INTEGRALES DE SUPERFICIE.

31. Encontrar el area de la superficie definida como interseccion del plano x + y + z = 1con el solido x2 + 2y2 ≤ 1.

Solucion

La superficie dada se puede parametrizar por

S :

x = u cos v

y = (u/√

2) sen v

z = 1− u cos v − (u/√

2) sen v

(0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π),

Por definicion A =∫∫

D

|Tu × Tv| dudv.

En este caso,

Tu = (cos v, (1/√

2) sen v,− cos v − (1/√

2) sen v)

Tv = (−u sen v, (u/√

2) cos v, u sen v + (u/√

2) cos v)

Tu × Tv =

∣∣∣∣∣∣i j k

cos v sen v/√

2 − cos v − sen v/√

2−u sen v (u/

√2) cos v u sen v − (u/

√2) cos v

∣∣∣∣∣∣ =( u√

2,

u√2,

u√2

).

Por tanto, |Tu × Tv| = u√

3/2 y

A =∫ 1

0

du

∫ 2π

0

u√

3/2dv =π√

62

.

32. Sea S la superficie obtenida al hacer girar la curva y = f(x) (a ≤ x ≤ b) alrededordel eje X. Comprobar, a partir de la definicion, que el area de dicha superficie es

A = 2π∫ b

a

|f(x)|√

1 + [f ′(x)]2 dx.

Solucion

Por definicion, el area de la superficie corresponde a la integral

A =∫∫

S

|Tu × Tv| dudv,

donde S se parametriza como (ver figura): x = uy = f(u) cos vz = f(u) sen u

, a ≤ u ≤ b, 0 ≤ v ≤ 2π.

1

Los vectores tangentes son:

−→Tu = (1, f ′(u) cos v, f ′(u) sen v),

−→Tv = (0,−f(u) sen v, f(u) cos v).

Por tanto,

−→Tu ×

−→Tv = (f(u)f ′(u),−f(u) cos v,−f(u) sen v),

|−→Tu ×

−→Tv| = |f(u)|

√1 + (f ′(u))2.

Al sustituir resulta entonces

A =∫ b

a

du

∫ 2π

0

|f(u)|√

1 + (f ′(u))2 dv = 2π

∫ b

a

|f(u)|√

1 + (f ′(u))2 du,

que es el resultado deseado.

33. Calcular

∫∫S

z2√

x2 + y2 dS donde S representa la esfera de centro el origen y radio

R.

Solucion

Parametrizamos la esfera de ecuacion x2 + y2 + z2 = R2 como x = R cos u sen vy = R senu sen vz = R cos v

, 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ π.

De este modo,

−→Tu = (−R senu sen v,R cos u sen v, 0),−→Tv = (R cos u cos v,R senu cos v,−R sen v)

Tu × Tv = (−R2 cos u sen2 v,−R2 senu sen2 v,−R2 sen v cos v)|Tu × Tv| = R2 sen v.

Entonces,∫∫S

z2√

x2 + y2 dS =∫ 2π

0

du

∫ π

0

R2 cos2 v ·R sen v ·R2 sen v dv

= R5 · 2π

∫ π

0

sen2 v · cos2 v dv = 2πR5

∫ π

0

(sen 2v/2)2 dv

=πR5

2

∫ π

0

1− cos 4v

2dv =

πR5

4

(v − sen 4v

4

)∣∣∣π0

=π2R5

4.

2

34. Calcular

∫∫S

(xy+yz+zx) dS, donde S es la parte de la superficie conica z =√

x2 + y2

recortada por la superficie x2 + y2 = 2ax (a > 0).

Solucion

Como la superficie esta definida por la ecuacion explıcita z =√

x2 + y2, utilizamos laformula ∫∫

S

F (x, y, z) dS =∫∫

R

F (x, y, z(x, y)) ·√

1 + (z′x)2 + (z′y)2 dxdy,

donde R es la region del plano XY que delimita la superficie.

En nuestro caso, z′x =x√

x2 + y2, z′y =

y√x2 + y2

, y R es la region limitada por la circun-

ferencia x2 + y2 = 2ax. En consecuencia,∫∫S

(xy + yz + zx) dS =∫∫

R

[xy + y√

x2 + y2 + x√

x2 + y2]

×

√1 +

x2

x2 + y2+

y2

x2 + y2dxdy

=∫∫

R

√2 · [xy + (x + y)

√x2 + y2] dxdy.

