La LOGICAUn aspetto essenzialedel pensiero umano

con profonde influenze sullo sviluppo delle civiltà

E’ possibile darne una definizione precisa?

• la molteplicità degli aspetti rende praticamente impossibile un accordo generale sulla definizione

• anche dall’etimologia (la parola greca λόγος) emerge una diversità di interpretazione secondo che ci si riferisca al significato:

discorso o ragionamento

La sintesi di questi due aspetti si trova nella concezione di

Aristotele

• “la logica tratta del discorso inteso come espressione di un pensiero razionale “ (Aristotele – Analitici primi – E. Agazzi – La logica simbolica)

La LOGICA: scienza del ragionamento

• Argomento :Si occupa del modo in cui l’uomo ragiona (ragionamento)

• Metodo : scientifico• Logica matematica : scienza del

ragionamento matematico ,quindi la matematica è come argomento e come metodo

LE TRE VIE PER ARRIVARE ALLO STUDIO DELLA LOGICA

• DIALETTICA

• PARADOSSI

• DIMOSTRAZIONI

1. Dialettica

• Iniziata dai sofisti( seconda metà V sec. a.C): Protagora e Gorgia (protagonisti di dialoghi platonici)

• sofista nel linguaggio comune è sinonimo di persona che fa discorsi capziosi

• I sofisti in realtà si occupavano dell’arte del discorso e quindi ne studiavano le regole

• per questo motivo si possono intravvedere nel loro pensiero le origini della logica

2. Paradossi

ragionamenti apparentemente corretti, ma che portano a conclusioni

che contraddicono l’opinione corrente: παρά-δοξα (che porta ad una contraddizione)

La logica studierà che cosa sta dietro questo tipo di ragionamento, come analizzarlo , come

riformularlo.

I più famosi paradossi della antichità: a. Mentitore ( cretese Epimenide –VI sec.a.C): Tutti i cretesi sono bugiardi

PARADOSSI

.B) Achille e la tartaruga (Zenone 490-430 a.C):

Achille sembra che non possa raggiungere mai la tartaruga.

3. Dimostrazioni

• La matematica nasce senza dimostrazioni (v. papiro di Rhind)

Poiché i risultati venivano riportati senza giustificazione non si poteva avere la sicurezza della correttezza della intuizione

• Verso il 600 a.C. i greci,

inventarono “ un nuovo modo di fare matematica” : la dimostrazione.

- La logica si occupa di che cosa rende corretta una dimostrazione

• furono stimolati nello studio delle dimostrazioni da due famosi risultati :

22

Dimostrazioni

Il teorema di Pitagora intuito dalle civiltà precedenti , come riportato da Euclide prevede una dimostrazione

molto complessa

-

Dimostrazioni

• Irrazionalità della radice di 2

Scoperta dai pitagorici rompe il connubio tra costruzione e misura: la realtà si mostra più estesa di ciò che è razionale .

• Rappresenta il primo esempio di dimostrazione per assurdo.

Periodi della Logica

• Antichità : Platone

Aristotele

Crisippo• Era moderna : Leibniz

Boole

Frege • Era contemporanea : Post- Wittgensein

Godel

Turing

Età antica

Platone (Accademia )

nei suoi Dialoghi appare il primo tentativo

di isolare una delle più grandi leggi della logica: il principio di non contraddizione

Aristotele

Aristotele

(Liceo )

Fu il più grande logico e fondatore della logica moderna,

studiò l’uso delle leggi che regolano

i quantificatori cioè le particelle: nessuno, qualcuno, tutti

La logica, secondo Aristotele, si applica ai concetti universali (astratti dalla mente umana

partendo dalle cose sensibili) e si fonda su 3 principi

1. Principio di identità: ogni oggetto del pensiero logico è identico a se stesso

2. Principio di non contraddizione: è impossibile che la stessa proprietà si addica e non si addica allo stesso oggetto e nello stesso senso

3. Principio del terzo escluso: data una affermazione ed una negazione di uno stesso giudizio, una di esse è vera e l’altra è falsa (Aristotele, Οργανον, che rappresenta l’atto di nascita della logica formale )

I TRE PRINCIPI DELLA LOGICA ARISTOTELICA

Crisippo ( Stoà)

Ritenuto l’altro fondatore della scuola stoica dopo Zenone

Logica proposizionale

Connettivi: non, e, o, se…, allora.

