2. Vektor 2.1 Representasi grafis sebuah vektor · PDF fileVektor digunakan untuk menentukan...

Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com

2. Vektor

2.1 Representasi grafis sebuah vektor

Berdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilai dan tidak memiliki arah, seperti panjang, massa, waktu, temperatur, frekuensi, daya, dan usaha. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, seperti perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momen gaya, momentum, luas, impuls dan berat. Vektor adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor sangat bermanfaat untuk menjelaskan besaran fisika yang memiliki besar dan arah. Operasi besaran skalar berbeda dengan dengan operasi vektor. Kita akan mempelajari vektor menggunakan pendekatan grafis dan pendekatan analitis.

Secara grafis, sebuah vektor disimbolkan oleh sebuah anak panah, seperti Gambar 2.1. Panjang

anak panah menunjukkan besar vektor dan mata panah menunjukkan arah vektor. Titik A disebut titik

asal vektor atau titik tangkap vektor, dan titik B disebut titik arah vektor atau ujung vektor. Ada

perbedaan cara penulisan besaran skalar dan besaran vektor. Besaran vektor dituliskan dengan huruf

cetak tebal (bold ) yaitu, F atau menuliskan anak panah di atas huruf, yaitu F . Nilai vektor

diberikan oleh F atau | |F . Vektor Gambar 2.1 juga dapat dituliskan dalam bentuk AB .

Kalau sebuah anak panah mendekati pengamat, maka pengamat akan melihat ujung anak panah

sebagai tanda titik. Karena itu, simbol vektor mendekati pengamat atau vektor keluar bidang adalah

. Kalau sebuah anak panah mejauhi pengamat, maka pengamat akan melihat ujung anak panah

sebagai tanda silang. Karena itu, simbol vektor menjauhi pengamat atau vektor masuk bidang adalah

.

2.2 Representasi analitis sebuah vektor

Sebuah vektor dalam sistem koordinat kartesian dinyatakan dalam komponen-komponenya

disebut representasi analitis vektor. Skalar hanya memiliki satu komponen, sedangkan vektor

memiliki tiga komponen. Vektor digunakan untuk menentukan arah gerak partikel dalam garis (satu

dimensi), bidang (dua dimensi) dan ruang (tiga dimensi). Sebuah vektor direpresentasikan secara

analitis menggunakan notasi vektor satuan.

2.2.1 Komponen-komponen sebuah vektor dalam dua dimensi

Sebuah vektor A terletak pada bidang xy seperti pada Gambar. 2.2. Vektor A membentuk sudut

θ terhadap sumbu x positif. Vektor A dapat diuraikan menjadi komponen xA pada sumbu x dan

komponen yA pada sumbu y.

Gambar 2.1 : Simbol sebuah vektor

A

B

F


Komponen-komponen vektor A diperoleh dengan menggunakan aturan trigonometri.

cos cosxx

AA A

A (2.1)

sin siny

y

AA A

A (2.2)

Besar vektor diperoleh menggunakan teorema Phytagoras.

2 2x yA A A

(2.3)

Arah vektor A terhadap sumbu x positif :

tany

x

A

A

(2.4)

Contoh 2.1 :

Tentukan komponen vektor kecepatan 1v dan 2v dalam arah sumbu x dan sumbu y ! Besar kecepatan

1v dan 2v berturut-turut adalah 20 m/s dan 10 m/s.

Pembahasan :

Komponen vektor kecepatan 1v :

0 11,x 1 2

v cos30 20 3 m s 10 3 m sv

0 11,y 1 2

v sin30 20 m s 10 m sv

Komponen vektor kecepatan 2v :

0 32,x 2 5

v sin37 10 m s 6 m sv

300

1v

2v

370

y

x

θ

y

x

A

xA

yA

y

A

xA

yA

θ x

Gambar 2.2: Komponen-komponen vektor A dalam dua dimensi


0 42,y 2 5

v cos37 10 m s 8m sv

2.2.2 Komponen-konponen sebuah vektor dalam tiga dimensi

Sebuah vektor A terletak dalam ruang kartesian seperti pada Gambar 2.3. Vektor A membentuk

sudut α terhadap sumbu x positif, sudut β terhadap y positif, dan sudut γ terhadap sumbu z positif .

Vektor A dapat diuraikan menjadi komponen xA pada sumbu x, komponen yA pada sumbu y , dan

komponen zA pada sumbu z .

