Eugen Balaban Cătălin Nicolae Calistru

LOGICĂ COMPUTAŢIONALĂ

Editura POLITEHNIUM

2

Capitolul 1. Introducere

Logica este cuvânt derivat din termenul elin λόγος (logos). În limba greacă veche expresia „logos” avea următoarele înţelesuri: cuvânt, idee, raţiune, ordine.

Heraclit din Efes utiliza termenul „logos” cu înţelesul de ordine necesară, proprie atât cosmosului, lumii materiale cât şi gândirii omeneşti în forma ei superioară.

Filosofii stoici elini au dat cuvântului „logos” un sens idealist, înţelegând prin logos raţiunea cosmică, divină.

Mai târziu filosoful Filon Iudeul a utilizat cuvântul „logos” desemnând prin el raţiunea divină ca forţă mijlocitoare între Dumnezeu şi lume.

Teologii creştini au utilizat cuvântul „logos” pentru a desemna raţiunea divină ca forţă mijlocitoare între Dumnezeu şi lume, identică cu Iisus.

Geneza logicii s-a produs în antichitate în lumea Greciei sclavagiste. Necesitatea studierii raţionale a gândirii a fost determinată de intensificarea preocupărilor de cunoaştere ştiinţifică a lumii faptuite de învăţaţii elini.

Astfel, Democrit, aproximativ între anii 460-370 î.e.n. pornind de la cercetările naturii a fost determinat să

3

studieze inducţia, analogia, ipoteza şi a formulat legea raţiunii suficiente.

În continuare, la constituirea logicii şi-au adus contribuţia filosofii sofişti prin practica demonstraţiei.

Gânditorul Socrate aproximativ între 469-399 î.e.n. prin centrarea reflecţiei pe suflet a adâncit preocuparea pentru modurile de gândire.

Discipolul lui Socrate, Platon aproximativ între anii 427-347 î.e.n. ocupându-se de studiul genurilor supreme ale ideilor a încercat o clasificare a categoriilor şi formularea unor legi ale logicii.

Logica a fost structurată, sintetizată şi expusă într-o formă durabilă de către filozoful Aristotel (circa 384-322 î.e.n.). Aristotel a revizuit şi generalizat cunoştinţele de până la el despre formele gândirii fiind primul gânditor care a scris o operă centrată special pe studiul gândirii omului. A considerat că formele centrale ale gândirii sunt noţiunea, judecata şi raţionamentul. Filozofii stoici au contribuit la dezvoltarea logicii prin apropierea ei de retorică şi gramatică.

Prin tradiţie, logica este studiată ca disciplină filozofică, fiind una dintre cele trei discipline ale clasicului trivium, alături de gramatică şi retorică.

Logica este o specie a cunoaşterii exacte. Obiectul cunoaşterii sale este forma abstractă a gândirii umane.

În studiul formelor gândirii umane logica separă forma de conţinutul informaţional, afectiv şi volitiv precum şi de mijlocul exteriorizării formei gândului adică limba naturală luând în cercetare numai forma intelectivă, cognitivă, raţională, obiectivă a gândirii considerând mijlocul de comunicare ca element convenţional.

Odată făcută această primă separaţie logica efectuează a doua operaţie: separarea formelor corecte de cele incorecte adică a celor valide de cele nevalide. În continuare se ocupă preponderent de cercetarea formelor valide de gândire. Scopul final este practic, deoarece există nevoia individuală şi socială de eficienţă a gândirii aplicate.

4

În prezent logica există pe mai multe nivele de structurare. Se practică logica de bază în care coexistă logica tradiţională, aristotelică sau generală şi logica modernă, matematică sau simbolică numită şi logistică.

Alături de logica de bază s-au iniţiat şi dezvoltat cercetări speciale de logică în conexiune sau în baza altor discipline ştiinţifice dând naştere unor logici speciale. Asupra sistemelor logice tradiţionale şi moderne în special s-au dezvoltat cercetările logice care le depăşesc sub aspectul generalităţii, cercetări reunite sub numele de metalogică. Reflecţiile cele mai generale asupra logicii actuale se fac asupra conceptelor logice fundamentale, asupra condiţiilor şi metodelor formale şi asupra finalităţii logicii, reflecţii ce poartă denumirea de filozofia logicii sau logică filozofică. Logica formală şi celelalte ştiinţe Logica studiind forma gândirii se deosebeşte de toate celelalte ştiinţe care reţin conţinutul gândirii. Pe fizician, pe chimist, pe biolog, pe sociolog îl interesează în primul rând ce anume se afirmă sau se neagă într-un act de găndire.

Un raport aparte există între psihologie şi logică.

Psihologia studiază fenomenele psihice printre care există şi gândirea. Ea cercetează gândirea ca proces psihic în complexitatea lui internă şi externă adică în legile sale de proces psihic de cunoaştere normală şi patologică şi în relaţiile sale cu condiţiile şi factorii externi gândirii cum ar fi memoria, afectivitatea, imaginaţia, stările neurofiziologice, cu evoluţia individuală.

Logica se ocupă numai de condiţiile gândirii normale, corecte luând în considerare formele eronate doar în vederea delimitării şi prescrierii formelor corecte de gândire. În această situaţie logica nu este în conflict cu psihologia, ci în colaborare, pentru că înformaţiile privitoare la condiţiile preliminare ale unei gândiri normale sunt necesare pentru accesul la formele corecte de gândire urmărite de cercetarea logică. În această fază logica încă mai are de a face cu psihologia deoarece o categorie de cauze ce determină abaterea gândirii de la corectitudine este de natură extralogică cauze denumite paralogisme ce sunt de

5

competenţă comună psihologiei şi logicii. După detaşarea de factorii paralogici, logica îşi preia mai deplin obiectul mai având de luptat cu a doua categorie de factori care ţin într-adevăr de corectitudinea formelor şi operaţiilor găndirii, anume cu grupul sofismelor adică a erorilor logice propriu zise. Însă odată obţinute condiţiile normalităţii gândirii şi realizată trecerea la formele corecte, logica se află pe tărâmul ei unde poate opera distincţiile proprii între genurile şi speciile formelor corecte şi celor incorecte. În acest stadiu logica nu mai are de a face de loc cu fenomene afective, volitive sau de altă natură preocupându-se exclusiv de aspectul obiectiv al formelor gândirii. O altă disciplină care se intersecteză cu logica este lingvistica. Cauza care face ca lingvistica să se întâlnească cu logica este strânsa legătură dintre limbaj şi procesul gândirii. Pentru ca o formă de gândire să existe ea are nevoie de o materializare fie şi în forme interiorizate, subiective. Fără această materializare nu pot fi executate operaţii nici asupra formelor nici asupra conţinutului informaţional al gândirii. Lingvistica a descoperit că între materializarea formelor gândirii şi formele sale pure nu este o dependenţă absolută, ci una relativă, astfel încât o formă de gândire şi un conţinut se pot materializa în moduri diferite putându-se exprima de exemplu aceeaşi judecată cu acelaşi conţinut în limbi diferite. Deci raportul dintre forma mentală a gândirii şi materializarea sa lingvistică este totodată necesar şi convenţional. Nu există o relaţie de identitate între semn şi înţeles. Totuşi raportul dintre forma gândirii, conţinutul informaţional al ei şi materializarea acestora este de subordonare. Gândirea subordonează limbajul. Datorită acestor relaţii lingvistica prin cercetarea şi adecvarea limbajului ca vocabular şi gramatică are o contribuţie substanţială la elucidarea problemelor calităţii actului de gândire. Metodă Pentru logică, metoda este un ansamblu de prescripţii obţinute prin transformarea propoziţiilor unei teorii în reguli

6

de acţiune practică şi intelectuală în scopul rezolvării problemelor de logică.

Logica de bază (logica tradiţională, aristotelică sau generală şi logica simbolică modernă, matematică sau simbolică) se caracterizează prin trei metode fundamentale: standardizarea, simbolizarea şi formalizarea.

●Standardizare logică

Standardizarea logică este transformarea enunţărilor din limba naturală, fără a le altera conţinutul, în expresii din care poate fi detaşată structura lor logică.

●Simbolizare

Simbolizarea se materializează prin introducerea de simboluri speciale -constante şi variabile-cu ajutorul cărora forma logică a acestor enunţuri este fixată în formule specifice. Se utilizează numai parţial în logica generală şi extins în logica simbolică.

●Formalizare

Formalizarea este finalizarea teoriei logice într-o formă calculatorie. Se utilizează numai în logica simbolică fiind un criteriu eficace de deosebire între logica generală şi logica simbolică.

În contemporaneitate logicienii dispun de mai multe clase de metode de cunoaştere logică datorită potenţialului generalizator al metodelor matematice moderne pe care logica le-a preluat foarte productiv în planul cunoaşterii.

7

Filosofii greci

Heraclit din Efes (Greacă: Ηρακλειτος Herakleitos) (aproximativ 535 - 475 î.Hr.), cunoscut ca "Obscurul" (Skoteinos), a fost un filozof grec presocratic. El nu a fost de acord cu Thales, Anaximandru şi Pitagora în legătură cu substanţa fundamentală şi considera că elementul fundamental din care derivă toate celalalte este focul, în locul apei, aerului sau pământului, cum considerau filozofii care l-au precedat . Acest lucru a dus la convingerea că schimbarea este un lucru real şi că stabilitatea e iluzorie. Pentru Heraclit, totul este "într-un flux", după cum spune binecunoscutul său aforism "Panta Rei":

Παντα ρει και ουδεν μενει Totul curge, nimic nu rămane neschimbat.

De asemenea a ajuns cunoscut pentru că a spus: "Nici un om nu poate să intre în apa aceluiaşi râu de două ori, deoarece nici râul şi nici omul nu mai sunt la fel." Această afirmaţie exemplifică punctul culminant al credinţei materialiste. Materia lucrurilor se transformă tot timpul, şi singurul lucru constant este forma, care poate fi exprimată în limbajul atemporal al formulelor matematice.

Punctul de vedere al lui Heraclit, prin care explicarea schimbării ar trebui să fie baza oricărei teorii naturale se opunea foarte puternic lui Parmenide, care considera că schimbarea este o iluzie şi că totul este static.

Unica sa scriere care s-a păstrat, căreia posteritatea i-a dat titlul de Peri physeos (Despre natură), nu este o lucrare sistematică, ci mai degrabă un jurnal în care autorul şi-a consemnat, sub formă de maxime, concluziile asupra unor probleme-cheie ale filosofiei. Interpretarea celor 130 de fragmente rămâne şi astăzi subiect de dispută. Totul în univers şi societate se supune unei ordini necesare, desemnate de Heraclit cu numele logos. Gândirea lui Heraclit a avut în antichitate o puternică influenţă asupra

8

stoicilor; a exercitat o constantă fascinaţie pentru Hegel, Marx, Engels şi Lenin.

Referitor la limbajul lui Heraclit, Socrate i-ar fi spus lui Euripide: "Partea pe care am înţeles-o e minunată şi îndrăznesc să cred că e la fel şi cea pe care n-am înţeles-o; dar este nevoie de un cufundător din Delos spre a înţelege totul" (Diogene Laerţiu, II, 22)

Filon din Alexandria (Φίλων ο Αλεξανδρεύς ori Φίλων (ο) Ιουδαίος, Filon Iudeul, în ebraică ןוליפ , Filon Ha'alexandroni sau הידידי Yedidia Ha'alexandroni; n. 25 î.Hr. – d. 40 d.Hr.) a fost un filosof mistic evreu de limba greacă din Egipt, şeful şcolii iudeo-alexandrine. A încercat să combine religia iudaică cu platonismul, pitagorismul şi stoicismul. A recurs în acest scop la interpretări alegorice ale dogmelor religioase tradiţionale în spiritul acestor concepţii filosofice. Concepţiile sale au avut un rol important în formarea teologiei creştine.

9

Democritos (greacă: Δημόκριτος) (c. 460 - c.370 î.Hr.), a fost filosof grec presocratic. Democrit este un important filozof grec, descendent al unei bogate familii din Abdera, Tracia. Democrit a călătorit mult (Grecia, Egipt, Persia), a revenit apoi în cetatea natală unde a devenit celebru prin vastitatea şi enciclopedismul cunoştinţelor sale. Democrit a preluat teoria atomistă a dascălului său, Leucip, dezvoltând-o într-un adevărat sistem filosofic, conform căruia la baza lumii se află atomii, care coincid cu realul - plinul (to on), şi vidul, neantul - golul (to menon). Atomii sunt particule solide, indivizibile, imperceptibile, necreate şi eterne, în continuă mişcare; din combinarea lor, iau naştere toate lucrurile care alcătuiesc universul (atât corpurile materiale cât şi sufletul uman).

Spre deosebire de alţi filosofi care credeau într-o lume unică, având pământul în centru, Democrit formulează teza lumilor infinite. Democrit a fost primul care a afirmat că forţa motrice a istoriei omenirii este nevoia (chreia), necesităţile oamenilor. Democrit a emis ideea dezvoltării ascendente a societăţii omeneşti. Poziţia lui Democrit era anti-teza mitului despre epoca de aur şi decăderea permanentă a umanităţii. Opera sa, extrem de bogată şi variată (peste 50 de tratate), se distinge prin claritatea lingvistică şi eleganţa stilului, Cicero comparându-l pe Democrit cu Platon în această privinţă. Diogene Laerţiu menţionează titlurile a 12 tratate ale lui Democrit despre matematică (Geometrika, Arithmoi - Numere etc), 16 de fizică (Cosmographie, Perton planeton - Despre plante), 8 de etică (Peri andragathias e Peri aretes - Despre bărbăţie sau despre virtute; Peri euthymies - Despre bucurie), 8 de muzică (Peri rythmon kai harmonies - Despre ritmuri şi armonie), grupate în tetralogii. Gândirea lui Democrit, cel mai de seamă filosof materialist al lumii antice, a exercitat o puternică influenţă de la Epicur şi Lucreţiu până la Francis Bacon, Galileo Galilei şi Leibniz. Eleaţii au pregătit drumul spre atomismul materialist, prin viziunea lor despre o materie constantă şi imobilă, care nu poate fi sesizată decît de

10

gândire, aceasta fiind singura modalitate care este există cu adevărat şi care se deosebeşte de schimbarea înşelătoare a aparenţelor senzoriale. Pitagoreii au pregătit de asemeni drumul spre ideea că toate calităţile senzoriale trebuie să fie reduse la anumite relaţii numerice între formele corpurilor. Atomiştii au putut să formuleze, datorită acestor idei, un concept clar despre cum trebuie gândită materia ca ultimul fundament al tuturor apariţiilor. Cu formularea acestui concept, materialismul a fost desăvârşit ca teorie consecventă a apariţiei lucrurilor din materie. Pasul acesta a fost îndrăzneţ şi cu urmări importante pentru istoria filozofiei şi a ştiinţei. Este pasul pe care l-a făcut Democrit.

Socrate (n. cca. 470 î.Hr. – d. 7 mai 399 î.Hr.) (Greacă: Σωκράτης Sōkrátēs) a fost filosof al Greciei Antice. Socrate s-a născut la Atena în dema Alopex, în 470 î.Hr., adică la sfârşitul războaielor medice. Mama sa, Phainarete, era moaşă; tatăl său, Sophroniscos, era sculptor. Probabil că Socrate a primit educaţia de care aveau parte tinerii atenieni din vremea sa: a trebuit să înveţe muzică, gimnastică şi gramatică, adica studiul limbii bazat pe comentarii de texte. Printre maeştrii a căror frecventare ar fi contribuit la formarea gândirii lui Socrate, Maximus din Tyr citează doua femei: Aspasia din Milet, o curtezană, şi Diotima din Mantineea, o preoteasă. Despre prima, Platon vorbeşte în Menexenos, dar este evidentă ironia lui Socrate atunci când face din ea un profesor de elocinţă; şi Xenofon vorbeşte de Aspasia în legatură cu Socrate, iar după Eschine, ea l-ar fi învăţat pe Socrate doctrina dragostei care-i face pe oameni mai buni. Cât despre Diotima, ea este cunoscută mai ales datorită celebrului pasaj din Banchetul, unde preoteasa din Mantineea povesteşte naşterea lui Eros.

Asupra vieţii de familie a lui Socrate posedăm câteva amănunte nu întotdeauna concordante; cert este că el s-a căsătorit cu Xantippe. Socrate a avut trei copii, Lamprocles, primul născut, Sophroniscos şi Menexene.

11

La începutul războiului peloponesiac îl găsim la asediul Potideei, în Chalcidica, între anii 432 şi 429. L-a avut ca tovarăş de arme pe Alcibiade, pe care-l salvează atunci când acesta, rănit, e cât pe ce să cadă în mâinile duşmanului. În 424, cinci ani după ciuma abătută asupra Atenei, îl regăsim pe Socrate în bătălia de la Delion, unde trupele ateniene sunt zdrobite de către tebani. Acolo el îi salvează viaţa lui Xenofon, prins sub calul care căzuse peste el. În 422, Socrate participă la expediţia pentru cucerirea oraşului Amfipolis.

Curajul lui Socrate merge mână în mână cu o răbdare, o simplitate şi o stăpânire de sine capabile să înfrunte orice încercare; la banchete era un conviv vesel şi agreabil, care bea la fel de mult ca tovarăşii săi, dar fără a se cufunda vreodată în beţie, aşa cum li se întâmplă acestora, ispravă ce-l umplea de admiraţie pe Alcibiade. Mânia, ieşirile violente, duşmănia îi sunt necunoscute. Primind de la cineva o lovitură de picior, iar oamenii mirându-se de resemnarea sa, Socrate se justifica: "Dacă un măgar m-ar fi lovit cu copita, l-aş fi dat în judecată?"

Îmbrăcămintea lui Socrate era întotdeauna modestă, atât din cauza sărăciei, cât şi a simplităţii sale; niciodată n-a fost văzut afisând o neglijenţă vestimentară, cum o vor face cinicii. Unii îşi afectează zdrenţele, de aceea i-a şi spus Socrate filosofului cinic care-şi etala găurile hainei: "Îţi văd deşertăciunea prin mantie". Lui Socrate nimic nu-i este mai străin decât aroganţa iar atunci când vede în agora Atenei obiectele de tot felul expuse de negustori admiraţiei şi lăcomiei cumpărătorilor, se mulţumeşte să spună: "Câte lucruri de care eu nu am nevoie există!".

S-a zis că Socrate era deosebit de urât; chel, purtând barbă, cu nasul borcanat. Alcibiade după ce afirma în Banchetul că Socrate seamănă cu satirul Marsyas, el precizează că este asemeni acelor statui de sileni care se deschid şi conţin înăuntru imaginile unor divinităţi, chipul lui Socrate ascuzând cel mai frumos dintre suflete, la fel cum discursurile sale aparent naive şi glumeţe ascund cea mai mare profunzime. Figura lui Socrate nu putea să nu-i scandalizeze pe atenieni, întrucât pentru ei frumuseţea fizică era simbolul frumuseţii lăuntrice şi nimic nu părea a fi mai incompatibil decât urâţenia lui Socrate şi puritatea sa morală.

O personalitate de anvergură ca a lui Socrate nu putea să nu ajungă să fie urâtă de vanitoşi şi, mai ales, neînţeleasă de spiritele mărginite, care vedeau în el doar un parazit ce se slujea de ironie, îşi atrăgea simpatia tinerilor şi constituia un pericol pentru ordinea socială. În 398, Socrate a fost acuzat de către Meletos, Anytos şi Lycon. Actul de acuzare era astfel întocmit: "Eu, Meletos, fiul lui Meletos, din dema Pitthea, acuz sub

12

jurământ pe Socrate, fiul lui Sophroniscos, din dema Alopex. Socrate se face vinovat de crima de a nu recunoaşte zeii recunoscuţi de cetate şi de a introduce divinităţi noi; în plus, se face vinovat de coruperea tinerilor. Pedeapsa cerută: moartea".

