Logica propozițiilorPartea a II-a

CURS X

Asist dr. Mihai BURLACU

Tipuri de funcţii de adevăr

oφa realizabile: Funcţii de adevăr în sens

strict

oφa tautologice: Legile logice

oφa de contradicţie

φa realizabile

o Sunt funcţii de adevăr în sens strict.

oValoarea de adevăr depinde de valorile de adevăr ale componentelor.

oIau valoarea logică 1 (adevărat) pentru cel puţin o combinaţie de argumente.

φa tautologice

• Legile logice.

• Iau valoarea logică 1 (adevărat) indiferent de valorile de adevăr ale argumentelor.

φa de contradicţie

o Iau valoarea logică 0 (fals) indiferent de valorile de adevăr ale argumentelor.

o Numim tăria unui operator sfera de aplicare a operatorului în cadrul expresiei date.

o Operatorul principal este operatorul cu tăria cea mai mare.

o Ordonarea logică a expresiei propoziţionale reprezintă operaţia de stabilire a sensului logic al acesteia.

• Observaţie: Ordonarea logică se face pe baza semnificaţiei intuitive şi a conectorilor (expresiile lingvistice ale operatorilor logici) existenţi în formularea lingvistică a expresiei propoziţionale compuse.

Precizări terminologice

Simbolizarea expresiilor propoziţionale compuse (I)

o Etapele algoritmului necesar pentru simbolizare:

1. Stabiliţi conectorul principal al propoziţiei/ frazei/ grupului de fraze şi izolaţi subfrazele corespunzătoare.

2. Stabiliţi conectorii din subfraze şi, în funcţie de aceştia, izolaţi propoziţiile elementarea componente

3. Ordonaţi logic (dacă este cazul) propoziţia/ fraza/ grupul de fraze.

4. Reprezentaţi propoziţiile elementare distincte (d. p. d. v. logic) cu ajutorul variabilelor propoziţionale distincte (p, q, r, s...) şi conectorii cu ajutorul operatorilor logici aferenţi.

5. Stabiliţi tăria fiecărui operator cu ajutorul semnelor auxiliare (paranteze, puncte, litere).

Simbolizarea expresiilor propoziţionale compuse (II)

o Varianta utilizării parantezelor, variantă impusă de Giuseppe Peano 1858–1932 (are avantajul familiarităţii).• Vă mai amintiţi cum parantezele de feluri diferite

indicau la aritmetică ce aveţi de făcut cu numerele din expresie.

oVarianta utilizării punctelor, folosită de Bertrand Russell şi Willard Van Orman Quine.•Negația: p=1, ¬p=0; p=0, ¬p=1•Conjuncția: p&┬ = p;Dacă p= ┬, ┬&┬ = ┬; p&┴ = ┴Dacă p= ┴, ┴&┬ = ┴

oVarianta utilizării literelor a lui Jan Łukasiewicz (1878–1956).•Negația: F ⌐(x) = 1 – x•Echivalența: F↔(x,y) = 1 – │x – y │

Exemplu de simbolizare a expresiilor propoziţionale compuse (A)

Dacă promovez examenul, atunci mă duc în vacanţă la Costineşti iar dacă nu, atunci îmi petrec vacanţa acasă.• Conector principal: iar•Ceilalţi conectori: dacă...atunci, dacă atunci, nu•Propoziții elementare: p: (Eu) promovez examenul.q: Mă duc în vacanţă la Costineşti.r: Îmi petrec vacanţa acasă.

Expresia poate fi simbolizată astfel:

(p→q) & (¬p→r)

Dacă Ion ori Sandu câştigă concursul de selecţie, atunci prestigiul clubului şcolar va fi salvat, iar oraşul nostru va fi cu siguranţă reprezentat la campionatul mondial de nataţie. Prin urmare, sau Ion nu câştigă concursul de selecţie, sau prestigiul clubului clubului şcolar va fi salvat.

Exemplu de simbolizare a expresiilor propoziţionale compuse (B)

Conector principal

Interpretarea exemplului (B)

o Conector principal: Prin urmare

o Ceilalţi conectori: dacă...atunci, ori, iar, sau...sau, nu

o Propoziţii elementare:p: Ion câştigă concursul de selecţie.q: Sandu câştigă concursul de selecţie.r: Prestigiul clubului şcolar va fi salvat.s: Oraşul nostru va fi cu siguranţă reprezentat la campionatul

mondial de nataţie.

