Kinematika PartikelPengertian Kecepatan dan Percepatan

bila benda bergerak berarti mempunyai kecepatan

O

A

B

v

v’

vv

rr

'r

Saat mula-mula to benda berada di titik A yg terhadap acuan 0 posisinya dinyatakan oleh vektor r. Setelah selang waktu t = to + Δt, benda berada di titik B yang berada pada posisi r’ dari o . Kecepatan rata-rata benda tersebut didefinisikan :

)1.2(det/'

ikmt

rr

t

rV ratarata

Kecepatan sesaatkecepatan benda tsb pd suatu saat. Kecepatan sesaat di dapat bila Δt diambil sangat singkat:

Percepatan rata-rataadanya perubahan kecepatan benda dikatakan mengalami percepatan .

Percepatan sesaat

)2.2(det/lim 0 ikmdt

rd

t

rV t

)3.2('

t

VV

t

Va ratarata

)4.2(lim 0 dt

Vd

t

Va t

Karena:maka dapat ditulis:

Hubungan lain adalah:

Gerak LurusBenda dikatakan bergerak lurus, bila lintasannya merupakan garis lurusGerak lurus lurus ada bermacam-macam:Gerak Lurus

beraturanGerak lurus dengan

percepatan tetapGerak lurus dengan

percepatan berubah

dt

rdV

2

2

)(dt

rd

dt

rd

dt

da

)6.2(

.

rd

VdVa

ataudt

rd

dt

Vd

dt

Vda

Gerak Lurus BeraturanPada gerak lurus beraturan kecepatan benda adalah konstan, berarti tidak ada percepatan, a = 0

Bila diintegral, didapat:

Gerak Lurus dengan Percepatan TetapBila percepatan benda yg bergerak itu diketahui (=a), maka kecepatan benda dapat dihitung dengan mengintegrasi sbb:

Vdtdxataudt

dxkonsV tan

)7.2(tVX

dtadVmakadt

dVa

Bila diintegrasi:

Bila pada saat mula-mula (t=0) kecepatan adalah Vo dan pd saat t kecepatannya V,maka :

sehingga: V -V0 = a(t – 0)V = V0 + at (2.8)

Selanjutnya, karena:

diintegrasi:bila pada saat t = 0, benda ada di x0 dan pada saat t ada di x maka:

dtadV

konsakarenadtadV :tan,

tV

V

dtadV00

dtatVdtVdx

ditulisdptmakadt

dxV

)(

:,

0

dtatVdx )( 0

)9.2(

)(

221

00

221

00

0

0

0

attVxx

attVxx

dtatVdxtx

x

Rumus lain untuk gerak lurus dgn percepatan tetap yg menghubungkan kecepatan dengan posisi

Dari rumus V = V0 + at didapat :

substitusi t ke dalam pers. 2.7 , menghasilkan:

Jadi:

Gerak lurus dengan kecepatan BerubahPercepatannya tidak konstan, sehingga pers.(2.8),(2.9),(2.10) tidak dpt digunakan

Perubahan percepatan dinyatakan dlm 2 cara:Fungsi posisi atau

a=a(x)Fungsi waktu atau

a=a(t)

a

VVt 0

a

VVxx

a

VVVV

a

VVVx

a

VVa

a

VVVxx

20

2

21

0

020

2

21

200

0

2

0210

00

2

)10.2()(2

2)(

020

2

020

2

xxaVV

axxVV

Contoh: sebuah partikel bergerak menurut sumbu x dgn percepatan a = 3t + 2, a dlm m/det2, t dlm detik.Pd keadaan awal partikel berada pada x = 2m dan kecepatannya = 3 m/det2

tentukan:Posisi pd t = 2 detikKecepatan rata-rata antara

t=2 detik dan t=4detikKecepatannya pd t=3 detikPosisi pd saat

kecepatannya = 12 m/detKecepatannya pd saat

percepatannya =17 m/det2

Solusi:percepatan fungsi waktu, a=3t + 2, karena dV=a dt :

Pd t = 0,V = 3 m/det, maka:

selanjutnya:

cttdttV 2)23( 223

32

3

)0(2)0(3

223

1

12

23

ttV

c

c

223

21

223

3

)32(

cttt

dtttVdtx

Pada t=0, x = 2, maka:

untuk t = 2, maka:

Jadi posisi partikel pd t=2 adalah x = 16 m

Untuk t = 4 detik

untuk t = 2 detik, maka:

Maka kecepatan rata-rata:

Untuk t = 3 detik

V = 12 m/det, maka

23

:,2

)0(3)0()0(2

2321

2

223

21

tttx

makac

c

162)2(3)2()2( 2321 x

mx 622)4(3)4()4( 2321

2

mx 162)2(3)2()2( 2321

1

det/2324

1662

12

12 mtt

xxV ratarata

det/5,223)3(2)3( 223 mV

mx

x

ikt

tt

tt

38,14

2)87,1(3)87,1()87,1(

det87,16

18.12164'

018'4'3

3)'(2)'(12

2321

2

223

percepatan =17 m/det2

Contoh soal gerak lurus dgn percepatan konstandari sebuah tembok dilemparkan sebuah bola lurus keatas dengan kecepatan 3 m/det. Hitung jarak tertinggi yg dpt

ditempuh bola Berapa waktu dibutuhkan

untuk menempuh jarak tsb Berapa kecepatan bola ketika

melewati kedudukan mula-mula

Hitung kecepatan bola 2 detik setelah dilempar

Dimana bola tsb berada pd soal (d), g = 10 m/det2

Solusi

Misalnya bola mencapai tinggi max B, berarti VB = 0

det/5,503)5(2)5(

:,5"2"3172

23 mV

makatt

o

o

o

g

A

B

C

V

iktt

atVV AB

det3,01030

Ambil YA = 0, maka:

jadi jarak yg ditempuh =0,45 m diatas A

Waktu untuk menempuh jarak tsb =0,3 detik

Setelah mencapai B, bola akan bergerak ke bawah.perhatikan gerak B A’

Maka:

jadi pd ketinggian yg sama kecepatan bola ketika naik sama dgn ketika turun.

Misal pd detik ke 2 bola ada di C

Dimana bola berada

m

YB45,0

)3,0)(10()3,0).(3(0 221

':

det3,0

)10(045,00 221

221

'

ABBA

BBA

ttjadi

ikt

t

attVYY

det/33,0).10(0' matVV BA

det/172).10(3 mV

atVV

C

AC

mY

attVYY

C

AAC

14

)2)(10()2)(3(0 221

221

Gerak MelengkungAda 2 gerak

melengkung:Gerak ParabolaGerak Melingkar

Gerak Parabolaadalah gerak benda yg lintasannya berbentuk parabola, seperti: gerak peluru dan gerak bola yg dilempar tidak vertikal

Gambar lintasan peluru

Pd keadaan awal(t=0) benda ada di A (x dan y = 0) dan komponen kecepatannya adalah:

y

xRA Bo

Vo

V

V

000

000

sin

cos

VV

VV

y

x

θ0

α

Sedangkan percepatannya hanya mempunyai komponen y saja, yaitu ay = g, jadi dari saat ke saat :

sedang :

Resultan kecepatan adalah:yang membentuk sudut :

Bahwa gerak peluru membentuk lintasan parabola dpt dibuktikan dgn menurunkan pers. Lintasan:

tan0 konsVV xx

gtVV yy 0

)11.2(22yx VVV

)12.2(arctanx

y

V

V

)13.2(cos 00000 tVXtVXX x

Sedangkan:

Untuk mendapatkan pers. Lintasan , eliminir t dari kedua pers.diatas. Dengan mengingat X0=Y0, maka dari pers. 2.13 diperoleh:

Substitusi ke 2.14, menghasilkan:

Pers. 2.15 merupakan pers. Lintasan berbentuk:

)14.2(sin 221

000

221

00

gttVY

gttVYY y

00 cosV

Xt

)15.2(cos

)(tan

coscossin

2

022

021

0

2

0021

0000

XV

gXY

V

Xg

V

XVY

parabolapersadalahbxaxY .2

Menghitung jarak tembak R, di titik B: Y = 0, Y0=0. Jadi dari pers. 2.15:

Dari 2.16 terlihat bahwa R akan maksimum (jarak tembak paling jauh) bila: sin2θ0=1 atau 2θ0=90o sehingga :θo=45o.