Komponen-komponen vektor A :

cos cosxx

AA A

A (2.5)

cos cosy

y

AA A

A (2.6)

cos coszz

AA A

A (2.7)

Besar vektor A :

2 2 2x y zA A A A (2.8)

Arah vektor A terhadap sumbu x positif :

2 2

tany z

x

A A

A

(2.9)

Arah vektor A terhadap sumbu y positif :

2 2

tan x z

y

A A

A

(2.10)

Arah vektor A terhadap sumbu y positif :

z

A

zA

yA

x

y

xA

Gambar 2.3: Komponen-komponen vektor A dalam t iga

dimensi


2 2

tanx y

z

A A

A

(2.11)

Sudut α, β dan γ disebut sudut cosinus arah. Hubungan antara α, β dan γ :

2 2 2cos cos cos 1 (2.12)

2.2.3 Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor bernilai satu satuan. Simbol vektor satuan adalah sebuah topi ( ).

Vektor satuan A adalah A (dibaca A topi). Vektor satuan A adalah perbandingan vektor A dengan

besarnya.

AA=

A (2.13)

Vektor satuan tidak memiliki satuan. Vektor satuan A menunjukkan arah vektor A . Koordinat

kartesian memiliki tiga vektor satuan ˆˆ ˆdani j k, saling tegak lurus.

i atau x : vektor satuan searah sumbu x

j atau y : vektor satuan searah sumbu y

k atau z : vektor satuan searah sumbu z

Sebuah vektor dapat direpresentasikan menggunakan vektor-vektor satuan sistem koordinat . Vektor

A dalam dua dimensi :

ˆ ˆ ˆ ˆatau cos x sin yx yA A i A j A A A

(2.14)

dengan besar vektor A :

2 2x yA A A

(2.15)

Vektor A dalam tiga dimensi :

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos cos cosx y zA A i A j A k A i A i A k

(2.16)

θ

y

x

A

yA

xA

i

j

Gambar 2.4: Vektor satuan dalam koord inat kartesian

A

z

zA

yA

x

y

ˆxA i

i j

k

ˆyA j

ˆzA k


dan besar vektor A :

2 2 2x y zA A A A

(2.17)

Vektor posisi adalah vektor berasal dari titik asal 0,0,0 . Vektor posisi ˆˆ ˆx y zA A i A j A k

dapat

dituliskan dalam bentuk titik , ,x y zA A A A . Vektor nol disimbolkan dengan 0 atau 0 . Semua

komponen vektor nol sama dengan nol. Jadi, panjang vektor nol sama dengan nol.

Contoh 2.2 :

Sebuah objek dilempar dengan kecepatan 10 m/s membentuk sudut 600 terhadap sumbu x positif.

Tuliskanlah kecepatan awal benda dalam vektor satuan i dan j .

Pembahasan :

Komponen vektor kecepatan objek searah sumbu x dan searah sumbu y : 0

0, 0 cos 10cos60 5m sxv v

00, 0 sin 10sin 60 5 3 m syv v

Vektor kecepatan awal objek dalam vektor satuan i dan j :

0 0, 0,ˆ ˆ ˆ ˆ5 5 3 m sx yv v i v j i j

Contoh 2.3 :

Sebuah partikel memiliki vektor posisi ˆˆ ˆ( 2 2 ) mr i j k . Tentukanlah vektor satuan dari vektor r .

Pembahasan :

Besar vektor r :

2 2 2 2 2 21 2 2 3mx y zr r r r

Vektor satuan dari vektor r :

1 2 2 ˆˆ ˆˆ3 3 3

rr i j k

r

2.3 Penjumlahan vektor

Operasi dasar vektor meliputi penjumlahan, pengurangan, kesamaan dan perkalian vektor. Kita

terlebih dahulu membahas penjumlahan dua buah vektor. Operasi vektor sangat banyak digunakan

dalam persamaan fisika. Kita akan menyelesaikan opersi vektor dengan cara geometri dan metode

analitik (aljabar).

2.3.1 Penjumlahan vektor cara grafis

x

y

v0

600


Penjumlahan vektor cara grafis berarti tidak menggunakan sistem koordinat. Dua buah vektor A

dan B , ditunjukkan oleh Gambar 2.7.

Jumlah vektor A dan B disebut resultan vektor, simbolnya R :

R= A+B (2.18)

Jumlah besar vektor A dan B tidak sama dengan besar vektor R .

|R| |A|+|B| (2.19)

Cara grafis dibagi menjadi dua aturan, yaitu metode segitiga dan aturan jajargenjang.

a. Metode segitiga (metode poligon)

Lihat kembali Gambar 2.5. Untuk menghitung resultan vektor A dan B , pertama hubungkan

titik tangkap vektor B ke titik arah vektor A . Resultan vektor diperoleh dengan menggambarkan

sebuah vektor menghubungkan titik tangkap vektor A ke titik arah vektor B , seperti ditunjukkan

pada Gambar 2.6.

Misalkan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Nilai resultan vektor diperoleh

menggunakan hukum kosinus.

