Logica Matematica si computationala

Clauze si FNC

Unei formule ϕ ın FNC ıi asociem o multime de clauze Sϕ astfel:

Fie

ϕ :=n∧

i=1

ki∨j=1

Li ,j

,

unde fiecare Li ,j este literal. Pentru orice i , fie Ci clauza obtinutaconsiderand toti literalii Li ,j , j ∈ {1, . . . , ki} distincti. Fie Sϕmultimea tuturor clauzelor Ci , i ∈ {1, . . . , n} distincte.

Sϕ se mai numeste si forma clauzala a lui ϕ.

Propozitia 1.83

Pentru orice evaluare e : V → {0, 1}, e � ϕ ddaca e � Sϕ.

Dem.: Exercitiu.

1

Clauze si CNF

Unei multimi de clauze S ıi asociem o formula ϕS ın FNC astfel:I C = {L1, . . . , Ln}, n ≥ 1 7−→ ϕC := L1 ∨ L2 ∨ . . . ∨ Ln.I � 7−→ ϕ� := v0 ∧ ¬v0.

Fie S = {C1, . . . ,Cm} o multime nevida de clauze. Formulaasociata lui S este

ϕS :=m∧i=1

ϕCi.

Formula asociata multimii vide de clauze este ϕ∅ := v0 ∨ ¬v0.Formula ϕS nu este unic determinata, depinde de ordinea ın carese scriu elementele ın clauze si ın S, dar se observa imediat ca:S = S ′ implica ϕS ∼ ϕS′ .

Propozitia 1.84

Pentru orice evaluare e : V → {0, 1}, e � S ddaca e � ϕS .

Dem.: Exercitiu.2

Rezolutia

Definitia 1.85

Fie C1,C2 doua clauze. O clauza R se numeste rezolvent alclauzelor C1,C2 daca exista un literal L a.ı. L ∈ C1, Lc ∈ C2 si

R = (C1 \ {L}) ∪ (C2 \ {Lc}).

Regula Rezolutiei

RezC1,C2

(C1 \ {L}) ∪ (C2 \ {Lc}), L ∈ C1, L

c ∈ C2

Notam cu Res(C1,C2) multimea rezolventilor clauzelor C1,C2.

I Rezolutia a fost introdusa de Blake (1937) si dezvoltata deDavis, Putnam (1960) si Robinson (1965).

I Multe demonstratoare automate de teoreme folosesc rezolutia.Limbajul PROLOG este bazat pe rezolutie.

3

Rezolutia

Exemplu

C1 = {v1, v2,¬v5}, C2 = {v1,¬v2, v100, v5}.I Luam L := ¬v5. Atunci L ∈ C1 si Lc = v5 ∈ C2. Prin urmare,

R = {v1, v2,¬v2, v100} este rezolvent al clauzelor C1,C2.

I Daca luam L′ := v2, atunci L′ ∈ C1 si L′c = ¬v2 ∈ C2. Prinurmare, R ′ = {v1,¬v5, v100, v5} este rezolvent al clauzelorC1,C2.

Exemplu

C1 = {v7}, C2 = {¬v7}. Atunci clauza vida � este rezolvent alclauzelor C1,C2.

4

Rezolutie

Fie S o multime de clauze.

Definitia 1.86

O derivare prin rezolutie din S sau o S-derivare prin rezolutie esteo secventa C1,C2, . . . ,Cn de clauze a.ı. pentru fiecarei ∈ {1, . . . , n}, una din urmatoarele conditii este satisfacuta:

(i) Ci este o clauza din S;

(ii) exista j , k < i a.ı. Ci este rezolvent al clauzelor Cj ,Ck .

Definitia 1.87

Fie C o clauza. O derivare prin rezolutie a lui C din S este oS-derivare prin rezolutie C1,C2, . . . ,Cn a.ı. Cn = C .

5

Rezolutie

Exemplu

FieS = {{¬v1, v2}, {¬v2,¬v3, v4}, {v1}, {v3}, {¬v4}}.

O derivare prin rezolutie a clauzei vide � din S este urmatoarea:

C1 = {¬v4} C1 ∈ SC2 = {¬v2,¬v3, v4} C2 ∈ SC3 = {¬v2,¬v3} C3 rezolvent al clauzelor C1,C2

C4 = {v3} C4 ∈ SC5 = {¬v2} C5 rezolvent al clauzelor C3,C4

C6 = {¬v1, v2} C6 ∈ SC7 = {¬v1} C7 rezolvent al clauzelor C5,C6

C8 = {v1} C8 ∈ SC9 = � C9 rezolvent al clauzelor C7,C8.

6

Rezolutia

Pentru orice multime de clauze S, notam cu

Res(S) := {Res(C1,C2) | C1,C2 ∈ S}.

Propozitia 1.88

Pentru orice multime de clauze S si orice evaluare e : V → {0, 1},e � S ⇒ e � Res(S).

Dem.: Daca Res(S) = ∅, atunci este valida, deci e � Res(S).Presupunem ca Res(S) este nevida si fie R ∈ Res(S). Atunciexista clauze C1,C2 ∈ S si un literal L a.ı. L ∈ C1, L

c ∈ C2 siR = (C1 \ {L}) ∪ (C2 \ {Lc}). Avem doua cazuri:I e � L. Atunci e 6� Lc . Deoarece e � C2, exista U ∈ C2,U 6= Lc

a.ı. e � U. Deoarece U ∈ R, obtinem ca e � R.I e � Lc . Atunci e 6� L. Deoarece e � C1, exista U ∈ C1,U 6= L

a.ı. e � U. Deoarece U ∈ R, obtinem ca e � R.7

Corectitudinea rezolutiei

Teorema de corectitudine a rezolutiei 1.88

Fie S o multime de clauze. Daca � se deriveaza prin rezolutie dinS, atunci S este nesatisfiabila.Dem.: Fie C1,C2, . . . ,Cn = � o S-derivare prin rezolutie a lui �.Presupunem ca S este satisfiabila si fie e � S.Demonstram prin inductie dupa i ca:

pentru orice 1 ≤ i ≤ n, e � Ci .

Pentru i = n, obtinem ca e � �, ceea ce este o contradictie.Cazul i = 1 este evident, deoarece C1 ∈ S.Presupunem ca e � Cj pentru orice j < i . Avem doua cazuri:I Ci ∈ S. Atunci e � Ci .I exista j , k < i a.ı. Ci ∈ Res(Cj ,Ck). Deoarece, conform

ipotezei de inductie, e � {Cj ,Ck} aplicam Propozitia 1.87pentru a conclude ca e � Ci .

8

Algoritmul Davis-Putnam (DP)

Intrare: S multime nevida de clauze netriviale.i := 1, S1 := S.

Pi.1 Fie xi o variabila care apare ın Si . Definim

T 1i := {C ∈ Si | xi ∈ C}, T 0

i := {C ∈ Si | ¬xi ∈ C}.Pi.2 if (T 1

i 6= ∅ si T 0i 6= ∅) then

Ui := {(C1 \ {xi}) ∪ (C0 \ {¬xi}) | C1 ∈ T 1i ,C0 ∈ T 0

i }.else Ui := ∅.Pi.3 Definim

S ′i+1 :=(Si \ (T 0

i ∪ T 1i ))∪ Ui ;

Si+1 := S ′i+1 \ {C ∈ S ′i+1 | C triviala}.

Pi.4 if Si+1 = ∅ then S este satisfiabila.else if � ∈ Si+1 then S este nesatisfiabila.

else {i := i + 1; go to Pi.1}.9


S = {{v1,¬v3}, {v2, v1}, {v2,¬v1, v3}}. i := 1, S1 := S.

P1.1 x1 := v3; T 11 := {{v2,¬v1, v3}}; T 0

1 := {{v1,¬v3}}.P1.2 U1 := {{v2,¬v1, v1}}.P1.3 S ′2 := {{v2, v1}, {v2,¬v1, v1}}; S2 := {{v2, v1}}.P1.4 i := 2 and go to P2.1.

P2.1 x2 := v2; T 12 := {{v2, v1}}; T 0

2 := ∅.P2.2 U2 := ∅.P2.3 S3 := ∅.P2.4 S este satisfiabila.

10


S = {{¬v1, v2,¬v4}, {¬v3,¬v2}, {v1, v3}, {v1}, {v3}, {v4}}.i := 1, S1 := S.

P1.1 x1 := v1; T 11 := {{v1, v3}, {v1}}; T 0

1 := {{¬v1, v2,¬v4}}.P1.2 U1 := {{v3, v2,¬v4}, {v2,¬v4}}.P1.3 S2 := {{¬v3,¬v2}, {v3}, {v4}, {v3, v2,¬v4}, {v2,¬v4}}.P1.4 i := 2 and go to P2.1.

P2.1. x2 := v2; T 12 := {{v3, v2,¬v4}, {v2,¬v4}}; T 0

2 := {{¬v3,¬v2}}.P2.2 U2 := {{v3,¬v4,¬v3}, {¬v4,¬v3}}.P2.3 S3 := {{v3}, {v4}, {¬v4,¬v3}}.P2.4 i := 3 and go to P3.1.

P3.1 x3 := v3; T 13 := {{v3}}; T 0

3 := {{¬v4,¬v3}}.P3.2. U3 := {{¬v4}}. P3.3 S4 := {{v4}, {¬v4}}.P3.4 i := 4 and go to P4.1.

P4.1 x4 := v4; T 14 := {{v4}}; T 0

4 := {{¬v4}}.P4.2 U4 := {�}. P4.3 S5 := {�}.P4.4 S nu este satisfiabila.

11

Algoritmul DP - terminare

Notam:

Var(C ) := {x ∈ V | x ∈ C sau ¬x ∈ C}, Var(S) :=⋃

C∈S Var(C ).

Asadar, Var(C ) = ∅ ddaca C = � si Var(S) = ∅ ddaca S = ∅sau S = {�}.

Propozitia 1.90

Fie n := |Var(S)|. Atunci algoritmul DP se termina dupa cel multn pasi.

Dem.: Se observa imediat ca pentru orice i ,

Var(Si+1) ⊆ Var(Si ) \ {xi} ( Var(Si ).

Prin urmare, n = |Var(S1)| > |Var(S2)| > |Var(S3)| > . . . ≥ 0.

Fie N ≤ n numarul de pasi dupa care se termina DP. AtunciSN+1 = ∅ sau � ∈ SN+1.

12

Algoritmul DP - corectitudine si completitudine

Propozitia 1.91

Pentru orice i ≤ N,

Si+1 este satisfiabila ⇐⇒ Si satisfiabila.

Dem.:”⇐” Presupunem ca Si este satisfiabila si fie e � Si . Se observaimediat ca Si+1 ⊆ Si ∪ Res(Si ). Prin urmare, folosindcorectitudinea rezolutiei, obtinem ca e � Si+1.”⇒” Presupunem ca Si+1 este satisfiabila si fie e � Si+1.Deoarece orice clauza triviala este valida, rezulta ca e � S ′i+1.Avem urmatoarele cazuri:I T 1

i = ∅. Atunci Ui = ∅ si S ′i+1 = Si \T 0i , deci Si = S ′i+1∪T 0

i .Fie e ′ := exi←0. Atunci e ′(xi ) = 0, deci e ′ � ¬xi . Rezulta cae ′ este model pentru orice clauza din T 0

i , adica e ′ � T 0i .

De asemenea, e(v) = e ′(v) pentru orice v ∈ Var(S ′i+1), decie ′ � S ′i+1. Am obtinut ca e ′ � Si .

13


I T 0i = ∅. Se demonstreaza similar, folosind evaluarea

e ′′ := exi←1.I T 1

i 6= ∅ si T 0i 6= ∅. Se observa ca Si ⊆ S ′i+1 ∪ (T 1

i ∪ T 0i ).

Cazul 1: e(xi ) = 1. Definim e∗ := exi←0. Atuncie, e∗ � S ′i+1, e � T 1

i , e∗ � T 0

i .Presupunem ca e, e∗ 6� T 1

i ∪ T 0i . Atunci exista C1 ∈ T 1

i a.ı.e∗ 6� C1 si C0 ∈ T 0

i a.ı. e 6� C0. Obtinem ca e 6� C0 \ {¬xi}.Daca am avea ca e � C1 \ {xi}, atunci ar exista un literal Lcare nu contine variabila xi a.ı. e � L, de unde am obtine cae∗ � L, contradictie cu faptul ca e∗ 6� C1.Rezulta ca e 6� (C1 \ {xi}) ∪ (C0 \ {¬xi}) ∈ Ui ⊆ S ′i+1, ocontradictie cu ipoteza.Asadar, una din evaluarile e, e∗ satisface T 1

i ∪ T 0i , deci este

model pentru Si .Cazul 2: e(xi ) = 0. Demonstratia e similara.

