Chap. 10 Gas Bose Ideal

Model: Gas Foton

• Foton adalah Boson yg tunduk kepada distribusi BE.

• Model:

– Foton memiliki frekuensi ω, rest mass=0, spin 1ℏ

– Energi E=ℏω dan potensial kimia =0

– Momentum 𝒑 = ℏ 𝒌, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 |𝐤| = 𝜔𝒌/𝑐

– Polarisasi (2 alternatif arah) dengan vektor arah 𝝐

– Foton ini terkait dengan plane wave 𝑬 𝒓, 𝑡 = 𝝐𝑒𝑖(𝒌.𝒓 −𝜔𝑡)

– Foton dalam kontainer V=L3 dan memenuhi syarat batas periodik di batas, sehingga k yg diperbolehkan adalah:

𝒌 =2𝜋

𝐿𝒏, dengan n adalah vektor dengan komponen

bilangan bulat = 0,±1,±2,…

Model: Gas Foton

Maka jumlah status keadaan k yg diijinkan adalah:

Σp →V

h3∫ 𝑑3𝑝 =

𝑉

ℎ34𝜋ℏ3∫ 𝑘2𝑑𝑘 =

𝑉

2𝜋 34𝜋∫ 𝑘2𝑑𝑘

• Total energi sistem gas Foton:

𝐸 𝑛𝒌,𝝐 =

𝒌,𝝐

ℏ𝜔𝒌 𝑛𝒌,𝝐 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛𝒌,𝝐=0,1,2,…

Fungsi Partisi Grand Kanonik - tanpa restriksi thd jumlah{nk,} :

𝜁 =

{𝑛𝑘,𝜖}

𝑒−𝛽𝐸{𝑛𝑘,𝜖} =

{𝑛𝑘,𝜖}

exp(−𝛽

𝒌,𝝐

ℏ𝜔𝑘𝑛𝑘,𝜖) =

Fungsi Partisi Gas Foton

𝜁 =

{𝑛𝑘,𝜖}

ෑ

𝒌,𝝐

exp(−𝛽ℏ𝜔𝑘𝑛𝑘,𝜖)

𝜁 =ෑ

𝒌,𝝐

𝑛𝑘,𝜖=0

∞

exp(−𝛽ℏ𝜔𝑘 𝑛𝑘,𝜖) =ෑ

𝒌,𝝐

1

1 − exp(−𝛽ℏ𝜔𝑘)

ln 𝜁 = −2

𝒌

𝒍𝒏{1 − exp(−𝛽ℏ𝜔𝒌)}

Untuk hasil terakhir ini telah dipakai polarisasi hanya ada 2 arah.

Okupansi & Energi Gas Foton

• Rata-rata jumlah foton dengan momentum k (tak pedulipolarisasi), telah diturunkan :

< 𝑛𝒌 >= −1

𝛽

𝜕 ln 𝜁

𝜕𝜖𝒌𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜖𝒌 = ℏ𝜔𝑘

< 𝑛𝒌 >= 2

𝒌′

exp −𝛽ℏ𝜔𝑘′ 𝛿𝑘𝑘′

1 − exp −𝛽ℏ𝜔𝑘′

=2

𝑒𝛽ℏ𝜔𝑘 − 1

• Hasil terakhir ini konsisten dengan perhitungan untuk Boson, dengan faktor 2 sebagai pengali akibat polarisasi berbedauntuk momentum yg sama.