Besar resultan vektor :

2 2 0|A+B| 2 cos(180 - )R A B AB

2 2|A+B| 2 cosR A B AB (2.20)

Catatan :

Gambar 2.7 : Resultan vektor metode segitiga

180

θ

A

B

R

A

B

θ

Gambar 2.6 : Metode segitiga

A B

A

B

R

Gambar 2.5 : Vektor A dan B

A B


Jika A sejajar B (θ = 0), maka R = A + B

Jika A tegak lurus B (θ = 900), maka 2 2R A B

Jika A berlawanan dengan B (θ = 1800), maka R A B

Rentang nilai resultan vektor A dan B adalah A B R A B

Untuk menghitung resultan lebih dari dua vektor dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan

dua vektor terlebih dahulu. Kemudian resultan dua vektor dijumlahkan dengan vektor lainnya,

demikian seterusnya sehingga diperoleh resultan vektor total. Gambar vektor resultan dari tiga atau

lebih vektor dapat langsung diperoleh dengan mengikuti aturan penjumlahan metode segitiga sering

disebut metode poligon. Misalkan terdapat tiga buah vektor seperti pada Gambar 2.8a, maka vektor

resultannya ditunjukkan oleh Gambar 2.8b.

Penjumlahan vektor memiliki beberapa sifat penting. Sifat-sifat penjumlahan vektor :

Pertama, penjumlahan vektor memiliki sifat komutatif.

A B B A (2.21) Kedua, penjumlahan vektor memiliki sifat asosiatif.

A B C A B C

(2.22)

Ketiga, pengurangan vektor adalah bentuk khusus dari perjumlahan vektor.

- -C A B A B

(2.23)

Besar pengurangan vektor A dan B :

2 2|A-B| 2 cosA B AB

(2.24)

Contoh 2.4 :

Dua buah gaya 1F dan 2F memiliki besar berturut-turut adalah 80 N dan 60 N bekerja pada sebuah

balok. Tentukan nilai resultan gaya yang dialami oleh balok jika sudut antara kedua vektor adalah θ

sama dengan 00, 60

0 ,90

0 dan 180

0.

Gambar 2.9 : Pengurangan vektor

AB A

-B

A B θ

θ

(a)

A

B C

Gbr.2.8 : (a) Vektor A,BdanC . (b) Resultan tiga buah vektor

(b)

A

B

C

R


Pembahasan :

Diketahui bahwa F1 = 80 N dan F2 = 60 N. Rumus resultan vektor :

2 21 2 1 2 1 2| |= 2 cosRF F F F F F F

Jika θ = 00, maka

1 2 1 2| |= 140 NRF F F F F

Jika θ = 600, maka

2 2 01 2 1 2 1 2| |= 2 cos60 121,7 NRF F F F F F F

Jika θ = 90

0, maka

2 21 2 1 2| |= 100 NRF F F F F

Jika θ = 1800, maka

1 2 1 2| |= 20 NRF F F F F

b. Metode jajargenjang

Lihat kembali Gambar 2.5. Untuk mendapatkan resultan vektor A dan B dengan metode

jajargenjang, pertama hubungkan titik tangkap vektor A dan titik tangkap vektor B . Resultan vektor

ditunjukkan pada Gambar 2.10.

Misalkan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Nilai resultan vektor diperoleh

menggunakan hukum kosinus.

Besar resultan vektor :

2 2 0|A+B| 2 cos(180 -θ)R A B AB

2 2 2 cosR A B AB (2.25)

Gambar 2.11: Resultan vektor metode jajargenjang

A

B

θ O

B

R

θ

A

Q

P

180

Gambar 2.10: Metode jajargenjang

A B

A

B

R

1F

2F

θ


Sudut adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan vektor R . Sudut adalah sudut yang

dibentuk oleh vektor B dan vektor R . Nilai sudut dan ditemukan menggunakan hukum sinus.

sin 180 sin sin

R A B

(2.26)

Contoh 2.5 :

Sebuah beban beratnya w = 200 N digantungkan menggunakan tali seperti ditunjukkan pada gambar.

Beban dalam keadaan setimbang seperti pada gambar. Tentukanlah tegangan tali T1 dan T2

menggunakan aturan sinus.

Pembahasan :

Kita dapat menggambarkan hubungan vektor 1T , 2T dan w memenuhi hubungan

Besar tegangan tali T1 dan T2 diperoleh dengan menggunakan hukum sinus.

01

10 0 0

sin60200 3

sin30 sin60 sin30

w TT w N

0

210 0 0

sin90400

sin30 sin90 sin30

w TT w N

2.3.2 Penjumlahan vektor cara analitis

Penjumlahan dua vektor cara analitis adalah penjumlahan komponen-komponen kedua vektor

pada sumbu yang sama. Penjumlahan dua vektor diberikan oleh

ˆˆ ˆx x x x x xA B A B i A B j A B k

(2.27)

Pengurangan vektor A dan B diartikan sebagai penjumlahan vektor A dan -B .

