Calcolo letterale

67

Il calcolo letterale

Finora abbiamo studiato gli insiemi numerici ℜΖΝ ,,, Q ed operato con numeri

(espressioni numeriche).

In matematica però è molto importante saper operare con le lettere e sviluppare le regole di quello

che viene chiamato calcolo letterale.

Abbiamo già trovato, nello studio della geometria, delle espressioni “letterali” : per esempio se

vogliamo esprimere l’area del quadrato di lato l scriviamo A= 2l .

A = 2l

Questa scrittura è generale proprio perché fa uso di una lettera e non di un numero in particolare:

se poi vogliamo determinare l’area di uno specifico quadrato, per esempio di lato 5=l ,

sostituiremo il valore 5 al posto di l e otterremo l’area A = 25.

Anche l’area di un triangolo, di base b e altezza h viene indicata con A = 2

hb ⋅

Anche questa è un’espressione “letterale”.

Cominceremo con lo studio di quelle espressioni letterali che vengono chiamate monomi e

polinomi.

l

b

h

Calcolo letterale

Monomi

68

Monomi

Le espressioni letterali più semplici si chiamano “monomi” ( dal greco monos che significa

unico ) e sono costituite da lettere che vengono solo moltiplicate tra loro ed eventualmente per un

coefficiente numerico.

Esempio

Le espressioni letterali

ba 32 ; 24

3

1cba ; 32

5

2ba−

sono esempi di monomi.

Esempio

Le espressioni letterali ba −2 oppure ba 2− non sono monomi.

Osservazione

Lo stesso monomio può essere scritto in forme diverse.

Per esempio è chiaro che

ba 32 può anche essere scritto baaa ⋅⋅⋅⋅2 .

ma la prima scrittura si legge molto meglio !

Forma “normale” di un monomio

Diciamo che un monomio è ridotto a “forma normale” quando è scritto come prodotto fra un

numero ( chiamato coefficiente del monomio ) e una o più lettere (diverse tra loro) con eventuali

esponenti ( si chiama parte letterale del monomio )

ba 32

coefficiente parte letterale

Esempio : la forma normale di ( ) baba ⋅⋅−⋅ 22 23 risulta 336 ba−

Grado di un monomio

Si chiama “grado” del monomio la somma di tutti gli esponenti delle lettere: per esempio

ba 32

ha grado 413 =+ ( è di grado 3 rispetto alla lettera a e di grado 1 rispetto alla lettera b ).

Poiché anche un numero può essere considerato un monomio, diremo che ha grado 0 perché

possiamo sempre pensare che gli sia associata una parte letterale di grado 0 (che corrisponde a 1).

Esempio: 2 potrebbe essere considerato come 2 0a⋅ .

Calcolo letterale

Monomi

69

Operazioni con i monomi

Addizione e sottrazione di monomi

Supponiamo di dover sommare le aree in figura :

.4

5

4

11

42

222

2

2

2 aaa

aa

a =

+=+=

+

Quindi se i monomi hanno la stessa parte letterale (si dicono “simili”) per sommarli si

sommano i loro coefficienti e si considera come parte letterale la parte letterale dei due

monomi.

E se i monomi non sono simili?

Come faccio per esempio se devo sommare 23 32 aba + ?

Quando i monomi non sono simili non posso fare niente: la scrittura va lasciata così e sarà

chiamata “polinomio” ( dal greco polỳs che significa “molto” nel senso di molti termini ).

Esempi

1) abababababab2

3

2

26113

2

13

2

1 −=

+−=

+−=+− .

2) babababababa 222222

3

8

2

3161

3

12

3

12 +=

+−=

+−=+−

3) 055 =− xyxy

4) 424 2 baab − ( rimane così )

5) ( ) 432432443232

4

32

4

1113

4

13 abbaabbaababbaba +=

−+−=−+−

6)

7)

a

2

a

223

223223223223

4

3

4

52

4

5

2

1)12(

4

5

2

12

yxyx

yxyxyxyxyxyxyxyx

+=

=

+−+=

+−+−=+−−

( ) yxyxyxxyyxxyyxxy 22222 44051)2

3

2

3(5

2

3

2

3 =+=+−+−=+−−

Calcolo letterale

Monomi

70

Moltiplicazione di monomi

Come possiamo moltiplicare due monomi ?

Per esempio

( ) ( ) ?32 2 =⋅ aab

E’ chiaro che basta moltiplicare i coefficienti e la parte letterale.

Avremo ba 36 ⋅

32 ⋅ 2aab ⋅

Esempi

1) 3322

2

33

2

1babaab =⋅ .

2) 25410)2(5 yxxyyx −=−⋅

3) 23

3

1abbab =⋅

4) 4332

2

1)2( baabba =

−⋅−

Potenza di un monomio

Come possiamo sviluppare la potenza di un monomio?

Per esempio :

( ) ?222 =ba

Dovremo fare la potenza sia del coefficiente che della parte letterale. Nel nostro caso avremo:

( ) 24222 22 baba ⋅⋅=

potenza del coeff. potenza della parte letterale

Esempi

1) 6363

33

2

8

1

2

1

2

1babaab −=

−=

−

2) ( ) ( ) 6262223 422 yxyxxy =−=−

Calcolo letterale

Monomi

71

Divisione tra monomi

Possiamo dividere due monomi ?

Per esempio :

?:2 2 =abba

Quindi in questo caso abbiamo ottenuto un monomio.

Ma è sempre così ?

Se, per esempio, abbiamo :

?:2 32 =baba

aba

ba 223

2

=

e quindi in questo caso non abbiamo un monomio.

Diremo che un monomio è divisibile per un altro monomio (divisore) quando nella sua parte

letterale ci sono tutte le lettere del divisore con esponenti maggiori o uguali.

