Cad C3 Teoria 2serie 3bim Matematica

download Cad C3 Teoria 2serie 3bim Matematica

of 56

  • date post

    28-Sep-2015
  • Category

    Documents

  • view

    1.278
  • download

    17

Embed Size (px)

description

Cad C3 Teoria 2serie 3bim Matematica

Transcript of Cad C3 Teoria 2serie 3bim Matematica

  • MATEMTICA 1

    1. Coordenadas cartesianas ortogonaisSeja o plano determinado por dois eixos Ox

    e Oy

    perpendiculares em O.

    Considere um ponto P qual quer do plano e conduzapor ele as paralelas aos eixos, que cortaro Ox e Oy ,

    respec tivamente, em P1 e P2.Escolhida uma unidade (em geral a mesma sobre os

    dois eixos), adota-se a seguinte nomenclatura:

    a) Abscissa de P o nmero real xp = OP1

    b) Ordenada de P o nmero real yp = OP2c) Coordenadas de P so os nmeros reais xp e yp

    indicados na forma (xp; yp) de um par ordenado.

    d) O eixo dos x ou Ox ser chamado eixo das abs -

    cissas.

    e) O eixo dos y ou Oy ser chamado eixo das or -

    denadas.f) O plano formado pelo par de eixos Ox

    e Oy

    ser

    chamado plano cartesiano.g) O sistema de eixos formados por Ox e Oy cha -

    mado sistema cartesiano ortogonal.h) O ponto O a origem do sistema cartesiano or to -

    gonal.

    2. Posio de um ponto nosistema cartesiano ortogonalOs eixos Ox

    e Oy

    determinam, no plano cartesiano,

    quatro regies angulares que sero denominadas qua -drantes.

    Geometria Analtica Mdulos33 Sistema cartesiano ortogonal 34 Distncia entre dois pontos35 Ponto mdio de um segmento 36 rea do tringulo e condio de alinhamento37 Equao da reta38 Posies particulares da reta39 Semiplanos40 Coeficiente angular e equao reduzida41 Posies relativas entre duas retas42 Equao de uma reta que passa por P(x0; y0)43 Paralelismo e perpendicularismo44 Distncia de ponto a reta

    Ren Descartes (1596-1650) Fuso da lgebra com a geo metria,fato que gerou a Geometria Analtica

    33 Sistema cartesiano ortogonal Plano cartesiano Abscissa Ordenada

    C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 1

  • Observe que:a) Um ponto pertence ao 1o. quadrante se, e so men -

    te se, tiver a abscissa e a ordenada positivas. Sim -bolicamente:

    b) Um ponto pertence ao 2o. quadrante se, e so -mente se, tem a abscissa negativa e a ordenada po -sitiva. Simbolicamente:

    c) Um ponto pertence ao 3o. quadrante se, e so -mente se, tem a abscissa e a ordenada negativas.Sim bo licamente:

    d) Um ponto pertence ao 4o. quadrante se, esomente se, tem abscissa positiva e ordenadanegativa. Simbolicamente:

    e) Um ponto pertence ao eixo das abscissas se, esomente se, tem ordenada nula. Simbolicamente:

    f) Um ponto pertence ao eixo das ordenadas se, esomente se, tem abscissa nula. Simbolicamente:

    g) A origem O do sistema cartesiano ortogonal temabscissa e ordenada nulas. Simbolicamente:

    h) Um ponto pertence bissetriz dos quadrantes m -pares se, e somente se, a abscissa e a ordenada soiguais. Simbolicamente:

    i) Um ponto pertence bissetriz dos quadrantespares se, e somente se, a abscissa e a ordenada sosimtricas. Simbolicamente:

    P 1o. quadrante xP > 0 e yP > 0

    Q 2o. quadrante xQ < 0 e yQ > 0

    R 3o. quadrante xR < 0 e yR < 0

    S 4.o quadrante xS > 0 e yS < 0

    A Ox

    yA = 0

    B Oy

    xB = 0

    O a origem xO = yO = 0

    M bissetriz do 1o. e 3o. quadrantes

    xM = yM

    MATEMTICA2

    C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 2

  • MATEMTICA 3

    3. Segmento paralelo ao eixo das abscissasDados dois pontos A (xA; yA) e B (xB; yB) distintos, o

    segmento de reta AB paralelo ao eixo das abscissas

    se, e somente se, A e B tm a mesma ordenada. Sim -bolicamente:

    A medida do segmento AB dada pelo mdulo da

    diferena das abscissas dos pontos A e B.