14


Teorema 1.92

Algoritmul DP este corect si complet, adica,

S este nesatisfiabila ddaca � ∈ SN+1.

Dem.: Aplicam Propozitia 1.91. Obtinem ca S = S1 estesatisfiabila ddaca SN+1 este satisfiabila ddaca � /∈ SN+1.

15

LOGICA DE ORDINUL I

1

Limbaje de ordinul I

Un limbaj L de ordinul I este format din:

I o multime numarabila V = {vn | n ∈ N} de variabile;

I conectorii ¬ si →;

I paranteze: ( , );

I simbolul de egalitate =;

I cuantificatorul universal ∀;

I o multime R de simboluri de relatii;

I o multime F de simboluri de functii;

I o multime C de simboluri de constante;

I o functie aritate ari : F ∪R → N∗.

I L este unic determinat de cvadruplul τ := (R,F , C, ari).I τ se numeste signatura lui L sau vocabularul lui L sau

alfabetul lui L sau tipul de similaritate al lui L2


Fie L un limbaj de ordinul I.

• Multimea SimL a simbolurilor lui L este

SimL := V ∪ {¬,→, (, ),=, ∀} ∪ R ∪ F ∪ C

• Elementele lui R∪ F ∪ C se numesc simboluri non-logice.• Elementele lui V ∪ {¬,→, (, ),=,∀} se numesc simboluri logice.

• Notam variabilele cu x , y , z , v , . . ., simbolurile de relatii cuP,Q,R . . ., simbolurile de functii cu f , g , h, . . . si simbolurile deconstante cu c , d , e, . . ..

• Pentru orice m ∈ N∗ notam:

Fm := multimea simbolurilor de functii de aritate m;

Rm := multimea simbolurilor de relatii de aritate m.3


Definitia 2.1

Multimea ExprL a expresiilor lui L este multimea tuturor sirurilorfinite de simboluri ale lui L.

I Expresia vida se noteaza λ.

I Lungimea unei expresii θ este numarul simbolurilor din θ.

Definitia 2.2

Fie θ = θ0θ1 . . . θk−1 o expresie a lui L, unde θi ∈ SimL pentruorice i .

I Daca 0 ≤ i ≤ j ≤ k − 1, atunci expresia θi . . . θj se numeste(i , j)-subexpresia lui θ;

I Spunem ca o expresie ψ apare ın θ daca exista0 ≤ i ≤ j ≤ k − 1 a.ı. ψ este (i , j)-subexpresia lui θ;

I Notam cu Var(θ) multimea variabilelor care apar ın θ.4

Termeni

Definitia 2.3

Multimea TrmL a termenilor lui L este intersectia tuturormultimilor de expresii Γ care satisfac urmatoarele proprietati:

I orice variabila este element al lui Γ;

I orice simbol de constanta este element al lui Γ;

I daca m ≥ 1, f ∈ Fm si t1, . . . , tm ∈ Γ, atunci ft1 . . . tm ∈ Γ.

Notatii:

I Termeni: t, s, t1, t2, s1, s2, . . ..

I Var(t) este multimea variabilelor care apar ın termenul t.

I Scriem t(x1, . . . , xn) daca x1, . . . , xn sunt variabile siVar(t) ⊆ {x1, . . . , xn}.

Definitia 2.4

Un termen t se numeste ınchis daca Var(t) = ∅.5

Termeni

Propozitia 2.5 (Inductia pe termeni)

Fie Γ o multime de termeni care are urmatoarele proprietati:

I Γ contine variabilele si simbolurile de constante;

I daca m ≥ 1, f ∈ Fm si t1, . . . , tm ∈ Γ, atunci ft1 . . . tm ∈ Γ.

Atunci Γ = TrmL.

Este folosita pentru a demonstra ca toti termenii au o proprietateP: definim Γ ca fiind multimea tuturor termenilor care satisfac Psi aplicam inductia pe termeni pentru a obtine ca Γ = TrmL.

6

Termeni

Citire unica (Unique readability)

Daca t este un termen, atunci exact una din urmatoarelealternative are loc:

I t = x , unde x ∈ V ;

I t = c, unde c ∈ C;

I t = ft1 . . . tm, unde f ∈ Fm (m ≥ 1) si t1, . . . , tm sunttermeni.

Mai mult, scrierea lui t sub una din aceste forme este unica.

7

Formule

Definitia 2.6

Formulele atomice ale lui L sunt expresiile de forma:

I (s = t), unde s, t sunt termeni;

I (Rt1 . . . tm), unde R ∈ Rm si t1, . . . , tm sunt termeni.

Definitia 2.7

Multimea FormL a formulelor lui L este intersectia tuturormultimilor de expresii Γ care satisfac urmatoarele proprietati:

I orice formula atomica este element al lui Γ;

I Γ este ınchisa la ¬: daca ϕ ∈ Γ, atunci (¬ϕ) ∈ Γ;

I Γ este ınchisa la →: daca ϕ,ψ ∈ Γ, atunci (ϕ→ ψ) ∈ Γ;

I Γ este ınchisa la ∀x (pentru orice variabila x): daca ϕ ∈ Γ,atunci (∀xϕ) ∈ Γ pentru orice variabila x .

8

Formule

NotatiiI Formule: ϕ,ψ, χ, . . ..

I Var(ϕ) este multimea variabilelor care apar ın formula ϕ.

Conventie

Ca si ın cazul logicii propozitionale, de obicei renuntam laparantezele exterioare, le punem numai atunci cand sunt necesare.Atunci cand nu e pericol de confuzie, scriem s = t ın loc de(s = t), Rt1 . . . tm ın loc de (Rt1 . . . tm), ∀xϕ ın loc de (∀xϕ), etc..

9

Formule

Propozitia 2.8 (Inductia pe formule)

Fie Γ o multime de formule care are urmatoarele proprietati:

I Γ contine toate formulele atomice;

I Γ este ınchisa la ¬,→ si ∀x (pentru orice variabila x).

Atunci Γ = FormL.

Este folosita pentru a demonstra ca toate formulele satisfac oproprietate P: definim Γ ca fiind multimea tuturor formulelor caresatisfac P si aplicam inductia pe formule pentru a obtine caΓ = FormL.

10

Formule

Citire unica (Unique readability)

Daca ϕ este o formula, atunci exact una din urmatoarelealternative are loc:

I ϕ = (s = t), unde s, t sunt termeni;

I ϕ = (Rt1 . . . tm), unde R ∈ Rm si t1, . . . , tm sunt termeni;

I ϕ = (¬ψ), unde ψ este formula;

I ϕ = (ψ → χ), unde ψ, χ sunt formule;

I ϕ = (∀xψ), unde x este variabila si ψ este formula.

Mai mult, scrierea lui ϕ sub una din aceste forme este unica.

11

Formule

Conectori derivati

Conectorii ∨, ∧, ↔ si cuantificatorul existential ∃ sunt introdusiprin urmatoarele abrevieri:

ϕ ∨ ψ := ((¬ϕ)→ ψ)

ϕ ∧ ψ := ¬(ϕ→ (¬ψ)))

ϕ↔ ψ := ((ϕ→ ψ) ∧ (ψ → ϕ))

∃xϕ := (¬∀x(¬ϕ)).

ConventiiI Se aplica aceleasi conventii ca la logica propozitionala LP ın

privinta precedentei conectorilor ¬, →, ∨, ∧, ↔.

I Cuantificatorii ∀, ∃ au precedenta mai mare decat ceilalticonectori.

I Asadar, ∀xϕ→ ψ este (∀xϕ)→ ψ si nu ∀x(ϕ→ ψ).

12

Notatii

De multe ori identificam un limbaj L cu multimea simbolurilor salenon-logice si scriem L = (R,F , C).

I Scriem de multe ori f (t1, . . . , tm) ın loc de ft1 . . . tm siR(t1, . . . , tm) ın loc de Rt1 . . . tm.

I Pentru simboluri f de operatii binare scriem t1ft2 ın loc deft1t2.

I Analog pentru simboluri R de relatii binare: scriem t1Rt2 ınloc de Rt1t2.

13

L-structura

Definitia 2.9

O L-structura este un cvadruplu

A = (A,FA,RA, CA)

unde

I A este o multime nevida;

I FA = {f A | f ∈ F} este o multime de operatii pe A; daca fare aritatea m, atunci f A : Am → A;

I RA = {RA | R ∈ R} este o multime de relatii pe A; daca Rare aritatea m, atunci RA ⊆ Am;

I CA = {cA ∈ A | c ∈ C}.I A se numeste universul structurii A. Notatie: A = |A|I f A (respectiv RA, cA) se numeste denotatia sau interpretarea

lui f (respectiv R, c) ın A. 14

Exemple - Limbajul egalitatii L=

L= = (R,F , C), unde

I R = F = C = ∅I acest limbaj este potrivit doar pentru a exprima proprietati ale

egalitatii

I L=-structurile sunt multimile nevide

Exemple de formule:

• egalitatea este simetrica:

∀x∀y(x = y → y = x)

• universul are cel putin trei elemente:

∃x∃y∃z(¬(x = y) ∧ ¬(y = z) ∧ ¬(z = x))

15

Exemple - Limbajul aritmeticii Lar

Lar = (R,F , C), unde

I R = {<}; < este simbol de relatie binara, adica are aritatea 2;

I F = {+, ×, S}; +, × sunt simboluri de operatii binare si Seste simbol de operatie unar (adica are aritatea 1);

I C = {0}.Scriem Lar = (<; +, ×, S ; 0) sau Lar = (<, +, ×, S , 0).

Exemplul natural de Lar -structura:

N := (N, <,+, ·, S , 0),

unde S : N→ N,S(m) = m + 1 este functia succesor. Prin urmare,

<N =<, +N

= +, ×N = ·, SN = S , 0N = 0.

• Alt exemplu de Lar -structura: A = ({0, 1}, <,∨,∧,¬, 1).16

Exemplu - Limbajul cu un simbol de relatie binar

LR = (R,F , C), unde

I R = {R}; R simbol binar

I F = C = ∅I L-structurile sunt multimile nevide ımpreuna cu o relatie

binara

I Daca suntem interesati de multimi partial ordonate (A,≤),folosim simbolul ≤ ın loc de R si notam limbajul cu L≤.

I Daca suntem interesati de multimi strict ordonate (A, <),folosim simbolul < ın loc de R si notam limbajul cu L<.

I Daca suntem interesati de grafuri G = (V ,E ), folosimsimbolul E ın loc de R si notam limbajul cu LGraf .

I Daca suntem interesati de structuri (A,∈), folosim simbolul ∈ın loc de R si notam limbajul cu L∈.

17

Exemple - Limbajul grupurilor LGr

LGr = (R,F , C), unde

I R = ∅;I F = {∗,−1 }; ∗ simbol binar, −1 simbol unar

I C = {e}.Scriem LGr = (∅; ∗,−1 ; e) sau LGr = (∗,−1 , e).

Exemple naturale de LGr -structuri sunt grupurile: G = (G , ·,−1 , e).

Prin urmare, ∗G = ·, −1G

=−1, eG = e.

Pentru a discuta despre grupuri abeliene (comutative), estetraditional sa se foloseasca limbajul LAbGr = (R,F , C), unde

I R = ∅;I F = {+, −}; + simbol binar, − simbol unar;

I C = {0}.Scriem LAbGr = (+, −, 0).

18

SEMANTICA

19

Interpretare (evaluare)

Fie L un limbaj de ordinul I si A o L-structura.

Definitia 2.10

O interpretare sau evaluare a (variabilelor) lui L ın A este o functiee : V → A.

In continuare, e : V → A este o interpretare a lui L in A.

Definitia 2.11 (Interpretarea termenilor)

Prin inductie pe termeni se defineste interpretarea tA(e) ∈ A atermenului t sub evaluarea e:

I daca t = x ∈ V , atunci tA(e) := e(x);

I daca t = c ∈ C, atunci tA(e) := cA;

I daca t = ft1 . . . tm, atunci tA(e) := f A(tA1 (e), . . . , tAm (e)).

20

Interpretarea formulelor

Prin inductie pe formule se defineste interpretarea

ϕA(e) ∈ {0, 1}

a formulei ϕ sub evaluarea e.