Esempi:

1) 2

2

424

3

2

3

23:2 b

ab

ababab ==

2) yyx

yxyxyx

2

1

10

510:5

3

23323 ==

3) ( ) 232

32

3

33:3 ab

ab

baabba −=−=−

4) 14

44:4

22

222222 ==

ba

bababa

5) baab

baabba 2

2323

3

1

9

39:3 ==

Calcolo letterale

Monomi

72

Massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra monomi

Come per i numeri naturali, possiamo definire il M.C.D. tra due o più monomi e il m.c.m. tra due

o più monomi.

Massimo comun divisore ( M.C.D. )

• come coefficiente del massimo comun divisore si prende il M.C.D. dei coefficienti se

sono interi ( senza considerare il loro segno ) e 1 se i coefficienti non sono tutti interi;

• come parte letterale del massimo comun divisore si prende il prodotto delle lettere

comuni prese una sola volta e con il minimo esponente.

Esempi M.C.D. 2232 2;3 acacbca =

M.C.D. 3324 4;2

1bccbabc =

Minimo comune multiplo (m.c.m. )

• come coefficiente del minimo comune multiplo si prende il m.c.m. dei coefficienti se

sono interi ( senza considerare il loro segno ) e 1 se i coefficienti non sono tutti interi;

• come parte letterale del minimo comune multiplo si prende il prodotto di tutte le lettere

dei monomi prese una sola volta e con il massimo esponente.

Esempi m.c.m. 4242 62;3 yzxxyzyzx =

m.c.m. 33 4;3

1xyyxy =

m.c.m. bcaaabc 33 44;2 =

m.c.m. 432432 5;2

1cbaabcba =

Calcolo letterale

Monomi

73

Il calcolo letterale in geometria

1) Consideriamo un quadrato di lato a3 . Come si esprime la sua area? Come risulta il suo

perimetro?

A = ( ) 2293 aa =

2p = aa 1243 =⋅

2) Consideriamo un rettangolo di base a3 e altezza a . Come risulta la sua area? E il suo

perimetro?

A = 233 aaa =⋅

a

2p = aaaaa 826223 =+=⋅+⋅

3) Considera un triangolo isoscele ABC di base aAB 6= e altezza aCH 4= . Come risulta la

sua area? E il suo perimetro?

A = 2122

46a

aa =⋅

Poiché aAH 3= e

( ) ( ) aaaaaaAC 52591634 22222 ==+=+=

2p = aaaaa 16106256 =+=⋅+

4) Considera un parallelepipedo rettangolo di dimensioni a2 , a3 , a4 . Come risulta la sua

superficie totale? E il suo volume?

2222 52124012410322422 aaaaaaaaapSSS baseBlt =+=+⋅=⋅⋅+⋅=⋅+=

324432 aaaaV =⋅⋅==

C

a3

a

a3

a

H

A B

Calcolo letterale

Monomi

74

ESERCIZI MONOMI

1) Quali tra le seguenti espressioni algebriche sono monomi?

a) -2x3y

6 b) x - y - 2 c) 7/2 d) a/b e) 0

2) Riduci a forma normale i seguenti monomi:

a) (-3x)(5xy)x b) aabbc5b3 c) (-a2b

3)(5b

4a

3) d) -x(-y)(-xy) e) (3bx)(3bx)(3bx)

3) Completa le seguenti frasi:

a)In un monomio i fattori letterali devono avere come esponenti dei numeri …………..

b)Si dice grado di un monomio la …………… degli ……………… della sua ………………..

c)Un numero è considerato un monomio di grado………………

d)Due monomi che hanno lo stesso ……………… e la stessa ……………… si dicono uguali.

4) Scrivi il grado di ciascuno dei seguenti monomi:

a) 3x2y b) 7a

4m

5p

9 c) abcd d) 9y e) 10/7

5) Completa la seguente tabella:

Monomio Coefficiente Parte letterale Grado

2xy

4 3

x2y

x/2

3 0

6) Completa la seguente tabella:

Monomio Uguale Simile Opposto

5ab3

6xyz

-abc2

+5x3y

5

x/2

7) Utilizzando le lettere a e b, scrivi tutti i monomi possibili di coefficiente 2 e grado 3.

8) Per scrivere un monomio di grado 4 sono indispensabili quattro lettere?

9) Quante lettere sono necessarie per scrivere un monomio di grado 3? Perché?

10) Può un monomio di grado 3 essere composto da quattro lettere? Perché?

Calcolo letterale

Monomi

75

11) ( ) 2232

1baabab +⋅

22

2

7ba

12) ( ) yxxyx 32 255

1 +−⋅

[ ]yx

3

13) ( ) )2(3

1

3

15 2 baaab −⋅+

−⋅

− ba 2

3

7

14) ( ) 22)()2(

4

12 abaaab ⋅−−

⋅ [ ]233 ba

15) ( ) )5

1()5(

2

12 2

2

3baabba −⋅+

⋅ [ ]23ba

16) ( ) ( ) )3(22

1 3622

3

2 baababba ⋅−⋅

−

− 58

2

7ba

17)

2

24

4

2

2

1

2

1

−−

yxyx

− 48

16

3yx

18) ( ) ( )

−⋅+−⋅

− 2222

2

5

13

3

1abaaab

24

5

4ba

19) ( ) ( )

⋅−

⋅− 632

6

13

4

12 xxyxyx

− yx 7

2

5

20) ( ) )3()()(2

1 22223baabaaa −⋅−+−+−

− 322

2

14 aba

21) ( )

−⋅++

−⋅−

− 222

4

12

2

1

2

12 xyxxyxxyyx [ ]0

22)

2

2

3

2

13)(

2

1

⋅+−⋅

− ababa

23

8

5ba

23)

−⋅−+ xxxx3

15)2( 2

2

3

32x

Calcolo letterale

Monomi

76

24) ( )

−⋅++

−⋅+− bababaab4

32)(

2

12 2224

[ ]abba 217 44 −

25) ( ) ( ) ( )233

2

9

12

3

1yyxxxyxyyx −⋅+

−⋅+−+−⋅

−

− yx 2

3

1

26) ( ) 4

2323

3

2

3

1:

