Numeri irrazionali B. Palumbo - Dipartimento di Matematica e Fisica

Università Roma Tre - e.mail:

palumbo@mat.uniroma3.it

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• Esistenza dei numeri irrazionali • Numeri algebrici e trascendenti • Casi facili di dimostrazioni di irrazionalità (radici, logaritmi) • Irrazionalità di alcuni numeri "celebri": e , π • Serie con fattoriali al denominatore • Frazioni continue • Criteri più avanzati: alcuni casi riguardanti la funzione ζ di

Riemann

È ben nota una semplice dimostrazione dell'irrazionalità di 2 (si vedrà tra poco che il procedimento si può adattare a molti altri casi); tuttavia, prima di presentare questa dimostrazione bisognerebbe dimostrare che esistono numeri reali non razionali: altrimenti, l'unica conclusione che si ottiene è che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato è 2 (dunque 2 semplicemente potrebbe NON ESISTERE!)

OCCORRE QUINDI CHE SI ABBIA ALMENO UN'IDEA DELLA STRUTTURA DEI

NUMERI REALI.

La questione non è semplice; alcuni testi per la scuola media superiore definiscono i numeri reali seguendo in sostanza la costruzione di Dedekind, cioè utilizzando le sezioni dell'insieme Q dei numeri razionali: un numero reale α si identifica con una sezione (A1 , A2) del campo dei numeri razionali (si possono anche considerare due "classi contigue" di numeri razionali, cioè due insiemi A1, A2 ⊂ Q tali che si abbia x < y se x ∈ A1 e y ∈ A2 e tali che valga la proprietà dell'avvicinamento indefinito, anche se può essere A1 ∪ A2 ≠ Q). Apparentemente è una definizione intuitiva, ma solleva alcuni problemi teorici. Ad esempio, è abbastanza facile definire la somma di due numeri reali, ma già il prodotto solleva alcuni problemi; ancor più complicata è la definizione di potenza ad esponente reale.

Supponendo di aver superato queste difficoltà, si può costruire una sezione di Q che definisce un numero positivo il cui quadrato è 2: ciò dimostra che esiste in R il numero 2 ; più in generale, esiste per ogni x reale positivo e per ogni n naturale un numero reale positivo y (unico!) tale che yn = x: tale numero si indica con n x .

2 Osservazione. Esistono altre definizioni dell'insieme dei numeri reali. Ad esempio, in alcuni testi di algebra per

la scuola superiore si preferisce partire dalla rappresentazione decimale dei numeri (perciò un numero razionale è definito come un numero che ha una rappresentazione decimale finita o periodica, diversamente un numero è irrazionale); invece, in molti testi di Analisi a livello universitario, si procede per via assiomatica, cioè prendendo come punto di partenza le proprietà essenziali di R (assiomi di campo, assiomi dell'ordine, assioma di completezza).

Come si dimostra l'irrazionalità della radice di 2? Spesso nelle dimostrazioni di irrazionalità, si procede per assurdo. Supponiamo che esistano

due numeri interi positivi a e b (privi di fattori comuni) tali che ba

=2 . Da ciò segue 22

2=

ba ,

perciò a2 = 2b2. Ora, è impossibile soddisfare questa uguaglianza con numeri naturali. Infatti, si consideri il numero a2: se a contiene il fattore 2 elevato ad un certo esponente, la scomposizione in fattori primi di a2 conterrà 2 con esponente raddoppiato; perciò al primo membro il fattore 2 appare con esponente pari.

Lo stesso vale per b2, essendo anch'esso un quadrato perfetto. Ma siccome al secondo membro appare anche un altro fattore 2, la scomposizione di 2b2 contiene il fattore 2 con un esponente dispari. Questo non è possibile, per cui si ha l'assurdo.

Osservazione (molto importante!). Per ottenere l'assurdo, si è data per scontata una proprietà di estrema

importanza in aritmetica, cioè il teorema della fattorizzazione unica: ogni numero naturale maggiore di 1 si scrive in modo unico come prodotto di potenze di numeri primi.

Con lo stesso procedimento si dimostra l'irrazionalità di altri radicali. Ad esempio, 3 9 è

irrazionale, perché se si pone ba

=3 9 (a, b naturali con M.C.D. 1), si trova a3 = 32⋅b3; la

scomposizione di a3 contiene il fattore 3 con esponente nullo oppure multiplo di 3 (0, 3, 6, 9, ...); lo stesso vale per b3, quindi il secondo membro contiene il fattore 3 elevato ad un esponente 3k + 2 (cioè 2, 5, 8, ...) ⇒ assurdo!

IN GENERALE: se m ed n ∈ N2, e se m non è una potenza n-esima perfetta (potenza

n-esima di un numero naturale), allora la radice n-esima di m è irrazionale (se n m non è un intero non può essere neanche razionale).

Un procedimento simile funziona per i logaritmi. Ad esempio, log10 2 è un numero

irrazionale. (Analogamente a quanto osservato prima sulla radice n-esima, occorre prima aver definito la potenza di una base

positiva ad esponente reale, ed occorre aver dimostrato l'esistenza del logaritmo di un numero positivo x in una qualsiasi base b positiva e diversa da 1).

Si ragioni ancora per assurdo: sia ba

=2log10 , a, b ∈ N.

Si ha allora 210 =ba

, da cui 10a = 2b. Questa uguaglianza è assurda, in quanto 10a = 2a⋅5a: perciò al primo membro appare 5 elevato ad un certo esponente positivo a, mentre al secondo membro 5 non c'è.

Più in generale, se M ed N sono due numeri naturali maggiori di 1, sotto quale ipotesi logM N

è razionale?

Se baNM =log (a, b ∈ N), allora NM b

a

= , da cui Ma = Nb.

3 Se M contiene un fattore primo che non appare nella scomposizione di N, o viceversa,

l'uguaglianza suddetta è impossibile ⇒ logM N è irrazionale. In altre parole, condizione necessaria affinché il logaritmo in base M ∈ N2 di un numero naturale N ∈ N2 sia razionale, è che M ed N contengano gli stessi fattori primi.

Questa però non è una condizione sufficiente! Ad esempio, 2327log9 = , ma log20 80 è

irrazionale, nonostante 20 e 80 contengano gli stessi fattori primi. Il motivo è il seguente: affinché sia logM N razionale, non solo base ed argomento devono

avere gli stessi fattori primi, ma ci deve essere proporzionalità tra gli esponenti.

Ad esempio: 20736 = 28 ⋅ 34, 248832 = 210 ⋅ 35 ⇒ 45248832log20736 = (gli esponenti nella

scomposizione di N sono quelli della scomposizione di M moltiplicati per 45 ).

Un'interessante osservazione di carattere storico. Già la scuola pitagorica era a conoscenza dell'irrazionalità

delle radici di alcuni numeri interi (sarebbe meglio dire "l'incommensurabilità di alcune coppie di segmenti", ad esempio il lato e la diagonale di un quadrato). Tuttavia, sembra che prima di Euclide l'irrazionalità di numeri quali la radice di 3, di 5, ecc. fosse dimostrata con procedimenti diversi a seconda del numero, quindi senza l'uso del teorema della fattorizzazione unica.

Un'ulteriore osservazione didattica. L'irrazionalità della radice quadrata di 2 rappresenta l'argomento

"privilegiato" per giustificare l'introduzione di altri numeri oltre a quelli razionali; occorre però evitare di dare la falsa impressione che i numeri irrazionali servano soltanto per scrivere le radici! In realtà, è facile vedere che i numeri che si possono ottenere tramite radicali (con radicandi interi) rappresentano una "piccola minoranza" di tutti i numeri irrazionali.