ˆˆ ˆ( ) x x x x x xA B A B A B i A B j A B k (2.28)

Dua buah vektor 1F dan 2F diberikan dalam grafis. Cara menjumlahkan vektor dengan metode

analitis, yaitu :

Uraikan komponen vektor dalam komponen-komponen skalarnya.

Jumlahkan semua komponen vektor pada sumbu yang sama.

1 2x x x xR F F F

(2.29)

1 2y y y yR F F F

(2.30)

w

1T

2T

300

600

900

2T

1T

300

w = 300 N


Besar vektor resultan R :

2 2x yR R R

(2.31)

Sudut yang dibentuk oleh resultan vektor R terhadap sumbu x positif :

tany

x

R

R

(2.32)

Cara analitis lebih mudah menyelesaikan perhitungan resultan vektor dibandingkan cara grafis untuk

kasus lebih dari dua vektor

Contoh 2.6 :

Tentukan besar resultan dari tiga buah vektor gaya pada gambar di bawah ini!

Pembahasan :

Misalkan F1 = 10 N, F2 = 10 3 N, dan F3 = 10 N. Uraikan masing-masing vektor gaya pada sumbu

x dan sumbu y, kita peroleh

0 01 2 3 1 2cos30 cos60 5 3 5 3 0x x x xF F F F F F

0 01 2 3 1 2sin30 sin60 5 5 15 5 15y y y yF F F F F F

Besar resultan vektor gaya :

2 2 2 215 0 15x yR F F N

Contoh 2.7 :

Diketahui dua buah vektor

1ˆˆ ˆ3 2 mr i j k

2ˆˆ3 4 mr i k

Tentukan :

a. besar vektor 1r dan 2r

b. 1 2r r

c. 1 2r r

d. 1 22 3r r

Pembahasan :

a. Besar vektor 1r adalah

2 2 21 3 1 2 14 mr

x

y

300

600

5 N

10 N

10 3 N


Besar vektor 2r adalah

2 21 3 4 5 mr

b. 1 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 3 4 3 3 2 4 6 6r r i j k i k i j k i j k

c. 1 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 3 4 3 3 2 4 2r r i j k i k i j k j k

d. 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 2 3 2 3 3 4 6 2 4 9 12 15 2 16r r i j k i k i j k i k i j k

2.4 Kesamaan vektor

Dua vektor dikatakan sama hanya jika nilai dan arah dua vektor tersebut sama. Secara grafis, dua

vektor sama hanya jika kedua vektor sejajar dengan arah dan panjangnya sama, tetapi tidak

membutuhkan posisi yang sama, lihat Gambar 2.12a. Secara analitis , dua vektor sama ketika nilai

komponen-komponen kedua vektor sama. Kesamaan vektor A dan B dituliskan dalam bentuk

A B

(2.33)

atau

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y zx y z x y zA i A j A k B B B (2.34)

atau

x x y y z zA B A B A B (2.35)

Satuan vektor A dan B juga harus sama. Sebuah vektor tetap sama jika dipindahkan ke posisi yang

lain asalkan tidak mengubah nilai dan arah vektor tersebut. Vektor A dikatakan berlawanan dengan

vektor A , seperti pada Gambar 2.12b. Dua vektor dikatakan berlawanan jika kedua vektor memiliki

nilai yang sama tetapi arahnya berlawanan .

2.5 Perkalian vektor

2.5.1 Perkalian vektor dengan skalar

Jika k adalah skalar (konstanta) dan A adalah sebuah vektor, maka

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆx y z x y zk A k A i A j A k kA i kA j kA k

(2.36)

Gambar 2.12 : (a) Kesamaan vektor A dan B (b) Vektor A berlawanan dengan A

A

A= 5cm B

B= 5cm

(a)

A

A

(b)


Perkalian vektor A dan skalar k akan menghasilkan vektor yang baru, yaitu Ak . Konstanta k akan

mempengaruhi besar dan arah vektor A . Jika k konstanta positif, maka vektor yang baru searah

dengan vektor A . Jika k konstanta negatif, maka arah vektor yang baru berlawanan dengan arah

vektor A . Misalkan kita ambil nilai konstanta k = -1, 2, 1/2, -2, dan -1/2, hasil perkalian ditunjukkan

oleh Gambar 2.6. Jika k = -1, maka arah vektor A berlawanan dengan vektor A . Contoh perkalian

vektor dan skalar adalah bentuk hukum kedua Newton, F ma .