Expresia poate fi simbolizată astfel:

[(pvq) → (r&s)] → ( ¬pwr)

Observații

o Simbolizarea unei expresii propoziţionale facilitează evaluarea logică a acesteia.• Stabilirea tipului de funcţie de adevăr ce îi corespunde.

oExistă mai multe metode de evaluare.• Metoda matricială are avantajul că este susținută de o grafică sugestivă.

Metoda matricială de evaluare a expresiilor propoziţionaleo Presupune construirea unei matrici cu:• C = (n+m) coloane• L = 2n linii

Unde

• n: numărul de variabile propoziționale.• m: numărul de operatori logici din expresia propoziţională.

Algoritm de evaluare al expresiilor propoziţionale

1. Ordonaţi după importanţă operatorii propoziţiilor compuse.

2. Construiţi matricea, aşezând operatorii în ordinea creşterii importanţei lor (ultima coloană va fi cea a operatorului principal).

3. Stabiliţi valorile de adevăr ale aplicării operatorilor intermediari asupra propoziţiilor aferente.

4. Stabiliţi valorile de adevăr pentru aplicarea operatorului principal asupra propoziţiilor intermediare (rezultate prin aplicarea operatorilor intermediari asupra propoziţiilor aferente).

5. Interpretaţi rezultatele aplicării operatorului principal asupra propoziţiilor intermediare (aici avem 3 situații).

Interpretarea rezultatelor aplicării operatorului principal

Interpretaţi rezultatele aplicării operatorului principal asupra propoziţiilor intermediare:

o Dacă aţi obţinut şi valori 1 şi valori 0, propoziţia evaluată este funcţie realizabilă.

oDacă aţi obţinut pe coloana operatorului principal în excusivitate valoarea logică 1 (adevărat), expresia propoziţională compusă evaluată este lege logică.

o Dacă aţi obţinut în exclusivitate valoarea logică 0 (fals), expresia propoziţională este o contradicţie.

Exemplu de evaluare al expresiilor propoziționale compuse (tautologie)

[(p→1q) &3 (q→2r)] →5(p→4r)p q r →1 →2 &3 →4 →5

1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 0 0 11 0 1 0 1 0 1 11 0 0 0 1 0 0 10 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 10 0 1 1 1 1 1 10 0 0 1 1 1 1 1

Exemplu de evaluare al expresiilor propoziționale compuse(contradicție)

(p&1q) &3 (p/2q)

p q &1 /2 &3

1 1 1 0 01 0 0 1 00 1 0 1 00 0 0 1 0

Exemplu de evaluare al expresiilor propoziționale compuse(realizabilă)

[(p/1q) &3 (q/2r)] →5 (p/4r)p q r /1 /2 &3 /4 →5

1 1 1 0 0 0 0 11 1 0 0 1 0 1 11 0 1 1 1 1 0 01 0 0 1 1 1 1 10 1 1 1 0 0 1 10 1 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 0 0 1 1 1 1 1

Observații

o Pentru expresiile propoziţionale cu mai mult de trei propoziţii elementare, metoda matricială devine incomod de aplicat: L=2n.

o În cazul expresiilor propoziționale cu mai mult de trei propoziții elementare, este mai eficientă utilizarea metodei de decizie prescurtată cu ajutorul regulilor de adevăr (i.e. Metoda Quine).• Regulile de adevăr aferente funcţiilor elementare vă

sunt deja cunoscute.

Algoritmul aplicării metodei Quine

1. Daţi celei mai frecvente propoziţii din expresia propoziţională valoarea logică 1 (adevărat) în partea stângă a paginii şi valoarea logică 0 (fals) în dreapta paginii.

2. Aplicaţi regulile de adevăr corespunzătoare asupra schemei obţinute.

3. Dacă în urma aplicării regulilor de adevăr obţineţi numai valori logice, evaluarea s-a încheiat; dacă obţineţi o nouă schemă, reluaţi procesul de evaluare de la punctul 2 al algoritmului.