NUMERI ALGEBRICI E NUMERI TRASCENDENTI

Un numero reale si dice algebrico se è radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.

Tutti i numeri razionali sono algebrici: infatti nm è radice dell'equazione nx − m = 0. Inoltre,

alcuni numeri irrazionali sono algebrici, ad esempio 3 2 (radice dell'equazione x3 − 2 = 0). Vi sono però numeri algebrici non esprimibili tramite radicali (ad esempio, esiste un unico x tale che x5 + x = 1: esso è un numero algebrico non esprimibile tramite operazioni razionali e radicali).

In generale, ogni numero del tipo c

Nbax +=0 (con a, b, c, N interi, b ≠ 0 ed N non

quadrato perfetto) è algebrico, in quanto si scrive facilmente un'equazione di 2° grado che ammette la radice x0.

Ma anche 4

22110

−=x è algebrico. Infatti, l'equazione avente radici

42211 − e

42211 + è 0

42211

42211

=

+−

−− xx , cioè 0311816 2 =+− xx . Se poi si moltiplica

il primo membro di questa equazione per 311816 2 ++ xx , si trova 256x4 − 608x2 + 9 = 0 (questa equazione ha quattro radici reali, tra cui x0).

Altro esempio: un'equazione di grado minimo avente tra le sue radici 532 ++ è x8 − 40x6 + 352x4 − 960x2 + 576 = 0.

4 Se un numero reale non è algebrico, si dice trascendente. Stranamente, è facile dimostrare l'esistenza di numeri trascendenti (anzi, essi sono MOLTI di

più dei numeri algebrici), ma è molto difficile dimostrare che un dato numero (ad esempio una delle "costanti notevoli" dell'Analisi) è trascendente (la trascendenza di π implica l'irrisolubilità di problemi come la quadratura del cerchio e la rettificazione della circonferenza con riga e compasso).

Dimostriamo che esistono numeri trascendenti. Definiamo grado di un numero algebrico α il grado minimo di un'equazione a coefficienti

interi che ammette α come radice. I razionali sono algebrici di grado 1; i radicali quadratici sono di grado 2, la somma di due radicali quadratici invece è di grado 4. • I numeri razionali costituiscono un insieme numerabile; • le equazioni di secondo grado a coefficienti interi costituiscono un insieme numerabile

(prodotto cartesiano di insiemi numerabili), perciò gli algebrici di grado 2 costituiscono un insieme numerabile;

• allo stesso modo, le equazioni a coefficienti interi di terzo grado costituiscono un insieme numerabile, per cui i numeri algebrici di grado 3 costituiscono un insieme numerabile;

• ecc. ecc. In conclusione, l'insieme dei numeri algebrici è dato dall'unione numerabile di insiemi

numerabili, quindi è un insieme numerabile. MA I NUMERI REALI HANNO LA POTENZA DEL CONTINUO, perciò non solo

esistono numeri reali non algebrici, ma essi costituiscono un insieme avente la potenza del continuo (in altre parole, essi sono "molti di più"!).

IRRAZIONALITÀ DI e, π ED ALTRI NUMERI AD ESSI COLLEGATI

Sebbene in diverse dimostrazioni di irrazionalità si utilizzino tecniche di Analisi Matematica

(non sempre "avanzate"), spesso i testi di Analisi ignorano l'argomento (solo alcuni riportano la dimostrazione di irrazionalità del numero e).

Il punto di partenza è la formula di Taylor, che consente di scrivere una funzione (derivabile n + 1 volte con continuità in un intorno di a) come somma del polinomio di Taylor di ordine n Pn(x) e di un resto (errore); Pn(x) soddisfa la condizione )()( )()( afaP kk

n = per ogni k = 0, 1, ..., n.

+−′′

+−′+=+= 2)(!2)())(()()()()( axafaxafafxRxPxf nn

1)1()(

)()!1()()(!

)( ++

−+

+−+ nn

nn

axncfaxn

af ,

per un c compreso tra a ed x.

Questa formula è utile per dare delle approssimazioni numeriche di funzioni altrimenti non calcolabili (funziona bene soprattutto per x "vicino" ad a.

Sia f(x) = ex, a = 0 ed x = 1; essendo f (k)(x) = ex ∀k, si ha

,)!1(!1

)!1(!1

!31

!2111)1(

0 ++=

+++++++== ∑

= ne

kne

nefcn

k

c

11

5

con 0 < c < 1. Utilizzando la maggiorazione e < 3, si vede che l'errore )!1()1(+

= neR

c

n è compreso

tra )!1(1+n e )!1(

3+n . Perciò si può scrivere )!1(

3!

1)!1(

10 +

<−<+ ∑

= nken

n

k.

Sia per assurdo bae = , con a, b ∈ N; scegliamo un numero naturale n maggiore di b e

maggiore di 3, e per tale n consideriamo la formula appena scritta. Moltiplicando per n! si ha

,)!1(!3

!!!)!1(

!0 +

<−<+ ∑

= nn

knenn

n n

kcioè

13

!!!1

100 +

<−<+

< ∑= nk

nenn

n

k,

dove si è tenuto conto anche del fatto che il primo membro è positivo.

Ora, b è un divisore di n!, perciò n!⋅e è un intero. Inoltre, ciascun addendo della sommatoria è

un intero, visto che k assume tutti i valori tra 0 ed n. Ne segue che ∑=

−n

k knen

0 !!! è un numero intero.

Ma, essendo n > 3, tale differenza è compresa tra 0 e 3/4, il che è impossibile. Esiste una dimostrazione alternativa, che si presta ad interessanti generalizzazioni.

Dalla doppia disuguaglianza )!1(

3!

100 +

<−< ∑= nk

en

k si ricava ∑

∞

==

0 !1

k ke (infatti, ∑

=

n

k k0 !1 è la

ridotta n-esima della serie, e d'altra parte 0)!1(

3lim =+∞→ nn

).

Supponiamo allora bae = (a, b ∈ N); preso un n ≥ b, consideriamo la differenza tra e e la

ridotta n-esima detta sopra:

!1

!21

!11

!01

!1

0 neken

k−−−−−=−∑

= .

Questo numero è positivo, visto che in una serie a termini positivi le somme parziali danno

sempre approssimazioni per difetto della somma. Moltiplichiamo ora per n! e indichiamo con α il numero così ottenuto:

−−−−−=α !

1!2

1!1

1!0

1! nen .

Il numero α è intero, in quanto n! è multiplo di b, e tutti i termini n!/0!, n!/1!, ..., n!/n! sono

interi. Considerando però la "serie resto", si ottiene

=

−−−−−=α< !

1!2

1!1

1!0

1!0 nen =

+

++

++

+)!3(

1)!2(

1)!1(

1! nnnn

++++

+++

++

=)3)(2)(1(

1)2)(1(

11

1nnnnnn

6

Essendo (n + 1)(n + 2) > (n + 1)2, il termine )2)(1(1

++ nn si maggiora con 2)1(1+n

; in modo

simile, )3)(2)(1(

1+++ nnn

si maggiora con 3)1(1+n

, ecc.

Perciò, α si maggiora con la somma della serie geometrica 32 )1(1

)1(1

11

++

++

+ nnn , che vale

nn

11

111

1=−

+−

⇒ assurdo!

Una possibile generalizzazione è la seguente: fissato un p naturale, si consideri la serie

∑∞

=0 )!(1

kpk

, e si indichi con ep la sua somma: ad esempio, e2 è uguale a +++ 222 )!2(1

)!1(1

)!0(1 (e1

coincide con e). Dimostriamo che ep è irrazionale per ogni p ∈ N.

