Esercizi sulle derivazioniin logica dei condizionali (Stalnaker)

Sandro Zucchi

2010-11

Alcuni esempi

Prima di introdurre gli esercizi, facciamo qualche esempio di derivazione nel siste-ma CS(NAT) per illustrare l’uso delle regole specifiche di questo sistema:

dove tutti i riferimenti esterni alla prova sono a righe accessibili applicando la regola R a enun-

ciati della forma p2χq o p3χq, o a enunciati della forma pξ > χq dove, alla riga a cui

pξ > χq viene reiterato, pξq e equipollente all’assunzione della prova o a una congiunzione di

formule disponibili nella prova in cui l’assunzione e uno dei congiunti.

1

Una formula ϕ e equipollente a una formula ψ alla riga n di una derivazione se esolo se vale almeno una di queste condizioni:

• ϕ = ψ,

• 2(ϕ ⊃ ψ) e 2(ψ ⊃ ϕ) sono entrambe disponibili alla riga n,

• ϕ > ψ e ψ > ϕ sono entrambe disponibili alla riga n.

Inoltre,

• se, alla riga n, ϕ e equipollente a ξ e, alla riga n, ξ e equipollente a ψ, allora,alla riga n, ϕ e equipollente a ψ.

Derivazioni in CS(NAT)

Iniziamo mostrando che

p > q, q > r, p `CS(NAT ) r

La derivazione fa uso della regola di eliminazione di >:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

p > q

q > r

p

Prova: r

q

r

P

P

P

DD

>E, 1, 3

>E, 2, 5

Deriviamo ora

2(p ⊃ q) `CS(NAT ) p > q

La derivazione fa uso della regola di inscatolamento e cancellazione per > (ilmetodo di prova per>I) e importa per reiterazione un enunciato della forma p2χq:

2

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2(p ⊃ q)Prova: p > q

p

2(p ⊃ q)p ⊃ qq

P

>I

Ass

R, 1

2E, 4

⊃E, 3, 5

Questa derivazione e un esempio di un fatto piu generale che vale in CS: un con-dizionale stretto p2(ϕ ⊃ ψ)q implica il condizionale corrispondente pϕ > ψq.Nota che, a sua volta, e possibile mostrare che un condizionale pϕ > ψq implicail condizionale materiale corrispondente pϕ ⊃ ψq. Un esempio di questo fatto edato dalla derivazione seguente:

p > q `CS(NAT ) p ⊃ q

1.

2.

3.

4.

p > q

Prova: p ⊃ q

p

q

P

⊃I

Ass

>E, 1, 3

Vediamo ora qualche esempio di derivazione che importa dei condizionali dellaforma pϕ > ψq in una prova per >I:

p > q `CS(NAT ) p > (p ∧ q)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

p > q

Prova: p > (p ∧ q)

p

p > q

q

p ∧ q

P

>I

Ass

R, 1

>E, 3, 4

∧I, 3, 5

3

Nota che, nella derivazione precedente, il condizionale pp > qq puo essere im-portato per reiterazione alla riga 4 nella prova per >I in quanto l’antecedente dipp > qq e equipollente all’assunzione ppq della prova per >I (e equipollenteperche identico).

Considera ora la derivazione seguente:

p > q, (p ∧ q) > r `CS(NAT ) p > r

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

p > q

(p ∧ q) > r

Prova: p > r

p

p > q

q

p ∧ q(p ∧ q) > r

r

P

P

>I

Ass

R, 1

>E, 4, 5

∧I, 4, 6

R, 2

>E, 7, 8

Nota che, nella derivazione precedente, il condizionale pp > qq puo essere im-portato per reiterazione alla riga 5 nella prova per >I in quanto l’antecedente dipp > qq e identico all’assunzione ppq della prova per >I e quindi e equipollenteall’assunzione. Invece, il condizionale p(p∧ q) > rq puo essere importato per rei-terazione alla riga 8 in quanto il suo antecedente e identico, e quindi equipollente,alla congiunzione pp∧qq di formule disponibili nella prova in cui l’assunzione ppqe uno dei congiunti (nella regola di inscatolamento e cancellazione per >I, questae una delle condizioni che consentono di importare un condizionale pϕ > ψq inuna prova per >I).

Primo esercizio

Ok, ora prosegui tu. Prova le affermazioni seguenti:

(1) a. `CS(NAT ) (p > (q ∨ r)) ⊃ ((p > q) ∨ (p > r))b. `CS(NAT ) p ⊃ ((p > q) ≡ q)c. `CS(NAT ) (p∧ ∼ q) ⊃ (p >∼ q)d. p∧ ∼ r, (p ∧ q) > r `CS(NAT ) p >∼ qe. p > (q ∨ r), (p ∧ q) > s, (p ∧ r) > t, s > p, s > t `CS(NAT ) p > tf. `CS(NAT ) (p > (q ⊃ r)) ⊃ ((p >∼ q) ∨ (p > r))

4

g. 2(p ⊃ q),∼ (p > r) `CS(NAT ) (q >∼ p) ∨ (q >∼ r)h. `CS(NAT ) (p > q) ∨ (p >∼ q) (terzo escluso condizionale)i. p > q, q > p, q > r `CS(NAT ) p > rj. p > q,∼ 3q `CS(NAT ) ∼ 3pk. ∼q, p > q `CS(NAT ) ∼p

5