(s = t)A(e) =

{1 daca sA(e) = tA(e)0 altfel.

(Rt1 . . . tm)A(e) =

{1 daca RA(tA1 (e), . . . , tAm (e))0 altfel.

21


Negatia si implicatia

I (¬ϕ)A(e) = ¬¬¬ϕA(e);

I (ϕ→ ψ)A(e) = ϕA(e)→→→ ψA(e).

Prin urmare,

I (¬ϕ)A(e) = 1 ⇐⇒ ϕA(e) = 0.

I (ϕ→ ψ)A(e) = 1 ⇐⇒(ϕA(e) = 0 sau ψA(e) = 1

).

22


Notatie

Pentru orice variabila x ∈ V si orice a ∈ A, definim o nouainterpretarea ex←a : V → A prin

ex←a(v) =

{e(v) daca v 6= xa daca v = x .


(∀xϕ)A(e) =

{1 daca ϕA(ex←a) = 1 pentru orice a ∈ A

0 altfel.

23

Relatia de satisfacere

Fie A o L-structura si e : V → A o interpretare a lui L ın A.

Definitia 2.12

Fie ϕ o formula. Spunem ca:

I e satisface ϕ ın A daca ϕA(e) = 1. Notatie: A � ϕ[e].

I e nu satisface ϕ ın A daca ϕA(e) = 0. Notatie: A 6� ϕ[e].

Corolarul 2.13

Pentru orice formule ϕ,ψ si orice variabila x ,

(i) A � ¬ϕ[e] ⇐⇒ A 6� ϕ[e].

(ii) A � (ϕ→ ψ)[e] ⇐⇒ A � ϕ[e] implica A � ψ[e]⇐⇒ A 6� ϕ[e] sau A � ψ[e].

(iii) A � (∀xϕ)[e] ⇐⇒ pentru orice a ∈ A, A � ϕ[ex←a].

Dem.: Exercitiu usor.

24

Relatia de satisfacere

Fie ϕ,ψ formule si x o variabila.

Propozitia 2.14

(i) (ϕ ∨ ψ)A(e) = ϕA(e)∨∨∨ ψA(e);

(ii) (ϕ ∧ ψ)A(e) = ϕA(e)∧∧∧ ψA(e);

(iii) (ϕ↔ ψ)A(e) = ϕA(e)↔↔↔ ψA(e);

(iv) (∃xϕ)A(e) =

{1 daca exista a ∈ A a.ı. ϕA(ex←a) = 1

0 altfel.


Corolarul 2.15

(i) A � (ϕ ∧ ψ)[e] ⇐⇒ A � ϕ[e] si A � ψ[e].

(ii) A � (ϕ ∨ ψ)[e] ⇐⇒ A � ϕ[e] sau A � ψ[e].

(iii) A � (ϕ↔ ψ)[e] ⇐⇒ A � ϕ[e] ddaca A � ψ[e].

(iv) A � (∃xϕ)[e] ⇐⇒ exista a ∈ A a.ı. A � ϕ[ex←a].25

Semantica

Fie ϕ formula a lui L.

Definitia 2.16

Spunem ca ϕ este adevarata ıntr-o L-structura A daca pentruorice evaluare e : V → A,

A � ϕ[e].

Spunem si ca A satisface ϕ sau ca A este un model al lui ϕ.

Notatie: A � ϕ

Definitia 2.17

Spunem ca ϕ este formula universal adevarata sau (logic) validadaca pentru orice L-structura A,

A � ϕ.Notatie: � ϕ

1

Semantica

Fie ϕ,ψ formule ale lui L.

Definitia 2.18

ϕ si ψ sunt logic echivalente daca pentru orice L-structura A siorice evaluare e : V → A,

A � ϕ[e] ⇐⇒ A � ψ[e].Notatie: ϕ ��ψ

Definitia 2.19

ψ este consecinta semantica a lui ϕ daca pentru orice L-structuraA si orice evaluare e : V → A,

A � ϕ[e] ⇒ A � ψ[e].Notatie: ϕ � ψ

Observatie

(i) ϕ � ψ ddaca � ϕ→ ψ.

(ii) ϕ ��ψ ddaca (ψ � ϕ si ϕ � ψ) ddaca � ψ ↔ ϕ.2

Echivalente si consecinte logice

Propozitia 2.20

Pentru orice formule ϕ, ψ si orice variabile x , y ,

¬∃xϕ �� ∀x¬ϕ (1)

¬∀xϕ �� ∃x¬ϕ (2)

∀x(ϕ ∧ ψ) �� ∀xϕ ∧ ∀xψ (3)

∀xϕ ∨ ∀xψ � ∀x(ϕ ∨ ψ) (4)

∃x(ϕ ∧ ψ) � ∃xϕ ∧ ∃xψ (5)

∃x(ϕ ∨ ψ) �� ∃xϕ ∨ ∃xψ (6)

∀x(ϕ→ ψ) � ∀xϕ→ ∀xψ (7)

∀x(ϕ→ ψ) � ∃xϕ→ ∃xψ (8)

∀xϕ � ∃xϕ (9)

3


ϕ � ∃xϕ (10)

∀xϕ � ϕ (11)

∀x∀yϕ �� ∀y∀xϕ (12)

∃x∃yϕ �� ∃y∃xϕ (13)

∃y∀xϕ � ∀x∃yϕ. (14)

Dem.: Exercitiu.

Propozitia 2.21

Pentru orice termeni s, t, u,

(i) � t = t;

(ii) � s = t → t = s;

(iii) � s = t ∧ t = u → s = u.

Dem.: Exercitiu usor.4

Egalitatea

Propozitia 2.22

Pentru orice m ≥ 1, f ∈ Fm,R ∈ Rm si orice termeniti , ui , i = 1, . . . ,m,

� (t1 = u1) ∧ . . . ∧ (tm = um)→ ft1 . . . tm = fu1 . . . um (15)

� (t1 = u1) ∧ . . . ∧ (tm = um)→ (Rt1 . . . tm ↔ Ru1 . . . um). (16)

Dem.: Aratam (15). Fie A o L-structura si e : V → A o evaluarea.ı. A � ((t1 = u1) ∧ . . . ∧ (tm = um))[e]. Atunci A � (ti = ui )[e]pentru orice i ∈ {1, . . . ,m}, deci tAi (e) = uAi (e) pentru oricei ∈ {1, . . . ,m}. Rezulta ca

(ft1 . . . tm)A(e) = f A(tA1 (e), . . . , tAm (e)) = f A(uA1 (e), . . . , uAm(e))

= (fu1 . . . um)A(e)

Asadar, A � (ft1 . . . tm = fu1 . . . um)[e].5

Variabile legate si libere

Definitia 2.23

Fie ϕ = ϕ0ϕ1 . . . ϕn−1 o formula a lui L si x o variabila.

I spunem ca variabila x apare legata pe pozitia k ın ϕ dacax = ϕk si exista 0 ≤ i ≤ k ≤ j ≤ n − 1 a.ı. (i , j)-subexpresialui ϕ este o subformula a lui ϕ de forma ∀xψ;

I spunem ca x apare libera pe pozitia k ın ϕ daca x = ϕk , dar xnu apare legata pe pozitia k ın φ;

I x este variabila legata (bounded variable) a lui ϕ daca existaun k a.ı. x apare legata pe pozitia k ın ϕ;

I x este variabila libera (free variable) a lui ϕ daca exista un ka.ı. x apare libera pe pozitia k ın ϕ.

Exemplu

Fie ϕ = ∀x(x = y)→ x = z . Variabile libere: x , y , z . Variabilelegate: x .

6

Variabile legate si libere

Notatie: FV (ϕ) := multimea variabilelor libere ale lui ϕ.

Definitie alternativa

Multimea FV (ϕ) a variabilelor libere ale unei formule ϕ poate fidefinita si prin inductie pe formule:

FV (ϕ) = Var(ϕ), daca ϕ este formula atomica;

FV (¬ϕ) = FV (ϕ);

FV (ϕ→ ψ) = FV (ϕ) ∪ FV (ψ);

FV (∀xϕ) = FV (ϕ) \ {x}.

Notatie: ϕ(x1, . . . , xn) daca FV (ϕ) ⊆ {x1, . . . , xn}.

7

Interpretarea termenilor/formulelor

Propozitia 2.24

Pentru orice L-structura A si orice interpretari e1, e2 : V → A,pentru orice termen t,

daca e1(v) = e2(v) pentru orice variabila v ∈ Var(t), atuncitA(e1) = tA(e2).

Dem.: Exercitiu suplimentar.

Propozitia 2.25

Pentru orice L-structura A, orice interpretari e1, e2 : V → A,pentru orice formula ϕ,

daca e1(v) = e2(v) pentru orice variabila v ∈ FV (ϕ), atunciA � ϕ[e1] ⇐⇒ A � ϕ[e2].

Dem.: Exercitiu suplimentar.

8


Propozitia 2.26

Pentru orice formule ϕ, ψ si orice variabila x /∈ FV (ϕ),

ϕ �� ∃xϕ (17)

ϕ �� ∀xϕ (18)

∀x(ϕ ∧ ψ) �� ϕ ∧ ∀xψ (19)

∀x(ϕ ∨ ψ) �� ϕ ∨ ∀xψ (20)

∃x(ϕ ∧ ψ) �� ϕ ∧ ∃xψ (21)

∃x(ϕ ∨ ψ) �� ϕ ∨ ∃xψ (22)

∀x(ϕ→ ψ) �� ϕ→ ∀xψ (23)

∃x(ϕ→ ψ) �� ϕ→ ∃xψ (24)

∀x(ψ → ϕ) �� ∃xψ → ϕ (25)

∃x(ψ → ϕ) �� ∀xψ → ϕ (26)

Dem.: Exercitiu.9


Notatie

Fie t(x1, . . . , xn) un termen. Scriem

tA[a1, . . . , an]

ın loc de tA(e), unde e : V → A este o (orice) interpretare a.ı.e(x1) = a1, . . . , e(xn) = an.

Notatie

Fie ϕ(x1, . . . , xn) o formula. Scriem

A � ϕ[a1, . . . , an]

ın loc de A � ϕ[e], unde e : V → A este o (orice) interpretare a.ı.e(x1) = a1, . . . , e(xn) = an.

10

Enunturi

Definitia 2.27

O formula ϕ se numeste enunt (sentence) daca FV (ϕ) = ∅, adicaϕ nu are variabile libere.Notatie: SentL:= multimea enunturilor lui L.

Propozitia 2.28

Daca ϕ este un enunt, atunci

A � ϕ[e1]⇐⇒ A � ϕ[e2]

pentru orice interpretari e1, e2 : V → A.

Dem.: Este o consecinta imediata a Propozitiei 2.25 si a faptuluica FV (ϕ) = ∅.

Exemplu

I � ∃x(x = x);

I A 6� ¬∃x(x = x) pentru orice L-structura A.11

Tautologii

Notiunea de tautologie se pot aplica si unui limbaj de ordinul ıntai.Intuitiv: o tautologie este o formula ”adevarata” numai pe bazainterpretarilor conectivelor ¬,→.

Definitia 2.29

O L-evaluare (de adevar) este o functie F : FormL → {0, 1} cuurmatoarele proprietati: pentru orice formule ϕ,ψ,

I F (¬ϕ) = ¬¬¬F (ϕ);

I F (ϕ→ ψ) = F (ϕ)→→→ F (ψ).

Propozitia 2.30

Pentru orice L-structura A si orice evaluare e : V → A, functia

Ve,A : FmL → {0, 1}, Ve,A(ϕ) = ϕA(e)

este o L-evaluare.Dem.: Exercitiu usor.

12

Tautologii

Definitia 2.31

ϕ este tautologie daca F (ϕ) = 1 pentru orice L-evaluare F .

Propozitia 2.32

Orice tautologie este valida.

Dem.: Fie A o L-structura si e : V → A o evaluare. Deoarece ϕeste tautologie si Ve,A este L-evaluare, rezulta caϕA(e) = Ve,A(ϕ) = 1, adica A � ϕ[e].

Exemplu

x = x este valida, dar nu e tautologie.

13

Multimi de formule

Fie Γ o multime de formule.

Definitia 2.33

O L-structura A este model al lui Γ daca A � ϕ pentru oriceϕ ∈ Γ. Notatie: A � Γ

Definitia 2.34

Spunem ca Γ este satisfiabila daca Γ are un model.Daca Γ nu este satisfiabila, spunem si ca Γ este nesatisfiabila saucontradictorie.

