Matematica espectacular (11º & 12º)

54
APONTAMENTOS MATEMÁTICA I !"##$"##%

Transcript of Matematica espectacular (11º & 12º)

������������������� � �����������

APONTAMENTOS

MATEMÁTICA I

��������� ������ ���������������������������������

������������

������������������

�����������

������� �!�"##$�"##%

� �

� ���&�����'����(���)�������������������

*���+,�����)�����

������������ ������������������������������������������������������������������

� ���������

�������������������������������������������������������������������������� ��������������

���!����"����#�����������������$�������������������������������������������������������������

���%����"������������&������������������������

'������������������������������������������������������������(�������������������������� �����������)�*�� ����������

� ��+����������������������� ��+���������������������

��-���./�!��0�./�

,��� �������������������������������������������������������������������

-���.������������������$����������������������������-���.��

'�������������*�� �����*����������������� �������������������/���-�.������

� � � � � � � � � ������������������������0����������1�

� 2�����������������������������������������

� ������� 3�/��4�2�+�%45� � 3�/���-�2�.�� ���!��� ��/����� � � ���/���-���.�� ���%��� "�/�π�!� � � "�/���-��.���� � � � � � ��������� � ��������� � � � �������� � ����������� ��������������

� !

���1���!�0��-0�./�

6��7����������������������������������������������������������

*�� ���������*�������

� 8��&������������� �8���/�9��∈�:,���;���<��

� ������������������������ ���� � !��

����2�!��1����0���3��!�0��-0�./�

6��7�����������������������������������������������������

6�������&����������� 68�/�8=�/�9��-�.�∈�:,�����∈�8*<��

�24-���!�0��-0�./�

6��7���������������������������-����.��������*� ��������� �����/���-�.�

� ������������ ��+����������

� ��������������"�������� ���� � !�#������������������������

6������������������ �����*��������*�� ��>��

��"����������������������������� �����������������-������������

����������������������� ��.�������������������������������*������

�������������

� ��������������������������������������� ����$ � !��������� ���� � !��

��'�*�������������������������������$�����������������?�*������������

���������������� ����������������������������������

� ������������������������������������ ����$ � !��������� ���� � !��

� %

*���(��+,�������+,���

@�7������������������*�� ������-�.�/�!��+�%����������-�.�/���!�A������

����5 � ��-�.�A��-�.�/��-!����%.�A�-�!�A��.��/���!�A�!��+�!��

��-�2��.�5� �-�.�+��-�.��/��-!����%.���-�!�A��.���/�����!�A�!��+�B��

&2�!0��5� � ��-�.��-�.����/��-!����%.�-�!�A��.�����/��!��%�+�%��!�A�!���+�%��

60�������5�

%!

.-

.-!+−=

��

��

�0�./����7�8��

"�*�� �����������( )( ) ( )( )������ =� �)���������������������������

�����&�������( )�� � �)������7������������������������&�������������������

�-�.�����������&����������

� ����

� �9�: ��9�9�::

� �������������� � !�����������

*���+,���������

��-���./�

8���*�� ���������������������������������

���-�-�..�/�����������������������&���������������

��-�-�..�/������������������������&����������

"�*�� ��������������������%&��-0���������*1.� � ��9�:;����9�:�

� B

C�����������������7����������������������������?������������������?����

������&�����������������������

� ��

�� �9�: �9��9�::;� �9�:;����9�:

� 0����*� ����������*� 1�

� �������������� � '�����������

���324-���8!�������*������*����������������������� ���D����������/�����

� �������������"����������������%&�

�<��!�3�2�=!�!���2����./�!�-0�./��� �28�!��9�:

� �����@������������-�.������

� !����C��������������

� %����,�������������� ���������������

� B����E� ��������-�.�/����

� ������������������� !����� ���� � !���������

F���*�� ���$����������������*����7������������)������������*���������

�������������������������*������������

'�*�������������������(�� ������$�����������������?�*�����������

*�� �������������������������

� ����������� ���� � !��$ ���!�������������

� 4

*����'�������+,���

� @�7�����������������*�� ������-�.�/�!��A������

� �����,������� ���?�*�����

��

6����������������������������-�.�����������������������!�>�

��?�*�����?���������-�.��������������4�����������������������!��

�������� �������������*������*� �������������������)������

� � ���������������������!����������D��������-G�!.��

�� %� !�4� !��� !�54� !�55�� !�555����-�.�/�!��A��� H� I� 4�!� 4��� 4�55!� 4�555!�

� � � �

� � J��*������������-�.��������������4�� � � �

� � � � ������������� 4.-���!

=+→ ���

��

� � !��������������������!����������D��������-K�!.�� �

�� �� ��4� ��L� ��L4� ��LLL� ��LLLL�*-�.�/�!��A��� %� B� B�M� B�L� B�LLM� B�LLLM�

� � � �

� � J��*������������-�.��������������4��

� � � � ������������� 4.-���!

=−→ ���

� � ���������������������

� � � � ( ) 4�!���.-��� !! =+= →→ ��� �� �

���H�I�4�B�%�!���5�

�!������5�������!���%���B���4�����������

��/�!��A���

� I

��-���./�!�=�����!�0��-0�./�-���������.