• Energi sistem foton :

𝑈 =

𝑘

< 𝑛𝑘 > 𝜖𝑘 = 2

𝑘

ℏ𝜔𝑘

𝑒𝛽ℏ𝜔𝑘 − 1

Okupansi & Energi Gas Foton

• Dalam limit thermo N,V → , maka → sbb:

𝑈 =𝑉

2𝜋 3න

0

∞

𝑑𝑘4𝜋𝑘2ℏ𝜔

𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1

• Dengan 𝜔 = 𝜔 𝑘 = 𝑘𝑐 sehingga 𝑑𝑘 =1

𝑐𝑑𝜔, sehingga

diperoleh:

𝑈 =𝑉ℏ

𝜋2𝑐3න

0

∞

𝑑𝜔𝜔3

𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1

Okupansi & Energi Gas Foton

Dengan U/V = rapat energi per volum, yaitu:

U

V=

ℏ

𝜋2𝑐3∫0∞𝑑𝜔

𝜔3

𝑒𝛽ℏ𝜔−1= ∫0

∞𝑑𝜔𝑢(𝜔, 𝑇)

Dengan u(ω,T) adalah rapat energi spektral (untuk frek tertentu),yg adalah rumus radiasi Planck yg terkenal.

𝑢(𝜔, 𝑇) =ℏ

𝜋2𝑐3𝜔3

𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1

Rapat energi spektral dan Rapat Energi

Sedangkan integral :

න

0

∞

𝑑𝜔𝜔3

𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1

Dapat di evaluasi dengan substitusi 𝑥 = 𝛽ℏ𝜔, maka:

න

0

∞

𝑑𝜔𝜔3

𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1=

𝑘𝑇 4

ℏ4න

0

∞𝑥3

𝑒𝑥 − 1𝑑𝑥

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10

ω

T3 >T2 >T1T3

T2

T1

Rapat energi spektral dan Rapat Energi

Dengan cukup banyak trik, menggunakan fungsi Riemann-zeta dan fungsi gamma:

∫0∞ 𝑥3

𝑒𝑥−1𝑑𝑥 = Γ 4 𝜁 4 = 3!

𝜋4

90,

sehingga rapat energi per volum:

𝑈

𝑉=

ℏ

𝜋2𝑐3𝑘𝑇 4

ℏ4𝜋4

15=

𝜋2 𝑘𝑇 4

15 ℏ𝑐 3

Model Gas Fonon

• Hamiltonian kristal : jumlahan dari osilator harmonis (normal mode).

• Secara Kuantum partikel terkait dengan normal mode osilasi : fonon

• Pada suhu rendah : kristal dipandang sbg kumpulan gas fonontak saling berinteraksi.

• Fonon : frekuensi karakteristik ωi dengan energi ℏ𝜔𝑖 . Fungsi

gelombangnya 𝝐𝑒𝑖(𝐤.𝐫−𝜔𝑖𝑡) dengan |k|=ω/c, c: cepat rambatbunyi. Tidak spt kasus foton 𝝐 tidak perlu tegak lurus arahpropagasi, sehingga arah polarisasi ada 3.

Model Gas Fonon

• Fonon tunduk pada distribusi BE

• Kristal terdiri dari N atom, maka terdapat 3N normal mode dengan frekuensi karaketeristik : ω1 , ω2 , … ω3N

• Nilai ωi bergantung model yang dipakai:

– Model Einstein : semua sama = ω

– Model Debye : lowest 3N normal mode

Model Debye

• Model Debye: Model untuk kalor jenis zat padat

Kristal : dipandang sebagai medium elastis kontinum denganvolume V dan memenuhi syarat batas periodik yg membawakepada k= 2/L n dimana n adalah vektor dengan komponen(0,1, 2,…) dan L=V1/3.

Rapat keadaan : banyaknya normal mode antara ω dan ω+ dωadalah f(ω)d ω:

𝑓 𝜔 𝑑𝜔 =3𝑉

2𝜋 34𝜋𝑘2𝑑𝑘 = 𝑉

3𝜔2

2𝜋2𝑐3𝑑𝜔

Telah dipakai : polarisasi 3 arah, dan k=ω/c.