Meletos era un poet obscur, iar Lycon era retor; sufletul procesului pare să fi fost Anytos, un tăbăcar bogat care reprezenta interesele comercianţilor, fiind aşadar puternic şi influent. Socrate i-a reproşat public faptul de a nu se gândi la educaţia fiului său decât pentru a face din el un tăbăcar capabil să preia afacerile părintelui, de unde, conform lui Xenofon, dorinţa de răzbunare a lui Anytos. După toate aparenţele, Anytos era sincer convins că vede în Socrate un personaj periculos.

Moartea lui Socrate pictat de Jacques-Louis David; Metropolitan Museum of Art, New York

Procesul lui Socrate nu este doar un eveniment istoric singular, irepetabil; procesul lui Socrate este procesul intentat gândirii care cercetează, dincolo de mediocritatea cotidiană, adevaratele probleme. Socrate este acela care, uimindu-ne, ne interzice să gândim potrivit unor obişnuinţe dobândite. Socrate se situează aşadar la antipozii confortului intelectual, ai conştiinţei împăcate şi ai seninătăţii blajine.

Adus în faţa tribunalului, Socrate refuză ajutorul lui Lysias, avocat de meserie. Textul lui Platon Apărarea lui Socrate reproduce probabil îndeaproape apărarea prezentată de Socrate judecătorilor. Această pledoarie se împarte în trei părţi:

13

• Socrate spune cine este şi le va înfăţişa judecătorilor misiunea încredinţată lui de către divinitate: să deştepte conştiinţa contemporanilor săi. Nu reuşeste să-i convingă pe judecători; limbajul minciunii se dovedeşte mai convingător decât cel al adevărului. Judecătorii deliberează şi 281 de voturi îl declară pe Socrate vinovat, contra a 278 (sau 221 după alte manuscrise). Acuzatorii ceruseră moartea, dar acuzatul era liber să facă o contrapropunere iar judecătorii urmau să aleagă una ori alta dintre pedepse.

• Socrate cere să fie hrănit în pritaneu. Iată ultimul act al serioasei ironii a lui Socrate, faptul de-a cere o recompensă pentru felul cum s-a purtat nu este din partea sa sfidare, ci sinceritate. Fiindcă trebuia stabilită o sancţiune va propune o amendă de o mină, adică întreaga lui avere. Răspunsul lui Socrate le-a părut probabil judecătorilor o insultă adusă magistraţilor, aşa încât la urne condamnarea la moarte a avut 80 de voturi mai mult decât avusese vinovăţia sa.

• Socrate le spune adio judecătorilor săi, făcându-i responsabili pe vecie pentru moartea sa

Socrate a stat înlănţuit 30 de zile, dar în fiecare zi primea vizita prietenilor şi se întreţinea cu aceştia. Ei n-au stat degeaba şi-au pregătit un plan de evadare pe care Socrate îl refuza. La data executării sentinţei, toţi prietenii lui Socrate erau de faţă cu excepţia lui Aristippos, a lui Xenofon, aflat în Asia şi a lui Platon, bolnav. Socrate îşi dedică ultimile clipe conversaţiei cu prietenii săi pe tema nemuririi sufletului, iar cuvintele-i ne-au fost păstrate de Platon în Phaidon. Socrate se îmbăiază pentru ultima oară şi refuză să aştepte ca soarele să fi dispărut cu totul la orizont înainte de a bea otravă. Apucând cu o mână sigură vasul cu cucută, el sorbi fără ezitare sau repulsie băutura mortală. Criton, îi sunt dator lui Asclepios un cocoş, vă rog să nu uitaţi să i-l daţi, acestea au fost ultimile sale cuvinte. Trebuie să înţelegem aici, urmând sugestia lui L.Robin, că Socrate îl roagă pe Criton să aducă o jertfă zeului medicinei drept mulţumire că i-a vindecat sufletul de boala de-a fi fost unit cu un trup.

Gândirea socratică gravitează în jurul cunoaşterii de sine - Gnothi se auton. (Cunoaşte-te pe tine însuţi). Esenţială pentru om este capacitatea sa de a intra în relaţie de dialog, Socrate punând pe prim plan sufletul iar nu corpul. Pentru Socrate, cunoaşterea propriei noastre fiinţe şi a destinului acesteia se realizează pe două căi:

• mediat, pe cale oraculară, prin metode mantice, divinatorii

14

• directă, prin cunoaşterea de sine, care invită la contemplarea interioară, la introspecţie, acţiune posibilă datorată intervenţiei daimonului

Socrate a fost primul gânditor care a luat ca obiect al meditaţiei sale fiinţa umană. Începând cu Socrate, omul devine în mod exclusiv o problemă pentru el însuşi. "Persoana ta este sufletul tău" spunea Socrate (Platon, Alcibiade)

Platon (Greacă: Πλάτων; Plátōn) (n. cca. 427 î.Hr. — d. cca. 347 î.Hr.) a fost un filozof al Greciei antice, student al lui Socrate şi învăţător al lui Aristotel. Împreună cu aceştia, Platon a pus bazele filozofice ale culturii occidentale. Platon a fost de asemenea matematician, scriitor al dialogurilor filozofice şi fondatorul Academiei din Atena, prima instituţie de învăţământ superior din lumea occidentală.

S-a născut într-o familie aristocratică, la Atena sau pe insula Egina, având ca tată pe Ariston (descendent al regelui Codros) şi ca mamă pe Perictione (dintr-o familie înrudită cu Solon). Numele de naştere al său era Aristocles; Platon a fost o poreclă primită datorită pieptului său lat. Copilăria este marcată de războiul peloponesiac şi luptele civile între democraţi şi aristocraţi. La 20 de ani devine discipol al lui Socrate, rămânând alături de el vreme de 8 ani, până la moartea acestuia. Înclinaţiile poetice, talentul în domeniul teatrului le-a înnăbuşit şi s-a dedicat total filosofiei. La moartea lui Socrate (399 î.Hr.) nu a putut fi de faţă, fiind bolnav. Condamnarea nedreaptă a maestrului l-a îndemnat să-l reabiliteze (Apologia lui Socrate), dialogurile de tinereţe purtând marca puternică a filosofiei socratice. Refugiat o vreme la Megara, se bucură de prezenţa lui Euclid, alt discipol al lui Socrate. Realizează mai multe

15

călătorii: în Egipt se familiarizează cu matematica; în Cirene intră în legătură cu matematicianul Teodor; în coloniile din Italia de Sud face cunoştinţă cu pitagoreicii; în Sicilia, la Siracuza este invitat de tiranul Dionysios cel Bătrân. O tradiţie spune că Dyonisios cel Bătrân l-a vândut pe Platon ca sclav în Egina deoarece îi considera supărătoare prezenţa, dar prietenii l-au cumpărat şi eliberat din sclavie. Acest fapt ar putea explica hotărârea lui Platon de a se retrage din politică şi de a deschide o şcoală filosofică la Atena, lângă gimnaziul închinat lui Heros Akademos, de unde şi numele Academia. Organizarea şcolii era asemănătoare societăţilor pitagoreice, cu o ierarhie bine structurată. Şcoala va funcţiona aproape 1000 de ani; unul dintre obiectivele cele mai importante fiind acela de a contribui la pregătirea politică a oamenilor politici. Academia lui Platon este închisă în 529 d.Hr. la ordinul împăratului Iustinian. După ce împlinise deja 60 de ani, Platon a mai efectuat două călătorii la Siracuza, în speranţa de a-l influenţa pe Dionysios cel Tânăr pentru proiectele sale de reformă politică şi filosofică. Din păcate proiectul eşuează definitiv. S-a stins din viaţă cum spune Cicero, „cu condeiul în mână” („scribens mortuus est”).

Este cel dintâi filosof de la care au rămas scrieri complete: 35 de scrieri şi 13 scrisori (dintre care doar una, a şaptea, pare a fi autentică). El a creat specia literară a dialogului, în care problemele filosofice sunt abordate prin discuţia dintre mai mulţi interlocutori, Socrate fiind cel mai adesea personajul principal. Lewis Campbell a fost primul cercetător care a demonstrat prin studiul stilometric că dialogurile Philebos, Critias, Legile, Timaios şi Omul politic pot fi grupate şi sunt clar distinse de Parmenides, Phaidros, Republica şi Theaitetos. Studiile recente demonstrează imposibilitatea stabilirii ordinii cronologice a dialogurilor, care tradiţional sunt grupate după criterii tematice şi încearcă să urmărească o evoluţie a gândirii lui Platon. Cronologia dialogurilor nu mai poate fi stabilită astăzi decât în linii mari. ●Dialoguri de tinereţe Aceste dialoguri sunt unite prin prezenţa lui Socrate şi reprezintă cea mai veridică sursă despre personalitatea şi filosofia sa, de aceea sunt supranumite „dialoguri socratice”. Majoritatea îl prezintă pe Socrate discutând un subiect de natură etică (prietenia, pietatea) cu un prieten sau cu cineva pe care îl crede expert în domeniu. Cu ajutorul unui şir de întrebări interlocutorii săi înţeleg că ale lor cunoştinţe sunt superficiale şi nu sunt adevărate.

• Apărarea lui Socrate (ἀΠολογία Σωκράτους)

• Euthyphron (Εὐθύφρων)

16

• Criton (Κρίτων)

• Protagoras (Πρωταγόρας)

• Ion (Ἴων)

• Laches (Λὰχης)

• Lysis (Λύσις)

• Charmides (Χαρμίδης)

• Republica (Πολιτεία), cartea I

●Dialoguri de tranziţie

În unele din dialogurile din tinereţe Socrate este prezentat de Platon ca oferind răspunsuri clare la întrebările interlocutorilor, punând baza unei doctrine filosofice. În discuţiile ţinute de Socrate intervine şi Platon, care începe să promoveze ideile proprii, cum ar fi că bunătatea este înţelepciune, şi că nimeni nu face răul cu bunăvoinţă. Aceste idei probabil aparţineau lui Socrate, dar sunt preluate de Platon şi ulterior elaborate. Specifice acestui grup de dialoguri sunt ideile platonice despre imortalitatea sufletului, justiţie, şi cunoştinţe. Pentru prima dată, Platon exprimă idea că cunoştinţele vin din înţelegea formelor (sau esenţelor) neschimbătoare ale lucrurilor, astfel elaborând binecunoscuta „teorie a formelor”.

• Gorgias (Γοργίας)

• Menon (Μένων)

• Euthydemos (Εὐθύφρων)

• Hippias Minor (Ἱππίας μειζών)

• Cratylos (Κρατύλος)

• Hippias Maior

• Menexenos (Μενέξενος) ●Dialoguri de maturitate

• Banchetul (Συμποσίον)

• Phaidon (Φαίδων)

• Phaidros (Φαῖδρος)

17

• Republica (Πολιτεία), cărţile II — X ●Dialoguri de bătrâneţe

• Theaitetos (Θεαίτητος)

• Parmenide (Παρμενίδης)

• Sofistul (Σοφιστής)

• Timaios (Τίμαιος)

• Omul politic (Πολιτικός)

• Philebos (Φίληβος)

• Critias

• Legile

●Doctrina

Dialectica este metoda prin care se ajunge la cunoaşterea ideii, obiectul cunoaşterii adevărate (episteme); procedeul prin care ne ridicăm din lumea sensibilă în lumea suprasensibilă, metafizică; în cunoaşterea metafizică intervine intelectul analitic (dianoia) şi intelectul pur (nous). Mitul peşterii este o imagine alegorică a lumii şi a modului cum poate fi cunoscută.

Platon şi Aristotel de Raphael

18

●Metafizica Platonismul este un termen folosit de savanţi pentru a se referi la consecinţele intelectuale ale negării realităţii lumii materiale. În unele dialoguri, cel mai remarcabil, în Republica, Socrate inversează intuiţia oamenilor despre ce se poate cunoaşte şi ce este realitate. În timp ce toţi oamenii acceptă realitatea obiectelor, care sunt perceptibile simţurilor lor, Socrate are o atitudine dispreţuitoare faţă de oamenii, care cred că pentru a deveni reale lucrurile trebuie să fie palpabile. În Theaetetus, el îi numeşte „eu mousoi: ad literam «fericiţi fără muze»”(Theaetetus 156a). Cu alte cuvinte, aceşti oameni trăiesc fără inspiraţia divină, care îi dă lui, şi altor oameni ca el, accesul la înţelesuri superioare despre realitate.

Ideea lui Socrate, că realitatea nu este disponibilă celor ce folosesc simţurile, a creat divergenţe cu locuitorii Atenei şi cu simţul comun. Socrate credea că cel care vede cu ochii este orb, şi această idee este cel mai des amintită în legătură cu alegoria peşterii. Alegoria peşterii (Republica 7. 514a) este o asemănare paradoxală prin care Socrate argumentează că lumea invizibilă este cea mai inteligibilă („noeton”) şi că lumea vizibilă („(h)oraton”) este cel mai puţin posibilă pentru cunoaştere, şi cea mai obscură. ●Teoria ideilor Teoria ideilor reprezintă nucleul filosofiei platonice ce se regăseşte în Phaidon, Republica (cărţile VI — VII), Banchetul şi Phaidros.

Distincţia existenţa sensibilă/existenţa inteligibilă este baza teoriei ideilor; planul existenţei sensibile este acela al realităţii aparente, accesibilă cunoaşterii prin simţuri, lumea Peşterii care fundamentează opinii (doxa); planul existenţei inteligibile este acela accesibil doar cunoaşterii de tip raţional, lumea din afara Peşterii, lumea Formelor Pure, a Ideilor, lumea metafizică a realităţii esenţiale.

Ideile se caracterizează prin:

• Desemnează o existenţă absolută (sunt simple)

• Sunt o existenţă substanţială (există în sine şi prin sine)

• Reprezintă o existenţă eternă

• Desemnează o existenţă universală (ideea închide în sine toate calităţile particulare)

• Desemnează o existenţă imuabilă (neschimbătoare)

19

Lumea sensibilă este o copie palidă a lumii Ideilor; corpurile fizice nu au realitate decât dacă participă („methexis”) la Idei ca prototipuri („paradigma”) ale lucrurilor.

„Mitul Peşterii” (Republica, cartea a VII–a):

• simboluri:

o peştera — lumea sensibilă (a realităţii aparente);

o întunericul peşterii — ignoranţa omului incult, limitat;

o lanţurile — prejudecăţile, simţurile care ne limitează;

o focul — lumina cunoaşterii;

o umbrele de pe peretele peşterii — imaginile corpurilor fizice, aparenţele care generează opinii întâmplătoare (păreri, rodul percepţiilor şi al imaginaţiei);

o corpurile purtate prin faţa focului — aparenţele adevărate, realitatea fizică, generează opiniile adevărate („orthe doxa”), suişul greu spre ieşirea din peşteră — drumul iniţiatic spre cunoaşterea esenţială, cunoaşterea prin intelectul analitic;

o contemplarea lumii din afara peşterii — cunoaşterea metafizică, prin intelectul pur (episteme, cunoaşterea adevărată prin intelect şi raţiune)

o Soarele — Ideea Binelui (Perfecţiunea)

Sufletul se aseamănă cu Ideile pentru că este simplu, nemuritor, cunoaşte lumea inteligibilă printr-un proces de conversiune a cărui forţă o constituie erosul (iubirea — are ca efect uitarea, în vederea dobândirii purităţii primare); cunoaşterea Ideilor este doar o reamintire („anamnesis”) a sufletului încarcerat în corpul fizic (ideea corpului — închisoarea este o reminescenţă a orfismului); menirea sufletului este să pregătească omul pentru moarte (eliberarea sufletului nemuritor şi întoarcerea în lumea ideilor); condiţia eliberării definitive a sufletului este o viaţă virtuoasă; filosofia este pregătirea sufletului pentru recunoaşterea imortalităţii sale.

●Teoria formelor „Teoria formelor” se referă la încrederea lui Platon precum, că lumea materială care ne înconjoară nu este una reală, ci numai o umbră a lumii reale. Platon vorbea despre forme când încerca să explice noţiunea de

20

universalii. Formele, după Platon, sunt prototipuri sau reprezentări abstracte a unor tipuri sau proprietăţi (adică universalii) a lucrurilor pe care le vedem în jurul nostru.

●Statul ideal

• Este statul în care domneşte dreptatea (oikeiopragia), o virtute conform căreia fiecare tip uman se ocupă de ceea ce-i este orânduit prin funcţia sufletească dominantă: cei capabili de practicarea virtuţii raţiunii (înţelepciunea) elaborează legi, cei capabili de practicarea virtuţii părţii pasionale (curajul) se ocupă cu apărarea, iar cei înzestraţi cu posibilitatea practicării virtuţii corespunzătoare părţii apetente a sufletului (cumpătarea) sunt responsabili de asigurarea resurselor. Există astfel o ierarhie a unor clase sociale determinate natural: înţelepţii, militarii, respectiv agricultorii şi meşteşugarii. O altă condiţie a oikeiopragiei (în afară de practicarea de către fiecare tip uman a acelor activităţi care i se potrivesc) este păstrarea ierarhiei claselor.

Scopul statului este realizarea binelui tuturor:

• Clasele sociale, orânduite ierarhic, corespund celor trei părţi ale sufletului: clasa meşteşugarilor (demiurgii) corespunde părţii apetente, clasa războinicilor (apărătorii, phylakes) corespunde părţii pasionale, clasa conducătorilor (archontes, filosofii sau înţelepţii) corespunde părţii raţionale.

• Comunismul aristocratic — luptătorii şi conducătorii, pentru a nu fi ispitiţi de putere sau de preocupări care nu sunt proprii virtuţilor lor, nu vor poseda nimic personal (proprietăţi, bani, femei) ci totul va fi în comun (casă, avere, femei, copii).

• Femeile au aceleaşi drepturi şi obligaţii ca şi bărbaţii.

• Este o aristocraţie a raţiunii, înţeleasă de unii exegeţi drept teocraţie laică, deşi statul raţiunii şi a contemplării Ideilor la Platon are şi un sens religios.

• Armonia statului se realizează numai când conducătorii sunt filosofi, demiurgii îi hrănesc pe apărători şi conducători, iar apărătorii se ocupă numai de siguranţa statului.

• Formele degenerate (imperfecte) ale statului:

o timocraţia — conducerea de către soldaţi

21

o oligarhia — conducerea exercitată de cei bogaţi

o democraţia — conducerea poporului (periculoasă pentru că încurajează ignoranţa — înţeleasă de cei ignoranţi drept gândire liberă, promovarea scopurilor personale, egalitatea — cu sensul de părăsire a oikeiopragiei, alegerea capricioasă a conducătorilor)

o despotismul — cea mai rea formă de corupere a puterii (un individ acaparează puterea şi conduce de dragul propriei măriri)

• Cetatea sau statul ideal conceput în dialogul Republica nu este un proiect politic, ci o analogie utilizată de Platon pentru a putea răspunde la întrebarea ce indică tema dialogului: „Ce este dreptatea?”. Astfel, teoria facultăţilor şi virtuţilor sufletului, precum şi proiectarea ei asupra ideii de stat, reprezintă un model pentru identificarea formei dreptăţii ca oikeiopragia. Nici statul ideal, nici sufletul perfect armonizat în acord cu dreptatea, nu există în lumea sensibilă. În domeniul sensibil, al lucrurilor corporale, există numai formele corupte ale Ideilor sau paradigelor (fie că este vorba de Ideea de Cetate, fie de altele).