8� �����������*�� �����-�.������������(���������������������������-�.���

���������������������(���������������������������������������

(���� =→ .-��� �

�>�8�?����!�0�=�����

(���� =→ .-��� �������$����� (����

=+→ .-��� ������ (����

=−→ .-��� �

� � �������������)�����$ �*��

� �.��

���

��.- = ���� �.-���� 5 ���→ ��!���������

� +*��

��.-�

��%���, = ��#�� �.-��� �� �,�→ ��!���������

� -*�!�

�.-���� = ��#��� �.-��� �5 ���→ /�A�N�

� B.��

�%��.)�*�

%= ������≥�������� �.-��� � �.� +∞→ /�%�

��-���./�F������(�������������������(��������� � ����� ��������?�*���������/���-�.�� � � ���� � .-��� ��

�� +→ ��/�A�N��������N�

� � � ������� .-��� ���� −→ �/�A�N��������N��

� � � ������������-���./�F������(��(�� ��������;���(���������� � ��������� ������?�*�����������/���-�.� ���� � .-��� ��� +∞→ �/�����

� � � �������� .-��� ��� −∞→ �/���� � � ������������ / ���������������������������0�������������1�

� H

��32�80��=�@�!�8���7�2�.A�8���=�����8�

@����� �� �� 2� �O���� ����� �� ������� �������� �� ������� ���� �������.-��� ����→ ����� .-��� ����→ ����������

��� 22�� ������� =→ � �

!�� ���� �� ������� =→ ��

%�� [ ] .-����.-���� ��2��2 ���� →→ = �

B�� [ ] .-�������.-���.-.-��� �������� ������ →→→ ±=± �

4�� [ ] [ ] [ ].-������.-���.-.�-��� �������� ������ →→→ = �

I�� ��.-����

.-������

.-

.-���

��

��

��

��

��

����

→→

→ = ��� .-���� ����→ �≠�5�

H�� [ ] [ ] ����

�� ���� �� .-�������.-��� →→ = �

M�� �� .-�����.-��� ���� ���

�� →→ = ���)���������� .-��� ����→ 3�(�#�(�45*�

������������������ !��

� �*�� 4���� !→� �/��

� �.� !! M����� ��→ �/�

� �.� .�!-���� !B ����%��� +→ �/��

� �.�!��

�B�����!

!%�

������

++−→ �/��

� M

*���'������������+,���

��-���./�

@�7�� ��� ��� ������ ��� ��������� P��� �Q� �� �7�� �-�.� ���� *�� ��� ��7�� ���&����

����)�������������P����Q��"�*�� ������� �������&�������������������

�. �-�.�������*�����������3����

!. .-��� �����→ �������

%. .-.-��� ��� �����

=→ �

@�� �� )� ����&���� ��� ����� �� ������ ��� ��������� P��� �Q�� ������)� ����&���� ���

���������P����Q���

'����������������� ����������*�� ���)�����&������������������������?�*������������� ����������������������������������������������������

��

� ����6 � !�������� ��

� � � � � � � 6 � !����������� �������3��&#��+����-�

� ������������� � '��������� �������������� ���

��/��-�.�

� L

*���+,��&�����������0�./�3��<2���B��������������������5� �

�;�9�:;��������������������� ��

���! ���������

����������

��

� � �5#��&#��+#��-#�7#����%&#�����������O����������� � � � � � ����������������*����������������$�����

� � ���%�������������������/��?�����������$������ � � � � ��������/������������������R�����������

� � 8��&����������/�:,�������� �

���0�./�!�32�0#;���"#����� �� �$���

� ���������������→����?�*����)����������(�� �����

���0�./�!�32�0���;���"#��������$����

�;�9�:;����������

� *� ��������3��5�������3��&�������

� � � � ������� ������� ��� ���� ��?�*����)���������� � �� � � ��������������������������� � � �������������������������������

� ���/���������������������������������������� ��������������

� ���3���������������?���%����������������� ������������������� � � � � � �������������������������-5#��.�� �

���������

���/�!��A��� ��/�����A�!�

� �5

����2����./� !� �C0�./� !� 2���� C0� 7�88� 7�2 !��8 7����8 !����2!���!�89��D��:�9�"D�":�

� � � � � ��

� � � �

� �

���=� �5��!

�!��%����

��%��������

8���

8������� == �

�2!���!����2�3��5

6��(����������������������������������������������������������

������������������ �����/�����A��������7��

� �!�/����!�A����⇔����/��!�+����!�

��� ���/������A����⇔����/����+������

� �������������������������������� ����������/�����A��������

� � � � � � � � ���� ������ ������������� � � � � � ������*����0���������������������?��1�� �

8����������������(�������������������������������������7��-��#���.����

�����-����.����������?��)��������������������������)��

� ��

�%����

�%�������� = ��⇔������B��;�9��B��:���

� � � � � ���� ��������������������� � � � � ���*����0�������������1��� �

� ���������

;∆∆∆∆�

;∆∆∆∆��-5���.�

� ��

���0�./�7�=������=!�32�0"��-�0!�"E�2!��.�;���"#��%����& ���$����

�;�9�:;�������������������→����?�*����)�������������

*���������������� �;�9�:;���"F��F�

� ����������

� �!