Definitia 2.35

O formula ϕ este consecinta semantica a lui Γ daca pentru oriceL-structura A

A � Γ ⇒ A � ϕ.

Notatie: Γ � ϕ.14

Multimi de formule

Definitia 2.36

O multime de formule ∆ este consecinta semantica a lui Γ dacaΓ � ϕ pentru orice ϕ ∈ ∆. Notatie: Γ � ∆.

Propozitia 2.37

(i) � ϕ ddaca ∅ � ϕ;

(ii) Daca Γ ⊆ ∆ si Γ � ϕ, atunci ∆ � ϕ.

(iii) Daca Γ � ∆ si ∆ � ϕ, atunci Γ � ϕ.


15

Axiome logice

Definitia 2.38

Multimea AxmL a axiomelor ale lui L consta din toate formulelede forma:

(A1) ϕ, daca ϕ este tautologie(A2) ∀x(ϕ→ ψ)→ (∀xϕ→ ∀xψ), daca ϕ,ψ sunt formule si

x este variabila(A3) ϕ→ ∀xϕ, daca ϕ este formula si x este variabila

care nu apare ın ϕ(A4) ∃x(x = t), daca t este termen si x este variabila

care nu apare ın t(A5) s = t → (ϕ→ ψ), daca ϕ si ψ sunt formule atomice si

ψ se obtine din ϕ ınlocuind o aparitie a lui s cu t

16

Reguli de deductie

Definitia 2.39

Regulile de deductie (sau inferenta) sunt urmatoarele:

(MP) din ϕ si ϕ→ ψ se infera ψ (modus ponens).

(GEN) daca x este variabila, atunci din ϕ se infera ∀xϕ(generalizarea).

(MP) :ϕ, ϕ→ ψ

ψ(GEN) :

ϕ

∀xϕ.

17

Γ-teoreme

Fie Γ o multime de formule ale lui L.

Definitia 2.40

Multimea ThmL(Γ) a Γ-teoremelor lui L este intersectia tuturormultimilor de formule Σ care satisfac urmatoarele proprietati:

(i) AxmL ⊆ Σ;

(ii) Γ ⊆ Σ;

(iii) Σ este ınchisa la regulile de deductie, adica

(a) daca ϕ ∈ Σ si ϕ→ ψ ∈ Σ, atunci ψ ∈ Σ;(b) daca ϕ ∈ Σ, atunci ∀xϕ ∈ Σ.

Daca ϕ ∈ ThmL(Γ), atunci spunem si ca ϕ este dedusa dinipotezele Γ.

1

Γ-teoreme

Notatii

Γ `L ϕ := ϕ este Γ-teoremaThmL := ThmL(∅)`L ϕ := ∅ `L ϕΓ `L ∆ := Γ `L ϕ pentru orice ϕ ∈ ∆.

Definitia 2.41

O formula ϕ se numeste teorema (logica) a lui L daca `L ϕ.

Conventie

Cand L este clar din context, scriem Axm,Thm, Thm(Γ), Γ ` ϕ,` ϕ, etc..

2

Γ-teoreme

Reformuland conditiile din definitia Γ-teoremelor folosind notatia`, obtinem

Propozitia 2.42

Pentru orice multime de formule Γ si orice formule ϕ,ψ, au locurmatoarele proprietati:

(i) daca ϕ este axioma, atunci Γ ` ϕ;

(ii) daca ϕ ∈ Γ, atunci Γ ` ϕ;

(iii) daca Γ ` ϕ si Γ ` ϕ→ ψ, atunci Γ ` ψ;

(iv) daca Γ ` ϕ, atunci Γ ` ∀xϕ.

3

Γ-teoreme

Definitia Γ-teoremelor da nastere la metoda de demonstratie prininductie dupa Γ-teoreme. Demonstram ca orice Γ-teorema are oproprietate P astfel:

(i) demonstram ca orice axioma are proprietatea P;

(ii) demonstram ca orice formula din Γ are proprietatea P;

(iii) demonstram ca daca ϕ si ϕ→ ψ au proprietatea P, atunci ψare proprietatea P;

(iv) demonstram ca daca ϕ are proprietatea P, atunci ∀xϕ areproprietatea P.

4

Γ-demonstratii

Definitia 2.43

O Γ-demonstratie (demonstratie din ipotezele Γ) este o secventade formule θ1, . . ., θn a.ı. pentru fiecare i ∈ {1, . . . , n}, una dinurmatoarele conditii este satisfacuta:

(i) θi este axioma;

(ii) θi ∈ Γ;

(iii) exista k, j < i a.ı. θk = θj → θi ;

(iv) exista j < i si x ∈ V a.ı. θi = ∀xθj .

O ∅-demonstratie se va numi simplu demonstratie.

5

Γ-demonstratii

Definitia 2.44

Fie ϕ o formula. O Γ-demonstratie a lui ϕ sau demonstratie a lui ϕdin ipotezele Γ este o Γ-demonstratie θ1, . . ., θn a.ı. θn = ϕ. Inacest caz, n se numeste lungimea Γ-demonstratiei.

Propozitia 2.45

Fie Γ o multime de formule si ϕ o formula. Atunci Γ ` ϕ ddacaexista o Γ-demonstratie a lui ϕ.

6

Multimi consistente

Definitia 2.46

O multime Γ de formule se numeste consistenta daca exista oformula ϕ astfel ıncat Γ 6` ϕ.Γ se numeste inconsistenta daca nu este consistenta, i.e. Γ ` ϕpentru orice formula ϕ.

Propozitia 2.47

Pentru orice multime Γ de formule, urmatoarele afirmatii suntechivalente:

(i) Γ este inconsistenta;

(ii) pentru orice formula ψ, Γ ` ψ si Γ ` ¬ψ;

(iii) exista o formula ψ a.ı. Γ ` ψ si Γ ` ¬ψ.

7

Teorema de completitudine

Teorema de completitudine - prima versiune

Pentru orice formula ϕ,

` ϕ ⇐⇒ � ϕ.

I Teorema de completitudine a fost demonstrata de Godel ın1929 ın teza sa de doctorat.

I Henkin a dat ın 1949 o demonstratie simplificata.

Teorema de completitudine tare - prima versiune

Orice multime consistenta de enunturi Γ este satisfiabila.

Teorema de completitudine tare - a doua versiune

Pentru orice multime de formule Γ si orice formula ϕ,

Γ ` ϕ ⇐⇒ Γ � ϕ.8

Teorii

Notatie: Pentru orice multime de enunturi Γ, notam

Mod(Γ) := clasa modelelor lui Γ.

Notam Mod(ϕ1, . . . , ϕn) ın loc de Mod({ϕ1, . . . , ϕn}).

Lema 2.48

Pentru orice multimi de enunturi Γ,∆ si orice enunt ψ,

(i) Γ � ψ ⇐⇒ Mod(Γ) ⊆ Mod(ψ).

(ii) Γ ⊆ ∆ =⇒ Mod(∆) ⊆ Mod(Γ).

(iii) Γ este satisfiabila ⇐⇒ Mod(Γ) 6= ∅.

Definitia 2.49

O multime de enunturi Γ se numeste completa daca pentru oriceenunt ψ,

Γ � ψ sau Γ � ¬ψ.

9

Teorii

Definitia 2.50

O L-teorie este o multime T de enunturi ale lui L care este ınchisala consecinta semantica, adica:

pentru orice enunt ϕ, T � ϕ =⇒ ϕ ∈ T .

Observatie: O L-teorie T este completa ⇐⇒ pentru orice enuntϕ, avem ca ϕ ∈ T sau ¬ϕ ∈ T .

10

Teorii

Definitia 2.51

Pentru orice multime de enunturi Γ, teoria generata de Γ estemultimea

Th(Γ) := {ϕ | ϕ este enunt si Γ � ϕ}= {ϕ | ϕ este enunt si Mod(Γ) ⊆ Mod(ϕ)}.

Spunem ca Γ este o multime de axiome pentru Th(Γ).

11

Teorii

Propozitia 2.52

(i) Γ ⊆ Th(Γ).

(ii) Mod(Γ) = Mod(Th(Γ)).

(iii) Th(Γ) este o teorie.

(iv) Th(Γ) este cea mai mica teorie T a.ı. Γ ⊆ T .

Dem.:

(i) Pentru orice ϕ ∈ Γ, avem ca Γ � ϕ, deci ϕ ∈ Th(Γ).(ii) ”⊇” Conform (i) si Observatiei 2.49.(i).

”⊆” Conform definitiei lui Th(Γ).(iii) Pentru orice enunt ϕ, avem ca

Th(Γ) � ϕ ⇐⇒ Mod(Th(Γ)) ⊆ Mod(ϕ)⇐⇒ Mod(Γ) ⊆ Mod(ϕ) (conform (ii)) ⇐⇒ ϕ ∈ Th(Γ).

(iv) Fie T o teorie care contine Γ si ϕ ∈ Th(Γ). DinMod(Γ) ⊆ Mod(ϕ) si Mod(T ) ⊆ Mod(Γ) rezulta caMod(T ) ⊆ Mod(ϕ), deci T � ϕ. Deoarece T este teorie,obtinem ca ϕ ∈ T . Asadar, Th(Γ) ⊆ T .

12

Teorii

Propozitia 2.53

Pentru orice multimi de enunturi Γ,∆,

(i) Γ ⊆ ∆ =⇒ Th(Γ) ⊆ Th(∆).

(ii) Γ este teorie ⇐⇒ Γ = Th(Γ).

(iii) Th(∅) = {ϕ | ϕ este enunt valid} este inclusa ın orice teorie.


13

Teorii

I O teorie prezentata ca Th(Γ) se numeste teorie axiomaticasau teorie prezentata axiomatic. Γ se numeste multime deaxiome pentru Th(Γ).

I Orice teorie poate fi prezentata axiomatic, dar sunteminteresati de multimi de axiome care satisfac anumite conditii.

Definitia 2.54

O teorie T este finit axiomatizabila dacaT = Th(Γ) pentru omultime de enunturi finita Γ.

Definitia 2.55

O clasa K de L-structuri este axiomatizabila daca K = Mod(Γ)pentru o multime de enunturi Γ. Spunem si ca Γ axiomatizeaza K.

14

Exemple - Teoria relatiilor de echivalenta

I L≡ = (≡, ∅, ∅) = (≡)

I L≡-structurile sunt A = (A,≡), unde ≡ este relatie binara.

Consideram urmatoarele enunturi:

(REFL) := ∀x(x≡x)

(SIM) := ∀x∀y(x≡y → y≡x)

(TRANZ ) := ∀x∀y∀z(x≡y ∧ y≡z → x≡z)

Definitie

Teoria relatiilor de echivalenta este

T := Th((REFL), (SIM), (TRANZ )).

I T este finit axiomatizabila;I Fie K clasa structurilor (A,≡), unde ≡ este relatie de

echivalenta pe A.I K = Mod(T ), deci T axiomatizeaza K.I Spunem si ca T axiomatizeaza clasa relatiilor de echivalenta.

15

Exemple - Teoria relatiilor de echivalenta

• Daca adaugam axioma:

∀x∃y(x 6= y ∧ x≡y ∧ ∀z(z≡x → (z = x ∨ z = y))

),

obtinem teoria relatiilor de echivalenta cu proprietatea ca oriceclasa de echivalenta are exact doua elemente.

16

Exemple - Teoria ordinii partiale

I L≤ = (≤, ∅, ∅) = (≤)

I L≤-structurile sunt A = (A,≤), unde ≤ este relatie binara.


(REFL) := ∀x(x≤x)

(ANTISIM) := ∀x∀y(x≤y ∧ y≤x → x = y)

(TRANZ ) := ∀x∀y∀z(x≤y ∧ y≤z → x≤z)

Definitie

Teoria ordinii partiale este

T := Th((REFL), (ANTISIM), (TRANZ )).

I T este finit axiomatizabila;

I modelele lui T sunt multimile partial ordonate.

I T axiomatizeaza clasa relatiilor de ordine partiala.

17

Exemple - Teoria ordinii stricte

I L< = (<, ∅, ∅) = (<)

I L<-structurile sunt A = (A, <), unde < este relatie binara.


(IREFL) := ∀x¬(x<x)

(TRANZ ) := ∀x∀y∀z(x<y ∧ y<z → x<z)

Definitie

Teoria ordinii stricte este

T := Th((IREFL), (TRANZ )).


I modelele lui T sunt multimile strict ordonate.

