Interazione dei fotoni con la materia

I fotoni interagiscono con la materia attraverso tre effetti :

fotoelettrico (ph); compton (C);produzione di coppie (pp).

Per ognuno di questi effetti si definisce una sezione d’urto microscopica σph, σC, σpp.

L’Effetto fotoelettricoE’ il processo di interazione di un quanto gamma con gli elettroni legati. In questo processo il fotone si annichila e la sua intera energia viene trasferita all’elettrone. L’elettrone viene allora espulso dall’atomo con una energia cinetica: Te = Eγ - Bn, dove Eγ è l’energia del fotone e Bn rappresenta l’energia di legame dell’elettrone nella shell atomica n-esima. Ovviamente, per Eγ < BK, l’effetto fotoelettrico è possibile solo su elettroni delle shell L, M, .. e non della shell K. Si ha così una serie di salti nella curva che rappresenta la probabilità di interazione, corrispondenti all’energia di legame delle differenti orbite .

sezione d’urto fotoelettrica in vari materiali

Queste energie sono date approssimativamente dalla legge di Moseley:

E

n= Rhc

Z − σn( )2

n2 , dove Rhc = 13.6 eV, Z è il numero atomico, n è il numero quantico

principale e σn la costante di schermo (vale 3 per lo strato K, 5 per lo strato L).

La vacanza creatasi nelle shell di partenza viene riempita da elettroni delle shell più esterne e quindi l’effetto fotoelettrico è sempre accompagnato dalla emissione di raggi X tipici dell’atomo bersaglio.

La sezione d’urto fotoelettrica dipende fortemente da Z e dall’energia del fotone Eγ.

Il processo è tanto più probabile quanto maggiore è Z e quanto minore è Eγ. Si può scrivere:

σ ∝ Zn ⋅E−m , dove n = 4 ÷ 4.5 e m = 3 ÷ 3.5

Diffusione Thomson e ComptonNell’effetto fotoelettrico è essenziale che l’elettrone sia legato. Tuttavia, anche un elettrone libero nel campo elettromagnetico variabile associato al fotone è posto in oscillazione e irradia come un oscillatore. La radiazione appare sotto forma di raggi gamma diffusi. Si deve a J.J.Thomson una teoria classica di questo effetto: consideriamo un’onda piana sinusoidale che si propaga in direzione z, con il vettore elettrico polarizzato

lungo x e di intensità I0 =

< E2 >4π

c . I0 rappresenta l’intensità di flusso di energia

trasportata dall’onda e si misura in energia/cm2s.Un elettrone nel campo di un’onda sinusoidale subisce una forza data da:

eE = eE0sin(ωt), e acquisterà una accelerazione

a =

eE0

msinωt .

Una carica elettrica soggetta ad una accelerazione irraggia una potenza media data da:

< W > =

2e2

3c3< a2 >

Nel nostro caso quindi, sostituendo e sapendo che <sin2(ωt) > = ½ , la potenza media irraggiata risulta:

< W > =

2e4

3m2c3

E02

2=

2e4

3m2c3< E2 > =

8π3

e2

mc2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ I

0

questa potenza è sottratta all’intensità di flusso del fascio primario e possiamo quindi dire:

σ

T=< W >

I0

=8π3

e2

mc2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

8π3

r02 = 0.665⋅10-24 cm2 = 0.665 barn

dove σT rappresenta la sezione d’urto Thomson. r

0=

e2

mc2 =2.82⋅10-13 cm è chiamato

raggio classico dell’elettrone. In questa approssimazione la sezione d’urto non dipende dalla energia del fotone incidente.

La sezione d’urto differenziale (distribuzione angolare) dei fotoni diffusi risulta

essere:

dσT

dΩ= 1

2r

02 1 + cos2 θ( ) . Naturalmente:

dσT

dΩdΩ

4π∫ = 8

3πr

02

sezione d’urto Compton (e Thomson)

Una trattazione più completa fornisce una sezione d’urto che dipende dall’energia e tende alla sezione d’urto Thomson per Eγ →0. La distribuzione angolare, come calcolato da Klein-Nishina, è data dalla seguente espressione:

dσC

dΩ= 1

2r

02 1 + cos2 θ( ) 1

1 + α 1 − cos θ( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

2

⋅ 1 +α2 1 − cos θ( )2

1 + cos2 θ( ) 1 + α 1 − cos θ( )( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

α=Eγ/mc2

In figura è rappresentata la distribuzione angolare del fotone diffuso in un diagramma polare: i numeri accanto alle curve rappresentano α=Eγ/mc2, e si vede che il fotone è diffuso ad angoli tanto più in avanti quanto maggiore è l’energia del fotone incidente.