    4. Segmento paralelo ao eixo das ordenadasDados dois pontos C (xC; yC) e D (xD; yD) distintos, o

    segmento de reta CD paralelo ao eixo das ordenadas

    se, e somente se, C e D tm a mesma abscissa.

    Simbolicamente:

    A medida do segmento CD

    dada pelo mdulo dadiferena das ordenadas dos pontos C e D.

    CD

    // Oy

    xC = xD

    AB = xB xA

    AB

    // Ox

    yA = yB

    N bissetriz do 2o. e 4o. quadrantes

    xN = yN

    CD = yD yC

    (MODELO ENEM) Os pontos A ( 1; 0); B (4; 0) e C (5; 3) so vrtices consecutivos deum paralelogramo ABCD. Determinar as coor -denadas do vrtice D.Resoluo

    Resposta: D(0, 3)

    (UFLA MODELO ENEM) Calcule ascoordenadas do ponto P = (x,y), saben do-seque a rea do tringulo APD o dobro da reado tringulo PBC e que esse tem rea igual aodobro da rea do tringulo PDC.

    Resoluo

    Resposta: As coordenadas do ponto P so

    ;

    SAPD = 2 . SPBCSPBC = 2 . SPDC1 . x 1(1 x)

    = 2 . 2 2

    1(1 x) 1(1 y) = 2 .

    2 2

    2x =

    35

    y = 6

    562

    3

    Exerccios Resolvidos

    Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M301

    No Portal Objetivo

    C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 3

  • MATEMTICA4

    Representar no sistema de eixos cartesianos ortogo nais ospontos:A (4; 3); B ( 1; 3); C ( 3; 4);D (4; 2); E (2, 0); F (0; 4);

    RESOLUO:

    Dar as coordenadas dos pontos simtricos de A (3; 2), B (2; 5), C (1; 3), D (4; 2) e E (4; 0) em relao ao eixo dasordenadas.

    RESOLUO:

    A ( 3; 2)B (2; 5)C (1; 3)D ( 4; 2)E ( 4; 0)

    Dado o ponto P (x; y), determine a condio para que:a) P pertena ao eixo x.b) P pertena ao eixo y.

    c) P pertena ao 2o. quadrante (excludos os eixos).d) P pertena bissetriz dos quadrantes mpares.

    RESOLUO:a) y = 0 b) x = 0c) x < 0 e y > 0 d) y = x

    Num quadrado ABCD contido no 1o. quadrante, te mos: A(1; 1) e B(3; 1). Determinar as coordenadas dos vrtices C e D.

    RESOLUO:

    AB = 2 C(3; 3) e D(1; 3)

    (UNESP MODELO ENEM) Considere os pontos doplano (0,0), (0,1), (2,1), (2,3), (5,3) e (7,0). Representando geo -me tricamente esses pontos no plano cartesiano e ligando-ospor meio de segmentos de retas obedecendo sequnciadada, aps ligar o ltimo ponto ao primeiro obtm-se umaregio limitada do plano. Se a unidade de medida dada emcentmetros, a rea dessa regio, em cm2, :a) 9 b) 10 c) 13 d) 14 e) 15

    RESOLUO:

    Os pontos O (0; 0), A(0; 1), B(2; 1), C(2; 3), D(5; 3) e E(7; 0), so osvrtices da regio cuja rea S igual rea SI do retngulo OABF,mais a rea SII do trapzio CDEF, onde F(2; 0).Dessa forma, temos:

    S = SI + SII = 2 . 1 + = 2 + 12 = 14.