22

Capitolul 2 Logica formală 2.1. Obiectul logicii. Istorie Denumirea “logică” provine din grecescul “logos”, care semnifică cuvânt, idee, raţiune, ordine. În Biblie se afirmă că la început a fost cuvântul, iar unii autori consideră că, de fapt, la început a fost raţiunea. Termenul “logos” a fost folosit pentru prima dată de către Heraclit din Efes, cu înţelesul de ordine necesară, proprie atât Cosmosului, lumii materiale, cât şi gândirii omeneşti în forma ei superioară. Ca disciplină, logica studiază formele şi legile generale ale raţionării corecte. Raţionamentul constă într-o succesiune de judecăţi, prin care gândirea, pornind de la cunoştinţele date, obţine altele noi. Istoria oricărei discipline este interesantă prin faptul că relevă întregul ei proces de evoluţie, frământările şi fazele prin care a trecut până a ajuns la stadiul actual. Există ştiinţe care pot fi cunoscute şi utilizate foarte bine fără să li se cunoasca istoria. Cercetarea mişcării astrelor cu ajutorul mecanicii newtoniene sau einsteiniene nu necesită cunoaşterea mecanicii cereşti a celor vechi, teoria hipocicloidelor sau sistemul geocentric. Logica are însă o situaţie cu totul deosebită. Ea nu se reduce la ultimele legi stabilite în acest domeniu, ci

23

înseamnă tot ce s-a făcut din antichitate până în prezent. Logica este întreaga ei devenire, este însumarea tuturor momentelor istoriei sale. Înţeleasă astfel, ea îşi păstrează întregul dinamism, nervul motor, caracterul de ştiinţă care ia naştere şi creşte odată cu cercetarea ei. Logica îşi capătă astfel o unitate perfectă, integrând critic tot ceea ce s-a realizat în domeniu, păstrând totodată proprietatea de perfectibilitate continuă. Preocupări asupra formelor şi legilor raţionării corecte au apărut la oameni din cele mai vechi timpuri. Se consideră însă că întemeietorii logicii au fost grecii antici, iar dacă geniul filosofic al Greciei şi-a găsit în Aristotel expresia lui universală şi perfectă, acesta poate fi considerat “părintele logicii”, descoperitorul silogismului ca tip fundamental de raţionament. În antichitate, logica era considerată o “artă a artelor” sau “ştiinţă a ştiinţelor”, neputând să se prezinte, în construcţia ei, ca o ştiinţă între alte ştiinţe. În acest caz, ar fi însemnat ca ea să fie, în acelaşi timp, şi gen (al tuturor ştiinţelor) şi o specie a acestui gen (o ştiinţă). Se poate spune că pentru filosofii greci, ca şi pentru scolasticii de mai târziu, logica era o teorie, în sensul etimologic al termenului, care provine din limba greacă. Termenul “teoria” provine din verbul “teorein”= a contempla, a vedea direct, avea sensul originar de contemplaţie, viziune, şi numai cu timpul a fost confundat cu termenul “episteme”= ştiinţă sau cunoştinţă. Iniţial, denumirea de teorie s-a dat acelor cunoştinţe imediate, obţinute direct de intuiţia intelectuală. În concepţia anticilor, logica putea fi o teorie, un corp de adevăruri nedemonstrate, obţinute direct, contemplate sau reflectate în oglinda intelectului omenesc, aşa cum se găsesc esenţial în realitate. Acest sens a fost păstrat pentru logică până la sfârşitul Evului Mediu, logicienii repetând mereu că logica nu este o ştiinţă, ci modul ştiinţelor (modus-mod, procedeu, principiu). Logica era considerată ca fiind aceea ce oferă principiile tuturor ştiinţelor, şi nu o ştiinţă. În “Metafizica” sa, Albertus Magnus scrie că logica îşi propune să ne înveţe principiile. Termenul “episteme” (ştiinţă) provine din verbul “isteme”= a stabili, a ordona, şi de la particular “epi”, care are aici,

24

sensul “în sus”. Prin urmare, ştiinţa înseamnă ordonare ierarhică de adevăruri sau propoziţii adevărate. O asemenea construcţie ierarhică pleacă de la un grup de principii şi apoi, pe cale de demonstraţie, se obţin celelalte adevăruri sau teoreme ale ştiinţei respective. Logica nu era o astfel de construcţie, nu era concepută ca o ierarhie de adevăruri, ci îşi propunea să înveţe principiile. La Aristotel se întâlneşte expresia de “ştiinţă apodictică”, dar o utilizează în sensul de ştiinţa silogismului, deci de cunoştinţă a demonstraţiei. Această idée despre logică se pierde însă treptat şi, după Evul Mediu, tratatele de logică priveau logica în sensul de ştiinţă, fără a preciza definiţia ştiinţei. Mai mult decât atât, printr-o schimbare de optică, logica ajunge un simplu sistem, un sistem logico-matematic. Denumirea de sistem este folosită mai ales în timpul Renaşterii, fiind preluată tot de la greci. Sensul etimologic al termenului provine din verbul “stao”= a sta în picioare şi de la particula “sin”=cu. Cu alte cuvinte, sistemul înseamnă a sta în picioare, a fi coordonat într-un ansamblu cu alte părţi. Prin urmare, nu mai este vorba de o construcţie ierarhică, care începe de la principii şi coboară la adevărurile ştiinţei, ci de o juxtapunere de propoziţii sau adevăruri, de o structură coerentă a corpului de propoziţii adevărate. Ideea de sistem, fără a fi definită cu precizie, se adoptă pentru logică, care ajunge în prezent un sistem matematic formal, un ansamblu de formule construite după anumite reguli şi juxtapuse în mod coerent. Cei care au considerat logica o ştiinţă moartă au redus-o la câteva reguli de manual. Kant aprecia că, de la Aristotel, logica nu a mai făcut niciun pas înainte şi niciunul înapoi, considerând-o “terminată şi desăvârşită”. A fost de-ajuns să apară Fichte, Schelling şi mai ales Hegel pentru ca părerea lui Kant să fie total infirmată, iar logica să fie pusă într-o valoare cu totul nouă şi creatoare. Cercetările de logică matematică din ultimele decenii nu numai că nu au negat nimic din ceea ce s-a realizat înainte, dar au scos la iveală o altă faţetă a logicii, în care se regăsesc o serie de descoperiri

25

ale logicienilor stoici şi scolastici. Unitatea logicii cu istoria ei apare evidentă. Mult timp, s-a crezut că evoluţia omului de la primele licăriri ale conştiinţei până la stadiul modern de cultură şi civilizaţie este liniară şi că, oriunde ar fi început, în Africa, Asia sau America, dezvoltarea inteligenţei omului s-ar face în sens unic, având ca scop final tipul de cultură şi civilizaţie al europeanului actual. Această concluzie facilă se datorează unei simplificări a problemei, care, prin chiar datele ei, nu poate primi acest răspuns. Evoluţia spirituală a Chinei sau a Indiei nu a dus, în trecut, la chipul intelectual European, dar niciun cercetător serios nu a putut afirma că un chinez sau un indian sunt inferiori europenilor din punct de vedere intelectual. Realizările culturii chineze sau indiene în domeniile artei, poeziei, filosofiei, demonstrează că inteligenţa popoarelor respective nu este cu nimic inferioară europenilor. Rezultă că există evoluţii diferite ale inteligenţei umane, care, progresând permanent, sunt orientate diferit şi au structuri diferite, care ţin de gradul sau modul de organizare socială, de tradiţie, de alte condiţii. În prezent, logica este concepută ca un sistem matematic formal, construită după anumite reguli şi juxtapusă în mod coerent. O analiză mai detaliată a ştiinţei logicii şi sistemului matematic formal este prezentată în cele ce urmează. În orice domeniu ştiinţific, faptele care aparţin acestui domeniu sunt puse într-o anumită ordine, cu ajutorul unui grup de concepte; fiecărui obiect individual din cadrul domeniului ştiinţific îi corespunde un concept, iar fiecărui fapt îi corespunde o relaţie logică între concepte. Grupul de concepte nu este altceva decât teoria domeniului ştiinţific (D. Hilbert). Problema grupului de concepte şi a ordinii din interiorul său a condus la separarea riguroasă a părţilor din care ea este compusă. O serie de concepte şi de propoziţii sunt acceptate în fruntea unei stiinţe, fără a fi definite şi, respective, fără a fi demonstrate; alte concepte sunt introduse cu ajutorul

26

primelor; o serie de propoziţii sunt derivate, prin procedee date, din propoziţiile date fără demonstraţie. Descrierea completă şi explicită a diferitelor părţi ale unei ştiinţe, a procedeelor de definiţie şi descriere utilizate în cadrul ei, a condiţiilor pe care trebuie să le îndeplinească axiomatica, formează obiectul metodei axiomatice. David Hilbert susţine că tot ceea ce poate constitui obiect al gândirii ştiinţifice, de îndată ce se află în pragul constituirii teoriei, revine metodei axiomatice şi prin aceasta revine nemijlocit matematicii. Metoda axiomatică ne face să sesizăm esenţa gândirii ştiinţifice şi ea este de fapt metoda matematică. În evoluţia ei, metoda axiomatică a părăsit treptat conţinutul conceptelor şi propoziţiilor cu care se construieşte o ştiinţă şi a abandonat orice fel de intuiţie (dacă e posibil). Aceasta înseamnă trecerea de la ştiinţa “materială” la cea “formală”. Unii consideră că progresul axiomaticii constă tocmai în eliminarea crescândă a intuiţiei. Ladrière distinge patru stadii în evoluţia axiomaticii, corespunzătoare gradului de intuitivitate admis. 1.Axiomatica intuitivă. Conceptele fundamentale sunt considerate date în mod intuitiv, iar enunţurile fundamentale sunt date ca fiind evidente. Procedeele de deducţie sunt date ca fiind evidente (de exemplu, geometrul Euclid). 2.Axiomatica abstractă. Conţinutul conceptelor fundamentale este precizat şi se reţin doar unele proprietăţi, enunţate explicit. Conceptele capătă astfel o oarecare nedeterminare şi sunt aplicabile tuturor obiectelor care verifică axiomele (exemplu, teoria grupurilor). 3.Axiomatica formală. Conţinutul conceptelor nu joacă niciun rol, sensul lor este determinat numai de relaţiile stabilite între ele de axiome. Aceste concepte fac, însă, apel la expresii din limbajul curent, al caror sens este dat de intuiţie (de exemplu, sistemul de axiome al lui Peano).

27

4.Sistemul formal pur. Orice referinţă la un domeniu exterior sistemului este eliminată prin utilizarea unui limbaj simbolic precis definit; procedeele de deducţie sunt date în mod complet. La început se disting clar propoziţiile imediate, nedemonstrabile, de teoreme; se poate observa aici uşor de care principii depinde fiecare teoremă. Ulterior, prin abstractizare nu se mai admit entităţi a caror realitate sau posibilitate ar preceda de drept stipularea axiomelor şi definiţiile explicite sunt înlocuite prin definiţii implicite. Metoda axiomatică descrie o ştiinţă, relevă legăturile ei logice. Pe de altă parte, dacă partea axiomatică a teoriei, cu regulile de derivare respective rămâne dată pentru totdeauna, completă şi intangibilă, atunci ştiinţa în cauză nu este decât explicitarea conceptelor şi propozitiilor cuprinse în această parte. Totul ar trebui să se reducă la câteva noţiuni şi adevăruri iniţiale. Dacă partea axiomatică este parţială, urmând să se introducă noi concepte şi noi axiome înauntrul ştiinţei respective, atunci stiinţa considerată se completează şi evoluează. Dinamica unei stiinţe se datoreşte - după Bourbaki - intervenţiei intuiţiei, care nu este un rezultat derivat prin axiome. Logica a fost formalizată şi studiată ca atare prin metoda axiomatică. După David Hilbert, logica nu va studia un obiect sau nişte obiecte particulare, ci înseşi propoziţiile care se pot forma cu privire la aceste obiecte. Hilbert degajează sistemul propoziţional în care se exprimă o teorie oarecare de conţinutul lui şi-l studiază în el însuşi. Altfel spus, unul este limbajul în care vorbim într-o ştiinţă dată şi altul este limbajul în care vorbim despre această ştiinţă. Hilbert a luat limbajul matematic separat şi l-a desfăcut în elementele sale, pentru a ridica edificiul logicii noi, căreia i-a dat la început numele de metamatematică.

28

În logica formalizată, trebuie să considerăm propoziţiile golite de orice conţinut, vide de orice substanţă; obiectele unei asemenea logici vor fi doar nişte simple simboluri, nişte litere x, y,…Propoziţiile şi legăturile dintre ele vor exprima relaţii între aceste simboluri, iar aceste relaţii vor fi exprimate tot simbolic, prin litere. Logica nouă este un angrenaj de simboluri, o articulaţie între diverse semne, iar a raţiona înseamnă a constitui un schelet simbolic după anumite reguli. Un exemplu simplu arată că acest lucru este foarte posibil. Fie silogismul de manual: Toţi oamenii sunt muritori. b c⊂ (1) Socrate este om. (2) a b⊂ Deci: Socrate este muritor. a c⊂ Raţionamentul (1) nu este decât o aplicare a formei (2) de raţionament, formă independentă de orice conţinut. Logica este deci un joc de simboluri, un joc de forme pure, căci din datele primitive nu se consideră decât capacitatea lor de a fi ordonate în cutare sau cutare mod. Eliminarea oricărui conţinut din logică prin introducerea semnelor (simboluri sau variabile) duce la concluzia că niciun semn nu are nicio legătură nici cu realitatea obiectivă, nici cu inteligenţa, care nu gândeşte nimic prin acest semn. Relaţiile care apar între simboluri sau grupuri de simboluri arată numai cum stau acestea unele lângă altele. Noţiunea de sistem formal are înţelesul etimologic al termenului grecesc sisteim. Un sistem formal este o simplă coordonare de simboluri, care nu are de-a face, în el însuşi, nimic cu cunoaşterea sau realitatea. Astfel, logica nu mai este o ştiinţă a principiilor gândirii sau a legilor ei. Lukasiewicz afirmă: “Nu este obiectul logicii să cerceteze cum gândim efectiv, sau cum ar trebui să gândim. Prima sarcină aparţine psihologiei, şi a doua unei arte practice precum mnemonicii. Evoluţia axiomaticii în sensul formalizării apare nu numai ca o consecinţă naturală, dar şi necesară. Noţiunea de

29

demonstraţie nu poate fi precizată decât printr-un ansamblu de reguli şi acesta nu este posibil decât prin formalism. Noţiunea de sistem formal corespunde unei perfecţionări a metodei axiomatice, gradului suprem de abstracţie. Un sistem formal poate fi definit ca un grupaj ierarhic de asamblări de semne sau de formule complete, aşa că, plecând de la unele din ele (în număr finit sau infinit), considerate ca valabile, să se poată obţine altele, pe baza unor procedee fixate odată pentru totdeauna. Un sistem formal este determinat de cinci mulţimi: -o mulţime de simboluri primitive (variabile, constante şi simboluri auxiliare) sau vocabularul primitiv. Acesta poate fi finit (simboluri date pe liste) sau infinit (eventual numai foarte mare) când apartenenţa unui simbol la vocabular se stabileşte prin mijloace inductive. -o mulţime de termeni determinaţi prin reguli. Orice şir de simboluri va fi numit expresie, termenii formând submulţimi ale mulţimii expresiilor. -o mulţime de formule (submulţime a mulţimii expresiilor) determinate prin reguli efective. -o mulţime de axiome–submulţime a mulţimii formulelor. Dacă această mulţime este infinită, axiomele pot fi date prin axiome-scheme. - o mulţime de reguli de inferenţă, după care o formulă este derivabilă imediat ca o concluzie dintr-o mulţime finită de formule, convenabil aleasă (premisă). Regulile care determină apartenenţa la primele trei mulţimi se numesc reguli de formare; regulile care determină apartenenţa la ultimele două mulţimi se numesc reguli de transformare. Un sistem formal poate fi considerat deci ca un cvintuplu ordonat de mulţimi care îndeplinesc anumite condiţii.

30

Deoarece simbolurile utilizate sunt lipsite de orice semnificaţie, de orice legătură cu un fapt exterior lor, stabilirea unor priorităţi ale unora asupra altora este total arbitrară şi relativă. Simbolurile şi formulele sunt legate numai lateral, fără niciun fundament în adâncime, aşa cum de altfel arată însăşi noţiunea de sistem. În principiu, orice grup de enunţuri poate fi considerat grup de axiome. Singurul lucru care interesează este să se poată deduce din acest grup întreaga teorie. Construcţia sistemului de semne, cu indicarea tuturor componentelor, a rolului lor şi a modului de stabilire de noi componente se numeşte prezentarea sistemului formal. Se disting în prezentare două părţi: partea morfologică şi partea axiomatică. Morfologia sistemului descrie constituenţii şi arată: a)componentele, lista de operaţii asupra lor, regulile de formare a noi componente; b)agregatele de componente care sunt propoziţii (adevărate sau false). Partea axiomatică cuprinde o listă de propoziţii considerate valabile şi regulile de derivare prin care se indică propoziţiile antecedente, separate prin linie orizontală de propoziţiile consecvente (derivate). Un sistem formal odată constituit, se pot da componentelor primitive semnificaţii determinate, punându-le într-o legătură de corespondenţă cu o anumită clasă de obiecte determinate. Această corespondenţă biunivocă se numeşte reprezentarea sistemului. Teoremele sistemului sunt particularizate la o anumită clasă de obiecte. Un sistem formal poate avea o mulţime nedeterminată de reprezentări. Interpretarea unui sistem este o corespondenţă a propozitiilor elementare ale sistemului cu o clasă de enunţuri al căror adevar sau falsitate sunt independente de

31

sistemul considerat. În legătură cu noţiunea de interpretare apare noţiunea de model. Între un model M şi un sistem S există următoarele corespondenţe: -fiecărei propoziţii din S îi corespunde un enunţ format din elementele din M; -enunţurile formate cu elementele din M sunt adevarate sau false independent de S; -oricărei propoziţii din S îi corespunde un enunţ adevărat format cu elemente din M. Cu alte cuvinte, a da un model pentru un sistem formal nu înseamnă decât a-i da o interpretare. Un sistem formal permite să se formeze, după reguli precise, anumite expresii, care pot servi ele însele, conform aceloraşi reguli, la formarea unor expresii mai complicate. Un sistem formal este astfel un mod riguros de a vorbi şi de aceea un sistem formal se mai numeşte si limbă formalizată. Dacă sistemul formalizat este el însuşi obiect de studiu, logicienii consideră că trebuie folosită o altă limbă formalizată, numită metalimbă. Metalimba sistemului S poate fi construită tot ca un sistem formal S’ Se poate realize o meta-metalimbă ş.a.m.d. Cu noţiunea de metasistem se ajunge la noţiunile de sintaxă şi semantică. Sintaxa logică studiază modul cum este construit un sistem formal, care sunt condiţiile corectitudinii formulelor lui şi posibilităţile deductive. Metalimbajul folosit pentru a studia sistemul din acest punct de vedere se numeşte limbaj sintactic. Semantica studiază sistemul formal în legătură cu noţiunile de adevăr şi fals, obiectul ei fiind cercetarea unor formule în ce priveşte valoarea lor de adevăr. Semantica este legată de interpretarea sistemului. Un sistem formal trebuie să îndeplinească anumite condiţii:

32

-coerenţa (noncontradicţia): Un sistem este coerent dacă nu se poate deriva în interiorul lui o propoziţie şi în acelaşi timp negaţia ei. -saturaţia: Un sistem este saturat dacă orice propoziţie formulabilă corect este derivabilă în sistem. -rezolubilitatea: Un sistem este rezolubil dacă se poate da un procedeu efectiv prin care se poate deduce dacă o propoziţie din sistem este derivabilă sau nu. Problema rezolubilităţii a luat o importanţă deosebită, fiind cunoscută şi ca problema deciziei. -categoricitatea: sistemul este categoric dacă toate modelele sistemului sunt izomorfe. În rezumat, un sistem logic formal trebuie să îndeplinească condiţiile de noncontradicţie, de independenţă şi de suficienţă.