I T axiomatizeaza clasa relatiilor de ordine stricta.

18

Exemple - Teoria ordinii totale

Consideram urmatorul enunt:

(TOTAL) := ∀x∀y(x = y ∨ x<y ∨ y<x)

Definitie

Teoria ordinii totale este

T := Th((IREFL), (TRANZ ), (TOTAL)).


I modelele lui T sunt multimile total (liniar) ordonate.

I T axiomatizeaza clasa relatiilor de ordine totala.

19

Exemple - Teoria ordinii dense

Consideram urmatorul enunt:

(DENS) := ∀x∀y(x<y → ∃z(x<z ∧ z<y)

).

Definitie

Teoria ordinii dense este

T := Th((IREFL), (TRANZ ), (TOTAL), (DENS)).


I modelele lui T sunt multimile dens ordonate.

I T axiomatizeaza clasa relatiilor de ordine densa.

20

Exemple - Teoria grafurilor

I LGraf = (E , ∅, ∅) = (E )

I LGraf -structurile sunt A = (A,E ), unde E este relatie binara.


(IREFL) := ∀x¬E (x , x)

(SIM) := ∀x∀y(E (x , y)→ E (y , x)).

Definitie

Teoria grafurilor este

T := Th((IREFL), (SIM)).


I modelele lui T sunt grafurile.

21

Exemple

Pentru orice n ≥ 2, notam urmatorul enunt cu ∃≥n:

∃x1 . . . ∃xn(¬(x1 = x2) ∧ ¬(x1 = x3) ∧ . . . ∧ ¬(xn−1 = xn)

),

pe care ıl scriem mai compact astfel:

∃≥n = ∃x1 . . . ∃xn

∧1≤i<j≤n

¬(xi = xj)

.

Propozitia 2.56

Pentru orice L-structura A si orice n ≥ 1,

A � ∃≥n ⇐⇒ A are cel putin n elemente.


Exemple

Notatii

I Pentru uniformitate, notam ∃≥1 := ∃x(x = x).

I ∃≤n := ¬∃≥n+1

I ∃=n := ∃≤n ∧ ∃≥n

Propozitia 2.57

Pentru orice L-structura A si orice n ≥ 1,

A � ∃≤n ⇐⇒ A are cel mult n elementeA � ∃=n ⇐⇒ A are exact n elemente.


Propozitia 2.58

Fie T := Th({∃≥n | n ≥ 1}). Atunci pentru orice L-structura A,

A � T ⇐⇒ A este multime infinita.


FMI, Info, Anul ISemestrul I, 2015/2016Logica matematica si computationalaLaurentiu Leustean,Alexandra Otiman, Andrei Sipos

15-16.12.2015

Seminar 11

(S11.1) Sa se determine multimea Res(C1, C2) ın fiecare din urmatoarele cazuri:

(i) C1 := {v1,¬v4, v5}; C2 := {v4, v5, v6};

(ii) C1 := {v3,¬v4, v5}; C2 := {¬v3, v1, v6, v4};

(iii) C1 := {v1,¬v3}; C2 := {v1,¬v2}.

Demonstratie:

(i) Putem alege doar L := ¬v4, deci exista un singur rezolvent, anume {v1, v5, v6}.

(ii) Putem rezolva clauzele, pe rand, dupa L := v3 si L := ¬v4, obtinand asadar

Res(C1, C2) = {{¬v4, v5, v1, v6, v4}, {v3, v5,¬v3, v1, v6}}.

(iii) Nu exista L astfel ıncat L ∈ C1 si Lc ∈ C2, deci Res(C1, C2) = ∅.

(S11.2) Derivati prin rezolutie clauza C := {v0,¬v2, v3} din multimea

S := {{v0, v4}, {¬v1,¬v2, v0}, {¬v4, v0, v1}, {¬v0, v3}}.

Demonstratie: Notam:

1

C1 := {v0, v4}C2 := {¬v1,¬v2, v0}C3 := {¬v4, v0, v1}C4 := {¬v0, v3}C5 := {v0, v1} (rezolvent al C1, C3)

C6 := {¬v1,¬v2, v3} (rezolvent al C2, C4)

C7 := {v0,¬v2, v3} (rezolvent al C5, C6)

Avem, asadar, ca secventa (C1, C2, . . . , C6, C7 = C) este o derivare prin rezolutie a lui C dinS.

(S11.3) Sa se deriveze prin rezolutie clauza C := {¬v0, v2} din forma clauzala a unei formuleın FNC echivalente semantic cu:

ϕ := ((v0 ∧ v1)→ v2) ∧ (v0 → v1)

Demonstratie: Inlocuind implicatiile si aplicand legile de Morgan, obtinem ca:

ϕ ∼ (¬(v0 ∧ v1) ∨ v2) ∧ (¬v0 ∨ v1)

∼ (¬v0 ∨ ¬v1 ∨ v2) ∧ (¬v0 ∨ v1),

o formula ın FNC pe care o notam cu ϕ′, a carei forma clauzala este

Sϕ′ = {C1 := {¬v0,¬v1, v2}, C2 := {¬v0, v1}}.

Din faptul ca v1 ∈ C2 si ¬v1 ∈ C1, avem ca

(C1 \ {¬v1}) ∪ (C2 \ {v1}) = {¬v0, v2} = C

este un rezolvent al clauzelor C1 si C2. Cum C1 si C2 sunt ın Sϕ′ , avem asadar ca (C1, C2, C)este o derivare prin rezolutie a lui C din Sϕ′ , forma clauzala a lui ϕ′, formula ın FNCechivalenta semantic cu ϕ.

(S11.4) Sa se arate, folosind rezolutia, ca formula:

ϕ := (v0 ∨ v2) ∧ (v2 → v1) ∧ ¬v1 ∧ (v0 → v4) ∧ ¬v3 ∧ (v4 → v3)

este nesatisfiabila.Demonstratie: Inlocuind implicatiile, obtinem ca:

2

ϕ ∼ (v0 ∨ v2) ∧ (¬v2 ∨ v1) ∧ ¬v1 ∧ (¬v0 ∨ v4) ∧ ¬v3 ∧ (¬v4 ∨ v3),

o formula ın FNC pe care o notam cu ϕ′. Notand:

C1 := {v0, v2}C2 := {¬v2, v1}C3 := {¬v1}C4 := {¬v0, v4}C5 := {¬v3}C6 := {¬v4, v3}

se observa ca Sϕ′ = {C1, C2, C3, C4, C5, C6}. Notand mai departe:

C7 := {¬v2} (rezolvent al C2, C3)

C8 := {v0} (rezolvent al C1, C7)



C11 := � (rezolvent al C5, C10)

avem ca secventa (C1, C2, . . . , C11) este o derivare prin rezolutie a lui � din Sϕ′ , de unde,aplicand Teorema 1.88, rezulta ca Sϕ′ este nesatisfiabila. Din Propozitia 1.83, rezulta ca ϕ′

este nesatisfiabila, deci si ϕ, care este echivalenta semantic cu ϕ′, este nesatisfiabila.

(S11.5) Sa se ruleze algoritmul Davis-Putnam pentru intrarea:

{{¬v0,¬v1, v2}, {¬v3, v1, v4}, {¬v0,¬v4, v5}, {¬v2, v6}, {¬v5, v6}, {¬v0, v3}, {v0}, {¬v6}}.

Demonstratie: Notand multimea de clauze de mai sus cu S, obtinem urmatoarea rulare:

3

i := 1

S1 := SP1.1. x1 := v0

T 11 := {{v0}}

T 01 := {{¬v0,¬v1, v2}, {¬v0,¬v4, v5}, {¬v0, v3}}

P1.2. U1 := {{¬v1, v2}, {¬v4, v5}, {v3}}P1.3. S2 := {{¬v3, v1, v4}, {¬v2, v6}, {¬v5, v6}, {¬v6}, {¬v1, v2}, {¬v4, v5}, {v3}}P1.4. i := 2; goto P2.1

P2.1. x2 := v1

T 12 := {{¬v3, v1, v4}}

T 02 := {{¬v1, v2}}

P2.2. U2 := {{¬v3, v4, v2}}P2.3. S3 := {{¬v2, v6}, {¬v5, v6}, {¬v6}, {¬v4, v5}, {v3}, {¬v3, v4, v2}}P2.4. i := 3; goto P3.1

P3.1. x3 := v2

T 13 := {{¬v3, v4, v2}}

T 03 := {{¬v2, v6}}

P3.2. U3 := {{¬v3, v4, v6}}P3.3. S4 := {{¬v5, v6}, {¬v6}, {¬v4, v5}, {v3}, {¬v3, v4, v6}}P3.4. i := 4; goto P4.1

P4.1. x4 := v3

T 14 := {{v3}}

T 04 := {{¬v3, v4, v6}}

P4.2. U4 := {{v4, v6}}P4.3. S5 := {{¬v5, v6}, {¬v6}, {¬v4, v5}, {v4, v6}}P4.4. i := 5; goto P5.1

P5.1. x5 := v4

T 15 := {{v4, v6}}

T 05 := {{¬v4, v5}}

P5.2. U5 := {{v5, v6}}P5.3. S6 := {{¬v5, v6}, {¬v6}, {v5, v6}}P5.4. i := 6; goto P6.1

4

P6.1. x6 := v5

T 16 := {{v5, v6}}

T 06 := {{¬v5, v6}}

P6.2. U6 := {{v6}}P6.3. S7 := {{¬v6}, {v6}}P6.4. i := 7; goto P7.1

P7.1. x7 := v6

T 17 := {{v6}}

T 07 := {{¬v6}}

P7.2. U7 := {�}P7.3. S8 := {�}P7.4. � ∈ S8 ⇒ S este nesatisfiabila.

(S11.6) Exista o derivare prin rezolutie a lui � din multimea de clauze S := {C1 :={v0,¬v1}, C2 := {¬v0, v1}}? Justificati.Demonstratie: Fie multimea de clauze S ′ := {C1, C2, C3 := {v0,¬v0}, C4 := {v1,¬v1}}.

Observam ca S ⊆ S ′ si ca:Res(C1, C1) = ∅

Res(C1, C2) = {C3, C4}

Res(C1, C3) = {C1}

Res(C1, C4) = {C1}

Res(C2, C2) = ∅

Res(C2, C3) = {C2}

Res(C2, C4) = {C2}

Res(C3, C3) = {C3}

Res(C3, C4) = ∅

Res(C4, C4) = {C4}

Am aratat, deci, ca pentru orice C ′′, C ′′′ ∈ S ′, Res(C ′′, C ′′′) ⊆ S ′ (*). Presupunem prinabsurd ca exista o derivare prin rezolutie a lui � din S si fie aceasta (C ′

1, . . . , C′n = �).

Demonstram prin inductie completa ca pentru orice i ∈ {1, . . . , n}, C ′i ∈ S ′. Fie un astfel

5

de i. Din definitia derivarii, avem ca ori C ′i ∈ S ⊆ S ′, ceea ce rezolva problema, ori exista

j, k < i cu C ′i ∈ Res(C ′

j, C′k). Din ipoteza de inductie completa, C ′

j, C′k ∈ S ′, iar din (*) avem

Res(C ′j, C

′k) ⊆ S ′, deci C ′

i ∈ S ′. Am obtinut ca C ′n = � ∈ S ′, ceea ce este o contradictie.

Ramane ca nu exista o derivare prin rezolutie a lui � din S.

(S11.7) Demonstrati, folosindu-va de proprietatile satisfacerii semantice si de aplicareasistematica (i.e., via algoritmul Davis-Putnam) a regulii rezolutiei:

{¬v2, v2 → ¬v3, v3 → v4} � (¬v3 → ¬(v1 → v2)) ∨ (v1 → (v3 ∧ v4)) ∨ v4.