Model Debye

Dengan menerapkan syarat bahwa :∫0𝜔𝑚 𝑓 𝜔 𝑑𝜔 = 3𝑁, dengan

ωm: frek cut off max. Diperoleh:

𝜔𝑚 = 𝑐2𝜋2

𝑣

1/3

𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑣 = 𝑉/𝑁

Panjang gelombang terkait, 𝜆𝑚 =2𝜋𝑐

𝜔𝑚≈ 4𝜋𝑣

1

3 ≈jarak antar

partikel

Energi, Fungsi Partisi dan Okupansi

• Energi sistem gas fonon untuk suatu konfigurasi okupansifonon tertentu:

𝐸 𝑛𝑖 =

𝑖=1

3𝑁

𝑛𝑖ℏ𝜔𝑖

Fungsi partisi kanonik sistem:

𝑄 =

{𝑛𝑖}

𝑒−𝛽𝐸{𝑛𝑖} =ෑ

𝑖=1

3𝑁1

1 − 𝑒−𝛽ℏ𝜔𝑖

ln 𝑄 = −

𝑖=1

3𝑁

ln(1 − 𝑒−𝛽ℏ𝜔𝑖)

Energi, Fungsi Partisi dan Okupansi

Seperti sebelumnya : rata-rata okupansi mode ke-i:

< 𝑛𝑖 >= −1

𝛽

𝜕

𝜕 ℏ𝜔𝑖ln 𝑄 =

1

𝑒𝛽ℏ𝜔𝑖 − 1

• Energi total sistem rata-rata :

𝑈 = −𝜕

𝜕𝛽ln𝑄 =

𝑖=1

3𝑁

ℏ𝜔𝑖 < 𝑛𝑖 > =

𝑖=1

3𝑁ℏ𝜔𝑖

𝑒𝛽ℏ𝜔𝑖 − 1

Spt biasa, pada limit N,V→ , maka → , sehingga :

𝑈 =3𝑉

2𝜋2𝑐3න

0

𝜔𝑚

𝑑𝜔𝜔2ℏ𝜔

𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1

Energi, Fungsi Partisi dan Okupansi

Dengan substitusi t=𝛽ℏ𝜔, dan memanfaatkan definisi ωm

sebelumnya maka :

𝑈

𝑁=3 𝑘𝑇 4

ℏ𝜔𝑚3න

0

𝛽ℏ𝜔𝑚

𝑑𝑡𝑡3

𝑒𝑡 − 1

Definisikan fungsi Debye D(x) sbb:D(x) ≡1

𝑥3∫0𝑥𝑑𝑡

𝑡3

𝑒𝑡−1

𝐷 𝑥 =3

𝑥3න

0

𝑥

𝑑𝑡𝑡3

𝑒𝑡 − 1=

1 −3

8𝑥 +

1

20𝑥2 +⋯ 𝑥 ≪ 1

𝜋4

5𝑥3𝑥 ≫ 1

Kalor Jenis Zat Padat

Dan suhu Debye TD sbg 𝑘𝑇𝐷 = ℏ𝜔𝑚 = ℏ𝑐2𝜋2

𝑣

1/3

, maka rapat energi

per atom U/N dapat dituliskan sbg (definisikan u=TD/T:

𝑈

𝑁= 3𝑘𝑇𝐷 𝑢 =

3𝑘𝑇(1 −3

8

𝑇𝐷𝑇

+⋯ 𝑇 ≫ 𝑇𝐷

3𝑘𝑇𝜋4

5

𝑇

𝑇𝐷

3

+ 𝑂(𝑒−𝑇𝐷𝑇 ) 𝑇 ≪ 𝑇𝐷

Dengan mudah kalor jenis CV per atom:

𝐶𝑣𝑁=1

𝑁

𝜕𝑈

𝜕𝑇=

3𝑘(1 −3

20

𝑇𝐷𝑇

2

+⋯ 𝑇 ≫ 𝑇𝐷

12𝑘𝜋4

5

𝑇

𝑇𝐷

3

+ 𝑂(𝑒−𝑇𝐷𝑇 ) 𝑇 ≪ 𝑇𝐷

Fitting dengan Eksperimen

Dari kalor jenis tsb nampak bahwa

Pada suhu tinggi Cv/Nk→ 3 (dikenal dg hukum Empiris DulongPetit. Sedangkan pada suhu rendahCV/Nk→ T3.

