione tan (23x pi

5

)= 1 e` problema molto di-

verso dal precedente ? Cosa rappresentano le funzioni

arcsin(t), arccos(t), arctan(t) ?

Le soluzioni dellequazione sin(x) = 0.7 sono fornite da arcsin(0.7) ? Lequazione

3 sin(t) + 4 cos(t) = 5

e` molto diversa da unequazione della forma sin(t) = m ? Che legame intercorre tra il problema

3 sin(t) + 4 cos(t) 5e quello nel piano

3x+ 4y 5, x2 + y2 = 1, ?

5. La verifica

Risolta (o creduto di aver risolta) una disequazione e sempre consiglia-bile eseguire una verifica.La disequazione, di qualunque tipo, prevede un primo e un secondomembro, almeno uno dei due dipendente dalla x, che devono produrre,se calcolati in corrispondenza alle x soluzioni, valori ordinati nel modoprevisto dalla disequazione

il primo maggiore del secondo, o viceversa, oppure ancora il primo maggiore o uguale del secondo, o vice-

versa.

La verifica quindi consiste nel

scegliere almeno un x in ciascuno degli intervalli soluzionetrovati, calcolare in corrispondenza ad essi i valori del primo e secondo

membro della disequazione, verificare che i valori ottenuti soddisfino lordinamento previs-

to nella disequazione.

E invece quasi sempre inefficace verificare la correttezza della soluzionetrovata ribattendo i passaggi eseguiti per ottenerla: e infatti moltoprobabile che, rieseguendo i passaggi, si faccia lo stesso errore, algebricoo concettuale, eventualmente fatto prima.In altri termini la verifica, ovvero il collaudo della risposta ottenuta,deve essere fatta per una strada diversa per contare sulla sua efficacia.

6. ESERCIZI PROPOSTI 72

6. Esercizi proposti

(1) Risolvere le disequazioni

x3 2x2 x+ 2 > 0,13x3 + x2 41x+ 27 < 0,x3 + x 30 > 0

cercando radici delle equazioni corrispondenti e quindi fatto-rizzando.

(2)x 1x2 + x

> 0

Si considerino gli intervalli in cui il numeratore e il denomi-natore sono concordi: le soluzioni della disequazione propostasono lunione delle soluzioni di ciascuno dei due sistemi{

x 1 > 0x2 + x > 0

oppure

{x 1 < 0x2 + x < 0

(3)2x+ 1

x 2 3Si porti il 3 a primo membro e si riduca a ununica frazione.

(4)2(x+ 1)

x2 8x+ 15 x+ 5

x2 6x+ 5 3(x+ 1)

x2 4x+ 3Stesso suggerimento dellesercizio precedente, conservando lafattorizzazione del denominatore comune.

(5) 1 +8

x 1 1

x+ 2 0.

(6)

x 2x 1 >

x 3x+ 3

4x2 13 + x

< 0

(7) Per quali valori di R la radice x dell equazione 2x+1 = 3e` tale che 1 x 3?

(8) Studiare la funzione y = ax2 + bx + c. Che relazioni ci sonofra i coefficienti e le radici?

(9) Fissato , sotto quali condizioni per i coefficienti dell equa-zione ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0 risulta

a)x1 < < x2?b)x1 < x2 < ?

(10) Per quale limitazione su k, l equazione

x2 + 5x (2k 1) = 0ammette due radici: x1, x2, con x1 < 3 < x2?

(11) Per quale limitazione su k, l equazione x2+(23k)x(k54

) =

0 ammette due radici: x1, x2, con x1 < x2 < 2?

CAPITOLO 9

Strumenti utili

1. Software matematico

Un software molto adatto al primo ingresso nelluniversita` e attual-mente GeoGebra: si tratta di un prodotto

gratuito, http://www.geogebra.org/cms/it utilizzabile su Windows, Mac OS-X, Linux, continuamente aggiornato

che soddisfa le esigenze dei primi corsi di Analisi, di Geometria, diAlgebra.Le figure di questa Dispensa sono state realizzate con GeoGebra

Un altro prodotto, ancora gratuito, in grado di produrre ottimi graficiin due o tre dimensioni e Gnuplot.Lindirizzo Web e http://www.gnuplot.info/

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2. Alfabeto greco

minusc. Maiusc. nome minusc. Maiusc. nome A alpha B beta gamma delta E epsilon Z zeta H eta theta I iota K kappa lambda M mi (mu) N ni (nu) xio O omicron pi $ pi % P ro sigma T tau ipsilon phi X chi psi omega

73

Capitolo 1. Elementi di teoria degli insiemi1. Introduzione2. Operazioni tra insiemi3. Prodotto cartesiano4. Il complementare e le Regole di De Morgan5. I numeri naturali6. La cardinalit7. L'insieme delle parti

Capitolo 2. Le espressioni letterali1. Le formule2. Monomi3. I polinomi4. Alcuni prodotti notevoli5. Divisione tra polinomi6. Il procedimento elementare

Capitolo 3. Successioni finite1. Successioni aritmetiche2. Somma delle potenze di numeri naturali3. Somma delle potenze di successioni aritmetiche4. Successioni geometriche5. La curva di Koch o il fiocco di neve

Capitolo 4. Equazioni di primo o secondo grado1. Equazioni di primo grado2. Equazioni di secondo grado3. Equazioni con parametri4. Fattorizzazione di un polinomio

Capitolo 5. Esponenziale e logaritmi1. Potenze di 102. Logaritmi in basi diverse

Capitolo 6. Funzioni1. Prime definizioni2. Grafico di una funzione3. Funzioni monotone4. Massimo e minimo5. Funzioni pari, dispari, modulo6. Qualche equazione con il modulo7. Parte positiva, negativa8. Funzione composta9. Funzione inversa10. Funzioni periodiche

Capitolo 7. Richiami sulle funzioni trigonometriche1. Seno e coseno2. Angoli e triangoli3. Formule goniometriche4. Grafici trigonometrici5. Trigonometria6. I numeri complessi7. Formule di prostaferesi

Capitolo 8. Disequazioni1. Regole generali2. Soluzioni di disequazioni3. Disequazioni irrazionali4. Equazioni e disequazioni goniometriche5. La verifica6. Esercizi proposti

Capitolo 9. Strumenti utili1. Software matematico2. Alfabeto greco

LAMBERTI - Precorso Di Matematica (2013)

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