Demonstratie: Aplicand Propozitia 1.30.(i), conditia din enunt este echivalenta cu faptul

ca multimea de formule:

{¬v2, v2 → ¬v3, v3 → v4,¬((¬v3 → ¬(v1 → v2)) ∨ (v1 → (v3 ∧ v4)) ∨ v4)}

este nesatisfiabila si, mai departe, din Propozitia 1.31.(i), cu faptul ca formula:

¬v2 ∧ (v2 → ¬v3) ∧ (v3 → v4) ∧ ¬((¬v3 → ¬(v1 → v2)) ∨ (v1 → (v3 ∧ v4)) ∨ v4)

este nesatisfiabila. Aplicand transformari sintactice succesive, obtinem ca formula de maisus este echivalenta, pe rand, cu:

¬v2 ∧ (¬v2 ∨ ¬v3) ∧ (¬v3 ∨ v4) ∧ ¬(¬¬v3 ∨ ¬(¬v1 ∨ v2) ∨ ¬v1 ∨ (v3 ∧ v4) ∨ v4),

¬v2 ∧ (¬v2 ∨ ¬v3) ∧ (¬v3 ∨ v4) ∧ ¬¬¬v3 ∧ ¬¬(¬v1 ∨ v2) ∧ ¬¬v1 ∧ ¬(v3 ∧ v4) ∧ ¬v4,

¬v2 ∧ (¬v2 ∨ ¬v3) ∧ (¬v3 ∨ v4) ∧ ¬v3 ∧ (¬v1 ∨ v2) ∧ v1 ∧ ¬(v3 ∧ v4) ∧ ¬v4,

¬v2 ∧ (¬v2 ∨ ¬v3) ∧ (¬v3 ∨ v4) ∧ ¬v3 ∧ (¬v1 ∨ v2) ∧ v1 ∧ (¬v3 ∨ ¬v4) ∧ ¬v4,

ultima formula fiind ın FNC si corespunzandu-i forma clauzala:

S := {{v2}, {¬v2,¬v3}, {¬v3, v4}, {¬v3}, {¬v1,¬v2}, {v1}, {¬v3,¬v4}, {¬v4}},

despre care vom arata ca este nesatisfiabila, ıncheind astfel demonstratia (prin aplicareaPropozitiei 1.83). Folosim multimea S ca intrare a algoritmului Davis-Putnam, a carui

6

rulare se produce dupa cum urmeaza.

i := 1

S1 := {{v2}, {¬v2,¬v3}, {¬v3, v4}, {¬v3}, {¬v1,¬v2}, {v1}, {¬v3,¬v4}, {¬v4}}P1.1. x1 := v1

T 11 := {{v1}}

T 01 := {{¬v1,¬v2}}

P1.2. U1 := {{¬v2}}P1.3. S2 := {{v2}, {¬v2,¬v3}, {¬v3, v4}, {¬v3}, {¬v3,¬v4}, {¬v4}, {¬v2}}P1.4. i := 2; goto P2.1

P2.1. x2 := v2

T 12 := {{v2}}

T 02 := {{¬v2,¬v3}, {¬v2}}

P2.2. U2 := {{¬v3},�}P2.3. S3 := {{¬v3, v4}, {¬v3}, {¬v3,¬v4}, {¬v4}, {¬v3},�}P2.4. � ∈ S3 ⇒ S este nesatisfiabila.

Ramane, deci, ca S este nesatisfiabila.

7


5-6.01.2016

Seminar 12

(S12.1) Fie L un limbaj de ordinul I, A o L-structura si e : V → A o interpretare a lui Lın A. Sa se demonstreze ca pentru orice formule ϕ, ψ si orice variabila x:

(i) (ϕ ∨ ψ)A(e) = ϕA(e)∨∨∨ ψA(e);

(ii) (ϕ ∧ ψ)A(e) = ϕA(e)∧∧∧ ψA(e);

(iii) (ϕ↔ ψ)A(e) = ϕA(e)↔↔↔ ψA(e);

(iv) (∃xϕ)A(e) =

{1, daca exista a ∈ A a.ı. ϕA(ex←a) = 1;

0, altfel.

Demonstratie:

(i) Avem:

(ϕ ∨ ψ)A(e) = 1 ⇐⇒ (¬ϕ→ ψ)A(e) = 1

⇐⇒ ¬¬¬ϕA(e)→→→ ψA(e) = 1

⇐⇒ ϕA(e)∨∨∨ ψA(e) = 1.

(ii) Avem:

(ϕ ∧ ψ)A(e) = 1 ⇐⇒ (¬(ϕ→ ¬ψ))A(e) = 1

⇐⇒ ¬¬¬(ϕA(e)→→→¬¬¬ψA(e)) = 1

⇐⇒ ϕA(e)∧∧∧ ψA(e) = 1.

1

(iii) Avem:

(ϕ↔ ψ)A(e) = 1 ⇐⇒ ((ϕ→ ψ) ∧ (ψ → ϕ))A(e) = 1

⇐⇒ (ϕA(e)→→→ ψA(e))∧∧∧ (ψA(e)→→→ ϕA(e)) = 1

⇐⇒ ϕA(e)↔↔↔ ψA(e) = 1.

(iv) Avem:

(∃xϕ)A(e) = 1 ⇐⇒ (¬∀x¬ϕ)A(e) = 1 ⇐⇒ ¬(∀x¬ϕ)A(e) = 1

⇐⇒ (∀x¬ϕ)A(e) = 0

⇐⇒ exista a ∈ A a.ı. (¬ϕ)A(ex←a) = 0

⇐⇒ exista a ∈ A a.ı. ϕA(ex←a) = 1.

(S12.2) Consideram limbajul de ordinul I Lar = (<; +, ×, S; 0) (limbajul aritmeticii) siLar-structura N = (N, <,+, ·, S, 0).

(i) Fie x, y ∈ V cu x 6= y, si t = Sx×SSy = ×(Sx, SSy). Sa se calculeze tN (e), undee : V → N este o evaluare ce verifica e(x) = 3 si e(y) = 7.

(ii) Fie ϕ = x<Sy → (x<y ∨ x = y) = <(x, Sy) → (<(x, y) ∨ x = y). Sa se arate caN � ϕ[e] pentru orice e : V → N.

Demonstratie:

(i) Pentru orice interpretare e : V → N, avem

tN (e) = ×N ((Sx)N (e), (SSy)N (e)) = (Sx)N (e) · (SSy)N (e)

= SN (xN (e)) · SN ((Sy)N (e)) = S(e(x)) · S(SN (yN (e)))

= S(e(x)) · S(S(e(y))).

Prin urmare, daca e(x) = 3 si e(y) = 7, atunci

tN (e) = S(3) · S(S(7)) = 4 · 9 = 36.

2

(ii) Pentru orice interpretare e : V → N, avem

N � ϕ[e] ⇐⇒ N 6� (<(x, Sy))[e] sau N � (<(x, y) ∨ x = y)[e]

⇐⇒ <N (e(x), S(e(y)) nu e satisfacuta sau

N � (<(x, y))[e] sau N � (x = y)[e]

⇐⇒ < (e(x), S(e(y)) nu e satisfacuta sau < (e(x), e(y))

sau e(x) = e(y)

⇐⇒ e(x) ≥ S(e(y)) sau e(x) < e(y) sau e(x) = e(y)

⇐⇒ e(x) ≥ e(y) + 1 sau e(x) < e(y) sau e(x) = e(y).

Prin urmare, N � ϕ[e] pentru orice e : V → N.

De obicei, scriem:

N � ϕ[e] ⇐⇒ N 6� (<(x, Sy))[e] sau N � (<(x, y) ∨ x = y)[e]

⇐⇒ e(x) ≥ S(e(y)) sau e(x) < e(y) sau e(x) = e(y)

⇐⇒ e(x) ≥ e(y) + 1 sau e(x) < e(y) sau e(x) = e(y).

(S12.3) Consideram limbajul de ordinul I Lar = (<; +, ×, S; 0) (limbajul aritmeticii) si Lar-structura N = (N, <,+, ·, S, 0). Fie formula ϕ = ∀v4(v3<v4 ∨ v3 = v4). Sa se caracterizezeacele e : V → N ce au proprietatea ca ϕN (e) = 1.Demonstratie: Fie e : V → N. Avem:

ϕN (e) = 1 ⇐⇒ (∀v4(v3<v4 ∨ v3 = v4))N (e) = 1

⇐⇒ pentru orice a ∈ N, (v3<v4 ∨ v3 = v4)N (ev4←a) = 1

⇐⇒ pentru orice a ∈ N, (v3<v4)N (ev4←a)∨∨∨ (v3 = v4)

N (ev4←a) = 1

⇐⇒ pentru orice a ∈ N, (v3<v4)N (ev4←a) = 1 sau (v3 = v4)

N (ev4←a) = 1

⇐⇒ pentru orice a ∈ N, ev4←a(v3) < ev4←a(v4) sau ev4←a(v3) = ev4←a(v4)

⇐⇒ pentru orice a ∈ N, ev4←a(v3) ≤ ev4←a(v4)

⇐⇒ pentru orice a ∈ N, e(v3) ≤ a

⇐⇒ e(v3) = 0.

3


12-13.01.2016

Seminar 13

Notatie 1. Fie L un limbaj de ordinul I. Pentru orice variabile x, y cu x 6= y, orice L-structura A, orice e : V → A si orice a, b ∈ A, avem ca:

(ey←b)x←a = (ex←a)y←b.

In acest caz, notam valoarea lor comuna cu ex←a,y←b. In acest caz, notam valoarea lor comunacu ex←a,y←b. Asadar,

ex←a,y←b : V → A, ex←a,y←b(v) =

e(v) daca v 6= x, y

a daca v = x

b daca v = y.

(S13.1) Pentru orice formule ϕ, ψ si orice variabile x, y cu x 6= y,

(i) ¬∃xϕ ��∀x¬ϕ;

(ii) ∀x(ϕ ∧ ψ) ��∀xϕ ∧ ∀xψ;

(iii) ∃y∀xϕ � ∀x∃yϕ;

(iv) ∀x(ϕ→ ψ) � ∀xϕ→ ∀xψ.

Demonstratie: Fie A si e : V → A.

(i) A � (¬∃xϕ)[e] ⇐⇒ A 6� (∃xϕ)[e] ⇐⇒ nu este adevarat ca exista a ∈ A a.ı. A �ϕ[ex←a] ⇐⇒ pentru orice a ∈ A, avem A 6� ϕ[ex←a] ⇐⇒ pentru orice a ∈ A, avemA � ¬ϕ[ex←a] ⇐⇒ A � (∀x¬ϕ)[e].

1

(ii) A � (∀x(ϕ∧ψ))[e] ⇐⇒ pentru orice a ∈ A, avem A � (ϕ∧ψ)[ex←a] ⇐⇒ pentru oricea ∈ A, avem A � ϕ[ex←a] si A � ψ[ex←a] ⇐⇒

(pentru orice a ∈ A, avem A � ϕ[ex←a]

)si(pentru orice a ∈ A, avem A � ψ[ex←a]

)⇐⇒ A � (∀xϕ)[e] si A � (∀xψ)[e]

⇐⇒ A � (∀xϕ ∧ ∀xψ)[e].

(iii) Avem ca A � (∃y∀xϕ)[e] ⇐⇒ exista b ∈ A a.ı. pentru orice a ∈ A avem A �ϕ[(ey←b)x←a], i.e., folosind ipoteza ca x 6= y, A � ϕ[ex←a,y←b] (*).

A � (∀x∃yϕ)[e] ⇐⇒ pentru orice a ∈ A exista c ∈ A a.ı. A � ϕ[(ex←a)y←c], i.e.,folosind ipoteza ca x 6= y, A � ϕ[ex←a,y←c] (**).

Stim (*) si vrem sa aratam (**). Fie a ∈ A. Vrem c ∈ A a.ı. A � ϕ[ex←a,y←c].

Luam c sa fie b-ul din (*). Avem, asadar, ca A � ϕ[x← a, y ← b], ceea ce ne trebuia.

(iv) Presupunem ca A � (∀x(ϕ→ ψ))[e]. Atunci, pentru orice a ∈ A, A � (ϕ→ ψ)[ex←a],deci pentru orice a ∈ A, A 6� ϕ[ex←a] sau A � ψ[ex←a] (*). Vrem sa aratam caA � (∀xϕ→ ∀xψ)[e]. Presupunem ca n-ar fi asa. Atunci, A � (∀xϕ)[e] si A 6� (∀xψ)[e](**). Din a doua conditie din (**), rezulta ca exista b ∈ A cu A 6� ψ[ex←b]. Din (*),rezulta ca A 6� ϕ[ex←b]. Dar din prima conditie din (**), ar rezulta ca A � ϕ[ex←b],ceea ce este o contradictie.

(S13.2) Fie x, y variabile cu x 6= y. Sa se dea exemple de limbaj de ordinul I, L, si deformule ϕ, ψ ale lui L astfel ıncat:

(i) ∀x(ϕ ∨ ψ) 6� ∀xϕ ∨ ∀xψ;

(ii) ∃xϕ ∧ ∃xψ 6� ∃x(ϕ ∧ ψ);

(iii) ∀x∃yϕ 6� ∃y∀xϕ.

