1

MEKANIKA II2 SKS

2

ISI

1. Sistem Partikel

2. Benda Tegar

3. Rumusan Lagrange

4. Rumusan Hamilton

3

1. SISTEM PARTIKEL

Partikel=benda titik, hanya dapat bergerak translasi, tidak rotasi

m1, m2, m3, , mN : massa-massa partikel

N321 r,........,r,r,rrrrr

: vektor posisi masing-masing partikel

Total massa: N.....3,2,1;mM ==

M

rmR

=

r

r

m1

m2

m3

x y

z

2rr

1rr 3r

r

Vektor posisi pusat massa:

1.1 Pusat massa

4

Contoh:

m1=10 gram, m2=15 gram dan m3=25 gram

r1=(2, -3, 3) cm; r2=(-3, -5, 4) cm; r3=(5, 4,-5) cm.

Massa total:

M=(10+15+25)gram=50 gram

Posisi pusat massa:

( )

cm)7.0,1.0,2()cm0,5(5,4,-54)cm0,3(-3,-5,cm)3,3,2(2,0

r25r15r10501

M

rmR 321

=++=

++== rrr

rr

z)y,(x,zkyjxir ++=rr

5

Gaya pada satu partikel ke-:

- gaya luar atau eksternal

- gaya interaksi antara partikel itudengan partikel-partikel-partikel lain; disebut gaya internal.

iF

eF

ie FFF rrr

+=

Hukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-:

N.....3,2,1FFdt

rdm ie22

=+= rrr

Jika posisi sistem partikel digeser tanpamengganggu keadaan internalnya, maka total gaya internal pada setiap partikel=0.

0F i =

r

12

3

i13F

r

i12F

r

i32F

ri31F

r

i21F

ri

23F r

i3Fr

i2Fr

i1Fr

=

ii FFrr

1.2 Persamaan Gerak Pusat Massa

6

FF

N.....3,2,1FFdt

rdm

e

ie2

2

rr

rr

==

=+=

Persamaan gerak pusat masa

=0

Fdt

RdMM

rmR 2

2 rr

rr

==

1

2

3

e1Fr

e2Fr e

3Fr

Fr

pm

e2Fr

e3Fr e

1Fr

Fr

7

FFdtpd

dtPd e rr

vr

===

dtrdmp r

r=

1.3 Momentum linier

ie FFdtpd

rrv+=

Total momentum linier:

2

2

dtrdm

dtpd

rr

= atau

dtRd M

dtrdmpP

rrrr

===

F

dtRdM

dtPd

2

2 rrr

==

Persamaan gerak pusat massa

Teorema:

Jika total gaya internal=0, pusat massa sistem partikel bergerakseperti suatu partikel yang massanya = massa sistem dengansuatu gaya=total gaya luar pada sistem.

8

1.4 Momentum sudut

Momentum sudut sistem partikelterhadap titik Q:

p)rr(L QQrrrr

=

Q

m1m2

m3

1rr

2rr

3rr

x y

z

Qrr

==

p)rr(LL QQQrrrrr

Variasi terhadap waktu:

p

dtrd

dtrd

dtpd)rr(

dtLd Q

QQ r

rrrrr

r

+=

dtrdmp r

r=Karena 0p

dtrd

= rr

9

iQ

eQQ F)rr(F)rr(dt

pd)rr( rrrrrr

rrr

+=

p

dtrd

dtpd)rr(

dtLd Q

QQ r

rrrr

r

=

p

dtrd

F)rr(F)rr(dtLd Qi

Qe

QQ r

rrrrrrr

r

+=

Pdtrd

F)rr(N

pdtrd

F)rr(F)rr(dtLd

QiQQ

QiQ

eQ

Q

rr

rrrr

rr

rrrrrrr

+=

+=

=

e

QQ F)rr(Nrrrr

Total momen gaya

10

0Pdtrd Q =

rr Jika:

(1) kecepatan titik Q sama dengan kecepatan pusat massa,

(2) titik Q adalah pusat massa, dan

(3) titik Q diam

0F)rr(

F)rr(F)rr(

F)rr(F)rr(

F)rr(F)rr(

1

1

i

1

1

iQ

iQ

1

1

iQ

iQ

iQ

iQ

==

=

+=

=

=

=

=

rrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

=

ii FFrr

m

m

rr

rr rr

rr

iF r

11

Jadi, jika titik Q diam atau Q merupakan pusat massa, maka

QQ N

dtLd rr

=

Teorem:

Jika tidak ada gaya luar pada sistem partikel, maka momentum sudut sistem partikel itu konstan.

Terlihat, jika NQ=0, maka LQ adalah besaran yang konstan.