    Se a unidade de medida dada em centmetros, a rea dessaregio igual a 14 cm2.Resposta: D

    (5 + 3) . 3

    2

    C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 4

  • Determinar o permetro do tringulo ABC, dados: A (2; 2), B ( 2; 1) e C ( 1; 6)

    RESOLUO:

    I) dAB = (xB xA)2 + (yB yA)2

    dAB = ( 2 2)2 + (1 2)2 = 16 + 1 dAB = 17

    II) dBC = (xC xB)2 + (yC yB)2

    dBC = ( 1 + 2)2 + (6 1)2 = 1 + 25 dBC = 26

    III) dAC = (xC xA)2 + (yC yA)2

    dAC = ( 1 2)2 + (6 2)2 = 9 + 16 dAC = 5

    IV) O permetro do tringulo ABC 17 + 26 + 5

    MATEMTICA 5

    34 Distncia entre dois pontos Teorema de Pitgoras

    Dados dois pontos A (xA; yA) e B (xB; yB) distintos, para calcularmos adistncia entre os pontos A e B, vamos aplicar o Teorema de Pitgoras notringulo ABC da figura.

    A distncia entre os pontos A e B ser indicada por dAB.Assim, temos: (dAB)2 = (xB xA)2 + (yB yA)2 e, portanto,

    dAB = (xB xA)2 + (yB yA)2

    Dados A (x; 6), B ( 1; 4) e C (5; 2),determinar o valor de x de modo que o tringuloABC seja issceles de base BC

    .

    Resoluo

    Devemos ter dBA = dCA, ento:

    (xA xB)2 + (yA yB)2 =

    = (xA xC)2 + (yA yC)2

    (x + 1)2 + (6 4)2 = (x 5)2 + (6 2)2 (x + 1)2 + 4 = (x 5)2 + 16

    x2 + 2x + 1 + 4 = x2 10x + 25 + 16

    12x = 36 x = 3

    Resposta: x = 3

    (UNI.FED.PELOTAS) Na arquitetura, aMatemtica usada a todo momento. AGeometria especialmente necessria nodesenho de projetos. Essa parte da Matem -tica ajuda a definir a forma dos espaos,usando as propriedades de figuras planas eslidas. Ajuda tambm a definir as medidasdesses espaos. Uma arquiteta contratadapara fazer o jardim de uma residncia, quedeve ter formato triangular. Analisando a plantabaixa, verifica-se que os vrtices possuemcoordenadas A (8, 4), B (4, 6) e C (2, 4). Noponto mdio do lado formado pelos pontos A eC, colocado um suporte para luminrias.Considerando o texto e seus conhecimentos, correto afirmar que a distncia do suporte at oponto B mede, em unidades de com primento,

    a) 37. b) 3. c) 5 .d) 13 . e) 17.Resoluo

    Se M o ponto mdio de AC, ento: M(5,4)

    Assim: MB = (5 4)2 + (4 6)2 = 5

    Resposta: C

    Exerccios Resolvidos

    C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 5

  • Determinar no eixo das ordenadas o ponto P, cujadistncia at o ponto A (4; 1) seja igual a 5 unidades.

    RESOLUO:Sendo P(0, y), A(4; 1) e dAP = 5, temos

    (0 4)2 + (y 1)2 = 5 16 + (y 1)2 = 5 16 + (y 1)2 = 25 (y 1)2 = 9 y 1 = 3

    y = 4 ou y = 2

    Logo, P(0; 4) ou P(0; 2)

    Determinar o ponto P do eixo das abscissas, equi distantedos pontos A (6; 5) e B (2; 3).

    RESOLUO:Sendo dAP = dBP e P(x, 0), temos:

    (xP xA)2 + (yP yA)2 = (xP xB)2 + (yP yB)2

    (x 6)2 + (0 5)2 = (x + 2)2 + (0 3)2 (x 6)2 + 25 = (x + 2)2 + 9

    x2 12x + 36 + 25 = x2 + 4x + 4 + 9 16x = 48 x = 3

    Logo, P(3; 0)

    (MACKENZIE MODELO ENEM) Em relao a umsistema cartesiano orto gonal, com os eixos graduados em

    quilmetros, uma lancha sai do ponto ( 6, 4), navega 7 km

    para leste, 6 km para o norte e 3 km para oeste, encontrando

    um porto. Depois continua a navegao, indo 3 km para norte

    e 4 km para leste, encontrando um outro porto. A distncia, em

    quilmetros, entre os portos

    a) 7 b) 35 c) 23 d) 7 e) 5