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 SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO “CAVOUR” - VIA CARBONE 6 CATANIA 95129 (CT) PON 2007-2013 Obiettivo C1 FSE 2013 2079

“Matematica: tra realtà e immaginazione”

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In matematica, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito, come π = 3,141592...

I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono, come casi particolari, i numeri interi (come 12), i numeri razionali (come −22⁄7) e i numeri irrazionali algebrici (come la radice

quadrata di 2) e trascendenti (come π).

i numeri reali

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L'insieme dei numeri reali viene generalmente indicato con la lettera RI numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta numerica o retta reale.

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Si indica con R l’insieme dei numeri reali. In R sono definite le operazioni di Addizione e Moltiplicazione ed una relazione d’ordine totale (minore o uguale) con le seguenti proprietà:

(1) Per ogni coppia di numeri reali a, b si ha

a + b = b + a (proprietà commutativa dell’Addizione)

2)Per ogni a, b, c R si ha∈a + (b + c) = (a + b) + c (proprieta associativa dell’Addizione)

3)Esiste ed `e unico l’elemento 0 (zero) tale che per ogni a R si ha 0 + a = a + 0 = a ∈ (esistenza dell’elemento

neutro rispetto all’Addizione) 4) Per ogni a R esiste un unico simmetrico rispetto ∈

all’Addizione, detto anche opposto, −a R tale che a + ∈(−a) = 0

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5) Per ogni coppia di numeri reali a, b si ha

a · b = b · a (proprietà commutativa della Moltiplicazione)(6) Per ogni a, b, c R si ha a · (b · c) = (a · b) · c∈(proprietà associativa della Moltiplicazione)(7) Esiste ed `e unico l’elemento 1 (uno),diverso da 0, tale che per ogni a R si ha 1 · a = a · 1 = a.∈(esistenza dell’elemento neutro rispetto alla Moltiplicazione)(8) Per ogni a R, a ≠ 0 esiste un unico simmetrico ∈rispetto alla Moltiplicazione, detto l’inverso o il reciproco di a, indicato con a−1 o con 1/a tale che

a · a−1 = a−1 · a = 1

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(9) Per ogni a, b, c ∈ R si ha a · (b + c) = a · b + a · c

(proprietà distributiva della Moltiplicazione rispetto all’Addizione)

Per ogni coppia di numeri reali a, b ∈ R vale una ed una sola delle seguenti relazioni

a < b, a = b, a > b.

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Ci sono delle fasi imprescindibili nella risoluzione di un problema di tipo matematico: la lettura e l’analisi del testo, l’individuazione dei dati conosciuti e delle incognite, la scelta delle tecniche risolutive.

Ed è proprio la fase risolutiva che ci permette la possibilità di usare diverse strategie e tecniche, a seconda della natura del problema.

Oggi analizzeremo una di queste tecniche: il metodo di risoluzione grafico.

Si tratta di rappresentare graficamente i dati conosciuti, in modo da far emergere visivamente le relazioni tra di essi e scoprire più facilmente la soluzione.

Vediamo alcuni esempi della sua applicazione.

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Su una spiaggia ci sono 130 ombrelloni in tutto; 

gli ombrelloni aperti sono 26 in più di quelli chiusi.

Quanti sono gli ombrelloni aperti e quanti quelli chiusi sulla spiaggia?

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Indichiamo gli ombrelloni aperti con a e quelli chiusi con c.

DATIa + c = 130a = c + 26

INCOGNITE? a? c

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RISOLUZIONERappresentiamo graficamente la soluzione.

Sappiamo che la somma del segmento AB e quella del segmento CD è 130.La differenza fra i due segmenti è 26.

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RISOLUZIONE

Togliendo dalla somma 130 la differenza 26, troviamo il doppio degli ombrelloni chiusi, per cui sarà sufficiente dividere per 2 per trovare il numero degli ombrelloni chiusi. A questi basterà aggiungere 26 e troveremo il numero degli ombrelloni aperti.

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RISOLUZIONE

130 – 26 = 104 doppio degli ombrelloni chiusi104 : 2 = 52 numero degli ombrelloni chiusi52 + 26 = 78 numero ombrelloni aperti

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La signora Anna al supermercato ha comprato pesce, pane e verdura spendendo in tutto € 17,90.

Il pesce è costato € 10,83 più della verdura, la verdura € 0,16 più del pane. Quanto ha speso Anna per il pesce, il pane e la verdura?

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Indichiamo il pesce con p, il pane con a e la verdura con v.

DATIp + a + v = 17,90p = v + 10,83v = a + 0,16

? p

? a

? v

INCOGNITE???

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RISOLUZIONERappresentiamo graficamente la soluzione.

p + a + v = 17,90p = v + 10,83v = a + 0,16

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RISOLUZIONE

Sarà ora sufficiente dividere per 3 per trovare il costo del pane. A questo basterà aggiungere 0,16 e troveremo il costo della verdura ed infine, aggiungendo a quest’ultimo valore 10,83 troveremo il costo del pesce.

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RISOLUZIONE

17,90 – (10,83 + 0,16 x 2) = 17, 90 – (10,83 + 0,32) = 17,90 – 11,15 = 6,75 triplo del costo del pane6,75 : 3 = 2,25 costo del pane2,25 + 0,16 = 2,41 costo della verdura2,41 + 10,83 = 13,24 costo del pesce

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Compro prima 5 quaderni e 3 album spendendo 13,24€,poi altri 3 quaderni e 6 album spendendo 17.73€.

Quanto costano ciascun quaderno ed album?

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Svolgimento: raddoppiamo per ipotesi il primo acquisto

Se comprassi 10 quaderni e 6 album, spenderei il doppio del costo di 5 quaderni e 3 album, cioè 26,48€.

Sottraendo il costo di 3 quaderni e 6 album, ottengo il costo dei 7 quaderni in più: 26,48−17,73=8,75€ che, diviso 7, dà 1,25€ per ciascun quaderno.

Compro prima 5 quaderni e 3 album spendendo 13,24€,poi altri 3 quaderni e 6 album spendendo 17.73€. Quanto costano ciascun quaderno ed album?

10 + 6 = 26,48 -

3 + 6 = 17,73

8,75 :7=2,33

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RISOLUZIONE

Per calcolare, ora, il costo di un album basta sottrarre alla prima spesa il costo complessivo dei quaderni e dividere per il numero di album, cioè

13,24−(5 (1,25))=13,24−6,25=6,99€ ⋅che, diviso 3, dà 2,33€.