* *

* A raţiona corect este desigur util pentru oricine. Forma fundamentală de raţionament este silogismul, şi la grecii antici exemplul clasic de silogism era următorul: Toţi oamenii sunt muritori, Socrate este om, în concluzie Socrate este muritor. Din două cunoştinţe date (premise) rezultă o concluzie, ceva diferit de ceea ce s-a dat. Au existat logicieni care negau silogismul. Referindu-se la exemplul menţionat, aceştia considerau că de fapt concluzia era cunoscută odată cu afirmaţia “Toţi oamenii sunt muritori”. Dacă ar exista vreo îndoială că Socrate este muritor, prima premisă nu poate fi valabilă. Folosirea corectă a silogismelor – forma fundamentală de raţionament, formularea corectă a definiţiilor, clasificarea corectă şi în general raţionamentul corect nu constituie

33

probleme simple, care să poată fi rezolvate numai intuitiv. De aceea, cunoaşterea principiilor logicii, a mecanismului de raţionare sunt necesare în orice domeniu al ştiinţei şi tehnicii. Pentru cei ce lucrează în domeniul automaticii şi calculatoarelor, studiul logicii prezintă un interes în plus, legat de aplicaţiile foarte importante, în acest domeniu, al logicii propoziţiilor, ale logicilor clasice. Printre aceste aplicaţii se pot menţiona analiza şi sinteza circuitelor logice, semantica limbajelor de programare, demonstrarea automată a teoremelor, programarea logică, sistemele expert, comanda roboţilor industriali. Logica nu este nici arta de a inventa şi nici un instrument al adevărului; ea este însă utilă şi indispensabilă în calitate de critică a cunoaşterii, ca mijloc de apreciere a raţiunii comune, ca şi a raţiunii speculative, nu pentru a le învăţă, ci pentru a le corecta şi a le pune de acord cu ele însele. Principiul logic al adevărului rezidă în concordanţa intelectului cu propriile sale legi generale. 2.2 Judecăţi şi propoziţii Istoria logicii coincide cu istoria efortului uman de a elucida mecanismul prin care, din anumite enunţuri sau propoziţii adevărate (corecte) se pot deduce alte propoziţii adevărate (corecte). În străduinţa milenară de a elabora regulile raţionamentului corect, în funcţie numai de forma şi nu de conţinutul enunţurilor, ce devin astfel formule, se poate percepe o aspiraţie spre automatizare. Înainte de a crea maşina de calcul, omul a formalizat maşina deductivă în general. După Aristotel, judecata este un act semnificativ, prin care se afirmă sau se neagă un anumit raport între idei, prin idee înţelegându-se aici reprezentarea în intelect a ceea ce există. Exprimarea verbală a unei judecăţi se numeşte propoziţie. Judecăţile se pot clasifica după calitate, după cantitate sau după modalitatea lor.

34

Din punctul de vedere al calităţii, judecăţile, deci şi propoziţiile, pot fi afirmative sau negative. Din punctul de vedere al cantităţii, judecăţile pot fi generale sau universale şi particulare. Între judecăţile particulare se numără şi cele individuale (Exemplu: Toţi oamenii sunt muritori. Unii oameni sunt înţelepţi. Socrate este înţelept). După modalitatea lor, Aristotel distinge trei tipuri de judecăţi: asertorice, care se raportează la ceea ce este real, apodictice, care raportează la ceea ce este necesar, şi posibile, care se referă la ceea ce este posibil. O propoziţie se constituie dintr-un subiect şi un predicat. Predicatul exprimă, aici, ceea ce este subiectul, apartenenţa sa la o anumită clasă. În acest fel, judecata exprimă un raport între individual şi general. Există însă o ierarhie a speciilor şi genurilor şi se disting diverse grade de generalitate.Într-un anume sens, definiţia este şi o judecată care exprimă esenţa unui lucru. Cautând esenţa, trebuie selectat ceea ce îi aparţine în mod esenţial unui anume lucru, deşi poate aparţine şi altor lucruri. Suma caracterelor esenţiale trebuie să convină numai obiectului definit. Pentru a se ajunge la definiţie, se divizează genul în specii, subspecii, până se ajunge la indivizi. Definiţia constă în stabilirea genului, dar şi a ceea ce diferenţiază obiectul definit de celelalte specii ale genului. Definitul trebuie să caracterizeze numai definitul, dar întreg definitul. Definiţia trebuie să fie reciprocă, subiectul şi predicatul trebuie să aibă aceeaşi extensiune şi deci să se poată substitui reciproc. Opoziţia judecăţilor. Oricărei afirmaţii i se poate opune o negaţie. Propoziţiile universale opuse prin calitate sunt contrare şi nu pot fi simultan adevărate, dar pot fi simultan false. Propoziţiile particulare opuse prin calitate nu exprimă o opoziţie reală; ele pot fi simultan adevărate sau false. Opoziţia este în acest caz numai verbală. Negaţia se poate plasa lângă subiect, lângă predicat sau la ambele.

35

Conversiunea judecăţilor. Înseamnă a schimba între ele subiectul şi predicatul, propoziţia rămânând adevărată. Conversiunea este perfectă dacă termenii păstrează aceeaşi cantitate. Regulile conversiunii judecăţilor pure (nemodale) sunt următoarele: În judecăţile universale negative, conversiunea este necesară (Ex.: Niciun peşte nu este insectă. Nicio insectă nu este peşte). Judecăţile universale afirmative se convertesc în particulare (Ex.: Toate mamiferele sunt vertebrate. Unele vertebrate sunt mamifere). Judecata particulară afirmativă se converteşte în mod necesar (Ex.: Unele flori sunt obiecte roşii. Unele obiecte roşii sunt flori). Judecăţile particulare negative nu se pot converti (Ex.: Unele ciuperci nu sunt comestibile). Regulile conversiunii pot fi ilustrate comod prin interpretarea geometrică a apartenenţelor de mulţimi. Ex.: Niciun A nu este B

. Toţi A sunt B.

A B

B A

36

Unii A nu sunt B.

Dintre judecăţile modale, cele necesare se convertesc ca şi cele pure. În cazul judecăţilor posibile, deoarece posibilul poate fi înţeles şi ca non imposibil, dar şi ca nonnecesar, judecăţile universale negative nu se pot converti. 2.3 Principiile logice şi silogistica În cele ce urmează să trecem în revistă cele 3 principii ale logicii. Identitatea: Tot ceea ce este adevărat trebuie să fie în acord cu sine însuşi. Poate fi identic, ceea ce are mai multe unice, dar reprezintă de fapt acelaşi lucru (Ex.: fiinţă raţională – om). Se mai disting identitatea de specie, de gen. Principiul terţului exclus: Este imposibil ca două judecăţi contradictorii să fie adevărate în acelaşi timp din două una este necesarmente adevarată, cealaltă falsă, şi nu este intermediara posibilă. Principiul contradicţiei: Este imposibil ca un acelaşi lucru să fie şi, în acelaşi timp, să nu fie. Silogistica. Silogismul stă la baza raţionamentului uman. Teoria silogismului constituie o tentativă de automatizare a raţionamentului.

A B

37

Un silogism este constituit din două premise şi o concluzie. Premisa este o expresie care afirmă sau neagă ceva despre ceva şi poate fi universală, particulară sau nedefinită. Premisa, la rândul ei, este formată din termeni, anume predicatul şi subiectul. Se disting termenii major, minor, mediu. Aristotel defineşte silogismul ca pe un logos (expresie, vorbire, gândire) în care, fiind date anumite propoziţii (premise) rezultă necesarmente altceva (concluzia), diferit de ceea ce s-a dat, prin simplul fapt al acestor propoziţii date (nu se cere nimic altceva pentru a produce consecinţa necesară). Principiul silogismului: Ceea ce afirmă despre tot se afirmă şi despre parte şi ceea ce se neagă despre tot se neagă şi despre parte. În funcţie de poziţia termenului mediu în cele două premise, silogismele alcătuiesc trei categorii sau figuri: -în prima figură, termenul mediu este subiect în prima premisă şi predicat în a doua; -în cea de a doua figură, termenul mediu este predicat în ambele premise; - în cea de a treia figură, termenul mediu este subiect în ambele premise. Aristotel descoperă patru moduri ale primei figuri, după cum premisele sunt universale sau particulare, afirmative sau negative. Toţi B sunt A. Toţi C sunt B. Toţi C sunt A. Niciun B nu este A. Toţi C sunt B. Niciun C nu este A.

38

Toţi B sunt A. Unii C sunt B. Unii C sunt A. Niciun B nu este A. Unii C sunt B. Unii C nu sunt A. Notând judecăţile: universale afirmative, universale negative, particular afirmative, respectiv particular negative cu vocalele A, E, I, O, un sistem mnemotehnic de reţinere a celor patru moduri ale primei figuri este constituit din cuvintele BARBARA, CELARENT, DARII şi FERIO. Silogismele celei de a doua şi a treia figuri pot fi reduse la silogismele primei figuri în trei moduri: direct, prin conversia premiselor, indirect, prin transpoziţia premiselor (schimbarea locului lor) şi prin reducere la absurd. De exemplu: CELARENT Niciun A nu este B. → Niciun B nu este A. Toţi C sunt B. Toţi C sunt B. Niciun C nu este A. CELARENT Toţi A sunt B. → Niciun B nu este C. Niciun C nu este B. Toţi A sunt B. Niciun A nu este C. FERIO Niciun A nu este B. → Niciun B nu este A. Unii C sunt B. Unii C sunt B. Unii C nu sunt A. Toţi A sunt B. Concluzia se obţine prin reducere

la absurd: Unii C nu sunt A. Unii C nu sunt B.

39

DARII Toţi B sunt A. → Toţi B sunt A. Toţi B sunt C. Unii C sunt B. Unii C sunt A. Din analiza tuturor silogismelor, Aristotel stabileşte următoarele reguli generale: 1.Orice demonstraţie se face cu numai trei termeni, nu cu mai mult. 2.În orice silogism trebuie să existe cel puţin o premisă afirmativă. 3.În orice silogism trebuie să existe cel puţin o premisă universală. 4.O concluzie universală nu poate rezulta decât din două

premise universale. 5.O concluzie afirmativă nu poate să rezulte decât din premise afirmative. Studiul silogismului a fost continuat de Teofrast, discipol al lui Aristotel. Acesta a adâncit silogismul model şi a stabilit că modalitatea concluziei este aceeaşi cu a premisei cu modalitatea cea mai slabă. Exemplu: Este posibil ca B să fie A. B este A. C este B. Este posibil ca C să fie B. Este posibil ca C să fie A. Este posibil ca C să fie A. De asemenea, Teofrast a studiat silogismul ipotetic. Aristotel precizase: două lucruri fiind între ele în aşa fel încât existenţa unuia atrage în mod necesar existenţa celuilalt, non-existenţa ultimului va atrage non-existenţa primului, pe când existenţa ultimului nu atrage în mod necesar existenţa primului.

40

Vom vedea că această definiţie corespunde implicaţiei şi transpoziţiei ei: dacă p implică q, atunci non q implică non p. Teofrast împarte silogismele ipotetice în doua categorii: 1. Dacă A este, B este. Dacă B este, C este. Dacă A este, C este.

2. Dacă A este, B este. Dacă B este, C nu este. Dacă A este, C nu este.

3. Dacă A este, B este. Dacă C este, B nu este. Dacă A este, C nu este. şi imaginea este similară celei de mai sus. A doua clasă de silogisme ipotetice este formată din acele raţionamente care arată simplu dacă ceva este sau nu este.

A B

C

A

B

C

41

Raţionament de tip modus ponens (de punere) 1. Dacă A este, B este. Dar A este. Deci B este. Raţionament de tip modus tollens (de suspendare) 2. Dacă A este, B este. Dar B nu este. Deci A nu este. Silogismul modus tollens are avantajul că, pentru a demonstra falsitatea unei cunoştinţe, este suficient să deducem din ea un singur consecvent fals. În cazul celălalt, al modului pozitiv şi direct, nu se poate ajunge decât la cunoştinţe al căror adevăr este probabil şi ipotetic. Nu se poate conchide însă că dacă dintr-o cunoştinţă nu decurge niciun consecvent fals, atunci ea este adevarată cu certitudine. 2.4 Logica matematică Ideea de a reprezenta matematic gândirea este foarte veche. Adepţii lui Pitagora au gândit numerele ca esenţă a lucrurilor şi relaţiile dintre numere trebuiau să fie relaţii între lucruri. Ca urmare, idea şi număr – logos şi aritmos – gândire şi calcul cu numere se reduceau la acelaşi lucru. Nici Platon nu era străin de concepţia unei gândiri “geometrizate”, pe frontispiciul Academiei sale fiind scris: “Să nu intre cine nu este geometru”. Adevăratul iniţiator al logicii matematice este considerat Leibnitz, conform căruia raţionamentul este un calcul. Logica matematică a mai fost dezvoltată de A. de Morgan, G. Boole, G. Peano, Gottlob Frege, Bertrand Russell. Logica matematică este un sistem deductiv formalizat, care alege un grup de semne iniţial, o serie de expresii formate după anumite reguli, un grup de reguli de derivare a altor expresii din expresiile acceptate iniţial. Logica se transformă astfel într-un calcul algebric, cu regulile sale proprii.

42

2.4.1 Logica propoziţiilor Aşa cum s-a mai arătat, expresia verbală a unei judecăţi se numeşte propozitie. O propoziţie este compusă din subiect şi predicat. Următoarele enunţuri sunt propoziţii: Victor citeşte. Adrian scrie. El există, etc. Fiecărei propoziţii i se poate asocia un symbol: p

∆

Victor citeşte. q∆

Adrian scrie. Notaţia p∆

arată că propoziţia Victor citeşte va fi reprezentată prin simbolul p. Se impune unei propoziţii–în logica bivalentă–o singură condiţie: să fie adevărată sau falsă, fără să poată fi adevărată sau falsă în acelaşi timp. Pentru a spune că nu este adevărat că Victor citeşte, se foloseşte un semn nou, ~, negaţia.

p∆

Nu este adevărat că Victor citeşte. Logica bivalentă sau clasică admite numai două valori de adevăr: fals, adevărat. Ridicarea acestei restricţii ne va situa într-o logica neoclasică sau polivalentă. În logica de tip propoziţional, propoziţiile sunt nedecompozabile (se mai numesc atomice). Propoziţiile simple sau atomice sunt compozabile. Ele se pot combina, dând naştere la noi propoziţii, la rândul lor adevărate sau false. Operaţiile de asociere sau de combinare se realizează prin conectori, simbolizaţi si ei prin semne, conectori întâlniţi frecvent în vorbire sau în raţionament. Se foloseşte simbolul “ ∧ ” pentru “şi”, simbolul “ ∨ ” pentru “sau”, simbolul “ → ” pentru dacă, atunci, simbolul “ ↔ ” pentru “dacă şi numai dacă”. Vom scrie:

p q∆

∨ Victor citeşte sau Adrian scrie.

p q∆

→ Dacă Victor citeşte, atunci Adrian scrie.

43

Propoziţiile compuse sau moleculare sunt formule propoziţionale. Se notează obişnuit cu majuscule:

: ( )P p q r∧ → . Se citeşte: dacă Victor citeşte şi Adrian scrie, atunci este linişte ( r

∆

este linişte). Formula P din exemplu este formată din 3 atomi. Ea poate fi privită drept o funcţie de atomii p, q, r, care se mai numesc variabile propoziţionale. Estimarea valorii de adevăr a formulei P când nu se cunosc valorile de adevăr ale variabilelor propoziţionale p, q, r, constituie obiectul semanticii logicii propoziţionale. În formulele cu numai 2, 3 variabile propoziţionale am putea stabili valoarea lor de adevăr relativ simplu, fără a fi necesar un aparat simbolic de calcul. În cazul în care formulele sunt deosebit de complexe, este necesar un mijloc de calcul adecvat, oferit tocmai de logica propoziţiilor. Alfabet.Totalitatea simbolurilor logicii propoziţiilor constituie un alfabet: p, q, r, ∧ , ∨ , → , ↔ , (,). Aici intervine mulţimea finită sau infinită de atomi (p, q, r,…p1, p2, p3,…), simbolurile pentru conectorii logici, parantezele. Simbolurile ce nu sunt cuprinse în alfabet se numesc simboluri metalogice, de exemplu, simbolurile P, Q, R utilizate pentru formule. Limbaj. Alfabetul împreună cu formulele formează limbajul. Proprietăţile, legile, regulile pot fi enunţate pentru atomi; apare necesară o regulă suplimentară de trecere de la atomi la formule (regula substituţiei). Acele proprietăţi pot fi enunţate direct pentru formule si atunci se denumesc scheme. Ex.: ( )p p q q∧ → → este o formulă întotdeauna adevărată, oricare ar fi atomii p şi q.

44

( )P P Q Q∧ → → este şi ea întotdeauna adevărată oricare ar fi formulele P şi Q. Legea enunţată pentru atomi poate fi generalizată la formule prin substituţie. Aceeaşi lege se poate enunţa ca schemă în forma generală pentru formule, fără a mai menţiona substituţia. Să observăm că, dintre conectorii folosiţi în logica propoziţiilor, conectorul non este unar adică se aplică unui singur atom, ceilalţi, ( ∧ , ∨ , → , ↔ ). sunt binari deci operează asupra a doi atomi. Formula se poate defini recursiv: 1.Un atom este o formulă. 2.Dacă P este formulă, (~P ) este o formulă. 3.Dacă P şi Q sunt formule atunci ( )P Q∧ , ( )P Q∨ ,

( )P Q→ , ( )P Q↔ sunt de asemenea formule. 4. Toate formulele se obţin prin regulile (1), (2), (3). În mod riguros, o formulă se scrie începând cu o paranteză stângă şi sfârşind cu o paranteză dreapta. În practică se omit aceste paranteze, dacă absenţa lor nu naşte echivocuri. 2.4.2 Evaluare. Funcţii de adevăr Pe mulţimea propoziţiilor atomice se introduce o funcţie v care aplică fiecare atom pe mulţimea binară (adevărat, fals). Se asociază falsului 0 şi adevarului 1. Pentru fiecare atom, vom avea v(p)=0 sau v(p)=1. O logică în care se consideră numai două valori de adevăr se numeşte bivalentă (clasică).

45

O problemă importantă a logicii propoziţiilor constă în determinarea valorii de adevăr a unei formule în funcţie de valoarea de adevar a componentelor (atomilor). Se notează valoarea de adevăr a unei formule P cu ( )0,1vP ∈ sau cu v(P). Se stabilesc următoarele reguli de recurenţă pentru evaluarea formulelor: 1.dacă P este un atom, ( )vP v P=

2.dacă P este Q atunci 1 00 1

vv

v

daca QP

daca Q =

= =

3. ( ) 1 10 .

v vv daca P Q

P Qaltfel

= =∧ =

4. ( ) 0 01 .

v vv daca P Q

P Qaltfel

= =∨ =

5. ( ) 0 1, 01 .

v vv daca P Q

P Qaltfel

= =→ =

6. ( ) 10 .

v vv daca P Q

P Qaltfel

=↔ =

Aceste reguli (convenţii) se pot enunţa şi astfel: 1.Negaţia lui P, (~P ) este adevărată când P este falsă şi este

falsă când P este adevărată. (~P se citeşte non P) 2.Conjuncţia ( )P Q∧ (şi) este adevărată numai când atât P

cât şi Q sunt adevărate. 3.Disjuncţia ( )P Q∨ (sau) este adevărată dacă cel puţin una

din componentele P sau Q este adevărată.

46

4.Implicaţia ( )P Q→ este falsă numai dacă P este adevărată şi Q este falsă. (se citeşte P implică Q sau, dacă P atunci Q).

5.Dubla implicaţie ( )P Q↔ este adevărată când ambele

componente au aceleaşi valori de adevăr.(se poate citi dacă P, atunci şi numai atunci Q).

Regulile menţionate se pot prezenta şi prin tabelul următor:

vP vQ vP ( )vP Q∧ ( )vP Q∨ ( )vP Q→ ( )vP Q↔ 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1

În mod curent se poate renunţa la notatia cu indice v, înţelegându-se prin P valoarea de adevăr a formulei respective. Tabelul care arată valoarea de adevăr a unei formule pentru toate valorile posibile ale atomilor se numeşte tabel de adevăr. Funcţia de adevăr face ca fiecărei evaluări a atomilor unei formule să corespundă una din valorile de adevăr 0 sau 1. Unei formule cu n atomi, concepuţi ca variabile propoziţionale, îi va corespunde o funcţie de adevăr cu n variabile binare. Tabela de adevăr va avea deci 2n linii pentru cele 2n evaluări posibile.

