Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

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Titolo originale Introduction to Logical Theory Mcthucn & Co., Ltd, London O 1V6I Giulio Einaudi editore S. ρ. Α., Torino Traduzione di Aldo Visalberghi

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Titolo originale Introduction to Logical Theory

Mcthucn & Co., Ltd, London

O 1V6I Giulio Einaudi editore S. ρ. Α., Torino

Traduzione di Aldo Visalberghi

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P. F. Strawson

Introduzione alla teoria logica

G i u l i o E i u a u d i e d i t o r e

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índice

p. XIII Preiasione del tratluttore

XIX Avvertenza terminologica

XXI Prefazione dell'autore

I. Valutazione logica

3 1. V a l u t a z i o n e log i ca c v a l u t a z i o n i d ' a l t r o g e n e r e

I. Incongruenza

4 2 . Le p a r o l e d i v a l u t a z i o n e log i ca h a n n o s ign i f i ca t i f ra l o ro conness i

5 3. C o n t r a d d i r e se s tess i

6 4. Le a s se rz ion i e non gl i e n u n c i a t i p o s s o n o e s se re in-

c o n g r u e n t i f ra l o r o

8 5. P r e d i c a t i i n c o m p a t i b i l i

11 6 . N e g a z i o n e

13 7. D e f i n i z i o n e

14 8. R e g o l e l i n g u i s t i c h e c r e l az ion i l o g i c h e

l i . Ragionamento

17 9 . A r g o m e n t a r e , p r o v a r e , i n f e r i r e : v a l i d i t à 19 10. N o n tutt i i ' p a s s a g g i v a l i d i ' s o n o p a s s a g g i nel ragio-

n a m e n t o , ili. Il vocabolario di secondo ordine del logico

21 11, U s o de l l e p a r o l e d i o r d i n e s u p e r i o r e del l og i co

22 12. C o n t r a r i e e c o n t r a d d i t t o r i e

26 13. I m p l i c a n z a c i n c o n g r u e n z a 28 14. A s s e r z i o n i l o g i c a m e n t e n e c e s s a r i e ; i m p l i c a n z a e ne-

ces s i tà 32 15. Un p r o b l e m a c i rca l ' i m p l i c a n z a

3 3 16. E q u i v a l e n z a l o g i c a ; s u b c o n t r a r i e t à : c o n d i z i o n i neces-s a r i e e suf f ic ient i

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V i l i Indice

II. Logica formale p. 35 1 . I l l o g i c o f o r m a l e non è un c o m p i l a t o r e di e l ench i

I. Generalità. Vuso delle formule

35 2 . La g e n e r a l i t à d e l l e a s s e r z i o n i d i i tnp l i canza del l og i co

3 6 3 . L ' u s o d e l l e f o r m u l e <12 4. I m p l i c a n z a f ra enunc i a t i e f ra f o r m u l e

43 5 . La g a m m a d i va lo r i d i u n a v a r i a b i l e 44 6. F o r m u l e ' i n c o n g r u e n t i ' e f o r m u l e ' l o g i c a m e n t e ne-

ce s sa r i e '

16 7. F r a i n t e n d i m e n t i di ' Z>

51 8. R a g i o n i d e l l ' u s o di ' Z>

il. Forma

53 9 . Le l i m i t a z i o n i i m p l i c i t e nel t e r m i n e ' f o r m a l e ' .

R e g o l e p e r m o d e l l i r a p p r e s e n t a t i v i

57 10. A n a l o g i e f o r m a l i e i n t e l a i a t u r e v e r b a l i

6U 11. U n ' a n a l o g i a f o r m a l e s enza i n t e l a i a t u r a : la t r ans i t iv i t à

62 12. Cos tan t i l o g i c h e 65 13. F o r m e l o g i c h e d i a s s e r z i o n i s p i e g a t e in t e r m i n i d i ana-

log ie f o r m a l i 68 14 . F o r m a log ica e f o r m u l e de l l o g i c o

70 15. E r r o r i c i rca l a f o r m a log i ca

i l i . Sistema

74 16. L ' i d e a l e l og i co di s i s t e m a , e i s u o i e f fe t t i

77 17. M e t o d i d i s i s t e m a t i z z a z i o n e

81 18. S i s t e m i as t ra t t i e l o r o i n t e r p r e t a z i o n e

III. Funzioni di verità I. Tavole di verità

84 1 . R e g o l e d i f o r m a z i o n e 86 2 . 1 s ign i f i ca t i de i s i m b o l i de l s i s t e m a

91 3 . U s o d e l l e t avo le nel d e t e r m i n a r e c o n d i z i o n i d i ve r i t à 93 4 . U s o d e l l e tavole p e r s t a b i l i r e r e l az ion i l o g i c h e e for-

m u l e d i c o n t r o l l o 97 5 . A l c u n e legg i de l s i s t e m a

I I . Costanti vero-funzionali e parole ordinarie

101 6. I i' i dent i f i caz ion i u sua l i

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Indice IX

p . 102 7 . ' ~ ' e ' non '

103 B. ' . ' ed ' c " 107 9 . ' D ' e " s e '

116 10. ' = ' e ' se e s o l t a n t o se ' 116 11. ' V ' e ' o 1

πι. Costanti vero-funzionali e relazioni logiche. Il sistema deduttivo delle vero-funzioni

120 12 . ' r) ' ed ' e s i g e '

123 13. L a f u n z i o n e eon s e g n o d i s b a r r a t o ( o d i S h e f f c r )

126 11 . I l s i s t e m a d e d u t t i v o d e l l e ve ro- funz ion i

129 15. E s e m p i d i d e r i v a z i o n i

IV. Logica delle classi: interpretazione alternativa del sistema tabellare

131 I . I l s i s t e m a c o m e e s e r c i z i o a s t ra t to 132 2 . U n ' i n t e r p r e t a z i o n e a l t e r n a t i v a .

C l a s se -e spre s s ion i e c las se-costant i

138 3 . F o r m u l e d i c l a s se -a s se rz ione 142 4 . L ' u s o d e l l e t a b e l l e p e r s t a b i l i r e r e g o l e l o g i c h e c i rca

l e f o r m u l e d i c l a s se 152 5 . P a r a l l e l i con l i n g u a g g i o o r d i n a r i o . R i c s p r c s s i o n c d i

r e g o l e c o m e i m p l i c a n t e f r a f o r m u l e d i c la s se-appar te-n e n z a

154 6 . L i m i t a z i o n i d i un ta le u s o de l m e c c a n i s m o t a b e l l a r e

V. Formule predicative e quantificatori

I. Gli elementi <lei sistema predicativo

160 1. R e l a z i o n i fra s i s t e m a di c l a s s e e s i s t e m a vero-fun-z i o n a l e

165 2 . P a r a f r a s i in nuova n o t a z i o n e d e l l e f o r m u l e d i classe-a s s e r z i o n e

172 3 . P r o v e nel la n u o v a n o t a z i o n e

177 4 . Q u a n t i f i c a z i o n e m u l t i p l a e p r e d i c a t i r e l az iona l i

II. Il sistema predicativo e il linguaggio ordinario: preliminari

183 5 . La d i s t i n z i o n e f r a e s p r e s s i o n i i n d i v i d u a l i e p red ica-t ive : riferimento e d e s c r i z i o n e

188 6 . A r g o m e n t i u sa t i in f a v o r e del s i m b o l i s m o del s i s t e m a 192 7. ' (BAT)' e t e m p i verbul i

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Indice

VI. Soggetti, predicati ed esistenza

I. lì sistema tradizionale delle proposizioni categoriche

p. 1 9 5 1. F o r m u l e

199 2 . L e g g i

2 0 5 .1. S i s t e m a t i z z a z i o n e

II. Le critiche ortodosse al sistema

2 0 9 4 . I l d i l e m m a d i e s i s t enza

211 5 . E s a m e d e t t a g l i a t o del d i l e m m a

i l i . Soggetti e predicati

2I l i 6 . l i n a s o l u z i o n e f o r m a l i s t i c a

2 2 2 7 . I.a s o l u z i o n e r e a l i s t i c a : p r e s u p p o s i z i o n e e i m p l i c a n z a

2 3 0 8. C l a s s e - a p p a r t e n e n z a e c l a s se - inc lus ione .

As se rz ion i s o g g e t t o - p r e d i c a t o

2 3 4 9 . S i g n i f i c a t o d e l l ' a n a l i s i d e l l e a s s e rz ion i g e n e r a l i c o m e

c o n g i u n z i o n i d i a s s e r z i o n i s i n g o l a r i

2 3 0 10. As se rz ion i s i n g o l a r i in i z i ent i con ' il ' e ' un '

244 11. « ' E s i s t e ' non e un p r e d i c a t o »

247 12. L i m i t a z i o n i del s i s t e m a t r a d i z i o n a l e

VII. Asserzioni generali e relazioni

ι. Asserzioni generali

250 1 . Le vero-cond iz ion i d e l l e a s s e r z i o n i genera l i sogget to-p r e d i c a t o

2 5 0 2 . D i f f e r e n t i g e n e r i d i e n u n c i a t i genera l i

2 5 3 3 . A s s e r z i o n i d i l egg i

2 5 8 4 . L ' i m p o s s i b i l i t à d i u n a c l a s s i f i c az ione net ta d i enun-ciat i genera l i

II. Relazioni

260 5 . T r a n s i t i v i t à

2 6 2 6 . S i m m e t r i a 2 6 3 7 . R e l a z i o n i d i r e t t e e c o n v e r s e 264 8. F o r z a t u r e n e l l ' u s o del t e r m i n e ' r e l a z i o n e '

2 6 5 9. T e n t a t i v i di « r i d u r r e » le i n f e r e n z e re l az iona l i 2 6 8 10. L e f o r m e l o g i c h e d i a r g o m e n t a z i o n e

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Indice χι

V i l i . Due tipi di logica

I. La logica formale: applicazioni e limitazioni

p. 2 7 2 1. R e g o l e Hi i m p l i c a n z a e r e g o l e <li r i f e r i m e n t o

276 2 . E n u n c i a t i l o g i c a m e n t e i d e a l i

280 3 . L 'u so del m o d e r n o s i m b o l i s m o l o g i c o in s i s t e m i d i ver i tà n e c e s s a r i e e di l egg i na tura l i

il. Differenze di tipo e regole di formazione

2 8 8 4 . R e g o l e d i f o r m a z i o n e e r e g o l e d i g r a m m a t i c a

2 9 2 5 . Re s t r i z ion i non g r a m m a t i c a l i d i t i p o

293 6 . La c r e d e n z a m e t a f i s i c a in t ip i f o n d a m e n t a l i

ili. Im logica del linguaggio

2 9 6 7 . La f lu id i t à d i l i n g u a g g i o

2 9 8 8 . La log ica del l i n g u a g g i o o r d i n a r i o

IX. Ragionamento induttivo e probabilità

I. Suffragio e probabilità

300 1 . R a g i o n a m e n t o non d e d u t t i v o

305 2 . G r a d i d i s u f f r a g i o : l 'u so di ' p r o b a b i l e ecc .

310 3 . S u f f r a g i o e f r e q u e n z e r e l a t i v e

3 1 2 4 . S u f f r a g i o e p r o b a b i l i t à n u m e r i c h e

314 5 . G r a d o d i s u f f r a g i o p e r l e g e n e r a l i z z a z i o n i 3 1 8 6 . Assenza d i r e g o l e p r e c i s e p e r l a d e t e r m i n a z i o n e del-

l ' ev idenza

II. IM ' giustificazione ' dell'induzione

320 7. I l d u b b i o e la sua f o n t e

323 8 . S i v o r r e b b e u n a s u p r e m a p r e m e s s a p e r l e i n d u z i o n i 325 9 . I l tentat ivo di t rovare una g i u s t i f i c a z i o n e m a t e m a t i c a 330 10. L ' in sensa tezza d e l l a r i c h i e s t a

332 11. Q u a l u n q u e f e c o n d o m e t o d o d i s c o p e r t a d e v e e s s e r e in-d u t t i v a m e n t e s u f f r a g a t o .

335 12. La c r e d e n z a c h e l ' i n d u z i o n e p e r e s se re l e g i t t i m a ri-c h i e d a un ' p r e s u p p o s t o ' s i f o n d a p r o b a b i l m e n t e su l l a c o n f u s i o n e f ra d u e d i v e r s e q u e s t i o n i

341 Intlire analitico

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Peter Frederick Strawson, che è un filosofo del linguaggio piut-tosto che un logico formale, scrivendo questa I n t r o d u z i o n e a l l a teo-r ia log ica non ha inteso, secondo che egli stesso precisa, accrescere il numero giù notevole di buoni manuali introduttivi alle t ecniche della logica moderna. Egli si propone bensì di orientare in esse il lettore, ma ciò non costituisce affatto il punto d'arrivo del libro, bensì la condizione indispensabile a realizzarne l'intento princi-pale, ch'è dichiaratamente quello di analizzare le relazioni fra si-stemi logici formali e i « lineamenti logici del discorso ordinario », il che necessariamente si traduce in una considerazione critica ap-profondita di ciò che propriamente, in questo e in quelli, può dirsi « logico ».

Non c'è nulla di sorprendente nel fatto che una « introdu-zione » non abbia carattere di elementarità nel senso di presen-tarci solo gli aspetti più generici e di più facile assimilazione di una disciplina. Gli elementi più s e m p l i c i , i « fondamenti » di una disciplina sono spesso i più problematici e perciò, una volta rico-nosciuti per tali, i più diffìcili a chiarirsi. Anche in matematica, lia scritto Russell all'inizio della sua I n t r o d u z i o n e a l l a f i losof ìa m a t e m a t i c a , « le cose più ovvie e facili non sono quelle che, in senso logico, vengono al principio, bensì sono quelle che, dal punto di vista della deduzione logica, si può dire vengano a metà strada. Proprio come si individuano più facilmente gli oggetti che non sono né lontanissimi né vicinissimi, né piccolissimi né grandissimi, cosi sono più facili da afferrare i concetti non troppo complessi né troppu semplici (" semplici " in senso logico) ».

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XIV P r e f a z i o n e del t radut tore

E per l'appunto Strawson dedica buona parte della sua atten-zione a concetti « " semplici " in senso logico », cioè all'analisi de-gli strumenti più elementari dei calcoli logici e delle difficoltà che ne accompagnano l'uso, a causa della spontanea tendenza ad operare affrettate identificazioni fra di essi, e fra di essi e le regole d'uso del linguaggio ordinario. Gran parte dello spazio della sua trattazione egli lo riserva, come osservava W. V. Quine recensendo il libro, « non a teoremi e prone e procedimenti di decisione (salvo alcuni schematici esempi), ma all'interpretazione e alla critica » (Mind , 1953, pp. 433-451).

L'interpretazione e la critica degli strumenti logici moderni e della stessa teoria sillogistica classica, che Strawson acutamente rivaluta, significano una progressiva presa di coscienza delle limi-tazioni implicite sia nei sistemi logico-formali, sia nel linguag-gio ordinario, quelli relativamente parziali e schematici, questo troppo fluido e ricco di funzioni allusive e di presupposizioni non dichiarate. Intento non nascosto di Strawson è tuttavia di difendere lo studio della logica del linguaggio ordinario dal « dogma » di una superiorità dei sistemi formalizzati come tali, cii) che d'altronde non gli impedisce di profittare al massimo, e far profittare il let-tore, degli sviluppi della logica formale in fatto di vigili distin-zioni metodologiche. Egli abilita cosi, in modo diretto e disinvolto, a cogliere il senso e l'importanza di alcune tipiche distinzioni operate dalla teoria contemporanea, come quella fra linguaggio e metalinguaggio (indicalo con la più accessibile espressione u pa-role di ordine superiore del logico ») e quella fra dimensione sintattica e dimensione semantica della logica (qui introdotta co-me distinzione fra i a sistemi astratti » e la loro interpretazione).

Per questo riteniamo che la lettura di quest'opera di Strawson possa validamente contribuire a rompere quella barriera d'incom-prensione. quel senso di sostanziale estraneità fra il lavoro del lo-gico formale e quello del filosofo e dell'«, umanista » in genere, che ha contrassegnato la cultura italiana negli ultimi decenni e

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XIV Pre faz ione del t radut tore

che solo da poco sembra entrata in fase regressiva per opera di un manipolo di studiosi ancora esiguo. Il più autorevole di questi studiosi notava di recente come l'interesse che Giuseppe Peano dimostrò negli ultimi anni per i problemi logici del linguaggio or-dinario testimoni, anziché di una decadenza senile secondo che si è favoleggiato, di un suo « ardito ampliamento degli interessi lo-gici » (L. Geymonat, P e a n o e le sort i de l l a log ica in I t a l i a , « Bol-lettino UMI », 1959, n. 3). Ma quest'ampliamento, avvenuto forse troppo tardi, non trovò da noi né il clima adatto, né un sufficiente numero di volenterosi atti a svilupparlo, sicché in Italia per molti lustri si gabellò per « logica » proprio l'abile gioco dialettico volto a squalificare la logica legittima e a respingerla verso domini « pseudo-concettuali », soprattutto matematici, che a loro volta fu-rono messi in sospetto contro il troppo zelante controllore che si diceva dovesse occuparsi esclusivamente dei loro affari.

In effetti la logica difficilmente può svolgere il suo compito di « ancilla scientiae » quando non svolga insieme quello di chiarifi-catrice del discorso comune, se non altro perché nelle scienze stesse, matematica compresa, esiste il problema del rapporto fra i particolari simboli e algoritmi impiegati e il linguaggio ordina-rio di cui non possono mai fare del tutto a meno. Questa comples-sità di compiti non è di facile espletamento, né il panorama della logica contemporanea mondiale è del tutto confortante a tale ri-guardo. In questo panorama il presente libro di Strawson sì col-loca come uno dei più vigorosi tentativi di ristabilire fecondi rap-porti di aiuto e chiarimento reciproco fra logica formalizzata e logica del linguaggio ordinario. Egli però, come gli è stalo giusta-mente rimproverato da Quine nella recensione citata, mostra scarsa o nessuna fiducia nell'utilità della logica formale in campo scientifico e ritiene piuttosto che col suo procedimento di costru-zione sistematica il logico formale a può insegnarci, e in effetti ci insegna - se pur solamente per contrasto - molte cose importanti circa la logica del discorso ordinario » ( p . 76).

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XVI

Certamente appare agevole elevare l'accusa di unilateralità contro una considerazione della logica come suscettibile di inte-ressare soltanto o quasi lo scienziato e il filosofo della scienza, se-condo la supposizione di Quine di un « individuo ipotetico » che è un fisico, un matematico, e magari anche un cultore di altre di-scipline scientifiche, e che « si interessa del linguaggio ordinario [...] solo come un mezzo per procedere in fisica, matematica e in altre scienze ». il quale sarà alfine ben soddisfatto quando non abbia più bisogno « di parafrasare il discorso comune nella sua notazione logica, perché ha imparato a pensare direttamente nella sua notazione logica, o addirittura (ciò che è il bello della cosa) a farla pensare per lui ».

Quest'ideale unilaterale appare nondimeno legittimo e ben concreto, se solo si pensa che almeno da Leibniz in poi il mecca-nismo logico si è sviluppato più o meno consapevolmente in fun-zione della realizzazione di meccanismi materiali effettivi capaci di « pensare per l'uomo », e che questa tendenza ha avuto il suo trionfo nella cibernetica e nei « cervelli elettronici ».

Ma d'altra parte proprio la cibernetica e le « m a c c h i n e tradut-trici » sembrano dar ragione a Strawson quando paragona il lo-gico a un topografo che sia « appassionato della geometria », sic-ché non volendo usare nei suoi disegni altro che « figure geometri-che per cui possano esser fornite le regole di costruzione » ottiene « piante che non corrisponderanno mai completamente all'origi-nale ». Il linguaggio ordinario, nella sua fluidità e flessibilità. ap-pare irriducibile alla sistematizzazione in un calcolo qualsiasi, sia pure il più complesso e sapiente.

Di qui l'esigenza, cosi viva in Strawson, di far progredire lo studio della logica del linguaggio ordinario, malgrado le molte difficoltà che esso presenta. Per poterlo realizzare, egli specifica, « dobbiamo pensare secondo un numero di dimensioni assai mag-giore che quelle d'implicanza e di contraddizione, ed usare molti strumenti di analisi di là da quelli che appartengono alla logica

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Pre faz ione del t raduttore X V I I

formale » (pp. 298-99). Questa è una chiara difesa del valore del-l'opera intrapresa dalla scuola analitica cui Strawson stesso appar-tiene, e che ha avuto nel secondo Wittgenstein, ed ha in G. E. Moore e in G. Ryle i suoi più noti antesignani. Ed è pienamente in accordo con gli sviluppi della « filosofia analitica » di questo tipo l'indicazione di Strawson per un'espansione della logica ol-tre « l'uso assertorio del linguaggio ». Non per nulla uno dei più cospicui prodotti filosofici della scuola analitica è quell'argomento della « fallacia naturalistica » elaborato da Moore e da altri, com-preso lo stesso Strawson, per cui mai da premesse assertorie si po-trebbero legittimamente inferire conseguenze valutative.

Tuttavia non ci sembra del tutto giustificata la fiducia che Strawson dimostra in una logica del discorso ordinario, non for-malizzata, che investa tali campi e vi apporti sostanziali chiari-menti. A parte il fallo che non sono mancati tentativi, sia pur di-scutibili, di costruire per essi sistemi formalizzati indipendenti ( f r a i quali il più noto è la « logica deonlica » di G. II. von Wright), è ancora sub j u d i c e il problema stesso di una netta distinzione fra linguaggio assertorio e no. Né si tratta di un problema di poco rilievo, giacché ad esso si lega strettamente quello dello s ta tus lo-gico delle scienze morali, sociali e umane in genere. E a quest'ul-timo problema è poi legato quello della perseguibilità, senza in-debiti impoverimenti degli oggetti di indagine, del programma di un'effettiva estensione del metodo scientifico alle faccende umane e agli stessi « valori », verso il quale convergono, sia pur confusa-mente e con scarso accordo, le correnti naturalistiche e marxisti-che del pensiero contemporaneo.

Ma queste osservazioni non diminuiscono affatto l'alta conside-razione di cui è degna l'opera di Strawson, che non solo è cosi lar-gamente impegnato a chiarire le relazioni fra logica formale e linguaggio ordinario (e le riserve formulabili circa i risultati cui perviene in proposito riescono marginali rispetto alla generosa misura di tale impegno), ma avvia ad intendere ed approfondire

2

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X V I I I P r e f a z i o n e del t raduttore

proprio la caratteristica del linguaggio ordinario che soprattutto può dar conto, a nostro giudizio, dell'apparente eterogeneità dei discorsi imperativi, valutativi e ottativi rispetto a quello descrit-tivo o assertorio. Questa caratteristica, sulla quale Straivson insiste continuamente con ricchezza di esempi e analisi felici, consiste nel largo riferimento impl ic i to al contesto non solo linguistico, ma esistenziale.

Procedendo per questa stessa via si è tentato da altri di dimo-strare proprio la piena traducibilità degli imperativi in enunciati assertori ( in proposito mi permetto di rimandare al mio E spe-rienza c va lutaz ione , Torino 1958. cap. I I ) . Ma tale dimostrazione e stata facilitala precisamente dalla lettura accurata ed attenta di Strawson, del che credo di dover rendere qui testimonianza, qua-lunque sia il valore intrinseco di quel mio tentativo: la rilevanza di un'opera si misura infatti sulla base della funzione slimolatrice operata sui dissenzienti più ancora che sui consenzienti.

È probabile che nella presente traduzione io non sia riuscito a rendere la fluidità e insieme la cristallina chiarezza del testo originale. Fornisco qui in nota una breve lista dei termini-chiave per rendere i quali ho dovuto ricorrere (avvalendomi anche del prezioso consiglio dell'amico Ferruccio Iiossi-Landi) a vocaboli italiani inusitati. o impiegati in un senso inusitato, al fine di ren-dere la maggior ricchezza terminologica dell'inglese. Quest'elenco costituisce da solo, posso presumere, una parziale giustificazione delle imperfezioni del mio lavoro, nel quale ogni conflitto fra stabilità dell'uso terminologico ed eleganza si è dovuto necessa-riamente risolvere a danno di quest'ultima.

A L D O V I S A L B K R C H I

P. F . .Strawson è nato a L o n d r a nel 1 9 1 0 ; ha s t u d i a t o f i losof ía , po l i t i e a ed eco-n o m i a ad O x f o r d : dal 1948 è p r o f e s s o r e a l l ' U n i v e r s i t y C o l l e g e d i O x f o r d , e s o c i o , da l I 9 6 0 , de l l a K r i t i s h A c a d e m y . O l t r e a l p r e s e n t e v o l u m e , h a p u b b l i c a t o p r e s s o M e t h u e n , nel 1959 , Individuals: An Essay in Descriptive Metaphysics. e n u m e r o s i s agg i ne l l e p r i n c i p a l i r i v i s t e f i losof iche a n g l o s a s s o n i .

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Avvertenza terminologica.

A b b i a m o r e g o l a r m e n t e re so :

sentence statement state assert, assertion deny, denial (injeonsistent ( in )consistency entail to be entailed entailment support

con e n u n c i a t o a s s e r z i o n e a s s e r i r e a s s e v e r a r e d e n e g a r e , d i n i e g o ( i n ) c o n g r u c n t c ( i n c o n g r u e n z a e s i g e r e v e n i r e e sa t to i m p l i c a n z a s u f f r a g i o , s u f f r a g a r e .

Q u e s t i u l t i m i d u e te rmin i c o m p a i o n o s o l t a n t o nel c a p i t o l o f i n a l e , d e d i c a t o al r a g i o n a m e n t o indut t ivo e a l l a p r o b a b i l i t à , e s i r i f e r i s c o n o a l la c o m p r o v a c s p e r i c n z i a l e d e l l ' i n d u z i o n e . I l r i c o r s o in a l t r i cas i a t e r m i n i i ta l iani inus i ta t i o q u a s i , è s ta to reso neces sar io dal f a t t o c h e i t e r m i n i i m p i e g a b i l i p i ù in uso d o v e v a n o e s s e r r i servat i a l l a t r a d u z i o n e d i a l t r e p a r o l e ingles i ad ess i p i ù si-m i l i . C o s i « i m p l i c a z i o n e » r e n d e l ' i n g l e s e implication, e p e r t r a d u r r e entail-ment, non p o t e n d o s i u sare « e s a z i o n e » , c h e s a r e b b e c o r r i s p o s t o a l la resa di to entail con u e s i g e r e t, si è d o v u t o r i c o r r e r e ad « i m p l i c a n z a ».

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Prefazione

Ci sono oggi molti m a n u a l i e m o l t e t r a t t az ion i t ecn iche di lo-g ica f o r m a l e , ed io non ho tentato di a cc re sce rne i l n u m e r o con q u e s t o l i b r o . Parecch i d i que i testi , p e r q u a n t o s p e s s o ecce l lent i ne l l e l o r o e spos iz ion i deg l i a spe t t i tecnici e s i s t emat ic i de l l a lo-g ica , t r a t t ano in m o d o r e l a t i v a m e n t e s c h e m a t i c o , e non di r a d o p iu t tos to fuorv ien te , d e l l e r e l a z i o n i f r a i s i s temi l o g i c o - f o r m a l i che p r e s e n t a n o e i l ineament i logic i de l d i s c o r s o o r d i n a r i o . Q u e s t ' o m i s -s ione fa s i che s ia l a sc ia to n e l l ' o m b r a a n c h e i l vero c a r a t t e r e d e l l a s tessa log ica f o r m a l e . P e r c i ò ques to l i b r o s i p r o p o n e d u e s c o p i c o m p l e m e n t a r i : i l p r i m o è di r i l e v a r e a l cun i punt i di contra s to e di conta t to f r a i l c o m p o r t a m e n t o d e l l e p a r o l e nel l i n g u a g g i o o r d i n a r i o e i l c o m p o r t a m e n t o de i s i m b o l i in un s i s t e m a log i co , i l s e c o n d o è di c h i a r i r e , a un l ive l lo in t rodut t ivo , la n a t u r a de l l a s tessa log ica f o r m a l e . La q u a n t i t à d i m a t e r i a l e e l e m e n t a r e de l l a log ica f o r m a l e qui inc lusa è suf f ic iente a f o r n i r e u n a b a s e p e r la d i s c u s s i o n e f i losofica de l l a s u a n a t u r a , e p e r se rv i re , se lo s i desi-d e r a , da i n t r o d u z i o n e a t r a t t az ion i t e c n i c h e p iù a v a n z a t e . Giac-ché i l l i b r o è inteso a f u n g e r e da i n t r o d u z i o n e g e n e r a l e a l l a l og i ca , ho agg iunto un c a p i t o l o c o n c l u s i v o s u l l ' i n d u z i o n e e la pro-b a b i l i t à .

D e s i d e r o r i conoscere i l m i o d e b i t o ingente verso mol t i c o l l c g h i d i O x f o r d p e r i l prof i t to che ho tratto d i s c u t e n d o con l o r o gli ar-g o m e n t i di ques to l i b ro ; e f r a ques t i v o g l i o m e n z i o n a r e , in part i -c o l a r e , H . P . Gr ice , da l q u a l e m a i ho cessa to d i i m p a r a r e in f a t to di log ica fin da q u a n d o era i l m i o ' tu tore ' pe r t a l e m a t e r i a , e i l

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X X I I P r e f a z i o n e de l l ' autore

pro f . Gi lber t Ry le , i l s ignor G. A. P a u l e la s ignor ina R u b y Mea-ger, che tutti h a n n o letto il l ib ro in manoscr i t to o in bozze, e mi h a n n o fatto evi tare mol te go f fagg in i e molt i error i .

P E T E R F R E D E R I C K S T R A W S O N

O x f o r d , m a g g i o 1952 .

\

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I n t r o d u z i o n e a l l a teor ia log ica

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I . Valutazione logica

1. Q u a n d o qua lcuno dice o scr ive qua lcosa , vi sono molt i modi di f ferent i d i g iudicare le sue e spres s ioni . F r a l ' a l t ro , pos-s i a m o metterne in quest ione la ver id ic i tà , o cr i t icarne lo st i le , p o s s i a m o cons iderare la mora l i t à d i ciò che egli d ice o p p u r e valu-tarne la log ica , p e r quanto non tutti quest i t ipi di cons ideraz ione s i ano a p p r o p r i a t i a tutti i t ipi di e spres s ione . Le p a r o l e ' l o g i c o ' e ' i l logico ' sono esse stesse fra le p a r o l e di va lutaz ione log ica . Se d i c h i a r a t e logico un d i scorso , s igni f ica che in q u a l c h e m i s u r a lo a p p r o v a t e . Se lo d ich iara te i l log ico , s igni f ica che in q u a l c h e mi-sura lo condannate . P a r o l e ed e spres s ion i che s i a c c o m p a g n a n o con ' log ico ' sono ' congruente ', ' cogente ', 1 v a l i d o ', conse-g u e n t e ' ; p a r o l e ed e spres s ioni c h e s i a c c o m p a g n a n o con ' i l l o -gico ' sono ' incongruente ', ' auto-contraddi t tor io ', ' inva l ido ', ' non-sequitur '. Par te del nostro p r o b l e m a è di vedere che genere di va lu taz ione s ia quel lo per cui si u s a n o queste p a r o l e , e a q u a l e genere di cr i ter i f acc i amo a p p e l l o ne l l 'u sar le . È f ac i l e vedere c h e non si tratta di criteri mora l i o estetici ; c ioè che la cr i t ica logica non è , ad e s e m p i o , una spec ie d i cr i t ica le t terar ia . Una d i s t inz ione un p o ' p iù diff ici le è quel la f ra la cr i t ica c h e noi f a c c i a m o q u a n d o d i c h i a r i a m o che le asserzioni di q u a l c u n o sono non-vere e que l l a che f a c c i a m o quando l e d i c h i a r i a m o incongruent i . Nel p r i m o caso noi c r i t i ch iamo que l l e as serz ioni ba sandoc i su l l a loro man-cata r i spondenza a i f a t t i ; nel secondo caso le c r i t i ch iamo sul la base de l l a m a n c a t a r i spondenza interna f ra le asserz ioni stesse.

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4 Va lu taz ione logica

L ' accusa di non-verità si r a p p o r t a , di là da l le p a r o l e e da l l e pro-pos iz ioni usa le , a que l l a rea l tà , es istente nel m o n d o , su l la q u a l e verte i l d i scorso . Noi n e g h i a m o l ' a s serz ione in p a r o l a , e , cos i fa-cendo , f a c c i a m o da par te nostra una contro-asserzione c i rca l 'og-getto del d i scorso stesso. Noi c o n t r a d d i c i a m o i l nostro interlocu-tore. Ma l ' accusa di incongruenza non s i r i fer i sce , a l lo stesso m o d o , ad a l cunché che stia fuor i da l l e as serz ioni che egli c i f a . Ci l imi-t i a m o a cons iderare i l m o d o in cui le sue asserz ioni si l egano fra loro. Col s empl i ce e s a m e degl i stessi enuncia t i , cosi come vengono impiega t i , noi po s s i amo forse vedere che non tutte le sue asser-zioni possono essere vere a s s i eme . N o n che noi lo s i cont radd ica , e cont radd icendo lo si f acc ia una contro-asserzione su l lo stesso soggetto del suo d i s c o r s o ; noi a f f e r m i a m o che egli ha contraddet to se s tesso, e , nel f a r lo , non ci a p p e l l i a m o in nessun m o d o ai fatti e non e s p r i m i a m o op in ione a l cuna su di essi . È questo genere di cr i t ica interna ciò che cost i tuisce la va lutaz ione de l la log ica di un discorso .

1.

Incongruenza

2. Le p a r o l e d i va lu taz ione logica hanno s ignif icat i f r a loro conness i . Aver ch iaro i l s igni f icato di una di tal i pa ro l e s ignif ica aver c h i a r o i l s igni f icato de l le a l tre . P e r e s e m p i o , in un 'argo-mentaz ione o deduz ione , un 'a s se rz ione ( l a c o n c l u s i o n e ) è detta consegui re log icamente , o essere log icamente impl i ca t a , da a l tre ( l e p r e m e s s e ) , se l ' a r g o m e n t a z i o n e è v a l i d a ; e u n ' a r g o m e n t a z i o n e è va l ida solo ove s ia incongruente (o auto-contraddi t tor io ) affer-m a r e le p remes se e negare nel c o n t e m p o la c o n c l u s i o n e ; o p p u r e , in a l t re paro le , solo se la ver i tà de l le premesse è i n c o m p a t i b i l e con la fa l s i tà de l la conc lus ione . U n ' a r g o m e n t a z i o n e dedutt iva è una spec ie di a m m o n i m e n t o , che a s s u m e la f o r m a : se voi accet ·

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Incongruenza 5

tate ques te p remes se c o m e vere , a l l o ra dovete accettare a n c h e questa conc lus ione come vera del p a r i , sotto pena di auto-contrad-diz ione . F r a i var i concetti di va lu taz ione log ica , sceg l ierò ques ta nozione di incongruenza (inconsistency) o auto-contraddiz ione per l a t ra t taz ione det tag l ia ta . Le rag ioni che h a n n o cons ig l ia to questa scelta f r a le molte poss ib i l i e m e r g e r a n n o nel corso de l la t rat taz ione s tessa .

3 . C h e cos 'è l ' incongruenza? È meg l io a f f rontare la ques t ione indire t tamente , ponendo una ser ie di a l t re quest ioni . Ci s i p u ò d o m a n d a r e p r i m a d i tu t to : P e r c h é preoccupar s i d i ev i tare le incongruenze? Che c'c d i m a l e nel c o n t r a d d i r e se s te s s i ? Moral-mente , non c 'è niente di m a l e . E p u ò non essere n e p p u r e del tutto senza senso . Si pensi ad un u o m o che esce p e r a n d a r s e n e a p ied i in un certo posto , ma che poi , a r r iva to a mezza s t r a d a , fa d ie t ro front e r i torna indietro. Q u e s t o p u ò non essere senza senso. D o p o tutto, p u ò aver avuto bisogno so l tanto di f a re esercizio f i s ico . M a , dal punto di vista del c a m b i a m e n t o di pos to , è c o m e se non s i fos se m a i messo p e r la s t rada . E cosi un u o m o che s i cont radd ice p u ò aver eserc i tato con successo le sue corde vocal i . Ma da l punto di vista de l fo rn i re in formaz ioni , del c o m u n i c a r e fatti (o p a n z a n e ) è c o m e se egli non avesse m a i a p e r t o la bocca . Eg l i p r o f e r i s c e pa ro le , ma non dice niente . O p p u r e p o t r e b b e venir p a r a g o n a t o ad uno che fa per dar via qua l co sa , e poi se la r i p r e n d e indietro . Egl i desta aspet taz ioni che non a p p a g a : e questo p u ò essere stato i l suo scopo . Ana logamente , l ' intento di una per sona che si con-t radd ice p u ò essere propr io que l lo d i c rea re i m b a r a z z o . Ma i l punto che interessa è che lo s c o p o comunemente accettato del d i scorso , l ' intenzione di c o m u n i c a r e qua l co sa , è f rustrato per auto-cont radd iz ione . Contraddir s i è c o m e scr ivere qua lcosa e poi can-ce l l a re ciò che si è scritto, o t i rarv i su un f rego . U n a contraddi-z ione cance l la se stessa e non lasc ia nul la . Di conseguenza non è pos s ib i le s p i e g a r e ciò clic la cont radd iz ione s ia , s e m p l i c e m e n t e

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6 Va lutaz ione logica

con l ' ind icare una certa f o r m a verba le , come s i sarebbe, tentati d i f a re . V e r r e b b e da d i re , infat t i , che contradd iz ione s ia qua lun-q u e enuncia to de l la f o r m a ' X fa al caso e X non fa al caso \ Ma con c iò s i a p p r o d a a poco . Se q u a l c u n o vi d o m a n d a se q u a l c h e cosa vi è p i ac iu ta , potete r i s p o n d e r e : ' Be ' , mi e p i ac iu ta e non mi è p i ac iu ta e vi farete intendere per fe t tamente . O p p u r e ci p o t r e b b e essere una convenzione per cui . q u a n d o qua lcuno dicesse q u a l c o s a in questa f o r m a , la seconda p a r t e d e l l ' a f f e r m a z i o n e d o v r e b b e ven i r t ra scura ta . A l lo ra i l requi s i to m i n i m o per avers i una con-t radd iz ione di tal genere , s a r e b b e di d i re , p r i m a 4 X fa al caso e X non fa al caso \ e sub i to d o p o 4 X non fa al caso e X fa al caso '. N o n d i m e n o , l a tentazione d i s p i e g a r e una cont radd iz ione c o m e qua lcosa che a b b i a ques ta f o r m a , non è , come v e d r e m o , pr iva d i q u a l c h e g iust i f icaz ione.

4 . Le due quest ioni che s i presentano succes s ivamente sono p iù dii l ìci l i . E s se s o n o : ( a ) q u a n d o u s i a m o queste p a r o l e d i valu-taz ione log ica , cos 'è e sa t tamente clic v a l u t i a m o ? e ( / ; ) c o m e la va lu taz ione logica d iventa p o s s i b i l e ? D o b b i a m o cioè d o m a n d a r e : cos 'è e sa t tamente ciò che noi d i c h i a r i a m o incongruente? e p o i : cos 'è che rende pos s ib i l e l ' i n c o n g r u e n z a ? Ho par l a to di asserzioni c o m e quel le che s a r e b b e r o f ra loro incongruenti ; e si è tentati di p e n s a r e che in questo contesto noi in tend iamo per a s serz ione sem-p l i cemente una p r o p o s i z i o n e di un certo t i p o ; o p p u r e , forse , i l s igni f icato di un tale enunc i a lo . Ma s u p p o n i a m o che io scr iva su l la l avagna le due c o p p i e seguent i d i e n u n c i a t i : ( i ) 4 Io sono alto meno di sei p i ed i ' e 4 Io sono a l lo p iù di sei p ied i ' ; ( i i ) 4 II b ig l ie t ta io è s c a p o l o ' e 4 II b ig l ie t ta io è sposa to '. S c r ivendo gli enunciat i su l la l a v a g n a , io, n a t u r a l m e n t e , non mi sono contrad-detto ; posso infatti aver le scr i t te con intento p u r a m e n t e i l lustra-tivo, nel corso d i una lez ione d i l ingua . Q u a l c u n o p o t r e b b e d i r e : N o n d i m e n o , gli enunciat i di c i a scuna c o p p i a sono incongruent i f ra loro . Ma questo che cosa s i g n i f i c h e r e b b e ? S i gn i f i cherebbe for se

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Incongruenza 7

cl ic , se m a i essi fossero pronunz ia t i con l ' intenzione di f a re una a s serz ione , ne r i su l terebbe u n ' i n c o n g r u e n z a ? Ma s u p p o n i a m o che i p r i m i due enunciat i fossero pronunz ia t i da per sone d iverse , o da l l a stessa pe r sona con un interva l lo di q u a l c h e anno ; e c h e i secondi due fossero pronunzia t i in au tobus divers i , o nel lo stesso autobus , ma in giorni divers i . N o n c i s a r e b b e a l lora incongruenza a l cuna . P i ù s o p r a ho p a r a f r a s a t o l ' e spres s ione ' vedere che d u e a f f e rmaz ion i sono incongruenti ' con l ' e spres s ione ' vedere che esse non possono essere vere a s s i e m e ' . Ed è ch ia ro che ciò di cui p o s s i a m o d i re che è vero o f a l so è anche ciò di cui p o s s i a m o d i re che è congruente o incongruente con qua lcosa d 'a l t ro del lo stesso genere . C iò che mostrano quest i e s e m p i è che noi non p o s s i a m o ident i f icare ciò che è vero o f a l so ( l ' a s s e r z i o n e ) con gli enuncia t i usat i nel f a r l a ; infatti lo stesso enunc ia to p u ò essere usato p e r f a r e as serz ioni del tutto diverse, a l cune vere e a lcune fa l se . E c iò non der iva da q u a l c h e ambigu i tà ne l l ' enuncia to . L ' enunc ia to p u ò avere un unico s ignif icato che è p r e c i s a m e n t e que l lo che , in quest i cas i , gli pe rmet te di essere usato p e r f a r e asserz ioni del tutto d iverse . Perc iò non serve identi f icare l ' a s serz ione né con l ' enuncia to , né col s igni f icato de l l ' enunciato . Una p a r t i c o l a r e a s serz ione v iene identi f icata non solo f acendo r i f e r imento a l le p a r o l e usa te , ma anche f acendo r i fer imento a l l e c i rcos tanze in cui esse vengono usate , e , q u a l c h e volta, a l l ' ident i tà de l la persona che le usa . A nes-suno s a l t e rebbe in mente d i d i re che l ' e n u n c i a t o : ' I o sono alto p iù di sei p i e d i 1 s ia incongruente con l 'enunciato * Tu sei a l to meno di sei p ied i \ Ma ev identemente essi possono essere usat i , in certe c i rcostanze , p e r f a re as serz ioni che sono incongruent i f ra loro ; e ciò nel caso in cui il s econdo enuncia to s ia r ivolto a l l a per sona che ha profer i to i l p r i m o .

È fac i le scorgere perché si è tentati «li p e n s a r e che l ' enuncia to ' Io sono alto p iù di »ei p ied i ' s i a incongruente con l ' enuncia to 4 Io sono alto meno di sei p i ed i ' . Si pensa che a m b e d u e gli enun-ciat i vengano pronunz ia l i , tutti d 'un (iato, da l l a stessa p e r s o n a .

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8 Va lu taz ione logica

In questo caso , di so l i to , noi c o n s i d e r e r e m m o que l l a pe r sona c o m e in contradd iz ione con se s tessa , c ioè la c o n s i d e r e r e m m o c o m e avente detto e non detto q u a l c o s a , e perc iò c o m e non avente detto nu l l a . I l p r e s u p p o s t o i m p o r t a n t e è che le due e spres s ion i 1 a l to p iù di sei p ied i ' e ' a l to m e n o di sei p i ed i ' vengono a p p l i c a t e a l l a stessa per sona nel lo stesso t e m p o . D i a m o i l nome di * p red ica t i i n c o m p a t i b i l i 1 ad ogni c o p p i a di espress ioni la cui a p p l i c a z i o n e a l l a stessa per sona o cosa a l lo stesso t e m p o si r i solve in un' incon-gruenza . P o s s i a m o d i re cosi che uno dei modi in cui è pos s ib i l e d i re qua lcosa di incongruente è que l lo di a p p l i c a r e pred ica t i i n c o m p a t i b i l i a l la stessa per sona o cosa ed a l lo stesso t e m p o .

5 . Ma c 'è b i sogno che un l inguagg io contenga in sé p red ica t i i n c o m p a t i b i l i ? E che cos 'è che rende i predica t i i n c o m p a t i b i l i ? Vog l io r i spondere a l l a p r i m a ques t ione d icendo non già che un l inguagg io deve contenere in sè predicat i incompat ib i l i , ma solo che è molto natura le che li contenga . E vogl io r i s p o n d e r e a l la seconda d icendo che s i a m o noi , i fac i tor i del l inguagg io , che ren-d i a m o i predica t i i n c o m p a t i b i l i . U n o dei p r inc ipa l i s cop i per i qua l i u s i a m o il l inguagg io è que l lo di r i fer i re eventi e di descr ivere cose e per sone . T a l i resoconti e descr iz ioni sono c o m e r i spos te a d o m a n d e de l la f o r m a : che cosa s e m b r a v a (o s e m b r a ) ? a che cosa a s somig l i ava ( o a s s o m i g l i a ) ? N o i de scr iv i amo qua l co sa , d i c i a m o a che cosa a s somig l i a o cosa s e m b r a , a p p l i c a n d o a ques to q u a l c o s a p a r o l e che s i a m o d i spos t i ad a p p l i c a r e anche ad a l t re cose. Ma non a tutte le a l tre cose . Una p a r a l a che fo s s imo pront i ad app l i -care a q u a l u n q u e cosa senza eccezioni ( c o m e ve ne sono certune nel l 'uso p o p o l a r e corrente , e s p e c i a l m e n t e in que l lo m i l i t a r e ) riu-sc i r ebbe inut i l izzabi le a s copo descr i t t ivo. Infatt i q u a n d o d i c i a m o a che una cosa è s i m i l e , non sol tanto la p a r a g o n i a m o con a l tre cose , ina anche la d i s t i n g u i a m o da a l t re cose. ( N o n s i tratta di d u e attività d iverse , ma d i d u e aspett i de l la stessa a t t i v i t à ) . Da q u a l c h e par te , a l lora , occorre t racc iare un confine che l imit i l 'ap-

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Incongruenza 9

p l i c a b i l i l à di una paro l a usata nel descr ivere le c o s e ; e s i a m o noi che d e c i d i a m o dove i confini h a n n o da esser t racc ia t i .

Q u e s t a meta fo ra del t r acc ia re confini r iesce f u o r v i e n t e p e r q u a l c h e r i g u a r d o . Con essa non intendo d i re che noi p r e n d i a m o spesso decis ioni consce di questo genere ( t a lvo l t a tuttavia lo fac-c i a m o ) ; né che i l nostro t racc iar confini s ia una f accenda del tutto a r b i t r a r i a ; né che i confini s i ano fissi e de f in i t i ; né che le deci-s ioni che p r e n d i a m o , q u a n d o le p r e n d i a m o , s i ano deci s ioni pura-mente verba l i . I confini sono p iù s imi l i a fasce di a p p a r t e n e n z a inde termina ta clic a l inee di f ront ie ra . N o i ci a c c o r g i a m o di esser vicini a confini «lei genere, e ci a c c o r g i a m o anche de l la loro inde-terminatezza , q u a n d o , in r i spos ta a una d o m a n d a c o m e ' E r a ro s so? ' d i a m o una r isposta c o m e 1 Be ' , r i tengo che avreste potuto c h i a m a r l o rosso E r i conosc iamo di es sere sul punto di p r e n d e r e una dec i s ione in fatto di confini q u a n d o , pur avendo present i tutti i fatt i , e s i t i amo ad a p p l i c a r e una certa p a r o l a . Un atto cos i e cosi spec i f ica to costituisce un atto di aggres s ione o n o ? Q u e s t ' e s e m p i o mos t ra , inoltre , come la nostra dec i s ione non s ia lina f a c c e n d a p u r a m e n t e v e r b a l e ; po iché impor tant i conseguenze pos sono ve-nire da l l a nostra decis ione se ques to è, o non è, un atto di aggres-s ione . Ciò che rende non a r b i t r a r i e le nostre deci s ioni c i rca una p a r o l a già in uso e la p r o b a b i l i t à che la nostra n o r m a l e intenzione verrà f rus tra ta se la s i m i l i t u d i n e impl i c i t a nel l 'uso de l la p a r o l a è t r o p p o innatura le , se la s i m i g l i a n z a è t r o p p o tenue.

N o i p o s s i a m o d i r e : due pred ica t i sono incompat ib i l i q u a n d o s tanno da l l e part i oppos te d i un confine clic a b b i a m o t r a c c i a t o : ' a l to m e n o di sei piedi ' e ' a l to p iù di sei p ied i ' rosso ' e ' aran-c ione ', ' aggress ivo ' e ' pac i f ico '. Ma ciò abb i sogna di q u a l c h e sp iegaz ione . I m m a g i n a t e di aver tracciato una f igura chiusa su di un pezzo di carta e che poi q u a l c u n o vi indichi un punto sul sof-fitto e dica : ' Ques to punto g iace dentro o fuor i i confini de l la f igura? ' N a t u r a l m e n t e uno p o t r e b b e r i s p o n d e r e i m m a g i n a n d o i l imit i del la f igura estesi in un 'a l t ra d imens ione , su f ino al soffitto.

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10 Va lutaz ione logica

Ma voi potreste r i f iutarvi d i r i s p o n d e r e a l l a d o m a n d a , d i cendo che avevate tracciato la l inea d iv i sor ia solo su l p i ano de l l a ca r t a . Tut to ciò che g iace fuor i de l la l inea sul p i a n o de l la carta era escluso da l l a f igura . Le cose giacenti su di un p i a n o d iverso , non erano esc luse da essa , ma non vi e r a n o n e m m e n o incluse. La f igura ha un certo p i a n o d i esc lus iv i tà . Con e spre s s ione p iù s e m p l i c e : essa ha un certo ambi to di i n c o m p a t i b i l i t à . ' Alto p iù di sei p i ed i ' è in-c o m p a t i b i l e con ' alto m e n o di sei p ied i ma non è né c o m p a t i b i l e né i n c o m p a t i b i l e con ' aggress ivo ' . L 'u l t ima e spres s ione lia un a m b i t o d ' i n c o m p a t i b i l i t à d i f ferente da l l e a l tre due . T a l v o l t a s i possono so l levare obiez ioni d i natura logica a l l ' a p p l i c a z i o n e di e spres s ioni con di f ferent i a m b i t i d i incompat ib i l i t à a l l a stessa cosa ; tuttavia non vi s a rà l 'ob iez ione che i l f a r lo generi incon-gruenza .

Q u a n d o a p p l i c h i a m o un pred ica to a qua lcosa , i m p l i c i t a m e n t e e s c l u d i a m o d a l l ' a p p l i c a z i o n e a l l a stessa cosa i pred ica t i c h e giac-c iono fuor i dai confini del p red ica to che a p p l i c h i a m o , ma nel lo stesso ambi to di incompat ib i l i t à . Intendo d i re con ciò che se pro-c e d i a m o subito d o p o ad a p p l i c a r e a l la cosa uno dei p red ica t i che g iacc iono fuor i di que i conf ini , s i r i terrà che c i s i a m o contraddet t i e che non a b b i a m o detto niente . ( Q u e s t a p o t r e b b e essere assunta c o m e def iniz ione di * pred ica t i incompat ib i l i '). Ma a questo punto c 'c una spec i f i caz ione da f a re . P r o p r i o come p o t r e m m o rispon-dere a l la d o m a n d a ' Vi è p i a c i u t o ? ' con le pa ro le ' B e ' , mi è pia-ciuto e non mi è p i ac iu to ' senza incongruenza , cosi p o t r e m m o a p p l i c a r e al la stessa cosa , nel lo s te s se-momento , due pred ica t i che o r d i n a r i a m e n t e ver rebbero cons idera t i incompat ib i l i , senza con-t radd i rc i . I l f a r lo è c o m e invi tare a c h i e d e r e : ' C o s a intendete d i r e ? ' , e se p o s s i a m o s p i e g a r e la nostra intenzione, o m o s t r a r e i l senso che ha i l d i re c iò che d i c i a m o , a l lora non ci s i a m o con-traddett i . Ma se non s i a m o in g r a d o di f a r c iò . a l lora s i a m o incon-gruent i . Cosi p o s s i a m o d i re , r i s p o n d e n d o a una d o m a n d a : * Eg l i è alto s ia p iù che m e n o di sei p i e d i ' , e poi s p i e g a r e che ha

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Incongruenza 1 1

una mala t t i a che lo rende curvo , ma che se fosse cura to e po-tesse s tare dir itto s u p e r e r e b b e l 'a l tezza di sei p ied i . Q u e s t o nuova-mente c i mostra che non s i può s p i e g a r e p i e n a m e n t e che s ia l 'auto-cont radd iz ionc facendo un icamente r i fer imento a r a g g r u p p a m e n t i d i p a r o l e .

6 . F inch é s i tenga presente ques ta spec i f i caz ione , p o s s i a m o p a r l a r e senza per ico lo di predica t i incompat ib i l i e senza per i co lo a f f e r m a r e che, «piando a p p l i c h i a m o un pred ica to a qua lcosa nel-l 'atto d i descr iver la , i m p l i c i t a m e n t e e s c l u d i a m o d a l l ' a p p l i c a z i o n e ad essa tutti i predica t i i n c o m p a t i b i l i con que l lo che a p p l i c h i a m o . ( S i p o t r e b b e dire che noi a b b i a m o contraddet to c h i u n q u e avesse p r o p r i o a l lora app l i ca to a l la cosa uno qua l s i a s i di tali p red ica t i ) . Q u a n d o ci r e n d i a m o conto che ques ta funz ione di e sc lus ione è impl i c i t a in tutti gli usi descri t t ivi del l inguagg io , non potrà sor-prenderc i i l fatto che il l inguagg io contenga degli accorg iment i per rendere la funzione esp l ic i ta ; f ra i qua l i accorg iment i la pa-rola ' non ' occupa il posto più i m p o r t a n t e . Vi sono mol te occa-s ioni , e di assai differenti gener i , in cui la nostra m a g g i o r preoc-c u p a z i o n e è l 'esclus ione espl ic i ta di un p r e d i c a l o ; per e s e m p i o , q u a n d o d e s i d e r i a m o cont radd i re un 'as serz ione precedente , op-pure correggere una pos s ib i le f a l sa impres s ione , o p p u r e espr i-m e r e il contrasto fra ciò clic si è aspet tato , temuto , sugger i to , s p e r a t o , e la real tà , a vol le , q u a n d o s t i amo r i s p o n d e n d o a l ina d o m a n d a diretta , a volte a n c o r a , q u a n d o c e r c h i a m o a tastoni la descr iz ione giusta con l ' e l i m i n a r e que l l e sbag l i a te . Ciò che tutti quest i casi h a n n o in comune è che c reano un bisogno o un mot ivo di accentuare una di f ferenza piuttosto che una s i m i g l i a n z a . £ istrutt ivo p a r a g o n a r e l 'uso di " non ' con l 'uso di que l l e pa ro le che cominc i ano con prefissi negat iv i , come ' in to l le rab i le ' inat-tivo \ * ineducato ' , ' non-aggress ivo '. Q u e s t e p a r o l e por t ano scritte in facc ia le loro incompat ib i l i t à con tanta s icurezza quanta vi p u ò essere in q u a l u n q u e f rase contenente i l ' n o n ' ; ma di f f ic i lmente

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12 Va lu taz ione logica

.si po t rebbe d i re che esse a b b i a n o la stessa funz ione ci i r iget tare e sp l i c i t amente una descr iz ione sugger i t a . Es se non a d d i t a n o con p iù i m p e g n o le d i f ferenze anz iché le s i m i g l i a n z e ; esse piuttosto servono a sot to l ineare il fa t to che i due aspett i sono c o m p l e m e n -tar i . Ci s i p o t r e b b e c h i e d e r e perché tali pa ro l e a b b i a n o degl i incompat ib i l i cosi man i fe s t i ( c i o è pa ro le ad esse ident iche , sa lvo solo la m a n c a n z a del p r e f i s s o ) , mentre a l t re non ne h a n n o ; perché non u s i a m o vocabol i c o m e k inblú ' , per e s e m p i o . Si s a r e b b e pro-pensi a sugger i re che c iò avv iene perché ' non essere blu ' è rela-t ivamente t r o p p o inde te rmina to , c ioè che q u a n d o esiste un largo a m b i t o d i predica t i i n c o m p a t i b i l i , come quel lo de l le p a r o l e che ind icano color i , s a r e b b e inna tura le avere una s ingo la p a r o l a che e spre s s amente ne esc ludesse uno . Ma non penso che ques ta rispo-sta s ia c o m p l e t a . Vasto è l ' a m b i t o del le razze e de l le naz iona l i t à , ma si usano pa ro le o e spres s ion i ( c o m e ' s t raniero * non-Inglese ' , ' non-Europeo *) per ind ica re " non appar tenente a una par t i co l a re naz ional i tà (o g r u p p o d i r a z z e ) ' . Penso che l a g iusta r i sposta s ia piuttosto che . se aves s imo un interesse costante e pers i s tente per cose che non sono b lu , un interesse c ioè ben d iverso da que l lo t e m p o r a n e o clic p u ò sorgere , per e s e m p i o , dal de s ider io d i correggere una fa lsa i m p r e s s i o n e , a l lora noi avremmo una p a r o l a coniata a l l ' uopo . Al lora p o t r e m m o d i re che c h i a m a n d o una cosa ' inblú ' noi a c c e n t u e r e m m o nel la stessa mi sura la sua s in i ig l ianza con al tre cose ' inblú ' e la sua d i f ferenza da l l e cose b lu . ( E r a una carat ter i s t ica di quei logici f o r m a l i che con ia rono te rmin i nega-tivi d 'aspet to a l tret tanto innatura le^quanto ' inblú ' di non occu-pars i a f fat to di quest ioni e di d i f fe renze di questa s o r t a ) .

Q u e s t a d i scuss ione su l l a f u n z i o n e di * non ' ci a iuta a scorgere par te del senso e de l l a convenienza di d i re , per scorretto che ciò possa essere , che una cont radd iz ione è s e m p l i c e m e n t e qua lcosa de l la f o r m a ' X fa al caso e X non fa al caso '. L ' u s o n o r m a l e o p r i m a r i o di ' non ' è spec i f i c amente que l lo di c o n t r a d d i r e o cor-reggere , di c ance l l a re c ioè un sugger imento proveniente da noi

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Incongruenza 13

stessi o da a l tr i . E non v 'è res t r iz ione de l la s fera in cui esso p u ò eserc i tare questa funz ione . N o n tutti i p red ica t i h a n n o te rmin i cor r i spondent i fornit i del pref i s so negat ivo , e non tutti gli enun-ciati sono del genere di que l l i in cui s e m p l i c e m e n t e a p p l i c h i a m o un pred ica to descritt ivo a q u a l c h e persona o cosa . Ma q u a l s i a s i enunc ia to , sia o meno di questo genere s e m p l i c e , può venir con-traddet to con l 'uso di ' non Cos i noi p r o p e n d i a m o a c o n s i d e r a r e un enuncia to che comport i q u a l c o s a de l la f o r m a ' X fa al caso e X non fa al caso ' come un 'auto-contraddiz ione , a n c h e se p u r sem-pre l ' indeterminatezza «lei confini verba l i che t r acc i amo , i diffe-renti punti di vista clic ci pos sono indurre ad a p p l i c a r e e a non a p p l i c a r e nel lo stesso t e m p o un 'e spres s ione , r endono pos s ib i l e «die a qua lcosa che a b b i a «(uclla f o r m a venga tuttavia a t t r ibui to un s ignif icato congruente .

7. È d u n q u e la nostra stessa attività che costruisce il l inguag-gio nel l 'atto stesso «li u sa r lo , è la nostra «leterininazione dei l imit i d i a p p l i c a z i o n e de l le p a r o l e che rende poss ib i le l ' i n c o n g r u e n z a ; e non è per un caso clic, «{uando v o g l i a m o appre s t a rc i uno s c h e m a o t ipo genera le d i incongruenza , a d o p e r i a m o le «lue p a r o l e ' e ' e ' non '. a s s i eme ad una r ipe t iz ione di q u a l c h e f r a se o e spre s s ione . P o i c h é tutti i concetti di va lu taz ione logica possono essere spie-gali in termini di incongruenza , non deve so rprenderc i i l fat to che «piesle d u e paro le a b b i a n o una par te impor tante in log ica .

Ma noi po s s i amo creare la pos s ib i l i t à «li incongruenza nell 'as-serz ione , e qu ind i di va l id i tà ne l l ' a rgomentaz ione , in m o d o p iù de l ibe ra to e consapevo le di «lucili f in q u i cons idera t i . Noi pos-s i a m o de l ibera tamente fissare i confini di a lcune p a r o l e in rap-porto a «lucili di a l lre p a r o l e . Q u e s t o è quanto f a c c i a m o q u a n d o definiamo 1 p a ro l e o fras i . I n t r o d u r r e o accettare una def in iz ione 1

1 Le p a r o l e ' de f in i re * e ' d e f i n i z i o n e " h a n n o m o l t i us i c o l l e g a t i , a n c h e se d i s t i n g u i b i l i , d i a lcuni de i q u a l i c i ò c h e d i c o q u i non è v e r o . U s o q u i ta l i p a r o l e in un s enso ' s t re l lo \

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14 Valutaz ione logica

s ignif ica annunc ia re o accet tare clie cong iungendo l ' e spress ione def inita ( o de f in iente ) con l ' e spress ione def iniente (o d e f i n i t a ) me-diante l e p a r o l e ' e ' e " n o n " usate a l m o d o n o r m a l e (o in qual-s ias i m o d o e q u i v a l e n t e ) , e r i f e rendo questa cong iunz ione ad una s i tuaz ione e ad una so la c iò che si ott iene è un ' incongruenza . Ac-cettare una def in iz ione s ignif ica accettare di essere vincolat i da una regola di l inguagg io di questo genere .

8. R i t o r n i a m o ora a l le quest ioni poste in precedenza : va le a d i re , cos 'è c iò cui a p p l i c h i a m o paro le di va lutaz ione l o g i c a ? e a n c h e : cos 'è che rende pos s ib i l e l a va lutaz ione l o g i c a ? V e d e m m o che la r i sposta al la p r i m a ques t ione non era ' f ras i o g r u p p i di pa ro le ma ' asserzioni o g r u p p i di asserzioni ' . S o n o le asserzioni e non le f ras i che sono incongruent i f ra loro, che conseguono le une da l l e a l t re , ecc. V e d i a m o ora che la r isposta a l la seconda que-st ione è : i l imit i di a p p l i c a z i o n e che t racc iamo tra un 'e spres s ione ed un 'a l t ra , le regole che p e r v e n i a m o a osservare nel l 'uso di espres-s ioni di ogni genere ' . E la r i sposta a l la seconda ques t ione mostra p i enamente che senso avesse la tentazione di r i spondere a l l a p r i m a a t t r ibuendo agl i enunciat i ( g r u p p i di p a r o l e ) la pos s ib i l i t à di es-sere incongruent i . Dietro le incongruenze fra asserzioni s tanno le regole per l 'uso de l l e e spres s ion i . Q u a n d o s i s ia cap i t a questa re laz ione , s i ch iar i sce una ser ie d i en igmi clic h a n n o creato mol to imbarazzo . S i vede bene c o m e una regola l inguist ica re la t iva a l le espress ioni di un par t i co l a re l inguagg io possa p o r t a r e a un enun-ciato genera le di va lu taz ione logica che t rascenda tutti i l inguaggi par t i co la r i . I m m a g i n a t e che q u a l c u n o d i c a : ' Un ' a s se rz ione se-

' Ma d o b b i a m o n o t a r e e h e . p e r q u a n t o r i g u a r d a i l d i s c o r s o o r d i n a r i o e a p r e s c i n d e r e d a l l ' i n t r o d u z i o n e di p a r o l e con definizioni, q u e s t o p a r l a r e di " r e g o l e " p u ò f u o r v i a r c i . In generale ( n e l d i s c o r s o o r d i n a r i o ) noi non f o r m u -l i a m o r e g o l e p e r poi c o n f o r m a r v i l a p r a t i c a ; s u c c e d e p i u t t o s t o c h e e s t r a i a m o le r e g o l e da l l a p ra t i ca , p r e n d e n d o nota di q u a n d o c i correggiamo f r a no i . d i q u a n d o i n c l i n i a m o a d i c h i a r a r e q u a l c o s a inrongruenle. e c o s i v ia .

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Incongruenza 1 5

concio la q u a l e una certa persona è il genero di q u a l c u n o è incon-gruente con l ' a s serz ione che egli non è inai stato sposa to ' . Chia-m i a m o l ' a s serz ione clic egl i fa nel d i r ciò un 'a s serz ione genera le di va lutaz ione logica o , per brev i tà , un 'as serz ione log ica . Ora sup-ponete che qua lcuno d i c a : ' In i ta l iano la pa ro l a " genero di " ha lo stesso s ignif icato del le p a r o l e " sposa to con la figlia di " Chia-m i a m o l 'asserz ione clic egli fa in tal m o d o un 'a s serz ione l ingui-st ica . Q u a l c d u n q u e la re laz ione fra l ' enuncia to logico c l 'asser-zione l ingu i s t i ca? Bene , i m m a g i n i a m o di t r adurre in f rancese l 'enunciato usa lo per f a re l ' a s serz ione logica . Ot terremo un enun-ciato pr ivo di pa ro le i ta l i ane . Se noi t r a d u c i a m o in f rancese anche l 'enunciato usato p e r f a re l ' a s serz ione l inguist ica ( c i o è l ' enuncia to che inizia ' In i ta l iano ' ) , o t te r remo un enuncia to f r ancese che co-mincia ' En italien ' e nel q u a l e le espress ioni ' " g e n e r o d i ' " e ' ' " s p o s a t o con l a f i g l i a d i ' " r i a p p a i o n o immuta te . S e m b r a che , mentre s i a m o propensi a d i re che le vers ioni f rancese ed i ta l iana de l l ' a s serz ione logica s igni f icano la stessa cosa , o sono usa le per fare la stessa asserz ione, non s i a m o propens i a d i re clic l ' enuncia to i ta l iano usato per fare l ' a s serz ione l inguist ica s igni f ichi lo stesso de l l ' enuncia to f r a n c e s e : ' E n fran«;ais Ics inots " gcndre d e " veli-lent d i re la n ième chose q u e les mots " ' m a r i é avee la fi l ie de " ' . T e n d e r e m m o infatti a d i re che c h i u n q u e usasse questo enuncia to p a r l e r e b b e di una regola d i f rancese , mentre c h i u n q u e pro fer i s se l 'enunciato i t a l i ano i m p i e g a t o p e r f a re l ' a s serz ione l inguis t ica par-le rebbe d i una regola d ' i t a l i ano . Q u e s t e f ras i sono i m p i e g a t e dun-que per f a re asserzioni a f fa t to di f ferent i su cose a f fa t to d i f ferent i , e p rec i s amente su paro le f rances i e su pa ro le i ta l i ane . E se uno dice questo , c o m e viene na tura le di fare , e dice anche che le ver-s ioni f rancese e i ta l iana de l l ' a s serz ione logica s igni f icano la stessa cosa ( s o n o vers ioni del la stessa a s s e r z i o n e ) , a l lora , na tura lmente , s e m b r e r e b b e conseguirne che l ' a s serz ione logica non s i r i fer i sce a l le stesse cose cui si r i fer i scono le asserzioni l ingui s t iche , e che la verità de l l ' a s serz ione logica e ind ipendente da l l a veri tà de l l e as-

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16 Va lutaz ione logica

serzioni l i n g u i s t i c h e ; d o n d e e breve il pas so per g iungere a con-s idera re i fatti logici c o m e indipendent i dai fatti l inguis t ic i , e ad a s sumere un a t tegg iamento di r iverenza verso i fatti logic i . Ma c o m p i e r e questo pas so s ignif ica d iment icare che i l fatto che le ver-sioni i ta l iana e f rancese de l l ' a s serz ione logica s igni f icano la stessa cosa equ iva le in par te al fatto l inguis t ico clic * genero di * e ' spo-sato ' in i ta l iano s igni f icano lo stesso di ' gendrc de ' e " m a r i e 1 in f rancese . Q u e s t o p o t r e m m o e s p r i m e r l o d icendo che , dopotut to , esiste una t raduz ione a l ternat iva de l l ' enunc ia lo i ta l iano usato per f a re l ' a s serz ione l inguis t ica , e p r e c i s a m e n t e l ' enuncia to f rancese citato s o p r a , che incominc ia ' En f rancate . . . ' P o t r e m m o dire che queste sono vers ioni rea lmente diverse «Iella stessa regola ; che nel f o r m u l a r e le regole di incongruenza in un l inguagg io , impl ic i-tamente noi f o r m u l i a m o a n c h e le regole di incongruenza per le e spress ioni cor r i spondent i in tutti gli altri l i n g u a g g i ; e ehe in tal m o d o un 'a s serz ione l inguis t ica del genere citato t ra scende il lin-guagg io del le p a r o l e di cui fa menz ione . È so l tanto meno na tura le d i r questo che non d i re che un 'a s serz ione logica t rascende i l lin-guagg io in cui è f o r m u l a t a .

C o n s t a t i a m o d u n q u e che ci sono difficoltà ne l l ' idcnt i f icarc as-serz ioni log iche ed asserz ioni l i n g u i s t i c h e ; diff icoltà nel d i re che gli enunciat i usati per f a re asserzioni logiche s igni f icano lo stesso dei corr i spondent i enuncia t i usat i per f a re asserzioni l i n g u i s t i c h e ; e i l constatare ciò p u ò darc i l ' i l lus ione di un regno ind ipendente dei fatti logic i , dei qua l i le regole l ingui s t iche sono sol tanto l 'avventizio r ives t imento verba le . S e n t i a m o che . mentre i l fatto che l ' e spres s ione " genero ' s ignif ica ciò che s igni f ica è so l tanto quest ione di s tor ia l inguis t ica , s toria che avrebbe potuto facil-mente essere d iver sa , l ' a s serz ione che f a c c i a m o q u a n d o d i c i a m o * L ' a s se rz ione che un u o m o è un genero è incongruente con l'as-serz ione che egli non è m a i stato sposa to ' è tale che non po t rebbe essere fa l so , a n c h e se è un 'acc identa l i t à s tor ica que l l a che ce lo fa f o r m u l a r e con queste p a r o l e . Ma q u a n d o s i e s p r i m e questo senti-

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R a g i o n a m e n t o 17

mento , s i e s p r i m e s e m p l i c e m e n t e l 'evidente bana l i t à c h e una pa-rola non p u ò avere e non avere nel lo stesso t e m p o i l senso che di fatti ha ( i l senso in cui la u s i a m o nel f a re a s s e r z i o n i ) .

La cosa impor tante è r i l evare che , q u a n d o tracc iate i l imi t i di a p p l i c a b i l i t à del le pa ro le di un l inguagg io e poi mettete in rap-porto le pa ro le di quel l i n g u a g g i o con que l l e di un a l tro p e r mezzo di regole di t raduz ione , non occorre t racc iare nuovi l imit i p e r i l s econdo l inguagg io . Essi sono già stati t racciat i . ( N o n vogl io d ire che questo sia l 'ordine in cui le cose vengon fatte , per q u a n t o sia l 'ord ine in cui le cose vengono i m p a r a t e ) . È questa la rag ione (a l -meno in p a r t e ) per cui le asserzioni log iche f o r m u l a t e in un lin-guagg io non si r i fer i scono sol tanto a quel l inguagg io .

È anche impor tante notare che questa rag ione per la q u a l e non c o n s i d e r i a m o le asserzioni di va lutaz ione logica c o m e re lat ive a par t ico lar i r a g g r u p p a m e n t i di pa ro le ( c i o è e n u n c i a t i ) è d i f ferente da que l l a che a b b i a m o discusso in precedenza , a n c h e se vi è con-nessa . In precedenza a b b i a m o messo in r i l ievo clic non gli enun-ciati clic p r o n u n z i a m o sono f ra loro incongruent i , conseguono l 'uno da l l ' a l t ro , ecc., ma le asserzioni ; la ques t ione di q u a l e as-serz ione venga fat ta , e se add i r i t tura s ia stata fatta , d i p e n d e da al-tro che non s e m p l i c e m e n t e da qua l i pa ro l e vengano usate . Ma re-gole concernenti le pa ro le s tanno dietro a tutte le as serz ioni di va lutaz ione logica ; e r i m a n e da vedere se p o s s i a m o meg l io f a r lo-gica in termini di regole che r i g u a r d a n o d i re t tamente le espres-s ioni rappresenta t ive , o p p u r e in termini di re laz ioni log iche f ra as serz ioni .

I I .

Ragionamento

9. Si d ice spesso che la logica è lo s tudio dei p r i n c i p i del ra-g ionamento dedutt ivo. Ma è concezione t r o p p o l imi ta ta , e con-tiene suggest ioni fuor i luogo . A r g o m e n t a r e , p rovare , in fer i re , con-

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IB Va lu taz ione logica

e ludere , r i solvere un p r o b l e m a matemat i co , possono tutti essere detti generi di r a g i o n a m e n t o . I loro intenti e scopi sono d i f ferent i . L ' a r g o m e n t a r e s i p r o p o n e di c o n v i n c e r e ; chi a r g o m e n t a lenta di ottenere che q u a l c u n o r iconosca che q u a l c h e as serz ione è vera o fa l sa . Potete ottenere che una persona r iconosca c h e un 'a s serz ione è vera m o s t r a n d o l e che essa consegue da a l tre asserz ioni che essa già accetta . Potete ottenere che r iconosca che un 'a s se rz ione è fa lsa perché da questa consegue un'a l t ra che essa re sp inge , i l p rovare è cosa d i v e r s a : una per sona può a r g o m e n t a r e con successo , e per-s ino v a l i d a m e n t e , senza p r o v a r e ; infatti un a r g o m e n t o inva l ido [tuo convincere , e le p r e m e s s e di un a rgomento va l ido possono es-sere fa l se . Inol t re , s i può p rovare qua lcosa senza a rgomentaz ione , senza cercare di convincere . Q u a n d o ¡trovate un teorema matema-tico nel corso di un e s a m e , non tentate di convincere l ' e s amina tore del la sua v e r i t à ; vostro obiett ivo è di mos t ra re la vostra cono-scenza m a t e m a t i c a sc r ivendo una ser ie di asserz ioni di cui l 'u l t ima è il t eorema da d imos t ra r s i e c iascuna «Ielle qua l i consegue da que l l e già scritte, in un ione con altri teoremi precedent i . In fer i re , t rarre conclus ioni , è cosa ancora d i f ferente . ITI tal caso voi cono-scete già a lcuni fatti o ver i tà , e il vostro intento è di vedere «piale in formaz ione u l ter iore p u ò esserne fatta d e r i v a r e ; s i tratta di tro-vare le loro conseguenze log iche . M a l g r a d o l ' in fer i re , i l p rovare , l ' a rgomentare a b b i a n o scopi d ivers i , s e m b r a d"or«linario ' che essi a b b i a n o in c o m u n e lo s copo di connettere verità con ver i tà . La va-lidità dei s ingol i pa s sagg i e. in genera le , a p p r e z z a t a in vista del la verità del le conclus ioni a l l e «piali essi por tano . Ma né lo s copo che l ' a rgomentare , i l p rovare , l ' in fer i re h a n n o in c o m u n e , né «juelli che hanno c ia scuno per conto p r o p r i o , sono cosa che r iguard i la logica . La ques t ione log ica , de l la va l id i tà dei pas sagg i è ques t ione che p u ò venir so l levata e risolta ind ipendentemente da l l a que-

' N o n s e m p r e . Q u a n d o un b a m b i n o r i so lve p r o b l e m i d i a r i t m e t i c a a p p l i -cata . c i ò c l ic vuo l c o n s e g u i r e non è la r i spo s t a vera, ma la r i s p o s t a giuslu. F il v o l o non gl i v icn d a t o p e r lu r i s p o s t a , ma p e r i l m o d o in cui l'Ila o t t e n u t a .

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R a g i o n a m e n t o 19

st ione se questi scopi sono conseguit i . La va l id i tà dei passagg i da so la non dà garanzia del la verità de l la conc lus ione , né la loro inva l id i tà de l la sua fa l s i tà . Dire infatti clic i pas sagg i sono va l id i , clic la conclus ione consegue da l le p r e m e s s e , s igni f ica d i re s empl i cemente che s a r e b b e incongruente a s ser i re le p r e m e s s e e negare la c o n c l u s i o n e ; che la ver i tà del le p r e m e s s e è incongruente con la fa l s i tà de l la conclus ione . Lo s t imare un r a g i o n a m e n t o va-l ido esc lude una certa combinazioni! di verità e f a l s i t à , e precisa-mente di verità nel le p r e m e s s e e fals i tà nel la conc lus ione . Ma essa lascia aper ta la poss ib i l i tà di altre c o m b i n a z i o n i : fa l s i tà con fal-sità e fa l s i tà con verità , c o m e a n c h e verità con ver i tà . Q u a n d o ci si dice clic il r ag ionamento è va l ido , non ci si d ice che s a r e b b e incongruente negare tanto le p remes se che la conc lus ione o affer-m a r e la conclus ione e negare le premesse .

10. Noi spes so s e g n a l i a m o la nostra pretesa che i l pa s s agg io che s t i amo c o m p i e n d o s ia va l ido med iante l 'uso d i certe espres-sioni che legano un 'a s serz ione , o serie di a s serz ion i , ad un 'a l t ra . S i tratta di pa ro le e fras i sul genere di ' c o s i ' , ' d i c o n s e g u e n z a 1 , ' perc iò " g iacché ' infatt i ' consegue che ecc. Ed a l tre espres-sioni sono talvolta usate p e r s egna l a re passagg i clic g iu s tamente e s i t e remmo a c h i a m a r e pa s sagg i nel r a g i o n a m e n t o , ma clic non sono di m i n o r interesse p e r il logico. Intendo r i f e r i rmi a espres-sioni come ' ciò è a dire \ " in a l tre pa ro le \ ' p iù in breve ' in-tendo d i r e ' . Q u e s t e sono espress ioni che u s i a m o q u a l c h e volta ( a n c h e se non s e m p r e e non s o l t a n t o ) in occasioni ne l le qua l i tro-v e r e m m o che s t iamo non tanto in ferendo o a r g o m e n t a n d o , ma piuttosto, per e sempio , mettendo in al tre paro le qua lcosa che è già stato detto, o r ipe tendo lo t r a l a s c i ando qua l co sa , o r i a s s u m e n d o l o , o s chemat i zzando lo . N o n esiste una l inea precisa e def ini ta che separ i quei pas sagg i che c h i a m e r e m m o pas sagg i nel r a g i o n a m e n t o da quei pas sagg i che d e s c r i v e r e m m o in uno dei modi a l ternat iv i clic ho e lencato . Ovviamente , vi sono casi es tremi che classi f iche-

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2 0 Valutaz ione logica

remino senza es i taz ione . Q u a n d o i pas sagg i sono numeros i e intri-cat i , non a b b i a m o d u b b i ad a p p l i c a r e pa ro le come ' in ferenza ' o " a r g o m e n t a z i o n e " ; q u a n d o qua lcosa che è stata detta v iene ripe-tuta, in tutto o in par te , non e s i t i amo a r i tenere i n a p p r o p r i a t e queste paro le . Ma c i sono casi in te rmedi . Una persona che legasse una par te del suo d i scorso ad un 'a l t ra con la f r a se k in a l t re pa-role " , con ciò n e g a n d o ogni pretesa di voler f a re qua lcosa di cosi ambiz io so coinè un ' in ferenza , po t rebbe imbat ter s i ne l l 'ob iez ione ' Ma questo non ne consegue ' , che rigetta e nega la pretesa di aver v a l i d a m e n t e infer i to . Le d i f ferenze fra i pas sagg i che sono pas-saggi nel r a g i o n a m e n t o e i pas sagg i che non si [tossono d i r tali sono important i da certi punti di vista. Da l presente punto di vi-sta, esse sono meno impor tant i che non le s imig l i anze . C iò che è c o m u n e a tutti quest i casi cui mi r i fer i sco e la pre tesa , resa espli-cita con le e spres s ioni di l e g a m e ' , che s a r e b b e incongruente asse-rire ciò clie p r e c e d e tali e spress ioni e negare ciò che le segue . Il logico si interessa dei casi in cui questa re laz ione ha luogo fra as-serz ioni , senza r i g u a r d o al fatto che i l pa s sagg io da un 'as serz ione ad un 'a l t ra cosi legata a l l a p r i m a sia un pa s sagg io che meri t i di esser c h i a m a t o ' pa s s agg io nel r ag ionamento '. o meno ; senza ri-g u a r d o n e m m e n o al fatto che vi s ia qua lco sa che s i pos sa ricono-scere come un pa s s agg io . (P i t i avanti v e d r e m o la rag ione del ca-rattere cosi c o m p r e n s i v o e univer sa le di ta le in te re s se ) . Q u e s t o sp iega perché l ' e spre s s ione ' s tudio dei p r inc ip i del r a g i o n a m e n t o dedutt ivo v a l i d o ' descr iva la logica in m o d o t r o p p o angusto . Una persona che si r ipe te non rag iona . Ma è incongruente a f f e r m a r e e negare la stessa cosa . Cos i uh logico d i rà che un 'a s serz ione ha con se stessa la re laz ione che lo interessa .

1 N a t u r a l m e n t e , l e e s p r e s s i o n i d i l e g a m e e h e ho e l e n c a t o non s o n o s e m p r e i m p i e g a t e a l lo s c o p o d i s e g n a l a r e p r o p r i o q u e s t a p r e t e s a . C f r . c a p i t o l o I I . p . e c a p i t o l o I X .

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I l vocabo la r io di secondo ord ine 21

I I I .

Il vocabolario di secondo ordine del logico

11. Gran par te del le asserz ioni che f a c c i a m o non r i g u a r d a n o esse stesse a s serz ioni , ma concernono persone o cose . Q u e s t e asser-zioni non relat ive ad a l t re asserzioni le p o s s i a m o c h i a m a r e asser-zioni d i p r i m o o r d i n e : le asserzioni i n t o m o a l l e asserz ioni d i p r imo ord ine pos s i amo c h i a m a r l e asserz ioni di s econdo ord ine , c cosi via . G iacché le pa ro le di va lutaz ione log ica , s i u s a n o per par-lare di a s serz ioni , le asserz ioni clic f a c c i a m o u s a n d o tali pa ro l e devono essere a lmeno di s econdo ordine . D i r e m o che tal i pa ro l e cost i tuiscono una parte del vocabo la r io di secondo ord ine del lo-gico. P i ù innanzi t ra t teremo in m o d o ana logo degl i enuncia t i di p r i m o ord ine ( c i o è , enunc ia l i usati per f a re asserz ioni clic non r i guardano enunciat i o a s s e r z i o n i ) , e degl i enuncia t i di secondo ordine ( c i o è enunciat i usati per f a re as serz ioni che r i g u a r d a n o enunciat i o asserzioni di p r i m o o r d i n e ) .

Le fras i ' c o n s e g u e da ' e ' impl i ca l o g i c a m e n t e ' ci f anno pen-sare a ciucile s i tuazioni art i f ic iose di eserc iz io rag ionat ivo in cui ci impegnarne di propos i to a condurre r a g i o n a m e n t i , a t ra r re i l laz ioni , ecc. La paro la * v a l i d o ' , app l i ca t a ad una ser ie di asser-zioni co l legate con cpialchc e spres s ione ( p .c . 1 perc iò ') che estrin-seca la pretesa che una di esse consegua da l l e a l t re , c o m p o r t a lo stesso sugger imento . A b b i a m o bi sogno di una p a r o l a clic s ignif ichi che un enuncia to è co l legato a un al tro in m o d o tale; che s a r e b b e incongruente a f f e r m a r e il p r i m o e negare il s econdo , e che peral-tro non compor t i suggest ioni del genere . C 'è la pos s ib i l i t à di u sa re a questo scopo la pa ro l a 4 es ige 1 ' a l la q u a l e r i cor re remo d'ordi-

1 I I l e s to i n g l e s e r e c a : « C ' è l ' a b i t u d i n e di u s a r e a q u e s t o s c o p o la p a r o l a ' entails ' » . L ' u s o del v e r b o to entail, c h e p r o p r i a m e n t e e s p r i m e la fissazione di un p a r t i c o l a r e vincolo nel d i r i t t o s u c c e s s o r i o , nel s enso d e l l ' i m p l i c a z i o n e

I

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41 Va lutaz ione log ica

nar io in questo l ibro , p u r senza inibirci l 'uso di pili comuni paro le e fras i di va lu taz ione logica , q u a n d o ve ne s ia convenienza , e co-m u n q u e r icorrendovi in m o d o da evi tare l ' impres s ione che ci s i stia m u o v e n d o in astratte s i tuaz ioni d 'eserc iz io rag ionat ivo . Disco-starsi cosi da l l inguagg io o rd inar io non riesce neces sar iamente fuorv iente , ove se ne s ia ben consapevo l i .

12. Occorre ora d i scutere le relazioni ehe h a n n o fra loro al-cune p a r o l e del v o c a b o l a r i o di s econd 'ord ine del log ico . Anzitutto d o b b i a m o d i s t inguere fra due generi di incongruenza , fra un senso pili a m p i o ed uno più ristretto di ' c o n t r a d d i z i o n e ' .

S u p p o n i a m o che q u a l c u n o dica che una certa per sona è alta più di sei p iedi e che qua l cun al tro dica de l la s tessa per sona che e alta meno di sci p ied i . A b b r e v i a m o le d u e a f f e r m a z i o n i r iducen-dole a s empl i c i l e t t e re : μ la p r i m a ( p i ù ) ed m la seconda ( m e n o ) , e qu indi i n d i c h i a m o le due asserzioni con A,, la p r i m a ed A„, la seconda . A l l o r a , sa lvo clic s i avanz ino spec ia l i sp iegaz ion i per di-mos t rare che la cont radd iz ione è solo a p p a r e n t e , p r o p r i a m e n t e di-remo clic colui che li a par la to per secondo ha contraddet to il p r i m o p a r l a t o r e , che A„, è incongruente con A r Una terza persona può intervenire a d ire clic l ' ind iv iduo in d i scus s ione è alto esatta-mente sei p i ed i , e cos i d i cendo essa c o n t r a d d i r e b b e a m b e d u e le precedent i . D i c i a m o che egli fa A e ( l ' a s s e r z i o n e c h e l ' ind iv iduo in d i scuss ione è alto e sa t tamente sei p i e d i ) , e che Ae è incongruente tanto con A p che con A,„.

Ma ora s u p p o n i a m o che colui che ha par l a to p e r secondo, in-vece di f a re A„, avesse fatto A,,„„.,, ( l ' a s s e r z i o n e che l ' ind iv iduo in d i scuss ione non è a l to ρ i ti di sei p i e d i ) . Di nuovo , a meno di spie-

log ica è d ' u s o r e l a t i v a m e n t e r a r o , e p e r c i ò a p p u n t o è s ta to p r e s c e l t o da mol t i m o d e r n i logic i a n g l o s a s s o n i p e r ev i t a re l ' i m p i e g o de i t e r m i n i o r m a i c la s s ic i , non g rad i t i p e r le r a g i o n i d e t t e nel te s to . T r a d u c i a m o * to entail ' c o n ' e s i g e r e ' ; tu t tav ia i l s o s t a n t i v o ' e n t a i l m e n t ' . non p o t e n d o s i t r a d u r r e ' e s i g e n z a ' , s a r à sempre re so con ' i iup l i rnnzn '.

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I l vocabo la r io « l i secondo ord ine 23

gazioni prodot te a d imos t r a re che la cont radd iz ione è solo appa-rente, noi d o v r e m m o d i re che egli ha contraddet to i l p r i m o par la-tore, che A,lo„.p e ra incongruente con Ap. Ma la re laz ione fra Ap ed A„„„.p non è esa t tamente la stessa re laz ione che intercorre f ra A p

e A,„. Infat t i mentre era pos s ib i le f a re un 'a s serz ione , e precisa-mente A c , che fosse incongruente tanto con A p c h e con A m , non c 'è m o d o ora «li f a rne una che s ia incongruente tanto con Ap che con A„0„.p. E s p r i m i a m o questo fatto d icendo che Ap ed A„„„.p sono contraddi t tor ie mentre A p ed A,„ sono solo contrar ie . Dire di «lue asserzioni che sono contraddi t tor ie equ iva l e a «lire c h e sono incon-gruenti f ra loro e che nessuna as serz ione è incongruente con ani-bc«lue ad un t e m p o . Dire di «lue asserzioni che sono contrar ie equi-vale a d i re che son«> incongruenti f ra loro, l a s c i ando aper ta la pos-s ibi l i tà che vi sia q u a l c h e as serz ione incongruente con a m b e d u e . ( Q u e s t a può venire assunta c o m e una def in iz ione di ' c o n t r a d i c -t o r i o ' e ' c o n t r a r i o * in termini di ' i n c o n g r u e n t e ' ) . Ma noi «li-c i a m o che una persona ' contradt l icc ' un 'a l t ra (o se s t e s s a ) q u a n d o faccia asserz ioni che sono incongruenti con «juelle de l l ' a l t ra ( o di se s t e s s a ) , s i ano o meno tali asserzioni p r o p r i a m e n t e contraddit-torie ' .

A b b i a m o già «liscusso la quest ione di coinè s ia pos s ib i l e l'in-congruenza ; e la m e d e s i m a d i scuss ione ci a iuta a vedere c o m e sia poss ib i le la contradd iz ione , nel suo s igni f icato p iù r i s t re t to ; e come «(ucsto s ignif icato sott intenda la scelta n a t u r a l e di ' X fa al caso e X non fa al caso ' coinè la f o rma genera l e di una conlratldi-z ione. P a r a g o n a m m o l ' ambi to di incompat ib i l i t à d i un pred ica to con i l p i ano di una f igura ch iusa . Due pred ica t i e r a n o incompat i -bili «piando venivano a trovarsi r i spe t t ivamente «la una par te e da l l ' a l t ra d i un confine che a v e v a m o t racc ia to ' in un certo a m b i t o ili incompat ib i l i t à . S u p p o n i a m o clic d u e pred ica t i giacenti a l

1 C o n t i n u e r ò ad u s a r e t a lvo l t a ' c o n t r a d d i z i o n e ' a u t o - c o n t r a d d i t t o r i o " c o n t r a d d i r e * nel s e n s o p i ù l a r g o ; ina ' c o n t r a d d i t t o r i o * lo l i m i t e r ò a q u e l l o p i ù r i s t re t to .

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m o d o sudde t to r i spe t to ad un ta le conf ine v e n g a n o a p p l i c a t i a l l a stessa cosa , d i m o d o c h e vengan fat te d u e a s se rz ion i incongruent i . A l l o r a noi p o s s i a m o f a r e un ' a s se rz ione i n c o n g r u e n t e con a m b e d u e le p r i m e a p p l i c a n d o a q u e l l a cosa un p r e d i c a t o che g iacc ia f u o r i da i conf ini d i a m b e d u e gli altr i p r e d i c a t i , ma ne l lo stesso a m b i t o d i i n c o m p a t i b i l i t à . Ma s u p p o n i a m o che i p r i m i p r e d i c a t i esauri-s c a n o , f r a tutti e d u e . q u e s t ' a m b i t o . A l l o r a non c 'è m o d o d i f a r e u n ' a s s e r z i o n e i n c o n g r u e n t e con a m b e d u e l e a s se rz ion i p r e c e d e n t i . ( S e m e t à di tin f o g l i o di ca r t a è co lo ra to in rosso e l ' a l t ra metà in b l u , non c ' è m o d o d i t rovare un punto su l l a s u p e r f i c i e de l l a car ta clic non s ia né n e l l ' a r e a blu né in q u e l l a r o s s a ) . V e d e m m o a n c h e che nel l i n g u a g g i o a v e v a m o , o l tre a i p r e d i c a t i i n c o m p a t i -b i l i . deg l i a c c o r g i m e n t i ( c o m e i l ' non ' ) pe r e s p l i c i t a m e n t e esclu-d e r e ( r e s p i n g e r e , r i f i u t a r e ) un p r e d i c a t o d a l l ' a p p l i c a z i o n e a q u a l c o s a . Se quest i a c c o r g i m e n t i e s i s tono , è f a c i l e v e d e r e c o m e l ' a m b i t o d i i n c o m p a t i b i l i t à p u ò e s sere e s a u r i t o , e c o m ' è d u n q u e p o s s i b i l e f o r m u l a r e a s serz ion i c o n t r a d d i t t o r i e . S e d u e a s se rz ion i incongruent i v e n g o n o f a t te a p p l i c a n d o a q u a l c o s a p r e d i c a t i sem-p l i c e m e n t e i n c o m p a t i b i l i , r i m a n e a p e r t a l a p o s s i b i l i t à d i f a r e u n ' a s s e r z i o n e i n c o n g r u e n t e con a m b e d u e , m e d i a n t e l ' a p p l i c a -z ione a l l a cosa s tessa d i un terzo p r e d i c a t o c h e a p p a r t e n g a a l lo s tesso a m b i t o d i i n c o m p a t i b i l i t à . Ma ove u n ' a s s e r z i o n e s ia incon-gruente con u n ' a l t r a p e r c h é e s sa e s p l i c i t a m e n t e r e s p i n g e ( r i f i u t a , e s c l u d e ) i l p r e d i c a l o c h e l ' a l t ra a p p l i c a , q u e s t a p o s s i b i l i t à svani-sce . D i re clic una cosa né h a , né non ha u n a cer ta p r o p r i e t à ( c i o è tentare d i d i r e q u a l c o s a che s i a incongruente tanto con l 'asser-z ione che essa h a , q u a n t o con l ' a s s e rz ione c h e essa non ha q u e l l a p r o p r i e t à ) è c o m e «lire c h e q u e l l a p r o p r i e t à ne l lo s tesso t e m p o ce l 'ha e non ce I l i a . U n o non s a p r e b b e c h e d i a v o l o gli s i vog l ia «lire, a m e n o c h e non venga forn i ta una s p i e g a z i o n e ; tut tavia l ' i n d e t e r m i n a t e z z a «lei confini d e l l e p a r o l e , i d i f f e ren t i punt i di vista «lai q u a l i s i a m o indott i ad a p p l i c a r e e a r i f iu tare le espres-s ion i , pos sono ta lvo l ta permet te re i «li a t t r i b u i r e un s igni f i ca to ad

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una s imi l e c o m b i n a z i o n e d i p a r o l e . S i p o t r e b b e c o n c l u d e r e : due asserz ioni sono contraddi t tor ie q u a n d o una per sona che a f f e rma a m b e d u e e una persona che nega a m b e d u e , s a r a n n o l 'una e l 'a l tra cons iderate c o m e aventi contraddet to se stesse e non aventi detto nu l l a .

Ma c'è un a l tro m o d o di intendere q u a l c u n o che d ica che una cosa né ha né non ha una certa p r o p r i e t à . P e r e s e m p i o : ' S i cura egli di c i ò ? ' ' Eg l i né se ne cura , né non se ne c u r a : è m o r t o ' . La r i sposta mos t ra che la quest ione non è a p p r o p r i a t a a l le circo-stanze, che q u a l c h e pre suppos to assunto da chi la f o r m u l a non è vero. Es sa non mostra clic l ' a s serz ione che egl i si cura di c iò e que l l a che egli non se ne cura s a rebbero a m b e d u e fa l se , essa mo-stra piuttosto c h e non s i p o n e la ques t ione di q u a l e s ia vera , per-ché non sono a d e m p i u t e le condiz ioni del suo sorgere . Molte asserzioni vengono fatte in questo m o d o , s o p r a uno s f o n d o di assunzioni che non è c h i a m a t o in causa q u a n d o si d i scute la loro verità o fa l s i tà , e la cui c h i a m a t a in causa i m p e d i s c e che tal i verità e fa l s i tà s iano discusse . Ogni c o m m e n t o su l l e re lazioni log iche fra asserzioni avviene su l lo stesso s f o n d o , ed a l lo stesso l ivel lo di a s sunz ione , de l l a d i scuss ione de l l a loro veri tà o fa l s i tà .

Le asserzioni contraddi t tor ie hanno quindi ' i l cara t tere di es-sere a s s i eme log icamente eschis ive e l og i camente e saur ient i . £ forse p iù f ac i l e i m m a g i n a r e un l inguagg io dove le as serz ioni con-traddi t tor ie non possano esser fa t te che non un l i n g u a g g i o dove non possa i io esser fatte asserzioni s e m p l i c e m e n t e incongruent i . Se vi fossero solo «lue generi di q u a d r u p e d i , per e s e m p i o leoni e t igri , si a v r e b b e minor bi sogno de l la p a r o l a ' non ' nel d i scutere l ' identi tà d i un q u a d r u p e d e . Se la gente sent isse m e n o l ' i m p u l s o a p a r l a r e senza u n ' i n f o r m a z i o n e adegua ta , ad a v a n z a r e certi ge-neri d i ques t ion i , ad a f f rontare l ' e sper ienza con d u b b i , t imor i , spe ranze ed a spet taz ioni , s i av rebbe m e n o b i sogno di que l l a pa-rola . Ma le occas ioni in cui s i sente i l b i sogno de l l ' e sp l ic i ta esclu-s ione di un pred ica to , o de l l ' e sp l ic i to r i f iuto di un 'a s se rz ione o

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di un sugger imento , sono in realtà mol to numerose . E cosi ab-b i a m o asserzioni contraddi t tor ie . A rag ione a s s o c i a m o con la con-t radd iz ione ( n e l senso r i s t re t to ) le seguenti c o p p i e d i espress ioni 0 nozioni an t i t e t i che : " S i ' e ' N o " , a s severare e d e n e g a r e veri tà e fa l s i tà , ' f a al caso 7 e " n o n fa al c a s o " ( a f f e r m a z i o n e e nega-z i o n e ) . T a l e a s soc iaz ione non è dannosa f inché ci r i c o r d i a m o che ' Si e no ' p u ò non essere una r i sposta auto-contraddi t tor ia , che 'è e non è ' ( la cong iunz ione di a f f é r m a z i o n e e n e g a z i o n e ) può essere usato per f a re un 'a s serz ione genu ina , che p o s s i a m o es i tare a tpia l i f icare un 'as serz ione o vera o f a l sa . ' A s s e v e r a r e " e ' d e n e -gare ' sono in pos iz ione l ievemente d iver sa . P e r essi l ' oppos i z ione contraddi t tor ia è p a r t e del loro s igni f icato . M a l g r a d o un u o m o possa d i re ' È e non è ' senza auto-contraddiz ione , e s i t e remmo a d i re che egli ins ieme assevera e denega la stessa cosa . Non di-r e m m o clic un u o m o possa f a r c iò senza auto-contraddiz ione . F r a ques te c o p p i e di e spress ioni ant i tet iche, le c o p p i e ' a s severare ' e ' d e n e g a r e ", ' a f f e rmat ivo ' e ' negat ivo ', ' vero * e ' f a l so ' a p p a r -tengono. c o m e la stessa pa ro l a ' a s serz ione ' . al vocabo la r io di se-cond 'o rd inc del logico, per quanto esse non s iano pa ro le di va lu taz ione logica ; nel mentre ' si " e ' no ' è " e ' non è ' appar-tengono a l v o c a b o l a r i o d i p r i m o ord ine , s ebbene possano f igurare in contesti di s econdo ord ine . v

13. S i a m o ora in g rado di s p i e g a r e p iù s i s t emat icamente nel le sue interre laz ioni i l vocabo la r io di va lu taz ione logica del logico. A questo scoilo conviene in t rodurre q u a l c h e accorg imento abbrev ia t ivo . P^r c o m i n c i a r e in t rodurremo una nuova estensione di un accorg imento abbrev ia t ivo clic a b b i a m o già usa to . Discu-tendo la re laz ione fra l ' a s serz ione re lat iva a una certa per sona , che essa era alta p iù di sei p ied i , e l ' a s serz ione , relat iva a l la stessa per sona , c h e essa era alta meno di sei p i e d i , c i s i a m o ri fer i t i a l la p r i m a m e d i a n t e l ' e spres s ione ' A„ ' ed a l la seconda m e d i a n t e 1 e spre s s ione ' A,„ ' . Ma q u a n d o d i s c u t i a m o , in genera le , de l le

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interrelazioni del vocabo la r io di va lu taz ione log ica , occorrerà ri-fer irci ad asserz ioni in genera le piuttosto che ad as serz ioni parti-colar i . P e r e s e m p i o , a b b i a m o introdotto la p a r o l a ' e s ige spie-gando i l suo s igni f íca lo a l l ' inc i rca a l m o d o s e g u e n t e : d i re che un 'a s serz ione ne es ige un ' a l t r a , equ iva l e a d i re che s a r e b b e incon-gruente f a re la p r i m a e negare la s econda . Q u e s t a sp iegaz ione , che non si r i fer i sce ad asserzioni pa r t i co l a r i , ma ad asserz ioni in genera le , l a p o t r e m m o e s p r i m e r e come s e g u e : d i re che Ai es ige A2 equ iva le a d i re che s a r e b b e incongruente f a r e A| e negare A 2 . Q u i gli indici sottor igo asso lvono la funz ione «Ielle p a r o l e ' una ' , * un 'a l t ra ". ' p r i m a ' e ' seconda " ne l la s p i e g a z i o n e or ig ina le .

Q u e s t a sp iegaz ione può essere u l ter iormente p a r a f r a s a t a . La nozione di d in iego o negaz ione è s t ret tamente legata , c o m e s 'è vi-sto, con quel la di contraddi t tor ie tà . N e g a r e un 'a s se rz ione ha la stessa forza logica che a f f e r m a r e la sua c o n t r a d d i t t o r i a ; le diffe-renze sono qui i rr i levant i . Perciò noi p o s s i a m o p a r a f r a s a r e la no-stra s p i e g a z i o n e coinè s e g u e : d ire che A] e s ige A 2 e q u i v a l e a d ire che s a r e b b e incongruente as ser i re A t e in s i eme a f f e r m a r e la con-traddi t tor ia di A j . Ora la forma negat iva di un 'a s serz ione ( c i o è , una f o r m a che includa la pa ro l a * non ') non è s e m p r e la sua con-traddi t tor ia , c o m e a b b i a m o visto. Ma lo è a b b a s t a n z a spesso perche s ia giust i f icato che si abbrev i la f ra se ' la cont radd i t to r i a di A2 ' in ' non-Ai ' · In tal modo p o s s i a m o p a r a f r a s a r e n u o v a m e n t e : d i re che A| es ige A2 e q u i v a l e a d i re che s a r e b b e incongruente a f f e r m a r e A| ed ins ieme a f f e r m a r e non-A2. Se s a r e b b e incongruente f a r e una certa c o p p i a d i asserz ioni , s a r e b b e anche incongruente f a re l'as-serz ione congiunt iva ( a d o p e r a n d o , per e s e m p i o , la p a r o l a ' e ' ) in cui esse s i ano le congiunte . Cosi , a b b r e v i a n d o ' l ' a s serz ione con-giuntiva di cui Ai e non-Ai sono le congiunte ' in ' A| e non-Ai ', pos s i amo p a r a f r a s a r e ancora : d ire che Ai es ige A 2 e q u i v a l e a d ire che Ai e non-A2 è incongruente .

Q u e s t a sp iegaz ione d e l l ' i m p l i c a n z a e q u i v a l e a una def iniz ione di ' es ige ' . Noi d i a m o una regola per l 'uso de l la p a r o l a . P o s s i a m o

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mettere in r i l ievo questo cara t tere del p r o c e d i m e n t o usando le vir-golette invertite e s c r i v e n d o :

" A, es ige A2 * p u ò esser def inito come ' A| e non-A2 è incongruente 1

e questo p u ò essere abbrev i a to in :

* A! es ige A2 ' = d¡ ' At e non-A¡ è incongruente '.

Q u a n d o u s i a m o le virgolette invertite , m e t t i a m o in r i l ievo i l fatto clic s t i a m o fornendo una regola per l 'uso di una certa e spres s ione in un certo l inguagg io . Q u a n d o ev i t i amo di u sa r l e , met t i amo in-vece in r i l ievo il fatto che impl ic i te in tale regola vi sono regole per tutte le e spres s ioni s i n o n i m e in tutti i l inguagg i . La def inizione sta al la s p i e g a z i o n e in certo m o d o c o m e l ' a s serz ione l inguist ica sta a l l ' a s serz ione log ica . Vi sono a l tre d i f fe renze fra la sp iegaz ione de l l ' i inp l i canza e la sua def iniz ione ' . E s se ver ranno in luce p iù avant i .

14. Var i an t i d i k è i n c o n g r u e n t e ' sono ' è auto-contradditto-rio k è l og i camente i m p o s s i b i l e ", ' è log icamente fa l so '. S u p p o -n iamo ora di negare un 'a s serz ione incongruente , o di a f f e r m a r n e la cont radd i t tor i a . G ià v e d e m m o che una persona e b e faccia un'as-serz ione incongruente , in certo m o d o , non ilice nul la a f fa t to . La sua a s serz ione cance l la se stessa . Al lora e b e cosa vien detto da una persona clic nega un 'a s serz ione incongruente? S e m b r a clic n e p p u r essa dica n i e n t e : anch 'e s sa , infatt i , lascia le cose c o m ' e r a n o . ( N a -tura lmente , uno può negare s e p a r a t a m e n t e due asserz ioni e b e sono incongruent i f ra loro , a m m e s s o clic non s i ano contraddi t tor ie e r iusc ire a d i re q u a l c o s a : a coloro clic a s ser i scono rispettiva-mente Ap e Am noi p o s s i a m o d i re ' Avete tutti e due torto ', e cosi d icendo a s s e r i a m o i m p l i c i t a m e n t e A, . Ma negare la s ingola asser-zione Ap e A „ „ e q u i v a l e a non d i r niente intorno a l l ' a l tezza dell ' in-

' I l s i m b o l o ' Ai " c a m b i a i l s u o c a r a t t e r e ( c f r . innanz i c a p i t o l o I I . p p . 37 s g g . p e r l a t r a t t a z i o n e d e l l e f o r m u l e e de l l e v a r i a b i l i ) .

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d iv iduo in d i scuss ione , g iacché fare que l l ' a s s e rz ione s igni f ica non d i r niente intorno al la sua a l t e z z a ) . N o n d i m e n o , a s ser i re la con-traddi t tor ia d i un 'a s serz ione incongruente p u ò aver la sua impor-tanza. P u ò serv i re , per e s e m p i o , a r a m m e n t a r e a qua l cuno la re-gola t rasgredi ta nel f a r lo . Può mos t rarg l i che si è messo a quel m o d o in un past icc io . Può a iu ta r lo a mos t ra rc i c o m e egli non stesse in rea l tà f acendo affatto un 'a s serz ione incongruente , ma ten-tando di descr ivere una s i tuaz ione poco c o m u n e o un caso inter-medio . O p p u r e può serv ire a r a m m e n t a r e a noi stessi le regole , per a iutarc i a e l a b o r a r e qua l co sa , o a cor reggere nostr i p r o p r i im-brogl i . E può avere anche altri scopi . Q u a n d o noi a s s e r i a m o la contraddi t tor ia d i un 'a s serz ione incongruente , s i d ice che f a c c i a m o un 'a s serz ione log icamente necessar ia . V a r i a n t i di ' a s serz ione lo-g icamente necessar ia ' sono ' a s serz ione ana l i t i ca ', ' verità necessa-ria ' a s serz ione log icamente vera ' .

È ev idente che gli scopi che a b b i a m o detto poter essere perse-guiti col f a r e un 'a s serz ione log icamente neces sar i a , nel la f o rma di cont radd iz ione di un 'asserz ione incongruente , p o t r e b b e r o esser persegui t i altrettanto bene col f a r lo nel la f o r m a di una valuta-zione logica espressa con un 'a s serz ione di s econd 'o rd ine . Ques t i s a r e b b e r o , di fat t i , modi di f ferenti di d i re la stessa cosa , o di f a re la stessa va lutaz ione . Invecc di d i re ' Eg l i non è ne l lo stesso t e m p o alto p iù e m e n o di sei p i ed i ' . p o t r e m m o d i re ' L ' a s se rz ione che egli è alto p iù di sei p i ed i è incongruente con l ' a s serz ione che egli è alto meno di sei piedi ' , o p p u r e ' L ' a s se rz ione che egli è alto p iù di sei p ied i es ige l ' a s serz ione che egli non è a l to m e n o di sei p iedi ' . O p p u r e ancora p o t r e m m o adot ta re una f o r m a verba le in-te rmedia f ra le già c i tate f o r m e di p r i m o e di s econd 'ord ine , e d i r e : 1 Eg l i non può e s sere ins ieme a l to p i ù e m e n o di sci p iedi ' o p p u r e ' È impossibile che egl i s ia in s i eme alto p i ù e meno di sei p i e d i ' . F r a queste f o r m e verba l i , q u e l l e c h e i m p i e g a n o le pa-role di va lu taz ione logica ' es ige ' e ' incongruente ' sono quanto meno suscett ibi l i d i r iusc ire f i lo so f icamente fuorv ient i . La p r i m a

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fo rma r icorda t r o p p o la f o r m a verba le con cui d i a m o informa-zioni su l l ' a l tezza di una per sona , e può farc i p e n s a r e cbe c h i u n q u e usi questa f r a se stia fo rnendoc i i n f o r m a z i o n i mol to at tendibi l i in m a t e r i a . Le u l t ime d u e f o r m e r i c o r d a n o t r o p p o le f ras i con cui d i scut i amo le fisiche e p ra t i che impos s ib i l i t à de l la v i ta , e possono farci pensare di es sere di f ronte a un caso di leggi p iù ferree per-sino di que l l e di na tura , ma de l lo stesso genere .

Di re che un 'a s serz ione è necessar ia e q u i v a l e qu ind i a d i re che è la contraddi t tor ia di un 'as serz ione incongruente . D o v r e m m o no-tare che è s i n g o l a r e u s a r e c o m u n q u e la p a r o l a 1 a s serz ione ' in tale contesto, e che lo f a c c i a m o sol tanto in virtù di una sorta di ana-logia . Q u a n d o una per sona fa un 'a s serz ione o r d i n a r i a ( l e asser-zioni o r d i n a r i e , c ioè le asserz ioni che non sono né incongruent i né log icamente necessar ie , son c h i a m a t e ta lvolta ' contingenti ' o * sin-tetiche "), si p u ò mettere in ques t ione se c iò che dice è vero o f a l s o ; e per s t ab i l i r e la r isposta a tale ques t ione , d o b b i a m o spo-stare la nostra at tenzione da l le pa ro le clic usa al m o n d o rea le , con-centrandola su l l a cosa di cui sta p a r l a n d o , q u a l u n q u e essa s ia . Può dars i che s i de l ibano e f fe t tuare e sper iment i . Ma, ( ¡ l iando una per-sona fa un 'a s serz ione necessar ia o auto-contraddi t tor ia , una que-st ione del genere non si pone né è pos s ib i le una procedura «lei genere . Non s a p r e m m o dove g u a r d a r e , o che e sper iment i effet-tuare . C o m e p o t r e m m o d e t e r m i n a r e la veri tà o fa l s i tà di un'asser-zione incongruente , se è vero che chi fa una tale a s serz ione non dice n iente? N a t u r a l m e n t e , v i sono a n a l o g i e f ra ehi fa un'asser-zione incongruente e eli i fa un 'a s serz ione o r d i n a r i a . A m b e d u e pro-nunc iano (o s c r i v o n o ) de l le p a r o l e , e a m b e d u e usano p a r o l e che possono essere i m p i e g a t e per i n f o r m a r e , bene o ma le . La diffe-renza sta nel fatto ehe chi f o r m u l a un 'a s serz ione incongruente di-s p o n e queste p a r o l e in un m o d o tale che noi c o n s i d e r i a m o che ha detto q u a l c h e cosa che cancel la se m e d e s i m a . S i tratta d i un m o d o non sodd i s f acente di u s a r e le pa ro le , e noi lo a s s i m i l i a m o con l'in-sodd i s f az ione che ci p rocura i l m o d o in cui u s i a m o le p a r o l e

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q u a n d o f a c c i a m o un'asserz ione f a l s a . Infat t i lo s c o p o genera le e c o m u n e p e r cui s i f anno asserz ioni c que l lo di c o m u n i c a r e infor-maz ion i , d i asser ire f a l l i . Q u e s t o scopo v iene f rus t ra to q u a n d o venga detto qua lcosa di fa l so . È anche f rus t ra to , s e b b e n e in m o d o af fat to d iverso , q u a n d o una persona s i cont radd ice . Cos i noi assi-m i l i a m o i d u e m o d i di f a l l i re lo scopo nc l l ' a s se r i re fat t i , e , per ana log i a col caso di chi fa un 'a s serz ione f a l s a , d i c i a m o anche di chi cont radd ice se stesso che fa un 'a s serz ione f a l s a , un 'a s serz ione fa l sa solo logicamente. E po iché d i c i a m o che chi a f f e r m a la con-t raddi t tor ia di un 'asserz ione fa l sa fa un 'a s serz ione vera , f ac i lmente c o m p i a m o i l pa s sagg io per cui g i u n g i a m o a d i re che chi nega la f o r m a verba le usa la per f a re un 'a s serz ione incongruente ha pro-nunziato un 'a s serz ione vera , ma sol tanto un ' a s se rz ione logicamente (o necessariamente) vera . E a l lora s i a m o fuorv ia t i d a l l ' a n a l o g i a : o indotti a p e n s a r e a uno spec ia l e c o m p l e s s o di fatti o real tà extra-l inguis t iche (necess i tà l o g i c h e ) descr i t te da l l e asserz ioni logica-mente vere, o p p u r e , «piando v e d i a m o che c iò c h e sta d ietro le va-lutazioni log iche sono regole di l inguagg io , indotti a cons iderare senz 'a l t ro le asserzioni necessar ie c o m e asserz ioni sulle pa ro le .

t Ma esse non sono né l 'una né l 'a l tra cosa ; un corret t ivo per am-bedue le concezioni è que l lo di d i re , di tanto in t a n t o : i l t e rmine ' a s serz ione ' è usato m a l e in tale contesto.

Ma non c 'è bisogno di d i r lo tutto i l t e m p o . Cos i io cont inuerò a p a r l a r e di asserzioni necessar ie . Q u e s t a concez ione ci abi l i ta a fo rn i re un 'u l ter iore s p i e g a z i o n e del r a p p o r t o indica to con la pa-rola ' es ige ' , questa volta in termini di necess i tà log ica . Dire che A, es ige A2 equ iva l e a d i re che la contraddi t tor ia di Ai e non-A2 è log icamente necessar ia . Usando la convenz ione di a b b r e v i a r e * la contraddi t tor ia di ' in " non- ' , ed usando le parentes i per ind icare che s i tratta de l l a contraddi t tor ia de l la s ingo la a s serz ione , A| e non-Ai, d i cui s t i amo p a r l a n d o , a b b i a m o : d i re c h e A) esige A 2

e q u i v a l e a d i re che non-( A, e non-A 2 ) è l og i camente neces sar ia . Per a n a l o g i a con una prass i dei logici di cui t ra t teremo più in-

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51 Va lu taz ione logica

nanzi . l ' e spres s ione ' ιιοη·( A¡ e ποπ·Α 2 ) ' può essere abbrev ia t a mediante l 'uso <lel s i m b o l o k 3 ' in ' A| 3 A2 '. Sc r ivendo la spie-gazione c o m e def iniz ione , a b b i a m o :

' A| esige A2 ' = di ' A) r> A2 è l og i camente necessar ia '.

Se e l i m i n i a m o tutte le abbrev iaz ion i e s c r i v i a m o l 'u l t ima f o r m a del la sp iegaz ione per esteso, a b b i a m o : d i re che un 'a s serz ione esige un 'a l t ra e q u i v a l e a d i re che la contraddi t tor ia de l la congiun-zione del la p r i m a as serz ione con la contraddi t tor ia del la seconda è un 'a s serz ione n e c e s s a r i a . ^ ,

15. Q u e s t e d u e def iniz ioni di * Ai es ige A2 ' c o m e ' A! e non-A2

è incongruente ' e c o m e * Αι o A2 è log icamente necessar ia ' sol-levano un p r o b l e m a . S u p p o n i a m o d i avere d u e asserz ioni del le qua l i una è incongruente e l 'a l tra s intet ica . P o t r e m m o , per esem-p io , avere l ' a s serz ione che una certa per sona era in s i eme alta più e meno di sei p ied i ( l a i n d i c h e r e m o con A „ ) e l ' a s serz ione che i l N a t a l e «lei 1900 era una be l la g iornata ( l a i n d i c h e r e m o con Af,). D o v r e m m o dire , in forza del fatto c h e A„ è incongruente , che c h i u n q u e facc ia A„ e non-Ab fa un 'a s serz ione incongruente? Se di-c i a m o questo , e t e n i a m o fer ino a l la nostra def in iz ione di ' es ige ' , d o v r e m m o d i re che A„ es ige A¿. Ma noi vo levamo d a r e a ' es ige ' un s ignif icato ta le che i l d i re che un 'a s serz ione es igeva un 'a l t ra s igni f icasse che i l secondo enuncia to conseguiva log icamente da l p r i m o ; sa lvo clic si voleva evi tare i l r i c h i a m o ad esercizi mental i <li inferenza c h e e for se legato a l l ' e spre s s ione ' consegue da '. Ma noi non a v r e m m o detto cer tamente che Aj, conseguiva da A„. ' Egl i è e non è a l to p iù di sei p i e d i ; perc iò ( c o s i , di conseguenza , in a l tre p a r o l e , c iò è a d i r e ) il N a t a l e del 1900 era una bel la gior-nata " è u n ' a f f e r m a z i o n e che ci co lp i sce c o m e dest i tui ta di senso, e l 'uso <li una qua l s i a s i de l le espress ioni di l e g a m e è a l latto ingiu-st i f icato. In genera le , ove noi nello stesso tempo si tenga f e rmo al la nostra def in iz ione di ' es ige " e si s ia d ' accordo di c h i a m a r e

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Il vocabo la r io «li secondo ord ine 33

incongruente ogni asserz ione congiunt iva s e m p l i c e m e n t e in base al fatto che una o tutte e due le sue congiunte s i ano incongruent i , s a r e m o obbl iga t i a «lire che un 'as serz ione incongruente es ige «pial-s ias i a s serz ione di qua l s ivog l ia genere ( s i a essa s intet ica o m e n o ) e che un 'a s se rz ione necessar ia è esatta da «pials iasi a s serz ione di « juals ivoglia genere ( s i a essa s intetica o m e n o ) . Q u e s t e conseguenze possono essere egua lmente evitate in «lue intuii : o stabilen«!«) per l 'uso di ' incongruente ' una regola tale che nessuna asserz ione congiunt iva pos sa venir c h i a m a t a incongruente s e m p l i c e m e n t e in base al fatto che una o tutte e d u e le sue congiunte s i ano incon-gruenti , o p p u r e agg iungendo a l l a nostra def in iz ione di ' Ai esige Λ2 ' c o m e ' A] e non-A2 è incongruente ' l ' avvertenza che l ' incon-gruenza de l l ' a s serz ione congiunt iva non risulta s e m p l i c e m e n t e da l l ' incongruenza di una o di tutte c due le sue congiunte . S i a m o l iberi di sceg l iere fra «juestc a l ternat ive .

16. Ed ora p o s s i a m o conc ludere i l c a t a logo de l le pa ro le di va lutaz ione log ica . In p r i m o luogo , p o s s i a m o notare che , conce-dendoci la l icenza terminolog ica rec l amata a l l ' in iz io «li questa par te del cap i to lo , avremo c o m e var iant i di " A i es ige A 2 ' le se-guenti e s p r e s s i o n i : ' A | impl ica log icamente A 2 ' , ' A i consegue da A| ', ' il pa s s agg io da Ai a A; è va l ido ' A2 è d e d u c i b i l e da A| '. In secondo luogo , d o b b i a m o introdurre e def inire la nozione di equ iva lenza log ica come s e g u e : ' A i è l og i camente equ iva lente a A2 ' = ρ/ ' A[ es ige A2 e A2 es ige Ai '. U n a def iniz ione a l ternat iva s a r e b b e : ' Aj e non-A2 sono contra« ld i t tor ie ' . È ev idente che l'in-t roduz ione di qua l s i a s i definizione porta a un 'a s se rz ione di equi-valenza log ica . La def inizione «li ' Ai es ige A 2 ' c o m e ' Ai è incon-gruente con la contra«ldittoria di A 2 ' porta per e s e m p i o al la se-guente a s serz ione di e i ju iva lenza : l ' a s serz ione che un 'a s serz ione comp or ta un 'a l t ra è l og i camente equ iva l en te a l l ' a s serz ione che la p r i m a è incongruente con la contraddi t tor ia de l la s econda . In terzo luogo, p o s s i a m o «lefinire ' Ai è la subcont ra r i a di A ; ' al m o d o se-

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53 Va lu taz ione logica

g u e n t e : ' non-A\ e incongruente con non·A2'. Q u e s t a def iniz ione può essere p a r a g o n a t a con que l l a di * Aj è la contrar ia di A2 ' come ' A! è incongruente con A2 \ D u e asserzioni sono contrar ie q u a n d o per esse è log icamente i m p o s s i b i l e essere a m b e d u e v e r e ; subcon-trar ie q u a n d o per esse è impos s ib i l e essere a m b e d u e fa l se . Q u e s t e def inizioni di ' contrar io ' e " subcontra r io " l a sc iano aper ta la que-stione se le as serz ioni che s tanno fra loro in una di queste due rela-zioni s iano contradd i t tor ie o meno. Infine, d u e agg iunte molto utili al vocabo la r io del logico sono le fras i ' condiz ione necessar ia ' e ' c o n d i z i o n e suff iciente ' . Q u a n d o un 'a s serz ione es ige un 'a l t ra , la verità de l la p r i m a è una condiz ione suff iciente per la verità del la seconda , e la verità de l l a seconda una cond iz ione necessar ia per la verità de l la p r i m a .

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I I . Logica formale

1. I l n u m e r o di v a l u t a z i o n i log i che clic p o t r e b b e r o venir fa t te c o r r e t t a m e n t e è i l l imi ta to . Se i l c o m p i t o del log ieo f o r m a l e fos se q u e l l o d i c o m p i l a r e degl i e lenchi d i tutte le p o s s i b i l i valu-taz ioni l o g i c h e corret te , s i t r a t t e rebbe d i un c o m p i t o senza f ine ; per s ino se eg l i s i l imi ta s se a l l e v a l u t a z i o n i e s p r e s s e c o m e enun-ciat i d i i m p l i c a n z a . in b a s e a l f a t to che tutte le r e l az ion i log i che p o t r e b b e r o e s se re cosi e s p r e s s e , i l suo c o m p i t o r i m a r r e b b e an-cora inf ini to . Ma non c suo c o m p i t o q u e l l o d i c o m p i l a r e e lenchi e saur ient i di i m p l i c a n z e . I l suo c o m p i t o è l i m i t a t o da tre fa t tor i che tenterò d i c h i a r i r e in ques to c a p i t o l o .

1.

Generalità. L'uso delle formule

2 . I m m a g i n i a m o c h e un p a z z o a b b i a i m p r e s o a reg i s t ra re ogni i m p l i c a n z a . Egl i o d e che u n a p e r s o n a , A . d i c e d i u n ' a l t r a . B, c h e Β è f iglio cadet to , ed egl i a n n o t a c h e l ' a s s e r z i o n e c h e Β è f igl io c a d e t t o e s i ge l ' a s se rz ione che Β ha un f r a t e l l o . P iù tardi o d e q u a l c u n o , C, d i re di q u a l c u n a l t ro , D, c h e D è f igl io cade t to , e annota che l ' a s s e rz ione che D è un figlio cade t to e s ige l 'asser-z ione ehe D ha un f ra te l lo . F i n c h é egl i s i l i m i t a cos i a r eg i s t r a re particolari implicanze, c ioè i m p l i c a n z e f r a s i n g o l e a s s e r z i o n i , eg l i non e s a u r i r à m a i n e p p u r e l a s e r i e d i p a r t i c o l a r i i m p l i c a n z e che

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Logica f o r m a l e

a s s o m i g l i a n o a queste rlue tanto s t ret tamente quanto queste due si a s s o m i g l i a n o fra loro . È ovvio che la r ag ione p e r cui tutte le par t ico lar i i m p l i c a n z e di questa ser ie possono reggere è una generale a s serz ione di i m p l i c a n z a del genere che s e g u e : ogni a s serz ione che a f f e rmi che una certa per sona ( c e r t e p e r s o n e ) è figlio cadetto ( s o n o f ig l i c a d e t t i ) es ige un 'a s se rz ione che a f f e rmi che que l l a per sona ( q u e l l e p e r s o n e ) ha un f ra te l lo ( h a n n o fra-telli) . I n d i c h i a m o l ' a s serz ione genera le di i m p l i c a n z a fatta con queste p a r o l e con ΛΙ 1. E c h i a m i a m o le par t i co lar i impl i canze appar tenent i a questo g r u p p o e sempl i f i caz ion i de l l ' imp l i canza genera le . La genera le a s serz ione d i i m p l i c a n z a esige c ia scuna de l le sue e s e m p l i f i c a z i o n i ; va le a diro c h e s a r e b b e incongruente f a re AI 1 e negare che l 'asserzione fatta da A che Β era figlio cadetto es igesse l ' a s serz ione che Β aveva un f ra te l lo .

Il p r i m o fat tore clic l imita il c o m p i t o del logico è che egli si l imita a f a re asserzioni genera l i di i m p l i c a n z a . Ci si rende conto di c o m e egli possa far lo se ci s i r a m m e n t a di come divenga pos s ib i le la va lutaz ione log ica . Ogni par t i co la re a s serz ione di impl i canza è un 'e sempl i f i caz ione di un 'a s serz ione genera le di i m p l i c a n z a , g i acché d ie tro ogni par t i co la re a s serz ione di valuta-zione logica sta una regola genera le per l 'uso de l le paro le .

3. P r i m a di cons iderare i l secondo fat tore che l imita i l c o m p i t o del logico , d o b b i a m o prendere una dec i s ione su di una ques t ione tecnica r imas ta aper t a da l p r i m o cap i to lo , e precisa-mente la ques t ione se s a r e b b e p iù conveniente f a r logica in ter-mini di regole circa espress ioni r appresenta t ive , ovvero in ter-mini di re laz ioni logiche fra as serz ioni . I l tentativo di cont inuare la t rat taz ione in questi secondi termini so l tanto , la r enderebbe in real tà s e m p r e meno maneggevo le . O p t a n d o per l a p r i m a alter-nat iva . ci m e t t i a m o in g rado di in t rodurre divers i »itili accorgi-menti abbrev ia t iv i , che ora i m p r e n d o ad i l lus t rare per i l caso A I 1.

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Genera l i t à . L 'uso del le f o r m u l e 37

Il p r i m o passo consiste ne l l ' opera re i l p a s s a g g i o da AI 1 al-l ' a s serz ione ( A I 2 ) d i e qua l s i a s i a s serz ione per f a re l a q u a l e s i a p p l i c h i il p r e d i c a t o 4 è figlio cadetto ' ad una certa per sona , esige un 'a s serz ione per f a r e la q u a l e s i a p p l i c h i a l l a stessa per-sona i l p red ica to ' h a un f r a t e l l o ' . ( T r a l a s c i o qu i l e compl ica-zioni neces sar ie a tener conto dei casi in cui si p a r l a di più clic una p e r s o n a ) . AI 2 è un 'a s serz ione (o r e g o l a ) che a p e r t a m e n t e concerne le espress ioni citate. A b b i a m o g ià d i scusso del la rela-zione che intercorre fra asserzioni come AI 1 ed asserz ioni c o m e AI 2. F o r m u l a n d o s i AI 1 con le pa ro le clic ho usato a l lo s copo , le e spres s ioni 'è f ig l io c a d e t t o ' e * ha un f r a t e l l o ' sono usa te s e m p l i c e m e n t e p e r identi f icare la c lasse di c o p p i e di asserz ioni (che potrebbero esser fatte senza ricorrere all'uso di queste espressioni) f ra le qual i si d ice che va le l ' i m p l i c a n z a . AI 2 è p iù ristretto di AI 1 in quanto l imita la nostra at tenzione a quei casi in cui le asserzioni son fatte m e d i a n t e l 'uso effett ivo di que-ste e spres s ion i . Ma pos s i amo c o m o d a m e n t e concedere clic l'as-serz ione l inguis t ica . AI 2, funga da rappresentante del l 'asser-zione log ica , AI 1 . Dietro ad ogni a s serz ione logica che può esser fatta sta un 'a s serz ione (o r e g o l a ) l ingui s t ica . AI 2 ha con AI 1 la re laz ione che la def iniz ione di 4 e s ige ' da noi data ha con la s p i e g a z i o n e clic a b b i a m o dato di i m p l i c a n z a .