La tecnica è la stessa del caso p = 1. Sia baep = (a, b ∈ N), sia n ≥ b, e si definisca α come il

prodotto di (n!)p e della differenza tra ep e la ridotta n-esima ∑=

n

kpk0 )!(

1 :

−−−−−=α ppppp

p

nen

)!(1

)!2(1

)!1(1

)!0(1)!( .

Analogamente a quanto detto sopra, questo numero è intero positivo. Considerando ora la

serie resto, si ottiene:

=

−−−−−=α< ppppp

p

nen

)!(1

)!2(1

)!1(1

)!0(1)!(0

=+

++

++

= p

p

p

p

p

p

nn

nn

nn

))!3(()!(

))!2(()!(

))!1(()!(

++++

+++

++

= ppp nnnnnn ))3)(2)(1((1

))2)(1((1

)1(1 <

< 1)1(

1)1(

1)1(

1)1(

132 −+

=++

++

++ pppp nnnn

⇒ Assurdo!

In queste dimostrazioni si è ottenuto un assurdo mostrando che una certa espressione

dovrebbe essere un numero naturale ma anche un numero compreso tra 0 e 1. La stessa idea si può applicare ad altri casi; più esattamente, per dimostrare l'irrazionalità di

un numero si suppone per assurdo che esso sia razionale, e si costruisce un opportuno integrale: se si riesce a far vedere che questo integrale è un intero positivo, ma si può anche rendere piccolo a piacere, si ottiene un assurdo.

Per le dimostrazioni che seguono, è necessario considerare certi polinomi che hanno particolari caratteristiche utili in questi casi.

Fissato n ∈ N, si definisca !

)1()(n

xxxpnn −

= .

Le proprietà "notevoli" del polinomio p sono le seguenti: 28

7

• al variare di x in (0 , 1) risulta !

1)(0n

xp << ;

• tutte le derivate di p assumono valori interi per x = 0 e per x = 1.

La prima proprietà è ovvia (in realtà è !4

1)(0n

xp ≤< ). Per dimostrare la seconda proprietà, si

osservi che ∑=

=n

nm

mm xncxp

2

!)( (i numeri cm sono interi). D'altra parte, p(x) si può scrivere come il

polinomio di Taylor di se stesso (di ordine 2n, con a = 0); si ha cioè ∑=

=n

m

mm

xm

pxp2

0

)(

!)0()( .

Confrontando le due espressioni di p, si trova p(0) = p'(0) = ... = p(n−1)(0) = 0, mentre per n ≤ m ≤ 2n

si ha !

)0(!

)(

mp

nc m

m = , da cui mm c

nmp

!!)0()( = . Essendo

!!

nm intero, concludiamo che le derivate p(n)(x),

p(n+1)(x), ..., p(2n)(x) assumono valori interi in x = 0, ed anche per x = 1 (per la simmetria di p). Ad esempio, per n = 4 è

2464624)(

87654 xxxxxxp +−+−= . Le derivate successive sono:

367

23

65

6)(

76543 xxxxxxp +−+−=′ ; 3

772

153

102

)(6

5432 xxxxxxp +−+−=′′ ;

5432 14353010)( xxxxxxp +−+−=′′′ ; 432)4( 7014090201)( xxxxxp +−+−= ; 32)5( 28042018020)( xxxxp +−+−= ; 2)6( 840840180)( xxxp +−= ;

xxp 1680840)()7( +−= ; 1680)()8( =xp ; 0)()( )10()9( === xpxp . Risulta p(0) = p(1) = 0, e lo stesso vale per p', p'', p'''; inoltre si ha p(4)(0) = 1, p(4)(1) = 1, p(5)(0) = −20, p(5)(1) =

20, p(6)(0) = 180, p(6)(1) = 180, p(7)(0) = −840, p(7)(1) = 840, p(8)(0) = 1680, p(8)(1) = 1680. Dimostriamo ora che er è irrazionale per ogni esponente razionale r ≠ 0. Osserviamo che è sufficiente considerare il caso del numero eh per h naturale. Infatti, se eh è

irrazionale, lo è anche hh ee /1=− , e lo è anche k hkhr eee == / .

Sia allora h un numero naturale, e sia per assurdo baeh = (a, b ∈ N). Fissiamo un n naturale,

definiamo per tale n il polinomio p(x) e consideriamo la funzione

F(x) = h2np(x) − h2n−1p'(x) + ... − h⋅p(2n−1)(x) + p(2n)(x). La F assume valori interi in x = 0 e in x = 1. Ora calcoliamo la derivata di ehxF(x): D(ehxF(x)) = ehx(hF(x) + F'(x))=

= ehx{h(h2np(x) − h2n−1p'(x) + ... − h⋅p(2n−1)(x) + p(2n)(x)) + + h2np'(x) − h2n−1p''(x) + ... − h⋅p(2n)(x) + p(2n+1)(x)} = = eh(x){h2n+1p(x) + p(2n+1)(x)},

che si riduce ad h2n+1eh(x)p(x), essendo p(2n+1)(x) = 0. Allora:

[ ] N∈−=−==∫ + )0()1()0()1()()(10

1

0

12 bFaFbFFbexFebdxxpehb hhxhxn .

8

Essendo però !

1)(0n

xp << , si ha la doppia disuguaglianza

!!1)(0

1212

1

0

12

nha

nebhdxxpehb

nhnhxn

+++ =<< ∫ ,

da cui l'assurdo, perché n abbastanza grande !

12

nha

n+ diventa piccolo a piacere (essendo

0!

lim12=

+

∞→ nha

n

n).

Conseguenza immediata di questo teorema: log r è irrazionale per ogni r razionale (a parte

log 1 = 0). In modo simile si dimostra che anche π è irrazionale (più esattamente, dimostriamo che π2

è irrazionale).

Posto per assurdo ba

=π2 (a, b ∈ N), fissiamo un n naturale, quindi definiamo la funzione

G(x) = bn{π2np(x) − π2n−2p"(x) + π2n−4p(4)(x) − ... + (−1)np(2n)(x)}.

Essendo poi ba

=π2 , 2

24

ba

=π , ..., n

nn

ba

=π2 , si ha

G(x) = anp(x) − an−1bp"(x) + an−2b2p(4)(x) − ... + (−1)nbnp(2n)(x).

Per quanto detto sopra, G(0) e G(1) sono interi. Sia xxGxxGxH ππ−π′= cos)(sen)()( ; allora:

=ππ+π′π−π′π+π′′=′ xxGxxGxxGxxGxH sen)(cos)(cos)(sen)()( ( ) xxGxGxxGxxG ππ+′′=ππ+π′′= sen)()(sen)(sen)( 22 .

Calcolando esplicitamente )()( 2 xGxG π+′′ , troviamo:

G"(x) + π2G(x) = = bn{π2np"(x) − π2n−2p(4)(x) + π2n−4p(6)(x) − ... + (−1)np(2n+2)(x)} +

+ bnπ2{π2np(x) − π2n−2p"(x) + π2n−4p(4)(x) − ... + (−1)np(2n)(x)} = = bn{π2np"(x) − π2n−2p(4)(x) + π2n−4p(6)(x) − ... + (−1)np(2n+2)(x) +

+ π2n+2p(x) − π2np"(x) + π2n−2p(4)(x) − ... + (−1)nπ2p(2n)(x)},

che si riduce a )(22 xpb nn +π , in quanto i termini intermedi si semplificano, ed inoltre p(2n+2)(x) = 0. Essendo poi n2π = an/bn, la derivata di H(x) è xxpan ππ sen)(2 . Perciò:

)1()0(cos)(sen)(sen)(1

0

1

0GGxxGxxGdxxxpan +=

π−

ππ′

=ππ∫ ,

9

che per quanto detto prima è un intero. Ma risulta !