Există 22n

funcţii de adevăr distincte pentru o formulă cu 2n evaluări posibile, deoarece există 22

n

moduri de aranjare a lui 0 şi 1 în ultima coloană a tabelei de adevăr. De exemplu, pentru n=2 există 16 tabele de adevăr şi deci se pot defini 16 conectori binari. Numărul formulelor care pot fi construite cu n variabile binare este infinit. Rezultă că diferite formule corespund unei aceleiaşi funcţii de adevăr.

47

Interpretare. O evaluare (atribuire de valori) a atomilor unei formule se numeşte interpretare. O formulă P este adevărată într-o anumită interpretare dacă este evaluată cu 1; altfel este falsă în acea interpretare. O formulă cu n atomi va avea deci 2n interpretări posibile. O interpretare I se reprezintă prin mulţimea atomilor care pot avea valorile 0 sau 1. De exemplu, {p, ~q, r, s} este o interpretare în care p=1, q=0, r=1, s=1. Dacă P este adevărată în interpretarea I, se spune că I satisface pe P. Altfel, I falsifică pe P. O interpretare I care satisface pe P se numeşte model al lui P. Tautologie. Validitate. Consistenţă. O formulă se numeşte validă dacă şi numai dacă este adevărată în toate interpretările. Altfel, formula se numeşte nevalidă. O formulă se numeşte inconsistentă dacă şi numai dacă este falsă în toate interpretările. Altfel, formula se numeşte consistentă. Formula validă se mai numeşte tautologie, iar cea inconsistentă se mai numeşte contradicţie.

1p p∨ = indiferent de p=0 sau p=1. (tautologie). 0p p∧ = indiferent de p=0 sau p=1. (contradicţie).

Rezultă imediat că o formulă este validă numai dacă negaţia ei este inconsistentă şi invers. O formulă este nevalidă dacă există o interpretare în care ea este falsă. O formulă este consistentă dacă există cel puţin o interpretare în care ea este adevărată.

48

Se mai folosesc şi alte denumiri. O formulă consistentă se mai numeşte şi realizabilă. Proprietatea de formulă nerealizabilă este foarte importantă pentru demonstrarea automată a teoremelor, în care se utilizează mai ales principiul contradicţiei. O formulă nerealizabilă fiind falsă în toate interpretările nu admite niciun model. Dacă se demonstrează că există cel puţin o interpretare, în care formula este adevărată (admite cel puţin un model), formula se dovedeşte a fi realizabilă. Proprietatea de realizabilitate se poate extinde şi pentru o mulţime de formule: o astfel de mulţime se spune că este realizabilă (din punctul de vedere al valorii de adevăr), dacă există o evaluare v pe mulţimea formulelor, astfel că 1vP = pentru toţi P din mulţimea respectivă; altfel, mulţimea respectivă este nerealizabilă. Caracterul de tautologie sau realizabilitate a unei formule se poate constata din tabela de adevăr. Există şi alte procedee de constatare (metoda Quine, metoda reducerii), care folosesc proprietăţi ale unor formule simple din componenţa formulelor considerate. Echivalenţa. Două formule sunt logic echivalente, dacă pentru orice interpretare iau aceleaşi valori de adevăr (au deci aceeaşi tabelă de adevăr). Se notează P Q⇔ . O definiţie echivalentă este: P şi Q sunt echivalente dacă P Q↔ este o tautologie. Reguli de transformare. Dacă P şi P Q→ sunt tautologii, atunci Q este tautologie. Această regula rezultă din silogismul ipotetic modus ponens şi se notează MP. Se poate demonstra foarte uşor, prin metoda reducerii la absurd. Dacă într-o formulă-tautologie, atomii se înlocuiesc (se substituie) peste tot prin alte formule, formula obţinută astfel este de asemenea tautologie.

49

Demonstraţie: Fie 1 2 1 2( , , ), ( , , )n nF f p p p F f P P P′ ′= = . Pentru orice interpretare 1 2, , np p p , F=1 fiind tautologie. În aceeaşi interpretare rezultă 1 2, , nP P P , care înlocuite în F’ vor evalua această formulă tot cu 1. De exemplu: 1p p∨ = (pentru orice p, formula este evaluată 1); atunci 1 2 3 1 2 3( ) ( ) 1p p p p p p∨ ∧ ∨ ∨ ∧ = . Dacă într-o tautologie o subformulă se înlocuieşte cu o subformulă echivalentă, se obţine de asemenea o tautologie. Dualitate. Se numeşte formulă restrânsă acea formulă care nu utilizează decât conectorii , ,∨ ∧ . Dacă într-o formulă restrânsă P se schimbă între ele simbolurile ∧ şi ∨ şi se înlocuieşte fiecare atom prin negaţia sa, se obţine o nouă formulă P P⇔ . Această proprietate rezultă din faptul că în tabela de adevăr a conectorilor ∧ şi ∨ valorile de adevăr se obţin una din alta prin schimbarea între ele a lui 0 şi 1. Această proprietate se mai numeşte principiul dualităţii. Principiul dualităţii afirmă deci că un enunţ corect implicând ∧ , ∨ , 0, 1, poate fi tradus într-un alt enunţ corect prin schimbările între ele ale simbolurilor 0 şi 1, ∧ şi ∨ . Noţiunile definite în termenii acestor simboluri trebuie traduse prin dualele lor. Astfel, dualul termenului “tautologie” este “nerealizabil”, pentru că în primul caz toate interpretările sunt 1, iar în al doilea caz, 0. Discuţie despre conectori. Calculul propoziţiilor a apărut ca o formalizare a înlănţuirii corecte a propozitiilor în limbajul curent. Cei cinci conectori ( , , , , )∧ ∨ → ↔ surprind expresii gramaticale simple, care leagă propoziţiile în uzul lor obişnuit.

50

În ceea ce priveşte negaţia şi conjuncţia, în folosirea lor nu poate apărea nicio ambiguitate. Dacă p desemnează: “afară plouă” şi q “afară este frig”, atunci ~p înseamnă “afară nu plouă” sau “nu este adevărat că afară plouă”. p q∧ va fi evident: “afară plouă şi este frig”. În ceea ce priveşte disjuncţia sau, p q∨ “afară plouă sau afară este frig”, în limbajul obişnuit înseamnă fie una din cele două situaţii (ori/ori), cel puţin una, sau amândouă. De aceea, în logică se distinge disjuncţia simplă şi disjuncţia exclusivă, ⊕ , cu următoarele tabele de adevăr:

p q p q∨ p q⊕ 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

Implicaţia este conectorul aspra căruia, în istoria logicii, s-au purtat cele mai vii discuţii: p→q se citeşte: “dacă p, atunci q”. “p implică q”, “p numai dacă q” şi “q este condiţia necesară a lui p”. Observaţie. Prin faptul că implicaţia este falsă numai dacă p este adevărat şi q este falsă, se produce o îndepărtare de la uzul curent al vorbirii. În definiţia implicaţiei, falsul implică orice, iar adevărul este implicat de orice. Faptul că implicaţia este adevărată când p este falsă şi q este adevărată nu prea se împacă cu vorbirea curentă. Exemplu Dacă 1 1 2+ = , Parisul e capitala Franţei. Dacă Luna e un caşcaval, 2 2 4× = . Cele două propoziţii sunt ambele adevărate. Se observă, aşadar, în propoziţia a doua că falsul (Luna e un caşcaval implică un adevăr exprimat de înmultirea in baza zece).

51

Conectori adecvaţi. O mulţime de conectori se numeşte mulţime adecvată, dacă orice formulă poate fi exprimată numai cu ajutorul conectorilor acestei mulţimi.

Grupul ( ), ,∧ ∨ , perechile ( ), ∧ , ( ) ( ), , ,∨ → sunt mulţimi adecvate de conectori. Consecinţe logice. Fie n formule 1 2, , , nP P P . Formula P este o consecinţă logică (tautologică) a premiselor

1 2, , , nP P P dacă pentru fiecare evaluare v pentru care

1 2 1v v vnP P P= = = = se obţine şi 1vP = .

Pentru consecinţa logică se foloseşte simbolul ╞ care mai înseamnă şi tautologie: 1 2, , , nP P P ╞P. (╞P vom citi “P este tautologie”). Cu alte cuvinte, orice model al conjuncţiei premiselor

1 2, , , nP P P este şi un model al concluziei. Fie (propoziţiile) formulele 1 2, , , nP P P . Formula P este

o concluzie logică a premiselor 1 2, , , nP P P dacă şi numai dacă 1 2 nP P P P∩ ∩ ∩ ∩ este nerealizabilă. Demonstraţie. Din definiţia consecinţei logice rezultă că dacă

1 2 1v v vnP P P= = = = se obţine şi 1vP = . Conjuncţia

1 2 nP P P∩ ∩ ∩ este tot 1, iar în conjuncţie cu P trebuie să fie zero. Stabilirea faptului dacă o anume formulă este sau nu o consecinţă logică a altor formule date se poate face cu ajutorul tabelelor de adevăr.

Exemplu. Fie 1P A B∆

→ ; 2 ( )P B∆

; ( )P A∆

Să se demonstreze 1 2,P P ╞P.

A B A B→ B A 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0

52

Când numărul de atomi ai formulei este foarte mare, desigur metoda recurgerii la tabele de adevăr devine laborioasă. Pentru relaţia de consecinţă logică se utilizează simbolul ⇒ . În loc de a spune 1 2, , , nP P P P→ este o tautologie se scrie

1 2, , , nP P P P⇒ . Conectorul ⇒ reprezintă o operaţie din care rezultă o nouă formulă în timp ce P Q⇒ indică doar o legătură între formulele P şi Q care înseamnă “P nu poate fi adevărat şi Q fals!”. Simbolul → este cuprins în alfabet, iar simbolul ⇒ este un simbol metalogic. Forme normale. Un atom sau negaţia unui atom se mai numeşte literal. Definiţie.O formulă se spune şi se prezintă în forma normal conjunctivă (FNC), dacă are forma 1 2 nP P P∩ ∩ ∩ , unde iP este o disjuncţie de literale. Definiţie.O formulă se spune şi se prezintă în forma normal disjunctivă (FND), dacă are forma 1 2 nP P P∪ ∪ ∪ , unde iP este o conjuncţie de literale. Există o legătură imediată între formele normale şi tabelele de adevăr. Conjuncţiile care au proprietatea de a lua valoarea formulei în câte o interpretare a ei se numesc se numesc minitermeni sau clauze conjunctive iar disjuncţiile care au proprietatea de a lua valoarea formulei în câte o interpretare a ei se numesc se numesc maxitermeni sau clauze disjunctive. Minitermenii se formează scriind în dreptul fiecărei

interpretări o conjuncţie, unde apare ip când ( ) 1vip = şi

ip când ( ) 0vip = .

Maxitermenii se formează scriind în dreptul fiecărei

interpretări o disjuncţie, unde apare ip când ( ) 0vip = şi

ip când ( ) 1vip = .

Exprimăm formulările de mai sus într-un tabel se obţine:

53

Tabel cu minitermeni şi maxitermeni

1p 2p 3p Minitermeni Maxitermeni

0 0 0 1 2 3p p p 1 2 3p p p∨ ∨ 0 0 1 1 2 3p p p 1 2 3p p p∨ ∨ 0 1 0 … … 0 1 1 … … 1 0 0 … … 1 0 1 … … 1 1 0 … … 1 1 1 1 2 3p p p 1 2 3p p p∨ ∨

FND rezultă ca o disjuncţie a tuturor minitermenilor ce corespund lui 1 în coloana de adevăr, iar FNC ca o conjuncţie a maxitermenilor ce corespund lui 0 în coloana de adevăr, conform principiului dualităţii. Exemplu.

a b P Minitermeni semnificativi

Maxitermeni semnificativi

0 0 0 - a b∨ 0 1 1 ab - 1 0 0 - a b∨ 1 1 0 - a b∨ P ab= ( )( )( )P a b a b a b= ∨ ∨ ∨

La formele normale se poate ajunge şi fără a recurge la tabela de adevăr, aplicând diversele relaţii între formule. Calculul propoziţional În logica propoziţiilor analizată mai sus s-a încercat o trecere de la abordarea intuitivă a problemei la abordarea formalizată. S-a pornit de la asocierea propoziţiilor atomice prin conectori utilizaţi şi în vorbirea curentă, s-a estimate valoarea de adevăr a propoziţiilor compuse funcţie de conectorii folosiţi şi de adevărul propoziţiilor atomice

54

componente. În plus, propoziţiile erau considerate numai adevărate sau false, logica respectivă fiind bivalentă.

Academicianul român Grigore C. Moisil a reuşit o formalizare generalizată a logicilor bi- şi polivalente, bazată pe teoria congruenţelor de numere.

Definiţie. Două numere întregi se numesc congruente de un anume modulo m dacă diferenţa lor este un multiplu întreg al modulo-ului.

Se notează (mod )a b m≡ . Deci , 0,1,a b N m N− = ⋅ = Observaţie. Orice număr întreg este congruent modulo m cu 0, 1, 2, 3, …(m-1), sau altfel spus este congruent cu restul împărţirii sale la m (clase de resturi). Dacă numărul respectiv se scrie în sistemul de numeraţie cu baza m, acel număr este congruent cu cifra rangului cel mai puţin semnificativ. Calculul propoziţiilor bivalente se poate efectua lucrând cu congruenţe modulo 2. Cu cele două valori 0, 1 se pot defini operaţiile de adunare şi de înmulţire.

0 10 0 11 1 0

+

0 10 0 01 0 1

De fapt, 1 1 0(mod 2)+ ≡ şi de aceea adunarea de acest fel se mai notează 1 1 0⊕ = (adunarea modulo 2). Se poate constata uşor că definiţiile acestor operaţii bazate pe congruenţă respectă proprietăţile de comutativitate, asociativitate: 0+1=1+0, (0+1)+1=0+(1+1)=0, etc. O variabilă x care poate lua cele două valori ale domeniului (0, 1), se numeşte variabilă binară. Se constată cu uşurinţă:

2

0, .n

x xx x x x x x

+ =⋅ = = =

Dintre cele două valori ale domeniului considerat (0,1) una se numeşte contrara sau negata celeilalte. Se notează:

55

0 0 1= = şi 1 1 0= = . Se constată 1x x= + .

O funcţie de o variabilă ( )f x reprezintă o dependenţă între fiecare valoare posibilă a variabilei şi valoarea funcţiei. O funcţie de o variabilă binară se defineşte prin cele două valori ale ei, corespunzătoare celor două valori ale variabilei.

0 1( ) (0) (1)

1 1

xf x f f

Un grup de n variabile binare poate fi reprezentat printr-un vector de n componente binare. De exemplu, 3 variabile binare, x, y, z, se pot găsi în 32 8= situaţii distincte.

x y z 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

În general, n variabile binare se pot găsi în 2n

situaţii distincte scriind numerele naturale 0,1, , 2 1n − în sistemul de numeraţie cu baza 2. Geometric se mai pot reprezenta

f(x)

x

●

1

1

0

56

cele 2n situaţii distincte prin vârfurile unui cub n-

dimensional. Pentru numai 3 variabile binare obţinem: Reprezentare pe cub

Pentru numai 3 variabile binare se pot folosi şi cercurile lui Euler Cercurile Euler

În fine, se mai reprezenta cele 2n

situaţii distincte în care se pot găsi n variabile binare folosind tabelele Veitch-Karnaugh cu 2m linii şi cu 2n m− coloane.

X y

z

(1,0,0) y

z

(1,1,0)

x

(1,1,1)

(0,1,1)

(0,1,0)

(1,0,1)

(0,0,1)

(0,0,0)

57

3 4 5x x x

1 2x x

0 0 0

0 0 1

0 1 1

0 1 0

1 0 0

1 0 1

1 1 1

1 1 0

00 01 11 10

O funcţie de n variabile binare este complet definită când se cunosc cele 2n valori corespunzătoare celor 2n

situaţii distincte ale celor n variabile binare. Funcţia de n variabile binare se poate reprezenta prin succesiunea celor 2n

valori luate într-o anumită ordine. Dacă se convine că cele 2n

valori să fie prezentate la ordinea crescândă a numerelor binare naturale, funcţia de variabile binare poatee fi definită de succesiunea valorilor ei, pornind de la situaţia 111…1, de echivalent zecimal 2 1n − la situaţia 000…0, de echivalent zecimal 0. Exemplu

Considerăm funcţia 1 02 1 2 2 2 2

( , , ) 1 1 1 1 10 1 0; 3n n

f x y z n− −

= = , cu echivalentul zecimal 250.

x y z ( , , )f x y z (0) 0 0 0 (1) 0 0 1 (2) 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 ( 2 1n − ) 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1

În felul acesta, în numărul binar cu 2n

ranguri, bitul de pe un anume rang, corespunde situaţiei de un acelaşi echivalent zecimal. Din această reprezentare se poate observa că numărul total de funcţii distincte de n variabile este 22

n

adică succesiunile

58

de la 000…0 până la 111…11, cu echivalenţii zecimali de la 0 la 22 1

n

− . Diferitele funcţii, exprimate în acest mod prin acte

succesiuni de 2n biţi se mai pot exprima şi prin echivalentul zecimal. În exemplul considerat echivalentul zecimal al funcţiei 11111010 este 250. Funcţiile de variabile binare mai pot fi definite prin marcarea vârfului cubului n-dimensional corespunzătoare situaţiilor de 1, prin haşurarea ariilor constutuite cu cercurile lui Euler corespunzătoare situaţiilor de 1, prin înscrierea în tabelele Veitch-Karnaugh a valorilor din coloana de adevăr. Pentru funcţia din exemplul precedent vom avea:

yz x

00 01 11 10

0 0 1 1 0 1 1 1 1 1

x y

z

(1,0,0) y

z

(1,1,0)

x

(1,1,1)

(0,1,1)

(0,1,0)

(1,0,1)

(0,0,1)

(0,0,0)

59

Pentru a putea efectua calcule cu funcţiile de variabile binare este comod să putem exprimă aceste funcţii şi pe cale analitică, polinomială. Legătura dintre reprezentarea tabelară şi cea polinomială se obţine prin formula de interpolare Lagrange. Fie ( )f x a x b= + , exprimată printr-un polinom de gradul 1. Reamintim 2 , nx x x x x x⋅ = = = în logica binară (puterile superioare ale variabilei binare x se reduc la puterea întâia). Obţinem:

(0) . (0) .( )

(1) . (1) (0) .f b f b

f x a x bf a b f f a

= = = + ⇒ ⇒ = + + =

Deci: [ ]( ) (0) (1) (0)

(0)( 1) (1) (0) (1)f x f f x f

f x f x f x f x= + + =

= + + = +

Polinomul care înmulţeşte pe (0)f se numeşte lagrangian de indice 0 (se notează 0 ( )L x ), iar ceea ce înmulţeşte pe

(1)f se notează 1( )L x şi se numeşte lagrangian 1 de x. Polinoamele lui Lagrange se bucură de următoarele proprietăţi:

0

1

0 1 0 1

0 1( ) 1,

( ) 1 0( ) 0,

( ) 0 1( ) ( ) 1; ( ) ( ) 0

xL x pentru x

L xL x pentru x

L xL x L x L x L x

α

α

αα

= = = ≠

+ = ⋅ =

Cu notaţiile specificate: 0 1( ) (0) ( ) (1) ( )f x f L x f L x= + . Cele 4 funcţii distincte de o variabilă binară se pot exprima analitic astfel:

0 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1 11 0 1 0 1

x f x f x f x f x

unde

0

1

2

3

( ) 0( )

( ) 1( ) 1

f xf x x

f x x xf x

= = = + = =

60

Pentru funcţiile de 2 variabile binare, dezvoltarea lagrangiană se poate obţine considerând, pe rand, numai câte o variabilă şi aplicând formula valabilă pentru această unică variabilă:

0 1

0 1

0 1

( , ) (0, ) ( ) (1, ) ( ) .(0, ) (0, 0) ( ) (0,1) ( ).(1, ) (1, 0) ( ) (1,1) ( ).

f x y f y L x f y L xf y f L y f L yf y f L y f L y

= += += +

Înlocuind:

0 0 0 1 1 0 1 1( , ) (0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1) .x y x y x y x yf x y f L L f L L f L L f L L= + + +Generalizând obţinem:

1 21 2 1 2 1 20,1

( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( )n

i

n n nf x x x f L x L x L xα α αα

α α α=

= ⋅ ⋅∑ .