La dipendenza della sezione d’urto Compton da Z e da Eγ è del tipo: σC ∝ Z⋅Eγ-1.

Quanto all’energia del fotone diffuso, questa dipende dall’angolo di diffusione e si calcola considerando l’urto tra fotone ed elettrone completamente elastico.Facendo i calcoli, si ottiene:

E'γ=

Eγ

1 +E

γ

me

1 − cos θ( )che rappresenta l’energia del fotone diffuso in funzione dell’angolo di scattering ϑ.

per ϑ = 0: Eγ’ max = Eγ e Temin = 0

per ϑ = π:

E'γmin =

Eγ

1 + 2E

γ

mec2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

e

Temax =

Eγ

1 +m

ec2

2Eγ

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

sezione d’urto Compton in funzione di energia ed angolo di diffusione

In figura è rappresentato lo spettro di energia degli elettroni diffusi: il taglio verticale corrisponde alla massima energia degli elettroni: Tmax = αEγ/(α+½)

Produzione di coppie

Per fotoni di relativamente alta energia esiste un’altra forma di interazione con la materia: il processo di creazione di coppie.

In questo processo il fotone si annichila e materializza una coppia elettrone-positrone: naturalmente questo è un processo a soglia, in quanto l’energia del fotone deve essere almeno pari alla somma delle masse delle particelle create: Eγ > 2me = 1.02 MeV.

Il processi di produzione di coppie non può avvenire nel vuoto, ma richiede la presenza di un nucleo o di un elettrone. Infatti, per la conservazione del 4-momento, un fotone non può cedere contemporaneamente energia ed impulso ad una coppia di particelle in quanto dovrebbe essere:1 → 2 + 3 pγ = p1 + p2 (pγ)2 = (p1 + p2)2

0 = m12c4 + m22c4 + 2E1E2/c2 –2p1⋅p2 = m12c4 + m22c4 + 2E1E2/c4 +2|p1||p2| > 0

Il 4-impulso di particelle dotate di massa è sempre una quantità positiva.

L’espressione della sezione d’urto di produzione di coppie è abbastanza complicata: qui diremo soltanto che essa ha un andamento del tipo:

σpp ∝ Z2⋅ln(Eγ +cost). La figura ne illustra l’andamento in funzione dell’energia dei fotoni e del numero atomico del materiale.

sezione d’urto di produzione di coppie in vari materiali

Coefficiente di attenuazione lineare e massico

Oltre alla sezione d’urto microscopica σph, σC, σpp, per scopi pratici si definisce una sezione d’urto macroscopica (coefficiente di attenuazione) µph, µC, µpp.

σ e µ sono legati, per ognuno dei tre processi, dalla relazione:

µ = Nσ

dove N rappresenta il numero di bersagli (atomi) per unità di volume.

La sezione d’urto σ rappresenta un’area e si misura in cm2 oppure in barn (1 barn = 10-24cm2). Il coefficiente di attenuazione µ rappresenta la probabilità di interazione per unità di percorso, ha come dimensioni l’inverso di una lunghezza e si misura in cm-1.

σ = σph + σC + σpp

µ = µph + µC + µpp.

Quando un fascio di fotoni penetra in un mezzo, a causa delle interazioni con il mezzo stesso l’intensità del fascio decresce esponenzialmente. Sia infatti NI il numero di fotoni che interagiscono nel tratto di materiale dx e che quindi vengono sottratti al fascio originario.

dN = -Nµdx

N x( ) = N

0e−µx

N(x) rappresenta il numero di fotoni ancora presenti alla profondità x, essendo N0 il numero di fotoni iniziale. Accanto al coefficiente di attenuazione lineare, come nel caso del potere frenante, si preferisce misurare gli spessori di materiale in g/cm2, utilizzando lo spessore massico

τ = ρ⋅x.Per ognuno dei tre effetti (indicati genericamente con il pedice “i”) possiamo scrivere:

µ

i= N ⋅ σ

i=

NAv

Aρ ⋅ σ

i

da cui ricaviamo

µph

ρ=

NAv

A⋅ σ

ph

µC

ρ=

NAv

A⋅ σ

C

µpp

ρ=

NAv

A⋅ σ

pp

In particolare si può notare che il coefficiente di attenuazione massico per l’effetto Compton dipende molto poco dal materiale: infatti , poichè abbiamo visto che la sezione d’urto ha l’andamento del tipo: σC ∝ Z⋅Eγ

-1, avremo:

µC

ρ=

NAv

A⋅ σ

C∝

NAv

Z

AEγ

≈N

Av

2Eγ

e scompare la dipendenza dal materiale.