1sen)(0n

xxp ≤π≤ , da cui

!sen)(0

1

0 nadxxxpa

nn π

<ππ< ∫ ⇒ ASSURDO! Infatti, per n abbastanza grande è 1! <πnan

.

Nota: l'irrazionalità di e e di π fu dimostrata da Lambert nel 1761; la dimostrazione dell'irrazionalità di er vista

sopra è basata su quella di Hermite. Nel libro di I. Niven (vedi bibliografia) si trova una dimostrazione (basata su idee essenzialmente simili, ma più complicata nei dettagli) del fatto che cos r è irrazionale per ogni r razionale diverso da 0; da ciò si deduce immediatamente che π è irrazionale, perché cos π = −1. Lo stesso autore però subito dopo riporta la dimostrazione vista sopra, decisamente più semplice, dell'irrazionalità di π2 (trovata da Legendre nel 1794). Dall'irrazionalità di cos r si ricava anche l'irrazionalità di sen r e di tg r per ogni r razionale non nullo, e di conseguenza l'irrazionalità dei valori assunti dalle funzioni goniometriche arcsen, arccos, arctg per argomenti razionali (esclusi i casi in cui esse sono nulle).

Torniamo ora alla serie che esprime il numero e, per vedere una generalizzazione in un altro

senso. Se b è un numero naturale maggiore di 1 fissato (base), possiamo rappresentare ogni numero

naturale in modo unico in base b. Ad esempio, il numero scritto in base 6 come 20135 vale nella nostra base decimale

2⋅64 + 0⋅63 + 1⋅62 + 3⋅61 + 5⋅60 = 2651. Viceversa, per convertire un numero dall'ordinaria base 10 ad un'altra base b si può procedere

per divisioni successive:

Leggendo l'ultimo quoziente e i resti (in ordine inverso), si trova 20135, rappresentazione in base 6 del numero decimale 2651. Ogni n ∈ N si

scrive in maniera unica nella forma ∑=

⋅m

k

kk bc

1. I

numeri ck (interi compresi tra 0 e b − 1) sono le cifre della rappresentazione di N in base b (nella sommatoria sono scritte in ordine inverso rispetto a quello solito).

Se un numero α non è intero, si ha un'analoga rappresentazione in una qualsiasi base b > 1, in

generale costituita di una sequenza infinita di cifre (ad essere rigorosi, questo "allineamento di cifre" va in realtà interpretato come una serie):

α → (in base b) cncn−1...c1c0,a1a2a3... = ∑∑∞

==+⋅

11 kkk

n

k

kk b

abc ,

dove le cifre ck sono numeri interi compresi tra 0 e b − 1 (se b > 10 occorre introdurre dei simboli, oltre le classiche cifre da 0 a 9, per rappresentare i possibili valori di ck compresi tra 10 e b − 1).

Comunque si fissi la sequenza delle cifre, la serie suddetta è convergente, perché si maggiora

con una serie geometrica di ragione b

b 1− . Ma, dato il numero reale α, come possiamo trovare la

sequenza delle cifre in base b?

2651 6

441

5

6

73

3

6

6

12

1

0 2

10

Consideriamo il caso 0 < α < 1 (perciò [α] = 0). Sia ad esempio 28853

=α (che in base 10 dà

718402,0 ), e sia b = 6. Moltiplichiamo α per 6, e nel risultato separiamo la parte intera da quella decimale; la parte

intera dà la prima cifra dopo la virgola. Quindi iteriamo il procedimento utilizzando ogni volta la parte decimale trovata al passaggio precedente:

14851288

318628853

1 =⇒+==⋅ a ;

08508

56485

2 =⇒+==⋅ a ;

34334

15685

3 =⇒+==⋅ a ;

;42142

9643

4 =⇒+==⋅ a

33621

5 =⇒=⋅ a .

Si è ottenuta così la rappresentazione finita 0,10343 (infatti, 28853

63

64

63

60

61

54321 =++++ ).

Il procedimento può non avere termine; ad esempio, con 2521

=α si trova:

52515

251266

2521

1 =⇒+==⋅ a ;

02560

2566

251

2 =⇒+==⋅ a ;

125111

25366

256

3 =⇒+==⋅ a ;

;225162

25666

2511

4 =⇒+==⋅ a

325213

25966

2516

5 =⇒+==⋅ a .

Abbiamo ritrovato 2521 , per cui il ciclo ricomincia; si ha perciò il numero periodico 50123,0

(cioè, la somma della serie ++++++++++ 10987654321 63

62

61

60

65

63

62

61

60

65 è

2521 ).

La proprietà di un numero reale α di essere razionale o irrazionale è "intrinseca"; invece, il fatto che un numero razionale abbia rappresentazione finita o periodica dipende dalla base: 53/288 ha rappresentazione finita in base 6, infinita periodica in base 10; viceversa, 21/25 si scrive come

50123,0 in base 6, ma come 0,84 in base 10. In base b, un numero razionale ha rappresentazione finita solo se i fattori primi del

denominatore sono anche divisori di b (ad esempio, in base 10 i numeri con denominatore 4, 20, 80, 3200 sono numeri decimali finiti).

11

Ma se un numero termina con infinite cifre b − 1? Ad esempio, in base 10 9246,0 = 0,247 (basta applicare la regola della frazione generatrice); se un numero razionale non nullo ha una rappresentazione finita, ne ha anche una periodica, ottenuta riducendo di 1 l'ultima cifra e terminando con infiniti 9 (se il numero è intero si riduce di 1 la parte intera):

913,314,3 =

9300,5301,5 = 9,1112 =

Un esempio nel sistema esadecimale: 2,1b34 si può anche scrivere 2,1b33fffffff.....

(corrisponde a 1638434509 ).

Adottiamo ora un procedimento diverso. Sia 0 < α < 1; moltiplichiamo dapprima α per 2,

separiamo la parte intera, quindi moltiplichiamo il numero così trovato per 3, separiamo la parte intera e moltiplichiamo per 4, procedendo sempre allo stesso modo.

Se indichiamo con a2, a3, ... gli interi così trovati (che verificheranno la condizione 0 ≤ ak ≤ k − 1 per ogni k ≥ 2), possiamo scrivere il numero α come segue:

∑∞

==+++=α

2

432

!!4!3!2 k

k

kaaaa

.

Possiamo chiamare "rappresentazione fattoriale" questo particolare modo di scrivere i numeri

reali. Se α ha anche una parte intera A, possiamo scrivere

α = (!)(A ; a2, a3, a4, a5, ...).

Ad esempio, sia 10083

=α ; abbiamo allora:

15033150

83210083

2 =⇒+==⋅ a ; 15049150

9935033

3 =⇒+==⋅ a ;

32523325

9845049

4 =⇒+==⋅ a ; 45345

2352523

5 =⇒+==⋅ a ;

35335

18653

6 =⇒+==⋅ a ; 45145

21753

7 =⇒+==⋅ a ;

15315

8851

8 =⇒+==⋅ a ; 55255

27953

9 =⇒+==⋅ a ;

441052

10 =⇒=⋅ a .

Perciò scriviamo !104

!95

!81

!74

!63

!54

!43

!31

!21

10083

++++++++= , oppure sinteticamente

)4,5,1,4,3,4,3,1,1;0)((!10083

= .

Il numero A può essere un intero qualsiasi (anche negativo); la prima "cifra" dopo il punto e

virgola può essere 0 o 1, la seconda 0, 1, 2, la terza 0, 1, 2, 3, ecc.

12 OGNI NUMERO RAZIONALE α AMMETTE UNA RAPPRESENTAZIONE

FATTORIALE FINITA.