AI 2, come AI 1. è a l lo stesso t e m p o pesante e vaga . Es sa asser isce che qual s ia s i a s serz ione in cui il p red ica to 4 è figlio ca-detto ' è a p p l i c a t o a una certa persona es ige qualche (e f fe t t iva o p o s s i b i l e ) a s serz ione in cui a que l l a stessa per sona venga appl i -cato il p red ica to 4 ha un fratel lo ' . Se qualche venisse sostituito da qualsiasi, a l l o ra AI 2 ces serebbe di essere vaga , ma ces serebbe anche di es sere vera . Un 'as serz ione fatta con le p a r o l e 4 L ' a u t o r e del Paradiso Perduto è figlio c a d e t t o ' non es ige un 'as serz ione fatta con le p a r o l e 4 J o h n Milton ha un f ra te l lo ' , pe rché , s ebbene i pred ica t i s i ano app l ica t i al la stessa p e r s o n a , c una quest ione di fatto e non di logica clic la persona che scr isse il Paradiso

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Logica f o r m a l e

Perduto s ia J o h n Mil ton. Non p o s s i a m o e l i m i n a r e la vaghezza ili AI 2 sos t i tuendo " q u a l c h e ' con ' q u a l s i a s i ' ; s e m b r a a l lora che noi d o v r e m m o , s e m m a i , e l i m i n a r l a spec i f i cando quali asserzioni che a p p l i c h i n o la f rase 4 ha un f ra te l lo ' a una certa persona sono deduc ib i l i p e r impl i canza da un ' a s se rz ione che a p p l i c h i l a f ra se • è figlio cadetto ' a que l l a stessa p e r s o n a . P o t r e b b e s e m b r a r e che un m o d o di f a r c iò s a r e b b e que l lo di s t ab i l i re i l requi s i to che . ili a m b e d u e le asserzioni legate d a l l ' i m p l i c a n z a , la per sona cui quest i predicat i s i a p p l i c a n o d e b b a essere indicata con una sola e m e d e s i m a e spres s ione (c l i c , per e s e m p i o , nel caso sopra-r ipor ta to , d e b b a essere indicata c o m e J o h n Milton in a m b e d u e le a s s e r z i o n i ) . S e m b r e r e b b e a l lora che tanto la pesantezza che la vaghezza tli Al 2 p o t r e b b e r o esser f ac i lmente e l imina te al m o d o seguente .

C o n s i d e r i a m o le e spres s ion i ' χ è f iglio c a d e t t o ' , 'y ha un f ra te l lo ' . Ovv iamente tutti gli enunciat i usati per a p p l i c a r e i l p red ica to ' è figlio cadet to ' ad una qua l s ivog l i a persona si somi-g l ieranno fra loro perché contenenti (]uesta f r a s e ; e molti di essi d i f f e r i r anno f ra loro p e r le d i f ferent i e spres s ioni con cui s i rife-riscono a l le di f ferent i per sone a l le (pial i i l p red ica to è a p p l i c a t o . L ' e spre s s ione * χ e figlio c a d e t t o ' p u ò essere cons idera ta come tale da r a p p r e s e n t a r e la s i m i g l i a n z a . p u r senza e l i m i n a r e le diffe-renze. C h i a m e r ò ' f o r m u l a ' un 'e spre s s ione del genere . Le for-m u l e non sono e n u n c i a t i ; ma è ovvio che un enuncia to s a r e b b e presto ottenuto solo r i scr ivendo ' .r è figlio cadetto ' con l 'avver-tenza di sos t i tu ire ' χ ' con pa ro le o f ras i c o m e ' egl i ', ' T o m ', ' i l V ica r io di Wakef ie ld ' . Q u e l l e e spress ioni de l le f o r m u l e , la cui sos t i tuzione con una paro la o una f r a se d a r e b b e luogo ad enuncia t i , sono c h i a m a t e l ibere v a r i a b i l i , o s e m p l i c e m e n t e varia-bi l i . P a r r e b b e ora che l ' a s serz ione genera le d i i m p l i c a n z a . non vaga , ili cui s i a m o in cerca po t rebbe venir f o r m u l a t a come segue ( A I 3 ) : qua l s i a s i a s serz ione fat ta m e d i a n t e l 'uso d i un enuncia to ottenibi le sos t i tuendo una certa pa ro l a o f ra se a l la va r i ab i l e nel la

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Genera l i t à . L 'u so del le f o r m u l e 39

f o r m u l a ' χ è figlio cadetto ' es ige q u a l u n q u e as serz ione fatta u s a n d o un enuncia to ottenibi le o p e r a n d o la stessa sostituzione del la v a r i a b i l e ne l l a fo rmula ' y ha un f ra te l lo ' . Se ciò lo abbre-v i a m o in

' .r è figlio cadetto ' e s ige ' χ ha un f ra te l lo '

ove la r ipe t iz ione di 4 χ ' indica che in c i a scun caso è r ichiesta la stessa sos t i tuzione, s e m b r a che ci s i s ia l iberat i non solo de l la vaghezza , ma a n c h e del la pesantezza di ΛΙ 2 .

AI 3, tut tavia , è hen lungi «lai r a p p r e s e n t a r e un per fez iona-mento r i spetto a AI 2; essa è infatt i ovv i amente f a l s a . I l mero fatto che lo stesso nome, p r o n o m e o f rase , descritt ivi del la stessa per sona s ingola venga usato in due d i f ferent i enuncia t i non è affatto ga ranz ia che in a m b e d u e s ia usa to con r i f e r imento a l la stessa p e r s o n a . Non è vero che un 'a s serz ione fa l la con le pa ro le ' T o m (o i l V ica r io di Wake f i e ld , o chi a l t r i ) e f ig l io c a d e t t o ' e^iga qua l s ivog l i a asserzione fatta con le p a r o l e ' T o m (o i l Vi-car io di W a k e f i e l d , o chi a l t r i ) ha un f r a t e l l o ' , g iacché le asser-zioni possono r i g u a r d a r e d iverse per sone c h i a m a t e T o m . o di-versi Vicar i di Wakef i e ld . Né un esp l ic i to avver t imento contro questa poss ib i l i t à f a rebbe al caso . C o n s i d e r i a m o i d u e enunciat i : ' T o m ha venl inovc anni d i e t à ' e ' T o m ha meno d i trent 'anni di età ' . Si s a r e b b e propens i a d i re , sul p r e s u p p o s t o che i l nome s ia usa to con r i f e r imento s e m p r e a l la s tessa per sona , che qual-siasi a s serz ione fatta usando i l p r i m o enunc ia to e s i ge rebbe qual-siasi a s serz ione fatta u s a n d o i l secondo . Ma se le asserzioni son fatte a d u e anni di distanza l 'una d a l l ' a l t r a ? In tal caso la p r i m a potrebb 'es sere vera e la seconda f a l s a .

I logici h a n n o trascurato , di sol i to , fatti c o m e quel lo che una stessa e spre s s ione può essere usata in d i f ferent i occas ioni con rife-r imento a di f ferent i indiv idui , che il m o m e n t o in cui un enun-ciato è p ronunz ia to può essere decis ivo p e r la veri tà o fa l s i tà «li ciò che dice . F.d è fac i le a vetlersi la r ag ione per cui s 'è tentati

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L o g i c a f o r m a l e

di i gnorare questi f a t t i : essi c o m p l i c a n o un liei po ' la f accenda . Ma è poss ib i le tenerne conto in un m o d o e b e non rinunzi a l l a s empl i f i caz ione clic viene de l l ' i gnorar l i , e tuttavia ne eviti l'er-rore. S u p p o n i a m o ebe q u a l c u n o facc ia un 'asserz ione med iante l 'enunciato ' T o m lia ventinove anni di età ' . Non s a r e b b e a l lora pos s ib i le clic, ins ieme, nel p r o n u n z i a r e ques t 'enuncia to egl i di-cesse qua lcosa di vero, e clic, se lo slesso ind iv iduo esa t tamente nella slessa s i tuaz ione e nel lo stesso contesto avesse pronunz ia to invece l ' e n u n c i a t o : ' T o m ha meno d i trent 'anni d i e t à ' , egl i avesse detto qua lcosa di fa l so . E s p r i m i a m o ques t ' a s sunz ione d'i-denti tà di pa r l an te , di t e m p o c di s i tuaz ione med iante la f ra se * lo stesso contesto ' . A l lora p o s s i a m o conf igurare le imp l i canze genera l i che d e s i d e r i a m o sul seguente m o d e l l o : qua l s i a s i asser-zione fatta u sando 1111 enuncia to ot tenibi le med iante la sostitu-zione di una certa pa ro l a o f rase a l la v a r i a b i l e nel la f o r m u l a ' χ ha vent inove anni d 'età " es ige l ' a s serz ione fatta u sando nello stesso contesto l ' enunciato ottenuto o p e r a n d o la stessa sost i tuzione nella f o r m u l a ' χ ha meno di trent 'anni d 'e tà '. E ciò lo po s s i amo a b b r e v i a r e in ' χ ha ventinove anni d 'e tà ' es ige ' χ ha meno di trent 'anni d 'età ' .

A lcune ul ter ior i modi f i caz ion i , d i i m p o r t a n z a re la t ivamente s ca r sa , sono al tres ì necessar ie . P e r e s e m p i o , la g r a m m a t i c a per-mette clic si d ica ' T o m ha vent inove anni d 'età ' , ' T o m è figlio cadetto '. ma non ' Io è figlio cadet to ', ' Ess i ha ventinove anni d 'età ' . N o n c 'è rag ione di to l lerare che questo fatto l imit i la genera l i tà de l la nostra i m p l i c a n z a . L ' a s se rz ione ( A I 4 ) con cui p o s s i a m o infine r i m p i a z z a r e AI 2 d o v r e b b e di conseguenza venir f o r m u l a t a a l l ' inc irca c o s i : q u a l u n q u e as serz ione fatta u sando un enunc ia to ot tenibi le med iante la sost i tuzione di una certa pa ro l a o f ra se a l la v a r i a b i l e nel la f o r m u l a ' χ è figlio cadetto ' ( c m e d i a n t e gli altri c a m b i a m e n t i clic po s san essere g rammat ica l -mente necessar i ) es ige l ' a s serz ione fatta u sando nello stesso con-testo l ' enuncia to ottenuto m e d i a n t e la stessa sost i tuzione nel la

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G e n e r a l i t à . L 'u so del le f o r m u l e 4 1

f o r m u l a ' χ ha un f r a t e l l o " (e m e d i a n t e gli a ltr i c a m b i a m e n t i che pos san essere g r a m m a t i c a l m e n t e n e c e s s a r i ) . L a f o r m a verba le

' χ è f iglio cadetto ' es ige ' χ ha un f ra te l lo '

deve venir cons idera ta come a b b r e v i a z i o n e di AI 4 ' . Ogni a s serz ione genera le di i m p l i c a n z a di questo genere ci

autor izza ad ottenere da essa un 'a s serz ione di i m p l i c a n z a meno genera le m e d i a n t e una sost i tuzione del la v a r i a b i l e . Cos i da AI 4

' P i ù avant i s a r à c o n v e n i e n t e u s a r e a n c h e l e s e g u e n t i a b b r e v i a z i o n i : le p a r o l e ' a s s e r z i o n e fa t ta usaut lo un e n u n c i a l o o t t e n i b i l e ine i l i ante la sost i tu-z i o n e d i u n a p a r o l a ( c e r t e p a r o l e ) o f ra se ( f r a s i ) a l l a v a r i a b i l e ( a l l e v a r i a b i l i ) ne l la f o r m u l a . . . e m e d i a n t e gl i a l t r i c a m b i a m e n t i che p o s s a n o e s se re g ram-m a t i c a l m e n t e n e c e s s a r i * a b b r e v i a t e in ' a s s e r z i o n e di f o r m a . . . ' ; e le p a r o l e ' l ' a s s e r z i o n e fa t ta u s a n d o ne l lo s te s so c o n t e s t o d e l l ' e n u n c i a t o o t t e n u t o me-d i a n t e l a s te s sa s o s t i t u z i o n e ( s o s t i t u z i o n i ) ne l l a f o r m u l a . . . e m e d i a n t e gl i a l t r i c a m b i a m e n t i cl ic po s sano e s sere g r a m m a t i c a l m e n t e neces sar i ' a b b r e v i a t e i n ' l a c o r r i s p o n d e n t e a s s e r z i o n e de l l a f o r m a . . . "

M e d i a n t e l ' u s o d i ques te a b b r e v i a z i o n i p o t r e m m o e s p r i m e r e ΛΙ 1 c o m e s e g u e : ogn i a s s e r z i o n e del lo f o r m a ' χ è f ig l io c a d e t t o ' e s i ge la c o r r i s p o n d e n t e a s s e r z i o n e d e l l a f o r m a ' .r ha un f r a te l lo

O c c o r r e r e b b e n o t a r e che q u a n d o c o n f i g u r i a m o l e n o s t r e i m p l i c a n z e gene-rali i n tal m o d o ( m e d i a n t e q u e s t ' u s o d e l l a f r a s e ' n e l l o s t e s so c o n t e s t o ' ) , non con q u e s t o r i u s c i a m o a s p e c i f i c a r e q u a l i a s s e r z i o n i c h e a p p l i c h i n o , p e r e s e m p i o , la f ra se ' ha un f r a t e l l o ' a q u a l c u n o ind ica to c o m e * T o m ' s o n o d e d u c i b i l i p e r i m p l i c a n z a da u n ' a s s e r z i o n e c h e a p p l i c h i la f ra se * è figlio c a d e t t o ' a q u a l c u n o ind ica to c o m e * T o m F o r n i a m o in tal caso u n a c o n d i z i o n e suf f ic iente , ma non nece s sa r i a , p e r c h é l ' i m p l i c a n z a regga . Data u n a q u a l u n q u e c o p p i a d i f ras i f ra l o r o nel r a p p o r t o che lega ' è f i g l i o c a d e t t o ' c o n ' h a u n f r a t e l l o ' , c e r t e v a r i a z i o n i ne l l a s i t u a z i o n e in cui le f ras i sono a p p l i c a t e a q u a l c o s a ( i n d i c a t a i n c i a scun coso m e d i a n t e l a s tessa e s p r e s s i o n e , p e r e s e m p i o ' T o m ' ) p o t r e b b e r o a n d a r e a s f a v o r e d e l l ' a s s e r z i o n e fatta u s a n d o la p r i m a c o m e e s i g e n t e l 'asser-z i o n e fa t ta u s a n d o l a s e c o n d a ; a l t r e v a r i a z i o n i non d e t e r m i n e r e b b e r o invece q u e s t ' i n c o n v e n i e n t e . P e r e s e m p i o , i l c a m b i a m e n t o d e l l ' i d e n t i t à d i chi p a r l a e un b r e v e las so d i t e m p o t ra scor so s p e s s o non c o s t i t u i r a n n o a l t e r a z i o n i ri le-vant i nel ' c o n t e s t o Ma d u b i t o c l ic s ia p o s s i b i l e d a r e un q u a d r o a s s i e m e g e n e r a l e e non-c i r co l a re de l l e c o n d i z i o n i s ia n e c e s s a r i e s i a suf f ic ient i p e r c h é u n ' i m p l i c a n z a del g e n e r e regga . L a f o r m u l a z i o n e t ra sce l ta d e s c r i v e , p e r c i ò , i l caso l i m i t e i d e a l e in cui tutte le v a r i a z i o n i del g e n e r e , c h e p o s s o n o r i u s c i r e r i l evant i , s i a n o e l i m i n a t e .

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Log ica f o r m a l e

o t ten iamo i l seguente AI 5 : ogni a s serz ione fatta u sando l 'enun-ciato ' T o m è figlio cadetto ' es ige l ' a s serz ione fat ta u sando , nel lo stesso contesto, l 'enunciato ' T o m lia un f ra te l lo ' . E ques t ' impl i -canza ancora genera le , ma meno genera le , può s imi lmente scri-versi nel la f o r m a a b b r e v i a t a :

' T o m è figlio eadetto ' e s ige ' T o m lia un frate l lo '.

4 . F i n qui noi a b b i a m o cons idera to le f o r m e verba l i

( 1 ) ' . e è figlio cadetto ' e s ige ' χ Ita un f ra te l lo ' ( 2 ) ' T o m è f i g l i o c a d e t t o * es ige ' T o m lia u n f r a t e l l o '

c o m e modi abbrev ia t i di f a re as serz ioni intorno ad asserzioni; ossia intorno ad asserzioni fatte u s a n d o degl i enunciat i citati nel la ( 2 ) o u sando di enunciat i ot tenibi l i m e d i a n t e sost i tuzioni o p e r a t e nel le f o r m u l e c i tate nel la ( 1 ). È ad asserzioni o g r u p p i di a s serz ioni , non a enunciat i o f o r m u l e , clic, come v e d e m m o , si a p p l i c a n o corre t tamente i termini di va lutaz ione l o g i c a ; non a b b i a m o dato nessun s ignif icato al p a r l a r e di enunciati, o formule, che s i e s igano l 'un l 'a l tro . Non c 'è . tut tavia , nessuna rag ione per cui non d o v r e m m o usare la pa ro l a ' es ige ', in un significato nuovo, sebbene collegato, per ( i ) que l l a re laz ione clic una for· mula ha con un 'a l t ra (p iando le as serz ioni fatte u sando enunciat i ot tenibi l i m e d i a n t e sost i tuzioni nel la p r i m a f o r m u l a e s igano le a s serz ioni fatte u sando , nel lo stesso contesto, enunciat i ottenuti con corr i spondent i sost i tuzioni nel la s e c o n d a ; e ( i i ) que l l a rela-z ione che un enuncia to ha con un al tro q u a n d o un 'a s serz ione fatta m e d i a n t e l 'uso del p r i m o es ige l ' a s serz ione fatta m e d i a n t e l 'uso, nel lo stesso contesto, del s econdo . In questo nuovo signifi-cato d c l l ' i m p l i c a n z a , s a r e m o in g r a d o d 'ora in poi di p a r l a r e d ' i m p l i c a n z e fra f o r m u l e o f ra e n u n c i a t i ; e le f o r m u l a z i o n i ( 1 ) e ( 2 ) non hanno più bisogno di es sere cons iderate c o m e abbre-v iaz ioni . Ne l lo stesso m o d o p o s s i a m o a t t r ibu i re s ignif icat i ana-

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loghi a l l e a l t re p a r o l e ili v a l u t a z i o n e log iea ( p . e . , ' l o g i c a m e n t e nece s sa r io ' , ' incongruente \ ecc.) . s i che a n c h e ques te p o s s a n o a p p l i c a r s i d i r e t t a m e n t e ad e s p r e s s i o n i , c o m e e n u n c i a t i e f o r m u l e . P e r m e t t e r e m o a n c h e l 'uso di e s p r e s s i o n i d i l e g a m e c o m e ' per-c iò ' e " s i c ché ' f ra f o r m u l e , di m o d o che t e r m i n i c o m e ' v a l i d o ' p o t r a n n o a p p l i c a r s i a c o m b i n a z i o n i di f o r m u l e . E c o m p i e n d o quest i u l t imi p a s s i , c i a s s i c u r i a m o i van tagg i d e l l e s empl i f i ca -zioni t ecn iche ottenibi l i c o n d u c e n d o la t r a t t az ione so lo in t e r m i n i d i rego le p e r e spre s s ion i r a p p r e s e n t a t i v e .

5 . S i sono introdotte e s p i e g a t e le f o r m u l e c o m e e spre s s ion i tal i che , s o s t i t u e n d o [taróle o f ra s i a l l e v a r i a b i l i , [ tos s iamo rica-v a r n e enunc ia t i suscet t ib i l i d i e s sere usat i p e r f a r e a s se rz ion i . C iò p o n e u n ' i m p l i c i t a re s t r iz ione n e l l ' a m b i t o d e l l e sos t i tuz ioni a m m i s s i b i l i d i v a r i a b i l i . S i p o t r e b b e r o m e t t e r e a s s i e m e l e p a r o l e in m o d o ta le c h e l ' e spres s ione r i su l t ante r i s p o n d e s s e a i requi s i t i g r a m m a t i c a l i d i un enunc ia to , ma non aves se a lcun s ign i f i ca to , e fos se [terció inut i l i zzab i l e p e r f a r e a s s e r z i o n i . No i p a r l e r e m o de l l a g a m m a de i valori a m m i s s i b i l i o pos s ib i l i de l l a v a r i a b i l e in una f o r m u l a , i n t e n d e n d o con c iò la g a m m a di e s p r e s s i o n i la cui sosti-tuz ione a l l a v a r i a b i l e p r o d u c e un e n u n c i a t o s i gn i f i cante . Cos i p o t r e m m o «lire e h e , mentre ' T o m ' è un p o s s i b i l e v a l o r e de l l a v a r i a b i l e ne l l a f o r m u l a * χ è figlio cade t to ', l ' e s p r e s s i o n e ' V 2 ' non lo e . Ma qu i d o b b i a m o s t a re attenti ad ev i t a re un f a c i l e d o g m a t i s m o che ignora l a f less ib i l i tà del l i n g u a g g i o . N o n es i s tono regole p r e c i s e che d e t e r m i n i n o , per il linguaggio ordinario, c h e cosa s ia n o n s e n s o e che cosa non lo s i a . V e d e m m o , nel t ra t tare l ' i n c o n g r u e n z a , c o m e non i n n a t u r a l m e n t e s i possa c o n f e r i r e s igni-f icato ad enunc ia t i che a p r i m a vista s a r e m m o p r o p e n s i a consi-d e r a r e c o m e incongruent i . ( S i noti c h e q u i u so i l t e r m i n e ' incon-gruente " [ter enunc ia t i , in a c c o r d o con il p r o c e d i m e n t o teste d i s c u s s o ) . Lo s tesso p u ò «lirsi del d ive r so genere «li a s s u r d i t à a p r i m a v i s ta , che vengo ora a eons i t l e ra re . Q u a l c u n o p o t r e b b e

5

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ί ι ί ! L o g i c a f o r m a l e

«lire, per e s e m p i o , ' I l mi i l t i l a tera l i smo è f igl io c a d e t t o ' ; e se egli fosse p r e p a r a t o a cont inuare l ' ana log i a in m o d o o p p o r t u n o , noi p o t r e m m o dire che «piesto non era un 'a s surd i tà , ma una meta fo ra . V e d r e m o c o m e una de l le cose che contraddi s t inguono l 'attività del logico f o r m a l e da «piella de l la va lutaz ione logica del d i scorso o r d i n a r i o è p r o p r i o il fatto che i suoi s istemi sono carat-terizzati da una r igidità c prec i s ione di regole clic non trova cor-r i spondenza nel d i scorso o r d i n a r i o . N e l l ' a m b i t o del s i s tema di regole «li un logico, le «juestioni re lat ive a l l ' incongruenza o meno ili una f o r m u l a o «li un enuncia to , e a l l ' a p p a r t e n e n z a di un'espres-s ione a l la g a m m a dei va lor i poss ib i l i de l l a va r i ab i l e in una «lata f o r m u l a , sono r i so lvibi l i in m o d o ben definito col r icorso a l le regole . La logica r i ccamente var ia del nostro l inguagg io quoti-d i a n o non presenta certo una s i f fat ta bel la s empl i c i t à .

6 . V e d e m m o ne l l 'u l t imo cap i to lo che ad ogni as serz ione di i m p l i c a n z a corr i spont levano ( i ) un 'a s serz ione a f f e r m a n t e clic q u a l c h e as serz ione congiunt iva e incongruente , e ( i i ) un'asser-z ione a f f e r m a n t e che la contraihl i t tor ia «li ta le a s serz ione congiun-tiva e log icamente neces sar ia . Noi ora d o b b i a m o t ras fer i re tal i c o r r i s p o n d e n z e al d i scorso re lat ivo ad enunciat i e fo rmule . La contraddi t tor ia di una «lata f o r m u l a . F. s a rà ovviamente una for-mula ta le che un 'a s serz ione «li que l l a f o r m a sia la contraddi t tor ia de l l a corr i spondente as serz ione «li f o r m a F . Adot te remo sempl ice-mente la convenzione clic l ' e spres s ione ottenuta scr ivendo ' non ' , o in pos iz ione o p p o r t u n a dentro ad F, o con una sbarret ta «lavanti ad F, con F chiusa in parentes i , d e b b a cons iderars i la f o r m u l a contraddi t tor ia d i F . A n a l o g a m e n t e , a d o t t e r e m o la convenzione che l ' e spres s ione c h e si ott iene scr ivendo ' e ' fra d u e f o r m u l e è la f o r m u l a congiunt iva di ques te due f o r m u l e ' . In tal m o d o , in i 'orr i spondenza di

1 Q u e s t e convenz ion i s o n o p a r a l l e l e a «piel le u s a t e nel c a p i t o l o p r e c e d e n t e . ( ( . f r . p p . 28 e 31 ) . Ma . a n c h e se p a r a l l e l e , tal i c o n v e n z i o n i non s o n o le s te s se .

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Genera l i t à . L 'us i » de l le f o r m u l e 45

( 1 ) ' χ è figlio cadetto ' es ige ' χ ha un f ra te l lo '

a b b i a m o

( 3 ) ' .r è figlio cadetto e χ non ha un f r a t e l l o ' è incon-gruente

e ( 4 ) ' n o n - ( x è figlio cadetto e χ non ha un f r a t e l l o ) ' è log icamente necessar io .

C o m e l a ( 1 ) , cosi anche l a ( 3 ) e l a ( 4 ) pos sono venir conside-rate in due m o d i divers i . Per e s e m p i o , p o s s i a m o cons iderare la ( 3 ) s ia c o m e una forma verba le a b b r e v i a t a [ter f a re l ' a s serz ione che ogni a s serz ione fatta con l 'uso di un enuncia to ottenibi le m e d i a n t e la sost i tuzione di un va lore pos s ib i l e de l la v a r i a b i l e ad ' χ ' nel la formula ' .t è figlio cadetto e .f non ha un f r a t e l l o ' è i n c o n g r u e n t e ; o p p u r e , con l ' a p p r o p r i a t a rettifica del s ignif icato di ' incongruente ' , pos s i amo c o n s i d e r a r e quest 'agget t ivo come ap-pl ica lo d i re t tamente a l la f o r m u l a s tessa . Inf ine, in t roduc iamo i l s i m b o l o k Z) ' , a b b r e v i a n d o l a ( 4 ) i n :

( 5 ) è figlio cadetto ζ> χ ha un f r a t e l l o " è log icamente necessar io .

L e f o r m e verba l i ( 1 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) non sono esse stesse f o r m u l e , ma enunciati usal i per fare a s serz ioni intorno a formule. E, p ropr io c o m e ot tenemmo l a ( 2 ) d a l l a ( 1 ) , cosi p o s s i a m o deri-vare tanto d a l l a ( 3 ) elle da l l a ( 4 ) o d a l l a ( 5 ) u l ter ior i enunciati

Nel c a p i t o l o I la c o n v e n z i o n e e r a che ' non ', ' e * e 4 3 ' f o s s e r o da u s a r s i c o m e a h h r e v i a z i o n i p e r voci r i cor rent i nel v o c a b o l a r i o d ' o r d i n e s u p e r i o r e del log ico ( p .c . . ' c o n t r a d d i t t o r i o di ' . e c c . ) , m e n t r e q u i la c o n v e n z i o n e e c h e ' non ' >•>1 ' e ' c o m p a r i r a n n o c o m e p a r o l e ne l l e f o r m u l e d i p r i m o o r d i n e , p r o v v i s t e tut tav ia ili u n a ben def ini ta forza l o g i c a . A n a l o g a m e n t e , i l s i m b o l o ' 3 ' , g i à p r i m a i n t r o d o t t o , s a rà ora u sa to c o m e s i m b o l o c h e p u ò r i c o r r e r e i n f o r m u l e d ' e n u n c i a t i ili p r i m o o n l i n e , e non ( c o m e nel c a p i t o l o I ) c o m e u n ' a b b r e v i a -z ione p e r l a f r a s e d ' o r d i n e s u p e r i o r e ' i l c o n t r a d d i t t o r i o de l l a c o n g i u n z i o n e d i , ecc . ' .

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ί ι ί ! Log ica f o r m a l e

usati per f a re asserzioni intorno ad enunciati. ( S i noti che io (jui a p p l i c o la p a r o l a ' de r iva re ' ad enuncia t i , per ana log ia con l ' a p p l i c a z i o n e del la p a r o l a ' e s igere ' , ' incongruente ' , ecc. , ad enuncia t i e f o r m u l e ) . Cos i d a l l a ( 5 ) d e r i v i a m o :

( 6 ) ' E g l i è figlio cadetto Z3 egli ha un f r a t e l l o " è logica-mente necessar io .

O g n i q u a l v o l t a , da una regola re lat iva a una f o r m u l a , d e r i v i a m o per sost i tuzione del le v a r i a b i l i , una regola intorno ad 1111 enun-ciato o intorno ad un 'a l t ra f o r m u l a , d o b b i a m o osservare la regola genera l e ( i m p l i c i t a in queste s p i e g a z i o n i ) che la stessa sostitu-z ione deve esser fatta ogn iqua lvo l t a r icorra una data v a r i a b i l e ( p e r e s e m p i o ' . v ' ) . L ' i m p o r t a n z a del fatto clic s i usi l a stessa lettera c o m e var i ab i l e sta a p p u n t o in c iò . Q u a n d o s i ano ammiss i -bil i sost i tuzioni d i f ferent i , vengono usate lettere d i f ferent i .

7 . Occorre ora d i r qua lcosa intorno a questo s i m b o l o ' 3 ' ,

a l l ' i m p o r t a n z a del suo uso in log ica , ed a l le sue poss ib i l i catt ive interpretaz ioni ' . In precedenza si è d i scusso de l le asserzioni ne-ces sar ie e del moilo in cui dovevano essere interpretate , e de l la loro funz ione . C o m e e s e m p i o d i enuncia to i m p i e g a b i l e per f a re un 'a s serz ione del genere d e m m o i l s e g u e n t e : ' E g l i non è a l to , ins ieme, p iù c meno di sei p i ed i ' . La f o r m u l a z i o n e corr i spon-dente r i spetto a l nostro e s e m p i o presente s a r e b b e f o r s e : ' N o n è il ca so clic egli s i a . ins ieme, figlio cadetto e non a b b i a un f ra te l lo ' . S i tratta di un enuncia to i n s o p p o r t a b i l m e n t e gof fo , che s a r e m m o e s t remamente poco propens i ad usare ove vo les s imo f a re un 'a s se rz ione necessar ia . Enuncia t i a l ternat iv i che potremmo usare sono que l l i sul t ipo dei s e g u e n t i : ' S e egli è f ig l io cadetto , a l lora ha un f r a t e l l o ' , 'O egli non è f igl io cadetto o ha un fra-

1 C f r . a n c h o i e a p i t o l i ITI e d V I I I p e r l ina p i l i p i e n a t r a t t a z i o n e d i q u e s t o a r g o m e n t o .

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Genera l i t à . L 'us i » del le f o r m u l e 47

lel lo \ 4 Eg l i non può essere figlio cadet to senza avere un fra-tello \ V e d e m m o che non si pos sono in terpre tare tal i enunciat i come e spr iment i una q u a l u n q u e cosa , serventi ad un q u a l u n q u e scopo , se non l i cons ider i amo usat i , a l l a stessa s tregua degli enun-ciati logici di secondo ord ine , p e r r a m m e n t a r e o c o m u n i c a r e al nostro ud i tor io fatti logici , e le regole l ingui s t i che che s tanno die-tro a tali fatt i . Cioè, d o b b i a m o c o n s i d e r a r e tali enunciat i c o m e equiva lent i non sempl i cemente a que l lo r ipor ta to nella ( 6 ) , ma piuttosto a l la ( 6 ) presa nel suo c o m p l e s s o . I l g r u p p o di congiun-zioni o quas i-congiunzioni ' Se . . . a l lora . . . ' , ' non . . . senza . . . ', ' o non . . . o . . .' che in tali enuncia t i forn i scono l ' in te la ia tura ove co l locare le espress ioni * egli è figlio cadetto ' e 1 egli ha un fratel lo ' , non può perc iò essere corre t t amente identif icato (pianto a s igni f icato , con i l s imbo lo ' r i ' , c h e forn i sce l ' inte la ia tura p e r le stesse espress ioni nel l 'enunciato r ipor ta ta nel la ( 6 ) . L e o r d i n a r i e cong iunz ion i incorporano , nel loro pre sente contesto, la nozione di necess i tà logica la (piale è invece e s p r e s s a m e n t e f o r m u l a t a nella ( 6 ) , a l di fuor i de l l ' enuncia to r ipor ta to , e che di conseguenza non p u ò cons iderars i incorpora ta in Ove si trascuri questo

fatto, c 'è una forte tentazione a d ident i f i care * . . . z > . . . ' con " se . . . a l l o ra . . . ', l 'unica de l le f ras i in ques t ione che cost i tuisca una cong iunz ione unitar ia , l 'unica che non inc luda " non Es i s tono altri fa t tor i clic aumentano la tentaz ione di a r r ivare a c iò , e ne a g g r a v a n o le conseguenze. L ' enune ia to ( 6 ) è un non maschera to enuncia to di secondo ord ine . Gl i equ iva lent i enunciat i d 'uso o rd inar io sono enunciat i di s econdo ord ine maschera t i . Ma vi sono altr i enunciat i o rd inar i che a d o p e r a n o le espress ioni ' s e • . . a l lo ra . . . * o . . . o . . . \ ' non . . . senza . . . * e che sono enuncia t i d i p r imo ord ine , c ioè sono usati per f a re asser-zioni di un certo genere circa cose c h e non sono enunciat i o a s serz ioni , c o m e q u a n d o d i c i a m o 1 Se p iove , a l l o ra la r iunione sarà un fa l l imento ' . Ques t i enuncia t i r i c h i a m a n o conness ioni d altra natura che logica o l i n g u i s t i c a ; conness ioni fra di f ferenti

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ίιί! L o g i c a f o r m a l e

cose esistenti nel inondo, scoper te m e d i a n t e l ' e sper ienza di queste cose. L 'es i s tenza di questi enuncia l i può incoraggiarc i a pensare clic anche enunciat i c o m e ' S e egli è f ig l io cadetto , a l lora ha un f ra te l lo ' s i ano enunciat i di p r i m o ord ine . E ciò a sua volta p u ò tentarci in una del le d u e d i rez ioni seguent i , che sono e g u a l m e n t e er ronee . La p r i m a è que l l a c h e ho già commenta to e che con-siste nel p e n s a r e che gli enuncia t i anal i t ic i sugger i scano o regi-s tr ino conness ioni di un genere par t i co l a re fra cose diverse esi-stenti nel m o n d o , ossia forn i scano assai a t tendibi l i in formaz ion i di t ipo non l inguist ico. La seconda consiste invece nel farci con-s i d e r a r e 4 Se egli è f iglio cadet to , a l l o ra ha un f r a t e l l o " come identico p e r s igni f icato a l l ' enunc ia lo r ipor ta to nella ( 6 ) . c ioè con ' ligli è figlio cadetto r> egli ha un f ra te l lo ', donde può ancora venirci la tentazione di p e n s a r e che '. . . Z) . . . ' s ia identico per s igni f icato a ' se . . . a l lo ra . . . ' Q u e s t o è dec i s amente er ra to . S e b b e n e le e spres s ioni ' se . . . a l lo ra . . . ', ' o non . . . o . . . ', ' non . . . senza . . . ' a b b i a n o genuini usi di p r i m o ord ine , c 'è una certa ana log ia fra i più comuni fra quest i usi di p r i m o ord ine ed i loro usi maschera t i ili s econdo ord ine . È p r e c i s a m e n t e questa ana log ia che rende na tura le tale d o p p i o im-piego e rende fuorv iente l a loro ident i f icaz ione con " D \ anche nei loro usi g e n u i n a m e n t e d i p r i m o ord ine . P o s s i a m o c h i a r i r e tale ana log i a nel m o d o che segue . Q u a n d o un 'as serz ione es ige un 'a l t ra e noi s a p p i a m o o c r e d i a m o che la p r i m a as serz ione s ia vera , p o s s i a m o d i re qua lcosa che a b b i a la f o rma " p . d u n q u e q . ( L e va r i ab i l i ' ρ ' e ' q ' in ques ta f o r m u l a hanno, c o m e loro g a m m a di valor i pos s ib i l i , clausole, c ioè e spres s ioni che , o cosi c o m e sono o con q u a l c h e modi f i caz ione del m o d o del verbo , p o t r e b b e r o essere usa te per f a re de l le a s serz ioni . P o s s i a m o chia-m a r l e " a s s e r z i o n i - v a r i a b i l i " ) . La p a r o l a ' d u n q u e ' è uno dei te rmini di l e g a m e dei qua l i a b b i a m o già tratta lo . E , in questo contesto, e s p r i m e la pretesa che i l pa s sagg io nel r ag ionamento

s ia un pa s sagg io va l ido . Ma non tul io i l r ag ionamento è ragiona-

/

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4 9

m e n t o d e d u t t i v o . O p e r i a m o s p e s s o de i p a s s a g g i d a u n ' a s s e r z i o n e ad u n ' a l t r a , n e l l ' a r g o m e n t a z i o n e o n e l l ' i n f e r e n z a , p u r senza che il p r i m o e n u n c i a t o es iga il s e c o n d o , e tut tav ia il p a s s a g g i o è per-f e t t amente corret to e r a g i o n e v o l e , l 'u so de l l e p a r o l e d i l e g a m e p e r f e t t a m e n t e g iu s t i f i ca to : p e r e s e m p i o , ' E g l i h a v i a g g i a t o p e r sette ore , d u n q u e sarà s t anco ' , ' La p e n t o l a è sul f u o c o da d iec i m i n u t i , d u n q u e deve b o l l i r e s u b i t o ' . La p a r o l a 1 d u n q u e ' d i c h i a r a c h e s i è f a l lo un p a s s a g g i o corre t to nel r a g i o n a m e n t o ; ma non s e m p r e d i c h i a r a che q u e l l o che si è fa t to e »in p a s s a g g i o dedut-t ivo. In quest i e s empi i p a s s a g g i s o n o g iust i f icat i non da rego le l ingu i s t i che , ma da l m o d o in cui a b i t u a l m e n t e v a n n o le cose nel m o n d o . Le conness ioni che v i s o n o invo l te non s o n o connes s ion i l og i che , ma c a u s a l i . D i c i a m o a l l o r a c l ic , q u a n d o i l p a s s a g g i o da u n ' a s s e r z i o n e ad un ' a l t r a r i s u l t e r e b b e , ove e f fe t tua to , un pas-s a g g i o corre t to in r a g i o n a m e n t i o dell'uno o dell'altro di questi generi, che il p r i m o e n u n c i a t o è un fondamento p e r il s e c o n d o . C ' è s i m i g l i a n z a e c'è d i f f e r e n z a f r a le c i r c o s t a n z e t i p i c h e in cui noi d i c i a m o q u a l c o s a de l l a f o r m a * p, d u n q u e q ' e le c i r cos tanze t i p i c h e in cui d i c i a m o q u a l c o s a d e l l a f o r m a ' s e p . a l l o r a q \ Se u n ' a s s e r z i o n e è un f o n d a m e n t o p e r u n ' a l t r a , e noi c r e d i a m o che l a p r i m a a s serz ione s ia v e r a , s i a m o giust i f icat i nel d i r e q u a l c o s a de l l a f o r m a ' p, d u n q u e q ' ; se un e n u n c i a t o è fonda-mento p e r un al tro, e s i a m o incert i se i l p r i m o e n u n c i a t o s i a vero o m e n o , o c r e d i a m o che s ia f a l s o , s i a m o giust i f icat i nel «lire q u a l c o s a de l l a f o r m a ' s e p , a l l o r a q \ N a t u r a l m e n t e , quest i non s o n o gli unici usi d i ' d u n q u e ' e d i ' s e ' . Nel d i r e " T u mi ba i d i s o b b e d i t o , d u n q u e t i p u n i r ò ' , non sto f a c e n d o un rag iona-mento , p e r q u a n t o dia una ragione d e l l a m i a p r e a n n u n c i a t a in-tenz ione . E il c o r r i s p o n d e n t e a v v e r t i m e n t o ' Se mi d i s o b b e d i s c i , t i p u n i r ò 1 ind ica che l a d i s o b b e d i e n z a s a r à c o n s i d e r a t a c o m e un f o n d a m e n t o ( u n a r a g i o n e ) p e r p u n i r e . Cos i ques t 'u so è a l l ' in-grosso a n a l o g o agl i a l t r i . V i sono a l t r i us i a n c o r a d i ' s e ' , nei q u a l i l ' a n a l o g i a s i a t tenua o svan i sce . Ma in g e n e r a l e i l s u o

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ίιί! Logica f o r m a l e

i m p i e g o nel legare due c l auso le indica che un 'as serz ione fatta m e d i a n t e l 'uso del la p r i m a cos t i tu i rebbe un fondamento o una r ag ione per un 'a s serz ione fatta m e d i a n t e l 'uso del la s econda . Ecco pe rché , nel suo uso m a s c h e r a t o di second 'ord ine , dove i l f o n d a m e n t o è sol tanto di na tura log ica , esso non fa so l tanto il l avoro fatto da 'z>* bensì i l l avoro fatto da 'z>" in c o m b i n a z i o n e con l a f r a se " è a n a l i t i c o ' ( o ' è l og i camente n e c e s s a r i o ' ) .

In un enunciato del genere de l l a ( 6 ) . le frasi e sp l i c i t amente di secondo ord ine sono essenzia l i a l f ine di far c a p i r e c h e c 'è un f o n d a m e n t o di conness ione . I l so lo uso che p o t r e m m o fare d i * r > ' per se stesso nel legare d u e enuncia t i , s a r e b b e sempl ice-mente di negare l ' a s serz ione r i sul tante da l l a cong iunz ione del p r i m o enuncia to con i l contradd i t tor io del s econdo . Cosi , se qual-cuno dicesse * G iovanni era là, e P ietro non era là ' , noi potrem-mo negare c iò s e m p l i c e m e n t e p e r c h é Giovanni non era là . o s e m p l i c e m e n t e perché Pietro era là . senza per i l momento pen-sare che l 'essere là ili G iovanni s a r e b b e una rag ione per aspet-tarsi c h e anche Pietro fosse là . N a t u r a l m e n t e , se foss imo convinti che c 'ero questa conness ione , s a r e m m o propens i a negare l 'asser-zione che Giovanni era là e P ietro non era là, anche in assenza di q u a l s i a s i i n f o r m a z i o n e d 'a l t ra fonte circa l 'assenza di Gio-vanni o la presenza di P ietro . P o t r e m m o negare l ' a s serz ione con-giunt iva per una q u a l u n q u e di ques te rag ioni . L 'enuncia to ' Gio-vanni era là 3 Pietro era là ' , se fosse usato , avrebbe sempl ice-mente la forza di un mero d in iego de l l ' a s serz ione congiunt iva , senza indicaz ione a lcuna de l la rag ione del d in iego , e cer tamente senza sugger i re in alcun m o d o che la rag ione ne s ia che l 'esser là di Giovanni s a r e b b e un f o n d a m e n t o per aspet tars i che a n c h e Pietro s ia là . Ora è 1111 fatto che nel l inguagg io c o m u n e non esiste una s ingola congiunzione , ed è da dub i ta r s i che esista una com-binazione di e spres s ioni , ehe asso lva in m o d o congruente p r o p r i o questo c o m p i t o e niente di p iù . Ecco perché la so luz ione m i g l i o r e è di p a r a f r a s a r e la f o r m u l a ' ρ 3 q ' con In f o r m u l a , da l l ' a spe t to

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Genera l i tà . L'usi» de l le f o r m u l e 51

assai inna tura l e , ' non si dà in s i eme elie ρ e che tion-g o p p u r e ' non- (p e n o n - g ) ' ; e di s cong iura re le sue p iù attraenti identifi-caz ioni con ' s e p, a l lora q ' , 'o n«n-/i, o q ", ' n o n - ( p senza q) ' e cosi v i a . Pers ino ( ¡uando u s i a m o la f o r m a ' non ins ieme . . . e non . . . ' nel l inguaggio o r d i n a r i o , c o m u n e m e n t e in tend iamo più di quel che ' D 1 non c o m p o r t i ; ma que l che è in pili è nor-m a l m e n t e indicato da l l 'uso di e spres s ion i come ' non può in-s i eme . . . ' o p p u r e ' ce r tamente '. P o s s i a m o r i a s sumere tutta la ques t ione d i c e n d o : il s i m b o l o di p r i m o o n l i n e ' 3 ' non ha in prat ica pres soché nessun uso senza l ' agg iunta de l le espress ioni di s e c o n d ' o r d i n e ' è anal i t ico ' o ' è log icamente n e c e s s a r i o " ; seb-bene queste u l t ime possano non esser e f fe t t ivamente pronunzia te , 0 scritte , ma so lamente sott intese .

8. Si po t rebbe essere indotti a c h i e d e r e : g iacché il s i m b o l o ' ' è t a lmente suscett ibi le d ' in terpre taz ion i fuorv ient i , e g i acché lo s c o p o di r iunire a mezzo suo d u e f o r m u l e e di d i c h i a r a r e anal i-tica la f o r m u l a risultante, p u ò esser consegui to a l trettanto bene d i c h i a r a n d o che la p r ima f o r m u l a es ige la s e c o n d a , clic vantagg io si ha ad introdur lo nella l o g i c a ? B e n e , ci sono diversi vantagg i , i l

1 » i 11 i m p o r t a n t e dei qual i non verrà in luce che più tard i . Ma posso ind icare fin d 'ora a lcune cara t ter i s t iche di ' o " che ne mos t rano la convenienza . S u p p o n i a m o che i l logico consideri suo c o m p i t o que l lo di s tendere tutte le regole genera l i a l l e qua l i c i a p p e l l i a m o nel f a re va lutaz ioni log iche . Vi sono d iverse vie per le qua l i po t rebbe pervenirv i . Egl i p o t r e b b e scr ivere tutte le as serz ioni genera l i di impl i canza che r iusc isse a p e n s a r e , o p p u r e tutte le f o r m u l e necessar ie (o a n a l i t i c h e ) , agg iungendovi l 'os servazione genera le che s i tratta di sole f o r m u l e ana l i t i che , o p p u r e ancora tutte le f o r m u l e incongruenti , a c c o m p a g n a n d o l e con l 'osservazione genera le che s i tratta e sc lus ivamente di f o r m u l e auto-contrad-dit tor ie . C 'è una resistenza ps ico log ica a metters i per questa terza v ia , in conness ione con l ' ab i tud ine che a b b i a m o a c h i a m a r e vere

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ί ι ί ! Log ica f o r m a l e

le asserz ioni ana l i t i che , e fa l se que l l e auto-contraddi t tor ie . Ci sem-bra che il logico d o v r e b b e dirc i que l lo cl ic è giusto e non que l lo clic è e r ra lo , per quanto , in ques to c a m p o , egli non p o t r e b b e fa r l ' ima cosa senza f a re a n c h e l ' a l t ra . C 'è una certa convenienza a sceg l iere la seconda via p iut tosto clic la p r i m a . Essa ci p e r m e i l e di scendere di un ord ine pili in basso , di scr ivere c ioè sol tanto f o r m u l e di p r i m o ord ine . Invece di una ser ie di p ropos i z ion i del genere di

' χ è figlio cadetto " es ige ' .r ha un fratel lo '

noi a v r e m m o una serie di propos iz ioni del genere di

χ è figlio cadetto 3 χ lia un frate l lo .

Al posto del le virgolette invertite e de l l a e spres s ione di secondo o r d i n e ' e s i g e ' met t i amo l 'o s servaz ione genera le clie s t i amo scri-vendo sol tanto f o r m u l e ana l i t i che . E il metodo riesce conveniente a n c h e per un altro aspet to . Q u a n d o i logici si interessavano in m o d o più esclus ivo di (pici clic non facciali ora de l la va l id i tà di certi t ipi f ami l i a r i di in ferenza o di a rgomentaz ione , essi spes so usavano il metodo di scr ivere f o r m u l e d ' a r g o m e n t a z i o n e va l ide , o schemi di inferenza , a c c o m p a g n a n d o v i l 'os servazione genera le de l la na tura di ciò che f acevano . Essi c ioè scr ivevano f o r m u l e di p r i m o ord ine incorporandov i termini di l egame come ' d u n q u e ' e * perc iò '. Già si è notato a suff ic ienza che non ogni caso in cui p o t r e m m o corre t tamente d i c h i a r a r e anal i t ico i l r isultato del l e g a r e due f o r m u l e con 3 ', è un caso in cui c o n s i d e r e r e m m o il pas-sagg io da una p r o p o s i z i o n e e sempl i f i cante la p r i m a f o r m u l a ad una p r o p o s i z i o n e e sempl i f i cante l a seconda come un ' in ferenza . Lo p o t r e m m o spesso c h i a m a r e una r i f o r m u l a z i o n e , o una r ipet iz ione con qua lcosa d i t r a l a s c i a t o : o p p u r e pensare ehe non c 'era af fat to rag ione di far lo . Ma se i l p a s s a g g i o lo c o n s i d e r i a m o un eserc iz io menta le suff ic ientemente a rduo perché possa c h i a m a r s i in ferenza , p o s s i a m o s e m p r e ottenere uno s c h e m a va l ido (li inferenza di

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F o r m a 53

p r i m o o n l i n e da l la f o r m u l a ana l i t i ca ili p r i m o o n l i n e col sem-plice sost i tuire il ' z) ' con un ' perc iò \ Cos i in cor r i spondenza de l l ' e spre s s ione di p r imo ord ine

χ è figlio cadetto zd χ lia un fratel lo

(piale f o r m u l a anal i t ica , a b b i a m o l ' e spres s ione d i p r i m o ord ine

χ e figlio cadet to , perc iò χ ha un f ra te l lo

c o m e va l ido schema di in ferenza .

I I .

Forma

9. È t e m p o di discutere il s econdo fat tore clic l imita il com-pi lo del log ico fo rmale . R e n d e r e c h i a r o questo fat tore e q u i v a l e a c h i a r i r e l 'aggettivo qua l i f i cante ' f o r m a l e ' . S u p p o n e m m o testé che i l logico cons iderasse suo c o m p i t o que l lo di s tendere tutte le regole genera l i impl ic i te in tutte le va lutaz ioni logiche. Ma vi sono tanti modi diversi di essere incongruente , tanti modi divers i di e f fe t tuare passaggi va l id i e inval id i ne l l ' a rgomentaz ione , tanti modi corrett i e scorretti di p re tendere di d ire qua lcosa in a l t re paro le . A b b i a m o visto che ogni de f in iz ione porta a equ iva l enze e i m p l i c a n z e general i e che per quas i ogni predicato ci sono pre-dicati con esso incompat ib i l i . L ' a s s e r z i o n e che la f o r m u l a ' χ è f iglio cadetto z> χ ha un f ra te l lo ' è ana l i t i ca , è da cons iderar s i c o m e un p r i n c i p i o di l o g i c a ? O talc è da cons iderar s i l ' a s serz ione che ' χ è sposa to ' è incongruente con ' χ è s capo lo '? se cosi fosse , i l l ibro che fornisse i p r i n c i p i di logica s a r e b b e p i ù lungo di q u a l s i a s i d i z ionar io .

Ma il logico non è un le s s i cogra fo . Egl i non ha da inc ludere nei suoi l ibri le impl icanze genera l i c reate da ogni introduzione di un te rmine tecnico nel l inguagg io . Q u e s t o è c o m p i t o del lo spe-

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ί ι ί ! Log ica f o r m a l e

« • ¡a l i s ta : il c o m p i t o «li c h i a r i r e i s ignif icat i «Ielle paro le clic sono pecul iar i del la sua spec i a l e m a t e r i a . L ' interesse del log ico è pili a m p i o . Egl i si occupa di t ipi di incongruenza , di tipi di va l id i t à e inva l id i tà , i qua l i non sono confinati a l l a trattazione di un qual-siasi genere di pa r t i co l a re m a t e r i a , ina s i possono r i scontrare pre-senti nella t ra t taz ione di a rgoment i d i c h i a r a t a m e n t e e terogenei . Cos i le i m p l i c a n z e di pa ro le c o m e 4 sposa to ' e 4 s c a p o l o '. le qua l i c h i a r a m e n t e denunc iano «li dover essere impiega te l imi t a t amente nlla t rat taz ione di una mater i a di genere par t i co lare , non figure-ranno, come tali , nel la sua l ista . La sorta di regole che potete at tendervi di t rovare qui sono rego le cos i f fat te che i l s a p e r e che una q u a l u n q u e di esse «': s tata osservata o infranta in un certo tratto di d i scorso non ci fornisce nessun indizio circa l ' a rgomento del tratto m e d e s i m o . P o s s i a m o e s p r i m e r e «picsto. forse con un po ' p iù di prec i s ione , in termini «li i m p l i c a n z e , al m o d o s e g u e n t e : ogn iqua lvo l t a u n ' i m p l i c a n z a può essere cons idera la c o m e a p p a r -tenente ad una c lasse di i m p l i c a n z e tale che la sua descr iz ione non fornisca indicaz ione a lcuna c irca la mater i a «Ielle as serz ioni in ques t ione , a l l o ra la f o r m u l a z i o n e di una regida genera le per le i m p l i c a n z e di «pieila c lasse , o ( o v e questa f o r m u l a z i o n e r iesca dif-f ic i le per una rag ione q u a l s i a s i ) la descr iz ione genera le de l la c lasse , possono essere cons idera te c o m e eserciz io «li logica f o r m a l e . M a , na tura lmente , anche entro una s fera di attività cosi circo-scr i t ta . i l logico f o r m a l e può o p e r a r e ( e d o p e r a ) un 'u l ter iore sele-zione, e può impors i (e s i i m p o n e ) ul ter ior i obb l i gh i .

N o n è diff ici le s copr i r e degl i e s e m p i di p r inc ip i di «[uesto t ipo a s so lu tamente genera le . P o s s i a m o enunc iare in m o d o af fa t to genera le i l p r inc ip io che ogni a s serz ione «pials ivoglia su «pialsi-vogl ia oggetto c incongruente con la negaz ione «Iella stessa asser-z ione. E po s s i amo enunc ia re in m o d o af fat to genera le che ogni as-serz ione ehe sostenga che tutti i m e m b r i di una certa c la s se sono m e m b r i di una seconda c lasse , in congiunz ione con l ' a s serz ione che a f f e r m i I a p p a r t e n e n z a di u n a q u a l c h e cosa par t i co l a re a l l a

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p r i m a c la s se c o m e suo m e m b r o , e s i ge l ' a s s e r z i o n e che q u e l l a cosa è un m e m b r o de l l a seconda c l a s se . D o b b i a m o nota re d iver s i punt i a p r o p o s i t o de l l e a s serz ioni g e n e r a l i di ques to genere . I l p r i m o è c h e r i s p o n d o n o a l la c o n d i z i o n e d i indilTerenza a l l a m a t e r i a trat-ta ta . I l s e c o n d o è che esse c o m e tal i s o n o a s serz ion i a n a l i t i c h e di s e c o n d o o r d i n e , e che d ie t ro ad esse , in «pianto co s i f o r m u l a t e , s t anno le rego le l ingui s t i che p e r eerte e spre s s ion i c h e v i com-p a i o n o , c o m e ( n e l caso de l l a p r i m a ) ' a s s e r z i o n e ' , 1 i n c o n g r u e n t e ' , ' n e g a z i o n e ' . I l terzo c h e esse p r e s e n t a n o la cara t te r i s t i ca che g ià a b b i a m o notata nel le a s se rz ion i l o g i c h e in q u a n t o d i s t inte «la «[uelle d i c h i a r a t a m e n t e l i n g u i s t i c h e : c ioè , esse non r i g u a r d a n o d i r e t t a m e n t e l e e spres s ion i d i un q u a l u n q u e l i n g u a g g i o par t ico-la re . ma si a p p l i c a n o iml i lTerentemente a tutte le a s se rz ion i «lei gener i descr i t t i , s i ano esse fa t te in g reco , f r ance se , ing lese o inilo-s l a n o . E s s e p re sentano a n c h e , e in i n o d o mol to a c c e n t u a l o nel s e c o n d o c a s o , «piella s c a r s a m a n e g g e v o l e z z a che d o b b i a m o atten-derc i da ogni tentat ivo di f a r e «Iella log ica in t e rmin i di asser-z ioni c i rca a s serz ioni , a n z i c h é in t e r m i n i d i rego le p e r e s p r e s s i o n i r a p p r e s e n t a t i v e . Di c o n s e g u e n z a , i l l og i co cerca di c a l a r e tal i pr in-c i p i in rego le d i questo genere . C o m e rego la r a p p r e s e n t a t i v a «lei p r i m o p r i n c i p i o p o s s i a m o p r o p o r r e :

' μ e non-/.» ' è i n c o n g r u e n t e

e c o m e rego la r a p p r e s e n t a t i v a del s e c o n d o p r i n c i p i o

' tutti gli / sono g e χ è un / ' e s ige ' χ è g '

o p p u r e

' tutti gli I s ono g e χ è un / Λ è g ' è una f o r m u l a d ' i n f e r e n z a v a l i d a .

Q u i i n c o n t r i a m o diil icoltà a l l e q u a l i s i a m o già p r e p a r a t i «lalle d i s c u s s i o n i p recedent i . E s s e p o s s o n o cos i r i a s s u m e r s i : n e p p u r e in un s i n g o l o l inguagg io , pe r u n ' a s s e r z i o n e o u n ' i n f e r e n z a c h e s ia

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ίιί! Logica f o r m a l e

del genere indicato da un p r i n c i p i o logico genera le , non è condi-zione né necessar ia né suff iciente que l l a che gli enunciat i usat i per f a re Luna o l 'a l tra e sempl i f i ch ino lo s c hema verba le citato nella regola che rappresenta quel p r i n c i p i o . Ecco l ' i l lus t raz ione di questo p u n t o : la cond iz ione non è sufficiente perché le p a r o l e ' è e non è ' po t rebbero ritenersi e sempl i f i ca t ive del lo s c h e m a ver-ba le ' j) e non-p ' e tuttavia essere invece usate per forn i re una r i spos ta af fatto congruente a una d o m a n d a ( p . e . , * Il t e m p o è pio-v o s o ? ' ) ; la condiz ione non è necessar ia perché mol te inferenze ( s e non la m a g g i o r p a r t e ) che p u r e r i spondono a l la descr iz ione genera l e fornita nel s econdo «lei p r inc ip i logici s o p r a r iportat i non e sempl i f i c ano lo s c h e m a verba le 4 tutti gli / sono g e χ è un / ·'· X è g '.

P o s s i a m o metter la cosa in a l t ra fo rma al m o d o che segue . E spre s s ion i d iverse pos sono avere , in q u a l c h e contesto, lo stesso i m p i e g o logico, per e s e m p i o e sp le t a re la stessa funz ione logio^ nei t ipi di i m p l i c a n z a . ecc. , che interessano i l logico. Cosi la funz ione genera l i zzante d i M u l t i ' p u ò essere svolta d a ' u n ' o d a ' i l " ; una qua l s i a s i di tali e spres s ioni può serv ire ad in t rodurre un'as-serz ione che a f fe rmi che tutti i m e m b r i di una certa c lasse h a n n o una eerta caratter i s t ica o sono m e m b r i di una eerta a l tra c las se . E la stessa e spres s ione può avere usi logici d i f f e r e n t i ; p.e. , in con-testi d ivers i , p u ò avere una funz ione logica d iversa , pos sedere im-p l i canze d iverse , ecc. Cos i , un 'a s serz ione fatta con pa ro le che con-tengono una r ipe t iz ione di ' 11011 ' può q u a l c h e volta essere logica-mente equ iva lente a l la cor r i spondente as serz ione a f f e rmat iv a ("IVon è vero che egli non p u ò v e n i r e ' ) ; ma q u a l c h e volta p u ò cost i tuire so l tanto una negaz ione p iù accentuata ( " N o n vengo no con voi " ) : e q u a l c h e volta può avere 1111 va lore d i f ferente r i spet to a tutti e d u e i casi precedenti ( p .e . , ' Eg l i non p u ò 11011 venire ' non e equ iva lente né a ' Eg l i può venire ' né a " Egl i non può venire ', ma a ' Egl i deve venire ' ) . In ques ta s i tuaz ione s a r e b b e rag ionevole attenders i che la scelta che i l logico fa dei mode l l i verba l i p e r le

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sue r e g o l e r a p p r e s e n t a t i v e fo s se g o v e r n a t a d a quest i d u e p r i n c i p i : p r i m o , che i l m o d e l l o v e r b a l e d e b b a es sere uno di que l l i comune-mente r i cor rent i , p e r e s e m p i o , in i m p l i c a n z e de l l a c l a s se r e l a t iva ; s e c o n d o , che l e e spre s s ion i c h e in t a le m o d e l l o r i c o r r o n o d e b b a n o avere comunemente l 'uso log ico c h e esse h a n n o in q u e l l e impl i -c a n z e . S i d o v r e b b e p e n s a r e che un log ico , nel lo scegliere un mo-de l lo v e r b a l e f i s so per i l l u s t r a r e un d a t o p r i n c i p i o log ico , adotti a n c h e un uso v e r b a l e f i s so p e r le e s p r e s s i o n i clic in que l m o d e l l o r i c o r r o n o . P e r rag ioni ehe s i f a r a n n o c h i a r e q u a n d o t r a t t e r e m o d e l l ' i d e a l e s i s temat ico del l o g i c o , eg l i non p u ò to l l e r a re c h e nel suo i n s i e m e d i regole r i c o r r a n o e s p r e s s i o n i che s i a n o l o g i c a m e n t e a m b i g u e ( a b b i a n o d i f ferent i us i l o g i c i ) , c o m e son suscet t ib i l i d ' e s s e r lo le e spres s ioni del l i n g u a g g i o o r d i n a r i o . In tal m o d o , nel t r a sccg l i c re un certo m o d e l l o v e r b a l e p e r le s u e rego le , i l log ico c o n f e r i s c e a l l e e spre s s ion i e b e v i r i c o r r o n o una r ig id i t à log ica c h e esse c o m u n e m e n t e non b a n n o . N e l l ' a m b i t o del suo s i s t e m a , l e p a r o l e che r icorrono ne l l e sue f o r m u l e h a n n o so l tanto gli us i logici c l ic sono prescr i t t i d a l l e sue r e g o l e . Di c o n s e g u e n z a , noi non p o s s i a m o esser s icuri de l s i gn i f i ca to de l l e e s p r e s s i o n i r icor-renti ne l l e f o r m u l e d i un log ico f inche non s i s i a n o e s a m i n a t e q u e l l e rego le . ^

10 . S i p o t r e b b e c h i e d e r e : c o m e s u c c e d e clic v i s i a n o ques t i t ipi g e n e r a l i di va l id i t à , o di i n c o n g r u e n z a , ques te c las s i g e n e r a l i di in fe renze l o g i c a m e n t e s i m i l i , c h e in tere s sano i l l og ico , e che p o s s o n o venir d i scusse i n d i p e n d e n t e m e n t e d a l l a m a t e r i a su cui ver tono le a s serz ioni c h e in ta l i i n f e r e n z e c o m p a i o n o ? E c o m e s u c c e d e che es i s tono m o d e l l i v e r b a l i r a p p r e s e n t a t i v i p e r t ip i o c las s i de l genere , i (piali s i p re s t ino ad e s sere ci tat i ne l l e r ego le del l o g i c o ? Q u e s t e non sono q u e s t i o n i s e m p l i c i , ma l a p r e c e d e n t e d i s c u s s i o n e su l l a negaz ione ci dà i l m o d o di darv i p a r z i a l e ri-s p o s t a . V e d e m m o a l lora c o m e s ia n a t u r a l e che u n l i n g u a g g i o con-tenga un mezzo d i o p e r a r e n e g a z i o n i . Q u a l u n q u e a r g o m e n t o s i

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ί ι ί ! Log ica f o r m a l e

st ia t ra t tando, a v r e m o bi sogno di q u a l c h e m o d o di negare non meno che d i a s s e r i r e ; cos icché una p a r o l a che serva sempl ice-mente a l lo scopo de l l a negaz ione presenterà que l l ' ind i f f e renza a l la mater i a che la qua l i f i ca perché le sia r iservato un posto in un m o d e l l o ve rba le r appre sen ta t ivo a p p r e s t a t o da l log ico . In gene-ra le . (li q u a l u n q u e cosa si st ia p a r l a n d o , ci si a t tende che il nostro l inguagg io sia c a p a c e di e sp le ta re per noi certe funz ioni , purché si tratti c o m u n q u e di un l inguagg io suff ic ientemente evoluto . In (pianto si tratti di funzioni log icamente co l lega le o in q u a l c h e m o d o sovrappos te , a b b i a m o già la poss ib i l i tà di t ipi di incon-gnienza e ili va l id i tà che t ra scendono la par t i co la re mater i a trat-tata . In (pianto vi s i ano accorg iment i l inguist ici s e p a r a t a m e n t e ident i f icabi l i ' impiega t i ad e sp le t a re ques te funzioni ( p . e . , ' non ' per la n e g a z i o n e ) , a b b i a m o già la poss ib i l i tà di m o d e l l i ver-bal i rappresentat iv i atti a f igurare nel le regole a p p r e s t a t e da un logico per i l lus trare questi t ipi di incongruenza o di v a l i d i t à . Cos i , un requis i to l inguis t ico anche più fo i i i lamentale di que l lo de l la negaz ione e l 'es i s tenza di q u a l c h e m o d o di a p p l i c a z i o n e de l le funzioni che u s i a m o per descr ivere le cose a i casi par t i co lar i che s t i amo descr ivendo . S p e s s o ot teniamo ciò u s a n d o , a s s i eme ad un predicato descr i t t ivo, un 'e spre s s ione ( p . e . , un p r o n o m e dimo-strat ivo o per sona le , o un n o m e p r o p r i o ) che effettui il r i feri-mento al caso par t i co la re che d e s i d e r i a m o descr ivere , e congiun-gendo i due con q u a l c h e f o r m a del verbo ' e s s e r e * ( p . e . , ' χ è un μ ' ) ; s ebbene spesso altr i accorg iment i s iano impiega t i al posto ili questo . Tut tav ia l 'uso di ques t 'u l t imo è suf f ic ientemente gene-

1 G l i ' a c c o r g i m e n t i l ingu i s t i c i s e p a r a t a m e n t e i d e n t i f i c a b i l i ' non è natu-r a l m e n t e n e c e s s a r i o c h e s i a n o punite s e p a r a t e . P o t r e b b e r o e s sere sul l ì ss i o a l t r i t ip i d i m o d i f i c a z i o n e d i s i n g o l e p a r o l e del c o n t e s t o , o m o d i d i d i s p o r r e le p a r o l e nel la p r o p o s i z i o n e , o q u a l c h e c o m b i n a z i o n e p iù c o m p l e s s a . Ne l lin-g u a g g i o so l t an to p a r l a t o p o t r e b b e r o e s s e r e toni de l l a voce . C ' è s t a to chi Ila s u g g e r i t o c o m e p o s s i b i l e m o d o d i n e g a z i o n e d i una p r o p o s i z i o n e q u e l l o d i s c r i v e r l a rovesc ia l a .

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rat izzato per confer i re a l la p a r o l a ' è ' l a necessar ia ind i f ferenza r i spet to a l la mater i a trattata . 0 a n c o r a , di q u a l u n q u e cosa s i s t ia t ra t tando , è p r o b a b i l e e b e s i a b b i a b i sogno di q u a l c h e m o d o di genera l i zzaz ione , di f a re a s serz ioni condiz iona l i o di e n u n c i a r e al-t e r n a t i v e ; e pos s i amo usare , a quest i s cop i , r i spet t ivamente , le p a r o l e 4 tutti \ 4 se 1 e ' o ' , s e b b e n e anche qui si possa f a r r icorso ad accorg iment i diversi . Ove ci s i r iscontri c apac i di descr ivere una funz ione l inguist ica genera le di ques ta sorta ( p .c . , negaz ione o g e n e r a l i z z a z i o n e ) po s s i amo anche attenderci di t rovare espres-s ioni s e p a r a t e ( p . e . , ' n o n * o 4 t u t t i ' ) , o altri accorg iment i , cui possa esser p l aus ib i lmente devoluto l ' e sp le tamento di tale fun-zione, p u r col dovuto r i g u a r d o a l l a f less ibi l i tà del l inguagg io . E l 'es istenza di tali accorg iment i cost i tuisce quas i una cond iz ione sine qua non p e r la nostra pos s ib i l i t à di notare que l l e a n a l o g i e fra inferenze , ecc. , che ci inducono a c lass i f icar le a s s i eme c o m e presentant i lo stesso t ipo o f o r m a genera le . E infatt i , notando tali ana log ie f o r m a l i , cos'è che veramente n o t i a m o ? N o t i a m o del le rassomiglianze f ra inferenze va l ide . E non sono r a s somig l i anze di s t i le o di t ema , ma r a s somig l i anze v e r b a l i ; r a s s o m i g l i a n z e f r a g r u p p i di p a r o l e con un m o d e l l o ve rba le r icorrente . N o n è un c o m o d o accidente che le in ferenze del la stessa f o r m a pos sano essere mostra te come e sempl i f i cant i lo stesso m o d e l l o verba le . Ciò è pos s ib i l e prec i samente in forza de l l ' ana log ia clic ci induce a c la s s i f icar le a s s i eme c o m e in ferenze de l la stessa f o r m a . O r a , i l m o d o di gran lunga i l p iù ovvio in cui d i f ferent i in ferenze pos-sono p a r t e c i p a r e dello stesso m o d e l l o è che tale m o d e l l o consis ta in una inte la ia tura ili p a r o l e ident iche che occup ino le s tesse pos iz ioni relat ive nelle d i f ferent i in ferenze . È p r o p r i o una s i f fa t ta inte la ia tura que l l a che, q u a n d o le in ferenze clic di essa parteci-p a n o sono in genera le va l ide , noi s c e g l i a m o come s c h e m a rappre-sentat ivo da c i tare e da d i c h i a r a r e 4 va l ido ' in una regola log ica . C o m e ho già fatto r i levare , in ferenze che non pos seggono l'inte-la ia tura presce l ta possono n o n d i m e n o essere c lass i f icate con

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ί ι ί ! Log ica f o r m a l e

que l l e che la pos seggono . L ' in te l a i a tura presce l ta è so l tanto rap· presentativa del la c las se . E inferenze va l ide le q u a l i , con cambia -ment i verba l i di m i n o r r i l ievo e senza che il senso ne s ia a l tera to , pos sano esser fatte r ientrare ne l l ' in te la ia tura presce l ta , p ropr ia -mente s i d icono esser f o r m a l m e n t e a n a l o g h e a que l l e che sen-z 'a l tro ne f anno mos t ra .

Intesi che si s i ano quest i punt i , le due quest ioni con cui questa sez ione s i a p r i v a c o m i n c i a n o ad a s s u m e r e aspet to d i v e r s o : cominc i ano a s e m b r a r e una ques t ione so la .

11. L 'es is tenza d i un ' in te l a i a tura d i pa ro le s e p a r a t e (o d i altr i a c c o r g i m e n t i ) atte ad esser citate in regole log iche , non è tuttavia del tutto, anche se lo è quas i del tutto, una condiz ione sine qua non a che noi si pos sa notare un ' ana log i a f o r m a l e . Ta l-volta infatti la r a s somig l i anza nei mode l l i verba l i di in ferenze va l ide può essere a b b a s t a n z a pronunc ia ta perché s i par l i d i una f o r m a c o m u n e cui esse p a r t e c i p a n o anche (piando non c i s ia un ' in te l a i a tura dist inta d i p a r o l e da poter s tendere una regola logica . P e r e s e m p i o , inferenze ehe r i spondano a i mode l l i seguenti a p p a r t e n g o n o a ques t 'u l t ima c l a s s e :

.r è congruente con y e y è congruente con 2 χ è congruente con ζ

e un ascendente di y e y è un ascendente di ζ .r è un ascendente di ζ

χ è più veloce di y e y e più veloce di ζ .', χ è pili veloce di :

.ν esige y e y es ige ζ .'. χ es ige ζ.

È abbas t anza faci le f ogg i a re un unico mode l lo che s ia presente in tutte queste inferenze . È suff iciente introdurre una nuova varia-bi le , per e s e m p i o ' R ' , p e r ind icare il m o d o carat ter i s t ico in cui

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una f ra se è r ipetuta in c ia scuna di queste in ferenze . A b b i a m o a l l o r a , come model lo c o m u n e :

xRy e yRz xRz.

Ma ovviamente , p e r q u a n t o ques to m o d e l l o colga bene la f i s io-n o m i a de l la ra s somig l i anza f ra tal i in ferenze , esso non è per niente adatto a venir c i tato in una regola di logica de l la f o r m a ' F è un m o d e l l o di inferenza va l ida ' . Di gran lunga t r o p p e sono le poss ib i l i inferenze clic e s e m p l i f i c h e r e b b e r o il m o d e l l o e non s a r e b b e a m m i s s i b i l e che noi l a s c i a s s imo pas sare , c o m e p r i n c i p i o di inferenza , la d i ch ia raz ione che questo mode l lo è una va l ida f o r m u l a d i inferenza . S i cons ider i , p e r e s e m p i o , una q u a l s i a s i inferenza che risulti d a l T o p e r a r e , a s s i eme a o p p o r t u n e sostitu-zioni di ' * ' y ' e ' s le seguent i sost i tuzioni di ' R ': ' a m a " od ia \ ' d i v e r t e ' , ' è l a r ad ice q u a d r a t a d i ' , ' c o m m u o v e ' , ecc. , ecc. Alcuni logici hanno intuito clic tutte que l le p a r o l e che , sosti-tuite ad ' R ', p roducano schemi d ' iu ferenza v a l i d a , debbano avere q u a l c h e caratter is t ica v e r b a l e c o m u n e che renda pos s ib i l e a p p r e s t a r e un pr inc ip io d i in ferenza clic incorpor i una f o r m u l a r ipor ta ta . Ciò riflette forse un certo d i sag io ne l l ' e s tendere la no-z ione di un 'ana log ia f o r m a l e a cas i nei qua l i non possa esser trovata nessuna f o r m u l a atta a l lo s copo . L ' a s senza di una ta le for-mula è cosa non tanto da d e p l o r a r s i quanto da s p i e g a r s i . C i ò è a d i re che occorrerebbe r icercare ul ter ior i d i f ferenze fra questo caso e i casi in cui f o r m u l e del genere possono invece esser trovate

In assenza di una tale in te la ia tura verba le , che cosa p o s s i a m o f a re p e r reg i s t rare i l senso de l la s i inig l ianza ve rba le fra infe-renze che e sempl i f i ch ino i l m o d e l l o s o p r a r ipor ta to e clic s i ano v a l i d e ? Ciò che pos s i amo fare è ili d a r e un nome c o m u n e a tutte le p a r o l e o frasi che. sost i tuite ad " R ' in que l lo s c h e m a , produ-

1 C f r . r a p i t o l o V I I . s ez ione 8 .

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ί ι ί ! Log ica f o r m a l e

cano una f o r m u l a (li in ferenza va l ida . Ed è que l lo che è stato fatto. Tut te le e spres s ion i del genere sono c h i a m a t e ' transit iva-mente re laz ional i ' . P o s s i a m o p r o c e d e r e a l lo ra , se lo v o g l i a m o , a f o r m u l a r e un p r i n c i p i o ana l i t i co genera le c o m e i l s e g u e n t e : ogni as serz ione che a f f e r m i che una cosa è t rans i t ivamente in un certo r a p p o r t o con un ' a l t r a , a s s i eme con un 'a s se rz ione che a f f e rmi clic la seconda cosa ha lo stesso r a p p o r t o transi t ivo con una terza, es ige l ' a s serz ione che la p r i m a cosa è nel lo stesso rap-porto con la terza. Ma non d o b b i a m o p r e s u m e r e di aver scoper to i l p r inc ip io genera le di ques ta c la s se di impl i canze . C iò che ab-b i a m o fatto è di notare una ra s somig l i anza logica che t rascende d i f ferenze di mater i a t rat tata , e di inventare p e r essa un n o m e . Non già che sia cosa di poco conto notare la r a s s o m i g l i a n z a . In carenza «li un ' in te l a i a tura ve rba le r appresenta t iva atta ad esser citata in una regola di log ica , spes so ci è voluto un gran t empo p r i m a clic s i notassero tali r a s somig l i anze .

12. Le f o r m u l e contengono genera lmente , oltre a l l e varia-bi l i , e spres s ioni ( p a r o l e o s i m b o l i ) clic non sono v a r i a b i l i . Indi-c h e r e m o talvolta le e spres s ion i che r icorrono nel le f o r m u l e e che non sono var i ab i l i con il t e rmine 1 costanti In tal m o d o ogni p a r o l a o f ra se o r d i n a r i a , dato clic può c o m p a r i r e in una f o r m u l a , può venir indicata c o m e una costante . Le e spres s ioni che , per l a scelta fa t tane dai logici f o r m a l i , hanno l 'onore d i f igurare c o m e costanti nei loro s chemi o f o r m u l e verba l i r appre sen ta t ive son dette talvolta ' c o s t a n t i log iche (o f o r m a l i ) ' ; e l e f o r m u l e che non contengono al tre costanti che logiche possono di conseguenza dirs i ' f o r m u l e log iche (o f o r m a l i ) ' . Cosi l a p a r o l a ' s c a p o l o ' è una costante, ma non una costante logica : infat t i , i l p r i n c i p i o , per e s e m p i o , che ' χ è uno s c a p o l o ' es ige ' χ non è sposa to ' è un p r i n c i p i o da le s s i cogra fo , non da logico f o r m a l e . Ma la p a r o l a ' non è una costante l o g i c a ; infatt i la s c e g l i e m m o p e r f a r l a f igu-rare in una f o r m u l a r a p p r e s e n t a t i v a citata in una regola da logico

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f o r m a l e , per e sempio nel la regola che 'ρ e n o n - ρ ' è incon-gruente . Al lo stesso m o d o ' non-p " e una f o r m u l a log ica , pe rché non contiene al tre costanti che l o g i c h e ; ma ' .τ è f ig l io c a d e t t o ' non è una f o r m u l a logica , pe rché contiene costanti non log iche .

È evidente che non c 'è nul la di log icamente sacro ne l le co-stanti log iche . Le inferenze fat te con esse, non h a n n o , se va l ide , un g rado o un genere di va l id i t à s u p e r i o r e a l l e in ferenze c h e non se ne avvalgono. N a t u r a l m e n t e , è da aspet tars i e si t roverà che le costanti logiche s a r a n n o espres s ioni atte a figurare in di-scuss ioni su di una g rande var ie tà di s o g g e t t i ; s icché se tutto ciò che si sa è qua l i costanti log iche c o m p a i a n o nel d i scorso di qual-cuno. ciò non ci dirà ancora nul la c irca l ' a rgomento del d i scorso stesso. Ma non troveremo che tutte le e spres s ioni che a b b i a n o questa carat ter i s t ica di ind i f fe renza r i spetto a l la m a t e r i a trattata s i ano costanti logiche, f igur ino c ioè nel le f o r m u l e c i tate ne l le regole del logico. A b b i a m o già notato coinc i l logico a b b i a un certo ambi to di scelta nc l l ' a t l ingcre a l l e r isorse del l i n g u a g g i o o r d i n a r i o ; anzi , l ' i m b a r a z z o de l l a scel ta . È agevo le vedere , al-meno in par te , la rag ione per cui e spress ioni c o m e ' a m m e s s o che ', ' a condiz ione che ', ' da to che ' abbiat i ad essere trascu-rate, mentre s i tien conto di ' s e ' ; e pe rché i l log ico non a b b i a b i sogno di cor redare le i m p l i c a n z e de l la f o r m u l a ' ρ e e/ con regole per ' d u n q u e ' c ' i n a g g i u n t a ' . Tut tav ia i l d e s i d e r i o d i ev i tare la redup l i caz ione non è la sola rag ione de l l a selett ivi tà del logico. Le paro le ' ma ' , ' s e b b e n e ' , " n o n d i m e n o ' , ad e s e m p i o , non sono mere varianti s t i l i s t iche di ' e ' . Il loro uso i m p l i c a al-meno che vi s ia q u a l c h e e lemento di contrasto f ra gli enuncia t i

0 at tr ibuti congiunti , e talvolta che la congiunz ione s ia poco co-m u n e o sorprendente . Ma questo genere di i m p l i c a z i o n e , p e r (pianto non d e b b a venir t rascurato q u a n d o s i ano in d i scus s ione 1 s ignif icat i de l le paro le , non è f ac i lmente e s p r i m i b i l e in una regola di impl icanza o di incongruenza . Se uno dicesse ' E l l a , s ebbene sia genti le , è a m a b i l e ' , noi s a r e m m o sorpres i e pense-

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ίιί! Logica f o r m a l e

remino che chi p a r l a a b b i a fa l to q u a l c h e sorta di e r rore di lin-guagg io ( f o r s e che egli non s a p p i a cosa s ignif ica ' g e n t i l e ' ) ; ma non d i r e m m o che egli s ia stato incongruente o che a b b i a contrad-detto se stesso. È c o m p r e n s i b i l e che il logico trascur i ques te con-g iunzioni . s ebbene a b b i a n o un loro s igni f icato di s t int ivo . Con a n a l o g h e rag ioni , a n c h e se d i f ferent i in c iascun ca so , s i sp i ega la sua t ra scuranza d i p repos iz ion i c o m e ' d i ' , ' p e r * , ' a * , ' c o n ' , ' i n ' , e del g r u p p o d i congiunzioni affini, ' c o s i ' , ' d i conse-g u e n z a " , ' g i a c c h é ' , " p e r c h é ' , ' i n f a t t i ' . S i è già trattato del la funz ione di queste u l t i m e : essa non è ( i n g e n e r a l e ) que l l a di a s ser i re , bensì solo di s e g n a l a r e una pretesa che una cosa costi-tuisca un f o n d a m e n t o o una rag ione per un 'a l t ra . Le prepos iz ion i presentano la necessar ia indi f ferenza r i spetto a l l a mater i a trat-tata, e cer tamente sono d*aiuto nel d e t e r m i n a r e le i m p l i c a n z e degl i enunciat i nei (pial i esse figurano. Ma la loro funz ione in de terminaz ioni d i i m p l i c a n z a d i p e n d e c o m p l e t a m e n t e d a l l a loro co l locaz ione nel contesto verba le . Pos s i amo d i scutere le impl i-canze di ' p a d r e di ' ma non le i m p l i c a n z e di " di ' . Q u a n d o speci-fichiamo il contesto in m o d o suff iciente a rendere pos s ib i l e una de terminaz ione di i m p l i c a n z a . ven iamo meno a que l l ' ind i f f e renza per la mater i a trattata che è tanto a p p r e z z a t a dal logico. Tut t av i a non si è data ancora s p i e g a z i o n e p iena di cosa s ia questa seletti-vità del logico. Ci sono, p e r e s e m p i o , pa ro le che e s p r i m o n o gradi o quant i tà d iverse , per le qua l i possono essere forni te regole d ' i m p l i c a n z a definite , ma che non godono del la d i s t inz ione di venir incluse fra le costanti log iche . P e r c h é le p a r o l e ' tutti ' e ' a l m e n o u n o ' , che s i a s s i curano un posto nel le f o r m u l e del lo-gico, s a r e b b e r o pre fer i te a ' molti '. ' pochi ', " parecchi ', ' gran par te ' , che que l posto non ce l ' h a n n o ? Lo s c h e m a d ' in ferenza ' Gran parte degli / sono g. Gran par te degl i / sono h. .*. A l m e n o un / è ins ieme g cd h ' è uno s c h e m a v a l i d o che pos s iede la gene-ral i tà r ichiesta , ma non c o m p a r e nei l ibr i di testo di log ica . Che ciò sia sol tanto perché è cap i t a to clic ai logici sia s fugg i ta la

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poss ib i l i tà di estendere le loro regole in questa d i r e z i o n e ? La r i sposta può essere in par te ques ta . Ala un fat tore p iù i m p o r t a n t e è l ' idea le logico di s i s tema , che verrò tosto a t ra t tare . I logic i a m a n o presentare un l indo s i s tema di rego le f ra loro connesse . Il l indorc del s i s tema p o t r e b b e so f f r i rne se ci fo s sero in esso t r o p p e costant i .

Ciò che questa d i scuss ione su l l e costanti log iche ci mos t ra è che la quest ione di qual i e spres s ioni a b b i a n o da essere annove-rate fra le costanti logiche è in par te una ques t ione di scel ta . P o s s i a m o fo rn i re criteri genera l i d i e l i g i b i l i t à : ma quest i la-sc iano aper to un certo c a m p o nel q u a l e c pos s ib i le la se lez ione . S a r e b b e r o ancora da discutersi le ragioni che ha i l log ico di f a re la scelta che fa .

13. L 'es is tenza di f o r m u l e logiche ci incoragg ia a p a r l a r e del la forma logica di enunciat i e a s s e r z i o n i ; e forse s i a m o pro-pensi a cons iderare la f o r m a logica di un 'a s serz ione c o m e una sorta di scheletro verba le che r i m a r r e b b e q u a n d o tutte le espres-s ioni , sa lvo que l l e trascelte c o m e costanti log iche , venis sero eli-mina te da l l ' enunc ia to con i l q u a l e è pos s ib i le f o r m u l a r e quel l 'as-serz ione , e fossero r i m p i a z z a t e da a p p r o p r i a t e v a r i a b i l i . Ma a questo punto sorgono diff icoltà di ogni genere . Un enunc ia to l ingui s t icamente perfetto p o t r e b b e non contenere nessuna de l le costanti del lo stretto corredo presce l to , e tuttavia p o t r e m m o aver b i sogno di d i re che l ' a s serz ione fatta con esse ha una certa f o r m a logica ( p . e . , i po te t i ca ) . Inol tre , come a b b i a m o visto, l e espres-s ioni trascelte come costanti godono nel l inguagg io o r d i n a r i o di lina l icenza logica che è tolta loro q u a n d o s i ano i m p r i g i o n a t e nella regola di un logico ; cos i i l fat to che due enuncia t i e sempl i -f ichino verba lmente la stessa f o r m u l a logica non garant i sce la nostra inc l inaz ione a d i re che le asserzioni fatte p e r loro mezzo a b b i a n o la stessa f o r m a . Ed invero un identico enuncia to ( p . e . , ' I l gatto è c a c c i a t o r e ' ) po t rebb ' c s s c re usato per f a r e as serz ioni

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d i f o r m a log ica d i v e r s a , c i o è u n ' a s s e r z i o n e c i rca un s i n g o l o gatto ed lina g e n e r a l i z z a z i o n e in torno a i gatt i . C h e d i r e po i de l l e asser-zioni cui s i a m o p r o p e n s i a r i conoscere la f o r m a t r a n s i t i v a m e n t e r e l a z i o n a l e ? È inut i le a t t ender s i c h e s i an fat te con e n u n c i a t i che e s e m p l i f i c h i n o i l retto m o d e l l o fatto di cos tant i e v a r i a b i l i logi-che . g i acché un ta le m o d e l l o non es iste in ques to c a s o .

P e r ven i re in c h i a r o d i q u e s t a noz ione d i f o r m a log i ca , do-v r e m o d o m a n d a r c i c h e u s o i n t e n d i a m o f a r n e . T e s t é p a r l a v a m o di a s se rz ion i avent i la stessa forma; a b b i a m o s p e s s o a p p l i c a t o ad a s se rz ion i p a r o l e c o m e ' ipote t ico ' g e n e r a l e ' c o n g i u n t i v o " n e g a t i v o 1 , c h e s i c o n s i d e r a n o n o m i d i f o r m e l o g i c h e ; e ta lvo l ta p o s s i a m o a v e r b i s o g n o d i d i r e c h e l a f o r m a v e r b a l e in cu i un'as-se rz ione è fa t ta è fuorviatile p e r c iò che c o n c e r n e la s u a f o r m a log ica . P r i m a a n c o r a v e d e m m o che i l logico f o r m a l e s i o c c u p a di a n a l o g i e di un certo genere fra in ferenze su a r g o m e n t i i p i ù d iver s i , s ia a n a l o g i e a b b a s t a n z a s trette p e r p e r m e t t e r e l a fo rmu-l a z i o n e d i un m o d e l l o g e n u i n a m e n t e r a p p r e s e n t a t i v o atto ad e s ser c i ta to in u n a rego la log ica per in fe renze d i q u e l l a c la s se , s ia a n a l o g i e q u a n t o m e n o suff ic ienti p e r p e r m e t t e r e una descri-z ione p iù o m e n o p r e c i s a dei tratti c o m u n i d i t a le c l a s se . La noz ione d i f o r m a l o g i c a p u ò e s sere intesa m e g l i o c o m e i l r i su l ta to del t r a s f e r i m e n t o d i q u e s t ' i d e a d i a n a l o g i a log ica d a l l e i n f e r e n z e che a p p a r t e n g o n o a u n a ta le c l a s se a l l e a s se rz ion i cl ic costitui-scono tal i in fe renze . Ci s ia lecito p a r l a r e de i poteri logici di un ' a s s e rz ione , con ciò i n t e n d e n d o l ' in tera g a m m a d e l l e s u e pos-s ib i l i r e l az ion i l o g i c h e ( p . e . , l ' in tera g a m m a d e l l e f u n z i o n i che p u ò a v e r e in in fe renze v a l i d e , e c c . ) . R e s t r i n g i a m o q u i n d i l a no-stra a t tenz ione s u l l e c la s s i g e n e r a l i d i i n f e r e n z a , ecc . , c h e interes-s a n o i l log ico f o r m a l e . P o s s i a m o p a r l a r e a l l o r a de i poteri for-mali d i u n ' a s s e r z i o n e , con c iò i n t e n d e n d o la g a m m a d e l l e fun-zioni che p u ò avere in i n f e r e n z e , ecc. . a p p a r t e n e n t i a ta l i c lass i g e n e r a l i . N e l l a m i s u r a in cui d u e a s se rz ion i d i f f e ren t i p o s s a n o avere funz ion i s i m i l i in in fe renze , ecc. , ilella stessa classe gene-

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rale, p o s s i a m o par l a re di u n ' a n a l o g i a f ra i loro poter i f o r m a l i . Nel la m i s u r a in cui i loro poter i fo rmal i non sono a n a l o g h i ( c i o c , un 'a s serz ione p u ò avere una funz ione in un ' in ferenza d i q u a l c h e t ipo genera le , mentre non esiste a lcuna a l tra in ferenza di quel t ipo genera le nel la qua le l 'a l tra a s serz ione possa avere una fun-zione s i m i l e ) , po s s i amo p a r l a r e d i una d i f ferenza nei loro poteri f o r m a l i . D i c i a m o che d u e asserz ioni sono del la stessa f o r m a lo-gica q u a n d o siamtf interessat i ad un ' ana log i a nei loro poteri f o r m a l i ; d i c i a m o che d u e asserz ioni h a n n o f o r m e log iche diffe-renti q u a n d o s i a m o interessati ad una d i f ferenza f ra i loro poteri f o r m a l i . Cosi due negazioni c o m u n q u e prese h a n n o la stessa fo rma l o g i c a ; ma possono anche avere f o r m e log iche d i f ferent i . In quanto negazioni , esse mos t rano ana log ie f o r m a l i ; ma esse possono anche mostrare d i f ferenze f o r m a l i ( p . e . . ' T o m non è p a z z o ' , ' N o n tutti i tori sono per i co lo s i ' ' ) . È fac i le vedere come pos s i amo dare un nome a l l e f o r m e log iche q u a n d o c i s i r a m m e n t i che p o s s i a m o o enunc ia re pr inc ip i general i per in ferenze , ecc. , di una certa e lasse , o p p u r e descr ivere le loro cara t ter i s t i che lo-g iche comuni . T a l i pr inc ip i o descr iz ioni si r i f e r i r anno a elassi genera l i di asserz ioni , e non d o v r e m o fare a l tro cl ic d a r e a cia-scuna di tali classi d i a s serz ioni un n o m e ( p . e . , ' n e g a z i o n e ' , come s 'è fatto s o p r a ) , u s a n d o forse a l lo s c o p o una p a r o l a o f ra se estratta dal pr inc ip io o da l l a descr iz ione genera le de l la c lasse di inferenze, ecc., con cui a b b i a m o a che f a re . In tal m o d o , estra-endo le c i tazioni da p r i n c i p i genera l i del t ipo di que l l i che ho già fornito , pos s i amo r i fer i rc i a ' q u a l u n q u e a s serz ione clic tutti i m e m b r i di una certa c la s se sono m e m b r i di un ' a l t ra e l a s s e ' come a un 'asserz ione genera le ed a ' q u a l u n q u e a s serz ione che una cosa ha q u a l c h e re laz ione transi t iva con un 'a l t ra cosa ' c o m e a un 'as serz ione di f o r m a t rans i t ivamente re l az iona le . Inf ine po-t r e m m o rag ionevolmente d i re che la f o rma verba le d i un'asser-zione s a r e b b e ( a l m e n o p o t e n z i a l m e n t e ) f u o r v i e n t e r i spet to a l la sua f o r m a logica nelle c i rcos tanze s e g u e n t i : ( 1 ) ove l ' enuncia to

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usato per furiti a b b i a i τι c o m u n e un certo m o d e l l o v e r b a l e con ima gran quant i tà di altri e n u n c i a t i ; ( 2 ) la m a g g i o r par te , o molte del le asserzioni fa l le a mezzo di enuncia l i par tec ipant i di quel la f o r m a verba le s i ano a n a l o g h e fra loro per un certo a spet to for-m a l e ; ( 3 ) l ' a s serz ione in ques t ione non sia a n a l o g a a queste al-tre p e r tale a spet to f o r m a l e . In pra t i ca , la nozione di ' f o rma verba le fuorv iente r i spet to al la f o rma logica ' è s tata usata in m o d o assai piti a m p i o e assai meno r i g o r o s o ; ed assoc ia ta con tanti error i ed incoerenze clic non s a r e b b e i n o p p o r t u n o evi tare add i r i t tura di u s a r e la f rase .

Ques t a c o n s i d e r a z i o n e de l la f o rma logica ne connette ferma-mente la nozione a que l l e classi di inferenze, ecc., per le qua l i i logici fo rmal i cost i tu i scono pr inc ip i genera l i o di cui forniscono descr iz ioni genera l i . La c las s i f icaz ione de l le asserz ioni in rap-porto al la loro fo rma logica e resa d ipendente da l l a classif ica-zione clic i logici f o r m a l i f anno di incongruenze e va l id i t à . Que-sta restr iz ione «lei s igni f icato di " f o rma logica ' è s tor icamente corretta . Vi sono molti a ltr i generi di r a s somig l i anza e d i f ferenza logica genera le fra asserz ioni clic r ivestono impor tanza f i losof ica . Ma non c 'c rag ione di a n n e b b i a r e la d i s t inzione fra d i f ferent i ge-neri di c las s i f icaz ione log ica .

14. ( " è un al tro m o d o di s p i e g a r e la noz ione di f o r m a lo-gica . i l qua le a p p r o d a ( c o n una so la l i m i t a z i o n e ) ag l i stessi risul-tati de l la s p i e g a z i o n e da ta testé, ma che tuttavia uni sce piti diret-tamente tale nozione a l le f o r m u l e logiche. A b b i a m o vislo che, nel t rascegl iere un ' e spre s s ione come costante log ica , i l logico a t t r ibui sce a que l l ' e sp re s s ione un uso logico fisso al q u a l e essa non è neces sar i amente l imita ta nel l inguagg io o r d i n a r i o , ma al q u a l e è l imita ta nel s i s tema del logico. ( E s e m p i o di ciò è la re-gola che " ρ e nnn-p ' è i n c o n g r u e n t e ) . Q u e s t o fatto ci mette in g rado di s p i e g a r e la f o r m a logica in rapporto a un flato sistema ili regole al m o d o seguente . P o s s i a m o d i re che d u e asserzioni

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liaiiuo la stessa f o r m a logiea q u a n d o esse p o t r e b b e r o venir cor-rettamente f o r m u l a t e a mezzo di enunciat i ( i ) clie e sempl i f i ch ino la stessa f o r m u l a logica ' e ( i i ) nei quali l'uso delle costanti logi-che sia esattamente quello fissato per quel dato sistema di regole. C o m e già in precedenza , anche in tal m o d o è reso pos s ib i l e il caso di due asserzioni aventi ins ieme le stesse e d i f ferent i f o r m e logiche. Per e s e m p i o gli enunciat i ' T o m non e pazzo ' e ' Non tutti i tori sono per icolos i ' e sempl i f i cano a m b e d u e la f o r m u l a " non-p ', ma il secondo e sempl i f i ca anche la f o r m u l a ' non tutti gli / sono g ' , mentre ciò non è vero del p r i m o . I nomi de l l e f o r m e logiche possono ora venir connessi d i re t tamente a l l e f o r m u l e : p.e . , ' non-p ' può essere la f o r m u l a per la f o rma negat iva , ' se p, a l lo ra q ' p e r la f o rma ipotet ica , ' t u t t i gli / sono g' p e r la f o rma genera le , e cosi v ia . Si d i rà q u i u d i che un 'a s serz ione ha una certa fo rma ove possa venir fatta corre t tamente con un enun-ciato clic e sempl i f i ch i la f o r m u l a a p p r o p r i a t a , a m m e s s o che le costanti logiche de l l ' enunc ia to , cosi c o m e sono usa te per f a re l 'asserzione, a b b i a n o l 'u so logico che è t ip ico s econdo quel si-s tema di regole , eioò o b b e d i s c a n o a l le regole di que l s i s t ema . In-f ine, p o t r e m m o p a r l a r e ( s e m p r e in r i f e r imento a un dato s i s tema di r e g o l e ) di un 'as serz ione fatta in fo rma verba le fuorv iente , se l 'enunciato con cui è fatto e sempl i f i ca una certa f o r m u l a logica , ma le costanti che vi r icorrono al f ine di f a re l ' a s serz ione stessa non a b b i a n o l ' impiego logico che è t ip ico p e r quel s i s tema di regole .

1 U s o q u i l u f r a s e 4 e s e m p l i f i c a n o l a s t e s s a f o r m u l a l o g i c a ' i n u n s e n s o e s t e n s i v o , ili c u i l ' a n a l o g o p u ò t r o v a r s i n e l l e s p i e g a z i o n i i l e l l c i m p l i c a n z e f r a f o r m u l e , p i l i s o p r a f o r n i t e i n q u e s t o s t e s s o c a p i t o l o . P . e . . e n u n c i a t i c o n t e n e n t i ' n o n " i n v a r i e p o s i z i o n i ( s e b b e n e n o n i n t u t t e ) p o s s o n o r i t e n e r s i e s e m p l i -f i ca t iv i d e l l a f o r m u l a ' null-/) ' : a l t r i e n u n c i a t i p o s s o n o r i t e n e r s i e s e m p l i f i c a -z i o n i d e l l a f o r m u l a ' χ è un / ' s i a c h e c o n t e n g a n o , s i a c h e n o n c o n t e n g a n o l ' a r t i c o l o i n d e f i n i t o , e c o s i v i a . P e r o g n i g r u p p o ili f o r m u l e l o g i c h e p o t r e b b e r o v e n i r c o s t i t u i t e o p p o r t u n e " r e g o l e d i c s c t n p l i f ì i - n z i o n c ' .

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A n c o r m a g g i o r e g ius t i f i caz ione s tor i ca c o m p e t e a ques t ' a l t r a c o n s i d e r a z i o n e a l t e r n a t i v a ( i n a non i n c o m p a t i b i l e ) de l l a f o r m a log i ca . Ne i vecch i testi d i log ica l e g g e v a m o s p e s s o : ' m e t t e r e u n ' a s s e r z i o n e in f o r m a l o g i c a " . E con c iò s i in tendeva d i r e : e s p r i m e r e l ' a s s e r z i o n e con un e n u n c i a t o e s e m p l i f i c a n t e u n a de l l e f o r m u l e l o g i c h e i m p i e g a t e n e l l ' i n s i e m e t r a d i z i o n a l e d i r ego le . Lo s v a n t a g g i o d i q u e s t a s p i e g a z i o n e sta nel fa t to c h e i m p o n e un'in-deb i t a l i m i t a z i o n e a l nos tro p a r l a r e d i f o r m a log i ca . E s s a non ci p e r m e t t e r e b b e di r i f e r i r c i con tal i t e rmin i a (pici poter i for-mal i d i a s se rz ion i c h e s i m a n i f e s t a n o in t ip i d i in fe renze ( p . c . , in fe renze t r a n s i t i v a m e n t e r e l a z i o n a l i ) p e r le q u a l i non es iste al-cuno s c h e m a v e r b a l e r a p p r e s e n t a t i v o atto ad e s sere c i ta to in u n a regola log ica . È vero cl ic noi p o s s i a m o s e m p r e co s t ru i re u n a re-gola per tal i t ipi di i n f e r e n z e in t e r m i n i di una cos tante rima· neggiata, c o m e ad e s e m p i o ' - t r a n s ' in

' χ R- t rans y e y / {-trans ζ ' e s ige ' χ R-trans ζ ".

Ma p a r l a r e d i enunc ia t i o r d i n a r i c h e e s e m p l i f i c h i n o l a f o r m u l a ' χ R-trans y ' i m p l i c a un genere d i f f e ren te di a r t i f i c i a l i t à c h e non l 'uso a l l a r g a t o di ' e s e m p l i f i c a ' che ci p e r m e t t e di d i r e , p .c . , c h e ' T o m non è p a z z o ' e s e m p l i f i c a ' non-p '.

15 . Ci r i m a n e di f a r m e n z i o n e di a l cun i dei m o d i in cui s i è da a l tr i i m p r o p r i a m e n t e p a r l a t o d i f o r m a log i ca . F r a ques t i uno dei p i ù c o m u n i è p a r l a r e de " la f o r m a log ica " di un 'as ser-z ione , c o m e se u n ' a s s e r z i o n e non potes se m a i a v e r e p iù d i un t ipo d i p o t e r e f o r m a l e ; c o m e se l e a s se rz ion i po te s se ro veni r r a g g r u p p a t e , r i spe t to a i loro poter i f o r m a l i , in c la s s i f ra lo ro re-c i p r o c a m e n t e e sc lu s ive , c o m e gli a n i m a l i d i uno zoo r i spet to a l le loro s p e c i e . Ma d i r e c h e u n ' a s s e r z i o n e è d i u n a q u a l c h e f o r m a logica s igni f i ca s e m p l i c e m e n t e i n d i c a r e u n a cer ta c l a s s e g e n e r a l e , ad e s e m p i o d i in fe renze v a l i d e , in cui l ' a s s e r z i o n e p u ò a v e r e u n a certa p a r t e . N o n s igni f i ca e s c l u d e r e l a p o s s i b i l i t à c h e v i s i a n o

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F o r m a 71

a l t re class i genera l i di inferenze va l ide in cui l ' a s serz ione possa avere a l tres ì una parte . Cos i di un 'a s serz ione fatta con le p a r o l e ' G iovanni è p i ù vecchio di M a r i a ' p o s s i a m o d i re che è de l la forma t rans i t ivamente re l az iona le , r a m m e n t a n d o c i dei poteri lo-gici che può d imos t r a re in congiunz ione con un ' a s se rz ione coinè que l l a che può fars i con le p a r o l e ' M a r i a è p iù vecchia di J a n e ' . Ma noi p o s s i a m o d i re anche che essa è de l l a f o r m a ' soggetto-pre-dicato ' ' , r a m m e n t a n d o c i del la funz ione logica che p u ò avere in congiunz ione con un 'as serz ione coinè que l l a clic p u ò fars i con le p a r o l e ' T u t t i quel l i più vecchi d i Mar ia sono t r o p p o vecchi per g iocare con J a n e ' . L ' e r ronea cons ideraz ione de l l a f o r m a logica come un concetto segregat ivo è incoraggia ta da ingannevol i ana-l o g i e ; que l le , ad e s e m p i o , con la f o rma di un sonetto ( u n sonetto non può avere nel lo stesso t e m p o la f o r m a s h a k e s p e a r i a n a c quel la p e t r a r c h e s c a ) o p p u r e con la f o r m a di un vaso .

Si d ice talvolta che le in ferenze sono va l ide in virtù de l la loro f o r m a , o che tutte le inferenze d i p e n d o n o so lo da l l a f o r m a , o che sono tutte f o r m a l i . Ta l i osservaz ioni possono r iusc ire fuorvient i in due m a n i e r e f r a loro connesse . In p r i m o luogo , sugger i scono che tutte le regole di i m p l i c a n z a , o regole di in ferenza , s i ano re-gole f o r m a l i dei logici , c questo è fa l so . La regola clic ' χ è f iglio cadetto ' es ige * χ ha un frate l lo ' non è una regola log ica . L'esi-stenza di regole dei logici non rende super f lue le regole dei lessi-cograf i . Inol tre que l l e osservaz ioni sugger i scono q u a l c o s a clic può essere o può non essere vero . F a n n o credere che ogni i m p l i c a n z a , q u a l u n q u e essa s i a . possa essere cons idera ta c o m e a p p a r t e n e n t e a una c lasse genera le di impl i canze , i cui m e m b r i a v r e b b e r o tratti logici comuni suscett ibi l i di venir descritt i senza ind ica re i l t ipo di a rgomento t r a t t a to ; o , in a l t re pa ro le , cl ic p e r ogni i m p l i c a n z a . q u a l u n q u e essa s ia , es is tano al tre impl i canze , re la t ive ad argo-menti tota lmente divers i , tali che s i possan descr ivere le ana log ie

' G f r . r a p i t o l o V I .

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ί ι ί ! Log ica f o r m a l e

f o r m a l i comuni a ques te e que l l a ' . Clie c iò s ia o non s ia vero, di-pende ila f in dove s i a m o dispost i a f a r g iungere la nozione di ana-logia f o r m a l e . M a . q u a l u n q u e dec i s ione s i [tossa p rendere su que-sto punto , r i m a n e u n ' i m p o r t a n t e d i f ferenza fra quei casi in cui le r isorse del l inguagg io ci permet tono di cost i tu ire schemi verba l i genu inamente r appre senta t iv i alti ad esser eitati in regole di im-pl icanza e quei casi per i qua l i non è pos s ib i l e f o gg i a re a lcuna f o r m u l a r appre senta t iva del genere , re lat iva ad una elasse gene-rale di imp l i canze . Q u e s t a dis t inzione r i schia ili venir annul la ta q u a n d o si d ice che ogni inferenza è f o r m a l e . E si tratta invece ili una d i s t inz ione impor tante , perché la conoscenza dei p r inc ip i logici è suff iciente a d e t e r m i n a r e se un ' in ferenza di un certo t ipo è va l ida o no, so l tanto se ( s e b b e n e non s e m p r e s e ) nel l inguagg io o rd inar io es i s tano costanti r appresenta t ive [ter que l t ipo ili infe-renza. Se ci a r m i a m o del la conoscenza di un s i s tema ili regole logiche incorporant i c i tazioni ili f o r m u l e e ci met t i amo quindi ad e s a m i n a r e c a m p i o n i ili inferenze , a l l o r a , con a lcune class i ge-neral i ili in ferenze , d o v r e m m o p r o c e d e r e s p e d i t a m e n t e e Itene, a dispetto di a l cuni poss ib i l i error i causat i dal cara t tere logica-mente vago di [taróle c o m e " non \ Ma q u a n d o g iunges s imo a c a m p i o n i su l t ipo di " T o m m a s o è un d i scendente di Enr ico , e E n r i c o e un d i scendente di R i cca rdo , d u n q u e T o m m a s o è un di-scendente d i R i c c a r d o ' o p p u r e ' T o m m a s o od ia E n r i c o , e Enr ico odia R icca rdo , d u n q u e T o m m a s o odia R i c c a r d o ' , l a regola logica che ' χ R-trans y. e ν /{-trans s " e s ige ' χ R-trans ζ ' non ci d a r e b b e

' P .e . . s i p o t r e b b e s o s t e n e r e : ( i ) e h e i p a s s a g g i ila ' Q u e s t o è un g a t t o ' a ' Q u e s t o è un a n i m a l e ', ila ' Q u e s t o è v e r d e ' a " Q u e s t o è c o l o r a t o da ' E g l i lia l ' i n f l u e n z a ' a ' E g l i ha u n ' i n d i s p o s i z i o n e * s a r e b b e r o f o r m a l m e n t e a n a l o g h i in q u a n t o s a r e b b e r o tutti pa s sagg i d a l l ' a s c r i z i o n e a q u a l c o s a d i un c a r a t t e r e s p e c i f i c o a l l ' a s c r i z i o n e a l l a s te s sa cosa d i un c a r a t t e r e g e n e r i c o ; e ( i i ) che i pa s sagg i da ' C i ò è v e r d e ' a " C i ò non è b i anco ', da ' C i ò è t r i a n g o l a r e ' a ' C i ò non è q u a d r a t o ' , da ' E g l i è i r r i t a b i l e * a ' E g l i non è p l a c i d o ' sareb-b e r o f o r m a l m e n t e a n a l o g h i in q u a n t o s a r e b b e r o tutt i p a s s a g g i d a l l ' a s c r i z i o n e ili un p r e d i c a t o a l l ' e s p l i c i t a n e g a z i o n e d i un p r e d i c a t o i n c o m p a t i b i l e .

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F o r m a 73

p r o p r i o nessun a iuto . N o n a v r e m m o indizio a l cuno per dec idere se " d i scendente di ' e ' od ia * s i ano o meno e spres s ion i di rela-zioni trans i t ive . Ora . qua l cuno pot rebbe inc l inare a pensare che il fatto che non si abb ia una costante , c o m e 4 trans- ' . che ci serva ad ident i f icare le paro le c h e e s p r i m o n o re laz ioni t rans i t ive , non s ia a l t ro che un bana le ed acc identa le inconveniente «lei l inguag-gio. Ma non è cosi . Non è cosa bana le il fatto che si d e b b a p e n s a r e a che genere di cosa sia que l l a di cui si sta p a r l a n d o q u a n d o si usano certe p a r o l e re laz ional i ( c i o è che s i del iba pensare al si-gnif icato descr i t t ivo di tali p a r o l e ) al fine di cog l i e re l 'es istenza o meno di una loro regola di transi t iv i tà . Di re clic ogni inferenza è f o r m a l e è ut i le in quanto ci incoraggia a r i cercare ana log ie for-mal i che a l t r iment i ci po t rebbero s fugg i re . Ma è dannoso e ingan-nevole in (¡llanto ci incoraggia a t r a scurare la d i s t inz ione fra i tratti logici impl i c i t i , s ebbene genera l i , di pa ro le descr i t t ive e l ' e sp l ic i to o p e r a r e di funzioni log iche genera l i qua l i la negaz ione o la genera l i zzaz ione .

L ' a s serz ione che le inferenze sono v a l i d e in virtù de l la loro f o r m a , o l ' a s serz ione che l ' inferenza dipende da l l a f o r m a , hanno un'a l t ra carat ter i s t ica che può fuorv i a re . Es sa e m e r g e più chiara-mente (p iando, c o m e si fa ta lvolta , si a s ser i sca clic i l c o m p i t o del logico è d u p l i c e : e prec i samente clic ha da s c o p r i r e in p r i m o luogo qual i f o r m e logiche le asserzioni possono avere , in secondo luogo le re laz ioni logiche fra le asserz ioni che h a n n o queste fo rme . C iò sugger i sce che vi s ia i l m o d o di s c o p r i r e la f o r m a lo-gica d i un 'a s serz ione ind ipendentemente d a l l o s c o p r i r e qua l i fun-zioni essa possa e sp le tare , e in qua l i generi di in ferenze , e che aver fatto la p r i m a scoperta sia una condiz ione per procedere a l la s econda . E questo è p r o p r i o l ' oppos to de l la ver i tà . D i r e che un 'as serz ione ha la f o rma re laz iona le transi t iva non s ignif ica for-nire una rag ione che sp iegh i p e r c h é essa possa avere una certa funz ione in un certo t ipo di in ferenza . Λ) contrar io , noi la chia-m i a m o re laz iona le transi t iva p r o p r i o perche essa ha una tale fun-

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ίιί! L o g i c a f o r m a l e

zinne. La f o r m a logica non è lina propr ie tà de l l e asserzioni in base alla (¡naie (o in virtù de l la (p i a l e ) esse a b b i a n o certi poteri f o r m a l i . 11 loro possesso di una certa f o r m a è il loro possesso di quei poter i .

I I I .

Sistema

16. ft t e m p o o r m a i ili venire a p a r l a r e del terzo fat tore cbe u l ter iormente l imita i l c o m p i t o del logico e, for se , condiz iona la sua p r o c e d u r a più r ad ica lmente di q u a l u n q u e a l t ra cosa fin qui menz ionata . Da quanto lio detto finora s i p o t r e b b e pensare che i l logico f o r m a l e cons ider i suo c o m p i t o que l lo di c o m p i l a r e liste ili regole d ' in fe renza o tipi di i m p l i c a n z a a l t amente g e n e r a l i ; concretando ques te , q u a n d o poss ib i le , in regole per f o r m u l e rap-presentat ive . S ' è visto come questo pas so - l ' adoz ione di regole p e r f o r m u l e r appre senta t ive - r appre sent i l ' iniz io di una certa d ivergenza fra la logica di certe espress ioni (p iando f igurano c o m e eostanti nel le f o r m u l e , e la logica di ques te stesse espress ioni in quanto f igurino nel l inguagg io o rd inar io , dove esse possono essere usate in modi id iomat ic i clic sono in contras to con le regole del logico. Q u e s t o non s ignif ica che le regole del logico s i ano scor-rette, e non s ignif ica n e p p u r e clic il l inguagg io o rd inar io s ia in-congruente . S igni f i ca s e m p l i c e m e n t e che a una p a r o l a che nel lin-guagg io o r d i n a r i o a b b i a usi logici d i f ferent i , nel le regole del logico deve venir a s segnato un solo uso logico t ip ico e f isso.

C i ò che a l l a r g a , f ino a l la s e p a r a z i o n e totale , que l l a eerta di-vergenza fra e spres s ioni che c o m p a i o n o nel le rego le logiche ed espress ioni ilei l inguagg io o rd inar io , è q u a l c o s a che si po t rebbe c h i a m a r e l ' idea le log ico di s i s tema . I l logico non s i accontenta di scr ivere , a caso , una ser ie di regole che s o d d i s f a n o i l s e m p l i c e requis i to de l la congruenza — il requis i to che lo costr inge a pri-

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S i s t e m a 75

vare le sue costanti del la l icenza logica di cui c o m u n e m e n t e go-dono. Eg l i tende a presentare non una lista s connes sa , ma un ben connesso s i s tema di p r inc ip i . Q u e s t ' i d e a l e s i s temat ico è stato pre-sente nella logica f o r m a l e sin dal suo inizio . I logici p i ù ant ichi hanno visto che con l *aiulo di pochi p r inc ip i logici so l tanto , essi potevano , a s s u m e n d o un piccolo n u m e r o di mode l l i d ' in ferenza va l ida come f o n d a m e n t a l i , provare la va l id i tà di un n u m e r o mag-giore di altr i m o d e l l i : c ioè, essi potevano a p p l i c a r e la logica en-tro la logica , oss ia i m p i e g a r l a per la sua stessa s i s t e m a z i o n e ' . E<1 è ques t ' idea le di s i s temat izzaz ione que l lo che ha p iù pro-fondamente influenzato lo s v i l u p p o m o d e r n o de l la l o g i c a ; cosi p r o f o n d a m e n t e che la concezione or ig inar i a de l la s e m p l i c e codi-f icazione dei p r i n c i p i p iù genera l i a i q u a l i c i a p p e l l i a m o nel-l 'e f fet tuare le nostre va lutaz ioni log iche è s tata persa di vista quas i del tutto. Infatt i le e spress ioni del l inguagg io o r d i n a r i o , sul t ipo d i * s e ' , ' e ' , ' n o n " , ' t u t t i " , ' a l c u n i ' , ' o ' , che f iguravano in moilo tanto preminente come costanti log iche nei mode l l i di inferenza dei p r i m i logici , m a n c a n o , nel loro uso o r d i n a r i o , non solo del la s t ab i l i t à , ma anche de l la sempl ic i t à di s igni f icato clic sole po t rebbero f a rne i cand ida t i ideal i al ruolo di costanti in s i s temi logici del genere ora des idera to . Si tende cosi a r impiaz-zar le con espres s ioni costruite a p p o s t a cui v iene a s segnato esat-tamente il genere di s ignif icato che è necessar io perché r i spondano ai requis i t i del s i s tema . Gl i usi logici di ques te e spres s ioni arte-fatte in par te c o r r i s p o n d o n o ad a lcuni usi di a lcune espress ioni nel l inguagg io ord inar io , ed in par te ne d i v e r g o n o ; corr i spon-denza e d ivergenza che si r ivelnno in un p a r z i a l e p a r a l l e l i s m o e in una parz i a l e d i s c repanza fra le regole cui ci a p p e l l i a m o nel le nostre va lutaz ioni logiche in l inguaggio o r d i n a r i o , e le rego le clic governano le nuove espress ioni . Q u e s t e u l t ime vengono scritte in s i m b o l i , non in p a r o l e . E il c a m b i a m e n t o è esso stesso s imbo l i co ,

1 C f r . c a p i t o l o V I , s ez ione 3 .

7

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ί ι ί ! Log ica f o r m a l e

g iacché vi sono hen poche espres s ioni , se p u r ve ne sono, le qua l i a b b i a n o p r o p r i o e so l tanto i l s igni f icato as segnato ai s i m b o l i .

Ciò può venir e spos to anche a l t r iment i . I l logico f o r m a l e s i p r o p o n e ora di rea l i zzare una logica esatta ed a l t amente siste-mat i ca , p a r a g o n a b i l e per quest i r ispett i a l l a m a t e m a t i c a . Ma egli non può fornirc i l 'esatta e s i s temat ica logica di e spress ioni del l inguagg io q u o t i d i a n o , po iché queste e spres s ioni non hanno af-fatto una logica esatta e s i s temat ica . C i ò che egl i può fare , e f a . è di e scog i tare una ser ie di regole che s o d d i s f a c c i a n o le sue esi-genze e che . al t e m p o stesso, p u r non rendendo piena giust iz ia a l le comple s s i t à de l l 'uso o rd inar io e p u r d ivergendone in molt i m o d i , s i r i connct tano a l l 'uso o rd inar io in a lcuni punti vi ta l i . Ne l l a sua re laz ione col l inguagg io o r d i n a r i o , i l logico f o r m a l e po-trebbe venir p a r a g o n a t o ad un u o m o v i s ib i lmente intento a trac-c i a re la p i an ta di un tratto di terreno i cui p r inc ipa l i contorni s i ano assa i i r regolar i e mutevol i . Ma egli c un a p p a s s i o n a t o del la geometr i a , e per severa a non usare a l t ro , nei suoi d i segni , che f igure geometr i che p e r cui pos sano esser forni te le regole di co-s t r u z i o n e ; e di tali regole di cos t ruz ione tenta di u sa re i l minor n u m e r o pos s ib i l e . N a t u r a l m e n t e le sue p iante non r i spo nderanno m a i c o m p l e t a m e n t e a l l ' o r ig ina le . Ma un buon n u m e r o di p ietre di confine sono ident i f icabi l i sul suo d i segno , ed esiste una corri-spondenza a p p r o s s i m a t i v a fra a lcune de l l e carat ter i s t iche prin-c ipa l i del terreno ed a lcune de l le l inee p r inc ipa l i del la p i an ta . I l logico, p o s s i a m o d i re , m a n i p o l a gli e lement i di un l inguagg io suo p r o p r i o che , d iver samente dal l inguagg io o rd inar io , è soggetto a regole r i g ide e s i s t emat i camente connesse , ed a lcuni s imbol i del q u a l e mos t rano ana log ie log iche con espres s ioni f a m i l i a r i del l inguagg io o r d i n a r i o quanto a l m o d o in cui esse sono comune-mente , anche se non s e m p r e , i m p i e g a t e . l i nel processo di costru-zione s i s temat ica egli può insegnarc i , e in effetti ci insegna - se p u r so l amente per contrasto - mol te cose important i c irca la lo-gica del d i scorso o r d i n a r i o .

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S i s t e m a 77

17. V e d r e m o in segui to var i e s e m p i dei metod i di s is tema-t izzazione che sono stati e f fe t t ivamente usa t i . Q u e l l o che p iù for-temente ha attratto i logic i , che è s e m b r a t o s o d d i s f a r e al p iù alto grado l ' i dea le di s i s tema , è i l metodo dedut t ivo , ove le ana log ie con la m a t e m a t i c a sono più ch ia re . Un p icco lo n u m e r o di asser-zioni o regole dei logici ( a f f e r m a n t i c ioè c h e certe f o r m u l e sono a n a l i t i c h e ) sono assunte come premes se , ed a l t re regole ne deri-vano m e d i a n t e l ' impiego di una o due regole di inferenza di o rd ine più al to . Ques ta a l m e n o è la f o rma clic ci s i può at tendere un tale s i s tema dedutt ivo d e b b a a s s u m e r e . In pra t i ca è conve-niente cons idera re i l processo di deduz ione come a p p l i c a t o a l le stesse f o r m u l e a n a l i t i c h e ; c ioè cons iderar lo c o m e un processo di der ivaz ione di f o r m u l e ana l i t i che da f o r m u l e ana l i t i che , piut-tosto che c o m e un processo di der ivaz ione di rego le circa for-mule da regole circa f o r m u l e . Al r i g u a r d o è neces sar ia q u a l c h e sp iegaz ione . In un s i s tema dedutt ivo cons idera lo come un s i s tema in cui regole c i rca f o r m u l e s i ano der iva le da regole c irca for-mule , p o t r e m m o attenderci che va lga i l p r i n c i p i o c h e qua l s i a s i regola logica genera le esige qua l s i a s i regola m e n o genera le , otte-nuta m e d i a n t e sost i tuzioni de l le var i ab i l i r icorrent i nel la for-mula citata nel la p r i m a regola , p r inc ip io da u sa r s i c o m e una del le regole di inferenza di o rd ine p iù a l to . S i s u p p o n g a di avere un s i s tema che contenga , come costanti , le p a r o l e ' o ' e ' non ' e il s i m b o l o ' 3 \ e, come premesse , le regole ( 1 ) c h e ' ρ 3 q * es ige ' non-<7 3 non-p ' e ( 2 ) che ' ρ o q ' e s ige ' q ο ρ' ; o p p u r e , se-condo un 'e spres s ione a l ternat iva del le p r i m e , le rego le ( 1 ) che ' (p Z> q) 3 (non-<j 3 n o n - p ) ' è ana l i t i co e ( 2 ) che ' ( ρ o q ) 3 ( q ο ρ ) ' è anal i t ico . A l lo ra , m e d i a n t e a p p l i c a z i o n e del la regola d ' in ferenza d 'ord ine più a l to , noi p o t r e m m o der ivare da ( 1 ) la regola ( 3 ) che ' [ (ρ o q) 3 r] 3 [ non-r 3 non-( ρ o q ) ] ' è anal i t ico . I l cons iderare i l processo di d e d u z i o n e c o m e appl i -cato d i re t t amente al le f o r m u l e consiste nel c h i a m a r e le f o r m u l e

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ίιί! Log ica f o r m a l e

c i ta le nel la seconda f o r m u l a z i o n e del le regole ( 1 ) e ( 2 ) p r e m e s s e esse stesse, e nel sost i tuire la regola d ' in ferenza d 'o rd ine piti alto circa regole con una regola che sanzioni la der ivaz ione di for-mule da formule t r ami l e certi generi di sost i tuzioni del le varia-bi l i . C iò c i permet te d i p a r l a r e del la f o r m u l a ' [ ( / » o g ) z > r ] 3 Γηοη-r 3 n o n - ( p o < / ) ] " come der ivata per i m p l i c a n z a da l l a for-mula ' (p 3 q) 3 (non-r/ 3 n o n - p ) ' . Si s u p p o n g a ora che , nel corso del la der ivaz ione di f o r m u l e per mezzo del la regola di sost i tuzione, si ottenga una f o r m u l a in cui la par te a s inistra del segno p r i n c i p a l e ' 3 ' s ia essa stessa una f o r m u l a ana l i t i ca del s i s tema , c o m e p o t r e m m o fare d e r i v a n d o da l la f o r m u l a ' ( / o q) 3 (non-</ 3 n o n - p ) ' la f o r m u l a 4 [ ( ρ o q) 3 (q o p ) J 3

[non-(r/ ο ρ) 3 non- (ρ o </) ] ' . La regola di sos t i tuzione ci per-mette da sola di s c r ivere questa lunga f o r m u l a def inendola una f o r m u l a anal i t ica del s i s tema. Ma scr iver la c o m e tale equ iva l e a d i c h i a r a r e clic 4 (ρ o q) 3 (<7 ο ρ) ' es ige 4 non-( q ο ρ) 3 non- (p o q) \ Se ora e sp l i c i t amente in t roduc i amo l 'u l ter iore p r inc ip io d ' in ferenza d 'o rd ine s u p c r i o r e che q u a l u n q u e f o r m u l a che mo-stri di essere d e r i v a b i l e per impl i canza da un 'a l t ra che s ia ana-l it ica nel s i s t ema , è essa stessa anal i t ica nel s i s t ema , con ciò ci a u t o r i z z i a m o a scr ivere , in base al fatto che 4 (ρ o q) 3 (q ο ρ) ' è anal i t ica nel s i s tema , la f o r m u l a * non-(</ ο ρ) 3 n o n - ( p o q) ' come anch 'es sa ana l i t i ca nel s i s tema . Ciò e q u i v a l e a d ire che pos-s i a m o cons iderare

non-(q ο ρ) 3 n o n - ( ρ o q)

c o m e essa stessa der ivata ila

( ρ o q ) 3 ( q ο ρ )

a s s i eme con

L ( p o q) 3 ( <7 o ρ) i 3 I non-( q ο ρ) 3 n o n - ( p o < / ) J .

Q u e s t o secondo p r i n c i p i o p o s s i a m o e s p r i m e r l o c o m e una regola da a p p l i c a r e a f o r m u l e , a l m o d o s e g u e n t e : q u a l s i a s i f o r m u l a F '

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S i s t e m a 79

può essere der iva ta eome una f o r m u l a ana l i t i ca del s i s tema ogni-qua lvo l ta già es is tano come f o r m u l e ana l i t i che del s i s tema s ia una f o r m u l a F , sia una fo rmula ottenuta scr ivendo la F , seguita da ' 3 ', segui to da F ' .

La convenienza di a p p l i c a r e d i re t tamente il processo di de-duz ione a f o r m u l e di p r i m o ord ine può essere cons idera ta un'ul-ter iore rag ione de l la preva lenza del segno 4 3 ' in log ica . Q u e s t o processo di deduz ione consiste in u l t ima ana l i s i nel mos t ra re che s a r e b b e incongruente accettare le regole f o n d a m e n t a l i del s i s tema e r i f iutarsi di accettare le regole der iva te . I cr i teri di incon-gruenza sono qui forniti dai p r inc ip i di in ferenza di ord ine s u p e r i o r e corr i spondent i a l le regole per ottenere f o r m u l e da f o r m u l e . Q u e s t i pr inc ip i d i inferenza d ' o r d i n e s u p e r i o r e non nascondono p r o p r i o niente d i mis ter ioso . I l ca ra t te re dei d u e che lio trascelto per l ' e s empio fornito s o p r a p u ò esser mostra to nel m o d o p i ù ovvio i l lus t rando i l loro m o d o di o p e r a r e in casi che in effetti non si presenterebbero in nessun s i s tema logico . Non a v r e m m o , p e r e s e m p i o , diff icoltà a lcuna ad a m m e t t e r e che sa-rebbe incongruente accettare la regola che 4 * è figlio cadetto 3 χ Ita un f ra te l lo ' e anal i t ico e r i f iutarsi di accet tare la regola che " T o m m a s o è figlio cadetto 3 T o m m a s o ha un f r a t e l l o ' è an-ch'esso ana l i t i co . Ques t ' i l lu s t raz ione s i r i fer i sce al p r i m o dei prin-cipi d ' in ferenza d 'ord ine s u p e r i o r e , ed a l la cor r i spondente re-gola d i sos t i tuzione nel le f o r m u l e . S u p p o n i a m o ora d i accettare la regola che 4 se p, a l lora q 3 se non-q, a l lora n o n - p ' è anali-tico, e de r iv i amone , in accordo col p r i m o pr inc ip io , la regola che " se χ è un padre , a l lora .* è masch io 3 se .r non è masch io , a l lora .v non è un p a d r e ' è anal i t ico . Non a v r e m m o difficoltà a concedere che s a rebbe incongruente accettare s ia questa regola der iva ta , s ia la regola che 4 se χ è un p a d r e , a l lora χ è masch io ' e ana l i t i co , e r i f iutarsi nel contempo di accet tare la regola che " s e χ non è masch io , a l lora .r non è un p a d r e * è anch'esso anali-tico. Ques t ' i l lu s t raz ione r i guarda i l secondo dei pr inc ip i d' infe-

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ίιί! L o g i c a f o r m a l e

renza ili o rd ine s u p e r i o r e , e la cor r i spondente regola per la deri-vaz ione di f o r m u l e .