Função quadrática y = ax2 + bx + c (a > 0)

� �%

��8�3�2�=!�2�72�8����./�!�0��-0�./�C0�!24����5

���� � ��9�:;���"F��F��'��������(��$�

� � �9�:;���"F��F��'��������)��$�

�������� -���� 5.��� -�+�� 5.� �������������� ������ �������������� ������

�������������������������������������!������������������

� �B

� ���"F��F��;#⇔⇔⇔⇔

�����

!

B! −±−= *��������������� �+�

����7���

�����

!

B!

�−−−= �� ��

�����

!

B!

!−+−=

������!������ ������*�� ���-������������������������*�� ����������.�

��������� ��� �� �!� �� ���� ��� ��� �������� ����� �������� ��� *����

*����� ��������*�+�����"F��F������9��,���:�9������:�

"�*�� ����������� ������:,��������,�G���)�#

��������������������9 ��

���

���

���

�−−�

��

!��

!�����)����)����������������

�����&�����������*�� �������������)���8��/�:,�

����������&����)��� �8=���/� ��

��

+��

���

�− ∞���!�

�� �������G�5��������

� � � � ���� 8=���/� �

��

���

���

�−− ∞�

��

!��� ���������K�5�

� �

� ���������

� �4

���0�.A�87�=�������8!�32�0H"������

�0�.A�8!���7����*�+���������9��≥≥≥≥�"D�����2�:�

����������

�������

8�/�:,�8=�/�:,5

A��

���������

8�/�:,�8=�/�:,��

� �I

���0�2�87�=��I���8

-�������

� �

� ��

2�����F�������$�������?������������������������� ���

� �H

*���+,���������

@�7����-�.����/-�.����������$�����

"�*�� ������������.-

.-.-

�/

��� = ������(�������������".������������

� 8���/�9��∈�:,���/-�.�≠�5<��

� E�� ������������( ) ���

���

�.-

−= ����-�-�.�/����/-�.�/�-��%��.�

������≥����

���������

�5��

�.-

+=�

�� � ( )!�5��

�.-

−=�

�� �

� �M

�����*�� ��������������

� ����������

*

����

+++=

�.-

!�

!!

!�.-

���

++= �

� �L

���+,�����������@�7����-�.���������$�����

"�*�� ����������� ( ) $��$���� S�.-�.-�.- == ����(�������������������/�

� 8���/�:,�����$��*���&����

� 8��/�9��∈�:,���-�.�≥�5<�����$��*������

� �

� ����������

� :� ( ) ( ) ( ) %S4% 44% �%�%�%.- +=+=+= ����� ��

8���/�:,� � �

8=�/�:,�

�� = �

L! −= �� �

L% += �� �

� !5

���+,��'�������J'�����

F���������������������������������#�?����-���������.��� �������-��.��

8�*��� ���

,�������)� ��#�?�������� ���������� �����������

�����*�R��������������������)����������������

������������?�����������

� � � � � � �����≈�4H�%��

�0�./�8���

@�7�� �� ��#�?���� ���#�?���� PC=�CQ�

�����������������������������T����

@�7��αααα� � ����������������������#�?����

�����#�?���������)������������

U����������*��� ����������8�������

αααα )����������

� � �

�(��������������������

���������������������������

�����

C��

CCV���� === �α �

� �������/���-�&�������?����)����.��

� � 8��αααα;�

� !�

8�*��� ����

C�����*��������*�� ��������*� ���������������������O�������������

������ ���������������������������*�� ���������������

� � �������:,���� �P�����Q�

� � �������������� ����-�.�/����������-����������/����-����.�.�

�'�*�������*�� �������

,������� ���?�*�������P5��!πQ���

C������������*�� ��������

W� 8��&������:,�

W� 6�������&������P�����Q�

��������������������/��������

� !!

� "�?������������������ ��������������

�� ��L5�� �I5�� �B4�� �%5�� 5�� %5�� B4�� I5�� L5��

�����

!

X− �%

X− �B

X− �I

X− � 5�I

X�

B

X�

%

X�

!

X�

����� ���!

%− �!

!− �!

�− � 5�!

��

!

!�

!

%� ��

W� Y���� ��/�Zπ , ���-Zπ.�/�5���Z�∈�Y��

W� 6������������� [�����&�������:,� �� ���� ��������� =→ �

W� C�������� ���-��.�/��������� ��������)�&�����

W� C�����������������-��A�Z!π.�/����-�.� ����*�� �������)����$�������

� � � � � � � � � ������&�����&�����!π��

�0�./��2��8����

8�*��� ���

"�*�� �����������)���7������������������������������������������ ������

���&��������������7���

"�*�� �������)���7��������������������

� � �

���

−!

X��

!

X�� �

���

!

%X��

!

X��;�� �

���

++− ZX��!

X����ZX��

!

X�����Z�∈�Y�

8��?����������� ���������������*�� ���������*�� �����

� �&������ �

���

−!

X��

!

X���� �P�����Q�

� � �������������� �������

���������������������������������2�8��������R����0������ .�������;��1�

� !%

� ��*���������� � �&%&������P�����Q���� � �

���

−!

X��

!