Resolveremos la integral doble mediante un cambio de variables a coordenadas polares. Sillamamos x = u cos v, y = u sen v, entonces la circunferencia x2 + y2 = 2ax se escribe comou = 2a cos v. La integral queda de la forma:

I =∫∫

R

√2 · [xy + (x + y)

√x2 + y2] dxdy

=∫ π/2

−π/2

dv

∫ 2a cos v

0

√2u · [u2 sen v cos v + u2(sen v + cos v)] du

=√

2∫ π/2

−π/2

4a4(sen v cos5 v + sen v cos4 v + cos5 v) dv =64√

2a4

15.

35. Calcular

∫∫S

xz dydz+x2y dzdx+y2z dxdy, siendo S la superficie situada en el primer

octante y limitada por las superficies z = x2+y2, x2+y2 = 1 y los planos coordenados.

3

Solucion

Debemos descomponer la superficie S es cinco secciones:

S1 : x ≥ 0, y ≥ 0, z = 0, x2 + y2 ≤ 1,

S2 : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1, z ≥ 0, z ≤ y2,

S3 : 0 ≤ x ≤ 1, y = 0, z ≥ 0, z ≤ x2,

S4 : x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1, x2 + y2 = 1,

S5 : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 1, z = x2 + y2,

que corresponden a las distintas caras del solido indicado. Debemos, por tanto, descomponerla integral en cinco sumandos, a traves de cada una de las superficies indicadas.

Si parametrizamos S1 por las ecuaciones x = u cos vy = u sen vz = 0

, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π/2,

entonces Tu = (cos v, sen v, 0), Tv = (−u sen v, u cos v, 0) y Tu × Tv = (0, 0, u) (elegimoscomo vector normal −→n 1 = (0, 0,−u) para que se trate de la normal exterior a la superficie).Ası pues, ∫∫

S1

xz dydz + x2y dzdx + y2z dxdy

=∫ 1

0

du

∫ π/2

0

(0, u3 sen v cos2 v, 0) · (0, 0,−u) dv = 0.

De forma analoga, parametrizamos S2 por x = 0y = uz = vu2

, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1,

de modo que Tu = (0, 1, 2vu), Tv = (0, 0, u2) y Tu× Tv = (u2, 0, 0) (aunque consideraremosel vector −→n 2 = (−u2, 0, 0) que es normal exterior a la superficie). Entonces∫∫

S2

xz dydz + x2y dzdx + y2z dxdy =∫ 1

0

du

∫ 1

0

(0, 0, u4v) · (−u2, 0, 0) dv = 0.

La superficie S3 se parametriza de forma completamente analoga a S2 y el resultado de laintegral tambien es cero.

Con respecto a S4, utilizaremos la parametrizacion x = cos vy = sen vz = u

, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π/2,

4

con lo que Tu = (0, 0, 1), Tv = (− sen v, cos v, 0) y Tu × Tv = (− cos v,− sen v, 0). En estecaso, el vector normal exterior a la superficie es −→n 4 = (cos v, sen v, 0) y la integral vale∫∫

S4

xz dydz + x2y dzdx + y2z dxdy

=∫ 1

0

du

∫ π/2

0

(u cos v, sen v cos2 v, u sen2 v) · (cos v, sen v, 0) dv

=∫ 1

0

du

∫ π/2

0

(u cos2 v + sen2 v cos2 v) dv

=∫ 1

0

[u(v

2+

sen 2v

4

)∣∣∣π/2

0+

(v

8− sen 4v

32

)∣∣∣π/2

0

]du =

3π

16.

Por ultimo, la superficie S5 podemos parametrizar como x = u cos vy = u sen vz = u2

, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π/2;

por tanto,

Tu = (cos v, sen v, 2u),Tv = (−u sen v, u cos v, 0),

Tu × Tv = (−2u2 cos v,−2u2 sen v, u),0

Tenemos ası que,∫∫S5

xz dydz + x2y dzdx + y2z dxdy

=∫ 1

0

du

∫ π/2

0

(u3 cos v, u3 sen v cos2 v, u4 sen2 v) · (−2u2 cos v,−2u2 sen v, u) dv

=∫ 1

0

du

∫ π/2

0

(−2u5 cos2 v − 2u5 sen2 v cos2 v + u5 sen2 v) dv

=∫ 1

0

u5 du

∫ π/2

0

(1− 3 cos2 v − sen2 2v/2) dv

=16·[v∣∣∣π/2

0− 3

2

(v +

sen 2v

2

)∣∣∣π/2

0− 1

4·(v − sen 4v

4

)∣∣∣π/2

0

]=−π

16.

Sumando todos los resultados parciales, obtenemos en definitiva que∫∫S

xz dydz + x2y dzdx + y2z dxdy =π

8.

Observacion: Un metodo mas sencillo de resolver la integral sin descomponer la superficieen secciones se basa en el teorema de la divergencia de Gauss, que trataremos en el capıtulosiguiente.

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