I l f a sc ino inte l let tuale del metodo dedutt ivo di s i s temat izzare la logica è il f a sc ino p r o p r i o di ogni s i s tema dedutt ivo . Esso sta in par te nel poter e s ib i re la ser ie de l le f o r m u l e d i spos te in bel-l 'ordine, con ogni f o r m u l a der ivata (o teorema d e r i v a t o ) che consegue da que l l e che la p r e c e d o n o ; in p a r t e in un senso di m a g g i o r contro l lo e c o m p r e n s i o n e , per aver r idotto una gran mas sa di p r inc ip i ad un pugno a p p e n a di p r e m e s s e e ad una cop-pia di regole tali che , a p p l i c a n d o queste a que l l e , la gran massa può venir r icostituita nel la f o rma di un 'o rd ina ta s t rut tura . Tut-tavia questo eccitante successo non si ott iene senza p a g a r n e i l prezzo , c o m e già ho accennato e c o m e v e d r e m o pili c h i a r a m e n t e qui di segui to .

Un metodo dedut t ivo ha uno svantagg io , a l m e n o a p p a r e n t e . Esso non fornisce , a l m e n o a p r i m a vista, nessun metodo mecca-nico per contro l l a re una q u a l u n q u e f o r m u l a , costruita nei ter-mini «Ielle costanti del s i s tema , onde d e t e r m i n a r e se s a r e b b e o meno incongruente r i f iutars i d i accettar la c o m e una f o r m u l a ana-litica del s i s t ema . Per s t ab i l i rne i l cara t tere ana l i t i co , occorre t rovare un m o d o di d e r i v a r l a ; e questa può s e m b r a r e f accenda di q u a l c h e diff icoltà . Ne vien sugger i ta la poss ib i l i tà di un al tro mollo di s i s temat izzare la logica : un m o d o che consista sempl i -cemente nello s t ab i l i re un metodo genera le di controllo di ogni f o r m u l a da ta , costrui ta nei termini de l le costanti del s i s tema , per vedere se essa è l og i camente necessar ia o meno , nel s i s tema stesso. V e d r e m o l ' e sempl i f i caz ione anche di un metodo di questo genere . Dove un metodo di control lo s i d imos t ra in fer iore , da l punto di vista del s i s tema , a un m e t o d o dedutt ivo , è nel fatto che esso non provvede a d i s p o r r e in nessun ord ine par t i co l a re le f o r m u l e necessar ie del s i s tema . Non sapre i d i re se esso in genera le dia o m e n o un senso e g u a l m e n t e sodd i s f acente d i p a d r o n a n z a de l le comple s s i t à de l la log ica .

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S i s t e m a 81

18. P r i m a di venire a cons iderare effett ivi s i s temi logici , voglio ind ica re un m o d o di r i g u a r d a r e l 'a t t ivi tà di cos truzione s i s temat ica , che li a i suoi per ico l i , ma p u ò r iusc i re molto illu-m i n a n t e ; un m o d o a l q u a l e questa d i scuss ione d o v r e b b e averci p r e p a r a t o . Ho detto, p a r l a n d o un p o ' a l l a b u o n a , clic mentre i logici del pas sa to tentavano di r ive lare q u a l c u n o dei t ipi general i di incongruenza , va l id i tà e inval id i tà che si p re sentavano nel nostro uso o r d i n a r i o de l l ' o rd inar io l inguagg io , i nuovi logici for-mali c reano invece gli e lement i di un nuovo genere di l inguagg io il q u a l e , s e b b e n e i suoi e lementi a b b i a n o q u a l c o s a in c o m u n e con a lcune pa ro le di l a rgo i m p i e g o nel l inguagg io o r d i n a r i o , non s a r e b b e par t i co la rmente adat to per gli scopi del l i n g u a g g i o ordi-nar io , ma è e s t r emamente ben adat ta to a l lo s c o p o di cos tru ire un comprens ivo ed e legante s i s tema di regole log iche . N a t u r a l m e n t e , nel d a r e un s ignif icato ( o , come s i dice ta lvol ta , un ' interpreta-z i o n e ) a l le costanti di un tale s i s tema , i l log ico deve u sa re pa ro le il cui s igni f icato è già conosc iuto . Ta lvo l t a la co r r i spondenza fra uno dei suoi s imbo l i e q u a l c h e p a r o l a già in uso p u ò essere suffi-c ientemente stretta perché egli s e m p l i c e m e n t e d ica che i l tal s imbo lo s igni f ica a l l ' incirca lo stesso de l la ta le p a r o l a . Ta lvo l t a e necessar io forn i re sp iegaz ioni p i ù c o m p l i c a t e . Nel mig l io re dei casi , tal i identi f icazioni a p p r o s s i m a t e o sp i egaz ion i p iù compl i -cale possono serv i re soltanto come una spec ie di gu ida a l signifi-cato dei suoi s imbol i ; noi d o v r e m o contro l l a re , e forse correg-gere, le impres s ion i che ne a b b i a m o avuto , m e d i a n t e un e s a m e «Ielle regole del s i s tema. E pos s i amo t rovare che un e s a m e de l le regole rivela ser ie def icienze nel la s p i e g a z i o n e . D o v r e m o a l lora cercare una sp iegaz ione più s o d d i s f a c e n t e ; d o v r e m o trovare una nostra p r o p r i a interpretaz ione dei s i m b o l i .

Ciò p u ò incoragg iarc i a r i g u a r d a r e l 'a t t ivi tà del logico for-ma le da un angolo v i suale un p o ' d i f ferente . P o s s i a m o conside-rarlo come una persona che a b b i a un d u p l i c e c o m p i t o davant i

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ίιί! Logica f o r m a l e

a sé . In p r i m o luogo ha da costruire un s i s tema di s imbol i pura-mente astratto. Il s i s tema consiste di ( 1 ) l ' in t roduz ione e la clas-s i f icaz ione di un certo numero di s imbo l i ( cos tant i e v a r i a b i l i ) ; ( 2 ) regole che s tab i l i scano qua l i combinaz ion i d i s imbol i s i ano permes se ( l e regole d i f o r m a z i o n e del s i s t e m a ) ; ( 3 ) regole che s tab i l i scano «piali combinaz ion i p e r m e s s e s i ano le leggi inizia l i ( o f o r m u l e n e c e s s a r i e ) 1 del s i s tema , ed u l te r ior i regole ( r e g o l e «li t r a s f o r m a z i o n e o di d e r i v a z i o n e ) per t r a s f o r m a r e queste com-binazioni in a l t re combinaz ion i che s iano anche da cons iderars i conic l e g g i ; o p p u r e , c o m e a l ternat iva a l la ( 3 ) , ( 3 a ) regole per contro l lare le c o m b i n a z i o n i pe rmes se a l lo scopo di de te rminare se esse d e b b a n o cons iderar s i o meno come leggi (o f o r m u l e neces-s a r i e ) 1 ; c ( 4 ) una ser ie d i app l i caz ion i de l le regole d i ( 3 ) o ( 3 a ) , c ioè una ser ie d i ' p r o v e ' . Un tale s i s tema s i c h i a m a * astratto ' pe rché ai s imbo l i non è legato nessun s ignif icato oltre e s o p r a a l le regole «li c o m b i n a z i o n e e t r a s f o r m a z i o n e . La seconda par te del c o m p i t o sarà a l lora que l l a di confer i re a i s imbol i un s ignif icato o u n ' i n t e r p r e t a z i o n e ; e a tale s copo sarà necessar io u sa re e spres s ioni i l cui s igni f icato s i cons ider i come già conosciuto .

La rag ione per cui questo m o d o di cons idera re la mater i a può r iusc ire f u o r v i e n t e è che esso sugger i sce che le due part i del l 'at-tività del logico s i ano af fat to d i s t i n t e ; mentre , in pra t i ca , i l lo-gico a f f ronta s e m p r e i l c o m p i t o de l la cos t ruz ione s i s temat ica avendo già in mente q u a l c h e par t i co l a re genere di interpreta-zione. Le ragioni per cui esso riesce i l luminante sono a l m e n o d u e : ( i ) esso sugger i sce ( v e d r e m o più avant i che i l suggeri-mento è e s a t t o ) che un s i s tema costruito avendo in mente un'in-terpretaz ione p u ò r ivelars i suscet t ib i le di p iù di un' interpreta-zione ( c i o è , p o s s i a m o esser mess i sul la t raccia di u l ter ior i ana-

1 Q u e s t a è u n a p o s s i b i l e sce l ta fra m o l t e a l t re . I-c c o m b i n a z i o n i di s i m b o l i che co s i r i c e v o n o u n o s p e c i a l e Hiatus non h a n n o b i s o g n o , q u a n d o i l s i s t e m a s ia i n t e r p r e t a t o , d i v a l e r e da f o r m u l e a n a l i t i c h e . C f r . c a p i t o l o I V . c s e z i o n e 8 d i q u e s t o c a p i t o l o .

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S i s t e m a 83

logie f o r m a l i ) ; ( i i ) esso c i r a m m e n t a c h e non p o s s i a m o essere del tutto s icuri di come i s imbo l i di un s i s tema d e b b a n o essere interpretat i fino a che, a s u p p l e m e n t o de l l e s p i e g a z i o n i , non si s ia fatto uno s tud io del le regole del s i s t ema . Se una certa inter-pretaz ione del s i s tema è incongruente , non consegue che di inter-pretazioni congruenti non ce ne s iano a f fa t to . ( Q u e s t o fatto è impor tante in vista di una certa cr i t ica corrente , ma basata su di un f r a in tend imento , del la logica t r a d i z i o n a l e ) . In real tà è dimo-strato sol tanto c h e l ' in terpretaz ione che s t i a m o c o n s i d e r a n d o non è un ' in terpre taz ione pos s ib i le del s i s tema cosi c o m ' è . Va da se che un s i s tema per i l q u a l e noi fo s s imo incapac i di t rovare una qua l s i a s i interpretaz ione congruente non s a r e b b e di nessun inte-resse. Q u a l u n q u e s i s tema è un s i s tema logico ( in q u a n t o contrap-posto, ad e s e m p i o , ad uno m a t e m a t i c o ) , se esso può essere , ed è , interpretato in modo ta le che le regole interpreta te present ino i l carat tere genera le di cui s 'è trattato nel la s econda par te di questo cap i to lo , o d ivergano da quel cara t tere so lo nel m o d o trattato nel la terza parte del lo stesso.

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III . Funzioni di verità

I .

Tavole ili verità

1. I l p r i m o s i s t e m a log ico c h e c o n s i d e r e r e m o è i l s i s t ema

de l le f u n z i o n i d i ver i tà o vero- funz ioni . E s s o p u ò ven i r s v i l u p p a t o

s ia con un m e t o d o dedut t ivo , s ia con un m e t o d o di contro l lo . Da-

remo la p r e c e d e n z a a q u e s t ' u l t i m o .

Il s i s t e m a cont iene , c o m e v a r i a b i l i , le let tere ' ρ ', ' q ', ' r ' , ' s ' , ecc . , e c o m e cos tant i , i s i m b o l i * ~ *, * . ' , ' ν ' . ' 3 ' e ' =¡ ' .

C h i a m e r e m o le c o m b i n a z i o n i leci te d e l l e cos tant i e v a r i a b i l i de l

s i s t ema ' f o r m u l e vero- funz iona l i ' . Q u a l s i a s i e s p r e s s i o n e ot tenuta

o s c r ivendo ' ~ ' s egu i to da una q u a l c h e v a r i a b i l e , o s c r ivendo

u n ' a l t r a q u a l s i a s i de l l e a l t re cos tant i de l s i s t e m a con una varia-

b i le pe r p a r t e è u n a f o r m u l a ve ro- funz iona le . Le f o r m u l e ot tenute

in ( ¡uesto m o d o le c h i a m e r e m o f o r m u l e s e m p l i c i , e le f o r m u l e

ot tenute in q u a l u n q u e a l t ro m o d o , f o r m u l e c o m p l e s s e . In tal

m o d o ' ~ ( / ' e ' p 3 <7' sono a m b e d u e f o r m u l e vero- funz iona l i

s e m p l i c i . Q u a l s i a s i e s p r e s s i o n e ot tenuta s c r i v e n d o ' ~ ' s egu i to da

una q u a l c h e f o r m u l a v e r o - f u n z i o n a l e c h i u s a in pa ren t e s i , è una

f o r m u l a v e r o - f u n z i o n a l e ; p . e . , ' ~ ( p 3 < / ) ' . Q u a l s i a s i e s p r e s s i o n e

ottenuta s c r ivendo u n a q u a l u n q u e d e l l e a l t re cos tant i del s i s t ema

con o una v a r i a b i l e o una f o r m u l a v e r o - f u n z i o n a l e f r a pa rente s i

da c i a scun lato di essa è una f o r m u l a v e r o - f u n z i o n a l e . L ' u l t i m a

regola p e r m e t t e o v v i a m e n t e l a co s t ruz ione d i f o r m u l e vero-fun-

z iona l i d i q u a l s i a s i g r a d o d i c o m p l e s s i t à . P .e . , ' p v ( p r ) 1 è

una f o r m u l a v e r o - f u n z i o n a l e ; cos i lo è ' [ρ ν (5 D r ) ] D [ ~

Page 104: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

8 5

( / ) 3 < ? ) ] ' ; cos í lo è * { [ ρ ν ( q 3 γ ) ] =3 [ ~ ( / > r > q)ì} V { [ ρ ν ( q 3 r ) ] . [ ~ { q 3 ρ ) ] } ' .

Le p a r e n t e s i sono un a c c o r g i m e n t o un p o ' g o f f o , e noi pos-s i a m o l i m i t a r n e l ' i m p i e g o a l m o d o c h e s e g u e . È c h i a r o , d a l l e regole eli f o r m a z i o n e da te , che il s i m b o l o k ~ ' , d o v u n q u e com-p a i a , s a r à i m m e d i a t a m e n t e segu i to da u n a s ingo l a v a r i a b i l e o da una f o r m u l a tra p a r e n t e s i . N o i d i r e m o che l a f o r m u l a cons i s tente n e l l ' e s p r e s s i o n e 1 c h e i m m e d i a t a m e n t e s e g u e ad ' ~ \ a s s i e m e a ques to s tesso * ~ ', cos t i tu i sce il campo di q u e l l ' o c c o r r e n z a di ' ~ ' . A n a l o g a m e n t e , ogni occorrenza di una q u a l s i a s i d e l l e a l t re costant i a v r à , i m m e d i a t a m e n t e p r i m a ed i m m e d i a t a m e n t e d o p o , o d u e v a r i a b i l i o d u e f o r m u l e tra p a r e n t e s i , o una v a r i a b i l e e una f o r m u l a tra pa rente s i . D i r e m o che l a f o r m u l a cons i s tente ne l l a c o p p i a d i e s p r e s s i o n i i m m e d i a t a m e n t e p r e c e d e n t i e s eguent i la cos tante , a s s i e m e con ques ta s tessa cos tante , cos t i tu i sce i l campo di q u e l l a occor renza d e l l a cos tante . P o s s i a m o o r a e l i m i n a r e in l a rga m i s u r a le parente s i s t a b i l e n d o una s p e c i e d i rego la d i prece-denza f ra le costant i de l s i s t e m a . S t a b i l i a m o che , in assenza di parentesi orientative, il s i m b o l o ' s ' deve v e n i r c o n s i d e r a t o c o m e forni to del c a m p o più es teso , e il s i m b o l o ' ~ * c o m e forn i to del c a m p o m e n o es teso , i n q u a l s i v o g l i a f o r m u l a . T r a ques t i d u e e s t remi c o l l o c h i a m o le a l t re cos tant i , in m o d o c h e l ' o r d i n e d i ' p r e c e d e n z a di c a m p o ' r i sul t i c o m e s e g u e : ' = ', ' 3 ', * ν ', * . \ ' — ' . In fo rza di ques ta rego la p e r so s t i tu i re le p a r e n t e s i noi ora s a r e m o in g r a d o , spes so ma non s e m p r e , d i f a r e a m e n o d i q u e l l e . P e r e s e m p i o , s a r e m o in g r a d o d i s c r ivere a l pos to de l l a f o r m u l a ' p 3 ( g v r ) ' , ' p 3 g v r ' l a s c i a n d o i n v a r i a t o i l c a m p o d e l l e cos tant i . M a l a f o r m u l a " p v ( < j 3 r ) ' l a d o b b i a m o sc r ivere an-cora con l e p a r e n t e s i , p e r c h é o m e t t e n d o l e o t t e r r e m o ' p v q 3 r ' , la q u a l e in f o r z a de l l a nos t ra nuova rego la è lo s tesso c h e ' (ρ ν q)

1 In q u e s t o p a r a g r a f o uso la p a r o l a ' e s p r e s s i o n e ' u n i c a m e n t e in r i fer i-m e n t o α v a r i a b i l i o a f o r m u l e v e r o - f u n z i o n a l i .

Page 105: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

105 Funzioni <1 i verità

ZD r ' . Cosi , omet tendo le parentes i , noi a l t e r e r e m m o in questo easo i l c a m p o de l l e costant i . Le parentes i che e f fe t t ivamente com-pa i ano in una f o r m u l a devono venir s e m p r e cons idera te come aventi la meg l io sul la regola «li p recedenza .

2. F in «pii ci si è accostati al s i s tema in m o d o astratto. Ma non cont inuerò la sua e spos iz ione c o m e se si trattasse di un si-s tema p u r a m e n t e astratto. In real tà esso veniva costruito avendo in niente un certo genere ili in terpretaz ione , e «licli iarerò ora «piale ques t ' in terpre taz ione s ia , e a «pics t ' intcrpretazione conti-nuamente mi r i fer i rò nel suo u l ter iore svo lg imento . Pili innanzi , lo r i g u a r d e r e m o nuovamente c o m e un s i s tema astratto , q u a n d o c e r c h e r e m o per esso una seconda interpretaz ione . Ma i l nome " v e r o - f u n z i o n a l e ' può a p p l i c a r s i a l s i s tema sol tanto q u a n d o lo si interpret i nel m o d o di cui d o b b i a m o ora trattare . 11 sistema vero-funzionale c un s i s tema interpretato , non un s i s tema astratto .

Le var i ab i l i d i questo s i s tema l ianno c o m e loro valori possi-bili g r u p p i d i pa ro le clic possono c o m p a r i r e c o m e enuncia t i sepa-rati «lei genere i m p i e g a b i l e per fare a s serz ioni . Se tutte le varia-bili «li una f o r m u l a vero- funzionale sono sost i tuite «la tali g r u p p i di pa ro le , l ' e spres s ione r i sul tante e un enunc ia to vero- funzionale ( p . e . , T o m m a s o è p a z z o ' ) . I g r u p p i di pa ro le che sostitui-scono le var i ab i l i in una f o r m u l a vero- funzionale per f o r m a r e un enunc ia lo vero- funzionale , s a r a n n o ch iamat i gli enunciali costituenti de l l ' enunc ia to vero- funzionale . Ogni as serz ione fatta med iante l 'uso di un enuncia to vero- funzionale s a r e b b e un'asser-zione v e r o - f u n z i o n a l e ; e le asserz ioni fatte m e d i a n t e l 'uso, nel lo stesso contesto, degli enunciat i costituenti que l l ' enunc ia to vero-funz iona le s a r a n n o c h i a m a t e , a n a l o g a m e n t e , le asserzioni costi-tuenti de l l ' a s serz ione vero- funzionale . Cos i ' T o m m a s o è p a z z o " è l ' enunciato cost i tuente de l l ' enuncia to vero- funzionale Tom-maso è p a z z o ' ; e un 'a s serz ione fatta m e d i a n t e l 'uso del l 'enun-ciato ' T o m m a s o è pazzo ' s a r e b b e l ' a s serz ione cost i tuente «lell'ns-

Page 106: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

T a v o l e di verità 87

serz ione vero- funzionale fatta m e d i a n t e l 'uso , nel lo stesso con-testo, de l l ' enuncia to T o m m a s o è p a z z o " . Le asserzioni vero-funzionali sono chiamale cosi perché la loro verità o fulsità è determinata interamente e solamente dalla verità o falsità delle loro asserzioni costituenti. Le regole clic governano la determi-nazione de l la veri tà e fa ls i tà di un 'a s serz ione vero- funzionale in base a l la ver i tà o fa ls i tà dello sue as serz ioni costituenti sono le regole clic forni scono il s ignif icato ( l ' i n t e r p r e t a z i o n e ) del le co-stanti del s i s t ema . T a l i regole e saur i scono i l loro s ignif icato. Q u e s t a è la rag ione p e r cui esse sono c h i a m a t e costanti vero-funz iona l i .

Il t e rmine ' vero-funzionale " v iene i m p i e g a t o q u a l c h e volta per s igni f icare ' f o r m u l a vero-funzionale * e q u a l c h e a l tra volta per s igni f icare ' asserz ione v e r o - f u n z i o n a l e ' .

S ' è visto o ra , in genera le , q u a l e sia i l genere di s ignif icato posseduto d a l l e costanti vero- funzional i , c clic si tratta di un genere di s igni f icato molto s empl i ce . V e d i a m o in det tag l io (piale s ia i l s igni f icato di c iascuna . Da quel che s 'è detto circa il genere di s igni f icato loro at tr ibuito , è ch ia ro che p e r f a r c iò è sufficiente indicare c o m e la verità o fa ls i tà di un 'a s serz ione vero-funzionale di c iascuna d e l l e forine ' ~p ' p.q \ ' ρ ν q ' ρ 3 q ', ' ρ = q * s ia de terminata dal la verità o fals i tà de l l e sue as serz ioni costi-tuenti . Q u e s t o lo f acc i amo , d a p p r i m a in pa ro le , a l m o d o s e g u e n t e :

( 1 ) Ogni asserz ione del la f o r m a 1 k ~ p ' è vera se e sol-tanto se la sua asserz ione cost i tuente è f a l s a , e f a l sa se e sol-tanto se la sua asserz ione cost i tuente è vera .

( 2 ) Ogni asserz ione del la f o rma ' p . q ' è vera se c sol tanto se a m b e d u e le sue asserzioni costituenti sono vere, e fa l sa se

1 C f r . r a p i t o l o l i . p . 4 1 n „ p o r l a s p i e g a z i o n e d i q u e s t a f r a se . E s s a p u ò v e n i r e q u i a m p l i a t a in 'ogni a s s e r z i o n e f a l l a m e d í a n l e l ' u s o d i un e n u n c i a l o o t t e n i b i l e con l a s o s t i t u z i o n e d i un g r u p p o d i p o r o l e e b e p o t r e b b e r o presen-tarsi s c p u r u l a n i c n l e r o m e un e n u n c i a t o , ne l l a f o r m u l a . . . '

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88 F u n z i o n i <1 i verità

e so l tanto se a l m e n o una de l le sue asserz ioni costituenti e

f a l s a .

( 3 ) Ogni a s serz ione del la f o r m a ' ρ ν q ' è vera se e sol-tanto se a l m e n o una del le sue as serz ioni cost i tuenti è vera , e f a l sa se e sol tanto se a m b e d u e le sue asserz ioni costituenti sono fa l se .

( 1 ) Ogni a s serz ione del la f o rma ' ρ z> q ' è vera se e sol-tanto se non si dà i l easo che la p r i m a del le sue asserzioni cost i tuenti s ia vera e ins ieme la seconda s ia f a l sa , e f a l sa se e so l tanto se la p r i m a del le sue asserz ioni costituenti s ia vera e la seconda fa l sa .

( 5 ) ogni a s serz ione del la f o r m a ' ρ s q ' è vera se e sol-tanto se le sue asserzioni costituenti sono o tutte e due vere o tutte e d u e fa l se , e fa l sa se e so l tanto se una di esse è vera e l 'a l tra f a l sa .

Es is te un m o d o ch ia ro e s e m p l i c e di a t t r ibu i re quest i s ignif icat i , ta le da metterci in g rado di fare a meno de l le sp iegaz ioni verba l i . Non d o b b i a m o f a r e a l tro che rappresentare v i s ivamente gli efTetti del la verità o fa l s i tà del le asserzioni cost i tuenti su di un'asser-zione vero- funz iona le di una qua l s i a s i de l l e f o r m e . P o s s i a m o scri-vere in una co lonna una lista dei vari modi poss ib i l i in cui la verità o fa l s i tà può essere combina ta nel le asserz ioni cos t i tuent i ; e in c o r r i s p o n d e n z a di c ia scuna di ques te poss ib i l i combinaz ion i i n d i c h i a m o il va lore di verità ( v e r i t à o f a l s i t à ) che l ' a s serz ione vero- funzionale d i una data fo rma avrà per que l l a c o m b i n a z i o n e di va lor i di ver i tà de l le asserzioni cost i tuenti . Dove c 'c sol tanto un 'a s serz ione cost i tuente , è i m p r o p r i o p a r l a r e di poss ib i l i com-binazioni di va lor i di v e r i t à ; d o b b i a m o s e m p l i c e m e n t e indicare l 'effetto di ( 1 ) la verità e ( 2 ) la fa l s i tà de l l ' a s serz ione costituente s u i r a s serz ione vero-funzionale . Q u e s t o p o s s i a m o fa r lo , schema-t icamente , c o s i :

Page 108: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

T a v o l e di verità 89

( 1 ) ρ ~P V F F V

intendendosi clic la colonna a s inistra r a p p r e s e n t a ( 1 ) i l caso in cui l ' a s serz ione costituente è vera e ( 2 ) il caso in cui l 'asser-zione cost i tuente è fa l sa ; e che la co lonna a destra r a p p r e s e n t a il m o d o in cui i l va lore di verità di un 'a s serz ione vero- funzionale del la f o r m a ' ~ p ' è determinato p e r c i a scuno d i quest i cas i . P e r le asserzioni vero-funzional i clic hanno d u e asserz ioni cost i tuenti , la verità e fa l s i tà può essere c h i a r a m e n t e c o m b i n a t a in quat t ro modi d i f ferent i nel le asserz ioni costituenti ; e la de te rminaz ione dei va lor i d i ver i tà del le asserzioni vero- funzional i dovranno essere fornit i p e r c iascuno di questi qua t t ro m o d i d i f ferent i . A b b i a m o cosi

(«) ( M (c)

Ρ <1 Ρ ·Ί Ρ ν q p => q p — q

V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V

qual i def iniz ioni del le r imanent i costanti del s i s t ema . La p r i m a colonna di lettere rappresenta i poss ib i l i va lor i di ver i tà de l la p r i m a as serz ione costituente, la seconda co lonna di lettere i pos-s ibi l i va lor i di verità del la seconda a s serz ione cost i tuente, e le due co lonne prese ins ieme come una so la co lonna r a p p r e s e n t a n o le poss ib i l i combinazioni di va lor i di veri tà de l le d u e asserzioni cost i tuenti . La colonna del le c o m b i n a z i o n i poss ib i l i avrà otto righi anz iché quattro nel caso di una f o r m a di a s serz ione vero-funz iona le con tre asserzioni co s t i tuent i ; e, in genera le , 2" r ighi per una f o r m a di asserz ione vero- funz iona le con η asserz ioni cost i tuenti .

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90 Funz ion i <1 i verità

Q u a l c u n o pot rebbe d i r e : Ma cosa c i garant i sce clic c i s ia giusto questo numero di poss ib i l i tà in c ia scun c a s o ? Non par-l i amo forse di mezze ver i tà , ta lvol ta , p u r avendo tutti i fatti a d i spos iz ione davant i a noi . e non r i m a n i a m o esitanti se c h i a m a r e un enuncia to vero o f a l so , o in q u a l c h e caso vero e fa l so nello stesso t e m p o ? Inoltre , q u a n d o uno racconti una storia o scriva un r o m a n z o , s e m b r a poco a p p r o p r i a t o qua l i f i c a re o vere o fa l se le cose che d ice o scr ive . Kgli usa il genere di enunciat i che potrebbe s e rv i re per f a re asserzioni vere o fa l se , ma li usa in un m o d o d i f ferente , con un d i f ferente intento. Kgli non vuole fornire in formaz ion i né giuste, né erra te , bensì solo intrattenere il lettore. La f inzione let terar ia non è fa l s i tà , per quanto q u a l c h e volta s i mascher i e legantemente la fa l s i tà c h i a m a n d o l a f inzione le t terar ia . La ques t ione de l la verità o fa l s i tà ( n e l senso o r d i n a r i o ) ili quel clic d ice un novel la tore è ques t ione che non sorge nep-pure . Κ già a b b i a m o veduto 1 clic vi sono altr i modi d 'e spres s ione , oltre a l l a f inzione le t terar ia , nei qua l i i l p r o b l e m a del la verità o fa ls i tà non si presenta . Il p r e s u p p o r r e , d u n q u e , clic vi sia p r o p r i o ques to n u m e r o di poss ib i l i tà in c iascun caso , s ignif ica i gnorare fatti di ques to genere . Λ ques ta osservaz ione si può r i s p o n d e r e in modi d ivers i . Uno sta nel d i r e : Ben i s s imo , noi e l e v i a m o a regola che ai fini di questo s i s tema nul la possa con-s iderar s i un 'a s serz ione , c h e non s ia o vero o fa l so c non tutte e due le cose a s s i eme . Ma io non sceg l ierò questa r i spos ta , che a p p e s a n t i s c e i l s i s tema con una regola s u p e r f l u a . Di rò invece : lo s copo ili queste tavole ( t a v o l e di v e r i t à ) è que l lo di confer i re un eerto genere di s igni f icato a certe c o s t a n t i ; un s ignif icato che è e saur ientemente confer i to q u a n d o si s ia mostra to come la verità e fa l s i tà de l le as serz ioni di certe f o r m e s ia de te rmina to comple-tamente ed un icamente q u a n d o s i s ia mostra to q u a l e dei due va lor i ili ver i tà s ia pos seduto da c ia scuna de l le sue asserz ioni

1 C.fr . c a p i t u l o I . s e z i o n e 12 . p . 2 5 .

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T a v o l e di verità

cost i tuenti . Cos i noi a b b i a m o a elle f a re so l tanto con i casi in cui le asserz ioni costituenti h a n n o uno ed u n o solo di questi d u e va lor i di ver i tà . N o i non e s c l u d i a m o con nessuna regola o pre-s u p p o s i z i o n e la poss ib i l i tà di altri cas i . So l tanto l i c o n s i d e r i a m o irr i levanti a l nostro scopo , che è a p p u n t o que l lo di dare ta le genere di s igni f icato a queste costant i . N o i non ci intes t iamo a sostenere clic ogni asserz ione vero- funzionale o ogni as serz ione cost i tuente deve avere uno soltanto di quest i va lor i di veri tà ; noi s t a b i l i a m o sol tanto che se, e sol tanto se , c i a scuna de l l e asser-zioni cost i tuenti di un 'asserz ione vero- funz iona le ha esat tamente uno di quest i due valori di ver i tà , a l lora l ' a s serz ione vero-funzio-na le ha e sa t tamente uno di questi va lor i di ver i tà . Le regole mos t rano c o m e ques to va lore d i veri tà s ia d e t e r m i n a t o per ogni caso in cui c i a scuna del le asserzioni cost i tuenti ubbia e sa t tamente uno di quest i d u e valori di veri tà .

3 . Noi d i r e m o che le def inizioni che a b b i a m o forni to sin qu i s tabi l i scono le condiz ioni di verità o vero-condizioni de l le for-mule cons idera te ne l l 'u l t ima sezione. C ioè , le vero-condizioni di una f o r m u l a vero-funzionale sono i modi in cui i l va lore di verità di qua l s i a s i a s serz ione de l la f o r m a di que l l a f o r m u l a è detcrmi-nato da i va lor i di verità del le sue asserz ioni cost i tuenti . Descri-veremo ora un proced imento per d e t e r m i n a r e le vero-condizioni di f o r m u l e più comple s se . Si tratta di un p r o c e d i m e n t o estrema-mente s e m p l i c e : consiste s e m p l i c e m e n t e in r ipetute a p p l i c a z i o n i del le regole già fornite come def iniz ioni . P r e n d i a m o , c o m e esem-pio , l a f o r m u l a comple s sa ' ~ ( p . q ) ' e c o n f r o n t i a m o l a con l e f o r m u l e ' ~ p ' e ' p . r / ' per le qua l i a b b i a m o già fornito le vero-condiz ioni . Q u a n d o f o r n i m m o l e vero-condizioni d i ' ~ p \ l e f o r n i m m o per ogni asserzione qualsivoglia di que l l a f o r m a . Le f o r n i m m o perc iò anche per i casi in cui l ' a s serz ione costituente de l l ' a s serz ione di quel la f o r m a sia essa stessa un 'a s serz ione vero-f u n z i o n a l e ; ad e sempio , per i l caso in cui l ' a s serz ione costituente

91

8

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92 Funz ion i <1 i verità

sia de l la f o r m a ' p . g \ Cosi , i n ba se a l la t abe l l a ( 1 ) ogni asser-zione del la f o r m a ' ~ ( p . q ) ' è vera se e so l tanto se la corr i spon-dente a s s e r z i o n e 1 de l la f o r m a ' p . g ' è f a l s a , e f a l s a se e sol tanto se la c o r r i s p o n d e n t e as serz ione de l la f o r m a 'p.q' è vera . Il va-lore d i verità d i ogni as serz ione de l la f o r m a ' p . q ' per c ia scuna pos s ib i l e c o m b i n a z i o n e dei va lor i d i ver i tà del le sue costituenti è dato nel la co lonna ( o ) del la tabe l la ( 2 ) . Cosi i l va lore d i veri tà d i ogni a s serz ione del la f o r m a k ~ ( p . q ) ' è dato m e d i a n t e l ' a p p l i c a z i o n e de l la regola del la t abe l l a ( 1 ) a l la co lonna ( a ) del la t abe l l a ( 2 ) . c ioè scr ivendo ' F ' d o v u n q u e in quel la co lonna c o m p a i a " V ' e ' V ' d o v u n q u e in que l l a co lonna c o m p a i a ' F '. A p p l i c a n d o ( 1 ) a ( 2 a ) o t ten iamo ( 2 e ) :

(2) («) (e)

Ρ ~ p Ρ p.q ~ ( p . q )

V F V V V F F V VF F V

FV F V F F F ν

Q u e s t o p roced imento p u ò venir genera l i zza to a l m o d o seguente . Ogni f o r m u l a cont iene una eostante p r i n c i p a l e i l cui c a m p o è la f o r m u l a tutta i n t e r a : ed una o più a l t re costanti subord ina te , i l c a m p o di c i a scuna de l le qua l i è q u a l c h e f o r m u l a meno a m p i a del la f o r m u l a intera . D i c i a m o che ogni f o r m u l a s i f fatta è subor-dinata a l l a p ro s s ima f o r m u l a p iù a m p i a che l a inc lude come sua parte . A l lo ra i l p roced imento genera le per ottenere le vero-condiz ioni di qua l s i a s i funz ione c o m p l e s s a è i l s e g u e n t e : ( 1 ) annotate le vero-condizioni per le f o r m u l e s u b o r d i n a t e m i n i m e in gioco, c ioè per le f o r m u l e con le costanti di c a m p o m i n i m o ( c h e s a r a n n o f o r m u l e s e m p l i c i ) : ( 2 ) a p p l i c a t e qu indi a i r isultat i

' 1Λ f r a s e " a s s e r z i o n e c o r r i s p o n d e n t e ' a c q u i s t a q u i i l s e m p l i c e s i gn i f i ca to di * a s s e r z i o n e con le s le s se cos t i tuent i * .

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T a v o l e d i veri tà 93

le regole p e r le costanti del p r o s s i m o c a m p o di m a g g i o r a m p i e z z a , ot tenendo cosi le vero-condizioni p e r le f o r m u l e a l le qua l i le f o r m u l e s e m p l i c i sono s u b o r d i n a t e ; e ( 3 ) cont inuate i l procedi-mento fino a ragg iungere la costante p r i n c i p a l e de l l ' intera for-mula . E c c o n e l ' i l lus traz ione per un a l tro e s e m p i o s e m p l i c e . Le vero-condizioni de l la f o r m u l a ' ~ p . ~ q ' son da te da l l a colonna in grassetto de l l a seguente t a b e l l a :

Ρ 1 ~P ~q

V V F F F V F F F V F V V F F F F V V V

la q u a l e è ottenuta a p p l i c a n d o p r i m a a ' ~ ρ ' e ' ~ q \ la regola del la t abe l l a ( 1 ) ed a p p l i c a n d o quindi a l l e co lonne r isultanti la regola forni ta nel la tabel la (2<i) .

4 . I l pa s so f inale nel lo svo lg imento del s i s tema sta nel l 'uso di questo m e t o d o t abu la re per s t ab i l i re le vero-condizioni di qua-lunque f o r m u l a vero-funzionale , agl i s c o p i : ( i ) d i s t ab i l i re rela-zioni log iche f ra tali f o r m u l e , e ( i i ) d i s t ab i l i re se c ia scuna for-mula s i f fa t ta s ia anal i t ica o m e n o nel s i s t e m a . Si tratta una volta ancora d i cosa e s t remamente s e m p l i c e . S u p p o n i a m o d i c o m p o r r e in un 'unica t abe l l a le vero-condizioni di p a r e c c h i e f o r m u l e diffe-renti, e c o n f r o n t i a m o le vero-condizioni di una q u a l u n q u e c o p p i a del le stesse , p e r e sempio F j e F 2 . Vi sono var ie pos s ib i l i t à . Po-t remmo t r o v a r e :

( 1 ) C h e tra le var ie c o m b i n a z i o n i pos s ib i l i di veri tà e fa l s i tà ne l le costituenti , non c 'era c o m b i n a z i o n e a lcuna che confer i s se verità a qua l s i a s i a s serz ione de l l a f o r m a di Fi con-fe rendo in s i eme fals i tà a una qua l s i a s i a s serz ione de l la f o r m a di F j . G i a c c h é le tabel le forn i scono i sol i m o d i poss ib i l i in cui s ia verità che fa l s i tà pos sono ven i r confer i te ad asscr-

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94 Funz ion i <1 i verità

z ioni di a m b e d u e le f o r m e , l ' a s senza di una tale combina-z ione s ign i f i cherebbe che s a r e b b e log icamente i m p o s s i b i l e per un 'a s serz ione de l la f o r m a d i F , essere vera mentre l a cor r i spondente asserz ione ( c i o è , l ' a s serz ione con le stesse cos t i tuent i ) del la f o r m a di F 2 fosse f a l s a . Ma dire questo è d i re che F i esige F 2 . C o m e e s e m p i o , p o s s i a m o prendere i l caso in cui F! s ia ' ρ. q ' e F2 s ia 4 ρ V q '.

p q p.q p v q

ν V V V V F F V F V F V F F F F

Non c 'è nessuna del le poss ib i l i c o m b i n a z i o n i e lencate nel la co lonna a s inistra per la q u a l e una qua l s i a s i a s serz ione de l la f o r m a 4 p . q ' a b b i a i l va lore di veri tà ver i tà , e per i l q u a l e una qua l s i a s i a s serz ione de l la f o r m a 4 ρ ν q ' a b b i a il va lore di verità fa l s i tà . Ciò equ iva l e a d i re che 4 p.q ' esige 4 ρ ν q '.

P o s s i a m o s o m m a r i a m e n t e e n u n c i a r e u l ter ior i poss ib i l i tà a l m o d o s e g u e n t e :

( 2 ) P o s s i a m o t rovare c h e per ogni poss ib i le combina-z ione , asserzioni «Ielle f o r m e F| e F 2 h a n n o lo stesso va lore di veri tà . Ma ciò e q u i v a l e a d i re che è log icamente imposs i-b i le per asserzioni cor r i spondent i de l le f o r m e di F j e F 2

avere va lor i di verità d i f f e r e n t i ; c ioè , che F| è logicamente equivalente a F 2 . E s e m p i o : ' pvq' e 4 ~ ( ~ p . ~ q ) ' .

( 3 ) D u e f o r m u l e sono cont radd i tor i c se, per ogni possi-b i le c o m b i n a z i o n e , le asserz ioni de l la loro fo rma hanno va-lori di veri tà oppos t i . ( E s e m p i o : 4 ρ ν q ' e 4 ~ p . ~ q ' ) .

( 4 ) Due f o r m u l e sono contrar ie se non c 'è nessuna com-b inaz ione per la q u a l e le as serz ioni di a m b e d u e le f o r m e s i ano vere . ( E s e m p i o : 4 p . q ' e 4 ~ p . ~ q ' ) .

( 5 ) Due f o r m u l e sono subcoi i trur ie se non c 'è nessuua

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T a v o l e di verità 95

c o m b i n a z i o n e p e r la qua le le asserz ioni d i a m b e d u e le f o r m e s iano fa lse . ( E s e m p i o : ' p v g ' e ' ~ p v ~ g ' ) .

In tal m o d o pos s i amo ottenere da l l e tabe l le regole logiche , c ioè regole eon cui s tab i l i re che una f o r m u l a es ige un 'a l t ra , è l og i camente equiva lente ad un ' a l t r a , è la contraddi t tor ia di un'al-tra , ecc. Ma esiste un m o d o a l ternat ivo di e s p r i m e r e q u a l u n q u e regola s i f fa t ta . P e r e sempio , d i re che d u e f o r m u l e sono logica-mente equiva lent i è c o m e dire che le as serz ioni corr i spondent i di ques te fo rme , ove s i ano a m b e d u e forni te di va lore di ver i tà , hanno lo stesso valore di ver i tà , come cosa di necessità logica. Ciò è a d i re clic l 'asserzione, re lat iva ad asserz ioni corr i spondent i d i questa f o r m a , l a qua le a f f e r m a che , p u r c h é a b b i a n o a m b e d u e va lore di ver i tà , esse hanno lo stesso va lore di ver i tà , è un'asser-zione ana l i t i ca . Ma noi a b b i a m o già def ini to un s i m b o l o , ' = ' , in m o d o tale che un 'asserz ione de l la f o r m a * ρ = q ' è vera se e so l tanto se le sue due asserzioni cost i tuenti h a n n o lo stesso va lore di ver i tà , e fa l so se e sol tanto se le sue d u e asserz ioni costituenti hanno valor i di verità d i f ferent i . Cos i , ove le due asserz ioni costi-tuenti di un 'as serz ione di ques ta f o r m a s i ano log icamente equi-valenti ( c i o è , sia log icamente i m p o s s i b i l e p e r esse avere va lor i di verità o p p o s t i ) , l ' asserzione de l la f o r m a ' ρ s q ' de l la q u a l e esse s i ano costituenti è essa stessa ana l i t i ca ( c i o è , non può essere negata senza a u t o - c o n t r a d d i z i o n e ) ; e , co r r i spondentemente , la f o r m u l a che r isulta da l l ' un i re due f o r m u l e log icamente equiva-lenti con ' = ' è una f o r m u l a ana l i t i ca . P e r converso , q u a n d o una f o r m u l a la cui costante p r i n c i p a l e s ia ' κ ' è ana l i t i ca , le due f o r m u l e s u b o r d i n a t e del la f o r m u l a c o m p l e s s i v a sono log icamente equ iva lent i . Q u e s t o r i sulterà ev idente da l l e tabe l le nel m o d o s e g u e n t e : l ' app l i caz ione dei p r o c e d i m e n t i per la de te rminaz ione (li vero-condizioni ad una qua l s i a s i f o r m u l a che risulti dal riu-nire le due f o r m u l e equiva lent i con * = d a r à s e m p r e or ig ine a uno co lonna consistente interamente d i ' v ' ; e , per converso .

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96 Funz ion i <1 i verità

ogni volta che una co lonna del genere s ia ottenuta per una for-mula la cui costante p r i n c i p a l e è ' sa le f o r m u l e s u b o r d i n a t e al la f o r m u l a comple s s iva s a r a n n o log i camente equiva lent i . Cos i , in c o r r i s p o n d e n z a con la regola che ' ρ ν q ' è log icamente equi-valente a ' ~ ( ~ p. ~ <7) ' a b b i a m o la regola che ' ρ ν q = ~ ( ~ p . ' è ana l i t i ca .

C o r r i s p o n d e n z e a n a l o g h e es i s tono p e r gli altri cas i . C o s i :

( 1 ) P e r ogni i m p l i c a n z a esiste una f o r m u l a anal i t ica de l la f o r m a ' 4 ρ 3 q\ Per e s e m p i o , la regola che ' p . q ' es ige ' ρ ν q ' co r r i sponde al la regola che ' p . q Z> ρ V <7 ' è ana-l i t ica .

( 2 ) P e r ogni equ iva lenza logica c 'c una f o r m u l a anal i t ica de l l a f o r m a ' ρ = q ' . ( V e d i l ' e s e m p i o sopra r i p o r t a t o ) .

( 3 ) P e r ogni caso d i f o r m u l e contraddi t tor ie c 'è una for-m u l a anal i t ica de l la f o r m a 1 ( p v q ) . ~ ( p . q ) P e r esem-p i o : la regola che 4 ρ ν q ' è la contraddi t tor ia di ' ~ p . ~ q ' c o r r i s p o n d e a l la regola che ' [ ( p v i / ) v ~ p . ~ q ] . ~ [ ( p v q ) . ( ~ p . ~ < / ) ] ' è ana l i t i ca .

( 4 ) Per ogni caso d i contrar i , c 'è una f o r m u l a anal i t ica de l l a f o r m a ' ~(p-q) '. P e r e s e m p i o , la regola che 4 p.q ' e ' ~ p . ~ < 7 ' sono contrar ie c o r r i s p o n d e a l la regola che 4 ~ [ ( p . q ) . ( ~ p . ~ g ) ] ' è ana l i t i ca .

( 5 ) P e r ogni caso d i subcont ra r i , c 'è una f o r m u l a anal i-tica de l la f o r m a ' ρ ν q '. P e r e s e m p i o , la regola che 4 ρ ν q ' e 4 ~ p v ~ < / ' sono subcont ra r i e c o r r i s p o n d e a l la regola che 4 ( p v q ) v ( ~ p v ~ 17) ' è ana l i t i ca .

Lo s t ab i l i re che due f o r m u l e vero-funzional i sono logica-mente co l legate in q u a l c h e m o d o è cos i e s senz ia lmente lo stesso

' P a r l e r e m o di qua l s i a s i f o r m u l a la eui eo s t an te p r i n e i p a l e s ia " Z) ' e o m e d i u n a f o r m u l a della forma ' / ) D 9 ' ; d i ogn i f o r m u l a l a cu i cos tante p r i n c i p a l e sin · = c o m e di u n a f o r m u l a d e l l a f o r m a ' ρ ΕΞ q e cos i v ia .

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T a v o l e di veri tà 97

che s t ab i l i r e che una q u a l c h e f o r m u l a che include queste d u e è ana l i t i ca .

Le f o r m u l e vero-funzional i ana l i t i che ( c i o è , f o r m u l e tal i che l ' a p p l i c a z i o n e ad esse del p r o c e d i m e n t o p e r de te rminare le vero-condiz ioni generi una co lonna consis tente in teramente di ' V ') son dette ta lvolta f o r m u l e tauto log iche . Le f o r m u l e p e r le qua l i l ' a p p l i c a z i o n e di questo p roced imento genera una colonna consi-stente in teramente di * F ' si c h i a m a n o f o r m u l e auto-contraddit-torie. ( L ' e s e m p i o più s e m p l i c e è ' p . ~ p ' ) . L e f o r m u l e p e r l e qua l i l ' a p p l i c a z i o n e di questo p r o c e d i m e n t o genera una co lonna mista ( p . e . , u n a qual s ia s i de l le f o r m u l e s e m p l i c i ) son c h i a m a t e f o r m u l e contingenti ( o s in te t i che ) .

5. A b b i a m o ora a d i spos iz ione un metodo genera le per con-tro l lare q u a l u n q u e formula vero- funz iona le onde de te rminare se essa s ia o m e n o anal i t ica . Le f o r m u l e ana l i t i che p o s s i a m o chia-m a r l e leggi del s i s tema. C o n s i d e r e r e m o un certo n u m e r o di e s e m p i di tal i leggi .

( a ) Anzitutto pos s i amo annotare una ser ie che s tabi l i sce l ' interdef ìnibi l i tà delle costanti del s i s t ema .

(1) ρ => q = ~ ( p . ~q) ( 2 ) ρ ν q = ~( ~ p . ~<7) ( 3 ) (p = q) a ~ ( p . ~ q ) . ~ ( q . ~ p )

Cia scuna de l le fo rmule ( l ) - ( 3 ) , contro l la te p e r mezzo de l le tabe l le d i ver i tà , s a ranno r i scontrate c o m e ana l i t i che . P o i c h é esse sono tutte f o r m u l e anal i t iche de l l a f o r m a k ρ a» q ' , le f o r m u l e da c iascun lato del la costante p r i n c i p a l e sono , caso per caso , logi-camente equiva lent i . Perc iò invece d i fo rn i re def iniz ioni s e p a r a t e , verba l i o s chemat iche , di ' Ξ ', 4 ζ) ' e ' ν ', p o t r e m m o aver defi-nito c ia scuna di queste costanti nei te rmini del le d u e r imanent i ( p . e . , ' ρ D ς ' = D/ ' ~ ( P · ~ q ) ' ) · N o n è diff ici le t rovare ulte-riori equ iva lenze che permettono def iniz ioni a l ternat ive di qual-che costante nei termini del le a l t re : p .e . ' = ' p u ò essere defi-

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98 Funzioni <1 i verità

nita in termini di ' 3 ' e ' . ' ; ' 3 ' e ' . " in termini di ' ν ' e ' ~ * ν 1 e ' . ' in termini di ' 3 ' e ' ~ \

(b) Dal le regole di formazione fornite nella pr ima sezione di questo capitolo a p p a r e clic ogni formula vero-funzionale deve avere una costante pr inc ipa le ed una sola , identificaliile per mezzo della posizione delle parentesi e della regola di prece-denza fra costanti. E (in qui ci s i amo attenuti sempre a questa norma nella nostra esposizione. In assenza, invero, di un metodo per identificare la costante pr inc ipa le , sarebbe imposs ibi le ap-pl icare le regole già fornite per s tabi l ire le vero-condizioni di una data formula , e imposs ib i le quindi usare le tabelle al fine di s tabi l ire leggi e regole del s i s tema. S u p p o n i a m o , per esempio , che ci si chieda di determinare le vero-condizioni della for-mula ' /) D (j D ρ \ Potremmo tentare di congetturare quale se-gno ' 3 ' dovesse considerarsi coinè costante pr incipale . Ma in questo caso congetture differenti genererebbero serie differenti di vero-condizioni ; in realtà ' ( p 3 q) 3 p' è una formula con-tingente. laddove lp 3 (q 3 p) " è anal i t ica . Potremmo dire che se 'p 3 q 3 ρ ' fosse ammiss ib i le come una formula vero-fun-zionale, essa r iuscirebbe ambigua ; asserzioni di quel la forma s ignif icherebbero una cosa prendendosi il pr imo segno ' 3 ' come costante pr incipale , ed un'altra completamente diversa prenden-dosi come costante pr incipa le il secondo segno. In effetti, ' ρ 3 q 3 ρ in base alle regole di formazione non si qualif ica per nulla come una formula vero-funzionale. Infatti le regole di for-mazione sono intese ad ass icurare che una combinazione di sim-boli possa valere come formula vero-funzionale se e soltanto se il procedimento per determinare le vero-condizioni può essere meccanicamente appl icato a quella formula in modo tale da pro-durre esattamente una serie di vero-condizioni. S u p p o n i a m o ora di imbatterci in espressioni del t ipo di ' ρ 3 q 3 ρ ' o di " ρ 3 q 3 r nelle qual i non ci sono parentesi clic ci permettano di identif icare la costante pr incipale , ma s iano differenti da ' ρ

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T a v o l e di verità 99

q 3 r ' in ciò che, q u a l u n q u e congettura si f acc ia , si g iunga s e m p r e a l l a stessa serie d i vero-condiz ioni . P o t r e m m o a l lora e m e n d a r e le regole di f o r m a z i o n e in m o d o da s anz ionare l 'omis-s ione de l l e parentes i in questi cas i , c ioè da a m m e t t e r e tali espres-sioni c o m e f o r m u l e vero-funzional i . Ed in effetti tali e spress ioni esistono ; f ra esse quel le in cui ci si imbat te più c o m u n e m e n t e sono le e spres s ioni dove s e m b r a che vi s ia l ibertà di sceg l iere uno qua l s i a s i di una ser ie di segni 4 . ' o uno qua l s i a s i di una ser ie di segni ' ν ' come eostante p r i n c i p a l e . La cosa può essere s e m p l i c e m e n t e espressa come s e g u e :

( 4 ) (p.q).r = p.(q.r) e ( 5 ) ( p y q ) v r p v ( g v r )

sono f o r m u l e anal i t iche , o leggi , del s i s t ema , l addove ' ρ 3 ( < 7 3 r ) = ( p 3 q ) 3 r ' non è una f o r m u l a ana l i t i ca , m a con-t ingente. Le f o r m u l e da ciascun lato del segno ' s ' in ( 4 ) c ( S ) hanno le stesse vero-condizioni , mentre le f o r m u l e da c iascun lato del segno ' = ' ne l l 'u l t ima e spre s s ione h a n n o vero-condizioni di-verse . D i conseguenza , ove s i a b b i a n o espres s ioni c o m e ' p . q . r ' o ' p v q v r ' ( o anche, ' p . q v q . r v ( q 3 s ) ' ) , dove u n certo n u m e r o di segni ' . ' o un certo n u m e r o di segni ' ν ' s e m b r a n o in c o m p e t i z i o n e p e r la parte di costante p r inc ipa l e , è indiffe-rente q u a l e noi si scelga per ((uesta p a r t e ; mentre invece, se i compet i tor i sono segni 4 3 ' , la scelta di uno fra essi c o m p o r t a conseguenze dif ferenti . Cosi le e spres s ion i del p r i m o genere sono a m m e s s e , e que l l e del secondo genere non sono a m m e s s e c o m e f o r m u l e vero-funzional i ; e noi s i a m o autor izzat i a scr ivere ' ( ρ V q ) ν r ' e 4 ρ ν ( q ν r ) ' al par i che 4 ρ ν q ν r \ S e modif i-c h i a m o le regole di f o rmaz ione c s a n z i o n i a m o q u a l c h e omis s ione di parentes i , lo f acc i amo in vista di a lcuni r isultat i de l l ' app l i ca -zione de l le regole d i control lo . Le leggi ( 4 ) e ( 5 ) sono c h i a m a t e 4 leggi a s soc ia t ive '.

( c ) E lenco ora un certo n u m e r o di a l t re leggi che, per var ie

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119 Funz ion i <1 i verità

r ag ion i , r ivestono mento in sezioni

( 6

( 7 (8

( 9 ( 1 0 ( 1 1 (12

( 1 3 ( 1 4 ( 1 5 (16

( 1 7 (18

( 1 9 ( 2 0 ( 2 1 ( 2 2 ( 2 3 ( 2 4 ( 2 5 ( 2 6 ( 2 7 ( 2 8 ( 2 9 ( 3 0 ( 3 1 ( 3 2

interesse logico. A molte di queste f a rò riferi-success ivc .

~ ( p . ~ p )

ρ ν ~ p

Ρ => Ρ ρ'

ρ . q 3 ρ ρ . q = q . ρ q 3 ρ V q ( Ρ V q ) . ~ ρ 3 q ~ ( p . q) . ρ Z>~q

( p 3 q) . ρ 3 q (p 3 q) . ~ q 3 ~ ρ ρ Z > q = ~ q Z ) ~ p (ρ 3 q) . ( q 3 r ) 3 (p 3 r ) ~ p 3 (/» 3 q) ~ ρ 3 ( ρ 3 ~ q ) q 3 ( P 3 q) q 3 ( ~ ρ 3 q ) ~ ρ = ( ρ 3 q ) . ( p 3 ~ q ) ~ ( p . q ) = ~ p V ~ q ~ ( P v q ) = ~ p . ~ q ρ . ( q V r ) = ρ . q v ρ . r Ρ · < j v r = ( p v r ) . ( q v r ) p . q v p . ~ q v ~ p . q v ~ p . ~ q ρ ν ρ 3 ρ ρ ν q 3 q ν ρ

( q 3 r ) 3 ( p v q 3 p v r ) p v ( q v r ) 3 q v ( p v r )

( ( / ) Forn i sco , infine, un ' a l t ra d imos t raz ione del l 'uso de l le ta-bel le d i verità per s tab i l i re l ' ana l i t ic i tà del le f o r m u l e , r iprodu-

' A d o t t i a m o la c o n v e n z i o n e d i s c r i v e r e ' ~ ( ~ p ) ° c o m e *

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101

c e n d o la t a b e l l a pe r l a f o r m u l a ( 1 8 ) . S i v e d r à che s t a b i l i r e l ' ana l i -t ic i tà d e l l a f o r m u l a s igni f ica s t a b i l i r e la t rans i t iv i tà del s egno 1 3 ' .

Ρ <1 r ( ρ = > < / ) • ) 3 ( Ρ 3 Γ )

ν ν ν V ν ν V ν V V F V F F ν F V F V F F V ν ' V V F F F F V ν F F V V V V V ν V F V F V F F ν V F F V V V V ν V F F F V V V ν V

È e v i d e n t e che via v ia clic le f o r m u l e vero- funz iona l i d i v e n t a n o p iù c o m p l e s s e e contengono un n u m e r o s e m p r e m a g g i o r e d i var ia -b i l i , l ' u so , senza m o d i f i c h e , de l m e t o d o t a b u l a r e d i d e t e r m i n a r e i l loro status ( c o m e ana l i t i co , s inte t ico , o a u t o - c o n t r a d d i t t o r i o ) di-venta s e m p r e p i ù i m b a r a z z a n t e . G r a n d e ingegnos i t à s i e d e d i c a t a a d e s c o g i t a r e g r u p p i d i r ego le c h e p e r m e t t e s s e r o m e t o d i p iù r a p i d i ed e l egant i p e r i l contro l lo d i f o r m u l e c o m p l e s s e N o n mi so f fer-m e r ò a de sc r iver l i . Infat t i io non mi o c c u p o tanto d e l l ' a b i l i t à tec-nica in l o g i c a , p e r a m m i r e v o l e c h e pos sa e s sere , q u a n t o del carat-tere f o n d a m e n t a l e dei s i s temi log ic i e d e l l e lo ro re l az ion i con i l d i s c o r s o o r d i n a r i o .

I I .

Costanti vero-funzionali e parole ordinarie

6. C h e d i r e del le re laz ioni f r a le cos tant i vero- funz iona l i e le e s p r e s s i o n i del l i n g u a g g i o o r d i n a r i o ? I l s i gn i f i ca lo , o interpre-taz ione , d i q u e l l e costant i , v e n n e f o r n i t o , in p a r o l e , a l l e p p . 87-88 ,

1 C f r . , A»! e s e m p i o , QUINE. Methods of Logic ( t r a d , it . , Manuale di logica, M i l a n o 1 9 6 0 ) .

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102 Funzioni <1 i verità

e tale spiegazione doveva essere intesa alla luce dei procedimenti sv i luppat i in seguito per determinare le vero-condizioni e stabi-lire le regole logiche. Dobbiamo domandarc i , in relazione con ciascuna di quelle costanti, se vi sia una qualche espressione del l inguaggio ordinario che abbia a lmeno un uso di mass ima identi-ficabile col significato della costante stessa. È assai comune sug-gerire, con certe riserve, le identificazioni seguent i : con ' non ', o ' non si dà il caso che ' ; * . ' con 'e 1 ; '. . . ν . . . * con ' o . . . o . . . ' ; * . . . 3 . . . " con ' se . . . a l lora . . . ' ; ' . . .= . . . " con ' . . . se e soltanto se . . . " Di queste identificazioni le pr ime «lue sono le meno suscettibili «li riuscire fuorvienti . Trove-remo clic le rimanenti sono non solo fuorvienti , ma decisamente false. S a remo in grado di dire clic una tale identificazione è deci-samente falsa non appena troveremo che la congiunzione ordina-ria, nel suo uso di mass ima o pr imar io , non si conforma ad una regola logica che vale per la costante vero-funzionale con la quale essa viene identificata, e non appena troveremo, per converso, che la costante vero-funzionale non si conforma ad una regola logica che vale per la congiunzione ordinar ia nel suo uso di mass ima o pr imar io . Ma troveremo anche che persino la più errata di que-ste identificazioni ha un punto a suo f avore : scopriremo non solo qua lche grado di para l le l i smo formale ( c h e potrebbe venir no-tato indipendentemente da l l ' interpretaz ione) , ma anche qua lche grado di interpretazione di significati r ispettivamente fra le espres-sioni interpretate del s istema ed il l inguaggio ordinario . Non po-tremmo. naturalmente, trovare quest 'ult ima caratteristica senza la p r i m a .

7. Le leggi ( 6 ) e ( 7 ) , prese ass ieme, mostrano clic ogni enun-ciato o formula vero-funzionale in cui la costante pr incipale sia un segno è il contraddittorio dell 'enunciato o formula che ri-sulta dal l 'omiss ione di cpiel segno. Noi abb iamo visto che un uso di mas s ima e pr imar io di 1 non * in un enunciato consiste nell'as-

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Costatili vero-funzional i 103

ser i re la contraddi t tor ia de l l ' a s serz ione che pot rebbe esser fatta u sando , nel lo stesso contesto, lo stesso enuncia to senza la p a r o l a ' non ' Q u e s t a identi f icazione c o m p o r t a , a l lora , solo que l l e mi-nime d ivergenze dal la logica del l inguagg io o rd inar io che devono s e m p r e r i su l tare dal l 'at t ivi tà del logico f o r m a l e d i cod i f i care de l le regole con l ' a iuto di model l i v e r b a l i : va le a d i re ( i ) l ' adoz ione di una regola r ig ida quando i l l inguagg io o r d i n a r i o permet te var ia-zioni e deviaz ioni da l l 'uso di m a s s i m a ( c f r . le regole ( 6 ) e ( 9 ) e le d i scuss ioni fatte nel cap i to lo I, sez ione 3, e nel cap i to lo I I , se-zione 9 ) ; ( i i ) quel l 'es tens ione del senso d i ' e s e m p l i f i c a r e " che ci permet te , p.e. , di cons iderare ' T o m m a s o non è pazzo " del pa r i che ' N o n tutti i tori sono p e r i c o l o s i ' c o m e ' e s e m p l i f i c a z i o n i ' d i ' non-p '. Cos i noi chiameremo il s egno di negaz ione , e legge-remo ' ~ ' c o m e ' non '.

S i p o t r e b b e esser tentati d i p e n s a r e c h e d i c h i a r a n d o le f o r m u l e ( 6 ) e ( 7 ) leggi del s i s tema non s i s ia fatto a l tro che d i re che , per ciò che r i g u a r d a questo s i s t ema , un 'a s serz ione non può essere as-s i e m e vera e f a l s a , e deve essere o vera o f a l sa . Ma non è cosi . Le regole che ( 6 ) e ( 7 ) sono ana l i t i che non sono regole intorno a l ' vero ' e al ' f a l so ', sono regole intorno a Es se d icono ehe , dato clic un 'asserz ione a b b i a u n o dei d u e va lor i d i ver i tà , a l lora è log icamente imposs ib i l e che s ia que l l ' a s serz ione che l ' a s serz ione c o r r i s p o n d e n t e del la f o rma ' ~ ρ ' s i ano vere, e clic s ia quel l ' a s-serz ione che l a corr i spondente a s serz ione del la f o rma * ~ p ' s i ano fa l se .

8. Nel l ' ident i f icaz ione di ' e ' con ' . ' c 'è già una considere-vole d i s tor s ione dei fatt i . ' E ' può avere mol te funzioni clic ' . '

' N a t u r a l m e n t e non d o b b i a m o p e n s a r e e h e l ' i n s e r z i o n e di ' non ' in qua-lunque p o s t o , in qualunque e n u n c i a l o a b b i a sempre q u e s t ' e f f e t t o . ' A l c u n i tori s o n o non p e r i c o l o s i ' non i · la c o n t r a d d i t t o r i a di ' A l c u n i tori s o n o p e r i c o l o s i ' . Q u e s t a è la r a g i o n e per cui l ' i d e n t i f i c a z i o n e di ' ~ con ' non si dà il c a so cl ic " ¿r ila p r e f e r i r s i a l la sua i d e n t i f i c a z i o n e ron * non " sic et simplicitcr.

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104 Funz ion i <1 i ver i tà

non può avere . P u ò , per e s e m p i o , essere usata per a c c o p p i a r e dei nomi ( ' T o m m a s o e G u g l i e l m o a r r i v a r o n o ' ) , o degl i aggett ivi ( ' E g l i era a f f amato e a s s e t a t o * ) , o degl i avverbi ( " E g l i c ammi-nava lentamente e p e n o s a m e n t e ' ) ; mentre ' . ' p u ò essere u sa to sol tanto per a c c o p p i a r e e spres s ioni che pot rebbero a p p a r i r e come enuncia t i s e p a r a t i . S i p o t r e b b e esser tentati d i d i re che gli enun-ciati in cui ' e ' a c c o p p i a p a r o l e o fras i s i ano abbreviazioni di enunc ia l i in cui ' e ' a c c o p p i a propos i z ion i g r a m m a t i c a l m e n t e c o m p l e t e ; p .c . , che ' Egl i era a f f a m a t o e a s s e t a t o ' s a r e b b e un'ab-brev iaz ione per ' Egl i era a f f a m a t o ed egli era assetato ' . Ma c iò è senz 'a l t ro fa l so . Noi non d i c i a m o di nessuno che usi un enuncia to come ' T o m m a s o e G u g l i e l m o a r r i v a r o n o ' , che egli sta p a r l a n d o e l i t t icamente o clic usa a b b r e v i a z i o n i . Al contrar io , que l l a di for-m a r e soggetti p lura l i o predicat i compos t i è p r o p r i o una de l l e fun-zioni di ' e * per le qual i non si trova la cor r i spondente nel caso di ' . ' . È ben vero, na tura lmente , clic mol te asserzioni di f o r m a ' .τ e y sono / " o p p u r e " è / e g ', sono log icamente equiva lent i a cor-r i spondent i asserzioni de l la f o r m a ' χ è f e y è f " o p p u r e ' .t è / e χ è g \ M a . in p r i m o luogo , questo è un fatto che r i g u a r d a l 'uso, in certi contest i , del la p a r o l a ' c ' , a l q u a l e non c o r r i s p o n d e al-cuna regola per l 'uso di ' . ' . E, in secondo luogo, vi sono innume-revoli contesti per i «piali non va le una s imi le e«pi ivalenza. P e r e s e m p i o ' T o m m a s o e M a r i a si f ecero amic i ' non è equ iva lente a ' T o m m a s o si fece amic i e M a r i a si fece amic i ' . Q u e s t e as serz ioni s igni f icano , c o m u n e m e n t e , cose del tutto «liverse ' . E n e p p u r e va le , una ta le equ iva lenza , ove si sost i tuisca a ' si fecero amic i ' si in-contrarono ieri ', ' s tavano conver sando ' a n d a r o n o spos i ' o ' sta-vano g iocando a s c a c c i l i ' . Pers ino ' T o m m a s o e G u g l i e l m o arr iva-r o n o " non s ignif ica lo stesso c h e ' T o m m a s o arr ivò e G u g l i e l m o

1 Ma s i not i c h e u n o p o t r e b b e «lire ' T o m m a s o e M a r i a s i f ece ro a m i c i ; ma non fra lo ro ' . L ' i m p l i c a z i o n e ili m u t u a l i t à ne l l a p r i m a f ra se non è cos i s t re t ta da non p o t e r e s sere r ige t ta ta s enza a u t o - c o n t r a d d i z i o n e ; ma è a b b a s t a n z a s t re t ta da r e n d e r e In r ipu l sa s o r p r e n d e n t e , un e f f e t to l e t t e r a r i o .

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C o s t a t i l i vero-funzional i 105

a r r i v ò ' ; infatt i l a p r i m a as serz ione sugger i sce un ' i n s i e m e ' e la seconda un ord ine di a r r ivo . P o t r e b b e venir ignorato che ' e ' ba de l le funz ion i che ' . ' non ha ( p . e . , p u ò c o m p o r t a r e in certi con-testi u n ' i m p l i c a z i o n e di mutua l i t à che ' . ' non c o m p o r t a ) , e soste-nersi invece che le regole che va lgono p e r ' e ', quando è usato per accoppiare proposizioni grammaticalmente complete, sono le stesse che va lgono per ' . ' . N e m m e n o ques to è vero . In base a l la legge ( 1 1 ) ' p . q ' è log icamente equ iva l en te a ' q. ρ ' ; ma ' Es s i si s p o s a r o n o ed ebbero un b a m b i n o ' o p p u r e ' Egl i s i d i ede da f a re e trovò l avoro ' non sono p r o p r i o a f fa t to log icamente equiva lent i a ' Ess i ebbero un b a m b i n o e si s p o s a r o n o ' o p p u r e * Eg l i trovò la-voro e si d i ede da fare ' .

S i p o t r e b b e tentare di ev i tare queste diff icoltà c o n s i d e r a n d o ' . ' c o m e avente la funzione , non di ' e ', ma di q u a l c o s a che vi a s s o m i g l i a , c ioè d i un punto f e r m o . Non d o v r e m m o a l lora p a r l a r e più di asserz ioni della f o r m a ' p.q p.q.r\ ecc., ma p a r l a r e in-vece di serie-di-asserzioni di ques te f o r m e . Ma ciò non ev i terebbe tutte le dif f icoltà , per quanto ne ev i terebbe a lcune. Pers ino in un passo di p r o s a consistente di d ivers i enuncia t i indicat iv i , Vordine degl i enunciat i potrebbe essere in genera l e essenzia le p e r i l senso , e in pa r t i co l a re , r i levante, in un m o d o esc luso d a l l a regola ( 1 1 ) , in r a p p o r t o a l le vero-condizioni di una serie-di-asserzioni fatte m e d i a n t e il pas so stesso. È un fatto che , in genera le , nel d i scorso o r d i n a r i o e ne l l 'o rd inar ia scr i t tura , c l auso le ed enunciat i non con-tr ibui scono a l le vero-condizioni de l l e cose dette med iante ^ brani comple s s iv i in nessuno di quei s e m p l i c i m o d i che sono rappresen-tati ne l l e t abe l le di verità per i connett ivi b inar i ( ' z> ' , ' . ' , ' ν ' , ' = ') del s i s tema , ma in m o d i mol to p iù sott i l i , var i e c o m p l e s s i . Ma è p rec i s amente la s empl i c i t à del m o d o in cui , m e d i a n t e la de-f in iz ione d i una vero-funzione, p ropos i z ion i s empl i c i congiunte per mezzo di questi connettivi contr ibu i scono a l le vero-condizioni degl i enunciat i risultanti da l l e cong iunz ion i , che rende pos s ib i l e lo s t i l izzato , meccanico l indore del s i s tema logico. N o n serve rim-

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106 Funzioni <1 i verità

p rovera re al logico i l suo d ivorz io d a l l e realtà l ingui s t iche , p iù di quel che non serva r i m p r o v e r a r e al ¡littore astratt ista di non essere un r iprodutt iv i s ta ; ma g ius tamente uno pot rebbe r i m p r o v e r a r l o se egl i pretendesse di e s sere un artista dedito a l la r appre senta -zione del la rea l tà .

Una pit tura astratta p u ò essere , in m o d o r iconosc ib i le , una pit-tura di qua l co sa . E l ' ident i f icaz ione d i ' . ' con ' e ' , o con un punto f e r m o , non è un s e m p l i c e e r ro re . È un ' a s s imi l az ione tutt 'a l tro c h e pr iva di s ignif icato , L ' in te rpre taz ione di ' . ' , e le regole ad esso segno re lat ive , def iniscono un 'operaz ione l inguist ica m i n i m a che p o t r e m m o c h i a m a r e ' c o n g i u n z i o n e s e m p l i c e ' e descr ivere a l la buona come la r iun ione ili due o più asserzioni nel processo di as-ser i r le a s s i eme . E questo e una par te di ciò che f a c c i a m o spes so con ' e ' e con i l punto f e r m o . Ma noi non l e g h i a m o a s s i eme a l l a r infusa tutte le asserz ioni che c o n s i d e r i a m o v e r e ; noi le l e g h i a m o a s s i eme , p r o n u n z i a n d o o s c r ivendo s ingol i enunciat i o brani interi , so lo (¡ l iando vi s ia q u a l c h e u l ter iore ragione per l ' accos tamento , p.e . , ( ¡ l iando esse regis tr ino e p i s o d i successivi in una s ingo la nar-raz ione . E ciò per cui o p e r i a m o la congiunz ione p u ò confer i re agl i enunciat i in cui la cong iunz ione stessa si concreta cara t ter i s t iche log iche in d ivar io r i spetto a l l e regole s tabi l i te per " . * . Cos i g ià si è visto clic un 'a s serz ione de l l a f o rma ' ρ e q' può c o m p o r t a r e u n ' i m p l i c a z i o n e d ' o r d i n e t e m p o r a l e incompat ib i l e cou que l l a de l la cor r i spondcnte a s serz ione de l la f o r m a ' q e ρ *. C iò non si-gnif ica negare che asserz ioni corr i spondent i a ques te , ma de l la f o r m a 1 1 p.q' e ' q.p' s a r e b b e r o , q u a n d o venissero fatte , logica-mente e q u i v a l e n t i ; tal i a s serz ioni infatti non c o m p o r t e r e b b e r o im-pl icaz ioni . e perc iò n e p p u r e impl i caz ion i incompat ib i l i , d ' o r d i n e t e m p o r a l e . Né con ciò si negu l ' impor tanza , e l 'ut i l i tà , de l l ' a s s imi-laz ione ; l ' a s serz ione de l l a f o r m a " p.q * s ignif ica a l m e n o una par te di ciò che viene s igni f icato m e d i a n t e la corr i spondente as serz ione de l la f o r m a ' ρ e q '. P o t r e m m o d i r e : la f o r m a 'p.q' è un'astra-z ione dai d i f ferent i usi de l la f o r m a ' ρ e q La cong iunz ione sein-

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Costanti vero-funzional i 107

pl iee è un e lemento m i n i m o nel la congiunz ione co l loqu ia l e . Pos-s i a m o p a r l a r e d i ' . " c o m e del segno congiunt ivo ; e l egger lo , p e r s e m p l i c i t à c o m e ' e ' o p p u r e c o m e 4 in s i eme . . . e . . .

I l o già fatto notare che la d ivergenza f ra i s ignif icat i a t t r ibui t i a l le costanti vero-funzional i e i s ignif icat i de l le congiunzioni or-d i n a r i e con cui esse sono o r d i n a r i a m e n t e identif icate s i ano r idotte al m i n i m o nei casi di 4 ~ ' e 4 . S ' è visto anche che le r imanent i costanti del s i s tema pos sono venir def inite nei termini di queste due . Al t re interdefinizioni sono e g u a l m e n t e poss ib i l i . Ma po iché 4 ~ ' e " . ' sono più d a p p r e s s o ident i f icabi l i con 4 non e 4 e " che ogni a l tra costante con qua l s i a s i a l tra p a r o l a del l inguagg io ordi-nar io , pre fer i sco dar r i l ievo a l la def ìn ib i l i tà del le r imanent i co-stanti nei te rmini di 4 . ' c 4 ~ \ È ut i le r i cordare che ogni regola o legge del s i s tema può venire e spres sa in termini di negaz ione e di congiunz ione sempl ice . I l s i s tema p u ò invero c h i a m a r s i i l Si-s tema di Negaz ione e Cong iunz ione .

9. Le relazioni fra " se " e 4 3 ' sono già state discusse , ma solo p a r z i a l m e n t e '. Il segno 4 3 ' è c h i a m a t o segno d ' I m p l i c a z i o n e Ma-ter ia le - nome questo che p r e n d e r ò in cons ideraz ione p iù avant i . I l suo s ignif icato è da to d a l l a regola clic ogni a s serz ione de l la f o r m a ' ρ 3 q ' è falsa nel caso in cui la p r i m a de l le sue asserz ioni costituenti è vera e la seconda f a l s a , e vera in ogni a l tro caso con-s idera to nel s i s tema. C iò è a d i re clic la fals i tà del la p r i m a asser-z ione cost i tuente o la veri tà de l la seconda sono, del p a r i , condi-zioni sufficienti del la verità di un*as serz ione di i m p l i c a z i o n e ma-t e r i a l e ; la combinaz ione di veri tà nel la p r i m a e fa l s i tà nel la seconda è l 'unica condiz ione , necessar ia e suff ic iente, de l l a sua fa l s i tà . L 'uso di mas s ima o p r i m a r i o 2 di un enunciato " se . . . al-

1 Γ α ρ ί ΐ υ Ι ο I I . sez ione 7 . 2 È d i f f ic i le e sagerare l ' i m p o r t a n z a di q u e s t a f ra se q u a l i f i c a t i v a . V • s o n o

i m p i e g h i d i ' s e . . . a l lora . . . " c h e non r i s p o n d o n o a l l a d e s c r i z i o n e q u i f o r n i t a , né a ne s suna de l le a l t r e d e s c r i z i o n i f o r n i t e in q u e s t o c a p i t o l o .

9

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1 0 8 Funzioni <1 i verità

lora . . . ' si e f fettua, d ' a l t ro canto , come g ià v e d e m m o , in circo-s tanze in cui , ove non si conosca se q u a l c h e as serz ione fatta me-diante un enunc ia lo c o r r i s p o n d e n t e in certo m o d o a l l a protas i di un per iodo ipotet ico s ia vera o m e n o , o si c reda c h e s ia f a l s a , si r i t iene n o n d i m e n o che un p a s s a g g i o nel r ag ionamento da quel l 'as-serz ione a un 'a s serz ione s i m i l m e n t e col legata a l l ' a p o d o s i s a r e b b e un pas sagg io corretto o rag ionevo le , pur essendo d u b b i a la verità anche del la seconda as serz ione , o r i tenendola add i r i t tura fa l sa . Per s ino in tali c i rcostanze s i p u ò es i tare , ta lvolta , ad a p p l i c a r e la pa ro l a ' v e r o ' ad as serz ioni ipote t iche ( c i o è , asserzioni clic po-trebbero venir fatte m e d i a n t e l 'uso di ' s e . . . a l lo ra . . . ' nel s igni f icato t ip ico d i m a s s i m a ) , p r e f e r e n d o c h i a m a r l e rag ionevol i o ben forniate. Ora una de l le condiz ioni sufficienti de l la veri tà di un 'a s serz ione d ' i m p l i c a z i o n e m a t e r i a l e p u ò essere sodd i s f a t t a be-n i s s imo senza che s iano sodd i s f a t t e le condiz ioni per la verità (o r a g i o n e v o l e z z a ) del la cor r i spondente asserz ione i p o t e t i c a ; c ioè , un 'a s serz ione del la f o r m a ' ρ z> q ' non esige la cor r i spondente as-serz ione de l la f o rma * se p. a l lora q ' . Ma se s i a m o di spost i ad ac-cettare l ' a s serz ione ipotet ica , d o b b i a m o per coerenza esser prepa-rati a negare la cong iunz ione de l l ' a s serz ione cor r i spondente a l l a protas i de l l ' a s serz ione ipotet ica con la negaz ione de l l ' a s serz ione cor r i spondente a l l ' a p o d o s i ; c ioè , un 'a s serz ione «Iella f o r m a ' s e p , a l lora q ' es ige la cor r i spondente as serz ione de l la f o r m a ' ρ Ζ) q '.

I l va lore de l la p a r o l a " c o r r i s p o n d e n t e ' nel capover so precc-den le Ita b i sogno di es ser ch ia r i to . C o n s i d e r i a m o i tre seguenti e s e m p l a r i «li enunciat i i p o t e t i c i :

( 1 ) Se i Tedesch i avessero invaso l ' Inghi l terra nel 1910 . a v r e b b e r o vinto la g u e r r a .

( 2 ) Se J o n e s fosse in ca r i ca , metà «lei per sona le s a r e b b e stato l icenziato .

( 3 ) S e p iove , l ' incontro verrà r inviato .

Gl i enunciat i che po t rebbero venir usati per f a re as serz ioni corri·

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C o s t a t i l i vero-funzional i 113

spandenti, nel senso voluto s ia a l l e protas i che a l le a p o d o s i , pos-sono venir determinat i c o n s i d e r a n d o che cosa ( i n g e n e r a l e ) s i deve p r e s u p p o r r e clic l ' autore di c i a scuna asserz ione metta in d u b b i o o creda che non s ia vero. In tal m o d o , le c o p p i e di enunciat i corri-spondent i a l le ipotet iche ci tate s o n o :

( I n ) I Tedeschi invasero l ' Inghi l terra nel 1 9 1 0 : essi vin-sero la guerra .

( 2 t t ) J o n e s è in c a r i c a ; metà del per sona le e stato licen-ziato .

( 3 a ) P i o v e r à ; l ' incontro verrà r i m a n d a t o .

Gli enunciat i che potrebbero usars i per f a re le asserz ioni d ' impl i -caz ione m a t e r i a l e corrispondenti a l le asserzioni ipote t iche fatte dagl i enunciat i da ( 1 ) a ( 3 ) possono ora venir costrui t i con que-ste c o p p i e di enunciat i nel m o d o s e g u e n t e :

( M l ) I Tedesch i invasero l ' Inghi l terra nel 1910 Z) essi vinsero la guerra .

( M 2 ) J o n e s è in car ica 3 metà del per sona le è stato li-cenziato .

( M 3 ) Pioverà η l ' incontro verrà r imanda to .

I l fatto stesso clic queste modi f i caz ioni verba l i s i ano necessar ie al fine di ottenere dal le p ropos i z ion i del p e r i o d o ipotet ico le pro-posiz ioni del cor r i spondente enunc ia to d ' i m p l i c a z i o n e m a t e r i a l e cost i tuisce già un s intomo de l l a r ad ica l e d i f ferenza fra asserz ioni ipotet iche ed asserzioni vero- funzional i . A lcune d i f fe renze di det-tagl io r i sul tano altresì evidenti da quest i e s e m p i . La fa l s i tà di un 'a s serz ione fatta con ' I T e d e s c h i invasero l ' Inghi l te r ra nel 1940 ' o " J o n e s è in car ica ' è una cond iz ione sufficiente de l la veri tà de l le cor r i spondent i asserzioni fatte con ( M I ) e d ( M 2 ) ; m a l o stesso non vale , na tura lmente , p e r le cor r i spondent i asserz ioni fa t te con ( 1 ) e ( 2 ) . Altr imenti non c i s a r e b b e n o r m a l m e n t e senso a lcuno ad u sa re enunciat i r o m e (1 ) e ( 2 ) ; s i tratta infatt i di enuncia t i

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110 Funz ioni <1 i ver i tà

d i e n o r m a l m e n t e ' e o m p o r t e r e b b e r o , p e r i l t empo e i l m o d o del verbo , l ' i m p l i c a z i o n e clic cbi l i p ronunz ia crede a l l a f a l s i t à de l le asserz ioni corr i spondent i a l l e prota s i e a l le a p o d o s i dei per iodi ipotet ic i . Il fatto che non p iova è suff iciente a ver i f icare un'asser-zione fatta con ( M 3 ) , ma non un 'a s serz ione fatta con ( 3 ) . I l fatto che non p iova è anche suff iciente a veri f icare un 'a s serz ione fatta u s a n d o il seguente ( M 4 ) : ' P i o v e r à r> l ' incontro non ver rà r iman-da lo '. Le f o r m u l e " ρ 3 q ' e ' ρ Z) ~ q ' sono congruent i fra loro , ed i l fare cong iuntamente corr i spondent i asserzioni di queste f o r m e equ iva l e a un ' a s se rz ione corr i spondente «Iella f o r m a ' ~ ρ '. Ma ' Se p ioverà , l ' incontro verrà r i m a n d a l o ' è incongruente con ' Se p ioverà , l ' incontro non verrà r i m a n d a t o ' , e la loro congiunta asserz ione nel lo stesso contesto è auto-contraddi t tor ia .

S u p p o n i a m o d i c h i a m a r e l ' a s serz ione cor r i spondente a l l a pro-tasi del p e r i o d o ipotet ico con cui s i fa un 'a s serz ione ipotet ica antecedente de l l ' a s serz ione i p o t e t i c a ; e l ' enunciato cor r i spondente a l l ' a p o d o s i , suo conseguente . Si pensa talvolta che , mentre è ov-v iamente fut i le ident i f icare asserz ioni condiz iona l i con impl ica-zioni mater ia l i in quei cas i in cui il m o d o o il t empo del verbo n o r m a l m e n t e c o m p o r t a n o la fa l s i tà de l l ' antecedente ( p . e . , i l caso ( 1 ) o ( 2 ) ), vi son ragioni per sos tenere u n ' a l m e n o parz i a l e iden-ti f icazione nei casi in cui nessuna as sunzione del genere è pro-mossa . c ioè ([liando s ia lasc iata aper t a la poss ib i l i tà che s i ano veri s ia 1'anteeedente clic i l conseguente ( p . e . . i l caso ( 3 ) ) . Nei casi del p r i m o genere ( p e r i o d i ipotet ici ' d e l l ' i r r e a l t à " ) la nostra atten-zione è diretta sol tanto su l le u l t i m e due l inee de l l e t abe l le di verità per ' ρ 3 q ', dove l ' antecedente Ita come va lore «li ver i tà la fa l s i tà ; ed il sugger imento che " ~ p ' es iga ' se p. a l lora q ' c sent i to c o m e ovv iamente erroneo . Ma nei cas i del secondo genere , p o s s i a m o esa-

1 Ma non n e c e s s a r i a m e n t e . È p o s s i b i l e che l ' i m p e r f e t t o o i l p i u c c h e p e r -fe t to c o n g i u n t i v o s i ano u sa l i q u a n d o s e m p l i c e m e n t e s i p r o s p e t t i n o l e conse-g u e n z e ili u n ' i p o t e s i c h e s i è d i s p o s t i ad e v e n t u a l m e n t e a c c o l l a r e .

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C o s t a t i l i vero-funzional i 113

m i n a r e anche le p r ime due l inee perché la poss ib i l i tà che l 'ante-cedente si avveri è lasc iata a p e r t a ; e il sugger imento che ' ρ. ry ' es iga ' se p, a l lora q ' non è sentito c o m e ovviamente e r roneo . Ma si tratta di un ' i l lus ione , s ia p u r e di un ' i l lus ione generata eia una rea l tà . L ' avverar s i sia de l l ' antecedente che del conseguente di un'as-serz ione ipotet ica non mostra che chi l 'ha fatta avesse r a g i o n e ; i l conseguente infatti po t rebbe avverars i c o m e r isultato di fattori che non hanno conness ione a l cuna con l ' avverars i de l l ' antecedente o add i r i t tura con esso ma l s i conc i l i ano , anz iché esserne una conse-guenza . D o v r e m m o esser d ispost i a d i re che chi ha fatto l ' a s serz ione ipotet ica aveva ragione sol tanto ove fos s imo al tres ì d i spost i a d i re che l ' avverars i de l l ' antecedente cost i tuisce, a l m e n o in par te , la sp i egaz ione de l l ' avverars i del conseguente . La realtà che sta dietro l ' i l lus ione è c o m p l e s s a : in par te è il fatto che , in molt i cas i , l 'avve-rarsi ins ieme di antecedente e conseguente può forn i re c o n f e r m a a l l ' idea clic l 'es istenza di stali di cose c o m e quel l i descritt i da l l ' an-tecedente c una buona rag ione per aspettars i stal i di cose c o m e quel l i descritti dal c o n s e g u e n t e ; in par te i l fatto clic uno che d ica . p.e. ' S e p ioverà , l ' incontro s a rà r i m a n d a t o ' f a una p red iz ione ( e prec i samente que l l a che l ' incontro sarà r i m a n d a t o ) sotto una con-diz ione (e prec i samente , che p i o v a ) , e che l 'effett ivo r i m a n d o del-l ' incontro a eausa della p iogg ia ci porta a d ire non so lo che la ragio-nevolezza del la pred iz ione ne è c o n f e r m a l a , ma add i r i t tura che ne è con fe rmata la p red iz ione s tessa .

Po iché un 'as serz ione de l la f o r m a ' ρ r> q ' non es ige la corri-spondente asserz ione de l la f o r m a ' s e p . a l lora q ' ( n e l suo uso d i m a s s i m a ) , d o b b i a m o a spe t ta rc i , e in effetti si è t rovata , una diver-genza fra le regole per ' r> ' e le regole per ' se ' ( n e l suo uso di m a s s i m a ) . Po iché ' se p, a l lora q ' esige ' ρ z> q '. d o b b i a m o a n c h e attenderci di trovare un q u a l c h e p a r a l l e l i s m o fra le r i spett ive re-g o l e ; infatti tutto ciò che ' ρ r> q ' es ige , lo es ige a n c h e ' s e p, a l lora q ' . In realtà , il p a r a l l e l i s m o che t rov iamo è m a g g i o r e di que l lo che s e m p l i c e m e n t e c o n s e g u i r e b b e da l fatto che ' se p. al-

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lora q ~ es ige ' ρ 3 q \ ui i i to al fa t to e h e l ' i m p l i c a n z a è t r ans i t iva . L e leggi d a ( 1 9 ) a ( 2 3 ) c o m p r e s a non h a n n o leggi p a r a l l e l e pe r " se '. M a p e r

( 1 5 ) ( P 3 q) . ρ 3 q ( 1 6 ) (p 3 q) . ~q 3 ~P

( 1 7 ) ρ 3 q = ~q 3 ~ p ( 1 8 ) ( p 3 q) . ( q 3 r ) 3 ( p 3 r )

t r o v i a m o ehe , con cer te r i se rve ' , h a n n o b u o n a v a l id i t à le s eguent i

leggi p a r a l l e l e :

( i ) ( s e p, a l l o r a q ; e p) 3 q ( ii ) ( s e p. a l l o r a q ; c n o n - q ) 3 non-p

( i i i ) ( s e p , a l l o r a q ) 3 ( s e non-q, a l l o r a n o n - p ) ( i v ) ( s e p , a l l o r a q : e se q . a l l o r a r ) 3 ( s e p . a l l o r a r )

( È nece s sa r io r a m m e n t a r s i che c h i a m a r e legg i l e f o r m u l e d a ( i ) a ( iv ) è lo stesso che d i r e c h e . p .e . . nel c a so di ( iii ), ' se p. a l l o r a q ' e s i g e ' s e non-ry, a l l o r a n o n - p ' ) . l i t r o v i a m o s i m i l m e n t e c h e . pe r

' T a l i r i s e rve s o n a i m p o r t a n t i . P e r e s e m p i o , e s p e s s o i m p o s s i b i l e a p p l i c a r e d i r e t t a m e n t e l a l egge d i i m p l i c a n z a ( i i i ) senza o t t e n e r e r i su l ta t i s cor re t t i o a s s u r d i . S i r e n d e nece s s a r i a d i s o l i t o q u a l c h e m o d i f i c a z i o n e d e l l a s t r u t t u r a d e l l e p r o p o s i z i o n i del p e r i o d o i p o t e t i c o . Ma l a log ica f o r m a l e non c i gu i l l a a l l a t to a s c o p r i r e qua l i m o d i f i c a z i o n i s i a n o nece s sa r i e . S e a p p l i c h i a m o l a r ego l a ( i i i ) a i nostr i e s e m p l a r i di e n u n c i a t i i p o t e t i c i , s enza m o d i f i c a r e a f f a t to i t e m p i o i m o d i de l l e s i n g o l e p r o p o s i z i o n i , o t t e n i a m o e s p r e s s i o n i d i s ca r sa c o r r e t t e z z a l i n g u i s t i c a . Se m a n t e n i a m o q u a n t o p i ù è p o s s i b i l e la struttura t e m p o r a l e e m o d a l e , nel m o d o pili s e m p l i c e con cu i s i pos sa o t t e n e r e l ' a c c o r d o con i requi-s i t i g r a m m a t i c a l i , o t t e n i a m o gl i enunc i a t i :

Sc i T e d e s c h i non a v e s s e r o v i n t o la g u e r r a , essi non a v r e b b e r o invaso l ' I n g h i l t e r r a nel 1 Ή 0 .

S e m e t à del p e r s o n a l e non fo s se s ta to l i cenz ia to , J o n e s non s a r e b b e in ca r i ca .

S e l ' i n c o n t r o non s a r à r i m a n d a t o , non p i o v e r à . Ma ques t i e n u n c i a l i , che s o n o ben lungi d a l l ' e s s e r e l o g i c a m e n t e e q u i v a l e n t i agl i o r i g i n a l i , h a n n o in c i a s c u n caso un s enso a f f a t to d i f f e r e n t e . È p o s s i b i l e , a l m e n o in a lcuni ca s i del g e n e r e , c o s t r u i r e enunc i a t i d i f o g g i a pil i o m e n o a p p r o -p r i a t a p e r c h e s i p o s s a i m m a g i n a r n e un uso e c h e s t i a n o ne l l a r e l a z i o n e log ica

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C o s t a t i l i vero-funzional i 1 1 3

alcuni pas sagg i che s a r e b b e r o invalidi p e r ' se ", vi sono pas sagg i eorr i spondent i che s a rebbero invalidi p e r " 3 ". P e r e s e m p i o :

( p 3 q) . q ρ (ρ 3 q) . ~ρ .'. ~q

sono schemi d ' inferenza inva l id i , e tali sono anche

se p, a l l o ra q ; e q Λ ρ se />, a l lora q : e non-p .*. non-q.

I . ' analogia f o r m a l e può venir qu i descrit ta d icendo c h e ne ' p 3 q ' , né ' se p, a l lora q ' sono f o r m u l e s e m p l i c e m e n t e conver t ib i l i .

A b b i a m o trovato mol te leggi ( p . e . , que l l e da ( 1 9 ) a ( 2 3 ) ) che va lgono p e r ' 3 ' e non p e r ' s e ' . C o m e e s e m p i o invece d i una legge che va le per ' se ' e non per ' 3 ' p o s s i a m o d a r e la f o r m u l a anal i-tica ' ~ T( se p . a l lora q) . ( s e p , a l lora n o n - q ) ] . La c o r r i s p o n d e n t e f o r m u l a ' ~ Γ ( ρ 3 q ) . ( p 3 ~ q ) l ' non è ana l i t i ca , m a ( c f r . ( 2 3 ) ) e equiva lente a l l a f o r m u l a contingente ρ ' .

Le regole a f fermant i che f o r m u l e come que l l e da ( 1 9 ) a ( 2 3 ) sono ana l i t i che sono dette ta lvolta ' p a r a d o s s i d c l l ' i m p l i c a z i n n e Q u e s t o termine è i m p r o p r i o . Se ' 3 ' è cons idera to c o m e identico

r ichies ta con gl i enunc ia t i o r i g i n a l i ( p . c . , * Se non s i «là i l c a so c h e m e t à Hol p e r s o n a l e s ia s ta to l i cenz ia to , a l l o r a J o n e s non può essere in c a r i c a ' ; o p p u r e * Se i T e d e s c h i non vinsero la g u e r r a , è solo perché essi non invasero l ' Ingh i l -terra nel 1940 ' : o anche ( s e i d o c u m e n t i s tor ic i d i v e n t a s s e r o m o l t o s c a r s i , i l c h e non è p r o b a b i l e ) ' Se i T e d e s c h i non v i n s e r o la g u e r r a , non p u ò e s s e r v e r o che essi invasero l ' I n g h i l t e r r a nel 1 9 1 0 ' ) . Q u e s t i m u t a m e n t i r i f l e t tono di f fe-renze ne l le c i r c o s t a n z e in cui u n o p o t r e b b e u s a r e ques t i e n u n c i a t i , a n z i c h é gl i o r i g i n a l i . C o s i l ' enunc ia to c h e in iz i a ' S e J o n e s fo s se in ca r i ca . . v e r r e b b e usa to n o r m a l m e n t e ( m a non n e c e s s a r i a m e n t e ) d a una p e r s o n a c h e g i à s a p p i a ••Ile J o n e s non è in car ico ; l ' e n u n c i a t o che c o m i n c i a ' N o n si dà i l c a so che m e t à del p e r s o n a l e s ia stato l i c e n z i a t o . . . ' da u n a p e r s o n a in v i a d i g i u n g e r e a l la c o n c l u s i o n e c h e J o n e s non è in e a r i r o . D i r e c h e gl i e n u n c i a t i s o n o nondi-m e n o l o g i c a m e n t e e q u i v a l e n t i s i gn i f i ca r i l e v a r e i l fa t to che i f o n d a m e n t i p e r a c c e t t a r e sin l ' uno c h e l ' a l t ro s a r e b b e r o s ta t i , in d i f f e r e n t i c i r c o s t a n z e , f onda-m e n t i p e r acce t ta re la l e g i t t i m i t à «li un p a s s a g g i o da " J o n e s è in ca r i ca ' α " M e t à del p e r s o n a l e è s tato l i cenz ia to ' .

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114 Funzioni <1 i verità

sin ad ' es ige '. s i a . pili a m p i a m e n t e a ' se . . . a l lo ra . . . " nel suo uso. d i m a s s i m a , que l l e rego le non sono p a r a d o s s a l i , ma sempl ice-mente scorrette . Se a " 3 'è dato il s ignif icato che ha nel s i s tema del le vero-funzioni , le regole sono conseguenze non già parados-sal i . ma sempl i c i e p i a n e , del s igni f icato at tr ibuito al s i m b o l o .

Ne l corso di ques ta sez ione ho p a r l a l o di un uso ' p r i m a r i o o di m a s s i m a " di ' se . . . a l l o ra . . . ' o di ' se \ le cui cara t ter i s t iche pr inc ipa l i e r a n o : che p e r c ia scuna asserz ione ipotet ica fatta me-d iante quest 'uso di ' se si poteva fa re e sa t tamente una a s serz ione che fosse l ' antecedente de l l ' ipote t ica ed e sa t tamente una a s serz ione che fosse la sua c o n s e g u e n t e ; che l 'asserzione ipotet ica è accetta-bi le ( v e r a , r a g i o n e v o l e ) nel caso in cui l ' a s serz ione antecedente , se fatta o accettata , cos t i tu i rebbe , nelle c i rcostanze da te , un buon fondamento o rag ione p e r accet tare l 'asserzione c o n s e g u e n t e : e che il f a re l ' a s serz ione ipotet ica compor t i l ' imp l i caz ione ehe o si s ia incerti circa l ' avverars i tanto de l l ' antecedente , quanto del conse-guente, o senz 'a l t ro clic non si c reda in un tale a v v e r a m e n t o '. Tut-tavia non tutti gli usi di ' se " e s ib i scono tutte queste carat ter i s t iche . In par t i co la re c 'è un uso che ha ugua le dir itto ad essere ca ta loga to come uso di m a s s i m a e che è s t ret tamente connesso con que l lo de-scritto. ma che non es ib i sce la p r i m a carat ter i s t ica e p e r i l q u a l e la descr iz ione del resto deve venir modi f icata in conseguenza . Ho in mente quel l i che si possono c h i a m a r e per iodi ipotetici ' varia-bili " o " g e n e r a l i ' , c o m e , p.c . , i s e g u e n t i : " S e il gh iacc io è la-sciato a l so le , esso f o n d e ' ; ' S e un lato d i un t r i angolo viene pro lungato , l ' angolo esterno è ugua le a l l a s o m m a dei d u e angol i interni oppost i ' : ' Se un b a m b i n o è sottoposto a d i sc ip l ina molto stretta nel la p r i m a in fanz ia , s v i l u p p e r à tendenze aggres s ive nella

1 C i r r o q u e s t o unnici di u s a r e " se ' ci s a rch i le da d i r e a s sa i di pil i : in part i-co l a re . sarchi le da e s a m i n a r s i che s i gn i f i ca la q u e s t i o n e ' se l ' a n t e c e d e n t e s ia un b u o n f o n d a m e n t o o r a g i o n e p e r acce t ta re i l c o n s e g u e n t e ' e c o m e esatta-niente ques ta q u e s t i o n e s i r a p p o r t i a l la q u e s t i o n e se l ' a s s e r z i o n e i p o t e t i c a s ia vera ( a cce t t ab i l e . r a g i o n e v o l e ) o m e n o .

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Costatili vero-funzional i 113

vita a d u l t a ' ; c cosi via. A un 'a s serz ione fatta m e d i a n t e un enun-ciato come questi non c o r r i s p o n d e nessuna s ingo la c o p p i a di enunciat i che s i ano , r i spe t t ivamente , i l suo antecedente e il suo conseguente . D'a l t ra par te , p e r ogni as serz ione s i f fat ta c 'è un nu-mero indefinito di asserzioni ipote t iche non-general i che potreb-bero esser c h i a m a t e e sempl i f i caz ion i , a p p l i c a z i o n i , de l l ' ipote t ica v a r i a b i l e ; per e sempio , un 'a s serz ione fatta m e d i a n t e l ' enunc ia to • Se questo pezzo di gh iacc io s a rà lasc iato al so le , esso f o n d e r à ' . S u l l ' a r g o m e n t o de l le ipotet iche var i ab i l i r i tornerò più avant i ' .

Due usi re la t ivamente poco comuni di ' se ' sono quel l i rispetti-vamente i l lustrabi l i con gli e n u n c i a t i : ' Se egli s i senti i m b a r a z z a t o , non ne mostrò segno a l c u n o ' e " S e egli ha pas sa to ques to e s a m e , io sono Olandese ( i o mi m a n g i o i l c a p p e l l o , e cc . ) ' . La condiz ione sufficiente e necessar ia de l la verità de l l ' a s serz ione fatta col p r i m o enunciato è che la persona cui si r i fer i sce non a b b i a mostra to segno a lcuno di imbarazzo . Di conseguenza , un tale enunc ia to non può essere trattato né come un ' ipote t i ca di m a s s i m a né c o m e un ' impl i -caz ione mater i a l e . Kscmpi del secondo genere vengono ta lvolta e r roneamente cons iderat i c o m e una prova che ' s e ' s i c o m p o r t a , dopo tutto, s u p p e r g i ù c o m e si c o m p o r t a ' 3 ' . L ' ev idenza su cui c i s i a p p o g g i a r i s iede, p r e s u m i b i l m e n t e , nei fatti ( i ) c h e non c'è conness ione a lcuna fra antecedente e conscguente , ( i i ) clic ovvia-mente i l conseguente non s i avvera (o non s i a v v e r e r à ) ; ( i i i ) che l ' intenzione di chi p a r l a è p a l e s e m e n t e que l l a di d a r e r i l ievo espress ivo a l la convinzione clic n e p p u r e l ' antecedente è avverato , e ( i v ) i l fatto che ' ( p 3 q ) . ~ q ' es ige ' ~ p ' . M a questo costi-tuisce uno s t rano e sempio di log ica . Infat t i , in qua l s i a s i pos s ib i le interpretaz ione, * se p. a l l o ra q ' h a . r ispetto a l la ( i v ) , gli stessi po-teri logici di 'p 3 q ' . e sono p r o p r i o quest i poteri logici che esso sia s f ru t tando , non si sa se per ¡ scherzo o per dars i ai voli di fan-tasia. È l ' a s senza «li conness ione cui s 'è fatto r i f e r imento in ( i )

' C f r . r a p i t o l o V I I , p a r t e 1.

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l i f t Funzioni di verità

che ne fa u n ' a r g u z i a , un gioco verba le , un uso s t r avagante di " se ' . Se le asserzioni ipotet iche fossero impl i caz ion i m a t e r i a l i , le asser-zioni par t ico lar i in e s a m e non s a r e b b e r o un 'arguta s t r avaganza , ma e sempi ili sobr ie tà l inguis t ica e ili l ineare ver i tà .

Infine, [ luss iamo notare che " se 1 può essere i m p i e g a t o non solo nel fare s e m p l i c e m e n t e as serz ioni , ma anche , p.e. . nel f a re annunzi condiz iona l i di intenzioni ( p.e . , ' Se p ioverà , s tarò a casa '), i q u a l i , come gli annunzi di intenzioni incondiz iona l i , non vengono chia-mati veri o fa l s i , bensì descritt i in q u a l c h e a l t ro m o d o . Se la per-sona che pro fer i sce l ' enuncia to citato esce di casa a d i spet to de l la p iogg ia , non d i c i a m o c h e c iò che aveva detto era fa l so , per quanto potremmo d i r e clic egli ment iva ( c h e mai c ioè fosse s ta la sua in-tenzione di s tare in c a s a ) ; o p p u r e che egli ha c a m b i a t a op in ione . S i dànno a n c h e altri usi d i ' s e ' , dei qual i non tratterò.

Il modo |)iú s i curo di leggere il segno di i m p l i c a z i o n e mate-r ia le è, for se , " non ins ieme . . . e non . . . ' .

10. Il segno di equ iva lenza m a t e r i a l e ' = ' ha il s ignif icato che è fornito da l l a seguente de f in i z ione :

k ρ = < / ' = D / ' ( p => q) . (q => p ) '

e la f rase con la q u a l e q u a l c h e volta lo si ident i f ica , c ioè ' se e sol-tanto se ' , ha i l s igni f icato fornito da l l a seguente d e f i n i z i o n e :

' ρ se e sol tanto se q ' = D/ ' se p. a l lora q, e se q, a l l o ra ρ '.

Di conseguenza , le obbiez ioni che va lgono contro l ' ident i f icaz ione di ' ρ 3 q " con ' se p. a l lora q ' va lgono con forza r a d d o p p i a t a con-tro l ' ident i f icaz ione di " ρ = q ' con ' ρ se e so l tanto se q ".

11. Le re lazioni fra ' ν " e ' o ' ( o p p u r e ' o . . . o . . . ') sono in comple s so meno in t ime di que l l e fra " . ' e ' e ', ma m e n o remote di que l l e fra ' r> ' e " se ". D i c i a m o as serz ione alternativa un'asser-zione fatta a c c o p p i a n d o due propos iz ion i g r a m m a t i c a l i comple te

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C o s t a t i l i vero-funzional i 113

per mezzo di ' o ', e p a r l i a m o del la p r i m a e seconda alterna di una s i f fatta as serz ione , a n a l o g a m e n t e a come p a r l a v a m o di antecedente e conseguente di un 'a s serz ione ipotet ica . Ad una f e r m a t a d'atilo-bus, qua l cuno potrebbe d i r e : ' 0 p r e n d i a m o ques to au tobus , o dovremo fare a piedi tutta la s t rada fino a casa ' . Eg l i p o t r e b b e aver detto altrettanto b e n e : ' S e non p r e n d i a m o ques to autobus , dovremo fare a p iedi tutta la s t rada fino a casa ' . Si s a r à veduto che l 'antecedente de l l ' a s serz ione ipotet ica ebe egli p o t r e b b e aver fatto è la negaz ione de l la p r i m a a l terna de l l ' a s serz ione a l ternat iva fatta . Ovviamente , non c o n s i d e r e r e m m o il fatto clic s i p r e n d a l ' au tobus come una cond iz ione suff ic iente del la ' verità " di a m b e d u e le asser-zioni ; se r i su l tasse che l ' autobus preso non era l 'u l t imo, d i r e m m o che la persona clic ha fatto l ' a s serz ione s i era s b a g l i a t a . La verità di una del le a l terne non è una condiz ione suff iciente de l la veri tà de l l ' a s serz ione a l ternat iva pili di quel che la fa l s i tà del l 'antece-dente sia cond iz ione suff iciente de l la verità de l l ' a s serz ione ipote-tica. E po iché ' ρ 3 ρ V q ' (e par iment i ' q Z3 ρ ν q ") e una legge del s i s tema vero-funzionale , questo fatto mostra suf f ic ientemente che esiste una d i f ferenza fra a l m e n o un uso di m a s s i m a di ' o ' e il s ignif icato attr ibuito a ' ν ' . Ora , in tutti o (piasi tutti i casi nei qual i s i a m o dispost i a d i re qua lcosa del la f o rma * ρ o q *, noi s i a m o anche dispost i a d i re q u a l c o s a del la forma ' se non-p. a l lora q '. E questo fatto può indurci a e s agera re la d i f ferenza fra ' ν ' e ' o ', a pensare che, dato che in a lcuni cas i l ' avverars i di u n a a l terna non è condiz ione sufficiente de l la verità de l l ' a s serz ione a l ternat iva di cui essa è una a l terna , l ' avverar s i di una a l terna non s ia mai con-dizione sufficiente della verità di un 'as serz ione a l ternat iva . E que-sta è cer tamente un 'e sageraz ione . Se q u a l c u n o d i c e : 'O era Gio-vanni, o era R o b e r t o - ma non potrei d i re ehi dei due ' . noi s i a m o soddis fat t i del la verità de l l ' a s serz ione a l ternat iva se una qua l s i a s i (Ielle due a l terne risulta esser v e r a ; e d i c i a m o che ehi ha pa r l a to era in errore soltanto se nessuna del le due r isulta es ser vera . A questo punto s e m b r a c i s i presenti un r e b u s ; a q u a n t o pare , iu fa t l i ,

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Funzioni di verità

s t i amo d icendo elle ' 0 era G iovann i , o era R o b e r t o ' es ige ' Se non era G i o v a n n i , era R o b e r t o ' , e . a l lo stesso t e m p o , c h e ' E r a Gio-vanni " es ige la p r i m a , nta non la seconda . Q u i r i s ent i amo forse di una certa crudezza de l la nostra nozione di i m p l i c a n z a , di una diffi-coltà n e l l ' a p p l i c a r e ques to concetto t r o p p o ind i f ferenz ia to a i fatti l ingu i s t i c i ; o , se lo p r e f e r i a m o , di u n ' a m b i g u i t à nel la nozione di condiz ione suff iciente. L ' a s serz ione clic e ra G iovanni es ige l 'asser-zione clic era o G i o v a n n i o Rober to nel senso che la conferma : (p iando si s copra clic è stato Giovanni , v iene mos t ra lo clic chi di-ceva clic o era G i o v a n n i , o era Rober to , aveva rag ione . Ma la p r i m a asserz ione non es ige la seconda nel senso clic il pa s s agg io " Era Gio-vanni , d u n q u e era o Giovanni o Rober to 1 s ia un pas sagg io logica-mente a p p r o p r i a t o ( s a l v o clic la persona clic lo d ice non intenda con ciò s e m p l i c e m e n t e (die un 'a s serz ione a l ternat iva fatta in prece-denza era corretta , c ioè clic ' era uno dei due ' ) . Infatt i l ' a s serz ione a l ternat iva c o m p o r t a l ' i m p l i c a z i o n e del l ' incertezza di chi la fa c irca chi fosse dei d u e . e que s t ' imp l i caz ione è incongruente con l ' a s serz ione che era G i o v a n n i . Cos i , in questo senso di ' condiz ione sufficiente ' , l ' a s serz ione che era Giovanni non è una condiz ione suff iciente di ( non e s i g e ) l ' a s serz ione che era o G i o v a n n i o Rober to più di (piel essa non s ia una condiz ione suff iciente di ( n o n e s i g a ) l ' a s serz ione che se non era G iovann i , era Rober to . L 'u l ter iore ras-s o m i g l i a n z a . che già a b b i a m o notato, fra l ' a s serz ione a l ternat iva e quel la ipotet ica , è che qua l s i a s i conoscenza o e sper ienza renda rag ionevole l ' a s serz ione a l ternat iva , rende anche rag ionevole l'as-serz ione che ( a cond iz ione che non fosse G i o v a n n i ) era Rober to . Ma meno fe l ice ci r iu sc i rebbe l ' a f f e rmaz ione clic l ' a s serz ione ipo-tetica sia confermala da l l a s coper ta che era G i o v a n n i , di quel che non r iuscisse l ' a f f e r m a z i o n e che l ' a s serz ione a l ternat iva è confer-mata da questa s c o p e r t a . Noi p r o p e n d i a m o infatti a d i re che la quest ione de l la c o n f e r m a de l l ' a s serz ione ipotet ica ( i n quanto di-stinta da l l a ques t ione de l l a sua rag ionevolezza o acce t t ab i l i t à ) s i pone solo nei termini che la condiz ione ( c l i c non era G i o v a n n i )

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119

risult i a v v e r a l a . C i ò r ivela u n ' a s i m m e t r i a , p e r que l c h e r i g u a r d a l a conferma, non l ' a cce t t ab i l i t à , f ra ' se non p, a l l o r a q * e k se non q. a l lora ρ ' c h e non è r i s p e c c h i a t a ne l l e f o r m e " ο ρ o q * e k o q ο ρ ". T a l e a s i m m e t r i a è i gnora ta ne l l a rego la che ' se non ρ, a l l o r a q ' e ' se non q. a l l o r a ρ ' sono l o g i c a m e n t e equ iva l en t i g i a c c h é ques ta regola r i g u a r d a l ' acce t tab i l i t à p iut tos to c h e la c o n f e r m a . E retta-mente . S p e s s o infat t i noi p o s s i a m o d i scutere la ' ve r i t à ' di u n a con-d iz iona le soggiuntiva o d e l l ' i r r e a l t à , dove p u r e la f o r m a d e l l e pa-role i m p i e g a t e s u g g e r i s c e che non c i s i p u ò a t t endere p o s s i b i l i t à di c o n f e r m a .

Non senza r e l az ione con q u a n t o detto s o p r a è la d i f f e r e n z a fra enuncia t i eoi ' se ' ed e n u n c i a t i con Γ ' ο ' cons i s tente nel fatto che , ment re q u a n d o u s i a m o d i ques t i u l t imi s a r e m m o a n c h e pront i a u sa re dei p r i m i , non va le i l conver so . I cas i in cui g e n e r a l m e n t e non va le sono que l l i de l le c o n d i z i o n a l i sogg iunt ive o ipo te t i che del-l ' i r rea l tà . N o n c ' è nessun e n u n c i a t o con Γ ' ο * ehe p o s s a s e r v i r e c o m e p a r a f r a s i di ' Se i T e d e s c h i aves sero invaso l ' I n g h i l t e r r a nel 1940, essi a v r e b b e r o vinto la guer ra ' , a l m o d o in cu i ques t ' enun-ciato v e r r e b b e p i ù c o m u n e m e n t e u sa to . E c iò è in r a p p o r t o al fatto che " o . . . o . . . * è a s soc i a to con s i tuaz ion i che i n v o l g o n o scel ta o t lccis ione. ' O l ' u n a o l ' a l t ra di ques te s t r a d e c o n d u c e a O x f o r d ' non s igni f ica lo stesso che ' O ques ta s t r a d a c o n d u c e a O x f o r d o vi c o n d u c e q u e l l a ' ; ma a m b e d u e l e a s se rz ion i c i p o n g o n o d i f ronte a l la necess i tà d i f a r e u n a sce l ta .

Q u e s t o ci por t a a u n a cara t te r i s t i ca di ' o ' la q u a l e , a di f fe-renza «li q u e l l e fin qui t ra t ta te , è c o m u n e m e n t e m e n z i o n a t a nel la t ra t taz ione de l l e sue re l az ion i con 4 v ' ; i l fa t to , p r e c i s a m e n t e , che in certi contest i ve rba l i ' o . . . o . . . ' c h i a r a m e n t e c o m p o r t a l ' im-p l i c a z i o n e ' e non in s i eme . . . e . . . ' , m e n t r e in a l t r i contest i non l a c o m p o r t a . Se ne p a r l a t a lvo l t a , r i s p e t t i v a m e n t e , c o m e del senso esc lus ivo e d i que l lo inc lus ivo d i * o ' ; ed è c h i a r o c h e . se dob-

' C.fr. null i η p. 1 1 2 .

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120 Funz ioni <1 i ver i tà

liianio ident i f icare ' ν ' con un dei due , d o v r e m o far lo eon il se-condo. La rag ione p e r cui ques ta carat ter i s t ica de l l 'uso ord inar io di ' o ". a d i f f e renza di a l tre , è c o m u n e m e n t e menz iona ta , è che la d i f ferenza può venir f ac i lmente e spres sa nel s i m b o l i s m o del si-s tema v e r o - f u n z i o n a l e : essa è la d i f ferenza f ra ' (ρ ν q). ~ (p.q) ' ( s e n s o e s c l u s i v o ) e ' ρ ν q' ( s e n s o inclusivo ).

' () ", c o m e " e '. v iene c o m u n e m e n t e usato per cong iungere pa-role e frasi non m e n o che propos iz ioni c o m p l e t e . Le ' diff icoltà di m u t u a l i t à ' present i n e l l ' a m p l i a m e n t o genera le di ' χ e y sono / ' in ' .r è / e y è / ' non sono presenti n e l l ' a m p l i a m e n t o di ' χ o y è / * in ' χ è / o y e / '. ( C iò non s ignif ica che l ' a m p l i a m e n t o possa sem-pre corre t tamente e f f e t t u a r s i ) .

P o s s i a m o c h i a m a r e " ν " il segno d i sg iunt ivo e, una volta messi in guard i a contro il p rendere la lettura t r o p p o se r i amente , leg-gerlo ' o ".

I I I .

Costanti vero-funzionali e relazioni logiche. Il sistema deduttivo delle vero-funzioni

12. Dovrebbero ora esser ch ia re a l c u n e cose circa i l s i s tema de l le vero-funzioni . Dovrebbe esser c h i a r o c h e le costanti del si-s tema non pos sono venir s e m p l i c e m e n t e identi f icate , per signifi-cato , con que l l e e spress ioni del l inguagg io o r d i n a r i o cui esse sono talvolta a s s imi l a te dag l i scrittori d i logica . D o v r e b b e esser ch iaro , inol tre , che la dec i s ione circa i s ignif icat i de l le costanti del s i s tema, la se lez ione di una ser ie def in ib i le in termini di s e m p l i c e congiun-zione e s e m p l i c e negaz ione ( d i " . ' e non è so l tanto uno stra-vagante c a p r i c c i o del logico f o r m a l e , ma è dettata dal des ider io ili s empl i c i t à s i s t emat ica . Infatti una ta le carat ter i s t ica , mentre è m i r a b i l m e n t e e sempl i f i ca ta da l s i s tema vero- funzionale , non è e sempl i f i ca l a af fatto da un resoconto ver id ico del l ab i r into di usi

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C o s t a t i l i vero-funzional i 113

logici a t t raverso il qua le ci avventur i amo senza es i taz ione nel no-stro quot id i ano impiego de l le congiunzioni come a b i t u a l m e n t e con-nesse. Inf ine, dovrebbe essere ch ia ro che, ment re è un er rore iden-tificare, è i l luminante pura ganare, le congiunzioni ab i tua l i con le costanti vero- funzional i . Q u e s t a c o m p a r a z i o n e ci o b b l i g a a un mi-gl ior in tendimento di a l cune del le carat ter i s t iche log iche p iù gene-rali del nostro l inguagg io .

D o v r e b b e anche esser ch ia ro che un e r rore che s i c o n f o n d e ( pur senza c o i n c i d e r e ) con que l lo ili ident i f icare le costanti e le con-giunzioni è que l lo di identi f icare l ' imp l i caz ione m a t e r i a l e con l ' im-pl icaz ione logica o impl i canza (" 3 ' con ' e s i g e ' ) ; l ' equiva lenza mater i a l e con l ' equiva lenza logica (' = ' con ' è log icamente equi-v a l e n t e ' ) ; la negazione di una cong iunz ione con l ' incongruenza ( " ~ ( p . q) ' con " l ' a s serz ione c h e ρ è incongruente con l 'asser-zione che q ' ) , ecc. Q u e s t o comple s so di ident i f icazioni è ciò in cui si concreta un er rore che è a l lo stesso t e m p o s i n g o l a r m e n t e ovvio e. c iononostante , s ingo la rmente attraente. I vocabol i stessi ne sono una prova . Uno pot rebbe d i re clic la funz ione de l l ' agget t ivo ' ma-ter ia le ' s a r e b b e quel la di neutra l izzare gli ingannevol i suggeri-menti dei nomi ' impl i caz ione ' c ' equ iva lenza '. I vocabol i incor-porano tanto l ' e r rore c h e la sua correz ione .

La rag ione de l l ' a t t raenza di questo e r rore s ta . senza d u b b i o , nel fatto clic noi po s s i amo usare ed u s i a m o le costanti vero-funzional i come le costanti p r inc ipa l i nel lo scr ivere regole log iche (o f o r m u l e a n a l i t i c h e ) tanto del s i s tema vero-funzionale , q u a n t o di altr i si-stemi e pers ino del discorso o rd inar io . P e r e s e m p i o , se s c r iv i amo in funz ione di legge l ' e spress ione

( p 3 q ) 3 ( ~ q 3 ~ p)

[tossiamo corre t tamente legger la come ' " / > 3 q " es ige " ~ q 3 — ρ "' ' . Ma nel leggerla cos i noi t ac i tamente a g g i u n g i a m o le virgo-lette di c i taz ione e la f r a s e di secondo o r d i n e ' è ana l i t i ca ", il cui sottinteso a c c o m p a g n a r e la f o r m u l a ' (p 3 «/) 3 ( ~q 3 ~ p) '

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122 Funz ion i <1 i verità

solo giust i f ica la nostra adoz ione di una tale le t tura . Q u e s t o sp i ega anche , in par te , la tentazione di ident i f icare * 3 ' eon ' s e ' . Infatt i p o s s i a m o anehc i n d i c a r e che in tendiamo ς ( p z > t / ) z > ( ~ <73 ~ p ) ' come una legge l eggendo la ' se ρ 3 q, a l l o ra ~ q 3 ~ ρ '. Ma il l'atto che ' 3 \ dove esso è la costante p r i n c i p a l e di una fo rmula intesa c o m e c o r r e d a l a da virgolette di c i taz ione e da l le pa ro le ' è a n a l i t i c a p u ò venir sost i tuita d a ' e s i g e ' ( c o n altri a p p r o p r i a t i e m e n d a m e n t i ) . o p u ò essere letta c o m e ' se . . . a l lora . . . ' , non giust i f ica , na tura lmente , questa sost i tuzione o ques ta lettura quan-do la f o r m u l a non sia ( n e p p u r e i n v i s i b i l m e n t e ) cos i cor reda ta , o q u a n d o * 3 ' occorre in qua l s i a s i a l tra pos iz ione che non sia que l l a di costante p r i n c i p a l e in una f o r m u l a cosi cor reda ta . La m a n c a t a os servanza di questa s e m p l i c e regola por ta dr i t to a i pre-tesi ' pa rados s i d e l l ' i m p l i c a z i o n e ' . Dire , per e s e m p i o , clic ' ~ ρ 3 (ρ 3 q) ' è una legge «lei s i s tema è lo stesso coinè d i re che ' ~ p ' es ige ' ρ 3 q ' ; ma non è a f fa t to lo s tesso coinè d i re che * ~ ρ ' es ige ' l ' a s s e r z i o n e che ρ es ige l ' a s serz ione clic q ' . Dire clic " ~ p 3

(p 3 q) ' è una legge o f o r m u l a ana l i t i ca è forn i re una regola in-torno al s i m b o l o ' 3 ' ( n e l l a sua seconda o c c o r r e n z a ) ed è fare uso del s i m b o l o * 3 ' ( n e l l a sua p r i m a o c c o r r e n z a ) nel fornire la re-g o l a ; non è fornire u n a regola o d i re a l cunché intorno a l la paro la * es ige '. l ln ' a l t r a a l ternat iva pos s ib i le è clic noi si indichi che in-tend iamo " ~p 3 (p 3 q) ' c o m e una legge, l eggendola ' se ~ p, a l lora ρ3 q ' . Ma se noi tent iamo di ind ica re c iò l eggendola ' se ~ p, a l lora se ρ a l lo ra q ' , la l egg i amo m a l e ; infatti c h i a m a r e ' ~ p 3

(p 3 q) ' ana l i t i ca è fornire una regola intorno a " ~ ' e ' 3 ', non una regola intorno a ' se . . . a l lora . . . per quanto ne l l ' ind icarc che essa è una regola si possa sos t i tu ire il p r i m o " 3 * con ' se . . . a l lora

11 fatto clic le costanti del s i s tema vero- funzionale possano es-sere usate cos i ( c o m e costanti pr inc ipa l i ) per fornire regole logiche è una conseguenza diretta del loro esser def inibi l i sol tanto in ter-mini di negaz ione s e m p l i c e e di congiunz ione s e m p l i c e . V e d e m m o .

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C o s t a t i l i vero-funzional i 113

per e s e m p i o , nel cap i to lo 1 che ' A| es ige A2 ' poteva esser definito c o m e ' la congiunzione di A] con la contraddittoria di A2 è auto-contraddi t tor ia o p p u r e , a l t e rna t ivamente , c o m e ' la contradditto-ria de l la congiunzione di A) con la contraddittoria di A2 è anal i-tica ' . Ed a ' - » ' e ' . ' (ne i cui termini le r imanent i costanti possono essere de f in i te ) noi r i spet t ivamente a t t r i b u i m m o ( i ) l a funz ione d i cont radd i re qua l s ivog l i a a s serz ione venisse fat ta da l resto dell 'e-nunciato di cui fos se costante p r i n c i p a l e , e ( i i ) la f u n z i o n e di con-g iunzione s e m p l i c e ' . Una conseguenza e g u a l m e n t e s e m p l i c e dei s ignif icati confer i t i in iz ia lmente a l le costanti del s i s tema ed elabo-rati nel le i s truzioni per l 'uso de l le tabe l le di ver i tà , è che l ' anel i t i · cita di qua l s i a s i f o r m u l a costituita nei te rmini di que l l e costanti dovesse r ive lars i per mezzo di una co lonna di ' V ' nel le tabe l le , e che l 'auto-eontraddit tor ietà di qua l s i a s i s i f fa t ta f o r m u l a dovesse ri-velarsi con una colonna di ' F ". Le regole log iche governant i le co-stanti del s i s tema sono, naturalmente, d i f ferent i da l l e regole gover-nanti le pa ro le di va lutaz ione logica , p e r quanto le costanti dei s i s temi definit i pos sano essere usa te in cooperazione con p a r o l e di va lutaz ione logica (p . e . , ' a n a l i t i c o ' ) p e r f a re i l l avoro d i a l tre paro le di va lu taz ione logica ( p.e . , ' es ige ' ) . Cause de l la confus ione sono i fatti seguenti : p r i m o , che le costanti s e m b r a n o vivere una d o p p i a vita , a seconda che esse s iano o non s i ano cor reda te con ' è anal i t ico ' e ' è auto-contraddit tor io ', e, s econdo , che nel l ' am-bito del s i s tema vero-funzionale esse sono usa te cosi corredate a l lo scopo di forn i re regole per i l loro stesso i m p i e g o pr ive di tale corredo \

13. Si osservava in precedenza che c ia scuna de l le costanti del s i s tema po t rebbe venir definita nei termini di ' ~ ' a s s i eme con

1 C f r . p p . 105-6. : P e r una t ra t t az ione p i ù e s a u r i e n t e d e l l ' u s o di ' Z> ' ne l la c o s t r u z i o n e di

s i s t emi log ic i , c f r . c a p i t o l o V i l i , p a r t e I . s ez ione 3 .

io

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124 Funz ion i <1 i verità

un'a l tra costante , d i m o d o che s a r e b b e pos s ib i l e e s p r i m e r e tutte le leggi del s i s t ema , ad e s e m p i o , nei termini di negaz ione s e m p l i c e e congiunz ione s e m p l i c e . Ma ques ta tendenza a l l a m a s s i m a eco-nomia di s imbol i p u ò essere por ta ta ancora un g rad ino pili in là . Non c 'è r ag ione perché non s i debba in t rodurre un unico s i m b o l o , a t t r ibuendogl i un s ignif icato ta le che tutte le a l t re costanti possano venir def inite nei termini di que l lo so l tanto . E c c o introdotto cosi il s i m b o l o ' I \ per il q u a l e le regole di f o r m a z i o n e sono s imi l i a que l l e per ' rj * ο ' ν ' e la cui in terpretaz ione è da ta , verba lmente , c o m e segue :

Ogni a s serz ione del la f o r m a ' ρ q ' è vera se e sol tanto se a l m e n o una de l le sue asserz ioni cost i tuenti è f a l sa , e fa lsa se e so l tanto se a m b e d u e le sue asserz ioni costituenti sono vere

e , s c h e m a t i c a m e n t e , da l l a t a b e l l a :

Ρ <1 ρ 1<i

V V F V F V F V V F F V

Se ora c o s t r u i a m o la f o r m u l a ' (ρ | q) I (ρ I q) ' , la determina-zione del le s u e vero-condizioni è data d a l l a co lonna centra le del la tabel la seguente :

Ρ <i ( P < / ) | ( p 1)

V V F V F V F V F V F V V F V F F V F V

Donde è ev idente che ' . * può venir def inito in termini di ' | ' al m o d o seguente :

' P . Q ' - U Ι 4 ( Ρ Ι ? ) Ι ( Ρ ! 9 ) '

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C o s t a t i l i vero-funzional i 113

Inoltre, un confronto fra le due tabel le mos t ra ebe '(p \ q) | (ρ | q) ' è la contraddi t tor ia di ' ρ | q \ Ciò è a d i re che ' (p ! q) \ (ρ I q) ' ha la stessa interpretaz ione di ' ~ ρ | q '. Ma ' ( p l q ) l ( p l q ) ' esem-|ilifica la f o r m u l a ' ρ \p ' . Cosi p o s s i a m o a n c h e def in ire in ter-mini di ' I ' c o m e segue :

= D / > l p '

l)r>nde viene che tutte le costanti del s i s tema sono def in ib i l i nei termini del la fo rmula - sbar ra ta . E questo r i sul tato po t rebbe esser stato raggiunto egua lmente , se pure in m o d o d i f fe rente , conferendo a ' ρ I q ' il s ignif icato k in s ieme non-p e non-q ' anz iché , come so-pra , il s igni f icato "non ins i eme ρ e q\

E le leggi del s i s tema po t rebbero in tal m o d o scr ivers i come formule la cui costante p r i n c i p a l e fosse il s egno-d i - sbarra to ; e la d i ch ia raz ione clic ogni f o r m u l a s i f fat ta s a r e b b e ana l i t i ca equivar-rebbe a l la d i ch i a raz ione che la f o r m u l a che p r e c e d e la costante pr inc ipa le s a r e b b e incongruente ( i n c o m p a t i b i l e ) con la f o r m u l a che la segue . Cos i l a d i c h i a r a z i o n e che ' ( p . q ) l ~ ( p v e / ) ' s ia anal i t ica s a r e b b e equiva lente a l la d i ch i a raz ione che ' p . q ' s ia incongruente con ' ~ ( p v q ) \ e d a m b e d u e s a r e b b e r o equiva lent i al la d i ch i a raz ione che ' p . q ' e s iga 'pwq \ Un u l ter iore s in tomo della fa ta le fac i l i tà con cui le costanti vero-funzional i vengono m a l e interpretate c o m e paro le di re laz ione logica a causa del loro uso come costanti p r inc ipa l i in f o r m u l e d i ch ia ra te ana l i t i che , è i l fatto che i l segno-di-sbarrato, q u a n d o venne introdotto la p r i m a volta , fu detto e s p r i m e r e la nozione di i n c o m p a t i b i l i t à . In rea l tà , gli è at tr ibuito i l s ignif icato di negaz ione di una cong iunz ione . So lo quando la contraddi t tor ia del la cong iunz ione è essa stessa ana l i t i ca le congiunte sono m u t u a m e n t e incompat ib i l i . La fo rmula- sbar ra ta Ita uno spec i a l e fascino in quanto i l lustra con s i n g o l a r e chiarezza la d i s tanza che d iv ide i l concetto di def iniz ione ne l l ' ambi to di un s i s tema f o r m a l e da l l a concezione o rd inar i a d i d i l u c i d a z i o n e verba le del s igni f icato . Infatti si è propens i a d i re che essa non può venir

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Funz ion i di verità

spiegata so l tanto nei termini del le nozioni ( c o n g i u n z i o n e e nega-z i o n e ) per la cui def iniz ione essa è u sa ta , ne l l ' ambi to del s i s tema.