Model Umum: Gas Bose Ideal

Secara umum model gas Boson adalah partikel boson denganmassa masing-masing m dalam volume V dan suhu T sertapotensial kimia . Sistem gas ini boleh bertukar energi danpartikel dengan lingkungan→ ensembel grand kanonik.

Asumsi : boson non relativistik, dengan spin s, dengan energi1 partikelnya hanya kinetik:𝜖 𝒌 = ℏ𝟐𝑘2/2m. Energi ground state-nya NOL. 𝜖 0 = 0, sehingga potensial kimianya harusmemenuhi −∞ < 𝜇 < 0

Volume wadah gas V= LxLyLZ dengan syarat batas periodik di batas volumenya.

Dalam batas limit thermo N,V→ jumlah boleh diganti ∫

Masalah Ground State• Ground state

Rata-rata okupansi diberikan oleh distribusi BE:

< 𝑛𝑝 > =1

𝑒𝛽(𝜖𝑝−𝜇) − 1

Untuk -<<1 , maka untuk ground state 𝜖 0 = 0, 𝑒−𝛽𝜇 ≈ 1 − 𝛽𝜇 +⋯ . Sehingga untuk kondisi ground state:

< 𝑛0 > ≈1

1 − 𝛽𝜇 +⋯− 1≈ −

1

𝛽𝜇

Berarti <n0> bisa berharga besar (makroskopik) berapapun juga dan ini mengharuskan 𝜇 < 0

Density of state gas boson serupa dengan Fermion yaitu Ω 𝐸 ~ 𝐸1/2. Jika Σ → ∫ Ω(𝐸)𝑑𝐸 maka untuk E=0 berapapun n0 akan dibobot =0. Sehingga kasus ground state mesti dipisahkan sebelum dilakukanintegrasi. (telah dilakukan di slide Boson)

Persamaan Bagi Gas Boson Ideal

Pers. Bagi gas Bose ideal dengan spin s (serupa dg yg telahditurunkan):

𝑃

𝑘𝑇= −(2𝑠 + 1){

4𝜋

ℎ3න0

∞

𝑑𝑝 𝑝2 ln 1 − 𝑧 𝑒−𝛽𝑝2

2𝑚 −1

𝑉ln(1 − 𝑧)}

1

𝑣= 2𝑠 + 1 {

4𝜋

ℎ3න0

∞

𝑑𝑝 𝑝21

𝑧−1 𝑒𝛽𝑝2

2𝑚 − 1

+1

𝑉

𝑧

1 − 𝑧}

Dengan cara serupa Fermion, persamaan ini dapat diungkapkan

sbg:

𝑃

𝑘𝑇=

2𝑠+1

𝜆3𝑔5

2

𝑧 −2𝑠+1

𝑉ln 1 − 𝑧

1

𝑣=

2𝑠+1

𝜆3𝑔3

2

𝑧 +2𝑠+1

𝑉

𝑧

1−𝑧

Persamaan Bagi Gas Boson Ideal

Dengan definisi fungsi 𝑔𝑗(𝑧) sbb untuk 𝑧 kecil:

𝑔52𝑧 = −

4

𝜋න0

∞

𝑑𝑥 𝑥2 ln 1 − 𝑒−𝑥2=

𝑚=1

𝑧𝑚

𝑚5/2

𝑔32𝑧 = 𝑧

𝜕

𝜕𝑧𝑔52𝑧 =

𝑚=1

𝑧𝑚

𝑚3/2

Kondensasi Bose Einstein

• Perilaku Boson dapat kita pelajari dari pers.

