MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ......

Click here to load reader

  • date post

    31-Jan-2018
  • Category

    Documents

  • view

    245
  • download

    8

Embed Size (px)

Transcript of MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ......

  • 1

    MEKANIKA II2 SKS

  • 2

    ISI

    1. Sistem Partikel

    2. Benda Tegar

    3. Rumusan Lagrange

    4. Rumusan Hamilton

  • 3

    1. SISTEM PARTIKEL

    Partikel=benda titik, hanya dapat bergerak translasi, tidak rotasi

    m1, m2, m3, , mN : massa-massa partikel

    N321 r,........,r,r,rrrrr

    : vektor posisi masing-masing partikel

    Total massa: N.....3,2,1;mM ==

    M

    rmR

    =

    r

    r

    m1

    m2

    m3

    x y

    z

    2rr

    1rr 3r

    r

    Vektor posisi pusat massa:

    1.1 Pusat massa

  • 4

    Contoh:

    m1=10 gram, m2=15 gram dan m3=25 gram

    r1=(2, -3, 3) cm; r2=(-3, -5, 4) cm; r3=(5, 4,-5) cm.

    Massa total:

    M=(10+15+25)gram=50 gram

    Posisi pusat massa:

    ( )

    cm)7.0,1.0,2()cm0,5(5,4,-54)cm0,3(-3,-5,cm)3,3,2(2,0

    r25r15r10501

    M

    rmR 321

    =++=

    ++== rrr

    rr

    z)y,(x,zkyjxir ++=rr

  • 5

    Gaya pada satu partikel ke-:

    - gaya luar atau eksternal

    - gaya interaksi antara partikel itudengan partikel-partikel-partikel lain; disebut gaya internal.

    iF

    eF

    ie FFF rrr

    +=

    Hukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-:

    N.....3,2,1FFdt

    rdm ie22

    =+= rrr

    Jika posisi sistem partikel digeser tanpamengganggu keadaan internalnya, maka total gaya internal pada setiap partikel=0.

    0F i =

    r

    12

    3

    i13F

    r

    i12F

    r

    i32F

    ri31F

    r

    i21F

    ri

    23F r

    i3Fr

    i2Fr

    i1Fr

    =

    ii FFrr

    1.2 Persamaan Gerak Pusat Massa

  • 6

    FF

    N.....3,2,1FFdt

    rdm

    e

    ie2

    2

    rr

    rr

    ==

    =+=

    Persamaan gerak pusat masa

    =0

    Fdt

    RdMM

    rmR 2

    2 rr

    rr

    ==

    1

    2

    3

    e1Fr

    e2Fr e

    3Fr

    Fr

    pm

    e2Fr

    e3Fr e

    1Fr

    Fr

  • 7

    FFdtpd

    dtPd e rr

    vr

    ===

    dtrdmp r

    r=

    1.3 Momentum linier

    ie FFdtpd

    rrv+=

    Total momentum linier:

    2

    2

    dtrdm

    dtpd

    rr

    = atau

    dtRd M

    dtrdmpP

    rrrr

    ===

    F

    dtRdM

    dtPd

    2

    2 rrr

    ==

    Persamaan gerak pusat massa

    Teorema:

    Jika total gaya internal=0, pusat massa sistem partikel bergerakseperti suatu partikel yang massanya = massa sistem dengansuatu gaya=total gaya luar pada sistem.

  • 8

    1.4 Momentum sudut

    Momentum sudut sistem partikelterhadap titik Q:

    p)rr(L QQrrrr

    =

    Q

    m1m2

    m3

    1rr

    2rr

    3rr

    x y

    z

    Qrr

    ==

    p)rr(LL QQQrrrrr

    Variasi terhadap waktu:

    p

    dtrd

    dtrd

    dtpd)rr(

    dtLd Q

    QQ r

    rrrrr

    r

    +=

    dtrdmp r

    r=Karena 0p

    dtrd

    = rr

  • 9

    iQ

    eQQ F)rr(F)rr(dt

    pd)rr( rrrrrr

    rrr

    +=

    p

    dtrd

    dtpd)rr(

    dtLd Q

    QQ r

    rrrr

    r

    =

    p

    dtrd

    F)rr(F)rr(dtLd Qi

    Qe

    QQ r

    rrrrrrr

    r

    +=

    Pdtrd

    F)rr(N

    pdtrd

    F)rr(F)rr(dtLd

    QiQQ

    QiQ

    eQ

    Q

    rr

    rrrr

    rr

    rrrrrrr

    +=

    +=

    =

    e

    QQ F)rr(Nrrrr

    Total momen gaya

  • 10

    0Pdtrd Q =

    rr Jika:

    (1) kecepatan titik Q sama dengan kecepatan pusat massa,

    (2) titik Q adalah pusat massa, dan

    (3) titik Q diam

    0F)rr(

    F)rr(F)rr(

    F)rr(F)rr(

    F)rr(F)rr(

    1

    1

    i

    1

    1

    iQ

    iQ

    1

    1

    iQ

    iQ

    iQ

    iQ

    ==

    =

    +=

    =

    =

    =

    =

    rrr

    rrrrrr

    rrrrrr

    rrrrrr

    =

    ii FFrr

    m

    m

    rr

    rr rr

    rr

    iF r

  • 11

    Jadi, jika titik Q diam atau Q merupakan pusat massa, maka

    QQ N

    dtLd rr

    =

    Teorem:

    Jika tidak ada gaya luar pada sistem partikel, maka momentum sudut sistem partikel itu konstan.

    Terlihat, jika NQ=0, maka LQ adalah besaran yang konstan.

    Kuliah ke-1

  • 12

    1.5 Hukum Kekekalan Energi

    N,......3,2,1;FFF ie =+= rrr

    Jika gaya eksternal bergantung pada posisi, dan gaya internal bergantung pada posisi partikel-partikel lain, maka dapat dituliskan

    ......)..........,r,r(FF 21rrrr

    =

    Jika gaya total pada suatu partikel bergantung pada posisi, makafungsi potensial V adalah:

    Ini disebut gaya konservatif

    z

    VyV

    xV

    =

    =

    = zyx F;F;F

    VF =rr Ingat sifat konservatif:

    0VF ==srrr

  • 13

    Vdtvdm

    vmdtrdmp

    VFdtpd

    =

    ==

    == rr

    rr

    r

    rrv

    Kalikan dengan vr

    ( ) 0zVv

    yVv

    xVvvm

    dtd

    0Vvdtvdvm

    zyx2

    21 =

    +

    +

    +

    =+

    rrr

    r

    Karenadt

    dxv x =

  • 14

    ( ) 0dt

    dzV

    dtd

    yV

    dtd

    xVvm

    dtd

    21 =

    +

    +

    +

    zyx

    Untuk sistem partikel:

    ( ) 0dt

    dzV

    dtd

    yV

    dtd

    xVvm

    dtd 2

    21 =

    +

    +

    +

    zyx

    Tetapi,

    dtdV

    dtd

    zV

    dtd

    yV

    dtd

    xV

    =

    +

    +

    zyxdan

    ( )dtdKvm

    dtd 2

    21 =

    sehingga konstan)(EVKatau0dtdV

    dtdK

    =+=+

    Hukum Kekekalan Energi Mekanik

  • 15

    1.6 Persamaan gerak roketM-massa roket pada waktu t

    dM/dt-massa bahan bakar terbuang perselang waktu

    v -kecepatan roket pada waktu t relatif terhadap bumi

    u- kecepatan bahan bakar terbuang relatif terhadap roket

    Misalkan gaya luar pada roket F, maka persamaanmomentum linier relatif terhadap bumi:

    vr

    ur

    M

    dM/dt

    dtdM)uv()v(M

    dtdF rrr

    r+=

    Momentum roket

    Momentum bahan bakarterbuang

    Fdt

    dMudtvdM

    rrr

    +=Jadi:

    Gaya dorong pada roket

  • 16

    F- gaya gesekan udara dan gravitasi; diruang angkasa F=0

    dtdMu

    dtvdM rr=

    MMlnuvv

    MdMuvd oo

    M

    M

    v

    v oo

    rrrrr==

    Perubahan kecepatan dalam suatu interval waktu hanya bergantung pada kecepatan relatifdan fraksi bahan bakar terbuang.