Pentru funcţia de 3 variabile, de echivalent zecimal 250, expresia analitică va fi:

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

( , , ) 0 1 0 1

1 1 1 1

.

x y z x y z x y z x y z

x y z x y z x y z x y z

f x y z L L L L L L L L L L L LL L L L L L L L L L L L

x y z x y z x y z x y z x y z x y z

= ⋅ + ⋅ + + +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Se observă că această expresie este o sumă modulo 2 de termeni, corespunzătoare situaţiilor de 1 din tabela de adevăr, fiecare termen fiind produsul variabilelor negate sau afirmate, conform situaţiei respective. Să analizăm prin in termediul expresiilor lor analitice şi a tabelelor de adevăr cele 16 funcţii posibile de 2 variabile binare ( 22 4= situaţii distincte, 42 16= funcţii): x y 0f 1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f 9f 10f 11f 12f 13f 14f 15f 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Funcţiile plasate simetric faţă de linia medie a tabelei de adevăr (pentru care suma indicilor este 15) se obţin prin

61

înlocuirea reciprocă a valorilor 0 şi 1; aceste perechi de funcţii sunt una negata celeilalte. Să considerăm câteva funcţii reprezentative (considerând funcţia şi “simetrica” ei):

0 ( ) 0f x = - constant; 15 ( ) 1f x = - constant.

1( )f x x y= ⋅ se mai numeşte NICI (nici x, nici y).

14 ( ) .f x x y x y x y x y y x x y x y x y x y= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + + ⋅ + ⋅ = + + ⋅ Se mai numeşte funcţie SAU (disjuncţie, sau x sau y), în engleză OR. Din această cauză, negata funcţiei 1( )f x x y= ⋅ se mai numeşte NOT OR sau NOR.

2

13 2

( ) ;

( ) 1 ( )

f x x y xy y

f x x y x y xy y xy y xy f x

= ⋅ = +

= ⋅ + ⋅ + = + = + + =

3 12( ) ; ( ) .f x x y x y x f x x= ⋅ + ⋅ = = Se mai numeşte NOT.

4 11( ) ; ( ) 1f x x y xy x f x xy x= ⋅ = + = + + . Se mai numeşte

implicaţie ( x y→ ) şi este falsă când antecedentul este adevărat şi precedentul fals.

5 10( ) ; ( ) .f x y f x y= =

6 ( ) .f x x y x y= ⋅ + ⋅ Se mai numeşte nonechivalenţă, este egală

cu 1 când variabilele au valori diferite.

9 ( ) .f x x y x y= ⋅ + ⋅ Se mai numeşte echivalenţă.

7 ( ) 1.f x x y x y x y x y= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + Se mai numeşte funcţie NUMAI pentru că ia valoarea 1 numai dacă cel mult o variabilă este 1.

8 ( ) .f x x y= ⋅ Se mai numeşte funcţie ŞI (în engleză funcţia AND) sau conjuncţie. Din această cauză negata şi funcţia NUMAI se mai numeşte NOT AND, prescurtat NAND.

62

Este de remarcat că disjuncţia SAU se exprimă analitic prin suma modulo 2 a fiecărei variabile şi a produsului lor. Datorită proprietăţii de asociativitate, disjuncţia se poate generaliza la mai multe variabile:

( ) ( )x y z x y z x y xy z x y z xy xz yz xyz∨ ∨ = ∨ ∨ = + + ∨ = + + + + + + Şi de aici rezultă că disjuncţia este exprimată prin suma tuturor variabilelor plus toate produseler dintre acestea. Dacă produsele sunt toate nule atunci semnul “ ∨ “ poate fi înlocuit cu semnul ⊕ şi invers. Într-o dezvoltare lagrangiană, toate produsele dintre termeni sunt nule, cel puţin una din variabile din componenţa a doi termeni fiind negată într-unul şi afirmată în celălalt. Aşadar, într-o dezvoltare lagrangiană, semnul + poate fi înlocuit cu ∨ rezultând din ea asa numita formă canonică disjunctivă (FND). Pentru funcţia de 3 variabile binare 250 expresia va fi:

( , , ) .f x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z= ⋅ ⋅ ∨ ⋅ ⋅ ∨ ⋅ ⋅ ∨ ⋅ ⋅ ∨ ∨ ⋅ ⋅ ∨ ⋅ ⋅ Fiecare conjuncţie este un minitermen (clauză conjunctivă). Negata funcţiei 250, va avea numai 2 situaţii de 1 şi expresia ei va fi:

( , , ) .f x y z x y z x y z= ⋅ ⋅ ∨ ⋅ ⋅ Mulţimea valorilor binare, funcţiile negare, conjuncţie şi disjuncţie cu proprietăţile lor, formează algebra Boole. Există 19 proprietăţi ale algebrei booleene, 18 dintre ele constituind perechi de proprietăţi duale: 1. Proprietăţile lui 0:

0 0. 0 .x x x⋅ = ∨ = 2. Proprietăţile lui 1:

1 . 1 1.x x x⋅ = ∨ = 3. Comutativitatea:

. .x y y x x y y x⋅ = ⋅ ∨ = ∨

63

4. Asociativitatea: ( ) ( ) . ( ) ( ) .x y z x y z x y z x y z⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∨ ∨ = ∨ ∨

5. Idempotenţa: . .x x x x x x⋅ = ∨ =

6. Distributivitate: ( ) . ( ) ( ) ( ).x y z x y x z x y z x y x z⋅ ∨ = ⋅ ∨ ⋅ ∨ ⋅ = ∨ ⋅ ∨

Inversa primei proprietăţi de distributivitate reprezintă scoaterea în factor. 7. Absorbţia:

( ) . ( ) .x x y x x x y x⋅ ∨ = ∨ ⋅ = y este absorbit. 8. Proprietăţile lui De Morgan:

. .x y x y x y x y⋅ = ∨ ∨ = ⋅ În cuvinte: negarea conjuncţiei este disjuncţia negatelor şi negarea disjuncţiei este conjuncţia negatelor. 9. Noncontradicţie şi terţul exclus: 0. 1.x x x x⋅ = ∨ = 10. Dubla negaţie:

.x x= Toate aceste proprietăţi se pot demonstra folosind expresiile algebrice corespunzătoare sumei şi produsului, pentru congruenţele modulo 2. Orice funcţie de variabile binare poate fi exprimată cu ajutorul operatorilor negare NOT, SI, SAU. Aceşti operatori alcătuiesc un sistem complet de operatori. Există şi alte sisteme complete de operatori ca de exemplu non, şi; non, sau; ş.a. Se constată uşor acest lucru folosind dubla negaţie şi proprietăţile lui De Morgan. Se poate demonstra, de asemenea, că numai NAND-urile sau numai NOR-urile pot exprima orice funcţie de variabilă binară. Exemplu:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x y x y x y x y x y x y x y x y

x y x y

⋅ ∨ ⋅ = ⋅ ∨ ⋅ = ∨ ⋅ ∨ = ∨ ⋅ ∨ =

= ⋅ ⋅ ⋅

64

Aplicând teorema lui De Morgan formei normal disjunctive FND se obţine forma normal conjunctivă (FNC) cu maxitermeni sau clase disjunctive.

0,1( , , ) .

i

f x y z x y z x y zα α α

α ∈

= ⋅ ⋅ = Π∑

Exemplu: Considerăm aceeaşi funcţie de echivalent zecimal 250 şi ne propunem să găsim FND şi FNC şi să le exprimăm prin NAND şi NOR.

x y z ( , , )f x y z 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1

FND: ( , , ) .f x y z x y z x y z xy z x y z x y z x y z= ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ FNC: ( , , ) .f x y z x y z x y z= ∨

( , , ) ( ) ( ).f x y z x y z x y z x y z x y z= ∨ = ∨ ∨ ⋅ ∨ ∨ La rândul lor, aceste forme canonice se pot exprima prin funcţiile NAND sau NOR.

( , )0 0 00 1 11 0 11 1 0

x y f x y

FND: ( , ) / ( / ) / ( / ).f x y x y x y x y x y x y x y= ∨ = = Exprimarea cu NAND-uri urmăreşte convenţia de scriere

/ . .x x x x x x x x x x= ∨ = = ⋅ = ↓

65

Exprimarea cu NAND-uri

FNC:

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f x y x y x y x y x y x y x y= ∨ ⋅ ∨ = ∨ ↓ ∨ = ↓ ↓ ↓

O funcţie de variabilă binară (ceea ce reprezintă o formulă) se numeşte validă (tautologie) dacă şi numai dacă este adevărată în toate interpretările (în tabela de adevăr este 1 peste tot) echivalentul ei zecimal fiind 2 1n − . O funcţie de variabilă binară se numeşte inconsistentă dacă şi numai dacă este falsă în toate interpretările echivalentul ei zecimal fiind 0. Se mai numeşte în acest caz contradicţie. Ex: 1x x∨ = este tautologie 0x x⋅ = este contradicţie. Tautologia şi contradicţia sunt una negaţia celeilalte. O formulă se numeşte consistentă sau realizabilă dacă este adevărată cel puţin într-o interpretare a ei. În demonstrarea automată a teoremelor se utilizează mai ales contradicţia: o formulă nerealizabilă fiind falsă în toate interpretările ei nu admite niciun model. Dacă se demonstrează că există cel puţin o interpretare în care formula este adevărată, formula se dovedeşte a fi realizabilă. Proprietatea de realizabilitate se poate extinde şi la un grup de formule (funcţii): dacă există o interpretare astfel încât toate formulele din grup să fie 1, grupul respective este realizabil. Două funcţii se numesc echivalente, dacă pentru orice interpretare iau acelaşi valori de adevăr. Simplificarea (minimizarea) funcţiilor de variabile binare Dacă o tabelă de adevăr poate corespunde mai multor funcţii echivalente, un interes deosebit prezintă acea

x x y∨

x y∨

y x

y

( ) ( )x y x y xy x y∨ ⋅ ∨ = ∨

66

exprimare mai simplă, conţinând cât mai puţine variabile şi câţi mai puţini termeni. Operaţia prin care de la o expresie mai complexă se ajunge la una mai simplă, echivalentă, se numeşte simplificare sau minimizare. Exemplu: Considerăm funcţia de 3 variabile binare de echivalent zecimal 250:

x y z ( , , )f x y z 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1

Forma sa normal disjunctivă este:

( , , ) .f x y z x y z x y z xy z x y z x y z x y z= ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ Aplicând proprietăţile algebrei Boole se obţine:

( , , ) ( ) ( ) ( )( ) .

f x y z xz y y xy z z x y z zxz xy x y xz x y y xz x x z= ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ =

= ∨ ∨ = ∨ ∨ = ∨ = ∨

Se observă că de la o formă cu 18 literale am ajuns la una mult mai simplă cu numai 2 literale. Aplicarea proprietăţilor algebrei Boole permite simplificarea, dar necesită o oarecare rutină, implică observarea posibilităţilor de aplicare a acestor proprietăţi. Există şi metode sistematice de simplificare corespunzătoare diferitelor moduri de reprezentare a funcţiilor. S-a putut observa că la baza simplificărilor efectuate cu utilizarea proprietăţilor algebrei Boole a stat eliminarea unor variabile (neesenţiale) din doi minitermeni numiţi adiacenţi :

( , , ) ( )f x y z x y z x y z x z y y x z= ∨ = ∨ =

67

Termenii adiacenţi sunt aceia pentru care n-1 variabile (esenţiale) au aceleaşi valori, iar a n-a are valori complementare:

1 2 1 1 2 1( , , , , ) ( , , , , )i i n i i nf x x x x x f x x x x x+ += . Variabila xi se numeşte neesenţială şi poate fi eliminată. Majoritatea metodelor de minimizare se bazează pe depistarea adiacenţelor şi eliminarea variabilelor neesenţiale. Există adiacenţe de ordinul 1, (cele menţionate), de ordinul 2 în care există 2 variabile neesenţiale ş.a.m.d. In cazul reprezentărilor geometrice ale funcţiei de variabile binare, adiacenţele se depistează direct pe figură din alăturarea situaţiilor corespunzătoare valorilor de 1 din tabela de adevăr. Exemplu: Considerăm funcţia de 3 variabile binare de echivalent zecimal 250, reprezentată prin alăturarea situaţiilor corespunzătoare valorilor de 1 din tabela de adevăr.

O muchie a cubului cu ambele vârfuri marcate determină o adiacenţă de ordin 1, cu o variabilă neesenţială, care în cele două vârfuri are valori contrare, fără ca prin aceasta să modifice valoarea funcţiei. O faţă a cubului cu toate 4 vârfuri marcate, determină o adiacenţă de ordinul 2, cu două variabile neesenţiale şi precizată numai variabila ce defineşte acea faţă a cubului; ş.a.m.d.

(1,0,0) y

z

(1,1,0)

x

(1,1,1)

(0,1,1)

(0,1,0)

(1,0,1)

(0,0,1)

(0,0,0)

68

În exemplul considerat se observă două adiacenţe de ordinul 2, (feţele x=1 şi z=1) care acoperă toate vârfurile marcate ale cubului. Toţi minitermenii din funcţia de 3 variabile binare sunt acoperiţi de x z∨ , rezultat găsit şi prin aplicarea proprietăţilor algebrei Boole. În reprezentarea funcţiei prin cercuri Euler, de asemenea adiacenţele sunt vizibile direct pe diagramă

Cele 6 zone corespunzătoare situaţiilor de 1 corespund cercurilor x=1 şi z=1, obţinând astfel rezultatul x z∨ . Pentru funcţiile de mai multe variabile este recomandabilă utilizarea reprezentărilor geometrice prin hărţi logice (diagrame Veitch-Karnaugh) Şi de această dată, adiacenţele sunt evidenţiate prin gruparea căsuţelor marcate cu 1: două căsuţe alăturate pe linie sau pe coloană determină o adiacenţă de ordinul I, 4 căsuţe alăturate (4x1 sau 2x2) determină o adiacenţă de ordin II cu două variabile neesenţiale, 8 căsuţe alăturate (8x1, 4x2, 2x4 sau 1x8) determină o adiacenţă de ordin III cu 3 variabile eliminabile ş.a.m.d. Pentru exemplul considerat (funcţia de 3 variabile 250)

yz x

00 01 11 10

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

Sunt evidenţiate 2 zone-adiacenţe de ordin II: linia x=1 şi ultimele două coloane caracterizate prin z=1.(atât x, cât şi y sunt aici neesenţiale. Rezultat: x z∨ .

x y

z

69

Este de menţionat că prin folosirea codului ciclic de parcurgere a interpretărilor posibile şi coloane extreme sunt adiacente. Este de asemenea de remarcat că în rezultatul final trebuie incluse toate interpretările de 1 în tabela de adevăr chiar dacă nu semnalăm apariţia vreunei zone de adiacenţă. În cazul funcţiilor incomplet determinate pentru care nu se precizează valoarea de adevăr în unele situaţii (arbitrare), se va admite o valoare sau alta de adevăr, funcţie de simplitatea rezultatului final. O forma analitică de minimizare a funcţiilor logice este Quine Mc-Klusky. Depistarea adiacenţelor se realizează pe baza următoarelor observaţii: -două situaţii adiacente sunt de aşa fel că una din variabile este 0 într-una din cele 2 situaţii şi 1 în cealaltă. Deci situaţiile adiacente sunt caracterizate printr-un număr de variabile 1 diferit cu o unitate. Ex.: 100 şi 101 (un 1 în prima situaţie, 2 de 1 în a doua). -în al doilea rand, acel 1 in plus în perechea de situaţii adiacente, trebuie să corespundă unui anume rang şi nu să fie obţinut prin compensarea trecerii în 0 pe alte ranguri. Ex.: 100 şi 011. Bazându-ne pe aceste 2 observaţii, algoritmul de minimizare Quine Mc-Klusky se desfăşoară în următoarele etape (le vom ilustra considerând funcţia de 3 variabile binare de echivalent zecimal 250)

( , , )0 0 0 0 (0)1 0 0 1 (1)0 0 1 0 (2)1 0 1 1 (3)1 1 0 0 (4)1 1 0 1 (5)1 1 1 0 (6)1 1 1 1 (7)

f x y z x y z

70

1. Se grupează situaţiile de 1 din tabela de adevăr pe grupe de situaţii cu 0 de 1, cu 1 de 1, cu 2 de 1,…etc. Aşadar:

Grupa cu 1 de 1 001 (1)100 (4)

− −

Grupa cu 2 de 1

011 (3)101 (5)110 (6)

− − −

Grupa cu 3 de 1 {111 (7)− . 2.Într-o a doua etapă se compară fiecare interpretare dintr-o grupă cu toate interpretările grupei imediat următoare, comparaţie făcându-se din punctul de vedere al diferenţelor echivalenţilor zecimali. Dacă o asemenea diferenţă este o putere a lui 2, aceasta semnifică faptul că pe rangul corespunzător acelei puteri a lui 2 apare acel 1 în plus. Pe rangul respectiv variabila se dovedeşte a fi neesenţială şi se elimină.

1 2 0

2 1 1

0

(1) (3) 2 0 1 (3) (7) 2 11 (4) (5) 2 10(1) (5) 2 10 (5) (7) 2 1 1 (4) (6) 2 1 0

(1) (6) (6) (7) 2 11

− → → − − → → − − → → − − → → − − → → − − → → − − → − − → → − 3.În continuare se compară perechile de interpretări obţine şi se caută adiacenţă de ordin 2 prin existenţa unei aceleaşi puteri a lui 2 ca diferenţă între ambele componente ale perechilor:

2

1

0

(1) (3) (5) (7) 2 1(1) (5) (3) (7) 2 1(4) (6) (5) (7) 2 1

− ↔ − → → − − − ↔ − → → − − − ↔ − → → − − Se constată că toate cele 6 interpretări de 1 din tabela de adevăr ((1),(3),(4),(5),(6),7)) sunt cuprinse în grupurile de câte 4 interpretări determinate ca fiind adiacenţe de ordin 2 şi exprimate prin x şi z. Rezultat: ( , , )f x y z x z= ∨ Pentru funcţii de mai multe variabile, se caută în continuarea adiacenţele de ordin 3, constituite din

71

compararea între ele a grupurilor de câte 4 interpretări (adiacenţe de ordin 2) ş.a.m.d. Se reţin ca rezultat al minimizării toate adiacenţele reprezentate prin variabilele esenţiale care le caracterizează, dar şi eventualele interpretări rămase in afara lor. Metoda coeficienţillor nedeterminaţi Fiecare minitermen din exprimarea FND (sau fiecare interpretare posibilă a variabilelor componente) se poate exprima printr-o sumă de termeni cuprinzând variabilele luate singular, grupurile de 2 variabile, grupurile de 3 variabile etc., toţi aceşti termeni fiind asociaţi cu un coeficient iniţial nedeterminat. Exemplu

1 0 1 0 1 10 111 2 3 4 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 12 1 2 13 1 3

101 10101145 1 4 5 12345 1 2 3 4 5

x x x x x k x k x k x k x k x k x x k x xk x x x k x x x x x

= ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

∨ ∨ ∨

Coeficienţii se pot determina astfel: dacă interpretarea respectivă face parte dintr-o adiacenţă de ordin 4, cu patru variabile neesenţiale, atunci ea se reduce la unica valabilă esenţială (de ex. x3) şi deci 1

3 1k = , restul coeficienţilor putând fi nuli. Dacă interpretarea considerată conduce la falsitatea funcţiei (0 în tabela de adevăr) toţi coeficienţii sunt nuli. Dacă interpretarea considerată conduce la un 1 în tabela de adevăr, este suficient ca un singur coeficient să fie nenul dar pot fi şi mai mulţi. Se va considera 1, acel coeficient ataşat unui produs de literale cât mai mic ca număr de factori. Practic, metoda de minimizare a coeficienţilor nedeterminaţi se aplică în modul următor: Se alcătuieşte tabelul:

72

( , , )

0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

x y z f x y z

2 3n n nc c c

x y z x y x z y z x y zx y z x y x z yz x y zx y z x y x z yz x yzx y z x y x z yz xyzx y z x y xz y z xyzx y z x y xz y z xyzx y z x y xz yz xyzx y z x y xz yz xyz

Se constată că numărul coloanelor din tabel este

12 1

ni nn

iC

=

= −∑ , n find numărul de variabile ale funcţiei. Nu

este necesar să fie explicitaţi şi coeficienţii, aceştia fiind subînţeleşi. Se taie cu o linie orizontală toţi termenii care corespund interpretărilor de zero (toţi coeficienţii care le sunt implicit ataşaţi sunt nuli). Apoi, pe coloane se anulează toţi coeficienţii care din prima fază au fost determinaţi ca fiind nuli. Se adoptă în continuare pe fiecare linie, coeficienţii 1, cei care corespund produselor căt mai scurte. Se constată uşor că toate cele 6 interpretări de 1 sunt acoperite de x z∨ . Aplicaţii ale calculului propoziţiilor bivalente Calculul circuitelor electrice. Unui contact care poate fi închis sau deschis I se asociază respective valorile 1 şi 0. Contactul poate fi reprezentat printr-un bloc, simbolizat x, y, iar conductibilitatea sa este o funcţie de starea contactului.