2.5.2 Perkalian vektor dengan vektor

Perkalian vektor dengan vektor merupakan operasi vektor yang sangat banyak digunakan dalam

mekanika. Ada dua macam perkalian dua vektor, yaitu perkalian titik (perkalian skalar atau dot

product) dan perkalian vektor (perkalian silang atau cross product).

a. Perkalian titik

Perkalian titik dua buah vektor adalah perkalian antara dua besar vektor dikalikan dengan

kosinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor.

cosA B AB

(2.37)

dimana sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Cara membaca A B adalah A dot B . Hasil

perkalian titik adalah skalar, yang dapat bernilai positif 00 90 atau negatif 0 090 180 .

Jika θ = 0 (vektor A searah dengan vektor B ), maka A B AB .

Jika θ = 90 (vektor A tegak lurus dengan vektor B ), maka 0A B .

Jika θ = 180 (vektor A berlawanan arah dengan vektor B ),, maka A B AB .

Secara grafis, perkalian titik adalah proyeksi vektor A ke vektor B atau proyeksi vektor B ke vektor

A .

cos cos cosA B A B A B AB

(2.38)

A -A

2A -2A

12

A 12

A

Gambar 2.13: Perkalian vektor A dengan skalar k =-1, 2, 1/2, -2, dan -1/2


Hasil perkalian titik dua vektor yang saling tegak lurus sama dengan nol. Jika vektor A tegak

lurus B , maka vektor A dikatakan ortogonal terhadap vektor B . Vektor satuan ˆˆ ˆdani j k, saling

ortogonal. Perkalian dot antara vektor satuan koordinat kartesian mengikuti aturan :

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ= 1 1 cos0 1i i j j k k =

(2.39)

0ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 cos90 0i j j k i k = =

(2.40)

Jika vektor A dan B diberikan oleh,

ˆˆ ˆx y zA A i A j A k

ˆˆ ˆx y zB B i B j B k

maka perkalian titik vektor A dan B adalah

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

x y z x y z

x x x y x z y x y y y z

z x z y z z

A B A i A j A k B i B j B k

A B i i A B i j A B i k A B j i A B j j A B j k

A B k i A B k j A B k k

Jadi,

x x y y z zA B A B A B A B

(2.41)

Kita juga dapat menuliskan bahwa

2 2 2 2x y zA A A A A A

(2.42)

atau

A A A

(2.43)

Kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor :

1 12 22 2 2 2 2 2

cosx x y y z z

x y z x y z

A B A B A BA B

AB A A A B B B

(2.44)

Catatan :

1. A B B A Hukum komutatif

2. A B C A B A C Hukum distributif

3. k A B kA B A kB A B k dimana k adalah skalar

4. ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= 1, 0i i j j k k i j j k i k = =

5. x x y y z zA B A B A B A B

θ

A

B

(a)

A B cosθ

B

θ θ

A

B

A cosθ

(b)

Gambar 2.14 : (a) Dua vektor A dan B membentuk sudut θ

(b ) Proyeksi vektor A dan B


6. 0A B dimana A dan B adalah bukan vektor nol, maka A dan B tegak lurus

7. 2A A A

Aplikasi perkalian skalar dalam fisika :

1. Usaha

Aplikasi perkalian dot adalah konsep usaha. Usaha yang dilakukan oleh gaya konstan F bekerja

pada benda yang mengalami perpindahan d diberikan oleh

cosW F d Fd

(2.45)

dimana θ adalah sudut yang dibentuk vektor gaya dan perpindahan benda. Usaha adalah

perkalian besar gaya dan perpindahan dikali kosinus sudut yang dibentuk oleh gaya dan

perpindahan.

2. Energi kinetik

Energi kinetik sebanding dengan kuadrat kelajuan benda.

21 1

2 2kE mv v mv

(2.46)

Contoh 2.8 :

Jika ˆˆ ˆ2 2A i j k dan ˆˆ ˆ6 3 2B i j k , hitunglah A B dan sudut antara vektor A dan B .

Pembahasan :

Menghitung nilai A B :

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 6 3 2 (2)(6) (2)( 3) ( 1)(2) 12 6 2 4A B i j k i j k

2 2 22 1 2 3A 2 2 26 3 2 7B

Menghitung sudut antara vektor A dan B :

cosA B AB

4 4cos

(3)(7) 21

A B

AB

1 04cos 79

21

Contoh 2.9 :

Gbr. 2.15 : Kerja adalah perkalian t itik antara gaya dan perpindahan

θ

F


Tentukanlah nilai a agar vektor A ai j k tegak lurus dengan vektor 2 3B i j k .

Pembahasan :

A dan B tegak lurus hanya jika 0A B . Jadi,

( )(1) (1)(2) ( 1)( 3) 2 3 0A B a a

a = - 5

Contoh 2.10 :

Hitunglah usaha yang dilakukan gaya 2 2 NF i j k

pada benda yang memiliki vektor

perpindahan 5 4 mr i j k .