Crisippo (Stoà

Medioevo

• La logica medioevale si presenta come sintesi della logica aristotelica e di quella stoica

• risalgono agli Scolastici le leggi sulla negazione della congiunzione e sulla negazione della disgiunzione

Definizione medioevale tramandataci da Pietro Ispano (1205-1277)

che evidenzia i diversi aspetti della logica come

suprema arte, scienza, metodologia:”la logica è l’arte delle arti e la

scienza delle scienze, che domina la via ai principi di tutti i metodi “ (Summulae logicales)

Logica minor e maior

I filosofi scolastici distinguevano• una LOGICA MINOR

in cui si considerano solo le forme corrette di ragionamento

prescindendo dalla verità delle premesse• una LOGICA MAIOR

in cui si studianoi criteri che permettono di giudicare della verità delle asserzioni che fanno

parte dell’argomentazione

Analoga distinzione opererà Kant (1724-

1804) fra LOGICA FORMALE

che si occupa della correttezza della deduzione

LOGICA TRASCENDENTALE che si occupa

delle condizioni a priori che rendono possibile la conoscenza

Età moderna

LEIBNIZ (1646-1716)

ebbe la visione filosofica(cioè precorse i tempi della logica moderna) di costruire una lingua formale

adatta ad esprimere tutti i contenuti delle scienze:

la “ characteristica universalis”

Nell’Ottocento la logica matematica esce dal bozzolo con BOOLE (1815-1864)

introdusse una algebra che prese il suo nome e si fonda sull’idea di usare solo 0 e 1 come se fossero analoghi rispettivamente al falso e al vero .

• Le leggi che regolano il vero e il falso sono le stesse leggi che algebricamente regolano il comportamento di 0 e di 1.

Con Boole si chiude un’epoca perché con l’algebra booleana si possono descrivere

sia i quantificatori aristotelici sia i connettivi di Crisippo

La logica moderna nasce con FREGE (1879) che introdusse

LA LOGICA PREDICATIVA cioè la logica dei predicati e delle relazioni

multiple con la costruzione di un linguaggio formale in grado di analizzare e riprodurre

la struttura logica del linguaggio matematicosenza la logica predicativa

il sogno di Leibniz non si sarebbe mai realizzato.

Età contemporanea2200 anni dopoPost (1920) dimostrò

la completezza della logica proposizionale

• quindi l’analisi che Crisippo aveva fatto circa 2200 anni prima era conclusa

• Boole l’aveva solo riformulata in termini algebrici

Le tavole di verità

Wittgenstein (1921) in maniera indipendente scopre lo stesso teorema

A lui si devono anche le tavole di verità: rappresentazione della

individuazione della verità o falsità di una proposizione composta

partendo da proposizioni semplici.

GÖDEL (1906-1978) raggiunse due risultati fondamentali

– la completezza della logica predicativa (oltre Frege non si poteva andare)

– Incompletezza della aritmetica : qualunque sistema di assiomi aritmetici non si potrà mai completare

Per la logica delle proposizioni e la logica dei predicati siamo arrivati al completamento

Per quanto riguarda la matematica siamo arrivati ad un muro che indica li nostri limiti

Turing (1936)

elaborò la cosiddetta Macchina di Turing cioè il computer. Una macchina di Turing (o più brevemente MdT) è una macchina ideale in

grado di eseguire algoritmi e dotata di un nastro infinito su cui può leggere e/o scrivere dei simboli.

L’idea del computer venne a questo geniale logico-matematico studiando i teoremi di Godel per affrontare il problema della decidibilità # della logica predicativa

(#per la logica predicativa non esistono tavole di verità come per la logica proposizionale che permettano di decidere la verità di una proposizione)

Di che cosa ci occuperemo noi?

della LOGICA FORMALE

intesa come studio delle inferenze deduttive

con una mentalità e un simbolismo

matematici

Compiti della logica1. STUDIARE

il nesso di conseguenza logica tra proposizioni, predisponendo delle tecniche

per determinare quando la verità di una conclusione

consegue necessariamente dalla verità delle premesse

2. DETERMINARE,date certe premesse,

altre proposizioni che sono loro conseguenza logica.

LA DEDUZIONE

un potente strumento di verifica della correttezza dei ragionamenti

MA ANCHE un potente mezzo di ricerca

come dimostrano le innumerevoli applicazioni alle

scienzedel ragionamento matematico

La logica si propone di realizzare il sogno leibniziano del

“calculemus”.

Un suo obiettivo come disciplina è quindi

stabilire quali ragionamenti sono corretti e quali no

e individuare dei “calcoli logici” che consentano di meccanizzare l’attività deduttiva

e di “dominare” l’insieme delle conseguenze di un insieme di premesse, in modo da poter ragionare

sulle teorie assiomatiche nel loro complesso

Una sola logica?