X��

� ������������������� � � � ������ �����������

'�*�������*�� �����������

U�������������������;8���⇔⇔⇔⇔�;�2�8���� ��

� ���������

�0�./���*8����

@�7�� �� ��#�?���� ���#�?���� PC=�CQ�

�����������������������������T����

@�7�� αααα� � ������� �� ���������� ��� #�?����

�����#�?���������)������������

U����������*��� ������������*8�������

αααα )����������

�(��������������������

��7����������������������������

���

���

C��

CV������ ===α �

� �������/���-�&�������?����)����.� ��8αααα;��

��/���������

� !B

8�*��� ����

C�����*��������*�� �����������*� ���������������������O�������������

������ ���������������������������*�� ����������������

� � �������:,���� �P�����Q�

� � �������������� ��*-�.�/����������-����������/����-����.�.�

�'�*�������*�� ����������

,������� ���?�*�������P5��!πQ���

C������������*�� �����������

W� 8��&������:,�

W� 6�������&������P�����Q�

��%��� ����������������������/������

� !4

� "�?������������������ ����������������

�� 5� %5�� B4�� I5� L5�� �!5�� �%4�� �45�� �M5��

����� 5�

I

X�

B

X�

%

X�

!

X� X

%

!� X

B

%� X

I

4� π

����� ��!

%�

!

!�

!

�� 5�

!

�− � �!

!� �

!

%� ���

W� Y���� ��/�!

X�A�Zπ , ���-

!

X�A�Zπ.�/�5���Z�∈�Y��

W� 6������������� [�����&�������:,� �� ���� ������� =→ �

W� C�������� ���-��.�/������� ��������)�����

W� C�����������������-��A�Z!π.�/����-�.� ����*�� ����������)����$�������

� � � � � � � � � ������&�����&�����!π��

�0�./��2����*8����

8�*��� ���

"�*�� ��������������)���7������������������������������������������ ���

������&��������������7���

"�*�� ����������)���7��������������������

� � [ ]5��X− ��[ ]�X�5 ��;��[ ]ZX��X����ZX� + �����Z�∈�Y��

8��?����������� ���������������*�� ������������*�� �����

� �&������[ ]π��5 ���� �P�����Q�

� � ���������� �������

� !I

���������������������������������2���8������R����0����� .����%�����;��1�� �

��*���������� � �&%&������P�����Q���� �[ ]�X�5 ��

� ������������������� � � ������ ����������

� �

'�*�������*�� ��������������

U�������������������;��8�⇔⇔⇔⇔�;�2���8�� ��

� ���������

E$�����*����������������?���������

������������ �!�! =+ ��

�0�./����3����

U����������*��� �������������3��������

αααα )����������

����

U\���

�U

U\���

T��

CV��

CV�C���? ====α �

� �������/��� �3αααα;U\ �

��/���������

� !H

8�*��� ����

"�*�� ������?�����)���*�����������

�������:,�]����

��� + ZX��!

X� �:,��������Z�∈�Y�

� � ���������������� ��*-�.�/��?���/��

��

��������-������?���/��?�-����.�.�

�'�*�������*�� ������?�����

C������������*�� ������?������

W� 8��&������:,�]����

��� + ZX��!

X�

W� 6�������&������:,�

W� Y���� ��/�Zπ , �?�-Zπ.�/�5���Z�∈�Y��

W� 6������������� [�������&�������:,�������&��������������������&����

� � � � �� ���� ��?��?��� =→ ����∀����≠� ZX��!

X + �

W� C�������� �?�-��.�/����?�-�.�� ���?����)��&�����

W� C���������������?�-��A�Zπ.�/��?�-�.� ����*�� ����?�)����$�����������

� � � � � � � � ��&�����&�����π, �∀���≠� ZX��!

X + ��

��/��?��� ������������

� !M

�0�./��2�����3�����

8�*��� ���

"�*�� ������?�����)���7��������������������

� � ��

�− �!

X��

!

X����;�� ��

� ++− �ZX��!

X���Z�X����

!

X�����Z�∈�Y�

8��?����������� ���������������*�� ������?�������*�� �����

� �&������ ��

�− �!

X��

!

X���� �:,�

� � ���������������� ���?����

���������������������������������2��3������R����0����� .�����������;��1�� �

��*���������� � �&%&������:,���� � ��

�− �!

X��

!

X��

� ������������������� � ��������� ������?����

'�*�������*�� ����������?�����

U�������������������;�3�⇔⇔⇔⇔�;�2��3�� ��

� ���������

��/�����?���

� !L

�0�./���*���3�����

8�*��� ���

"�*�� ���������?�����)���*�����������

�������:,�]�{ }ZX� � �:,��������Z�∈�Y�

� � ��������� ��*-�.�/����?���/���

��?

���

���

��� = �����������-����.��

'�*�������*�� ���������?������

C������������*�� ���������?�����

W� 8��&������:,�]�{ }ZX� �

W� 6�������&������:,�

W� Y���� ��/� Z�X����!

X + , ���?�- Z�X����!

X + .�/�5�����Z�∈�Y��

W� 6������������� [�������&�������:,�������&�������������&����� � � � �� ���� ����?����?��� =→ ����∀����≠�Zπ �

W� C�������� ���?�-��.�/������?�-�.�� �����?����)��&�����

W� C���������������?�-��A�Zπ.�/��?�-�.� ����*�� ������?�)����$�����������

� � � � � � � � ��&�����&�����π, �∀���≠� ZX��!