14. La poss ib i l i t à di def inire tutte le costanti del s i s tema vero-funz iona le in termini del la s ingola costante ' | ' è in real tà di mag-giore interesse in conness ione con i l metodo dedutt ivo di s v i l u p p o del s i s tema che non in conness ione con il m e t o d o di control lo , ivi c o m p r e s o l 'uso de l le tabe l le d i ver i tà , che ho descrit to f in qu i . Ne l metodo di contro l lo , q u a l e io l 'ho introdotto , le vero-condizioni del le f o r m u l e s e m p l i c i e . perc iò , le def iniz ioni de l l e costanti indi-v idua l i . e r a n o date c ia scuna s e p a r a t a m e n t e per mezzo de l le tabe l le di ver i tà . L ' in terde f in ib i l i t à de l le costanti era vista c o m e un fatto che r i su l tava da ques te def iniz ioni inizial i da te s e p a r a t a m e n t e . Ma nel metodo dedutt ivo la p r o c e d u r a è d i f ferente . Q u i noi par-t i amo ila una ser ie in iz ia le di leggi a s sunte c o m e premes se e d e r i v i a m o da esse u l ter ior i leggi , i m p i e g a n d o nel processo un certo n u m e r o d i regole d i der ivaz ione d ' o r d i n e s u p e r i o r e qua l i que l l e che descriss i ne l l 'u l t ima par te del cap i to lo I I ' . A lmeno q u a l c u n a del le costanti che c o m p a i o n o nel la ser ie in iz ia le di leggi è pre sa c o m e indef ini ta , o primitiva nell'ambito del sistema 2, s ebbene a tutte, na tura lmente , possa venir da ta un ' in terpre taz ione verba le p r e l i m i n a r e r i spetto a l l a cos truzione del s i s t ema . I l resto de l le co-stanti che c o m p a i o n o nel s i s tema è def inito a l l o r a , d i re t tamente o ind i re t tamente , nei termini de l l e costanti p r imi t ive , e le regole di der ivaz ione d 'o rd ine s u p e r i o r e sono integrate da una regola che permet te la sos t i tuz ione di qua l s i a s i e spre s s ione al suo equiva lente def inito . Eccone un ' i l lu s t raz ione tratta dal s i s tema dedutt ivo di vero-funzioni ( q u a l c h e volta indicato col n o m e di ca lco lo propos i-

' C f r . r a p i t o l o I I . s e z i o n e 17 . 1 A n a l o g a m e n t e , i * V ' e gli " F ' elle c o s t i t u i s c o n o l ' a p p a r a t o d e l l e defi-

n iz ioni t abu la r i del m e t o d o d i c o n t r o l l o non p o s s o n o v e n i r cons idera t i c o m e de f in i t i nell'ambito del sistema, s e b b e n e il loro uso s i a s p i e g a t o ne l l e osserva-z ioni i n t e r p r e t a t i v e e b e p r e c e d o n o l a c o s t r u z i o n e del s i s t e m a .

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C o s t a t i l i vero-funzional i 113

/ . ¡ol iale) q u a l e fu per la p r i m a volta s v i l u p p a t o da Whi tehead e Russel l nei Principia Mathematica I segni ' ~ ' e ' v ' e r a n o as-sunti qual i costanti p r imi t ive , o indef ini te , del s i s tema . E r a n o quindi introdotte le seguenti de f in i z ion i :

De í . I ' ρ 3 q ' = D/ ' ~ ρ ν g ' Def . I I ' p . q ' = D / ' - ( ~ p v ~ q ) ' Def . I I I ' ρ . q ' = D / ' ( p 3 q) . ( q 3 p) '

Le c inque propos i z ion i p r imi t ive seguenti , o leggi inizia l i o postu-lali . venivano f o r m u l a t e come le p r e m e s s e d a l l e qua l i dovevano venir dedotte le r imanent i leggi del s i s t e m a :

p v p n p ( T a u t . ) 1

q Ζ) ρ ν q ( A d d . ) ρ ν q 3 q ν ρ ( P e r m . ) (q 3 r) 3 (ρ ν q 3 ρ ν r) ( S o m m . ) p v ( q v r ) 3 q v ( p v r ) ( Ass . )

I.a se lez ione di una scr ic di leggi inizial i non è governata da l loro interesse intrinseco, che può essere p icco lo . Né e governata da cons ideraz ioni come po t rebbe esser que l l a che l ' in terpre taz ione attr ibuita a l le costanti indefinite del s i s t ema , uni ta a l l a def iniz ione delle restanti nei termini del le p r i m e , renda la loro necess i tà lo-gica pa r t i co l a rmente ovvia . Una p r i m a cons ideraz ione è che esse dovrebbero essere congruenti ( c i o è , per questo s i s t ema , che esse non dovrebbero includere , o esser costituite in m o d o da permet-tere che ne venga dedotta , nessuna f o r m u l a de l la f o r m a ' ρ . ~ρ ' ) . I. na seconda è clic esse dovrebbero essere a d e g u a t e a permet tere lo s v i l u p p o del s i s tema f ino al la p iena es tens ione des idera ta dai suoi autor i . C iò che nel nostro easo può cons iderar s i c o m e i l re-

' Lo leggi d i f o r m a z i o n e p e r i l m e t o d o d e d u t t i v o s a r a n n o , n a t u r a l m e n t e , i d e n t i c h e a q u e l l e f o m i t e p e r i l m e t o d o t a b e l l a r e .

" Q u e s t i t i tol i a b b r e v i a t i d e l l e leggi s i g n i f i c a n o r i s p e t t i v a m e n t e ' T a u t o -logia ', ' A d d i z i o n e ', * P e r m u t a z i o n e \ ' S o m i n a z i o n e \ ' A s s o c i a z i o n e \

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128 Funz ion i <1 i verità

quis i to che qua l s i a s i f o r m u l a che p u ò venir d imos t ra ta anal i t ica con i l m e t o d o de l le tabe l le di verità d e b b a essere der ivab i l e , me-diante l ' i m p i e g o dei p r i n c i p i d ' in ferenza d 'o rd ine super io re , da questi c i n q u e pos tu la t i . Inf ine, in un ta le s i s t ema , è cons iderato una spec ie di desideratum estetico che i l n u m e r o di propos iz ioni p r i m i t i v e e il n u m e r o di costanti indef inite d e b b a n o essere i mi-nimi c o m p a t i b i l i con la sodd i s f az ione del requis i to di adegua tezza . Q u e s t o es ige a l m e n o che i postulat i s i ano i n d i p e n d e n t i , c ioè che nessuno di essi possa essere der ivab i l e dag l i a ltr i - condiz ione , ques ta , non sodd i s f a t t a da l l a ser ie s o p r a r i p o r t a t a , i l cui quinto postulato è super f luo . E l ' in t roduz ione «Iella fo rmula- sbar ra ta , che , come a b b i a m o visto, permet te la r iduz ione del le costanti pri-mit ive ad una so la , permet te in realtà un 'u l ter iore r iduzione nel n u m e r o dei pos tu la t i .

Ho già menz iona to le regole «li de r ivaz ione impiega te da Whi-tehead e Rus se l l . E s se s o n o :

( 1 ) La regola di sostituzione delle variabili, che può venir f o r m u l a t a c o m e s e g u e : Una qua l s ivog l i a f o r m u l a F può venir der iva ta c o m e f o r m u l a anal i t ica nel s i s t ema , a condiz ione che i l s i s tema già contenga una f o r m u l a ana l i t i ca F' tale clic F s ia ottenuta da F ' sost i tuemlo var iab i l i o f o r m u l e a l le var iab i l i di F ' , o p e r a n d o s i s e m p r e la stessa sost i tuzione per la stessa va r i ab i l e .

( 2 ) La regola di inferenza. Una qua l s ivog l i a f o r m u l a F p u ò venir der iva ta come f o r m u l a ana l i t i ca del s i s tema a con-diz ione che i l s i s tema già contenga sia q u a l c h e f o r m u l a ana-l it ica. F ' . s ia la f o r m u l a che s i ott iene scr ivendo F ' segui la da

Z3 ' segui ta da F. ( 3 ) La regola di sostituzione definizionale. Una qua l s i a s i

f o r m u l a F p u ò venir der ivata c o m e f o r m u l a anal i t ica del si-s tema a condiz ione che i l s i s tema già contenga una f o r m u l a ana l i t i ca F ' t a le che F s ia ottenuta «la F ' sos t i tuendo q u a l c h e

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Gustanti vero-funzional i 129

f o r m u l a ad una f o r m u l a equ iva lente p e r def in iz ione ehe ap-pa ia in F ' ; e due f o r m u l e sono equ iva lent i per def iniz ione se c o m p a i o n o ai lati oppost i del segno ' = o / " nel le def inizioni da I a I I I , o se una può essere ottenuta per sost i tuzione del le var i ab i l i d i una de l le f o r m u l e c i ta le da un lato di q u a l c u n a de l le definizioni da I a I I I mentre l ' a l t ra p u ò essere ottenuta o p e r a n d o le stesse sost i tuzioni r ispetto a l l e v a r i a b i l i del la for-mula citata da l l ' a l t ro lato del la stessa de f in iz ione .

15. Le f o r m u l e der ivate nel s i s tema sono c h i a m a t e teoremi. I l lustrerò la der ivaz ione di f o r m u l e nel s i s tema m e d i a n t e due

e s e m p i . D o b b i a m o a s sumere che i l s i s tema già contenga come un

teorema la f o r m u l a

( a ) p v ~ p .

Da questa noi d o b b i a m o der ivare , come teoremi u l ter ior i , le due formule

(b) ~p ν ~q 3 ~ ( p . q ) ( c ) ~ ( p . ~ p )

mediante l 'uso del le tre regole d i der ivaz ione r ipor ta te s o p r a . Le ind icherò r i spet t ivamente come Söst . . Inf . e Def . La p r i m a deri-vazione è c o m e s e g u e :

Da ( a ) per Söst . ( ' — ρ ' a ' ρ ' )

~ Ρ ν ρ ( i ) Da ( i ) per Def . ( I )

ρ 3 ρ ( ¡ i ) D a ( i i ) p e r Söst . ( ' ~ p v ~ < / ' a ' p ' )

~ p v ~ < / 3 ( ~ ρ ν ~<7 ) ( i i i ) Da ( i i i ) per Def . ( I I )

~ p v ~ q 3 ~ ( p . q ) (b)

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130 Funzioni <1 i verità

Ecco ora la seconda der ivaz ione :

Da ( a ) p e r Sös t . (4 - ρ ' a ' ρ ' )

~ P » Ρ ( ' )

D a ( Í » ) per Söst . ( ' ~ p ' a ' < / ' ) ~ p ν ρ 3 ~ ( p . ~ p ) ( i i )

Da ( i ) e ( ii ) per Inf. ~ ( P - ~ P ) (<·)

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I V . Logica delle classi : interpretazione alternativa del sistema tabellare

1. U n a vol ta s tabi l ito che le v a r i a b i l i del s i s t e m a c o n s i d e r a t o ne l l 'u l t imo c a p i t o l o e r a n o v a r i a b i l i re la t ive ad a s s e r z i o n i , ed una volta a t t r ibu i to i l s igni f ica to che s 'è a t t r ibu i to a l l ' a p p a r a t o di co-lonne e di l ince , di ' V ' e di ' F il so lo genere ili r ego le log iche per la cui f i s sazione p o t e v a m o u s a r e i l s i s t e m a t a b e l l a r e e r a n o le regole del s i s t e m a vero- funz iona le . Ma ciò non e q u i v a l e a d i re che non p o t r e m m o t rovare a n c h e un ' a l t r a i n t e r p r e t a z i o n e per l ' a p p a -rato s i m b o l i c o del s i s t ema . D e s i d e r o ora i l l u s t r a r e ques ta poss ib i-lità. D o b b i a m o r i c o r d a r e anzi tut to che i l s i s t e m a p o t e v a veni r con-s idera to c o m e p u r a m e n t e a s t ra t to , e s t acca to da ogni e q u a l s i v o g l i a in te rpre taz ione . S i p o t r e b b e in segnarne l 'u so c o m e se s i t ra t tas se di un genere d ' e se rc iz io da e seguir s i con ca ra t t e r i a i q u a l i non an-dasse cong iunto nessun s ign i f i ca to . P r i m a di metterc i a c e r c a r e u n ' i n t e r p r e t a z i o n e a l t e rna t iva , v e d i a m o d i r e n d e r c i conto d i c o m e ciò p o t r e b b e ven i r fa t to . P o t r e m m o a b b o z z a r e l ina s e r i e d i rego le , in iz i ando c o s i :

( 1 ) I segni da u sa r s i ne l l ' e serc iz io s o n o : ( i ) le le t tere mi-nusco le ' ρ ', ' q \ ' r ', ecc . ; ( ii ) le le t tere m a i u s c o l e " V ' e ' F '; ( iii ) i segni ' ~ ', ' . ', ' ν ', ' 3 ', ' ss ' ; e ( i v ) paren-tesi .

( 2 ) Cer te c o m b i n a z i o n i d i ques t i segni s o n o c h i a m a t e " e s p r e s s i o n i ' . Q u a l u n q u e lettera m i n u s c o l a p r e c e d u t a da ' ~ ' è u n ' e s p r e s s i o n e . U n a c o m b i n a z i o n e cons i s tente di qual-s ias i le t tera m i n u s c o l a segu i ta da q u a l s i a s i a l t ro segno del

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1 3 2 Logica »Ielle classi

g r u p p o ( i i i ) seguita «la un 'a l t ra lettera minusco la è un'espres-s ione . Inoltre , «pialun«iue e spre s s ione ch iusa tra parentes i e p receduta da ' ~ ' f o r m a u n ' e s p r e s s i o n e ; e «pialuntjuc combi-naz ione consis tente di una lettera minusco la o di un'espres-s ione tra parentes i , cui segua «pialsiasi a l t ro segno del g r u p p o ( i i i ) segui to a sua volta da una lettera minusco la o da un'e-spre s s ione fra parentes i è essa stessa un 'e spres s ione .

( 3 ) Ogni e spre s s ione ha una serie V-o-F. d e t e r m i n a b i l e secondo certe regole , ed è o un 'e spres s ione tutta-V, o un'espres-s ione tutta-F o un 'espres s ione mista. Oggetto t lcl l 'cscrcizio è di s copr i r e a «piali «li «¡ueste class i a p p a r t e n g a ogni espres-s ione d a t a ; e la r i sposta giusta è «¡nella sola che r isulta dal-l ' a p p l i c a z i o n e corretta «Ielle reg«»lc seguent i . . .

E cosi si p o t r e b b e ovv iamente cont inuare , in t roducendo a que-sto punto tabe l le recanti le lettere " V ' e ' F ', e fornendo regole , che pur s e m p r e non facciati menzione che di lettere e segni , per d e t e r m i n a r e l e " s e r i e V - o - F ' ( q u e l l e , c ioè , che nel l ' interpreta-z ione vero- funz iona le a b b i a m c h i a m a t e ' v e r o - c o n d i z i o n i ' ) d i ogni e spre s s ione . Ove la ser ie V-o-F di un 'e spres s ione consista di una colonna di ' V ' , p o t r e m m o d i re che per regola deve venir c h i a m a t a e spre s s ione ' tulta-V e clic le deve essere assegnato un ¡tosto s p e c i a l e ; e cosi via . P o t r e m m o a l lora a s segnare esercizi di d e t e r m i n a z i o n e «Iella c lasse a l la «piale a p p a r t e r r e b b e r o espress ioni «late, e p o t r e m m o segnare le r i sposte c o m e " giuste ' ed " errate ". E tutto questo p o t r e m m o far lo senza «lare nessuna interpretaz ione q u a l e che s ia a i segni del s i s t e m a ; p r o p r i o coinè uno po t rebbe , forse , insegnare a qua lcun al tro c o m e fare s o m m e e molt ip l ica-zioni senza insegnargl i l 'uso dei n u m e r a l i nel contare le cose.

2 . Nel cercare un ' in terpre taz ione a l ternat iva del s i s tema noi c e r c h i a m o , a l l o r a , un al tro m o d o di a t t r ibu i re s ignif icato a i suoi segni ed a l l e sue operaz ion i , tale da render pos s ib i le l 'uso de l le tabel le per s t ab i l i re regole log iche di un a l tro genere . Ne l sugge-

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Interpre taz ione del s i s tema t a b e l l a r e 133

rire un 'a l t ra interpretaz ione , farò uso, in rea l t à , ili segni d i f ferent i . Ma si tratta di s empl i ce convenienza , dettata in par te da l l ' oppor-tunità di ev i tar confus ion i , in par te d a l l ' o p p o r t u n i t à di confor-marsi a l la pra t i ca corrente . Potrei u sa re e g u a l m e n t e bene i segni coi qua l i s i a m o già f a m i l i a r i ; ma essi sono u s u a l m e n t e conside-rati p r o p r i de l l ' in terpre taz ione e b e a b b i a m o sin qui cons idera l a . Il punto i m p o r t a n t e è ebe ci dovrebbe essere una cor r i spondenza esatta , per quel clic concerne le leggi di c o m b i n a z i o n e e le leggi clic governano l 'uso de l le tabel le , fra i segni clic già a b b i a m o fa-mi l iar i e quel l i che p r o p o n g o ora di in t rodurre .

Le var i ab i l i ' ρ ' , ' < / ' , ' r ' , ecc. , le sos t i tu irò con le lettere gre-che ' α '. ' β \ ' γ \ ecc. Q u a n t o ai loro va lor i , deve a s sumers i che non s i ano propos i z ion i g r a m m a t i c a l i cost i tuenti enunciat i com-pleti , ma espressioni di classe. Con e spre s s ione di c l a s se intendo, a l l ' ingrosso , un nome, o una frase-nome, al p lu ra l e . P e r e s e m p i o , le espress ioni ' cose rosse ', ' gente che vive in ca se di vetro ' ', ' pa-dri ' sono tutte da cons iderars i e spress ioni di c la s se , o classe-espres-sioni. C o m e sp iegaz ione a l ternat iva p o s s i a m o d i re che qua l s i a s i e spress ione che potesse r i m p i a z z a r e con s igni f ica lo la seconda va-r iabi le nel la f o r m u l a ' χ è un m e m b r o de l l a c lasse degl i α ' è una c lasse-espress ione. Un 'e spres s ione può r i m p i a z z a r e con s ignif icato la seconda var i ab i l e in questa f o r m u l a se la f o r m u l a r i sul tante , p.e. * τ è un m e m b r o de l la c lasse «Ielle per sone che vivono in case ili vetro ' , è una da cui possa trarsi « jualche enunc ia to s ignif icante t ramite la sost i tuzione di una paro l a o di una f r a se a l la v a r i a b i l e ' .v " . T a l i enunciat i l i c h i a m e r e m o enunciat i «li c lasse-apparte-nenza, e le asserzioni fatte med iante il loro i m p i e g o , asserzioni di c la s se-appar tenenza . Ques t i enunciat i r iu sc i rebbero , na tura lmente ,

' L ' e spres s ion i * ing lese « p e o p l e w h o l ive in g l a s s -houses υ si a p p l i c a a l l e p e r s o n e m o l t o in v i s ta , la cui v i ta a n c h e pr iva ta è o s se rva ta «la tut t i , eil è p i ù usa l a de l l a c o r r i s p o n d e n t e e s p r e s s i o n e i ta l i ana in q u a n t o è p r o v e r b i a l e . S i d i c e infatt i : « P e o p l e w h o l i ve in g la s s -houses s h o u l d not t h r o w s t o n e s » ( » L a gei l te c h e v ive in case d i ve t ro non d o v r e b b e l a n c i a r sass i » ) [ N . J . T . 1 .

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134 Lngicn de l le class i

ingombrant i pili del necessar io , e noi r a r a m e n t e li u s e r e m m o , nel d i scorso o r d i n a r i o . Afa se noi ci imbat te s s imo in un s i f fat to enun-cia lo . n o r m a l m e n t e non a v r e m m o difficoltà a l cuna a p r o d u r r e un enuncia to in l ingua corrente che s a r e m m o propens i a d ire fornito cfollo stesso s igni f icato . E p e r converso ci sono molt i enunciat i in l ingua corrente che p o t r e m m o p a r a f r a s a r e in questo m o d o ingom-brante . P.e. . ' G iovanni e un p a d r e \ ' G iovanni vive in una casa di vetro \ ' Q u e s t o è rosso ' po t rebbero tutti e s ser resi f acendo uso de l la f rase ' e un m e m b r o de l la c la s se di ' , un i t amente ad una od altra del le c lasse-espress ioni e lencate s o p r a . La f ra se "è un mem-bro del la c la s se d i 1 ( o p p u r e , var iante occas iona le , ' a p p a r t i e n e a l la c la s se d i ' ) è r appre senta ta q u a l c h e volta con l a lettera ' ε ' , che è. di conseguenza , una costante e non una var i ab i l e . ( Ma ' ε ' non è una de l l e costanti clic a p p a r t e n g o n o al s i s tema tabe l l a re nel la sua in terpre taz ione a l ternat iva . D o b b i a m o usa r l a , non per r i m p i a z z a r e q u a l c u n a del le costanti vero-funzional i nel s i s tema, ma sol tanto nel le osservazioni e sp l i ca t ive e interpretat ive intorno al s i s t e m a ) . P o s s i a m o scr ivere ora gli enunciat i di c lasse-apparte-nenza che s t a v a m o testé cons iderando c o m e

Giovanni ε p a d r e G i o v a n n i ε per sone che vivono nel le case di vetro Q u e s t o ε cose rosse

e le f o r m u l e che essi e sempl i f i cano c o m e

.νεα.

Riusc i rà ev idente che . una volta che sia stato at tr ibui to un va lore ad una de l le va r i ab i l i . la g a m m a dei va lor i poss ib i l i de l l ' a l t ra do-vrà p r o b a b i l m e n t e venir ristretta

C o m e costanti del s i s tema tabe l l a re nella sua nuova interpre-tazione, noi r i m p i a z z e r e m o ' ~ ' con ' — * ν 1 con ' + ' , " . ' con ' X ", ' 3 " con ' * \ e ' Β ' con ' ** P u r concedendos i queste so-

1 C f r . r a p i t o l o t i . s e z i o n e 5 .

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135

s l i tuz ion i , l e r ego le d i f o r m a z i o n e r i m a n g o n o , n a t u r a l m e n t e , inal-t e r a t e ; e noi s i a m o p e r c i ò autor izza t i a co s t ru i re f o r m u l e c o m e ' α + 0 \ ' — ( α χ β ) ' - ( α χ - β ) \ ' α * * β ' , e cosí via. Queste f o r m u l e d i f f e r i r a n n o tuttavia d a l l e f o r m u l e vero- funz iona l i da l punto d i vista in te rpre ta t ivo . I l s i gn i f i ca to da a t t r i b u i r s i ora a l le eostanti è t a le che q u a n d o in ques te f o r m u l e le v a r i a b i l i vengono r i m p i a z z a t e da c la s se-espres s ion i , l e e s p r e s s i o n i r i su l tant i sono esse stesse da c o n s i d e r a r s i c o m e c la s se-espres s ion i e n o n , c o m e nel l ' in-t e r p r e t a z i o n e vero- funz iona le , c o m e e n u n c i a t i . C i ò a m p l i a i l no-stro concet to d i f o r m u l a . A b b i a m o c o n s i d e r a t o f inora l e f o r m u l e c o m e e s p r e s s i o n i contenent i costant i c v a r i a b i l i , d e l l e (piali fosse vero cl ic , q u a n d o le v a r i a b i l i s i a n o r i m p i a z z a t e da p a r o l e o f r a s i , s i o t t iene un enunc ia to . D o b b i a m o ora c o n s i d e r a r e f o r m u l e ove la so s t i tuz ione de l le v a r i a b i l i con p a r o l e o f r a s i del genere a p p r o p r i a t o p r o d u c e c l a s se-e spres s ion i , c h e p o s s i a m o c h i a m a r e c la s se-espres s ioni composte ( p . c . , ' p a d r i χ p e r s o n e c h e v ivono in case d i v e t r o ' ) in c o n t r a p p o s t o a l l e c l a s se -e spre s s ion i u n i t a r i e c o m e " p a d r i ' . Le f o r m u l e che esse e s e m p l i f i c a n o le p o s s i a m o c h i a m a r e f o r m u l e d i c l a s se . L e c l a s se-e spres s ion i u n i t a r i e c h e com-pa iono in una c l a s se-e spres s ione c o m p o s t a p o s s i a m o c h i a m a r l e s u e c la s se-espres s ioni cos t i tuent i .

Impress ioni a n a l o g h e a l l e c l a s se-e spres s ion i c o m p o s t e ricor-rono spe s so nel l i n g u a g g i o o r d i n a r i o . C iò è a d i r e c h e noi s p e s s o c o m b i n i a m o n o m i p l u r a l i con a l t r i n o m i o agget t iv i o p r o p o s i z i o n i re la t ive , pe r f o r m a r e f ra s i n o m i n a l i c h e s o n o esse s tesse classe-e s p r e s s i o n i . A ta le s c o p o s p e s s o s e m p l i c e m e n t e g i u s t a p p o n i a m o le e s p r e s s i o n i c o m b i n a t e ( p . e . . ' d o n n e p s i c o p a t i c h e ' , ' t a p p e t i r o s s i " ' p a d r i c h e t r a s c u r a n o i loro f ig l i ' ) , e t a lvo l t a le u n i a m o m e d i a n t e cong iunz ion i c o m e ' e ' e " o ' ( p . e . , ' c a v o l i e re ', ' dot-tori o avvoca t i ' , ' pe sca tor i e g ioca tor i ' ) . P e r q u a n t o non si ado-per ino m a i . n a t u r a l m e n t e , a ques to s c o p o le cos tant i che ho teste introdot to , gli a c c o r g i m e n t i ehe s i a d o p e r a n o p o s s o n o e s sere usat i per i l lu s t r a re un po ' a l l a b u o n a i s ign i f i ca t i a t t r ibu i t i ad a l c u n e

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136 L o g i c a »Ie l le class i

di que l le costant i . Cos i , q u a n d o p a r l i a m o di donne psicopatiche, c o m u n e m e n t e in tend iamo quel le per sone c ia scuna de l le qua l i è ins ieme una donna e un essere l u n a t i c o ; q u a n d o p a r l i a m o di donne e psicopatici ( c o m e , per e s e m p i o , ca tegor ie contempora-neamente co lp i te da ineleggibi l i tà nel le v o t a z i o n i ) noi comune-mente in tend iamo que l l e per sone c i a scuna del le qua l i è o una donna o uno ps i copa t i co o a m b e d u e le cose a s s ieme. La p r i m a espres s ione , cosi intesa, lia lo stesso s igni f icato de l la classe-espres-s ione ' d o n n e χ ps icopat ic i ' ; l a s econda e spres s ione , cosi intesa , ha lo stesso s igni f icato del la c lasse-espress ione ' donne + psico-pat ic i \ Le f o r m u l e clic esse r i spe t t ivamente e sempl i f i cano sono c h i a m a t e f o r m u l a del prodotto logico ( ' α Χ β ' o, secondo che la s i usa scr ivere ta lvol ta , ' α β " ) e la f o r m u l a de l l a s o m m a logica ( ' α + β ' ) . La s o m m a logica di d u e class i è genera lmente più am-pia del loro prodot to logico e lo inc lude .

Nel d i scorso o r d i n a r i o u s i a m o anche , c o m u n e m e n t e , classe-csprcss ioni che incorporano la p a r o l a ' non ' o q u a l c h e accorgi-mento equ iva lente . P . c . , p o s s i a m o p a r l a r e d i " p e r s o n e che non g iocano a bridge \ Q u e s t a f ra se ha lo stesso s igni f icato de l la classe-espres s ione c o m p o s t a ' — persone che g iocano a bridge ', che esem-plif ica l a f o r m u l a " — a ' . C h i a m e r e m o ques t 'u l t ima l a f o r m u l a c o m p l e m e n t a r e ; e p a r l e r e m o del la c la s se di que l l e cose o persone che non a p p a r t e n g o n o ad una data c la s se c o m e i l c o m p l e m e n t o de l la c lasse da ta . S i a m o ora in g rado di scorgere , a l l ' ingrosso , come d e b b a n o interpre tar s i le c lasse-espress ioni d i m a g g i o r comples-s i tà , che incorpor ino p r o p r i o ques te tre costant i . Cos i , la classe-espres s ione ' ( a v v o c a t i + d o t t o r i ) X — quel l i che g iocano a bridge ' avrà lo stesso s ignif icato de l la f r a se di l inguagg io ordi-nar io ' avvocat i o dottori che non g iocano a bridge '. Q u e s t o esem-pio ci mette in g r a d o di scorgere , in p r i m a a p p r o s s i m a z i o n e , come le convenzioni c irca i l c a m p o non s i ano meno essenzia l i per que-sta in terpre taz ione che per que l l a vero- funzionale . Se e l i m i n i a m o la parentes i nel la c lasse-espress ione s o p r a r ipor ta ta , o t ten iamo

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In terpre taz ione del s i s tema tabe l l a re 137

" avvocati + dottori X — coloro che g iocano a bridge 1 dove , p e r le regole di f o rmaz ione , la costante di c a m p o più a m p i o è ora • + ' invece di ' χ Nel l inguaggio o r d i n a r i o , in cui la distin-zione è fat ta in m o d o p iù ch ia ro nel la f o r m a scritta che in ([nella [tarlata, si a v r e b b e a l lora ' avvocat i , o dottori clic non g iocano a bridge''·, e la classe di persone cui ci si r i fer i sce ovv iamente non è identica a quel la cui si r i fer i sce l ' e spre s s ione precedente , q u a n t u n q u e esse a b b i a n o a lcuni m e m b r i in c o m u n e . Le f o r m u l e e sempl i f i ca te da l l e due classe-espress ioni sono, r i spet t ivamente . ' ( α + β) χ —γ ' e 'α + β χ - γ \

Un' interpretaz ione (o sp iegaz ione »lei s i g n i f i c a t o ) d i carat tere a lquanto p iù f o r m a l e può venir da ta , per ques te costant i , t ramite le def iniz ioni s eguent i 1 :

' « ( a x p ) ' = π/ k ·*εα . .τεβ ' ' « ( α + β ) ' = D / ' .νεα ν .νεβ ' ' χε — α ' = D/ ' ~ ( νεα ) \

Il s ignif icato de l le r imanent i due costanti p u ò ora venir dato o nei termini di que l l e già de f in i te :

' « ( α * β ) ' = tv ' -νε — ( a χ — β ) ' ' .νε(α ** β) ' = η / ' · τ ε Ι ( α * β ) χ ( β * α ) ] "

o p p u r e , a l te rnat ivamente , nel m o d o s e g u e n t e :

' Λ·ε(α * β) ' = η/ ' *εαζ>.νεβ ' ' *ε( α ** β ) " = η/ ' ·*εα = .τεβ '.

Nel l inguagg io ord inar io non vi sono s e m p l i c i e spres s ioni o sem-plici tipi di combinaz ion i clic c o r r i s p o n d a n o ai s imbo l i ' * ' e

1 Le p a r e n t e s i u sa te in q u e s t e de f in i z ion i non s o n o , n a t u r a l m e n t e , s tretta-niente n e c e s s a r i e . N e s s u n a a m b i g u i t à v e r r e b b e d a l l a l o ro r i m o z i o n e . E s s e s o n o s la te in se r i t e s o l t a n t o p e r r e n d e r e la l e t tura p i ù c o m o d a e a g e v o l e , e v e r r a n n o o m e s s e q u a n d o non s e m b r e r a n n o neces sa r i e a q u e s t o s c o p o .

I n n c a r a t t e r i s t i c a ovvia e p r e v e d i b i l e d i q u e s t e u l t i m e d u e def ini-z ioni ί· la l o ro a n a l o g i a : ' " ρ Ζ) q" = η/ " ~ ( ρ · ~ <J ) " ' e * " ρ « q ~ = D/ " ( ρ O q I . ( η => ρ ) "

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157 Log ica »Ie l le class i

• Λ* ' nel le interpretaz ioni che a b b i a m o testé forni to . E la rag ione è ovvia se c o n s i d e r i a m o cosa queste in terpretaz ioni s i ano . L 'espres-s ione ' donne ** p s i copat ic i ' s i gn i f i cherebbe , a l l ' ingrosso . ' co loro che sono o ins ieme donne e ps icopat ic i , o né donne né ps icopat ic i ' . R a r a m e n t e a b b i a m o occas ione di f a r r i f e r imento a class i descri t te in s i f fat ta m a n i e r a .

3 . P r i m a di e s a m i n a r e come i l metodo tabe l l a re può venir usato p e r s t ab i l i r e regole log iche c irca f o r m u l e d i elasse, d o b b i a m o cons idera re p r e l i m i n a r m e n t e certi tipi di asserzioni clic possono venir fatte con l ' imp iego di enunciat i incorporant i classe-espres-s ioni . C ioè , d o b b i a m o cons iderare certi tipi di f o r m u l e di asser-zione elle i n c o r p o r a n o var i ab i l i che s i ano c lasse-espress ioni . Chia-m i a m o l e f o r m u l e d i c lasse-asserzione.

( 1 ) La formula di classe-appartenenza. Di un t ipo «li f o r m u l a di c lasse-asserz ione si è già fatta menz ione . È la fo rmula «li classe-a p p a r t e n e n z a . " .νεα ' , e sempl i f i ca la da f o r m u l e p iù comple s se sul genere «li ".τεα + β\ ' . ν ε α * * β ' , ecc. , e da enunciat i sul genere di ' G iovanni ε per sone che v ivono in ca se di vetro χ persone che gettano p ie tre \

( 2 ) Formule esistenziali. Si cons ider i la c lasse-espress ione * cose rosse χ unicorni ' o, in f o r m a corrente , ' unicorni rossi '. Enti «lei genere non es is tono. In l inguagg io ord inar io , p o t r e m m o d i r e : non c 'è niente cui s i a p p l i c h i la f r a se ' u n i c o r n i r o s s i ' ; op-p u r e : non c i sono unicorni rossi . F i s s i a m o c i in mente a m b e d u e «piesti m o d i di d i re la cosa . Ne l l inguagg io «Ielle c lasse-espress ioni invent iamo modi di d i r lo , pa ra l l e l i a «piesti due . Un p r i m o m o d o di d i r lo è ([nello di c i tare la c las se-espress ione in uno dei contesti s e g u e n t i : La c lasse-espress ione ' c o s e rosse χ u n i c o r n i ' non ha a p p l i c a z i o n e a l c u n a ; o p p u r e , La c las se-espress ione ' c o s e rosse X unicorni ' ha estensione z e r o : o p p u r e , La c lasse-espress ione ' c o s e rosse χ unicorni ' è vuota (o n u l l a ) . A l te rna t ivamente , p o t r e m m o d i r lo non già c i t ando , ma i m p i e g a n d o la c lasse-espress ione in uno

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Interpre taz ione del s i s tema t abe l l a re 139

di quest i m o d i : Non c 'è niente che sia un membro della classe di cose rosse χ unicorni ; o p p u r e , La classe di cose rosse X unicorni è vuota (è nulla, non ha nessun membro). A b b r e v i a m o questo se-condo g r u p p o d i m o d i d i d i r lo nel la f o r m a :

cose rosse χ unicorni = 0

dove l ' e spres s ione " = 0 ' è una costante , ed una a b b r e v i a z i o n e di q u a l u n q u e e spre s s ione d i que l l e r ipor ta te s o p r a in cors ivo . A l lo ra l 'enunciato ' cose rosse χ unicorni = 0 ' e sempl i f i ca la f o r m u l a negativamente esistenziale ' αβ = 0 ', e pe rc iò , n a t u r a l m e n t e , la fo rmula nega t ivamente es i s tenzia le ' α = 0 '.

S u p p o n i a m o che qua lcuno des ider i c o n t r a d d i r e l ' a s serz ione che non vi sono unicorni ross i . Eg l i p o t r e b b e d i r e : ' Ce ne sono alcuni , s a i ! " Ma d icendo questo , egl i già s ' i m p e g n a p i ù del neces-sar io ; infatti ' a lcuni " i m p l i c a ' p iù che uno ment re s a r e b b e suf-ficiente, a i fini di contradd i re veracemente l ' a s serz ione negativa-mente es i s tenzia le , clic egl i fosse in g r a d o di a f f e r m a r e verace-mente che ce n'è uno . Egl i po t rebbe d i r e : ' C 'è in effetti giusto un unicorno rosso ' . Ma nel d i re questo , n u o v a m e n t e s ' i m p e g n a p iù del necessar io ; infat t i ciò che dice questa volta è f a l so se ci sono parecchi unicorni rossi , m a l g r a d o anche in questo caso egli possa veracemente cont radd i re l ' a s serz ione nega t ivamente es i s tenzia le . Egli incorre nel r ischio m i n i m o di fa l s i tà , c o m p a t i b i l m e n t e col conseguimento del l ' intento di c o n t r a d d i r e l ' a s serz ione negativa-mente es i s tenzia le , d icendo ' C 'è a l m e n o un unicorno rosso ' . La contraddi t tor ia de l l a f o r m u l a nega t ivamente es i s tenzia le ' α = 0 ' è la f o r m u l a " α φ ft ', f o r m u l a che deve di conseguenza interpre-t a r s i : ' C 'è a l m e n o un m e m b r o del la c la s se degl i a ' o p p u r e ' La c lasse degli α non è vuota ( n o n è n u l l a ) '.

C o n f r o n t i a m o la fo rmula * α Φ 0 " con la f o r m u l a " — α = 0 '. Esse sono molto d i f ferent i . La p r i m a è u sa ta p e r l ' a f f e r m a z i o n e , la seconda per la negaz ione del l 'es i s tenza di a l m e n o una cosa di una certa c lasse . Q u e s t ' u l t i m a deve esser letta : 4 N o n c 'è niente che s ia

11

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140 L o g i c a » Ie l le class i

m e m b r o de l la c lasse dei — α ' , cl ie, giusta le i s truzioni preceden-temente date , può essere a m p l i a t o i n : ' Non c 'è niente che s ia un m e m b r o de l l a c lasse di cose o per sone che non sono m e m b r i di α ' e n u o v a m e n t e contra l ta in ' Non c 'è niente che non s ia un m e m b r o de l la c la s se degli α ' . Si è tentati di in te rpre ta re ciò c o m e se signi-ficasse lo s lesso di ' Ogni cosa è m e m b r o de l l a c lasse α ' ; e per con-seguenza , di d a r e il s igni f icato di ' Ogni cosa è m e m b r o de l la c lasse . . , ' a una nuova costante , e p r e c i s a m e n t e a " = 1 ', che viene in-trodotta a questo punto e può venir def inita c o m e s e g u e :

* α = 1 ' = ο / ' - α = 0 ' ε ' - α = 1 ' = ο / ' ά = 0 '

Q u e s t a let tura di ' = 1 ' c o m e ' Ogni cosa è m e m b r o del la c la s se d i . . . ' non c o m p o r t a inconvenient i , ed è anzi uti le se stretta-mente a p p l i c a t a . M a , ef fet tuato senza cura , l 'uso di ' ogni ' p u ò por ta re , c o m e vedremo , ad error i interpreta t iv i , ed è a sa lvaguar-darc i da quest i clic g iova la lettura nega t ivamente es i s tenzia le cui ci r i c h i a m a la def iniz ione di des tra . Le contradd i t tor ie del le for-m u l e e sempl i f i cant i ' α = 1 ' vengon f o r m a t e a l lo stesso m o d o de l le contradd i t tor ie del le f o r m u l e e sempl i f i cant i ' α = 0 ', c ioè s b a r r a n d o i l segno di equaz ione . C o m e s 'è visto, o t terremo una for-m u l a . e sempl i f i ca ta da enunciat i usat i per a s ser i re l 'es istenza d i a l m e n o un m e m b r o di una certa c la s se .

( 3 ) Formule (li classe-inclusione e classe-identità. Es i s te u n a certa f o r m u l a nega t ivamente es i s tenzia le che presenta uno spec i a l e interesse , perché »lue ulter iori costanti clic r icorrono nel le f o r m u l e di c lasse-asserzione pos sono venir def inite nei termini di q u e l l a . Si tratta de l l a f o r m u l a ' aX — 0 = 0 ' . Un 'ut i le convenzione da adot-tare in a lcuni casi è que l l a di scr ivere il segno ' — ' s o p r a tutta que l l a par te de l l ' e spres s ione che cost i tuisce i l suo c a m p o , anz iché p r i m a di es sa ; ne der iva , p e r la f o r m u l a s o p r a citata , la f o rma con-venientemente abbrev ia t a ' αβ = 0 '. Nei termini di questa , la for-mula di c lasse- inclus ione, ' α C β ', è def inita c o m e s e g u e :

' α c β ' = D / 1 α β = 0 '

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Interpre taz ione del s i s tema t abe l l a re 141

e qu indi la f o r m u l a di c lasse-identità . " α = β \ c o m e segue :

' α = β ' = D / ' a c ß . ß c a "

P e r essere bene in ch ia ro circa le nuove f o r m u l e di classe-as-serz ione , e p r e p a r a t i a non lasc iars i tentare da certe identi f icazioni t roppo f ac i lmente sol lecitate d i queste ed a l t re f o r m u l e con certe forme comuni del l inguaggio o rd inar io , d o b b i a m o a p p o r t a r e qual-che r i f ini tura a l l ' in terpretaz ione data a ' = 0 ', spec i a lmente q u a n d o esso a p p a i a dopo una f o r m u l a d i c la s se d i prodot to logico. 1 / in terpre taz ione che già a b b i a m o fornita è tale da indurci a leg-gere " α β = 0 ' come ' Non c 'è niente c h e s ia m e m b r o de l la c lasse αβ ' . La r i f ini tura sul la qua le d o b b i a m o ins is tere è che ciò venga inteso in m o d o ta le che ' N o n c 'è niente che s ia m e m b r o del la classe α ' e ' Non c 'è niente che s ia m e m b r o de l la c la s se β ' s i ano e g u a l m e n t e , ed ind ipendentemente , condiz ioni suff icienti , anche se non neces sar ie , del la verità di ' Non c 'è niente ehe sia m e m b r o del la c lasse aß '

f t pa r t i co l a rmente impor tante sot to l ineare questo fatto perché si dice ta lvolta che ' αβ = 0 ' ha lo stesso s igni f icato di ' Nessun α è β ' ( o p p u r e ' N e s s u n o degl i α è β ' ) e ' α β = 0 ' ( o p p u r e ' α C β ') ha lo stesso s igni f icato di ' Tut t i gli α sono β '. Difficil-mente noi c o n s i d e r e r e m m o condiz ione suff iciente di un 'a s serz ione espressa con le paro le ' Tutt i gli uomin i al r icev imento indossa-vano la m a r s i n a ' , i l fatto che uomin i non ce ne fossero af fat to , bensì solo d o n n e ; né s a r e m m o propens i a cons idera re c iò una condiz ione sufficiente del la verità de l l ' a s serz ione che nessuno degl i

' E s p r e s s i o n i d e f i n i t o r i e a l t e r n a t i v e s a r e b b e r o :

p e r ' a C β ' o ' a * β = 1 ' o ' - ( a * β ) = 0 ' p e r ' α = β ' ο ' α * * β = 1 ' ο ' - ( α * * β ) = 0 \

• C i ò è a d i r e e b e u n ' a s s e r z i o n e d e l l a f o r m a ' αβ = 0 ' è d e d u c i b i l e p e r i m p l i c a n z a da l l a c o r r i s p o n d e n t e a s s e r z i o n e de l l a f o r m o 4 a = 0 ed a n c h e da l l a c o r r i s p o n d e n t e a s s e r z i o n e d e l l a f o n i l a " f i = 0 ' ; ma non e s i g e né l 'una né l ' a l t ra d i fp ie s l c d u e a s s e rz ion i .

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142 L o g i c a »Ie l le classi

u o m i n i a l r icev imento indossava la m a r s i n a . S a r e m m o piuttosto propens i a c o n s i d e r a r l a come i n c o m p a t i b i l e con la verità tanto de l l 'una clic de l l ' a l t ra a s serz ione . Ma " u o m i n i al r icev imento = 0 ' è una condiz ione suff iciente de l la verità tanto di ' u o m i n i al r icevimento X coloro che indossano la mar s ina = 0 ', quanto di 4 u o m i n i al r icevimento χ — coloro che indossano la mars ina = 0 '. D 'a l t ra par te , è ovv iamente vero che l ' a s serz ione che tutti gli u o m i n i a l r icevimento indos savano la m a r s i n a impl i ca l 'asser-z ione clic la c lasse di uomini al r icev imento non indossant i la mar s ina era vuota . 4 Tutt i gli α sono β ' es ige 4 α C β ', ma questa non esige q u e l l a . T a l e s i tuaz ione r i c h i a m a que l l a d i cui s 'è d i scorso ne l l 'u l t imo cap i to lo , a p ropos i to di a l cune pretese di identif ica-zione fra costanti vero-funzional i e p a r o l e o rd inar i e . In propos i to , d i r e m o di p iù più avant i . P o s s i a m o notare qu i , tuttavia , che la stessa m a n c a n z a di p laus ib i l i t à inficia l ' ident i f icaz ione di 4 α = β ' con ' Tutt i gli α sono β e tutti i β sono α '.

4 . Se vog l i amo che sia giust i f icata la pretesa di dare al s i s tema tabe l l a re , p e r i l q u a l e a b b i a m o g ià descr i t ta l ' in terpretaz ione vero-funz iona le , un ' in terpre taz ione a l ternat iva in termini di f o r m u l e di e lasse , d o b b i a m o mostrare che i l metodo tabe l l a re p u ò venir usato , in m o d o esa t tamente p a r a l l e l o , p e r s t ab i l i re regole logiche c i rca le f o r m u l e di c lasse . P o t r e m m o aspet tarc i che i nostri risul-tati p r e n d a n la f o r m a di una d i m o s t r a z i o n e che a lcune f o r m u l e di c lasse-asserzione sono ana l i t i che . Ma s e m b r a esserci un 'ovvia diff icoltà nel f a r questo , ed è que l l a che nessuna de l le costanti ebe i n t r o d u c e m m o al f ine di rendere pos s ib i le la cos truzione di f o r m u l e d i c l a s se-a s se rz ione ( c o m e dist inte d a l l e sempl ic i f o r m u l e di c l a s s e ) f igurava nel la nostra l ista o r ig ina le del le costanti che dovevano rea l i zzare la re- interpretaz ione de l le costanti vero-fun-z iona l i . Q u e l l a l ista inc ludeva 4 — ', * χ ', ' + ', 4 * ', e 4 ** ' ; ma non 4 ε \ ' = \ ' c ' φ \ ' = 0 \ e 4 = 1 \ D o v r e m m o ovvia-mente a b b a n d o n a r e la pre lesa di u sa re lo stesso s i s tema astratto

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Interpre taz ione del s i s tema t a b e l l a r e 143

di rego le , se i n c o r p o r i a m o nel lo s t r u m e n t a r i o d i prova s imbo l i elio c o m u n q u e non cost i tuiscano le strette contropar t i di quel l i usati per l ' in terpretaz ione t rad iz iona le .

P o s s i a m o notare , tuttavia , che tutte le f o r m u l e di classe-asser-zione di cui a b b i a m o trattato, ad eccez ione de l le f o r m u l e di classe-a p p a r t e n e n z a , possono venir e spres se o c o m e equaz ion i a l lo ' 0 ' ili q u a l c h e f o r m u l a di e lasse ( o p p u r e , c iò che è poi lo stesso, come l ' equaz ione a l l " 1 ' del c o m p l e m e n t o di q u e l l a f o r m u l a di c l a s s e ) « c o m e le negazioni di tal i equaz ion i . Ora i l d i re che q u a l c h e f o r m u l a d 'a s serz ione in cui q u a l c h e f o r m u l a di c lasse è eguag l i a ta al lo ' 0 ' è ana l i t i ca e q u i v a r r e b b e a d i re che , c o m e quest ione d i necessità logica , una c lasse-espress ione e sempl i f i cante que l l a for-mula s a r e b b e vuota o nul la , c ioè s a r e b b e log i camente impos s ib i l e per una tale c lasse-espress ione di venir a p p l i c a t a a checchess ia . P o t r e m m o e s p r i m e r e c iò col d i re che la f o r m u l a di c lasse in que-stione era auto-contraddit tor ia , o logicamente nulla. S i m i l m e n t e , mostrare che la f o r m u l a di a s serz ione in cui i l c o m p l e m e n t o di una data f o r m u l a di c lasse venga eguag l i a to a ' 1 ' è ana l i t i ca , e q u i v a r r e b b e a n c h e a mos t rare che la f o r m u l a di c lasse era logi-camente nu l l a . P o t r e m m o dire che l a f o r m u l a c o m p l e m e n t a r e di que l l a f o r m u l a di c lasse ve r rebbe con ciò d imos t ra ta c o m e logicamente comprensiva. Cosi il nostro p r o b l e m a può venir rifor-mula to c o m e s e g u e : È pos s ib i le u sa re i l m e t o d o t abe l l a re per de te rminare se le f o r m u l e di c lasse sono log i camente nul le , logica-mente c o m p r e n s i v e , o né l 'una né l ' a l t ra c o s a ? Se questo fosse i l caso , le regole per de te rminar lo d o v r e b b e r o essere esa t tamente para l l e le a l l e regole per de te rminare se le f o r m u l e vero-funzional i sono auto-contraddit tor ie , ana l i t i che o cont ingent i .

È in effetti per fe t tamente pos s ib i l e u s a r e i l metodo t abe l l a re per d e t e r m i n a r e lo status di una f o r m u l a di c la s se in un m o d o esat tamente para l l e lo a que l lo in cui esso è usa to p e r de te rminare lo status di una f o r m u l a vero- funzionale . Q u e s t a è una conseguenza del p a r a l l e l i s m o f ra i s ignif icati dat i a l le costanti del le due inter-

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144 Log ica »Ie l le class i

p r e l a z i o n i . Il va lore di verità di un 'a s se rz ione vero-funzionale è in teramente de terminato dai va lor i di veri tà del le sue asserzioni cost i tut ive. S i po t rebbe d i r e : i l ' v a l o r e - d i - a p p a r t e n e n z a ' d i una c lasse-espress ione compos ta e in teramente de termina to da i valori-d i -appar lenenza del le sue c lasse-espress ioni cost itutive.

Mi s i permet ta di iniz iare con l ' a t t r ibu i re un s ignif icato a l la f ra se ' e s t e n s i o n e di una c l a s se -e spre s s ione ' . Lo f a rò in m o d o non f o r m a l e , avva lendomi di u n ' i l l u s t r a z i o n e : l 'es tensione de l la classe-e spre s s ione ' cose verdi ' è l ' intero g r u p p o «Ielle cose di cui s a r e b b e vero dire clic sono verdi . Q u i n d i io s p i e g h e r ò 1 ' ' e sc lus ione ' di «piesta c lasse-espress ione come l ' intero g r u p p o del le cose di cui s a r e b b e vero d i re che non sono ver«li. ( L 'e sc lus ione «li una classe-espres s ione è l 'es tensione «lei suo c o m p l e m e n t o ; ma non p o s s i a m o usare «piesta c o m e def iniz ione se v o g l i a m o evi tare un c ircolo logico in ciò che s e g u e ) . Def inirò «piindi 1 " universo d i d i s c o r s o ' d i una c lasse-espress ione come l ' ins ieme de l l e cose c o m p r e n d e n t e s ia la sua es tens ione che la sua esc lus ione . P r e n d i a m o anzitutto nota di ciò che «piesta def iniz ione e sc lude da l l 'un iver so di discorso di una c lasse-espress ione. In p r i m o luogo , e nel m o d o più ovvio, essa e sc lude tutte «pielle cose clic non a p p a r t e n g o n o al la g a m m a di poss ib i l i va lor i de l la va r i ab i l e nel la f o r m u l a costruita scr ivendo " .r " seguita da ' ε ' segui ta da l l a c lasse-espress ione. Se la classe-espres s ione in quest ione e ' cose vcrtli ', tutte «pielle cose di cui il d i re ebe non sono verdi non dà senso let tera le sono escluse dal-l 'universo di d i scorso de l la c lasse-espress ione. In secondo luogo, essa e sc lude ( d e v e essere intesa c o m e e s e l u d e n t e ) da l l 'un iver so di «liscorso tutti i casi del la l inea d iv i sor ia . P e r ciò che concerne i l nostro e s e m p i o , essa esc lude da l l 'un iver so di discorso de l la c lasse-espress ione ' cose verdi ' tutte «pielle cose di cui , mentre avrebbe senso d i re che sono verd i , non s a r e b b e vero in mo«lo defi-nito d ire che sono verdi e non s a r e b b e vero in m o d o definito «lire che non sono verdi . A p p a r t e n g o n o a l l 'universo di discorso sol tanto « j u d i e cose r ispetto all«: «piali uua «li «pieste asserzioni s a r e b b e

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Interpre taz ione del s i s tema t abe l l a re 145

vera in m o d o def inito. Il res tr ingere la nostra attenzione a queste due elassi è ana logo al res tr ingere la nostra at tenzione, nel deter-minare i l s igni f icato da dars i a l le costanti vero- funzional i , a i casi di a s serz ione e b e hanno in m o d o definito u n o dei due va lor i di verità , verità o fa l s i tà .

In tal m o d o l 'universo di d i scorso di una s ingo la classe-espres-s ione v iene diviso in due classi o g r u p p i di cose m u t u a m e n t e esclu-sivi e cong iuntamente e s a u r i e n t i : l ' e s tens ione e l ' e sc lus ione del la c lasse-espress ione. V e n i a m o ora a p a r l a r e de l l 'un iver so di discorso di una c o p p i a di c lasse-espress ioni , e d e f i n i a m o l o c o m e il g r u p p o del le cose che a p p a r t e n g o n o o a l l ' e s tens ione o a l l ' e sc lus ione di c ia scuna de l le due c lasse-espress ioni . E v i d e n t e m e n t e , l 'universo di d i scorso di una c o p p i a di c lasse-espress ioni è diviso in quat t ro classi m u t u a m e n t e esclusive e cong iuntamente e s a u r i e n t i : preci-samente , i l g r u p p o di cose che a p p a r t e n g o n o a l l e estensioni di a m b e d u e le c la s se-espres s ioni ; i l g r u p p o de l le cose che appar ten-gono a l l ' e s tens ione del la p r i m a , ma non a l l ' e s tens ione de l la se-conda ; i l g r u p p o di cose che a p p a r t e n g o n o a l l ' e s tens ione del la se-conda , ma non a quel la de l la p r i m a ; i l g r u p p o de l le cose che non a p p a r t e n g o n o né a l l 'es tensione de l l 'una né a que l l a de l l ' a l t ra , c ioè che a p p a r t e n g o n o a l l ' e sc lus ione d i a m b e d u e . P e r una terna di c lasse-espress ioni , ci s a ranno otto sudd iv i s ion i de l l 'universo di discorso, e in genera le , per η c lasse-espress ioni , l 'universo di di-scorso avrà 2" sudd iv i s ion i .

Ora a t t r i b u i a m o un s ignif icato di un certo genere a l le costanti che a p p a r t e n g o n o al s i s tema. A tutte d i a m o un s ignif icato ta le che la r i sposta a l la d o m a n d a se qua lcosa che a p p a r t i e n e a l l 'universo di d i scorso di una c lasse-espress ione c o m p o s t a è m e m b r o del la sua es tens ione o del la sua esc lus ione (e deve essere o l 'una o l 'a l tra c o s a ) s ia interamente d e t e r m i n a t a una volta che s ia data 1 a p p a r t e n e n z a de l la cosa a l le estensioni o esc lus ioni del le classe-espress ioni cost itutive. S u p p o n i a m o di avere u n a classe-espres-sione c o m p o s t a , per e sempio del la f o r m a 'α Χ β '- Al lora c ia scuna

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I 146 L o g i c a »Ie l le class i

cosa che a p p a r t e n g a a l l 'un iverso di d i scorso de l la classe-espres-s ione c o m p o s t a deve a p p a r t e n e r e ad una sol tanto, e p u ò appar te -nere a qua l s i a s i , de l le quat t ro sudd iv i s ion i di que l l 'universo di d i scorso . Le regole che m o s t r a n o , per c i a scuna d i queste quat t ro sudd iv i s ion i , se l ' appar tenenza di una cosa a que l l a sudd iv i s ione la rende m e m b r o del l 'e s tens ione o de l l ' e sc lus ione de l la classe-espres s ione c o m p o s t a , e saur i sce in teramente i l s ignif icato de l l a costante ' X '. E cosi per le a l t re costant i .

Q u e s t e regole pos sono venir forni te in una f o r m a s chemat i ca che è s t ret tamente pa ra l l e l a a l l a f o r m a schemat ica del le tabel le di ver i tà . S u p p o n i a m o ancora una volta d i avere una classe-espres-s ione de l la f o r m a ' α Χ β '. R a p p r e s e n t i a m o il suo universo di d i scorso m e d i a n t e una f igura c i rco lare , e le quat t ro suddiv i s ion i d i questo universo m e d i a n t e una c o m p a r t i m e n t a z i o n e del c i rcolo in quat t ro settori . I n d i c h i a m o la sudd iv i s ione cost i tuita da que l l e

cose, se ve ne sono, che sono m e m b r i dell 'esten-s ione di a m b e d u e le c lasse-espress ioni cost itutive scr ivendo ' MM ' nel q u a d r a n t e s u p e r i o r e sini-s t r o ; l a sudd iv i s ione cost i tuita da que l l e cose , se ve ne sono, che sono m e m b r i de l l ' e s tens ione de l la p r i m a c lasse-espress ione cost i tut iva , ma non di que l l a de l la s e c o n d a , scr ivendo ' MN " nel qua-

drante s u p e r i o r e d e s t r o ; l a sudd iv i s ione cost i tuita da que l le cose, se ve ne sono, che sono m e m b r i de l l ' e s tens ione del la seconda , ma non di que l l a del la p r i m a , c las se-espress ione cost i tut iva, scr ivendo ' NM ' nel q u a d r a n t e sottostante a ques t 'u l t imo ; e la sudd iv i s ione cost i tuita da que l le cose , se ve ne sono , che non sono m e m b r i de l le estensioni né de l l 'una né de l l ' a l t ra c lasse-espress ione costi-tu iva . s c r ivendo ' NN ' nel q u a d r a n t e r imas to . P o s s i a m o a l lo ra d a r e il s ignif icato de l la costante ' X ' m e d i a n t e la regola che tutte que l l e cose , se ve ne sono, che sono m e m b r i de l la sudd iv i s ione ' MM ". sono m e m b r i de l l ' e s tens ione de l l a c lasse-espress ione com-pos ta . e tutti gli altri m e m b r i del suo universo di discorso non

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\ Interpretaz ione del s i s tema t a b e l l a r e 147

sono m e m b r i del la sua estensione, c ioè sono m e m b r i de l l a sua esc lus ione. S i m i l m e n t e , p o s s i a m o def in i re l a s o m m a logica d i due classe-espress ioni come la c lasse-espress ione la cui estensione com-p r e n d e tutti i m e m b r i del suo universo di d i scorso eccetto que l l i , s e v e n e sono, che a p p a r t e n g o n o a l l a sudd iv i s ione ' N N ' ; quest i u l t imi a p p a r t e r r a n n o a l la sua esc lus ione . E cosi v ia . £ ovvio che pos s i amo r a p p r e s e n t a r e queste regole nel la f o rma tabe l l a re che c i è f a m i l i a r e , con la d i f ferenza che le co lonne , anz iché es ib i re ( i ) poss ib i l i combinaz ion i dei valori di ver i tà «Ielle asserzioni costi-tutive di un dato t ipo di a s serz ione , e ( i i ) l 'effetto di c ia scuna di questi sul v a l o r e di verità de l l ' a s serz ione nel suo comple s so , mo-strerà ( i ) le suddiv i s ioni de l l 'universo d i d i scorso di un dato t ipo di c lasse-espress ione c ( i i ) l 'elfetto d e l l ' a p p a r t e n e n z a a c iascuna di queste su l l ' appar tenenza a l l ' e s tens ione de l l a c lasse-espress ione in ques t ione .

A v r e m o cosi l a seguente tabe l la ( 1 ) :

α — α

Μ Ν Ν Μ

e la seguente t abe l l a ( 2 ) :

α β («)

α Χ β ( Μ

α + β ( « 0

α * β ( d )

α * * β

Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Ν Ν Μ Ν Ν N M Ν Μ Μ Ν N N Ν Ν Μ Μ

Già s 'è indica to come quest i s c h e m i d e b b a n esser letti . Es s i sono soltanto rappresentaz ion i s o m m a r i e de l le osservaz ioni preceden-temente fat te , di regole che inc ludono que l l e già enuncia te e di altre rego le de l l a stessa sorta . Ne l l e co lonne sotto le f o r m u l e com-poste, una lettera ' Μ ' mostra ehe i m e m b r i de l la corr i spondente

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J / I ts L o g i c a »Ielle class i

sudd iv i s ione ' de l l 'universo di d i scorso sono m e m b r i dell 'esten-

s ione de l la c lasse-espress ione c o m p o s t a di que l l a f o rma ; ed una

' Ν ' mostra che i m e m b r i de l la c o r r i s p o n d e n t e suddiv i s ione del-

l 'universo di d i scorso sono m e m b r i de l l ' e sc lus ione de l la classc-

ospress ionc c o m p o s t a . È ovvio che . c o m e nel caso de l le tabel le di

ver i tà , p o s s i a m o f a r uso di tali s chemi c o m e di regole per ottenere

colonne di Μ e di Ν p e r f o r m u l e di gran lunga p iù c o m p l i c a t e

contenenti le stesse costanti . P e r e s e m p i o , le * condiz ioni di ap-

p a r t e n e n z a ' per la f o r m u l a * — (α Χ β ) ' sono date , m e d i a n t e

a p p l i c a z i o n e del la regola de l la tabe l la ( 1 ) a l l a co lonna ( 2 o ) ,

nel la co lonna ( e ) de l la tabe l la so t tor ipor ta ta ; e la co lonna per

' — ( a X — ß ) ' e forni ta subi to d i segui to . P o s s i a m o notare , onde

potervi f a r r i f e r imento p iù innanzi , che la colonna per quest 'ul-

t ima f o r m u l a è identica con que l l a forni ta s o p r a per ' α * β '.

( Q u a n d o le co lonne che c o m p a i o n o sotto una f o r m u l a d i c lasse

c o m p l e s s a sono p iù che una , la co lonna r i sul tante per l ' intera for-

mula è . na tura lmente , que l l a che a p p a r e sotto la costante d i c a m p o

più esteso. Le a l tre co lonne r a p p r e s e n t a n o stadi intermedi nel l 'ap-

p l icaz ione de l l e r e g o l e ) .

(e) (/) αβ — ( α χ β ) - ( α χ - ß)

Μ Μ Ν Μ ΜΝ Ν Μ Ν Μ Ν MM Μ Ν Μ Μ Μ NN Ν Ν Ν Μ Μ NN Μ

C o n s i d e r i a m o ora a lcuni casi in cui l ' a p p l i c a z i o n e di queste regole p r o d u c e , per q u a l c h e f o r m u l a c o m p l e s s a , una co lonna inte-ramente consis tente o di Μ o di Ν. S c e g l i a m o le f o r m u l e ' ( α β ) X

' C i » ; · , l a s u d d i v i s i o n e ind ica ta d a l l a e o p p i a d i l e t tere ne l l a c o l o n n a d i s i n i s t r a , a l l o s te s so r i go .

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Interpre taz ione del s i s tema t a b e l l a r e 149

- (α + ß ) \ ' - l ( a ß ) X- (a + β ) ] ' e ' αβ * a + β ' . Otte-n i a m o p e r esse i seguenti r isultat i :

( g ) (Λ) (;) αβ (αβ) χ - ( α + β) — [ ( α β ) χ — ( α + β ) ] αβ * α + β

MM Μ Ν Ν Μ Μ Μ Μ Μ Μ Ν Ν Ν Ν Μ Μ Ν Μ Μ Ν Μ Ν Ν Ν Μ Μ Ν Μ Μ Ν Ν Ν Ν Μ Ν Μ Ν Μ Ν

C o m e d o b b i a m o interpretare quest i r i su l t a t i ? C o n s i d e r i a m o , in p r imo luogo , i l r isultato del la f o r m u l a de l l a co lonna ( g ) . Ora la colonna a l l ' e s t rema sinistra del la t abe l l a descr ive l ' intero universo di d i scorso di una c lasse-espress ione e sempl i f i c an te la f o r m u l a in ques t ione , nel le sue quattro suddiv i s ioni m u t u a m e n t e esc lus ive e cong iuntamente esaur ient i . Ma la co lonna di Ν r i sul tante per ( g ) esc lude i m e m b r i di c iascuna di queste quat t ro suddiv i s ioni dal-l ' appar tenenza a l l 'es tensione di q u a l u n q u e c lasse-espress ione esem-pl i f icante la f o r m u l a d i ( g ) . C ioè , niente clic a p p a r t e n g a al l 'uni-verso di d i scorso di una tale c las se-espress ione può a p p a r t e n e r e alla sua es tens ione . Ciò s ignif ica che niente del tutto può appar te -nere a l l a sua e s tens ione ; c questa è una conseguenza del s igni f icato dato a l l e costanti in quest ione. C iò equ iva l e a d i re che la f o r m u l a di c lasse ' ( α β ) Χ — (α + β) * è l og i camente nul la , o log icamente vuota o auto-contraddit tor ia . G ià a b b i a m o a nostra d i spos iz ione un modo a l ternat ivo di e sp r imere questo r i s u l t a t o : d i re che la formu-la di c la s se è log icamente nul la è lo stesso che d i re clic la for-mula di c lasse-asserzione formata e g u a g l i a n d o la f o r m u l a di c la s se a 0 è l og i camente necessar ia , o ana l i t i ca . A b b i a m o in tal m o d o :

' ( α β ) Χ — (α + β) = 0 ' è ana l i t i ca .

La f o r m u l a de l la colonna ( li ) è il c o m p l e m e n t o de l la f o r m u l a de l la colonna ( g ) . L ' a p p l i c a z i o n e de l la regola de l l a tabe l la ( 1 ) p r o d u c e por essa una co lonna consistente in teramente di Μ. II m o d o di in-

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169 Logica »Ie l le classi

t e rpre ta re i l r isultato e ovvio. Ogni m e m b r o di c ia scuna de l le sud-divis ioni cong iuntamente e saur ient i de l l 'universo di d i scorso di una c lasse-espress ione di questa fo rma a p p a r t i e n e a l l 'es tens ione di ques ta c lasse-espress ione. Cioè , ogni m e m b r o del suo universo di d i scorso a p p a r t i e n e a l la sua es tens ione. Cos i a b b i a m o :

' — 1 ( α β ) Χ — (α + β ) ] ' è l og i camente c o m p r e n s i v a

clic p o s s i a m o e s p r i m e r e a l t r iment i nel la f o r m a :

' - [ ( α β ) X - (α + β ) 1 = 1 ' è ana l i t i ca .

S i m i l m e n t e per ( j ) a b b i a m o i l r i sul ta lo che

' αβ * α + β ' è l og i camente c o m p r e n s i v a

ovvero ' α β * α + β = 1 ' ό ana l i t i ca .

Ed ora po s s i amo subi to notare che , c o m e nel caso del l ' inter-pre taz ione vero-funzionale , p o s s i a m o ottenere gli stessi r isultati in un m o d o a l m e n o in super f ì c ie d i l ferentc . S i s u p p o n g a di confron-tare le co lonne ( 2 e ) e ( 2 6 ) , c ioè le co lonne de l le f o r m u l e ' αβ ' ed ' α + β '. Os serv iamo che non c 'è nessuna del le quattro suddiv i s ion i de l l 'universo di d i scorso di cui un m e m b r o q u a l u n q u e a p p a r t e n g a a l l ' e s tens ione de l la c lasse-espress ione ' αβ ' ma non a p p a r t e n g a al-l 'es tens ione del la cor r i spondente c lasse-espress ione de l la f o r m a ' α + β '. In a l t re pa ro le , p e r necess i tà log ica , non c 'è niente che sia m e m b r o del l 'es tens ione de l la c lasse-espress ione de l la p r i m a for-ma e non s ia m e m b r o de l l ' e s tens ione de l la corr i spondente classe-espres s ione de l la seconda f o r m a . A b b i a m o a nostra d i spos i z ione modi d i f ferent i di e s p r i m e r e c iò . Uno fra essi consiste nel d ichia-ra re che l a f o r m u l a d i c lasse- inclus ione " a ß e a + ß ' è a n a l i t i c a ; un a l tro ancora nel d i c h i a r a r e che la f o r m u l a nega t ivamente esi-s tenzia le " αβ X — (α + β) = 0 ' è ana l i t i ca .

Ora c o n f r o n t i a m o le co lonne per * α * β ' e ' — ( α χ — β ) ' ;

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Interpre taz ione del s i s tema t a b e l l a r e 151

cioè, l a co lonna 2 ( c ) c la co lonna ( / ) . Os se rv i amo che la disposi-z ione degl i Μ e degl i Ν è la s tessa . Q u e s t o r i sul tato lo p o s s i a m o in-te rpre ta re c o m e segue . È log icamente i m p o s s i b i l e p e r qua l s ivog l i a cosa es sere un m e m b r o de l l ' e s tens ione di u n a c lasse-espress ione e sempl i f i cante la p r i m a f o r m u l a e non un m e m b r o del l 'es tens ione de l la cor r i spondente c lasse-espress ione e sempl i f i cante la seconda f o r m u l a ; e v iceversa . Ciò equ iva le a d i re che , per necess i tà log ica , non c 'è niente che s ia m e m b r o di una es tens ione e non de l l ' a l t ra . Ma ciò è c o m e d i r e : la f o r m u l a ' α * β = — (α Χ — β ) ' è ana-lit ica.

In m o d i s i f fa t t i , po s s i amo u s a r e del m e c c a n i s m o del le tabe l le per s t ab i l i re l 'anal i t ic i tà di f o r m u l e di c lasse-asserzione del t ipo nega t ivamente es is tenziale e , in pa r t i co l a re , di quei casi spec ia l i di tali f o r m u l e che sono le f o r m u l e di c lasse- inclus ione e di classe-identi tà . Due cose mer i tano in p a r t i c o l a r e di esser notate. Es se s o n o : ( i ) che ogni qua lvol ta , m e d i a n t e l ' a p p l i c a z i o n e del le regole , o t teniamo una colonna di Μ sotto una f o r m u l a di c lasse comple s sa del la f o r m a * α * β ', s t ab i l i amo con c iò l ' ana l i t ic i tà de l la corr i spon-dente f o r m u l a d i c lasse-asserzione de l la f o r m a ' a C β ' ; e ( i i ) che ogni qua lvo l t a , mediante l ' a p p l i c a z i o n e de l le regole , o t teniamo una co lonna di Μ sotto una f o r m u l a di c la s se c o m p l e s s a de l la f o r m a 4 α * * β ', s t a b i l i a m o con c iò l ' anal i t ic i tà de l l a corr i spondente for-mula di c lasse-asserzione del la f o r m a 4 α = β ' . D i re infatti che la colonna per una classe-espress ione de l l a f o r m a ' α * β ' consiste interamente di Μ è coinè dire che non ci p u ò essere nessun mem-bro del suo universo di discorso che non s ia m e m b r o de l la sua estensione, c ioè che , per necessità log ica , non c 'è niente clic sia m e m b r o del l 'es tens ione del la p r i m a de l le sue c lasse-espress ioni co-stitutive e non s ia m e m b r o de l l ' e s tens ione de l la s e c o n d a ; e d i re questo e q u i v a l e esat tamente a d i re che il cor r i spondente classe-enuncia to de l l a forma " α C β ' è l o g i c a m e n t e necessar io . S imi l -mente, d i re che una c lasse-espress ione de l l a f o r m a 4 α * * β ' è log icamente comprens iva equ iva l e a d i re c h e ogni m e m b r o del suo

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171 Log ica »Ie l le classi

universo di discorso deve l og i camente essere o m e m b r o de l l e esten-sioni di a m b e d u e le sue c lasse-espress ioni cost itutive o m e m b r o de l l ' e s tens ione di nessuna de l le d u e : e d i re questo e q u i v a l e esatta-mente a d i re clic i l co r r i spondente c lasse-enunciato de l la f o r m a " α = β ' è log icamente necessar io .

5 . I l metodo tabe l l a re , a l lo ra , p u ò essere usato per s tab i l i re regole log iche circa f o r m u l e di e lasse . E la cor r i spondenza s imbolo-a- s imbolo . rcgola-a-regola fra quest 'uso de l le tabel le e l 'uso vero-funz iona le e esatta . Va le a d ire che . se p r e n d i a m o una q u a l u n q u e tabe l la corret tamente e l abora ta del s i s tema vero-funzionale e sosti-t u i a m o ' Μ ' a ' V V Ν ' a 4 F V χ * a '. \ 4 - ' a ' ~ \ ' + ' a * ν ·, ' * ' a · 3 V * * ' a ' a \ e ' α \ ' β \ 1 γ ' a ' ρ \ 4 q \ ' r ' in ogni s ingolo caso , o t terremo una tabe l la corret tamente e l a b o r a t a del c lasse-s i s tema. L 'u so del le d u e d iverse ser ie d i s i m b o l i , da l punto di vista del m e c c a n i s m o , non è necessar io . P o t r e m m o u s a r e la stessa ser ie di s i m b o l i , a p p l i c a r e le stesse regole astratte ( c i o è , regole clic menzionino solo lettere e s e g n i ) , e leggere o interpre-tare i r i sultat i in due modi d ivers i . Nel la c lasse- interpretaz ione d o v r e m o e s p r i m e r e i nostri r i sultat i ( n e l p r i m o c a s o ) d i c h i a r a n d o le f o r m u l e log icamente c o m p r e n s i v e o log icamente nul le dove , ne l l ' in terpre taz ione vero- funzionale , e s p r i m i a m o i nostri r i sultat i d i c h i a r a n d o le f o r m u l e log icamente necessar ie o auto-contraddit-tor ie .

In molti casi po s s i amo t rovare dei pa ra l l e l i f ra le regole per f o r m u l e ili c lasse s tab i l i te in questo m o d o ed i l c o m p o r t a m e n t o de l le c lasse-espress ioni nel l inguagg io o r d i n a r i o . P e r e s e m p i o , le f o r m u l e d i c la s se ' α β * * β α ' ε ' α ( β + γ ) * * α β + α γ ' risulta-no, se r i scontrate con le tabe l le , log icamente c o m p r e n s i v e . Q u e s t o r i sul tato p o s s i a m o log icamente e s p r i m e r l o d i c h i a r a n d o ana l i t i che le f o r m u l e ili c lasse-asserzione

α β = βα α ( β + γ ) = α β + αγ-

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Interpretaz ione del s i s tema t abe l l a re 153

La p r i m a classe-identità ha la sua cont ropar te a p p r o s s i m a t i v a nel l inguagg io o rd inar io nel l ' ident i tà de l le estensioni d i e spress ioni c o m e ' rosso-chiomati avvocati ' e ' avvocat i con la c h i o m a rossa \ " g i o c a t o r i d o n n e ' e ' d o n n e g i o c a t r i c i ' ; c ioè nella f requente in-d i f ferenza logica per l ' o rd ine di n o m i p l u r a l i e loro epitet i qual i -f icat iv i . P e r la sceonda t rov iamo c o r r i s p o n d e n z e c o m e l 'assenza di d i s t inz ione logica fra . per e s e m p i o , ' Scozzes i che sono giurist i o sc ienziat i ' e ' Giurist i scozzesi e sc ienziat i scozzesi '.

Ogni d ich ia raz ione di anal i t ic i tà di una f o r m u l a di classe-inclu-s ione o di classe-identità può venire r i e spres sa c o m e u n ' i m p l i c a n z a o un ' equ iva lenza logica fra f o r m u l e di c l a s se -appar tenenza . Di re infatti che d u e fo rmule d i c lasse sono ana l i t i c amente ident iche e q u i v a l e a d i re che l ' a p p a r t e n e n z a a l l ' e s tens ione di una classe-e spre s s ione e sempl i f i cante una de l l e d u e f o r m u l e rende logica-mente neces sar ia l ' appar tenenza a l l ' e s tens ione del la corr i sponden-te c las se-espress ione e sempl i f i cante l ' a l t ra f o r m u l a . Per e s e m p i o ,

' α ( β + γ ) = α β + α γ ' έ ana l i t i ca

può venir r ie spres sa nella f o rma

' .νεα (β + γ) ' è log icamente equ iva l en te a ' .νε ( α β + α γ ) '.

S i m i l m e n t e , la d i ch ia raz ione clic una f o r m u l a di c lasse- inclus ione è ana l i t i ca è equiva lente a l la d i c h i a r a z i o n e che l ' a p p a r t e n e n z a al-l 'estensione di una c lasse-espress ione e sempl i f i cante la p r i m a for-mula s u b o r d i n a t a neces sar iamente c o m p o r t a l ' a p p a r t e n e n z a al-l 'es tens ione de l la corr i spondente c lasse-espress ione e sempl i f i cante la seconda f o r m u l a subord ina ta . Cos i da

' αβ C α + β " è ana l i t i ca

a b b i a m o ' * ε α β ' es ige ' ,νε (α + β) '.

S imi l i i m p l i c a n z e ed equ iva lenze possono a l lora venir r ie spres se nella f o r m a di d ichiaraz ioni che certe f o r m u l e vero-funzional i in-

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173 Log ica »Iel le class i

co rporant i f o r m u l e d i c l a s se-appar tenenza sono ana l i t i che . Abbia -

mo cosi

' .νεα (β + γ) = *ε ( α β + α γ ) " è anal i t ica

e ' .τεαβ η .νε (α + β) ' è ana l i t i ca .

6 . Q u e s t ' u l t i m o m o d o di e s p r i m e r e i nostri r isultat i r i c h i a m a l 'a t tenzione su di ima notevole l imi taz ione di questo intero metodo di s v i l u p p o di un s i s tema logico per f o r m u l e di c lasse e f o r m u l e di c lasse-asserzione. Le costanti clic a b b i a m o cont inuato a usare nel-l ' e spos iz ione del s i s tema sono d i d u e gener i . P o s s i a m o c h i a m a r l e Α-costanti c H-costanti. Le Α-costanti c o m p r e n d o n o tutte que l l e che e f fe t t ivamente r icorrono nel le t abe l l e stesse, dove esse obbed i s cono a l le stesse regole astratte de l le costanti vero-funzional i . C ioè , esse c o m p r e n d o n o ' — ' , " + ' X ' , ' * ' , e ' * * Esse sono usate p e r cos t ru i re f o r m u l e di c la s se e possono essere usate solo per questo , ove non vengano integrate con a l tre eostanti . Le B-costanti non c o m p a i o n o nel le tabel le , ma so l tanto ne l l ' e spres s ione dei r isultat i ottenuti da l l e tabel le . Es se c o m p r e n d o n o quel le costanti de l le (piali una a l m e n o deve venir usata per costruire una f o r m u l a di c lasse-asserz ione. Esse sono c ioè * c ' , " = " , ' = 0 ', ' = 1 ' e ' ε '. F i n c h é le so le costanti usate sono costanti di c lasse ( c i o è , A- e B-cos t an t i ) , tul le le f o r m u l e in terpre tab i l i contenenti q u a l c h e f i -costante che pos s i amo cos t ru i re devono contenere sol tanto una B-costantc , c quel la come costante p r i n c i p a l e de l la f o r m u l a . N o n p o s s i a m o , per e s e m p i o , annettere u n s ignif icato a ' ( a c ß ) C . (γ C 5) " . né a " (a C β) + γ ' . La p r i m a ; avendo per costante p r i n c i p a l e " c ' . a r iegg ia ad essere una f o r m u l a di classe-asserzio-n e : la s econda , avendo per costante p r i n c i p a l e 4 + ", a r i egg i a in-vece a f o r m u l a di c lasse . Q u e s t ' u l t i m a viene subi to e l imina ta c o m e pr iva d i s ignif icato da l l e regole d i f o r m a z i o n e p e r f o r m u l e di c las se . Infatt i solo f o r m u l e di c lasse o va r i ab i l i di c lasse possono venir con-giunte m e d i a n t e Α-costanti per f o r m a r e ul ter ior i f o r m u l e d i c l a s s e ;

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Interpretaz ione del s i s tema t a b e l l a r e 155

e ' α e β ' non è una f o r m u l a di c la s se , ma una f o r m u l a di classe-asserz ione . P e r (pianto r iguarda la p r i m a , se tent iamo di interpre-ta r l a . a b b i a m o anzi tut to : ' N o n c 'è niente che s ia m e m b r o de l l a c la s se a e ß e non sia m e m b r o de l la c lasse y c S ' ; e qu ind i , s e ten-t i amo d i a m p l i a r e ques t ' in terpretaz ione u l t e r i o r m e n t e : ' N o n c 'è nul la che s ia m e m b r o del la c lasse d i non c 'è nu l l a che s ia m e m b r o de l la c lasse . . . ' ecc., il che è pr ivo di senso . Le p a r o l e ' è m e m b r o de l l a c la s se ' ¡ tossono esser segui te so l tanto da una elasse-espres-s ione o da una f o r m u l a di c lasse . F i n c h é no i , a l lo ra , l i m i t i a m o la nostra a t tenzione al le formule e b e pos sono venir costruite t ramite l 'uso de l le sole A- e li-costanti. p o s s i a m o s e m p r e ( con l 'eccezione di que l l e ove una del le B-costanti è ' ε ') d e t e r m i n a r e il loro status logico f a c e n d o r i fer imento al le t abe l le . La ques t ione infatti del loro status logico può s e m p r e , nel caso di f o r m u l e di classe-asser-z ione, venir t ra s formata nel la ques t ione se q u a l c h e f o r m u l a d i c la s se s ia log icamente nul la , l og icamente c o m p r e n s i v a , o né l 'una cosa né l ' a l t ra ; e, nel caso di f o r m u l e di c lasse , la ques t ione è ta le sin da p r i n c i p i o .

Il m o d o di e sp r imere i nostri r i sultat i clic si è adottato a l la fine de l l 'u l t ima sez ione suggerisce , tut tavia , la poss ib i l i tà che ci s i per-metta di in tegrare le A- e B-costanti con le costanti del s i s tema vero- funzionale . Ciò facendo, p o s s i a m o cos tru ire f o r m u l e che sono per fe t t amente interpretab i l i , s ebbene contengano p iù che una B-costantc , e i l cui status logico non s a r à ( i n genera le ) d e t e r m i n a b i l e m e d i a n t e l 'uso del metodo t abe l l a re q u a l e lo a b b i a m o descrit to ("m'ora. P e r e s e m p i o , le seguenti f o r m u l e :

( 1 ) α c β z> β c α ( 2 ) a c ß . ß c y z i a c Y ( 3 ) a = 0 3 a c β ( 4 ) a <z β . β = 0 3 a = 0

sono i n t e r p r e t a b i l i ; ma i l metodo t a b e l l a r e , f in qui descrit to , non ci forni sce nessun mezzo per dec idere q u a l e status logico s ia da

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175 Log ica »Iel le class i

confe r i r loro . Dec idere p e r l a loro ana l i t i c i tà s a r e b b e c o m e dec i · dere che la f o r m u l a a s inis tra del segno ' 3 ' es ige, in c ia scun ca so , la f o r m u l a a destra de l lo stesso. Ma fino a questo m o m e n t o le so le i m p l i c a n z e fra f o r m u l e d i a s serz ione incorporant i f o r m u l e d i c la s se , per s tab i l i re le qua l i noi s i a b b i a un metodo , sono le im-p l i canze fra f o r m u l e d i c l a s se -appar tenenza , qual i que l l e menzio-nate a l l a fine del la Sez ione 5 ; e queste non sono tal i .

C o n f r o n t i a m o ora queste f o r m u l e con certi r isultat i e b e pos-s i a m o ottenere m e d i a n t e i l metodo tabe l l a re . Con questo metodo p o s s i a m o s tab i l i re Tanal i t i c i tà de l le seguenti f o r m u l e d i classe-inclus ione , in cui tutte le costanti sono A- o B-cos tant i :

( 1 . 1 ) α * β c — β * — α ( 2 . 1 ) (α * β ) Χ ( β * γ ) c α * γ ( 3 . 1 ) - α c α * β ( 4 . 1 ) ( α * β ) χ - ß c - α

T r a s f o r m a n d o le d i ch ia raz ion i che queste f o r m u l e d i classe-inclus ione sono ana l i t i che in as serz ioni di impl i canza fra f o r m u l e d i c l a s se -appar tenenza , a b b i a m o :

( 1.2 ) 4 ,νεα * β ' e s ige 4 χι - β * - α ' ( 2 . 2 ) ' *ε ( α * β ) χ ( β * γ ) ' es ige 4 ,νεα * γ ' ( 3 . 2 ) * ,τε — α 1 e s ige 4 χεα * β' ( 4 . 2 ) \ τ ε ( α * β ) Χ - β ' e s ige 4 * ε - α '

F a c e n d o uso d i def inizioni precedent i , p o s s i a m o e s p r i m e r e que-ste a l m o d o s e g u e n t e :

( 1 . 3 ) ' ηοη-( . τεαβ) ' es ige 4 ηοη- ( , τ εβα) '

( 2 . 3 ) " ηοη- ( . τ εαβ) e η ο η - ( , τ ε β γ ) ' e s ige ' ηοη-( .νεαγ) ' ( 3 . 3 ) " ηοη-( * εοΟ ' e s ige 4 ηοη-( .νεαβ) 1

( 4 . 3 ) 4 ηοη-( . τεαβ) e ηοη- ( . τ εβ ) ' es ige ' η ο η - ( χ ε α ) '

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Interpretaz ione del s i s tema t a b e l l a r e 157

Ora queste sono impl i canze genera l i . E s s e suss i s tono qua l i che s iano i va lor i dati al le v a r i a b i l i , a cond iz ione che le stesse sosti-tuzioni s iano fatte dovunque p e r le stesse v a r i a b i l i . E s s e sussi-stono, in par t ico lare , p e r tutti i va lor i di ' χ ' . Si s u p p o n g a ora di a t t r ibu i re a 1 a' e ' β ' ne l la p r i m a f o r m u l a , c ioè in ( 1 . 3 ) , va-lori tali che, q u a l u n q u e va lore s i a t t r ibui sca a d ' * ' nel la f o r m u l a r i sul tante a s inistra di ' e s i g e ' ' , l ' a s serz ione fat ta i m p i e g a n d o l ' enuncia to che ne deriva s ia un 'a s serz ione vera . A l lo ra per ogni caso l ' a s serz ione corr i spondente fatta m e d i a n t e i l co r r i spondente enunc ia lo a destra di ' e s i g e ' s a rà v e r a ; essa infatti s a rà deduci-bile per impl icanza da un 'a s se rz ione vera . Ma la s u p p o s i z i o n e ebe per ogni va lore dato a ' .* ' ne l l a f o r m u l a a s inis tra un'asser-zione fatta con l 'enunciato r i su l tante sia vera , non è a l t ro che la s u p p o s i z i o n e che , per i va lor i di ' α ' e ' β ' che si sono trascel t i , l ' a s serz ione fatta mediante l ' enuncia to de l l a f o r m a * α β = 0 ' o ' α C β ' è vera . La conseguenza di ques ta s u p p o s i z i o n e s a r e b b e la verità di tutte le asserzioni fatte i m p i e g a n d o gli enunciat i esem-plif icanti la f o r m u l a a destra ( eon i va lor i trascelti p e r ' α ' e ' β ' ) . E d i re c h e tutte queste as serz ioni sono vere equ iva l e a d i re che l 'asserzione fatta i m p i e g a n d o i l co r r i spondente enuncia to de l la forma ' ß a = 0 ' o ' ß c ä ' e vera . Q u e s t e cons ideraz ioni r iman-gono va l ide qua l i ebe s iano le sost i tuzioni fatte per ' α ' e ' β '. Se queste sost i tuzioni producono ver i tà q u a l i che s i ano le sostitu-zioni fatte per ' χ ' nella par te s ini s tra d e l l ' i m p l i c a n z a ( 1 . 3 ) , esse devono p r o d u r r e verità qua l i c h e s i ano le sost i tuzioni fatte per ' χ nel la par te destra di q u e l l ' i m p l i c a n z a . S e m b r a qu ind i costi-tuire una conseguenza logica d i ( 1 . 3 ) c h e

' α c β ' e s ige ' β c α ' <i che

' α C β :d β C α ' è ana l i t i ca .

Con ana logo rag ionamento , p o s s i a m o per suaderc i in m o d o soddi-s facente che l 'anal i t ic i tà d i c i a s cuna de l le f o r m u l e

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158 Log ica »Iel le class i

( 2 ) a c ß . ß c y r s a c y ( 3 ) a = 0 3 a c β ( 4 ) a c ß . ß = 0 z > a = 0

consegue r i spet t ivamente d a l l e i m p l i c a n z e ( 2 . 3 ) , ( 3 . 3 ) e ( 4 . 3 ) . Non senza rag ione p o s s i a m o s u p p o r r e che per tutte le for-

m u l e del t ipo da (1 ) fino a ( 4 ) , il cui status logico non è diretta-mente d e t e r m i n a b i l e m e d i a n t e i l metodo tabulare , p u ò venir co-strui ta q u a l c h e f o r m u l a contenente sol tanto Λ- e B-costanti i l cui status logico sia d e t e r m i n a b i l e con il metodo tabe l l a re , tali che da l lo status logico del le s econde possa venir infer i to lo status logico del le p r i m e m e d i a n t e un processo rag ionat ivo q u a l e que l lo s o p r a e sempl i f i ca to . Ma ques to processo è tortuoso e c o m p l i c a t o , ben lontano da l l a s empl i c i t à de l l ' i dea l e s i s temat ico ove i r i sul tat i des idera t i sono ottenuti m e d i a n t e l ' a p p l i c a z i o n e quas i -meccanica di p o c h e regole so l tanto . Un confronto de l le f o r m u l e ana l i t i che da ( 1 ) a ( 4 ) con le f o r m u l e ana l i t i che da ( 1 . 1 ) a ( 4 . 1 ) mostra in-vero una tale co r r i spondenza s i m b o l i c a da incoragg iare la spe-ranza clic s ia pos s ib i le e scog i tare una ser ie di regole convenien-temente s e m p l i c e per o p e r a r e le der ivaz ioni r i ch ies te 1 . Ma que-

1 In rea l t à , la c o r r i s p o n d e n z a e t a l e da s u g g e r i r e una p o s s i b i l i t à d i v e r s a e m e c c a n i c a m e n t e piti s e m p l i c e : c i o è , c h e s i ado t t i una s e r i e d i r e g o l e c h e c i ab i l i t i u s a g g i a r e l ' ana l i t i c i t à d i f o r m u l e c o m e q u e l l e da ( 1 ) a ( 4 ) diretta-mente p e r m e z z o d e l l e t a b e l l e , a n z i c h é in un p r i m o t e m p o r i c o n o s c e r e c o m e a n a l i t i c a una f o r m u l a c o n t e n e n t e s o l o A- e R-costanti ed in s e g u i t o d e r i v a r e da q u e s t a l a f o r m u l a d e s i d e r a t a m e d i a n t e l ' i m p i e g o d i u l t e r i o r i r e g o l e . Ed è a n c h e hen c h i a r o e h e f o r m a a s s u m e r e b b e una s i f f a t t a s e r i e d i r e g o l e p e r l a ver i f i ca d i r e t t a d i tal i f o r m u l e . I n p r i m o l u o g o d o v r r m m o e s c o g i t a r e r e g o l e d i f o r m a z i o n e p e r f o r m u l e di q u e s t o g e n e r e . P o i , s c e g l i e n d o o i V ed F, o i Μ eil Ν, d o v r e m m o d a r e i d e n t i c h e r e g o l e p e r o p e r a r e n e l l e t abe l l e con ' ~

= 0 ' e " - ' ; i d e n t i c h e r e g o l e p e r o p e r a r e c o n ' 3 ' * ' e ' d ' i i d e n t i c h e r e g o l e p e r o p e r o r e con ' + 1 e * v * ; e c o s i v i a . In forza di u n a c o l o n n a di V ( o M ) cos i r i su l t ante su t to u n a f o r m u l a , d o v r e m m o d i c h i a r a r e q u e s t a f o r m u l a a n a l i t i c a . M a s i noti e h e s e a d o t t a s s i m o q u e s t o p r o c e d i m e n t o , s e m p l i c e m e n t e s e g u i r e m m o l ' i m p u l s o s u g g e r i t o r i da l p a r a l l e l i s m o s i m b o l i c o che a b b i a m o ri le-vato . In base a l l ' i n t e r p r e t a z i o n e p u r a m e n t e v e r o - f u n z i o n a l e , o a l l ' i n t e r p r e t a -

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Interpretaz ione del s i s t ema tabe l l a re 159

ste regole dovrebbero venir agg iunte a l l e regole per l 'uso del mec-can i smo tabe l l a re che ci ab i l i ta a s t ab i l i r e che certe f o r m u l e di i-lasse sono nul le o c o m p r e n s i v e e perc iò che certe f o r m u l e di a s serz ione contenenti so l tanto B-costanti sono ana l i t i che .

Noi d o b b i a m o a l lora conc ludere che , nel mentre l ' a sp i r az io ne a t rovare un ' interpretaz ione a l ternat iva del m e c c a n i s m o t a b e l l a r e s i d imos t ra legi t t ima, i l p i eno s v i l u p p o di cui la ' l o g i c a de l le class i ' s e m b r a capace non p u ò conseguir s i d i re t tamente p e r que-sta via in m o d o conveniente . Ne l p ro s s imo cap i to lo p r e n d e r e m o in cons ideraz ione un metodo a l ternat ivo per consegui re ta le s v i l u p p o .

z inne [ inruínente enti f o r m u l e d i c l a s s e , l e r e g o l e t abe l l a r i e r a n o c o r r o b o r a t e ila una s p i e g a z i o n e , e rano esse s t e s se , s i p o t r e b b e d i re , i n t e r p r e t a b i l i . I n v e c e •p ianto qui e s u g g e r i t o le r e n d e r e b b e un e s p e d i e n t e m e c c a n i c o i l cu i i m p i e g o s a r e b b e g ius t i f i ca to s e m p l i c e m e n t e dui s u o s u c c e s s o nel d e t e r m i n a r e r i su l ta t i r i tenut i a cce t t ab i l i su basi a f f a t to i n d i p e n d e n t i . S e n z a d u b b i o , s a r e b b e poss i -bi le r a p p r e s e n t a r l e c o m e r e g o l e ' i n t e r p r e t a b i l i ' : m a i l r i su l t a to s a r e b b e , con ogni p r o b a b i l i t à , g o l f o e i n s o d d i s f a c e n t e .

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V . Formule predicative e quantificatori

I .

Gli elementi del sistema predicativo

1. C h e s ia p o s s i b i l e u s a r e la s tessa s e r i e d i rego le meccan i -che p e r s t a b i l i r e l ' ana l i t i c i t à d i d u e s e r i e d i f o r m u l e con s ignif i-cat i d i f f e rent i , p o t r e b b e s e m b r a r cosa a tutta p r i m a s o r p r e n -dente . S i p o t r e b b e c o n s i d e r a r e m i s t e r i o s o ques to fatto c h e d e b b a e s i s t e re un s i m i l e p a r a l l e l i s m o f o r m a l e f r a l e leggi de l s i s t e m a v e r o - f u n z i o n a l e ed u n a s e z i o n e d e l l e leggi del s i s t e m a d e l l e c l a s s i . E d ' a l t r o n d e , c i s i p o t r e b b e c h i e d e r e p e r c h é m a i . d a t o c h e es i s te un p a r a l l e l i s m o in ta le g r a d o , i l p a r a l l e l o non d e b b a e s sere com-p l e t o ; p e r c h é m a i a l e u n c d e l l e leggi del s i s t ema de l l e c las s i pos-s a n o venir d i r e t t a m e n t e s t ab i l i t e m e d i a n t e i l s i s t e m a t a b e l l a r e , m e n t r e a l t re s e m b r a n o r i c h i e d e r e r a g i o n a m e n t i s u p p l e m e n t a r i o r ego le a d d i z i o n a l i .

V o g l i o ora m o s t r a r e , in p r i m o luogo , che non c 'è n iente d i s o r p r e n d e n t e in nes suna d i q u e s t e d u e cose , a m b e d u e a f f a t t o na-tura l i . Q u e l l e l egg i del c l a s se- s i s tema che pos sono ven i r s t ab i l i t e d i r e t t a m e n t e m e d i a n t e i l m e t o d o t a b e l l a r e sono , in fa t t i , in un certo senso , s e m p l i c e m e n t e cas i s p e c i a l i d e l l e c o r r i s p o n d e n t i legg i del s i s t e m a vero- funz iona le . E q u e l l e leggi de l c las se-s i s tema che non pos sono venir s t ab i l i t e d i r e t t a m e n t e in ques to m o d o non s o n o cas i s p e c i a l i d i leggi v e r o - f u n z i o n a l i , s e b b e n e esse s i a n o stretta-m e n t e connes se con a l t re c h e lo s o n o . Di conseguenza sono neces-s a r i e rego le s u p p l e m e n t a r i p e r d e r i v a r l e d a ques te s e c o n d e . I n s e c o n d o l u o g o , vog l io m o s t r a r e c o m e , con l ' a d o z i o n e d i u n a dif-ferente no taz ione p e r e s p r i m e r e c iò che f i n o r a a b b i a m o e s p r e s s o

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Element i del s i s tema pred ica t ivo 161

t ramite i l s imbo l i smo de l le v a r i a b i l i di c lasse-espress ione e de l le classe-costanti , pos s i amo rendere p iù p e r s p i c u a la conness ione fra leggi vero-funzional i e leggi di c las se . In par te , la nuova nota-zione real izza ciò facendo m a g g i o r uso de l le stesse costanti vero-funz iona l i ed i m p i e g a n d o un m i n o r n u m e r o di nuovi s i m b o l i . Ag l i occbi del logico f o r m a l e , la nuova notaz ione ha inoltre a l tr i mer i t i .

I l lu s t r i amo con un e s e m p i o i l p r i m o di quest i punt i . Ab-b iamo visto come una so la e m e d e s i m a a p p l i c a z i o n e del mecca-nismo del le tabel le p r o d u c a , p e r una del le due interpretaz ioni discusse , i l r i sultato che l ' e spre s s ione

ρ . q => ρ V q

è una f o r m u l a anal i t ica o legge vero- funzionale , e per l ' a l t ra inter-pretaz ione , i l r isultato che

αβ * α + 0

è una f o r m u l a di c lasse log i camente c o m p r e n s i v a . Il secondo ri-sultato p u ò essere a l t r iment i e spre s so nel la conc lus ione che

l ' e spress ione αβ * α + β = 1

è una legge del c lasse-s istema. U n a f o r m u l a z i o n e a l ternat iva de l la stessa legge è . come a b b i a m o visto,

αβ c α + β.

Se p o s s i a m o d imostrare che la legge di c lasse è , in q u a l c h e senso , un caso spec i a l e della legge vero- funzionale , ciò s a rà d ' au s i l i o nel r i m p i a z z a r e i l q u a d r o di due ind ipendent i s i s temi interpreta t i che miraco lo samente h a n n o la stessa s truttura f o r m a l e , con i l q u a d r o che c i mostri c o m e uno dei s i s temi ( o , p iù e sa t tamente , una certa par te di e s so ) cost i tuisca s e m p l i c e m e n t e una ver s ione meno genera le del l 'a l t ro , e c o m e ta le a b b i a na tura lmente la stessa s truttura f o r m a l e . D imos t ra re ques to nel caso del nostro e s e m p i o

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162 F o r m u l e predicat ive

e q u i v a r r à a d imos t r a re c o m e la legge di e lasse possa venir deri-va la da l l a legge vero- funz iona le col s e m p l i c e i m p i e g o del prin-c ip io di sost i tuzione e tenendo ben presente l ' in terpre taz ione data a i s imbol i dei due s i s temi . C o m e p r i m o pas so , p o s s i a m o sosti-tu i re f o r m u l e di c l a s se -appar tenenza a l le var iab i l i di a s serz ione in

( 1 ) ρ . q 3 pyq

ottenendo, ad e s e m p i o , l ' e spres s ione

( 2 ) .rea . y ε [5 3 .νεα ν γεβ

Giacché la ( 1 ) è va l ida (piali clic s i ano gli enunciat i che ven-gano sostituiti a ' ρ ' e " q ', p u r c h é ident iche sost i tuzioni s i ano fatte d o v u n q u e per ident iche v a r i a b i l i , essa s a rà va l ida per la r istretta c la s se di casi in cui gli enuncia l i sostituiti e sempl i f i ch ino s e m p l i c i f o r m u l e d i c l a s se -appar tenenza . La legge ( 2 ) è perc iò sempl ice-mente un caso spec ia l e de l l a legge ( 1 ) . G i a c c h é la ( 2 ) e va l ida q u a l u n q u e va lore s ia dato a l l e var iab i l i de l le f o r m u l e d i classc-a p p a r t e n e n z a , a cond iz ione che s i ano dati d o v u n q u e identici va-lori ad ident iche v a r i a b i l i , essa sarà va l ida per la c lasse ristretta di casi in cui le var i ab i l i ' χ * e ' y ' hanno gli stessi va lor i nel le due f o r m u l e d i c l a s se -appar tenenza . Perc iò

( 3 ) .νεα . .νεβ 3 .νεα ν ,νεβ

e s e m p l i c e m e n t e un caso s p e c i a l e de l la ( 2 ) e q u i n d i de l l a ( 1 ) . Ora . per le leggi in terpreta t ive forni te per i s imbo l i di s o m m a logica e di prodot to logico del c lasse-s is tema, la ( 3 ) è equiva-lente a

( 4 ) ,νεαβ 3 .νε (α + β)

E in ba se a l le regole interpreta t ive per il s i m b o l o 4 * " del classe-s i s tema , ( 4 ) è equ iva lente a

( 5 ) .τε ( α β * α + β )

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Element i del s i s tema pred ica t ivo 163

Ora , a s ser i re l a ( 5 ) come u n a legge o f o r m u l a ana l i t i ca , c o m e qui s t i amo f acendo , s ignif ica a s ser i re clie ne r i sulta un enuncia to ana-litico qualunque s ia la sos t i tuzione verba le s igni f icante elle ope-r i amo p e r ' χ ', ' α ' e ' β ', a cond iz ione che si f a c c i a n o dovun-que le stesse sostituzioni p e r le stesse v a r i a b i l i . È a p p u n t o caratte-ristica del le var iabi l i que l l a d i a s s i cura re una ta le genera l i t à . E s p r i m i a m o ora per iscritto, p e r quanto concerne la v a r i a b i l e ' χ \ questa lecita general i tà di sos t i tuzione entro la f o r m u l a s tessa , m e d i a n t e l 'uso de l la [taróla ' ogni cosa ' . Ot teniamo cosi

( 6 ) Ogni cosa e m e m b r o de l la c lasse αβ * α -f β

clic è il s igni f ica lo dato da l l e regole interpreta t ive di * = 1 ' a

(7) αβ * α + β = 1

clic è equiva lente a

( 7 « ) αβ c α + β

Ques t i pas sagg i mostrano in clic senso vogl io d i re elle la ( 7 ) , o la ( 7 « ) , è un caso spec ia le de l la ( 1 ) . Q u a n t u n q u e v i s ia impl ic i to qua lcosa di p iù del s e m p l i c e uso del p r inc ip io di sos t i tuz ione , questo non s e m b r a un uso mol to inna tura le del le p a r o l e 4 un caso spec ia l e ' .

C i a s cuna «li quel le leggi del c lasse-s istema clic possono venir d i re t tamente s tabi l i te m e d i a n t e i l metodo t abe l l a re descr i t to nel cap i to lo precedente , ha con q u a l c h e legge vero- funzionale esatta-mente l a re laz ione clic l a ( 7 ) ha con la ( 1 ) ; c ioè, può venir deri-vata da q u a l c h e legge vero- funzionale t ramite u n ' a n a l o g a ser ie d i pas sagg i . C o n s i d e r i a m o ora , c o m e una conseguenza de l la ( 7 ) , una legge che non può venir d i re t tamente s tabi l i ta m e d i a n t e i l metodo t abe l l a re qua le è stato descri t to . Asser i re la ( 7 ) o la ( 7 n ) equ iva l e ad as ser i re che i l p rodot to logico di due c lass i è incluso nella loro s o m m a logica ; c ioè che non c 'è niente che a p p a r t e n g a al prodot to logico di d u e classi e non a p p a r t e n g a a l l a loro s o m m a logica . Ma s u p p o n i a m o che ne l l 'un iver so di d i scorso di una certa

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164 F o r m u l e pred ica t ive

r o p p i a di classi non vi s ia a f fat to nul la clie non a p p a r t e n g a al loro prodot to logico, c ioè che ogni cosa a p p a r t e n g a a l loro prodot to logico. A l l o r a , ev identemente , non c 'è nul la a f fa t to clic non ap-par tenga a l la loro s o m m a l o g i c a : c ioè, ogni cosa a p p a r t i e n e a l l a loro s o m m a logica . La nostra legge s tab i l i sce infatt i che ogni cosa appar tenente a l la p r i m a a p p a r t i e n e a l la s econda . Cos i d a l l a ( 7 ) o da l l a ( 7 a ) consegue , con ques to r ag ionamento , la legge

( 8 ) « 3 = 1 z> α + 3 = 1

Ma nel c o m p i e r e ques t 'u l ter iore pa s sagg io , u s i a m o un p r i n c i p i o d ' in ferenza af fat to d i f ferente da q u a l u n q u e pr inc ip io esempl i f i -cato nel processo d i quas i - spec ia l i zzaz ione da l l a ( 1 ) a l la ( 7 ) . 11 nuovo p r i n c i p i o p o t r e b b e venir e spres so c o m e la regola che ' a cz 3 ' es ige 1 κ = 1 D Ρ = Γ . E c ia scuna del le leggi del classe-s i s tema che non può venir d i re t tamente s tabi l i ta m e d i a n t e i l me-todo tabe l l a re , è legata a q u a l c h e legge che può venir cos i stabi-l i ta . come la ( 8 ) è legata a l la ( 7 ) o a l la ( 7 n ) ; c ioè , p u ò venirne der ivata m e d i a n t e l ' i m p i e g o di pr inc ip i qua l i que l lo testé enun-ciato. I l n u m e r o di quest i p r i n c i p i add iz iona l i che si rendono ne-cessar i è p iccolo . Un a l tro e s e m p i o pot rebbe esserne la regola che ' <x3 = 1 ' è equ iva lente a ' a = l . ß = l \

I l lustrerò tutti quest i punti con un e s e m p i o u l ter iore , f i ssando ana logh i passagg i con la stessa n u m e r a z i o n e de l l ' i l lu s t raz ione pre-cedente , ma senza r ipe tere la sp i egaz ione . S i debba der ivare , da l l a legge ' ( p D 5 ) D ( ~ g 3 ~ p ) ' , in p r i m o luogo l a legge ' α * 3 c 3 * α ', che può essere s tab i l i t a d i re t tamente m e d i a n t e il me-todo tabe l l a re , e , i n secondo luogo , l a legge ' a c ß D ß c ä ' , clic non lo può .

(1) (p Z> q) ( ~q Π ~ p ) ( 2 ) ( .rea z> νε3 ) z> ( ~ ye$ ~ .νεα ) (3) (χεα =) .νε3)_ρ ( ~ * ε β => ~.νεα) ( ·1· ) .νεα * 3 ·νε3 * ä ( 5 ) Λ·ε ( α * 3 ) * ( 3 * <*)

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Element i del s i s tema pred ica t ivo 165

( 6 ) Ogni cosa è m e m b r o de l l a c lasse ( α * β ) * ( β * α )

( 7 ) ( α * β ) * Ü i * ä ) = 1 ( 7 a ) a * β c β * ä ( 8 ) a * ß = l r > ß * ä = l

G iacché ' α * β = 1 ' è p e r def in iz ione 1 equ iva lente a ' α C β \ la ( 8 ) è equ iva lente a

( « « ) α c β Ζ) β e α

.Nella sua u l t ima def iniz ione la legge asser i sce ehe se una c las se è inclusa in un 'a l t ra , a l lora il c o m p l e m e n t o de l la seconda è incluso nel c o m p l e m e n t o del la p r i m a .

2. I / u l t i m a sezione contr ibu i sce a mos t rare la stretta rela-zione fra le fo rmule interpreta te del s i s tema di vero-funzioni e que l le del s i s tema di c las s i . Ma essa sugger i sce anche che lo spe-c ia le s i m b o l i s m o del c lasse-s i s tema oscura , piuttosto clic accen-tuare, tale re laz ione . È bene e s a m i n a r e una notaz ione a l ternat iva d i e ha l 'effetto oppos to . C h i a m a n d o l a notaz ione a l te rnat iva , in-tendo d i re s e m p l i c e m e n t e che e una notaz ione con cui pos sono venir eostruite fo rmule aventi e sa t tamente la stessa interpreta-zione di q u a l u n q u e f o r m u l a di c lasse-asserzione del genere di que l le con cui a b b i a m o avuto a che fa re fin qu i . Con ciò è anche e l iminato lo spec ia le s i m b o l i s m o del c lasse-s i s tema, ed al suo posto p o s s i a m o i m p i e g a r e sol tanto quat t ro par t i co lar i accorgi-menti in agg iunta a l le costanti del ca lcolo p r o p o s i z i o n a l e clic ci sono f a m i l i a r i . Quest i a ccorg iment i , che vengono sp iegat i nel se-guito, sono :

( i ) va r i ab i l i ind iv idua l i ( i i ) va r i ab i l i p red ica t ive

( i i i ) quant i f i caz ione es i s tenzia le ( i v ) quant i f i caz ione universa le .

' Cfr. capitolo IV. p. Iti, nota 1.

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166 F o r m u l e predicat ive

T r a t t a n d o del c lasse-s is tema c o n s i d e r a v a m o d u e generi d i for-mule di a s s e r z i o n e : in p r i m o luogo que l l e e sempl i f i ca te eia enun-ciati di c l a s se -appar tenenza , in secondo luogo, que l l e esempli f i -ca le da enunciat i pos i t ivamente e nega t ivamente es i s tenzia l i . La f o r m u l a genera le di c l a s se-appar tenenza è * .νεα ". Es sa è esem-plif icata da un enuncia to c o m e ' G i o v a n n i è un p a d r e ' . N e l l a nuova notaz ione m a n t e n i a m o i m m u t a l o i l cara t tere de l l a varia-bi le ' . ν * . Ciò s ignif ica clic q u a l s i a s i e spres s ione che s ia un va lore pos s ib i le di ' χ ' in q u a l c h e f o r m u l a di c l a s se -appar tenenza è un poss ib i le va lore di ' χ ' in q u a l c h e f o r m u l a «lei nuovo genere . Fac-c i a m o a meno invece de l l a costante di c l a s se-appar tenenza ' ε * e de l le var i ab i l i di c las se-espress ione ' α ', ' β ', ecc., r i m p i a z z a n d o l e con un nuovo t ipo di v a r i a b i l e , al q u a l e d i a m o il n o m e dì ' varia-bile pred ica t iva ' e p e r il q u a l e u s i a m o le lettere ' / ', ' g ', ' li ', ecc. Al la v a r i a b i l e ' χ ' e a l l e a l t re var i ab i l i de l lo stesso t ipo , per le qual i u s i a m o altre lettere minusco le de l la (ine de l l ' a l f abe to , d i a m o il n o m e di ' va r i ab i l i indiv idua l i ' . La v a r i a b i l e predica-tiva viene n o r m a l m e n t e scritta per p r i m a , seguita da l l a v a r i a b i l e ind iv idua le , in que l l a clic noi c h i a m e r e m o una f o r m u l a predica-tiva. per es. ' / . ν ' , ' g y \ ecc. L a g a m m a del le e spres s ion i indivi-dua l i , c ioè dei poss ib i l i valor i del le var i ab i l i ind iv idua l i , è già stata indicata ' . P o s s i a m o def inire un 'e spres s ione p r e d i c a t i v a c o m e quel la qua l s i a s i e spre s s ione che , a s s i eme con q u a l c h e e spres s ione ind iv idua le , p u ò f o r m a r e un enuncia to suscett ibi le di venir im-piegato per f a re un 'a s se rz ione . Cos i ' è u n p a d r e ' , ' v i v e i n una casa di vetro ', ' è rosso ' sono e sempi di espress ioni pred ica t ive , λ a r i ab i l i pred ica t ive sono a l lora le var iab i l i i cui poss ib i l i valor i sono espress ioni p red ica t ive . Cos ì qua l s i a s i enuncia to di classe-

' C f r . r a p i t o l a I V , p . 134 . Q u e s t a g a m m a d e v e e s se re intesa c o m e esclu-d e n t e e s p r e s s i o n i c o m e ' n e s s u n o ' , ' n i e n t e ' , ' ogni coso ' , c h e p r o d u r r e b b e r o e n u n c i a t i avent i la fo rza di n e g a z i o n i o a f f e r m a z i o n i d i e s i s t enza . P e r ogni a l t ro r i g u a r d o , i l i m i l i s o n o s o l t a n t o q u e l l i i m p o s t i dal r e q u i s i t o d e l l a s ignif i-cane.·!. P e r u l t e r i o r e I m i t a z i o n e d e l l ' a r g o m e n t o , c f r . c a p i t o l o V . p p . 181-87.

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Element i del s i s tema pred ica t ivo 167

a p p a r t e n e n z a , e qua l s i a s i enunc ia to t ip ico del la l ingua c o m u n e avente lo stesso s ignif icato , e sempl i f i cano del par i una f o r m u l a pred ica t iva .

Le esempl i f icaz ioni de l l e f o r m u l e pred ica t ive sono enuncia t i suscett ibi l i d i venir impiega t i p e r f a r e asserz ioni . S i f f a t t e f o r m u l e possono perc iò venir cons idera te come un genere di var i ab i l i d'as-serz ione, c ioè possono f igurare c o m e var iab i l i in f o r m u l e vero-funz iona l i . Cos i espress ioni del genere di ' fx . gy ', ' ~ ( f x ν f y ) ', ' f x 3 ~ gx \ k ~ ( / . v . ~ g .r ) ' sono e sempl i f i caz ioni lecite del le f o r m u l e ' p . q ' , ' ~ ( ρ ν q ) ', 'ρ 3 ~ q \ ' ~ ( ρ . ~ q) \ F r a tali f o rmule pred ica t ive comples se , d i par t i co lare interesse sono que l l e in cui viene r ipetuta la s tessa va r i ab i l e , c o m e in ' ~ ( f x . ~ gx) Esse infatti c i danno i l mezzo di p a r a f r a s a r e nel la nostra nuova notazione tutte quel le f o r m u l e di c l a s se-appar tcncnza in cui l'e-spres s ione ebe segue la * ε ' è essa stessa una f o r m u l a «li c la s se c o m p o s t a . Ciò è ovvio ove si r amment i c o m e d e f i n i m m o i s imbo l i di prodot to , s o m m a e c o m p l e m e n t o del c l a s se- s i s tema 1 . P o i c h é ' .»ε (α + β) ' è per def iniz ione l ' equ iva lente di ' xta ν .τεβ ', può venir p a r a f r a s a l a in ' fx ν gx ' . A n a l o g a m e n t e , ' ,τεαβ ' d iventa " fx . gx ' ; ' .νεα ' diventa ' ~ fx ' ; ' * ε α * β ' o ' ,νεα Χ ' d iventa ' fx 3 gx ' o ' ~ ( fx . ~ g.r ) ' ; e ' .νεα * * β ' diventa 4 fx s ¡ gx ' . P e r prendere un e sempio un po ' p iù c o m p l i c a t o , ' . ν ε ( α + β Χ γ ) ' è r impiazza ta da ' ~ ( f x ν gx) . hx '.

£ evidente , a l lora , che tanto la s truttura f o r m a l e q u a n t o i l senso di qua l s i a s i f o r m u l a d i c l a s se -appar tenenza , per compl i ca t i che s i ano , vengono conservat i nel la nuova notaz ione , che al lo stesso t e m p o ci l ibera d a l l o s p e c i a l e s i m b o l i s m o del le c lass i e mette in r i l ievo i l fatto che tali f o r m u l e sono s e m p l i c e m e n t e spe-c ia l izzaz ioni de l le f o r m u l e dei s i s tema vero- funziona le .

Tut te le classe-asserzioni cons idera te , sa lvo le as serz ioni di c l a s se-appar tenenza , e r a n o a f f e rmaz ion i o negazioni del fatto che

' C f r . c a p ì t o l o I V , p . 137 .

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] 7 fi F o r m u l e pred ica t ive

q u a l c h e c lasse fosse vuota , c ioè e sempl i f i caz ioni d i f o r m u l e positi-vamente o nega t ivamente es i s tenzia l i . Per ottenere le p a r a f r a s i di queste u l t ime, i n t r o d u c i a m o l ' accorg imento del la quant i f i caz ione . Per a f f e r m a r e che una c lasse era vuota , e g u a g l i a v a m o la classe-espres s ione a p p r o p r i a t a a ' 0 P e r negare che essa fosse vuota , s b a r r a v a m o il segno di ' e g u a l e ' de l l ' equaz ione . La f o r m u l a ka = 0 ' poteva esser letta ' Niente è un m e m b r o de l l a c lasse a ' ; e la f o r m u l a " α φ 0 ' poteva esser letta ' C 'è a l m e n o una cosa che è m e m b r o del la e lasse α ' · Ne l l a nuova notaz ione , la f o r m u l a corri-spondente a ' α Φ 0 ' è " ( 3 x ) ( f x ) \ c h e può venir letta ' C ' è a l m e n o una cosa ( p e r s o n a ) che / ' ; e l a f o r m u l a cor r i spondente a ' α = 0 ' è la negaz ione di ' (3.r ) ( f x ) ', c ioè ' ~ ( ( 3.v ) ( f x ) ) \ ehe p u ò esser letta ' N o n c 'è niente ( n e s s u n o ) che / " . G i a c c h é l 'omis s ione de l le parentes i es terne non c o m p o r t a a l cuna a m b i g u i t à l a f o r m u l a è c o m u n e m e n t e scritta ' ~ ( 3 . v ) ( f x ) ' . Q u e s t e f o r m u l e si ada t tano f ac i lmente ai casi in cui si a f f e r m a o si nega che una e lasse compos ta è vuota . Cos i . ' αβ = 0 ' può esser p a r a f r a s a t a in • ~ ( 3 x ) ( f x . g x ) ' ; ' α + β Φ 0 ' in ' ( 3 . t ) (fx ν gx) '; 'α = 0' i n · ~ ( 3 . ν ) ( - / * ) ' ; ' α β = 0 ' i n ' ~ ( 3 . ν ) ( f x . ~ g x ) e ' α + β Χ γ Φ (( ' in ' ( 3 . * ) Γ ~ ( f x ν gx ) . Ιιχ] '.

C o m e l 'u l t imo e s e m p i o d imos t r a , l e parentes i servono ora ad indicare i l c a m p o s ia de l l e costanti p ropos i z iona l i , s ia del s i m b o l o (plantif icante ' (3 .v ) ' , che , p e r ovvie rag ioni , è c h i a m a t o quanti-f icatore esistenziale. L ' i m p o r t a n z a di una c h i a r a ind icaz ione del c a m p o del quant i f i ca tore e del le costanti p r o p o s i z i o n a l i r ispett iva-mente in una f o r m u l a o enuncia to che contenga s ia l 'uno che le a l tre , può essere i l lustrata dagl i e s e m p i seguent i . S i s u p p o n g a che nel le f o r m u l e ' ( 3 A ) ( f x . gx ) " e ' (3 .v ) ( f x ) . gx ' venga attri-buito ad * / " il va lore di ' è rosso " e a ' g ' il va lore di ' è rotondo '. Al lora da l l a p r i m a f o r m u l a o t teniamo l'enunciato ' C 'è a l m e n o una cosa che è ins ieme rossa e rotonda ' , mentre d a l l a seconda for-m u l a o t teniamo ' C 'è a l m e n o una cosa che è rossa ed .r è rotondo L u l t ima espres s ione non è un enuncia to , ma la cong iunz ione di

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E l e m e n t i « l e i s i s tema pred ica t ivo 169

un enuncia to e di una f o r m u l a . A m b e d u e le f o r m u l e s o p r a r i p o r -tate sono di f ferent i d a ' ( 3 x ) ( f x ) . ( 3 x ) ( g * ) ' . S e f a c c i a m o i n ques t 'u l t ima le stesse sost i tuzioni d i p r i m a , o t ten iamo l ' enuncia to congiunt ivo ' C ' è a lmeno una cosa ebe è rossa e c ' è a l m e n o una cosa che è rotonda ' · La veri tà de l l ' a s serz ione fatta con quest 'enun-ciato è c o m p a t i b i l e con la fa l s i tà de l l ' a s serz ione fatta con i (3 .v ) ( χ è rosso . χ è rotondo ) '.

È f ac i l e vedere come le f o r m u l e di c lasse- inclus ione e classe-identità debban venir p a r a f r a s a t e q u a n d o c i s i r a m m e n t i che " a C 0 ' è equiva lente a ' αβ = 0 ' e che ' α = 0 ' è equ iva lente a ' αβ = ϋ . 0α = 0 \ Le r i spett ive p a r a f r a s i sono " ~ ( 3 . v ) (fx . ~ g x ) · e ' ~ ( 3 - 0 ( / . t . - § * ) . ~ ( 3 x ) ( g x . ~ f x ) \

Nel classe-s istema l ' accorg imento di e g u a g l i a r e a ' 0 ' per indi-care che una c lasse è vuota era integrato d a l l ' a c c o r g i m e n t o di eguag l i a re a ' 1 ' per ind ica re che il c o m p l e m e n t o di una c lasse è vuoto. Cosi ' α = 1 ' e ra def inito come equ iva lente a ' — a = 0 L veniva introdotta l 'u l ter iore regola che ' — α = 1 ' doveva essere equiva lente a ' a = 0 ' . Ne l l a nuova notaz ione a b b i a m o l a compl i -cazione p a r a l l e l a d i un secondo quant i f ica tore , conosc iuto c o m e quant i f icatore universa le , scritto ' ( . t ) ' e def in ib i le nei termini del p r imo . I l s ignif icato del quant i f i ca tore universa le è dato da l l e due definizioni s e g u e n t i :

' ( * ) ( / * ) ' = o / ' ~ ( 3 . r ) ( - / * ) ' ' ( * ) ( ~ f x ) ' = D/ '~ (3.v) ( f x ) '

Ques te def iniz ioni 1 sono esa t tamente p a r a l l e l e a l l e regole per 'α = 1' e ' — α = 1 ' ; infatt i le due e spres s ioni definenti sono r i spet t ivamente l e pa ra f ra s i d i ' — a = 0 ' e ' a = 0 \ E s a t t a m e n t e come e r a v a m o tentati di l eggere ' α = 1 ' c o m e ' Ogni cosa è mem-bro del la elasse α ' , cosí s i a m o tentat i , e q u a l c h e volta incoragg ia t i ,

1 In m i o s v i l u p p o s t r e t t a m e n t e d e d u t t i v o del s i s t e m a , s u l t a n t o u n a defi-n i z ione è nece s sa r i » .

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] 7 fi F o r m u l e pred ica t ive

a leggere ' ( .t ) ( fx ) ' c o m e * Ogni cosa / ', o p p u r e ' P e r ogni χ, f χ ' ; e ciò è spes so conveniente . Ma q u a n d o a b b i a m o in mente p r o b l e m i ili in terpretaz ione , è p iù s icuro , c o m e vedremo , legger lo in termini del suo defìniens.

Ques te due def iniz ioni p r o d u c o n o , na tura lmente , le due equi-valenze

(1) ( x ) ( f x ) ^ ~ ( 3 x ) ( ~ f x ) • ( 2 ) ( x ) ( ~ f x ) - ~ ( 3 . t ) ( / , )

e da queste p o s s i a m o d i re t tamente ottenere le due ulter iori equi-

valenze ( 3 ) ~ ( - v ) ( / . v ) = ( 3 . v ) ( ~ / . v ) ( 4 ) ~ ( x ) ( ~ l x ) . ( 3 . r ) ( / . v )

u sando le leggi e le p r o c e d u r e d ' in ferenze del ca lco lo propos iz io-nale . Cosi nel la legge vero- funzionale

(p = ~q) = > ( - / > = q)

sos t i tu iamo * ( .v) ( / * ) ' a " ρ \ ' ( 3 . t ) ( ~ f x ) ' a ' q \ o t tenendo

L ( * ) ( / * ) - ~ ( 3 * ) ( ~ / x ) ] 3 [ - ( * ) ( / * ) - ( 3 x ) ( « / * ) ] ( i )

e da l l a ( 1 ) e ( i ) o t ten iamo la ( 3 ) m e d i a n t e la Rego la d i Infe-renza . P e r ottenere la ( 4 ) so s t i tu iamo ' { x ) ( ~ f x ) ' a ' ρ ' , ' ( 3 . r ) ( f x ) ' a * q ' e p r o c e d i a m o come p r i m a .