Attualmente sono state sviluppate molteplici “logiche”

che si propongono di studiare aspetti sempre più ampi dell’attività inferenziale

LA LOCICA CLASSICA e i suoi limiti

IN CUI• si prendono in considerazione solo alcuni

tipi di inferenze • si assume il principio di bivalenza: una

proposizione può assumere soltanto uno ed uno solo dei valori di verità - vero (V) o falso (F)

Contrariamente a quanto accade molto spesso alle proposizioni del linguaggio naturale

CFR. molte delle “logiche” elaborate attualmente sono nate proprio per superare tale limite della logica classica

Non si ragiona correttamente anche senza lo studio sistematico

della logica? La capacità di analizzare le regole di inferenza

della logica classica non matura spontaneamente negli esseri

umani, ma deve essere oggetto di un apprendimento

mirato (magari solo con l’obiettivo limitato di preparare gli alunni a

cimentarsi in test di tipo logico ad esempio per le prove di selezione dalla ammissione a facoltà universitarie a

partecipazione a concorsi pubblici)

La logica si colloca all’intersezione di tre aree differenti:

la filosofia, la matematica, l’informatica

Le Caratteristiche dei Test e in particolare di quelli logica

1. Sono composti da - una sezione verbale, che verifica la comprensione

linguistica - una parte matematica che verifica la capacità di risolvere

problemi che richiedano ragionamento logico-matematico

2. Molto spesso vogliono verificare la capacità di utilizzare abilità acquisite per risolvere problemi nuovi cioè valutano la capacità di:

– comprendere il significato preciso dei termini, di cogliere termini simili e analogie etimologiche

– capire quale categoria mentale (causa – effetto, contrapposizione …) stabilisce il rapporto tra le coppie di parole

– ritenere le informazioni appena lette, interpretarle– trarre delle conclusioni conseguenti e scartare conclusioni

errate, arbitrarie o non rigorosamente giustificate

Luca Mari (Ordinario scienza della misurazione alla LIUC)

QUALI CAPACITÀ PER I TEST DI LOGICA?

La soluzione dei test di capacità logica richiede capacità di

– concentrazione– analisi– sintesi– vagliare i dati forniti e di distinguere

ciò che è possibile, necessario o logicamente inammissibile

I

UN ESEMPIO EMBLEMATICO DI LOGICA PROPOSIZIONALE

• Il beffardo mago Atlante ha rinchiuso in un castello fatato Angelica, l’intelligente principessa cinese.

• Angelica è confinata in una stanza con cinque porte contrassegnate UNO, DUE, TRE, QUATTRO, CINQUE

• davanti a ciascuna porta sta un aiutante di Atlante, con il contrassegno della porta ricamato sul cappello.

• La principessa sa che quattro mentono sempre e uno solo dice la verità.

• Dietro la porta dei mentitori c’è un drago, dietro la porta di chi dice la verità c’è la via di fuga.

• Angelica riceve queste informazioni:- UNO dice che TRE, QUATTRO e CINQUE mentono- TRE dice che UNO O DUE dicono il vero- QUATTRO dice che TRE dice il vero

Da quale porta deve uscire Angelica: UNO, DUE, TRE, QUATTROO CINQUE?

Come procedere?La prima cosa da fare è individuare la STRUTTURA DEL

QUESITOTralasciando tutti gli orpelli inutili il problema può diventare:

DATE CINQUE PROPOSIZIONI, QUATTRO FALSE E UNA VERA, INDIVIDUARE QUELLA VERA

Le tre indicazioni precedenti si possono rappresentare simbolicamente così

• 1 = ¬ 3Λ ¬4Λ ¬5 (tre, quatto e cinque mentono)• 3 = 1 V 2 (uno o due dicono il vero)• 4 = 3 (tre dice la verità )

La simbologia che avvicina la logica alla matematica presenta vari vantaggi:

- Riduce le ambiguità delle espressioni- Consente di “ calcolare la verità” di proposizioni composte

a partire dalla verità delle proposizioni componenti

Risoluzione q.1• La verità della 4 implicherebbe la verità della 3 ,

impossibile perché due proposizioni sarebbero vere• Quindi ¬4 e perciò ¬ 3 allora ¬ (1 V 2) = (per la prima

legge di De Morgan) ¬ 1 Λ¬ 2• Poiché ¬ 1 allora ¬ (¬ 3 Λ ¬4 Λ¬5 ) = per la 2° legge di

De Morgan ¬(¬ 3) V ¬(¬ 4 )V ¬(¬5)= 3V4V5• Per la tavola di verità la disgiunzione inclusiva lè vera se

almeno una delle proposizioni è vera• 3 è falsa, 4 è falsa, allora 5 sarà vera.

