Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

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Teorema Fundamental da Trigonometria 1 cos sen 2 2
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  • Teorema Fundamental da Trigonometria
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  • Demonstrao... ) 1 cos sen 1 0 sen cos
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  • Continuao... ) 1 cos sen 1 0 sen cos 1
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  • Continuao... ) sen cos 1 Utilizando o teorema de Pitgoras h 2 = c 2 + c 2, temos : C M P Q D
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  • Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo )) Cateto Adjacente Cateto Oposto Hipotenusa
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  • Continuao... Cotangente de Secante de Cossecante de Tangente de Cosseno de Seno de Relao no Tringulo RetnguloEnte Trigonomtrico
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  • Na Circunferncia Trigonomtrica ) cos sen 0 sen cos tg tg
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  • Continuao... ) 0 cotg cotg secante cossec
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  • Arcos Notveis 30 150 210 330 45135 225315 60 120 240 300 cos sen 0 tg 90 180 270 0/360
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  • Tabela de Entes Trigonomtricos...
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  • Vamos pensar...
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  • Que tal fazermos um teste para verificao do que foi apresentado? Observem a figura ao lado 1) Em relao ao ngulo , podemos dizer que o sen vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b
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  • 2) Em relao ao ngulo , podemos dizer que o cos vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b
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  • 3) Em relao ao ngulo , podemos dizer que a tg vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c
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  • 4) Em relao ao ngulo , podemos dizer que a cotg vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c
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  • 5) Em relao ao ngulo , podemos dizer que tg .cotg vale: a) 1/a b) 1/c c) 1/b d) 0 e) 1
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  • 6) Se a = 3b, podemos dizer ento, que sen 2 + cos 2 vale: a) b 2 / a 2 b) 9c 2 / b 2 c) 0 d) 1 e) (c 2 + b 2 ) / 9a 2 Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que: sen 2 + cos 2 = 1 portanto,
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  • 7) Em relao ao ngulo , podemos dizer que sec 2 - 1 vale: a) tg 2 b) cotg 2 c) - 1 d) 0 e) 1
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  • 8) Em relao ao ngulo , podemos dizer que cossec 2 - 1 vale: a) tg 2 b) cotg 2 c) - 1 d) 0 e) 1
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  • 9) Se sen b/c, ento, calculando o valor de chegaremos a: a) a/c b) b/c c) a/b d) b/a e) 1
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  • Voltando a parte terica
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  • Lei dos Senos Seja um tringulo ABC qualquer temos : ) ( A B C a c b
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  • Lei dos Cossenos Seja um tringulo ABC qualquer temos : ) ( A B C a c b
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  • Continuao... Curiosidade : Quando um dos ngulos do tringulo reto, por exemplo, = 90, temos : Sabe-se que cos 90 = 0, logo... Temos, portanto... Teorema de Pitgoras
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  • Grficos das funes trigonomtricas sen x y x 0 540720 450 630 360 270 180 -180 -90 90 1
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  • Continuao... cos x y x 0 540 720 450 630 360 270 180 -180 -90 90 1
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  • Continuao... tg x y x 0 360 -90 90 180 270 450 540 630
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  • Continuao... y x 0 540720 450 630 360 270 180 -180 -90 90 1 cossec x
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  • Continuao... 0 540 720 450 630 360 270 180 -180 -90 90 sec x y x 1
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  • Continuao... cotg x y x 0 360 90 180 270 450 540 630 720
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  • TRIGONOMETRIA APLICADA Modelo matemtico que indica ao nmero de horas do dia, com luz solar, de uma determinada cidade norte americana, t dias aps 1 de janeiro. Fonte : J.Stewart Clculo vol. I Pg. 34
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  • Continuao... Fonte : J.Stewart Clculo vol. I Pg. 394 Funo de Fresnel, assim chamada em homenagem ao fsico francs Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por seus trabalhos em tica. Esta funo foi primeiramente apresentada num trabalho sobre difrao de ondas de luz de Fresnel, porm recentemente foi aplicado no planejamento de auto-estradas.
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  • Continuao... Integrao por Substituio trigonomtrica Demonstrando o Caso I... C M P Q D
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  • Trigonometria Algumas Aplicaes
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  • Parte Prtica O exemplo clssico da Sombra Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prdio, sem a necessidade de subir ao terrao, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessrio somente 2 elementos. So eles:uma distncia um ngulo Observe a seguir...
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  • temos que: portanto: Conhecendo a distncia d que vale 50 metros e o ngulo que vale 30, podemos dizer ento que:
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  • Exemplo 1 A inclinao de uma rampa
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  • Uma rampa com inclinao constante, (como a que existe em Braslia) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro comeou a subir, e nota que aps ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa est a 2,0 metros de altura em relao ao solo. Ser que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora cientfica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinao em relao ao solo?
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  • Como poderamos resolver essa situao? Como sugesto, faremos um desenho do que representa essa situao. Observemos: 6 metros 16,4 metros 2 metros Comprimento total da rampa solo
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  • Observemos o tringulo retngulo em destaque... 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Temos em relao ao ngulo hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros
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  • 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Como: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2, podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: qual o arco, cujo seno vale 1/2?, a resposta seria dizer que = 30.
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  • Em nosso exerccio, chegamos a concluso que: sen = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ngulo , com o auxlio da calculadora que normalmente utiliza as funes ASIN ou SIN -1, ento, devemos digitar 0,121951219512 e a opo acima de sua calculadora. Se o processo foi realizado corretamente, dever ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7. Encontramos assim, a inclinao da rampa!
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  • 6 metros 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Notamos que os tringulos abaixo so semelhantes, portanto, podemos dizer que vlido para ambos Como: Chegamos a concluso que o comprimento total da rampa 49,2 metros
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  • Exemplo 2 Mecnica Geral ou Trigonometria?
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  • Os conceitos trigonomtricos aparecem com muita freqncia no estudo da Fsica, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos. Observemos os exemplos a seguir: Em relao ao sistema de foras representado na figura, onde F 1 = 20N, F 2 = 100N, F 3 = 40N e F 4 = 10N, voc seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ngulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?
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  • Desafio !
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  • Um alpinista muito gil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. No se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a concluso das medidas abaixo mencionadas. Quando chega at a rvore ele percebe que o nico caminho que o levar at o ponto C escalando-a. (a altura da rvore representada por h - despreze a largura do tronco) Se sua velocidade mdia de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )
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  • Soluo: Resumidamente, temos o tringulo ao lado que representa nosso desafio.
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  • Igualando o h das equaes ( I ) e (II) Como
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  • 30 metros 17 metros para subir a rvore 17 metros para descer da rvore Agora com o valor das medidas temos condio de determinar quanto ele percorreu do ponto A at o ponto C, observe: De A at C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros v = 0,2 m/s
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  • Obrigado pela participao de todos!!! Infelizmente, terminou... Prof. Edson Arnaldo Mendes Prof. Paulo Alves Rodrigues