𝑛 =1

𝑣=

1

𝜆3𝑔32𝑧 +

1

𝑉

𝑧

1 − 𝑧Spt biasa v=V/N atau n=1/v : rapat partikel. Suku kedua 1/V (z/1-z) menggambarkan rapat partikel dengan momentum NOL. Sedangkansuku pertama adalah rapat partikel dengan momentum TAK NOL.

. Fungsi g3/2(z) memiliki perilaku sbb:

𝑔32𝑧 =

𝑚=1

∞𝑧𝑚

𝑚3/2

Suku z/(1-z)>=0, sehingga 0<= z <= 1, untuk nilai z ini jelaslah bahwag3/2(z) akan terbatas, dan ini berupa fungsi monotonik naik.

Fungsi 𝑔3

2

(𝑧)

Kondensasi Bose-Einstein

• Pada z=1, 𝜕𝑔3/2

𝜕𝑧divergen, tetapi g3/2(1) tidak lain adalah fungsi

Rieman zeta (3/2)

• (3/2)=2.612… berhingga : g3/2 (1)= 2.612….

Sehingga nilai 0 g3/2(z) 2.612.. Untuk 0 z 1.

• Suku z/(1-z)=N0 adalah jumlah suku okupansi rata-rata untukstatus p=0. Pers. Boson dapat kita tulis ulang sbg:

𝜆3𝑁0𝑉=𝜆3

𝑣− 𝑔3

2(𝑧)

Untuk kasus tak ada partikel dengan p=0, maka :𝜆3

𝑣= 𝑔3

2

(𝑧)

Kondensasi Bose-Einstein

Ruas kanan paling maksimum g3/2(1)= 2.612. Jikalau𝜆3

𝑣>

2.612 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑔3

2

(1) maka persamaan tsb tak ada solusinya. Pada

keadaan ini maka z =1 (maksimum), dan sebagian dari boson mesti menempati status p=0. Keadaan spt ini bisa terjadimisalnya dg menurunkan T ( >>) atau dengan meningkatkanrapat partikel (n>> atau v <<).

Berarti 𝑛0 =𝑁0

𝑉> 0 bilamana suhu () dan rapat partikel (atau

1/v) sedemikian sehingga:𝜆3

𝑣> 𝑔3

2(1)

Kondensasi Bose-Einstein

Artinya pada suhu ini, terdapat sebagian partikel yg berada di status dengan p=0. Fenomena ini dikenal dengan namakondensasi Bose-Einstein.

• Pada keadaan ini sistem seperti terdiri dari 2 fasa yaitu : fasap=0 dan fasa p0. Jadi seperti terjadi transisi fasa dari fasap>0, ke fasa campuran dengan p=0.

• Untuk suatu kerapatan tertentu (1/v), maka temperatur kritisTC diperoleh sebagai solusi dari :

• 𝜆𝐶3 = 𝑣𝑔3

2

1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑘𝑇𝐶 =2𝜋ℏ2

𝑚 𝑣𝑔321

2/3

Volume dan Temperatur Kritis

• Sebaliknya untuk suatu suhu tertentu T, maka volume jeniskritis vC didefinisikan sbg:

• 𝑣𝑐 =𝜆3

𝑔321

• Jadi daerah kondensasi (p=0) mulai terjadi jika T<TC atau v<vC

atau n>nc dengan n=1/v.

Perilaku fugacity, z(T)

• Nilai z sebagai fungsi (v,T) diperoleh dengan mencari solusidari pers:

•𝜆3

𝑣= 𝑔3

2

𝑧 +𝜆3

𝑉

𝑧

1−𝑧

• Berarti untuk limit V→ :

• Jika 3/v > g3/2(1) maka z=1 (terjadi kondensasi).