La sommatoria ∑=

m

k

kka

2 ! termina al minimo m tale che il denominatore di α divide m!; ad

esempio, per il numero 1000113 sarà necessario arrivare ad m = 15, visto che 15! è il più piccolo

fattoriale divisibile per 1000. Pertanto, può sembrare facile enunciare un criterio di irrazionalità: se la rappresentazione

fattoriale di α è infinita, α è irrazionale. Purtroppo non è così semplice, perché c'è un problema analogo a quello detto prima a proposito dei numeri che terminano con infiniti 9.

Si consideri infatti il numero α = (!)(0; 1, 2, 3, 4, ...) (supponiamo cioè che per ogni k ≥ 2 sia

ak = k − 1). Allora α = +++++ !65

!54

!43

!32

!21 ; la somma n- esima è

=−

+++++!1

!54

!43

!32

!21

nn

=

−++

−+

−+

−+

!1

!!51

!55

!41

!44

!31

!33

!21

nnn

!11

!1

)!1(1

!51

!41

!41

!31

!31

!21

!21

nnn−=−

−++−+−+−+= ,

da cui 1!

11lim =

−=α

∞→ nn. In modo analogo, si vede che se nella rappresentazione fattoriale di un

numero è definitivamente ak = k − 1, il numero è razionale: ad esempio, se

),2,1,,0,,0,0;0)((! ad da 2

++=β mmm

maa

, allora !

1m

=β . La situazione quindi è simile a quella detta

prima per i numeri decimali finiti: un numero razionale non nullo si può scrivere nella forma α = (!)(A ; a2, a3, a4, ..., am), ma è anche α = (!)(A; a2, a3, a4, ..., am − 1, m, m + 1, m + 2, ...) (se α è intero diventa (!)(A − 1; 1, 2, 3, ...)).

Quindi il criterio di irrazionalità per le rappresentazioni fattoriali è: sia (!)(A ; a2 , a3, a4, ...) la rappresentazione fattoriale del numero α; se NON è definitivamente ak = 0, e NON è definitivamente ak = k − 1, allora α è irrazionale.

Si ritrova così l'irrazionalità di e, in quanto si può scrivere e = (!)(2; 1, 1, 1, 1, ...) =

= +++++!5

1!4

1!3

1!2

12

In alcuni casi possiamo anche calcolare esplicitamente la somma di serie di questo tipo. Ad

esempio, sia α = (!)(0; 1, 2, 1, 2, ...) (ak = 1 per k pari, ak = 2 per k dispari). Allora α si può scrivere come segue:

++++

+++=α

!71

!51

!312

!61

!41

!21 .

13

Essendo ∑∞

==

0

2

)!2(cosh

k

k

kxx e ∑

∞

=

+

+=

0

12

)!12(senh

k

k

kxx , si trova α = cosh 1 − 1 + 2(senh1 − 1) =

= eee

ee 216332

123 2 −−

=−− .

Altro esempio: +++++=∑ !111

!71

!51

!31

!21

!1

p p (serie dei reciproci dei fattoriali dei numeri

primi) dà una somma irrazionale, perché rientra nel criterio suddetto, con ak = 1 per k primo e ak = 0 per k composto.

In generale, una condizione sufficiente affinché α = (!)(A; a2, a3, a4, ...) sia un numero

irrazionale è che la successione {a2, a3, a4,...} non sia definitivamente nulla e sia superiormente limitata.

Osservazione. A livello "pratico", la possibilità di ricavare le costanti ak della rappresentazione fattoriale è

subordinata alla conoscenza di α con tutta la precisione necessaria (il che d'altra parte è vero anche per la scrittura di α

in una qualsiasi base b). Ad esempio, si consideri il numero 22

=α ; ripetendo il ragionamento già visto, si ottiene:

1)12(122 2 =⇒−+==⋅α a ;

1)423(13233)12( 3 =⇒−+=−=⋅− a ;

0)16212(0162124)423( 4 =⇒−+=−=⋅− a ;

4)84260(4802605)16212( 5 =⇒−+=−=⋅− a ;

5)5092360(550423606)84260( 6 =⇒−+=−=⋅− a ;

5)356322520(03563225207)5092360( 7 =⇒−+=−=⋅− a ;

6)28510220160(6285042201608)356322520( 8 =⇒−+=−=⋅− a ; ...

Si ha quindi α = (!)(0; 1, 1, 0, 4, 5, 5, 6, ...); ma per proseguire occorre valutare BA −2 per A e B sempre più grandi: se ad esempio si conosce 2 solo fino alla 6ª cifra decimale, quando A e B sono dell'ordine di 106 non si può calcolare in modo attendibile la parte intera di BA −2 .

È possibile utilizzare questo criterio per dimostrare l'irrazionalità di un numero α definito

come la somma di una generica serie (convergente) a termini razionali? Si può provare a scrivere ciascun termine come una somma finita di frazioni con fattoriali al denominatore, per poi sommare per colonne; può essere però molto complicato eseguire i riporti e soprattutto far vedere se è definitivamente ak = k − 1 oppure no.

Ad esempio, si consideri la nota "serie di Mengoli" ++++=+∑

∞

= 201

121

61

21

)1(1

1k kk;

scrivendo per i primi termini la rappresentazione fattoriale, si ha:

!21

21=

!31

61=

!42

121=

!51

!41

201

+=

42

14

!54

301=

!71

!65

!52

421

++=

!76

!52

561

+=

... Sommando, si ha:

+!2

1

+!3

1

+!4

2

+!4

1 +!5

1

+!5

4

+!5

2 +!6

5 +!7

1

+!5

2 +!7

6

Per effettuare la somma, si osservi che se sulla colonna relativa a k! si trova un numeratore

n ≥ k, occorre scrivere il numeratore n (mod k), mentre il quoziente intero si riporta alla colonna precedente (analogamente a un'addizione eseguita manualmente).

!61

!77

!76

!71

==+ ⇒ sulla colonna relativa a 7! si trova 0;

!51

!66(riporto)

!61

!65

==+ ⇒ sulla colonna relativa a 6! si trova 0;

!42

!510

!51

!52

!52

!54

!51

==++++ ⇒ sulla colonna relativa a 5! si trova 0;

!41

!31

!45

!42

!41

!42

+==++ !3

2!3

1!3

1=+

!21

!21=

______________________________________

Somma di questi primi termini: !4

1!3

2!2

1++ .

Purtroppo, è difficile dare una formula per il generico termine )1(

1+kk

, per cui la gestione dei

riporti diventa proibitiva ⇒ impossibile capire se è definitivamente ak = k − 1 oppure no.

15

Analoga difficoltà per la serie ∑∞

= ++=+

⋅+

⋅+

⋅+

⋅+

⋅=

π

0 )34)(14(1

19171

15131

1191

751

311

8 k kk ;

!32

31=

!74

!62

!53

351

++=

!116

!104

!92

!87

!71

!61

!51

991

++++++=

!136

!126

!112

!109

!96

!86

!74

!63

1951

+++++++=

La somma parziale è !13

6!12

6!11

8!10

3!8

6!7

3!6

1!4

1!3

2++++++++ ; purtroppo, anche in questo

caso non si riesce a dare una formula generale, perciò non si può escludere che per ogni k > k* si

abbia ak = k − 1; ciò perché la serie converge lentamente. Invece, per la serie ∑∞

= +1 )!1(!1

k kk, si trova

=⋅ !2!11

!21

=⋅ !3!21

!42

=⋅ !4!31

!65

=⋅ !5!41

!71

!86

+

=⋅ !6!51

!94

!102

+

=⋅ !7!61

!101

+

=⋅ !8!71

!122

!134

+ !14

9+

Qui è !14

9!13

4!12

2!10

3!9

4!8

6!7

1!6

5!4

2!2

1+++++++++=ns ; visto il rapido "spostamento a destra"

delle rappresentazioni fattoriali, potrebbe essere meno difficile dimostrare che non si può avere definitivamente ak = k − 1.