3

2xyyyxyxyxy +

−−−

− [10xy4]

27) 3

2

2222332

2

2

3)9(:)3()(

2

5baabbabaabab ⋅

−+−−⋅

−

− 24

9

1ba

28) abbaabbaba2

1:)2()3()]2([ 222222 −+−⋅−− [ ]33

ba−

29) baabccabaab 3222 6)4

1:4()2(3 −+− [ ]ba

322

30) ( ) ( ) )(:2:9

13 222322 xyxxxyyxxy −+−

−−

−

− 2

3

4xy

31) ( )3

2

222

12 ababaa −−⋅

− [ 35144 ba− ]

32) ( ) ( )babaaba 235

3

2:

2

12

−

⋅− [ 23

2

1ba− ]

33) ( )22 2:4

9

3

4abbaab −

−⋅

− [ a4

3 ]

34) ( ) ( )2

24234:

3

43

−⋅− babaa [ 633 ba− ]

35) ( )[ ] ( ) ( )33232

222 xxyxy −−−⋅− [ 36x− ]

36) ( ) ( ) ( ) 332

3

23:

2

12: aaxaxxax −⋅+

−⋅+−− [ xa 3

8

11− ]

37) ( ) baabbbaaaab 222

2

124

2

12 +⋅

−+⋅−+

−⋅ [ ba 215 ]

Calcolo letterale

Monomi

77

38) ( ) ( )[ ] ( ) ( )aaaaaaa −⋅+−+−+−− 232522: [ 35a− ]

39) ( ) 4

2323

3

2

3

1:

3

2xyyyxyxyxy +

−−⋅−⋅

− [ 410xy ]

40) ( ) ( ) ( ) ( )224

22322352 2

2

1:23: aaaaaaaa −−+

−+−+⋅− [ 425a ]

41) ( ) ( )22232 44

5

5

4yxyxyxxy ⋅−+

−⋅ [ 345 yx− ]

42) ( )

⋅

−−−⋅ 222

2

9

3

12

4

3aaxaxxa [ 0 ]

43)

−⋅+

−⋅−

−⋅ 2322222332

2

5

5

1

4

12

9

8

2

3yayayayayaay [

43

3

4ya− ]

44) ( ) ( )yxyxxyxyxyx −⋅−−⋅+

−⋅+

−⋅+4

72

3

13

4

12 22 [ 2

2

1xy ]

45) ( )

−⋅

⋅−+−⋅+

−⋅− xaxaxaaxxaxxa2

1

4

3

3

22

3

1

2

1

3

1 425323243 [ 53

4

3xa ]

46) ( ) ( )2

3

34 :3

13:

3

1ababbab −

−−−− [ ab81

4 ]

47) ( )

−

+

−−⋅

− 5

2

322

16

5:

4

5

4

15:3

3

5ababaaab [ ab− ]

48) ( )[ ] ( )yxyyxxyyx 22332 3::65

1:

5

2 −−−

− [ 0 ]

Calcolo letterale

Monomi

78

PROBLEMI MONOMI

1) Il lato di un quadrato ABCD misura l. Determina l’area della parte tratteggiata. [ 2

8

3l ]

2) Il lato del quadrato ABCD misura 3a. Determina l’area della parte tratteggiata. [ 2

2

7a ]

3) Sapendo che aOA = , determina la lunghezza della curva in figura e l’area racchiusa.

[ 2

3

2;2 aa ππ ]

4) Determina lunghezza e area racchiusa dalla curva.

[ 2

2

21;714 rrr ππ+ ]

Calcolo letterale

Monomi

79

5) In un cilindro il raggio il raggio di base è 3a e l’altezza è 12a. Determina volume e superficie

totale.

[ 23 90;108 aa ππ ]

6) Le dimensioni di un parallelepipedo rettangolo sono 2a, 5a, 8a. Determina volume e

superficie totale.

[ 23 132;80 aa ]

7) In un cilindro l’altezza è uguale al diametro. Se il raggio è r, determina volume e superficie

totale.

[ 23 6;2 rr ππ ]

8) Un cubo ha lo spigolo che misura 5a. Determina volume e superficie totale. Calcola volume e

superficie totale nel caso in cui a = 2 cm.

[ ]600;1000;150;125 2323 cmcmaSaV tot ==

9) Un triangolo rettangolo ha i cateti che misurano 6a e 8a. Determina perimetro e area del

triangolo.

[ ]24;24 2aa

10) Le dimensioni di un parallelepipedo rettangolo sono aaa8

5;

3

2;2 . Determina volume e

superficie totale e calcolane i valori se a = 3cm.

[ ]54;2

45;6;

6

5 2323 cmcmaa

11) Con i dati della figura trova il perimetro e l’area della zona colorata.

[ a10 ; ]25a

12) In un triangolo isoscele la base misura a10 e il lato obliquo a13 . Determina perimetro e area.

[ a36 ; ]260a

13) Considera un prisma a base quadrata il cui spigolo di base è a3 e l’altezza a6 . Determina

superficie totale e volume.

[ 290a ; ]354a

14) Considera un cilindro di raggio a e altezza a3 . Determina superficie totale e volume.

[ 28 a⋅π ; ]33 a⋅π

a

a

a3

a

Calcolo letterale

Polinomi

80

Polinomi

Un polinomio è una somma algebrica di monomi.

Esempio: 23322 ;2

1;2 cbayxyaba ++−+ sono polinomi.

I vari monomi che compongono il polinomio si chiamano “termini” del polinomio.

Un monomio può anche essere considerato come un polinomio con un solo termine.

NOTA: se in un polinomio ci sono monomi simili questi si sommano e il polinomio si dice

ridotto a forma normale.

Esempio: 2222 426 yxababyxab −=−−

Definizione: se un polinomio ridotto a forma normale ha 2 termini, cioè è costituito da 2 monomi,

si chiama binomio, se è costituito da 3 monomi si chiama trinomio.