• Jika 3/v < g3/2(1), maka z

diperoleh dari solusi𝜆3

𝑣= 𝑔3

2

(𝑧)

Perilaku Fugacity dan Pers Keadaan

• Dari solusi numerik persamaan untuk suatu

nilai𝜆3

𝑣tertentu:

𝑔32𝑧 =

𝜆3

𝑣

• Dapat di plot perilaku z thd𝑣

𝜆3

• Untuk𝑣

𝜆3<

1

2.612maka z=1

Perilaku Fugacity dan Pers Keadaan

• Setelah mendapatkan nilai z untuk suatu nilai 𝜆3/𝑣 maka dapatdicari persamaan keadaan dari :

𝑃

𝑘𝑇=

1

𝜆3𝑔52(𝑧)

Yaitu untuk kasus 3/v < g3/2(1). Sedangkan untuk kasus 3/v > g3/2(1), maka

𝑃

𝑘𝑇=

1

𝜆3𝑔52(1)

Persamaan Keadaan Gas Bose Ideal

• Kurva di sampingmenunjukkan isotherm. Perhatikan jika v<vC (misaltitik B),maka z=1 sehinggatekanan tidak lagibergantung volume, karenaini fasa kondensasi.

• Kurva yg dibentuk olehsemua nilai nilai vc(T) disebut garis transisi karenamenggambarkan daerahtransisi ke kondensasi

Persamaan Keadaan Gas Bose Ideal

• Garis transisi diberikan oleh: 𝑃 =𝑘𝑇

𝜆3𝑔5

2

(1) . Titik B (transisi)

terjadi ketika temperaturnya mencapai Tc yg didefinisikan dari :

•𝜆𝑐3

𝑣= 𝑔3

2

1 → 𝑘𝑇𝑐 =2𝜋ℏ2

𝑚 𝑣𝑔321

2/3 → 𝑃 =2𝜋ℏ2

𝑚𝑣5/3

𝑔52

1

𝑔321

53

Kondensat

• Ketika terjadi kondensasi, maka:

• 𝑛 =1

𝑣=

1

𝜆3𝑔3

2

1 +1

𝑉

𝑧

1−𝑧, atau

• 𝑁 =𝑉

𝜆3𝑔3

2

1 + 𝑛0

•𝑛0

𝑁= 1 −

𝑣

𝜆3𝑔3

2

1

Tetapi volum kritis dan temperatur kritis didefinisikan di depan sbg:

1

𝑣𝐶=

1

𝜆3𝑔321 𝑑𝑎𝑛 1/𝜆𝑐

3 =1

𝑣𝑔32(1)

Sehingga : 𝑛0

𝑁= 1 −

𝑣

𝑣𝐶=1-(T/TC)3/2

Kondensat

Berarti:Untuk T>TC , partikel tersebar tipis diantara semua level.Untuk T<TC , sebagian 1-(T/TC)3/2 menempati p=0 sisanyatersebar tipis ke seluruh p0.Ketika T=0, semuanya di p=0.

Hubungan ThermodinamikaGas Ideal Boson

• Dengan adanya dua fasa tsb, maka berbagai hubunganThermodinamika dapat diturunkan. Masing-masing untuk kasus :

• (a) v>vC (atau T>TC)• (b) v<vC (atau T<TC)

𝑈

𝑁=3

2𝑃𝑣 =

3

2𝑘𝑇

𝑣

𝜆3𝑔52𝑧 , (𝑎)

3

2𝑘𝑇

𝑣

𝜆3𝑔521 , (𝑏)

−𝐴

𝑁𝑘𝑇=

𝑣

𝜆3𝑔52𝑧 − ln 𝑧 , (𝑎)

𝑣

𝜆3𝑔521 , (𝑏)

Hubungan Thermodinamika Gas Ideal Boson

𝑆

𝑁𝑘=

5

2

𝑣

𝜆3𝑔52𝑧 − ln 𝑧 , (𝑎)

5

2

𝑣

𝜆3𝑔521 , (𝑏)

𝐶𝑣𝑁𝑘

=

15

4

𝑣

𝜆3𝑔52𝑧 −

9

4

𝑔32𝑧

𝑔12𝑧

(𝑎)

15

4

𝑣

𝜆3𝑔521 , (𝑏)