Dal le f o r m u l e d a ( 1 ) a ( 4 ) po s s i amo ottenere p e r sost i tuzione un indefinito n u m e r o d i equ iva lenze p iù c o m p l i c a t e . L 'equiva-lenza ( 2 ) . per e s e m p i o , è e sempl i f i ca ta nei seguent i c a s i :

( 5 ) ~ ( 3 x ) ( f x . g x ) - ( * ) [ - ( / * . * * ) ] ( 6 ) ~ (3 .v ) ( f x ν gx) = ( x ) t ~ ( /-V ν g.r ) ] ( 7 ) ~ ( 3 x ) ( f x . ~ g x ) = ( x ) [ ~ ( f x . ~ g x ) ]

La g iust i f icazione di queste sost i tuzioni p o t r e b b e non a p p a r i r e ovvia a p r i m a vis ta . Ma se c o n s i d e r i a m o la f o r m u l a ' χ è verde e rotondo ' e ' χ è verde o rotondo ', v e d i a m o ebe a m b e d u e le espres-

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Element i del s i s tema predicat ivo 171

s ioni , ' verde e rotondo 1 e ' verde o rotondo c o r r i s p o n d o n o a l l a nostra descr iz ione di una e spres s ione pred ica t iva e che perc iò am-bedue le f o r m u l e e sempl i f i cano la f o r m u l a p red ica t iva ' fx ' . Ve-d i a m o anche che queste f o r m u l e sono la vers ione in l inguagg io o rd inar io di * χ è verde . χ è ro tondo \ ' x è verde ν .τ è ro tondo ', che e sempl i f i cano r i spet t ivamente * fx . gx ' e ' fx V gx '. Tu t te le f o r m u l e pred ica t ive comple s se possono cosi venir cons idera te come e sempl i f i caz ione d i una f o r m u l a pred ica t iva s e m p l i c e , e sa t tamente coinè tutte le f o r m u l e comple s se di c l a s se-appar tenenza sono esem-pli f icazioni di " .νεα' .

C o n s i d e r i a m o ora le d u e f o r m u l e 4 ~ ( 3 . v ) (fx . ~ g x ) ' e " ( . τ ) (fx 3 gx)'· T e n e n d o hen presente il senso di ' 3 ', p o s s i a m o leg-gere l 'u l t ima de l le due al m o d o seguente * P e r ogni .r, non si ila il caso che fx e non-g.t Ma è p rec i s amente a ques to m o d o che noi d o v r e m m o leggere ' ( . τ ) [ ~ (fx . ~ g . v ) ] che a b b i a m o visto testi? ( v e d i l a ( 7 ) poco s o p r a ) essere l ' equiva lente d i 4 ~ ( 3 . r ) ( f x . ~ g x ) \ S u queste basi interpretat ive sol tanto s i a m o a l lora tentati di conc ludere che ' ( x ) ( f x 3 gx) ' e ' ~ ( 3 . v ) ( / . * . ~ g . t ) ' sono equ iva lent i . Ques t a tentazione d iv iene a n c h e pili forte (piando no t i amo che

~ ( fx . ~ g.v ) s fx 3 gx

non è a l tro clic una spec ia l i zzaz ione del la legge vero- funzionale

~(P · ~q) = Ρ q-

A b b i a m o infatti soltanto da scr ivere i l quant i f i ca tore universa le ' per ogni .r ' davant i a c i a scuna del le d u e f o r m u l e pred ica t ive equiva lent i , per ottenere

( 8 ) ( * ) [ - ( / * . ~ g * ) l - ( x ) ( f x z > gx)

Altera in q u a l c h e modo , ques t ' in t roduz ione di * ( . * ) ' , la corret-tezza d e l l ' e q u i v a l e n z a ? Si s a r e b b e propens i a r i spondere negati-v a m e n t e ; e v e d r e m o pili innanzi che c iò e corret to , c ioè che le

'3

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] 7 f i F o r m u l e p red ica t ive

regole del s i s tema ci permet tono di p r o v a r e l ' equ iva lenza . Ora . p r e n d e n d o l a ( 8 ) a s s i eme a l la ( 7 ) . p o s s i a m o f ac i lmente dimo-s trare

( 9 ) ~ ( 3 x ) ( f x . ~ g x ) = ( x ) { f x z > g x )

equiva lenza a l l a q u a l e f a r e m o f requente r i f e r imento d 'ora innanzi , e p o s s i a m o u s a r e ques to r isultato ant ic ipa to per l eg i t t imare la no-stra lettura di ' ( * ) (fx r> gx) ' come ' N o n c 'c niente che / e non-g " . A n a l o g a m e n t e p o s s i a m o ant i c ipare le d imos t raz ioni di

(10) ~ ( 3 x ) ( f x v g x ) = ( x ) ( ~ f x . ~ g x ) ( 1 1 ) ~ ( 3 x ) ( f x . g x ) = ( .v ) ( ~ /.r ν ~ g.v )

che f a r a n n o un cons imi l e i m p i e g o de l le leggi vero-funzional i

* ~ ( p ν <7) = ~p . ~q " e ' ~ ( p . q) = ~py~q\

3. Ne l l ' u l t ima sez ione si sono presentat i brevemente gli cle-menti di una nuova notazione con la «piale è pos s ib i l e costruire f o r m u l e aventi la s tessa interpretaz ione di qua l s i a s i legge del clas-se-sistema ( a l m o d o in cui «piest 'ult imo è ila noi qui in te so ) . Ve-d r e m o più innanzi ebe la nuova notaz ione permet te un uso p iù c o m p r e n s i v o ; clic in essa possono venir costrui te f o r m u l e non su-scett ibi l i di p a r a f r a s i in termini di c lasse . 11 più a m p i o s i s tema logico ebe può venir eostruito nella nuova notaz ione è ch iamato talvolta ca lco lo pred ica t ivo (o f u n z i o n a l e ) . È a l lora evidente che tutte le leggi del ca lco lo de l le c lass i possono venir ottenute da l l e leggi del ca lco lo pred ica t ivo m e d i a n t e p a r a f r a s i , ma che non è vero il converso .

Nel la p r i m a sez ione c e r c a m m o di rentier c h i a r e le ragioni clic sp i egano il p a r a l l e l i s m o f o r m a l e fra il c lasse-s is tema e il ca lcolo p ropos i z iona le d e r i v a n d o le leggi ( i n t e r p r e t a t e ) «lei p r i m o da l le leggi ( i n t e r p r e t a l e ) del secondo . La de r ivaz ione era un po ' gof fa , g iacché c o m p o r t a v a una quant i tà d i var i az ion i p u r a m e n t e nota-

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Element i « l e i s i s tema pred ica t ivo 173

r iona l i . Uno dei vantaggi at tr ibuit i a l l a notaz ione de l le f o r m u l e predicat ive e dei quant i f icator i era ebe essa rendeva p iù ch ia ra la re laz ione f ra le due ser ie di leggi interpreta te . P e r g iust i f icare questa pretesa , d o v r e m m o esser capac i d i e f fe t tuare la der ivaz ione del le leggi nel la nuova notaz ione in m o d o p iù s e m p l i c e e più ra p ido .

R i t o r n i a m o ai nostri precedent i e s e m p i Da

( i ) ρ . q 3 ρ V q

otteniamo per sost i tuzione

( i i ) fx . gy 3 fx ν gy

<·. come in precedenza , p e r u l ter iore spec i a l i zzaz ione

( i i i ) fx . gx 3 fx ν gx.

Ora asser ire una qua l s i a s i f o r m u l a pred ica t iva c o m p l e s s a come una legge s ignif ica as ser i re che qua l s i a s i enunc ia to dotato di signi-ficato ottenuto per sost i tuzione da que l l a è ana l i t i co , qua l i che s iano i valor i dati a l le va r i ab i l i ind iv idua l i e p red ica t ive . S u p p o -niamo che la nostra legge sia del la f o r m a ' fx ' . A l l o r a , med iante un pas sagg io cor r i spondente a que l lo fra la ( 5 ) e la ( 6 ) nel la der ivazione or ig ina le de l la sez ione 1 , p o s s i a m o a s se r i re c o m e una legge l a corr i spondente f o r m u l a del t ipo ' ( . * ) ( / * ) ' ( c i o è , 'Ogni cosa / ' , o p p u r e ' Non c 'è niente che n o n - / ' ) . F a r ques to s ignif ica , come in precedenza , a scr ivere a l la legge- formula stessa la per-messa genera l i tà di sost i tuzione per ciò che r i g u a r d a la va r i ab i l e ' .ν . A b b i a m o , a l lora , la regola genera le che da q u a l s i a s i f o r m u l a predicat iva comple s sa con una var i ab i l e i n d i v i d u a l e , la q u a l e sia asserita con va lore di legge , p o s s i a m o der ivare con lo stesso va lore di legge l ' e spress ione che r isulta da l l a quant i f i caz ione universa le

' C f r . sezioni.· 1. p p . 161-64.

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] 7 f i F o r m u l e pred ica t ive

di quel la f o r m u l a , senza modi f i ca r l a in a lcun a l tro m o d o Da l l a ( i i i ) d e r i v i a m o , con l ' a p p l i c a z i o n e d i questa rego la , l a legge

( i v ) ( * ) ( f x . g x n f x v g x ) .

Ciò può venir letto ' Non c 'è niente che in s i eme / e g e non ο / o g ' , che è la p a r a f r a s i in termini predica t iv i de l la conclus ione ori-g inar ia 4 α β c α -f β 1 ( c i o è , 4 N o n c 'è niente che s ia m e m b r o del la classe αβ e non s ia m e m b r o del la c lasse α -f β * ) ·

La der ivaz ione p a r a l l e l a de l l ' a l t ro e s e m p i o fornito nella se-z ione 1 procede c o m e s e g u e :

( i ) ( p 3 q) 3 ( ~ q 3 ~ p ) ( i i ) ( f x 3 gx) 3 ( -gx 3 ~ f x )

( i i i ) ( . r ) Í ( f x 3 gx) 3 ( ~gx 3 - / * ) !

I l mantenere d o v u n q u e un s imi l e m o d e l l o notaz iona le s foc ia in un ovvio vantagg io per quanto concerna la sempl ic i t à c la ch iarezza .

C o m e nel la sez ione 1 , s i rendono necessar ie spec ia l i regole add iz iona l i per l 'u l ter iore s v i l u p p o f o r m a l e . E l e n c o un certo nu-mero di f o r m u l e clic d o b b i a m o aspet tarc i abbia l i vigore di leggi del s i s tema , ma clic non a b b i a m o finora i mezzi per d e r i v a r e :

( 1 2 ) ( x ) ( f x . g x ) ^ ( x ) ( f x w g x ) ( 1 3 ) ( x ) ( f x z>gx) 3 ( x ) ( ~ g x 3 ~ / . r ) (14 ) (X) ( f x 3 gx) . ( x ) (gX 3 hx) 3 ( * ) ( f x 3 hx) (15) ( * ) (fx 3 gx) . ( .t) (fx 3 hx) 3 ( a ) (fx 3 gx . hx)

Se t r a d u c i a m o queste f o r m u l e in pa ro le , p o s s i a m o t rovare che esse sono p a r a f r a s i de l le seguenti leggi del c lasse-s is tema :

C ( o ) α β = 1 3 α + β = 1 C ( / . ) α c β 3 β c α

' Q u e s t a o p e r a z i o n e p u ò v e n i r c h i a m a t a ' g e n e r a l i z z a z i o n e

Page 194: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

Element i « le i s i s tema pred ica t ivo 175

C ( c ) a c ß . ß c y i j a c Y C(< / ) a c ß . a c y D a c ^

Ovviamente , i plinti di par tenza per la der ivaz ione da l le leggi del ca lcolo p ropos i z iona le s o n o :

Ρ ( α ) ρ . q 3 pyq Ρ (b) (ρ 3 q) D ( ~ 5 D ~ p ) P ( c ) (ρ 3 q) . (<7 3 r ) 3 > ( p 3 r ) P ( « / ) ( p 3 <7) . ( p 3 r ) 3 ( p 3 f/ . r )

A b b i a m o teste veduto come da P ( a ) e P ( f o ) d e r i v i a m o

( x ) ( f x . gx 3 fx ν gx ) e ( a ) [ ( /χ 3 g * ) 3 ( ~gx 3

Con ana loghi passaggi d e r i v i a m o da P ( c ) e P ( f / )

( . t ) Γ(/.ν 3 g.r) . (gx 3 hχ) 3 ( f x 3 /i.r ) 1

e ( a ) ( ( f x 3 g . t ) . (fx 3 Λ * ) 3 (/.ν 3 gx . ft*)].

11 pros s imo pas sagg io consiste nel volgere ques te i m p l i c a z i o n i uni-versa lmente quant i f icate f ra f o r m u l e pred ica t ive , in impl i caz ion i ord inar ie fra f o r m u l e univer sa lmente quant i f i ca te . È p e r questo passagg io e b e c i occorrono le regole a d d i z i o n a l i . Ne sono e sempi le regole asserenti che le seguenti f o r m u l e 1 sono a n a l i t i c h e :

I ( * ) ( / * 3 gx) 3 [ ( * ) ( / * ) = > ( * ) ( * » ) ] I I ( * ) ( / * . gx) = ( x ) ( f x ) . ( * ) ( g x )

L'as serz ione de l la p r i m a come legge può venir e spres sa come se-gue : ' La f o r m u l a Non c 'è niente che / e non g " e s ige la f o r m u l a " Se non c'è nu l l a af fatto che non / , non c 'è nul la a f fa t to che non β ' . L ' a s serz ione del la seconda come legge p u ò cosi venire espres-

1 N e l l o s v i l u p p o r i goroso del s i s t e m a , q u e s t e f o r m u l e v e n g o n o d e r i v a t e f o n i e t e o r e m i .

Page 195: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

] 7 fi F o r m u l e pred ica t ive

sa : " La f o r m u l a " Non c 'è nu l l a che non ins i eme / e g " è logica-mente equ iva lente a l l a f o r m u l a " Non c 'è nu l l a clic non / c non c 'è nul la che non g " ' . P e r e s e m p i o . k Non c 'è nul la che s ia prezioso c non per i turo ' es ige ' Se non c 'è nul la che non s ia prez ioso , a l lora non c 'è nul la che non s ia per i turo ' ; e ' Non c 'è nul la che non s ia ins ieme prez ioso e per i turo ' è log icamente equ iva lente a ' Non c 'è nul la clic non s ia prez ioso e non c 'è nul la che non s ia per i turo ' .

L 'u so di queste leggi add iz iona l i è un s e m p l i c e eserc iz io nella p rocedura dedutt iva de l ineata p e r i l ca lco lo p r o p o s i z i o n a l e . P.e. , per ottenere la ( 1 2 ) , si sost i tuisca nel la I * f x . gx' a ' /A ; ' e ' fx ν gx' a ' gx o t tenendo

( * ) ( f x · g-r => fx* px) => [ ( * ) (fx -ex) => (·<) ( f x v f i x ) !

Noi a b b i a m o g ià s tab i l i ta la p r i m a metà d i q u e s t ' i m p l i c a z i o n e ; cosi , m e d i a n t e la regola di in ferenza , p o s s i a m o der ivare la se-conda metà , che è la ( 1 2 ) , con va lore di legge. La der ivaz ione de l la ( 1 3 ) segue lo stesso s c h e m a . Per la ( 1 4 ) e la ( 1 5 ) pos s i amo , a s copo di s e m p l i c i t à , u sa re la regola a d d i z i o n a l e di inferenza che espress ioni equiva lent i possono essere sost i tuite l 'una a l l ' a l t ra . Al-lora . avendo t r a s f o r m a t o

(.r) l ( f x 3 gx) . (gx 3 hx) 3 (fx 3 hx)] in

(A.) [ ( f x 3 gx) . (gx 3 / » * ) ] 3 (A) (fx 3 hx)

m e d i a n t e l ' i m p i e g o de l l a I , t r a s f o r m i a m o ques ta in

(.*) ( f x 3 g * ) . (a:) (gx 3 hx) 3 ( x ) (fx 3 hx)

m e d i a n t e l 'uso del la II e la regola che permet te lo s c a m b i o fra loro d i funzioni equ iva lent i . S i m i l m e n t e s i p r o c e d e per la ( 1 5 ) .

La p r o c e d u r a genera le m e d i a n t e la q u a l e s i g iust i f icano le equ iva lenze presentate a l la f ine de l la sez ione precedente dovrebbe ora essere ovvia . D a l l e I e II p o s s i a m o d e r i v a r e

I I I ( , ) (f.x = gX) Z3 ! ( * ) ( f x ) - (.ν) (g.v)l.

Page 196: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

177

A l l o r a , a v e n d o der iva to , p e r e s e m p i o

( .v ) [ ~ ( f x . ~ g x ) = fx 3 g x ]

ila ' — (p . ~ q ) = ρ 3 q ' p e r so s t i tuz ione e g e n e r a l i z z a z i o n e , u s i a m o l a l egge I I I p e r o t tenere da ques to r i su l ta to l a f o r m u l a

( AC) [ - ( / * . ~ g X ) l = ( * ) ( / * 3 g x )

e per g ius t i f i care q u i n d i l ' e q u i v a l e n z a

~ ( 3 \ x ) ( f x . ~ g x ) = (,r)(/.v 3 gx).

Analogo è i l p r o c e d i m e n t o per gli a l tr i c a s i . In q u e s t a s e z i o n e ho tentato s o l o di f o r n i r e i l lu s t raz ion i un p o '

alla huona di a l cun i m e t o d i di d i m o s t r a z i o n e de i t eoremi de l cal-colo p r e d i c a t i v o . Ci s o n o a l t re t ecn iche d i d i m o s t r a z i o n e , a l c u n e pili r a p i d e n e l l ' a p p l i c a z i o n e , e p i ù e l egant i di q u e s t e 1 . Io ho in-teso sopra t tu t to di so t to l ineare le in t ime re laz ion i f ra i s i s temi di r iass i e p r e d i c a t i v o , e f ra quest i d u e pres i a s s i e m e c il s i s t e m a de l l e vero- funzioni .

t . F a c e v o notare piti s o p r a cl ic l a no taz ione d e l l e f o r m u l e p red ica t ive e de i quant i f i ca tor i e ra p i ù c o m p r e n s i v a di q u e l l a i m p i e g a t a nel s e m p l i c e c la s se-s i s tema : che , m e n t r e tutte le f o r m u l e clic po s sono ven i r cos trui te con q u e s t ' u l t i m a n o t a z i o n e p o t r e b b e r o venir p a r a f r a s a t e m e d i a n t e f o r m u l e cos t ru i te con la p r i m a , i l con-\ e r s o non s u s s i s t e v a ; e c h e , di c o n s e g u e n z a , i l c a l c o l o p r e d i c a t i v o permet te un m a g g i o r s v i l u p p o f o r m a l e che non i l c a l c o l o de l l e c lass i . Q u e s t o punto lo s i e s p r i m e ta lvol ta d i c e n d o che la nota-z ione p r e d i c a t i v a p e r m e t t e un ' ana l i s i pili c o m p l e t a d e l l a f o r m a logica d i certe a s serz ion i che non la s e m p l i c e n o t a z i o n e d i c l a s se . \ og l io i l lu s t r a re certi m o d i in cui c iò s i r ea l i zza . Ma l i i n t r o d u r r ò

' C f r . REICIIENBACH, Elements of Symbolic Logic, r a p i t o l o I V . c Q U I N E , V riho,Is nf f.ngìcy p a r l i li o i l l .

Page 197: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

] 7 fi F o r m u l e pred ica t ive

med iante la cons ideraz ione di una c lasse di casi per la q u a l e non è i m p o s s i b i l e t rovare p a r a f r a s i in termini di c las se .

Fin qui a b b i a m o cons iderato in det tag l io so l tanto e sempi di que l le f o r m u l e pred ica t ive e b e contengono una s ingola va r i ab i l e i n d i v i d u a l e : a b b i a m o visto tuttavia e b e è lecito costruire f o r m u l e s i f fat te con d u e o p iù var iab i l i ind iv idua l i . C o n s i d e r i a m o ebe sorta di in terpretaz ione p o t r e m m o dare a una f o r m u l a contenente due var iab i l i ind iv idua l i che a m b e d u e c o m p a i a n o anche in una paren-tesi di quant i f i caz ione . N a t u r a l m e n t e , l ' in terpre taz ione di un'e-spre s s ione c o m e (a*) ( f x ) r> ( 3 y ) ( g y ) ' non presenta p r o b l e m a a lcuno . l,e d u e var i ab i l i indiv idua l i son par te , infat t i , d i due for-m u l e ind ipendentemente quant i f icate , nessuna de l le (piali inc lude l 'a l tra nel suo c a m p o . Ma s u p p o n i a m o d i scr ivere * ( . r ) f ( 3 y ) ( f x Ό g y ) ] C h e in terpre taz ione p o s s i a m o d a r e , s e pur po s s i amo d a r n e una . a ques ta e s p r e s s i o n e ?

S u p p o n i a m o che ci s i ch ieda di m o s t r a r e quanto p iù esatta-mente pos s ib i le , m e d i a n t e i l nostro s i m b o l i s m o , la f o rma del-l 'enunciato * Nes suno a m a senza so f f r i re ' . P o t r e m m o farne la para-fras i in ' Non c 'è a l cuno che ins ieme a m i e non sof f ra ' e conclu-dere che la f o r m u l a a p p r o p r i a t a s a r e b b e ' ~ ( 3.v) (fx . ~ gx ) ' op-pure ' ( .v) ( f x r3 g * ) * . S u p p o n i a m o ora che ci s i ch ieda di far lo stesso per l ' enuncia to ' Nessuno a m a senza che qualcuno so f f ra ' , nel q u a l e non c 'è i m p l i c a z i o n e a lcuna che chi a m a e chi so f f re s i ano nece s sa r i amente la stessa per sona . P o s s i a m o p a r a f r a s a r l o in iz ia lmente in ' N o n c 'è a lcuno che a m i senza che q u a l c u n o sof-fra " . Ma non è tanto ch iaro q u a l e a b b i a da essere il pa s s agg io success ivo. L ' e s e m p i o ev identemente r a m m e n t a que l lo precedente in quanto se c o m i n c i a m o col quant i f ica tore nega t ivamente esisten-z ia le . la p r o p o s i z i o n e relat iva introdotta da ' che ' deve r ientrare tutt ' intera nel c a m p o di que l quant i f i ca tore . Ma è a l trettanto ch iaro che. ne l l ' ana l i s i de l l a p ropos i z ione re la t iva , a b b i a m o bi sogno d i un u l ter iore quant i f i ca tore nega t ivamente es i s tenzia le per render giust iz ia a l ' s e n z a che qua lcuno sof f ra " ( c i o è , ' c o n nessuno soffe-

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Element i «lei s i s tema predicat ivo 179

r e n t e ' ) . Q u e s t e cons ideraz ioni p o t r e b b e r o indurci ad adot tare l a regola ebe * ~ ( 3 x ) [ χ a m a . ~ ( 3 y ) ( y s o f f r e ) ] ' s i a d a conside-rarsi c o m e la p a r a f r a s i , nel la nostra notaz ione , la p iù pros s ima poss ibi le a l l ' enuncia to or ig inar io . F o r m u l e o enunciat i come que-sto. in cui un quant i f icatore inc lude un a l tro nel suo p r o p r i o c a m p o , possono venir r i fo rmula t i in m o d o che i due quant i f icator i c o m p a i a n o ins i eme a l l ' in iz io de l l ' enuncia to o f o r m u l a in que-stione. B i sogna fare tuttavia molta at tenzione ne l l ' e f fc t tuare questo passagg io . La f o r m u l a e sempl i f i ca ta dal nostro enunc ia to dopp ia -mente quant i f icato e ' ~ ( 3.v) [ fx . ~ ( 3y ) ( gy ) J '. Se sempl ice-mente t r a s f e r i a m o ( 3 y ) ' nel la pos iz ione i m m e d i a t a m e n t e d o p o ' ~ ( 3 .r ) ', ottenendo la f o r m u l a (3 .v ) { ~ l ( 3 v ) ( f x . g y ) ] } ', c a m b i e r e m m o il c a m p o del segno di negaz ione precedente ' ( 3 y ) ' e perciò c a m b i e r e m m o il senso de l l ' e spres s ione . P r i m a di t ras fer i re il quant i f ica tore d o b b i a m o e l i m i n a r e il segno di negaz ione che lo precede. Si tratta di una fac i le o p e r a z i o n e ; infatt i ' Γ fx . ~ ( 3 y ) ( g y ) ] ' è del la forma " p . ~ q ' c perciò è equ iva lente , per e s e m p i o , al la cor r i spondente e spres s ione «Iella f o rma ~ p v q ) ' , c ioè a " ~ [ ~ f x ν ( 3 y ) ( g y ) ] \ Sos t i tuendo la precedente con l 'u l t ima nella f o r m u l a or ig ina le , a b b i a m o * ~ ( 3 . r ) ~ | ~ fx ν ( 3y ) ( g y ) 1 ', clic, per la def iniz ione del quant i f ica tore un iver sa le , è equiva lente a ' ( .ν) Γ ~ f x v ( 3 y ) ( g v ) ] I l secondo quant i f i ca tore può ora venir trasferi to senza inconvenienti nel la pos iz ione i m m e d i a t a m e n t e suc-cessiva al p r i m o , dando luogo a ' ( x ) ( 3 y ) ( ~ f x ν gy) ' . Ciò è equi-valente a ' ( . t ) ( 3 y ) ( f x Γ3 g y ) ' , la f o r m u l a di cui a p p u n t o inve-s t igavamo la poss ib i le interpretaz ione a l l a f ine «lei precedente p a r a g r a f o .

La nostra s imbol i ca p a r a f r a s i di ' Nes suno a m a senza che qual-cuno sof f ra ' l a sc ia aper ta la poss ib i l i tà che chi a m a e chi sof fre s iano per sone d i f f e r e n t i ; ma lascia anche a p e r t a l a poss ib i l i tà che esse s iano la stessa per sona . S u p p o n i a m o di aver ora a clic f a re con * Nes suno a m a senza che qua lcun altro so f f ra ' . P e r a f f rontare megl io questo , r i cor r i amo p r i m a a un a l tro e s e m p i o , e precisa-

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F o r m u l e pred ica t ive

mente che si dehba e s p r i m e r e l ' enunciato 4 C 'è a l m e n o una crea-tura c a p a c e di nuotare e c 'è a l m e n o una c rea tura , non identica con la p r i m a , c a p a c e di vo la re ' . Un tentativo pot rebh 'e s sere 4 ( 3 . r ) ( 3 y ) (.v è c a p a c e di nuotare . y è c a p a c e di v o l a r e ) Ma questo è vero anche se c'è un 'unica crea tura c a p a c e s ia di nuotare che di volare . P o t r e m m o adot t a re la convenzione clic l 'uso di var iab i l i di f ferenti nel la stessa f o r m u l a impl i ch i d i f ferenza di identità ove sia asseri ta l ' e s i s tenza : ma c iò c o m p o r t e r e b b e degli inconvenient i , per esem-pio, l imi te rebbe la nostra l ibertà nel le sost i tuzioni di va r i ab i l i . In luogo di c iò . si in t roduce la nuova f o r m u l a 4 χ — y ' , con il senso d i l 4 χ è identico a ( l a stessa persona o cosa d i ) y ' . La f o r m u l a ' ~ ( . v = y) ' ha di conseguenza il s e n s o : " χ non è identico a y ' . Ora p o s s i a m o c o m p l e t a r e la p a r a f r a s i del nostro enuncia to come s e g u e : 4 (3 .v ) ( 3 y ) [A; è c a p a c e ili nuotare . y è c a p a c e di vo lare . ~ ( . v = y ) ] ' . A n a l o g a m e n t e , p o s s i a m o rendere la f o rma di * Nes-

suno a m a senza c h e qua lcun al tro s o f f r a ' con 4 ( . v ) ( 3 y ) [ ~ (.ν = y) . fx 3 gy] '.

Per a lcuni e sempi di f o r m u l e a quant i f i caz ione m u l t i p l a pos-s i a m o trovare p a r a f r a s i nel la c lasse-notazione, senza f a r uso del la quant i f i caz ione . P e r e s e m p i o , " Nessuno a m a senza che qua lcuno sof f ra ' , c h e e sempl i f i ca 4 ( .v) ( 3 y ) ( fx 3 g y ) ' p u ò essere para-f rasa ta * Non si dà in s i eme il caso che la c lasse di co loro che a m a n o non s ia vuota e che la c lasse di co loro che so f f rono s ia vuota * , che e sempl i f i ca ' α Φ O 3 3 φ O '. Ma non è pos s ib i le t rovare una cor-r i spondente p a r a f r a s i p e r 4 ( x ) ( 3 y ) [ ~ ( x = y) . fx 3 g y ] ' . In genera le , ogn iqua lvo l t a una f o r m u l a con quant i f i caz ioni mul t ip l e è equ iva lente a una f o r m u l a consistente di d u e o p iù f o r m u l e quan-tificate i n d i p e n d e n t e m e n t e legate da connettivi vero-funzional i , s a rà pos s ib i l e t rovare una c la s se-para f ra s i che non r icorra a l l a quant i f i caz ione . Cos i 4 ( . t ) ( 3 y ) ( f x 3 g y ) ' è equ iva lente a 4 (3 .v ) ( f x ) 3 ( 3 y ) ( g y ) * . Ma q u a n d o non s i d ia questa condiz ione , una tale p a r a f r a s i non p u ò esser trovata . La spec i f i caz ione 4 che non ricorra a l l a quant i f i caz ione ' è es senzia le , g i acché s a r e b b e ovvia-

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Element i «lei s i s tema pred ica t ivo 181

niente pos s ib i l e sost i tuire f o r m u l e di c l a s sc -appar lencnza qual i " .νεα ' a f o r m u l e pred ica t ive qua l i ' fx ' in tutte le f o r m u l e quan-tificate che a b b i a m o c o n s i d e r a t o ' .

L 'u l t imo e s e m p i o , con l ' i m p i e g o de l la eostante 4 = ' , ci avvia in una d i rez ione in cui la notaz ione ehe s t i a m o c o n s i d e r a n d o c def ini tamente p iù comprens iva clic non que l l a del s e m p l i c e classe-s i s tema. O r i g i n a r i a m e n t e d e f i n i m m o una v a r i a b i l e pred ica t iva come una v a r i a b i l e che poteva a s sumere espress ioni pred ica t ive coinè propr i v a l o r i ; ed una e spres s ione pred ica t iva c o m e qua l s i a s i e spress ione che, a s s i eme con un 'e spre s s ione ind iv idua le , poteva formare un enunciato suscett ibi le di venire u sa to p e r f a re un'asser-zione. Ora è ovvio che molti enunciat i o r d i n a r i , c o m e ' II gallo è fra In ρ o r l a e la finestra ', ' Eteocle od ia Polinice ', ' Il tatto è pili raro che la gentilezza ', contengono piti di un 'e spre s s ione indivi-duale . P o s s i a m o , p e r e s e m p i o , cons iderare s ia ' od ia Po l in ice ' che ' L leoclc odia ' come espress ioni pred ica t ive , poss ib i l i valor i d i ' / ' in una f o r m u l a del t ipo ' fx ' . Ma l 'esistenza di quest i casi suggeri-sce un 'es tens ione del senso di ' e spres s ione pred ica t iva ' a ' qua lun-que e spres s ione clic, a s s i eme con una o più e spres s ioni ind iv idua l i , possa f o r m a r e un enuncia to suscett ibi le di venire usato per f a re u n ' a s s e r z i o n e ' . Cosi c o n s i d e r e r e m o ' è fra . . e ' , ' o d i a ' , ' è p iù raro che ' c o m e espress ioni pred ica t ive , e ' χ e fra y e ζ ' χ odia ν '. ' χ è più raro di y ' c o m e f o r m u l e pred ica t ive , e sempl i f i cant i ri-spett ivamente le f o r m u l e genera l i ' fxyz ', e ' fxy '. Le espress ioni predicat ive usate per f o r m a r e enunciat i che e sempl i f i ch ino f o r m u l e predicat ive s empl i c i con p i ù ehe una v a r i a b i l e i n d i v i d u a l e vengono ch iamate talvolta predicat i re laz iona l i , e vengono dis t inte in pre-dicati d iad ic i ( ' a due posti ' ) . t r iadic i ( " a tre posti ' ) , ecc. , a se-

' O c c o r r c a n c h e notare c h e q u a n d o s i s ia r iusc i t i a r i d u r r e u n a f o r m u l a eon q u a n t i f i c a z i o n i m u l t i p l e a d una v e r o - f u n z i o n e d i f o r m u l e i n d i p e n d e n t e -m e n t e q u a n t i f i c a t e , s c o m p a r e l a neces s i t à d i a v e r e v a r i a h i l i i n d i v i d u a l i sepa-rate. C o s i ' ( 3 .v ) (fx) r> ( 3 y ) ( g y ) ' p u ò e s s e r e r i s c r i t t a c o m e ' ( 3 . t ) ( fx) z> Í 3 * ) (gx) ' s enza a m b i g u i t à a l c u n a c i rca i l r i f e r i m e n t o d e l l e p a r e n t e s i d i quan-t i f i caz ione ne l l e d u e m e t à d e l l ' e s p r e s s i o n e .

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] 7 fi F o r m u l e pred ica t ive

conda elei n u m e r o di espress ioni ind iv idua l i che essi c o m u n e m e n t e r ichiedono per f o r m a r e un enunc ia to . Due punti d i cui occorre p r e n d e r nota sono i seguent i . In p r imo luogo , q u a l u n q u e enuncia to e sempl i f i cante una f o r m u l a re laz iona le s e m p l i c e , p.e. , 1 fx y ' , e sempl i f i ca anche 1 fx ' . In secondo luogo , l ' o rd ine del le var iab i l i in una f o r m u l a re l az iona le non è indi f ferente , ma convenzional-mente r i specch ia l 'ord ine de l le e spress ioni ind iv idua l i nel l 'enun-ciato che e sempl i f i ca la f o r m u l a . Cos i , ' fxy = fyx ' non è una for-mula a n a l i t i c a : per a lcuni va lor i d i 4 / " essa d a r e b b e luogo, con quant i f icaz ioni universa l i d i 4 .r ' e * y '. a enunciat i neces sar iamente o cont ingentemente veri , per altri a enunciat i fa ls i o auto-con-traddi t tor i .

Unendo l ' accorg imento de l le var i ab i l i d i p red ica to re laz iona le con quel lo de l la quant i f i caz ione m u l t i p l a s i ott iene, a l lo ra , un'ul-ter iore g a m m a di f o r m u l e e sempl i f i cab i l i . I l c a m p o relat ivo dei quant i f i ca tor i , (piale e indicato dal loro o rd ine , può spes so , a n c h e se non s e m p r e , c o m p o r t a r e una d i f ferenza di s igni f icato negli enuncia l i e sempl i f i cant i tali f o r m u l e . L ' enunc ia to 4 (3 .v) ( y ) (x a m a y) * non s ignif ica lo stesso che 4 ( y ) (3 .v ) (.τ a m a y) ' , s ebbene l ' enuncia lo in l inguagg io o rd inar io " Q u a l c u n o a m a ogni cosa ' po-t rebbe a m b i g u a m e n t e adat tars i a d a m b e d u e ; m a 4 (3 .v ) ( 3 y ) ( * a m a y ) ' e 4 ( 3 y ) (3 .v ) (x a m a v ) " sono equ iva lent i .

Resta da menz ionar s i un 'u l ter iore estensione del s i s tema. Ab-b i a m o visto che una f o r m u l a pred ica t iva come ' f x 3 gy ' può d a r luogo a un enuncia to s ia per sost i tuzione di e spres s ioni ind iv idua l i e pred ica t ive a l le va r i ab i l i ind iv idua l i e pred ica t ive (p . e . , ' T o m -maso a m a 3 M a r i a s o f f r e ' ) , s ia per sos t i tuz ione opera ta sol tanto con espress ioni p red ica t ive , abb ina ta a l l ' i m p i e g o di quant i f icator i relativi a l le var i ab i l i ind iv idua l i ( p . e . , * ( . t ) ( 3 y ) ( . v aína 3 y s o f f r e ) " ) . In un 'e spres s ione come ques t 'u l t ima , le var i ab i l i 4 χ ' e 4 y ', in quanto c o m p a i o n o r i spe t t ivamente p r i m a di 4 a m a ' e di * so f f re ' . son dette talvolta v a r i a b i l i legate, p r e s u m i b i l m e n t e per-ché . in un enunc ia to del genere , esse non sono libere di p rendere

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Element i « le i s i s tema predicat ivo 183

come valor i espress ioni ind iv idua l i , ma h a n n o piuttosto la fun-zione di p r o n o m i relativi ( ' che ' , ' i l q u a l e ' , e cc . ) che a loro volta si r i fer i scono a paro le c o m e ' niente ', ' nes suno ', ' q u a l c u n o ' '. La notazione stessa sugger i sce con forza quas i i r res i s t ib i le la possibi-lità. in una f o r m u l a pred ica t iva , di legare non solo va r i ab i l i indi-v idual i , ma a n c h e var iab i l i pred ica t ive . S i cons ider i l a funz ione ' fx 3 fy ', che s a r e b b e e sempl i f i ca ta da * T o m m a s o so f f re 3 M a r i a sof fre ' . Se m a n t e n i a m o quest i va lor i per le v a r i a b i l i ind iv idua l i e l egh iamo la va r i ab i l e pred ica t iva m e d i a n t e l ' i m p i e g o del quanti-f icatore un iver sa le anziché sost i tuir la con un 'e spre s s ione predica-tiva. o t ten iamo l 'enunciato ' ( / ) ( / T o m 3 / Mar ia ) ' che è equiva-lente a ' ~ ( 3 / ) ( / T o m . ~ / M a r i a ) ' e c h e p o t r e b b e esser letto " Non c'è niente che sia vero di T o m e che non sia vero di Mar ia ' .

Tut tav ia , q u a n d o nel lo s v i l u p p o del s i s tema s i s ia raggiunto ({tiesto s tad io ( c i o è del la quant i f icaz ione de l le va r i ab i l i predica-l ive) c i s i a l lontana progres s ivamente s e m p r e p iù d a l l a t raduz ione a p p r o s s i m a t a d i f o r m e di a s serz ione u s u a l m e n t e i m p i e g a t e nel l inguaggio o r d i n a r i o . I l cons iderevo le u l ter iore s v i l u p p o di cui il s i s tema è c a p a c e ha interessato i logici p r i n c i p a l m e n t e perché s embrava forn i re un mezzo per def inire i concetti f ondamenta l i della m a t e m a t i c a . Ma io non entrerò in ques to c a m p o , ch 'è pro-pr iamente que l lo del la logica m a t e m a t i c a .

I L

II sistema predicativo e il linguaggio ordinario: preliminari

5 . Q u a n d o a v e m m o comple ta to l ' e spos iz ione del s i s tema del le vero-funzioni , d i s c u t e m m o del le relazioni f ra quel s i s tema e la

' La d i s t i n z i o n e f ra v a r i a b i l i ' l e g a t e ' e ' l i b e r e ' è u t i l e p e r m e t t e r e in r i l i evo i l f a t to , e h e d o v r e b b e e s se re o v v i o , e h e u n ' e s p r e s s i o n e è u n a f o r m u l a , in q u a n t o d i s t in ta da un e n u n c i a t o , s o l t a n t o se c o n t i e n e a l m e n o u n a v a r i a b i l e l ibera . Se tu t te l e var i ab i l i d i u n ' e s p r e s s i o n e c o r r e t t a m e n t e co s t ru i t a sono legate , q u e l l a e s p r e s s i o n e è un e n u n c i a t o .

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logica del d i scorso o rd inar io . Q u e s t a d i scuss ione c o m p o r t ò un confronto f ra le regole che de te rminano i l senso de l le costanti del s i s tema e il c o m p o r t a m e n t o di certe pa ro le come ' non e ' se al m o d o del loro uso o r d i n a r i o . Risul tò ev identemente fa l sa l 'asser-z ioue che le costanti del s i s tema s igni f icassero lo stesso che le pa-role con cui venivano messe a confronto . Q u e s t e seconde non ave-vano fra loro re laz ioni cosi net tamente s i s t emat i che qua l i que l l e che le regole del s i s tema a s s i curavano a l le p r i m e .

S u p p o n i a m o di in t raprendere un s imi l e confronto per i l si-s tema clic ab i t i amo descritto in questo cap i to lo , s i s tema clic, come ab i t i amo visto, p u ò cons iderar s i inclusivo ilei s e m p l i c e classe-s i s tema descritto al cap i to lo IV . Esso ha certi tratti in c o m u n e col s i s tema vero- funzionale , c certe carat ter i s t iche u l ter ior i . Una di queste cara t tc r i s t i cbc ul ter ior i è que l l a di i m p i e g a r e due t ipi di varialt i l i in agg iunta a l l 'un ico t ipo usato nel ca lco lo propos iz io-nale . I valor i che le var iab i l i di quel ca lco lo potevano a s s u m e r e e r a n o c l auso le o propos iz ion i tali da poter s tare da sole c o m e enunciat i c o m p l e t i . C o m e cara t te r i zzeremo d i f f e renz ia lmente , p iù e sa t tamente di quanto non si s ia fatto finora, le var i ab i l i che ab-b i a m o c h i a m a t o * va r i ab i l i ind iv idua l i ' c ' va r i ab i l i pred ica t ive ', c ioè come p o t r e m m o prec i sa re la d i s t inz ione fra espress ioni indi-v idual i e p r e d i c a t i v e ? Non p o s s i a m o d a r molto peso al la pa ro l a ' ind iv idua le \ Non p o t r e m m o infatti d i re c o m u n e m e n t e che la s i m p a t i a s ia un ind iv iduo , o che il fatto che ieri p ioveva s ia un i n d i v i d u o ; ma non s e m b r a esserci rag ione a l cuna d i negare che

La s i m p a t i a è una virtù rara \ ' Il fatto che ieri p ioveva è ora d i m e n t i c a t o * pos sano essere cons idera l e come esempl i f i caz ioni d i " χ è una virtù rara ", ' .v è ora d iment ica to e perc iò di ' fx '. S e m b r a c h i a r o che la d i s t inzione fra e spress ioni ind iv idua l i e pre-dicat ive è intesa a riflettere q u a l c h e carat ter i s t ica ben rad ica l e del la s truttura di enunciat i suscett ibi l i d 'es sere usati per f a re asser-zioni ; e . p r e n d e n d o lo spunto da ' p r e d i c a t i v o ' , s i po t rebbe esser propens i a p e n s a r e che la d i s t inzione tenda a co inc idere con que l l a

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I l s i s tema pred ica t ivo 185

fra soggetto g r a m m a t i c a l e e p red ica to g r a m m a t i c a l e di un enun-ciato s ingo la re . Ma in ques ta f o r m a la s u p p o s i z i o n e non regge , per var ie r a g i o n i : c ioè ( i ) essa c i i m p e d i r e b b e d i r i conoscere nell 'og-getto g r a m m a t i c a l e di un enuncia to i l va lo re de l la seconda varia-bile i n d i v i d u a l e , q u a n d o l ' enuncia to e sempl i f i ch i una f o r m u l a pre-dicat iva r e l a z i o n a l e : ( i i ) essa c i cos t r ingerebbe ad a m m e t t e r e che "niente ' , ' n e s s u n o ' , ' ogn i c o s a ' s i ano espress ioni ind iv idua l i , men-tre a b b i a m o bisogno d i f a r l e c o r r i s p o n d e r e a i q u a n t i f i c a t o r i ; ( i i i ) in forza de l l ' autor i tà di a lcuni g r a m m a t i c i , essa ci cos t r ingerebbe ad ammet te re che nel le l ingue che premet tono p r o n o m i a i verbi clic descr ivono, ad e s e m p i o , fenomeni a tmos fer ic i ( * I t i s r a i n i n g ' , " I l pleut ' , ' E s r e g n e t ' ) , tale p r o n o m e s ia un 'e spres s ione indivi-dua le . Che noia d a r e b b e ques t 'u l t ima c o n s e g u e n z a ? E c c o : è una regola del s i s tema clic q u a l u n q u e enuncia to «Iella f o r m a ' f x ' es ige i l cor r i spondente enuncia to del la f o rma ' ( 3 . v ) ( f x ) ' ; ma non sa-remmo propens i a d ire che ' Il p l e u t ' es iga ' Il y a au moins une chose qui p l e u t ' ! P o t r e m m o tentare d i a f f ron ta re ques te ed al tre difficoltà una p e r una , per e s e m p i o c o s i : ( i ) e s igendo che ogni e spres s ione ind iv idua le s ia g r a m m a t i c a l m e n t e c a p a c e d i e sp le ta re la funz ione di soggetto di un verbo s ingo lare , ma non che essa debba e l fct t ivamentc f a r lo in q u a l u n q u e enuncia to in cui a p p a i a come espres s ione i n d i v i d u a l e ; ( i i ) e s c l u d e n d o e s p r e s s a m e n t e espress ioni sul genere d i ' n i e n t e ' ; ( i i i ) r i ch iedendo che in ogni enunciato in cui un 'espres s ione a p p a i a c o m e soggetto g rammat i -cale di un predicato ' / ' , e s sa , per potere in quel caso va le re da e spres s ione ind iv idua le , deliba essere una pos s ib i l e r i spos ta a una poss ib i le d o m a n d a «Iella f o r m a ' C h e cosa ( e h i ) /? ' I l terzo requi-sito ver rebbe incontro a l l a terza d i f f i co l tà ; infatti né in inglese, né in francese , né in tedesco si possono f a r e d o m a n d e sul t ipo «li ' Chi p i o v e ? ' a l le «]uali si possa r i spe t t ivamente r i s p o n d e r e coi p ronomi ' lt ', o ' 11 o " Es '. Ma espedient i «lei genere sono chia-ramente inso«ldisfacenti . I l o fatta menz ione di ess i , e de l le diffi-coltà ebe l i sugger i scono , sol tanto per f a r meg l io cog l iere i l punto

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che non è fac i le f o r m u l a r e un cri ter io per d i s c r i m i n a r e ' espres-s ione i n d i v i d u a l e i l q u a l e sia ad un t e m p o netto ed accura to . E forse non è n e p p u r e necessar io . F i n c h é non si assoggett i la nostra descr iz ione ad un e s a m e t r o p p o cri t ico, possiamo descr ivere una dis t inzione assai f ac i lmente r iconosc ib i le nel l inguagg io o rd inar io che s i può p r e s u m e r e , senza s forza ture , riflettuta da l l a d i s t inzione fra var iab i l i ind iv idua l i e pred ica t ive . Nel f a re le comuni asser-z ioni , è nostra costante p reoccupaz ione di riferirci a q u a l c h e par-t ico lare per sona , oggetto o luogo, a q u a l c h e p a r t i c o l a r e ep i sod io , s i tuaz ione o is t i tuzione, a q u a l c h e par t i co la re qua l i t à o fatto, e di ascrivere a tale t e rmine q u a l c h e p ropr i e t à , o di descriverlo o classificarlo in q u a l c h e m o d o , o anche , in f o r m a p iù vaga e meno r igorosa , di dire qualcosa su di esso . O p p u r e può esser nostro intento, nel f a re una sola e m e d e s i m a as serz ione , di r i fer ire i a due o più par t ico lar i oggett i , o q u a l i t à , ecc., e di d i re che essi sono re laz ionat i in q u a l c h e m o d o , come q u a n d o d i c i a m o clic T o m è più alto di Dino o che il tatto è più raro de l la genti lezza . Pos-s i a m o a l lora d i s t inguere , a l la buona , fra la funz ione di r i fer imento che le e spres s ioni ¡tossono avere in un 'as serz ione , e la funzione ascrit t iva o d e s c r i t t i v a : e ¡ toss iamo d i re clic in quanto un'espres-s ione r i sponda a l l a p r i m a funz ione , essa a p p a r e c o m e un'espres-s ione i n d i v i d u a l e : e in quanto un 'e spre s s ione r i sponda al la se-conda funz ione , essa a p p a r e come un 'e spre s s ione pred ica t iva .

È impor tante notare clic la descr iz ione s o p r a forni ta non pone nessun l imite ai generi di cose cui ci si p u ò r i fe r i re . Non dà nes-suna spec i a l e pre ferenza a l la concretezza . S a r e b b e corretto d i re , per tutti i l inguagg i in cui esista la d i s t inz ione fra e spress ioni sostant ival i e non sos tant iva l i , che ogniqua lvo l ta ci r i f e r i a m o , nel senso in cui qui u s i a m o la ¡taróla ' r i fer i r s i ' , u s i a m o un nome, un p r o n o m e , una f rase-nome, o una propos iz ione-nome, c ioè una e spres s ione sostant iva o sostant iva le . F i n o a ques to punto la distin-zione fra e spre s s ione ind iv idua le e e spre s s ione pred ica t iva è una s e m p l i c e d i s t inz ione g r a m m a t i c a l e ; ma sol tanto fino a questo

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Il s i s tema predicat ivo 187

punto. È tentante, ma s a r e b b e scorretto , d i re c h e ogniqua lvo l ta u s i a m o un 'e spres s ione sostant iva o sos tant iva le , s t i a m o f aeendo un r i fe r imento . Ciò s a rebbe scorretto per rag ioni già mes se in r i l ievo. • Niente ' e ' nessuno ' sono espress ioni sostant ival i ; ma q u a n d o d i c i a m o * nessuno ' non ci r i f e r i a m o ad a l cuno . Cos í i p r o n o m i ' it ', ' il ', ' es ' di cui si d iceva , sono, nel le d iverse l ingue men-zionate , e spress ioni sostantival i ; ma q u a n d o s i u sano con verbi che descr ivono lo stato a tmos fe r i co non li r i f e r i a m o certo a niente di cui si possa d i re ' ebe p iove Cos i non tutte le e spres s ion i gram-mat i ca lmente sostant ival i possono avere un uso r e f e r e n z i a l e ; e non tutti gli usi de l le espress ioni sostant ival i sono usi re ferenz ia l i , come s 'è visto per i p r o n o m i menzionat i s o p r a , che p u r e possono essere usati a s copo di r i f e r imento . Ma la g r a n d e m a g g i o r a n z a del le e spress ioni sostant ival i può essere usata r e fe renz ia lmente , e la gran m a g g i o r a n z a degl i usi di tal i e spress ioni è cost i tuita da usi re ferenz ia l i . Ne viene ebe q u a l i t à , s i tuaz ioni , fa t t i , event i , ecc. , possono essere termini di r i fe r imento , non m e n o che eose e per-sone. E dal fatto che p u ò esser fatto r i f e r imento a q u a l c o s a , non der iva nessuna conclus ione f i losof ica circa la na tura di questo qual-cosa . Tut to ciò che vicn mostrato è la necess i tà l inguis t ica di avere un sostant ivo. I punti q u i r i levati si r ipercuotono sui m o d i in cui ci s c o p r i a m o a leggere enunciat i che incorpor ino quant i f ica tor i e, perciò, va r i ab i l i ind iv idua l i legate . Al posto de l la spec i f i ca espres-s ione re ferenz ia le a b b i a m o bisogno d i q u a l c h e n o m e mol to gene-rale ehe segua a l la frase ' Es i s te (o non e s i s t e ) a l m e n o un . . . ' Ma q u a l c h e volta la lettura t ip ica p e r certe e spre s s ion i , c o m e ad e s e m p i o per i l quant i f ica tore nega t ivamente es i s tenzia le que l l a di * Non c 'è niente che . . . ' , s e m b r a i n a p p r o p r i a t a . Ci s c o p r i a m o invece a leggere ' N o n c 'è nessuno che . . . ' , ' N o n c 'è nessuna creatura che . . . ' , o p p u r e , for se , ' N o n c 'è nessuna qua l i t à ehe . . . ' La scelta del la f ra se che segue a " Non c 'è . . . ' è det-tata da l l a cons ideraz ione del la ca tegor ia genera le a l l a q u a l e una q u a l u n q u e cosa deve a p p a r t e n e r e perché l ' e spres s ione pred ica t iva

Μ

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che segua possa essergl i a p p l i c a b i l e . L ' a m b i t o ili tali ca tegor ie non s a rà meno estensivo de l l ' ambi to de l le ca tegor ie a l le cpiali i termini di r i f e r imento possono a p p a r t e n e r e .

6. La d i s t inz ione fra e spres s ioni ind iv idua l i e pred ica t ive e. perc iò , f ra var i ab i l i ind iv idua l i e p red ica t ive può a l lora venir sp iega ta in termini di d i s t inz ione fra la funz ione re ferenz ia le ebe le e spres s ioni pos sono e sp le ta re nel l inguagg io , da un lato, e le sue funzioni ascr i t t iva , descr i t t iva , o c las s i f ica tor ia da l l ' a l t ro . Ma la sp iegaz ione ili questa d i s t inz ione , s ebbene cost i tuisca un necessar io p r e l i m i n a r e al confronto del s i s tema logico descri t to in questo cap i to lo con la logica del l inguagg io o r d i n a r i o , di per sé so la non porta a lcun contr ibuto a l confronto stesso. Se c i l imi ta s s imo ad a m p l i a r e lo s t r u m e n t a r i o dei s imbol i c de l le regole del s i s tema vero- funzionale con quest i due t ipi ul ter iori di va r i ab i l i , non sa-r e m m o c a p a c i d i p r o d u r r e nessuna u l ter iore regola logica sa lvo clic regole tali da cost i tuire s e m p l i c e m e n t e versioni più l imitate ( nel senso più stretto ) del ca lco lo p r o p o s i z i o n a l e ( p.c. , ' fx . gx zd fxvg.t'). Non a v r e m m o qu ind i c a m p o a lcuno per altri confronti che v a d a n o p iù in là ili quel l i g ià fatti nel cap i to lo I I I . Tu t te le leggi peculiari al s i s tema discusso involgono la quant i f i caz ione . È perc iò la logica ili que l le c h e p o t r e m m o c h i a m a r e le costanti de l la quant i f i caz ione ( * (3 .v ) e ' ( . v ) ' ) c iò che noi d o v r e m m o con-frontare con i l c o m p o r t a m e n t o de l le e spress ioni nel l 'uso o rd inar io . Già c i s i a m o fami l i a r i zza t i con l ' in terpre taz ione di queste co s t an t i : " (3 .v) ( f x ) ' deve essere letto " C 'è ( e s i s t e ) a l m e n o una cosa ( p e r -sona . e c c . ) c h e / * ; la sua negaz ione c o m e ' Non c 'è ( e s i s t e ) niente ( n e s s u n o ) che / ' : ' ( . r ) ( / x ) ' deve essere letto " N o n c 'è ( e s i s t e ) niente ( n e s s u n o ) di cui non s ia vero che esso ( e g l i ) / " ; e la sua negaz ione c o m e " C ' è ( e s i s t e ) a l m e n o una cosa ( p e r s o n a ) d i cui non è vero che essa / ". Ora queste e spres s ioni ' C 'è a l m e n o una cosa che . . ' N o n c 'è niente che . . . ' ecc. , r icorrono nel lin-guagg io o r d i n a r i o , ma r a ramente . E p o t r e m m o cons iderare s t rano

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I l s i s tema pred ica t ivo 189

elie tutta la m o d e r n a logica f o r m a l e , d o p o l a sc ia ta la logica pro-pos iz iona le e p r i m a di penet rare nel c a m p o de l l ' ana l i s i dei con-cetti m a t e m a t i c i , debba l imitars i a l l ' e l a b o r a z i o n e di ins iemi di regole clic danno le interre laz ioni log iche di f o r m u l e che , anche se comples se , cominc iano tutte con queste p o c h e f ras i piuttosto s forzate e goffe .

S p e r o di poter dare piti innanzi una s p i e g a z i o n e di questa stra-nezza. Anzitutto, devo a m m e t t e r e che molt i p o t r e b b e r o osservare clic io I lio e sagera ta ' . Infat t i , po t rebbero r e c l a m a r e , es is tono lar-ghe e important i classi di enunciat i clic e s e m p l i f i c a n o le fo rmule pos i t ivamente e negat ivamente es is tenzial i de l la logica de l la quan-tif icazione " ; e la notaz ione dei quant i f ica tor i ha il mer i to di ren-tier pos s ib i le clic le relazioni logiche di tali enuncia t i s i ano messe piti s i s t emat icamente e c h i a r a m e n t e in ev idenza di que l c h e non sa rebbe pos s ib i l e senza di esso. In tal m o d o si p re tende talvolta che la c lasse larga e impor tante de l le asserzioni genera l i ( c i o è , asser-zioni che s tabi l i scono clic la total i tà o nessuno dei m e m b r i di una certa c lasse h a n n o una certa p ropr ie t à o sono m e m b r i di un 'a l t ra c l a s se ) sono in realtà asserz ioni nega t ivamente es i s tenzia l i . Q u e l l e che vengon fatte na tura lmente m e d i a n t e un enunc ia to che inco-mincia con ' tutti ' s a r e b b e r o in real tà de l la f o r m a ' ( x ) ( f x 3 gx) ' o d i que l l a equ iva lente ' ~ ( 3 x ) ( f x . ~ g . v ) ' ; (pielle che natural-mente son fatte med iante un enuncia to clic inizia con * nessun ' o ' n e s s u n o d e i ' s a r e b b e r o del la f o r m a * ( x ) ( f x 3 ~ g . t ) ' o p p u r e

~ (3 .v ) ( / . v . gx) \ Le asserzioni fatte n a t u r a l m e n t e con enunciat i

' Κ q u e s t o è v e r o ; inn l'Ilo e s a g e r a t a m e n o di q u a n t o non si s i a so l i t i mini-mizzar l a . F. le r a g i o n i per le q u a l i la s t r anezza non è a d a t t o co s i g r a n d e non sono all'atto le r ag ion i c o m u n e m e n t e a d d o t t e . V e d i i t re c a p i t o l i s e g u e n t i .

l e f o r m u l e ( o e n u n c i a t i ) c h e c o m i n c i a n o c o n " ~ ( 3 . r ) * O con ' ( * ) " p o s s o n o v e n i r c h i a m a t e ' n e g a t i v a m e n t e e s i s t enz ia l i " , g i u c c h e e s se d e v o n o e s s e r lette " N o n es i s te n i e n t e c h e . . . " e c c . ; l e f o r m u l e ( o s e n t e n z e ) c h e comin-c iano con " ( 3 . v ) ' o con ' ~ ( . v ) ' p o s s o n o v e n i r c h i a m a t e ' p o s i t i v a m e n t e esi-s tenzia l i ' . g i acché e s se d e b b o n o ven i r le t te ' E s i s t e a l m e n o u n a cosa che . . . ecc .

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F o r m u l e pred ica t ive

cominc ient i con le pa ro le * q u a l c h e \ ' q u a l c o s a ' o " qua l cuno ' sa-rebbero , d 'a l t ra par te , pos i t ivamente es i s tenzia l i . T a l u n e d i queste pretese sono c h i a r a m e n t e le stesse «li a l cune già menz ionate nel cap i to lo IV" ' . E s a m i n i a m o ora brevemente , nel caso di una di esse, quanto p l a u s i b i l e o non p l a u s i b i l e s ia . S i s u p p o n g a che qua lcuno d i c a : ' Tut t i i l ibr i ne l la sua s tanza sono di au tore inglese ' ( A l ) . Un'accet tabi le p a r a f r a s i «li ta le a s serz ione s a r e b b e : ' N o n c 'è un ( s o l o ) l ibro nel la sua s tanza che non s ia d i au tore i n g l e s e ' ( A 2 ) . Se nella f o r m u l a * ~ ( 3.r ) ( f x . ~ gx ) ' d i a m o ad ' / ' il va lore di 'è un l ibro nel la sua s t a n z a ' ed a ' g ' que l lo di 'è «li autore in-glese * , o t ten iamo l 'enunciato ' Non c 'è niente che s ia ins ieme un l ibro nella sua s tanza e non sia «li au tore i n g l e s e ' ( A 3 ) . E quest i due enuncia t i , A2 e A3 , s e m b r a n o mol to p r o s s i m i . Tu t t av i a , me-diante le rego le del s i s t ema , ' ~ ( 3 . v ) ( / . r ) ' e s ige ' ~ ( 3 . r ) ( f x . ~ gx)'', s icché impiegar« ; l ' enunciato che fa uso «Iella «piantifica-zione e legger lo c o m e A3 s ign i f i cherebbe f a re un 'a s serz ione vera pers ino se la s tanza in «picstione non contenesse l ibri a l fat to . Ma s e m b r e r e b b e grottesco sostenere che c h i u n q u e dicesse ' Tutt i i l ibr i nel la sua s tanza sono di autore inglese ' a v r e b b e fatta un 'a s serz ione vera se la s tanza in quest ione fosse s forni ta di l ibr i ; e a p p a r i r e b b e come un giochetto di cattivo gusto l ' a rgomentaz ione ' Non c 'è nem-meno un l ibro nel la sua s t a n z a ; qu ind i non c 'è nel la sua s tanza alcun l ibro che non s ia di au tore inglese ' . C iò ci r ammenta che le interpretaz ioni a p p r o s s i m a t e , in l inguagg io o r d i n a r i o , de l le espres-sioni s i m b o l i c h e di un s i s tema ( q u a l e l ' in terpretaz ione clic s i con-creta in A 3 ) possono essere fuorv ient i , e che esse possono aver bi-sogno «li venir corrette , re-intese, a l la luce de l le regole del s i s tema. Q u i infatti a b b i a m o due enunciat i in l inguagg io o rd inar io ( A l e A 2 ) che s e m b r a n o in te r scambiab i l i , e «li cui uno s e m b r a mol to s imi l e a l la lettura ( A 3 ) propos ta per un enunc ia to de l la f o r m a * ~ ( 3 . v ) ( f x . ~ gx) ' . Tut tav ia condiz ione necessar ia «Iella verità d i

1 C f r . p . 141 .

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I l s i s tema pred ica t ivo 191

un 'asserz ione fat ta i m p i e g a n d o s ia i l p r i m o che i l secondo s e m b r a essere que l l a che ci s i ano libri nel la s tanza cui ci s i r i f e r i s c e ; men-tre, ben lungi dal dover essere neces sa r i amente sodd i s f a t t a perché l 'asserzione in forma quant i f ica ta s ia vera , ora a b b i a m o che quel la condiz ione es ige la verità di tale a s serz ione p r o p r i o ove essa non sia sodd i s f a t t a .

Per s a l v a r e l 'anal i s i quant i f i caz iona le in quest i cas i , a lcuni hanno ritenuto sufficiente accordar s i sul neces sar io a d e m p i m e n t o della cond iz ione es i s tenzia le , a l m e n o per un m e m b r o de l la classe-soggetto. pervenendo a un enuncia to de l la f o r m a ' ~ ( 3 . v ) ( / . t μχ) . ( 3 x ) ( f x ) ' . Ciò s i r i solve, per quanto r i g u a r d a i l nostro esem-pio, ne l l ' agg iungere la c lauso la ' e c 'è a l m e n o un l ibro nel la sua stanza ' . P o t r e m m o ancora es i tare , con q u a l c h e buon f o n d a m e n t o , a d i re clic il r i sultato rende il s ignif icato de l l ' enunc ia to or ig ina le ' .

Q u a l c h e vol ta , a f avore di questo s i m b o l i s m o , v iene avanzato un titolo clic fa m a g g i o r impres s ione di quel l i f inora m e n z i o n a t i : cioè, ehe molti enunciat i che a p r i m a vista p r e n d e r e m m o per esem-plif icazioni incontrovert ibi l i ili una s e m p l i c e f o r m u l a pred ica t iva , in realtà r ichiedono un 'anal i s i in termini di quant i f i caz ione se si vuol rendere espl ic i ta l a loro f o r m a . Cos i l a f o r m a d i ' U n u o m o c a d d e ' dev 'esser r ivela la scr ivendo ' ( 3 . v ) ( . v è un u o m o . χ cad i l e ) ' ; e la f o rma di ' Il Re d ' Ingh i l t e r ra sorr i se ' dev 'esser fatta espl ic i ta da l l ' e spres s ione ' (3.v)[ .v è Re d ' Ingh i l t e r ra . ( y ) ( v è Re d ' Inghi l terra = .r = y) . χ s o r r i s e ] '. C o n s i m i l e t ra t tamento è da accordars i a tutti gli enunciat i con soggett i s ingo la r i introdotti da un art icolo indefinito o def inito. Ques t i a rgoment i li d i scuteremo pili avanti .

Fra l 'a l tro, po i , si sost iene a favore del m o d e r n o s i s tema ili quant i f icaz ione che esso formal i zza la logica degl i enunciat i ordi-nari cominciat i t i con ' tutti ', ' q u a l c h e ' e ' nessuno '. Ma c'è un altro e più antico s i s tema per i i q u a l e si u sava f a r va lere questo

' C f r . r a p i t o l o V I .

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] 7 f i F o r m u l e pred ica t ive

t itolo, c ioè i l s i s tema del le propos iz ion i ca tegor iche che d o b b i a m o ad Aris tote le , e che i m p i e g a schemi da l l ' a r i a tanto f a m i l i a r e (a confronto con quel l i de l l a logica f o r m a l e m o d e r n a ) , c o m e possono essere ' tutti gli s sono ρ ' e ' q u a l c h e s è ρ La dottr ina m o d e r n a ortodossa vuole che . q u a n d o i l vecchio s i s tema s ia r ipul i to da oscu-rità e cont radd iz ion i , esso finisca col mostrars i come sempl ice-mente una p iccola par te del la logica quant i f i caz iona ie , tutte le sue f o r m u l e essendo interpre tab i l i in termini di f o r m u l e di quest 'ul-t imo. Q u e s t a dot t r ina , tut tavia , poggia di sol i to su l la tacita pre-s u p p o s i z i o n e che i l s i s tema quant i f i caz iona le sia in q u a l c h e senso que l lo ' c o r r e t t o * . Non p o s s i a m o in real tà es ser certi di come deb-bano interpretars i le f o r m u l e ar i s tote l iche p r i m a di aver s tudia to le regole del s i s tema ar i s tote l ico . Potrebb 'eesere poss ib i le t rovare per esso un ' in te rpre taz ione congruente in cui s i a b b i a n o costanti che si avvic in ino mol to bene al ' tutti 1 e al ' q u a l c h e ' «lei d i scorso o rd inar io , nel mentre che le sue f o r m u l e d i f f e r i s cano per signifi-cato da l l e f o r m u l e de l l a logica quant i f ì caz iona le a l le qua l i esse vengono c o m u n e m e n t e a s s imi la te . P o s p o r r e m o perc iò un pieno e s a m e del la pretesa che i l s i s tema de l la quant i f i caz ione formal izz i la logica de l l e asserz ioni genera l i , ad un e s a m e del s i s tema tradi-z iona le . Po t remo a l lora conf rontare a m b e d u e con i l nostro im-piego o rd inar io di ' tutti \ ' q u a l c h e ', ecc.

7 . Occorre p r i m a f issare un u l t imo punto . Ho detto che i l quant i f i ca tore es i s tenzia le deve venir letto ' C ' è ( e s i s t e ) a l m e n o una cosa ( p e r s o n a ) che . . . ' Ora nel l inguagg io o rd inar io noi i n d i c h i a m o c o m u n e m e n t e i l r i f e r imento t e m p o r a l e di un verbo con una d i f f e renza nella con iugaz ione . D i s t i n g u i a m o fra ' Es is te . . . " e ' Es i s teva . . . ', f ra ' C ' è . . . ' e ' Ci s a rà . . . ' ; e nei con-testi in cui queste dist inzioni sono impor tant i a s s u m i a m o che ' C 'è . . . ' si a p p l i c h i , a l l ' inc i rca , a l lo stesso lasso di t e m p o in cui si par l a o si scr ive. In a lcuni contesti la ques t ione del r i f e r imento t e m p o r a l e non sorge . P e r e s e m p i o , l ' enunciato * C'è a l m e n o un nu-

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Il s i s tema pred ica t ivo 193

mero p r i m o fra 16 e 20 ' non s ignif ica che ce n 'è uno in questo momento . Né s ignif ica c h e un tale n u m e r o p r i m o c 'è s e m p r e stato, e"è ora , e ci s a r à s e m p r e . Infatti non ha senso a l cuno p a r l a r e del-l ' inizio o de l la fine o del p e r m a n e r e di un s i f fa t to n u m e r o . Po-t remmo d i re che in questo contesto ' C ' è . . . " è senza t e m p o ; e elie senza t e m p o , nello stesso contesto, è ' (3 .v ) Ma c o n s i d e r i a m o i contesti in cui sorge la ques t ione del r i f e r imento t e m p o r a l e . C o m e d o b b i a m o e s p r i m e r e nel s i m b o l i s m o dei quant i f ica tor i la d i f ferenza fra ' C ' è 1 , ' C ' e r a ' , ' C i s a r à ' ? P o t r e m m o r icorrere a un ' indicaz ione di t e m p o posta nel la p r o p o s i z i o n e d i p e n d e n t e che segue i l quant i f icatore . P e r e s e m p i o , p o t r e m m o tentare di scr ivere l 'enunciato * C 'era a l m e n o una donna fra gli s c a m p a t i " nel la f o rma " I 3.v)(.v è una donna . χ era fra gli s c a m p a t i ) '. Ma d i re ' C 'è al-meno una per sona che è una donna ed era fra gli s c a m p a t i ' signi-fica quanto m e n o sugger i re che la persona in ques t ione è viva nel momento in cui l 'enunciato è p r o f e r i t o : nessun s u g g e r i m e n t o del genere è invece compor ta to da l l ' enunc ia to o r ig ina le . Mutando il secondo ' è " in ' e r a ' non si r i m e d i a : si p rovoca so l tanto la do-manda ' Cosa è successo poi di l e i ? I l a c a m b i a t o s e s s o ? ' Né la dif-ficoltà può essere evitata d i c h i a r a n d o che ' ( 3.v) ' in quest 'enun-ciato è a t e m p o r a l e ; non è vero che q u a n d o p a r l i a m o di persone e di incidenti la ques t ione del r i f e r imento t e m p o r a l e non sorga . Una poss ib i le via d 'usc i ta è d i re che " (3 .v ) ', nei contesti in cui non è a t e m p o r a l e , ha t empora l i zzaz ionc a m b i g u a , s i gn i f i cando o ' C ' è '

0 ' C 'era ' o ' Ci s a r à ' , e che d o b b i a m o fondarc i sul contesto, op-pure in t rodurre q u a l c h e indicaz ione spec i a l e , per e l iminare , q u a n d ' è necessar io , tale a m b i g u i t à . Non è s e m p r e neces sar io eli-m i n a r l a : o piuttosto, l ' indef initezza t e m p o r a l e non è s e m p r e am-biguità t e m p o r a l e . S i p u ò infatti d i s t inguere anche un al tro im-piego del t empo g r a m m a t i c a l m e n t e presente , col q u a l e non si in-tende f a re nessun par t i co lare r i fer imento al m o m e n t o in cui s i fa 1 asserz ione in quanto d iverso da un qua l s i a s i a l t ro m o m e n t o , an-che se accad iment i t empora l i inf luiscono d i re t t amente su l la verità

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] 7 fi F o r m u l e pred ica t ive

di ciò che vien detto. Se , per r i tornare ad un e s e m p i o precedente , dico ' Nes suno aína senza che q u a l c u n o so f f ra ' , non intendo asse-rire s e m p l i c e m e n t e c h e nessuno in questo m o m e n t o a m a senza che q u a l c u n o so f f r a . In tendo asser i re piuttosto che nessuno ha amato , a m a e a m e r à senza a c c o m p a g n a m e n t o de l l ' a l t ra c i rcostanza . Cosi la negaz ione di ' ( 3 . r ) ' , in terpreta la questa volta disgiuntivamente come ' C 'è o c 'era o ci s a rà ' , r iusc irà ut i le a l lo s copo . In un con-testo d i tal genere , non p a r l e r e m m o n e p p u r e d i ' ( 3 . r ) ' c o m e t e m p o r a l m e n t e a m b i g u o più di quel che non s i tacci d ' a m b i g u o questo c o m u n i s s i m o i m p i e g o del t e m p o presente con r i fer imento t e m p o r a l e genera le che r icorre nel l inguagg io o r d i n a r i o . Gli enun-ciati in cui il t e m p o presente è usa to in questo m o d o po t rebbero c h i a m a r s i enunciat i ' s e n z a restr iz ione t e m p o r a l e ' o ' onnitein-pora l i ' .

S e m b r a a l lora che dal punto di vista del r i f e r imento t e m p o r a l e l ' accorg imento de l la quant i f i caz ione s ia r ag ionevo lmente ben adot-tato q u a n d o si a b b i a a clic f a re con gli enunciat i a t e m p o r a l i , per e s e m p i o , de l la m a t e m a t i c a , c con enunciat i senza restr izione tem-p o r a l e ; ma piuttosto ma l r i spondente a quegl i enuncia l i in cui sia fornito un r i f e r imento t e m p o r a l e , re lat ivo al m o m e n t o in cui vengono pro fer i t i , m e d i a n t e i l t e m p o verba le prescel to . Q u e s t o punto non è pr ivo d ' i m p o r t a n z a . V e d r e m o più innanzi c o m e si tratti di un ca so par t i co l a re di una p iù genera le l imi taz ione del c a m p o del la logica f o r m a l e .

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VI. Soggetti, predicali ed esistenza

I .

Il sistema tradizionale delle proposizioni categoriche'

1 . La log ica f o r m a l e t r a d i z i o n a l e c o m p r e n d e d u e part i prin-c i p a l i . una d e l l e qua l i venne s v i l u p p a t a c o n s i d e r e v o l m e n t e più de l l ' a l t r a . L a p a r t e meno s v i l u p p a t a t ra t tava p iut tos to s o m m a r i a -mente d e l l e f o r m e di p r o p o s i z i o n e ipo te t i che e d i s g i u n t i v e 2 . Con-sisteva p r i n c i p a l m e n t e ne l l ' e l encare un p i cco lo n u m e r o d i f o r m e va l ide di i n f e r e n z a ( p . e . , 4 Se ρ a l l o r a q; ma n o n - g ; .·. n o n - p ' ) e nel f a r r i l e v a r e eer te c o m u n i f a l l a c i e ( p . e . , q u e l l a d i i n f e r i r e g ius ta lo s c h e m a ' S e ρ a l lo ra q ; c q ; .'. p ' ) . La p a r t e p i ù s v i l u p p a t a trattava de l l e re l az ion i log i che d i certe f o r m u l e le cui v a r i a b i l i p r e n d e v a n o c o m e va lor i non enunc ia t i c o m p l e t i , ma par t i d i enun-ciat i . La p r i m a di ques te d u e par t i invita a l c o n f r o n t o con i l mo-derno c a l c o l o p r o p o s i z i o n a l e , la s e c o n d a con i l m o d e r n o ca l co lo p red ica t ivo . Ma ment re fra i l c a l co lo p r o p o s i z i o n a l e e i l c a l co lo pred ica t ivo sono s tab i l i t e , c o m e a b b i a m o vis to , s t re t te conness ion i f o r m a l i , ne s suna connes s ione del genere è t r acc i a ta nel la log ica t r a d i z i o n a l e f r a l e sue d u e p a r t i . La p a r t e d i cui o ra c i o c c u p e r e m o è la s e c o n d a , q u e l l a p i ù s v i l u p p a t a , cos t i tu i ta da l s i s t e m a tradi-z iona le de l l e p r o p o s i z i o n i c a tegor i che .

In ques to s i s tema s i r i conoscono q u a t t r o f o r m e d i p ropos i -

' P e r q u a n t o c o n c e r n e l ' a s p e t t o ( o r i n a l e d i q u e s t o c a p i t o l o , r i c o n o s c o i l p i ù l a r g o d e b i t o v e r s o l ' e c c e l l e n t e m o n o g r a f i a d e l d o t t . Mlt .LER, The Structure οI Aristotelian Logic.

' I n f e r e n z e d e l t i p o t r a t t a t o ila q u e s t a p a r t e d e l l a l o g i c a t r a d i z i o n a l e »011 d e t t e t a l v o l t a ' s i l l o g i s m i i p o t e t i c i ' .

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106 Sne2c i i ¡ . p red ica t i , es i s tenza

zinne, o f o r m u l e d 'a s serz ione . Es se sono r i spet t ivamente indicate c o m e le f o r m e Λ. E. I ed 0 , e possono venir scritte come s e g u e :

Ogni .ν è y Nessun χ è y Q u a l c h e .v è y Q u a l c h e χ non è y

Ho del lo che i l s i s t ema invita al confronto con il ca lcolo pre-dicat ivo. Ma ci sono important i d i f ferenze fra i due . Una di queste d i f ferenze è che nel s i s tema t rad iz iona le non c 'è a lcuna distin-zione fra i t ipi di v a r i a b i l i . A fungere da var iab i l i ho scelto le lettere minusco le ' χ ' , " y \ ecc. , e c iò può r a m m e n t a r e le var i ab i l i ind iv idua l i del s i s tema de l la quant i f i caz ione : ma in rea l tà esse sono p iù s t ret tamente a n a l o g h e a l l e va r i ab i l i predica-tive di quel s i s tema o a l le var i ab i l i di c lasse del c lasse-s is tema. I.e e spres s ioni clic pos sono r i m p i a z z a r e le var i ab i l i nel le f o r m u l e s o p r a r ipor ta te , in m o d o «la f o r m a r e enunc ia t i , sono c h i a m a t e termini·, e po s s i amo perc iò c h i a m a r e ' χ \ ' y \ ' ζ ' termine-varia-hili. I fautori del s i s t ema d i r e b b e r o c o m u n e m e n t e che enunciat i come

Ogni a lcool è velenoso Tutt i gli e le fant i sono longevi T u l l e le tigri r inghiano Tutt i gli ospit i si sef lettero

sono enunciat i «Iella f o r m a A. E ciò ha bi sogno di un co mmento . È ovvio infatti che , sa lvo il p r i m o , nessuno di «piesti enunciat i e sempl i f i ca la f o r m u l a " O g n i χ è y' nel senso diretto «li essere da que l l a ot tenibi le m e d i a n t e sost i tuzione di pa ro le a l le var i ab i l i . La f o r m u l a non permet te d i f ferenze di t e m p o verba le e di n u m e r o g r a m m a t i c a l e : né a m m e t t e r e b b e l ' enorme c lasse di enunciat i ini-z i a m i con ' O g n i ' ( o ' T u t t i ' ) che non contengono , c o m e verbo p r i nc ip a l e , i l verbo essere . P o t r e m m o tentare di r i f o r m u l a r e gli enunciat i in m o d o ta le che a l la f ine si adat t ino ad uno dei «lue

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s chemi ' Ogni i è y ' o ' Tut t i gli χ sono y ' ; m a i r i su l ta t i sareb-bero , da un punto di vista l ingui s t i co , s p e s s o goffi e t a lvo l t a a s s u r d i . Inol tre c 'è u n ' a l t r a dif f icoltà de l lo stesso g e n e r e . Lo s v i l u p p o «lei s i s t e m a r i c h i e d e che s i s i a in g r a d o sovente ili p r e n d e r e d u e ter-mini c o m e ident ic i q u a n d o essi c o m p a i o n o in p a r l i d i f f e rent i d i e n u n c i a t i ; p .e . , che s i r i conosca c o m e ident ico i l s e c o n d o t e r m i n e di ' Tut t i gli u f f ic ia l i p a r t i r o n o p r i m a di m e z z a n o t t e ' e il p r i m o t e r m i n e d i ' T u t t i que l l i cl ic p a r t i r o n o p r i m a d i m e z z a n o t t e e r a n o sobr i ' . P e r a s s i c u r a r e l 'esat ta identi tà v e r b a l e in tutti i cas i di ques to genere s a r e b b e r o n e c e s s a r i e u l t e r io r i contor s ion i d i l inguag-gio. S e m b r a p e r c i ò p r e f e r i b i l e non c o n s i d e r a r e l e q u a t t r o f o r m u l e c o m e m o d e l l i c h e occorre e s e m p l i f i c a r e con s tret ta a d e r e n z a o nde ot tenere u n e n u n c i a t o q u a l i f i c a b i l e c o m e de l l a f o r m a corr i spon-dente , ma p iut tos to c o m e m o d e l l i r a p p r e s e n t a t i v i nei cui t e rmini d e b b a n o e s ser t racc ia te le re laz ioni l o g i c h e d i l a r g h e c lass i d i a s serz ion i che p r e s e n t a n o le s i rn ig l i anze ind ica te , a n c h e se non r i g i d a m e n t e def in i te , da q u e i m o d e l l i s tess i .

Gl i e s e m p i forni t i r i c h i e d o n o un td ter iore c o m m e n t o . No i ab-b i a m o qu i a c h e f a r e , pe r la p r i m a vol ta , con un s i s t e m a f o r m a l e in cui le cos tant i ( ' ogni \ ' q u a l c h e ' , e c c . ) s o n o p a r o l e c h e ricor-rono nel l i n g u a g g i o o r d i n a r i o . Q u e s t o fatto da so lo non dà g a r a n z i a che esse a b b i a n o ne l l ' in terno del s i s t e m a e s a t t a m e n t e lo stesso senso che h a n n o nel l i n g u a g g i o o r d i n a r i o ; né dà g a r a n z i a clic l ' enuncia to ' A l c u n e tigri r i n g h i a n o ' , p e r e s e m p i o , p r e s o c o m e un enunc ia to de l l a f o r m a I , a b b i a p r o p r i o lo s tesso s e n s o che esso a v r e b b e n e l l ' i m p i e g o o r d i n a r i o . Non p o s s i a m o es ser s i cur i de l la in te rpre taz ione d e l l e costant i de l s i s t ema f inché non s i s i a n o stu-diate le regole del s i s t e m a , non si s ia visto (pial i m o d e l l i di infe-renza sono r iconosc iut i va l id i in es so . ecc . ' . Q u e s t o s tesso s t u d i o

' Ma del p a r i , e o m ' è Maturale, non d o b b i a m o s e m p l i c e m e n t e i g n o r a r e i l i cnso o r d i n a r i o d e l l e p a r o l e nel d e c i d e r e d e l l ' i n t e r p r e t a z i o n e d e l l e co s t ant i .

t ra t terà d i a g g i u s t a r e l ' i n t e r p r e t a z i o n e d e l l e r e g o l e a l la luce del s i gn i f i ca to o r d i n a r i o ; e s so f o r n i s c e un p u n t o d i p a r t e n z a .

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2 U O Soggett i , p red ica t i , es istenza

r ive lerà in q u a l m i s u r a le leggi del s i s tema t rad iz iona le r isult ino para l l e le a l l e leggi dei ca lcol i di c lasse e pred ica t ivo , e qu ind i in qual mi sura le costanti del vecchio s i s tema s i ano interpretab i l i con que l l e «lei nuovo .

In ogni par t i co la re enuncia to che e sempl i f i ch i una di queste f o r m u l e , il p r i m o termine è c h i a m a t o il suggello e il secondo il predicalo. Po t rò a p p l i c a r e talvolta quest i nomi , m e d i a n t e un'ovvia estensione, r i spe t t ivamente al p r i m o e al secondo termine-varia-b i l i ; e pot rò talvolta f a r r i fer imento a l l e var i ab i l i c o m e a " ter-mini ' a s copo di brevi tà .

P remet tendo un ' non 1 a qua l s i a s i t e rmine o termine-var iab i le , o t teniamo un t e rmine o termine-var iab i le negat ivo. Pos s i amo avere cos i , come var iant i de l la f o r m a Λ

Ogni non-.v e y Ogni .r è non-y Ogni non-.r è non-y

Un e s e m p i o di enuncia to del la f o rma E contenente un termine

negat ivo s a r e b b e " N e s s u n non-romanzo è v e n d i b i l e ' .

Le f o r m e Λ e E son dette universali ; le f o r m e I e 0 particolari. Le f o r m e Λ e I son c h i a m a t e affermative ; le f o r m e E e O negative. La d i s t inz ione fra f o r m e universa l i e par t ico lar i è detta d i s t inzione di quantità ; que l l a fra for ine a f f e rmat ive e negat ive , d is t inzione di qualità. S a r e b b e da r i levare che la presenza ili termini negat ivi non impl i ca una f o r m a n e g a t i v a ; p.e . , ' O g n i ποη-r è n o n - y ' è de l la f o r m a A, c ioè d i una fo rma a f f e r m a t i v a .

Le qua t t ro f o r m e possono venir convenientemente s imbol i zza te c o m e segue : ' xAy ', ' * E y ', ' ATIV ', " .vOy '. ( Al la luce de l le osser-vazioni precedent i c irca l ' e sempl i f i caz ione , questa s imbol i zzaz ione può esser cons idera ta come qua lcosa di più che una mera conve-nienza di n o t a z i o n e ) . Un termine negat ivo p u ò venir s imbol i zza to scr ivendo la v a r i a b i l e con un trattino ver t ica le in alto ( p.e. , ' * ' ' ) ;

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cos icché a v r e m o , come cas i spec ia l i del la f o r m a A. 4 .v 'Ay'. 4 . * ' A y " e ' r A y '

2 . C o m e pros s imo pas so , d o b b i a m o cercare q u a l i mode l l i d i inferenza s iano r iconosciut i va l id i nel s i s t ema , e q u a l i re laz ioni logiche va lgano fra le sue f o r m u l e ; oss ia , in a l t re pa ro le , qua l i s iano le leggi del s i s tema. Un aspet to per il q u a l e il vecchio s i s tema è in netto contras to con i p iù recenti è la sua re la t iva povertà fo rma le . I l n u m e r o del le di f ferenti f o r m u l e a m m e s s e è notevol-mente p i c c o l o ; lo stesso va le pel n u m e r o ilei mode l l i d ' in ferenza va l id i . Mentre ho fornito sol tanto tina p iccola scelta de l l ' indef in i ta varietà di leggi che pot rebbero venir s tab i l i te nei s i s temi p iù re-centi . s a rà c o m p i t o ben breve que l lo di e l encare tutte que l l e rico-nosciute nella logica t rad iz iona le . Nel lo s tendere le leggi del vec-chio s i s tema s a rà conveniente usare qua lcosa «lei s i m b o l i s m o del nuovo. Ciò non c a m h i c r à per nul la i l suo c a r a t t e r e ; sempl ice-mente farà r i s p a r m i a r e s p a z i o . P e r e s e m p i o , anz iché s c r i v e r e : 4 I I mode l lo d ' in ferenza

xAy yAz

.". xAz

è va l ido ' , s c r iverò s empl i cemente la f o r m u l a di p r i m o ord ine

.tAy · yAz z> xAz

as segnandole un numero come una del le leggi o f o r m u l e ana l i t i che «lei s i s tema . S i m i l m e n t e , anziché scr ivere

4 xAy ' è la contraddi t tor ia di 4 .vOy "

scr iverò, come formula anal i t ica

xAy ss ~ . r O y .

Dove, come nel l 'u l t imo caso, una legge mette s e m p l i c e m e n t e in

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2 U O Soggett i , p red ica t i , es i s tenza

re laz ione due f o r m u l e in cui i termini stess i , la q u a l i t à dei t e rmin i , e i l loro o rd ine sono lutti ident ic i , p o s s i a m o sempl i f i c a re ancora u l ter iormente l ' e spre s s ione de l la l e g g e : a l posto de l l ' equ iva lenza precedente , p o s s i a m o scr ivere

A = ~ 0 .

Scr ivere ciò c o m e f o r m u l a ana l i t i ca equ iva l e a d ire che qua l s i a s i enuncia to de l la f o r m a A è il contradd i t tor io de l l ' enuncia to corri-spendente de l l a f o r m a 0 .

Le leggi del s i s tema t rad iz iona le s i racco lgono in tre g r u p p i p r inc ipa l i . Ques t i s o n o :

( 1 ) Le leggi di inferenza i m m e d i a t a , che spec i f i cano var ie t r a s formaz ion i va l ide d i enunciat i de l le quat t ro f o r m e .

( 2 ) L e leggi del q u a d r a t o d i o p p o s i z i o n e , che forni scono certe re laz ioni logiche fra f o r m u l e in cui i termini , la loro qua l i tà e il loro o rd ine s i ano gli s t e s s i :

( 3 ) Le leggi del s i l l og i smo , clic e lencano mode l l i d i infe-renza va l id i , c i a scuno dei (piali c o m p o r t a tre fo rmule .

( 1 ) Inferenze immediate

( a ) Conversione semplice che consiste nel la t ra spos iz ione di soggetto e di p r e d i c a l o , la quant i tà e la qua l i t à r i m a n e n d o immu-tale . La convers ione s e m p l i c e di asserz ioni E e I e solo di quest i è va l ida nel s i s tema . Cos i

( i ) r E y 3 y E x ( i i ) .vly 3 yl.r

sono leggi del s i s t ema , e i corr i spondent i mode l l i di inferenza sono \ a l id i : ma

xAy 3 yA.v .rOy 3 yO.v

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non sono leggi del s i s tema, e i corr i spondent i mode l l i di inferenza sono inva l id i .

( I ) ) Conversione per accidens che consiste nel t r a s p o r r e il soggetto e il p red ica to di un 'a s serz ione e nel imitare la sua quan-tità da un iver sa le a par t ico lare , la qua l i t à r i m a n e n d o i m m u t a t a . Abi t iamo qui c o m e leggi

( iii ) .rAy 3 yl.v ( iv ) . tEy 3 yO.v

S a r e b b e da r i l evare che, mentre la ( i ) e la ( i i ) p r o d u c o n o equiva-lenze. la ( i i i ) e la ( i v ) non ne p r o d u c o n o . U s a n d o l ' a r m a m e n t a r i o d imostra t ivo del ca lcolo p r o p o s i z i o n a l e , p o s s i a m o , p e r e s e m p i o , der ivare da l l a ( i ). per sost i tuzione di ' y* a " χ ' e di ' .t * a " y ' , l ' e spress ione ' yE.v 3 . v E y ' . A b b i n a n d o ques ta a l la ( i ) ed impie-gando la def iniz ione di equ iva l enza , a b b i a m o ' . rEy = yE.v ' . Un risultato p a r a l l e l o non p u ò ottenersi per la ( i i i ) e la ( i v ) .

( e ) Obversione (o Permutazione): consis te nel negare il pre-dicato e c a m b i a r e la qual i tà de l l ' enuncia to , soggetto c quant i tà ri-manendo gli stessi . Q u a l u n q u e enuncia to di una de l l e quattro forme può venir va l idamente obvert i to . A b b i a m o cosi

( v ) .rAy 3 .vEv' ( v i ) .rEy 3 .rAy'

( v i i ) .vly 3 .vOy' ( viii ) .vOy 3 .vly'

Q u a l e e s e m p i o de l l ' i iup l icanza di ' . r A y " ila par te di ' .vEy ' . pos-s i amo prendere l ' imp l i canza di " Tutt i i democra t i c i sono non-fa-scisti ' da par te di ' Nessun democra t i co è fasc is ta ".

( d ) Contrapposizione e Inversione : cons i s tono in a p p l i c a z i o n i successive di a l cune del le operaz ioni precedent i . P.e . , la contrap-posiz ione consiste nel ( 1 ) obvert i rc , ( 2 ) convert i re i l r i sultato e ( 3 ) obver t i re di nuovo ; e può venir v a l i d a m e n t e o p e r a t a esatta-mente in quei casi in cui c iascuna o p e r a z i o n e success iva s ia va l ida .

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2 U O Soggett i , p red i ca t i , es i s tenza

Cosi la cont rappos i t i va di Λ è il r i sultato del pa s sagg io f inale nel la sequenza

ed a ld i i amo . c o m e legge di c o n t r a p p o s i z i o n e .

xAy 3 y'Ax'

Q u e s t e leggi non s a r a n n o e lencate s e p a r a t a m e n t e .

(2) II quadrato di opposizione

La dottr ina del q u a d r a t o di o p p o s i z i o n e concerne le re lazioni logiche fra c o p p i e di enunciat i di f o r m a d iversa aventi lo stesso soggetto e p red ica to . G i a c c h é i termini , la loro pos iz ione e la loro qua l i t à sono identici negli enunciat i mess i in r appor to fra loro, po s s i amo s i m b o l e g g i a r e le leggi di ta le teoria s c m p l i c c m c n t e u sando le lettere A, E, I , 0. La teoria è la s e g u e n t e : A è la con-traddi t tor ia di 0, e E di I ; A e E sono contrar ie , e I e 0 suhcon-I r a r i e : A es ige I, e E es ige () . Ove si e s p r i m a n o queste re lazioni c o m e leggi , a h h i a m o

xAy . rEy' ( p e r o h v e r s i o n e ) y'E.r ( p e r c o n v e r s i o n e ) y'Ax' ( per o h v e r s i o n e )

( i x ) .vAy = ~ . r O y ( x ) .rEy = ~ . t l y

( x i ) ~ (.vAy . . r E y )

oss ia A = ~ 0 ossia E ss ~ I oss ia ~ ( A . E ) ossia I ν 0 ossia A 3 I ossia E 3 O

( x i i ) . t l y v . v O y ( xi i i ) .rAy 3 xly (x iv) .ν E y 3 .rOy

( 3 ) Il sillogismo

La dottr ina del s i l log i smo e la rea l i zzaz ione p iù impor tan te del la logica t r ad iz iona le . F in qui s"è avuto a che f a re con le rela-

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zioni logiche f ra soltanto d u e f o r m u l e d ' a s se rz ione pre se ins ieme. La dot tr ina del s i l log i smo si r i fer i sce a una certa c la s se di s chemi d ' in ferenza che involgono tre f o r m u l e d ' a s serz ione , due c o m e pre-messe ed una c o m e conclus ione. La c lasse di s chemi d ' in ferenza in ipiest ione può venir speci f icata c o m e s e g u e : ( a ) un t e r m i n e d i una premessa deve essere identico a un termine d e l l ' a l t r a ; (b) gli a l tr i due termini de l le premesse devono essere identici a i termini del la conclus ione . S i l l o g i s m o è qua l s i a s i a r g o m e n t a z i o n e o inferenza , che e sempl i f i ch i uno schema d ' in ferenza , va l ido o inva l ido che s ia . i l q u a l e r i s p o n d a a questa descr iz ione ' . La teor ia del s i l log i smo prescr ive qua l i f ra tutti gli schemi d ' in ferenza pos s ib i l i che rispon-dono a questa descr iz ione d e b b a n o ritenersi va l id i . Un e s e m p i o di un s imi l e s c h e m a è stato forni to a p. 199.

Ora i l n u m e r o di s chemi d ' in ferenza , va l id i o inva l id i , del genere descr i t to , è un n u m e r o re la t ivamente p icco lo . Q u e s t o nu-mero è de tc rmina to «la d u e f a t t o r i : ( a ) i l n u m e r o de l l e di f ferent i f o r m e ili a s serz ione , clic è di q u a t t r o ; (b) il n u m e r o de l le varia-zioni log icamente s ignif icanti nel le pos iz ioni re lat ive dei te rmini . C h e le pos iz ioni relat ive dei termini pos sano d e t e r m i n a r e una dif-ferenza nella va l id i tà del lo s chema d ' in fe renza , è cosa che si vede fac i lmente . Per e sempio , gli schemi d ' in ferenza

xAy xAy yAz S ΑΛ-

Λ xAz :. xAz

consistono a m b e d u e interamente d i f o r m e A; e la sola d i f ferenza fra di essi è ne l l 'ord ine dei termini nel la seconda p r e m e s s a . M a , sul p re suppos to che 1" ogni ' del s i s tema si a p p r o s s i m i in signifi-cato a l l ' ' o g n i ' del l inguaggio o rd inar io , noi d o v r e m m o propen-dere a c o n s i d e r a r e le inferenze del lo s chema a s inis tra c o m e va l ide ,

1 In a l cun i a u t o r i la p a r o l a ' s i l l o g i s m o ' è usata in m o d o ta le ehe l 'e spres-s i o n e " s i l l o g i s m o v a l i d o ' d i v e n t a p l e o n a s t i c a .

li

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2 U O Soggett i , p red ica t i , es istenza

e (pielle de l lo s chema a destra come inva l ide . Ne l l a d i spos iz ione dei termini s i d a n n o quat t ro var iaz ioni log icamente s i gn i f i cant i : (a) i l t e rmine c o m u n e ad a m b e d u e le p remes se ( i l termine medio) p u ò essere il soggetto di a m b e d u e ; (l>) esso può essere il p red ica to d i a m b e d u e ; o p p u r e ( c ) p u ò essere i l soggetto d i una e il p red ica to de l l ' a l t ra - e questo caso si s u d d i v i d e in due , ( i ) il caso in cui esso è il soggetto del la p r e m e s s a il cui pred ica to è anche pred ica to de l la conclus ione , e ( i i ) il caso in cui esso è il soggetto de l la p r e m e s s a il cui p red ica lo è il soggetto de l la conclu-s ione . Ques t i (piatirò casi sono c h i a m a t i le (piatirò figure del sillo-g i smo , e sono c o m u n e m e n t e rappresenta t i c o m e segue ( p remesso che ' m' sia a ind icare il t e rmine med io , 1 ρ ' il t e rmine che è il p red ica to de l la conclus ione , ed ' s ' il t e rmine c h e ne è il s ogge t to ) :

1 2 3 4 ni ρ Ρ m III Ρ ρ III s in s m III s m s

s ρ « Ρ s Ρ .< ρ

Pot rebbe s e m b r a r e che rovesc iando l 'ord ine de l le p remes se i l n u m e r o di var iaz ioni a u m e n t e r e b b e . Ma le premesse f o r m a n o in-s i eme un 'a s serz ione congiunt iva , l ' o rd ine de l l e cui congiunte è log icamente indi f ferente r ispetto al presente intento. E invero, di sol i to scr iverò le p remes se ne l l ' o rd ine inverso di que l lo i l lustrato s o p r a convenz iona lmente , per megl io f a r e m e r g e r e del le ana log ie con i già cons idera t i calcol i pred ica t ivo e di c las se .

È fac i le vedere che in c ia scuna figura ci sono se s santaquat t ro f o r m e o modi del s i l log i smo a r i tmet i camente poss ib i l i . Infatt i la p r i m a p r e m e s s a può avere una del le f o r m e A , E , I , 0 ; per cia-scuna di ques te quat t ro poss ib i l i tà , l a s econda premes sa può anche avere una de l l e quat t ro f o r m e ; e per c ia scuna di queste sedic i pos-s ib i l i tà , l a conclus ione può avere una de l l e quat t ro f o r m e . G i a c c h é vi sono quat t ro figure, ci sono in c o m p l e s s o 256 poss ib i l i modi del

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s i l log i smo. Di quest i 256 solo vent iquattro sono r iconosciut i v a l i d i ; i r imanent i sono inval id i . I m o d i va l id i sono n o r m a l m e n t e elen-cati come segue :

I a F i g u r a A A A , E A E , A l l , E I O , A A I , E A O 2 a F i g u r a E A E , A E E , E I O , A O O , E A O , A E O 3 a F i g u r a A A I , I A I , A l l . E A O , O A O , E I O 4 a F i g u r a A A I , A E E , I A I , E A O , E I O , A E O

dove in c iascun caso la p r i m a lettera sta p e r la p r e m e s s a conte-nente il t e rmine clic è il p red ica to de l la conc lus ione (premessa maggiore), la seconda lettera p e r la p r e m e s s a contenente il ter-mine clic è il soggetto del la conclus ione (premessa minore) e la terza lettera per la conclus ione . R o v e s c i a n d o l 'o rd ine del le pre-messe. p o t r e m m o scr ivere le leggi corr i spondent i c o m e segue ( tra-scelgo i l p r i m o modo di c ia scuna f igura c o m e i l l u s t r a z i o n e ) :

( XV ) .rAy . y A z 3 .rAs ( xxi ) xAy . s E y 3 * E z

( x x v i i ) y A* . y A s 3 x l s ( x x x i i i ) yAx . z A y 3 xlz

Si sa rà notato che ho lasc iato il posto per la n u m e r a z i o n e de l le re-stanti leggi , ad a lcune del le qua l i f a rò r i f e r imento piti innanzi .

3. Ne l l ' u l t ima sezione non s 'è a f fa t to p a r l a t o di nessun me-todo genera le da usarsi per ver i f icare la va l id i t à dei mode l l i d'in-ferenza. né ho tentato m a i di der iva re una legge da un 'a l t ra . In eir< •tli non Ito tentato di mos t rare che le leggi menz iona te fossero connesse fra loro in q u a l c u n o dei modi che g iust i f icano i l nome di " s i s t emi ' at tr ibuito ai calcol i p ropos i z iona le , di c la s se e predi-cativo. Ho forni to s empl i cemente un elenco de l le leggi de l la logica t rad iz iona le . Ma ev identemente le leggi e lencate non sono tutte in-d ipendent i f ra loro. Per e s e m p i o , i l nostro e lenco cont iene le leggi

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2 U O Sogget t i , p red ica t i , esistenza

( xi ) .vAy 3 xly ( q u a d r a t o di o p p o s i z i o n e ) ( x v ) .rAy . yAz 3 .vA: ( 1 ° m o d o de l la I a f igura del sillo-

g i s m o ) ( x i x ) xAy . yAz 3 . r i : ( 5 ° m o d o de l la 1" figura del sillo-

g i smo )

Ma se a v e v a m o c o m e premes se due asserz ioni de l l e f o r m e ' . r A y ' e 1 y A z \ p o t e v a m o ovv iamente d e r i v a r e l ' a s serz ione corr i spon-dente del la f o r m a ' . r l i ' m e d i a n t e l 'uso de l le p r i m e due leggi sol-tanto, senza l ' a p p l i c a z i o n e diretta «Iella terza . La legge ( x v ) pro-duce la conclus ione ' .vAz ' e la ( x i ) ci mette in g rado di der ivare da ques ta la conc lus ione 4 . r ls ' . Date le a l t re «lue leggi , la legge ( x i x ) è s u p e r f l u a . D o v r e m m o perei«') a t temlerc i che esista un pro-ced imento per d e r i v a r e la ( x i x ) «lalle a l t re d u e leggi ; e non è dif-f ic i le vedere in che m o d o l ' a p p l i c a z i o n e del m e c c a n i s m o di prova «lei ca lco lo p r o p o s i z i o n a l e ci met te rebbe in g r a d o di f a r lo .

Di fatto es i s tono, nel le espos iz ioni t rad iz iona l i de l l ' a rgomento , «lue «lifTerenti dottr ine , c ia scuna «Ielle qua l i r appre senta una siste-maz ione p a r z i a l e de l le leggi . Una è la dottr ina di riduzione; l 'al-tra è quel la de l le regole del sillogismo. La p r i m a è a n a l o g a , all ' in-grosso, al m o d e r n o metodo dedutt ivo di s i s temat izzaz ione , la se-conda a un metodo di control lo . Q u e s t ' u l t i m a consiste in una ser ie di asserz ioni di o rd ine più e levato che s tab i l i scono le condiz ioni cui un dato m o d e l l o s i l logis t ico «l ' inferenza deve conformar s i p e r essere va l ido . Il n u m e r o di tali asserz ioni è p icco lo , c la va l id i tà di « jualsiasi m o d e l l o p u ò essere de terminata s e m p l i c e m e n t e facendo r icorso ad esse p e r vetlere se i l m o d e l l o s i c o n f o r m a a l le regole .

La dottr ina de l le regole è di m i n o r interesse logico di que l l a di r iduz ione . La teoria genera le c h e regge ques t 'u l t ima consiste in c iò che , con l ' i m p i e g o «lei p r o c e d i m e n t i d ' in ferenza i m m e d i a t a e «Iel-le leggi del «piadrato d ' o p p o s i z i o n e , tutti gli s chemi d ' in ferenza de l la seconda , terza e q u a r t a figura posson venir 4 r idotti " a «[uel-l i de l la p r i m a . Med iante un 'u l ter iore a p p l i c a z i o n e di «piesti stessi

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metodi o ili m e t o d i s i m i l a r i , que l l i de l l a p r i m a f igura p o s s o n o ve-nir r idott i a u n o solo . L ' i n t e r e s s e log ico d e l l a r i d u z i o n e sta ne l la stretta a n a l o g i a che suss i s te f r a essa e la d e d u z i o n e . R i d u r r e uno s c h e m a d ' i n f e r e n z a ad un a l t ro s i gn i f i ca , in e l fe t t i , d e d u r r e u n a legge c o r r i s p o n d e n t e a l p r i m o da una l e g g e c o r r i s p o n d e n t e a l se-c o n d o . Vorre i met tere in luce ques ta a n a l o g i a r i c o r r e n d o a d u e e s e m p i , lino p e r c iascun genere d i r i d u z i o n e r i conosc iuto ( r i d u -zione diretta e indiretta) e m o s t r a n d o c o m e si tratti di d e d u z i o n i ili que l t ipo c h e è f a m i l i a r e nel ca l co lo p r o p o s i z i o n a l e . F a r ò uso del lo r ego le d ' i n f e r e n z a e di a l c u n e de l l e leggi del ca l co lo p ropo-s i z iona le , a s s i e m e al la l egge s u p p l e m e n t a r e c h e e s p r e s s i o n i logi-c a m e n t e e q u i v a l e n t i p o s s o n o ven i r sos t i tu i te l 'una a l l ' a l t r a in qual-.»iasi f o r m u l a . M e d i a n t e q u e s t ' u l t i m a rego la s a r e m o in g r a d o , pe r e s e m p i o , di sos t i tu i re d i r e t t a m e n t e a u n a f o r m u l a I o E la sua con-versa s e m p l i c e ( c f r . p . 2 0 0 ) .

( I ) La r i d u z i o n e diret ta di un s i l l o g i s m o ad un a l t ro v i ene t r a d i z i o n a l m e n t e descr i t ta nel m o d o s e g u e n t e : r i d u r r e u n a f o r m a • li s i l l o g i s m o Β a una f o r m a di s i l l o g i s m o A s ign i f i ca m o s t r a r e che d a l l e p r e m e s s e d i Β , o da p r e m e s s e o t tenute d a l l a loro conver-s ione, in A s e g u e o la s tessa c o n c l u s i o n e di Β. o u n a conc lu s ione da l l a (pia le la conc lu s ione di Β s e g u e p e r c o n v e r s i o n e . P r e n d o c o m e e s e m p i o la r iduz ione d i re t ta d i

. rEy . zAy .*. .vEz ( 2a figura, 2° m o d o ) a

.rAy . y E z . tEz ( 1 " f igura , 2" m o d o )

ed intendo m o s t r a r e c o m e essa non s ia a l t ro che la d e d u z i o n e d i

( xx i i ) .vEy . z A v ZD .vEz da

( xvi ) .rAy . y E z ZD .vEz

Dalla ( x v i ) o t t e n i a m o , so s t i tuendo a ' y E z ' e ' .vEz ' le f o r m u l e equ iva l e n t i ( c o n v e r s e ) ' z E y ' e ' zE.r ',

xAy . zEy id zEx

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2 U O Soggett i , p red i ca t i , esistenza

da cui , o p e r a n d o una sost i tuzione de l le var i ab i l i ( ' χ ' al posto di " ζ ' e ' s ' al posto di * χ ' ) , o t ten iamo

zAy . .vEy 3 .vEz

da cui , m e d i a n t e la legge ' ρ . q Β q . ρ ' e la regola clic permette la sost i tuzione di espress ioni equ iva lent i , o t ten iamo

* E y . zAy 3 xEz

la q u a l e è a p p u n t o la legge che d o v e v a m o d e r i v a r e . ( 2 ) l.a r iduz ione indiretta v iene t r ad iz iona lmente descrit ta a l

m o d o s e g u e n t e : r i d u r r e indire t tamente una fo rma d i s i l log i smo ad un'a l t ra s ignif ica usare de l la seconda p e r m o s t r a r e che la fa ls i tà del la conc lus ione nella p r i m a è incongruente con la verità de l le sue p r e m e s s e . P r e n d o come e s e m p i o la r iduzione di

.«Oy . z A y .tOz ( 2 a f igura , 4° m o d o ) a

xAy . y A z .·. .vAz ( 1 * f igura , 1° m o d o )

ed intendo mos t ra re come essa s ia la d e d u z i o n e del la legge corri-s p o n d e n t e a l p r i m o mode l lo d ' in ferenza da l l a legge corr i spon-dente a l s econdo . Da

( a ) xAy . yAz 3 .rAz

mediante i l q u a d r a t o d ' o p p o s i z i o n e ( i x ) e la sost i tuzione di equi-valenti , o t ten iamo

( />) ~ x O y . y A z 3 ~ A O Z

Da ( b ) m e d i a n t e ' ( ρ 3 ~ q ) 3 ~ ( ρ . q ) ' e la regola d ' in ferenza o t ten iamo

( c ) ~ l ( ~ . r O y . y A z ) . .vOz]

D a ( c ) m e d i a n t e ' ( p . g ) . r s ( r . q ) . p ' e sost i tuzione d i equi-valenti o t ten iamo

( d) ~ 1 ( xOz . yAz ) . ~ vOy ]

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Cri t i che ortodosse a l s i s tema 209

Da ( d ) m e d i a n t e 1 . D ( / ) D q ) ' e la regola d ' in ferenza

ot teniamo ( e ) .vOz . y A z 3 .tOy

Da ( e ) m e d i a n t e sost i tuzione di ' y ' a ' 5 ' e di ' s ' a 1 y ' o t teniamo

( / ) x O y . s A y 3 * O s

che è la legge che dovevamo der ivare . In modi s imi l i a questi si potrebbe m o s t r a r e che anche le a l t re r iduz ioni sono deduz ioni .

C iò clic quest i e sempi ci a iu tano a v e d e r e e che s a r e b b e pos-s ib i le presentare l ' intero corpo di leggi de l l a logica t rad iz iona le come un ca lco lo o s i s tema dedutt ivo del t ipo oggi in uso. Un s imi l e ca lcolo r i ch iederebbe , come spec ia l i a s s iomi o pos tu la t i , una con-veniente se lez ione del le spec ia l i leggi del s i s tema t rad iz iona le , ivi c o m p r e s e a l cune leggi di inferenza i m m e d i a t a c del q u a d r a t o di oppos i z ione ed a l m e n o una legge s i l l o g i s t i c a ; esso r i ch iederebbe o p p o r t u n e leggi d ' in ferenza , e p r e s u p p o r r e b b e il ca lco lo propo-s iz ionale , c ioè accetterebbe e i m p i e g h e r e b b e i teoremi di que-st 'u l t imo.

I I .

Le critiche ortodosse al sistema

l . Le quest ioni p iù interessanti che sono sorte intorno al la logica t r ad i z iona le sono quest ioni che concernono l ' interpreta-zione del s i s tema . Si s a r e b b e incl inati a p e n s a r e che di f f ic i lmente pot rebbe presentars i un p r o b l e m a in m e r i t o ; che , con certe r i serve circa la p a r o l a " alcuni ' , le regole e lencate d i a n o una rappresen-tazione per fe t tamente accettabi le dei poter i logici de l le pa ro le che f igurano c o m e costanti del s i s tema , s econdo i l m o d o in cui queste paro le sono più comunemente usate nel l i n g u a g g i o o r d i n a r i o ; e che perc iò la so luzione del p r o b l e m a d ' in te rpre taz ione s ia seni-

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2 U O Sogget t i , p red ica t i , esistenza

p l iceuiente que l l a di e g u a g l i a r e le costanti del s i s tema a ([nelle paro le nel loro i m p i e g o corrente o t ip ico . T e n t e r ò di mos t rare a l l a f ine che. sa lvo poche riserve, questa concezione ingenua è anche quel la corret ta . Tut t av i a essa è stata cos i sovente oggetto di d i sputa che il negar la è d iventato o r t o d o s s i a ; anzi , si va piti in là c si sost iene che a l l e costanti del s i s tema non s i può a t t r ibuire nessuna in terpre taz ione tale che ( n ) esse a b b i a n o a l l ' inc irca lo stesso signi-ficato che h a n n o nel discorso o r d i n a r i o e ( / » ) che tutte le regole del s i s tema sus s i s tano c o n t e m p o r a n e a m e n t e per tale interpreta-zione. Si sost iene, in a l tre [taróle, che per il s i s tema nel suo com-plesso non può trovars i nessuna in terpre taz ione congruente che s i avvicini a l l ' in te rpre taz ione ingenua . Intendo m o s t r a r e che questa tesi e f a l s a ; e fa l sa in tin m o d o non pr ivo d ' i m p o r t a n z a . Ove infatti ci si renda conto di c o m e essa s ia f a l s a , si g iunge a r i levare una impor tan te carat ter i s t ica genera le de l l 'uso o r d i n a r i o del l inguag-gio che viene s i s t emat icamente t rascurata nel la moderna logica f o r m a l e . Q u e s t a t rascuranza non e i m p o r t a n t e per quel l i che sono gli intenti p r o p r i ili que l l a l o g i c a ; diventa impor tante sol tanto q u a n d o essa ci i m p e d i s c e un corretto intendimento del l inguagg io o r d i n a r i o .

Le cr i t iche al s i s tema t rad iz iona le s i sono a p p u n t a t e tutte su l la quest iono se s ia vero o meno che . nel l 'uso che si fa ili un enuncia to di una de l le quat t ro fo rme , noi c i s i d e b b a cons iderare c o m e im-pegnat i ad a f f e r m a r e l 'esistenza di q u a l c o s a che r i sponda a l la de-scr iz ione forni ta dal p r i m o te rmine de l l ' enunc ia to . S i ha l ' impres-s ione che non si [tuo la sc iar senza r i sposta ([tiesta q u e s t i o n e ; infatti la r i sposta ad essa c o m p o r t a una d i f f e renza quanto al la va l id i tà del le leggi . S i a rgu i sce che l 'uso de l le p a r o l e o r d i n a r i e ( p .e . " t u t t i " ) che c o r r i s p o n d o n o a qua lcuna de l le costanti del s i s tema presenta var i az ion i per questo r i spetto . C h i u n q u e a m m e t t e che s a r e b b e a s s u r d o pre tendere che l ' uomo che dica " Tutt i i l ibri nel la sua s tanza sono di autore inglese ' a b b i a fatta un 'a s serz ione vera se nel la s tanza di cui p a r l a non ci «ono l ibri a f fa t to . Q u e s t o è un

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r a so in cui l 'u so di ' tutti ' c o m p o r t a un i m p e g n o e s i s t enz ia le . Per p r e n d e r e un e s e m p i o c l a s s i c o : l ' a s s e r z i o n e fat ta con ' T u t t i i corp i in m o t o sui qua l i non ag i s cono f o r z e e s te rne c o n t i n u a n o in uno stato di m o t o u n i f o r m e in l inea ret ta ' p o t r e b b e bene e s ser vera a n c h e se non ci fo s sero m a i stati c m a i ci doves se ro e s sere corp i in moto sui qua l i non a g i s c a n o f o r z e e s te rne . I l p r o b l e m a di c o n g r u e n z a s i pone a l l o r a p e r i l s i s t e m a t r a d i z i o n a l e a l m o d o s e g u e n t e : d o b b i a m o d e c i d e r e , r i spet to a c i a s c u n a d e l l e q u a t t r o f o r m e , se essa c o m p o r t a o non c o m p o r t a l ' i m p e g n o e s i s tenz ia le . Ma. q u a l s i a s i p l a u s i b i l e d e c i s i o n e s i p r e n d a , in tendendos i pe r p l a u s i b i l e la d e c i s i o n e cl ic m a n t e n g a le cos tant i de l s i s t e m a ragio* nevol inente a d e r e n t i p e r s igni f i ca to a l lo ro uso c o m e p a r o l e del l inguagg io o r d i n a r i o , t r o v i a m o e b e q u a l c u n a d e l l e leggi de l si-s tema t r a d i z i o n a l e d iventa i n v a l i d a . S i e g e n e r a l m e n t e a s sunto che , nel ca so d e l l e for ine p a r t i c o l a r i , c i o è I e O, e ra r a g i o n e v o l e u n a dec i s ione so l t an to , e p r e c i s a m e n t e clic e s se c o m p o r t a s s e r o l ' im-pegno e s i s t e n z i a l e ; c e l i e q u a n t o a l l e u n i v e r s a l i , q u e l l a dec i s ione , q u a l u n q u e essa fosse, che s i fosse p re sa p e r u n a d i esse , doves se venir p re sa a n c h e per le a l t re . I l p r o b l e m a s i r i d u c e cosi ad un d i l e m m a . 0 le f o r m e A e Κ h a n n o p o r t a t o e s i s t enz ia l e o non l 'hanno . Se l ' h a n n o , un g r u p p o d i leggi d e v e v e n i r s acr i f i ca to c o m e i n v a l i d o ; s e non l 'hanno , un a l t ro g r u p p o d e v e s p a r i r e . P e r c i ò non è p o s s i b i l e nes suna i n t e r p r e t a z i o n e coerente del s i s t ema nel suo i n s i e m e ent ro i l imit i prescr i t t i .

5 . L ' e s a m e det tag l ia to del d i l e m m a vien fat to d ' a b i t u d i n e t rami te un tentat ivo d ' i n t e r p r e t a r e i l s i s t e m a t r a d i z i o n a l e in ter-mini di c a l c o l o de l l e c las s i o p r e d i c a t i v o . Ed è p r o c e d i m e n t o che non s e m b r a p r i v o di una base r a g i o n e v o l e . I c a l c o l i , infa t t i , h a n n o le c a r a t t e r i s t i c h e seguent i . In p r i m o l u o g o , la p r e s e n z a o l ' a s senza d e l l ' i m p e g n o es i s tenz ia le è e sp l i c i t a ne l le lo ro f o r m u l e f in da prin-c i p i o : g i a c c h é ques te f o r m u l e sono tutte, o q u a s i tutte, o posi t iva-mente o n e g a t i v a m e n t e e s i s tenz ia l i . In s e c o n d o l u o g o , essi forni-

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2 1 2

crono f o r m u l e c h e quanto meno s i a p p r o s s i m a n o assai p e r signifi-calo agli usi t ipic i di f o r m e «li enunciat i «li l inguagg io ord inar io che c o m i n c i n o con ' t u t t i ' , ' q u a l c u n o ' e ' n e s s u n o ' . In terzo luogo, ci sono notevol i ana log ie formal i f ra le leggi di questi s istemi e mol le leggi del s i s tema t rad iz iona le . I l p r i m o di questi punti è ovvio. Il s econdo e il terzo possono venir i l lustral i a s s i eme . Nor-m a l m e n t e acce t t e remmo di c o n s i d e r a r e ' Tutt i i lihri nel la sua stanza sono «li au tore i n g l e s e ' e " A l m e n o uno dei lihri nel la sua s tanza non e di autore inglese ' c o m e contraddi t tor ie . Il secondo enuncia to s e m b r a assai p r o s s i m o per f o r m a a ' (3 .v ) (fx . ~ g v ) \ clic è la contraddi t tor ia di ' ( χ ) ( f x 3 g .r) ' ; e i l p r i m o enuncia to v e r r e b b e c o m u n e m e n t e accettato c o m e un e s e m p i o de l la f o r m a ' .vAy ', che e la contraddi t tor ia di " .vOy' . È vero che s a r e m m o esitanti ad accet tare ' C ' è a l m e n o una cosa che ins ieme / e non-g ' c o m e una p a r a f r a s i di ' Alcuni χ non sono y ', che è il m o d o in cui ci si dice di leggere ' .vOy' . Dire infat t i , per e s e m p i o , clic a lcune tigri non sono feroci ve r rebbe n o r m a l m e n t e consi«lerato c o m e im-pl icante che ci s ia più di lina t igre non feroce . Ma a l lora noi do-v r e m m o p r o v a r e e sa t tamente la stessa e s i taz ione circa la lettura propos ta per ' .vOy' , dato che è la contradd i t tor i a di ' . r A y ' ; in-fatti la contraddi t tor ia d e l l ' a f f e r m a z i o n e che tutte le tigri sono f«-roci è l ' a s serz ione che a l m e n o una t igre n«in è feroce . Le for-m u l e ' (3 .v ) (fx . ~ g x ) ' e ' .rOy q u a l u n q u e sia la loro «l i f ferenza, hanno in c o m u n e «juesta pa r t i co l a re d i s c r e p a n z a d a l l a f o r m a ordi-nar ia " Alcuni χ sono non y ' . U n a volta che si s ia a m m e s s o questo g rado di p a r a l l e l i s m o fra i due generi «li f o r m u l e , si rendono evi-denti da sé sole notevoli ana log ie f o r m a l i : que l l e , p rec i samente , fra la legge del p r i m o m o d o de l la p r i m a f igura

xAy . yAz 3 xAz

e la legge de l la transit ività «Iella c lasse- inclus ione

« c p . ^ C Y o a C Y

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Cr i t i che ortodosse a l s i s tema 213

oss ia , ne l la sua f o r m a quant i f í caz iona lc , la legge

( * ) ( / . * η g.v) . ( x ) ( g x 3 hx) ZD ( x ) ( f \ => hx).

P r o c e d i a m o ora nel l 'anal i s i del d i l e m m a . Ahhia ino visto che esso consis teva nel dover dec idere se le f o r m e A e E dovevano avere o meno portato es i s tenzia le per q u a n t o concerneva i loro termini-soggetto. Ques ta decis ione deve esser presa nel la f o rma di adoz ione di una di due interpretaz ioni a l ternat ive de l le quattro forme in termini di formule di c la s se o quant i f i eaz iona l i . G ià si e convenuto che le fo rme 1 ed (.) devon cons iderar s i come aventi portata es i s tenzia le , di m o d o che la loro t r a d u z i o n e non presenta diff icoltà . P e r ' x l y ', ' xOy ' a d o t t i a m o le letture pos i t ivamente es is tenzial i ' (3 . v ) (fx . gx) ' , ' ( 3 λ ) (fx . ~ g x ) ' ; o p p u r e , in ter-mini di c lasse , r i spet t ivamente " αβ φ O ' e ' αβ Φ Ο '. P e r A ed E, d o b b i a m o sceg l ie re fra . da un lato, la cong iunz ione de l la f o r m u l a negat ivamente es i s tenzia le ( * ~ ( 3 . v ) ( / . r . ~ gx) ' per A) con una as serz ione di esistenza per «pianto r i g u a r d a i l p r i m o ' t e r m i n e ' ( ' ( 3.v )( / .r ) ' ) ; o p p u r e , d 'a l t ro lato, l ' adoz ione «Iella f o r m u l a ne-gat ivamente es i s tenzia le da so la . Per c ia scuna di queste interpre-tazioni a l ternat ive d o b b i a m o tentare di « le tcrminare quante del le leggi del s i s tema t rad iz iona le cont inuino a suss i s tere

1 R i a s s u m o i pas sagg i success iv i con cui s i a r r i v a a ques ta p r o c e d u r a (e ila essa s i r i t o r n a a l p r o b l e m a d i p a r t e n z a ) . S i nota u n ' a m b i g u i t à ne l l ' u so o r d i n a r i o di ' ogn i ' o ' tutti \ Ne d e r i v a un d u b b i o c i rca la p rec i s a in te rpre -taz ione d e l l e cos tant i e de l le f o r m u l e del s i s t e m a t r a i l i z i n n a l f . P e r r i s o l v e r e q u e s t o d u b b i o , t e n t i a m o d i t r o v a r e u n ' i n t e r p r e t a z i o n e non a m b i g u a del vecch io s i s t ema m o s t r a n d o c o m e esso non s ia c h e una p a r l e o una s e z i o n e de l l a log ica de l le c lass i o q u a n t i f í c a z i o n a l c , e t r a d t i r c n d o c i a s c u n a f o r m u l a del v e c c h i o s i s t ema in q u a l c h e ana loga f o r m u l a del n u o v o , i l q u a l e , tu t t av i a , ha i l m e r i t o d i r e n d e r e e s p l i c i t o l ' i m p e g n o e s i s t e n z i a l e . O v e non s i r iesca α t r o v a r e p e r c i a scuna d e l l e q u a t t r o f o r m e u n a t r a d u z i o n e tale c h e lutti· l e leggi de l l a log ica t r a d i z i o n a l e r i m a n g a n o va l ide p e r e s sa , s i a m o indot t i a c o n c l u d e r e c h e i l vecch io s i s t e m a non p u ò v e n i r c o n g r u e n t e m e n t e i n t e r p r e t a t o nella sua inte-rezza in nes sun m o d o che s i a p p r o s s i m i a q u e l l e e l le s o n o le in tenz ion i de i suoi so s t en i to r i ; c h e ques ta i n c o n g r u e n z a c d o v u t a ad un 'u i t ib igu i là d e l l e f o r m e .

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2 U O Sogget t i , p red ica t i , es istenza

Cons idero per p r i m a la seconda de l l e a l ternat ive s o p r a speci-ficate. Essa porta a l l a seguente tabe l la di t r a d u z i o n i :

T a b e l l a 1

Λ xAy α β = 0 ~ ( 3 x ) ( f x . ~ g x ) ο α c β Ο ( · ϊ ) ( / . ν 3 gx)

E r E y α β = 0 ~ ( 3 x ) ( f x . g x )

ο α c β ο (χ ) ( / .« 3 ~ g . v )

I .ri y α β Φ 0 ( 3 x ) ( / . r . gx) ο ~ ( α c β ) » ~ ( - ν ) ( / . ν 3 ~ g x )

0 .vOy α β Φ Ο ( 3 x ) ( f x . ~ g x ) ο ~ ( α c β ) O ~ ( x ) ( f x 3 g x )

P a s s i a m o ora a e s a m i n a r e qual i leggi cont inuino a suss i s tere p e r (piesta t raduz ione .

Conversione. I.a convers ione s e m p l i c e di E e ili I r imane ovv iamente va l ida per questa in terpretaz ione . G i a c c h é " αβ = β α ' c una leggi; del c lasse-s i s tema. ' αβ = O' ( ' . r E y ' ) e " βα = O' ( ' y E * ' ) sono equ iva lent i , e tali sono anche * αβ φ 0 ' ( ' x l y 1 ) e ' βα Φ O 1 C y l . * ' ) . M a , n a t u r a l m e n t e , " αβ = βα ' non è una legge, di m o d o clic la t r a spos iz ione dei termini in Λ e in 0 s a r e b b e inva l ida , c o m e lo e per le leggi t r ad i z iona l i . S i m i l m e n t e , nel la notaz ione pred ica t iva , ' fx " e ' gx ' sono v a l i d a m e n t e intercambia-bili in " ~ ( 3.v ) (fx . gx) ' e ' ( 3 . r ) ( f x . gx) ', ma non in " ~ ( 3.v ) ( f x . ~ g x ) \ n é i n Μ 3 x ) ( f x . ~ g x ) \

Conversione per uc.cidens. T a l e convers ione non è p iù va l ida per ques ta in terpretaz ione . Non p o s s i a m o infer i re , da ' αβ = O ' , " βα φ O ". Ovvero, nel l 'a l tra notaz ione , non pos s i amo infer i re .

pas sa ta dal d i s c o r s o o r d i n a r i o a q u e l l o log i co c nascos ta d a l l ' u s o di p a r o l e o r d i n a r i e c o m e costant i del s i s t e m a : e el le i l m e g l i o c l ic p o s s i a m o f a r e p e r i l v e c c h i o s i s t e m a è d i s c e g l i e r e l ' i n t e r p r e t a z i o n e c h e o p e r i i l s a l v a t a g g i o del m a g g i o r n u m e r o p o s s i b i l e d e l l e s u e l e g g i , e l o r a p p r e s e n t i c o m e m a l i n t e s o f r a m m e n t o di un s i s t e m a la cui s t r u t t u r a è o r a p e r f e t t a m e n t e c h i a r a .

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Cri t i che ortodosse a l s i s tema 215

da ' N o n c 'è niente clic ins ieme / e non·/» ' , ' C 'è a l m e n o una cosa che ins ieme g e / ' . Un'asserz ione de l l a p r i m a f o r m a p u ò essere vera ne l lo stesso tempo che la c o r r i s p o n d e n t e asserz ione del la seconda f o r m a è fa l sa . Lo stesso va le per i l pa s s agg io da E al suo converso l imi ta to 0 .

Gli ana logh i di classe e pred ica t iv i de l la ohversione sono ovvia-mente v a l i d i :

xAy 3 . rEy ' α β = O 3 α β = O ~ ( 3 . r ) ( f x . ~ g x ) 3 ~ ( 3 . r ) ( f x . ~ g x )

.rEy 3 . tAy' α β = O 3 α β = O ~ ( 3 x ) ( f x . g x ) 3 ~ ( 3 . r ) ( / . r gx)

xly 3 * 0 y ' αβ + 0 3 α β Φ 0 ( 3 x ) ( f x . g x ) 3 ( 3 . v ) ( f x gx)

xOy 3 xly' α β Φ 0 3 αβ Φ O ( 3 . r ) ( f x . ~ g x ) 3 ( B x ) ( f x . ~ g x )

Contrapposizione. Le leggi di c o n t r a p p o s i z i o n e per A e 0 ri-m a n g o n o va l ide , mentre la c o n t r a p p o s i z i o n e * a t tenuata ' di ' * E y ' a * y'O.r' ' c a d e . La fo rmula per A è:

.rAy 3 y'Ax' a c ß 3 ß c ä ( r ) ( / . v 3 gx) 3 ( . r ) ( ~ g . r 3 ~ / . r )

Quadrato di opposizione. S o n o le vecchie leggi del q u a d r a t o di o p p o s i z i o n e que l le che vengono a solTrire le più gravi p e r d i t e :

(1 ) La regola clic A è la cont radd i t to r i a di 0 cont inua na-tura lmente a v a l e r e : k ~ ( 3.r )( fx . ~ g x ) ' è la contraddi t tor ia d i ' ( 3 * ) ( / « .