73

Se constată că dacă acel contact este închis, conductibilitatea sa electrică este 1 şi în caz contrar 0. Valoarea asociată conductibilităţii lui este deci aceeaşi cu valoarea asociată contactului. Legăturile serie şi paralel ale contactelor reprezintă modele ale funcţiilor ŞI, respectiv SAU. Unui circuit complex, cu combinaţii de legături serie-paralel îi corespunde valoarea 1 când curentul poate trece şi 0 în caz contrar. Exemplu:

( , , ) (( ) )f x y z x y x y z x y xz yz= ∨ ∨ ⋅ = ∨ ∨/ /

În cazul circuitelor electronice, realizate cu tranzistoare, conducţia de curent (semnal) corespunde saturaţiei, iar neconducţia corespunde blocării tranzistorului. În reprezentarea grafică apar aşa numitele porţi logice, simbolizate ca în desenul următor.

x y

x

y

z

74

Problema de analiză constă în aceea că se dă circuitul şi se cere să se determine transmitanţa (tabela de adevăr a circuitului dat). Problema de sinteză dimpotrivă porneşte de la condiţiile impuse circuitului exprimate prin tabela de adevăr şi se cere structura circuitului. Problema de analiză se rezolvă mai intâi formula structurală a circuitului (FND), efectuând apoi minimizările şi în expresia finală se constată în ce interpretări transmitanţa este 1 sau 0. În problema de sinteză, conform tabelului de adevăr se obţine forma normal disjunctivă (FND) se minimizează această formă şi se implementează. Circuitele electrice şi electronice se clasifică în două mari categorii: -circuite combinaţionale -circuite secvenţiale

ŞI a

b

ab

SAU

a

b

a b∨

a a

a

b

( )a a b∨

a b

( )b a b∨

b ab ab∨ ∨

75

În circuitele combinaţionale, ieşirile sunt funcţie de intrări, neinteresând şi alţi factori în transmiterea semnalelor. La circuitele secvenţiale (numite şi circuite cu memorie), există legături inverse între diferite ieşiri şi intrări, astfel încât chiar şi fără modificarea semnalelor de intrare, ieşirile se pot modifica în timp. În sinteza circuitelor secvenţiale trebuie urmărite din aproape în aproape situaţiile care apar. Să considerăm drept exemplu sinteza circuitelor de stop la o intersecţie de cale ferată (reprezentată prin linia îngroşată).

Prezenţa trenului în zonele A sau B este sesizată de contactele A, B care se închid fie prin greutate fie prin circuitul de cale. Tabela de adevăr se stabileşte din condiţii:

A B W 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0

A B

O

O STOP

76

Se constată o dublă incompatibilitate. Pentru a o rezolva se recurge la o variabilă auxiliară, un releu intermediar X.

A B X W X 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1

Corespunzător tabelului funcţiile aferente vor fi:

( ) ( )f W AB X ABX ABX ABX AB X AB AB= ∨ ∨ ∨ = ∨ ∨

( ) ( )f X ABX ABX ABX ABX AB X AB AB= ∨ ∨ ∨ = ∨ ∨ Calculul propoziţiilor trivalente Se poate fundamenta cu ajutorul congruenţelor modulo 3.

(mod3)3

a ba b N

≡− = ⋅

Orice număr întreg este congruent modulo 3 cu 0, 1 sau 2, adică cu restul împărţirii sale la 3. Clasa de resturi este {0, 1, 2}. Dacă se exprimă numărul respectiv în sistemul de numeraţie cu baza 3, atunci acel număr este congruent modulo 3 cu cifra rangului său 30 . Variabila care poate lua cele 3 valori ale clasei de resturi ), 1, 2, se numeşte trivalentă. Cu cele trei valori se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire:

0 1 2 0 1 20 0 1 2 0 0 0 01 1 2 0 1 0 1 22 2 0 1 2 0 2 1

+

77

Variabila trivalentă se bucură de proprietăţile:

2

3

3

2 1 2 2

0 1 20. 0 1 1

0 1 2.

, .k k

xx x x x

xx xx x x x+

+ + =

=

= =

Funcţia de variabilă trivalentă este o corespondentă între fiecare valoare a variabilei şi valoarea funcţiei. Aceasta din urmă poate fi bi- sau trivalentă. Exemplu:

0 1 2; (0) 2; (1) 1; (2) 1.

( ) 2 0 1x

f f ff x

= = =

Funcţia se exprimă printr-o tripletă de valori bi sau trivalente. Numărul de funcţii distincte este 29 sau respective 33. [000…111; 000…222]. Exprimarea analitică se obţine prin interpolare lagrangiană:

2( ) ;(0) 2 (0) 2 (1) 2 (2).

(1) 2 (1) (2)(2) 2 (0)

f x ax bx cf c a f f f

f a b c b f ff a b c c f

= + +

= = + + = + + ⇒ = + = + + =

Deci:

2

2 2 2

0 1 2

( ) [2 (0) 2 (1) 2 (2)] [2 (1) (2)] (0)(0)[2 1] (1)[2 2 ] (2)[2 ](0) (1) (2) .x x x

f x f f f x f f x ff x f x x f x xf L f L f L

= + + + + + =

= + + + + + == + +

Proprietăţile polinoamelor lui Lagrange sunt exprimate în tabelul de mai jos:

78

0 1 220

21 2

22

0 1 21

2 1 1 0 0( ) ( ) 0;

2 2 0 1 0( ) ( )

2 0 0 1

( ) 1,( ) 0,

x x xx

j ix

i ix

xL L L

L xL x L x i j

L x xL x L x

L x x

L x xL x x

α

α

αα

+ + == + ⋅ = ≠= + == +

= = = ≠

Exemplu:

2 20 1 2( ) 2(2 1) (2 ) 2.

( ) 2 0 1x

f x x x x xf x

= + + + = +

Pentru funcţii de mai multe variabile trivalente:

1 21 2 1 2 1 20,1,2

( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( )n

i

n n nf x x x f L x L x L xα α αα

α α α=

= ⋅ ⋅∑

Este de menţionat că se poate echivala calculul cu elemente trivalente cu cel al elementelor bivalente, asociind fiecărui element trivalent un grup de 3 elemente bivalente. Fie de exemplu maneta tripoziţională x. Acestei manete i se pot asocia trei elemente bivalente x0, x1, x2, conform tabelului:

x0

x1

x2

79

0

1

2

0 1 21 0 00 1 00 0 1

xxxx

Se observă că cele 3 elemente bivalente asociate reprezintă lagrangienele pentru variabila trivalentă. Dintre funcţiile posibile se distinge funcţia negare a cărei valoare de adevăr este ( ) 2 ( ).v p v p= −

0 21 12 0

x x

Dintre funcţiile de 2 variabile trivalente sunt utilizate cele denumite conjuncţie şi disjuncţie:

min( , ) max( , ).x y x y x y x y∩ = ∪ = Tabela de adevăr corespunzătoare acestor 2 funcţii:

0 0 0 00 1 0 10 2 0 21 0 0 11 1 1 11 2 1 22 0 0 22 1 1 22 2 2 2

x y x y x y∩ ∪

80

Expresiile analitice ale acestor funcţii se obţin prin interpolare Lagrange:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

(2 2 )(2 2 ) (2 2 )(2 2 )(2 )(2 2 ) 2(2 )(2 ) 22 2 (2 2 2 1).

(2 1)(2 2 ) 2(2 1)(2 )(2 2 )(2 1) (2 2 )(2 2 )2(2 2 )(2 ) 2(2

x y x x y y x x y yx x y y x x y y x y

x y x y xy xy xy x y

x y x y y x y yx x y x x y y

x x y y x

∩ = + + + + + +

+ + + + + + = +

+ + + = + + +

∪ = + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + 2

2 2 2 2

2 2 2 2

)(2 1)2(2 )(2 2 ) 2(2 )(2 )

2( 2) ( ) ( )( 2) ( )( 1).

x yx x y y x x y y

x y x y xy xy y xxy xy xy x y x yxy xy x y xy

+ + +

+ + + + + + =

= + + + + + == + + + + + == + + + +

Multe noţiuni definite din logica bivalentă rămân aceleaşi: regulile de formare a formulelor, funcţiile de adevăr, tautologii (pentru orice interpretare – 2), contradicţii (orice interpretare – 0), echivalenţe. Principalele elemente de lucru rămân tabelele de adevăr şi expresiile analitice. Cu ajutorul acestora se constată, de exemplu, valabilitatea formulelor lui De Morgan:

x y x y∩ x y∪ x y∩ x y∪ 0 0 0 0 2 2 0 1 0 1 1 2 0 2 0 2 0 2 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2 0 0 2 0 2 2 1 1 2 0 1 2 2 2 2 0 0

x y x y x y x y∪ = ⋅ ∩ = ∪

81

În schimb, nu mai sunt valabile legile contradicţiei şi terţului exclus. Astfel, x x∩ nu este întotdeauna falsă, pentru x=1, iar x x∪ nu ia valoarea 2. În logica trivalentă apare principiul cvartului exclus:

( 1) 2x x x∪ ∪ + = De asemenea, principiul contradicţiei se enunţă:

( 1) 0x x x∩ ∩ − = 0 este element neutru pentru disjuncţie şi 2 este element neutru pentru conjuncţie:

0 2x x x x∪ = ∩ = În logica trivalentă, implicaţia se poate define în mai multe feluri, corespunzător diverselor forme de exprimare a ei în logica bivalentă. Pornind de la implicaţia intuitivă, se ajunge la definiţia:

\ 0 1 22, 0 2 2 2, 1 0 2 2

2 0 1 2

p qp q

p qq p q

≤→ = >

Definiţiile de mai sus ale funcţiilor , ,∪ ∩ → , corespund logicii intuiţioniste a îndoielnicului (incertului). În sistemul trivalent al lui Bochvar, pentru care valoarea intermediară între adevăr şi fals este absurdul, funcţiile respective se definesc ca în tabelul de mai jos:

82

p q p q∩ p q∪ p q→ p 0 0 0 0 2 0 1 1 1 1 2 0 2 0 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 2 0 2 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2

Calculul elementelor n-valente se poate efectua cu ajutorul argumentelor modulo n , prin generalizare. Se lucrează cu modulo număr prim , pentru ca înmulţirea să dea rezultat nul numai daca unul din factori este nul. Calculul ansamblelor de variabile discrete Pentru calculul ansamblelor de variabile discrete se pot utiliza generalizări ale calculelor variabilelor singulare, respectiv teoria congruenţelor modulo dublu. Definiţie.Generalizând definiţia argumentelor modulo simplu, număr, se spune că un polinom oarecare este congruent modulo dublu (număr şi polinom) cu restul împărţirii sale la polinomul modulo, calculele efectuându-se conform modulo număr. Exemplu:

3 2

3 2

2

1 11

1

z z z zz z z z

zrest z

+ + + +

− − − +

+

Se scrie: 3 21 (mod 2, 1)z z z z z+ + ≡ + +

Calculele împărţirii polinomului dat la polinomul modulo s-au efectuat conform definiţiilor adunării şi înmulţirii mod2.

83

Dacă cele 2 modulo sunt 2 1z z+ + şi 2, resturiler posibile sunt: 1, ,1 , 0z z+ , sau în general, polinoame de grad 1 de tip: a z b+ cu , {0,1}a b∈ . În clasa de resturi considerată intervin deci perechi de valori (a, b) ca şi în cazul numerelor complexe. Coeficientul lui z ar fi similar componentei imaginare, coeficientul liber ar fi similar componentei reale a numărului complex. Cele 4 resturi posibile ar putea fi notate 0, 1, ε, ε+1, ε desemnând componenta a 2-a (imaginară). În general dacă polinomul modulo este de grad n şi modulo numar este m , clasa de resturi va fi constituită din grupuri de n variabile m-valente (corpul mn), din vectori cu n componente, fiecare putând avea valorile 0, 1, …m-1. Cu cele 4 resturi ale corpului 22 se definesc operaţiile:

2 2 2 2

0 1 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 0 01 1 0 1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 11 1 1 0 1 0 1 1

1 1; 111

z z z z z

rest z

ε ε ε εε ε

ε ε ε εε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε

ε ε

+ + ++

+ ++ +

+ + + +

+ + ≡ + ≡ +

+

O variabilă în corpul 22 se bucură de proprietăţile: z+z=0 şi pentru puteri construim tabelul:

42

5 23

6 34

0 1 10 1 10 1 1 10 1 1

zz z

zz z

zz z

z

ε εε ε

ε ε

+=

+=

=+

84

O funcţie de variabilă în corpul 22 se poate exprima prin tabel de adevăr sau analitic, prin interpolare lagrangiană (în loc de 4 valori avem 4 coeficienţi ai polinomului):

3 2

2

2 2

( ) ( )0 1 (0) .1 0 (1)

1 ( )1 ( )

z f z f z az bz cz df d

f a b c df a b c df a b c d

ε ε ε εε ε ε ε ε

= + + +=

= + + += + + +

+ = + + +

Pentru a găsi coeficienţii funcţiei f(z), a, b, c, d, sumăm membru cu membru relaţiile scrise mai sus multiplicate corespunzător (de la caz la caz). Găsim:

2

2 2

2 2

3 2 2 3

2 2 2 2 2

3 3 2 3

(0) (1) ( ) ( ) .(1) ( ) ( ) .(1) ( ) ( ) .

(0)( ) [ (0) (1) ( ) ( )]

[ (1) ( ) ( )] [ (1) ( ) ( )] (0)(0)[ 1] (1)[ ] ( )[

f f f f af f f bf f f c

f df z az bz cz d f f f f z

f f f z f f f z ff z f z z z f z

ε εε ε ε εε ε ε ε

ε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε

ε ε

+ + + =+ + =+ + =

=

= + + + = + + + +

+ + + + + + + =

= + + + + + + 2 2 2 3 2 2] ( )[ ].z z f z z zε ε ε ε+ + + +

22

0 1( ) (0) ( ) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f z f L z f L z f L z f L zε εε ε= + + +

Polinoamele lui Lagrange în z se bucură de proprietăţile:

20 1 1 2 1 2

( ) 1, ; ( ) 0,( ) ( ) ( ) ( ) 1. ( ) ( ) 0,

L z z L z zL z L z L z L z L z L z

α α

ε α αε

α αα α

= = = ≠+ + + = ⋅ = ≠

Variabila compusă z se poate exprima şi prin cele două componente: z a bε= + 2 2 .z a bε= + Polinoamele Lagrange devin:

20 0 0 1( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) .L z L a L b a b L z a b L z a b L z a bε ε= = = = =

Componentele variabilei complexe se pot deduce din variabilă şi pătratul ei 2 2 2; .b z z a z zε ε= + = +

85

În problemele de sinteză a circuitelor electrice se poate folosi calculul în corpul 22 (în general mn) sau se foloseşte simplu alăturarea componentelor. Exemplu. Fie un transportor cu două secţiuni A şi B, comandat cu o pereche de butoane P, O. Se impune ca la pornire să funcţioneze întâi B apoi A, la oprire să se decupleze întâi A apoi B. Se asociază butoanelor variabila compusă: u P Oε= + şi contactoarelor A, B variabila compusă z A Bε= + . Conform condiţiilor impuse se stabileşte tabela de adevăr:

2

2 2

2

2

2

0 0 01 01010

0

bu z z

εε ε

ε ε

ε ε εεε εε

Folosind interpolarea Lagrange definită anterior, ţinând cont de polinoamele lagrangiene respective care apar şi de operaţiile în modulo 2 care reduc aceste operaţii rezultă funcţia definită de valoarea de adevăr de mai sus:

86

2

2 2

2 21 0 0 1 0 1

3 2 3 2 2 2

2 3 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 3 3 3 2 2 2 2

2 2

[ ] [ ]

[ ] ( )( 1) ( 1)( )

( )( )( )

( )( ) (

b u z u u z u u z

u u z

z L L L L L L L L

L L L u u u z u u z z

u u z z z u z u u z uz z zu z z z u z u u z uz z zP O A B A

ε ε

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε ε

ε

ε ε

= + + + + +

+ + = + + + + + + + +

+ + + + = + + + + + =

= + + + + + + + + =

= + + + + 2

2

2 2

2

) ( )[ ( )( 1) ( )( )]

( )( ) []

[]

B A BA B P O PO A B AB A B O

P O A B B A B PA PB PAB P OA OBOAB O POA POB POAB PO AO OB

PA PB OA B OB OA PB OB A B PA PB PAB POB OAB O POA POB POAB PO

POAB

ε ε

ε ε

ε ε ε

εε

ε ε

+ + +

+ + + + + + + + + + =

= + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + =+ + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + =

= + 2 2

2 2

[ ] [ ] [ ][ ( )].

PO PO AB PO PO AB PO PO ABPOAB OAB OAB OAB OB AB OA P B

ε ε

ε ε ε ε ε

+ + + + + +

= + + + = + + ∨

Pentru a efectua calcule în corpul 23 se folosesc congruenţe modulo dublu z3+z2+1 şi 2. Resturile posibile la împărţirea oricărui polinom la polinomul modulo de grad 3 vor fi polinoame de grad 2 de forma cz2+bz+a, cu a, b, c luând valorile 0 sau 1. Corpul 33 este constituit din resturile împărţirii la un polinom 3 1z z+ + dar ţinând seama de adunările şi înmulţirile modulo 3. Se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire în corpurile compuse, se stabilesc relaţiile de interpolare Lagrange, dar dar polinoamele Lagrange pot fi exprimate prin produsele polinoamelor Lagrange ale componentelor. În loc de congruenţe modulo dublu, pentru justificarea calculelor cu grupuri de variabile discrete se pot utiliza congruenţele de vectori sau de matrici. Doi vectori (fazori) sunt congruenţi modulo m dacă au aceeaşi direcţie şi diferenţa lor este multiplu întreg de modulo.

87

Se regăsesc definiţiile adunării şi înmulţirii cu cele 4 resturi din corpul 22 pornind de la steaua fazorilor din figură: Două matrici se numesc congruente modulo m dacă toţi componenţii corespunzători sunt congruenţi modulo m. Fie, de exemplu matricea pătratică:

, , 0,1, 1.a b

a b mb a b

∈ − +

0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

. .1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1

+ = × =

Pentru corpul 23 se pot folosi matrici de forma:

2

4 8

; ;

; .

a b c a b c b c bM b a b c b c M b c a b c

c b c a b b c a

a b c b cM c a b M M

b c b a b c

+ + + = + + + = + + + +

+ + = = + + +

Din utilizarea congruenţelor de matrici rezultă o serie de facilităţi: necesitatea calculului numai pentru prima linie a matricilor, ridicarea la pătrat se traduce prin deplasarea minorului a11.