Pembahasan :

Usaha = 2 2 5 4 10 1 8 19 joule.F r i j k i j k

b. Perkalian Silang

Besar hasil perkalian silang dua vektor adalah perkalian antara dua besar vektor dan kemudian

dikalikan dengan sinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor. Perkalian silang dua vektor

menghasilkan vektor.

C A B dan sinC AB (2.47)

dimana θ adalah sudut antara vektor A dan B . A B dibaca crossA B .

Jika θ = 0 (vektor A searah dengan vektor B ), maka 0A B .

Jika θ = 90 (vektor A tegak lurus dengan vektor B ), maka A B AB .

Jika θ = 180 (vektor A berlawanan arah dengan vektor B ),maka 0A B .

Jika besar sudut yang dibentuk oleh dua vektor adalah 0 00 dan180 (dua vektor sejajar dan

berlawanan arah), maka hasil perkalian vektor sama dengan nol. Nilai perkalian silang C A B

maksimum ketika vektor A dan B tegak lurus.

Perkalian silang antara A dan B menghasilkan vektor C. Vektor C tegak lurus dengan bidang

yang dibentuk oleh vektor A dan B , artinya vektor C juga tegak lurus dengan vektor A dan B .

Arah vektor hasil perkalian silang ditentukan menggunakan aturan tangan kanan. Keempat jari tangan

kanan diputar dari vektor A ke vektor B . Jempol akan menunjukkan arah vektor C .


Lihat Gambar 2.16, perkalian silang memiliki sifat antikomutatif.

A B B A (2.48)

Aturan perkalian silang dalam vektor satuan koordinat kartesian:

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0i i j j k k = = (2.49)

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,i j k j k i k i j = (2.50)

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,j i k k j i i k j = (2.51)

Jika ada dua buah vektor A dan B ,

ˆˆ ˆx y zA A i A j A k

ˆˆ ˆx y zB B i B j B k

maka perkalian silang A dan B adalah

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

x y z x y z

x x x y x z y x y y y z

z x z y z z

A B A i A j A k B i B j B k

A B i i A B i j A B i k A B j i A B j j A B j k

A B k i A B k j A B k k

Kita menyederhanakan persamaan di atas menjadi :

ˆˆ ˆy z z y z x x z x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k

(2.52)

Hasil perkalian silang juga dapat ditentukan menggunakan metode determinan.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆy z x yx zx y z

y z x yx zx y z

i j kA A A AA A

A B A A A i j kB B B BB B

B B B

(2.53)

Untuk menentukan sumbu x positif, sumbu y positif , dan sumbu z positif dalam koordinat

kartesian digunakan aturan perkalian silang ˆˆ ˆi j k . Vektor satuani searah sumbu x positif, vektor

satuan j searah sumbu y positif dan vektor satuan k searah sumbu z positif.

Catatan :

1. A B B A Tidak memenuhi hukum komutatif

Gambar 2.16 : Aturan tangan kanan pada perkalian silang

θ

A

B

C=A B

A

B

C=B A

θ


2. A B C A B A C Hukum distributif

3. k A B kA B A kB A B k dimana k adalah skalar

4. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= 0, , ,i i j j k k i j k j k i i k j = =

5. ˆˆ ˆy z z y z x x z x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k

6. Nilai A B sama dengan luas jajar genjang dengan sisi A dan B

7. 0A B dan A dan B adalah bukan vektor nol, maka A dan B sejajar.

8. 0A A

9. 0 dan 0A A B B A B

Aplikasi perkalian vektor dalam fisika:

1. Luas

Besar perkalian silang sinA B AB menunjukkan luas jajargenjang yang dibentuk oleh

vektor danA B , lihat Gambar 2.17. Jadi, luas adalah besaran vektor.

2. Momen gaya

Perkalian komponen gaya (F) tegak lurus dengan lengan gaya dikali dengan panjang lengan gaya

(r) dinamakan momen gaya. Jika gaya dan lengan gaya sejajar maka momen gaya sama dengan

nol. Jika gaya dan lengan gaya tegak lurus, maka momen gaya sama dengan Fd. Jika gaya dan

lengan gaya membentuk sudut θ, maka maka sama dengan

sinrF

(2.54)

Jadi momen merupakan perkalian silang antara lengan gaya dan gaya.

r F

(2.55)

3. Kecepatan tangensial

θ θ

r

F

Gbr.2.18 : Vektor torsi, .

x A

y

B

cosB

sinB

Gambar 2.17 : Jajar genjang representasi dari perkalian silang


Sebuah benda bermassa m bergerak melingkar dengan kecepatan sudut terhadap kerangka

acuan titik O yang diam. Titik P berjarak r dari titik O. Kecepatan tangensial v benda m di titik

P adalah

v r

(2.56)

Besar kecepatan tangensial :

sinv r r

(2.57)

4. Momentum sudut

Sebuah benda bergerak melingkar seperti pada Gambar 2.19. Momentum sudut benda m

didefenisikan sebagai perkalian silang antara vektor posisi dan momentum linear.