16

APPROSSIMABILITÀ DEI NUMERI IRRAZIONALI

Punti reticolari: sono i punti del piano cartesiano aventi coordinate intere.

L'insieme dei numeri reali positivi si può mettere in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle semirette uscenti da O e giacenti internamente al primo quadrante.

Dato il numero reale

positivo α, basta infatti tracciare la semiretta s di equazione y = αx.

Ora, sono possibili due casi:

• α è RAZIONALE, diciamo kh

=α (h, k primi tra loro); allora, s passa per gli infiniti punti

reticolari (k ; h), (2k ; 2h), (3k ; 3h), ecc. • α è IRRAZIONALE; in questo caso, s non passa per alcun punto reticolare.

Ma si può osservare un'altra fondamentale differenza di comportamento tra i due casi.

Sia ad esempio 74

=α ; perciò il

primo punto reticolare su s è (7 ; 4). Comunque si prenda un'ascissa intera positiva n < 7, s interseca la retta di equazione x = n in un punto di ordinata nα non intera.

Quindi ad ogni n = 1, 2, ..., 6

si può associare un numero intero positivo m tale che m < nα < m + 1. Valutiamo più in dettaglio le differenze nel caso considerato:

66

y = αx

51

17

• per n = 1, la semiretta s interseca la retta x = 1 in un punto di ordinata compresa tra 0 e 1; si ha

quindi 17410 <=α⋅< . L'errore minore si ha calcolando la differenza con 1, e tale errore vale

(in modulo) 73 ;

• per n = 2, si ha 27821 <=α⋅< ; l'errore minore è

711

78

=− ;

• per n = 3, si ha 27

1231 <=α⋅< ; l'errore minore è 722

712

=− ;

• per n = 4, si ha 37

1642 <=α⋅< ; l'errore minore è 722

716

=− ;

• per n = 5, si ha 372052 <=α⋅< ; l'errore minore è

713

720

=− ;

• per n = 6, si ha 472463 <=α⋅< ; l'errore minore è

733

724

=− .

A questo punto il ciclo si ripete. Infatti, se si prende il rettangolo avente vertici opposti (0 ; 0)

e (7 ; 4) e lo si trasla di 7 unità di misura a destra e di 4 in alto, esso si sovrappone al rettangolo di vertici opposti (7 ; 4) e (14 ; 8), nel quale la semiretta s costituisce ancora la diagonale (lo stesso vale naturalmente per ulteriori traslazioni):

In conclusione, se α è razionale, l'insieme dei possibili valori positivi | m − nα | ammette un

minimo (nel nostro caso tale minimo è 71 ). L'unico valore possibile al disotto di questo è 0.

Per α irrazionale la situazione è completamente diversa. La semiretta s non tocca nessun

punto reticolare, però SI AVVICINA INDEFINITAMENTE all'insieme di tali punti. Ad esempio,

si consideri la semiretta s di coefficiente angolare 618,02

15≅

−=α . Sebbene s non incontri alcun

punto reticolare, tuttavia essa passa "molto vicino" ad alcuni di essi, ad esempio (5 ; 3), (8 ; 5), (13 ; 8) e (21 ; 13).

(21 ; 12) (14 ; 8) (7 ; 4)

18

Si considerino ora le differenze tra m ed nα per tali coppie di numeri:

(5 ; 3) ⇒ 09017,02

55112

1553|53| ≅−

=−

−=α− ;

(8 ; 5) ⇒ 055728,05492

1585|85| ≅−=−

−=α− ;

(13 ; 8) ⇒ 0344418,02

513292

15138|138| ≅−

=−

−=α− ;

(21 ; 13) ⇒ 0212862,02

521472

152113|2113| ≅−

=−

−=α− .

In questo caso la differenza | m − nα | non può essere nulla, ma si può rendere piccola a

piacere: non esiste cioè un minimo (né un estremo inferiore positivo) per | m − nα |: andando avanti incontriamo altri numeri razionali per i quali | m − nα | è sempre più piccolo; otteniamo così per il numero α approssimazioni razionali sempre migliori:

6,053= err. ≅ 0,018034; 625,0

85= err. ≅ 0,006966011;

615384,0138= err. ≅ 0,002649373; 619047,0

2113

= err. ≅ 0,00101363, ...

Se un numero razionale m / n dà una buona approssimazione di α, non è detto che si ottenga

un risultato migliore con un qualsiasi denominatore n' > n. Si osservino ad esempio le seguenti approssimazioni razionali di π:

142857,3722

= errore ≅ 0,00126449;

61415094339,3106333

≅ errore ≅ 0,0000832196;

541415929203,3113355

≅ errore ≅ 0,000000266764.

Questo però non implica che con denominatore 114, 115, ... si abbiano approssimazioni

razionali più accurate.

(5 ; 3) (21 ; 13) (13 ; 8) (8 ; 5)

19 Per ottenere un'approssimazione migliore occorre arrivare al denominatore 33102; si ha allora

1190261415926530,333102103993

≅ errore ≅ 0,0000000005778906.

Queste osservazioni sull'approssimabilità di un numero irrazionale forniscono un importante

criterio di irrazionalità. CRITERIO DI IRRAZIONALITÀ. Sia α un numero reale positivo. Supponiamo che

esistano due successioni {uk} e {vk} di numeri naturali che verificano la seguente proprietà: per ogni ε > 0 fissato esiste un k tale che 0 < | uk − α vk | < ε. Allora α è irrazionale.

In alternativa, si può supporre che sia α reale, e che le successioni {uk} e {vk} siano costituite

di numeri interi; in tal caso è indifferente scrivere | uk + α vk | al posto di | uk − α vk |. ATTENZIONE! La principale difficoltà nell'applicazione di questo criterio consiste nel

trovare esplicitamente le due successioni suddette. Tornando alle approssimazioni razionali viste prima, ci si può chiedere: come si fa a trovare

concretamente queste approssimazioni? Si possono ad esempio utilizzare le frazioni continue.

FRAZIONI CONTINUE

Un'espressione del tipo

Na

aa

aa

1

11

1

32

1

0

+

++

++

viene detta frazione continua finita. Si usano di solito le notazioni più comode Naaaa 111

210

+++

e [a0; a1, a2, ..., aN]. Nel seguito considereremo solo le cosiddette frazioni continue "semplici", con numeratori 1 e

con termini a0 ∈ Z e a1, a2, ... ∈ N. Per calcolare il valore di una frazione continua si può cominciare dall'ultima frazione e poi

procedere a ritroso:

=+

+=

++

+=

++

+=

++

++

51915

12

543

15

12

4513

15

12

411

13

15

12

100219

100192

19100

12

1955

12 =+=+=+

+= .

20 Si può ottenere il risultato in modo diverso, costruendo una sequenza finita di "convergenti",

cioè di frazioni intermedie che progressivamente si avvicinano al risultato finale. Questi convergenti coincidono con i valori delle frazioni continue [a0], [a0; a1], [a0; a1, a2], ...