Nel caso di composti o miscele, analogamente a quanto già visto nel caso del potere frenante, avremo

µρ=

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

i∑

i

pi

dove pi rappresenta la frazione massa dell’elemento i-esimo. Se il composto è una

molecola, si ha ovviamente: p

i=

niA

i

A dove ni rappresenta il numero di atomi della specie

i-esima contenuti nella molecola, Ai il loro peso atomico e A il peso molecolare.

Cammino libero medio

Rappresenta il percorso effettuato in media da un fotone prima di interagire.

La probabilità di interagire tra x e x+dx è data da: µdx⋅e-µx

Infatti e-µx rappresenta la probabilità di non aver interagito fino alla profondità x, mentre µdx è la probabilità di interagire nel successivo tratto dx.

Se chiamiamo λ il libero cammino medio, si ha quindi (per definizione di valor medio):

λ = x ⋅ p( x) ⋅ dx =

0

∞

∫ x ⋅µe−µx dx =0

∞

∫1µ

Strato emivalenteRappresenta lo spessore di materiale che dimezza l’intensità del fascio incidente. Se chiamiamo S1/2 tale spessore, si ha:

N S

1/ 2( ) = 12N

0= N

0exp −µS

1/ 2( )e quindi:

S

1/ 2=

ln2µ

= λ ln2

Si definisce allo stresso modo lo strato decivalente:

S

1/ 10=

ln10µ

= λ ln10

Nelle figure che seguono è riportato il grafico del coefficiente di attenuazione massico in ossigeno e rame, e in piombo ed alluminio. Nelle stesse figure sono anche rappresentati i coefficienti massici parziali dei vari effetti fotoelettrico, Compton e produzione di coppie.

coefficiente di attenuazione massico in ossigeno e rame

coefficiente di attenuazione massico in alluminio e piombo

Coefficienti di assorbimento.Spesso, specie in problemi di dosimetria e di radioprotezione, ha interesse valutare l’energia che i fotoni, nelle loro interazioni con il mezzo, depositano in esso.

In tutti e tre i processi il fotone cede energia ad un elettrone, il quale a sua volta la depositerà nel mezzo attraverso i processi di ionizzazione e/o bremsstrahlung.

Nell’effetto fotoelettrico e nella produzione di coppie il fotone si annichila, e sia l’elettrone che la coppia elettrone-positrone hanno un range limitato e cedono quindi localmente l’energia ricevuta dal fotone.

Diverso è il caso in cui avvenga un effetto Compton, perche’ in questo caso parte dell’energia del fotone primario viene ceduta al fotone duffuso e quindi depositata non localmente.

I coefficienti di assorbimento di energia, denominati µen, sono definiti attraverso i corrispondenti coefficienti di attenuazione moltiplicati per la frazione di energia ceduta agli elettroni sotto forma di energia cinetica (e quindi dissipata localmente).

µen ph

= µph

Ee

Eγ

= µph

Eγ− B

e

Eγ

≈ µph in quanto Eγ >> Be

µen pp

= µpp

Ee

Eγ

= µpp

Eγ− 2m

ec2

Eγ

≈ µpp in quanto, nel range di energia in cui domina la

produzione di coppie, Eγ >> 2me

µ

en C= µ

C

Ee

Eγ

= µC

Eγ− E'

γ

Eγ

. In questo caso invece µen C è sempre sensibilmente minore di µC.

Naturalmente, anche i coefficienti di assorbimento essi potranno essere sia lineari che massici.Nota:

N( x) = N0e−µx dà l’attenuazione del “numero” di fotoni del fascio in funzione di x

E( x) = E0e−µenx

dà l’attenuazione dell’energia del fascio in funzione di x

Esercizio 1Calcolare il coefficiente di attenuazione massico per l’ossido di Uranio (UO2) per fotoni da 10 MeV. La densità dello UO2 è 10 g/cm3.