Esempio: ba +2 è un binomio

322 cba ++ è un trinomio

Definizione: il grado di un polinomio è il grado del suo termine di grado maggiore.

Esempio: 23 xyyx − ha grado 4

Definizione: il grado di un polinomio rispetto ad una lettera è il massimo degli esponenti con cui

compare quella lettera.

Esempio: 23 xyyx − ha grado 3 rispetto alla lettera x e grado 2 rispetto alla lettera y.

Termine “noto” di un polinomio: è il termine di grado 0 cioè il termine in cui non compare

nessuna lettera.

Esempio: 22 +ba 2 è il termine noto

Polinomio omogeneo: un polinomio si dice omogeneo quando tutti i suoi termini hanno lo stesso

grado.

Esempio: 3223 3 abbaba ++ è un polinomio omogeneo poiché tutti i suoi termini hanno

grado 4.

Calcolo letterale

Polinomi

81

Operazioni con i polinomi

Addizione tra polinomi

La somma tra due o più polinomi è il polinomio che ha per termini tutti i termini dei polinomi

addendi.

Esempio: ( ) ( ) =+−++=+−++ 322322 4242 xyxxyxyyxxyxxyxyyx

(si riduce sommando i termini simili) 32 33 xxyyx ++−=

Differenza tra polinomi

La differenza tra due polinomi si ottiene sommando al primo polinomio l’opposto del secondo (si

cambia il segno dei coefficienti del secondo).

Esempio: ( ) ( ) =−+−+=+−−+ 322322 4242 xyxxyxyyxxyxxyxyyx

325 xxyyx −−=

Per indicare addizione e sottrazione tra polinomi si parla di somma algebrica.

Moltiplicazione di un monomio per un polinomio

Per moltiplicare un monomio per un polinomio si applica la proprietà distributiva della

moltiplicazione rispetto all’addizione e si moltiplica il monomio per ciascun termine del

polinomio.

Esempio:

Moltiplicazione tra due polinomi

Si moltiplica ogni termine del 1° polinomio per ogni termine del 2° e si sommano i risultati

(sempre per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione).

Esempio: ( ) ( ) ( ) ( ) 22322 315533535 babbaababbaababa +++=+⋅++⋅=+⋅+

Nota: il grado del prodotto è la somma dei gradi dei polinomi fattori (per la proprietà delle

potenze).

Nota: per moltiplicare tre polinomi prima si moltiplicano due polinomi e il risultato si moltiplica

per il terzo.

Esempio:

( )( )( ) ( )( )( )( )

81442

82164824242

422224221

23

2232

2

−−−=−+−+−=−++

=−+++=−++

xxx

xxxxxxxx

xxxxxxx

Calcolo letterale

Polinomi

82

Divisione di un polinomio per un monomio

Polinomio divisibile per un monomio

Consideriamo la seguente divisione:

( ) 223 :2 aaba +

Per la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione ho:

2a3b : a2( )+ a2 : a2( )= 2ab +1

Quindi in questo caso, essendo ogni termine del polinomio divisibile per il monomio, il polinomio

risulta divisibile per il monomio.

2a3b + a2( ): a2 = 2ab +1

Quindi: 2ab +1( )⋅ a2 = 2a3b + a2 cioè se

si ha Q⋅ B = A

Polinomio non divisibile per un monomio

Consideriamo la seguente divisione

( ) 323 :2 aaba +

In questo caso il polinomio non è divisibile per a3 poiché il suo 2° termine a2 non è divisibile per

a3 . Possiamo anche scrivere 2a3b + a2

a3= 2b +

1

a ma non si tratta di un polinomio.

Esempi

1) ( ) xyxxxyx +=+ 22223 :

2) ( ) 23:23 2 −=− abbbab

3) ( ) ( ) ( ) 2102

1:

2

1:5

2

1:5

2

1:72 2222 −=

−+

−−=

−+−=

−+− aaaaaaaaaaaaa

4) ( ) ( ) ( ) ( )2

1

4

32:2:

2

32:

2

33:

2

1 −−=−+−=−

+=−

++ baaaabaaabaaaabab

Calcolo letterale

Polinomi

83

Prodotti notevoli

Nella moltiplicazione dei polinomi ci sono dei casi particolari che conviene ricordare. E sono

chiamati “prodotti notevoli” cioè degni di nota.

Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

Consideriamo per esempio:

( )( ) 2222 422422 babababababa −=−+−=−+

In generale si ha:

( )( ) 2222 BABABABABABA −=−+−=−+

cioè si ottiene sempre la differenza tra il quadrato del 1° monomio e il quadrato del 2° monomio

( )( ) 22 BABABA −=−+

Esempi

1) ( )( ) 111 2 −=−+ aaa

2) ( )( ) 22 2595353 bababa −=−+

3) 22

4

1

2

1

2

1yxyxyx −=

+

−

4) ( )( ) ( )( ) 22 yxyxyxxyyx −=−+=+−+

5) ( )( ) ( )( ) 2293333 bababaabba −=+−=+−

6) ( )( )( ) ( )( ) 111111 4222 −=+−=++− aaaaaa

Calcolo letterale

Polinomi

84

Quadrato di un binomio

Consideriamo per esempio:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )22

22

222

222

44

224222

bbaa

baba

babababababa

+⋅⋅+=

=++=

=+++=++=+

In generale si ha:

( ) ( )( )22

222

2 BABA

BABABABABABA

++=

=+++=++=+

In conclusione:

( ) 2222 BABABA ++=+

Quindi il quadrato di un binomio risulta uguale alla somma tra il quadrato del 1° termine, il

quadrato del 2° termine e il doppio prodotto tra il 1° termine e il 2° termine del binomio.