Kuliah ke-1

12

1.5 Hukum Kekekalan Energi

N,......3,2,1;FFF ie =+= rrr

Jika gaya eksternal bergantung pada posisi, dan gaya internal bergantung pada posisi partikel-partikel lain, maka dapat dituliskan

......)..........,r,r(FF 21rrrr

=

Jika gaya total pada suatu partikel bergantung pada posisi, makafungsi potensial V adalah:

Ini disebut gaya konservatif

z

VyV

xV

=

=

= zyx F;F;F

VF =rr Ingat sifat konservatif:

0VF ==srrr

13

Vdtvdm

vmdtrdmp

VFdtpd

=

==

== rr

rr

r

rrv

Kalikan dengan vr

( ) 0zVv

yVv

xVvvm

dtd

0Vvdtvdvm

zyx2

21 =

+

+

+

=+

rrr

r

Karenadt

dxv x =

14

( ) 0dt

dzV

dtd

yV

dtd

xVvm

dtd

21 =

+

+

+

zyx

Untuk sistem partikel:

( ) 0dt

dzV

dtd

yV

dtd

xVvm

dtd 2

21 =

+

+

+

zyx

Tetapi,

dtdV

dtd

zV

dtd

yV

dtd

xV

=

+

+

zyxdan

( )dtdKvm

dtd 2

21 =

sehingga konstan)(EVKatau0dtdV

dtdK

=+=+

Hukum Kekekalan Energi Mekanik

15

1.6 Persamaan gerak roketM-massa roket pada waktu t

dM/dt-massa bahan bakar terbuang perselang waktu

v -kecepatan roket pada waktu t relatif terhadap bumi

u- kecepatan bahan bakar terbuang relatif terhadap roket

Misalkan gaya luar pada roket F, maka persamaanmomentum linier relatif terhadap bumi:

vr

ur

M

dM/dt

dtdM)uv()v(M

dtdF rrr

r+=

Momentum roket

Momentum bahan bakarterbuang

Fdt

dMudtvdM

rrr

+=Jadi:

Gaya dorong pada roket

16

F- gaya gesekan udara dan gravitasi; diruang angkasa F=0

dtdMu

dtvdM rr=

MMlnuvv

MdMuvd oo

M

M

v

v oo

rrrrr==

Perubahan kecepatan dalam suatu interval waktu hanya bergantung pada kecepatan relatifdan fraksi bahan bakar terbuang.

Kuliah ke-2

17

1.7 Masalah Tumbukan

Sebelum dan sesudah tumbukan partikel-partikel bergerak dengankecepatan tetap, tanpa gaya.

Selama tumbukan timbul gaya antar partikel yang pada umumnyamemenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku:

1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum sudut

2. Hukum kekalan energi.

18

1.7.1 Tumbukan sentral

Misalkan sebuah peluru m1 menumbuk sebuah objek m2

m1 m21Ivr

2Ivr

m1 1Fvr

m2 2Fvr

2F21F12I21I1 vmvmvmvmrrrr

+=+

( ) ( )( ) ( )

( ) )e1(vv.pvmvmvmvm

KKKKQ

2I1I

22F22

121F12

122I22

121I12

1

2F1F2I1I

=

++=

++=

rrr

( )( ) ( )1F2F22I1I1

2I1I1F2F

vvmvvmp1e0vvevv

rrrrr

rrrr

===

e disebut koefisien restitusi

e=1Q=0: tumbukan elastis

0e0: tumbukan tak-elastis

Buktikan !

19

Tumbukan sentral elastik sempurna

m1 m2diam

1Ivr

m1 1Fvr

m2 2Fvr

2F21F11I1 vmvmvmrrr

+=

1I1F2F vvv1errr

==

1I21

12F vmm

2mv rr+

=

m1m2: v2F>v1I, v1F searah v2F

1I21

211F vmm

mmv rr

+

=Buktikan !

K1I=K1F+K2F}

Jika m1 tidak diketahui: 11K2K1

K2K

mm

2

2F

1I

2F

1I

2

1

= Buktikan !

20

Tumbukan sentral tak-elastik sempurna

m1 m2diam

m1+m21Ivr

Fvr

Partikel m1 dengan kecepatan v1 menabrak dan melekat pada m2yang diam; misalkan setelah tumbukan keduanya kecepatan v2.

1I21

1FF211I1 vmm

mvv)m(mvm rrrr+

=+=

Energi yang terbuang saat tumbukan:

+

=

+==

21

221I12

1

2F212

121I12

121

mmmvm

)vm(mvmKKQ

21

2F1F2I1I pppprrrr

+=+22F11F1I cospcospp +=

22F11F sinpsinp0 =

22F11F1I

21F

21I pcospp2pp =+

m1 1Ipr

m2diam

1Fpr

2Fpr

12

1.7.2 Tumbukan elastis

Tidak ada energi yang hilang selama tumbukan (Q=0).

I-initial, awal

F-final, akhir

Hukum kekekalan momentum:

22

21

211

22

21

11

21

1

1I

1F

mmmmcos

mmmcos

mmm

pp

+

+

+

=

=

2

1I

1F

1

2

1I

2F

pp1

mm

pp

=

1I2F

11I1F12 p/p

)cos/p(p-1cos

2

22F

1

21F

1

21I

2mp

2mp

2mp

+=

2F1F2I1I KKKK +=+

2

22F

1

21F

21I

mp

mpp

=

Hukum kekekalan energi kinetik:

m2 diamK2I=0

Buktikan !

Kuliah ke-3

23

1. m1>m2

Jika 1=m, di mana , harga dalam akar menjadi nol.21

22

m2

mm1os =c

Untuk 1>m2 maka sudut 1 sangat kecil. Buktikan!

Buktikan !21

2

1I

2F

mmm

pp

+=

1pp

1I

1F

0;mm

mpp

221

2

1I

2F =+

=

24

2. m1=m2

11I

1F cospp

= 11I

2F sin pp

= 12 2/ = 0 /2

1=0, p1F=p1I d