X + ��

��/����?��� ��%������������

� %5

�0�./��2����*���3�����

8�*��� ���

"�*�� ���������?�����)���7��������������������

� � ] [��X�5� ����;�� ] [�ZX����X�Z�X����5� ++ �����Z�∈�Y��

8��?����������� ���������������*�� ���������?�������*�� �����

� � �&������ ] [��X�5� ���� �:,�

� � �������������������� �����?����

���������������������������������2����3�����R����

� � � � � � � � � ����0����� .����%���������;��1�� �

��*���������� � �&%&������:,���� � ] [��X�5� ��

� ������������������� � ��������� �������?����

'�*�������*�� �������������?�����

U�������������������;���3�⇔⇔⇔⇔�;�2����3����

� �

� ���������

��/�������?���

� %�

���+,���K&�������������'�����0�./��>7�������=�

6(������*�� ���������������D�*�� ������������������������

� �������:,���� �:,�

� �������������� �������-�.�/�������������∈�:,A��

� � -@����/������*�� ���)����������������������������.�

��24-���!�-0�./��>7�������=

����

→��� *�� �����������

� ∞+=∞+→

�������������

�� �

� 5�������������

=∞−→

�� �

→� *�� �������������

� 5�������������

=∞+→

�� �

� ∞+=∞−→

�������������

�� �

��G�����/�����

5�<���K�����/�����

� %!

���������

� �

� ��

���

�=!

�� ��/�!��

!��

%��

B��

� %%

&2�72��!�!�83�2��8!�-0�./��>7�������=D�∈�:,A�]�9�<�

� W� 8��&�������� :,��

� W� 6�������&������:,A�

� W� Y������ � ����������-�����≠�5���∀���∈:,�.�

� W� 6������������� )�����&���� �

� W� :�7������������� )���7���������

&2�72��!�!�8�7�2��I2��8!�-0�./��>7�������=D�∈�:,A�]�9�<��

� W� ��������/�����A�� � � L

��

��

�=− �

L �%��

��

� ���= L ( ) ���� ��� ���

=

L �������/�-���.�

� � �W�

��

��

���

�=

���8�7�2���0=�2!�-0�./��>7�������=5�9>:;�����9�;�:

� �������:,���� �:,�

� �������������� �����������%��� � !����������������� ���

�� � ��/�!�H�M!M�M!MB4L54;���O�������2����

� ��

� ���

���

� +∞→

�������� �/������ � ���������������

� �.-

.-�������

� �

2��

���

� +∞→

/����2����→����������?����

� � � � � -�.�+�����������O����������� -�.�^ �±∞���

� %B

&2�72��!�!�8!�-0�./�����

L U�������*������������������G��

� W� ���������

�����5

=→ �

��

��

� W� :,.��-�������������

����� ∈∞+=+∞→

2�

2

��

�0�./�=�3�21������

"�*�� ��������������-�.�/���������∈�:,A�]�9�<���)���*�� ���

� ����������:,A� �:,�

� ���������������� ����?���-�.�

�������(������ � !������������������������

� ��?���-�.��→���R����0�������������������������1�

� ������� � ��/���?���-�.���⇔�����/�����

� � � ��� �

0����� ����������1����#�� ������������#�;��������������$ ��;�

��������������������������������=�����

� -�������

� %4

�24-���8!�-0�./�=�3�21�����

→������*�� �����������

�������� ∞+=+∞→

��.-��?���� ���

������������

����� ∞−=+→

��.-��?�����5�����

���

→�����*�� �������������

� �� ∞−=+∞→

��.-��?���� ���

����� ∞+=+→

��.-��?�����5�����

���

���

&2�72��!�!�83�2��8!�-0�./���=�3��9�:

� W� 8��&�������� :,A��

� W� 6�������&������:,�

� W� Y������ � ��/�����-���?���-�.�3�5������/���5�.��

� W� 6������������� )�����&���� �

� W� :�7������������� )���7��������

���G���

��/���?���-�.�

9�D#:

5�K����K���

��/���?���-�.�

� %I

-�������

&2�72��!�!�8�7�2��I2��8!�8=�3�2����8�

� W� ��?���-���.��/����?���-�.�>���?���-�.���#�����∀����T�∈�:,A���∀���∈�:,A�]�9�<�

L ��?��� ���

����

�/����?���-�.��%����?���-�.D∀����T�∈�:,

A���∀���∈�:,A�]�9�<

L ��?����-��Z�.��/�Z���?���-�.�� #����∀Z�∈�:,���∀���∈�:,A���∀��∈�:,A�]�9�<�

� W� ��?���-�.��/���?���-�.����?���-�.���������������∀���∈�:,A���∀��#���∈�:,A�]�9�<

� ��8�7�2���0=�2!�-0�./�=�3�21�����5�9>:;=�3��9�:��9�;�:

� � � �������:,A���� �:,�

� ���������� � ����� ����?���-�.���

�����?���-�.�����?����������������������������������������������� ��������

���2��� ���� =�3��9�:�;=�9�:;=�39�:�� �

� ����������������� '���

��/���?�!�-��A��5.���!�

��/���?�B�-�.�

��/���?�!�-�.��

� %H

�����+��

���=� �!�0��2����8�������0�324-���B��>�!� �2��./��<!��

6�����������?�*�����������*�� �����-�.������������?������������

?�*����������������������������_5-�5���5.���_�-������.��

������������������@�)���������

� � ���=� �!�2����2��/��5�

5�

5�

5� .-.-����

��

����

��

��

−−=

−−

�����������/��5�A�∆���������

� � ���=� �!�2����2��/�� ϕ����?������.-.���- 55 =

∆∆=

∆−∆+

�����

"� ������������"#���3�����������*�� �����/��-�.��������5��������/��5�A�∆���)�

��*����������������������������������� ������*�����������������

�������������������� �����������������������������

� � '�>�!� �2��./��<!��/� ��.-.���-

���� 55�

����

∆−∆+=

∆∆

C����������4������������"#���3�������5������������� ��2���

� %M

�������������272���./�3���<�2���!�!�2� �!�!�0��-0�./�

6�����������?�*������������,��� ����������#����������������5������

���������∆��→�5����������������?����������������������@�����?��������

?�*��������-�.����������_5-�5���5.��

��

����7����������∆��→�5����_�-������.�→�_5-�5���5.�������ϕ��→�α�

������������������@�)����?���������

��?��/�� .-V����.-�.-

�������������������?��� 555

55�

5�

5 5�

���

�����

��

��

����=

∆−∆+=

−−=

→∆→→∆ϕ ��

� � � � � � � �������������-�.������/��5����5�∈�8��

5������������� ���@��/����=-�5.�

4������������"#���� �� 6�����/� .-V����.-�.-

���� 555

5��

�����

�=

∆−∆+

→∆�

��

��������� 4������������"#���� �� 6�������5������������� ��4�

� %L

��-���./�B!�2� �!�!�0��-0�./�

@�7����/��-�.�����*�� ������������������������*�������������������Q������P���

"� �������� ��� �-�.� ��� ������ �� -��� ��� ��� ��� �� �.�� ������� ��∈� Q� ��� �� P��)�

��*��������������� �.-�.-

��������.-V5 �

�������

� ∆−∆+=

→∆����-����������������.�

"������������*�� ������=-�.��)������$��������*�� ��������������������������

������������ ���������#�������*�� ����-�.�������������������

A��� '���������������������=-�.����

��������

�������=��� V�� ���

�� ���8�-�.����

� -����������������"#��

���32�8!�!�2� �./�

�-�.�/�6���-6���������.� ���=-�.�/�5�

�-�.�/�6��� ��=-�.�/�6�

�-�.�/�6� -�.� ��=-�.�/�6� =-�.�

�-�.�/� α� � ��=-�.�/�α� ���−α� �

�-�.�/�P -�.Qα� �-�.�/�α� =-�.P -�.Qα−1�

�-�.�/� -�.�±��-�.� ��B-�.�/� C-�.�±��C-�.�

�-�.�/� -�.���-�.� ��B-�.�/� C-�.��-�.�A� -�.��C-�.�

�-�.�/�.-

.-

��

� � ��B-�.�/�

[ ] !�.-.-.�-V��.-.�-V

��

� ����� −�

��/��- .���� �/��-�.��

�������+�*�� ������������=�/�

��

���/�

��

��

��� �/�

��

��� �

� -�������

� B5

��2� �!�8!�-0�.A�8�2�3����<�2���8

��79�: ��89�:D�;�9�:

-����.=�/������ -��� .=�/� =����

-����.=�/������� -��� .=�/��� =����

-�?��.=�/�( ) �� !! ��

���

��

� = -�?� .=�/�

!��

V�

-���?��.=�/��!��

���� -���?� .=�/�

!��

V���

-�������.=�/��!�

�−� -������ .=�/��

!�

V

-�������.=�/����!�

�− -������ .=�/����

!�

V

-����?��.=�/��!�

�+ -����?� .=�/��

!�

V

+

-������?��.=�/����!�

�+ -������?� .=�/����

!�

V

+

��2� �!�8!�-0�.A�8�>7�������=�=�3�2����

M��9�:NO M�9�:NOD�;�9�:D�;�9�:

-����.=�/��������� -�� �.=�/� =�� �����

-����.=�/���� -�� �.=�/� =���

� - ���.=�/���� ����� =�A��=� ������

-��?����.=�/� ����?�

�� �

� -��?��� .=�/� ����?�

V

-����.=�/� ��

�� -���� .=�/� �

V

� B�

8�*��� ���+�*�� �����*����������

F���*�� ����-�.��� ������������&����������������/��5�������=-�5.���������)�

*�����������)���� �.-�.-

�����5

5

5 ��

����

�� −−

→���������)�*�������

U������

@������*�� �����/��-�.�)���*����������������������/��5������������)�����&����

�����������

@������*�� �������)�����&����������������/��5����������������������������

��������*�������

����&�������������������)���������������)��������*�� ���)�����&����

������������/��5������������� ���������(����������*������������������

���������

&* E�� ���������&����������������������*�����������

� � � � � � � �

"�*�� ����-�.�����)���*����������

������/����������/�������������)�

����&����������������

+* E�� �������&�������������*����������

"�*�� ����-�.�/�|���|�)�����&���������������/�5��������)���*����������

������������

�����

� B!