Esempi

1) x + y( )2 = x 2 + 2xy + y 2

2) x − y( )2 = x 2 + 2 x( ) −y( )+ −y( )2 = x 2 − 2xy + y 2

3) 1

2x + y

2

=1

4x 2 + 2⋅

1

2x⋅ y + y 2 =

1

4x 2 + xy + y 2

Interpretazione geometrica

a + b( )2 = a2 + 2ab + b2

Il quadrato di lato a+b è dato dall’unione del quadrato

di lato a, del quadrato di lato b e di due rettangoli di

lati a e b (e quindi area 2ab)

Calcolo letterale

Polinomi

85

Nota

Vediamo come risulta il quadrato di un trinomio:

A + B + C( )2 = A + B + C( ) A + B + C( ) =

= A2 + AB + AC + BA + B2 + BC + CA + CB + C2 =

= A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC

Quindi il quadrato di un trinomio è dato dalla somma tra quadrato del 1° termine, quadrato del 2°

termine, quadrato del 3° termine e il doppio prodotto tra il 1° e il 2° termine, il doppio prodotto

tra il 1° e il 3° termine e il doppio prodotto tra il 2° e il 3° termine.

Esempio

3a − b − 2c( )2 =

= 9a2+b2 + 4c 2 + 2⋅ 3a( )⋅ −b( )+ 2⋅ 3a( )⋅ −2c( )+ 2⋅ −b( )⋅ −2c( ) =

= 9a2+b2 + 4c 2 − 6ab −12ac + 4bc

Cubo di un binomio

Sviluppiamo il cubo di un binomio:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )3223322223

2223

3322

2

BABBAABABABBABAA

BABABABABABABABABA

+++==+++++=

=+++=++==+++=+

In conclusione:

( ) 3223333 BABBAABA +++=+

Quindi il cubo di un binomio risulta la somma tra cubo del 1°termine, cubo del 2°termine, triplo

prodotto tra il quadrato del 1°termine e il 2°termine, triplo prodotto tra il 1°termine e il quadrato

del 2°termine.

Esempi

1) 2a + b( )3 = 8a3 + b3 + 3⋅ 2a( )2 ⋅ b( )+ 3⋅ 2a( )⋅ b( )2 = 8a3 + b3 +12a2b + 6ab2

2) 2a − b( )3 = 8a3 + −b( )3 + 3⋅ 2a( )2 ⋅ −b( )+ 3⋅ 2a( )⋅ −b( )2 = 8a3 − b3 −12a2b + 6ab2

Calcolo letterale

Polinomi

86

Introduzione alla scomposizione dei polinomi

E’ molto importante riuscire a scrivere, se è possibile, un polinomio come prodotto di polinomi di

grado minore: si parla di “scomposizione” del polinomio così come si parla di scomposizione in

fattori di un numero naturale.

Impariamo a scomporre un polinomio ripercorrendo “a ritroso” la moltiplicazione di un monomio

per un polinomio (sarà quello che chiameremo metodo del raccoglimento totale), la

moltiplicazione tra due polinomi (sarà quello che chiameremo metodo del raccoglimento parziale)

ed alcuni prodotti notevoli.

Vediamo alcuni esempi.

Raccoglimento totale

Consideriamo per esempio il polinomio xx 42 2 + : ci accorgiamo che tutti i termini del polinomio

sono divisibili per x2 e quindi “raccogliendo” x2 ( si dice anche che lo “mettiamo in evidenza”)

abbiamo:

( )2242 2 +⋅=+ xxxx

Praticamente nella parentesi dopo il fattore comune scriviamo i termini ottenuti dividendo i

termini del polinomio per il fattore comune x2 : stiamo tornando indietro rispetto alla

moltiplicazione di un monomio per un polinomio.

Nota: è importante capire che possiamo mettere in evidenza anche un polinomio e non solo un

monomio.

Se per esempio abbiamo ( ) ( )14122 +++ xx in questo caso il fattore comune è ( )12 +x ed

abbiamo

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )312211214122 ++=+++=+++ xxxxxx

Raccoglimento parziale

Consideriamo per esempio il seguente polinomio:

xyxyx +++ 233

In questo caso i vari termini non hanno tutti un fattore comune ma se proviamo a raccogliere 3 tra

i primi due termini e x tra il terzo e quarto (per questo si parla di raccoglimento parziale)

osserviamo che otteniamo il fattore comune ( )yx + che possiamo così mettere in evidenza:

( ) ( ) ( )( )xyxyxxyxxyxyx ++=+++=+++ 3333 2

Perché questo metodo funzioni è necessario che dopo il raccoglimento parziale si possa procedere

con un raccoglimento totale, cioè è necessario ottenere un fattore comune.

Praticamente è come se fossimo tornati indietro rispetto alla moltiplicazione tra due polinomi: se

infatti svolgiamo il prodotto ritroviamo il polinomio iniziale

( ) ( ) xyyxxxyx +++=+⋅+ 333 2

Calcolo letterale

Polinomi

87

Scomposizione con i prodotti notevoli

Differenza di due quadrati

Se consideriamo il prodotto notevole ( ) ( ) 22 BABABA −=−⋅+ ma lo leggiamo da destra verso

sinistra abbiamo che

( ) ( )BABABA −⋅+=− 22

Esempi

1) Consideriamo il polinomio 22 yx −

Possiamo scrivere ( ) ( )yxyxyx −⋅+=− 22

2) Consideriamo il polinomio 21 y−

Anche in questo caso possiamo considerare 1 come il quadrato di 1 e scomporre con lo stesso

prodotto notevole:

( ) ( )yyy −⋅+=− 111 2

3) ( ) ( )bababa −⋅+=− 224 22

Quadrato di un binomio

Se consideriamo lo sviluppo del quadrato del binomio ( ) 2222 BBAABA +⋅+=+ ma lo

leggiamo da destra a sinistra abbiamo che

( )222 2 BABBAA +=+⋅⋅+

Esempi

1) Consideriamo il polinomio 22 2 yxyx ++

Possiamo riconoscere lo sviluppo del quadrato di un binomio dal momento che ci sono due

quadrati e che il termine rimanente è proprio il doppio prodotto delle due “basi” x e y .