4. Interpretaţi rezultatele aplicării regulilor de adevăr (aici avem 3 situații).

Interpretarea rezultatelor aplicării regulilor de adevărInterpretaţi rezultatele aplicării regulilor de adevăr:

o Dacă aţi obţinut şi valori 1 şi valori 0, propoziţia evaluată este funcţie realizabilă.

o Dacă aţi obţinut în excusivitate valoarea logică 1 (adevărat), expresia propoziţională compusă evaluată este lege logică.

o Dacă aţi obţinut în exclusivitate valoarea logică 0 (fals), expresia propoziţională este o contradicţie.

Exemplu de aplicare al Metodei Quine pentru o expresie realizabilă

[(p/q) & (q/r)] → (p/r)

[(p/q) & (q/r)] → (p/r)p= ┬ [(┬/q) & (q/r)] → (┬/r)[¬q & (q/r)] →¬r 

p= ┴ [(┴/q) & (q/r)] → (┴/r)[┬& (q/r)] → ┬┬

q= ┬ [┴ & (┬/r)] →¬r┴→¬r┬

q= ┴ [┬& (┴/r)] →¬r[┬ & ┬] →¬r┬→¬r¬r

 

  r= ┬¬r= ┴┴

r= ┴¬r= ┬┬

 

┬ ┴ ┬ ┬

Utilitatea tautologiilor

o Identificarea relaţiilor logice dintre propoziţii.

o Legi logice fundamentale.

Legi care exprimă principiile logicii

o Legile identității:p↔p; p→p; ¬(¬p)↔p

o Legea noncontradicţiei:¬(p&¬p)

o Legea terțului exclus:pv¬p

Legi ale proprietăţilor funcţiilor de adevăr:

o Legile comutativităţii:(p&q)↔(q&p); (pvq)↔(qvp)

o Legile asociativităţii:[(p&q)&r)]↔[p&(q&r)]; [(pvq)vr)]↔[pv(qvr)]

o Legile distributivităţii:[p&(qvr)]↔[(p&q)v(p&r)]; [pv(q&r)]↔[(pvq)&(pvr)]

o Legile tranzitivităţii:[(p→q)&(q→r)]→(p→r); [(p↔q)&(q↔r)]→(p↔r)

o Legile idempotenţei:(p&p)↔p; (pvp)↔p

o Legile de coborâre a negaţiei (De Morgan):¬(p&q)↔(¬pv¬q); ¬(pvq)↔(¬p&¬q)

Legile implicaţiei materiale

o Legile contrapoziţiei implicaţiei:(p→q)→( ¬q →¬p); (p→¬q)→( q →¬p)

o Legile paradoxurilor implicaţiei:p→(q→p); ¬p→(p→q)

o Legile reducerii la absurd:(p→¬p)→¬p; [(p→q)&(p→¬q)]→¬p

Alte legi

o Legile excluderii:[(pvq)&(pv¬p)]↔p; [(p&q)v(p&¬p)]↔p

o Legile absorbţiei:[p&(pvq)]↔p; [pv(p&q)]↔p

o Legile eliminării conjuncţiei:(p&q)→p; (p&q)→q

o Legile introducerii disjuncţiei:p→(pvq); q→ (pvq)

Scheme logice ale unor raţionamente deductive

o Raţionamente (inferenţe) ipotetice

o Raţionamente disjunctive

o Raţionamente ipotetico-disjunctive (dileme)

Raţionamente (inferenţe) ipotetice

o Modus ponendo-ponenes:

[(p→q)&p]→qo Modus tollendo-tollens:

[(p→q)& ¬q]→ ¬p

Raţionamente disjunctive

o Modus ponendo-tollens:

[(pwq)& p]→ ¬qo Modus tollendo-ponens:

[(pvq)& ¬p]→q; [(pwq)& ¬p]→qObservație: denumirile latine marchează în cazul

acestor scheme logice calitatea celei de-a doua premise şi, respectiv, a concluziei: ponendo indică asetarea premisei, tollendo respingerea acesteia, ponens indică existenţa concluziei afirmative, tollens indică o concluzie negativă.

Raţionamente ipotetico-disjunctive (dileme)

o Dilema constructivă simplă:[(p→q)&(r→q)&(pvr)]→q

o Dilema constructivă complexă:[(p→q)&(r→s)&(pvr)]→(qvs)

o Dilema distructivă simplă:[(p→q)&(p→r)&( ¬qv¬r)]→¬p

o Dilema distructivă complexă:[(p→q)&(r→s)&( ¬qv¬s)]→(¬pv¬r)

Q.E.D.