��3��)�*3�|���|���

�.-�.-

��������.-V5 �

�������

� ∆−∆+=

→∆�

∆��G�5� �����

��������5���5�

������55

=∆∆

=∆

−∆+++ →∆→∆ �

��

∆��K�5� ������

��������5���5�

������55

=∆∆

=∆

−∆+−− →∆→∆ �

��

����������������������������∆������?���-�.����������������������/�5���

[���&������ ��������*������������������?��������?�*�������������

�����������/�5��

��2� �!�8!��2!��807�2��2�

"� �������� ��� � �̀ ������ �� =-�.�� ����� �� ����� ��� ���� ��� ������#���� �� ��

��������������������������?�*�������*�� �����?��������-�.��"������������! �̀

������ �� ==-�.�� ������ �� ������������ ��� ������#���� �� �� �����������������

���������?�*�������*�� ��������������� �̀��������=-�.��"����?�����������

�����������������������

a�

b� ���-�.�)�����&�����

������������-�.�����55 →→

=��

� �

�� � /�|�5�|�/�5�/��-5.��

� B%

A��� '����

� �̀������ ��=-�.�/���

�� ���� ���=�/���

������ ��/��-�.�

! �̀������ ��==-�.��/�-���=-�.�.=��/�!.-!

��.-

��

���

��

���

��

� =��

���

� � ����������==/�-�=.=�

% �̀������ ��===-�.�/�-���==-�.�.=�/�%.-%

��!.-!

��

���

��

���

��

� =��

��

���������===�/�-�==.=�

;�

��)������������-�.-�.�/�-���-���.-�.�.=�/����

����

���

����

��

� .-��

�.-� =��

��

−�

���������

��

�0�.A�8��7=1����8�80�8!�2� �!�8

F��� *�� ��� ��������� *������ /� �-�.�)����� � � !������������ +���)������

�����������������������������

E�� ��� ������� ������������ ���� ����� ���������� ��������������

���?���������� � '����������������

���������

_����� *�� ��� ����&����� ������ �� ���������� *���������� ��� *�� ���

����&������2��������������������������������������������������������

�������������

��������?������������

��� 8������� ����� �� ������ ��� ���� ��� ��� ��� ��� �� ���

������������������*�� ��������c�

!��� ,�������������� ���������������� �������

�����

���������

� BB

72�>���./�=����2!�0��-0�./�

@�7������*�� ����-�.���*���������������/��5���

��

�������

�� ∆∆=

∆−∆+=

→∆→∆��������

.-�.-��������.-V

5

55

55 �

� .-�.-�� 55 ������ −∆+=∆ ������� ������*�� �����������������

� � � � � � �����5������5�A�∆��

\������∆��)��*��������������������������)���∆��d�5��������

� � � .-V��� 5���

� ≈∆∆

��⇔��� ���� ∆≈∆ �.-V���� 5 � �

� � � � � �����⇔��� �������� ∆≈−∆+ �.-V���.-�.- 555 �

E� ��������/��5�A�∆�������

� � ������ ( ) .-����.-V����.- 555 �������� +≈ �

����� � � ( ) .-����.-V���� 555 ������� += � � �� ���� ��� ��� ����� ���?����� �����

?�*��������-�.����������������������/��5�������������)������������ ���

���������*�� �����$����������/��5�������7�������������������$�����

�����-�5���5.���?�*�������*�� ���)���������������������&�����

� B4

��-���./�B!�-�2�����=!�0��-0�./�

@�7�� �� /� �-�.� ���� *�� �����*���������� ��� ��/� �5���� ��*�������� ��� �� ���������

�� /� �5� ���� ��� ��)����� ��� �������� ��������������∆��� )� ��� ∆.-V� 5 � � ��

���������������������7��������/� ��� ∆.-V� 5 ��

����*��������������������������������)�����/�∆������������������������

������������������������������

� � � � � ����/� ���� .-V� 5 �

�@����� ���� ∆≈∆ �.-V���� 5 �/� ���� �.-V� 5 ��������&�������

� � � � � ��� ����≈∆ �

����7�������*����������������������������������������������������������

*�� �����∆����

8����������������/� ���� .-V� 5 �⇔�� ���.-V� 5��

���� = �

����272���./�3���<�2���!�!�-�2�����=

\��������5�→��5�A�∆��#���5�→��5�A�∆��������_5-�5���5.�→�_�-�5�A�∆����5�A ∆�.�

@�������?�α�/� �2_

2U

5�����?�α = �.-V� 5�� ����_2�/�∆�������������2U�/�������

� BI

6������������*��������⇔�6������������������

� ���������

��-�2������8!��2!��807�2��2

��/��-�.�

� �̀������ ���/���C-�.���

! �̀������ �+��/��-��.�/�P��=-�.��Q=���/���==-�.���

;�

��)������������-�.��/��P�-�%&.�Q�/�P��-�%&.-�.��Q=���/���-�.-�.������

� ���������

��32�!���0�PQB�� ���������!���!���2����.A�8

@�7�������*�� ����-�.����-�.���*��������������������-�.�/��-�.�/�5�������

�=-�.�≠�5���������

� � � �.-V

.-V����������

.-

.-�����

��

��

��

��

���� →→= �

� � :��������� �����������5

5�

�����?��)��������������������������

� ��� ∞±=∞±=→→

��.-����������������.-����� ��������

��-���������� �����������∞∞�.�

� ���� ������ ∞±→� �

� �����C-�.������C-�.������*�������������C-�.�/��C-�.�/�5������==-�.�≠�5����

� � � ���������� �.-VV

.-VV����������

.-V

.-V�����

��

��

��

��

���� →→= �

���������

� BH

@��� ∞±==→→

��.-��������������5��.-����� ��������

� �������� [ ] ∞×−→

��5����������� ����������������-�.-�.������ ����

6�������������������������� ��>�

E� �������� [ ]5

5����������� ������������������

.-

����.-���

�������.-.�-����� −=→→

��

������

�����

��������������� [ ]∞∞−=

→→����������� ������������������

.-

����.-���

�������.-.�-�����

��

������

�����

��������������������������������?�����6���(T��

���������

� BM

&���+��������������'��������+,��

'��2���

@�7������*�� ����-�.���*�����������������������Q����P���

@�����=-�.�G�5�����Q����P���������-�.�)������������Q����P��

@�����=-�.�K�5�����Q����P���������-�.�)��������������Q����P��

��

��-���./�B�4>�����1����=���=�

�-�.���������������������������/��5�������-�5�A�∆�.�K��-�5.���-∆��G�5�����∆��K�5�.�

����-�5.�)������������������

�-�.���������&�����������������/��5�������-�5�A�∆�.�G��-�5.���-∆��G�5�����∆��<�5�.��

����-�5.�)�����&������������

���&�����������������������*�� �������(��������������������

� � !���

��V-�.�G�5���V-�.�K�5�

�-��.�/����)�������������������-�!.�/��!�)�����&�����������

� BL

��-���./�B7����8�21����8!�0��-0�./�

@�������������������������������������������������������������������

�����������

'��2���

@������ *�� �����*�������������/� �-�.�� ���������������������&����������������

��/��5��������������������������������������������)����=-�5.�/�5��

��

9� �$�����&�������������������)���������������)���������������������

*�� ��������������������������������������������������������� ���������

*�� ������(���������������������

���������

�.�

+*���

��3��)�*3�|���|���

a�

b�����C-�.����������������/�5���

��*�� ��������&�����&�����

�������

��

��=-�.���������������/�5�

����-�.����������������

�����&����������/�5��

� 45

'��2���B��8��!��E!�2� �!�

@�7���-�.�����*�� �������&�����������������������������������&������5���

��*�������������������������������������������

�. @������=-�.�G�5���������K��5���������=-�.�K�5�����������G��5����������

� ���*�� �����������������������������/��5�c���-�5.�)������������������-�.��

!. @������=-�.�K�5���������K��5���������=-�.�G�5�����������G��5����������

� ���*�� �����������&�����������������/��5�c���-�5.�)��&���������������-�.��

_)����������������������������������*�� ���-�����������������������

�������������.���������R���������������-����������&����������.��� ��������

��� 8������������=-�.c�

!�� 8��������������������&�����

� � ��������������������������=-�.�/�5�

� � ��������������������������=-�.�����������c�

%�� ��������������������������D����������D������������������&�������

��������

�� �%!%

.- !%

++−= ���

�� �

� 4�

'��2���B��8��!�"E!�2� �!�

@�7����/��-�.�����*�� �����7�����������������������/��5�����=-�5.�/�5��

@����(����������==-�.���������)�����&���������/��5��

�������

� ��@�����==-�5.�K�5�����-�.��������������������������/��5c�

� ��@�����==-�5.�G�5�����-�.���������&����������������/��5c�

� ��@�����==-�5.�/�5�����������������������

���������

��-���./�B�02 ��R��� ���02 ���� �>�

8� ������� ���� ���;�����������������������������������������

������������?�������������������������

8� ������� ���� ���;��D��������������������������������������

�����������?�������������������������

'��2���

@����==-�.�K�5��������������������∈�P����Q�����������/��-�.�)�������������

����������

@����==-�.�G�5��������������������∈�P����Q�����������/��-�.�)��e����������

����������

6����������������==-�.�K�5�6�����e����������==-�.�G�5�

� 4!

��-���./�

6(�����������������*����������������������������������������������

�����������������e��������

��������

'��2���

@�7�����/��-�.������� ����������������@�����==-�.�/�5�������==-�.���������������

�����������! �̀�������==-�.����������������������������������/����������

�������������������/���)���������������*��������

���������

&*� � �%!%

.- !%

++−= ���

�� �

!.� %.- ��� = �

��-���./�B�881�7�����S=1C0�

���P����Q�+����������������� � ���==-�.�K�5��

���P����Q�+�������e��������� � ���==-�.�G�5��

� E�+������������*�������

��/��-�.�

��/�����A���

� 4%

F��������������� �����/�����A���)������&����������?�*�����������

*�� ���������$����

� � ( )[ ] 5��.-��� =+−+∞→

������

��

� � � � ������� �.-

�������

���

� +∞→= ������� [ ]�.-��� �����

�−=

+∞→�

��

�������� ( )[ ] 5��.-��� =+−−∞→

������

� � � � ������� �.-

�������

���

� −∞→= ������� [ ]�.-��� �����

�−=

−∞→�

���������

�J'�������&����'������&�����'+��

��)��������+,���

C�����*� ��������������������������*�� ����������������� ���?�*�����

�����������������

� �������&�������*�� ������������������������������c�

� ������������������� �������������c�

� ��������������*�� ��c�

W����-�.�/���-��.������+��� � !������?�*������)��������������������������������

W����-�.�/�����-��.����+��� � !��������?�*������)�������������������D���?����������������

�������������������������������������������*�� ���-���������.�

��������������&����c�

�������&������������������������������������?�*�����������������

��*�����c�

�����&����������*�� �����

���������