Quindi abbiamo

( )222 2 yxyxyx +=++

2) Consideriamo il polinomio 122 ++ aa : anche in questo caso ci sono due quadrati ( 2a è il

quadrato di a e 1 è il quadrato di 1) e il terzo termine è proprio il doppio prodotto tra a e 1.

Quindi

( )22 112 +=++ aaa

3) Consideriamo 144 2 +− bb : in questo caso, essendo il doppio prodotto -4b sarà il quadrato

della differenza tra le due “basi”cioè

( )22 12144 −=+− bbb

Cubo di un binomio

( )33223 33 BABABBAA +=+++

Esempi

1) ( )323 1133 +=+++ xxxx

2) ( )323 1133 −=−+− xxxx

Calcolo letterale

Polinomi

88

Nota

A volte per scomporre un polinomio dobbiamo usare più metodi in successione.

Esempi

1)Consideriamo il polinomio 33 2 −x : possiamo mettere in evidenza il fattore 3

( )1363 22 −=− xx

ma vediamo che abbiamo ottenuto 12 −x che risulta una differenza di quadrati e quindi può

essere scomposto e quindi in conclusione abbiamo:

( ) ( ) ( )1131333 22 −⋅+=−=− xxxx

2) Consideriamo il polinomio 44 yx − : possiamo considerarlo come differenza di quadrati e

scrivere

( )222244 )( yxyxyx −⋅+=−

ma ci accorgiamo che possiamo ancora scomporre 22 yx − sempre utilizzando la differenza di

quadrati e quindi abbiamo:

( ) ( ) ( ) ( )yxyxyxyxyxyx −⋅+⋅+=−⋅+=− 22222244 )(

3) Consideriamo il polinomio 484 2 +− xx : possiamo mettere in evidenza il fattore 4

( )124484 22 +−=+− xxxx

ma ci accorgiamo che possiamo ancora scomporre perché 122 +− xx è il quadrato di un binomio

e quindi in conclusione:

( ) ( )222 14124484 −=+−=+− xxxxx

4) Consideriamo il polinomio baaba 32 3322 −+− : possiamo effettuare un raccoglimento

parziale

( ) ( ) ( )( )abaaababaaba 32113123322 22232 +−=−+−=−+−

ma ci accorgiamo che possiamo ancora scomporre il fattore 21 a− con il metodo della differenza

dei quadrati e quindi in conclusione abbiamo:

( )( )( )abaabaaba 32113322 32 +−+=−+−

Calcolo letterale

Polinomi

89

ESERCIZI POLINOMI

1) ( ) ( )223254 2223 −+−++− xxxx [ 23 64 xx − ]

2) ( ) ( )aaaaaa 2352368 3535 +−+−++− [ 2533 35 −++− aaa ]

3) ( ) ( )75231253 2323 −+−−+−+ aaaaaa [ 877 2 +− aa ]

4) ( ) ( ) ( )333223 4543 yxxyyx −+−+− [ 32 yy − ]

5) ( ) ( ) ( ) ( )13122323 −−−+−−+−− xxxx [ 45 −x ]

6) ( ) ( ) ( ) xyxyyxxyxx −−−−−−+ 21 22 [ yxx 22 23 +− ]

7) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )332 921322232 aaaaaaaa −−−−−⋅−−− [ 38a− ]

8) ( ) ( ) ( )[ ] ( )12332 4323 −−−−⋅−− xaxxxaxx [ ax2 ]

9) ( )( ) ( )( )214323 +−+−+ aaaa [ 87 2 −a ]

10) ( )( ) ( )( )321112 −−−+− aaaa [ 46 −a ]

11) ( )( ) ( )( )122 533 −+−−+ aaababa [ 225 4baaa −+− ]

12) ( )( ) ( )yxyyxyx 81169494 232222 −−−+ [ 324 1616 yxx − ]

13) ( )( )( )22 bababa +−+ [ 44 ba − ]

14) ( ) ( )( )132523 −+−+ aaaaaa [ aaa 62613 23 ++ ]

15) ( )( ) ( )( )yxyxyxyx 5235423 −+−−− [ xyyx 5237 22 ++− ]

16) ( )( )

+

++−+3

1

3

1

2

131331

2

3aaaaa [

3

1

2

3

2

27 23 ++ aa ]

17) ( )( ) ( )( ) ( )( )xxxxxx −−+−−+−+ 452431523 [ 33410 2 −− xx ]

Calcolo letterale

Polinomi

90

18) ( )( ) ( )( )babababa −+++− 4322 [ ]abba 2103 22 +−

19) ( )( ) ( )( )231321 +−+−− aaaa [ ]562 −+ aa

20) ( ) ( )

−++−

− 12

11432

2

12 xxxx [ ]224 2 −+− xx

21) ( )( ) ( )( )babababa +−−−+ 224 [ ]abba 333 22 +−−

22) ( )

+

−−+

+−2

321

21

2

3a

aaa

++− 34

72 2 aa

23) ( )( ) ( )( )bbababa −−++−−+ 3123 [ ]34522 22 −+−+ baab

24) ( ) ( )( ) ( ) aaabababaa2

314412

2

3 −−−−++−−−+

++− bbab 42

7 2

25) ( )( ) ( ) ( )abbbaababa 24222 −−−+−+− [ ]0

26) ( )( ) ( )( )bababbabaa −+−+− 232 [ ]baabba 2233 652 −−+

27) ( ) ( )( ) ( )xyxyxxxyxx −−−+−−+ 23

4121

3

2 22

+− xyx 23

8 2

28) ( )( ) ( ) ( )yxxyxyyxyx 2322

12 2222 +−−++−

−−−− 2233

2

142 xyyxyx

29) 222

222

3

2

552

3

202

5

1

2

3yx

xyxyyxyxxy −

−−

+

− [ ]22 yx

30) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]xyyxyxyxyxyxx 323121412222 ++−−−++−−+−−+ [ ]0