L r p r mv

(2.58)

Contoh 2.11 :

Jika ˆˆ ˆ2 3A i j k dan ˆˆ ˆ4 2B i j k , hitung A B dan luas jajargenjang yang dibentuk oleh

vektor A dan B .

Pembahasan :

Metode 1 :

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 3 4 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 2 3 4 2 4 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 8 4 3 12 6 4 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 8 4 3 0 6 4 0 10 3 11

A B i j k i j k

i i j k j i j k k i j k

i i i j i k j i j j j k k i k j k k

k j k i j i i j k

Metode 2 :

ˆˆ ˆ3 1 2 1 2 3 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1 10 3 11

4 2 1 2 1 41 4 2

i j k

A B i j k i j k

Luas yang dibentuk oleh vektor A dan B sama dengan besar vektor A B .

Luas = 2 2 210 3 11 230satuanA B

Gambar 2.19 : Benda m bergerak melingkar

r

O

P

v

θ

sinr


Contoh 2.12 :

Sebuah gaya ˆˆ ˆ3 2 4 NF i j k

bekerja pada pada benda titik dengan vektor posisi

ˆˆ ˆ2 3 mr i j k . Tentukan momen gaya yang bekerja pada benda terhadap titik asal.

Pembahasan :

Momen gaya yang bekerja pada benda :

ˆˆ ˆ2 4 3 4 3 2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 21 3 2 3 2 1

2 1 3

i j k

r F i j k i j k

2.6 Perkalian tiga buah vektor

Perkalian tiga buah vektor dinamakan perkalian triple. Perkalian triple dibagi menjadi dua

macam, yaitu perkalian triple skalar (triple scalar product) dan perkalian triple vektor (triple vector

product).

2.6.1 Perkalian triple skalar

Perkalian triple skalar memiliki bentuk kombinasi

A B C (2.59)

Perkalian triple skalar akan menghasilkan skalar. Hasil perkalian triple skalar adalah

A B C

B C A C A B

x y z z y y z x x z z x y y xA B C B C A B C B C A B C B C

(2.60)

Perkalian triple skalar dapat dituliskan dalam bentuk

A B C

x y z

x y z

x y z

A A A

B B B

C C C

(2.61)

Hasil perkalian triple skalar A B C menunjukkan volume ruang yang dibentuk oleh vektor

A,Bdan C , seperti terlihat dalam Gambar 2.20.


Contoh 2.13 :

Hitung volume yang dibentuk oleh vektor 1 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 m , m, dan 3 r i j r i j k r i k !

Pembahasan :

2 3

ˆˆ ˆ1 1 1 1 1 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1 2 30 1 3 1 3 0

3 0 1

i j k

r r i j k i j k

Volume = 31 2 3

ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1 2 3 2 6 0 4mr r r i j i j k

2.6.2 Perkalian triple vektor

Perkalian triple vektor memiliki bentuk

A B C (2.62)

Hasil perkalian triple vektor memenuhi aturan

A B C B A C -C A B (2.63)

Pers.(2.63), sebuah hubungan yang dikenal sebagai aturan BAC - CAB . Perkalian triple vektor

menghasilkan vektor.

Contoh aplikasi perkalian triple vektor adalah momentum sudut. Sebuah partikel bermassa m

bergerak dengan kecepatan sudut relatif terhadap kerangka acuan yang diam O. Momentum sudut

partikel m terhadap titik O , seperti ditunjukkan Gambar 2.19 :

L r p r mv mr v (2.64)

Hubungan antara kecepatan tangensial v dan kecepatan sudut adalah .v r Jadi,

L r p r mv mr r (2.65)

Kita dapat membuat analogi bahwa , danA r B C r , dengan menggunakan aturan BAC-CAB,

kita peroleh

L m r r r r (2.66)

Jika kecepatan sudut tegak lurus dengan vektor posisi r , maka 0r . Kita peroleh,

A

x

y

z

B

C

Gambar 2.20 : Perkalian triple skalar


2L mr (2.67)

Besar momentum sudut untuk kasus vektor posisi tegak lurus dengan kecepatan sudut :

2L mr mvr (2.68)

Contoh 2.14 :

Diberikan tiga vektor ˆ ˆ2 , 3A i B j dan ˆˆC j k , hitunglah A B C .

Pembahasan :

ˆˆ ˆ ˆA B C B A C - C A B 3 2 0 6j j k j

2.7 Turunan vektor

Sebuah partikel bergerak dari posisi awal r t ke posisi akhir r t t dalam selang waktu t

(lihat Gambar 2.21).