1

0

2ε ε

88

Logica probabilistică Logica polivalentă şi cea modală reprezintă încercări de modelare a raţionamentului asupra incertitudinilor (fie prin valori intermediare-îndoielnic, incert- fie modalităţi-necesar, posibil). O alternativă de modelare a raţionamentului cu incertitudini este aceea de a ataşa fiecărei formule o măsură a gradului ei de certitudine. Poate cea mai intuitivă cale de a introduce o măsură probabilistică a enunţurilor constă în a asimila gradul de certitudine a formulelor cu o măsură a realizabilităţii lor. În calculul propoziţional (CP), clasic interveneau, tautologii, contradicţii, consistenţe (realizabilităţi). Unele din aceste concepte se utilizau în abordarea sintactică, pentru demonstraţii şi deducţii, altele în aplicaţii cum ar fi calculul circuitelor electrice şi electronice. La întrebarea “cât de realizabilă este o formulă consistentă (realizabilă)?” se poate răspunde printr-o încercare de introducere a unei măsuri de realizabilitate. Fie : [0,1]R F → o aplicaţie a mulţimii formulelor F pe mulţimea numerelor reale între 0 şi 1, care satisface următoarele condiţii: 1. ( ) 0.R A ≥ (A este formulă) 2.╞ ( ) ( ).A B R A R B≡ ⇒ =

Realizabilităţile unor formule echivalente sunt egale. 3.╞ ( ) 1.A R A⇒ = O tautologie are măsura maximă de realizabilitate. 4.Dacă ╞ AB atunci ( ) ( ) ( ).R A B R A R B∨ = + Condiţia (4) rezultă intuitiv prin faptul că A B∨ se realizează ori de câte ori se realizează A şi ori de câte ori se realizează B , A şi B fiind incompatibile. Consecinţă imediată (din 3 şi 4):

89

5. ( ) ( ) 1R A R A+ = . De aici rezultă că A este o contradicţie dacă ( ) 0.R A = 6. ( ) ( ) ( ) ( ).R A B R A R B R A B⋅ = + − ∨ sau ( ) ( ) ( ) ( ).R A B R A R B R A B∨ = + − ⋅ Pentru a demonstra avem succesiv:

( ) ( ) ( ) ( ).( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A B A ABB AB ABR A B R A AB R A R ABR B R AB R AB R AB R B R AB

∨ = ∨

= ∨

∨ = ∨ = +

= + ⇒ = −

şi înlocuind găsim:

( ) ( ) ( ) ( ).R A B R A R B R A B∨ = + − ⋅ Q.E.D. Întrucât orice formulă din calculul propoziţional se poate

exprima prin FND, 2 1

0

n

i ii

A a m−

=

= ∑ unde ai sunt 1 sau 0 şi mi-

minitermeni sau clauze conjuctive rezultă:

2 1

0( ) ( ), 0 ( ).

n

i i i ji

R A a R m deoarece m m i j−

=

= = ≠∑

Dacă A este tautologie rezultă 2 1

0( ) 1.

n

i ii

a R m−

=

=∑ Realizabilitatea

unei formule este dată de realizabilitatea minitermenilor săi. Un minitermen este adevărat într-o singură interpretare şi fals în celelalte. Cele 2n interpretări posibile se numesc lumi realizabile. Formula A are deci ca măsură a realizabilităţii sale suma realizabilităţii lumilor în care ea este adevărată. Presupunând -ca ipoteză- că în CP lumile sunt egal realizabile (sistem logic cu maximă entropie) se poate considera următoarea măsură a realizabilităţii minitermilor:

1( ) ( ) .2i i nR L R m= =

90

Un minitermen se reprezintă sub forma conjuncţiei tuturor celor n variabile, care pot fi afirmate sau negate. Realizabilitatea sa este deci dependentă de numărul variabilelor (factorilor) din conjuncţie. Măsura realizabilităţii unei formule poate fi deci interpretată prin numărul coeficienţilor egali cu 1, adică prin numărul lumilor posibile în care formula este adevărată, raportat la numărul total al lumilor posibile. Ex.:

7

1 2 3 1 2 3 1 2 3 30

1 1 3( ) ( ) 3 3 .2 2 8i i mA x x x x x x x x x R A a R m= ∨ ∨ ⇒ = = ⋅ = ⋅ =∑

Simplificând formulă:

1 2 1 2 3 1 2 1 2 31 1 3( ) ( ) ( ) .4 8 8

A x x x x x R A R x x R x x x= ∨ ⇒ = + = + =

Evident, acelaşi rezultat. Măsura realizabilităţii poate fi utilizată pentru demonstrarea caracterului de tautologie ( ( ) 1R A = ) sau de contradicţie ( ( ) 0R A = ) al unei formule. Ex.: Fie ( )( ) ( ).A P Q Q R P R= → → → → (silogismul BARBARA)

( )( ) ( ) .( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1.4 4 2 2 8 8 4

A P Q Q R P R PQ QR P RR A R PQ R QR R P R R R PQR R PQR R PR

= ∨ ∨ → ∨ = ∨ ∨ ∨

= + + + − − − =

= + + + − − − =

Se constată uşor că proprietăţile realizabilităţii R sunt aceleaşi cu ale probabilităţii P, în enunţul lui Kolmogorov pentru cazul finit: 1. ( ) 0.p A ≥ 2.Dacă .╞ ( ) 1.A p A⇒ =

91

3. Dacă .╞ ( ) ( ).A B p A p B→ ⇒ ≤ ( ) 1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ).( ) ( ) ( ) ( ), . . .

p A B p A p B p A Bp A p B p A B

p A p B p A B p B q e d

→ = = + − ⋅ =

= − + − ⋅

= − ⋅ ≤

4. ╞ AB atunci ( ) ( ) ( ).p A p B p A B+ = ∨ Calculul propoziţiilor şi calculul probabilităţilor Conceptul de realizabilitate pare a fi una din căile naturale pentru introducerea logicii probabilistice. Se dobândeşte astfel o idée obiectivă de frecvenţă a adevărului, măsurată de probabilitatea asociată fiecărei formule: în câte lumi formula este adevărată din totalul lumilor posibile. Vom folosi p(A) în loc de R(A) . Convenim să vedem în p(A) o măsură a gradului de certitudine a formulei A. Gradul de certitudine a tautologiilor este 1, a contradicţiilor 0. Ne situăm, în continuare, în cazul finit dar părăsim ipoteza echiprobabilităţii lumilor posibile. Presupunem că relaţia de ordine ( ) ( )p A p B≤ dacă A B→ , este o relaţie de ordine liniară care satisface condiţiile:

.

.

. .

a x xb x y y z x zc x y y x x y

≤≤ ∧ ≤ ⇒ ≤≤ ∧ ≤ ⇒ =

Se mai presupune că dacă înlocuim formulele unei disjuncţii cu formule de probabilitate mai mică sau egală, probabilitatea disjuncţiei ce rezultă va fi mai mică sau egală cu cea a formulei iniţiale. Din ( ) ( )p A p B≤ şi ( ) ( )p C p D≤ rezultă ( ) ( )p A C p B D∨ ≤ ∨ cu condiţia .╞ BD . Teoremele care se deduc din cele 4 axiome ale probabilităţii formează baza utilizării calculului probabilitătilor într-un calcul propoziţional:

92

T1: ( ) 1 ( ).p A p A= − T2: ( ) ( ) ( ) ( ).p A B p A p B p A B∨ = + − ⋅ T3: ( ) ( ) ( ).p A B p A p B∨ ≤ + T4: Dacă .╞ ( ) ( ).A B p A p B↔ ⇒ = T5: ( ) ( ).p A p A B≤ ∨ T6: ( ) ( ).p AB p A≤ T7: ( ) ( ) ( ) 1.p AB p A p B≥ + − T8: Dacă . , ( ) ( ) 1 ( ).AB C atunci p A p B p C→ + − ≤

T9: Dacă . 2 12 1

0 0, ( ) ( ).

nn

i i i iA a m atunci p A a p m−−

≤ ∨ = ∑

T10: ( ) ( ) 1 ( ) ( ).p A B p A p B p A B→ + − ≤ ≤ → Deoarece pentru o tautologie ( ) 1p A = , se poate demonstra că o formulă este sau nu este o tautologie. Fie formula : ( ) (( ) ( )).A B B C A C→ → → → →

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ).( ) ( ) ( )

. ( ) ( )( ) ( ) 1 ( )

( )[( ) ( ))] ( )( )( )( ).

( ) ( ), ( ) ( ) 1 ( ) 1

p A B p A p B p AB p A p ABp B p AB p AB

A B X B C A C Yp X Y p XY p XXY A B B C A C A B BC A C

A B B A CXY AB A AC B AB BC A B Xp XY p X p X Y p X p X

→ = + − = − +

= +→ = → → → =

→ = + −

= ∨ ∨ → ∨ = ∨ ∨ ∨ =

= ∨ ∨ ∨

= ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ = ∨ == → = + − =

93

Prin urmare formula considerată este tautologie. Problema lui Boole. Pentru ilustrarea problemei să considerăm un exemplu simplu. Problema. Fie ( , )g x y x y= + o funcţie booleană (o formulă propoziţională). Se cunosc (sunt date) probabilităţile lui x şi y. Între ce limite –inferioară şi superioară- se va încadra probabilitatea disjuncţiei ( ) ( )p g p x y= + ? Tinând seama că probabilitatea unei formule este suma probabilităţii lumilor în care este adevărată, se concentrează în formă matricială ceea ce se cunoaşte despre , ,x y x y+ . Se notează cu 1 2 3 4, , ,p p p p probabilitatea celor 4 lumi

posibile în cazul a 2 variabile, cu 1 2 3, ,π π π respectiv probabilitaţile lui , , ( )x y g x y+ . Elementele matricei sunt valorile de adevăr ale lui x (linia I), y (linia II) şi x y+ (linia a 3-a) în cele 4 lumi posibile. Obţinem:

13 4 1

22 4 2

32 3 4 3

4

1 3 1 2

2 3 1 2

0 0 1 10 1 0 1 .0 1 1 1

..

pp p

pp p

pp p p

p

πππ

π π π ππ π π π

+

⋅ = + = + +

≤ ≤ +≤ ≤ +

Deci:

( ) ( ) ( ) ( ).( ) ( ) ( ) ( ).

p x p x y p x p yp y p x y p x p y

≤ ∨ ≤ +≤ ∨ ≤ +

Pentru cazul a n funcţii de m variabile, formula matriceală va fi:

V P⋅ = Π , matricea V având ca linii valorile de adevăr ale celor m funcţii, P-vectorul coloană al probabilităţilor lumilor posibile, Π - vectorul coloană al probabilităţii funcţiilor.

94

Sub formă matriceală se poate reprezenta şi exprimarea normal disjunctivă a unei funcţii de m variabile:

02 1

1 2 0 2 10

2 1

( , , , ) , , .n

n

n

m i ii

mg x x x a m a a A M

m

−

−=

−

= = = ⋅

∑

Atunci: 2 1

1 20

( ( , , , )) ( ) ,n

m i ii

p g x x x a p m A P−

=

= = ⋅∑

cu P- vectorul coloană al probabilităţii minitermenilor lumilor posibile, întrucât ( ) .i ip m p=

Pentru o tautologie 2 1

0( ) 1

n

ii

p m−

=

=∑ şi 1 2( ( , , , )) 1mp g x x x = .

Problema lui Boole se poate enunţa astfel: Fiind date 1 2( , , , )i mf x x x cu probabilităţile cunoscute

1 2( ( , , , ))i i mp f x x xπ = şi o funcţie 1 2( , , , )ng f f f se cere să se determine marginile inferioară şi superioară ale lui ( )p g :

( ) .INF SUPM g p g M g≤ ≤ Această problemă conduce la o programare liniară, în care datele cunoscute devin restricţii.

Cunoscând 2 1

0

m

i ij ij

a p A P−

=

Π = = ⋅∑ şi ( ) ,p g A P= ⋅ adăugând

condiţia 2 1

01

m

jj

p−

=

=∑ prin completarea matricei A cu vectorul

unitate ( fA ), problema devine: fA P⋅ = Π şi ( )p g DP= .

Ca problemă de programare liniară, problema Boole se enunţă: să se găsească min q DP= şi max q DP= , unde q este o formă liniară , cu restricţiile fA P⋅ = Π .

95

Exemplu:

Fie

1 2

1 2 3 4

1 1 1 3 4 1

2 2 2 1 2 4 2

3 3 1 2 3 4

4 4 2 4

, , .( ); ( ); ( ); ( ).

( ) .0 0 1 1

( ) .; 1 1 0 1 ;

1.1 1 1 1

( ) ( ) .

0 0 1 10 1 0 11 1 0 11 1 1 1

f

f P f P Q g Qp p PQ p p PQ p p PQ p p PQ

p p p f p pp p p f p p p

P Ap p p p p pp p p g p Q p p

ππ

= = → =

= = = =

= + = = + + = = = + + + = = = +

1 1

2 3

3 2

4 1

pppp

πππ

⋅ =

Deci trebuie să se găsească 2 4max q p p= + şi 2 4min q p p= + când sunt date 3 4 1( )p P p p π= + = şi 1 2 4 2( )p P Q p p p π→ = + + = . Din relaţiile scrise mai sus se deduc uşor, succesiv:

3 2 1 2 1

4 2 1 1 2

1 ; 1 ;1 (1 ) (1 ) 1.

p p pp

π ππ π π π

= − + = −= − − − − = + −

Apare evident:

3 2 4 4 1 2

2 4 1 2 4 2

( ) 1.( )

p Q p p pp Q p p p p pπ π π

π= = + ≥ = + −

= + ≤ + + =

Deci: 1 2 3 21π π π π+ − ≤ ≤

sau:

( ) ( ) 1 ( ) ( ).p P p P Q p Q p P Q+ → − ≤ ≤ → (Teorema T10) În cazul probabilităţilor celor 4 lumi posibile avem:

1 1 3( ) , ( ) , ( )2 2 4

p P p Q p P Q= = → = şi,prin urmare,

1 3 1 312 4 2 4

+ − < < sau 1 1 34 2 4

< < .

96

Probabilităţi condiţionate şi condiţionalul logic Se atribuie unei premise H, probabilitatea apriori p(H). În urma unui nou eveniment numit evidenţă E, probabilitatea lui H în condiţiile producerii lui E:

( )( / )( )

p H Ep H Ep E

⋅= .

De aici: ( ) ( ) ( / ) ( / ) ( )p H E p E p H E p E H p H⋅ = ⋅ = şi: ( / )( / ) ( )

( )p E Hp H E p H

p E= (formula lui Bayes)

unde ( / )p H E este o probabilitate aposteriori. Se permite astfel aducerea la zi a probabilităţilor atribuite unei ipoteze, pe măsura apariţiei de noi evidenţe. În cazul general al mai multor evidenţe mutual exclusive şi exhaustive 1, , nE E sunt valabile formulele:

1

1

1

( ) ( )

1( / ) ( ) ( ) ( / ) ( )( )( / )

( / ) ( ) , 1, .( / ) ( )

n

jj

n

i i j jji

ji i n

j jj

p H p H E

p H E p H E p H p H E p Ep Ep H E

p E H p E i np H E p E

=

=

=

= ⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ =

= ⋅ =

∑

∑

∑

(ultima formulă se numeşte formula generalizată a lui Bayes) Folosirea probabilităţii condiţionate în logică, unde formulele iau locul evenimentelor poate crea confuzii.Notaţia

/H E se interpretează atât “H când E”, cât şi “dacă E, atunci H” ca şi implicaţia. Teorema ( ) 1 ( ) ( )p A B p A p AB→ = − + arată că bara dintre H şi E exprimă o legatură diferită de implicaţie:

( ) ( ) ( ) 1.p E H p HE p E→ = − +

Deoarece: ( ) ( ) ( ) 1( / )( ) ( )

p HE p E H p Ep H Ep E p E

→ + −= = rezultă

( ) ( / ) ( ) ( ) 1.p E H p H E p E p E→ = − +

97

Exemplu: Fie următoarele două propoziţii referitoare la un joc cu zaruri:

A: rezultatul va fi un număr mai mic decât 3 B: rezultatul va fi un număr par Avem:

2 1 1 1 ( ) 1( ) ; ( ) ; ( ) ; ( / ) .6 3 2 6 ( ) 2

p ABp A p B p AB p B Ap A

= = = = = =

Se întocmeşte tabelul complet al rezultatelor posibile şi se calculează implicaţia A B→ .

1 2 3 4 5 60 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 1 0 12 1 0 1 0 1 0 13 0 1 1 1 1 1 14 0 1 1 1 1 1 15 0 1 1 1 1 1 16 0 1 1 1 1 1 1

BA

Implicaţia este adevărată în 30 de cazuri din cele 36 deci 30 5( )36 6

p A B→ = = şi se verifică formula:

1 1 1 5( ) ( / ) ( ) ( ) 1 1 .2 3 3 6

p A B p B A p A p A→ = ⋅ − + = − + =

Vom simboliza B/A şi vom citi A condiţionează pe B. Baza se numeşte condiţional (A condiţionează nu implică pe B).

În consecinţă ( )( / )( )

p ABp B Ap A

= .

Deosebirile dintre implicaţie şi condiţional sunt evidenţiate şi din tabelul de adevăr:

/0 0 10 1 11 0 0 01 1 1 1

A B A B B A→−−

98

Din definiţia condiţionalului, a teoremelor calculului probabilităţilor în CP, se pot deduce proprietăţi ale condiţionalului: 1. ( / ) 0.p B A ≥ 2.Dacă , ( / ) 1.A B p B A→ = 3.Dacă

( )( ), ( / ) ( / ).( ) ( ) ( ) .

A B C p A C p B CA B C A B A C

→ → ≤

→ → → → → →

4.Dacă , ( / ) ( / ).B C atunci p A B p A C≡ =

5.Dacă , ( / ) ( / ) ( / ).C AB atunci p A B C p A C p B C= ∨ = + 6. ( / ) ( / ) ( / ).p AB C p A C p B AC= Inferenţe inductive. Inferenţa deductivă operează de la general la particular iar inferenţa inductivă operează de la particular la general. Cunoştinţele particulare sunt incomplete dar se presupune că sunt suficient de certe pentru a sta la baza unor inferenţe. În inferenţa inductivă, condiţionalul joacă rolul implicaţiei din inferenţa deductivă. În cele ce urmează vom desemna prin 'E o evidenţă sau o cunoştinţă de care dispunem, iar gradul de certitudine a condiţionării de către E a unui enunţ A va fi ( / )p A E . Dacă un alt enunţ C este o concluzie a lui E şi A, gradul de certitudine a condiţionării de către E a lui C este dat de următoarele reguli:

R1 , ,E A B ╞ .C 1 2

1 2

( / ) 1 , ( / ) 1 .( / ) 1 ( ).

p A E p B Ep C E

ε εε ε

≥ − ≥ −≥ − +

Demonstraţia: E ╞ A B C→ . (premisa) ( / ) ( / ).p AB E p C E≤ (prop. 3) ( / ) ( / ) ( / ) 1.p AB E p A E p B E≥ + −

1 2 1 2( / ) ( / ) (1 ) (1 ) 1 1 ( ).p A E p B E ε ε ε ε+ ≥ − + − − ≥ − +

1 2( / ) 1 ( ).p AB E ε ε≥ − +

1 2( / ) 1 ( ).p C E ε ε≥ − +

99

R2 1 2

1 2

( / ) 1 , (( ) / ) 1 .( / ) 1 ( ).

p A E p A C Ep C E

ε εε ε

≥ − → ≥ −≥ − +

R3 1 2

, | .( / ) 1 ( ).

E A Cp C E ε ε

=≥ − +

R4 , | , ( / ) 1; ( / ) 0.

( / ) ( / ).E A C p C E p A E

p A EC p A E= < >

>

Inferenţa inductivă domină raţionamentul uman curent, este caracteristică investigaţiei ştiinţifice experimentale şi se utilizează din ce în ce mai mult în inteligenţa artificială.

100