Ini berarti bahwa jarak tembak akan maksimum, bila peluru ditembakkan dengan sudut θo=45o.

)16.2(2sin

cossin2

cos2/

tan

cos)(tan0

0

20

00

20

022

0

0

2

022

021

0

g

VR

g

V

VgR

RV

gR

Contoh soal:Sebuah peluru ditembakkan dari tanah dgn kecepatan 200 m/det dengan sudut 45o terhadap horisontal.hitung :

a. Kecepatan dan posisi peluru setelah 20 detik

b. Jarak tembakc. Waktu yg dibutuhkan untuk kembali lagi di

tanahSolusi:

y

g

Voy

V0x

0

V0A

VA

45o

B x

α

Uraikan komponen kecepatan atas Sumbu x dan y :

Misalkan setelah 20 detik peluru ada di A, maka:

det/210045sin

det/2100)2)(200(45cos

00

21

00

mVV

mVVo

y

ox

o

Ax

Ay

AyAxA

yAy

xAx

V

V

mVVV

mgtVV

mVV

5,224144,04,141

6,58tan

det/8,152)6,58()4,141(

det/6,58)20)(10(2100

det/4,1412100

2222

0

0

Selanjutnya:

Jadi posisi A adalah (2828,4 , 828,4)Dari rumus (2.16), jarak tembak adalah:

Di B :

Jadi waktu yg dibutuhkan untuk kembali ke tanah adalah 28,3 detik

mgtVY

mtVX

yA

xA

4,828)20)(10()20)(2100(

4,2828)20)(2100(2

212

21

0

0

m

g

VR

o 4000)45.2sin(10

200

2sin

2

0

20

ikt

tt

gttVYY yB

det3,282205

2100

)10()2100(00

0

221

221

00

Gerak MelingkarLintasan benda berbentuk lingkaran.ada 2 jenis gerak melingkar:1. Gerak melingkar beraturan2. Gerak melingkar

dipercepat Gerak Melingkar beraturan

Pada gerak ini besarnya kecepatan tetap,tetapi arahnya jelas berubah dari saat ke saat.Ini berarti vektor kecepatan berubah, atau ada percepatan

Gambar gerak melingkar beraturan

0 θ

RP

V

V'V

VVV 'A B

P’

Perhatikan gerak melingkar dengan jari-jari R dari P ke P’

Dari gambar terlihat ada perubahan kecepatan:

Bila θ <<, maka tali busur PP’ dapat dianggap sama dengan busurnya, sehingga dpt ditulis:

Dari gambar terlihat bahwa, 0 P P’ sebangun dengan P’B A, berarti:

Dari definisi percepatan sesaat :

VVV '

tVPP .'

R

V

t

Vatau

R

tV

R

PP

V

V 2'

R

Vadidapat

t

Vita

t

2

0

:

lim

Ini adalah percepatan yg ada setiap kali benda melingkar dan disebut percepatan normal atau radial atau tepatnya sentripetal, karena arahnya radial menuju ke pusat lingkaran. Oleh karena itu lebih jelas kalau dituliskan;

)20.2(2

R

VaR

Gerak benda melingkar seringkali lebih menguntungkan jika dinyatakan dlm besaran-besaran sudut/angular yaitu kecepatan sudut ω dan percepatan sudut α

dsdθ

θ

R

Misalkan benda yg melingkar dengan jari-jari R mengalami perpindahan ds, yg sesuai dengan perubahan sudut dθ, maka dapat ditulis:

ds = R dθKecepatan (linier):

Kecepatan sudut :

Maka:V = R ω (2.21)

Bila 2.21 disubstitusi ke dlm 2.20 maka didapat:

dt

dR

dt

dsV

det/lim0

raddt

d

tit

t

)22.2()( 22

R

R

RaR

Contoh soalBulan berputar mengeliingi bumi dan kembali ke tempatnya semula setiap 28 hari.Bila jarak antara bumi dan bulan adalah 38,4 x 104 km.hitunglah:

a. Kecepatan linierb. Kecepatan sudut/angularc. Percepatan sentripetalSolusi:Bulan melakukan gerak melingkar dengan jari-jari:

R = 38,4 x 104 km = 38,4 x 107 mKeliling lingkaran ini s = 2 π R = 2 π x 38,4 x 107 mJarak ini ditempuh dalam 38 hari = 28 x 24 x 3600

detik

Jadi kecepatan linier :

Kecepatan sudut/angular:

Percepatan Sentripetal:

Tugas:Sebuah roda yg diameternya 4 m berputar dengan kecepatan 120 rpmhitunglah;

a. Kecepatan sudut/angularb. Kecepatan linier suatu titik pada tepi roda

det/9936002428

104,382 7

mxx

xx

t

sV

det/10.58,2104,38

99 77

radxR

VRV

det/10.26,0104,38

99 47

22

mxR

VaR

Gerak Melingkar dipercepatPada gerak melingkar jenis ini, selain arah besar kecepatanpun berubah.

O

R

PV

P’

RV

TV V

'V

Dalam waktu Δt, partikel bergerak dari P ke P’ dan kecepatan berubah dari menjadiAtau:

Uraikan menjadi komponen radial dan tangensial, maka:

Perubahan kecepatan dalam arah radial, seperti telah diturunkan sebelum ini menghasilkan percepatan radial:

V 'V

VVV '

V

TR VVV

R

V

t

Va R

tR

2

0lim

Percepatan Tangensial:

Karena arah kecepatan benda yg bergerak melingkar selalu tangensial pada lintasannya , maka ditulis:

Percepatan sudut:

Resultan Percepatan benda yg bergerak melingkar:

dt

dV

t

Va TT

tT

0lim

dt

dVaT

dt

dR

dt

Rdamakadari T

)(

:21.2

Ramaka

raddt

d

t

T

t

:

det/lim 2

0

)25.2(:

)24.2(

22TR

TR

aaabesarnya

aaa

Gerak Relatif

PS

y y’

S’

S’y’

S

ut

u

Q

x’

x

x

x’

(a)

(b)tu

r'r

Gambar diatas , P adalah objek yg bergerak.Pengamat tadi akan mencatat gerakan P relatif terhadap kerangka acuannya masing-masing.

Misalkan S’ bergerak relatif terhadap S yg diam dengan kecepatan konstan , maka dlm waktu t posisi S’ dan P yg telah berpindah ke Q

Terhadap kerangka acuan S perpindahan objek P dinyatakan oleh vektor r , sedang terhadap kerangka acuan S’ perpindahannya r’, maka:

Diferensiasi terhadap waktu:

u

turr '

)26.2('

)('

uVV

ataudt

utd

dt

rd

dt

rd

:Kecepatan objek terhadap kerangka acuan S : Kecepatan objek terhadap kerangka acuan S’ u : Kecepatan S’ relatif terhadap S

V'V

Bila kecepatan objek berubah ,maka pengamat-pengamat tersebut akan melihat perubahan yg sama. Ini berarti bahwa pengamat-pengamat (kerangka acuan S dan S’)melihat percepatan yg sama (bila u konstan). Hal ini jelas bila pers. 2.26 didiferensir terhadap waktu;

Karena u konstan , maka: Sehingga:

)27.2('

'

dt

udaa

ataudt

ud

dt

Vd

dt

Vd

0dt

ud

'aa

Sebuah pesawat terbang A, terbang ke arah utara dengan kecepatan 300 km/jam relatif terhadap tanah. Pada saat yg sama pesawat terbang B terbang 60o ke arah barat terhadap arah utara dengan kecepatan 200 km/jam relatif terhadap tanah. Hitunglah: kecepatan A relatif terhadap B dan B relatif terhadap Asolusi:

BAABABBA VVuuVV U

S

B T

βα

60o

AV

BVBV

ABu

Dari rumus cosinus dengan melihat pd gambar:

Kecepatan B relatif terhadap A:,

Jadi kecepatan B relatif terhadap A juga sama yaitu 264,6 km/jam, hanya arahnya berlawanan

jamkmu

VVVVu

AB

o

BABAAB

/6,264

60cos200.300.2)200()300(

cos.2

22

22

ABBAABBA uVVVVu )(