Calcolo letterale

Polinomi

91

Prodotti notevoli

31) 3x x + 2( )− x −1( )− x + 3( ) x − 3( )− 2x 2 [ 5x +10]

32) 3a2 + 2a − 5b( ) 2a + 5b( )− b a − 3b( )+ 22b2 + ab [ 7a2]

33) 1 − 2x( )2 + x + 2( )2 − 5 x 2 − 2( ) [15]

34) 1

2− a

2

− 3 a −1

2

a +

1

2

+ 2 a −1( )2

[ 3 − 5a]

35) 3

2a − 2b

2

− −1

2a + 3b

2

− 2 −a( )2 [ −3ab − 5b2]

36) a −1( )2 − a −1( ) a +1( ) a2 −1( )+ a2 +1( )2

[ 5a2 − 2a +1]

37) x + 3( )2 − 6 + x( ) x − 6( )− 1− x( )2 + x x − 8( ) [ 44]

38) x + a + 2( )2 − x + a( )2 − 4 2 + x + a( ) [ −4]

39) ( ) ( )( ) ( ) ayaaya 221112122 −+−+−−++ [1+ 4ay ]

40) a3 − −b( )3 − a + b( )3 −1

3a 3b +1( ) 1 − 3b( ) [ −3a2b −

1

3a]

41) x − 2y( )3 − 2x − y( )3 − 6xy x + y( )+ 7y 3 + 8x 3 [ x 3]

42) x + y( )2 − 2y x − y( )− x + y( ) y − x( ) [ 2x 2 + 2y 2 ]

43) a2 + b2( ) a2 − b2( )− a2 + b2( )2

+ 2a2 a2 + b2( ) [ 2a4 − 2b4 ]

44) x +1( )3 + 3 x +1( )2 + 3 x +1( )+1 [ x 3 + 6x 2 +12x + 8]

45) 2a + x − 2( )2 + 4a 2 − x( )− x − 3( )2 − −2a( )2 − 5[ ] [ 2x ]

Calcolo letterale

Polinomi

92

46) ( )( ) ( )21233 +−+− aaa [ 1043 2 −−− aa ]

47) ( )2

2

1

2

1

2

1yxxyyx ++

+

− [ xyyx +− 22

2

1

4

3 ]

48) ( )( ) ( )( )yxyxxyyx −+−−− 22 [ xyyx 432 22 +−− ]

49) ( ) ( )959

211

3

11

3

1 2 −−−+

−

+ aaaaa [ 0 ]

50) ( )2

21

2

312

−+− xx [ 274

25 2 +− xx ]

51) ( ) ( ) xyyxyx 82222 −−−+ [ 0 ]

52) 222

222

yyx

yx −

++

− [ 22x ]

53) ( )( ) ( )2323232 yxyxyx +−+− [ xyy 1218 2 −− ]

54) ( )( ) ( )2111 ++−+ xyxyxy [ 22 +xy ]

55) ( ) ( )( ) 6122 22222 −−+−−− aaaa [ 24a− ]

56) ( ) ( )( ) ( )2222222 232333 yxyyyxyxyx +−−−+−− [ 0 ]

57) ( ) ( )( ) 22844232 xyyxyxxyxx +−++− [ yxx 23 2419 − ]

58) ( ) ( )( ) ( )22545335235 abaabaaabaab +++−−− [ baa 22 1043 + ]

59) ( )( )[ ] ( ) ( )( )32322

3211

222 +−++−−+ xxxxx [2

33− ]

60) ( )( ) ( )2111 ++−+− xyxyxy [ ]22 +xy

Calcolo letterale

Polinomi

93

Scomposizione di polinomi

Scomponi mettendo in evidenza il fattore comune

61) yx 63 + ; yaxa 33 − ; xx 43 +

62) 234 248 aaa +− ; 22 963 yxxy −+ ; abba −2

63) 242 aab − ; aa

2

1

2

1 3 + ; 2242 aaax +−

64) yxyx 15105 +− ; aaya 18927 2 −+− ; 223 396 abaa ++−

65) ( ) ( )233 yxyx +−+ ; ( ) ( )baba −−− 2

; ( ) ( )2232 3232 yxyx −+−

Scomponi con il metodo del raccoglimento parziale

66) 155 +−− ayay [ ( )( )115 −− ya ]

67) 2222 1 yxyx +++ [ ( )( )11 22 ++ yx ]

68) 81223 2 −+− ababa [ ( )( )423 +− aab ]

69) 72612 23 +++ xxx [ ( )( )612 2 ++ xx ]

70) bybxayax 2525 +++ [ ( )( )bayx ++ 25 ]

71) abbyay +−− [ ( )( )1+− yba ]

72) ( ) bxaxba −−+ 2 [ ( )( )xbaba −++ ]

73) 1234 +−− yaay [ ( )( )34 −− ay ]

74) 6342 −−+ axax [ ( )( )322 −+ xa ]

75) 2222 bybxybabxa +++ [ ( )( )221 yaxb ++ ]

76) xyyxxx 44 324 −−+ [ ( )( )yxxx −+ 42 ]

Calcolo letterale

Polinomi

94

Scomponi utilizzando i prodotti notevoli

77) 22 49 yx − ;

229 ba−

78) 22 94 yx − ; 4

125 86 −ba

79) 281 a− ; 4216 ax −

80) 169 2 ++ xx ; 22 44 baba ++

81) 133 23 −+− yyy ; 133 23 +++ yyy

82) 442 +− xx ; 366025 2 +− xx

83) 144 2 −− aa ; yy 34

19 2 −+

84) 142 +− xx ; 221 xx +−

85) 14

1 22 +− abba ; 125 2 −x

86) 8126 23 −++ aaa ; 16128 23 −+− aaa

87) 244 bb +− ; 169 2 +− aa

88) 16128 23 +++ xxx ; 2233 1268 xyyxyx +−−

89) 2233

3

1

27

1xyyxyx +++ ; 27279 2233 −+− abbaba

90) 22 9ba − ; 2

4

1xx +−

Calcolo letterale

Polinomi

95

Scomponi combinando più metodi

91) 22 22 xyxy +−− [ ( )( )( )211 −−+ yxx ]