Un quesito della prova d’ingresso della facoltà di Medicina del 1999

• Marco: ”Giorgio suona il sassofono meglio di tutti, è lui il campione del nostro gruppo”

• Giorgio: ”Alessandro suona il sassofono meglio di tutti, è lui il campione del nostro gruppo”

• Alessandro: ”Io non suono il sassofono meglio di tutti, non sono io il campione del gruppo”

• Matteo: ”Io non suono il sassofono meglio di tutti, non sono io il campione del gruppo”

• SE solo UNA di queste affermazioni è VERA, chi è il campione nel suonare il sassofono? A)  Marco B)  Giorgio C)  Alessandro D) 

Matteo

Come procedere?

In primo luogo proviamo a riscrivere le “frasi” nel modo seguente, del tutto equivalente a prima, ma molto più maneggevole:

• “Giorgio è il campione”• “Alessandro è il campione”• “Alessandro non è il campione”• “Matteo non è il campione”

Che cosa è stato fatto?

Per ciascuna affermazioneè stato eliminato il nome di chi la

pronuncia INFATTI

sapere chi pronuncia una data affermazione non è un elemento

rilevante per decidere se tale affermazione

sia VERA o FALSA.

RISOLUZIONE q.2

A questo punto, è essenziale notare la peculiarità logica dei 2 enunciati centrali evidenziati in rosso:

Giorgio è il campioneAlessandro è il campione

Alessandro non è il campioneMatteo non è il campione

In che rapporto sono tra loro questi due enunciati? A condizione di riconoscerne la caratteristica fondamentale, la

soluzione del quesito non è lontana.I due enunciati, infatti, sono contraddittori.

• Il principio di non contraddizione prescrive che necessariamente uno deve essere VERO e l’altro FALSO (tertium non datur, cioè non è ammessa alcuna terza possibilità).

In altre parole, delle due l’una: o Alessandro è il campione, o non lo è!

Risoluzione q.2

• A questo stadio del ragionamento, noi in realtà non siamo in grado di dire con certezza quale dei due enunciati sia vero e quale falso, ma sappiamo con assoluta certezza che uno dei due enunciati è VERO. Sarà pertanto sufficiente risalire alla domanda all’inizio, che ci informa che dei 4 enunciati UNO SOLO è VERO…

e ora noi sappiamo che è necessariamente uno dei due enunciati centrali.

• Dunque, non sappiamo quale dei 2 enunciati centrali sia l’unico VERO dei 4, in compenso però la conclusione logica che possiamo trarne è che sono certamente FALSI il primo e l’ultimo enunciato, perché un solo enunciato dei 4 è vero ed è uno dei 2 centrali aventi Alessandro come soggetto.

SOLUZIONE

1. Dalla falsità del primo enunciato (“Giorgio è il campione”), segue chiaramente che Giorgio non è il campione.

2. Dalla falsità dell’ultimo enunciato, segue che Matteo è il campione (infatti è falso che non lo sia!).

UN ALTRO ESEMPIO

Nel diario del giovane Andrea è scritto:“ Nonno Giorgio dice che quando era giovane ha

attraversato l‘Oceano Atlantico a nuoto e che riusciva a battere in velocità le balene. Secondo

me è una bugia “ Si dica che cosa si può dedurre correttamente

dalla convinzione di Andrea.• Se nonno Giorgio riusciva a battere in velocità le balene,

allora non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto.• Nonno Giorgio ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto,

ma non riusciva a battere in velocità le balene• Nonno Giorgio non ha attraversato l’Oceano Atlantico a

nuoto, ma riusciva comunque a battere in velocità le balene

• Nonno Giorgio non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto e non riusciva a battere in velocità le balene

RISOLUZIONE q.3

Ponendo p = ha attraversato a nuoto l’Oceano

Atlantico q = batte in velocità

il testo può essere rappresentato così

¬ ( p Λ q) = ¬ p V ¬ q per la legge di De Morgan,

QUINDI

Risoluzione q.3

le quattro possibilità di risposta diventano q → ¬ pp Λ¬ q¬ pΛq

¬ pΛ¬q¬ p V ¬ q è sempre vera tranne quando

entrambe le proposizioni sono false, quindi la proposizione che si può correttamente dedurre deve essere una tautologia

SOLUZIONE: la risposta corretta è la a

Soluzione q.3

¬p

¬q

¬p V ¬q q →¬ p p Λ¬ q ¬pΛ q ¬p Λ¬q

V V V V F F V

F V V V V F F

V F V V F V F

Quarto esempio

L’affermazione “ quando bevo troppo mi si gonfia lo stomaco”

implica che

A ) Non mi si gonfia lo stomaco pur avendo bevuto troppo

B) A volte capita che non mi si gonfi lo stomaco pur avendo bevuto troppo

C ) Se non mi si gonfia lo stomaco allora non ho bevuto troppo

D) Se mi si gonfia lo stomaco allora vuol dire che ho bevuto troppo

E) o bevo troppo o mi si gonfia lo stomaco.