Demonstratie: Consideram Lar = (<, +, ×, S, 0), Lar-structura N := (N, <,+, ·, S, 0) si

e : V → N o evaluare arbitrara (sa zicem, punem e(v) := 7 pentru orice v ∈ V ).

(i) Fie 2 := SS0, ϕ := x<2 si ϕ := ¬(x<2). Atunci

N � ∀x(ϕ ∨ ψ)[e].

Pe de alta parte,

(a) N � (∀xϕ)[e] ⇐⇒ pentru orice n ∈ N avem N � ϕ[ex←n] ⇐⇒ pentru oricen ∈ N, avem n < 2, ceea ce nu este adevarat (luand n := 3, de exemplu). Deci,N 6� (∀xϕ)[e].

2

(b) N � (∀xψ)[e] ⇐⇒ pentru orice n ∈ N avem N � ψ[ex←n] ⇐⇒ pentru oricen ∈ N, avem n ≥ 2, ceea ce nu este adevarat (luand n := 1, de exemplu). Deci,N 6� (∀xψ)[e].

Prin urmare,N 6� (∀xϕ ∨ ∀xψ)[e].

(ii) Fie 2 := SS0, ϕ := x<2 si ϕ := ¬(x<2). Avem:

(a) N � (∃xϕ)[e] ⇐⇒ exista n ∈ N a.ı. N � ϕ[ex←n] ⇐⇒ exista n ∈ N a.ı. n < 2,ceea ce nu este adevarat (luand n := 1, de exemplu). Deci, N � (∃xϕ)[e].

(b) N � (∃xψ)[e] ⇐⇒ exista n ∈ N a.ı. N � ψ[ex←n] ⇐⇒ exista n ∈ N a.ı. n ≥ 2,ceea ce nu este adevarat (luand n := 3, de exemplu). Deci, N � (∃xψ)[e]. Prinurmare,

N � (∃xϕ ∧ ∃xψ)[e].

Pe de alta parte, N � ∃x(ϕ ∧ ψ)[e] ⇐⇒ exista n ∈ N a.ı. N � (ϕ ∧ ψ)[ex←n]⇐⇒ exista n ∈ N a.ı. n < 2 si n ≥ 2, ceea ce este fals. Prin urmare,

N 6� ∃x(ϕ ∧ ψ)[e].

(iii) Fie ϕ := x<y. Atunci

N � (∀x∃yϕ)[e] ⇐⇒ pentru orice n ∈ N, avem N � (∃yϕ)[ex←n]⇐⇒ pentru orice n ∈ N exista m ∈ N a.ı. N � ϕ[ex←n,y←m]⇐⇒ pentru orice n ∈ N exista m ∈ N a.ı. n < m,

ceea ce este adevarat: se ia, de pilda, m := n+ 1. Asadar,

N � (∀x∃yϕ)[e].

Pe de alta parte,

N � (∃y∀xϕ)[e] ⇐⇒ exista m ∈ N a.ı. N � (∀xϕ)[ey←m]⇐⇒ exista m ∈ N a.ı. pentru orice n ∈ N avem N � ϕ[ex←n,y←m]⇐⇒ exista m ∈ N a.ı. pentru orice n ∈ N avem n < m,

ceea ce este fals. Asadar,N 6� (∃y∀xϕ)[e].

3


19-20.01.2016

Seminar 14

(S14.1) Pentru orice formule ϕ, ψ si orice variabila x /∈ FV (ϕ),

ϕ ��∃xϕ (1)

∀x(ϕ ∧ ψ) ��ϕ ∧ ∀xψ (2)

∃x(ϕ ∨ ψ) ��ϕ ∨ ∃xψ (3)

∀x(ϕ→ ψ) ��ϕ→ ∀xψ (4)

∃x(ψ → ϕ) ��∀xψ → ϕ (5)

Demonstratie: Fie A o L-structura si e : V → A.

ϕ ��∃xϕ:A � ∃xϕ[e] ⇐⇒ exista a ∈ A a.ı. A � ϕ[ex←a] ⇐⇒ A � ϕ[e], deoarece x /∈ FV (ϕ)(aplicand Propozitia 2.25).

∀x(ϕ ∧ ψ) ��ϕ ∧ ∀xψ:A � (∀x(ϕ ∧ ψ))[e] ⇐⇒ pentru orice a ∈ A, A � (ϕ ∧ ψ)[ex←a] ⇐⇒ pentru orice a ∈ A,A � ϕ[ex←a] si A � ψ[ex←a] ⇐⇒ (aplicand Propozitia 2.25) pentru orice a ∈ A, A � ϕ[e] siA � ψ[ex←a] ⇐⇒ A � ϕ[e] si pentru orice a ∈ A, A � ψ[ex←a] ⇐⇒ A � ϕ[e] si A � ∀xψ[e]⇐⇒ A � (ϕ ∧ ∀xψ)[e].

∃x(ϕ ∨ ψ) ��ϕ ∨ ∃xψ:A � (∃x(ϕ ∨ ψ))[e] ⇐⇒ exista a ∈ A a.ı. A � (ϕ ∨ ψ)[ex←a] ⇐⇒ exista a ∈ A a.ı.A � ϕ[ex←a] sau A � ψ[ex←a] ⇐⇒ (aplicand Propozitia 2.25) exista a ∈ A a.ı. A � ϕ[e]sau A � ψ[ex←a] ⇐⇒ A � ϕ[e] sau exista a ∈ A a.ı. A � ψ[ex←a] ⇐⇒ A � ϕ[e] sauA � ∃xψ[e] ⇐⇒ A � (ϕ ∨ ∃xψ)[e].

1

∀x(ϕ→ ψ) ��ϕ→ ∀xψ:A � (∀x(ϕ→ ψ))[e] ⇐⇒ pentru orice a ∈ A, A � (ϕ→ ψ)[ex←a] ⇐⇒ pentru orice a ∈ A,A 6� ϕ[ex←a] sau A � ψ[ex←a] ⇐⇒ (aplicand Propozitia 2.25) pentru orice a ∈ A, A 6� ϕ[e]sau A � ψ[ex←a] ⇐⇒ A 6� ϕ[e] sau pentru orice a ∈ A, A � ψ[ex←a] ⇐⇒ A 6� ϕ[e] sauA � ∀xψ[e] ⇐⇒ A � (ϕ→ ∀xψ)[e].

∃x(ψ → ϕ) ��∀xψ → ϕ:A � ∃x(ψ → ϕ)[e] ⇐⇒ exista a ∈ A a.ı. A � (ψ → ϕ)[ex←a] ⇐⇒ exista a ∈ A a.ı.A 6� ψ[ex←a] sau A � ϕ[ex←a] ⇐⇒ (aplicand Propozitia 2.25) exista a ∈ A a.ı. A 6� ψ[ex←a]sau A � ϕ[e] ⇐⇒ A 6� ∀xψ[e] sau A � ϕ[e] ⇐⇒ A � (∀xψ → ϕ)[e].

(S14.2) Sa se axiomatizeze:

(i) clasa multimilor strict ordonate care au un element minimal;

(ii) clasa multimilor strict ordonate care au un element maximal;

(iii) clasa multimilor strict ordonate cu proprietatea ca orice element are un unic succesor.

Demonstratie: L< = (<)

(i) K = Mod(Th((IREFL), (TRANZ), (MINIMAL))), unde

(MINIMAL) : ∃x∀y ¬(y<x)

(ii) K = Mod(Th((IREFL), (TRANZ), (MAXIMAL))), unde

(MAXIMAL) : ∃x∀y ¬(x<y)

(iii) K = Mod(Th((IREFL), (TRANZ), (SUCC))), unde

(SUCC) : ∀x∃y(x<y ∧ ∀z(x<z → (z = y ∨ y<z)))

(S14.3) Fie L un limbaj de ordinul I. Sa se arate ca:

(i) pentru orice formule ϕ, ψ si orice variabila x,

∀x(ϕ→ ψ)→ (∀xϕ→ ∀xψ)

este valida (A2);

2

(ii) pentru orice formula ϕ si orice variabila x cu x /∈ V ar(ϕ),

ϕ→ ∀xϕ

este valida (A3);

(iii) pentru orice variabila x si orice termen t cu x /∈ V ar(t),

∃x(x = t)

este valida (A4).

Demonstratie: Fie A o L-structura si e : V → A o evaluare.

(i) Presupunem ca A � (∀x(ϕ → ψ))[e]. Deci pentru orice a ∈ A, vom avea ca are locA � (ϕ → ψ)[ex←a] (*). Vrem sa aratam ca A � (∀xϕ → ∀xψ)[e]. Presupunem prinabsurd ca nu e asa – atunci avem ca A � (∀xϕ)[e] si A 6� (∀xψ)[e]. Deci pentru oricea ∈ A, A � ϕ[ex←a] (**) si exista un b ∈ A cu A 6� ψ[ex←b] (***). Luand ın (*) si (**)a := b, obtinem ca A � (ϕ→ ψ)[ex←b] si A � ϕ[ex←b], ceea ce contrazice (***).

(ii) Presupunem ca A � ϕ[e]. Vrem sa aratam A � (∀xϕ)[e], i.e. ca pentru orice a ∈ A,A � ϕ[ex←a]. Fie a ∈ A. Clar FV (ϕ) ⊆ V ar(ϕ). Cum x /∈ V ar(ϕ), x /∈ FV (ϕ). Avemca e si ex←a difera cel mult pe “pozitia” x, deci restrictionate la FV (ϕ) ele devin egale.Aplicand Propozitia 2.25, rezulta ca avem ıntr-adevar A � ϕ[ex←a].

(iii) Trebuie aratat, folosind (S12.1).(iv), ca exista un b ∈ A astfel ıncat A � (x = t)[ex←b],i.e. ca exista un b ∈ A astfel ıncat b = tA(ex←b). Cum x /∈ V ar(t), aplicand Propozitia2.24, avem tA(ex←b) = tA(e). Deci trebuie aratat doar ca exista un b ∈ A astfel ıncatb = tA(e). Dar acum e simplu, luam b := tA(e).

(S14.4) Sa se axiomatizeze urmatoarele clase de grafuri:

(i) grafurile infinite;

(ii) grafurile complete;

(iii) grafurile care au cel putin un drum de lungime 3;

(iv) grafurile care au cel putin un ciclu de lungime 3;

(v) grafurile cu proprietatea ca orice varf are exact o muchie incidenta.

3

Demonstratie: LGraf = (E). Teoria grafurilor este Th((IREFL), (SIM)).

(i) Adaug multimea de enunturi

Γ := {∃≥n | n ≥ 2}.

Deci, Th((IREFL), (SIM),Γ).

(ii) Adaug enuntulϕ = ∀x∀y(¬(x = y)→ E(x, y)).

Deci, Th((IREFL), (SIM), ϕ).

(iii) Adaug enuntul

ϕ = ∃v1∃v2∃v3∃v4

( ∧1≤i<j≤4

¬(vi = vj) ∧ E(v1, v2) ∧ E(v2, v3) ∧ E(v3, v4)

).


(iv) Adaug enuntul

ϕ = ∃v1∃v2∃v3

( ∧1≤i<j≤3

¬(vi = vj) ∧ E(v1, v2) ∧ E(v2, v3) ∧ E(v3, v1)

).


(v) Adaug enuntul

ϕ = ∀x∃yE(x, y) ∧ ∀x∀y∀z(E(x, y) ∧ E(x, z)⇒ y = z).


4

FMI, Info, Anul ISemestrul I, 2015Logica matematica sicomputationala

Examen partial

(P1) [3 puncte] Sa se demonstreze ca urmatoarele multimi sunt numarabile:

(i) multimea formulelor ce nu contin variabilele v0, . . . , v100.

(ii) multimea functiilor f : N→ N ce au proprietatea ca exista m ∈ N astfel ıncat pentruorice n ≥ m, f(n) = f(m).

(iii) multimea tuturor clauzelor.

Demonstratie:

(i) Notam multimea din enunt cu A. Avem ca V ′ = {vn | n ≥ 101} este numarabila, viabijectia f : N→ V ′, f(n) = vn+101. Stim ca Form este numarabila si fie g : Form→ No bijectie. De asemenea, avem V ′ ⊆ A ⊆ Form, incluziuni carora le corespund functiileinjective i1 : V ′ → A si i2 : A → Form. Atunci i1 ◦ f : N → A si g ◦ i2 : A → N suntinjectii, deci, aplicand Teorema Cantor-Bernstein, A este numarabila.