( 2 ) V a l e lo stesso per la regola che E è la contraddi t tor ia • li I. Le a l t re relazioni logiche cessano di suss i s tere .

( 3 ) A e E non sono pili contrar ie . Asserz ioni corr i spon-denti de l l e f o r m e '~ ( 3 x ) ( f x . ~ g x ) " e ' ~ ( 3 x ) ( f x · gx) ' ( o p p u r e · αβ = 0 " e ' αβ — O ") pos sono essere vere a s s i e m e .

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2 U O Sogget t i , p red ica t i , esistenza

e prec i samente nel caso in cui s ia vera la cor r i spondente asser-zione de l la f o r m a * ~ ( 3 . r ) ( / . v ) " ( o p p u r e ' a = 0 ' ) .

( · • ) A l lo stesso m o d o , I e O non sono suhcontrar ie : asser-zioni de l l e f o r m e ' ( 3 . r ) ( / . r . gx) ' e ' ( 3 . r ) ( / . r . ~ gx) ' sa-ranno a m b e d u e fa l se q u a n d o s ia vera l ' a s serz ione corr i spon-dente de l la f o r m a ' ~ ( 3 x ) ( f x ) \

( 5 ) A non es ige I. Dire clic la c la s se αβ è vuota non equi-vale a d i re che la c lasse αβ ha dei m e m b r i .

( 6 ) E non es ige 0. Di re che non c 'è niente che ins ieme / e g non è lo stesso clic i m p e g n a r s i a d i re che c 'è a l m e n o una cosa che ins ieme / e non-g.

Il sillogismo. Non c 'è nessun b i sogno di e s a m i n a r e in detta-gl io qua l i dei modi accettati del s i l l og i smo r iusc i ranno inval idi in base a questa interpretaz ione . Dai casi precedenti a p p a r e ch ia ro che tutti (pici casi in cui la veri tà de l le p r e m e s s e , come ora ha da es sere interpreta ta , permetta clic una certa c lasse sia vuota , men-tre la verità de l l a conclus ione r i ch iede clic la c lasse stessa a b b i a m e m b r i , s a r a n n o inva l id i . Un ovvio e s e m p i o nel la p r i m a f igura è A A I .

E ovv iamente mol to f ac i l e ident i f icare le carat ter i s t iche del-l ' interpretaz ione propos ta clic sono re sponsab i l i di questa irru-zione di inval idi tà nel le leggi accettate . In c ia scuno dei casi men-zionati la caduta de l la legge è stata la conseguenza diretta di uno dei fatti seguent i , o di a m b e d u e : p r i m o , clic le asserzioni di f o r m a A e E, cos i c o m e le a b b i a m o interpretate , sono vere in quei casi in cui la classe-soggetto è v u o t a ; s econdo , che le asserzioni di f o r m a I c () non possono essere vere in questa interpretaz ione se la classe-soggetto è vuota . I m p i e g a n d o la notaz ione p r e d i c a t i v a : ' ~ ( 3 . v ) ( f x ) e s ige la verità di ' ~ ( 3 . r ) ( / . r . ~ gx) ' e ' ~ ( 3 . r ) ( / . r . gx)' e la fa l s i tà di ' ( 3 . r ) ( / . r . ~ g x ) ' e ' ( 3 . r ) ( / . r . gx) '.

Le prospet t ive de l l ' in terpre taz ione a l ternat iva , in cui una di queste carat ter i s t iche e e l i m i n a t a , p o t r e b b e r o s e m b r a r e un po '

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Cri t iche ortodosse al s i s tema 217

mig l io r i . Inol t re , agg iungendo un i m p e g n o es i s tenzia le a l le f o r m e universa l i , ques t ' in terpretaz ione può a p p a r i r c i forni ta del van-taggio a d d i z i o n a l e di por tarc i un po ' p iù vic ino agl i usi più fre-quenti del le f o r m e con 4 tutti ' e ' nessuno ' nel l inguagg io ordina-rio. T e n t i a m o di sost i tuire a l la tabe l la 1 la tabe l la di t raduz ione revis ionata che r ipor t i amo qui s o t t o :

T a b e l l a 2

vAy αβ = Ο . α Φ 0 ~ ( 3 x ) ( f x . ~ g . v ) . ( 3 . r ) ( / . r ) .rEy αβ = Ο . α Φ O ~ ( 3 . ν ) ( / . ν . g.v ) . ( 3.r )(fx ) xly α β _ φ Ο ( 3 x ) ( f x . g x ) .tOy αβ φ O ( 3 x ) { f x . ~ g x )

È vero che ques ta seconda in terpre taz ione sa lva la va l id i tà ili al-cune de l le leggi t radiz ional i che sono state sacr i f ícate in base a l la p r i m a ; ma non di tutte. E questo l imi ta lo successo è g u a d a g n a t o al costo di r endere inval ide tuttavia a l t re leggi del vecchio s i s tema. Per e s e m p i o , del le leggi del q u a d r a t o d ' o p p o s i z i o n e la nuova inter-pretaz ione sa lva

A 3 I ~ ( 3 * ) ( / * . ~ g x ) . ( 3 . r ) ( / . v ) 3 ( 3 x ) ( f x . gx) E 3 O ~ ( 3 x ) ( / x . g x ) . ( 3 x ) ( / x ) 3 (3 .v ) ( / . r . ~ g x ) ~ ( A . E ) ~ [ ~ ( 3 x ) ( f x . ~ g x ) . ( 3 x ) ( f x ) . ~ ( 3 x ) ( f x . g x ) ì

Cioè , essa sa lva le due i m p l i c a n z e di f o r m e par t i co lar i da f o r m e universa l i e la regola che A e E sono cont ra r i e . Ma non r iesce a sa lvare la regola che I e O non possono essere a m b e d u e fa l se . In p iù rende inval ide le leggi ' A = ~ O ' e ' E = ~ I ' . Infat t i se 0 v iene negata in m o d o da p r o d u r r e la sua contraddi t tor ia , o t teniamo ' ~ ( 3x)(fx . ~ gx ) '; non o t ten iamo anche la compo-nente pos i t ivamente esistenziale de l la nuova f o r m a A. A e O non sono più contraddi t tor ie , ma solo c o n t r a r i e ; g iacché , mentre am-bedue non pos sono esser vere p e r un da to e s e m p i o , a m b e d u e possono essere fa l se , nel caso che la c o m p o n e n t e pos i t ivamente

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2 U O Sogget t i , p red i ca t i , esistenza

es i s tenzia le di A sia f a l sa . In m o d o ana logo , E e I sono soltanto contrar ie .

La nuova interpretaz ione preserva la va l id i tà de l la convers ione per acciilens di A in I. ma non (¡nella di E in 0. Inoltre , essa rende inva l ida la convers ione s e m p l i c e di E. Le f o r m u l e ' αβ = I) , α Φ O' e ' βα = O . β φ Ο ' non sono af fat to equ iva lent i . D i re ' Ne s s uno è ins ieme un architetto e un a n g e l o ; e c 'è a l m e n o un architet to " non è lo stesso di d i re * Nessuno è ins ieme un ange lo e un a r c h i t e t t o ; e c 'è a l m e n o un a n g e l o ' . E con la va l id i tà de l l a convers ione s e m p l i c e di E c a d e a n c h e la va l id i tà di un certo nu-mero di f o r m e del s i l l og i smo .

I l d i l e m m a , a l lo ra , diventa c h i a r o . Esso s i fonda su l la presup-pos iz ione che le sole in terpretaz ioni non a m b i g u e del s i s tema p e r le (piali le sue costanti si avv ic in ino in s ignif icato al loro uso o r d i n a r i o s i ano le due testé cons idera te . A meno che tale presup-pos iz ione non ¡tossa d imos t ra r s i e r ra ta , deve accettarsi la con-c lus ione che non esiste a lcuna in terpre taz ione congruente ed accet-tab i le del s i s tema nel la sua interezza.

I I I .

Soggetti e predicati

6. Q u e s t a conclus ione , e la p r e s u p p o s i z i o n e su l la q u a l e s i f o n d a , sono in real tà erra te . È per fe t t amente poss ib i le t rovare in-terpretaz ioni per le f o r m e A, E, I e O tali che per esse tutte le leggi del s i s tema t rad iz iona le pos sano essere va l ide ius ieme. Ci sono a l m e n o due metodi dis t int i , a n c h e se legati fra loro , me-d iante i (piali ciò p u ò rea l i zzar s i . Uno ha sol tanto un interesse l imi ta to e f o r m a l i s t i c o ; l 'a l tro i l lumina a l cune carat ter i s t iche ge-nera l i del nostro d i scorso o r d i n a r i o . Ma per quanto essi s i ano m o l l o di f ferent i per certi rispetti^ i m o d i in cui essi o p e r a n o p e r s a lvare la congruenza del s i s tema sono s t ret tamente legati . Presen-

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2 1 9

terò p e r p r i m a la so luz ione f o r m a l i s t i c a , in p a r t e a s c o p o eli com-p le tezza , e in p a r t e p e r la luce c h e e s sa getta su l l a s e c o n d a solu-z ione , o s o l u z i o n e rea l i s t i ca .

I l p r i m o m e t o d o consis te s e m p l i c e m e n t e in u n ' u l t e r i o r e ela-b o r a z i o n e del t ipo d ' i n t e p r e t a z i o n e in t e r m i n i di c l a s se o quant i -f i caz iona l i c h e g ià a b b i a m o c o n s i d e r a t o . S i t ra t ta d i u n a s p e c i e d i a c c o m o d a m e n t o ad hoc de l vecchio s i s t e m a fa t ta al f ine di rap-p r e s e n t a r l o , ne l la s u a interezza , c o m e u n a p a r t e del n u o v o . I l me-todo cons i s te ne l l ' ovv ia re ad ogni p e r d i t a d i v a l i d i t à che s i veri-fichi in u n a legge t r a d i z i o n a l e e m e n d a n d o l ' i n t e r p r e t a z i o n e di c l a s se o p r e d i c a t i v a sugger i ta in m o d o ta le c h e la p e r d i t a di vali-d i tà non a b b i a p i ù luogo . P e r e s e m p i o i l nos t ro s e c o n d o tentat ivo di f o r n i r e una t r a d u z i o n e in t e r m i n i di f o r m u l e p o s i t i v a m e n t e o n e g a t i v a m e n t e es i s tenzia l i c i ha l a s c i a to con t re leggi del q u a d r a t o d i o p p o s i z i o n e rese inva l ide . C o m i n c i a m o d u n q u e con l a preven-z ione ad hoc di ques te p e r d i t e di v a l i d i t à . D o b b i a m o d u n q u e r e n d e r e A e O cont radd i t to r i e . O r a , ne l l a t a b e l l a 2. A è k ~ ( 3 x ) ( f x . ~ gx) . ( 3 x ) ( f x ) ' ed O è ' ( 3 x ) ( f x . ~ g x ) ' . La cont radd i t -tor ia d i u n ' e s p r e s s i o n e de l l a f o r m a ' ~p . q ' è l ' e s p r e s s i o n e cor-r i s p o n d e n t e de l l a f o r m a ' ρ ν ~ q '. Di c o n s e g u e n z a d e c i d i a m o di d a r e ad O ques ta f o r m a r e i n t e r p r e t a n d o l a c o m e * ( 3.r )( fx . ~ g x ) ν ~ ( 3 . r ) ( f x ) ' . A ed 0 sono ora c o n t r a d d i t t o r i e . A n a l o g a m e n t e r e i n t e r p r e t i a m o I c o m e

( 3 x ) ( f x . g.r) v ~ ( 3 x ) ( f x )

di m o d o c h e essa diventa la c o n t r a d d i t t o r i a di E. clic c

~ ( 3 x ) ( f x . gx) . ( 3 x ) ( f x ) .

È ev idente che con questa m a n o v r a a b b i a m o s a lva t o la legge che 1 e O sono s u b c o n t r a r i e ( c i o è , c h e a s se rz ion i c o r r i s p o n d e n t i di que-ste f o r m e non pos sono es sere f a l s e i n s i e m e ) . Q u e s t a legge diven-tava i n v a l i d a p e r l e in te rpre taz ion i p r e c e d e n t i , p e r c h é a s se rz ion i di q u e s t e f o r m e potevano a m b e d u e e s sere f a l s e , nel ca so c h e la

Ib

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2 U O Sogget t i , p red ica t i , es istenza

c o r r i s p o n d e n t e as serz ione de l la f o r m a ( 3 . t ) ( / . r ) ' fosse vera . Ma nella nuova interpretaz ione la veri tà di questa a s serz ione è una cond iz ione sufficiente de l la veri tà di a m b e d u e le asserz ioni I e O : g iacché k q z> ρ ν q ' è ana l i t i ca . Né , s a lvando queste tre, s ac r i f i ch iamo q u a l c h e altra de l l e leggi del q u a d r a t o d i oppos i -z ione. A e E non sono state a l tera te , pe rc iò esse restano contrar ie . Le leggi ' A r) I ' e ' E 3 O 7 r i m a n g o n o va l ide . Infatt i la vecchia fo rma di I es ige la nuova f o r m a di I , ed A es ige la vecchia f o r m a di I ; qu indi A esige la nuova f o r m a di I . A n a l o g a m e n t e , E es ige la nuova O.

Ulter ior i e m e n d a m e n t i , tuttavia , s i rendono necessar i . S e b b e n e si s i ano sa lva le tutte le leggi del q u a d r a t o di oppos i z ione , non a b b i a m o a l terato la E del la t abe l l a 2 : s icché la sua convers ione s e m p l i c e r i m a n e inva l ida .

Se t r a s p o n i a m o i termini ( c i o è le var iab i l i p r e d i c a t i v e ) nel la f o r m u l a ' ( 3 x ) ( f x . gx) ν ~ ( 3 . v ) ( / . r ) ' o t ten iamo ' (3 .v)(g .v . f x ) ν ~ ( 3.v)( gx ) ": e queste f o r m u l e non sono al latto equ iva lent i . In-fatti " ~ ( 3 . v ) ( / . v ) . ( 3 . r ) ( g . v ) ' e s ige la p r i m a ed è incongruente con la s econda .

La rag ione per cui la convers ione di E cessava di essere va l ida era che ' ~ ( 3 . v ) ( g . v ) ' [ ο ' β = O * ] era congruente con

~ ( 3 . v ) ( / . v . gx) . ( 3 . v ) ( f x ) [ο αβ = Ο . α Φ 0]

ma non con la sua conversa s e m p l i c e

~ ( 3 . v ) ( g v . f x ) . ( 3 . v ) ( g . r ) [ο βα = Ο . β φ O ] .

La s i m m e t r i a ilei t e rmini di E può venire ovviamente r i s tab i l i t a , e l ' inva l id i tà prevenuta , ove si adotti l ' intepretaz ione

~ ( 3 * ) ( / . r . g . t ) . ( 3 . r ) ( / * ) . ( 3 * ) ( g * ) l o α β = Ο . α φ Ο . β φ O l

A n a l o g a m e n t e , la s i m m e t r i a di termini di I può venire r i s tabi l i ta r e in te rpre tando la come

( 3 x ) ( f x . g x ) y ~ ( 3 . v ) ( / . v ) ν ~ ( 3 v ) ( g . v )

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Soggett i e pred ica t i 221

c he m a n t i e n e altresì la sua pos i z ione di contraddi t tor ia di E. Adot-tando questa lettura p e r E e I ovv iamente ci co s t r ing iamo ad ope-rare u l ter ior i modi f icaz ioni ne l le a l t re f o r m e al lo scopo di preser-vare le loro relazioni log iche . G i a c c h é , p e r la regola di ohvers ione , " xAy ' è equ iva lente a ' * E y ' p o s s i a m o ottenere l ' in terpretaz ione a p p r o p r i a t a d i A sempl i cemente n e g a n d o i l secondo te rmine ( ' g ' o ' 0 ' ) p e r t rami te de l l 'u l t ima f o r m a che a b b i a m o indicato per E ; eon il che ot teniamo

~ ( 3 * ) ( / * . ~ g x ) . ( 3 * ) ( / * ) . ( 3 * ) ( ~ g * ) [ o p p u r e α β = Ο . α + Ο . 0 φ Ο ]

Infine 0 , in quanto contraddi t tor ia d i A, deve venir re interpreta ta come

( 3 x ) ( f x . g x ) v ~ ( 3 x ) ( f x ) v ~(3.r)( ~ gx).

A b b i a m o cosi , come nostra in terpre taz ione f ina le :

T a b e l l a 3

A ~ ( 3 * ) ( / * . ~ g x ) . ( 3 x ) ( f x ) . ( 3 . r ) ( ~ g x ) E ~ ( 3 x ) ( f x . g x ) . ( 3 x ) ( / x ) . ( 3 x ) ( g x ) I ( 3 x ) ( f x . g x ) y ~ ( 3 x ) ( / x ) y ~ ( 3 x ) ( g x ) O ( 3 x ) ( / x . ~ g x ) ν ~ ( 3 x ) ( / x ) v ~ ( 3 x ) ( ~ g x ) .

Per (piesta interpretazione tutte le leggi de l l a logica t r ad iz iona le r i m a n g o n o va l ide i n s i e m e ; ed esse r i m a n g o n o va l ide anche nel-l ' ambi to de l la logica del le c lass i o de l le f o r m u l e quant i f icate , c o m e una p a r t e d i que l la .

In tal m o d o quindi si può a s s i cura re la congruenza del si-s t ema . Ma i l prezzo paga to p e r tale congruenza po t rebbe sem-brare piuttosto alto, se s i a m o soprat tut to des ideros i ehe le costanti ' ogni ' (o ' tutti " ) , 4 q u a l c h e ' (o ' a lcuni ' ) , e ' nessuno ' r i f lettano i l t ip ico c o m p o r t a m e n t o logico di ques te p a r o l e nel l inguagg io ordì nar io . É veramente poco p l a u s i b i l e sugger i re ehe, se q u a l c u n o

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2 U O Sogget t i , p red i ca t i , esistenza

dice ' A lcuni studenti d ' ing lese r i ceveranno «licci ques t ' anno ' , con-diz ione sufficiente perché egli a b b i a fat ta un 'as serz ione vera s ia clic nessuno s tudente af fat to p r e n d a «licci ! E p p u r e questa s a r e b b e una conseguenza de l l ' accet taz ione « le l l ' interpretazione s o p r a for-nita per I . S i noti che l ' aver la sc ia to c a d e r e l ' imp l i caz ione di plu-ral i tà contenuta in ' a lcuni ' e l 'uso in sua vece di ' q u a l c h e ' o di " a l m e n o uno ' , contr ibuisce poco a l l a s car sa p laus ib i l i t à de l l a tra-duz ione . Non c o n s i d e r e r e m m o i l sugger imento suddet to p iù con-vincente nel caso di «pialcuno c h e d icesse ' A l m e n o uno s tudente ili inglese r iceverà dieci ques t ' anno ' . Q u i n d i la terza tabel la di t raduz ioni serve meno «Ielle a l t re due , se p u r serve, ad a t tenuare i l nostro senso di d ivergenza da l l ' u so l inguist ico comune .

7 . R i c o m i n c i a m o d u n q u e d a c c a p o , p r e n d e n d o l 'u l t ima tabe l l a come g u i d a . E non res t i amo vincolat i dal p re suppos to d o n d e sono scatur i te tutte queste dif f icoltà , e c ioè che , q u a l u n q u e interpreta-zione s i dia a l le quat t ro for ine , d e b b a trattarsi di un ' interpreta-z ione in termini e sp l i c i t amente es i s tenzia l i e che tutte le a s serz ioni de l le quat t ro f o r m e d e b b a n o essere pos i t ivamente o nega t ivamente es i s tenzia l i , o a m b e d u e le cose a s s i eme . Si sup-ponga che ipia lcuno dica * Tut t i i b a m b i n i di Giovanni sono ad-dormenta t i ' . È ovvio che egl i n o r m a l m e n t e , o p r o p r i a m e n t e , non dirà ciò se non crede che Giovanni a b b i a b a m b i n i ( c l i c sono a d d o r m e n t a t i ) . Ma s u p p o n i a m o che egli s i sbag l i . S u p p o n i a m o che Giovanni non a b b i a nessun b a m b i n o . A l lo ra è vero o fa l so clic tutti i bambin i di G iovanni sono a d d o r m e n t a t i ? C ia scuna de l le d u e r i sposte poss ib i l i po t rebbe s e m b r a r tale da fuorv ia rc i . Ma non s i a m o costretti a darne nes suna . P o s s i a m o dire , e normal-mente d i r e m m o , che. «lato che G i o v a n n i non ha figli , la ques t ione non si pone . Ma se la f o r m a de l l ' a s serz ione fosse

la r i sposta corretta a l la ques t ione c irca la sua veri tà s a r e b b e k Si ' ,

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perché " ~ ( 3 . v ) ( / * ) ' è una cond iz ione sufficiente de l la verità d i • ~ ( 3 . r ) ( / . r . ~ g . r ) \ E se la f o r m a de l l ' a s serz ione fosse o

~ ( 3 * ) ( / . r . ~ g x ) . ( 3 * ) ( / * ) [ T a b e l l a 2 ]

o p p u r e

~ ( 3 x ) ( f x . ~ g x ) . ( 3 * ) ( / * ) . ( 3 . v ) ( ~ g * ) [ T a b e l l a 3 ]

la r i sposta corretta al la ques t ione s a r e b b e che l ' a s serz ione e f a l s a ; infatti ' ~ ( 3.V ) ( / . * ) ' è incongruente con a m b e d u e queste for-mule . Ma non riesce na tura le di tiare né l 'una né l 'a l tra r i sposta per il s e m p l i c e fatto che la classe-soggetto è vuota . Si d ice piut-tosto che la quest ione del la veri tà o fa l s i tà de l l ' a s serz ione sempl i -cemente non s o r g e ; che una de l le condiz ioni per r i sponderv i in un m o d o o nel l 'a l t ro non è sodd i s f a t t a .

L ' a d o z i o n e di una qua l s i a s i de l l e ana l i s i e sp l i c i t amente esi-s tenzia l i , s ia d i quel la nega t ivamente es i s tenzia le ( t a b e l l a 1 ) , s ia di que l l a fatta mediante una cong iunz ione di component i positi-vamente e negat ivamente es i s tenzia l i ( t a b e l l e 2 e 3 ) , ci obb l i ga a conc ludere che la non esistenza dei b a m b i n i di G iovanni è suf-ficiente a de terminare la verità o la fa l s i tà de l l ' a s serz ione g e n e r a l e ; la rende vera per la p r i m a ana l i s i , f a l sa per le a l t re d u e . La concezione più real ist ica s e m b r a esser que l l a per cui l 'es istenza dei b a m b i n i di Giovanni è una precondiz ionc necessar ia non soltanto de l la verità di ciò che vien detto, ma del suo essere o vero o fa l so . Il che suggerisce la pos s ib i l i t à di in terpre tare tutte e quat-tro le f o r m e ar is totel iche su ques ta l i n e a : c ioè, coinè f o r m e tali ebe la ques t ione della verità o fa l s i tà de l l e asserzioni che le esem-pl i f icano è quest ione clic non si pone ove la classe-soggetto non abb ia m e m b r i .

E impor tan te rendersi conto del p e r c h é si s ia esitato ad adot-tare una concezione del genere di a l m e n o a lcune asserz ioni ge-nera l i . È p r o b a b i l m e n t e da r i tenersene r e s p o n s a b i l e l ' inf luenza de l la t r icotomia ' o vero o f a l so o pr ivo di senso ' in quanto appl i -

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cata a l le asserz ioni . Q u e s t a t r icotomia , infatt i , contiene una con-f u s i o n e : la confus ione fra enunc ia lo e a s s e r z i o n e 1 . N a t u r a l m e n t e , l ' enuncia to ' Tutt i i b a m b i n i di G iovanni sono a d d o r m e n t a t i ' non è pr ivo di senso. Es so è anzi per fe t t amente s igni f icante . Ma è senza senso d o m a n d a r e , dell'enunciato, se c vero o fa l so . B i s o g n a d i s t inguere f ra ciò clic può esser detto eirea r e n u n c í a l o , e ciò ebe p u ò esser detto c irca le as serz ioni fatte, in occas ioni d i f ferent i , m e d i a n t e l 'uso de l l ' enuncia to . La ques t ione de l la verità o fa l s i tà può sorgere soltanto r iguardo a l le a s s e r z i o n i : ed intorno a ques te essa , q u a l c h e volta , può m a n c a r e d i sorgere . Ma d i re e b e colui ebe usa l ' enunciato nel caso clic a b b i a m o i m m a g i n a t o m a n c a di d i re una qua l s i a s i cosa che s ia o vera o f a l s a , non e q u i v a l e a d i re che l ' enunc ia lo clic egl i p ro fe r i s ce e pr ivo di senso. Né con c iò s i nega che egli facc ia un errore . N a t u r a l m e n t e , è scorretto (o fal-l a c e ) da par te sua l 'uso d i ques t ' enunc ia to senza ( « ) che pensi d i r i fer irs i ad a lcuni b a m b i n i che r i t iene essere a d d o r m e n t a t i ; ( />) che pensi che G iovanni ha b a m b i n i ; ( c ) che pensi che i b a m b i n i a i qua l i s i r i fer i sce sono quel l i d i G iovanni . P o t r e m m o d i re clic u sando l ' enuncia to egl i si impegna ad a f f e r m a r e l 'esi-stenza dei b a m b i n i di G i o v a n n i . S a r e b b e , a p r i m a vista, una sorta di a s surd i tà logica il d i re ' Tut t i i b a m b i n i di G iovanni sono ad-dormenta t i ; ma Giovanni non ha b a m b i n i ' . E po s s i amo esser tentati di pensare che questo genere di a s surdi tà logica sia un'auto-cont radd iz ione del le più d i r e t t e ; ed esser qu indi sp int i una volta di p i ù ad un 'ana l i s i del t ipo di que l l a de l la tabe l la 2 ; e q u i n d i a l l a conclus ione che chi d icesse ' T u t t i i b a m b i n i di G i o v a n n i sono a d d o r m e n t a t i ' , (p iando Giovanni non a b b i a f ig l i , f a r e b b e un 'a s se rz ione fa l sa . Ma non è necessar io che* per il fatto che si è r i levata questa sor la di a s surd i t à , si venga avviat i a questa con-c lus ione . Se infatti un ' a s se rz ione A p r e s u p p o n e un 'a s se rz ione A' nel senso che la verità di A' s ia una precondiz ione de l la verità-o-

1 C f r . c a p i t o l o I , p . 7 .

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Sogge t t i e p r e d i c a t i 2 2 5

f a l s i t à tli A . a l l o r a c i s a r à n a t u r a l m e n t e un q u a l c h e g e n e r e d i a s s u r d i t à log i ca nel c o n g i u n g e r e A con la n e g a z i o n e di A ' . È pre-c i s a m e n t e q u e s t a l a r e l a z i o n e c h e sus s i s te , nel c a so da noi i m m a -g i n a t o , f r a l ' a s s e rz ione c h e tutt i i b a m b i n i d i G i o v a n n i s o n o ad-d o r m e n t a l i ( A ) e l ' a s s e rz ione c h e G i o v a n n i h a b a m b i n i , c h e esi-s tono b a m b i n i d i G i o v a n n i ( A ' ) . M a d o b b i a m o d i s t i n g u e r e que-sto g e n e r e di a s surd i t à l o g i c a d a l l a d i r e t t a a u t o - c o n t r a d d i z i o n e . È a u t o - c o n t r a d d i t t o r i o c o n g i u n g e r e A con l a n e g a z i o n e d i A ' se A ' è u n a c o n d i z i o n e neces sa r i a s e m p l i c e m e n t e d e l l a v e r i t à , d i A . L'u d i v e r s o g e n e r e d i a s s u r d i t à l o g i c a s i ha q u a n d o s i c o n g i u n g e A con la n e g a z i o n e di A ' , se A' è u n a c o n d i z i o n e n e c e s s a r i a d e l l a verità o falsità di A. La r e l a z i o n e f r a A e A' nel p r i m o c a s o è c h e A e s i ge A ' . A b b i a m o b i s o g n o d i un n o m e d i f f e r e n t e p e r l a rela-z ione f r a A e A ' nel s e c o n d o c a s o ; d i c i a m o , c o m e d i c e v a m o s o p r a , cite A presuppone A ' .

S o t t o la m a n c a t a d i s t i n z i o n e f r a e n u n c i a t o c a s s e r z i o n e , e sot to l a t r i c o t o m i a s p u r i a ' v e r o , f a l s o , o p r i v o d i s e n s o ' , p o s s i a m o sco-pr i r e l ' a z i o n e d i un u l t e r i o r e p r e g i u d i z i o l og i co c h e c o n t r i b u i s c e a cl ic i fatt i del l i n g u a g g i o ci s i a n sot t ra t t i a l l a v i s t a . P o s s i a m o d e s c r i v e r e c iò c o m e l a c r e d e n z a o , f o r s e m e g l i o , c o m e i l d e s i d e r i o che , s e un e n u n c i a t o p r o f e r i t o da u n a p e r s o n a , in un cer to mo-m e n t o e in un certo pos to , dà l u o g o ad u n ' a s s e r z i o n e v e r a , a l l o r a q u e l l ' e n u n c i a t o p r o n u n z i a t o da u n ' a l t r a p e r s o n a , in un a l t r o mo-m e n t o . in un a l t ro p o s t o , d i a a n c o r a l u o g o ad u n ' a f f e r m a z i o n e vera . R i e s c e , n a t u r a l m e n t e , i n c r e d i b i l e c h e u n log i co f o r m a l e pos sa c r e d e r e a ciò s e n z a e s s e r f u o r d i s e n n o . R i e s c e tu t tav ia m o l t o n a t u r a l e c h e essi d e s i d e r i n o c h e le cose s t i a n o cos i , e c h e q u i n d i p a r l i n o c o m e se c iò fo s se i l c a s o . E a c o l o r o c h e s o n ten-tati d i p a r l a r e c o m e se cos i f o s s e , l a d i s t i n z i o n e f r a e n u n c i a t i e a s s e r z i o n i su l l a q u a l e ho ins i s t i to non s i p r e s e n t e r à o s e m b r e r à p o c o i m p o r t a n t e . P e r c h é q u e s t a c r e d e n z a - d e s i d e r i o d e b b a r i u s c i r n a t u r a l e a i log ic i f o r m a l i , e q u a l i u l t e r i o r i ef fett i e s sa a b b i a , è cosa c h e d i s cu te rò p i ù i n n a n z i .

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2 U O Sogget t i , pred ica t i , esistenza

Ed ecco d u n q u e c iò clic p r o p o n g o . Ci sono molti enuncia t i d 'uso o rd inar io che c o m i n c i a n o con espress ioni qua l i ' Ogni . . . ' , ' Tutt i . . . ' , ' Nes suno . . . ' . ' Ne s suno dei . . . ' , ' Q u a l c h e . . • Alcuni . . . ' , ' A l m e n o un A l m e n o uno dei . . . ', i q u a l i , nel

loro i m p i e g o t ipico, mos t rano carat ter i s t iche para l l e l e a que l l e testé descritte p e r i l caso di un enuncia to rappresenta t ivo con " Ogni . . . ' Con ciò vogl io d i re che l 'es istenza di m e m b r i de l la classe-soggetto deve cons iderar s i p r e s u p p o s t a ( n e l senso s p e c i a l e d e s c r i t t o ) da l l e asserzioni fatte con l ' imp iego di quest i e n u n c i a t i ; deve cons iderar s i d u n q u e c o m e una condiz ione necessar ia non s e m p l i c e m e n t e de l la ver i tà , ma de l la verità o fals i tà di tal i asser-z ioni . P r o p o n g o che le quat t ro f o r m e ar i s tote l iche d e b b a n o venir interpreta le come f o r m e di asserz ioni d i ques to genere . L ' a d o z i o n e di ques ta propos ta p re se rverà i l s i s tema da l l ' accusa di es sere incongruente q u a n d o venga i n t e r p r e t a t o ? La r isposta è ovv iamente a f f e r m a t i v a , infatt i ogni caso di inva l id i tà , di decad imento del le leggi , sorge a causa de l la non-esistenza di m e m b r i per q u a l c h e classe-soggetto, non-esistenza che pur riesce c o m p a t i b i l e con la ver i tà , o con la fa l s i tà , di q u a l c h e as serz ione avente una de l le quat t ro f o r m e . Cosi la nostra p r o p o s t a , che rende la non-esistenza di m e m b r i del la classe-soggetto i n c o m p a t i b i l e s ia con la veri tà che con la fa ls i tà di q u a l u n q u e a s serz ione di queste f o r m e , riine-d ierà in una volta so la a tutti quest i inconvenienti . D o b b i a m o i m m a g i n a r e che ogni regida logica del s i s tema , q u a n d o sia e spres sa in t e rmin i di veri tà o fa l s i tà , s ia preceduta da l l a f ra se ' Presup-posto che le asserzioni di cui trattas i s i ano o vere o fa l se , al-lora . . . " Cos i la regola clic A è la contraddi t tor ia di O s tab i l i sce che . se asserzioni corrispondenti delle forme A e O hanno am-bedue valori di verità, a l lora devono avere valori di ver i tà op-posti ; la regola che A es ige I s t ab i l i s ce che . se asserzioni corri-spondenti di queste forme hanno valori di verità, a l l o r a , se 1 a s serz ione de l la f o r m a A e vera , l ' a s serz ione de l la f o r m a 1 deve essere vera ; e cosi v ia . Il sugger imento che le regole di i m p l i c a n z a

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Soggett i e predica t i 227

d o v r e b b e r o essere intese a questo m o d o non è p e c u l i a r e del caso presente ' . P e c u l i a r e del caso presente è so lo i l requi s i to ebe , af-finché ad ogni asserz ione avente una de l le quattro f o r m e c o m p e t a un va lore «li ver i tà , affinché c ioè essa s ia o vera o f a l s a , è neces-sar io che la classe-soggetto a b b i a m e m b r i .

È a b b a s t a n z a ovvio che l ' adoz ione di «piesto sugger imento sa lverà da l decad imento tutte le regole del s i s tema t rad iz iona le , con la so la eccezione di que l l e che permet tono la convers ione s e m p l i c e di E e di I , oss ia ne c o m p o r t a n o la va l id i t à . Il fatto che la classe-soggetto cui si r i fer i sce un 'a s se rz ione avente una «li «pte-ste d u e f o r m e debba essere non-vuota aff inché l ' a s serz ione s ia vera o f a l s a , non garantisce , nel ca so de l l a verità «li un ' a s se rz ione li o «Iella fa l s i tà «li un 'as serz ione 1, che non sia vuota la classe-pred ica to . Q u e s t a era la rag ione per cui le interpretaz ioni f inal i della tabe l la 3 r ichiedevano p e r c i a scuna fo rma tre c o m p o n e n t i al posto «li due . Ma ciò, pur e s sendo vero, non cost i tuisce un'obie-zione, né por la al decad imento «Ielle rego le cosi come ora noi le in tendiamo. F o r s e cosi un 'a s serz ione del la f o r m a * .rEy ' po t rebbe esser vera mentre la cor r i spondente as serz ione de l la f o r m a ' yE.r ' non s a r e b b e né vera né f a l s a . Ma tutto ciò che r i c h i e d i a m o è che nel la mi sura in cui corr i spomlent i asserzioni de l le f o r m e ' .rEy " e ' yE.v ' s iano a m b e d u e o vere o fa l se , esse d e b b a n o es-sere o a m b e d u e vere, o a m b e d u e fa l se . C iò ci è a s s icura to dal l ' in-terpre tare ' .vEy ' come la f o r m a de l le innumerevol i asserzioni di l inguaggio ord inar io , che c o m i n c i a n o con ' Nessun . . . ' o * Nes-suno dei . . .', del gimere descri t to in «¡ucsta sezione.

Cons ideraz ion i s imi lar i va lgono per I ; per quanto i l f a r menzione di I ci faccia r a m m e n t a r e di una riserva non pr iva di impor tanza che d o b b i a m o fare , p r i m a d i conc ludere sempl ice-mente che le costanti 1 ogni ', ' q u a l c h e ', ' nessuno ' del s i s tema t rad iz iona le possano venir intese, senza d a n n o per nessuna del le

1 C-fr. la trattazione del sistema vero-funzionale, copitolo I I I . ¡>|>. 09-91.

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2 U O Sogget t i , p red ica t i , esistenza

regole , come aventi e sa t tamente lo stesso s ignif icato che ques te p a r o l e hanno nel le m i r i a d i d i asserz ioni o rd inar i e del genere che s t i amo trat tando. E questo è un punto clic è già stato r i l e v a t o : che , c ioè, ' q u a l c h e ' , nel suo i m p i e g o più c o m u n e c o m e p a r o l a s e p a r a t a , ( p e r non d i re n a t u r a l m e n t e d i ' a l c u n i ' ) c o m p o r t a u n ' i m p l i c a z i o n e di p lura l i t à che è incongruente con il requi s i to che O d e b b a essere la prec i sa contraddi t tor ia di A, e I di E. Cos i ' q u a l c h e *, in quanto costante del s i s tema, deve venir interpre-tata come ' A l m e n o un . . . ' o ' A l m e n o uno dei .. .', mentre ' ogni ', ' tutti ' e ' nessuno ' possono venir letti senz 'a l t ro c o m e sono .

L ' in terpre taz ione de l le f o r m e t radiz ional i clic p r o p o n g o ha , d u n q u e , i merit i s e g u e n t i : ( a ) essa mette l ' intero corpo di leggi del s i s tema in g rado d i es sere accettato senza i n c o n g r u e n z a : ( b ) con la r iserva r i levata s o p r a , essa dà a l le costanti del s i s tema esat-tamente i l senso che esse h a n n o in un vasto g r u p p o di a s serz ioni del l inguagg io o r d i n a r i o : ( c ) essa mette in r i l ievo u n ' i m p o r t a n t e carat ter i s t ica genera le de l le as serz ioni di questo g r u p p o , e c ioè che , mentre l 'es istenza di m e m b r i del le loro classe-soggetti non è par te di ciò che viene asser i to d a l l e stesse, essa ne è tuttavia il p r e s u p p o s t o , nel senso clic a b b i a m o e s a m i n a t o . È ques t 'u l t ima carat ter i s t ica che rende poco p l a u s i b i l e che s i cons ider ino le as-serzioni di esistenza coinè o l ' intero senso, o part i congiunt ive o d i sg iunt ive , del senso di a s serz ioni o r d i n a r i e sul genere di ' Tutt i gli uomin i che l avorano sul le i m p a l c a t u r e sono a n d a t i l a c a s a ' o ' Alcuni uomin i sono ancora al l avoro ' . Q u e s t a era la rag ione p e r cui non ci r iusciva agevo le di cons iderare e spres s ioni qua l i ' ( . r ) ( / . t r> gx) 1 c o m e suscett ibi l i di fornire la f o r m a a quest i enunc ia t i , e la rag ione p e r cui il nostro imbarazzo non poteva venir e l imina to con la s e m p l i c e agg iunta di f o r m u l e pos i t ivamente o nega t ivamente es i s tenzia l i . Per s ino la r a s somig l i anza f r a ' N o n c è un solo l ibro nella sua s tanza che non s ia di au tore inglese ' e la fo rma nega t ivamente es i s tenzia le ' ~ ( 3 x ) ( f x . ~ gx) ' e ra fall acc . I.a p r i m a as serz ione , cos i come è n o r m a l m e n t e u sa t a .

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c o m p o r t a la p r e s u p p o s i z i o n e ' l ihr i-nel la-sua-stanza ' e<l è lien

lungi da l r i su l t a re per i m p l i c a n z a da ' non-un-l ihro-ncl la-sua-

s t a n z a ' ; m e n t r e l a s econda r i su l t a d a * ~ ( 3 . r ) ( / * ) ' . A c c a d e cos i

che se q u a l c u n o , con a r i a s o l e n n e , d i ea ' N o n c 'è un so lo l i b r o

s t r a n i e r o nel la sua s t a n z a 1 e poi r ivel i in segu i to c h e ne l l a s u a

s tanza non c i sono l ihri pe r n iente , noi non a b b i a m o già la sensa-

z ione c h e c i s ia s tata detta una b u g i a , b e n s ì d i e s ser s ta te v i t t ime

di una sor ta di inganno l ingu i s t i co . N a t u r a l m e n t e egl i non disse clic ne l l a s tanza ci fossero l ibr i di s o r t a , di m o d o che non d i s s e

n iente di f a l so . T u t t a v i a c iò c h e d i s se c i d a v a i l d i r i t to di p re sup-

p o r r e c h e ce ne fos sero , d i m o d o c h e c i ha f u o r v i a t i . P e r c h é c iò

clic lia detto fosse vero (o f a l s o ) e ra nece s sa r io ( s e b b e n e non suf-

f i c iente ) che c i fossero l ibr i ne l l a s u a s t a n z a . Di ques to g e n e r e

sott i le è la r e l a z i o n e fra ' N o n c 'è un l i b ro nel la s u a s t anza c h e non

sia d ' a u t o r e ing lese ' e ' Ci s o n o l ibr i ne l l a sua s t anza ' C i ò c h e

' Q u a l c u n o d i r à c l ic q u e s t i p u n t i non s o n o a f f a t t o p e r t i n e n t i in l o g i c a ( s o n o * m e r a m e n t e p r a g m a t i c i 1 ) . Se c h i a m a r l i 4 non p e r t i n e n t i in l o g i c a * s i gn i -fica d i r e c h e non s o n o c o n s i d e r a l i nei s i s t e m i f o r m a l i , a l l o r a s i t ra t ta d i c o s a clic non v o g l i o g i à m e t t e r e i n d i s c u s s i o n e , m a anz i d e s i d e r o s o t t o l i n e a r e . M a per la l o g i c a , in q u a n t o ha α c h e f a r e con le r e l a z i o n i f ra c la s s i g e n e r a l i d i a s s e r z i o n i c h e r i c o r r o n o n e l l ' u s o o r d i n a r i o , e con l e c o n d i z i o n i g e n e r a l i a l l e qua l i ta l i a s s e r z i o n i sono c o r r e t t a m e n t e c h i a m a t e ' v e r e ' o ' f a l s e ' , q u e s t i p u n t i non s o n o i r r i l e v a n t i . S o t t o a d e s s i p u ò c e r t o v e d e r s i u n a c o n s i d e r a z i o n e ' p r a g m a t i c a ' , u n a rego la g e n e r a l e d i c o n d o t t a l i n g u i s t i c a : e p r e c i s a m e n t e l a r e g o l a c h e non s i d e v e a v a n z a r e ( l o g i c a m e n t e ) l a p r e t e s a m i n o r e , q u a n d o s i possa v e r a c e m e n t e ( e con e g u a l e o m a g g i o r e e c o n o m i a l i n g u i s t i c a ) a v a n z a r e q u e l l a m a g g i o r e . S u p p o n i a m o p e r u n m o m e n t o c h e l a f o r m a 4 N o n c ' è u n s o l o . , . c h e non s i a . . . ' s i a introdotta nel l i n g u a g g i o o r d i n a r i o con lo s te s so s i g n i f i c a t o d i 4 ~(3ΛΤ) (fx . ~ g . r ) \ A l l o r a i l m o d o di o p e r a r e d i q u e s t a rego la g e n e r a l e c i i n i h i r e h h c l ' u s o d i q u e s t a f o r m a q u a n d o s i p o t e s s e d i r e vera-c e m e n t e s o l t a n t o ' N o n c 'è u n s o l o . . . ' ( o 4 ~ ( 3 . v ) ( / * ) ' ) . E p e r o p e r a d i q u e s t a i n i b i z i o n e s i t e n d e r e b b e a c o n i e r i r e a l l a f o r m a i n t r o d o t t a esat ta-m e n t e q u e l l e p r e s u p p o s i z i o n i l o g i c h e c h e h o d e s c r i t t o : l a f o r m a s t e s s a t ende-r e b b e , o v e non r i m a n e s s e i n e r t e , a s v i l u p p a r e p r o p r i o l e g i à s o t t o l i n e a t e d i f fe-r e n z e d e l l a l o g i c a d e l l a f o r m a s i m b o l i c a c h e e s s a e r a i n t r o d o t t a a r a p p r e s e n t a r e , l a ( u n z i o n e d i q u e s t a ' r e g o l a p r a g m a t i c a ' m i ( u p o s t a p e r l a p r i m a v o l t a i n r i l i evo , in una c o n n e s s i o n e d i v e r s a , du I I . P . O r i c e .

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2 U O 249 Sogget t i , p red ica t i , es istenza

in questo caso , p iù che nel caso del cor r i spondente enuncia to di f o rma ' T u t t i " , a l lenta la nostra resistenza a l l ' ana l i s i negativa-mente es i s tenzia le è la potente at traz ione de l la f r a se negat iva d ' aper tura * N o n c 'è . . . '

P e r ev i tare f r a in tend iment i «levo agg iungere un punto a pro-posito di questa in terpre taz ione del le f o r m e del s i s tema tradizio-nale clic ho propos to . Non pre tendo che essa r appre sent i fedel-incntc le intenzioni dei suoi p r i n c i p a l i sostenitor i . Essi e r a n o , forse , più interessati a f o r m u l a r e regole clic governino le re laz ioni log iche di asserzioni genera l i più degne di a t tenzione che non que l l e p r o p r i e del la vita q u o t i d i a n a che io ho preso soprat tut to in c o n s i d e r a z i o n e ; e rano interessat i , per e s e m p i o , ai poteri logici de l le genera l izzaz ioni sc ient i f iche , o di altri enunciat i che si av-v ic inano molto di più a l le condiz ioni des idera te per cui , se ne r i sulta un 'as serz ione vera q u a n d o s i ano pronunzia t i da q u a l c u n o , in un ([uniche m o m e n t o , in un q u a l c h e lungo, a l lora d e b h a avve-nire lo stesso «[liando s i ano pronunz ia te da qua lcun a l t ro , in «pia-l u m p i c altro m o m e n t o , in «pinlunquc al tro luogo. D o b b i a m o con-s idera re tuttavia in q u a l e m i s u r a la presentaz ione fatta di a lcuni enunciat i genera l i del d i scorso or i l inar io sia adegua ta p e r tutte le genera l i zzaz ioni .

8. Riesce i l luminante a questo punto la c o n s i d e r a z i o n e di un 'a l t ra crit ica or todossa a l la logica t rad iz iona le . S i «lice spes so che i logici t rad iz iona l i c o n f o n d e v a n o «lue re laz ioni a f fa t to dif-ferent i , e p rec i s amente que l l e di c lasse- inclusione e di classe-ap-par tenenza : che essi a s s i m i l a v a n o e r roneamente le asserz ioni di c la s se-appar tenenza a l le asserz ioni «li c lasse- inclus ione. Il nucleo di «piesta «'ritica sta in ciò clic i logici t rad iz iona l i , mess i di f ronte a una s ingola a s serz ione categor ica come «piella fat ta con le pa-role ' Cesare è morto \ la «piale ver rebbe ora c lass i f icata c o m e u n a as serz ione s ingo lare pred ica t iva o di c l a s se-appar tenenza , comu-nemente la a s segnavano a l la f o r m a A. E la sua negaz ione ' Ce sa re

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231

non è m o r t o ' , l a a s s e g n a v a n o a l l a f o r m a E. Le o s servaz ion i esp l i -ca t ive che d ' o r d i n a r i o a c c o m p a g n a n o q u e s t a d e c i s i o n e non pre-s e n t a n o g r a n d e interesse . È c h i a r o che la sua g iu s t i f i caz ione , se g ius t i f i caz ione c 'è , deve s t a r e in q u a l c h e stretta a n a l o g i a f r a i poter i f o r m a l i d i una s i m i l e a s s e r z i o n e c que l l i d i a l t re a s se rz ion i de l l a c l a s se a l l a qua le essa è a s s e g n a t a .

Ora se le a s serz ioni genera l i de l l a f o r m a A fos sero in effett i a s se rz ion i di c la s se- inc lus ione ( c i o è a s se rz ion i «Iella f o r m a ' α C 0 ' o 1 ( .v ) ( fx 3 gx) ' - o a n c h e - ~ ( 3 . r ) ( / . r . ~ g x ) . ( 3 v ) ( / . v ) ' ) , le c r i t i che m o d e r n e s a r e b b e r o o v v i a m e n t e corret te . I poter i f o r m a l i ili ques te a s serz ion i n e g a t i v a m e n t e (o n e g a t i v a m e n t e c pos i t iva-m e n t e ) e s i s tenz ia l i sono m o l t o d i f f e rent i da que l l i d i a s s e rz ion i del t i p o di c l a s s e - a p p a r t e n e n z a o s e m p l i c e m e n t e p r e d i c a t i v o . Q u a n d o s i a b b i a a d i s p o s i z i o n e un s i m b o l i s m o log ico atto ad e spr i -m e r e l e f o r m e d i a s serz ioni d i cert i t i p i , p o s s i a m o d i r e che d u e a s se rz ion i del genere sono de l l a s tes sa f o r m a so lo se u n a ili esse e s e m p l i f i c a q u a l c h e f o r m u l a s i m b o l i c a c h e è e s e m p l i f i c a t a a n c h e d a l l ' a l t r a . A l l o r a , e so l tanto a l l o r a , c i s a r à q u a l c h e a n a l o g i a f r a i loro poter i f o r m a l i ; c ioè , q u a l c h e legge o m o d e l l o d ' i n f e r e n z a che s i a p p l i c h i ad a m b e d u e . Cos i i l d i r e cl ic le s e m p l i c i a s s e rz ion i p red ica t ive sono d i f o r m a t o t a l m e n t e d i f f e ren te d a l l e a s s e rz ion i ili c l a s se- inc lus ione s igni f ica a d d i t a r e fatt i cosi ovvi c o m e q u e l l i c h e ' fx ' e ' ( x ) ( f x 3 g x ) ' non si e s e m p l i f i c a n o l 'una con l ' a l t r a ; che non c 'è u n a f o r m u l a c o m u n e c h e s ia e s e m p l i f i c a t a d a a m b e -d u e ; che u n a legge c o m e

( * ) ( / * =5 g.r) . ( . r ) ( g . r r> hx) r> ( * ) ( / * => hx)

è i r r i d u c i b i l m e n t e d i f fe rente per f o r m a da u n a legge c o m e

fy · ( * ) ( / * =3 £·»') gy

e cos i v ia .

La va l id i t à d i questa cr i t ica de l m o d o d i p r o c e d e r e dei log ic i t r a d i z i o n a l i d i p e n d e t o t a l m e n t e , tu t tav ia , d a l l a p r e s u p p o s i z i o n e

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232 Sogget t i , pred ica t i , es istenza

che asserzioni «Iella f o r m a A possan corret tamente cons iderar s i c o m e asserzioni di c lasse- inclus ione, nel senso at tr ibui to a questa f r a se «lai logici m o d e r n i . G i a c c h é ques t ' a s sunzione è f a l s a , la cri-tica è tota lmente i n v a l i d a . Ciò non vuol d i re che i l p r o c e d i m e n t o t rad iz iona le fosse in effetti g iu s t i f i ca to ; vuol d i re so l tanto che non è poss ib i le d i r i m e r e la «picstione l imitandos i a cons idera re il s i m b o l i s m o del ca lcolo pred ica t ivo .

Le ana log ie f o r m a l i che c o l p i v a n o i logici t r ad iz iona l i sono abbas t anza ovvie . Se uno dice , per e s e m p i o , di tutti i m e m b r i di un ceriti g r u p p o , che h a n n o una certa carat ter i s t ica , e che qua-hinque cosa a b b i a que l l a carat ter i s t ica ha anche una ccr t ' a l t ra ca raner i s t i c a , ne consegue a l lora clic tutti i m e m b r i del g r u p p o in ques t ione hanno la seconda carat ter i s t ica . A n a l o g a m e n t e , se u n o dice «li una certa cosa i n d i v i d u a l e che ha una certa caratte-r is t ica , e che ogni cosa che ha «piclla caratter i s t ica ha una ccr t ' a l t ra cara l ter i s t i ca , consegue a l lora che la cosa ind iv idua le in «piestione ha la seconda carat ter i s t ica . A n a l o g h e conclus ioni d i scendono in questi casi da a n a l o g h e premes se , e il fatto che si par l i «li un indiv iduo o di tutti i m e m b r i di un g r u p p o non fa d i f ferenza quanto al la va l id i tà de l l ' in fe renza . Cosi i logici t rad iz iona l i e r a n o indotti da «piesta a n a l o g i a a d i re che a m b e d u e i t ipi di in ferenza e r a n o del lo s c h e m a * xAy . yAz .'. χ A ζ '. L ' a s segnaz ione a l la f o r m a A «Ielle asserzioni p red ica t ive s ingo lar i equ iva l e a p p u n t o ad adot-tare questo metodo che pone in spec i a l e r i l ievo poche a n a l o g i e fo rmal i di tal genere . B i sogna a m m e t t e r e che s i tratta di un metodo , per certi r i spet t i , scelto ma le . Se le as serz ioni d i una certa c lasse s i «levon c h i a m a r e asserz ioni de l la f o r m a A, d o b b i a m o aspettarc i clic le a n a l o g i e f o r m a l i f ra esse ed a l t re asserz ioni di que l l a f o r m a s i ano c o m p l e t e ; invece nel caso «Ielle as serz ioni sin-golar i non t rov i amo u n ' a n a l o g i a p l aus ib i l e , a«l e s e m p i o , con la regola che A esige I . N o n d i m e n o , l ' ana log ia f o r m a l e p a r z i a l e esiste ; e non era a s surdo r i l evar l a nel m o d o t rad iz iona le .

L i m p o r t a n z a de l la cr i t ica m o d e r n a , tuttavia , non sta nell 'oc-

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Soggett i e p red ica t i 233

cas ione che essa ci offre di d i f e n d e r e i l p roced imento t r ad i z iona le su di un punto re la t ivamente b a n a l e . Sta piuttosto in c iò , che ci r ivela una cur iosa impl i caz ione che scatur i sce d a l l ' a s s u m c r e che i s i s temi modern i s iano adegua t i a l l a logica del d i scorso o r d i n a r i o . I l o fatto notare in precedenza 1 che la dis t inzione f ra e spres s ioni indiv idua l i e pred ica t ive - d i s t inz ione fatta nel la logica quantif i-( •azionale — p u ò venir ben i s s imo intesa nei termini de l la distin-zione f ra la funz ione di r i f e r imento e la funz ione ascr i t t iva o di c lass i f icaz ione, funzioni che pos sono a m b e d u e essere eserc i ta te da l le espress ioni clic cost i tu i scono le asserzioni del l inguagg io o r d i n a r i o . D i a m o la d e n o m i n a z i o n e logica di * asserzioni soggetto-predicato ' a l le asserzioni per f a r e le (piali u s i a m o una par te del nostro enuncia to con f u n z i o n e re ferenz ia le e la par te r imanente con funz ione ascrittiva o c la s s i f i ca tor ia . Si tratta di una denomi-nazione r a g i o n e v o l e ; noi infatti u s i a m o i l soggetto g r a m m a t i c a l e di un enuncia to del genere con la p r i m a funz ione , e il p red ica to g r a m m a t i c a l e con la s econda . C o m ' è na tura le , la logica quantif i-caz iona le r i serva un posto sol tanto ad alcune e spress ioni referen-zia l i , e p rec i s amente a que l l e c h e possono a p p a r i r e c o m e va lor i di var iab i l i ind iv idua l i . Es sa del par i r i serva un posto ad alcune asserzioni sogget to-predica to : c ioè ad asserzioni s ingo lar i di ap-partenenza d i c lasse o pred ica t ive ( d e l l a f o r m a ' . ν ε α ' o l f x ' , dove .ν ha per valori e spres s ioni i n d i v i d u a l i ) , a s serz ioni clic non sono né pos i t ivamente né nega t ivamente es i s tenzia l i . Q u a n d o s i cons idera la logica quant i f i caz iona le come a d e g u a t a p e r l ' ana l i s i de l le o rd inar ie asserzioni ca tegor iche , in genera le ci s i basa sul cur ioso p r e s u p p o s t o che le so le asserzioni sogget to-predicato s i ano , per d i r la a l la b u o n a , asserz ioni al s ingo lare , e ehe tutte le a l tre asserz ioni ca tegor iche s iano pos i t ivamente o negativa-mente es i s tenzia l i . Ma n a t u r a l m e n t e noi po s s i amo riferirci a o par-lare di i m e m b r i di un g r u p p o co l le t t ivamente , e sa t tamente nel lo

1 Cfr . rapitolo V. seziono 5.

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253 Sogget t i , pred ica t i , es i s tenza

stesso m o d o in cui ci si può r i fer i re a m e m b r i ind iv idu i di un g r u p p o o p a r l a r e degl i stessi . Si confronti un 'a s serz ione fatta con le paro le ' La s ignor ina Rob inson è anda ta a casa ' con un'asser-zione fa l l a con le p a r o l e * Tutt i i m e m b r i del la f a m i g l i a Rob inson sono andat i a casa ' . I l soggetto g r a m m a t i c a l e di c iascun enuncia to è usato in m o d o re ferenz ia le , in un caso in r a p p o r t o a un indivi-duo . nel l ' a l t ro in r a p p o r t o ai m e m b r i di un g r u p p o . Un riferi-mento del genere non può essere fatto se non esiste un s i f fat to ind iv iduo , o se non es i s tono m e m b r i di tale g r u p p o . Cos i ogni as serz ione c o m p o r t a una p r e s u p p o s i z i o n e di e s i s t e n z a : ma nes-suna del le d u e asserz ioni e es i s tenzia le . Se q u a l c u n o cominc ia s se uno dei d u e enuncia t i e non potesse f inirlo, non a v r e b b e fatto asserz ione di sor ta , e tanto meno un 'as serz ione clic sia o es iga un 'as serz ione e s i s t e n z i a l e : ma egli tuttavia p o t r e b b e esser già r iuscito a r i fer irs i a q u a l c h e ind iv iduo o ai m e m b r i di q u a l c h e g r u p p o , cosa che non po t rebbe fars i se un s i f fa t to ind iv iduo o a lcuni m e m b r i d i un tale g r u p p o non es i s tessero. Le m i e p ropos te per l ' in terpretaz ione del s i s tema t rad iz iona le s i sono in gran par te conf igurate nel f a r r i l evare che mol te asserz ioni o r d i n a r i e che iniz iano con le p a r o l e ' tutti ' , 4 nessuno ' , 4 a l m e n o uno ' sono , pro-pr io secondo la loro t r ad i z iona le des ignaz ione , asserz ioni soggetto-predica to . Tut to ciò clic i l s i s tema fa è di da r conto, in m o d o molto incompleto , del le re laz ioni logiche fra asserz ioni di questo genere , permet tendo l imi ta te var i az ion i f o r m a l i , sotto i nomi di quant i t à e qua l i t à .

9 . Con la mia presente insistenza sul le s i m i g l i a n z c fra asser-zioni s ingolar i e p l u r a l i che ho class i f icato a s s i eme d e s i g n a n d o l e con l ' e spress ione sogget to-predicato , non vogl io negare che esse mostr ino anche de l le d i f ferenze . Vog l io soprat tut to mettere in r i l ievo i l loro connine contrasto r ispetto a l le asserz ioni negativa-mente e p o s i t i v a m e n t e es i s tenzia l i , e mi avva lgo de l la cr i t ica ortodossa ili cui s 'è d i scusso ne l l 'u l t ima sez ione p e r mettere in

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Soggetti e predicat i 235

luce l ' incongrua presupposiz ione di cui quel la si sostanzia, c ioè che le sole asserzioni categoriche che potrebbero in tal m o d o venir contrapposte alle asserzioni esistenziali sarebbero le asser-zioni al s ingolare. £ istruttivo prender nota di un risultato ulte-riore di questa p re suppos i z ione ; istruttivo perché il lustra come la tensione fra fatto linguistico e dogma logico può f a r a l l ignare un ingegnoso errore.

Se ' J a c k Straw è f e l i c e ' ( A i ) è un enunciato che verrebbe usato per fare un'asserzione soggetto-predicato, cosi, ovviamente è tale anche ' J a c k Straw e Mary Straw sono ambedue fel ici ' ( A 2 ) . A2 è un enunciato al p lura le . Ma esso non solleva nessuna diffi-coltà seria per il dogma ; esso infatti può venir correttamente rap-presentato come equivalente ad una congiunzione di sentenze s ingolari , cioè a ' J a c k Straw è felice e Mary Straw è fel ice ', che esemplif ica la formula ' fx . fy '. Ma se A] e A2 sono enunciati sog-getto-predicato, sembra incongruo sostenere che ' Tutt i gli Straw sono f e l i c i ' ( A 3 ) non lo s ia , ma lgrado abb ia forma tutta diversa , e precisamente forma posi t ivamente e / o negat ivamente esisten-ziale. Si cerca perciò qualche volta di r ipetere con A 3 la manovra riuscita con A 2 , e di rappresentare anche A3 come una congiun-zione di enunciati s ingolari , cioè come equivalente a qualcosa come ' J a c k Straw è felice, e Mary Straw è felice, e Gugl ie lmo Straw è felice, e . . e cosi via Ora , anche se in un dato caso si sia in grado di completare l ' inventario, è ovvio che l 'asserzione fatta mediante il risultante enunciato congiuntivo non esige l'ori-ginario enunciato generale, né questo esige q u e l l o ; perciò essi non sono equivalenti . Per ass icurare l ' impl icanza in un senso bi-sogna aggiungere alle asserzioni s ingolari l 'asserzione generale che questi sono tutti gli Straw esistenti. Per ass icurare l ' impl icanza nell 'altro senso, è necessario e l iminare le asserzioni s ingolari tra-

1 L ' e q u i v a l e n z a q u i s n g g e r i l a è p i a c i u t a a i l og ic i a n c h e p e r a l t r e r a g i o n i o l t re α q u e l l e a c c e n n a t e s o p r a .

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236 Sogget t i , p red ica t i , es i s tenza

lasc iando ogni menz ione ind iv idua le degl i S traw ind iv idua lmente pres i . In tal m o d o il tentat ivo di rendere i d u e t ipi di a s serz ione equiva lent i è des t inato al f a l l imento . Ma l ' interesse ilei suggeri-mento sta nel fatto che , per la sp inta del le s i m i g l i a n z c real i f ra Ai e A3 che non si vogl iono ammet tere , si f iniscono col negare d i f ferenze rea l i . Le d i f f e renze sono che A 3 p a r l a e sp l i c i t amente del la total i tà di una co l lez ione , e che Ai e A2 non Io f a n n o ; che A3 non fa e sp l ic i ta menz ione di indiv idui par t i co l a r i , e che Ai e Ai la f anno . Si c nel giusto q u a n d o si osserva che s ia le asserzioni che p a r l a n o e sp l i c i t amente d i individui par t i co l a r i , s ia que l l e che non ne p a r l a n o , posson essere asserz ioni sogget to-predicato , e né as ser i re , né negare , bensì so lo p r e s u p p o r r e l 'es i s tenza «li termini di r i fer imento m e d i a n t e , per e s e m p i o , i soggetti g r a m m a t i c a l i degli enunciat i impiega t i per f a r l e . Si confronti i l caso di un'as-serz ione che par l i non e sp l i c i t amente di un par t i co la re i n d i v i d u o ; per e s e m p i o un ' a s se rz ione fatta con le paro le ' Uno ( a l m e n o u n o ) degl i Straw è f e l i c e ' ( A 4 ) . Una manovra pa ra l l e l a a l le già esa-m i n a l e sta nel d i c h i a r a r e ques t 'enuncia to e q u i v a l e n t e a una d i sg iunz ione di enuncia t i s ingolar i i l cui uso c o m p o r t e r e b b e espli-cita menzione di par t i co la r i i n d i v i d u i : ' J a c k S t raw è fe l ice o Mary Straw è fe l ice o . . . ' e cosi v ia . Ed anche ques ta m a n o v r a fa l l i sce , pe rché l ' i m p l i c a n z a va le in una d i rez ione so l tanto . A 4 as-somig l i a a A| e Aj in quanto è un enuncia to sogget to-predicato e ne di f fer i sce in q u a n t o non è usata per p a r l a r e e sp l i c i t amente di 1111 par t ico lare i n d i v i d u o . È un errore s ia e sagerare la s imig l i anza d i c h i a r a n d o l a equ iva lente a un enuncia to usato per p a r l a r e espli-c i tamente di ind iv idui par t i co l a r i , s ia e s agera re e d i s torcere la d i f ferenza d i c h i a r a n d o l a enuncia to es i s tenzia le .

10. Ho descrit to c o m e il cara t tere logico degl i enunciat i i l cui uso nel f a r e as serz ioni p r e s u p p o n e l 'es istenza di qua lcosa cui i loro soggetti g r a m m a t i c a l i si r i fer i scono p u ò p a s s a r e inav-vertito a causa ( a l m e n o in p a r t e ) d e l l ' a p p l i c a z i o n e del l ' ar t i f ic iosa

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tr icotomia ' v e r o , f a l so , o pr ivo di s e n s o ' , e c o m e ques t ' e r rore oper i nel c a m p o del ie asserz ioni genera l i . Ma non in quel c a m p o soltanto o p e r a ques t ' errore , e gli u l t imi paragra f i ce lo f anno presag i re : esso invade anche i l c a m p o de l le asserz ioni s ingo la r i e tende a l imi ta re u l ter iormente la c lasse del le e spres s ion i refe-renziali o soggetti logici .

Una c lass ica i l lus traz ione di questo fatto ci è forn i ta dalln " T e o r i a del le descr iz ioni def inite " ' di Russe l l . S e c o n d o ques ta teo-ria. la f o rma de l l ' enuncia to ' 11 re di F ranc i a è s agg io ' v iene rive-lala «piando lo s i scriva c o m e enunc ia lo e sp l i c i t amente es i s tenzia le , c ioè ' ( 3.v ) [.ν è re di F r a n c i a . ( v ) ( y è re «li F r a n c i a a = y) . .ν è s agg io J '; il che e«piivale a ' C 'è una per sona di cui è vero che essa e nessun altro è re «li F r a n c i a e che è s agg ia '. V iene argo-mentato che ques t ' ana l i s i fo rn i sce l 'unieo mezzo accet tab i le di conc i l i a re il fa l lo che l ' enuncia to è forni to di s igni f icato con il falto clic non ci sia un re di F r a n c i a . Si s u p p o n g a infatt i che esso sia un enuncia to soggetto-predicato . Al lora ( c o s i p r o c e d e l 'argo-mentaz ione ) se esso non è pr ivo di s ignif icato , è o vero o f a l so , ft vero se il re di F r a n c i a è s agg io c fa l so se il re di F r a n c i a non è sagg io . Ma l 'asserzione che il re di F ranc i a è sagg io e l 'asser-zione che il re ili F ranc ia non è sagg io possono essere vere so lo a condiz ione che ci sia un re di F r a n c i a . Perc iò , se è un enuncia to soggetto-predicato , o è senza s igni f ica lo , o c 'è un re di F r a n c i a . I . ' a rgomentaz ione è posta talvolta in f o r m a più breve . Se l 'enun-ciato è «li f o rma soggetto-predicato , a l lo ra , se non è senza signi-ficato, «leve essere intorno a «jualeosa : «piindi o è senza s igni f icato o c'è un re di F ranc i a intorno al «piale possa vertere . Se ne t rac la conclus ione che non è un enuncia to soggetto-predicato , e si adotta invece l ' anal i s i es i s tenzia le . In base a ques t ' ana l i s i , l ' enuncia to è d i c h i a r a t a m e n t e falso (e perc iò s ign i f i cante ) se non c 'è nessun re di F r a n c i a ; infa l l i (3 .V) ( / . r ) ' impl i ca ' ~ ( 3 . T ) l / . V . (y ) ( / y Β •V = ν) . g.vl '. I ,a teoria è poi genera l izzata fino a farvi r ientrare

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tutte l e asserz ioni che a p p a i a n o d i f o r m a sogget to-predicato , ma s iano al s ingo la re e in iz ino con l ' ar t ico lo def inito .

Q u e s t i a r g o m e n t i p e r d o n o la loro fo rza se t en iam f e r m a in mente la d i s t inz ione f r a enunciat i e a s serz ioni , ed i l concetto di as serz ione sogget to-predicato , che ho de l inea to p i ù s o p r a . Per-ché un enuncia to del t ipo che serve a f a r e a s serz ioni a b b i a signifi-cato, non è neces sar io che ogni i m p i e g o de l lo stesso, in q u a l u n q u e m o m e n t o , in q u a l u n q u e luogo , d e b b a d a r luogo a un 'a s serz ione vera o f a l s a . È suff iciente che s ia pos s ib i l e descr ivere o immagi-nare c ircostanze ne l le qua l i i l suo uso d a r e b b e luogo ad un'as-serz ione vera o f a l s a . P e r c h é una f rase re fe renz ia le a b b i a signifi-cato, non è neces sar io che ogn iqua lvo l t a la s i i m p i e g a ci d e b b a essere qua lcosa a cui r i f e r i r l a .

Ta lvo l t a i n i z i a m o un 'a s serz ione s ingo la re c irca u n a persona o una cosa con un n o m e ( ' R o b i n s o n ' ) o con una f r a s e con l 'arti-colo definito a l p r i n c i p i o ( ' i l p r e s i d e n t e ' , ' l a s e d i a ' ) o con un p r o n o m e . Al t re vol te i n i z i a m o tali asserz ioni con espres s ioni che f ac i lmente c h i a m e r e m m o più inde f in i te : con p a r o l e o f ra s i come ' q u a l c u n o ', ' q u a l c o s a ', 4 uno di essi ' ; o con f ra s i introdotte dal-l ' ar t icolo indef ini to ( ' u n u o m o ' , ' u n t a v o l o ' ) . L e as serz ioni d i ques t 'u l t ima ca tegor ia sono anch 'es se correntemente a s s imi l a te a l le as serz ioni es i s tenzia l i . Cos i s i d i r e b b e che ' Un u o m o c a d d e da l l a r i v a ' s igni f ica ' ( 3 * ) ( * è un u o m o . χ c a d d e d a l l a r i v a ) ' ; e s i d i r e b b e ( f o r s e ) che ' Q u a l c u n o c a d d e d a l l a r i v a ' s igni f ica ' ( 3 x ) ( z è una per sona . χ c a d d e da l l a r i v a ) ' . P u ò dar s i che in un p r i m o m o m e n t o queste t raduz ioni c i c o l p i s c a n o c o m e inutil-mente b r u t t e ; p u ò dar s i che non r iu sc i amo a c a p i r e c o m e ci s i possa i n d u r r e a p r o p o r l e p e r qua l s i a s i a l t ra r ag ione che non s ia i l de s ider io di mettere in car i ca tura tutte le as serz ioni o rd inar i e m e d i a n t e i l s i m b o l i s m o del la logica quant i f i caz iona le . P o t r e m m o chiederc i inol tre se ta l i t raduz ioni in tendano f a r e m e r g e r e le dif-ferenze log iche f r a , ad e s e m p i o , le asserz ioni fa t te con enunciat i che cominc ino con l ' a r t i co lo def inito , e que l l e fa t te con enuncia-

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Soggett i e p red ica t i 239

ti che cominc ino con l ' a r t ico lo indef ini to . Ma è tut tavia a s surdo avanzare l ' idea che la d i f ferenza f r a ' Un u o m o c a d d e d a l l a r iva ' e ' L ' u o m o c a d d e dal la r iva ' s ia che la veri tà di un ' a s se rz ione fa t ta mediante l 'uso del p r i m o enuncia to s ia congruente con l 'es i s tenza di più di un u o m o , ment re non lo sia la ver i tà di un ' a s se rz ione fatta m e d i a n t e l 'uso del secondo . Tut t av i a è ques ta a p p u n t o la d i f ferenza logica f r a ' ( 3 * ) ( * è un u o m o . χ c a d d e d a l l a riva) ' e ' ( 3 x ) [ : r è un u o m o . ( y ) ( y è un u o m o Β χ = y) . χ c a d d e giù da l la r i v a ] ' . N o n è in questi t e rmin i , né con a l cuna loro varia-zione che si at tenga al p r i n c i p i o de l l ' ana l i s i e s i s tenzia le , clic ar-r iveremo a intendere la d i f f e renza . C o m i n c i a m o ad intender la «piando p r e n d i a m o in cons ideraz ione fatt i come i l s e g u e n t e : che in un romanzo o in una c ronaca di g io rna le un p a r a g r a f o inizi con l 'enunciato ' Un u o m o si avvic inò a l l a r iva ' e pos sa finire con l'e-nunciato 1 L ' u o m o c a d d e d a l l a r iva ' , dove la f u n z i o n e del c ambia -mento da ' un ' a ' i l ' p u ò esser que l l a di i n d i c a r e ( a n c h e se non di a s s e r i r e ) che l ' uomo cui ci s i r i fer i sce ne l l 'u l t imo enunc ia to è lo stesso al q u a l e ci s i r i fer i sce nel p r i m o . T e n d i a m o g e n e r a l m e n t e a p a r l a r e de i l φ q u a n d o p o s s i a m o s i curamente conta re su q u a l c h e caratter is t ica de l la s i tuaz ione in cui s c r iv i amo o p a r l i a m o , c o m e capace di f a r i n d i v i d u a r e ai nostri lettori o a sco l ta tor i « jualche s ingolo φ. Pos sono essere la v i c inanza , o la c o n t e m p o r a n e i t à , o ( c o m e ne l l ' e sempio sopra f o r n i t o ) i l contesto l ingui s t i co , a costi-tuire tale carat ter i s t ica , su l l a q u a l e cont i amo p e r met tere in grado i nostri lettori o ascoltatori di cog l iere il r i f e r imento , di identi-ficare l 'oggetto cui ci si r i fer i sce ( a n c h e se so l tanto c o m e l'uomo cui ci si riferiva all'inizio del paragrafo). L ' u s o di ' il ' è di aus i l io a l l ' ident i f icaz ione ind icando ( a n c h e se non d i c h i a r a n d o ) che noi facciamo un ta le a f f idamento su que l l e che , in senso l a to , potreb-bero c h i a m a r s i carat ter i s t iche contestual i . Q u e s t a è , n a t u r a l m e n t e una descr iz ione molto a p p r o s s i m a t i v a ; ed inoltre p o s s i a m o usare , e di fa t to u s i a m o , 4 i l ' p e r altr i intenti . D ' a l t r a pa r te , noi t e n d i a m o a p a r l a r e di un φ q u a n d o «jueste condiz ioni non si ver i f icano ; e

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Tuso «li " un ' serve a l lora ad indicare che non ci a t t e n d i a m o che i nostri ascol tator i s i ano messi in grado «li ¡«lentilicare l 'oggetto cui c i r i f e r i a m o p e r mezzo d i cara t ter i s t iche contes tua l i . A n c h e ' u n ' può essere a l tres ì u sa lo per a l t re rag ioni , e «li fati«) lo è.

Si cons ider ino inol l re i modi in cui p o t r e m m o dissent ire «la un 'asserz ione fat ta con le paro le ' Un u o m o c a d d e da l l a riva ' . Noi p o t r e m m o d i r e : ' E g l i non c a d d e ; s i b u t t ò ' ; o p p u r e p o t r e m m o «lire: ' H u e l l o non era un u o m o , era una donna che vestiva pan-t a l o n i ' ; o ancora p o t r e m m o d i r e : ' N e s s u n o è c a d u t o ; voi avete avute le t raveggo le '. L ' i m p o r t a n z a dei p r o n o m i " egli ' e ' quel lo ' nel le «lue p r i m e espress ioni di d i ssenso sta in c iò . che a s sumono come r i f e r imento ad una persona definita i l r i f e r imento fatto in m o d o indef inito m e d i a n t e la f r a s e ' un u o m o ' . La p r i m a a f ferma-zione nega ciò che si d ice c irca il soggetto «lei r i f e r i m e n t o ; la s econda os servaz ione accetta ciò che si «lice c irca il soggetto del r i f e r imento , ma cor regge la descr iz ione di tale soggetto. Ques t i e sempi mettono in r i l ievo una s i in ig l ianza logica fra espress ioni re ferenzia l i indef ini te e def inite . La terza o s servaz ione «li dissenso è d iversa da c i a scuna del le a l t re due . Si po t rebbe far la , e facen-do la , contraddire l ' a s serz ione or ig inar i a , senza a m m e t t e r e che nel-l ' a s serz ione or ig inar i a s ia stato fatto un «pialuntpic r i fer imento di sor ta . In tal mo«lo «picsto e s e m p i o fa e m e r g e r e una d i f ferenza fra ' un u o m o ', ne l l 'uso che ne fa l 'enunciato or ig ina le , e le espres-s ioni re ferenz ia l i d e f i n i t e ; ed una d i f ferenza fra que l l ' enunc ia to ed i t ipici enuncia t i soggetto-predicato . Se «pialcuno dice ' Il Pre-s idente c a d d e «lalla r i v a ' , s i p u ò rep l i ca re ' N o n c a d d e n e s s u n o ' e «la ciò c o m p i e r e un p a s s a g g i o corretto a ' D u n q u e egli non può esser caduto ' . Ma se q u a l c u n o «lice ' Un u o m o c a d d e da l l a riva ' , non s a r e b b e genera lmente a p p r o p r i a t o c o m p i e r e , r ep l i cando , i l pa s s agg io da ' N o n c a d d e nessuno ' a ' D u n q u e egli non può esser caduto ' .

È c o n s i d e r a n d o fatti come questi ( i n n u m e r o però assa i mag-g i o r e ) che s i g iungono a c o m p r e n d e r e le funzioni espletate da

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Sogget t i e predica t i 241

• un e ' il * ne l l ' in t rodurre asserzioni s ingo la r i . La s ter i le anal i s i es i s tenziale non p u ò darci conto, a l m a s s i m o , che di a lcuni pochi Tra questi fatt i , ed anche a l lo ra sol tanto a costo di f a l s i f i ca rne a l tr i . N o n d i m e n o , si devono tentare di c o m p r e n d e r e i motivi che depon-gono a f avore de l l ' ana l i s i es i s tenzia le s ia nel caso di e spress ioni re ferenzia l i indefinite ( ' u n u o m o ' ) , s ia in que l lo d i descr iz ioni definite ( ' i l re di F r a n c i a ' ) . Infatt i r a ramente i d o g m i del la lo-gica sono pervers i capr icc i e niente p iù .

Già a h h i a m o messa in luce la credenza che sottostà a l la teoria del le ' descr iz ioni definite ' . per la q u a l e un genuino soggetto lo-gico. una vera e spre s s ione re ferenzia le , p u ò avere un s igni f ica lo solo se esiste un oggetto al q u a l e si a p p l i c h i . ' Il re di F r a n c i a ' , che m a n c a di s o d d i s f a r e questa condiz ione , venne dest i tui to da l lo status di e spre s s ione re ferenz ia le . Ora , pe rché ques ta c redenza c cosi f e r m a m e n t e c o n d i v i s a ? La r isposta s e m b r a essere che i l signi-f icato di qua l s i a s i e spres s ione re ferenz ia le genuina v iene consi-derato come identico all'oggetto cui si applica'. Il suo s ignif icato è ciò per cui s t a ; e ciò p e r cui sta è ciò a cui si r i fer i sce . Q u e s t a equaz ione , s e m p l i c e ed anche t r o p p o na tura le , r iesce f a t a l e per le pretese di fras i c o m e ' un 1101110 ' i m p i e g a t e c o m e e spres s ion i refe-renziali . Infat t i , mentre di u o m i n i ce n'è una quant i t à , non e'è addir i t tura nessun oggetto s ingolo elle sia i l s igni f icato de l la f rase . Κ tuttavia non è di que l le fras i che d 'o rd inar io si c h i a m e r e b b e r o a m b i g u e . Essa ha lo stesso s ignif icato in un n u m e r o i m m e n s o di enunciat i . S e m b r a d u n q u e der ivarne la conc lus ione che essa non è un 'espress ione re ferenz ia le . In tal m o d o l ' a p p a r a t o logico di pre-dicati e ili quant i f icator i di cui d i s p o n i a m o deve venir impiega to per d imos t r a re clic gli enunciat i nei qua l i esso s e m b r i avere una fu nzione in q u a l c h e m o d o re ferenz ia le , in rea l tà non sono affatto enunciat i soggct to-prcdica lo , ma enunciat i es i s tenzia l i .

' T.n f ra se " l ' o g g e t t o cui si a p p l i c a ' i m p l i c i t a m e n t e c o n t i e n e t u l i o i l com-plesso d e l l e c o n f u s i o n i ili cui q u i s i t rat ta , tutta intera u n a p e r s i s t e n t e ed e r r o n e a Icniiii ilei s i g n i f i c a l o .

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A b b i a m o visto testé che c 'è qua lco sa da d i re in f avore d i questa conclus ione , e che c 'è anche qua lcosa da d i re contro di e s s a ; a b b i a m o visto che enuncia t i come ' Un u o m o c a d d e da l l a r iva 1

non s i c o m p o r t a n o c o m e enunciat i sogget to-predicato p e r ogni r i spet to , anche se cos i s i c o m p o r t a n o p e r a lcuni r i spett i . Ma seb-bene ci sia qua lco sa da d i re in f avore di ta le conc lus ione , non c 'è niente da d i re in f a v o r e del r a g i o n a m e n t o con cui ci s i è giunti . E s so pogg ia u n a volta ancora su l la f a t a l e c o n f u s i o n e f r a enunciat i ed as serz ioni , s igni f icat i e r i fe r iment i . P e r c h é u n a s ingo la espres-s ione re fe renz ia le a b b i a un s igni f icato , è suff iciente che , in circo-stanze adat te , s ia pos s ib i l e u sar l a p e r r i fer i r s i a q u a l c h e s ingola cosa , p e r s o n a , loca l i t à , ecc. I l suo s ignif icato è l ' in s i eme de l le con-venzioni l ingui s t iche che governano i l suo corretto i m p i e g o nel senso d i un s i f fat to r i f e r imento . P e r la gran m a g g i o r a n z a del le e spress ioni re fe renz ia l i , queste convenzioni permet tono che una data e spre s s ione venga usa ta , in d i f ferent i occas ioni , con riferi-mento a cose ind iv idua l i d i f ferent i o a d i f ferent i per sone , luoghi , ecc. Una breve r i f less ione c i mos t ra che questo va le non meno per la f r a s e ' i l re di F r a n c i a ' , o in genera le p e r le f ra s i che in iz iano con art icol i de te rmina t iv i , che p e r ¿ un u o m o ' o in genera le p e r le f ra s i che in iz iano con l ' indeterminat ivo 4 un ' , ' u n a ' . Enun-ciat i , f ras i e p a r o l e h a n n o s ignif icat i che ne permet tono l ' i m p i e g o nel f a r e as serz ioni e nel r i fer i r s i a cose. Ma i s ignif icat i degl i enun-ciati non sono le as serz ioni p e r cui vengono i m p i e g a t i , ed i signi-f icat i di p a r o l e e f r a s i non sono le cose cui p o s s o n o ven i r r i fer i te . S o l o i l p iù gros so lano equivoco nel l 'uso di e spres s ion i come ' si-gnif icato ' e ' r i f e r i m e n t o ' p u ò cont inuare ad o scurare fat t i cos i ev ident i .

Le dottr ine che sto qui cr i t i cando h a n n o una cur iosa conse-guenza per l ' in terpre taz ione del s i m b o l i s m o del ca lco lo predica-tivo. T r a t t a n d o di que l s i m b o l i s m o , noi c o m i n c i a m m o col distin-guere le va r i ab i l i i n d i v i d u a l i da l l e va r i ab i l i p red ica t ive ; e g iacché una v a r i a b i l e la s i s p i e g a come un segno-di- lacuna in una f o r m u l a

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Soggett i e pred ica t i 243

suscet t ib i le d i venir e sempl i f i ca ta da un enunc ia to , ques ta distin-zione f r a t ipi d i var i ab i l i s e m b r a v a invo lgere u n a d i s t inz ione f r a t ipi di e spres s ioni e p rec i s amente , la d i s t inz ione f r a e spres s ioni ind iv idua l i e pred ica t ive . S p i e g a m m o a l lora c o m e da f o r m u l e predicat ive po tevano venir f o r m a t i enuncia t i , o l e g a n d o le varia-bili ind iv idua l i in m o d o da ottenere enunciat i e s i s tenz ia l i , o sosti-tuendo le v a r i a b i l i con espres s ioni ind iv idua l i . Ci a spe t t e remo per-ciò di t rovare d u e t ipi f o n d a m e n t a l i d i enuncia t i e sempl i f i cant i le f o r m u l e del ca lcolo pred ica t ivo , e p r e c i s a m e n t e gli enunciat i predicat iv i che contengono espress ioni ind iv idua l i e non compor-tano quant i f i caz ione , e gli enunciat i es i s tenzia l i che contengono quant i f icator i e non espres s ioni ind iv idua l i , ol tre agl i enunciat i mist i contenenti le une e gli a l tr i . La conseguenza cur iosa de l le dottr ine testé e s amina te è che i l l inguagg io o r d i n a r i o , ove ta le dottr ina fosse v a l i d a , non conterrebbe a f fa t to e spres s ioni indi-v idua l i , e di conseguenza non es i s terebbero a f fa t to enunciat i del p r imo t ipo .

Dove t rovare infatti e spress ioni con r i f e r imento i n d i v i d u a l e che a b b i a n o le carat ter i s t iche che s a r e b b e r o r ichieste se le dottr ine teste e s a m i n a t e fossero corre t te? S i p o t r e b b e p e n s a r e c h e i n o m i propr i f a c c i a n o a l caso. Ma n e p p u r e un n o m e p r o p r i o sodd i s f a i l requis i to p e r cui un enuncia to che lo contenga non p u ò r iusc ire s ignif icante se non esiste giusto giusto un ind iv iduo che ne s ia i l s ignif icato. P u ò venir chiesto in m o d o s igni f icante , con l ' i m p i e g o d i un nome p r o p r i o 1 Es i s te N? ' ; lo stesso n o m e p u ò venir porta to da mol te d iverse cose o crea ture , e in nessun caso il s igni f icato di un nome è ident ico ad una cosa o crea tura che lo por ta . Impor-re un n o m e non è d a r e s igni f icato a una p a r o l a . I n o m i , q u i n d i , non s o d d i s f a n o a l requi s i to in ques t ione , né v i s o d d i s f a (e n e p p u r e lo p o t r e b b e ) qua l s i a s i a l t ra e spres s ione r icorrente nel l inguagg io .

1 P i ù e s a t t a m e n t e , una d i s t i n z i o n e f r a le e s p r e s s i o n i a s e c o n d a di cer t i t ip i d i f u n z i o n e c h e ease e s p l e t a n o neg l i e n u n c i a t i . C f r . c a p i t o l o V , s ez ione 5 .

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24 J. Soggett i , p red ica t i , es i s tenza

li ciò perche il requis i to stesso è impos s ib i l e , ed esso stesso e s p r i m e la già discussa c o n f u s i o n e .

I l fa l lo che queste dottr ine hanno questo cur ioso effetto sul-l ' in terpretaz ione de l l a logica quant i f ì caz iona le non è suff iciente, da so lo , a con fu ta r l e . Ma rag ioni sufficienti per r iget tar le sono già state fornite . Q u e l fatto, tut tavia , mette in r i l ievo una s tranezza del m o d o in cui queste dottr ine ( p.e. . la teoria de l la d e s c r i z i o n e ) vengono o r d i n a r i a m e n t e presenta le . S i d ice spesso che la f o r m a verba le o g r a m m a t i c a l e di un enuncia to come " il re ili F r a n c i a è sagg io " è fuorviatile quanto a fo rma logica ; per fo rma logica , infatt i , s e m b r e r e b b e un enuncia to sogget to-predicato , mentre in realtà è es i s tenzia le . N a t u r a l m e n t e , ques to pot rebbe esser vero so lo se la m a g g i o r a n z a o una par te cons iderevo le degl i enunciat i clic a s s o m i g l i a n o a ques to per f o r m a verba le o g r a m m a t i c a l e fos-sero in rea l tà , l og icamente , di f o r m a sogget to-predicato Ma s ' è visto poco fa c o m e una conseguenza de l la dot tr ina clic sogg iace al la teoria de l la descr iz ione è clic genuine e spres s ioni re ferenzia l i non esistono, e q u i n d i non es is tono n e p p u r e veri enunciat i sog-getto-predicato. Se la sogg iacente dottr ina è a b b a n d o n a t a , spar i s ce anche ogni rag ione ili ado t t a re l ' anal i s i e s i s tenzia le . S i a p r e a l lora la via ad una concez ione pili rea l i s t ica de l le e spress ioni con rife-r imento ind iv idua le , via che ci permet te di r i a m m e t t e r e in que l l a c lasse le descr iz ioni def inite , ins ieme con nomi p r o p r i e con a lcuni p r o n o m i . Le conseguenze curiose c irca l ' in terpre taz ione del s im-bo l i smo del la logica quant i f ì caz iona le non reggono p i l i ; è possi-bile c o n s i d e r a r e un gran numero di enunciat i c o m e esempl i f i cant i ' fx '. Ma nello s tesso t e m p o occorre a b b a n d o n a r e le pretese men-zionate al la f ine del cap i to lo V, sez ione 6 .

11. At t r ibuendo a ' a s serz ione sogget to-predicato " il senso da me proposto s i ha per conseguenza i m m e d i a t a che le asserzioni

' C f r . r a p i t o l o I I . p p . 67-68.

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2 1 5

es i s tenz ia l i p r e s u p p o s t e d a l l e a s se rz ion i sogge t to -pred ica to non v e r r a n n o c o n s i d e r a t e esse s te s se c o m e a s se rz ion i sogge t to -pred ica to , e p e r c i ò v e r r a n n o a co l locar s i fuor i d a l l ' a m b i t o ilei s i s t ema tradi-z i o n a l e in te rpre ta to nel m o d o ila me c a l d e g g i a t o . Ικ; q u a t t r o f o r m e , infat t i , sono da in terpre ta r s i in m o d o c h e la q u e s t i o n e de l l a ver i tà o fa l s i tà di u n ' a s s e r z i o n e che e s e m p l i f i c h i una di es se s o r g a so lo a c o n d i z i o n e c h e v i s i a n o le cose (o v i s ia u n a c o s a ) cu i i l t e r m i n e sogget to fa r i f e r i m e n t o . Di c o n s e g u e n z a , se t e n t a s s i m o di a s s imi-lare u n ' a s s e r z i o n e ilei t ipo k.v e s i s t o n o ' ad u n a q u a l s i a s i de l l e qua t t ro f o r m e , o se s e m p l i c e m e n t e la c o n s i d e r a s s i m o c o m e un'as-serz ione sogge t to-pred ica to , c i t r o v e r e m m o di f ronte a l l ' a s s u r d o r i sul tato c h e la que s t ione se c iò s ia vero o f a l so p o t r e b b e s o r g e r e so lo se fo s se v e r o ; ossia che , se fos se fa l so , l a q u e s t i o n e se c iò s ia vero o f a l so non s o r g e r e b b e . C i ò fo rn i sce n u o v o m o r d e n t e a l l a fa-m i l i a r e o s s e r v a z i o n e f i losof ica che l 'e s i s tenza non è un p r e d i c a l o . Q u a n d o d i c h i a r i a m o o n e g h i a m o clic 4 ci s o n o ' cose r i s p o n d e n t i ad una d e s c r i z i o n e co s i e cos i , o clic cose s i f f a t te * e s i s t o n o ". l 'uso de l le f ra s i f ra v i rgo le t te non d e v e es sere a s s i m i l a t o né a l l ' u so pre-d ica t ivo , né a q u e l l o r e f e r e n z i a l e de l l e e s p r e s s i o n i .

P o t r e b b e s e m b r a r e c l ic c iò so l lev i una d i f f ico l tà . N e s s u n a restri-z ione v e n n e pos ta infatti c i rca l ' a m b i t o dei pos s ib i l i oggett i d i rife-r imento . Non p o t r e m m o perc iò f a r r i f e r i m e n t o , o l t re c h e a i m e m b r i d i una c la s se , a l la c la s se s te s sa , e d e s c r i v e r l a , p e r e s e m p i o , c o m e avente p o c h i , m o l t i , d iec i , a l cun i m e m b r i , o p p u r e n e s s u n o ? I n ques to ca so , d o b b i a m o a f f r o n t a r e due p r o b l e m i c o l l e g a t i . Uno è che . s e t r a t t i a m o u n ' a s s e r z i o n e s i f fa t ta c o m e a s s e r z i o n e soggetto-pred ica to , s e m b r i a m o i m p e g n a t i a d i re c h e essa p r e s u p p o n e che la c la s se cui s i r i f e r i s ce i l suo termine-sogget to e s i s t a . O r a , non è c h i a r o elle cosa possa s i gn i f i ca re l ' a s s e r z i o n e che u n a c l a s se es i s te , s e non che u n a ta le c la s se ha m e m b r i . Ma c iò p u ò e s se re prec i sa-mente q u e l l o c h e la p re te sa a s se rz ione sogge t to -pred ica to ora in ques t ione a f f e r m a o p p u r e n e g a ; e in ques to c a s o , c i s c o n t r i a m o ncll inacce t t ab i l e c o n c l u s i o n e che l ' a s s e rz ione in q u e s t i o n e p re sup-

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246 Sogget t i , p red ica t i , es i s tenza

pone la sua p r o p r i a verità o f a l s i t à . La seconda diff icoltà è la s e g u e n t e : se a l l ' a s se rz ione che la c lasse degl i χ ha m e m b r i dob-b i a m o concedere lo status di p r o p o s i z i o n e sogget to-predicato , non s e m b r a per nu l la g iust i f icato n e g a r e questo status a l l ' a s serz ione innegab i lmente equ iva lente che degl i χ es i s tono. Si tratta di diffi-coltà da scolast ic i e r i ch iedono so luz ioni da sco las t ic i . Un m o d o di a f f rontar le a m b e d u e brevemente è i l seguente . I m p r e g i u d i c a t a res tando r a t t r i h u z i o n e di un s ignif icato s t ab i l e a l l a pretesa asser-zione che una c lasse esiste senza che esso co inc ida con l ' interpreta-zione che l a c la s se ha m e m b r i , noi p o s s i a m o d i re s e m p l i c e m e n t e che non esistono asserz ioni es is tenzial i co l l ega te ad asserz ioni sog-getto-predicato c irca c lass i o p r o p r i e t à al m o d o in cui l ' a s serz ione che degl i ' χ es i s tono ' si co l lega ad un 'a s se rz ione soggetto-predi-cato che r i g u a r d i gli χ, e che di conseguenza la regola di p re suppo-s iz ione non s i a p p l i c a a l le asserzioni sogget to-predicato del p r i m o t ipo . ( U n ' a l t r a a l ternat iva pos s ib i le consiste nel lo s tab i l i re che i l tlire che la c la s se deg l i χ, o la p r o p r i e t à di es sere ( u n ) x, es iste , s ignif ica q u a l c o s a , ma qua lcosa d i d iverso da l l ' a s se rz ione che c i sono m e m b r i de l l a c la s se o cose che pos s i edono la p r o p r i e t à ; che s igni f ica , p e r e s e m p i o , un icamente che l ' e spres s ione di c lasse o i l n o m e di p r o p r i e t à in ques t ione , e tutti i loro s i n o n i m i r iconosc iut i , sono in effetti s i gn i f i c an t i ) . La seconda diff icoltà p u ò venir affron-tata come segue . D i r e che la c lasse degl i χ ha m e m b r i s igni f ica ascr ivere a l l a c lasse la p r o p r i e t à d i avere m e m b r i . C iò non s ignif ica p r e d i c a r e a l cunché dei m e m b r i , degl i .*. S i m i l m e n t e , con l 'asser-zione equ iva lente che degl i χ es i s tono, nu l l a vien p r e d i c a t o degl i Ma negare che l ' a s serz ione che degl i χ es i s tono s ia un 'a s serz ione soggetto-predicato s igni f ica s e m p l i c e m e n t e d i re che l ' a s serz ione che degl i χ es i s tono, d ive r s amente da l l ' a s se rz ione che gli χ sono grass i o m a g r i , non pred ica nul la di ess i . Da l fa t to che un'asser-zione è equ iva lente ad un 'a l t ra as serz ione di una certa f o r m a , non consegue che s ia essa stessa un 'a s serz ione d i que l l a f o r m a .

G iacché la genesi «li tutte queste diff icoltà è in gran p a r t e termi-

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Sogget t i e pred ica t i 247

nolog ica , p o t r e b b e s e m b r a r pos s ib i le a f f rontar le con u n ' o p e r a z i o n e terminolog ica p i ù s e m p l i c e che non ques ta , c ioè e sc ludendo le asserz ioni i cui soggett i g r a m m a t i c a l i s i ano usat i con r i f e r imento a class i o p r o p r i e t à , dal novero de l le as serz ioni sogget to-predicato . Ma g iungere a tanto s a r e b b e un pecca lo , in quanto la logica con cui t r a d i z i o n a l m e n t e è as soc ia ta la t e rminolog ia de i soggett i e dei pred ica t i tratta d i a lcune ana log ie f o r m a l i che s i e s tendono a l le asserz ioni del t ipo in ques t ione , non meno che a l l e as serz ioni i cui soggetti g r a m m a t i c a l i sono usat i con r i f e r imento a persone , a n i m a l i , oggetti ed is t i tuzioni .

12. È ovvio che i l s i s tema t rad iz iona le non ci dà che una vis ione mol to l imita ta de l le re laz ioni log iche f r a as serz ioni sog-getto-predicato. S a r e b b e pos s ib i l e a r r i cch i r lo in var i m o d i . S i po-t rebbero in t rodurre a l tre var i az ion i in quant i tà oltre a que l l e de l le fo rme univer sa l i ( ' o g n i ' e ' n e s s u n o ' ) e pa r t i co l a r i ( ' a l m e n o uno ' ) , p e r q u a n t o i l f a r lo tog l ie rebbe s e m p l i c i t à a l s i s tema senza un cor r i spondente g u a d a g n o in r icchezza . S a r e b b e pos s ib i l e , se-guendo l ' e s e m p i o di a n a l o g h e regole nel ca lco lo p red ica t ivo , intro-durne q u i un g r u p p o che permet ta t r a s f o r m a z i o n i del t ipo p e r cui ' Ogni χ è o y ο ζ ' porta a ' Ogni χ che non s ia y è ζ '. Q u e g l i e sponent i del la logica t r ad iz iona le che p r e t e n d e v a n o che le regole di inferenza i m m e d i a t a e dei s i l log i smi categor ic i o ipotet ici for-nissero un canone esaur iente del r a g i o n a m e n t o f o r m a l e e rano cu-r iosamente c icchi su questo punto . P e r m o s t r a r e che un passag-gio a rgomenta t ivo e sempl i f i cava una de l l e f o r m e r iconosc iute era spesso necessar io t r a s f o r m a r e una de l le p remes se . P e r e s e m p i o , l a f o r m a di inferenza da ' Ogni χ è o y ο ζ ' e ' Ogni ζ è s ' a ' Ogni χ che non è y è s ' può venir presentata come s i l log i s t ica solo trasfor-m a n d o la p r i m a premessa in ' Ogni χ che non è y è s '. U n a tra-s f o r m a z i o n e s i f fat ta è un e s e m p i o di deduz ione f o r m a l e v a l i d a esat-tamente nel la s tessa m i s u r a de l l ' in ferenza s i l log i s t ica che segue . I l p r inc ip io che la regge ha d u n q u e al trettanto dir i t to ad un posto

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267 Sogget t i , p red ica t i , es istenza

nel canone ilei s i s tema quanto il vero e p r o p r i o p r inc ip io si l logi-stico. Ma que l l a m a n i p o l a z i o n e p r e l i m i n a r e de l le p r e m e s s e veniva invece c o m p l e t a m e n t e t ra scura ta , pe rché la s i r iduceva ad un s e m p l i c e ' por r e le p r e m e s s e in fo rma logica ' ' . Se tutte le inferenze dedutt ive che r i cadono fuor i dagl i s chemi r iconosciut i del s i s tema vengono trattate cos i , col d i c h i a r a r e che si tratta non già di reali inferenze , ma di qua lco sa d 'a l t ro , a l lora la pretesa di comple tezza diventa inat taccabi le , ma in virtù di una b a n a l e s c a p p a t o i a .

Alcune de l l e precedent i sezioni possono dar l ' impres s ione di una d i fesa del s i s tema t rad iz iona le . Ma s i t rat ta , a l m e n o in parte , di u n ' i m p r e s s i o n e e r ra t a . In p r i m o luogo è tutt 'a l tro che concesso, già ne ho accennato , c h e gli e sponent i ilei s i s tema f a r e b b e r o buon viso ad una tale, d i f e sa . In secondo luogo, s a r e b b e erroneo preten-dere clic il s i s tema t r ad iz iona le , o clic un qua l s i a s i s i s tema f o r m a l e , potessero d a r conto in m o d o esaur iente del la logica de l le asser-zioni sogget to-predicato . Κ c iò non solo per le rag ioni teste fornite . Q u a l s i a s i s p i e g a z i o n e e saur iente inc luderebbe , per e s e m p i o , una descr iz ione de l l e d i f fe renze fra enunciat i s ingo la r i che iniz iano con frasi descr i t t ive def inite e indefinite . A b b i a m o visto che queste d i f ferenze vengono mal r appre senta te da l l e ca ldegg ia te t raduz ioni in termini di q u a n t i f i c a z i o n e ; ma esse non possono venir rappre-sentate a f fa t to da nessun tratto f o r m a l e del s i s tema t r a d i z i o n a l e 3 . Né quest ioni del genere si pres tano ad essere trattate in termini di

1 Pe r u n ' e l a b o r a z i o n e (e q u a l i f i c a z i o n e ) un p o ' p i ù d e t t a g l i a t a d e l l e osser-v a / i o n i c o n t e n u t e i n q u e s t o p a r a g r a f o , c f r . innanz i , c a p i t o l o V I I , s e z i o n e 10 .

S i c o n f r o n t i c i ò e b e p o t r e b b e d i r s i un " s i l l o g i s m o n a t u r a l e * con i r i g id i e s e m p i i r rea l i de i l ibri d i testo , l i n o s q u a r c i o d i d i a l o g o p u ò p r o c e d e r e c o s i :

- Un ta le ha tes te b e v u t o u n ' i n t e r a b o t t i g l i a di a l coo l m e t i l i c o . - Mai n e s s u n o c h e p r e n d e una d o s e c o m e q u e l l a s o p r a v v i v e .

A l lora eg l i m o r i r à . S i noti c o m e l ' i n d e f i n i t o p r i m o t e r m i n e port i a l p r o n o m e d e f i n i t o ' e g l i ' nel la c o n c l u s i o n e , e con ic i l l e m p o v e r b a l e e a m b i ad ogni p a s s o . A d i f f e r e n z a di a l t re d i v e r g e n z e d a l l o s c h e m a o r t o d o s s o ( c o m e " m o r i r à ' p e r " n o n sopravv i -v e r à ' e " p r e n d e una d o s e r o m e q u e l l a " p e r ' b e v e u n ' i n t e r a b o t t i g l i a ' , e c c . ) , q u e l l e «lo«· non p o s s o n o v e n i r e l i m i n a l e senza d i s t r u g g e r e i l s enso d e l l ' o r i g i n a l e .

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Soggett i e predicat i 249

un qua l s i a s i s i s tema che possa dirs i f o r m a l e . Dei due [muti che mi son soprat tutto p reoccupa to di s t ab i l i re , uno è r e l a t ivamente ba-nale, l ' a l tro e importante . Re la t ivamente b a n a l e è que l lo che al-cune cr i t iche ortodosse a l s i s tema t rad iz iona le sono erronee . I l punto impor tan te è che , a reggere a m b e d u e ques te cr i t iche e le dottr ine del t ipo de l la teoria del le descr iz ioni , t r o v i a m o un rad ica l e f r a in tend imento di certi tratti logici general i d e l l ' i m p i e g o del lin-guagg io , ed anche di certi tratti l og icamente interessanti de l l 'uso ili [»articolari tipi di e spres s ioni . Del le rag ioni ili questo frainten-d imento (o t r a s c u r a n t i ) d i rò in s e g u i t o 1 . Ma s a r e b b e erra to in l inea ili fatto e di pr inc ip io presentare il s i s tema t rad iz iona le c o m e c a p a c e di r iusc ire in u n ' i m p r e s a in cui la logica m o d e r n a fa l l i sce , o v iceversa .

' N e l r a p i t o l o V i l i .

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VII . Asserzioni generali e relazioni

I.

Asserzioni generali

1 . N e l l e a s s e r z i o n i genera l i sogge t to -pred ica to , de l l a f o r m a ' T u t t i gli s sono ρ la q u e s t i o n e de l l a lo ro v e r i t à o f a l s i t à s o r g e so lo , c o m e ho già det to , s e v i sono 5 ; ho ino l t re a r g u i t o che , s e l a que s t ione s i p o n e , l ' a s s e r z i o n e è v e r a se non c 'è nes sun s che non s ia p, e f a l s a se c ' è un s che non s ia p . A n c h e u n a f o r m u l a z i o n e del genere ha b i s o g n o d i q u a l i f i c a z i o n e u l t e r i o r e p e r non r i u s c i r e de f in iz ione t r o p p o res t r i t t iva . Infa t t i c i sono m o l t i cas i d i a s s e rz ion i sogge t to-pred ica to in iz iant i con ' tutti ' che s a r e b b e v e r a m e n t e pe-da nte d i c h i a r a r e f a l s e in fo rza d i u n ' e c c e z i o n e 0 d i un g r u p p o di eccez ioni . Se l e c i r co s t anze in cu i l e eccez ion i s i p r e s e n t a n o sono esse s tesse m o l t o e c c e z i o n a l i , p o s s i a m o a v e r l a s e n s a z i o n e che esse non m i l i t i n o contro l a nostra a s se rz ione , q u a s i che ques ta rech i , i n e s p r e s s a p e r c h é non n e c e s s a r i a , la q u a l i f i c a z i o n e ' in c i r cos tanze n o r m a l i E n e p p u r e eccez ioni che o c c o r r a n o in c i r co s t anze a f fa t to n o r m a l i c i i m p o n g o n o s e m p r e d i a m m e t t e r e l ' e r r o r e : genera l iz-z a r e vuo l d i r e ' p a r l a r e in g e n e r a l e P u r e , in a l t r i c a s i , u n a s ingo l a eccez ione cos t i tu i sce u n a c o n f u t a z i o n e . E ques t i c a s i , e s s endo i p i ù l i m p i d i , v e n g o n o c o n s i d e r a t i c o m e t ip i c i .

2 . N o n tutte l e a s se rz ion i genera l i sono a s se rz ion i soggetto-p r e d i c a t o . E non tutti gli enunc ia t i g e n e r a l i c h e c i a p p a i o n o c o m e se fos sero i m p i e g a t i p e r f a r e a s se rz ion i h a n n o in rea l t à t a le im-p iego . E n e p p u r e tutti gl i e n u n c i a t i g e n e r a l i i m p i e g a t i in effetti

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per f a re asserz ioni hanno un uso cosi diretto in tal senso , c o m e si s a rebbe portat i a pensare . F r a gli enunciat i genera l i suss i s tono, in real tà , mol te d i f ferenze .

A lcune di ques te d i f ferenze sono stale s f rut ta te a sostegno «Iella tesi che vi sono a lmeno a lcuni enunciat i genera l i ai q u a l i è appl i -cab i le l 'anal i s i negat ivamente es i s tenzia le ( ' ( . t ) ( f x 3 gx) ' ) . S i cons ider ino , per e s e m p i o , i seguenti e n u n c i a t i :

T u l l e le f igure p i a n e rett i l inee di venti lati hanno la s o m m a dei loro angol i ugua le a 2 X 18 angol i retti .

Tutt i co loro d i e a t t raverseranno questo terreno verranno denuncia t i .

Tutti i corp i in moto sui qua l i non ag i scono forze esterne cont inuano in uno stato di moto u n i f o r m e in l inea retta.

C ia scuno di quest i enunciat i può esser pro fer i to con v e r i t à ; ma in nessun caso condiz ione necessar ia del la loro ver i t iera a s serz ione è che la classe-soggetto abb ia m e m b r i . Né s i può d i re che la que-st ione di tale loro veridic i tà s i pone so l tanto ove la loro classe-soggetto a b b i a m e m b r i . Essi non sono enunciat i sogget to-predicato . Ques t i fatt i , tuttavia , sono molto inadeguat i c o m e sostegno dell 'a-nalis i p r o p o s t a . Se l 'anal i s i p ropos ta fosse corret ta , condizione sufficiente del p ro fe r imento veri t iero di quest i enuncia t i s a r e b b e che l e loro classi-soggetto non avessero m e m b r i ; infatt i * ~ ( 3 . v ) ( f x ) ' es ige ' ( * ) ( f x 3 g.r) ' . Ma questo è ben lungi da l l ' e s sere i l caso per gli enunciat i genera l i suddet t i , o p e r altr i q u a l s i a s i .

Ques t i enunciat i sono di f ferent i f ra loro . I l p r i m o è una propo-s iz ione di m a t e m a t i c a . Accet tar la come vera s igni f ica accettar la come neces sa r i amente vera , come ana l i t i ca . R i spe t to a l l a ques t ione se esso sia o meno una verità ana l i t i ca de l la m a t e m a t i c a , l 'ulte-riore ques t ione se esista o no in natura (o in un qua l s i a s i d i s e g n o ) una figura p i a n a speci f icata a «pici m o d o riesce to ta lmente irrile-vante. L ' accet tar lo come vero s ignif ica accettar lo c o m e esempli f i -caz ione del la f o r m u l a d ' i inp l icanza :

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4 χ è una f igura p i a n a rett i l inea di ri lat i ' es ige ' χ ha la s o m m a dei suoi angol i u g u a l e a ( n — 2 ) χ 2 angol i r e t t i ' .

Ques t a f o r m u l a z i o n e c i r a m m e n t a un 'a l t ra ehe acce t t i amo come

equiva lente :

• χ è una figura p iana rett i l inea di η lati 3 χ ha la s o m m a dei suoi angol i u g u a l e a (n — 2) χ 2 angol i retti ' è anal i t ico .

E di qui agevo le è il pa s s agg io a l l ' enuncia to ana l i t i co genera l izzato " (.ν) (η ) (.ν è una figura p iana rett i l inea di η lati 3 x ha la s o m m a dei suoi angol i ugua le a ( / i — 2) X 2 angol i r e t t i ) ' ; d i cui ' ( * ) (.ν è una figura p i ana rett i l inea di 20 lati 3 χ ha la s o m m a dei suoi angol i ugua le a 18 χ 2 angol i r e t t i ) ' è una spec i a l i zzaz ione . E questa e del la f o r m a " ( . r ) (fx 3 gx)'. Cosi noi p o s s i a m o , d o p o tutto, f a r uso del s i m b o l i s m o quant i f í caz iona lc per la f o r m u l a z i o n e di questo enunc ia to , ma ciò solo ( s enza r i s c h i o ) se met t i amo bene in ch iaro che s t i amo scr ivendo un enuncia to ana l i t i co , e perc iò solo se t en iamo ben presente le r iserve relat ive a l l 'uso di tale sim-bol izzaz ione per e s p r i m e r e l ' impl i canza ' . D ich ia ra re senza ulte-r iore qua l i f i caz ione clic la f o r m u l a nega t ivamente es i s tenzia le rende la f o r m a de l l ' enunc ia to s a r e b b e fa l so .

Il secondo enunc ia to è un e s e m p i o di quegl i enunciat i clic ci s i presentano c o m e se fossero usati per f a re a s serz ioni , mentre questo non è il ca so . Il p r o p r i e t a r i o terr iero che co l loca que l l a scritta su di un car te l lo posto al confine dei suoi terreni non fa una pred iz ione , ma notifica un avver t imento o una minacc i a . Si po t rebbe d i re che è « ver i t iero » o in buona fede nel f o r m u l a r e l 'enunciato se ques to c o r r i s p o n d e a l le sue intenzioni . Ma egli non fa né un 'as serz ione vera , né un 'a s serz ione f a l s a , g iacché non fa un 'as serz ione a f fa t to .

1 C f r . capi tolo I, sezione 15, e capitolo V i l i , sezione 3.

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Il terzo enunciato a p p a r t i e n e a l la teor ia fisica 1 ; ed io non pre-tendo di trattar lo che in un m o d o s c h e m a t i c a m e n t e rea l i s t ico . Sup-pon iamo clic in ugni caso osservato la quant i t à di dev iaz ione di un corpo in moto da l la prosecuz ione con m o v i m e n t o u n i f o r m e e retti-lineo. sia legata con q u a l c h e r appor to costante a l l a g randezza ed alla d i rez ione de l le forze che o p e r a n o su di esso. E s i s u p p o n g a clic questo r appor to s ia tale che a s s u m e n d o che esso va lga per generi ili casi non osservati sia equ iva lente , nel caso m a i verif icato di un corpo sul qua le non agisca nessuna forza e s terna , a l l 'assun-zione che un tal corpo cont inuerebbe nel moto u n i f o r m e in l inea retta. Al lora le prove in base a l le qua l i c o n c l u d i a m o , se c r e d i a m o di far lo , che questo r a p p o r t o va le per tutti i corp i in moto sono altresì que l le in base a l l e qual i accet t iamo c o m e vera l ' a s serz ione in quest ione. C o g l i a m o il va lore di tale a s serz ione so lo q u a n d o la cons ider i amo c o m e p a r t e d i una teoria più a m p i a . A l lo ra infatti ved iamo che , s ebbene l ' a s serz ione non a b b i a a l cuna a p p l i c a z i o n e diretta, g iacche non ci sono, p o s s i a m o d i re , corp i di sorta sui qual i non oper ino forze esterne, tuttavia la ques t ione de l la sua verità o falsità può sorgere , e l ' a s serz ione può cor re t t amente dirs i vera , come una par te , o conseguenza , del la teor ia genera le che ha app l i -cazione diret ta , g iacche ci sono corp i in molo . Il senso in cui noi c h i a m i a m o vera una s i f fat ta asserz ione genera le p u ò venir confron-tato col senso in cui p o s s i a m o c h i a m a r vera q u a l c h e asserz ione condiz iona le con condiz ioni non sodd i s f a t te . Anch 'e s se infatti pos-soii essere conseguenze logiche di genera l izzaz ioni accettate che hanno a p p l i c a z i o n e diret ta ( f o r s e poste in s i eme con a lcune al tre asserz ioni , non g e n e r a l i ) .

3. Le asserzioni genera l i e m p i r i c h e si suo le d iv ider le in ge-neral izzazioni ristrette e non ristrette, o in genera l i zzaz ioni circa

1 P u ò mirilo dar s i elio r i o non s ia pi l i , o c l ic s ia d i v e n t a t o un e n u n c i a t o ana l i t i co . Q u i non tengo c o n t o né d e l l ' u n a , né d e l l ' a l t r a p o s s i b i l i t à , g i a c c h é i l mio uso d e l l ' e n u n c i a t o è s o l í a n l o i l lu s t r a t ivo .

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c lass i ch iuse e genera l izzaz ioni c irca classi aper te , o anche , po-t r e m m o d i re , in reg i s t raz ioni con va lore prognost ico da un lato e leggi da l l ' a l t ro . Una tal d iv i s ione non è né c h i a r a m e n t e def inita , né esaur iente . Ma un va lore ce l 'ha , per quanto s ia spes so mala-mente r app r e s en ta to . L ' a s se rz ione idea le con va lore di legge po-t rebbe venir cara t ter izzata c o m e segue , senza ambiz ion i d i appro-fond imento e comple tezza : se A è un enuncia to che e s p r i m e una s i f fatta as serz ione , a l l o r a , dato che ove A s ia pro fer i to da q u a l c h e persona in un certo m o m e n t o e luogo l ' a s serz ione clic ne risulta è vera , segue nece s sa r i amente che da q u a l u n q u e a l tra per sona , in q u a l u n q u e a l tro t e m p o e luogo , A ( s e n z a modi f ica a l cuna , nep-p u r e . p.e. . nel t e m p o v e r b a l e ) venga pro fer i to , esso dà ancora luogo ad un 'a s se rz ione vera . Cos i nessuna a s serz ione in cui i rife-r imenti del le p a r o l e usate d i p e n d a n o in un m o d o qua l s i a s i da l l a s i tuaz ione in cui esse sono profer i te p u ò essere un 'a s serz ione ideale con va lore di legge. Q u e s t a cara t ter izzaz ione s e m b r a precisa nel suo ambi to di a p p l i c a b i l i t à , ma la l inea fra genera l izzaz ioni ri-strette e non ristrette non è t racc ia la in prat ica in m o d o cosi netto. Ci sono mol te genera l i zzaz ioni che si p r o p e n d e a cons idera re non ristrette, re la t ive a " c l a s s i a p e r t e ' e cosi v ia , le qua l i so l tanto si a p p r o s s i m a n o a ques to requi s i to . Per e s e m p i o * Tut t i i gal l i a m a n o il pesce ' è genera l i zzaz ione che c o m u n e m e n t e si f a r e b b e r ientrare in tale ca tegor ia . Ma s a r e b b e poss ib i le d i r e : ' Era generalmente vero clic tutti i gatti a m a n o il p e s c e ; ma ora X Ita a l levato una nuova razza di gal l i che detestano i l pesce ' . Q u a n d o coloro che p a r l a v a n o in epoca pre-X p r o f e r i v a n o l ' enunciato , f acevano una asserz ione v e r a : ma ((liando lo s i p ro fer i sce in epoca post-X, ne v iene un 'as serz ione fa l sa . Ne der iva c h e la c la s se cui ci s i r i fer iva non era i d e a l m e n t e a p e r t a . Ma occorre d i re che , se tent iamo di rendere l a cara t ter izzaz ione abbas t anza a m p i a da c o m p r e n d e r e tutte que l le as serz ioni general i che sono state c lass i f icate come non ristrette, essa diventa una cara t ter izzaz ione vaga , da f o r m u l a r s i in termini d i a p p r o s s i m a z i o n e a l l ' i dea le . P o s s i a m o p a r l a r e , a l lora

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ili a s serz ioni- legge e rli a s serz ion i -quas i - l eggc , i n c l u d e n d o ne l l a s e c o n d a c a t e g o r i a que l l e cl ie so l tanto s i a p p r o s s i m a n o a l l ' i d e a l e . Nel fare tal i a s serz ion i u s i a m o i l t e m p o pre sente . Ma la f u n z i o n e elie lia quel t e m p o in tal i a s serz ioni non e già di i n d i c a r e che si e s p r i m o n o condiz ion i c o n t e m p o r a n e e a l l ' a t to e s p r e s s i v o . N é s i tratta del presente a t e m p o r a l e d e l l e a s s e rz ion i n e c e s s a r i e . È i l presente u n n i - t e m p o r a l e de l l e a s serz ioni - legge , o s s i a , nel nostro e s e m p i o , i l p re sente q u a s i - o n n i t e m p o r a l e di a l c u n e asserz ioni-quas i - leggc .

Si p e n s a ta lvolta c h e le a s serz ioni - legge de l l a f o r m a ' tutti gli s sono ρ ". le qua l i a b b i a n o a p p l i c a z i o n i d i re t te a cas i part i-co la r i , non vengono ver i f i ca te d a l l a s e m p l i c e c i r c o s t a n z a c h e non \ i s ia ( o n n i l e m p o r a l m e n l e ) nessun s che non s ia p ; s i r i t i ene c ioè d i e le cond iz ion i d i ver i tà s t ab i l i t e p e r le a s s e rz ion i g e n e r a l i sog-get to-predicato nel p r i m o p a r a g r a f o d i q u e s t o c a p i t o l o s i a n o ina-degua te per a s serz ioni- legge , e c h e acce t t a r q u e s t e c o m e vere si-gnif ichi acce t ta re l 'u l te r iore requ i s i to c h e es i s ta q u a l c h e l e g a m e necessar io f ra la cara t ter i s t i ca di e s sere un s e q u e l l a di un p, l e g a m e s o g g i a c e n t e a l l a lo ro cos tante c o n g i u n z i o n e . Un t ip i co ar-gomento a so s tegno di t a le concez ione è i l s e g u e n t e ' . Si s u p p o n g a che q u a l c u n o a b b i a ogni buon f o n d a m e n t o d i c r e d e r e c h e non v i sia ma i s ta to a l t ro che un n u m e r o as sa i p i cco lo ili m e m b r i d i una certa s p e c i e (.<), che non ve ne s a r a n n o m a i p i ù in f u t u r o , e che c iascun m e m b r o del la s p e c i e , da a d u l t o , aves se u n a certa caratte-ristica ( p ) f a c i l e a r i l evars i ( c o m e , p e r e s e m p i o , un certo n u m e r o d i pe r sone p o t r e b b e r o a v e r e tutte dei nas i lunghi e s a t t a m e n t e d u e p o l l i c i ) . A l l o r a s i p o t r e b b e a m m e t t e r e c o m e s o d d i s f a t t a l a condi-z ione che non ci sono s che non s i a n o p. Ma l ' a s s e r z i o n e c h e ta le cond iz ione è s o d d i s f a t t a non s a r e b b e un ' a s se rz ione- l egge . S e g n o ne è c h e non s a r e b b e l eg i t t imo i n f e r i r e c h e . se vi f o s se un a l t ro s . s a r e b b e a n c h e esso p . Cos i a l c u n e a s serz ion i non r i s tret te p e r cui

( . f r . KNKALE, Probul'ility und Induction* p u l t e II.

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2S2 Asserzioni genera l i

le condiz ioni di verità descri t te sono a d e g u a t e non sono asserzioni-legge. E q u i n d i , si conc lude , nessuna as serz ione per cui tali condi-zioni di veri tà sono adegua te , sono asserzioni- legge.

L ' u l t i m o p a s s a g g i o de l l ' a rgomentaz ione è , tuttavia , inva l ido . Ciò che consegue non è ehe le condiz ioni di veri tà de l le asserzioni-legge sono s ta le i n a d e g u a t a m e n t e descri t te , ma soltanto che è inadeguata , p e r qualche r i spetto , la cara t ter izzaz ione de l le as-serzioni-legge data f inora . Né c'è da cercar l o n t a n o : una par te essenziale de l l e p r o v e su cui pogg ia la conc lus ione per cui nel caso testé i m m a g i n a t o non vi s a r e b b e ( o n n i t e m p o r a l m e n t e ) nes-sun s che s ia non ρ sta nel fatto che la c la s se dei m e m b r i del la spec ie è l imita ta in un senso t e m p o r a l e mol lo def inito , nel l 'esser , c ioè, provato che non vi s a r a n n o altri m e m b r i , e che mai ve ne furono , oltre al n u m e r o l imitato la cui os servaz ione è stata regi-s trata . Tut to c iò che d o b b i a m o agg iungere a l la nostra caratteriz-zazione de l le leggi na tura l i è i l requis i to che una prova di questo genere non d e b b a cost i tu ire par te es senzia le dei fondament i in base ai qua l i le leggi stesse vengono accettate. I l m a t e r i a l e proba-torio che è in s i eme a m m i s s i b i l e ed adegua to al f ine di s t ab i l i re una legge sarà a l lora a d e g u a t o anche al f ine di s t ab i l i re le relat ive asserzioni condiz iona l i insoddi s fa t te . B i s o g n e r e b b e agg iungere che il l inguaggio o r d i n a r i o non esita af fat to a d i s t inguere fra questi cas i . Infatt i non u s e r e m m o mai i l presente o n n i t e m p o r a l c in un caso c o m e que l lo i m m a g i n a t o . D i r e m m o , i n v e c e : ' T u t t i gli s che mai c i f u r o n o , f u r o n o p ; e non ce ne s a r a n n o p i l i ' .

Se d u n q u e un 'asscrz ione- legge clic s i avvicini a l la f o r m a ' Tutt i gli s sono p ' ha a p p l i c a z i o n e diretta ( p . e . , ' T u t t i i m a m m i f e r i sono vertebrat i ' . * l meta l l i r i sca ldat i si d i l a tano " ) . non c 'è ragione di pensare che le sue condiz ioni di verità s i ano d iverse da que l l e descritte per le a l t re as serz ioni sogget to-predicato . ( Dir epiesto non s ignif ica negare che le asserzioni- legge di f o r m a sogget to-predicato s i auo d iverse per alcuni r ispetti da l l e a l t re asserzioni soggetto-pred ica to , g iacché , c o m e s 'è visto testé, c h i a m a r l e asserzioni-legge

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s ignif ica i n s i e m e s o U o l i n e a r e l ' i l l imi ta tezza de l l a lo ro a p p l i c a z i o n e e d i re q u a l c o s a su l la n a t u r a de l l e p r o v e c h e le s u f f r a g a n o ) . E se nn 'a s serz ione- legge d i ques ta f o r m a non ha a p p l i c a z i o n e diret ta ( p.e. , ' I c o r p i sui q u a l i non ag i s cono f o r z e e s te rne c o n t i n u a n o , e c c . ' ) . a l l o r a la sua ver i tà o f a l s i t à d i p e n d o n o d a l l a ver i tà o fa l s i tà di a l t r e a s serz ioni- legge con le q u a l i e d e d u t t i v a m e n t e colle-gatu e che h a n n o a p p l i c a z i o n e d i re t ta .

La f r a se * a p p l i c a z i o n e diret ta a cas i spec i f i c i ' , c h e si è usa ta s o p r a , non d e v e es sere in te rpre ta t a t r o p p o r i g i d a m e n t e . ' I meta l l i r i sca lda l i s i d i l a t a n o ' è u n a g e n e r a l i z z a z i o n e di o r d i n e pili a l to circa i l r a m e , lo z inco , l ' o ro , ecc . ( c i o è , c i r ca tipi d i m a t e r i a l i ) ; e ' Tut t i i m a m m i f e r i sono ver tebrat i ' è a n c h ' e s s a u n a genera l iz-zaz ione c o n s i m i l e clic r i g u a r d a i l l eone , la t igre , la b a l e n a , ecc. ( c i o è , specie d i a n i m a l i ) , l a d d o v e i ' c a s i s p e c i f i c i ' s o n o s ingo l i pezzi di m e t a l l o e s ingo l i a n i m a l i . Ino l t re , la m a g g i o r a n z a d e l l e a s serz ioni- legge a s s o m i g l i a n o p iut tos to a l p r i m o c h e a l s e c o n d o d i quest i d u e e s e m p i . E s se a s se r i s cono , c ioè , c h e q u a n d o ad alcun-ché c a p i t a q u a l c o s a , c a p i t a a n c h e q u a l c o s ' a l t r o ( ' r i s c a l d a t o s i d i l a t a ' ) . Asserz ioni- legge d i ques to t i p o v e n g o n o s p e s s o e s p r e s s e in enuncia t i di f o r m a ' se . . . a l lo ra . . . ', o in enunc ia t i con un ' o g n i q u a l v o l t a ' . contenent i d u e verbi finiti ( p . e . , " Se il po ta s s io è messo in conta t to con l ' a c q u a , ha luogo u n a c o m b u s t i o n e ' ) . Sa-rebbe p o s s i b i l e , u s a n d o una f o r m a l ingu i s t i ca un p o ' s f o r z a t a , e s p r i m e r e tal i leggi ne l l a f o r m a d i g e n e r a l i z z a z i o n i soggetto-pre-dicato re la t ive a c lass i a p e r t e di eventi: " T u t t i i cas i di po ta s s io posto in contat to con a c q u a sono (o sono segui t i d a ) cas i d i com-bust ione ' . C i ò che a p p a r e s f o r z a t o , (piesta necess i tà d i u s a r e n o m i cosi a l t a m e n t e genera l i c o m e ' c a s i " , de r iva da l fa t to c h e i l lin-guagg io è p iù ricco di n o m i per t ip i c o m p l e s s i d i cose che non d i nomi p e r t ip i c o m p l e s s i d i event i . Né un s i f f a t to ar t i f i c io pos-s iede a l c u n a virtù ch ia r i f i c a t r i ce . N e s s u n a s p e c i a l e virtù c o m p e t e infatti a l la s e m p l i c e f o r m a s o g g e t t o - p r e d i c a t o ; e q u a n t o si è detto de l le c o n d i z i o n i d i ver i tà d e l l e a s serz ion i n a t u r a l m e n t e fat te in

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2S2 Asserzioni genera l i

quel la forma trova i suoi s e m p l i c i s s i m i para l l e l i r i guardant i le asserzioni- legge che p iù na tura lmente vengon ef fet tuate nel le a l t re f o r m e di cui ho fatta m e n z i o n e

4·. Ho par l a to in precedenza di enunciat i genera l i i q u a l i , s ebbene usat i per f a re asserz ioni piuttosto che per e s p r i m e r e am-moniment i o p e r fissare regole , non sono atti a f a re asserz ioni cosi d i re t tamente e c h i a r a m e n t e come p o t r e b b e s e m b r a r e . Eccone un e s e m p i o : ' ( T u t t i ) i p a r l a m e n t a r i r icevono mi l l e s ter l ine l ' a n n o 1 . Ques t ' a s se rz ione non e fa ls i f icata dal caso di un p a r l a m e n t a r e al q u a l e la T e s o r e r i a d iment ica s se d i p a g a r e le sue spe t tanze durante i l p e r i o d o di p e r m a n e n z a al P a r l a m e n t o . Né ta le m a n c a t a falsi-f icazione cost i tuisce un s e m p l i c e caso ( n e e piuttosto un caso com-p l e s s o ) di una de l le qua l i f i caz ioni cui s 'è fatto cenno nel p r i m o p a r a g r a f o di ques to cap i to lo , né è da sp iegar s i d i cendo che l 'enun-ciato è usato sol tanto per fissare, o c i tare , una regola , o per d i re clic que l l a regola es is te , senza impegnar s i c irca i l fatto clic sia osservata o me no . ( C o n f r o n t a c o n : ' I p a r l a m e n t a r i h a n n o diritto a mi l l e s ter l ine a l l ' anno ' ) . Si tratta piuttosto di q u a l c o s a a mezza s t rada fra l ' a s ser i re i fatti de l le effett ive riscossioni ed as ser i re il dir i t to ad esse ila par te dei p a r l a m e n t a r i . Un m o d o di re sp ingere l ' a s serz ione consis tente nel s e p a r a r e c h i a r a m e n t e quest i due ele-menti po t rebbe e s s e r e : * In teoria essi r icevono cpiei s o l d i ; ma in prat ica i p a g a m e n t i sono tanto in arretrato che essi non r icevono mai tutto que l lo cui h a n n o d i r i t t o ' . Q u e s t o e lemento di riconosci-mento di una regola è m e n o c h i a r a m e n t e presente in mol te a l tre

' La t r a t t a z i o n e «Ielle nsserz ioni- leggc fatta in q u e s t o c a p i t o l o e nel pros-s i m o «leve i n t e n d e r s i c o m e re l a t iva so l t an to a l l e a s s e rz ion i - l egge el le s i a p p l i -cano a casi spec i f i c i o s i a n o s e m p l i c e m e n t e dedue i l i i l i da a l t r e p e r cu i ta le a p p l i c a z i o n e è p o s s i b i l e . F o r s e so l t an to q u e s t e ( o so lo a l c u n e d i q u e s t e ) ven-g o n o c h i a m a t e p r o p r i a m e n t e ' g e n e r a l i z z a z i o n i C i s o n o a l t re leggi ed a l t r i p r i n c i p i d i t eor i a s c i en t i f i c a , d i g r a d o p i ù a l to , l a cui r e l a z i o n e eoi fat t i osser-vati è lungi (1 al l ' e s s e r e co s i s e m p l i c e .