    Kuliah ke-2

  • 17

    1.7 Masalah Tumbukan

    Sebelum dan sesudah tumbukan partikel-partikel bergerak dengankecepatan tetap, tanpa gaya.

    Selama tumbukan timbul gaya antar partikel yang pada umumnyamemenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku:

    1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum sudut

    2. Hukum kekalan energi.

  • 18

    1.7.1 Tumbukan sentral

    Misalkan sebuah peluru m1 menumbuk sebuah objek m2

    m1 m21Ivr

    2Ivr

    m1 1Fvr

    m2 2Fvr

    2F21F12I21I1 vmvmvmvmrrrr

    +=+

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) )e1(vv.pvmvmvmvm

    KKKKQ

    2I1I

    22F22

    121F12

    122I22

    121I12

    1

    2F1F2I1I

    =

    ++=

    ++=

    rrr

    ( )( ) ( )1F2F22I1I1

    2I1I1F2F

    vvmvvmp1e0vvevv

    rrrrr

    rrrr

    ===

    e disebut koefisien restitusi

    e=1Q=0: tumbukan elastis

    0e0: tumbukan tak-elastis

    Buktikan !

  • 19

    Tumbukan sentral elastik sempurna

    m1 m2diam

    1Ivr

    m1 1Fvr

    m2 2Fvr

    2F21F11I1 vmvmvmrrr

    +=

    1I1F2F vvv1errr

    ==

    1I21

    12F vmm

    2mv rr+

    =

    m1m2: v2F>v1I, v1F searah v2F

    1I21

    211F vmm

    mmv rr

    +

    =Buktikan !

    K1I=K1F+K2F}

    Jika m1 tidak diketahui: 11K2K1

    K2K

    mm

    2

    2F

    1I

    2F

    1I

    2

    1

    = Buktikan !

  • 20

    Tumbukan sentral tak-elastik sempurna

    m1 m2diam

    m1+m21Ivr

    Fvr

    Partikel m1 dengan kecepatan v1 menabrak dan melekat pada m2yang diam; misalkan setelah tumbukan keduanya kecepatan v2.

    1I21

    1FF211I1 vmm

    mvv)m(mvm rrrr+

    =+=

    Energi yang terbuang saat tumbukan:

    +

    =

    +==

    21

    221I12

    1

    2F212

    121I12

    121

    mmmvm

    )vm(mvmKKQ

  • 21

    2F1F2I1I pppprrrr

    +=+22F11F1I cospcospp +=

    22F11F sinpsinp0 =

    22F11F1I

    21F

    21I pcospp2pp =+

    m1 1Ipr

    m2diam

    1Fpr

    2Fpr

    12

    1.7.2 Tumbukan elastis

    Tidak ada energi yang hilang selama tumbukan (Q=0).

    I-initial, awal

    F-final, akhir

    Hukum kekekalan momentum:

  • 22

    21

    211

    22

    21

    11

    21

    1

    1I

    1F

    mmmmcos

    mmmcos

    mmm

    pp

    +

    +

    +

    =

    =

    2

    1I

    1F

    1

    2

    1I

    2F

    pp1

    mm

    pp

    =

    1I2F

    11I1F12 p/p

    )cos/p(p-1cos

    2

    22F

    1

    21F

    1

    21I

    2mp

    2mp

    2mp

    +=

    2F1F2I1I KKKK +=+

    2

    22F

    1

    21F

    21I

    mp

    mpp

    =

    Hukum kekekalan energi kinetik:

    m2 diamK2I=0

    Buktikan !

    Kuliah ke-3

  • 23

    1. m1>m2

    Jika 1=m, di mana , harga dalam akar menjadi nol.21

    22

    m2

    mm1os =c

    Untuk 1>m2 maka sudut 1 sangat kecil. Buktikan!

    Buktikan !21

    2

    1I

    2F

    mmm

    pp

    +=

    1pp

    1I

    1F

    0;mm

    mpp

    221

    2

    1I

    2F =+

    =

  • 24

    2. m1=m2

    11I

    1F cospp

    = 11I

    2F sin pp

    = 12 2/ = 0 /2

    1=0, p1F=p1I d