Se n

nqp

è l'n-esimo convergente, le due successioni di interi {pn} e {qn} sono definite dalle

seguenti formule:

≥+=+=

=

−− 2per 1

21

101

00

nppapaap

ap

nnnn

≥+===

−− .2per

1

21

11

0

nqqaqaq

q

nnnn

Ad esempio, per la frazione continua [2 ; 5 , 3 , 1 , 4] abbiamo a0 = 2, a1 = 5, a2 = 3, a3 = 1,

a4 = 4. Allora:

p0 = 2; p1 = 2⋅5 + 1 = 11; p2 = 3⋅11 + 2 = 35; p3 = 1⋅35 + 11 = 46; p4 = 4⋅46 + 35 = 219 q0 = 1; q1 = 5; q2 = 3⋅5 + 1 = 16; q3 = 1⋅16 + 5 = 21; q4 = 4⋅21 + 16 = 100, per cui si hanno i convergenti:

2 2,2511

= 1875,21635

= 190476,22146

= 19,2100219

=

Valgono per i convergenti di una frazione continua le seguenti proprietà:

• I convergenti sono frazioni già ridotte ai minimi termini (cioè, pn e qn non possono avere

fattori comuni); • i convergenti di ordine pari costituiscono una successione strettamente crescente, che

approssima per difetto del numero x; analogamente, i convergenti di ordine pari costituiscono una successione strettamente decrescente, che approssima per eccesso x (l'ultimo convergente coincide con x);

• presi due convergenti consecutivi 1

1

−

−

n

nqp e

n

n

qp

, vale la relazione pn ⋅ qn−1 − pn−1 ⋅ qn−1 = (−1)n;

• la differenza tra x e un suo convergente n

nqp è in modulo minore di 2

1

nq (ad esempio,

2211

21001

100219

2146

<=− ).

Come si scrive la frazione continua relativa ad un numero razionale r assegnato?

• Si scrive r come frazione (ridotta ai minimi termini), quindi si separa la parte intera a0, per cui è r = a0 + α1, dove 0 < α1 < 1;

• si calcola 1

1α

, che risulta un numero maggiore di 1;

• si definisce

α=

11

1a , da cui 211

1α+=

αa , dove 0 < α2 < 1;

65

64

21

• si itera il procedimento, fino a trovare un numero intero aN, cioè un caso in cui αN+1 = 0; la frazione continua allora è [a0; a1, a2, ..., aN] (siccome però aN ≥ 2, si può indifferentemente scrivere [a0; a1, a2, ..., aN − 1, 1].

Ad esempio, per la frazione 577/113, si ha successivamente

113125

113577

+= ; 1259

12113

+= ; 522

512

+= ; 212

25

+= ; 212= ,

per cui ]2,2,2,9;5[113577

= , oppure ]1,1,2,2,9;5[113577

= (la rappresentazione è unica se si pone

la condizione che il termine finale non valga 1).

MA È MOLTO PIÙ INTERESSANTE APPLICARE QUESTA TEORIA AI NUMERI IRRAZIONALI!

Sia infatti α un numero irrazionale. Possiamo ripetere lo stesso procedimento già visto, e

quindi determinare successivamente a0, a1, a2,...

)12(12 33 −+= ;

)224(312412

1 33333 −++=++=

−;

10824431

2241 33

33−+

+=−+

524223295

524234

8244310

3

3

3

3

33 −−

+=−

−=

−+ ⇒ ...],5,1,3;1[23 =

Se α è irrazionale, la frazione continua è sempre infinita (ma è difficile in generale trovarne

esplicitamente i termini, perché si ha un problema analogo a quello visto prima per la rappresentazione fattoriale: dopo alcuni passaggi si osserva che per calcolare la parte intera del reciproco occorre conoscere α con tutta la precisione necessaria).

Vediamo ad esempio cosa succede per il numero π: π = 3 + (π − 3);

37227)0625133,7(3

1−π

π−+=≅

−π;

π−−π

+=≅π−

−π72233310615)9965944,15(

7223 ;

3331061133551)00341723,1(

333106722

−ππ−

+=≅−ππ− ;

π−−π

+=≅π−

−π11335510399333102292)634591,292(

113355333106 .

Si ha quindi la frazione continua [3; 7, 15, 1, 292, ...]; ma per proseguire è necessario

calcolare la parte intera di 10399333102113355−π

π− : poiché numeratore e denominatore sono molto

piccoli, occorre conoscere molte cifre esatte di π per ottenere un risultato attendibile.

22 Data una frazione continua (infinita) [a0; a1, a2, ... ], costruiamo le successioni dei convergenti

con le regole dette sopra, cioè:

≥+=+=

=

−− 2per 1

21

101

00

nppapaap

ap

nnnn

≥+===

−− .2per

1

21

11

0

nqqaqaq

q

nnnn

Ad esempio, nel caso della frazione continua relativa a π abbiamo a0 = 3, a1 = 7, a2 = 15,

a3 = 1, a4 = 292. Allora:

p0 = 3; q0 = 1; p1 = 3⋅7 + 1 = 22; q1 = 7; p2 = 15⋅22 + 3 = 333; q2 = 15⋅7 + 1 = 106; p3 = 1⋅333 + 22 = 355; q3 = 1⋅106 + 7 = 113; p4 = 292⋅355 + 333 = 103993; q4 = 292⋅113 + 106 = 33102; ... ...,

da cui la successione dei convergenti 3 , 722 ,

106333 ,

113355 ,

33102103993 , ...

Si trovano così le approssimazioni "migliori" viste prima, cioè i punti reticolari più vicini alla

semiretta di coefficiente angolare α. Ogni frazione continua è convergente, e se definiamo il suo

valore x come n

nn q

p∞→

lim osserviamo che i convergenti danno alternativamente approssimazioni di x

per difetto e per eccesso. Inoltre, per ogni convergente vale la disuguaglianza 2

1

nn

n

qqpx <− ; perciò

ad esempio la frazione 33102

103993 differisce da π meno di 102 10126,9

331021 −⋅≅ .

In alcuni casi è facile determinare in modo esatto la frazione continua per un irrazionale α; ad

esempio:

)13(231 −+=+ ⇒ a0 = 2;

21312

1313

1 −+=

+=

− ⇒ a1 = 1;

)13(2132)13(2

132

−+=+=+

=−

⇒ a2 = 2.

A questo punto abbiamo ritrovato lo stesso "resto" del primo passaggio, perciò la sequenza

{2 , 1} si ripete indefinitamente. Abbiamo quindi la frazione continua periodica [ ] ]1,2[...,2,1,2,1,2,1;231 ==+ .

La sequenza dei termini può anche essere periodica solo da un certo indice in avanti. Ad

esempio:

23

2837170)3899,0(

283717 −

+=≅− ⇒ a0 = 0;

91372)5648,2(

93717

371728 −

+=≅+

=−

⇒ a1 = 2;

43371)77069,1(

4137

1379 −

+=≅+

=−

⇒ a2 = 1;

74371)29754,1(

7337

3374 −

+=≅+

=−

⇒ a3 = 1;

35373)36092,3(

3437

4377 −

+=≅+

=−

⇒ a4 = 3;

43372)77069,2(

4537

5373 −

+=≅+

=−

⇒ a5 = 2 (stesso resto della 3ª riga);

A questo punto il ciclo {1 , 3 , 2} si ripete, per cui si ha per il numero α la frazione continua

]2,3,1,1,2;0[ TEOREMA. I numeri reali che hanno rappresentazione in frazione continua periodica

(infinita) sono tutti e soli i numeri della forma cba + (a, b, c razionali, b ≠ 0, c non quadrato perfetto).

Viceversa, come si trova esplicitamente il valore di una frazione continua periodica? Vediamo un caso in cui sia a0 = 0 e il periodo cominci già dal termine a1, ad esempio

x = [0 ; 2, 3, 2, 3, ...] = .