)

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asserzioni genera l i . Per e s e m p i o : " T u t t i i l ibr i ili S m i t h sono le-gati in capret to ' inilica un certo c o m p o r t a m e n t o n o r m a l e , una regola pr iva la del s ignor S m i t h .

La rag ione per cui tocco questi punti in a p p a r e n z a bana l i è la s eguente : è pos s ib i le fare degli e sempi di enuncia t i general i clic c h i a r a m e n t e a p p a r t e n g o n o a classi in netto contras to , qua l i ad e s e m p i o : asserzioni ana l i t i che , asserzioni- legge idea l i , regole di giochi o ili ist i tuzioni, col locazioni di fatto del tutto fortuite . Alla p r i m a e a l l a terza di queste class i non può a p p l i c a r s i i l con-cetto di veri tà o fals i tà e m p i r i c a . Esso si a p p l i c a a l l a seconda c alla q u a r l a , e in un m o d o che è f o n d a m e n t a l m e n t e lo stesso, come ho cercalo di most rare . Ma gli enunciat i genera l i clic posson essere nettamente attribuit i ad una o ad un 'a l t ra di tali classifi-cazioni cost i tuiscono, p r o b a b i l m e n t e , piuttosto l 'eccezione che la regola . Il fatto che gli enuncia l i general i si r ive l ino in tal m o d o come i l confuso punto d ' incontro di carat ter i svar ia t i ha ins ieme incoraggia lo a s s imi laz ioni errate ' e p r o m o s s o dis t inzioni s p u r i e . In par t ico lare , è impor tante r i levare la s f u m a t a cont inui tà che intercorre fra asserzioni- legge natura l i di a l to g r a d o e que l l e asser-zioni del t ipo ' tutti gli 5 sono p' circa le qua l i non si ha rag ione di negare , per c iascun m e m b r o ind iv idua le de l la e las se soggetto , un ind ipendente poss ib i l i tà di p rovare clic esso è p. La maggio-ranza del le asserzioni genera l i e m p i r i c h e si trova a vari punti f ra questi es t remi . Consapevo l i di questa cont inui tà , s i a m o indotti a cercare la d i f ferenza fra di essi in cose che pos sano m u t a r e g r a d u a l m e n t e : nel carat tere dei fondament i in ba se ai qua l i fac-c i amo tali a s serz ioni , e nel la misura d e l l ' i m p e g n o che ci met t i amo nel far le , e 11011 già in una brusca rottura nel t ipo de l le condiz ioni di verità che dovrebbe aversi in q u a l c h e punto p r o s s i m o ad una delle due es t remità del la ser ie .

' S i pens i s o p r a t t u t t o a l lo p a r o l a " l e g g e * .

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2S2 Asserzioni genera l i

I I .

Relazioni

5. T r a t t a n d o , nel cap i to lo I I , del genere di ana log ie f o r m a l i sussistenti f ra in ferenze che interessano i l logico , v e d e m m o che una di tali a n a l o g i e era r i scontrabi le in inferenze dei seguenti model l i :

.ν è. un d i scendente di y . y è un d i scendente ili ζ χ è un d i scendente di s

A' è una p a r t e di y . y è lina par te di ζ χ è una par te di ζ es ige y . y es ige ζ χ es ige ζ

.r è p iù vecchio di y . y è p iù vecchio di ζ .t è p iù vec-chio di ζ

χ = y . y = ζ χ = ζ.

V e d e m m o anche clic i l de s ider io che ha i l logico di codi f icare le ana log ie f o r m a l i m e d i a n t e l ' adoz ione di un m o d e l l o verba le r appresenta t ivo che possa f igurare in una regola c i tata , incontrava in questo caso una certa dif f icoltà . La diff icoltà s tava nel l 'assenza di qua l s i a s i cara t tere f o r m a l e c o m u n e pcrva s ivo e pecu l i a re de l le asserzioni re laz iona l i suscett ibi l i di entrare a f a r par te di inferenze va l ide di m o d e l l o ana logo a quel l i soprac i t a t i . N a t u r a l m e n t e , tutte le inferenze di questo genere hanno un cara t tere f o r m a l e comune , a l t r imenti non s o r g e r e b b e n e p p u r e la ques t ione d i s copr i r e una ana log i a f o r m a l e fra di ess i . Essi e s e m p l i f i c a n o tutti, infatt i , i l m o d e l l o

fx y . fyz :. fxz.

Ma questo m o d e l l o non serve ai f ini del log ico . Infat t i , coinè i l mode l lo genera le de l l ' in ferenza s i l logis t ica nel la p r i m a f igura

m — p. s — m .·. 5 — ρ

\

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anch ' esso è e sempl i f i ca to , con a l m e n o pari f r equenza , da inferenze inval ide non meno clie da inferenze va l ide . Mentre i l l inguagg io ci fornisce un piccolo numero di costanti con cui poter spec i f i care differenti f o r m e va l ide del s i l log i smo del la p r i m a f igura ( c o m e , ad e sempio , ' ogni m è p, ogni s e ni .'. ogni s è p ' ) , esso non ci fornisce nessuna costante con cui spec i f i care , in una f o r m u l a , esatta-niente quel so t togruppo di in ferenze del la f o r m a ' fxy . fyz .'. fxz ' clic sono va l ide . Pos s i amo , è vero, t rovare a lcuni mode l l i clie sem-brano qual i f icat i per es ser cons iderat i f o r m a l i ( m o s t r a n o , c ioè , la des idera la indi f ferenza r i spet to al c o n t e n u t o ) e c h e ins ieme co-prono un buon numero del le asserz ioni che possono entrare in inferenze v a l i d e d i questa f o r m a . Per e s e m p i o

.ν è p iù φ che y χ lia una m a g g i o r ( m i n o r ) quant i tà ( g r a d o ) di φ clic y χ lia lo stesso φ di y.

l 'n bel numero del le f o r m u l e spec i f i che che possono f igurare in validi mode l l i d ' in ferenza del genere di cui ci o c c u p i a m o o esempl i f icano d i re t tamente qua l cuno di quel l i s o p r a r i p o r t a t i , op-pure, con m a g g i o r e o m i n o r g rado di forzatura l inguis t ica , possono venir tradotti in f o r m u l e che l i e sempl i f i ch ino . Ma p e r quanto si sforzi il l inguagg io , non si riesce a f a r si ehe quest i mode l l i esau-riscano tutti i cas i di cui ci o c c u p i a m o ( p . e . , * χ è un ascendente di y ', ' χ inc lude y ', ' ρ Z5 q ' ) . C 'è inoltre, come v e d r e m o , un' im-portante d i f ferenza logica fra le p r i m e due , che pos sono venir con-s iderate come s e m p l i c i var iant i l inguis t iche l 'una de l l ' a l t r a , e l'ul-t ima. Non s i a m o , cosi, progred i t i a f fat to verso la s coper ta di un model lo ve ramente rappresenta t ivo per le as serz ioni re laz ional i , i l q u a l e a b b i a e sa t tamente i poteri logici di cui qu i ci o c c u p i a m o . I'· ci r i m a n e soltanto l ' e sped iente di c las s i f icare ins ieme, sotto il nome di ' t ransit ivi ' , tutti que i predicat i re laz iona l i che produ-cono f o r m u l e ana l i t i che se sostituiti ad ' / ' nel la f o r m u l a ' fxy . f>' z 3 fxz '. I predicat i re laz iona l i non transit ivi possono suddi-

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2S2 Asserz ioni genera l i

vidersi in predicat i che p roducono f o r m u l e contingenti q u a n d o s iano sostituit i a ' / " ne l l ' e spres s ione citata ( p.e. , ' a m a ' ) , e quel l i clic p roducono f o r m u l e ana l i t i che q u a n d o s i ano sostituit i a d ' / ' nel la f o r m u l a ' fxy . fyz 3 ~ fxz ' e perc iò p r o d u c o n o f o r m u l e auto-contraddi t tor ie se sostituit i ad ' / ' nel la f o r m u l a ' fxy . fyz 3

fxz ' . Ques t i u l t imi son detti pred ica t i re laz iona l i intransi t ivi .

6 . Se c o n f r o n t i a m o le due f o r m u l e t rans i t ivamente relazio-nali ' .ν ha la stessa g randezza di y" e ' .v c pili g r a n d e di y \ e fa-ci le s copr i re l ' i m p o r t a n t e d i f ferenza logica a l l a q u a l e ho teste accennato . La p r i m a f o r m u l a es ige la f o r m u l a clic r isulta da l l a t ra spos iz ione de l le sue var iab i l i ind iv idua l i , mentre la seconda è i n c o m p a t i b i l e con la f o r m u l a a n a l o g a m e n t e ottenuta . Q u e s t a dif-ferenza e sempl i f i ca un 'u l ter iore c las s i f icaz ione dei predicat i rela-z ional i . I p red ica t i che . sostituiti ad ' / ' ne l l ' e spres s ione ' fxy 3 fyx ' , p roducono f o r m u l e ana l i t i che sono detti s immetr i c i . P a r o l e re laz ional i non s i m m e t r i c h e sono que l l e che p r o d u c o n o f o r m u l e contingenti o auto-contraddi t tor ie q u a n d o vengono sost i tuite ad ' / ' in questa e s p r e s s i o n e ; e que l l e che p r o d u c o n o f o r m u l e auto-con-traddi t tor ie sono c h i a m a t e a s immetr i che . Del le re lazioni transit ive, a lcune sono s i m m e t r i c h e , a lcune a s i m m e t r i c h e , ed a lcune né l 'uno né l 'a l tro. Tut te que l l e che involgono identità o e g u a g l i a n z a per q u a l c h e r i spetto sono s i m m e t r i c h e ( p.e. , ' è congruente con ', ' è s inon imo di ', ' è l og i camente equ iva lente a ', ' e f rate l lo o sore l la di " ) . Q u e l l e che ind icano pos iz ioni re lat ive a q u a l c h e t ipo di or-d inamento sono a s i m m e t r i c h e ( p . e . , * p iù grani le , p iù vecchio, p iù alto d i ' , 4 a scendente d i ' ) . Un e s e m p i o di re laz ione transi t iva che 11011 e né s i m m e t r i c a né a s immetr i ca è que l lo d ' i m p l i c a n z a : " l ' a s serz ione clic ρ es ige l ' a s serz ione clic q ' e congruente con la f o r m u l a ' l ' a s serz ione che q e s ige l ' a s serz ione che ρ ' , ma non la es ige . Si s a r e b b e tentati di pensare che tutte le re lazioni s imme-triche del ibano essere neces sar i amente transit ive, ma la re laz ione ili s i m i g l i a n z a offre un e s e m p i o in contrar io . E s e m p i di re lazioni

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Relaz ion i 263

intransit ive a s i m m e t r i c h e , e «li re laz ioni ehe non sono né transi-tive né intransi t ive e n e p p u r e s i m m e t r i c h e o a s i m m e t r i c h e , non è af fat to diff ici le t rovar l i .

7. Le p a r o l e e spr iment i re lazioni vengono c lass i f icate dai lo-gici anche in a l t re manie re , corr i spondent i ad a l t re carat ter i s t iche Formali. Di esse non t ra t teremo. Ma occorre f a r cenno «li un'ulte-riore carat ter i s t ica f o r m a l e c o m u n e a l la m a g g i o r p a r t e dei predi-cali d i ad i c i , c ioè clic p e r ogni as serz ione che s tab i l i s ce che una cosa sta in una certa re laz ione con un 'a l t ra c 'è di so l i to un'asser-zione log icamente equ iva lente che s tabi l i sce che la seconda sta in una «pialchc re laz ione con la p r i m a ; o, in a l t re pa ro le , un enuncia lo de l la f o rma ' xRy ' c o m u n e m e n t e es ige q u a l c h e enun-cialo del la f o rma ' yRx ' , che a sua volta es ige il p r i m o . Le due re-lazioni son dette l 'una la conversa de l l ' a l t r a . Ovv iamente , un modo a l ternat ivo di d ire che un certo p r e d i c a l o re l az iona le è sim-metrico consiste nel d i re che esso è i l suo p r o p r i o converso . Per un bel numero di espress ioni re laz ional i in cui la p a r o l a opera t iva è un verbo, i l converso p u ò essere f o r m a t o rendendo sempl ice-niente la voce «la attiva a pass iva o viceversa : p .e . , * .r i s truisce y ' i· equiva lente a ' y è istruito «la χ ". In altri casi p o s s i a m o f o r m a r e i conversi i m p i e g a n d o c o p p i e di pa ro le o f ras i o p p o s t e : p.c. , ' a l l ievo di ', * maestro di "; ' la rad ice q u a d r a t a di ', * il q u a d r a t o d i " ; " g e n i t o r e d i ' , " f i g l i o d i ' , ecc. O p p u r e p o s s i a m o scegl iere fra ρ iii c o n v e r s i : ' e s i g e ' ha per converso tanto "è dedotto ( p e r i m p l i c a n z a ) d a ' , quanto ' s e g u e d a ' . C o n t i n u a m e n t e , in tutti i c ampi pos s ib i l i , t r a s f o r m i a m o certe asserz ioni ne l le loro converse , ed «'• legi t t imo che il logico f o r m a l e si interessi a p p u n t o a l la s imi-gl ianza f o r m a l e c h e es i s te fra tali pa s sagg i . I l m o d e l l o che essi tutti e sempl i f i c ano è

fxy .". gyx.

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2S 2 Asserz ioni genera l i

In m o d o anche p iù ovvio che nel caso del m o d e l l o putat ivo de l la transi t ivi tà , noi non p o s s i a m o c i tare questo c o m e un m o d e l l o d'in-ferenza va l ido . Né p o s s i a m o , c o m e f a c e m m o nel caso de l la tran-sit ività , i m p i e g a r e u t i lmente i l m o d e l l o c o m e hase per un con-trasto f o r m a l e fra a l c u n e espress ioni re laz iona l i ed al tre . Per s ino , infatt i , se si desse i l caso che il l inguagg io m a n c a s s e di fornirc i un converso che suoni na tura le per a lcune espres s ioni re laz iona l i , questo fatto non avrehhc s igni f ìcanza logica : p o t r e m m o s e m p r e inventare un s i f fat to converso senza m u t a r e i l senso del l 'espres-s ione re laz iona le per la q u a l e lo inventeremmo. Cosi la caratte-ristica logica »Ielle e spress ioni re laz iona l i di cui si è trattato in questa sez ione non of f re i l f o n d a m e n t o p e r un 'u l ter iore classifi-caz ione f o r m a l e de l l e asserzioni re laz iona l i , sul genere d i que l l a in ' t ransi t ive ', ' s i m m e t r i c h e ', ecc.

8 . I lo fatto e s p r e s s a m e n t e r i levare clic le ana log ie f o r m a l i fra le asserz ioni che f o r m a n o la m a g g i o r par te de l la mater i a trat-tata da questa branca de l la logica non possono , per l 'assenza di costanti pervas ive , venir poste in luce m e d i a n t e regole che stabi-l i scano che certi mode l l i verba l i citati s i ano f o r m u l e ana l i t i che , model l i va l id i d ' in fe renza , ecc. D o b b i a m o ora f a r r i levare un punto connesso col precedente e che serve in par te a s p i e g a r l o : c ioè , che le a n a l o g i e fo rmal i in ques t ione sono in un certo senso [liú c o m p r e n s i v e di tutte le a l t re con cui s 'è avuto a che fare . P e r e s e m p i o , de l le f o r m u l e ana l i t i che

ρ ν q r> q ν ρ « E p r> p E s

χ è sposa to a y r) y c sposa to a χ

le p r i m e due a p p a r t e n g o n o al la logica f o r m a l e , mentre la terza non v i a p p a r t i e n e . Di re che un 'a s serz ione è del m o d e l l o ' p v q ' ( o p p u r e " s E p " ) s igni f ica c lass i f icar la a s s i e m e a d u n g r u p p o d i asserzioni a l le qua l i essa è f o r m a l m e n t e a n a l o g a . L ' a n a l o g i a for-

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Relaz ion i 265

male ira ' ρ ν q \ ' s E p e ' χ è sposa to eon y ', a n a l o g i a che ci porta a d i c h i a r a r l e tutte f o r m u l e s immetr i che , a b b r a c c i a costanti formal i che a p p a r t e n g o n o a di f ferenti b ranche de l l a logica ( " v ' <· · I ") ed anche a costanti non f o r m a l i (' è sposa to con " ) . Rinun-c iando a cercare costanti r appresenta t ive , c o m i n c i a m o a t rovare ana log ie d i più a m p i o re sp i ro .

Ques t i e s e m p i mos t rano qua lcosa d 'a l t ro , e p r e c i s a m e n t e come, per seguendo ana log ie f o r m a l i più estensive, s i s ia a l l a rga to i l senso della paro la * re laz ione ' . L 'u so di questo te rmine è a b b a s t a n z a natura le f inche si cons iderano e s e m p i sul t ipo de l la f o r m u l a ' A: è contiguo a y ' . Infatt i è a b b a s t a n z a na tura le d i re che , f acendo un'asserzione d i questa f o r m a f a c c i a m o menz ione d i (o riferi-mento a) due cose o per sone , e d i c h i a r i a m o che esse s tanno in una certa re laz ione . Ma questa descr iz ione , der iva ta da l l e asser-zioni s ingolar i soggetto-predicato , d iv iene a l t a m e n t e innatura le quando la a p p l i c h i a m o a un 'as serz ione de l la f o r m a * ρ ν q ' sem-pl icemente in virtù del fatto che e di questa f o r m a . Dicendo che qualcosa è de l la f o rma ' p v q ' noi non m e n z i o n i a m o due asser-zioni o due c l auso le , ma u s i a m o due c l auso le per f a re un'asser-zione. N o n d i m e n o , l ' ana log ia f o r m a l e ( c i o è la leg i t t imità di im-perniare d u e pezzetti cons imi l i di enunc ia to su di un terzo pezzetto d i s s i m i l e ) è cer tamente presente . L 'u so de l l ' e spre s s ione ' asserzioni re laz ional i s i m m e t r i c h e ' è innocuo f inché non la cari-ch iamo di altr i s ignif icati a l l ' in fuor i di ques to .

9. Ho già fatto in precedenza a lcune osservaz ioni sul la dog-matica pretesa di comple tezza che alcuni e sponent i de l la logica formale t rad iz iona le avanzano a f avore di ques t 'u l t ima . È ch ia ro clic i l r iconoscimento esp l ic i to de l le ana log ie f o r m a l i trattate in questo cap i to lo , e qu indi de l le f o r m e di in ferenza che non rien-trano nel s i s t ema t rad iz iona le , è i n c o m p a t i b i l e con una tale pre-tesa. È fac i le scorgere come l ' impos s ib i l i t à di cos t ru i re va l id i schemi rappresentat iv i potesse r i t a rdare i l r i conosc imento espli-

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2 6 6

cito <li ques te f o r m e . Ma a l cun i de i t ipi di a r g o m e n t a z i o n e clic esse c o m p o r t a n o ( s o p r a t t u t t o l e in fe renze t r a n s i t i v a m e n t e rela-z iona l i . o ' a r g o m e n t i a fortiori ' ) e r a n o t r o p p o c o m u n i p e r c h é si potesse non p r e n d e r l i a f f a t to in c o n s i d e r a z i o n e . Di c o n s e g u e n z a , la pre tesa di c o m p l e t e z z a si è s p i n t a t a lvo l ta fino a un tentat ivo di a s s i m i l a r e l e i n f e r e n z e r e l a z i o n a l i a l l e f o r m e r i conosc iu te d i infe-renza sogge t to -pred ica to . È un p r o g r a m m a cl ic c o m p o r t a ovvie di f f icol tà . P e r e s e m p i o , u n ' i n f e r e n z a de l l a f o r m a

.r es ige y y es ige s

.'..ν es ige ζ

mos t ra u n ' a n a l o g i a a b b a s t a n z a s p i c c a t a con i l p r i m o m o d o de l l a p r i m a f igura del s i l l o g i s m o ; ma non è c e r t a m e n t e u n ' i n f e r e n z a s i l log i s t i ca . In fa t t i , c o n s i d e r a t e c o m e f o r m u l e a s s e r t o r i e soggetto-p r e d i c a t o , l e d u e p r e m e s s e non h a n n o nessun t e r m i n e c o m u n e : l e loro v a r i a b i l i con f u n z i o n e d i termine-sogget to s o n o r ispett iva-mente " .r " e * y ' ; le loro f o r m u l e p r e d i c a t o s o n o r i s p e t t i v a m e n t e ' e s i g e y ' e ' e s i g e s ' . A n a l o g a m e n t e , l a t r a s f o r m a z i o n e d i ' L a banca è cont igua a l l 'u f f ic io p o s t a l e ' in ' L ' u f f i c i o pos ta l e è conti-guo a l la b a n c a ' p re senta u n ' a n a l o g i a con a l c u n e for ine di infe-renza i m m e d i a t a : m a non e s e m p l i f i c a ne s suna d i ques te f o r m e . In fa t t i , c o n s i d e r a t e d i f o r m a sogge t to -pred ica to , l e d u e a s se rz ion i non h a n n o p r o p r i o nessun t e r m i n e c o m u n e . In c i a scun caso l ' ana-logia è p r e c i s a m e n t e una d i q u e l l e a n a l o g i e m a l d e l i m i t a b i l i s u l l e (piali la log ica d e l l e re l az ion i concentra l ' a t t e n z i o n e ; infatt i ' xAy ' è una f o r m u l a t r ans i t iva , e ' .vEy ' e ' . r l v * s o n o f o r m u l e s i m m e -tr iche .

I tentat iv i di so s tenere , p u r di f ronte a ques te d i f f ico l tà , la r i d u c i b i l i t à d e l l e in fe renze , p e r e s e m p i o d i q u e l l e t r a n s i t i v a m e n t e r e l a z i o n a l i , a f o r m a s i l log i s t i ca , p r e s e n t a n o un cer to interesse . Diver so p u ò e s sere i l loro g r a d o di so t t ig l i ezza . I l t ipo di r i d u z i o n e r e l a t i v a m e n t e sot t i le p o t r e b b e ven i r i l lus t ra to a l m o d o s e g u e n t e :

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Relaz ioni 267

qua l s i a s i a s serz ione del la f o r m a ' χ es ige y ' è equ iva lente al la cor r i spondente asserz ione de l la fon i l a ' T u t t e l e a s serz ioni dedotte ila y sono dedotte anche da χ ' . Se a p p l i c h i a m o ques to m o d e l l o di t raduzione a l la f o rma di inferenza c i tata , o t ten iamo

Tut te le asserzioni esatte da y sono asserz ioni esatte da .t Tut te le asserzioni esatte da ζ sono asserz ioni esatte da y

. ' .Tut te le asserzioni esatte da ζ sono asserz ioni esatte da .v.

S i tratta di un s i l l og i smo del la p r i m a f igura , che ha per termine medio c o m u n e a l le due p remes se " a s s e rz ion i esatte da y \ Si può dire c h e ora l ' inferenza or ig ina le è stata ' r i-esibita ' in f o r m a sil-logist ica . Q u e s t o p roced imento m a n c a , tuttavia , d i c o n v a l i d a r e la pretesa che l ' in ferenza non era m a i stata n ienl ' a l t ro che un sillo-g i smo m a s c h e r a t o . Al contrar io , i l p r inc ip io del la transi t iv i tà del-l ' impl icanza , che è m a n i f e s t a m e n t e il p r i n c i p i o de l l ' in ferenza nella sua f o r m a or ig ina le , è que l lo di cui c o p e r t a m e n t e si fa uso nelle t r a s fo rmaz ion i indiv idua l i de l le p r e m e s s e e conc lus ioni del-l ' inferenza or ig ina le nelle p remes se e conclus ioni del suo surro-gato s i l logis t ico . La f o r m u l a ' χ es ige y' è equ iva l en te a l la for-mula ' T u t t e le asserzioni esatte da y sono esatte da χ ' so lo se ' e s i g e ' è pa ro l a che e s p r i m e una re laz ione t rans i t iva . Ma d i r questo di ' e s ige " equ iva le e sa t tamente a d i re c h e le in ferenze del mode l lo ' .v es ige y . y es ige ζ .'. χ es ige ζ ' sono va l ide .

Q u e s t o caso di tentata r iduz ione lo c h i a m o re la t ivamente sot-tile perché in esso s i fa c o p e r t a m e n t e uso del p r i n c i p i o del l ' infe-renza or ig ina le . Il t ipo «li tentativo più g ros so lano si l imita ad introdurre tale p r inc ip io , o q u a l c h e verità necessar ia ad esso cor-r i spondente , c o m e un 'u l ter iore p remes sa , da agg iungers i a (pielle de l l ' in ferenza or ig ina le . Cos i , a guisa di ca r i ca tura di questo t ipo di tentativo, p o t r e m m o i m m a g i n a r e clic s i d ica che la f o r m a d'in-ferenza da " L a banca è contigua al l 'uff icio p o s t a l e ' a ' L ' u f f i c i o posta le è cont iguo al la banca " viene resa e sp l ic i ta ove la si scr iva come s i l l og i smo ipo te t i co :

>9

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2S 2 Asserz ioni genera l i

Se la banca è eontigna al l 'uff ic io pos ta le , l 'ufficio pos ta le è cont iguo a l la b a n c a

La banca è cont igua al l 'uff ic io pos ta le . ' .L 'uf f ic io pos ta l e è cont iguo a l la b a n c a .

N a t u r a l m e n t e con c iò si è ottenuta un ' in fe renza v a l i d a , e di f o r m a diversa da que l l a de l l ' o r ig ina le . Ma non si è a f fa t to resa espl ic i ta la vera f o r m a de l l ' o r ig ina le . P e r pre tendere d i aver lo fat to , biso-gnerebbe aver forni to una premes sa senza la q u a l e l ' in ferenza or ig ina le s a r e b b e stata inva l ida . Ma l ' in ferenza or ig ina le era va-l ida cosi come s tava , g iacché ' cont iguo a ' è un pred ica to relazio-na le s i m m e t r i c o . E d i r ciò s ignif ica descr ivere la f o r m a de l la tra-s f o r m a z i o n e o r i g i n a l e : essa era infatti la convers ione di un'asser-zione re l az iona le s immetr i ca

10."' L ' a r g o m e n t o del la sez ione precedente s e m b r a abbas t anza sempl i ce . Ma la sua a p p a r e n z a di l inear i tà è in p a r t e ingannevole . Clic s igni f ica infatt i a s ser i re o negare che u n ' a r g o m e n t o è di una certa f o r m a ? Una de l le r i sposte clie ho già forni to è che a s segnare un a rgomento ad una certa f o r m a e q u i v a l e a d i re che esso esem-plif ica o . con q u a l c h e agg iu s t amento verba le , può esser reso suscet t ib i le d i e sempl i f i c a re un certo m o d e l l o verba le . Q u a n d o a b b i a m o a clic f a r e con a rgoment i o inferenze o t r a s formaz ion i (piali s i presentano nel l inguagg io o r d i n a r i o , occorre r icorrere a questa poss ib i l i tà di agg ius tamento più spes so di quanto non se ne possa f a r e a m e n o . E a l lora qua l i sono i l imit i degl i aggiu-

' In g e n e r a l e , da ta c h e s ia una q u a l u n q u e i n f e r e n z a v a l i d a , è p o s s i b i l e for-m a r e u n ' i n f e r e n z a v a l i d a d i f f e r e n t e i n c o r p o r a n d o , n o m e p r e m e s s a a d d i z i o n a l e , una ver i t à n e c e s s a r i a c o r r i s p o n d e n t e a l p r i n c i p i o d e l l ' i n f e r e n z a o r i g i n a l e , e negl i s tadi in iz ia l i d e l l ' a p p l i c a z i o n e d i q u e s t o p r o r e d i m e n t o , l ' i n f e r e n z a otte-nuta p u ò d i f f e r i r e p e r f o r m a d a q u e l l a elle i m m e d i a t a m e n t e l a p r e c e d e . ( M a non c'è s p e r a n z a d i o t t e n e r e u n ' i n f e r e n z a v a l i d a con tante p r e m e s s e da p o t e r f a r e a m e n o di un p r i n c i p i o ) .

2 C f r . c a p i t o l o I I , p a r t e 11.

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R e l a z i o n i 269

staiiienti p e r m i s s i b i l i ? P e r c h é gl i a g g i u s t a m e n t i fatt i ne l l a so-

pra r ipor ta ta * r i d u z i o n e * a f o r m a s i l log i s t i ca e c c e d e v a n o tali

l i m i t i ? La r i spos ta forn i ta ne l l a p r e c e d e n t e s e z i o n e ha un ca ra t t e re

c o m p l e s s o che e s i ge d i e s sere e s a m i n a t o . S ' i m m a g i n i c h e qual-

cuno dica che la f o r m a r e a l e de l p a s s a g g i o da 1 L e s l i e è p a d r e ' a

• Les l i e è m a s c h i o ' s ia d a t a da l m o d e l l o ' ρ . q ρ sul fonda-

mento c h e ' L e s l i e è p a d r e ' e q u i v a l e a ' L e s l i e è g e n i t o r e e L e s l i e

è m a s c h i o ' . S i p u ò ob ie t t a re che la v a l i d i t à del p a s s a g g i o ne l l a

sua f o r m a o r i g i n a l e è g ià p r e s u p p o s t a d a l l a t r a s f o r m a z i o n e de l l e

premesse n e l l ' e q u i v a l e n t e a s s e r z i o n e c o n g i u n t i v a . Q u e s t ' o b i e z i o n e

e q u i v a l e ad a v e r p re so u n a dec i s ione , q u e l l a d i r i f iu ta r s i d i am-

mettere che u n ' i n f e r e n z a da ρ a q s i a d e l l a f o r m a a .'. b, q u a n d o

l ' agg iu s t amento di ρ n e c e s s a r i o a che l ' i n f e r e n z a e s e m p l i f i c h i la

f o r m a t i .'. l i s i a ta le da p r e s u p p o r r e la v a l i d i t à de l p a s s a g g i o da

ρ a q. Se ci si d o m a n d a : Q u a l è, a l l o r a , la f o r m a d e l l ' i n f e r e n z a

o r i g ina l e in ques to c a s o ? s i p u ò r i s p o n d e r e : I l p a s s a g g i o da ' L e -

slie è [ ladre ' a ' Le s l i e e m a s c h i o ' r a s s o m i g l i a cer to ad u n a quan-

tità di altr i p a s s a g g i va l id i in q u a n t o è del m o d e l l o 1 fx .'. gx ' , ma

i logici non si sono s c o m o d a t i a d a r e un n o m e s p e c i a l e a ques ta

c lasse «li in fe renze , di m o d o c h e non c 'è a l t ra r i spo s t a a l la que-

st ione fuor i da l f a r r i l e v a r e ques ta s i m i g l i a n z a .

Nel ca so de l l a tentata r i d u z i o n e in f o r m a s i l l og i s t i c a di ' .v

es ige y . y e s ige ζ χ e s ige ζ ', a b b i a m o gl i s tess i f o n d a m e n t i che

nel s e m p l i c e c a s o s o p r a r i p o r t a t o p e r r i f iu tare d i a m m e t t e r e che

1 inferenza s ia di f o r m a s i l l og i s t i ca . Ma a b b i a m o in pi l i , r i spet to

a (pici caso se inp l i ce , un n u o v o n o m e trat to da l v o c a b o l a r i o del

logico per i n d i c a r e l a c l a s se d e l l e i n f e r e n z e c o n s i m i l i a l l a q u a l e

anche ques ta a p p a r t i e n e . P o s s i a m o cosi non so l t anto r i f iu tarc i d i

a s segnar lo a l l a f o r m a p r o f f e r t a c i p e r u n i t a r i a , ma a s s e g n a r l o in-

vece ad una f o r m a d i f f e rente , e p r e c i s a m e n t e a q u e l l a d e l l e infe-

renze t r ans i t ivamente r e l a z i o n a l i : ed o q u e s t a p i ù a m p i a c l a s se

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2S2 Asserz ioni genera l i

po s s i amo in real tà a s segnare anche tutte le in ferenze de l la f o r m a prof fer tae i .

S i cons ider i ora un caso che d i f fer i sce da a m b e d u e i precedent i . Si p r o p o n e di cons idera re un pa s sagg io da ρ a q come esempli f i -cante la f o r m a a .'. b. Ne l caso speci f ico il neces sar io aggiusta-mento a cui occorre so t toporre , p.e . , p , non p r e s u p p o n e la va l id i t à del p a s s a g g i o a q. ma e sempl i f i ca q u a l c h e a l t ro m o d e l l o ricono-sciuto ( p . e . , un t eorema der ivab i l e in q u a l c h e s i s tema l o g i c o ) . Ma anche qui è dec i s ione rag ionevole que l l a di r i f iutarsi di accet-tare la f o r m a prof fer tae i . A questo m o d o l 'es i s tenza di ana log ie fra il ca lco lo pred ica t ivo e le t r a s formaz ion i di certe asserz ioni sogget to-predicato ci rende preoccupa t i sul conto di a lcune di que l l e t r a s fo rmaz ion i che si eran fatte in precedenza a titolo di ' pos iz ione del le p remes se in fo rma logica " ( c f r . cap i to lo V I , se-zione 1 2 ) .

La conc lus ione è che per r i spondere a quest ioni re lat ive a l le f o r m e log iche ili in ferenza , e qu ind i di a s serz ioni , occorre s e m p r e r i fer i r s i a c las s i f icaz ioni f o r m a l i r iconosciute al m o m e n t o in cui le quest ioni stesse s i pongono , a l t r iment i le r i spos te e q u i v a l g o n o a decis ioni c irca ul ter ior i c lass i f icazioni da accet tare o circa il r igetto di q u e l l e es istenti . E chieders i se la g iust i f icaz ione che u n o o più s i s temi posson d a r e de l le f o r m e d ' in fe renza r i scontrabi l i nel d i scorso o r d i n a r i o s ia comple t a o meno , e q u i v a l e s e m p r e , se non ha da essere pos iz ione di quest ioni f r ivo le o confuse , ad una del le due a l ternat ive s e g u e n t i ; o ci s i ch iede spec i f i camente se meri t i ado t t a re certe u l ter ior i c lass i f icazioni che si p r o p o n g o n o , o ci si ch iede in genera l e se s i devono adot ta re u l ter ior i c lass i f icaz ioni . Cosa governa le nostre decis ioni in s i f fa t te m a t e r i e ? E b b e n e , c iò che è ovv iamente r ichiesto è clic la c la s s i f i caz ione propos ta possa aver va lore f o r m a l e ( m a l g r a d o f o r m a l e sia un te rmine v a g o ) , s i vuole c ioè che la s i m i g l i a n z a posta in luce pos s ieda i l necessar io t ipo di genera l i t à . Inoltre , un u l ter iore desideratum s e m b r a essere

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Relazioni 271

la " f o rma l i zzab i l i t à \ c ioè la poss ib i l i tà di cos t ru i re f o r m u l e rap-presentat ive le cui re laz ioni possan venir d e t e r m i n a t e con una tecnica s i s temat ica di control lo o deduz ione . Gl i effetti di questo ideale già l i a b b i a m o cons iderat i ed ora ne i m p r e n d e r e m o un ulte-riore e same .

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VIH. Due tipi di logica

I .

La logica formale: applicazioni e limitazioni

1. Il l i n g u a g g i o è u sa to a p a r e c c h i s cop i d i v e r s i . L ' u s o nor-m a l e di a l c u n i enunc ia t i è di d a r e o r d i n i ; a l t r i s e r v o n o a f a r e d o m a n d e ; a l tr i a n c o r a , a p r o f e r i r e g i u r a m e n t i , ad inv ia re s a lu t i , a f o r m u l a r e scuse , o a e s p r i m e r e g r a t i t u d i n e . Q u a n d o deg l i enun-ciat i sono i m p i e g a t i in uno di ques t i m o d i , non Ita senso c e r c a r e se c iò che vien det to è vero o f a l so . Ma l 'u so n o r m a l e di un n u m e r o i n d e f i n i t a m e n t e a m p i o di enunc ia t i è d i d i r e cose cui un e s a m e s i f f a t to r ie sce a p p r o p r i a t o . T a l i e n u n c i a t i l i ho c h i a m a t i , con b r a c h i l o g i a di f a c i l e i n t e n d i m e n t o , ' e n u n c i a t i da a s serz ion i ' . C o n o s c e r e i l s i gn i f i ca to di un e n u n c i a t o di ques to t ipo è c o n o s c e r e a q u a l i c o n d i z i o n i q u a l c u n o c h e lo u sa s se f a r e b b e u n ' a s s e r z i o n e vera ; spiegare il s i gn i f i ca to è dire q u a l i s i a n o ques te c o n d i z i o n i , l 'n m o d o d i d a r conto p a r z i a l m e n t e d i q u e s t e cond iz ion i sta nel d i r e qua l i s i a n o a l c u n e de l l e i m p l i c a n z e d e l l ' e n u n c i a t o . D i r e in-fatt i che un e n u n c i a t o e s ige un a l t ro e q u i v a l e a «lire che un'as-s e r z i o n e fa t ta m e d i a n t e l 'uso del p r i m o è v e r a so lo se è v e r a l ' a s s e r z i o n e c o r r i s p o n d e n t e fa t ta m e d i a n t e l 'u so del s e c o n d o ; e d i r e che un e n u n c i a t o e s ige un a l t ro e ne è d e d u c i b i l e e q u i v a l e a d i re e b e u n ' a s s e r z i o n e fat ta m e d i a n t e l 'uso del p r i m o e vera se . e so l t anto se , è vera l ' a s s e r z i o n e c o r r i s p o n d e n t e fat ta m e d i a n t e l 'uso del s e c o n d o . C iò p o t r e b b e fa rc i p e n s a r e che q u a n d o s i f o r n i s c a n o l e i m p l i c a n z e r e c i p r o c h e ( c i o è gli e q u i v a l e n t i l o g i c i ) d i un enun-c ia to da a s s e r z i o n e , s i è fa t to tutto q u a n t o è p o s s i b i l e p e r f o r n i r n e il s ign i f i ca to , a l m e n o l i m i t a t a m e n t e a l l ' a s p e t t o verbale. E g i a cch é

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La logica f o r m a l e 273

i l s ignif icato degl i enuncia t i p u ò q u a l c h e volta venir sp iega to s e m p l i c e m e n t e a pa ro le , p o s s i a m o p e n s a r e che , in quest i cas i , s i sia fatto tutto ciò che occorre f a re , c ioè che , q u a n d o si può spie-gare p a r l a n d o , questo s ia l 'unico t ipo di d i scorso c h e s i può fare e l 'unico che ci occorra .

Pensare a questo m o d o s ignif ica f a re un e r rore , s ia p u r e un errore assai comune . R i f a c c i a m o c i a l punto che s p i e g a r e i l signifi-calo di un enunc ia lo da as serz ione è d i re a (piali condiz ioni qual-cuno che lo usasse f a r e b b e un 'as serz ione vera , ed a c c o r d i a m o c i nel c h i a m a r e ciò ' f o r n i r e l e regole d ' u s o ' de l l ' enunc ia to . A b b i a m o testé r i leva lo c o m e vi s ia la tentazione di p e n s a r e che il so lo ge-nere di regole interessate s i ano le regole d ' i m p l i c a n z a . Vogl io mostrare c o m e , in p r imo luogo , la concez ione s ia f a l s a e , in se-condo luogo, i l fatto de l l a sua fa l s i tà i m p o n g a un ' inev i t ab i l e l imi-tazione s u l l ' a m b i t o di a p p l i c a z i o n e de l la logica f o r m a l e . S i tratta ili una l imi taz ione clic è inut i le d e p l o r a r e o c o n s i d e r a r e benve-nuta : l ' i m p o r t a n t e è r i levar la , g iacché a non f a r l o s i a m o indotti in una sorta di mi to log ia log ica .

I lo già notato più s o p r a il fatto che le ques t ioni re lat ive a chi profer isca un enunciato , ed al q u a n d o e al dove s ia p ro fe r i to , pos-sano r iusc ire r i levanti p e r dec idere se s i s ia fa t ta , p e r loro mezzo, un'asserzione vera . Lo stesso enuncia to , in bocche d i f ferent i , può servire a f a re asserzioni vere o fa l se ( ' I l mio gatto è morto ' ) ; Io stesso enuncia to , in bocca a l la stessa per sona in m o m e n t i d ivers i , può a p p r o d a r e agli stessi r i sultat i ( ' I l m i o gatto è m o r t o ' ) ; e cosi di segui to . ( C i ò è vero non solo per la m a g g i o r a n z a degli enuncial i da a s serz ione che i m p i e g h i a m o nel d i scorso o rd inar io , ma cost i tuisce anche una carat ter i s t ica i n e l i m i n a b i l e di qua l s i a s i l inguaggio p o t r e m m o costru ire per r i s p o n d e r e a l le stesse f inalità genera l i : ma questo non tenterò di p rovar lo , g i acché ora ci occu-p iamo del d i scorso o r d i n a r i o ) . S t ando cosi le cose , l ' a s serz ione che un enuncia to A es ige un enunciato A' non p u ò venire gene-ralmente assunta a s igni f icare che , se è vera una q u a l u n q u e asser-

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2 7 i Due t ipi «li logica

z ione fa l ta m e d i a n t e l ' i m p i e g o «lei p r i m o , a l lora s a r e b b e vera q u a l u n q u e a s serz ione fatta m e d i a n t e l ' i m p i e g o del secondo . S i deve piuttosto a s s u m e r l a a s igni f icare «pianto s e g u e : S e , in qual-c b c m o m e n t o , in un q u a l c h e luogo , su l la bocca di qua lche par-lante. il p r o f e r i m e n t o di A dà luogo, o d a r e b b e luogo , a un'asser-zione vera , a l lora i l p ro fe r imento di A ' , in que l luogo , in quel m o m e n t o , su l l a bocca di «¡uel par lante , d a r e b b e luogo a un'asser-zione vera . Cos i le i m p l i c a n z e «li A possono dirci a clic genere ili s i tuaz ione A può corre t tamente a p p l i c a r s i ; ma esse non ci datino is truzioni genera l i e b e ci met tano in g r a d o di de te rminare se. sul la bocca di un certo pa r l an te , in un certo m o m e n t o , in un certo luogo , A venga in effetti a p p l i c a t o ad una s i tuaz ione «li «piel genere . È pos s ib i l e forn i re s i f fa t te i s truzioni genera l i , ma non m e d i a n t e le regole d ' i m p i i c a n z a . Le regole ( l ' impl i canza . come mostra la precedente s chemat i ca f o r m u l a z i o n e , a s t raggono dal m o m e n t o e da l luogo del p ro fe r imento e da l l ' ident i t à «lei p a r l a n t e : esse non pos sono perc iò d i r tutto circa le condiz ioni a l l e qual i un enuncia to è i m p i e g a t o a f a re un 'a s serz ione vera , a meno che l ' enunciato non sia uno di quel l i per cui va le che , se i l suo profe-r imento da par te di ch icchess ia , in q u a l u n q u e m o m e n t o e in qua-lunque luogo , s i r i so lve in un 'a s serz ione vera , a l lora i l suo pro-fer imento da par te di q u a l u n q u e altro, in q u a l u n q u e m o m e n t o e in (p iahimpic luogo , si r isolve in un 'a s se rz ione vera .

Occorre d u n q u e che le regole d i i m p l i c a n z a s i ano integrate da regole d i un al tro genere . Q u e s t e u l t i m e le p o s s i a m o c h i a m a r e " regole di re ferenza ' . Le regole di re ferenza tengono conto di c iò da cui le rego le d ' i m p i i c a n z a a s t raggono , c ioè del t e m p o e luogo del p r o f e r i m e n t o , e de l l ' ident i tà del pa r l an te . E s e m p i di regole (li referenza s o n o : l a pa ro l a ' i o ' v iene corre t tamente usata da un par l ante con r i f e r imento a se stesso, la p a r o l a ' voi ' , con rife-r imento a l la per sona o a l le per sone cui i l pa r l an te si r i v o l g e ; uno degli usi corretti del t e m p o presente è «|uello per descr ivere gli stati di cose c o n t e m p o r a n e i a l la descr iz ione clic se ne fa ; i l t e m p o

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p a s s a i " è corret tamente usato per indicare clie la s i tuaz ione o l 'evento r iportat i sono t e m p o r a l m e n t e anter ior i a l l ' a t to «lei ripor-tarli . Le sp iegaz ion i , parz i a l i o e saur ient i , c i rca gli usi di paro le come ' il \ " la ', ' un ', " una ' là s o p r a ' egli ', * essi \ ' ora " 11 il i ', ' questo ', " quel l i ' sono sp iegaz ioni di regole di r e fe renza , e tali sono a n c h e a lcune trattazioni c i rca l 'uso di d ivers i tempi verbal i . La cons ideraz ione di quest i e di altri e s e m p i ci mostra che occorre interpretare con a lquanta l a rghezza la già fornita de-scrizione dei fattori pres i in cons ideraz ione da l l e regole di refe-ren/.a ( c i o è , t empo c s p a z i o di p ro fe r imento , e identità del par-lante ) . Onesti fattori a b b r a c c i a n o molte cara t ter i s t i che dist ingui-bili ili ciò che pot rebbe d irs i , in una larga accez ione del termine , il contesto di un pro fe r imento . Una regola di re ferenza s tab i l i sce un requisito contestuale per l ' i m p i e g o corretto di un 'e spres s ione . Ma il fatto che il requis i to contestuale s ia sodd i s f a t to non è una parte di ciò che viene asserito med iante l 'uso di un enuncia to contenente un 'e spres s ione governala ( i n q u e s t ' u s o ) da una regola ili r e f e r e n z a : esso è, p iuttosto , p re suppos to da l l ' u so del l 'espres-sione, " p r e s u p p o s t o ' nel senso a t t r ibui to a questo t e rmine nel eal ' i tolo VI . In tal m o d o , se q u a l c u n o ilice, ' Kgli m o r i r à nel eorso dei pross imi d u e mesi ' . è fuor i da ogni decente uso l inguis t ico repl icare ' N o . non m o r i r à ! ' ed aggiungere come giustificazione ' E già morto ' . Se l 'evento ha già avuto luogo , la ques t ione se avrà luogo o meno nei pros s imi due mesi è ques t ione che non sorge neppure . * È già morto ' cr i t ica il p re suppos to che la sua morte sia avvenimento ila col locars i nel futuro , che egli d u n q u e non sia già morto, ma non contraddire l ' a s serz ione or ig ina le , g iacche far questo i m p o r t e r e b b e a m m e t t e r e le sue p r e s u p p o s i z i o n i ; e di con-seguenza non contradd ice a lcunché del le i m p l i c a n z e del l 'asser-zione or ig ina le . I l fatto clic l ' a d e m p i m e n t o del requi s i to conte-stuale non fa par te di c iò che è asserito m e d i a n t e un enuncia to contenente un 'e spres s ione governata ila u n a regola di re ferenza , \ iene cosi ud involgere la dis t inzione f ra regole di re ferenza e

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27i D u e t ipi « l i logica

regole d ' i m p i i c a n z a , e del pa r i ta le d i s t inz ione involge i l fatto stesso '.

2 . La logica f o r m a l e s i occupa del s igni f icato degli enuncia t i solo nel la m i s u r a in cui esso p u ò esser dato da rego le d ' i m p i i c a n z a . A n z i , l ' a m b i t o del suo interesse è a s sa i p iù l imita to di quanto ciò non s u g g e r i r e b b e , g iacché sol tanto una re l a t ivamente p icco la sot-toclasse di rego le d ' i m p i i c a n z a a l t amente genera l i r iscuote l 'atten-zione del log ico . Perc iò la logica f o r m a l e ignora s i s t emat icamente l ' e lemento re fe renz ia l e presente nel l inguagg io o rd inar io . Q u e s t o fatto a iuta a s p i e g a r e perché la logica f o r m a l e s i occupi soprat-tutto di certi t ipi di enuncia t i , ed anche c o m e mai fra i logici a b b i a n o p o p o l a r i t à certe dottr ine co l l a tera l i , qua l i que l l e trattate nel cap i to lo V I . Dal punto di vista del logico , i l t ipo idea le di enuncia to e que l lo il cui s igni f icato è da to in teramente da regole di i m p l i c a n z a , c ioè que l lo da cui l ' e lemento re ferenz ia le è a d a t t o a s s e n t e ; oss ia , piti a l la buona , que l lo p e r cui è vero che , se da l suo p r o f e r i m e n t o in un qua l s i a s i luogo e momento , e da par te di qua l s i a s i p a r l a n t e risulta un 'a s serz ione vera , a l lora dal suo profe-r imento in qua l s i a s i a l t ro t e m p o e luogo, e da par te di qua l s i a s i pa r l an te , r i sulta a l tres ì un 'a s serz ione vera . Pres soché i so l i t ipi d i enunciat i contingenti ( e n u n c i a t i , c ioè , che profer i t i dànno luogo ad asserz ioni cont ingent i ) che a p p a i o n o idonei a rea l i zzare pie-namente ques to idea le sono gli enunciat i pos i t ivamente e negati-vamente es i s tenzia l i ( a l c u n e f o r m e dei qua l i sono s tudia te dal ca lco lo p r e d i c a t i v o ) e gli enunciat i che di essi si c o m p o n g o n o . Clic enunciat i di questa sorta possan f ac i lmente rea l izzare tale idea le , lo s i vede agevolmente . Gli e lement i re ferenzia l i p i ù im-portant i , benché non i sol i , che c o m p a i o n o negli enuncia t i che non ne sono scevri del tutto, a p p a r t e n g o n o a due t i p i : ( 1 ) le in-dicaz ioni di t e m p o , re lat ive al m o m e n t o in cui l ' enuncia to vien

' Cfr. anche pp. 222-23.

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pro fe r i to , l e qua l i son «late da i t e m p i v e r b a l i ; ( 2 ) i soggett i log ic i , cini: le p a r o l e o f r a s i a sé s tant i e b e s i i m p i e g a n o p e r d e s i g n a r e l 'oggetto o gli oggett i , la p e r s o n a o le p e r s o n e , ecc. , ai q u a l i si fa r i f e r i m e n t o . Né l ' uno né l ' a l t ro d i ques t i e l e m e n t i occor re che s i a presente in un e n u n c i a t o e s e m p l i f i c a n t e u n a d e l l e f o r m e positi-vamente o n e g a t i v a m e n t e es i s tenz ia l i s t u d i a t e nel c a l c o l o . In fa t t i ( I ) ' ( 3 . v ) " , c o m e a b b i a m o già v i s t o 1 , d e v e ven i r in te rpre ta to c o m e se non t e m p o r a l m e n t e a m b i g u o , a t e m p o r a l e o o n n i t e m p o -rale : e ( 2) g i acché un ta le e n u n c i a t o è e s i s t enz i a l e , esso non ha bi-sogno d i contenere ne s suna e s p r e s s i o n e c h e a b b i a l a f u n z i o n e d i soggetto log ico . N a t u r a l m e n t e , ne l la m i s u r a in cu i t e n t i a m o di get-tare in ques te f o r m e o r d i n a r i e a s serz ion i e m p i r i c h e , p o s s i a m o trovare uno o a m b e d u e quest i t ip i d i e l e m e n t i r e f e r e n z i a l i ne l l e c lauso le s u b o r d i n a t e del r i su l tante e n u n c i a t o e s i s t enz ia le . Ma i l logico s i o c c u p a d e l l a f o r m a ; e qui s e m b r a cl ic egl i a b b i a t rovata una f o r m a clic può e s sere e s e m p l i f i c a t a da e n u n c i a t i c o m p l e t a · mente scevri da c l e m e n t i r e f e r e n z i a l i .

A ques to punto occor re a g g i u n g e r e u n a q u a l i f i c a z i o n e . N o n è c o m p l e t a m e n t e vero c h e i sol i enunc ia t i cont ingent i che r i spon-dono a ques to idea le di i n d i p e n d e n z a da l contes to in cui v e n g o n o profer i t i s i a n o queg l i enunc ia t i c h e r i su l t ano c o m p l e t a m e n t e scevr i da e lement i r e f e renz i a l i . Infa t t i gli enunc ia t i - l egge r i s p o n d o n o in genera le a ques to idea le , e p e r c i ò vi r i s p o n d o n o gli enuncia t i -legge d i f o r m a sogge t to-pred ica to , g i a c c h é , m a l g r a d o essi conten-gano nn e lemento r e f e r e n z i a l e del s e c o n d o t i p o , tu t tav ia i l r i fer i-mento è a una c la s se a p e r t a e pe r t an to i n d i p e n d e n t e da cond iz ion i contes tua l i .

Tutti gli enunc ia t i neces sar i s i p u ò d i r e c h e r i s p o n d a n o , s ia pure in m o d i d i f f e rent i , a l l ' i d e a l e d i i n d i p e n d e n z a da l contesto . Infatt i gli enunc ia t i che dan c o r p o ad a s se rz ion i neces sar ie sono s e m p l i c e m e n t e gli a n a l o g h i d i enunc ia t i d i p i ù a l to o r d i n e enun-

' Γ η ρ ϊ ΐ ο ΐ ο V, s e z i o n e 7 .

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c iant i i m p l i c a n z e , « anche a l t re re l az ion i log i che suscet t ib i l i d i venir r i e s p r e s s e c o m e i m p l i c a n z e . Es s i non sono usat i p e r de-sc r ivere o r e g i s t r a r e o p r e d i r e : ess i dan c o r p o a r e g o l e di impl i -canza e , c o m e q u e s t e , a s t r a g g o n o d a l l e cond iz ion i conte s tua l i . D i m o d o che , nel p r o n u n c i a r l i , non ci s i r i f e r i s c e a nes suna p a r t e del m o n d o , o a nessun lasso di t e m p o o m o m e n t o de l l a s to r i a de l m o n d o 1 : ed i l t e m p o pre sente , in cui essi s o n o g e n e r a l m e n t e , p e r q u a n t o non n e c e s s a r i a m e n t e , f o r m u l a t i , non è i l p re sente onni-t e m p o r a l e , m a q u e l l o a t e m p o r a l e . A b b i a m o g ià visto c o m e , adot-t a n d o a l c u n e p r e c a u z i o n i " , s i po s sa u s a r e i l s i m b o l i s m o de l l a log ica m o d e r n a p e r s c r ive rne a l c u n i .

R i t o r n e r ò piti innanzi a c o n s i d e r a r e gli enunc ia t i c h e r i spon-d o n o a l l ' i d e a l e del log ico . Ma p r i m a vog l io s o t t o l i n e a r e u n a vol ta a n c o r a i l fa t to c h e la gran m a g g i o r a n z a deg l i enunc ia t i p e r asser-z ione c h e a b b i a m o , o p o t r e m m o a v e r e o c c a s i o n e d i u s a r e nel l i n g u a g g i o o r d i n a r i o non vi r i s p o n d o n o . In q u e s t o contra s to , in-fat t i . f ra i l t ipo eli e n u n c i a t o l o g i c a m e n t e i d e a l e ed i t ip i c h e p e r lo piti i m p i e g h i a m o , sta la s p i e g a z i o n e f ina le di molt i fatti g ià m e n z i o n a t i nei c ap i to l i p r e c e d e n t i , p a r t i c o l a r m e n t e negl i u l t imi tre. E s s o s p i e g a , p e r e s e m p i o , c o m e a c c a d a che mol te carat ter i s t i -che d e l l ' u s o del l i n g u a g g i o o r d i n a r i o l e q u a l i sono su f f i c ientemente genera l i pe r m e r i t a r e di e s sere c o n s i d e r a t e sotto un t itolo del ge-nere di ' La log ica del l i n g u a g g i o n e c e s s a r i a m e n t e s i m a n c h i di c o n s i d e r a r l e sotto i l p iù r i s tretto t i tolo ' L o g i c a f o r m a l e Pos so a d d u r r e c o m e e s e m p i o ca ra t t e r i s t i che sul t ipo deg l i usi di ' un ' e di ' il o de l l a r e l a z i o n e di p r e s u p p o s i z i o n e clic vige f ra certe a s se rz ion i sogge t to -pred ica to e certe a s se rz ion i di e s i s tenza , o d e l l a f u n z i o n e dei var i t e m p i g r a m m a t i c a l i . In s e c o n d o luogo , q u e l contras to s p i e g a l ' a c c a n i m e n t o con cui t ip i d iver s i d i a s se rz ion i sogge t to -pred ica to v e n g o n o a s s i m i l a t i a f o r m e di a s serz ioni nega-

1 T u t t a v i a , r f r . la nota a p. 2 8 0 . 5 C f r . c a p i t o l o V I I , p p . 251-53 .

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t i vamente e / o p o s i t i v a m e n t e e s i s tenz ia l i , con i l r i su l t a to d i oscu-r a r e tanto i l o ro cara t te r i genera l i c o m u n i q u a n t o le d i f f e renze fra di esse . Q u e s t a è u n a c o n s e g u e n z a n a t u r a l e , g i a c c h é i l log ico f o r m a l e è r i lut tante ad a m m e t t e r e , e p e r s i n o a c o n s i d e r a r e la pos-s ib i l i t à , c h e i l suo a r m a m e n t a r i o ana l i t i co s ia i n a d e g u a t o a l l a d i s sez ione dei t ipi p i ù c o m u n i d i a s s e r z i o n e e m p i r i c a . In terzo luogo , que l contras to s p i e g a i l m i t o del n o m e l o g i c a m e n t e p r o p r i o , e ne r ivela p i e n a m e n t e l ' i m p o r t a n z a . I l n o m e l o g i c a m e n t e p r o p r i o è c o n s i d e r a t o c o m e un t ipo di e s p r e s s i o n e r e f e r e n z i a l e che de-v 'esser scevra da tutte le c a ra t t e r i s t i che non- idea l i p o s s e d u t e da ogni a l t ra e s p r e s s i o n e r e f e r e n z i a l e . Se e s i s te s se u n a c l a s se d i e s p r e s s i o n i , i l s i gn i f i ca to di c i a s c u n a «Ielle q u a l i fo s se ident ica ad un s i n g o l o oggetto , a l l o r a n a t u r a l m e n t e l 'u so d i q u a l s i a s i d i esse con r i f e r i m e n t o a l l ' ogget to a p p r o p r i a t o s a rch i l e i n d i p e n d e n t e da l l e c o n d i z i o n i conte s tua l i . Un e n u n c i a t o c o n t i n g e n t e de l l a f o r m a ' fx ". ove il p r e d i c a t o sos t i tuente 1 / ' fos se o n n i t e m p o r a l e e l 'espres-s ione i n d i v i d u a l e sos t i tuente 4 χ ' a p p a r t e n e s s e a l l a c l a s se s u d d e t t a , a v r e b b e la cara t ter i s t i ca i d e a l e cl ic , se da l s u o p r o f e r i m e n t o in q u a l s i a s i t e m p o e l u o g o e su l l a bocca di q u a l s i a s i p a r l a n t e , r isul-tasse u n ' a s s e r z i o n e v e r a , a l l o r a u n ' a s s e r z i o n e vera d o v r e b b e risul-tare a n c h e da l suo p r o f e r i m e n t o in q u a l s i a s i a l t r o t e m p o e l u o g o , e su l la bocca d i q u a l u n q u e a l t ro p a r l a n t e . O r a l ' in tera s t ru t tura del la log ica q u a n t i f í c a z i o n a l c , col suo a p p a r a t o d i v a r i a b i l i indivi-d u a l i , s e m b r a , o è s e m b r a t a a gran p a r t e dei suo i e s p o n e n t i , ta le da r i ch iedere , p e r c h é ne s ia p o s s i b i l e l ' a p p l i c a z i o n e a l l ' o r d i n a r i o l i n g u a g g i o e m p i r i c o , che e s i s tano e s p r e s s i o n i i n d i v i d u a l i referen-zial i che p o s s a n o a p p a r i r e c o m e va lor i d e l l e v a r i a b i l i i n d i v i d u a l i . C ioè , l ' in tera s t rut tura è s e m b r a t a p r e s u p p o r r e l 'es i s tenza di enunc ia t i p red i ca t iv i s e m p l i c i de l l a f o r m a " fx ' . l .a c r e d e n z a nei nomi log i camente p r o p r i rendeva p o s s i b i l e c h e i n s i e m e s i assu-messe che tal i enunc ia t i e s i s tes sero e cl ic fo s se ro del t ipo logica-mente i d e a l e , e c o n t r i b u i v a cos i a p r e s e r v a r e l ' i l l u s ione clic la log ica f o r m a l e fosse u n o s t r u m e n t o a d e g u a t o p e r l a d i s s ez ione del

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27i Due t ipi « l i logica

l inguagg io o r d i n a r i o . In rea l tà , s imi l i enunciat i ci sono, ma non sono del t ipo log icamente idea le . Inf ine , la p r e o c c u p a z i o n e p e r i l t ipo ideale di enunc ia to sp i ega la pers i s tente t ra scuranza de l la d i s t inzione Ira enuncia to e asserz ione. Infat t i , nel caso di enunciat i del t ipo idea le , la d i s t inz ione è rea lmente poco i m p o r t a n t e . Enun-ciati del genere , c o m u n q u e usat i , sono usati p e r f a re c ia scuno una sola e la stessa a s s e r z i o n e ; le condiz ioni contes tual i del loro uso sono irr i levanti per la verità o fa l s i tà di que l l ' a s se rz ione . Agl i enunciat i d i questo t ipo s i può a p p l i c a r e i m p u n e m e n t e l 'a l tr i inenti ingannevole t r icotomia ' vero, f a l so , o pr ivo di senso ".

3 . A b b i a m o visto clic es is tono enunciat i r i spondent i a l l ' i dea le logico. Gl i enunciat i - legge sono o n n i t c m p o r a l i , gli enunciat i anali-tici sono a t e m p o r a l i ; gli enunciat i anal i t ic i a s t raggono da rife-rimenti a par t ico lar i oggetti o g r u p p i 1 ; gli enunciat i- legge, se p u r contengono r i f e r iment i , ne contengono so lo u elassi aper te . E ovvio, pe rc iò , d o m a n d a r c i : In «piale mi sura l ' a p p a r a t o s imbo-lico del la logica m o d e r n a è a d e g u a t o ad e s p r i m e r e la f o r m a , o i poter i logici genera l i , di tali e n u n c i a t i ? Ora è un fatto d i e di questo a p p a r a t o logico si p u ò fare , e s i fa , uso, non solo nel la stessa logica f o r m a l e , ma a n e b e a p p l i c a n d o l o a l l a m a t e m a t i c a , e a s i s temi di enunciat i - legge . La re laz ione dedutt iva «lei m e m b r i «lei s i s temi di enunciat i - legge contingenti può esser messa in evi-denza per mezzo «li ques to a p p a r a t o . Cos icché la nostra quest ione dev 'essere non se s ia poss ib i le u sa re q u e s t ' a p p a r a t o per tali s cop i , bensì come s ia pos s ib i l e u sar lo . Circa tali usi di q u e s t ' a p p a r a t o si presentano infatt i , a p r i m a vista , certe di f f icoltà .

La diff icoltà m a g g i o r e può venir b revemente enuncia ta . La fondaz ione de l la logica m o d e r n a sta nel s i s tema del le f o r m u l e

' O p p u r e , so s e m b r a e b e c o n t e n g a n o tali r i f e r i m e n t i ( p . e . . ' S e L e s l i e e p a d r e . Le s l i e è m a s c h i o ' ) , l a q u e s t i o n e d i q u a l e s ia i l r i f e r i m e n t o (atto (o a d d i r i t t u r a s e s i a s ta to (at to r i i e r i i n e n t o a l c u n o ) r i e s c e c o m p l e t a m e n t e irr i le-vante per que l e b e c o n c e r n e In l o r o v e r i t à .

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v e r o - f u n z i o n a l i . I l c a r a t t e r e d e l l a s o p r a s t r u t t u r a q u a n t i f ì c a z i o n a l e

è c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a t o d a l c a r a t t e r e d i t a l e f o n d a z i o n e .

C a r a t t e r i s t i c h e f o r m u l e q u a n l i f i c a z i o n a l i c o m e ' ( . r ) ( / . r 3 g.r)' o

• ~ { 3 x ) ( f x . gx) ' , ecc . , s o n o , c o m e a b b i a m o v i s to , c a s i quas i - spe-

e ia l i d i f o r m u l e v e r o - f u n z i o n a l i . O r a , u n a c o s a c h e è a l l a t t o c h i a r a

a p r o p o s i t o t a n t o d e l l e a s s e r z i o n i a n a l i t i c h e c l ic d e l l e a s s e rz ion i -

legge è c h e e s se n o n s o n o v e r o - f u n z i o n a l i , in q u e s t o m o d o cos i

c o m p l e t o . U n ' a s s e r z i o n e a n a l i t i c a d e l l a f o r m a ' se ρ a l l o r a q " non

v iene v e r i f i c a t a d a l l a c i r c o s t a n z a el le l ' a n t e c e d e n t e d e l l a cond i -

z i o n a l e s i a f a l s a . U n ' a s s e r z i o n e l e g g e d e l l a f o r m a 4 non c ' è ne s sun

caso di / c h e n o n s i a un c a s o di g ' non è v e r i f i c a t a d a l l a c i rco-

s tanza c h e ' n o n c ' è ne s sun c a s o d i / ' . C o s i non p o s s i a m o , s e n z a

r i s e r v e , a d o t t a r e ' ρ 3 q ' c o m e la f o r m a d e l l a p r i m a , o ' ( x ) ( f x 3

g.v) " c o m e la f o r m a d e l l a s e c o n d a .

G i à s ' è de t to q u a l c o s a de l m e t o d o con c u i a g g i r a r e q u e s t a

di f f icol tà nel c a s o d i a s s e r z i o n i a n a l i t i c h e . S e , i m p i e g a n d o i l s im-

b o l i s m o v e r o - f u n z i o n a l e p e r e n u n c i a t i o f o r m u l e a n a l i t i c h e , te-

n i a m o ben c h i a r o i n m e n t e c iò c l ic s t i a m o f a c e n d o ; s e , p e r e sem-

pio , p e r c i a s c u n o d i s i f f a t t i i m p i e g h i d e l l a f o r m a

ρ 3 q

t e n i a m o p r e s e n t e l ' i n v i s i b i l e s c o r t a d i v i r g o l e t t e da c i t a z i o n e e l a

f r a se ' è a n a l i t i c o " , a l l o r a l ' i m b a r a z z a n t e c o n s e g u e n z a n o t a t a s o p r a

p iù non s i a c c o m p a g n a a l l ' i m p i e g o d i q u e s t a f o r m a . I n f a t t i , men-

tre è una r e g o l a de l s i s t e m a c h e la f o r m u l a ' ~ ρ ' e s i g e la f o r m u l a

' ρ 3 q " ( c i o è , c h e u n ' a s s e r z i o n e d e l l a f o r m a ' ~ ρ ' e s i g e la cor-

r i s p o n d e n t e a s s e r z i o n e d e l l a f o r m a ' p 3 q ' ) , n o n è a f f a t t o u n a

r e g o l a de l s i s t e m a c h e u n ' a s s e r z i o n e d e l l a f o r m a ' ~ ρ ' e s i g a l 'as-

s e r z i o n e c h e la c o r r i s p o n d e n t e a s s e r z i o n e d e l l a f o r m a " ρ 3 q ' s i a

a n a l i t i c a . U n p a s s a g g i o s i m i l e p o t r e b b e s e m b r a r e u t i l i z z a b i l e nel

ca so d i a s s e r z i o n i - l e g g e c o n t i n g e n t i . C i o è , d o b b i a m o t e n e r c h i a r o

i n m e n t e , o g n i q u a l v o l t a i m p i e g h i a m o i l s i m b o l i s m o p e r e s p r i m e r e

un a s s e r z i o n e - l e g g e , c h e c iò è a p p u n t o q u e l c h e s t i a m o f a c e n d o .

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Non i m p i e g h e r e m o , come nel caso di f o r m u l e ana l i t i che , le vir-golette da c i taz ione , g iacché un'asserz ione- legge è un 'a s serz ione cont ingente c irca il m o d o in cui va il m o n d o , e non una regola l inguis t ica d i nessun genere . P o s s i a m o piuttosto i m m a g i n a r e che ogn iqua lvo l t a i m p i e g h i a m o la f o r m u l a ' ( . r ) ( / . r 3 gx) ' per espri-mere una asserzione-legge, la u s i a m o c o m e una sorta d i abbre-v iaz ione por 'è una legge na tura le che (x )(/.v 3 gx) ' . C o m e p r i m a ev i t i amo la conseguenza che una asserzione-legge espres sa per mezzo de l la f o r m u l a quant i f ì caz iona le s ia verif icata da l l a c i rcostanza che la cor r i spondente a s serz ione de l la f o r m a ' ~ ( 3 . v ) ( f x ) " è vera . Infatt i , mentre è una regola del s i s tema che ' ~ ( 3 . r ) ( / .v) * e s ige ' ( .ν ) ( fx 3 g.v) ', non è a f fa t to una regola ilei s i s tema che ' ~ ( 3 . v ) ( / . v ) ' e s iga ' è una legge na tura le che ( x ) ( f x 3 g * )

Q u e s t e sono so l tanto manovre p r e l i m i n a r i . E s se po t rebbero ben s e m b r a r e futi l i o senza s igni f icato , a meno che le relazioni logiche fra e spres s ioni s i m b o l i c h e tutte menta lmente fornite del contras segno " a n a l i t i c o " o p p u r e ili que l lo ' l e g g e n a t u r a l e ' , costi-tuissero rep l i che esatte del le relazioni log iche fra le corr ispon-denti f o r m u l e pr ive di tali contrassegni menta l i . So l tanto se questo para l l e lo fosse p i e n a m e n t e va l ido , noi s a r e m m o , s e m b r a , giustifi-cati nel la nostra pretesa di esser c a p a c i di a p p l i c a r e i s i s temi logici in ques t ione ai c a m p i de l la verità necessar ia o de l la legge scien-tifica. Le m a n o v r e p r e l i m i n a r i po t rebbero a p p a r i r e a l lora giustifi-cate c o m e m i s u r e intese a interdire i confini logici di quest i c a m p i agl i intrusi che provengono dal d i scorso e m p i r i c o non-scientif ico.

D'a l tro canto , ove i l p a r a l l e l o d e b b a r i tenersi va l ido , s e m b r a a l lora s i incontr ino ul ter ior i di f f icoltà . Per e s e m p i o , s a r e m o im-pegnat i a r i tenere che la regola che ' ~ ρ ' e s ige ' ρ 3 q ' si a p p l i c a ancora q u a n d o l e f o r m u l e (o e n u n c i a t i ) ili a m b e d u e queste f o r m e sono ana l i t i che , oss ia che un 'a s serz ione che d i c h i a r i anal i t ica una f o r m u l a de l la f o r m a ' ~ ρ ' es ige l ' a s serz ione che la cor r i spondente f o r m u l a de l la f o r m a ' ρ 3 q ' è ana l i t i ca . E ques ta p u ò s e m b r a r e conseguenza non mol to meno i m b a r a z z a n t e d i que l l a che a b b i a m o

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evi ta to . F a c c i a m o un e s e m p i o . ' N o n s i dà i l ca so c h e i q u a d r a t i a b b i a n o so l t anto tre l a t i ' è a n a l i t i c a . A l l o r a , a p p l i c a n d o ques ta rego la , ' N o n si dà i l c a so c h e i q u a d r a t i a b b i a n o s o l o tre lat i ' , in q u a n t o a n a l i t i c a , es ige anch 'e s so c o m e a n a l i t i c o , q u a l s i v o g l i a enun-ciato de l l a f o r m a ' I q u a d r a t i h a n n o so l t an to tre lat i 3 q ' . dove a q p o s s i a m o d a r e q u a l u n q u e v a l o r e . Cos í ' I q u a d r a t i h a n n o so lo tre lati 3 5 = V 25 ' e 1 I q u a d r a t i h a n n o so lo t re lat i 3 T o m è s c a p o l o ' s a r a n n o enuncia t i ana l i t i c i . In tal m o d o , se a m m e t t i a m o l ' e q u i v a l e n z a f ra l ' a s se rz ione c h e u n e n u n c i a t o d e l l a f o r m a • ρ 3 q ' è a n a l i t i c o e l ' a s s e r z i o n e che il p r i m o e n u n c i a t o «lei com-posto vero- funz iona le e s i g e i l s e c o n d o , d o v r e m o c o n c l u d e r e che ' 1 q u a d r a t i h a n n o solo tre lati ' e s i ge ' 5 = V 25 ' e ' T o m è sca-polo ' e q u a l s i a s i a l tro e n u n c i a t o ci p i a c c i a m e n z i o n a r e . In gene-ra le . q u a l s i a s i a s s e rz ione au to-contradd i t tor i a e s i g e r à q u a l s i a s i as-serz ione di q u a l u n q u e sor t a . E ques to è in e v i d e n t e contra s to col nostro u so n o r m a l e di ' e s ige ' c o m e il c o n v e r s o di " è deduci-bi le da ' .

D o b b i a m o tuttavia r a m m e n t a r e c h e c iò che c i d i s p o n e v a m o a s p i e g a r e era i l successo de l l ' u so d e l l ' a p p a r a t o s i m b o l i c o de l l a lo-gica ne l lo s v i l u p p o di s i s temi di ver i tà n e c e s s a r i e , p .c . , d i un si-s tema log ico o m a t e m a t i c o . Un p o ' di r i f le s s ione c i m o s t r a c o m e la regola clic s t i a m o c o n s i d e r a n d o non a b b i a c o n s e g u e n z e i m b a r a z -zanti in un s i m i l e i m p i e g o d e l l ' a p p a r a t o s i m b o l i c o . Un a spe t to f ac i l i t ante , c h e p u ò venir m e n z i o n a t o p e r p r i m o , sta in ciò che , g i a c c h é l e e spre s s ion i u s a t e ne l lo s v i l u p p o de l s i s t e m a s a r a n n o l imi ta te d a l l e r ego le d i f o r m a z i o n e e d a l l e de f in i z ion i del s i s t e m a , non s a r e m o m a i in g r a d o d i d e r i v a r e , da u n a f o r m u l a de l l a f o r m a ' ~ ρ ', una f o r m u l a de l l a f o r m a ' ρ 3 q \ in cui le e s p r e s s i o n i che r i m p i a z z a n o ' q ' g i a c c i a n o c o m u n q u e f u o r i d a l s i s t e m a . Co-s icché non vi s i a v r à n u l l a d i q u e l l ' a p p a r e n z a d i l u n a t i c a a rb i t ra-rietà c h e ca ra t t e r i zzava gli e s e m p i forni t i nel p a r a g r a f o prece-dente . Ma un p u n t o più i m p o r t a n t e è i l s eguente . S i s u p p o n g a che i l nostro s i s t e m a venga s v i l u p p a t o col m e t o d o d e d u t t i v o . A l l o r a .

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a m e n o che i l s i s tema s ia iueongruente , nel qua l caso quanto p r i m a ciò viene a ga l l a , tanto meg l io è. nessuno degl i a s s iomi sarà auto-contraddi t tor io o incongruente con qua l s i a s i a l t ro . Si p u ò pensare inoltre clic i l s i s tema us i . come regole di in ferenza , i l P r i n c i p i o di Sos t i tuz ione e il P r i n c i p i o di Inferenza ', c p r e s u p p o n g a il ca lcolo p ropos i z iona le . F r a gli a s s iomi o i teoremi pr imi t iv i po s s i amo tro-vare espress ioni de l la f o r m a ' ~ ρ ' , da l l e q u a l i noi s a r e m o in grado , conseguentemente , «li de r iva re f o r m u l e corr i spondent i de l la f o r m a ' ρ 3 q '· Ma se gli a s s iomi o i teoremi pr imit iv i contengono, c o m e ana l i t i ca , una f o r m u l a del la f o r m a 4 ~ ρ ' , essi non conter-ranno a l t res ì , a meno che il s i s tema non sia incongruente , l 'espres-s ione che r i m p i a z z i ' ρ " in tale f o r m a . Di conseguenza , non s a r e m o m a i in g r a d o di a p p l i c a r e la Hegola di Inferenza a una f o r m u l a del la f o r m a 1 ρ 3 q ' q u a n d ' e s s a s ia der ivata da l l a cor r i spondente f o r m u l a de l l a f o r m a ' ~ ρ ' med iante l 'uso de l l a regida ' imbaraz-zante *; va le a d i re , da ima f o r m u l a de l la f o r m a ' ρ ~D q ' , cosi de-r ivata . non s a r e m o inai in g rado di der ivare l ' e spress ione che rim-piazza ' q ' . S i cché , per quel clic r i guarda lo s v i l u p p o del s i s tema , la regola ' i m b a r a z z a n t e ' non è imbarazzante a l lat to : essa non p u ò m a i costr ingerci ad accettare , c o m e d i re t t amente o indiret tamente d e d u c i b i l e dagl i a s s i o m i , nessun teorema che risulti inconseguente . Q u e s t o punto lo p o t r e m m o anche e s p r i m e r e c o m e s e g u e : per quanto concerne l ' iu ip l i canza ne l l ' ambi to d i un s i s tema ( c i o è , la der ivab i l i t à diretta o indiretta di teoremi da a s s i o m i ) , i l signifí-ca lo di ' e s ige ' non è da lo s e m p l i c e m e n t e da l l e regole per ' 3 ' (o da que l le a f fa t to a n a l o g h e per . . 3 . . . " è a n a l i t i c o ' ) , ma da queste regole prese congiuntamente con le regole di inferenza del sistema. In se stesse, le p re suppos te leggi del ca lco lo propos i -z iona le non permet tono der ivaz ioni di sorta : a permet terne , e l imi ta rne , l 'uso, sono le regole di inferenza di più alto ord ine del s i s tema. In par t i co l a re , ogni d i s sodamento di nuovo terreno nel

' C f r . r a p i t o l i li e I I I . p p . TR-Rd «• 12R-29

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s i s t ema ( i n q u a n t o dis t into d a l l ' e s e m p l i f i c a z i o n e d i l egg i g ià s tabi-l i t e ) b a luogo sotto l ' eg ida de l l a R e g o l a d ' I n f e r e n z a . L ' i m p l i c a n z a d i F i da p a r t e d i F i entro i l s i s t e m a , dove F ! è r e l a z i o n a t o con F 2

in un t e o r e m a p r i m i t i v o p e r m e z z o di ' 3 ' , r i c h i e d e che le rego le d ' in ferenza p e r m e t t a n o c h e F 2 s i a d i s t acca to da F ] ed a s ser i to se-lla r a t amente c o m e una l egge .

Q u e s t ' e s e m p i o è suff ic iente a m o s t r a r e c iò c h e i n t e n d e v o mo-s t r a r e : e p r e c i s a m e n t e c o m e , m a l g r a d o i l fatto che le r ego le p e r " ρ 3 q ' ( s i a n o i cost i tuent i de l l a f u n z i o n e cont ingent i o neces-sari ) non sono af fat to a n a l o g h e a q u e l l e p e r ' e s ige ' . è n o n d i m e n o p e r f e t t a m e n t e p o s s i b i l e f a r uso d e l l ' a p p a r a t o s i m b o l i c o d e l l e vero-funz ioni pe r lo s v i l u p p o d i s i s temi d i ver i tà n e c e s s a r i e . R i m a n e ancora da e s a m i n a r s i u n a ques t ione , re la t iva non a l l o s v i l u p p o d i (ali s i s t emi , m a a l l ' a p p l i c a z i o n e de l l e legg i . Q u a n d o i m a f o r m u l a del la f o r m a ' ρ 3 q ' v ien d e r i v a t a c o m e a n a l i t i c a n e l l ' a m b i t o del s i s t ema , q u a l c h e vol ta , m a non s e m p r e , v o g l i a m o d i r e c h e i l p r i m o dei suoi cost i tuent i es ige i l s e c o n d o , c ioè , c h e la f o r m u l a ana l i t i c a può essa s tessa venir le t ta , ne l le a p p l i c a z i o n i del s i s t e m a , c o m e una rego la che autor izz i d e d u z i o n i . N o n v o g l i a m o , p e r e s e m p i o , dir ques to , q u a n d o la f o r m u l a de l l a f o r m a ' ρ 3 q ' è de r iva ta dalla c o r r i s p o n d e n t e f o r m u l a de l l a f o r m a ' ~ ρ ' . L a r i so luz ione «li ques to a s sa i d iver so p r o b l e m a sta s e m p l i c e m e n t e n e l l ' i m p o s i -zione d i res t r iz ioni nel t r a d u r r e la d i c h i a r a z i o n e cl ic u n a f o r m u l a della f o r m a ' ρ 3 q ' è a n a l i t i c a nel la d i c h i a r a z i o n e che il p r i m o dei suoi cost i tuent i es ige i l s e c o n d o ' .

È ovvio che s imi l i c o n s i d e r a z i o n i , pe r q u a n t o r i g u a r d a la ' im-pl icanza nel s i s t e m a ' , s i a p p l i c a n o a l lo s v i l u p p o dedut t ivo d i si-stemi d i leggi n a t u r a l i . D a l s e m p l i c e punto d i v i s ta d e l l o s v i l u p p o <li un s i s t ema dedut t ivo , i l fa t to c h e il s i s t ema s ia di leggi n a t u r a l i p iuttosto c h e d i verità n e c e s s a r i e non so l l eva ne s suno s p e c i a l e pro-b l e m a .

1 C f r . c a p i t o l o I . p . 32 . l.u t ra t t az ione c o m p l e t a di q u e s t e re s t r i z ion i e t r o p p o com pl icata p e r p o t e r e s se re a f f r o n t a t a q u i .

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N o n d i m e n o spec i a l i p r o b l e m i s i p re sentano lo stesso. Comin-c iamo da l l a m a n o v r a p r e l i m i n a r e sugger i ta dal t ra t tamento d i s i s temi di veri tà necessar ie , ebe qui è a l t amente sospet ta . Infa t t i , nelle d i scuss ioni svolte nel cap i to lo V I I , ci si è s forzat i di sottoli-neare i l fatto che c h i a m a r e asserzione-legge un 'a s se rz ione genera le soggetto-predicato non s igni f icava a s segnar le un genere d i f ferente di vero-condizioni r ispetto ad ogni a l t ra a s serz ione genera le sogget-to-predieato . Con ciò s i d iceva sol tanto qua lcosa c irca l ' ambi to del la sua a p p l i c a z i o n e e circa il cara t tere de l le r iprove a suo soste-gno. Un 'a s serz ione genera le sogget to-predicato d ich ia rante che ogni caso di / e un caso di g, sia essa o menu un'asserzione-legge, è contraddet to d a l l ' o r d i n a r i a a s serz ione cont ingente a f f e r m a n t e che a l m e n o un caso di / non e un caso di g ' . La contraddi t tor ia di un 'as serz ione log i camente necessar ia è un 'a s se rz ione auto-contrad-dittoria ; ma la contraddi t tor ia di un 'asserz ionc- lcgge è un'ordina-ria a s serz ione cont ingente ( c i o è , non un 'a s serz ione- legge ) . S i cché la m a n o v r a p r e l i m i n a r e , clic dis tacca net tamente le asserzioni-legge, q u a n d o e spres se nel s i m b o l i s m o del ia logica m o d e r n a , da l l e relazioni log iche eon asserzioni contingenti o rd inar i e , deve venir a b b a n d o n a t a o modi f i ca ta . I l p a r a l l e l o col c a m p o del necessar io r iusciva f u o r v i e n t e : i l p r o b l e m a di come l ' a p p a r a t o s i m b o l i c o può essere usato per un s i s tema di asserzioni- legge r i m a n e d u n q u e in p ied i .

Ma basta un p o ' di senso c o m u n e per r i so lver lo . Anzitutto dob-b i a m o r i l evare che un'asserz ione-legge genera le soggetto-predicato , d i ch ia ran te che ogni caso di / è un caso di g. es ige la corri-spondente a s serz ione negativamente e s i s tenzia le d i ch ia ran te che ~ ( 3 x ) ( f x . ~ gx) o ( x ) ( f x 3 gx). S i a l 'una che l 'a l tra s a ranno o n n i t e m p o r a l i . Q u e s t e conseguenze nega t ivamente es i s tenzia l i de l le asserzioni- legge soggetto-predicato possono esser c h i a m a t e

' Q u i d o b b i a m o f a r l u o g o a l l e q u a l i f i c a z i o n i m e n z i o n a t e nel p r i m o para-g r a f o de l c a p i t o l o V I I .

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La logica f o r m a l e

anch'esse asserzioni- legge. Po i , d o b b i a m o r i c o r d a r e che la con-dizione de l l ' accet tabi l i tà di un 'asserz ione- legge c h e non a b b i a a p p l i c a z i o n e diret ta è la sua re laz ione dedutt iva con asserzioni-legge clic tale a p p l i c a z i o n e hanno . La so la p r e c a u z i o n e clic dob-b iamo a l lora adot tare e la r i so luzione di non inc ludere nel le pre-messe del nostro s i s tema al tro clic asserzioni- legge. Q u e s t o bas terà ad e sc ludere qua l s i a s i enuncia to del la f o r m a ' ( x ) ( f x 3 g .r) ' che e spr ima una verità un icamente in virtù del fatto cl ic i l corr ispon-dente enuncia to del la f o r m a ' ~ ( 3 . r ) ( f x ) 1 e s p r i m e una veri tà ( a meno che ques t 'u l t imo enuncia to e s p r i m a non so l tanto una ve-rità. ma una l e g g e ) ; ma a ciò s i perv iene senza inna lza re spur i e barr iere log iche fra asserzioni- legge ed asserz ioni contingenti clic non s iano asserzioni- legge. Cosi la m a n o v r a o r i g i n a r i a viene modi-ficala, piuttosto che c o m p l e t a m e n t e a b b a n d o n a t a .

Ci r i m a n e ora un p r o b l e m a non t r o p p o i m p e g n a t i v o , che è l ' analogo del p r o b l e m a d e l l ' a p p l i c a z i o n e in s i s temi di veri tà ne-cessarie . S i s u p p o n g a di avere un enuncia to de l la f o r m a ' ~ ( 3 . r ) ( fx ) ' che in effetti e s p r i m a un'asserz ionc- legge . A l l o r a s a r e m o in grado d i der iva re qua l s i a s i cor r i spondente enuncia to de l la f o r m a ' ( . r ) (fx 3 gx) ' . D i remo che ques t 'enuncia to e s p r i m e una legge o no? Nel contesto del s i s tema , dove la sua de r ivaz ione è evidente , non ha nessuna impor tanza che lo si d ica o meno . Ma il d i r lo può riuscire fuorv iente fuori da que l contesto, g i acché ne ver rebbe i l sugger imento che noi lo d i c i a m o su f o n d a m e n t i d ivers i da quel l i effettivi . P e r e sempio , s a r e b b e fuorv iente trattore c o m e una legge ' Non esiste nessun corpo m o b i l e non inf luenzato da forze esterne il quale non continui , ecc. ' sul solo f o n d a m e n t o clic era una legge ehe non ci fosse nessun corpo m o b i l e non inf luenzato da forze esterne. ( N o n intendo sugger i re che ques t 'u l t ima a s serz ione sia d i fallo una legge, e n e p p u r e che essa sia v e r a ) . A n c h e qu i , come nel caso ana logo , è r ichiesta la messa in opera di leggi restr itt ive.

Non pre tendo che questa sezione s i s p i n g a ol tre la s e m p l i c e indicazione ilei modi in cui possono venir risolti i nostri rebus

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circa l 'uso d e l l ' a p p a r a t o s i m b o l i c o de l la logica m o d e r n a nel lo svi-l u p p o di s i s temi di veri tà necessar ie o di leggi na tura l i . Ma gli altri p r o b l e m i speci f ic i che possono sorgere avranno , io penso , del le ana log ie con quel l i qui trattati e s a r a n n o suscett ibi l i di venir r isolt i in modi a n a l o g h i . 1 punti p r inc ipa l i che ho tentato di sta-bi l i re sono i s e g u e n t i : ( 1 ) che q u a n d o i n d a g h i a m o sul l 'uso che può fars i d e l l ' a p p a r a t o s i m b o l i c o de l la logica , t rov i amo che per eerte rag ioni genera l i esso s e m b r a meg l io ada t ta to a l la funz ione di mettere s i s t emat i camente in luce le re laz ioni log iche fra enun-ciati che r i s p o n d a n o a l l ' i dea l e d i ind ipendenza da l le condiz ioni conte s tua l i : ( 2 ) che gli enunciat i d i questo t ipo che e f fe t t ivamente s i presentano sono enuncia t i anal i t ic i ed enunc ia t i - l egge ; ( 3 ) che gli enuncia t i anal i t ic i e gli enunciat i- legge s e m b r a n o presentare certi ostacol i a l la loro e spres s ione m e d i a n t e un s i m b o l i s m o com-ple tamente v e r o - f u n z i o n a l e ; ( 4 ) m a che q u a n d o e s a m i n i a m o l'ef-fettivo processo di cos truzione di un s i s tema di tali enunciat i con l ' i m p i e g o del s i m b o l i s m o , v e d i a m o c o m e gli ostacol i o sono, auto-mat i camente . s u p e r a t i , o pos sono esser lo , d e l i b e r a t a m e n t e . Se te-n i a m o chiar i in mente tutti questi punt i , s i a m o prevenut i contro molte i l lus ioni che a c c o m p a g n a n o l 'uso ind i sc r imina to , ne l l ' ana l i s i f i losof ica , del m o d e r n o s i m b o l i s m o logico , ed a l tres ì l iberat i da molti rebus r i guardant i i loro usi leg i t t imi .

I I .

Differenze di tipo e regole di formazione

4. Già a b b i a m o visto ' che in uno s tad io precoce del lo svi-l u p p o d i qua l s i a s i s i s tema logico dovrebbero venir f i s sa te regole prescr ivent i qua l i c o m b i n a z i o n i dei s imbo l i del s i s tema sono ara-

1 C f r . c a p i t o l o I I . p . 82 .

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Differenze di t ipo 289

messe. Q u e s t e sono le rego le d i f o r m a z i o n e del s i s t ema . Le espres-sioni costruite in m o d o ad esse r i spondent i sono dette hen-formate , mentre le combinaz ion i di s imbol i che le v io lano sono dette mal-formate . Le espress ioni ìnal-forinate sono senza s i g n i f i c a t o : la tecnica dedutt iva o di control lo del s i s tema non p u ò esser loro ap-pl icata , e , q u a n d o i l s i s tema venga interpretato , nessun senso può essere at tr ibui to a tali e spres s ion i . La cos t ruz ione di regole di for-mazione p r e s u p p o n e ovv iamente la c la s s i f i caz ione «Ielle eostanti e del le var iab i l i del s i s tema in t ipi d i f ferent i , g i acché fo rn i re regole di fo rmaz ione e«piivale a d i re qua l i c lass i di s i m l x d i del s i s tema possono s igni f ica t ivamente figurare in c o m b i n a z i o n i «li eerti generi con altri t ipi di s imbol i del s i s tema. Q u a n d o al s i s t ema è «lata un ' interpretaz ione l inguis t ica , questa c la s s i f i caz ione di e spress ioni in tipi viene ovviamente tras fer i ta nel d o m i n i o de l le p a r o l e e de l le f r a s i : essa s i a p p l i c a a l l e espress ioni verba l i che pos sono f igurare come valor i de l le var iab i l i del s i s tema , ed a l le e spres s ion i verba l i usate per interpretare le sue costanti . S i cché p o s s i a m o aspet tarc i «li trovare a l cune restr izioni a p p l i c a t e a c o m b i n a z i o n i s igni f icat ive del le e spres s ioni «lei l inguagg io o rd inar io , che sono a n a l o g h e a l le regole di f o r m a z i o n e «li un s i s tema l ingui s t icamente in terpre tab i le . E. nel la m i s u r a in cui non ins i s t i amo t r o p p o su l l a loro r igoros i tà , queste ana log ie le t rov i amo ef fe t t ivamente . Le t rov i amo , p o s s i a m o dire, nelle regole (o in a lcune de l le r e g o l e ) di g r a m m a t i c a . I g r a m m a t i c i , c o m e i logic i , c lass i f icano le e spres s ioni in t ip i . Dato d i e un enuncia to contenga un 'e spres s ione di un t ipo g r a m m a t i c a l e , spesso le rego le di g r a m m a t i c a f isseranno a l lora dei requis i t i rela-tivi agli altri t ipi «li e spress ione che esso deve contenere e. q u a l c h e ν ol la , i l metotlo p e r o r d i n a r l i . Se «picsti rei juisiti non sono soddi-sfatt i . a l lora non si ottiene enuncia to a lcuno , o un enuncia to sgram-mat ica lo . " S g r a m m a t i c a l o ' è , a l l ' inc i rca , l ' ana logo l inguis t ico d i ' ma l - formato '. F a c c i a m o alcuni e s e m p i . ( 1 ) Le rego le di forma-zione del ca lco lo p ropos i z iona le r i ch iedono che ' . ' o ' ν ' d e b b a n o essere f iancheggiat i a l m e n o da due var i ab i l i da a s serz ione in

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un 'e spres s ione ben- formata . La g r a m m a t i c a descr ive la funz ione di congiunzioni come ' o ' e ' e ' c o m e que l l a di cong iungere due clau-sole o fras i s imi l i . ( 2 ) In un s i s tema f o r m a l e e b e facc ia una di-s t inzione di notaz ione fra predicat i ad un posto e a due post i , ci s a rà una regola di f o r m a z i o n e clic s tab i l i sce clic un pred ica to a due posti r i ch iede che a l m e n o due var i ab i l i o e spres s ion i indivi-dua l i f igurino in una e spres s ione ben- formata . Si confront i ciò col requis i to g r a m m a t i c a l e che un verbo transi t ivo d e b b a avere tanto un soggetto c h e un oggetto . ( 3 ) La logica non a m m e t t e ' xyz ' c o m e espres s ione ben- formata . La g r a m m a t i c a non a m m e t t e ' T o m , Rico , Dino ' come enunc ia to .

È ch ia ro che i pa ra l l e l i po t rebbero venir mol t ip l i ca t i . Ma è anche c h i a r o clic non s i deve m i n i m a m e n t e s fo rza r l i . Le classif ica-zioni g r a m m a t i c a l i sono di molt i gener i d i f ferent i , è diff ici le for-m u l a r l e c h i a r a m e n t e , e non sono s e m p r e agevol i da a p p l i c a r e . Q u e s t o e n a t u r a l e : esse infatti trattano di l inguaggi viventi o che già furono viventi e non di s i m b o l i s m i inventa l i . Le c lass i f icaz ioni f o r m a l i sono enunc ia te con ogni prec i s ione , e possono esser rese tanto agevol i da a p p l i c a r e quanto colui che sceg l ie i l s i m b o l i s m o può de s idera re . Non s i a t t r ibuisce nessun senso a l l e e spress ioni che v io lano le regole di f o r m a z i o n e del s i s tema . Ma molt i enunciat i s g r a m m a t i c a t i d à n n o un senso, e lo danno anche mol te espress ioni clic non sono n e m m e n o enuncia t i , ma clic, se venissero scritte, ver-rebbero poste fra punti ; inoltre i l contesto p u ò confer i re ad una s ingola p a r o l a la forza di un enuncia to . Per s ino dove le dettagl iate ana log ie s e m b r a n o quanto mai streite, esse pos sono f a l l i r e : ' L a guerra ci s a rà o p p u r e no ' è un enuncia to per fe t t amente corretto , ina ' p v ~ ' è un 'e spre s s ione ma l - fo rmata .

P e r quanto le a n a l o g i e non possano venir sp inte t r o p p o innanzi , è evidente che , dove esse es i s tono, h a n n o una rad ice comune . In precedenza 1 v e d e m m o come la d i s t inzione formale f ra var i ab i l i

1 C f r . r a p i t o l o V, s e z i o n e 5 .

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ind iv idua l i e p r e d i c a t i v e rif letta la d i s t i n z i o n e funzionale f r a il ri-ferirsi a q u a l c h e cosa e il d e s c r i v e r l a , e coinè q u e s t a s ia cor r i spon-dentemente r i f lessa da l l a d i s t inz ione grammaticale f r a sogget to e p red ica to . La rego la d i f o r m a z i o n e che una v a r i a b i l e i n d i v i d u a l e d e b b a e s sere a c c o m p a g n a t a d a u n a v a r i a b i l e p r e d i c a t i v a , l a rego la g r a m m a t i c a l e c h e una p r o p o s i z i o n e d e b b a a v e r e tanto u n pred i -cato che un sogget to , h a n n o la lo ro r a d i c e nel fa t to n e c e s s a r i o che i-til so lo r i f e r i m e n t o non si fa nes suna a s se rz ione . A n a l o g a m e n t e , l 'es igenza g r a m m a t i c a l e che h a n n o l e c o n g i u n z i o n i d i u n i r e due fras i , l ' e s igenza f o r m a l e dei connett iv i d i a s s e r z i o n e ili a v e r e due a s se rz ione-var i ab i l i da c o n g i u n g e r e , r i f let tono del p a r i un bel mazzo d i t a u t o l o g i e : c o m e q u e l l a , p e r e s e m p i o , c h e u n o non p u ò dire c h e una cosa è c o n d i z i o n a t a da u n ' a l t r a senza i n d i c a r e tanto la cosa c o n d i z i o n a t a quanto c iò c h e la c o n d i z i o n a . Si p o t r e b b e d o m a n d a r e a che v a l e d i s t i n g u e r e la t au to log ia c h e s ta a l l a r a d i c e dal requi s i to f o r m a l e o g r a m m a t i c a l e . La r i spos ta e c h e gli accor-gimenti l inguis t ic i m e d i a n t e i q u a l i s i f a n n o a s se rz ion i di diffe-renti gener i p o t r e b b e r o r a g i o n e v o l m e n t e e s ser stati a s s a i d ivers i da quel l i c h e a b b i a m o f a m i l i a r i . T a n t o l e r ego le g r a m m a t i c a l i c l ic l e regole di f o r m a z i o n e r i f lettono non so lo la t a u t o l o g i a che sta a l l a radice , ma a n c h e gli a c c o r g i m e n t i l inguis t ic i c h e e f f e t t i v a m e n t e i m p i e g h i a m o .

Cos i le r ego le d i f o r m a z i o n e d i un s i s t e m a , c h e r i g i d a m e n t e prescr ivono cer te c o m b i n a z i o n i d i e s p r e s s i o n i c o m e des t i tu i te d i senso, h a n n o conness ion i g e n u i n e con q u e l l e r ego le g r a m m a t i c a l i che g e n e r a n o so l tanto una p r e s u n z i o n e contro certi gener i d i com-binazioni d i p a r o l e che p u r dìinno un s enso . A m b e d u e r i f let tono necessità ili l i n g u a g g i o m o l t o g e n e r a l i . Le r e g o l e di f o r m a z i o n e ili un s i s t e m a sono co l l ega te a i loro a n a l o g h i g r a m m a t i c a l i da rela-zioni in q u a l c h e m o d o s i m i l i a q u e l l e che c o l l e g a n o le rego le di i m p l i c a n z a d i un s i s tema a i lo ro a n a l o g h i nel l i n g u a g g i o ord ina-rio ; le p r i m e sono r ig ide e s i s t e m a t i c h e , i s e c o n d i flessibili e non s i s temat ic i .

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27i Due t ipi « l i logica

5. V e d e v a m o testé elle le i m p l i c a n z e di suff iciente genera l i tà per interessare i l log ico f o r m a l e non erano le sole i m p l i c a n z e che si t rovavano nel l i n g u a g g i o o r d i n a r i o . S i m i l m e n t e , t rov iamo che i requis i t i g r a m m a t i c a l i che sono ana loghi a rego le «li f o rmaz ione non sono i sol i requis i t i che un enuncia to deve s o d d i s f a r e per riu-sc ire sensato . Nes suna regola g r a m m a t i c a l e v iene infranta col d i re c h e la rad ice cub ica di dieci è lontana tre mig l i a , o che nella s a l a di d i segno c 'è un r u m o r o s o odore . Ma d i re una di ques te cose equi-var rebbe , se non a d i re sc iocchezze , a l m e n o a d i re qua lcosa che non ha un senso let terale o diretto . Gl i enunciat i ' Egl i conosce bene il f rancese " e ' Egl i conosce l entamente il f rancese ' h a n n o la stessa s truttura g r a m m a t i c a l e ; ma mentre i l p r i m o dà un senso cosi come sta . a l s econdo p u ò venir a t t r ibui to un senso solo consi-d e r a n d o l o una catt iva p a r a f r a s i di , p .c . , ' Eg l i sta lentamente im-p a r a n d o a conoscere il f rancese " o p p u r e di * Egl i sa leggere il f rancese l entamente ' o anche di " Egl i c a p i s c e il f rancese q u a n d o è ¡ tarlato l e n t a m e n t e ' . A n a l o g a m e n t e , ' I l contr ibuente med io è malcontento del b i l a n c i o ' dà d i re t tamente un senso, mentre '11 contr ibuente m e d i o è morto ieri ' p o t r e b b e essere un gioco di pa-role , uno scherzo , un e p i g r a m m a , o un e s e m p i o di a s surd i tà .

S e m b r a , a l lo ra , che vi s iano restr iz ioni agg iunt ive , oltre a (pielle non t r o p p o r igorose impos te da l l a g r a m m a t i c a , c irca i m o d i in cui le pa ro le pos sono essere c o m b i n a t e per d a r e un senso lette-ra le . P o s s i a m o ind ica r l e col nome di restr iz ioni di t ipo o regole di t ipo, g i acché esse e sc ludono le c o m b i n a z i o n i di e spress ioni di certi t ip i . C 'è chi ha avuto la tentazione di a s s i m i l a r e la v io laz ione de l le restrizioni di t ipo a l le auto-contraddiz ioni . Ma questo sem-bra un e r rore . La rag ione per cui ' odore r u m o r o s o ' non da a lcun senso non è che gli odor i , c o m e i m o r m o r i i , s i ano neces sar i amente tenui . Il r i fer i r s i a q u a l c o s a come a un odore proscr ive c o m e insen-sata la ques t ione se s ia rumoroso o non r u m o r o s o : i l pa r l ante non e impegna to a d a r e una de l le due r i sposte incompat ib i l i a l la «pie-

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stione. Anziché a s s i m i l a r e le restr izioni di t ipo non g r a m m a t i c a l i ad impl i canze non f o r m a l i , f a r e m m o meg l io a r iconoscere lina re laz ione p a r a l l e l a : f ra restr iz ioni di t ipo g r a m m a t i c a l i e restri-zioni di t ipo non g r a m m a t i c a l i da un lato , e fra i m p l i c a n z e f o r m a l i ( cioè, i m p l i c a n z e fornite di que l l a genera l i tà che interessa il lo-g i co ) ed i m p l i c a n z e non f o r m a l i (o del l e s s i c o g r a f o ) da l l ' a l t ro . Nessuno, dopotut to , v o r r e b b e a s s i m i l a r e le regole g r a m m a t i c a l i ad impl icanze a l t amente genera l i .

6 . Esiste una certa concezione metaf i s ica , che s i o p p o n e a l le conclusioni de l l 'u l t ima sez ione e a l la (piale una p r e o c c u p a z i o n e per la logica f o r m a l e pot rebbe renderci incl ini . S i p u ò s o m m a r i a -mente e s p r i m e r l a come la concezione clic le so le d i f f e renze di t ipo i rr iducibi l i sono quel le r iconosc iute da l l a logica f o r m a l e , e che tutte le a l tre d i f ferenze di t ipo fra espress ioni sono in u l t ima ana-lisi sp iegab i l i c o m e di f ferenze fra le f o r m e log iche degl i enunciat i clic le contengono. Ciò r i ch iede un ch ia r imento . La logica f o r m a l e ci impegna ad una dis t inzione di t ipo fra e spres s ioni re ferenzia l i s ingolar i ( v a l o r i d i var iab i l i i n d i v i d u a l i ) ed e spres s ioni predica-live ( v a l o r i d i var iab i l i p r e d i c a t i v e ) . Ma ovv iamente le conside-razioni svolte ne l l 'u l t ima sez ione ci r i ch iedono di o p e r a r e ulte-riori dist inzioni di tipo entro c i a scuno di quest i t ip i . P e r e s e m p i o , i nomi di qua l i t à u m a n e e i nomi di esseri u m a n i ind iv idua l i pos-sono del par i f igurare c o m e espress ioni re ferenz ia l i s ingo la r i . Ma non ogni cosa che può venir de l ta , con s igni f ìcanza letterale , di esseri u m a n i ind iv idua l i , p u ò venir detta , con s igni f ìcanza lette-rale. di qua l i t à u m a n e i n d i v i d u a l i : e vale i l converso . P e r d i r la molto a l la b u o n a : le g a m m e di espress ioni con cui i nomi di uo-mini e i nomi di qua l i tà u m a n e possono s ign i f i ca t ivamente combi-narsi sono d i f ferent i . T a l v o l t a può p l a u s i b i l m e n t e sos teners i , lut-lavia . che un'asserz ione s ingo lare circa una qua l i t à u m a n a è logi-camente equ iva lente a un 'as serz ione genera le c i rca gli esseri umani . In un caso del genere , p o t r e m m o essere incoragg ia t i a d ire

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che la d i f ferenza in t ipo fra espress ioni che f o r m a l m e n t e h a n n o finizioni s imi l i in enunciat i f o r m a l m e n t e s imi l i è stata r idotta a una d i f ferenza di f o r m a fra enunciat i relat ivi a cose de l lo stesso t ipo ( c i o c , esseri u m a n i ) . Ta lvo l t a s i d ice che la t raduz ione del-l 'asserzione s i n g o l a r e in que l l a genera le svela l a ' r e a l e ' f o r m a logica del la p r i m a .

Q u e s t a m a n o v r a ha molte carat ter i s t iche interessant i . Se c i im-pegnatilo ne l l 'u l t imo dei pas sagg i menz ionat i , a l lora c i t rov iamo a dare a l l ' e spre s s ione ' f o r m a logica ' un senso a f fa t to d i f ferente da quel l i in cui l ' a b b i a m o f in qui u s a l a . Perché infatti d o v r e m m o scegl iere di d i re che , dei due enuncia l i equ iva lent i , è que l lo gene-rale che r ivela la ' rea le ' f o r m a logica de l l ' enunc ia to s ingo lare , piuttosto che in c o n t r a r i o ? Perché d o v r e m m o cons idera re la ridu-zione, o l ' e l iminaz ione di un certo t ipo di e spre s s ione , come effet-tuantesi in que l l a d i rez ione piuttosto che n e l l ' a l t r a ? La sola rispo-sta può essere che c o n s i d e r i a m o le e spres s ioni che s i r i fer i scono ad esseri u m a n i ind iv idua l i coinè di t ipo piti ' f o n d a m e n t a l e ' o ' ba s i l a re ' de l le e spres s ion i che si r i fer i scono a l l e qua l i t à u m a n e . Si s u p p o n g a infatt i i l nostro enuncia to genera le scritto nella f o rma t ( . v ) ( / . v 3 g * ) \ con gli a p p r o p r i a t i va lor i p e r ' / ' e ' g ' . Al lora la f o r m u l a c o r r i s p o n d e n t e de l la f o r m a ' fx ' a s s u m e r à , come valor i de l la va r i ab i l e ind iv idua le , e spress ioni r i ferentes i ad esseri u m a n i ind iv idua l i . L ' e n u n c i a t o s ingo la re o r ig inar io , equ iva lente all 'enun-ciato genera le , e sempl i f i cava esso stesso la f o r m u l a " fx ' , ma aveva, qua le va lore di ' χ ' , i l nome di una qua l i t à . Cos icché uno dice che ' ( x ) ( f x 3 gx)' p iuttosto clic ' / .ν ' e ra la f o r m a rea le del l 'enun-ciato or ig inar io so l tanto se cons idera le va r i ab i l i ind iv idua l i come in q u a l c h e m o d o f o n d a m e n t a l m e n t e des ignate ad indicare lacune da r i empi r s i con des ignaz ioni di per sone ind iv idue piuttosto che con des ignaz ion i di qua l i t à . Si può p a r l a r e , in questo modo, di f o rma logica rea le di un enuncia to sol tanto se si è già scelto un certo tijio ili e spre s s ione c o m e il t ipo ba s i l a re , nei cui termini la

reale f o r m a logica ' deve esser def ini ta . Cosi la rea le fo rma logica

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,Ιί un e n u n c i a t o A s a rà d a t a d a l l a f o r m u l a e s e m p l i f i c a t a da un enunc ia to A ' che ( 1 ) s i a e q u i v a l e n t e a l l ' e n u n c i a t o A e ( 2 ) non contenga e spre s s ion i d i t ip i non b a s i l a r i e n e p p u r e f o r m u l e sussi-d ia r ie tali che u n a v a r i a b i l e , l i b e r a in q u e l l a f o r m u l a , pos sa assu-mere c o m e v a l o r e u n ' e s p r e s s i o n e d i u n t i p o non b a s i l a r e . S i a m o con ciò a s sa i l on tano dal s enso in cu i a b b i a m o usa to f in qu i l ' e spres-s ione ' f o r m a log ica ' .

A n c h e r e s p i n g e n d o q u e s t ' u l t i m o p a s s a g g i o , e r i f iu t andoc i per-ciò d i i n t r o d u r r e nuovi e l e m e n t i ne l l a noz ione d i f o r m a log i ca , re«ta vero che i l p r o g r a m m a g e n e r a l e di s p i e g a r e le d i f f e r e n z e ili l ipo , d i l à da q u e l l e f n r m a l i - g r a m m a t i c a l i . s e g u e n d o la d i r e z i o n e indica ta , p r e s u p p o n e l a s e l e z i o n e d i un t ipo d i e s p r e s s i o n e c o m e i l t ipo d i e s p r e s s i o n e i n d i v i d u a l e p e r ecce l l enza . Q u e s t a s e l e z i o n e a sua vol ta i m p o r r à la s e l e z i o n e di un t i p o di e s p r e s s i o n e pred ica -tiva. t a le p e r ecce l l enza . T a l i sce l te d i e s p r e s s i o n i b a s i l a r i d a r a n n o luogo a una g a m m a di e n u n c i a t i de l l a f o r m a ' fx ' tal i c h e q u a l s i a s i e spre s s ione i n d i v i d u a l e cl ic c o m p a i a in q u a l s i a s i d i ess i p u ò e s sere s i gn i f i ca t ivamente c o m b i n a t a con q u a l s i a s i e s p r e s s i o n e p r e d i c a t i v a clic c o m p a i a in q u a l s i a s i di es s i . L i m i t a t a m e n t e a ques t i e n u n c i a t i , la d i f f e renza f o r m a l e di t i p o f ra e s p r e s s i o n i i n d i v i d u a l i e p red ica -tive coinciderà con la d i f f e r e n z a f r a i d u e t ip i b a s i l a r i ili e spres-sioni t rasce l t i . C o n gli e n u n c i a t i d i t a le g a m m a p o s s i a m o co s t ru i re ( per c o m p o s i z i o n e vero- funz iona le , q u a n t i f i c a z i o n e , o q u a l s i a s i altro mezzo r i conosc iu to d a l l a nostra log ica f o r m a l e ) e n u n c i a t i più c o m p l e s s i , c h e tuttavia non c o n t e r r a n n o e s p r e s s i o n e a l c u n a d i a lcun t ipo u l t e r io re , eccet tuat i que l l i u f f i c i a lmente r i conosc iu t i nella nostra log ica (o nel la nostra g r a m m a t i c a ) . O r a , i l p r o g r a m m a genera le d i s p i e g a z i o n e d e l l e d i f f e renze d i t i p o p u ò t e o r i c a m e n t e venir e f fe t tuato se , e so l t an to se , p e r ogni e n u n c i a l o contenente espress ioni d i t ipo non b a s i l a r e c i s ia un e n u n c i a t o l o g i c a m e n t e e q u i v a l e n t e in cui ques te e s p r e s s i o n i s i a n o e l i m i n a t e in f a v o r e d i e spres s ioni de i t ip i b a s i l a r i , in un ione con q u a l s i v o g l i a accorgi-mento p e r co s t ru i re enunc ia t i c o m p l e s s i c h e sin r i conosc iu to ne l l a

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27i Due t ipi « l i logica

nostra logica f o r m a l e (o nel la nostra g r a m m a t i c a ) . Se potes s imo rag ionevo lmente p r e s u m e r e che questo p r o g r a m m a d i t raduzioni potesse venir e f fe t tuato , p o t r e m m o rag ionevo lmente pre tendere d i aver sp iega to tutte le d i f fe renze di t ipo nei termini di que l l e rico-nosciute d a l l a logica f o r m a l e (o da l l a g r a m m a t i c a ) , in unione con le regole di i m p l i c a n z a sanzionant i le t r aduz ion i .

Molta metaf i s ica consiste nel tentat ivo di m o s t r a r e che questo p r o g r a m m a (o una par te d i e s s o ) p u ò teor icamente venir effet-tuato. Le impres s ion i sensor ia l i sono state f ra i c and ida t i per i desiguala de l l e e spres s ion i indiv idua l i b a s i l a r i ; e lo sono stati anche gli oggetti m a t e r i a l i . Non c 'è rag ione , tuttavia , d i s u p p o r r e clic i l p r o g r a m m a possa venir ef fet tuato, e ci sono molte buone ragioni per s u p p o r r e clic non lo pos sa .

Q u a n d o i l p r o g r a m m a r iduzionis ta s i c o m b i n a con la credenza che i s i s temi vero- funzionale e q i iant i f ìcaz ionale forni scono un'ana-lisi adegua ta dei mezzi per cos t ru i re enunciat i c o m p l e s s i , a l lora la sp inta metaf ì s ica de l la logica f o r m a l e r agg iunge i l m a s s i m o di potenza . A l l o r a si g iunge infatti a c redere che i m o d e r n i s i s temi s imbo l i c i , in s i eme con le o r d i n a r i e regole d i i m p l i c a n z a . forni-scano una m a p p a c o m p l e t a m e n t e a d e g u a t a de l la logica del lin-guagg io nel suo aspet to a s ser tor io . In questa sez ione si è tuttavia indicato un a l tro c a m p o - que l lo del le d i s t inzioni di t ipo — in cui questa pretesa è in fonda ta .

I I I .

La logica del linguaggio

7. T r a t t a n d o de l l a logica del l inguagg io o r d i n a r i o ho usato spes so la p a r o l a " regola " . I l o pa r l a to di regole ili i m p l i c a n z a , di regole di re fe renza , di regole dei t ip i . I.a p a n d a non è inappro-pr ia ta : p a r l a r e infatti ili queste ed a l t re ' r e g o l e " e q u i v a l e a par-lare di modi in cui il l inguagg io p u ò essere usato correttamente o

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La logica del l inguagg io 297

scorrettamente. Ma se pur non è i n a p p r o p r i a t a , la p a r o l a p u ò riu-scire fuorviente . Noi non g i u d i c h i a m o la nostra pre t ice l inguist ica al la luce di regole antecedentemente s tudia te . Sono le rego le che vengono f o r m ú l e t e ella luce de l lo s tudio de l l e pre t i ca corrente . Inoltre, questa pra t i ca è una f accenda mol to f luida. Se pur dob-b i a m o p a r l a r e d i regole , d o b b i a m o cons iderer l e c o m e rego le che c h i u n q u e ho facol tà di v io l a re se ha q u a l c h e buona rag ione per far lo . Nel lo s forzo di descr ivere la nostra e sper ienza p i e g h i a m o cont inuamente le paro le e nuovi us i , connessi con i loro usi feini-l iari . me non identici α quest i , e le a p p l i c h i a m o a stati di cose che sono ins ieme s imi l i e d i s s imi l i r i spetto a quel l i cui esse sono piti o r d i n a r i a m e n t e a p p l i c a t e . Perc iò p o s s i a m o d a r e un senso ad enunciat i che , a p r i m a vis ta , s e m b r a n o auto-contraddi t tor i ' . E perciò , per quanto ta luno a b b i a incautamente par le to de l la viola-zione de l l e regole dei t ipi c o m e generante enunciat i che , p u r né sgrammat icot i né outo-controddittori , s a r e b b e r o a s s u r d i , in real tà è diff ìci le cos tru ire un enuncia to g r a m m e t i c e l e ol q u a l e s ia impos-s ib i le i m m a g i n a r e che s ia dato un q u a l c h e senso, e s ia dato non già med iante un fiat a rb i t r a r io , ma m e d i a n t e un 'es tens ione intelli-gibi le . s ebbene p r o b a b i l m e n t e f igura la , dei s ignif icat i f a m i l i a r i del le p a r o l e e de l le fras i in q u e s t i o n e 2 .

Pa r l ando di regole di i m p l i c a n z a f a c c i a m o uso de l la d i s t inz ione fra asserzioni anal i t iche e s intet iche (o c o n t i n g e n t i ) . P a r l a n d o di regole dei tipi f acc i amo uso de l la d i s t inz ione f ra l 'uso let terale e l 'uso f igurato del l inguagg io . Ma non d o b b i a m o i inmag inere che queste dis t inzioni s ieno mol to nette, più di quel che d o b b i a m o i m m a g i n a r e mol to r igide le nostre regole l ingui s t i che . Molte volte pos s i amo es i tare nel dire , di d u e usi di una p a r o l a , q u a l e s ie let-terale e q u a l e figurato, e conc ludere che si tratta di d u e sensi di-versi. s ebbene e m b e d u c letterel i , del t e rmine . T a l v o l t a s a r e m m o

' C f r . c a p i t o l o I , p p . 9-11. ~ C f r . c a p i t o l o I I . s ez ione 5 .

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incerti nel d ire se una paro l a viene usata nel lo stesso senso, o in sensi d i f ferent i . E ques te nozioni - di sensi let teral i e figurati, di sensi d i f ferent i e de l lo stesso senso — sono ind i spensab i l i , p u r con tutta la loro i m p r e c i s i o n e , a s p i e g a r e ebe cosa in tend iamo p e r dis t inzioni di t ipi e regole di t ip i . A n a l o g a m e n t e , p o s s i a m o es i tare molto spesso nel d i re se un dato enuncia to è ana l i t i co o s in te t i co ; e l ' imprec i s ione di ques ta dis t inzione, c o m ' è a p p l i c a t a al l inguag-gio o rd inar io , r if lette l ' imprec i s ione con cui è a p p l i c a t a al lin-guagg io o r d i n a r i o la nozione di i m p l i c a n z a .

Ques t a f luidità de l le nostre regole , e ques ta imprec i s ione nel le dis t inzioni ebe esse involgono, son cose di cui d o b b i a m o aver con-sapevo lezza se t e n d i a m o ad uno s tudio rea l i s t ico del l inguagg io o r d i n a r i o . Ma p e r quanto esse rendano un ta le s tudio p i ù compl i -cato e meno ord ina to di que l lo dei s i s temi f o r m a l i , esse non lo rendono i m p o s s i b i l e . L ' e s serne consapevol i fa ta le s tudio in qual-che m o d o p iù f ac i l e , g iacché se c i r e n d i a m o conto ch 'è già mol-t iss imo g iungere so lo a descr ivere gli usi fissi e t ipici di certi ge-neri di e spres s ione , c i l a sceremo d i s turbare m e n o dai casi a t ip ic i .

8. Aff iancato a l lo s tudio de l la logica f o r m a l e , e in parte so-vrappos to ad esso, a b b i a m o un al tro s t u d i o : lo s tudio del le carat-ter is t iche log iche del l inguagg io o r d i n a r i o . Q u e s t o secondo s tudio può i l l u m i n a r e i l p r i m o , e può esserne i l lumina to o annebb ia to . Gran par te di ques to l ibro tratta del le interre laz ioni fra i due . Ho forni to , b revemente de l incando l i , a lcuni e s e m p i dei generi d i d i s t inzione che p o s s i a m o t racc iare , e dei generi di general izza-zione che p o s s i a m o f a re , nel per segu i re questo secondo s tudio . La più impor tan te lez ione genera le che p o s s i a m o trarne è che le s empl i c i re laz ioni dedut t ive non sono l 'unico genere da conside-rarsi se vog l i amo intendere le operaz ioni log iche del l inguagg io . D o b b i a m o p e n s a r e secondo un n u m e r o d i d imens ion i assai mag-giore che que l l e d ' i m p i i c a n z a e di cont radd iz ione , ed u sa re molt i s t rument i di anal i s i di là da quel l i che a p p a r t e n g o n o a l la logica

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fo rma le . L ' a m b i t o del secondo s tudio viene u l t e r io rmente e snanso di molto se. anz iché restr ingere la nostra a t tenzione a l l 'u so asser-torio del l inguagg io , cons ider i amo anche a lcuni de i mol t i a ltr i usi che esso può avere . N é , in questo s tudio , s i a m o confinati a l le minuz ie l inguis t iche , per quanto i l det tagl iato e s a m e di p icco le dif-ferenze l ingui s t iche possa r iusc ire a b b a s t a n z a a s sorbente . Infat t i , nel tentar di s c o p r i r e le r i sposte a quest ioni de l la f o r m a ' Q u a l i sono le condiz ioni a l le qua l i u s i a m o la tale-e-tnle e spre s s ione o c lasse ili e s p r e s s i o n i ? ' o " Perché d i c i a m o una tal cosa e non una l a l ' a l t r a ? ' , p o s s i a m o riconoscerci in grado di f o r m u l a r e classifi-cazioni o ili sve la re d i f ferenze a b b a s t a n z a a m p i e e p r o f o n d e per sodd i s f a re i l p iù f iero appet i to di genera l i tà . C iò che non trove-remo nei nostri r isultati s a rà quel carat tere di e l eganza e s istema-ticità che a p p a r t i e n e al le costruzioni di log ica f o r m a l e . È vero nond imeno che la logica del l inguaggio o r d i n a r i o o l f re un c a m p o ili s tudio intel let tuale insuperato per r icchezza , comple s s i t à e po-tere as sorbente .

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I X . R a g i o n a m e n t o i n d u t t i v o e p r o b a b i l i t à

I .

Suffragio e probabilità

1. Di un b r a n o (li r a g i o n a m e n t o d e d u t t i v o s i p u ò c h i e d e r e : È v a l i d o o i n v a l i d o ? Le s u e p r e m e s s e e s i gono la conc lu s ione , o non la e s i g o n o ? Q u e s t e sono ques t ion i p e r le q u a l i è pos s ib i l e u n a r i spos ta " Si-o-no ' . Se i l senso d e l l ' a r g o m e n t o è a b b a s t a n z a c h i a r o da a m m e t t e r e u n a r i spos t a , la r i spos ta è netta : l ' a r g o m e n t o è va-l ido o non lo è . Q u e s t o non vuol d i r e clic non s i po s sa e s i t a re nel d e c i d e r e la q u e s t i o n e de l l a v a l i d i t à d e l l ' a r g o m e n t o ' . Ma s i tratta di un t ipo di e s i t a z i o n e che p o r t a , for se , a d i r e : * B e n e , interpre-tato in ques to m o d o , l ' a r g o m e n t o s a r e b b e v a l i d o ; i n t e r p r e t a t o in q u e l l ' a l t r o m o d o , l ' a r g o m e n t o s a r e b b e i n v a l i d o ' . Es sa non po-t re b b e p o r t a r c i m a i ad a s s e g n a r e a l l ' a r g o m e n t o u n o status inter-m e d i o : la f r a s e ' a r g o m e n t o d i s c r e t a m e n t e v a l i d o ' non ha senso .

I l r a g i o n a m e n t o dedut t ivo non è i l so lo g e n e r e di r ag iona-m e n t o . e n e p p u r e i l genere pili eo inune . No i e f f e t t u i a m o p a s s a g g i dedut t iv i q u a n d o f a c c i a m o m a t e m a t i c a p u r a e , q u a l c h e vo l ta , q u a n d o a r g o m e n t i a m o f i lo so f i camente . E f f e t t u i a m o tal i p a s s a g g i a n c h e in reg ioni m e n o r a r e f a t t e : q u a n d o f a c c i a m o i cont i ar i tme-tici c o m u n i , q u a n d o m u t i a m o una f o r m a l ingui s t i ca in u n ' a l t r a , q u a n d o f a c c i a m o u n r i a s sunto , q u a n d o t e n t i a m o d i m o s t r a r e c h e i l nostro o p p o s i t o r e s i è c o n t r a d d e t t o nel la s u a a r g o m e n t a z i o n e . M a una b u o n a p a r t e del nostro r a g i o n a r e p r o c e d e p e r pa s sagg i non d i ques to genere , ma d i un a l t ro , p e r q u a n t o un s ingo lo cor so

1 C f r . c a p i t o l o V i l i , s ez iono 7 .

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.Suf f r ag io e p robab i l i t à 301

ili a rgomentaz ione p o s s a involgere pas sagg i di a m b e d u e i t ip i . Cosi il detect ive e lo s tor ico , cpiando t raggono conclus ioni da l le loro premesse , da l loro m a t e r i a l e ind iz ia r io , t raggono spesso con-clusioni ebe que l l e p r e m e s s e non es igono. S p e s s o non c i s a r e b b e nulla di auto-contraddit tor io nel l ' accet tare le p r e m e s s e e r igettare le conclus ioni dei loro a rgoment i . Ma d a l fatto che l ' a rgomenta-zione di uno s tor ico o di un detective è i n v a l i d a , se g iudica ta se-condo i l m o d e l l o dedutt ivo , non consegue che essa s ia in un qual-siasi senso v iz iosa . Può trattarsi d i u n ' a r g o m e n t a z i o n e p e r la q u a l e i model l i dedutt iv i r iescano i n a p p r o p r i a t i : p u ò non avanzare pretesa a lcuna di essere dedut t ivamente va l ida . I m o d e l l i dedutt ivi non sono i soli model l i di buona a rgomentaz ione , g i acché il ra-g ionamento dedutt ivo non è il so lo genere di r a g i o n a m e n t o . Il rag ionamento de l lo sc ienzia to s p e r i m e n t a l e , c o m e que l lo del lo storico e del detective, è in var ia misura non dedut t ivo . Natura l-mente, lo sc ienziato può e f fe t tuare molt i pas sagg i dedut t iv i , ma se questi fossero i sol i pas sagg i leciti , la sc ienza s p e r i m e n t a l e s a r e b b e imposs ib i l e . Fa parte infatti del c o m p i t o de l lo sc ienzia to s tab i l i re conclus ioni che non sono deduc ib i l i per s e m p l i c e i m p l i c a n z a dai suoi dat i , dal suo mater i a l e di prova . Un e s e m p i o di as serz ione scientifica ben s tabi l i ta po t rebbe r i g u a r d a r e i l punto di fu s ione di un certo m e t a l l o : ' A l l e condiz ioni di pres s ione χ , m fonde s e m p r e a y grad i ' . Il m a t e r i a l e di prova su cui un ' a s se rz ione del genere fu fonda ta po t rebbe esser consist i to di una o d u e prove sper imenta l i , un i tamente al fatto che nessun meta l lo conosciuto lia. p e r quanto si sia finora osservalo, un punto di fus ione varia-bile in condiz ioni di pres s ione costante. Q u e s t e ' p r e m e s s e ' non esigono la conclus ione che m fonda s e m p r e a y g rad i nel le condi-zioni χ. Non ci s a r e b b e nul la di auto-contraddi t tor io se le con-g iungess imo con la previs ione che il p ros s imo pezzo di m, fuso in que l le condiz ioni , fonderà a y + 50 g rad i . T u t t a v i a il m a t e r i a l e •li prova p u ò cons iderar s i ben conelus ivo, s ebbene 1" ' a r g o m e n t o ' non s ia dedut t ivamente va l ido . N a t u r a l m e n t e , s i p o t r e b b e intro-

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321 R a g i o n a m e n t o indutt ivo

durre un a rgomento che fosse dedut t ivamente va l ido . P o t r e m m o in t rodurre c o m e una premes sa l ' a s serz ione genera le * Tutt i i me-tall i hanno punti di fu s ione costanti in condiz ioni di pres s ione co-stante Ques t ' a s s e rz ione , in s i eme con que l l a che regis tra i l risul-tato d i una s ingola p r o v a s p e r i m e n t a l e , e s i gerebbe una conclus ione del la f o r m a : ' A l l a cond iz ione di pres s ione ,r. rn fonde s e m p r e a y gradi ' . L ' a s se rz ione genera le introdotta c o m e una premes sa po t rebbe essa stessa essere una conseguenza di q u a l c h e a l tra asser-zione teorica accettata c o m e ben s tab i l i t a . Ma in q u a l c h e punto ci i m b a t t e r e m o inev i tab i lmente in un 'a s serz ione teoret ica che si basi da u l t imo sul m a t e r i a l e ili prova incorpora to in asserz ioni clic registr ino i r i sul ta l i di par t ico lar i o s s e r v a z i o n i ; tali asserz ioni non es igono l ' a s serz ione teor ica . Nessun n u m e r o di asserz ioni regi-stranti osservazioni par t i co la r i p u ò mai es igere un 'a s serz ione teo-rica di questo g e n e r e ; l ' a s serz ione teorica infatt i è esposta al r ischio logico, cui invece non sono esposte le par t ico lar i asserzioni osservat ivc , di r e c i t a z i o n e da par te di a s serz ioni registranti i ri-sultati d i s imi l i osservaz ioni par t ico lar i che pos sono venir fatte in fu turo .