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

U= 0.0519 cm2/g

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

O= 0.0209 cm2/g

p

U=

238238 + 2 ⋅16

= 0.88 p

O=

2 ⋅16238 + 2 ⋅16

= 0.12

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

UO2

= pU

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

U

+ pO

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

O= 0.88⋅0.0519 + 0.12⋅0.0209 = 0.0482 cm2/g

pertanto:

µUO2

= ρUO2

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

UO2

= 0.482 cm-1

λUO2

=1

µUO2

= 2.08 cm

Esercizio 2Un fascio parallelo di fotoni da 2 MeV di intensità di flusso (fluenza) Φ =106 cm-2s-1

incide su uno schermo di piombo di spessore 10 cm. Calcolare l’intensità di flusso di fotoni che hanno interagito.Alla profondità x il numero di fotoni che non hanno ancora interagito è data dalla solita legge esponenziale: N(x) = N0⋅e-µx. Il numero ΔN di fotoni che hanno interagito sarà pertanto dato dalla differenz:ΔN = N0 - N(x) = N0(1 - e-µx) in questo caso abbiamo: µ /ρ = 0.0461 cm2/g e ρ = 11.3 g/cm3

dai dati si ricava µ = 0.521 cm-1 e quindi µx = 5.21Sostituendo: ΔN = N0(1 - e-µx) = 106⋅ (1 – e - 5.21) = 106⋅ (1 – 0.0055) = 9.945⋅105.

Esercizio 3Calcolare il libero cammino medio di fotoni di energia 0.01 MeV, 0.1 MeV, 1 MeV e 10 MeV in aria, acqua, muscolo, osso calcestruzzo e piombo.

λ =1µ=

1µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅ ρ

ariaEγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm3) λ (cm)

10 keV 4.98 1.3⋅10-3 154.5100 keV 0.155 1.3⋅10-3 5⋅103

1 MeV 0.0635 1.3⋅10-3 1.2⋅104

10 MeV 0.0203 1.3⋅10-3 3.8⋅104

acquaEγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm3) λ (cm)

10 keV 5.18 1 0.19100 keV 0.176 1 5.851 MeV 0.0706 1 14.2

10 MeV 0.0220 1 45.5

muscoloEγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm3) λ (cm)

10 keV 5.27 1 0.19100 keV 0.17 1 5.91 MeV 0.07 1 14.3

10 MeV 0.0219 1 45.7

ossoEγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm3) λ (cm)

10 keV 20.3 1.85 0.027100 keV 0.18 1.85 3.01 MeV 0.0676 1.85 8.0

10 MeV 0.0226 1.85 23.9

calcestruzzoEγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm3) λ (cm)

10 keV 23.5 2.3 0.0185100 keV 0.175 2.3 2.481 MeV 0.0640 2.3 6.79

10 MeV 0.0227 2.3 19.15

piomboEγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm3) λ (cm2.3)

10 keV 142 11.3 6.0⋅10-4

100 keV 5.73 11.3 1.5⋅10-2

1 MeV 0.0704 11.3 1.2610 MeV 0.0487 11.3 1.83

Esercizio 4Si supponga di avere due fasci di fotoni, entrambi di intensità I = 107 s-1 , aventi energie di 0.5 MeV e di 10 MeV. Calcolare per i due fasci i rispettivi spessori di Al, Fe, Pb e calcestruzzo che riducono l’intensità del fascio primario di un fattore 100 (cioè I’ = 105 s-1).Si supponga di avere una sorgente di 60Co, che emette per ogni decadimento due fotoni di rispettive energie E1 = 1.17 MeV ed E2 = 1.33 MeV. Per gli stessi materiali calcolare lo spessore che riduce l’intensità dei fotoni di un fattore 1000. A questo proposito, essendo le energie dei due fotoni abbastanza simili, possiamo considerare il loro valor medio (E = 1.25 MeV) ai fini dell’attenuazione nei materiali. L’attenuazione dei fotoni, qualsiasi sia la loro energia, è data dalla relazione: N(x) = N0⋅e-µx

Lo spessore x è allora dato da:

x =1µ

lnN

0

N( x)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

2.31µ

log10

N0

N( x)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

2.31µρρ

log10

N0

N( x)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

AlEγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm3) N0/N(x) x (cm)

0.5 MeV 0.084 2.7 102 20.310 MeV 0.0229 2.7 102 74.4

1.25 MeV (60Co)

0.0548 2.7 103 46.5

FeEγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm3) N0/N(x) x (cm)

0.5 MeV 0.0828 7.85 102 7.0810 MeV 0.0284 7.85 102 19.93

1.25 MeV (60Co)

0.0531 7.85 103 16.55

PbEγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm3) N0/N(x) x (cm)

0.5 MeV 0.145 11.3 102 2.8110 MeV 0.0489 11.3 102 8.32

1.25 MeV (60Co)

0.0569 11.3 103 10.73

calcestruzzoEγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm3) N0/N(x) x (cm)