Perpindahan partikel selang waktu t :

r r t t r t (2.70)

Perubahan perpindahan partikel terhadap waktu t :

r t t r tr

t t

(2.71)

Turunan vektor r t terhadap waktu:

0 0

lim limt t

r t t r tdr r

dt t t

(2.69)

Vektor r t dalam koordinat kartesian diberikan oleh

ˆˆ ˆr t x t i y t j z t k (2.72)

Turunan pertama vektor r t terhadap waktu :

ˆˆ ˆdr dx dy dzi j k

dt dt dt dt (2.73)

Turunan kedua vektor r t terhadap waktu adalah

x

y

z

r

r t t r

Gambar 2.21 : Perubahan vektor posisi partikel


2 2 2 2

2 2 2 2ˆˆ ˆd r d x d y d z

i j kdt dt dt dt

(2.74)

drv

dt menunjukkan kecepatan partikel dan

2

2

dv d ra

dt dt menunjukkan percepatan partikel.

Catatan :

Jika A, Bdan C adalah turunan vektor bergantung waktu t dan fungsi skalar bergantung waktu t,

maka

1. A B

A+Bd d d

dt dt dt

2. B A

A B A Bd d d

dt dt dt

3. B A

A B A Bd d d

dt dt dt

4. A

A Ad d d

dt dt dt

5. Jika ˆˆ ˆx y zA A i A j A k , maka ˆˆ ˆ

x y zdA dA i dA j dA k

6. A B A B A Bd d d

7. A B A B A Bd d d

Contoh 2.15 :

Sebuah partikel bergerak memiliki vektor posisi ˆ ˆcos sinr r t i r t j , dimana r dan ω adalah

konstan. Tunjukkan bahwa (a) kecepatan v tegak lurus terhadap r , (b) percepatan a arahnya ke titik

pusat lingkaran dan memiliki nilai sebanding dengan jarak partikel dari pusat lingkaran, (c)

vektor konstanr v .

Pembahasan :

a. ˆ ˆcos sinr r t i r t j

ˆ ˆsin cosdr

v r t i r t jdt

ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cos

cos sin sin cos 0

r v r t i r t j r t i r t j

r t r t r t r t

Karena 0r v , maka r dan v tegak lurus.

v

ωt x

y

r

a


b. 2

2 2 2 2

2ˆ ˆ ˆ ˆcos sin cos sin

d r dva r t i r t j r t i r t j r

dtdt

Percepatan berlawanan dengan arah r , artinya percepatan arahnya menuju pusat lingkaran (titik

asal koordinat). Nilainya sebanding dengan jaraknya dari pusat lingkaran.

c. ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosr v r t i r t j r t i r t j

2 2 2 2ˆ ˆ ˆcos sin , sebuah vektor konstanr t k r t k r k

Fisisnya, gerak ini adalah gerak melingkar sebuah partikel dengan kecepatan sudut konstan ω.

Percepatan partikel arahnya menuju pusat lingkaran dikenal percepatan sentripetal.

2.8 Soal dan pembahas

1. Dua vektor memiliki besar yang sama dengan F membentuk sudut θ. Jika besar resultan kedua

vektor sama dengan F. Hitung nilai θ !

2. Sebuah pesawat bergerak dengan kecepatan 5 m/s ke arah Utara. Pada saat yang bersamaan, angin

bertiup pada sudut 370 dari Utara dengan kecepatan 2 m/s. Tentukan resultan kecepatan dan arah

gerak pesawat dari arah Utara!

3. Sebuan balok bermassa 20 kg didorong oleh gaya F = 100 N membentuk sudut 300 terhadap

sumbu vertikal, seperti ditunjukkan pada gambar. Hitung komponen gaya pada sumbu x dan

sumbu y!

4. Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah partikel P :

1ˆˆ ˆ3 3 NF i j k

2ˆˆ ˆ2 2 7 NF i j k

3ˆˆ 8 NF i k

Tentukan vektor dan besar resultan gaya yang bekerja pada partikel P!

5. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 90 m dan kecepatan arus sungai 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s. Tentukan resultan kecepatan perahu dan sudut yang dibentuk oleh lintasan perahu terhadap arah tegak lurus sungai!

6. Hitung nilai a agar vektor A ai j k tegak lurus dengan vektor B ai k !

7. Hukum Cosinus. Buktikan hukum cosinus menggunakan perkalian dot!

8. Hukum Sinus. Buktikan hukum sinus menggunakan perkalian silang!

9. Buktikan bahwa

20 kg

300

F = 100 N

x

y


22

2 2A B A B A B

10. Buktikan bahwa cos cos cos sin sin mengunakan perkalian dot!

2. Vektor 2.1 Representasi grafis sebuah vektor · PDF fileVektor digunakan untuk menentukan...

Documents

Transcript of 2. Vektor 2.1 Representasi grafis sebuah vektor · PDF fileVektor digunakan untuk menentukan...