312

13

12

1

++

++

Per la periodicità, si può scrivere x

x

x

x27

3

312

1++

=

++

= , da cui l'equazione x(7 + 2x) = 3 + x,

cioè 2x2 + 6x − 3 = 0. L'unica radice positiva di questa equazione è 2

315 −=x .

Vediamo invece un caso in cui la successione è periodica solo da un certo punto in avanti, ad esempio ]2,2,1,1;7[=x ; posto ]2,2,1;0[=y , si ha (effettuando calcoli simili a quelli visti

sopra) yy

y

y3725

212

11

1++

=

++

+= , da cui

6585 −

=y . Essendo poi yy

yx

++

=+

+=1

781

17 , si trova

.81

85561

65851

658578 −=

−+

−+=x

24

LA FUNZIONE ζ DI RIEMANN

Per s reale > 1 (oppure per s complesso con Re(s) > 1) si definisce la funzione ζ tramite la

formula: ∑∞

==ζ

1

1)(n

sns .

Già Eulero si era interessato alle proprietà di questa funzione (un suo risultato di particolare

importanza è la formula nota come "prodotto di Eulero", cioè ∏ −−=ζ

psp

s1

1)( , dove la serie è

estesa ai valori primi di p); la funzione è universalmente nota come "zeta di Riemann" perché Riemann ne dimostrò l'estendibilità a tutto il piano complesso con l'esclusione di s = 1 e ne studiò varie proprietà (la celebre "ipotesi di Riemann" afferma che gli zeri "non banali" di ζ hanno tutti parte reale 1/2).

Nel seguito consideriamo la funzione ζ solo per s reale. Nel 1735 Eulero risolse il "problema di Basilea", dimostrando che ζ(2), cioè la serie dei

reciproci dei quadrati dei numeri naturali, è π2 / 6. Il risultato si può estendere: per ogni n ∈ N, ζ(2n) è un multiplo razionale di π2n (perciò è

sempre irrazionale):

08232323,190

)4(4≅

π=ζ

017343,1945

)6(6≅

π=ζ

004077,19450

)8(8

≅π

=ζ

Molto meno invece si sa sui valori di ζ(n) per n naturale dispari (è improbabile che ζ(3) sia multiplo razionale di π3). Non solo non ci sono formule esplicite, ma fino al 1978 neanche per un solo valore dispari si sapeva se il corrispondente valore di ζ fosse razionale o irrazionale.

TEOREMA DI APÉRY. ζ(3) è un numero irrazionale. La dimostrazione è molto complessa, ma essenzialmente l'idea consiste dapprima

nell'esprimere ζ(3) con una serie che converge più rapidamente, e poi nel costruire una successione di approssimazioni razionali uk / vk in modo da applicare il criterio detto prima (se | uk − αvk | è positivo e si può rendere minore di un qualunque ε, allora α è irrazionale).

Successivamente (1979) il matematico olandese F. Beukers ha fornito una diversa dimostrazione, che ottiene lo stesso risultato definendo in modo meno complicato le successioni approssimanti.

DIMOSTRAZIONE DI BEUKERS (linee essenziali) Sia Cn il cubo unitario n-dimensionale, cioè

volte

]1,0[]1,0[]1,0[n

nC ×××= , e sia dn il minimo

comune multiplo dei numeri 1, 2, ..., n (vale la limitazione dn < 3n, per n sufficientemente grande).

(Si può dare una formula generale per ζ(2n), nella quale si utilizzano i numeri di Bernoulli).

25 LEMMA. Siano r ed s numeri interi non negativi. Allora:

• se r > s, ∫∫ −−

21log

C

sr dxdyyxxyxy è un numero razionale il cui denominatore è sottomultiplo

di 3nd ;

• se r = s,

−−−−ζ=

−−

∫∫ 3331

21

11)3(2

1log

2r

dxdyyxxyxy

C

rr ; in particolare, per r = s = 0 si

trova )3(21log

2

ζ=−

−∫∫C

dxdyxyxy .

Ne segue che, per un qualsiasi polinomio Q(x , y) a coefficienti interi, in cui x ed y appaiono

al massimo al grado n, ∫∫ −−

2

),(1log

CdxdyyxQ

xyxy è una combinazione lineare (a coefficienti interi) di

ζ(3) e di numeri razionali i cui denominatori sono divisori di 3nd ⇒

3)3(),(

1log

2 nC dBAdxdyyxQ

xyxy ζ+

=−

−∫∫ (A , B ∈ Z).

Dato n naturale, si definisca ))1((!

1)( nnn

n

n xxdxd

nxP −= (nonostante la presenza di n! al

denominatore, Pn è un polinomio di grado n a coefficienti interi). Si consideri ora ∫

1

0)()( dxxPxf n ; se f è derivabile n volte con continuità in [0 , 1], integrando

per parti n volte si "scaricano" le derivate sulla f e si ha ∫∫ −−

=1

0)(1

0)1()(

!)1()()( dxxxxf

ndxxPxf nnn

n

n .

Consideriamo ora ∫∫ −−

2

)()(1log

Cnn dxdyyPxPxy

xy ; per quanto osservato prima, questo si può

scrivere 3)3(

ndBA ζ+ (A, B ∈ Z). Essendo poi ∫ −−

=−

− 1

0 )1(11log

zxydz

xyxy , vediamo che

∫∫ −−

2

)()(1log

Cnn dxdyyPxPxy

xy si scrive come ∫∫∫ −−3

)1(1)()(

C

nn dxdydzzxyyPxP .

Con alcune trasformazioni (ed utilizzando anche quanto detto prima sull'integrazione per parti

n volte), questo integrale diventa a sua volta ∫∫∫ +−−−−−

3

1))1(1()1()1()1(

Cn

nnnnnndxdydw

wxywwyyxx

.

Ora scriviamo la funzione integranda nella forma ( )wxy

wyx n

)1(1),,(

−−Φ , dove

wxywwyyxxwyx

)1(1)1()1()1(),,(

−−−−−

=Φ ; si ha allora Φ(x , y , w) 4)12( −< e )3(2)1(1

3

ζ=−−∫∫∫

C wxydxdydw

⇒ <∫∫∫3C )3()12(2 4 ζ− n .

26 Si ha allora 34)12)(3(2)3(0 n

n dBA −ζ<ζ+< , che per ogni n abbastanza grande è minore di

( ) ( )nnn 434 )12(27)3(23)12)(3(2 −ζ=⋅−ζ . Ma 4)12(27 − è circa 0,7948 < 4/5 ⇒ n

BA

ζ<ζ+< 5

4)3(2)3(0 . Per n abbastanza grande questo diventa piccolo a piacere, e da ciò

segue l'irrazionalità di ζ(3).

ALCUNI PROBLEMI IRRISOLTI

• Come si comporta ζ(n) per i successivi interi dispari? È stato dimostrato che esistono

infiniti valori irrazionali di ζ(2n + 1) (Rivoal, 2000); il miglior risultato oggi noto è: UNO ALMENO tra i numeri ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) è irrazionale (Zudilin, 2001).

• Sia

−++++=γ

∞→nnn

log131

211lim (costante di Eulero-Mascheroni, di valore

approssimato 0,5772156649); non si sa se è irrazionale (ma si sospetta che lo sia).

27

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI G.H. Hardy - E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Science

Publications, V edizione, 1978. I. Niven, Irrational Numbers, The Carus Mathematical Monographs, n. 11, The Mathematical

Association of America, 1956. R. Apéry, Irrationalitè de ζ 2 et ζ 3, Societè Mathématique de France Asterisque 61 (1979),

pag. 11-13. F. Beukers, A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3), Bull. London Math. Soc. 11 (1979),

pag. 268-272. M. Du Sautoy, L'enigma dei numeri primi, Saggi BUR, X edizione, 2009.