0.5 MeV 0.087 2.3 102 23.010 MeV 0.0229 2.3 102 87.34

1.25 MeV (60Co)

0.0567 2.3 103 52.91

Esercizio 5La sezione d’urto dell’effetto fotolettrico nel piombo per fotoni da Eγ = 0.6 MeV vale circa 18 barn. Valutare il valore della sezione d’urto nell’Uranio alla stessa energia.Sappiamo che la sezione d’urto fotoelettrica in funzione del numero atomico del materiale e dell’energia del fotone ha un andamento del tipo:

σ ∝ Zn ⋅E−m , dove n = 4 ÷ 4.5 e m = 3 ÷ 3.5pertanto sarà:

σ

U≈ σ

Pb⋅

ZU

ZPb

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

4÷4.5

= 18 ⋅9282

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4÷4.5

= 18 ⋅ 1.58 ÷ 1.48( ) = 28 ÷ 30 barn

Esercizio 6Un fotone di energia Eγ = 2 MeV è diffuso a ϑ = 30° per effetto Compton. Calcolare:1) l’energia del fotone diffuso;2) l’energia di rinculo dell’elettrone;3) l’angolo a cui rincula l’elettrone.

E'γ=

Eγ

1 +E

γ

me

1 − cos θ( )=

2

1 + 20.511

1 − cos 30°( )= 1.312 MeV

Per la conservazione dell’energia: Te = Eγ - E’γ = 0.688 MeV

Si tratta di un elettrone relativistico: la sua quantità di moto risulta:

p

e= T

eT

e+ 2m

ec2( ) = 1.085 MeV

Pe

P’γ

pγ ϑ

ϕ

il diagramma dei momenti nell’effetto Compton

pγ = p’γ + pe che proiettata dà le due relazioni:pγ = p’γcos ϑ + pecos ϕp’γsin ϑ = pesin ϕ

dalle quali si ricava:

ϕ = arcsinp

γ

pe

sin θ⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= arcsin 1.312

1.085sin30

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 37.2°.

Esercizio 7Calcolare il coefficiente di attenuazione massico nel vetro (SiO2, ρ = 2.21 g/cm3) per fotoni di Eγ = 3 MeV ed il relativo libero cammino medio.

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Si= 0.0367 cm2/g

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

O= 0.0359 cm2/g

p

Si=

2828 + 2 ⋅16

=2860 = 0.467

p

O=

2 ⋅1628 + 2 ⋅16

=3260 = 0.533

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

SiO2

= pSi

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Si

+ pO

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

O= 0.467⋅0.0367 + 0.533⋅0.0359 = 0.0363 cm2/g

pertanto:

µSiO2

= ρSiO2

µρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

SiO2

= 0.0802 cm-1;

λSiO2

=1

µSiO2

= 11.45 cm

Esercizio 8Un fascio di fotoni di 1 cm di raggio di energia Eγ = 0.8 MeV e intensità di flusso Φ =3⋅1011 cm-2s-1 incide su una lastra di ferro di spessore 2 cm (ρ = 7.86 g/cm3). Calcolare il numero di fotoni che interagiscono nel ferro per secondo e la potenza perduta dal fascio.µ /ρ = 0.0664 cm2/g ; µ = 0.519 cm-1. L’intensità iniziale del fascio è: N0= Φ⋅π r2 = 9.4⋅1011 s-1.Il numero di fotoni che interagiscono è:Nint = N0(1 – e -µx) = 9.4⋅1011⋅(1 – e-0.519⋅2) = 9.4⋅1011⋅(1 – 0.354) = 6.07⋅1011s-1

Per calcolare invece l’energia depositata si usa il coefficiente di assorbimento µen, che per fotoni di 0.8 MeV nel ferro vale: µen /ρ = 0.0274 cm2/g ; µen = 0.2154 cm-1.Pertanto:

Wdep = Eγ⋅ Nint = E

γN

01 − e−µenx( ) = 0.8⋅9.4⋅1011⋅(1 – e-0.2154⋅2) = 1.46⋅1011 MeV/s

Convertendo l’energia in joule si ottiene: Wdep = 0.023 Watt = 23 mWatt.

Esercizio 9Calcolare la minima energia di un fotone diffuso per effetto Compton se la sua energia iniziale vale 0.1, 1, 10 e 100 MeV.

Dalla formula :

E'γ=

Eγ

1 +E

γ

me

1 − cos θ( )

L’energia minima è in corrispondenza di una diffusione a ϑ = 180°:

E'γmin =

Eγ

1 + 2E

γ

mec2

=m

ec2

2 +m

ec2

Eγ

dalla formula si vede che per Eγ >> mec2 si ha che E’γmin ≈ me c2/2.

In particolare, per i valori dell’esercizio:

Eγ (MeV) E’γmin (MeV)0.1 0.07181 0.2035

10 0.2491100 0.2548