RISOLUZIONEPonendo

p = bevo troppo e q = mi si gonfia lo stomaco

Il testo del problema è : p → q

• La soluzione si può certamente “ ricercare intuitivamente “ e forse questa, per chi ne è capace, risulta la strada più efficace.

• Si può seguire la strada algoritmica, tradurre ogni risposta usando i relativi connettivi e ricercare attraverso le tavole di verità la tautologia

• Consigliabile è applicare la prima legge delle inverse: se una proposizione è vera è vera anche la contro nominale cioè

p → q allora ¬ q →¬ p

La risposta corretta è la C

Quinto esempio

Da “ Chi dorme non piglia pesci = p →¬q

dove P = dorme q = prende pesci quindi ¬ q = non

prende pesci segue logicamente

• Chi piglia pesci dorme . q→p• Chi piglia pesci non dorme q →¬p• Chi non piglia pesci non dorme ¬q→¬p• Chi non piglia pesci dorme ¬q → p • Nessuna delle altre alternative proposte

Sesto esempioPaolo è così amico di Giuseppe e di Claudio

che quando lui va alle feste ci vanno anche i suoi due amici

Data la frase precedente, quale delle seguenti affermazioni è certamente vera?

A) Paolo ieri è andato ad una festa, quindi sicuramente c’erano anche Giuseppe e Claudio

B) Ieri Claudio è andato ad una festa, quindi c’è andato anche Paolo

C) Giuseppe e Claudio ieri erano ad una festa, quindi c’era anche Paolo

D) Ieri c’era una festa alla quale Paolo non è andato, quindi anche Giuseppe e Claudio non c’erano

E) Giuseppe ieri era ad una festa, quindi sicuramente c’è andato anche Claudio

Schema modus ponens

Settimo esempioSara afferma che

tutti gli studenti di medicina hanno frequentato il liceo scientifico

Quale delle seguenti condizioni è NECESSARIO si verifichi affinché l’affermazione di Sara risulti falsa?

A) Deve esistere almeno uno studente di medicina che ha frequentato il liceo classico

B) Nessuno studente di medicina deve aver frequentato il liceo scientificoC) Deve esistere almeno uno studente che ha frequentato il liceo scientifico ma

che non è iscritto a medicinaD )Tutti gli studenti che non sono iscritti a medicina devono aver frequentato il

liceo scientificoE) Deve esistere almeno uno studente di medicina che non ha frequentato il liceo

scientifico

La risposta corretta è la A è necessario aver frequentato il liceo scientifico per essere studente di medicina allora diventerà falsa quando è vera la negazione della proposizione necessaria

cioè quando almeno uno studente non ha frequentato il liceo scientifico

Ottavo esempio

Se farai come ti dico, andrà tutto bene.

Alla luce di tale affermazione, è certamente corretta anche una (ed una sola) delle seguenti. Quale?

a) Se non farai come ti dico, non potrà che andar maleb) Purtroppo la cosa non è andata bene, è evidente che non

hai fatto come ti avevo suggeritoc) Se avessi seguito il mio consiglio, forse le cose non

sarebbero andate come speravi, ma nemmeno troppo maled) La cosa è andata bene me ne compiaccio, perché questo

significa che hai fatto esattamente come ti avevo indicato.

Presta attenzione alle proprietà dell’implicazione. Alcuni semplici ragionamenti ci permetteranno di individuare

la soluzione corretta, che è la b perché è la contro nominale

Nono esempio

Trova la risposta corretta

Tutti i corridori sono tenaci. Nessuna persona tenace è superba

Significa chea)     Alcuni superbi sono tenacib)     Nessun corridore è tenacec)      Nessun corridore è superbod)     Alcuni superbi sono corridori

Solo la risposta c) segue chiaramente dalle due premesse

Ultimo esempioTutti quelli che usano il computer sono intelligenti

Tutti gli informatici usano il computer

significa che

a. le persone intelligenti sono informaticib. Le persone intelligenti usano il computerc. Tutti gli informatici sono intelligenti d. Alcuni informatici sono intelligenti .

Sillogismo universale affermativa