92) 1246 −+− xxx [ ( )( )( )111 4 +−+ xxx ]

93) 224 12123 aaxx +− [ ( )22 23 ax − ]

94) 24 844 aa −+ [ ( ) ( )22114 −+ aa ]

95) ( )222 3 yxyx −−− [ ( )( )yxxy −−22 ]

96) yxyxx −−+ 23 [ ( )( )( )yxxx ++− 11 ]

97) 77 4 −x [ ( )( )( )1117 2 ++− xxx ]

98) xxbxb 242 2 −−− [ ( )212 +− bx ]

99) 345 2510 xxx +− [ ( )23 5−xx ]

100) 22 222 yxyxyx ++++ [ ( )( )yxyx +++ 2 ]

Calcolo letterale

Polinomi

96

PROBLEMI POLINOMI

1) Problema svolto

Determina perimetro e area della figura tratteggiata.

Svolgimento

Determiniamo per differenza aAE 2=

Quindi il perimetro della figura tratteggiata sarà babab

ab

ap 26322

22 +=+++++=

Osserviamo che risulta uguale al perimetro del rettangolo ABCD.

Per determinare l’area della figura tratteggiata basta sottrarre all’area del rettangolo ABCD l’area

del rettangolo EBGF. Otteniamo quindi:

abababb

abaA2

5

2

13

23 =−=⋅−⋅=

2) Determina perimetro e area della figura tratteggiata.

[ abAbap 16;6122 =+= ]

3) Determina perimetro e area del rombo in figura sapendo che aBDaAC 8;6 == .

[ 224;202 aAap == ]

Calcolo letterale

Polinomi

97

4) Considera un rettangolo R di dimensioni a e b . Se a viene aumentato del 50% e b viene

diminuito del 50% come risulta l’area del nuovo rettangolo R’? Come risulta rispetto all’area

di R?

[ RRR AAabA4

3;

4

3'' == ]

5) Determina l’area della zona tratteggiata.

[ 214a ]

6) Determina l’area di un esagono regolare di lato a2 .

[ 236 aA = ]

7) Considera un quadrato di lato 4a e determina l’area della zona tratteggiata .

[ 25aA = ]

8) Un parallelepipedo rettangolo ha dimensioni a, 2a, 3a . Calcola il suo volume V. Aumenta di

1 tutte le dimensioni e calcola il nuovo volume V’.

[ 16116';6 233 +++== aaaVaV ]

Calcolo letterale

Polinomi

98

9) Calcola l’area A della zona tratteggiata.

[ 22 baA += ]

10) Calcola l’area del quadrato ABCD di lato 32 += aAB e l’area del quadrato A’B’C’D’

ottenuto congiungendo i punti medi. Come risulta l’area di A’B’C’D’ rispetto all’area di

ABCD ?

[ ( ) ( ) aaDCBAAaaABCDA 62

92'''';1294 22 ++=++= ]

11) Determina perimetro e area del trapezio ABCD.

[ 215;182 aAap == ]

Calcolo letterale

Polinomi

99

SCHEDA PER IL RECUPERO MONOMI E POLINOMI

1. ( ) ( ) ( )233

2

9

12

3

1yyxxxyxyyx −⋅+

−⋅+−+−⋅

− [ ]3

1 2 yx−

2. ( ) ( ) ( )xyxxxyyxxy −+−−⋅−

⋅− :2:]9

13[ 222322 [ ]

3

4 2xy−

1. In un triangolo isoscele la base misura a10 e il lato obliquo a13 . Determina perimetro e

area del triangolo.

[ ]60;36 2aa

2. Un quadrato ha lato che misura a4 . Calcola perimetro, area e misura della diagonale.

[ ]24;16;16 2 aaa

3. Considera un triangolo equilatero di lato b3 . Determina perimetro e area del triangolo.

[ ]34

9;9 2bb

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxx −⋅−+−⋅−+−⋅+ 452431523 [ ]33410 2 −− xx

7. ( )2

2

122

1

2

13

2

1 −⋅+

+⋅

−⋅−

− aaaa [ ]53 a−

8. ( ) ( ) ( )bababa −⋅+−− 22 [ ]45 2 abb −

9. ( ) ( )232 :2 baaabba −++ [ ]322 bba ++

10. ( ) ( ) ( ) ( )323222 babababa −−+⋅−−− [ ]147 22 abba +−

Calcolo letterale

Polinomi

100

SCHEDA PER IL RECUPERO SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO

1. yxxyx +++2 ( )( )[ ]1++ xyx

2. yxxyx 4222 +++ ( )( )[ ]22 ++ xyx

3. axayaxya 236 −−+ ( )( )[ ]23 −− yxa

4. 22 3616 ba − ( )( )[ ]baba 32324 +−

5. 962 ++ aa ( )[ ]23+a

6. 18122 2 ++ aa ( )[ ]232 +a

7. 22 96 baa −++ ( )( )[ ]baba −+++ 33

8. 22

9

4ba −

−

+ baba3

2

3

2

9. ayaxxyx3

1

3

12 −+− ( )

+− axyx3

1

10. ( ) ( )babax −−− 23 ( )( )[ ]23 −− xba

11. 35 xx − ( )( )[ ]113 −+ xxx

12. 232 64 abba − ( )[ ]322 2 −abab

13. ( ) 12 −+ yx ( )( )[ ]11 −+++ yxyx

14. 22 99 ba − ( )( )[ ]baba −+9

15. 14 −x ( )( )( )[ ]1112 −++ xxx