(ii) Notam multimea din enunt cu C. Pentru orice m, p ∈ N, notam B(m,p) := {f : N →N | pentru orice n ≥ m, f(n) = p}. Aceste multimi sunt numarabile, deoarece putemgasi bijectiile ψ(m,p) : B(m,p) → Nm, ψ(m,p)(f) := (f(0), . . . , f(m − 1)). Mai departe,scriem:

C =⋃

(m,p)∈N2

B(m,p)

deci si C este numarabila.

(iii) Notam multimea din enunt cu E. Pentru orice m ∈ N, notam Dm := {C clauza |V ar(C) ⊆ {v0, ..., vm}}. Cum Dm ⊆ P({v0, ..., vm,¬v0, ...,¬vm}), Dm este finita (pen-tru orice m). Notam F := {{vn} | n ∈ N}, multime care este numarabila, deci,aplicand (S3.4).(i), avem ca pentru orice m, Dm ∪ F este numarabila. Mai departe,scriem:

E =⋃m∈N

(Dm ∪ F )

deci si E este numarabila.

(P2) [1 punct] Fie n ∈ N. Sa se dea o definitie recursiva a functiei zn : Form → N careasociaza oricarei formule ϕ numarul de aparitii ale variabilei vn ın ϕ.

Demonstratie: Se observa ca zn : Form→ N satisface urmatoarele conditii:

(R0) zn(v) =

{1, daca v = vn,

0, altminteri,

(R1) zn((¬ϕ)) = zn(ϕ),

(R2) zn((ϕ→ ψ)) = zn(ϕ) + zn(ψ).

Aplicam Principiul recursiei pe formule pentru A = N si pentru

G0 : V → N, G0(v) =

{1, daca v = vn,

0, altminteri,

G¬ : N→ N, G¬(n) = n,

G→ : N× N→ N, G→(n,m) = n+m.

pentru a concluziona ca zn este unica functie care satisface (R0), (R1) si (R2).

(P3) [1,5 puncte] Sa se demonstreze:

(i) ¬ϕ ∼ ϕ→ ¬ϕ;

(ii) ϕ ∨ ψ ∼ (ϕ→ ψ)→ ψ;

(iii) � (ϕ→ ψ) ∨ (ϕ→ ¬ψ).

Demonstratie:

(i) Fie e o evaluare oarecare. Avem ca e � ¬ϕ ddaca e+(¬ϕ) = 1 ddaca e+(ϕ) = 0 ddacae+(ϕ) ≤ e+(¬ϕ) ddaca e+(ϕ→ ¬ϕ) = 1 ddaca e � ϕ→ ¬ϕ.

(ii) Fie e o evaluare oarecare. Presupunem ıntai ca e � ϕ ∨ ψ. Atunci e+(ϕ ∨ ψ) = 1, decie+(ϕ) = 1 sau e+(ψ) = 1. In primul caz,

e+((ϕ→ ψ)→ ψ) = (e+(ϕ)→→→ e+(ψ))→→→ e+(ψ) = (1→→→ e+(ψ))→→→ e+(ψ) = e+(ψ)→→→ e+(ψ) = 1.

In al doilea caz,

e+((ϕ→ ψ)→ ψ) = (e+(ϕ)→→→ e+(ψ))→→→ e+(ψ) = (e+(ϕ)→→→ 1)→→→ 1 = 1.

Invers, acum, presupunem ca e+((ϕ→ ψ)→ ψ) = 1. Atunci, fie e+(ϕ→ ψ) = 0, decie+(ϕ) = 1, fie e+(ψ) = 1. In fiece caz, e+(ϕ ∨ ψ) = 1.

(iii) Avem ca ori e+(ψ) = 1, ori e+(ψ) = 0, i.e. e+(¬ψ) = 1. Adica ori e+(ϕ→ ψ) = 1, orie+(ϕ→ ¬ψ) = 1. Deci e+((ϕ→ ψ) ∨ (ϕ→ ¬ψ)) = 1.

(P4) [1,5 puncte] Fie ϕ, ψ ∈ Form. Sa se arate:

` (ϕ ∧ ψ)→ (ψ ∧ ϕ).

Demonstratie: Avem:

(1) {ψ → ¬ϕ, ϕ} ` ψ → ¬ϕ Propozitia 1.37.(ii)(2) {ψ → ¬ϕ, ϕ} ` ϕ Propozitia 1.37.(ii)(3) {ψ → ¬ϕ, ϕ} ` (ψ → ¬ϕ)→ (¬¬ϕ→ ¬ψ) (S7.3)(4) {ψ → ¬ϕ, ϕ} ` ¬¬ϕ→ ¬ψ (MP): (1), (3)(5) {ψ → ¬ϕ, ϕ} ` ϕ→ ¬¬ϕ (S7.2).(iv)(6) {ψ → ¬ϕ, ϕ} ` ϕ→ ¬ψ Propozitia 1.48 pentru (4), (5)(7) {ψ → ¬ϕ, ϕ} ` ¬ψ (MP): (2), (6)(8) {ψ → ¬ϕ} ` ϕ→ ¬ψ Teorema deductiei(9) ` (ψ → ¬ϕ)→ (ϕ→ ¬ψ) Teorema deductiei(10) ` ¬(ϕ→ ¬ψ)→ ¬(ψ → ¬ϕ) (MP): (9), (S7.3)(11) ` (ϕ ∧ ψ)→ (ψ ∧ ϕ). Definitia lui “∧”.

(P5) [1 punct] Sa se aduca urmatoarea formula la FND prin transformari sintactice:

(v5 ∧ v6)→ ¬(((v6 ∧ v7) ∨ ¬v5) ∧ (v4 ∨ v5)).

Demonstratie: Avem:

(v5 ∧ v6)→ ¬(((v6 ∧ v7) ∨ ¬v5) ∧ (v4 ∨ v5))∼¬(v5 ∧ v6) ∨ ¬(((v6 ∧ v7) ∨ ¬v5) ∧ (v4 ∨ v5))∼¬(v5 ∧ v6) ∨ ¬((v6 ∨ ¬v5) ∧ (v7 ∨ ¬v5) ∧ (v4 ∨ v5))∼¬v5 ∨ ¬v6 ∨ ¬(v6 ∨ ¬v5) ∨ ¬(v7 ∨ ¬v5) ∨ ¬(v4 ∨ v5)∼¬v5 ∨ ¬v6 ∨ (¬v6 ∧ ¬¬v5) ∨ (¬v7 ∧ ¬¬v5) ∨ (¬v4 ∧ ¬v5)∼¬v5 ∨ ¬v6 ∨ (¬v6 ∧ v5) ∨ (¬v7 ∧ v5) ∨ (¬v4 ∧ ¬v5) (FND).

(P6) [1 punct] Fie G : {0, 1}3 → {0, 1} definita, pentru orice x, y, z ∈ {0, 1}, prin:

G(x, y, z) :=

{1, daca x ≤ y ≤ z,

0, altminteri.

Sa se gaseasca o formula ϕ ın FND si una ψ ın FNC cu Fϕ = Fψ = G.

Demonstratie: Alcatuim tabelul de valori al lui G.

ε0 ε1 ε2 G(ε0, ε1, ε2)1 1 1 11 1 0 01 0 1 01 0 0 00 1 1 10 1 0 00 0 1 10 0 0 1

Obtinem, asadar, uitandu-ne pe liniile cu 1 de pe coloana valorilor luiG si aplicand rationamentuldin demonstratiile Teoremelor 1.72 si 1.74, ca un exemplu de ϕ este:

(v0 ∧ v1 ∧ v2) ∨ (¬v0 ∧ v1 ∧ v2) ∨ (¬v0 ∧ ¬v1 ∧ v2) ∨ (¬v0 ∧ ¬v1 ∧ ¬v2),

iar uitandu-ne pe liniile cu 0 de pe coloana valorilor lui G si aplicand rationamentul dindemonstratiile Teoremelor 1.73 si 1.74, obtinem ca un exemplu de ψ este:

(¬v0 ∨ ¬v1 ∨ v2) ∧ (¬v0 ∨ v1 ∨ ¬v2) ∧ (¬v0 ∨ v1 ∨ v2) ∧ (v0 ∨ ¬v1 ∨ v2).

(P7) [2 puncte]

(i) Gasiti Γ ⊆ Form astfel ıncat Mod(Γ) are 6 elemente.

(ii) Fie n ∈ N∗. Sa se gaseasca Γ ⊆ Form astfel ıncat Mod(Γ) are n elemente.

Demonstratie: Demonstram punctul (ii), i.e. pentru n nenul general.Iau Γ := {vk → vk+1 | 0 ≤ k ≤ n− 3} ∪ {vk | k ≥ n− 1}.Definesc f : {1, . . . , n} →Mod(Γ), pentru orice i ∈ {1, . . . , n}, prin:

f(i)(vj) :=

{1, daca j ≥ i− 1,

0, altminteri.

Aratam ca f este bine definita, i.e. ca pentru orice i, f(i) � Γ. Fie ıntai k ıntre 0 si n − 3.Avem ca f(i)+(vk → vk+1) = 1 ddaca f(i)(vk) ≤ f(i)(vk+1), ceea ce este adevarat pentru caf(i)-urile au fost definite “crescator”. Acum, fie k ≥ n − 1 ≥ i − 1, deci f(i)(vk) = 1, ceeace ne trebuia.Functia f este clar injectiva, din faptul ca pentru i < j, am 1 = f(i)(vi−1) > f(j)(vi−1) = 0.

Vrem sa aratam ca f este surjectiva. Fie e � Γ. Atunci e(vk) ≤ e(vk+1), pentru orice k ıntre0 si n− 3, si e(vk) = 1, pentru k ≥ n− 1. Asadar, e este “crescatoare”, porneste de la 0 siatinge sigur valoarea 1, deci exista un rang x de unde ia valoarea 1. Ramane ca e = f(x+1).Gasind aceasta bijectie f , avem ca Mod(Γ) are n elemente.

(P8) [2 puncte] Fie Γ o multime de formule. Sa se demonstreze ca urmatoarele afirmatiisunt echivalente:

(i) Γ este nesatisfiabila.

(ii) Γ � ϕ pentru orice formula ϕ.

(iii) Γ � ϕ pentru orice formula nesatisfiabila ϕ.

(iv) Γ � ⊥.

Demonstratie: (i)⇒(ii) Fie ϕ ∈ Form. Deoarece Γ este nesatisfiabila, avem ca Mod(Γ) =∅. Atunci Mod(Γ) ⊆Mod(ϕ), adica Γ � ϕ.(ii)⇒(iii) Evident.(iii)⇒(iv) Deoarece ⊥ este nesatisfiabila.(iv)⇒(i) Presupunem ca Γ are un model e : V → {0, 1}. Atunci e este model al lui ⊥,contradictie.

(P9) [2 puncte] Fie e : V → {0, 1} o evaluare si Γ := {ψ ∈ Form | e � ψ}.

(i) Demonstrati ca:

(a) Γ este consistenta.

(b) Pentru orice formula ϕ, avem ϕ ∈ Γ sau ¬ϕ ∈ Γ.

(c) Pentru orice formula ϕ, daca Γ � ϕ, atunci ϕ ∈ Γ.

(ii) Gasiti toate modelele lui Γ.

Demonstratie:

(i) (a) Deoarece e este model al lui Γ, rezulta ca Γ este satisfiabila, deci consistenta.

(b) Fie ϕ o formula. Avem doua cazuri:

(1) e+(ϕ) = 1, adica e � ϕ. Prin urmare, ϕ ∈ Γ.

(2) e+(ϕ) = 0. Atunci e+(¬ϕ) = 1, asa ca e � ¬ϕ. Prin urmare, ¬ϕ ∈ Γ.

(c) Presupunem ca Γ � ϕ. Deoarece e � Γ, rezulta ca e � ϕ, deci ϕ ∈ Γ.

(ii) Demonstram ca e este unicul model al lui Γ. Fie e∗ : V → {0, 1} un model arbitrar allui Γ. Fie v ∈ V . Avem doua cazuri:

(a) e(v) = 1, adica v ∈ Γ. Rezulta ca e∗(v) = 1.

(b) e(v) = 0, deci v /∈ Γ. Atunci, ¬v ∈ Γ. Rezulta ca e∗(¬v) = 1, deci e∗(v) = 0.

Asadar, e = e∗.

Logica Matematica si computationala

Documents

Transcript of Logica Matematica si computationala