Ma gli e s e m p i di questo genere è forse meg l io ev i tar l i . Gran par te di noi ha scarse conoscenze di sc ienza na tura l e . For tunata-mente . non a b b i a m o bi sogno di sp ingerc i fino a l le a l tezze del la s tor ia , de l la sc ienza o de l l ' inves t igaz ione per t rovare e sempi di r ag ionamento non dedutt ivo . La vita q u o t i d i a n a ce ne fornisce a doviz ia . S i cons ider ino

( « ) F g l i h a v iagg ia to cont inuamente per vent iquat t r 'ore , s icché s a rà mol to s tanco.

( />) La pentola è da dieci minut i sul fuoco , s icché dovrei) · b 'esserc sul punto di bol l i re .

( c ) S t a m a n e c 'è un gelo che s t r i n a : senza cappot to piglie-rai un r a f f r e d d o r e .

È c h i a r o clic l ' a s serz ione fatta da l l a p r i m a c lauso la di c iascun

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. S u f f r a g i o e p robab i l i t à 303

enunciato v iene cons idera ta come una rag ione per accet tare l'as-serzione fatta da l l a seconda c l auso la . La seconda a s serz ione in ciascun caso è in rptalcbc senso una conclusione tratta d a l l a p r i m a ; la p r i m a può , in q u a l c h e senso, esser c h i a m a t a premessa. Ma la premessa non es ige la conclus ione . Non s a r e b b e auto-contraddit-torio d i r e : ' L a pentola è sul fuoco da dieci minut i , ma l ' acqua è f redda come il m a r m o \ Si s a r e b b e propens i a d i re che questo non s a r e b b e p o s s i b i l e : ma l ' imposs ib i l i t à non è di natura logica . D'altro canto , sebbene la premessa non es iga la conc lus ione , essa è. in c iascun caso , una rag ione per fe t t amente a d e g u a l a ¡ter accet-tare la conc lus ione . Gli a rgoment i sono a rgoment i per fe t tamente sani , se pur non val idi dedut t ivamente .

C o m e p r i m a , noi s a r e m m o tentali d i s p i e g a r e la sani tà non dedutt iva degl i a rgoment i d i cendo che s i tratta di a rgoment i realmente dedutt iv i con una premessa s o p p r e s s a . Ed è cer tamente \o ro che pos s i amo , per c ia scuno dei tre a rgoment i , cos tru ire un corr i spondente a rgomento dedutt ivo v a l i d o : ad e s e m p i o , per ( « ) . ' Le persone che v i agg i ano per vent iquat t r 'ore a l l a fine sono s e m p r e s t a n c h e ' ; per ( />) ' L e pentole bo l lono s e m p r e nel giro d i dieci minuti da q u a n d o vengon messe sul f u o c o ' ; p e r ( c ) ' C h i u n q u e non indossi un cappot to s i r a f f r e d d a in un matt ino gelato ' . Ma cons iderando queste asserz ioni genera l i c o m e pre-messe s o p p r e s s e degli a rgoment i ( « ) . (b) e ( c ) . non ci l i b e r i a m o per questo dal p r o b l e m a genera le d i s p i e g a r e c o m e p o s s i a m o ra-g ionevolmente t rar re conclus ioni da p remes se che non le es igono. S e m p l i c e m e n t e s p o s t i a m o l 'accento sul la più ristretta q u e s t i o n e : Conte s t a b i l i a m o propos iz ioni general i d i ques to g e n e r e ? Q u e s t e non sono infatti propos iz ioni log icamente necessar ie . Se lo fossero state, gli a rgoment i ( a ) , ( b ) e ( e ) s a r e b b e r o stati dedut t ivamente va l id i . È . na tura lmente , l ' e sper ienza c o m u n e che cost i tuisce i l f ondamento p e r le nostre credenze genera l i d i questo genere . Le credenze vanno oltre l ' e sper ienza . I n d a g a r e con qua l genere di r ag ionamento si sia giustif icati nel l ' accet tarc p ropos i z ion i genera l i

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non ristrette che non sono propos iz ioni necessar ie , s igni f ica sem-pl icemente p o r r e i l p r o b l e m a genera le in una f o r m a p iù spec i f ica , e meno rea l i s t ica . È una f o r m a meno real i s t ica perché queste genera l izzaz ioni f onda te su l la c o m u n e e sper ienza spesso in prat ica non a p p a i o n o come le conclus ioni di a rgoment i tratte da casi p a r t i c o l a r i : la loro adoz ione avviene in m o d o meno rif lessivo. Ma gli a rgoment i ' ρ s icché q ' , sul genere di ( a ) , ((>) e ( c ) . sono c o m u n i .

Non s e m b r a esservi in effetti nessuna buona rag ione per l imi-lare la ques t ione in ques to m o d o . V e d e m m o in precedenza ' che , data una certa inferenza deduttiva, era s e m p r e pos s ib i l e costruire una d i f ferente inferenza int roducendo , c o m e p r e m e s s a addizio-nale . un ' a s se rz ione necessar ia cor r i spondente a l p r i n c i p i o dell ' in-ferenza o r i g i n a r i a . Ma v e d e m m o che la pretesa che questo proce-d imento r ivelasse i l rea le cara t tere de l l ' in ferenza o r ig inar i a era in genera le f a l l a ce , g i acché la nostra accet taz ione de l la premessa a d d i z i o n a l e c o m e log icamente necessar ia era tutt 'uno con la no-stra accettaz ione de l l ' in ferenza or ig inar ia c o m e v a l i d a . S imil-mente, nel caso dei pas sagg i non dedutt ivi in ( e ) , ( f i ) e ( c ) , la nostra accettaz ione volta per volta de l la cor r i spondente proposi-z ione genera le come vera fa tutt 'uno con la nostra accettazione de l la pa r t i co l a re in ferenza , non come dedut t ivamente v a l i d a , ina c o m e s a n a , o corret ta , o rag ionevole . Si p o t r e b b e d i re che tale p ropos i z ione genera le non necessar ia stia a un q u a l c h e diverso pr inc ip io del r a g i o n a m e n t o , nel la stessa re laz ione in cui nel l 'a l t ro caso la p r o p o s i z i o n e necessar ia stava al p r inc ip io de l l ' o r ig inar i a inferenza dedut t iva . Noi non pos s i amo e s p r i m e r e pr inc ip i d i que-sto genere eon l ' i m p i e g o ili paro le di s econd 'o rd ine . c o m e ' es ige ' , che a p p a r t e n g o n o a l l a deduz ione , ma p o t r e m m o e s p r i m e r l i con l ' imp iego di f ras i c o m e . . rende certo che . . .', o p p u r e . . è un buon f o n d a m e n t o p e r conc ludere che . . . ' Cos i la nostra accetta-

1 C f r . r a p i t o l o V I I . sPKÍnnr 9.

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. S u f f r a g i o e p robab i l i t à 305

zionc (Iella p ropos i z ione non necessar ia e b e tutte le pento le bol-lono entro (licei minut i da l m o m e n t o in cui son poste sul fuoco fa tutt 'uno con la nostra accettazione del p r i n c i p i o non dedutt ivo che il fatto elle una pento la è stata messa sul fuoco p e r dieci mi-ntiti è un buon f o n d a m e n t o per conc ludere clic essa s a rà in eboll i-z i o n e : ed a m b e d u e s i identi f icano con la nostra accet taz ione del pas sagg io ef fet tuato in ( h ) c o m e sano o corretto o rag ionevole .

I l p r o b l e m a ebe d o b b i a m o cons idera re è a l l o ra que l lo del la natura di quel genere di r ag ionamento c h e muove da un 'a s serz ione non necessar ia (o congiunzione di a s s e r z i o n i ) ad un 'a l t ra , e in cui la p r i m a non es ige la s econda . Ques to t ipo di r a g i o n a m e n t o è genera lmente c h i a m a t o indutt ivo. Ta lvo l t a s i tende a r i servare ([tiesto titolo a quei casi in cui la conclus ione è un 'a s serz ione ge-nerale . Infat t i l ' accet taz ione di una p r o p o s i z i o n e genera le non necessar ia c o m e stabi l i ta è la stessa cosa de l l ' acce t taz ione del la genera le correttezza di una c lasse di par t i co lar i b ran i di ragio-namento da p remes se a conclus ioni che esse non e s i g o n o : esatta-mente come l 'accettazione di una certa a s serz ione genera le come necessar ia è l ' accettazione de l la va l id i tà di una c las se di part ico-lari inferenze dedutt ive .

2 . Vogl io ora at t i rare l 'a t tenzione su certe u l ter ior i d i f ferenze fra r ag ionamento indutt ivo e dedutt ivo . A questo s copo , ho bi-sogno di una p a r o l a genera l e p e r la re laz ione f ra i fondament i per una conclus ione indutt iva e la conclus ione s tessa . La so la cosa che ho detto f inora circa ta le re laz ione è che non si tratta di que l l a di impl i canza . D i c i a m o che in u n ' a r g o m e n t a z i o n e indutt iva i fon-dament i s u f f r a g a n o la c o n c l u s i o n e ; e p a r l i a m o , anz iché del le pre-messe di un a rgomento indutt ivo , de l l ' ev idenza per una conclu-sione indutt iva . S ' è visto testé, a l l ' in iz io d e l l ' u l t i m a sez ione , che le premesse di un a rgomento dedutt ivo o es igono la conclus ione o non la e s igono. Esse non possono es iger la p iù o m e n o ; non ci può essere ques t ione di gradi di i m p l i c a n z a . Ma ci p u ò essere , e

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c'è. una quest ione di grad i di su f f rag io o c o m p r o v a ; ci può essere , e c"è. mig l iore o pegg ior ev idenza per conclus ioni indutt ive. Si s u p p o n g a qu ind i che p\ — p„ s i ano asserzioni che s u f f r a g a n o l'as-serzione che q. Si cons ider ino , a l lora , i gradi di su f f r ag io distinti da l l inguaggio c o m u n e : p\ — p„ possono rendere certo che q, pos-sono rendere virtualmente certo clic q, pos sono rendere altamente probabile o assai probabile o assai verosimile c h e q, possono darc i (¡¡talché probabilità clic q. O p p u r e , in termini ili ' evidenza ": esse possono cost i tuire evidenza probante o conclusiva per q. o evi-denza chiara o buona, o sol tanto qualche ev idenza , debole evi-denza . S imi lmente , esse posson essere ragioni o fondament i con-clusivi . buoni , debol i o poveri per r i tenere che q. È impor tante notare clic dove pos s i amo p a r l a r e di ev idenza p r o b a n t e o conclu-siva per q. di pi — pn che rendono certo che q, là po s s i amo anche p a r l a r e di provare, stabilire o mettere fuor di dubbio che q, quan-tunque , g iacché gli a rgoment i sono indutt ivi , non si produca come fondamento nulla che esiga q. Infatti non e ques t ione ili su f f rag io o comprova clic genera lmente non g iunga fino a l l ' i m p l i c a n z a . l'ini-pl icanza cost i tuendo la per fez ione ilei sostegno stesso. Ques t a non è la vincitrice nella corsa , r i spetto al la q u a l e la c o m u n e evidenza faccia un po ' s e m p r e la par te del secondo arr iva to o di quel l i p iù indietro ancora . La per fez ione ilei su f f r ag io si es tr inseca in prova , ma non in prova d e d u t t i v a ; il suo idea le è l ' ev idenza conclus iva .

A b b i a m o a l lora un m o d o di r iconoscere q u a n d o i l suf f rag io per una conclusione indutt iva e meno clic p robante , ed è l 'uso del le pa ro le ' p robab i l e ', ' p robab i l i t à ' p r o b a b i l m e n t e '. Ques te pa-role sono la fonte e il soggetto di mol te confus ion i . Una di queste, da menzionars i al f ine di non r ipe ter la , e m e r g e nel l 'asserzione, fatta talvolta, che le conclusioni di a rgomentaz ion i induttive sono. come tali, sol tanto p r o b a b i l i , forse mol to , mol to probab i l i , ma mai certe, g iacché non sono conseguenze log icamente necessarie «lei loro fondament i . Ciò s ignif ica f a re l ' errore di pensare ehe impl icanza e su f f rag io s iano compet i tor i nel lo stesso c a m p o . Ma

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. Su f f r a g io e p r o b a b i l i t à 307

ci sono a l t re c o n f u s i o n i , p i ù di f f ic i l i «la metters i in luce , di cui è r e s p o n s a b i l e i l f r a i n t e n d i m e n t o de l l e p a r o l e ' p r o b a b i l e ' , " pro-b a b i l m e n t e ' e ' p r o b a b i l i t à ' . O s s e r v i a m o «pieslc p a r o l e nel la loro f u n z i o n e di r i c o n o s c i m e n t o clic i l s u f f r a g i o per una c o n c l u s i o n e indut t iva è m e n o ebe ¡»robante .

U n o p s i c o a n a l i s t a p o t r e b b e cosi p r o n u n c i a r s i : ' S u l l a ba se d i u n ' e s p e r i e n z a c l in ica pro t ra t t a p e r un bel n u m e r o d i a n n i , s e m b r a ora pr<d>abilc cite un r e g i m e m o l l o costr i t t ivo nel p r i m o a l leva-mento i n f a n t i l e s ia segu i to s e m p r e «la aggre s s iv i t à ne l l a vita suc-cess iva ' . E s p r i m i a m o la g e n e r a l i z z a z i o n e «¡ni detta p r o b a b i l e nel la f o r m a breve ' T u t t i i cas i d i / ( r e g i m e c«istrittivo nel la p r i m a i n f a n z i a ) sono cas i di l i ( a g g r e s s i v i t à in leti)pi s u c c e s s i v i ) . Pos-s i a m o s u p p o r r e o m e s s e l e fras i q u a l i f i c a t i v e , s i da a v e r e s e m p l i -c e m e n t e :

( g l ) È p r o b a b i l e elle tutti i cas i di / s i a n o cas i di li.

Q u i una g e n e r a l i z z a z i o n e indutt iva è d i c h i a r a t a p r o b a b i l e . S i con-s ider i o ra co inè l ' a s serto possa e s sere a p p l i c a l o a un ca so part i -c o l a r e . Q u a l c u n o p o t r e b b e « l i re : ' I l r e g i m e cui ν s t a ta so t topos ta ne l la p r i m a in fanz i a è d a v v e r o nudto cos t r i t t ivo , s i c c h é la ragazza p r o b a b i l m e n t e s v i l u p p e r à t endenze a g g r e s s i v e ne l l a vita succes-s iva ' . Q u e s t o p o s s i a m o sc r iver lo b r e v e m e n t e cos i

( s i ) fa. s i c ché p r o b a b i l m e n t e ha.

Q u i la p a r o l a ' p r o b a b i l m e n t e ' r i conosce c h e fa s u f f r a g a ha in m o d o m e n o c h e conc lus ivo . C h i a m i a m o suffragio incompleto i l s u f f r a g i o m e n o c h e conc lus ivo . A l l o r a r i conoscere , in (.<1 ) . c h e fa s u f f r a g a i n c o m p l e t a m e n t e ha s igni f ica r i conoscere i n d i r e t t a m e n t e l ' i n c o m p l e l e z z a del s u f f r a g i o a sos tegno de l l a p r o p o s i z i o n e uni-ver sa l e che tutti i casi di / sono cas i di h.

S i confront i ora l 'u so d i ' p r o b a b i l m e n t e ' in ( s i ) con i l suo uso nei cas i s e g u e n t i :

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( s 2 ) Egl i ha v iagg ia to cont inuamente p e r sette ore , s icché p r o b a b i l m e n t e e s tanco.

( s 3 ) S tanot te c 'è nebb ia , s icché i l treno p r o b a b i l m e n t e avrà r i tardo .

Se q u a l c u n o s i mos t ra s se poco convinto de l l a ( s 2 ) o de l l a ( s 3 ) ( " N o n vedo perché c iò d o v r e b b e s t a n c a r l o ' ) , i l p r i m o par l ante p o t r e b b e r inca lzar le con

( g2 ) Be ' , le per sone genera lmente sono s tanche d o p o aver v iaggiato p e r sette ore ( o p p u r e )

Gran par te de l l a gente è s tanca d o p o sette ore di v iagg io , lo s ape te bene .

( g 3 ) G e n e r a l m e n t e i treni hanno r i tardo q u a n d o c 'è nebbia .

Ciò che ora d o b b i a m o conf ronta re sono le re laz ioni f r a ( s i ) e ( g l ) con le re laz ioni fra ( s 2 ) e ( g 2 ) , e f ra ( s 3 ) e ( g 3 ) . Gli enun-ciati s ingolar i (.v2) c ( s 3 ) a s s o m i g l i a n o a l l ' enunc ia to s ingo lare (.si ) in (pianto essi sono tulli del mode l lo ' p, s icché p r o b a b i l m e n t e q \ In tutti e tre l 'uso di ' p r o b a b i l m e n t e ' r iconosce l ' incomple-tezza del su f f r ag io che l ' a s serz ione precedente il ' s icché ' ( l ' a s ser-zione che p ) forni sce a l l ' a s serz ione che segue i l ' s i c c h é ' ( l ' a s-serz ione che q ) . In ( s i ) r iconoscere questo è a n c h e r iconoscere l ' incompletezza del su f f r ag io per la genera l i zzaz ione universa le che tutti i casi di / sono casi di A. Ma in ( s 2 ) ed ( s 3 ) , r iconoscere l ' incompletezza del su f f r ag io dato da l l ' a s se rz ione che ρ a l l 'asser-zione che q non è r iconoscere l ' incomple tezza del su f f rag io per una propos iz ione univer sa le . P o s s i a m o c o n s i d e r a r e c o m e f u o r d i ques t ione che la gente è ordinariamente s tanca d o p o aver viag-giato per sette ore e che i treni di solito h a n n o r i tardo q u a n d o c'è nebb ia . Se è cos i , c iò clic i l nostro uso di ' p r o b a b i l m e n t e ' indiret tamente r iconosce in quest i casi non è l ' incomple tezza del su f f rag io per una p r o p o s i z i o n e universa le , ma i l fatto che la ge-nera l izzaz ione non è essa stessa una genera l i zzaz ione universa le ,

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Sul?rugió e p r o b a b i l i t à 309

bensì lina genera l i zzaz ione p r o p o r z i o n a l e . E s s a non ilice ' tutti m a ' g r a n p a r t e ' , non ilice ' s e m p r e ' , m a ' g e n e r a l m e n t e ' . T a l i asserzioni son riette q u a l c h e volta genera l izzaz ioni ili f r equenza r e l a t i v a : ( g 2 ) , p e r e s e m p i o , asser isce che l a f r equenza re la t iva , fra gente che a b b i a v iaggiato per sette ore di segui to , di persone clic s i ano s tanche, è molto a l ta . In questo caso la f r equenza rela-tiva e solo v a g a m e n t e ind ica ta , ma essa p u ò venir d a t a , con piti precis ione, m e d i a n t e un r a p p o r t o numer ico .

In tal m o d o ' p r o b a b i l m e n t e ' , mentre può dirs i che ha la stessa funz ione in ( s 2 ) e ( s 3 ) come in ( s i ) . a ques ta funz ione tut-tavia perv iene in modi d i f ferent i . La funz ione e la stessa in quanto esso r iconosce l ' incompletezza del su f f r ag io forni to dal-l 'asserzione ρ a l l ' a s serz ione q. Ed è la stessa anche in quanto , pur con questo r i conosc imento , r ivendica tuttavia al s u f f r a g i o una di-screta p r o b a n z a . L 'accet taz ione d i ( s i ) e que l l a d i ( s 2 ) hanno effetti para l l e l i su l le nostre az ion i . Se nella nostra scuo la vog l i amo solo gente non aggres s iva , d i a m o scarso peso ai titoli per esservi ammessa che può presentare la persona di cui è s tato detto ( s i ) , ina non la e s c l u d i a m o senz 'a l tro . Se vog l i amo solo per sone f resche di forze per la sped iz ione che sta per cominc i a re , f a c c i a m o poco conto de l le prof fer te del la per sona di cui è detto ( * 2 ) , p u r senza esc luder la a p r ior i . La rag ione per cui i c and ida t i r i spe t t ivamente al la scuola ed a l la sped iz ione non vengono esclusi senz 'a l t ro è che c iascuno p u ò essere un'eccezione ad una regola genera le . Ma le ragioni per cui c iascuno p u ò r ivelars i come una s i f fat ta eccezione sono di f ferent i . Ne l p r imo caso la genera l i zzaz ione r i levante ( p e r quanto u n i v e r s a l e ) fu detta so l tanto p r o b a b i l e e può perc iò rive-larsi f a l sa , avere c ioè del le eccezioni , ili cui i l c a n d i d a t o p u ò es-sere una . Nel secondo caso la genera l i zzaz ione r i levante ( s e b b e n e la sua veri tà non sia messa in q u e s t i o n e ) non è una general izza-zione universa le , e perciò a m m e t t e eccezioni , de l le qua l i i l candi-dato potrebbe essere una .

Per r i a s s u m e r e in modo piuttosto c r u d o : noi u s i a m o la p a r o l a

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" p r o b a b i l m e n t e * in un caso perché c 'è su f f r ag io incomple to p e r una genera l i zzaz ione * comple t a ' , ne l l ' a l t ro caso perché c'è suf-f rag io c o m p l e t o per una genera l i zzaz ione ' i n c o m p l e t a ' . Natura l -mente, p o t r e m m o usa r l a anche (piando c i fosse su f f r ag io incom-pleto per una genera l i zzaz ione incomple ta .

Non deve s u p p o r s i che ogniqua lvo l ta p r o f e r i a m o un enuncia to s ingo lare de l la f o r m a ' ρ s icché p r o b a b i l m e n t e q ' , po s s i amo sem-pre puntare p r o p r i o ad una sola genera l i zzaz ione , co mple t a o incomple ta , cosi s e m p l i c e m e n t e in r a p p o r t o con i l nostro argo-mento c o m e ( g 2 ) lo c con ( s 2 ) , o c o m e la genera l i zzaz ione di-ch iara ta p r o b a b i l e in ( g l ) lo e a ( > 1 ) . C iò non r i s p o n d e r e b b e a d a t t o a ver i tà . B a s t a il fatto che i cas i s e m p l i c i es i s tono, e cl ic , se l i c o m p r e n d i a m o , t roveremo piti fac i le c o m p r e n d e r e quel l i p iù c o m p l e s s i .

3 . Una genera l i zzaz ione che s ia incomple ta nel senso s o p r a speci f icato ( c i o è , clic abb ia la forma ' Gran par te dei casi di / sono casi di g ' ) , può essere più o meno incomple ta . C iò equ iva l e a d ire clic i l r a p p o r t o fra i casi / . g e i casi / . clic viene a f f e rmato in una tale genera l i zzaz ione , può essere p iù o meno alto. P e r indicare ques to r a p p o r t o con q u a l c h e prec i s ione d o b b i a m o f a r r icorso a l l e c i f re , in f o r m a di f raz ioni o percentua l i . S i cché scri-v i a m o * 70°/o degl i /-casi sono g-casi ' o p p u r e ' Il r appor to fra gli / . g-casi e gli /-casi è 78/1(10 ' '. Dove l 'uso che f a c c i a m o del la pa-rola ' p r o b a b i l e ' o dei suoi affini riflette l ' incompletezza di una genera l i zzaz ione , esso tende a rif lettere a n c h e il grm/o di incom-pletezza del la genera l i zzaz ione . P a r l i a m o di g rad i d i p robab i l i t à

' P o r c h e non d i r e ' i l r a p p o r t o f r a g-casi od /-oasi è 7 8 / 1 0 0 " ? Un e s e m p i o r e n d e r à oh ia ra la r i s p o s t a . * 7 su 10 h a m h i n i so t to i d o d i r i ann i h a n n o un q u o z i e n t e d ' i n t e l l i g e n z a i n f e r i o r e a 1 0 0 ' non s i g n i f i c a ' I l r a p p o r t o f ra i l n u m e r o di persone eon un q u o z i e n t e d ' i n t e l l i g e n z a i n f e r i o r e a 100 e i l n u m e r o dei h a m h i n i so t to i d o d i c i anni e di 7 a 1 0 " ; s i gn i f i ca invece ' I l r a p p o r t o f ra il numero ilei bambini sotto i ιlodici anni con un q u o z i e n t e d ' i n t e l l i g e n z a i n f e r i o r e a 100 e il n u m e r o de i h a m h i n i s o t t o i d o d i c i anni è di 7 a 1 0 ' .

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. S u f f r a g i o e p robab i l i t à 311

e l i e s p r i m i a m o n u m e r i c a m e n t e : p o s s i a m o d i re , per e s e m p i o . ' A m b e d u e i genitori b a n n o cape l l i b iond i , s i cché la p robab i l i t à che i l loro b a m b i n o a b b i a cape l l i b iondi è x / y \ C iò f a s p e r a r e e b e il d i re che qua lcosa sia g. dato che è / ( p .c . , che un b a m b i n o a b b i a cape l l i b iondi , dato clic ha genitori con cape l l i b i o n d i ) s ia s p i e g a b i l e s e m p l i c e m e n t e come un ' enunc iaz ione del r appor to fra le cose / . g e le cose / ( p . e . , il r a p p o r t o f r a i b a m b i n i aventi cape l l i b iondi e genitor i con cape l l i b iondi e i b a m b i n i aventi genitori con i cape l l i b i o n d i ) . F i n o a ques to punto , l ' interpreta-zione è corret ta . È corretto infatt i , anche se pedante , r i e spr imere la genera l i zzaz ione 1 .r f ra y b ambin i con genitor i da i cape l l i b iondi b a n n o capel l i b iondi ' nel la f o r m a * La p r o b a b i l i t à clic un b a m b i n o con genitori dai cape l l i b iondi a b b i a cape l l i b iondi è . r / y ' ; e per converso la pa ro l a " p r o b a b i l i t à ' in ques t 'uso , p u ò venir e l i m i n a t a in f avore di un 'a s serz ione di f r equenze relat ive . Ma alcuni sono stati incoraggiat i ad a n d a r oltre e a sugger i re che una s p i e g a z i o n e in termini di r appor t i f ra f r e q u e n z e relat ive p u ò darc i un comple to ch i a r imento del la nozione di p r o b a b i l i t à e , ins ieme, de l la nozione di su f f rag io , g iacché la va r i az ione nel g rado di su f f rag io può venir e spres sa con l ' impiego de l la p a r o l a ' proba-bile ' e di p a r o l e affini . Q u e s t o è ovv iamente scorretto . So lo se i rapport i f ra le f requenze osservate o f f r i s sero dec i so suffragio a sostegno de l la genera l i zzaz ione che i l r a p p o r t o fra i casi / . g e i casi / fosse x / y , s a r e m m o giustif icati nel d i re , d i un nuovo caso , come nel nostro e s e m p i o , ' A m b e d u e i genitori hanno i capel-l i b iondi , s icché la p r o b a b i l i t à che i l loro b a m b i n o a b b i a cape l l i b iondi è x / y \ La f r e q u e n z a relat iva osservata sp i ega i l grado di suffragio ehe ' A m b e d u e i genitori b a n n o i c a p e l l i b iondi ' for-nisce a ' I l loro b a m b i n o avrà cape l l i b i o n d i ' ; ma ciò soltanto a s s u m e n d o che la genera l i zzaz ione del r a p p o r t o x / y d i l à dai casi osservati è essa stessa adeguatamente suffragata da l l ' ev idenza dei casi osservat i . Cosi questo secondo e f o n d a m e n t a l e senso di " suf-f r ag io ' non p u ò esso stesso venir sp i ega to in termini «li f r equenze

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312 R a g i o n a m e n t o indutt ivo

relat ive e in effetti non può venir af fat to e spres so in termini nu-meric i : p u ò solo venir carat ter izzato tla e spress ioni c o m e ' forte ' , • adeguato ', ' d e b o l e ' e cosi v ia .

Si tratta invero di un punto molto ovvio. Se r i torn iamo al nostro precedente e s e m p i o de l la f o r m a ' ρ s icché p r o b a b i l m e n t e q ' ( p.e. , ' Eg l i lia v iagg ia to cont inuamente per sette ore , s icché p r o b a b i l m e n t e è s t a n c o ' ) , è ovvio che la forza del su f f rag io che l ' a s serz ione ρ fo rn i sce a l l ' a s serz ione q è il prodot to di d u e f a t t o r i : p r i m o , i l g r ado di comple tezza de l la sogg iacente g e n e r a l i z z a z i o n e ; secondo, i l gratto ili comple tezza del su f f rag io per la general izza-zione stessa . Il p r i m o è ques t ione ili f r e q u e n z e r e l a t i v e ; i l secondo no. L ' a s s i m i l a z i o n e del secondo al p r i m o e forse incoragg ia ta dal fatto che la forza tlel su f f r ag io che una s ingola asserz ione dà ad un 'a l t ra è una funz ione ili a m b e d u e .

4. C 'è un 'a l t ra c la s se ili p ropos i z ion i in cui assegnati lo pro-babi l i tà n u m e r i c h e atl asserzioni s ingo lar i , ma a p p a r e n t e m e n t e non sul la ba se ili genera l izzaz ioni s tat i s t iche. Esse possono, tutta-via , por ta re a confus ioni s imi l i a (pielle testé discusso. Λ qual-cuno che stia per « t ag l iare » un mazzo ili car te p o t r e m m o d i re clic le p r o b a b i l i t à elio egli lia di a l z a r e un asso o una figura sono 4 / 1 3 . A q u a l c u n o che stia per gettare un d a d o p o t r e m m o dire che la p r o b a b i l i t à m a t e m a t i c a ili f a re sei è 1 / 6 . L ' ing lese , il f r ancese usano in quest i casi piuttosto i l t e rmine ' c h a n c e s * che ' p r o b a b i -l i t i e s ' o ' p r o b a b i l i t é s ' ; tuttavia t r a l a s c i amo questo spunto . Q u i pot rebbe s e m b r a r e che noi s i s ia messi in g r a d o ili a s segnare una p robab i l i t à a un 'a s serz ione e f fe t tuando nient 'a l t ro clic un piccolo ca lcolo a r i tmet ico . La p r i m a as serz ione ili p r o b a b i l i t à s e m b r a de-dotta per i m p l i c a n z a da l l ' a s se rz ione , clic p o s s i a m o ver i f icare se-duta stante con un s e m p l i c e conteggio , clic ci sono c i n q u a n l a d u e car te nel mazzo e che di esse sedic i sono figure o a s s i ; la seconda asserz ione d i p r o b a b i l i t à s e m b r a anch 'es sa dedotta da l l ' a s serz ione , tdie p o s s i a m o s i m i l m e n t e ver i f icare seduta s tante , clic il d a d o è

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.Suf f r ag io e p robab i l i t à 313

un cubo , una faccia del q u a l e ed una sol tanto è segnata con sci punt i . S i cché in c iascun caso s e m b r a che s i effettui un pas sagg io indutt ivo ( l a conclus ione non è forse e spres sa nel l inguagg io del la p r o b a b i l i t à ? ) , e tuttavia un pa s sagg io la cui correttezza non di-p e n d a da nu l l a d i p i ù p r o b l e m a t i c o de l l a s e m p l i c e ar i tmet ica . Q u e s t i casi hanno eserci tato un indebi to fasc ino su a lcuni logici impegnat i a ch ia r i re la natura del r a g i o n a m e n t o indutt ivo . Se si potesse d i m o s t r a r e che tutte le p r o b a b i l i t à sono f o n d a m e n t a l m e n t e s imi l i a queste , a l lora a tutti co loro che sono (issati sul mode l lo dedutt ivo c o m e propr io di tutto i l r ag ionare , s i s c h i u d e r e b b e qual-che s p e r a n z a d i a f f e rmaz ione . S e m b r e r e b b e infatt i pos s ib i le mo-s trare clic T induz ione non è già un genere s p e c i a l e ( c i o è non d e d u t t i v o ) di r ag ionamento s foc iante in conclus ioni che le loro p remes se non es igono, bensì r a g i o n a m e n t o o r d i n a r i o ( c i o è dedut-t ivo ) s foc iante in conclus ioni clic sono deduc ib i l i da l l e loro pre-messe , ma che sono conclus ioni di un genere s p e c i a l e , c ioè as-serzioni di p robab i l i t à n u m e r i c h e o quas i -nuincr ichc . Q u e s t a speranza d i in terpre tare l ' induz ione c o m e un t ipo d i ca lco lo , una branca spec i a l e del la sc ienza dedutt iva de l l ' a r i tmet i ca , è i l lusor ia . P o s s i a m o concedere che i l pa s s agg io da l l ' a s se rz ione che l 'oggetto clic è di f ronte a noi è un cubo di cui so l tanto una facc ia è se-gnata con sci punti a l l ' a s serz ione che la p r o b a b i l i t à di f a r sei è 1 / 6 , è un pas sagg io indutt ivo. Ma il fatto che l 'oggetto è un cubo non forni sce nessuna garanz ia logica de l la ver i tà del l 'asser-zione che ci sono esat tamente sei modi poss ib i l i in cui p u ò gia-cere q u a n d o c a d e . Non c 'è niente di auto-contraddi t tor io nel d i re che q u a n d o i l cubo tocca i l pav imento e s p l o d e r à , s i d i s integrerà o f o n d e r à . Per s ino l ' a s serz ione clic ci sono e sa t tamente sei modi poss ib i l i in cui può g iacere q u a n d o tocca il p a v i m e n t o , e che la pos iz ione in cui il sei sta di s o p r a è uno di quest i , non es ige l'as-serz ione che la p robab i l i t à clic il sei venga in alto è di 1 / 6 . Que-st 'a s serz ione d i scende per i m p l i c a n z a da n ientemeno che l 'asser-zione che i sei poss ib i l i modi in cui i l d a d o p u ò g iacere sono

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3 1 4 R a g i o n a m e n t o i n d u t t i v o

eguulmenle p r o b a b i l i o , c o m e s i d i c e t a lvo l t a , e g u a l m e n t e p o s s i · b i l i . E c iò s a r à vero so lo se i l c u b o è un c o r p o di un cer to g e n e r e : ili un genere , p r e c i s a m e n t e , p e r cui s ia vero e b e i l n u m e r o di volte e b e le d i f f e rent i super f i c i d i c o r p i d i que l genere v e n g o n o a t rovars i vol te in a l to in succes s ive get tate t ende a l i e g u a g l i a n z a col c re scere del n u m e r o »Ielle get tate . I / a s s e r z i o n e cl ic p e r i l d a d o c i sono sci m o d i e g u a l m e n t e pos s ib i l i d i c a d e r e è u n a c o n c l u s i o n e indutt iva tratta da dat i g ià pos sedut i a l l ' i n i z i o ; m a , s e b b e n e pos sa e s sere a d e g u a t a m e n t e s u f f r a g a l a da ques t i da t i , e s sa non ne con-segue per m e z z o di un ca l co lo m a t e m a t i c o . L ' i n d u z i o n e è g ià fat ta p r i m a clic i l c a l c o l o c o m i n c i . I l c a l c o l o de l l e ' c b a n c e s ' , nonché e s a u r i r e l ' in tero p r o c e s s o indut t ivo , non è n e p p u r e u n a s p e c i e di i n d u z i o n e . O i dat i de l c a l c o l o s o n o essi stessi le con-c lus ioni di i n d u z i o n i o l ' i n d u z i o n e non entra p e r n iente nel q u a d r o .

N a t u r a l m e n t e , noi d i fatto i n c o r p o r i a m o le i m p o r t a n t i p re sup-pos iz ion i c i rca l ' e g u a g l i a n z a de l l e " c h a n c e s * nel s enso che d i a m o a l l ' e s p r e s s i o n e ' d a d o g e n u i n o ' : co s i cché i l p a s s a g g i o d a ' Q u e s t o è un d a d o g e n u i n o ' a ' La vostra p r o b a b i l i t à di f a r sei è 1 / 6 ' è un p a s s a g g i o p u r a m e n t e d e d u t t i v o . Μ a ques to fatto non e del mi-n i m o a iu to a chi d e s i d e r i s p i e g a r e i g r a d i di s u f f r a g i o indutt ivo i n te rmini d i ' c h a n c e s ' a r i t m e t i c a m e n t e c a l c o l a b i l i . E s s o m o s t r a so l tanto c h e certi p a s s a g g i che noi p o t r e m m o es ser tentati d i con-s i d e r a r e indut t iv i , g i a c c h é le loro c o n c l u s i o n i contengono la pa-rola ' p r o b a b i l i t à ' , non sono indutt iv i a f f a t to .

5 . La n o z i o n e di c o m p r o v a indut t iva o s u f f r a g i o e , con e s s a , q u e l l a d i g r a d o d i p r o b a b i l i t à , non p u ò a l l o r a ven i r s p i e g a t a u n i c a m e n t e in t e rmin i di f r e q u e n z e re la t ive o di ' c h a n c e s ' nu-m e r i c h e . ΛΙ c o n t r a r i o , la r i l evanza dei r a p p o r t i di ' c h a n c e ' e f r e q u e n z a p e r le nos t re p r a t i c h e d e t e r m i n a z i o n i di certezze e pro-b a b i l i t à p r e s u p p o n e l ' e s i s tenza d i una sor ta d i s u f f r a g i o che non p u ò esso s tesso ven i r a n a l i z z a t o in ques t i t e r m i n i . La loro rile-vanza d i p e n d e infat t i d a l l ' a v e r e noi o m e n o cer te c r e d e n z e gene-

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S u f f r a g i o e p r o b a b i l i t à

rali e b e p o s s o n o esse s l e s se e s se r f o n d a t e m e g l i o o p e g g i o , e s ser bene o s c a r s a m e n t e s u f f r a g a t e . È p e r c h é noi p o s s e d i a m o , ad e s e m p i o , u n a c redenza g e n e r a l e che u n a certa p r o p o r z i o n e d i A è B . che p r e n d i a m o in conto q u e s t a p r o p o r z i o n e n e l l o s t i m a r e l a p r o b a b i l i t à cl ic una cosa p a r t i c o l a r e s ia B . È a l l a luce d i u n a c redenza g e n e r a l e , q u a l e q u e l l a che cer te ' c h a n c e s * sono e g u a l i , che p r e n d i a m o in c o n s i d e r a z i o n e i l r a p p o r t o m a t e m a t i c o f r a i ca s i de s idera t i e i cas i p o s s i b i l i nel v a l u t a r e la p r o b a b i l i t à di un evento del genere d e s i d e r a t o . Le c r e d e n z e g e n e r a l i d i q u e s t a sor ta , e b e cos t i tu i scono le p r e c o n d i z i o n i d i p a r t i c o l a r i s t i m e d i proba-b i l i t à , non h a n n o b i sogno , tu t tav ia , d i ven i r e s p l i c i t a m e n t e for-m u l a t e , p i ù d i que l c h e abb imi b i sogno d i e s s e r e e s p l i c i t a m e n t e f o r m u l a t i i p r i n c i p i d i p a r t i c o l a r i b ran i d i r a g i o n a m e n t o dedut t ivo clic noi e f f e t t u i a m o q u a s i senza averne c o n s a p e v o l e z z a . La fo rma-z ione d i u n a c redenza g e n e r a l e p u ò e s se re pili s i m i l e a q u e l l a d i un ab i to m e n t a l e che a l r a g g i u n g i m e n t o d i u n a c o n c l u s i o n e ragio-nata . M a . c o m u n q u e a u n a c r e d e n z a g e n e r a l e s i p o s s a e s ser g iunt i , avrà s e m p r e un senso c h i e d e r e d i q u a l e fo rza s i a l ' e v i d e n z a che l a sos t iene , c i o è se è bene o m a l s u f f r a g a t a .

È ques to senso f o n d a m e n t a l e d i ' s u f f r a g i o ' c h e deve , q u i n d i , veni r e s a m i n a t o . C o m e f a c c i a m o a d i r e se l ' e v i d e n z a è b u o n a o ca t t iva , for te o d e b o l e , conc lu s iva o incer ta , m i g l i o r e o p e g g i o r e ? Q u e s t a p u ò s e m b r a r e u n a ques t ione di f f ic i le . Ma va r i levato i l genere di d i f f icol tà che p r e s e n t a . G i u d i c i e s tor ic i , detect ives , bio-logi , e tutti noi q u o t i d i a n a m e n t e , s t a b i l i a m o la q u a l i t à del l 'evi-denza d i cui d i s p o n i a m o p e r l e nos tre c o n c l u s i o n i , f o r m u l i a m o g iud iz i di p r o b a b i l i t à r e l a t iva . C h i è a b i l e lo fa m e g l i o di chi è s t u p i d o . Ma non è una m a t e r i a cosi d i f f ìc i le c h e q u a l c u n o di noi non lo pos sa f a r e per n u l l a . N o n è u n ' a b i l i t à s p e c i a l i z z a t a . La dif-ficoltà che d o b b i a m o a f f r o n t a r e non è q u e l l a d i f a r l o , ma q u e l l a d i de sc r ivere c iò che f a c c i a m o .

L a q u e s t i o n e , a l l o r a , v a pos t a c o s i : c h e cosa i n t e n d i a m o q u a n d o , d i una g e n e r a l i z z a z i o n e non n e c e s s a r i a - a s se rente , p e r

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316 R a g i o n a m e n t o indutt ivo

e s e m p i o , ehe tutti (o m o l t i s s i m i ) A sono Β - d i c i a m o che è hen s tab i l i t a , o p iù o m e n o for temente su f f r aga ta d a l l ' e v i d e n z a ? Ora , in effett i , un fa t tore di e n o r m e i m p o r t a n z a nel la va lutaz ione del-l ' ev idenza a sostegno di una tale genera l i zzaz ione è la sua rela-zione con il c o r p o genera le di conoscenze c credenze in nostro p o s s e s s o : si tratta di vedere come essa si accordi con tutto i l resto de l le nostre convinzioni general i di huon senso e con le teorie sc ienti f iche accettate . L ' i m p o r t a n z a di ques to fat tore d i p e n d e ov-v iamente da l g r a d o in cui le c redenze r i levanti per i l caso spe-cifico f o r m a n o una s truttura c o m p l e s s a s t re t tamente connessa . S i cché esso ha la m a s s i m a impor tanza nel c a m p o del la teoria f i -s ica , ha u n ' i m p o r t a n z a m i n i m a q u a n d o a b b i a m o a che f a re con conger ie non organizza te d i c redenze grezze da l l e qua l i s i a m o guidat i nel le nostre non spec ia l i zza te t ransaz ioni con i l m o n d o . In genera le , tut tavia , la sua impor tanza è cos i g r a n d e clic trascu-rar la s a r e b b e in prat ica a s surdo . Ma non è meno a s surdo r i f iutare di a s t rarre da esso in questa indag ine teoret ica . Una general izza-zione p o t r e b b e accordars i bene «pianto vi p iacc ia con q u a l c h e p iù a m p i o c o r p o di c redenze , e tuttavia tanto essa che la teoria gene-ra le p o t r e b b e r o esser fa l se . La c o m p r o v a u l t ima d i una genera-l izzaz ione clic si a p p l i c a d i re t tamente a casi par t ico lar i e da tro-varsi nei casi par t ico lar i ai qual i s i a p p l i c a .

Avendo fatto a s t raz ione in tale m i s u r a da l l e cons ideraz ioni di cui in rea l tà f a c c i a m o conto nel d e t e r m i n a r e l 'ev idenza a sostegno di una genera l i zzaz ione , p o s s i a m o d a r e a l l a nostra «piestionc una r i sposta mol to s e m p l i c e . Ed è «piesta : l ' ev idenza p e r una genera-l izzaz ione asserente che tutti gli A sono Β è buona ( 1 ) in propor-zione al n u m e r o di osservazioni di casi di A che sono B, e ( 2 ) in p r o p o r z i o n e a l l a var ietà de l le condiz ioni in cui i casi osservati si p re sentavano ( a m m e s s o s e m p r e che non s i s ia trovato nessun caso di A che non s ia B, g iacché un tal caso s a r e b b e suff iciente, natu-ra lmente , a r e f u t a r e la genera l i zzaz ione , se «piesta fosse da inter-pre ta re r i g o r o s a m e n t e ) . L e condiz ioni ( 1 ) e ( 2 ) sono comune-

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. S u f f r a g i o e p r o b a b i l i t à 317

mente messe in contrasto Ira l o r o : i l m e r o a c c u m u l o di cas i favorevol i al la genera l i zzaz ione è c h i a m a t o ' e n u m e r a z i o n e sem-pl ice e Γ ' induzione per e n u m e r a z i o n e s e m p l i c e ' è cons idera ta una f o r m a d i a rgomentaz ione re l a t ivamente debo le . Ma questo contrasto , pur avendo una sua i m p o r t a n z a , p u ò f u o r v i a r e . Se tutti i casi osservati di Λ avessero in c o m u n e non solo A e B, ma anche una terza carat ter i s t ica C , a l lora l ' a s sunz ione che la ( 1 ) era l a sola condiz ione r i levante por te rebbe a l la conclus ione che noi a v e v a m o a nostra d i spos iz ione un 'ev idenza e g u a l m e n t e forte per le due genera l izzaz ioni non equ iva lent i , c ioc * Tut t i gli A sono Β ' e ' Tutt i gli AC sono Β '. La p r i m a di ques te es ige la s econda , ma non va le il converso : la verità di * Tut t i gli AC sono Β ' è con-gruente con la fa l s i tà di asserz ioni c o m e ' Tut t i gli AD sono Β ' , e perc iò con la fa l s i tà di ' Tutt i gli A sono Β '. Cosi l 'evidenza che su f f r aga in un certo grado la pretesa che tutti gli AC s iano B, suf-f raga in un grado m i n o r e la p iù a m p i a pretesa che tutti gli A s i ano B. Q u e s t o è il punto del contras to , la r ag ione p e r cui è ri-chiesta l a condiz ione ( 2 ) . Ma tale es igenza non i m p l i c a l 'esistenza di due generi di r a g i o n a m e n t o indutt ivo in f o n d a m e n t a l e con-trasto. S i s u p p o n g a di f o r m u l a r e una genera l i zzaz ione di p iù alto o rd ine asserente che tutte le genera l i zzaz ioni de l la f o r m a ' T u t t i gli A . . . sono Β ' ( p e r e s e m p i o , ' Tut t i gli AC sono Β ', * Tut t i gli AD sono Β ' , ecc . ) sono vere . A l lo ra la verità di ' Tut t i gli AC sono Β ' cost i tuisce un caso favorevole p e r ques ta genera l i zzaz ione , la verità di ' Tutti gli AD sono Β ' cost i tuisce un a l tro caso favore-vole, e cosi via . P e r la condiz ione ( 1 ) , q u a n t o p iù g r a n d e è i l n u m e r o di tali genera l izzaz ioni clic si r iesca a s tab i l i re , tanto mig l io re è l 'evidenza per la genera l i zzaz ione di p iù a l lo ord ine . Ma la genera l i zzaz ione di piti a l to ord ine e la genera l i zzaz ione or ig inar i a ( ' T u t t i gli A sono Β ' ) h a n n o e sa t tamente l a s tessa forza , sono log icamente equ iva lent i . S i cché , se doves s imo consi-d e r a r e l e condiz ioni ( 1 ) e ( 2 ) coinè descr ivent i metodi contra-stanti d i induzione , a v r e m m o i l p a r a d o s s o che l ' a p p l i c a z i o n e del

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secondo metodo a l l a genera l i zzaz ione or ig inar i a s a r e b b e identico a l l ' a p p l i c a z i o n e del p r i m o metodo ad una genera l i zzaz ione equi-valente a que l l a o r i g i n a r i a . Q u e s t o d o v r e b b e insegnarci a consi-d e r a r e le condiz ioni ( 1 ) e ( 2 ) non c o m e descriventi metodi con-tras tant i , ma c o m e accentuat i fattori c o m p l e m e n t a r i ebe occorre p o n d e r a r e p e r d e t e r m i n a r e l 'ev idenza a sos tegno di una genera-l izzazione. L ' e s senz ia l e uni tà del processo con cui l ' ev idenza è ac-c u m u l a t a p o t r e b b e venir sottol ineata scr ivendo la genera l i zzaz ione non nel la f o r m a * Tutt i gli A sono Β ' , ma nel la f o r m a equiva lente d o p p i a m e n t e genera le ' In tutte le condiz ioni , tutti gli A sono Β '.

I l caso de l le genera l izzaz ioni p r o p o r z i o n a l i , in quanto dist inte da que l l e un iver sa l i , non presenta nessuna impor tante d i f ferenza d i p r i n c i p i o . As t raendo da i fattori da cui a b b i a m o deciso d i a s t rarre , l ' ev idenza che una certa p r o p o r z i o n e , p iù o meno esatta-mente spec i f i ca ta , di A, è B. var ia in forza con la var ietà dei generi di casi par t i co la r i in cui questa p r o p o r z i o n e si è trovata in atto, e con il n u m e r o ilei casi ili c iascun genere .

6. Devo ora sot to l ineare , con tutto il v igore pos s ib i le , che i due p a r a g r a f i p recedent i , q u a n t u n q u e d i cano qua lcosa d i fonda-menta le circa la natura de l l ' ev idenza a sostegno de l le credenze genera l i , non devono essere s cambia t i per una descr iz ione accura ta di q u a l c h e processo di inferenza indutt iva t ip ico e f a m i l i a r e . Per il fatto c h e p o s s i a m o , ad e s e m p i o , contare i casi par t ico lar i e per il fatto che la forza de l l ' ev idenza è posta in re laz ione al n u m e r o dei casi f avorevo l i , p o t r e m m o esser tentati d i pensare che po-t r e m m o d e t e r m i n a r e la forza de l l ' ev idenza a sostegno di una cre-denza genera l e con prec i s ione numer ica : o p o t r e m m o esser tentati d i p e n s a r e che ogni corvo nero che v e d i a m o d o v r e b b e fort i f icare in noi la convinz ione che tutti i corvi sono ner i . In rea l tà , non p o s s i a m o mai descr ivere la forza di un 'ev idenza p iù esa t tamente che con l 'uso di pa ro le sul genere di k d e b o l e *, ' buona ', ' conclu-s iva ' , ecc. ; è eccez ionale che una s ingo la istanza f avorevo le possa

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.Suf f r ag io e p r o b a b i l i t à 319

d e t e r m i n a r e d i f f e renza a lcuna ne l l a forza de l l a nostra convin-zione, e (piando una s ingo la istanza d e t e r m i n a una d i f ferenza , essa può portarc i d i re t tamente da l l ' i gnoranza a l l a certezza, c o m e q u a n d o , in l abora tor io , un fatto genera le è s tab i l i to con una sin-gola p r o v a . T a l i fatti sono in p a r t e sp i ega t i m e d i a n t e i fa t tor i , già menzionat i , dai qua l i a b b i a m o fatta a s t r a z i o n e : l a r i levanza del lo s f o n d o genera le di e sper i enza , p r e s u p p o s i z i o n i e teoria espli-c i t amente f o r m u l a l a , in r a p p o r t o a l q u a l e noi e f fe t tu iamo le no-stre valutazioni de l l ' ev idenza , tanto p e r una conclus ione genera le ebe par t i co lare . Q u e s t e presunzioni d i s f o n d o de te rmineranno , per non d i r a l t ro , d i qua l i var iaz ioni d i condiz ioni penseremo necessar io tener conto. D o b b i a m o r a m m e n t a r e , inoltre , l a g r a n d e comples s i t à dei modi in cui le c redenze di s f o n d o possono esser messe in r appor to con i p r o b l e m i in p r i m o p i a n o , e quante sono le c redenze genera l i ebe possono r ipercuoters i sul g iudiz io di p r o b a b i l i t à c irca un s ingo lo evento, e q u a n t o important i sono le ana log ie fra un caso ed un a l t ro , non meno clic le re lazioni stret-tamente dedutt ive fra credenze , e coinè sono re la t ivamente grezzi molti dei nostri modi di c las s i f icare i f e n o m e n i . T e n u t e presenti queste cose, non a p p a r i r à s o r p r e n d e n t e né i l fatto clic non pos-sano formular s i regole prec i se d i a p p l i c a z i o n e genera le per la va lutaz ione de l l ' ev idenza , né que l lo che non si d i s p o n g a di nes-sun prec i so v o c a b o l a r i o per la descr iz ione dei grad i di questa . Es i s tono a lcune tecniche d i l imi ta ta a p p l i c a z i o n e ( c o m e quel le per raccogl iere ed interpretare dat i s t a t i s t i c i ) , ma non esiste una tecnica genera le . Di un u o m o che c bravo nel s o p p e s a r e l 'evidenza negli a f f a r i o rd inar i de l la vita , d i c i a m o che ha g iudiz io . L 'u so di questa paro la molto genera le e non spec ia l i s t i ca è r ivelatore . Colu i che c b ravo nel s o p p e s a r e l ' ev idenza non ha a s s imi la to le i s truzioni per l 'uso di a lcune sca le p a r t i c o l a r m e n t e intricate . La sua e sper ienza dev 'es ser l a rga , ma egli non è , sa lvo che inciden-ta lmente , uno spec ia l i s t a .

D o b b i a m o r a m m e n t a r e , inoltre , clic la nostra va lutaz ione del-

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l ' ev idenza è un'at t ivi tà in t rapresa p r i m a r i a m e n t e non per suo pro-pr io conto, ma a l lo s copo di dec idere e ag i re p ra t i camente . I l nostro uso di p a r o l e per g r a d u a r e l 'ev idenza rif letterà in par te i l g r ado di p r e c a u z i o n e r ichiesto da l l ' a z ione che ci s i p r o p o n e . L ' ev idenza che i l n o r m a l e p u b b l i c o trova conclus iva può non sod-d i s f a re i l g iud ice .

I I .

La ' giustificazione ' dell' induzione

7. S ' è visto, d u n q u e , qua lco sa circa la natura del rag iona-mento indutt ivo , c ioè come mai un 'a s serz ione , o g r u p p o di asser-zioni , possa s u f f r a g a r e un 'a l t ra a s serz ione . A, che esse non es igono, con forza d i g r a d o v a r i a b i l e , che p u ò sp inger s i da l l a conclus iva evidenza a sos tegno di A fino ad ev idenza sol tanto es igua nella stessa d i rez ione , dal rendere A al tret tanto certa quanto le asser-zioni s u f f r a g a n t i , a l fo rn i r l e q u a l c h e d e b o l e p r o b a b i l i t à . A b b i a m o visto, inol tre , c o m e la ques t ione del g r a d o di su f f r ag io s ia com-pl icata d a l l a cons ideraz ione di f requenze relat ive e ' c h a n c e s ' n u m e r i c h e .

C 'è , tut tavia , una res idua ques t ione f i losof ica che entra cos i l a r g a m e n t e nel la t rat taz ione d e l l ' a r g o m e n t o cli 'è necessar io di-scuter la . E s s a p u ò venir so l levata , a l l ' ingros so , nel le f o r m e se-guenti . C h e r ag ione a b b i a m o di d a r f iducia a i p roced iment i in-dut t iv i ? P e r c h é d o b b i a m o s u p p o r r e che l ' a c c u m u l o di casi d i A che sono B, c o m u n q u e var ino le condiz ioni in cui sono osservat i , d ia una qua l s i a s i buona rag ione di a spet tar s i che il p ros s imo A che incontreremo s ia un B? A b b i a m o l ' ab i to d i f o r m a r c i aspetta-zioni in questo m o d o ; ma p u ò ques t ' ab i to esser r az iona lmente giu-s t i f i ca to? Q u a n d o questo d u b b i o s ia entrato nel le nostre menti può r iuscir diff ici le l iberarcene . Esso ha infatt i la sua fonte in una con-fus ione , ed a lcuni tentativi di r i so lver lo l a sc iano tuttavia persi-

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La ' g iust i f icaz ione ' « l e l l ' induz ione 321

siero la confus ione , mentre altri tentativi di m o s t r a r e che si tratta d i un d u b b i o senza senso s e m b r a n o davvero t r o p p o fac i l i . La con-fus ione che ne sta a l l a r ad ice è f a c i l m e n t e descr i t ta , ma la sem-plice descr iz ione s e m b r a un r imed io inadegua to contro di essa . I l d u b b i o deve perc iò venir e s amina to a p iù r ip re se , o p e r a n d o ten-tativi divers i di r imuover lo .

Se qua l cuno chiedesse qual i f o n d a m e n t i c i sono per s t i m a r e va l ido i l r a g i o n a m e n t o dedutt ivo , p o t r e m m o r i s p o n d e r e che in realtà non ce n 'erano per s u p p o r r e che i l r a g i o n a m e u t o dedutt ivo fosse s e m p r e v a l i d o ; q u a l c h e volta la gente e f fe t tuava inferenze val ide , e qua lche volta s i rendeva co lpevo le di f a l l ac ie log iche . Se egli dicesse a ques to punto che noi a b b i a m o f ra inteso la sua que-st ione, e che ciò che voleva conoscere era che fondament i ci sono per cons iderare la deduz ione in generale c o m e un metodo va l ido ili a rgomentaz ione , noi d o v r e m m o r i s p o n d e r e che la sua quest ione era senza senso, perché d i re clic u n ' a r g o m e n t a z i o n e , o una f o r m a o metodo di a rgomentaz ione , sono va l id i o inval id i implicherebbe già il loro carat tere dedutt ivo , i concetti di va l id i t à e inva l id i tà avendo a p p l i c a z i o n e sol tanto per s ingo le a rgomentaz ion i dedut-tive, o per f o r m e di a rgomentaz ione dedut t iva . A n a l o g a m e n t e , se una per sona chiedesse che fondament i c i sono per pensare ragio-nevole l 'af f idars i a c redenze indut t ivamente consegui te , s i po t rebbe d a p p r i m a r i spondere che c 'erano buone e catt ive a rgomentaz ion i induttive, che q u a l c h e volta era rag ionevo le af f idars i a una cre-denza conseguita indut t ivamente e q u a l c h e volta non lo era . Se anch 'eg l i dicesse che la sua ques t ione è stata f ra in tesa , che egli voleva s a p e r e se l ' induz ione in genera le fosse un metodo ragione-vole d ' in ferenza , a l lora p o t r e m m o ben cons idera re la sua que-st ione senza senso a l lo stesso m o d o de l la ques t ione se la deduz ione è in genera le va l ida , g iacché c h i a m a r e rag ionevo le o i r rag ionevole una par t i co lare credenza s ignif ica a p p l i c a r e cri teri indutt ivi , pro-prio c o m c c h i a m a r e un par t i co l a re a r g o m e n t o va l ido o inva l ido è a p p l i c a r e criteri dedutt iv i . Il p a r a l l e l o non è p i enamente con-

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vincente, g iacché pa ro le c o m e ' r ag ionevo le ' e ' r az iona le * non hanno un senso cosi prec i so e tecnico c o m e la p a r o l a ' va l ido \ Tut t av i a ha forza suff iciente per farci d u b i t a r e de l l ' oppor tun i t à stessa di so l l evare la seconda quest ione, e ch iedere perché , diver-s a m e n t e da l l a cor r i spondente ques t ione c irca la deduz ione , essa c i s a r e b b e p a r s a c a p a c e di cost i tuire un p r o b l e m a genuino.

Si s u p p o n g a che una per sona sia condotta a cons iderare la logica f o r m a l e c o m e lo s tudio de l la sc ienza e de l l ' a r te di ragio-nare . Es sa osserva che tutti i p roced iment i induttivi sono, secondo i cr i teri dedutt iv i , i n v a l i d i : m a i le premesse es igono le conclu-s ioni . Ora i p roced iment i induttivi sono notor i amente important i nel la f o r m a z i o n e di c redenze e aspet taz ioni c irca q u a l u n q u e cosa g iacc ia di là d a l l a tes t imonianza de l l ' o s sevaz ionc d iret ta . Ma un a r g o m e n t o invalido è un a r g o m e n t o scorretto, e un a rgomento scorretto è un a r g o m e n t o in cui non viene prodotta alcuna buona ragione per accet tare la conclus ione . S i cché se gli a rgoment i in-duttivi sono inva l id i , se lutti gli a rgoment i c h e noi p r o d u r r e m m o , nel caso , a r inca lzo del le nostre credenze c i rca ciò ehe g iace di là da l l a te s t imonianza de l l 'o s servaz ione diretta sono scorrett i , a l lora non a v r e m m o nessuna buona rag ione a sostegno di nessuna di tali c redenze . R e p u g n a accog l iere (piesta conc lus ione . S o r g e cosi la r ichiesta di una g iust i f icazione non di ques ta o quel la pa r t i co l a re credenza che vada oltre le imp l i canze de l l ' ev idenza di cui dispo-n i a m o , ma di una g iust i f icazione de l l ' induz ione in genera le . E q u a n d o la r ichiesta sorge in questo m o d o essa è, in effetti , richie-sta che si d imos t r i che l ' induz ione è in rea l tà un t ipo di dedu-z i o n e : nul la m e n o infatti s o d d i s f e r à i l dub i tante q u a n d o ques ta è la s t rada che lo ha condotto ai suoi d u b b i .

R e n d e n d o c i conto che questa è la s t r ada p iù c o m u n e che porta a l d u b b i o genera le c irca la rag ionevolezza de l l ' induz ione , s i vede come m a i ta le d u b b i o s e m b r i s fugg i re a l l ' a s surd i t à d i una richie-sta che l ' induz ione in genera le s ia giust i f icata m e d i a n t e er i ter i indutt ivi . La r ichiesta è che l ' induz ione s ia d imos t ra ta procedi-

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mento r a z i o n a l e ; e questa s i t r aduce nel la r ichiesta che un genere di r ag ionamento s ia d imos t ra lo es sere un a l tro e di Heren te gene-re di r ag ionamento . Con e spres s ione un p o ' c r u d a , la r ichiesta s e m b r a s fugg i re ad un 'a s surd i tà so lo per c a d e r e in un 'a l t ra . Natu-ra lmente , le a rgomentaz ion i indutt ive non sono dedut t ivamente v a l i d e ; se lo fossero , s a rebbero a rgomentaz ion i dedutt ive . I l ragio-namento induttivo deve essere va luta to , p e r la correttezza , con criteri indutt ivi . N o n d i m e n o , per fantas t ico che possa s e m b r a r e il de s ider io che l ' induz ione sia deduz ione , è solo nei suoi termini clic po s s i amo intendere a lcuni dei tentativi che sono stali fatti per g iust i f icare l ' induzione .

!t. 11 p r imo genere di tentativo clic cons idererò pot rebbe chia-mars i l a r icerca del la s u p r e m a p r e m e s s a de l l ' induz ione . Ne l l a sua forma pr imi t iva e un tentativo piuttosto rozzo, e lo renderò anche pili c r u d o ca r i ca turando lo . A b b i a m o già visto che a un par t i co l a re pa s sagg io indutt ivo, come " La pentola è stata sul fuoco per dicci minut i , s icché sta per b o l l i r e ' , p o s s i a m o sos t i tu i re un a rgomento dedutt ivo introducendo una genera l i zzaz ione ( p.c. , ' Una pentola liolle s e m p r e entro dicci minut i ila q u a n d o è posta sul fuoco ' ) come premes sa a d d i z i o n a l e . Q u e s t a m a n o v r a spos ta i l p r o b l e m a del s u f f r a g i o indutt ivo verso la ques t ione di c o m e a b b i a m o stabi-lito genera l izzaz ioni s i f fat te , clic s i a p p o g g i a n o su fondament i dai qua l i non s i deducono per i m p l i c a n z a . Ma s u p p o n i a m o che la ma-novra possa venir r ipetuta . E s i s u p p o n g a a n c h e di poter t rovare una propos iz ione s u p r e m a m e n t e genera le , che pre sa in congiun-zione con l 'evidenza che sost iene ogni accettata genera l i zzaz ione del la sc ienza o de l la vita quo t id i ana (o a l m e n o solo de l la s c i e n z a ) es iga que l l a genera l izzaz ione . A l l o r a , nel la m i s u r a in cui lo statuìι del la genera l izzaz ione s u p r e m a potesse venir sodd i s f acentemente sp iega to , p o t r e m m o cons iderare tutte le induz ioni corrette appro-danti a conclus ioni general i non qua l i f i ca te c o m e , in fondo , va l ide deduz ion i . La g iust i f icaz ione pot rebbe venir trovata a lmeno per

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questi eas i . La diff icoltà più ovvia di questo sugger imento è que l l a d i f o r m u l a r e la s u p r e m a propos i z ione genera le in m o d o tale che sia a b b a s t a n z a prec i sa da p r o d u r r e le des idera te imp l i canze . e tut-tavia non ovv iamente fa l sa o a rb i t r a r i a . C o n s i d e r i a m o , per esem-pio, la f o r m u l a : " Per tutti gli / e i g, ove vengano osservati η casi di f.g e nessun caso di / . ~ g , a l lora tutti i easi di / sono easi di g ' . Per t r a s f o r m a r l a in un enuncia to a b b i a m o solo da sost i tuire η con q u a l c h e n u m e r o . Ma «piale n u m e r o ? Se a s s u m i a m o che i l va-lore di π s ia I o 20 o 500 . l ' a s serz ione r i sul tante è ovv iamente f a l s a . Inoltre , la scelta d i qua l s i a s i numero s e m b r e r e b b e a l lat to arbitra-ria : non esiste un n u m e r o pr iv i leg ia to di casi favorevol i da assu-mers i come decis ivo nel lo s tab i l i re una genera l i zzaz ione . Se , d'al-tro canto , f o r m u l i a m o la p r o p o s i z i o n e in m o d o abbas t anza vago da s f u g g i r e a ques te obiez ioni - se per e s e m p i o , la r i d u c i a m o a ' La natura è u n i f o r m e ' - a l lora essa d iventa t r o p p o vaga per for-nire le de s idera te imp l i canze . Occorre r i levare clic l ' imposs ib i l i t à di f o r m u l a r e una propos i z ione genera le del genere r ichiesto è real-mente un caso s p e c i a l e de l l ' impos s ib i l i t à di f o r m u l a r e regole pre-cise per la s t ima de l l ' ev idenza . Se potes s imo f o r m u l a r e una regola che p r e c i s a m e n t e ci dicesse ({liando a b b i a m o ev idenza conclusiva a sostegno di una genera l i zzaz ione , a l lora essa si t r adur rebbe esat-tamente nel la p r o p o s i z i o n e r ichiesta come s u p r e m a premes sa .

A n c h e se queste diff icoltà s i potessero f rontegg iare , r i m a r r e b b e in p ied i la ques t ione de l lo status de l la s u p r e m a p r e m e s s a . C o m e po t rebbe venir s t ab i l i t a , se fosse una p r o p o s i z i o n e non n e c e s s a r i a ? L ' a p p e l l o a l l ' e sper i enza , al su f f rag io indutt ivo, è c h i a r a m e n t e ban-dito sotto {iena di c i rco lar i t à . Se , d ' a l t ra par te , fosse una veri tà ne-cessar ia e pos sedes se , in cong iunz ione con l ' ev idenza a sostegno di una genera l i zzaz ione , la forza logiea r ichiesta per es igere la gene-ra l izzaz ione ( p.e . , se ques t 'u l t ima fosse la conc lus ione di un sillo-g i smo ipotet ico , la cui p romes sa ipotet ica fosse la verità necessar ia in q u e s t i o n e ) , a l lora l 'evidenza e s igerebbe la genera l i zzaz ione ind ipendentemente , e i l p r o b l e m a non s o r g e r e b b e : conclus ione

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into l lerab i lmente p a r a d o s s a l e . In pra t i ca , l ' e s t rema vaghezza con cui le cand ida te a l l a funz ione d i p r e m e s s a s u p r e m a vengono espresse i m p e d i s c e che acqui s t ino una ta le forza log ica , e nel lo stesso t e m p o rende mol to diff ici le c la s s i f icar le c o m e ana l i t i che o s in te t i che : sotto la pres s ione de l la cr i t ica esse tendono a l la tauto-log ia , e q u a n d o la pres s ione eessa a s s u m o n o u n ' a r i a s e m p r e p iù s intet ica .

In teorie del t ipo messo qui in ca r i ca tura l ' idea le del la dedu-zione non è d 'o rd inar io cosi d i c h i a r a t a m e n t e mani fe s to come si è rappresenta to . Si trova clic la ' L e g g e d e l l ' u n i f o r m i t à de l la natura ' non si presentava tanto come la p r e m e s s a s o p p r e s s a di un' infe-renza cr ipto-dedutt iva , quanto piuttosto , ad e s e m p i o , coinè il ' [ire-s u p p o s t o della va l id i tà del r a g i o n a m e n t o i n d u t t i v o ' . Su di ciò dovrò r i tornare l a r g a m e n t e ne l l 'u l t ima sez ione del cap i to lo .

9 . Cons idererò ora un più raff inato genere di tentativo per g iust i f icare l ' i n d u z i o n e : più raff inato tanto ne l l ' in terpretaz ione del lo s copo quanto nel metodo adottato . Lo s copo vaghegg ia to è que l lo di p rovare che la p r o b a b i l i t à d i una genera l i zzaz ione , s ia un iver sa le o p r o p o r z i o n a l e , a u m e n t a con il n u m e r o dei casi riscon-trati f avorevol i . S i tratta di uno s copo c h i a r a m e n t e rea l i s t i co : la p ropos iz ione da p rovare asser isce infat t i , c o m e già s 'è visto, una carat ter i s t ica f o n d a m e n t a l e ilei nostri cr i teri per va lu tare la forza de l l ' ev idenza . I l metodo di prova p ropos to è un metodo matema-t i c o : occorre f a r uso del ca lcolo ar i tmet ico de l le ' c h a n c e s ' . Que-sto, tuttavìa , s e m b r a meno rea l i s t i co : a b b i a m o già visto, infatt i , come a p p a i a povera la prospet t iva di ana l i z za re la nozione di suf-f rag io in questi t e rmin i .

E n u n c e r ò l ' a rgomento con la m a s s i m a s e m p l i c i t à poss ib i le , m a . anche cos i , sarà necessar io introdurre e s p i e g a r e q u a l c h e nuovo termine . Si s u p p o n g a di avere una co l lez ione di oggetti di genere d i f ferente , a lcuni con certe carat ter i s t iche ed altr i con altre . Si pens i , per e s e m p i o , ad un sacco contenente 100 pa l l ine , di cui 70

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s iano b ianche e 30 nere . C h i a m i a m o una s i f fa t ta col lez ione di og-getti una popolazione, e c h i a m i a m o il m o d o in cui è fatta ( p . e . , nel caso i m m a g i n a t o , di 70 pa l l ine b i anche e 30 n e r e ) costituzione del la p o p o l a z i o n e . Da una ta le p o p o l a z i o n e s a rà poss ib i le e s t rarre campioni d i v a r i a g randezza . P e r e s e m p i o , p o t r e m m o trarre da l nostro sacco un c a m p i o n e di 30 pa l l ine . S i s u p p o n g a che c ia scuna pa l l ina nel sacco rechi un n u m e r o i n d i v i d u a l e . A l l o r a la co l lez ione di pa l l ine n u m e r a t e ila 10 a 39 inclusi s a r e b b e un c a m p i o n e de l l a g randezza d a t a ; la co l lez ione di p a l l i n e n u m e r a t e da 11 a 40 in-clusi s a r e b b e un al tro e d i f ferente c a m p i o n e de l l a stessa gran-d e z z a ; la co l lez ione di pa l l ine n u m e r a t e 2, 4, 6. 8, . . . 58 . 60 s a r e b b e un a l tro c a m p i o n e equ iva lente , e cos i v ia . C ia scuna pos-s ib i l e co l lez ione ili 30 pa l l ine è un d i f ferente c a m p i o n e de l la stessa g randezza . Alcuni di f ferent i c a m p i o n i de l la s tessa grandezza avranno la stessa cost i tuzione l 'uno r i spetto a l l ' a l t r o ; altri avranno cost i tuzioni d i f ferent i . Ci s a rà so l tanto un c a m p i o n e fatto di 30 pa l l ine nere . Ci s a r a n n o molti c a m p i o n i di f ferent i che parteci-pano de l la cost i tuzione 20 pa l l ine b ianche e 10 nere . S a r e b b e una s e m p l i c e ques t ione di m a t e m a t i c a s t ab i l i re i l n u m e r o dei poss ibi-l i c a m p i o n i di una data grandezza aventi c i a scuna del le poss ib i l i cost i tuzioni . D i c i a m o ehe un c a m p i o n e corrisponde a l la popola-zione se , con la to l leranza resa necessar ia d a l l e d i f ferenze di gran-dezza . la c o m p o s i z i o n e del c a m p i o n e r ip roduce , entro certi l imi t i , que l l a de l la p o p o l a z i o n e . P e r e s e m p i o , p o t r e m m o dire che qual-siasi pos s ib i le c a m p i o n e consistente, per e s e m p i o , d i 21 p a l l i n e b ianche e 9 p a l l i n e nere c o r r i s p o n d e a l l a cost i tuzione ( 7 0 b i anche e 30 n e r e ) de l la p o p o l a z i o n e , mentre un c a m p i o n e consistente di 20 b i a n c h e e 10 nere non vi c o r r i s p o n d e . Ora , è una propos i z ione di pura m a t e m a t i c a che . data una q u a l u n q u e p o p o l a z i o n e , la pro-porz ione di poss ib i l i c a m p i o n i , tutti de l la m e d e s i m a grandezza , che c o r r i s p o n d o n o al la p o p o l a z i o n e , a u m e n t a con la g randezza dei c a m p i o n i .

A b b i a m o visto che le conclus ioni r agg iunte circa i l r appor to

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fra un so t togruppo di ' c h a n c e s ' e g u a l m e n t e poss ib i l i e l ' intero g r u p p o di quel le * chances ' possono venir e spre s se con l 'uso de l la pa ro l a ' p r o b a b i l i t à ' . Cosi dei 52 pos s ib i l i c a m p i o n i di una carta tratti c iascuno da una p o p o l a z i o n e cost i tuita c o m e un mazzo nor-male , 16 sono figure o ass i . Ci p e r m e t t i a m o di e s p r i m e r e questo fatto ( so t to condiz ione , indut t ivamente s tab i l i t a , d i cqu ipos s ib i l i t à di t i r a t e ) d icendo che la p r o b a b i l i t à di e s t rar rc una f igura o un asso è 4 / 1 3 . Se e s p r i m i a m o la p r o p o s i z i o n e cui ci si è r i ferit i a l la f ine de l l 'u l t imo p a r a g r a f o med iante l 'uso de l l a p a r o l a ' probabi-l i t à ' o t t e r r e m o : La probab i l i t à d i un c a m p i o n e cor r i spondente a una data p o p o l a z i o n e aumenta con la g randezza del c a m p i o n e . E a l lc t tante tentare di der ivare da questo r i sul tato una giustifica-zione genera le del p roced imento i n d u t t i v o : essa non mos t re rà , invero, che q u a l u n q u e conclus ione indutt iva data è dedotta per impl i canza da l l ' ev idenza che la sost iene, p re sa in congiunzione «•on q u a l c h e premessa universa le , ma mos t rerà che la molt ip l ica-zione di casi favorevol i di una genera l i zzaz ione es ige «in propor-zionato aumento «Iella sua p r o b a b i l i t à . Infa t t i , giacchi'; la corri-spondenza è una re laz ione s i m m e t r i c a , il p a s s a g g i o da

I. La probab i l i t à «li un c a m p i o n e c o r r i s p o n d e n t e a una data popo laz ione a u m e n t a con la g randezza del c a m p i o n e

a I I . La p robab i l i t à di una p o p o l a z i o n e corr i spont ientc a un

dato c a m p i o n e aumenta con la g randezza del c a m p i o n e

pot rebbe s e m b r a r e un s e m p l i c e pa s sagg io dedut t ivo . La I I po-t rebbe a p p a r i r c i atta a fornire una g a r a n z i a clic (pianto p iù g rande è i l n u m e r o di casi osservati favorevol i ad una genera l i zzaz ione , tanto più g rande è la sua p robab i l i t à . g i acché a u m e n t a n d o il nu-mero ili casi a u m e n t i a m o la grandezza del c a m p i o n e tratto da qua l s ivog l i a popo laz ione che fo rmi l 'oggetto de l la nostra genera-l izzaz ione. P o t r e b b e cosi s e m b r a r e che la p u r a m a t e m a t i c a for-nisca la tanto cercata prova che l 'evidenza a sos tegno di una gene-

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ra l i zzaz ionc .si fa r ea lmente tanto piti for te , (pianto piti numeros i sono i casi favorevol i trovati .

I / a r g o m e n t o è a b b a s t a n z a ingegnoso per mer i tar s i i l nostro r i spetto , ma fa l l i sce i l suo intento, e r a p p r e s e n t a m a l e la situa-zione indutt iva . La nostra s i tuaz ione non è m i n i m a m e n t e s imi l e a quel la di una per sona clic c s t ragga un c a m p i o n e da una popo la-zione da ta , c ioè fissata e l imi ta ta , da l l a q u a l e l 'estrazione di qua-l u n q u e c a m p i o n e m a t e m a t i c a m e n t e pos s ib i le è egua lmente pro-bab i l e di qua l s i a s i a l t ro . Il nostro solo dato è i l c a m p i o n e . Nessun l imite è (issato in ant i c ipo a l la d ivers i tà e a l l e poss ib i l i tà di cam-biamento de l la p o p o l a z i o n e da l l a q u a l e esso è t r a t t o ; o megl io , nessun l imi te è fissato a l la mol tep l ic i tà e var ie tà di d i f ferent i popo-laz ioni , c i a scuna con di f ferent i cost i tuzioni , una q u a l u n q u e de l le qua l i p u ò r i m p i a z z a r e quel la presente p r i m a ebe s i s ia fatta la p r o s s i m a es t raz ione . Né esiste a lcuna garanz ia a priori ebe i dif-ferenti c a m p i o n i m a t e m a t i c a m e n t e poss ib i l i a b b i a n o la stessa pro-babi l i tà di essere estratt i . Se su quest i punti a b b i a m o o pos s i amo ottenere q u a l c h e a s s i curaz ione , s i tratta a l lora d i a s s i curaz ione indut t ivamente der ivata dai dati di cui d i s p o n i a m o , clic non può perc iò essere as sunta in partenza da un a r g o m e n t o inteso a giu-st i f icare l ' induz ione . S i cché la I I . cons idera ta c o m e una giustifica-zione de l l ' induz ione fondata su cons ideraz ioni p u r a m e n t e mate-mat i che , è un s e m p l i c e inganno . L ' i m p o r t a n t e spos tamento del-l 'aggett ivo 4 da to ', che passa dal qua l i f i ca re " p o p o l a z i o n e ' ne l la I a qua l i f i c a re 4 c a m p i o n e ' nel la II . è i l leg i t t imo. Inoltre , ' p robab i -lità ' , clic s ignif ica una cosa nella II ( s e interpreta ta come fornente la ga ranz ia r i c h i e s t a ) , s ignif ica qua lcosa di assa i d i f ferente nel la I ( i n t e r p r e t a t a c o m e una propos i z ione d i pura m a t e m a t i c a ) . Ne l l a I , p robab i l i t à è s e m p l i c e m e n t e la m i s u r a del r a p p o r t o fra due g r u p p i di " c h a n c e s ' m a t e m a t i c a m e n t e p o s s i b i l i ; ne l la II è la misura del-l ' accet tabi l i tà indutt iva d i una genera l i zzaz ione . C o m e propos i -zione m a t e m a t i c a , la I è cer tamente ind ipendente da l la correttezza dei p roced iment i i n d u t t i v i ; e come as serz ione di uno dei cr i ter i

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che u s i a m o nel va lu ta re la forza ev idenz ia le di u n a general izza-zione, la II è cer tamente ind ipendente d a l l a m a t e m a t i c a .

Co loro che hanno ausp ica to una g ius t i f icaz ione m a t e m a t i c a de l l ' induz ione , non lian manca to di notare la necess i tà di certe assunzioni pe rché l ' a rgomento dia a l m e n o l ' i m p r e s s i o n e d i conse-guire i l suo intento. I l r a g i o n a m e n t o indutt ivo s a r e b b e di scar sa uti l i tà se qua lche volta non ci ab i l i t a s se ad a s segnare p robab i l i t à a l m e n o d i scre tamente alte a certe conc lus ioni . S i s u p p o n g a ora di r a p p r e s e n t a r e , in conformi tà col m o d e l l o m a t e m a t i c o , i l fat to che l 'evidenza a sostegno di una p r o p o s i z i o n e era conclus iva con l ' a s segnazione ad essa del la c i f ra di p r o b a b i l i t à 1 ; ed il fatto che l 'evidenza a sostegno e a danno di una p r o p o s i z i o n e era egual-mente di s tr ibui ta con l ' a s segnaz ione ad essa del n u m e r o di proba-bi l i tà 1 / 2 ; e cosi v ia . È una f a m i l i a r e verità m a t e m a t i c a che , f r a due f raz ioni q u a l u n q u e , per e s e m p i o 1 / 6 e 1 / 5 , c 'è un n u m e r o infinito d i quant i tà intermedie , c ioè che 1 / 6 p u ò venir indefinita-mente aumenta to senza mai r agg iungere l ' eguag l i anza con 1 / 5 . An-che se potess imo cons idera re la I I c o m e m a t e m a t i c a m e n t e s tab i l i t a , essa m a n c h e r e b b e perc iò di fornirc i c iò che r i c h i e d i a m o , giac-ché essa inanca di darc i una garanz ia clic la p r o b a b i l i t à di una con-c lus ione indutt iva ragg iunga mai un g rado ai q u a l e cominci ad es-sere di ut i l i tà . E r a di conseguenza necessar io r a f fo rza re l ' argomen-to p u r a m e n t e matemat i co con a m p i e e v a g h e a s sunz ioni , paragona-bili ai pr inc ip i des ignat i p e r la funz ione ili s u p r e m a premessa nel p r i m o t ipo d i tentativo. Q u e s t e a s sunzioni , c o m e quei p r inc ip i , non po t rebbero mai venir usa te e f fe t t ivamente p e r d a r e un a n d a m e n t o dedutt ivo ad a rgoment i indutt iv i , g iacché non p o t r e b b e r o venir f o rmula t i con prec i s ione . Essi s a r e b b e r o le o m b r e di verità preci se sconosciute che, se q u a l c u n o le conoscesse , ba s te rebbero , ins ieme coi dati p e r le nostre genera l izzaz ioni accettate , a rendere queste u l t ime suscett ibi l i d i avere a s segnata una p r o b a b i l i t à determi-nabi le , d o p o o p p o r t u n o ca lco lo , in prec i sa f r a z i o n e numer ica d i grandezza to l lerab i le . Cosi queeta teoria r a p p r e s e n t a le nostre in-

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duz ion i c o m e l e v a g h e o m h r e s u b l u n a r i d i ca lco l i dedut t iv i che non p o s s i a m o c o m p i e r e .

10. P a s s i a m o ora , da i tentat iv i d i g iu s t i f i ca re l ' i n d u z i o n e , a i tentat ivi di d i m o s t r a r e che è s b a g l i a t a la s tessa r i ch ies ta di u n a g iu s t i f i caz ione . A b b i a m o già visto che d ie t ro q u e s t a r ichies ta c 'è s p e s s o l ' a s s u r d o d e s i d e r i o d i m o s t r a r e cl ic l ' i n d u z i o n e è un q u a l c h e genere di d e d u z i o n e - e ques to d e s i d e r i o è c h i a r a m e n t e discer-n i b i l e nei d u e tentat iv i d i g iu s t i f i caz ione cl ic a b b i a m o e sami-nato . C h e a l t ro senso p u ò a v e r e la r i c h i e s t a ? Q u a l c h e volta e s sa è e s p r e s s a ne l l a f o r m a d i r ichies ta d i u n a p r o v a c h e l ' i n d u z i o n e è un p r o c e d i m e n t o ragionevole o razionale, c h e noi a b b i a m o buoni fondamenti pe r concederg l i la nostra f iduc ia . S i c o n s i d e r i n o gli usi d e l l e e s p r e s s i o n i ' b u o n i f o n d a m e n t i ' , ' g iu s t i f i caz ione ', ' ra-g i o n e v o l e ' , ecc . Le i m p i e g h i a m o s p e s s o in p r o p o s i z i o n i co inè * Eg l i ha ogni giustificazione pe r c r e d e r e che ρ ", ' I l o assai buone ragioni p e r c r e d e r l o ', ' Ci s o n o buoni fondamenti pe r r i t enere che q ', * C ' è buona evidenza c h e r ". Noi p a r l i a m o s p e s s o , in m o d i s i m i l i a ques t i , ili g iu s t i f i caz ione , buoni f o n d a m e n t i o b u o n e rag ion i o e v i d e n z a p e r cer te c r e d e n z e . S i s u p p o n g a che una d i tali c r e d e n z e s ia e s p r i m i b i l e ne l la f o r m a : ' Ogni ca so di / è un ca so di g ' . E si i m m a g i n i che a q u a l c u n o venga ch ie s to c h e cosa in tendeva d i c e n d o che aveva b u o n i f o n d a m e n t i o b u o n e rag ion i pe r c r e d e r e c iò . P e n s o c h e s i a v r e b b e l ' i m p r e s s i o n e ili u n a r i spos ta s o d d i s f a c e n t e se egl i r e p l i c a s s e : " B e ' , ne l la m i a va r i a ed a m p i a e s p e r i e n z a ho incontra to i n n u m e r e v o l i cas i di / e m a i un ca so di / che non fos se un ca so di g ' . Ne l d i r que s to , egl i ha la c h i a r a pre tesa ili d i s p o r r e di s u f f r a g i o induttivo, di ev idenza induttiva, di un certo genere , a so s tegno de l l a s u a c r e d e n z a ; e dà a n c h e u n a r i spos ta perfet ta-mente p r o p r i u a l l a que s t ione , c iò cl ic e s p r i m e d i c e n d o cl ic ha a m p i a g iu s t i f i caz ione , buoni f o n d a m e n t i , b u o n e r a g i o n i p e r l a sua c r e d e n z a . È u n a p r o p o s i z i o n e ana l i t i c a c h e è r a g i o n e v o l e c r e d e r e a u n ' a s s e r z i o n e in g r a d o p r o p o r z i o n a l e a l l a forza d e l l ' e v i d e n z a in

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La ' g i u s t i f i c a z i o n e ' d e l l ' i n d u z i o n e 331

suo f a v o r e ; ed è a n c h e u u a p r o p o s i z i o n e a n a l i t i c a , q u a n t u n q u e non u n a p r o p o s i z i o n e m a t e m a t i c a , che , a p a r i t à d i a l t re condi-z ioni ' , l ' ev idenza a sos tegno di u n a g e n e r a l i z z a z i o n e è for te in p r o p o r z i o n e a l n u m e r o dei cas i f a v o r e v o l i , e d e l l a va r i e t à de l l e c i r co s t anze in cui essi s i sono os serva t i . C o s i c h i e d e r e se è ragio-nevo le c o n c e d e r e f iducia a i p r o c e d i m e n t i indut t iv i è c o m e chie-dere se è r a g i o n e v o l e c o m m i s u r a r e i l g r a d o d e l l a c o n v i n z i o n e a l l a fo rza d e l l ' e v i d e n z a . I l f a r l o è a p p u n t o c iò c h e in un ta le contesto ' e s se re r ag ionevo le ' significa.

Q u a n t o a l l ' a l t r a f o r m a in cui i l d u b b i o p u ò e s p r i m e r s i , c i o è ' È l ' i n d u z i o n e u n a p r o c e d u r a g ius t i f i ca ta , o g i u s t i f i c a b i l e ? ' , e s sa c i a p p a r e in una luce a n c o r a m e n o f a v o r e v o l e . N o n le è s tato attri-bui to nes sun senso , s e b b e n e s ia f a c i l e v e d e r e p e r c h é essa s e m b r i a v e r e senso . È infat t i g e n e r a l m e n t e s e n s a t o c h i e d e r s i , circa una particolare credenza, se la sua a d o z i o n e è g ius t i f i ca ta , e c iò s igni-fica c h i e d e r s i se vi s ia pe r essa e v i d e n z a b u o n a o cat t iva o q u a l e ehe s i a . N e l l ' a p p l i c a r e o r i f iu tare gl i ep i te t i ' g ius t i f i ca ta ' , ' ben f o n d a t a ' , ecc . , nel c a so d i c r e d e n z e s p e c i f i c h e , f a c c i a m o a p p e l l o a cr i ter i indutt iv i e l i a p p l i c h i a m o . Ma a q u a l i c r i ter i f a c c i a m o a p p e l l o q u a n d o d o m a n d i a m o s e l ' a p p l i c a z i o n e d i c r i ter i indutt iv i è g ius t i f ica ta o ben f o n d a t a ? Se non p o s s i a m o r i s p o n d e r e , a l l a que-s t ione non p u ò e s ser d a t o senso a l c u n o . C o n f r o n t a t e l a con la que-s t i o n e : È la legge l e g a l e ? È p e r f e t t a m e n t e s e n s a t o inves t i ga re su l l a l ega l i t à o non lega l i tà di u n a p a r t i c o l a r e a z i o n e , di un r e g o l a m e n t o a m m i n i s t r a t i v o , o a n c h e , nel ca so di a l cun i s ta t i , d i p a r t i c o l a r i dec i s ion i l e g i s l a t i v e : a ques t ion i del g e n e r e s i r i s p o n d e f a c e n d o a p p e l l o a un s i s t ema l ega le , m e d i a n t e l ' a p p l i c a z i o n e d i un i n s i e m e di rego le o criteri lega l i ( o cos t i tuz iona l i ) . Ma non c 'è senso a l c u n o n e l l ' i n d a g a r e in g e n e r a l e se la l egge del p a e s e , i l s i s t e m a l e g a l e c o m e un tutto , s i a o m e n o lega le . Infa t t i a q u a l i cr i ter i l ega l i pos-s i a m o a p p e l l a r c i ?

1 Q u e s t a f rase i n c o r p o r a le a m p i e a s t raz ion i cu i c i s i è r i f e r i t i n e l l e s ez ion i 5 c 6.

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332 R a g i o n a m e n t o indutt ivo

I l so lo m o d o in cui p u ò dars i un senso a l l a ques t ione se l ' indu-zione s ia in genera l e una p r o c e d u r a giust i f icata o g iust i f icabi le , è un m o d o piuttosto b a n a l e elle a b b i a m o già notato . P o t r e m m o interpre tare la ques t ione come se s i g n i f i c a s s e : ' T u t t e le conclu-sioni indut t ivamente consegui te sono g ius t i f i ca te? ' , c ioè , ' La gente d i spone s e m p r e di ev idenza a d e g u a t a a sostegno del le conclus ioni clic t r a e ? ' La r i spos ta a ques ta ques t ione è s e m p l i c e , ma poco inte-ressante : r i leva come ta lvolta la gente d i s p o n g a di ev idenza ade-guata . e ta lvolta no.

11. S e m b r a , Uittavia, che questo m o d o d i d i m o s t r a r e a s surda la r ichiesta di una g iust i f icazione genera le de l l ' induz ione s ia tal-volta insulf iciente ad a l l ev ia re la p r e o c c u p a z i o n e che essa produce . E f a r r i l evare che ' f o r m a r e op in ioni raz iona l i c irca l ' inosservato sul la ba se de l l ' ev idenza d i s p o n i b i l e ' e ' v a l u t a r e l 'ev idenza per mezzo di cr i ter i induttivi ' sono frasi clic descr ivono la stessa cosa , p roduce più f ac i lmente i r r i taz ione che so l l ievo . I l punto fa l 'im-pres s ione di e s sere ' m e r a m e n t e ve rba le ' , e s ebbene non sia fac i le cogl iere il va lo re effett ivo di questa protes ta , è c h i a r o che si ri-ch iede qua lcosa d i p iù . S i cché occorre s p i n g e r e la quest ione p iù a fondo . In p r i m o luogo, vogl io far r i levare c o m e ci sia q u a l c o s a di un p o ' s t rano nel ¡ tar lare del " metodo indutt ivo ' o anche del ' m o d o di p r o c e d e r e indutt ivo ' , coinè se si t rat tasse p ropr io di un s ingolo metodo poss ib i le fra altri d i a r g u i r e l ' inosservato dal l 'os-servato , i fatti che ci interessano da l l ' ev idenza a d i spos iz ione . Se uno d o m a n d a s s e a un meteoro logo che m e t o d o o metodi egli usi per p revedere i l t e m p o , s a r e b b e so rpre so se que l lo r i s p o n d e s s e : ' Oh, a p p u n t o il metodo indutt ivo ' . Se uno d o m a n d a s s e a un dot-tore con qua l i mezzi ha d iagnost icato una certa ma la t t i a , la r ispo-sta ' P e r i n d u z i o n e ' d a r e b b e l ' impre s s ione d i un moto d ' impa-zienza , d i u n o scherzo , d i u n a r i tors ione. La r i sposta clic uno s i a t tende è un resoconto de l le prove fat te , dei s intomi pres i in cons ideraz ione , de l le regole e ricette e leggi genera l i a p p l i c a t e .

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La ' g iust i f icazione ' « l e l l ' induz ione 333

Q u a n d o sia in ques t ione un tale metodo spec i f ico di prev i s ione o d iagnos i , c i s i p u ò ch iedere se questo m e t o d o s ia giust i f icato in p r a t i c a ; e qui ancora ci s i può c h i e d e r e se i l suo i m p i e g o s ia indut t ivamente giust i f icato, se esso d ia c o m u n e m e n t e r isultat i cor-retti. Ques ta ques t ione s e m b r e r e b b e n o r m a l m e n t e una quest ione a m m i s s i b i l e . S i s a r e b b e tentati d i conc ludere che , mentre c i sono mol l i d i f ferent i metodi specif ic i di p red iz ione , d iagnos i , ecc., ap-propr ia t i per d i f ferent i soggetti di indag ine , tutti questi metodi po t rebbero p r o p r i a m e n t e venir c h i a m a t i * indutt ivi ' nel senso che il loro i m p i e g o p o g g e r e b b e su s u f f r a g i o i n d u t t i v o ; e che , perc iò , la f r a se ' metodo non indutt ivo di t rovare ciò che g iace deduttiva-mente oltre l ' ev idenza ' e ra una descr iz ione senza s ignif icato , una f r a se a l l a q u a l e non s i s a r e b b e potuto a t t r ibu i re a lcun s e n s o : s icché non ci po t rebbe esser ques t ione di g iust i f icare la nostra scelta di un m e t o d o , c h i a m a t o ' i l metodo indutt ivo ' . di f a r c iò .

Tut tav ia , q u a l c u n o pot rebbe o b i e t t a r e : " C e r t a m e n t e è possi-bi le , sebbene pot rebb 'e s sere pazzesco , u s a r e metodi completa-mente di f ferent i da quel l i scientifici accred i ta t i . S i s u p p o n g a clic qua l cuno , ogniqua lvo l ta avesse b i sogno d i f o r m a r s i un 'op in ione su ciò che sta di là dal suo c a m p o d 'o s servaz ione o di que l lo del le tes t imonianze d i s p o n i b i l i , si l imi ta s se a c h i u d e r e gli occhi , a chie-dersi l ' a p p r o p r i a t a quest ione , e ad accet tare la p r i m a r isposta che gli venisse in testa. Non s a r e b b e questo un m e t o d o non indut t ivo? ' B e n e , f acc i amo questa s u p p o s i z i o n e . A q u e l l a per sona vien chie-sto : ' O t t i e n e lei d ' o rd inar io col suo metodo la r i sposta g i u s t a ? ' Egl i potrebbe r i s p o n d e r e : ' H a n o m i n a t o p r o p r i o u n o dei suoi d i f e t t i : io non ottengo mai la r i spos ta g i u s t a ; ina è un metodo e s t remamente f a c i l e ' . A l lora s i p r o p e n d e r e b b e a pensare che non si t rat tava affatto di un metodo |>er t rovare q u a l c o s a . Ma suppo-n i a m o che egli r i s p o n d a : ' S i , dà d i sol i to ( s e m p r e ) l a r i sposta giusta ' . A l lora p o t r e m m o p r o p e n d e r e a c h i a m a r l o un metodo di r icerca , per q u a n t o s t rano. Ma in questo caso , p e r i l fatto stesso del suo successo, esso s a r e b b e un metodo i i idutt ivamente suffra-

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334 R a g i o n a m e n t o i n d u t t i v o

ga lo . In fa t t i c i a s c u n a a p p l i c a z i o n e del m e t o d o s a r e b b e u n ' a p p l i c a -z ione de l l a r ego la g e n e r a l e ' La p r i m a r i spos t a e b e mi v iene in testa è g e n e r a l m e n t e ( s e m p r e ) q u e l l a g i u s t a " ; e p e r la ver i tà di ques ta g e n e r a l i z z a z i o n e c i s a r e b b e l ' e v i d e n z a indut t iva d i u n a lunga s e r i e d i cas i f a v o r e v o l i , s enza ne s suno s f a v o r e v o l e ( s e s i u s a ' s e m p r e ' ) , o d i una p r o p o r z i o n e n o t e v o l m e n t e a l ta d i succes s i r i spet to a i tentat iv i ( s e s i u sa ' g e n e r a l m e n t e ' ) .

Cos i , ogni f e c o n d o m e t o d o o ricetta p e r t rovare q u a l c o s a nel c a m p o d e l l ' i n o s s e r v a t o deve a v e r e s u f f r a g i o indut t ivo , g i a c c h é d i re che u n a r icet ta ha succes so e q u i v a l e a d i re cl ic è s tata r ipe-t u t a m e n t e a p p l i c a t a con s u c c e s s o : e la r ipe tu ta a p p l i c a z i o n e con succes so d i u n a r icetta cos t i tu i sce p r o p r i o q u e l l o che i n t e n d i a m o d i r e con l ' e s p r e s s i o n e ' e v i d e n z a indut t iva in s u o f a v o r e ' . I l f a r r i l e v a r e ques to fa t to non deve venir c o n f u s o con i l d i re c h e ' i l m e t o d o indut t ivo ' è g ius t i f i ca lo da l suo succe s so , g ius t i f icato per-ché f u n z i o n a . Q u e s t o è un e r r o r e , e un e r r o r e r i l evante . Io non sto c e r c a n d o di ' g iu s t i f i ca re il m e t o d o indut t ivo ' . g i a c c h é a q u e s t a f r a s e non si è potuto d a r e nessun s ign i f i ca to . A fortiori, non sto d i c e n d o che l ' i n d u z i o n e è g ius t i f i ca ta da l s u o succes so nel t rovare q u a l c o s a nel c a m p o d e l l ' i n o s s e r v a b i l e . Io d ico , p iu t tos to , che qua l -s ias i m e t o d o c h e r iesce b e n e in c iò è n e c e s s a r i a m e n t e g iust i f icato p e r i n d u z i o n e . Q u e s t a è una p r o p o s i z i o n e a n a l i t i c a . La f r a s e ' me-todo f e c o n d o di t r o v a r e de l l e cose , i l q u a l e non ha i l so s tegno di nessun s u f f r a g i o i n d u t t i v o ' è au to-cont radd i t to r i a . A v e r e , o acqu i -s i re , s u f f r a g i o indut t ivo è una c o n d i z i o n e nece s s a r i a del succes so d i un m e t o d o .

Ma p e r c h é p o i met te re c iò in r i l i e v o ? P r i m a d i tutto, p u ò a v e r e u n a cer ta fo rza t e r a p e u t i c a , una c a p a c i t à d i r i a s s i c u r a r e . In se-c o n d o l u o g o , p u ò n e u t r a l i z z a r e la t endenza a c o n s i d e r a r e ' i l me-todo indut t ivo ' c o m e q u a l c o s a s u l l o s tesso p i a n o deg l i spec i f i c i m e t o d i di d i a g n o s i e di p r e d i z i o n e e p e r c i ò , c o m e q u e l l i , avente b i s o g n o d i g iu s t i f i caz ione ( i n d u t t i v a ) .

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La ' g iust i f icazione ' « le l l ' induzione 335

12. C'è ancora un 'a l t ra confus ione , for se la p i ù influente di tutte nel p r o d u r r e i d u b b i , le quest ioni e le so luz ioni s p u r i e di-scusse in questa par te . P o s s i a m o accostarc i ad essa cons iderando la pretesa per cui l ' induz ione s a r e b b e giust i f icata da l suo successo prat ico . La f r a se ' successo de l l ' induz ione ' non è af fat to c h i a r a e forse incorpora la confus ione de l l ' induz ione con q u a l c h e metodo speci f ico di p red iz ione , d iagnos i , ecc. , a p p r o p r i a t a a q u a l c h e par-t icolare l inea d ' indag ine . Ma , q u a l u n q u e cosa la f ra se possa signi-ficare, la pretesa ch'essa avanza dà l ' i m p r e s s i o n e di essere ovvia-mente c i rco lare . Ciò che p r e s u m i b i l m e n t e sugger i sce è che noi d o v r e m m o argu i re da i passat i ' success i de l l ' induz ione ' che quest i success i cont inueranno nel fu turo , d o v r e m m o infer i re da l fatto che essa ha funz ionato f inora, la conc lus ione che cont inuerà a funz ionare nel fu turo . G iacché un a r g o m e n t o di questo genere è ev identemente indutt ivo, esso non può serv i re da g iust i f icazione de l l ' induz ione . Non s i può s tab i l i re un p r i n c i p i o di argomenta-zione con un 'a rgomentaz ione che usi ques to p r inc ip io . Ma appro-f o n d i a m o un p o ' la cosa . L ' a r g o m e n t o f o n d a la g iust i f icazione de l l ' induz ione su una m a t e r i a di fatto ( i suo i ' pas sa t i successi ' ) . Q u e s t a è una carat ter i s t ica di quas i tutti i tentativi di t rovare una g iust i f icazione. La des idera ta p r e m e s s a «Iella sez ione 8 a v r e b b e dovuto e s p r i m e r e «pialche fatto c i rca la cost i tuzione de l l 'universo tale che . anche se non s i potesse usare c o m e p r e m e s s a s o p p r e s s a con cui dare a n d a m e n t o dedutt ivo agl i a rgoment i indutt ivi , fos se ad ogni modo un k p r e s u p p o s t o «Iella va l id i t à de l l ' induz ione ' . Per-sino l ' a rgomento matemat i co de l la sez ione 9 r i ch iedeva di esser ra f forzato con «pialche a m p i a a s sunz ione c irca la s truttura del m o n d o . Penso che la fonte «li questo genera l e des ider io di indivi-d u a r e «pialche fatto re lat ivo a l la cost i tuzione de l l 'universo atto a ' g iust i f icare l ' induz ione ' o a ' mos t ra re che è tin m o d o di proce-dere raz ionale ' , s ia la confus ione , i l f r a m m i s c h i a r s i di sue «pie-stioni f o n d a m e n t a l m e n t e d i f f e r e n t i : per una di esse la r i sposta è

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336 R a g i o n a m e n t o indutt ivo

mater i a di fatto, non l inguis t ica , mentre p e r l 'a l tra è mater i a di s ignif icat i .

Non c 'è niente di auto-contraddit tor io nel s u p p o r r e che tutte le un i fo rmi tà nel corso del le cose clic a b b i a m o fin qu i osservate e sul le qua l i a b b i a m o f in i to col f a r conto, po s sano cessare d i o p e r a r e d o m a n i , che tutte le nostre r icette f a m i l i a r i c i l a sceranno senza r i sorse , e che noi s a r e m o inabi l i a f o r m u l a r n e di nuove perché le rego lar i tà che v i s a r a n n o s a r a n n o t r o p p o c o m p l e s s e perché noi le s i pos sa i so lare . ( P o s s i a m o a s sumere che pers ino l ' a spet taz ione che tutti noi , in tal i c i rcostanze, d o v r e m m o per i re , fosse fa ls i f icata da q u a l c u n o che sopravv ives se a os servare i l nuovo caos in cui , p e r d i r la a l l ' ingrosso , non succede niente d i p r e v e d i b i l e ) . Natura l-mente, noi non c r e d i a m o che questo a c c a d r à . C r e d i a m o , a l con-trar io , che le nostre regole di a spet taz ione indut t ivamente suffra-gate cont inueranno in comple s so , m a l g r a d o q u a l c u n a di esse dovrà essere , senza d u b b i o , a b b a n d o n a t a o modi f i ca ta , a renderci dei buoni serviz i , e che genera lmente noi s a r e m o c a p a c i «li r impiaz-zare le rego le che a b b a n d o n e r e m o con al tre att inte in m o d o ana-logo. P o t r e m m o d a r e un senso a l la f rase ' s u c c e s s o de l l ' induz ione ' c h i a m a n d o ques ta vaga credenza la c redenza che l ' induz ione con-t inuerà ad avere successo . Es sa è cer tamente una credenza fa t tua le , non una verità necessar ia , una credenza , s i può d i re , c irca la co-st i tuzione de l l 'un iverso . P o t r e m m o e s p r i m e r e ciò c o m e segue, sce-g l iendo una f r a s e o l o g i a elle servirà nel m i g l i o r m o d o a mettere in luce la c o n f u s i o n e che intendo e s p o r r e :

I . ( L ' u n i v e r s o è ta le c l i c ) l ' induz ione cont inuerà ad aver successo .

La I è mol to vaga : si l imita a d ire che ci sono , e cont inueranno ad esserci u n i f o r m i t à e regolar i tà na tura l i clic mos t rano un g rado di s empl i c i t à u m a n a m e n t e p a d r o n e g g i a b i l e . Ma p e r quanto sia vaga , in propos i to pos sono dirs i eerte cose ben def inite . ( 1 ) Non si tratta di un 'a s serz ione necessar ia , ma di un 'a s serz ione contingente , giac-

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La ' g iust i f icazione ' « l e l l ' induz ione 337

clié i l caos non è un concetto auto-contraddi t tor io . ( 2 ) A b b i a m o buone ragioni indutt ive per c redere in essa , buona evidenza indut-tiva a suo sostegno. N o i c r e d i a m o che a l cune de l le nostre ricette cont inueranno a dar buona p rova , pe rché l 'hanno data per cosi lungo t empo . C r e d i a m o che s a r e m o c a p a c i d i f o r m u l a r n e d i buone ed ut i l i , perché ne s i a m o stati c a p a c i cosi r ipe tu tamente in pas-sato . N a t u r a l m e n t e , s a r e b b e a s surdo tentare di u sa re la I per ' giu-st i f icare l ' induz ione ' , p e r m o s t r a r e clic essa cost i tuisce un m o d o di procedere rag ionevole , e ciò p e r c h é la I è una conclus ione in-dut t ivamente s u f f r a g a t a .

S i cons ider i ora la seguente a s serz ione , f o n d a m e n t a l m e n t e dif-ferente :

II . L ' i n d u z i o n e è raz iona le ( r a g i o n e v o l e ) .

A b b i a m o già visto che la raz iona l i tà de l l ' induz ione , a d i f ferenza da l suo ' aver successo ' , non è un fatto re lat ivo a l l a cost i tuzione del m o n d o . La ques t ione e qui di ciò che i n t e n d i a m o con la pa ro l a ' r a z i o n a l e ' q u a n d o la a p p l i c h i a m o a un qua l s i a s i p roced imento per fo rmarc i op in ion i c irca ciò che sta f u o r i da l l a portata de l le nostre osservazioni o de l le te s t imonianze di cui p o s s i a m o d i spor re . Infat t i , avere b u o n e ragioni p e r una q u a l c h e o p i n i o n e del genere s ignif ica avere buon su f f r ag io indutt ivo a suo sostegno. Il caot ico universo testé cons idera to non è. perc iò , un universo in cui l ' indu-zione ces serebbe di essere r a z i o n a l e ; è s e m p l i c e m e n t e un universo in cui s a r e b b e i m p o s s i b i l e f o r m a r s i a spet taz ioni raz ional i c irca spec i f iche cose che d e b b a n o accadere . S i p o t r e b b e dire che in un tale universo s a r e b b e a l m e n o raz iona le r i f iutare d i f o r m a r s i aspet-tazioni spec i f iche , d i at tenders i q u a l u n q u e a l t ra cosa fuor dal l ' i r-regolar i tà pili c o m p l e t a . So lo ques to . Ma ques ta è essa stessa un ' induz ione di più alto ord ine : dove l ' i r rego lar i t à è la regola , a spet tarc i ul ter iori i r rego lar i t à . I m p a r a r e a non f a r conto sul le cose è i m p a r a r e una lezione indutt iva non meno di quanto lo s ia i m p a r a r e su (piali cose s i possa f a r conto.

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3 3 8 R a g i o n a m e n t o i n d u t t i v o

È q u i n d i m a t e r i a cont ingente e f a t t u a l e c h e s ia ta lvo l ta poss i-

b i le f o r m a r s i o p i n i o n i r az iona l i r e l a t ive a c iò che è s p e c i f i c a m e n t e

a c c a d u t o o che a c c a d r à in d a t e c i r cos tanze ( I ) ; è m a t e r i a non con-

t ingente e a priori che gli unic i m o d i di f a r l o d e h b a n essere m o d i

indut t iv i ( I I ) . C i ò che si è fatto e di f r a m m i s c h i a r e e c o n f o n d e r e

la q u e s t i o n e cui la I è u n a r i spos ta e la q u e s t i o n e a l la t to d iver sa

cui la I I è una r i s p o s t a , p e r v e n e n d o inf ine a l l e ques t ion i i b r i d e

e senza s e n s o : 'È l ' un iver so ta le che i p r o c e d i m e n t i indutt iv i

s i a n o r a z i o n a l i ? ' o p p u r e ' C o m e d o v r e b b e e s se re l 'un iver so affin-

ché i p r o c e d i m e n t i indutt iv i s i a n o r a z i o n a l i ? ' È i l tentat ivo di

r i s p o n d e r e a q u e s t e c o n f u s e ques t ion i c h e por t a ad a s se rz ion i

c o m e ' L ' u n i f o r m i t à de l l a na tura è un p r e s u p p o s t o de l l a v a l i d i t à

d e l l ' i n d u z i o n e ' . L ' a s s e r z i o n e che la n a t u r a è u n i f o r m e d o v r e b b e

venir c o n s i d e r a t a c o m e un m o d o v a g o d i e s p r i m e r e ciò clic ab-

b i a m o e s p r e s s o con la 1 ; e c e r t a m e n t e ques to fa t to è una condi-

z ione de l fa t to p a r i m e n t i cont ingente ( c o l q u a l e f o r s e s i identi-

f ica ) che noi s i a m o , e c o n t i n u e r e m o ad e s sere , c a p a c i d i f o r m a r e

o p i n i o n i r a z i o n a l i , de l genere che s i a m o p i ù ans ios i «li f o r m a r e ,

c i rca i l non o s se rva to . Ma né ques to fa t to re la t ivo a l m o n d o , né

q u a l s i a s i a l t ro , sono cond iz ion i de l l a ver i tà neces sa r i a c l ic , se è

p o s s i b i l e f o r m a r s i o p i n i o n i raz iona l i d i ques to genere , esse s a r a n n o

o p i n i o n i i n d u t t i v a m e n t e s u f f r a g a t e . L a d i s c o r d a n z a d e l l e ques t ion i

i n s i e m e conf lu i te s i m a n i f e s t a ne l l ' incer tezza c i rca lo status da

a c c o r d a r s i al p r e t e s o p r e s u p p o s t o d e l l a ' v a l i d i t à ' d e l l ' i n d u z i o n e .

S i sent iva infat t i o s c u r a m e n t e , e c o r r e t t a m e n t e , c h e la rag ionevo-

lezza de i p r o c e d i m e n t i indut t iv i e ra m a t e r i a non m e r a m e n t e con-

t ingente , m a n e c e s s a r i a ; q u i n d i ogni c o n d i z i o n e nece s s a r i a de l l a

lo ro r a g i o n e v o l e z z a doveva e s sere p a r i m e n t i u n a m a t e r i a neces-

s a r i a . D ' a l t r o c a n t o , e ra s c o m o d a m e n t e c h i a r o c h e i l c a o s non è un

concetto au to-cont radd i t to r io , che i l fatto c h e a l cun i f e n o m e n i mo-

s t rano un g r a d o t o l l e r a b i l e di s e m p l i c i t à e di r i c o r r e n z a non è

ga rant i to d a l l a l og i ca , ma è f a c c e n d a cont ingente . In tal m o d o i l

Page 358: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

339

p r e s u p p o s t o d e l l ' i n d u z i o n e d o v e v a e s sere i n s i e m e cont ingente e nece s sa r io , il c h e è a s s u r d o . E l ' a s s u r d i t à è so lo l e g g e r m e n t e ve-lata d a l l ' u s o de l l a f r a s e 4 s intet ico a priori ' in l u o g o di ' contin-gente neces sa r io

Page 359: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica
Page 360: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

Indice analitico

a fortiori, a r g u m e n t o , 266 . a fTermat iva . f o r m a . 198 . ana l i t i co , 2 9 . 96-97, 2 9 7 . a n a l o g i e f o r m a l i , 60-62. 66-67, 231-32,

260-61, 264-65 . a n t e c e d e n t e , 110 . a r g o m e n t a r e , 17-18. A r i s t o t e l e , 192 . a s c r i v e r e , 186. a s i m m e t r i c h e , re l az ion i , 262 . a s serz ioni : - a l t e r n a t i v e , 116-17. - ed e n u n c i a l i . 3, 6-8. 13-17. 223-26,

272 s g g . - n e c e s s a r i e , 30-31. a s soc i a t ive , l egg i . 9 9 . a s s o c i a z i o n e , legge d e l l a . 127. a s s u r d o , a s s u r d i t à , 4 4 , 2 9 2 , 297 . a - t e m p o r a l e , 193. 2 7 7 .

cao9, 336-38. c a m p i o n e , 3 2 6 . c a m p o . 8 5 . 136 . 168 . c a t e g o r i c h e , p r o p o s i z i o n i , 192 , 195. cer tezza , 306-7. chances, 312-16 . 325-29 . c la s se : - e s p r e s s i o n i d i , 132-35. - f o r m u l e d i , 134. - i d e n t i t à d i , 140-41. - i n c l u s i o n e d i , 140-41, 230-31. - a p p a r t e n e n z a di , 134 , 138, 230-31.

- a s s e r z i o n e , f o r m u l e d i . 138. c l a s s i f i ca re , 186. c o m p l e m e n t o , 136 , 143-44. c o m p r e n s i v o , l o g i c a m e n t e , 143 , 149-52. c o n d i z i o n a l i : - i n s o d d i s f a t t e , 2 5 3 . 2 5 6 . - s o g g i u n t i v e , vedi p e r i o d i i p o t e t i c i , c o n f e r m a . 111 , 117-19. c o n g i u n z i o n e , 106-7. c o n s e g u e n t e , 110-11 . conte s to . 40 e n. . 238-40 . 275-80 . c o n t i n g e n t e , 30 . 96-97. 296-97. c o n t r a d d i z i o n e , 3 sgg . , 22-26, 96-97,

224-25 . 292-93 . c o n t r a p p o s i z i o n e , 201-2. 215 . c o n t r a r i . 23 . 33-34, 2 0 2 . c o n t r o l l o , 8 0 , 2 8 9 . c o n v e r s e , r e l a z i o n i , 263-61. c o n v e r s i o n e . 200-2 . 214-15 . 218 , 2 2 0 ,

2 2 7 . c o r r i s p o n d e r e , 3 2 6 . co s i , 19 , 64 . c o s t a n t i , l o g i c h e , 62-65, 75 .

d e d u z i o n e , d e d u t t i v i , vedi s i s t e m i , d e f i n i z i o n e , 10 . 13, 33-34, 125-26. d e s c r i v e r e . 186 . d e s c r i z i o n i d e f i n i t e , t eor i a de l l e , 236

s g g . d i a d i c i . 181-82. 263 . d i s g i u n z i o n e , 1 2 0 . d u n q u e , 48-49.

Page 361: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

342 I n d i c e a n a l i t i c o

c, 103-7. 135-36. i·. 5 « , 192-93. e n u n c i a l i , vedi a s s e r z i o n i , e q u i v a l e n z a : - l o g i c a . 33-34 , 120-22.

m a l e r i a l e . 116 . 120-22. e s c l u s i o n e , 113-15. c s i s l c n z i a l e :

- i m p e g n o , i m p o r t a n z a del l " . 210-11 SCP·

- f o r m u l e ed e n u n c i a t i e s i s t e n z i a l i . 138-10. 188-89. 211-12 sgg . . 214-47, 250-53 . 276-79 .

- q u a n t i f i c a t o r e . 167-68, 192-94. e s t e n s i o n e , 138-39, 143-45. e v i d e n z a , p r o v a . 255-57 . 305-6, 315-16

•'Pi-

f a l l ac i e . 195 . f igura to ( l i s o f i g u r a t o del l i n g u a g g i o ) .

296-98. l igure d i s i l l o g i s m o . 2 0 1 . f inz ione . 90-91. f o r m a log i ca , 53-74. 230-31 . 244 . 268-

71 . 294-96 . f o r m a l i z z a l i i l i t à , 270-71 . f o r m a z i o n e , r e g o l e d i . 82 . 288-91 . f o r m u l e . 37-38. 135 . f r e q u e n z a . 309-11 . f u n z i o n a l e , c a l c o l o . 171-72.

g e n e r a l i , a s s e r z i o n i . 189-90. 234-36 . 250-59 . 300-5.

g e n e r a l i z z a z i o n e . 174 n. g e n e r a l i z z a z i o n i , 2 5 3 sgg . . 304-5. 306-

12. 314-18 . g i u s t i f i c a z i o n e ( d e l l ' i n d u z i o n e ) . 320

sgg.

g r a m m a t i c a , 2 8 8 s g g . O r i c e , 2 2 9 n .

i d e n t i t à . 180. i l . l a , 5 6 . 191 . 237-43 . i m m e d i a t a , i n f e r e n z a . 200-1.

i m p l i c a n z a : 21 η . , 27-28, 31-34. 39-42.

- f ra enunc i a t i e f o r m u l e , 42-43, 44-4 6 , 272-74 , 2 7 6 , 282-84. 304 .

i m p l i c a z i o n e : - log ica , 33 , 121 . - m a t e r i a l e , 107-16, 120-23 ; vedi an-

che 46-53. 280 .88 . i n c o m p a t i b i l i t à . 7-12. 125-26. i n c o n g r u e n z a . 3 s g g . i n d i v i d u a l i , v a r i a b i l i e d e s p r e s s i o n i ,

165-67, 184-87. 232-34. 242-44, 2 9 0 , 293-96 .

i n d u z i o n e , 305 s g g . i n f e r i r e . 17-19. i n t e r p r e t a z i o n e . 81-83, 86 . 131-33. 152 .

2 0 9 . 1 1 . i n t r a n s i t i v a , r e l az ione , 262-63. i n v e r s i o n e . 261 . i p o t e t i c h e : - a s s e r z i o n i , vedi se e p e r i o d i ipote-

t ic i . - v a r i a b i l i , 1 1 4 - 1 5 : vedi anche 257 . i p o t e t i c i , p e r i o d i ( d e l l ' i r r e a l t à ) , 110 .

119 , 2 5 3 , 2 5 6 . i p o t e t i c o , s i l l o g i s m o , 195 n „ 2 6 7 .

K n c a l c , 2 5 5 n .

leggi : - l o g i c h e . 8 2 , 96-97. - n a t u r a l i . 2 5 3 sgg . . 2 7 7 , 280-81 . 285-

88.

l og i ca , f o r m a , ν et li f o r m a ,

m a . 63 .

m a g g i o r e , p r e m e s s a , 205 . m a t e m a t i c a . 183 . 194, 2 5 1 , 280 , 283 ,

325-30. m a t e r i a l e , i m p l i c a z i o n e , vedi i m p l i c a -

z i o n e . m e d i o , t e r m i n e d i . 204 . M i l l e r . 195 n . m i n o r e , p r e m e s s a . 205 .

Page 362: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

3 4 3 I n d i c e a n a l i t i c o

m o d i del s i l l o g i s m o . 2 0 4 . m u l t i p l a , q u a n t i f i c a z i o n e . 178-80.

neces s i tà l og i ca , 28-32. negaz ione e t e r m i n i n e g a t i v i , 12-13.

102-3. 197-98. ne s suno , vedi n iente , n i e n t e ( o ne s suno) . 141 . 187 . 190-91,

195-96. 226-27 . 233-34 . n o m i :

243-44.

l o g i c a m e n t e p r o p r i , 2 7 9 . non . 11-13, 22 sgg. . 58-59. 102-3. nu l l a , c l a s se , 139-40, 143 . 149 . n u m e r i c h e , p r o b a b i l i t à , 310 sgg . , 324 .

325-30.

o ( o p p u r e ) . 116-20, 135 . o h v e r s i o n e . 201-2. 2 1 5 . ogni cosa , 110 , 159-70. o n n i t e m p o r a l e , 194. 2 5 6 , 277 . o r d i n i , a s serz ioni d i . 21 .

p a r a d o s s i di i m p l i c a z i o n e . 113 , 121 -2 2 : vedi anche 32-33, 280-88 .

p a r t i c o l a r e , f o m i a , 198 . p e r m u t a z i o n e :

201. - l egge d e l l a . 126-27. p o p o l a z i o n e . 326 . p o s t u l a t o , 1 2 7 . p r e d i c a t i : - a un p o s t o . 290 . - a d u e p o s t i . 181. 290 . - i n c o m p a t i b i l i , 78 . - r e l a z i o n a l i , 181. p r e d i c a t i v e : e s p r e s s i o n i , f o r m u l e , va-

r i a b i l i . 165-66, 181-86 . 230-34, 2 9 0 . 292-93, 2 9 5 .

p r e d i c a t i v o , ca l co lo . 172 . p r e d i c a t o :

- g r a m m a t i c a l e . 185 . 2 3 3 . - t e r m i n e , 198 .

p r e s u p p o s i z i o n e . 221-30, 2 7 5 ; vedi an-che 24-23 .

p r i m i t i v e : - co s t ant i . 126 . - p r o p o s i z i o n i . 126 . p r i n c i p i di i n f e r e n z a , vedi r e g o l e di

i n f e r e n z a . P r i n c i p i a M a t h e m a t i c a . 127 . p r o b a b i l i t à . 3 0 5 s g g . p r o d o t t o l o g i c o . 136 . p r o p o r z i o n a l e , g e n e r a l i z z a z i o n e , 309 . p r o p o s i z i o n a l e , c a l c a l o . 126-27. p r o v a , vedi e v i d e n z a , p r o v a r e , 17-18.

q u a d r a t o d i o p p o s i z i o n e , 202 , 2 1 5 , 2 1 7 . 2 1 9 .

q u a l c h e , 190-92 , 2 2 2 , 226-28 . q u a l c o s a . 190 . 2 3 8 . q u a l c u n o . 190. 2 3 8 . q u a l i t à . 198 . q u a n t i f i c a z i o n e . 165 . 168 sgg . . 188-92. q u a n t i t à . 198 . Q u i n e . 101 η . . 177 η .

r a g i o n a m e n t o , 17 sgg . , 300 . r e g o l e :

14-17. 37 . 54 sgg . , 296-97 . - d i i n f e r e n z a (o d e r i v a z i o n e ) , 77-82.

128-29. 267-68 . 284-85 . 301 . - di s i l l o g i s m o , 2 0 6 . vedi anche re-

go le d i f o r m a z i o n e . I t e i c h e n b a c h . 177 . re l a t iva , f r e q u e n z a , vedi f r e q u e n z a , r e l a z i o n i , 260-71 . vedi p r e d i c a t i re-

l az iona l i , r i d u z i o n e . 207-9 . r i d u z i o n i s m o , 2 9 6 . r i f e r i r e , r i f e r i m e n t o , 186-87, 233-34.

2 3 6 . 2 4 1 - 4 4 , 2 7 1 sgg . . 2 9 0 . 292 . R u s s e l l . 127 . 2 3 7 .

s b a r r a t a , f o r m u l a ( d i S h e f f e r ) . 124-25. s e . 46-51, 107-19. 120-23. 256-57 .

Page 363: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

344

s e b b e n e . 63 . s e m p l i c e , e n u m e r a z i o n e , 3 1 7 . s enso , p r i v o d i , 2 2 3 , 2 3 7 , 2 8 0 . s i g n i f i c a l o . 241-43 , 272-73 . s i l l o g i s m o :

202-4. 207-9 . 2 1 6 . 247-48 . 266-70. - i p o t e t i c o , 195 n. . 2 6 7 . s i m b o l i . 75-76. s i m m e t r i c h e , r e l a z i o n i . 2 6 1 . 268 . s i n g o l a r i , a s s e r z i o n i . 2 3 1 , 233 sgg . .

2 4 1 . s i n t e t i c h e , a s s e r z i o n i , 30 , 97 , 297-98 . s i s t e m a , i d e a l e l o g i c o d i . 74 . s i s t e m i : - a s t ra t t i , 82 . 131-32. - d e d u t t i v i , 77-80. 126. s o g g e t t o : - g r a m m a t i c a l e , 185 . 233 .

l og i co . 2 4 1 . 276-77 . - ( t e r m i n e ) . 198 . - p r e d i c a t o , a s s e r z i o n i . 2 3 3 sgg . . 250 . s o m m a log i ca , 136 . s o m m a z i o n e , l e g g e d e l l a , 127 . so s t an t ivo , s o s t a n t i v a l e , 186 . s ta t i s t i ca , 3 1 9 . s u b c o n t r a r i c , 33-34, 2 0 2 . s u f f r a g i o , s u f f r a g a r e , 305 s g g .

t an tn log ia , l egge d e l l a , 127 . t a u t o l o g i c h e , f o r m u l e , 97 . t avo le d i v e r i t à . 90 s g g .

Page 364: Peter F Strawson Introduzione Alla Teoria Logica

364 Indice analitico

t e m p o v e r b a l e , 2 5 4 , 274-79 . t e m p o r a l e , r i f e r i m e n t o . 193 . t e o r e m i , 129 . t e r m i n i , 197 . t i p i , 2 8 8 s g g . t r a d i z i o n a l e , l og i ca , 191-92, 195 s g g . t r a n s i t i v i t à , 62 , 73 , 2 6 1 . 266-67 . t r i a d i c i , 181-82. tut t i , 141-42, 191-92. 196-97. 210-11 ,

221-24, 250-55 .

un . una . 56 , 193 , 238-40 . u n i f o r m i t à d e l l a n a t u r a . 324-25, 335-

39 . u n i v e r s a l e : - f o r m a , 198. - q u a n t i f i c a t o r e , 169. u n i v e r s o d i d i s c o r s o , 144-45.

v a l i d i t à . 18-19. 3 0 0 . 321-23. va lor i : - di u n a v a r i a b i l e . 43-46. - di v e r i t à . 88 . 90 . v a r i a b i l i :

38 . - l ega te . 182-83 . - l i b e r e . 3 8 . 182-83. v e r o - f u n z i o n i . 84 sgg . . 280-86. vuo to . 139 . 143 . 149 .

W h i t e h e a d , 127.